Matemática II - AVAMEC 12

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01/11/2021 22:05 Matemática - Cálculo
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MINICURSO 3 FUNÇÕES PRIMITIVAS
UNIDADE 2 INTEGRAL DEFINIDA
Slide 6 de 6
Determine a área da região entre o eixo e o gráfico de .
Dica: como é uma função de grau 3, pode ser que ela tenha 3 raízes diferentes: Se for
assim, você terá que analisar dois intervalos: e .
A área é igual a :
 x   f(x) = − − 2x,    − 1 ≤ x ≤ 2x3 x2
 f(x)    ,   e .  x1 x2 x3
[ , ] x1 x2  [ , ]x2 x3
a 5
12
b −8
3
c 8
3
d 37
12
Nenhuma das alternativas anteriorese
Resposta - Questão 1
Podemos simplificar para conseguirmos analisá-la melhor:
 
 
 
 
Disso, as raízes (valores de tais que ) são: e . 
 
 f(x) 
f(x) = − − 2xx3 x2
f(x) = x( − x − 2)x3
f(x) = x(x + 1)(x − 2)
 x   f(x) = 0  x = 0,  x = −1   x = 2
QUESTÃO 1 DE 5

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Vamos então analisar dois intervalos: e . 
 
 
Esperamos que até aqui você tenha aprendido a traçar gráficos de funções - pois vimos bastante lá na unidade
de aplicações de derivadas, no minicurso 2.
A área total será soma dos módulos das duas áreas ( ). Dessa forma, calcularemos
cada uma separadamente… 
 
 
Em a função está por cima do eixo Por isso, teremos:
 [−1, 0]   [0, 2]
 | | + | | A1 A2
  ,  A1  f(x) = x( − x − 2) x3  x.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= f(x) dxA1 ∫
0
−1
= ( − − 2x) dxA1 ∫
0
−1
x3 x2
= [ − −A1
x4
4
x3
3
2x2
2
]
0
−1
= 0 − [ − − (−1 ]A1
(−1)4
4
(−1)3
3
)2
= −[ + − 1]A1
1
4
1
3
= −[ + − ]A1
3
12
4
12
12
12
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Em o eixo está por cima e a função está por baixo. Logo,
Como havíamos dito antes, a área total será a soma dos módulos das duas áreas:
 
 
= −[ − ]A1
5
12
=A1
5
12
  ,  A2  x   f(x) = x( − x − 2) x3
 
 
 
 
 
 
= f(x) dxA2 ∫
2
0
= [ − −A2
x4
4
x3
3
2x2
2
]
2
0
= [ − − (2 ] − 0A2
24
4
23
3
)2
= −A2
8
3
 
 
 
 
 
 
 
 
Área =  | | + | |A1 A2
Área =   +∣∣
5
12
∣
∣
∣
∣
−8
3
∣
∣
Área = +
5
12
8
3
Área = +
5
12
32
12
Área =
37
12
Qual a área da região entre a parábola e a reta ?y = 2 − x2 y = −x
a − 9
2
b 10
3
QUESTÃO 2 DE 5
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c 9
2
d − 19
6
e 19
6
Resposta - Questão 2
Primeiramente vamos encontrar os pontos que essas duas figuras se interceptam e determinar a
região compreendida entre elas. 
 
Elas vão se interceptar nos pontos em que são iguais - deve haver ao menos dois para a região ser
fechada. 
 
Temos duas funções: e Elas são iguais quando
Essa equação será verdadeira - igual a zero - quando e/ou Ou seja,
quando ou 
 
Então esses são os dois pontos em que as duas funções se encontram, ou seja, a região que
queremos determinar a área, vai de até 
 
Veja o gráfico abaixo - acreditamos que você não tenha mais dificuldades em desenhar gráficos de
funções de primeiro e segundo graus, por isso vamos pular essa etapa.
 y = g(x) = 2 −  x2  y = h(x) = −x.  
 
 
 
 
 
 
2 − = −xx2
2 = −x + x2
0 = −x + − 2x2
0 = (x + 1)(x − 2)
 (x + 1) = 0   (x − 2) = 0. 
 x = −1   x = 2.
 x = −1   x = 2.

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Como podemos ver, a parábola está por cima da reta, ou seja, para calcular a área da região
destacada, devemos calcular a integral de nesse intervalo: g(x) − h(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = [ g(x) − h(x) ] dx∫
2
−1
A = [ 2 − − (−x) ] dx∫
2
−1
x2
A = [ 2 − + x ] dx∫
2
−1
x2
A = [ 2x − +  x
3
3
x2
2
]
2
−1
A = 2 ⋅ 2 − + − [ 2(−1) − +  ]2
3
3
22
2
(−1)3
3
(−1)2
2
A = 4 − + 2 − [  − 2 + +  ]8
3
1
3
1
2
A = 4 − + 2 + 2 − −
8
3
1
3
1
2
A =
9
2
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Determine as áreas das regiões compreendidas entre:
Julgue as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
 
 (aqui é conveniente usar substituição duas vezes)
 
 
 
 
 
I.       3 dx∫ 1
−1
x2 + 1x3
− −−−−√
II.     2x cos( )dx  ∫ ln π√
0
ex2 ex2
III.   dx∫ 3√
0
4x
+1x2√
IV .    dr∫ 1
−3
5r
(4+r2 )2
V .     3se x cos x dx∫ 3ππ
2
n2
V I.     (5 + 2)dt∫ 1
0
+ 2tt5
− −−−−−√ t4
V II.    cos x dx∫
π
2
0
esen x
Va
3  dx =∫ 1
−1
x2 + 1x3
− −−−−√
4 2
–√
3F
Vb 2x cos( ) dx = −sen(1)∫ ln π√
0
ex2 ex2
F
Vc
 dx = 15∫ 3√
0
4x
+ 1x2
− −−−−√
F
Vd
 dr =∫ 1
−3
5r
(4 + r2 )2
4
13
F
QUESTÃO 3 DE 5




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Ve 3se x cos x dx = 1∫ 3ππ
2
n2
F
Vf (5 + 2) dt = 0∫ 1
0
+ 2tt5
− −−−−−√ t4
F
Vg
cos x dx = −1 + e∫
π
2
0
esen x
F
Resposta - Questão 3
Em todos os itens usaremos a técnica de substituição.
Seja Assim, 
 
 
 
O intervalo de integração dado para é de à . Mas precisamos converter esse intervalo
para a variável :
Portanto,
I.  3 dx∫
1
−1
x2 + 1x3
− −−−−√
 u = + 1.  x3  du = 3  dxx2
 x    − 1   1 
 u
x = −1   ⟹   u = (−1 + 1 = −1 + 1 = 0)3
x = 1   ⟹   u = (1 + 1 = 1 + 1 = 2)3
3  dx =   ⋅ 3  dx∫
1
−1
x2 + 1 x3
− −−−−−√ ∫
1
−1
+ 1 x3
− −−−−−√ x2
 
 
 
 
=  du∫
2
0
u  −−√
=  du    (∗)∫
2
0
u
1
2



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De para resolvemos diretamente, pois na unidade anterior fizemos algumas vezes detalhadamente
e nosso objetivo nessa unidade não é necessariamente resolver integrais indefinidas.
Seja Isso implica que 
 
 
 
Analisando os intervalos para temos:
Logo,
Vamos aplicar a regra da substituição novamente:
Seja agora Portanto, 
 
 
 
Analisando os intervalos para temos:
 
 
 
 
 
 
= [  ⋅       (∗∗)2
3
 u3
−−−√ ]
2
0
= [  −  ]2
3
 23
−−−√  03
−−−√
= [ 2 − 0 ]2
3
2 −−√
=
 4  2 
−−√
3
 (∗)   (∗),    ∫  du u−−√
II.  2x   cos( ) dx ∫
ln π√
0
ex2 ex2
 u = .  x2  du = 2x dx
 u,  
Se então  x = 0,    u = = 002
Se então  x = ,  ln π − −−−√  u = (   = ln(π)ln(π) − −−−−√ )2
2x   cos( ) dx  =  cos( ) 2x dx ∫
ln π√
0
ex2 ex2 ∫
ln π√
0
ex2 ex2
        =  cos( ) du ∫
ln π
0
eu eu
 v = .  eu  dv =  dueu
 v,  
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Se você não entendeu esse último resultado, vamos explicar agora. 
 
Você deve lembrar/saber que por definição, o logaritmo natural de um número é o mesmo que o
logaritmo de na base ou seja, é o mesmo que Dessa forma,
Além disso,
Substituindo (no último item do intervalo de ), temos que
Por isso chegamos àquele resultado. 
 
 
 
Voltando aos intervalos da integral em função de temos que:
Em resumo, 
Se então  u = 0,    v = = 1e0
Se então  u = ln π ,    v = = πeln π
 b,  
 b   e,    ln b   lo  b.  ge
 ln π = a  ⟺   lo  π = age
lo  π = a  ⟺    = πge ea
 a = ln π   v
v = = = πeln π ea
 v,  
 cos( ) du =  cos( )   du ∫
ln π
0
eu eu ∫
ln π
0
eu eu
 
 
 
 
 
 
 
 
       = cos(v) dv ∫
π
1
       = [ sen(v) ]π
1
       = sen(π) − sen(1)
       = 0 − sen(1)
       = −sen(1)
   cos( ) 2x dx =  cos( ) du = cos(v) dv = −sen(1) + c∫
ln π√
0
ex2 ex2 ∫
ln π
0
eu eu ∫
π
1
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Seja Isso implica que 
 
 
 
Analisando os intervalos para temos:
Dessa forma,
Seja Logo, 
 
 
 
Analisando os intervalos para temos:
III.   dx∫
3√
0
4x
   + 1 x2
− −−−−−√
 u = + 1.  x2  du = 2x dx
 u,  
Se então  x = 0,    u = + 1 = 102
Se então  x = ,  3 −−√  u = (   + 1 = 3 + 1= 43 −−√ )2
 dx =  dx∫
3√
0
4x
   + 1 x2
− −−−−−√
∫
3√
0
 2(2x) 
   + 1 x2
− −−−−−√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 2 ∫
4
1
du
   u −−√
= 2  du∫
4
1
u−
1
2
= 2[2 u −−√ ]
4
1
= 2[2 − 2 ]4 −−√ 1 −−√
= 2[2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 1]
= 4
IV.  dr∫
1
−3
5r
(4 + r2 )2
 u = 4 + .  r2  du = 2r dr   ⟹    = r dr
du
2
 u,  
Se então  r = −3,    u = 4 + (−3 = 4 + 9 = 13)2
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Podemos reescrever a integral com a nova variável:
Seja Logo, 
 
 
 
Analisando os intervalos para temos:
Reescrevemos a integral com a nova variável:
Se então  r = 1,    u = 4 + = 4 + 1 = 512
 dr  =  5  r dr∫
1
−3
5r
 (4 +  r2)2
∫
1
−3
1
 (4 +  r2)2
 
 
 
 
 
 
 
 
= 5  ∫
5
13
1
   u2
du
2
= ⋅ 5  du
1
2
∫
5
13
u−2
= [ −5
2
u−1]
5
13
= [ − − ( − )]5
2
1
5
1
13
= −
4
13
V.  3 se  x cos x dx∫
3π
π
2
n2
 u = sen x.    du = cos x dx
 u,  
Quando  x = ,  
π
2
 u = sen( ) = 1
π
2
Quando  3π,    u = sen(3π) = 0
3se  x cos x dx =  3 se  x cos x dx∫
3π
π
2
n2 ∫
3π
π
2
n2
 
 
  = 3  du∫
0
1
u2
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Seja Logo, 
 
 
 
Os intervalos para serão:
A nova integral será:
 
 
 
 
  = 3[ u
3
3
]
0
1
  = 3[ − ]0
3
3
13
3
  = −1
VI.   (5 + 2) dt∫
1
0
+ 2t t5
− −−−−−√ t4
 u = + 2t.  t5  du = (5 + 2) dtt4
 u 
Quando  t = 0,    u = + 2 ⋅ 0 = 005
Quando  t = 1,    u = + 2 ⋅ 1 = 315
    (5 + 2) dt =  du∫
1
0
+ 2t t5
− −−−−−√ t4 ∫
3
0
u −−√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=  du∫
3
0
u
1
2
= [ ⋅2
3
 u3
−−−√ ]
3
0
= [ − ]2
3
 33
−−−√  03
−−−√
=
2
3
 33
−−−√
=
2
3
⋅ 3 32
− −−−−√
= ⋅
2
3
 32
−−−√ 3 −−√
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Seja Assim, 
 
 
 
Os intervalos para serão:
Logo,
 
 
 
= ⋅ 3 ⋅
2
3
3 
−−√
= 2 3 
−−√
VII.   cos x dx∫
π
2
0
esen x
 u = sen x.    du = cos x dx
 u 
Quando  x = 0,    u = sen(0) = 0
Quando   ,  
π
2
 u = sen( ) = 1
π
2
     cos x dx =  du∫
π
2
0
esen x ∫
1
0
eu
 
 
 
 
= [eu]1
0
= −e1 e0
= e − 1
Determine a área da região do primeiro quadrante que é limitada acima por e abaixo pelo eixo e
pela reta .
 
A alternativa que representa a área correta á:
y = x−−√ x
y = x − 2
QUESTÃO 4 DE 5
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a 35
6
b 4 2–√
3
c 16
3
d −10
3
4 2
–√
3
e 10
3
Resposta - Questão 4
Vamos determinar onde as duas funções se interceptam, ou seja, em quais pontos elas são iguais... 
 
 
Seja e 
 
Elas serão iguais, se ocorrer a seguinte igualdade:
Disso, concluímos que as raízes são e . 
 
 
Verifique que somente satisfaz Isso acontece em uma das operações em
que elevamos os termos ao quadrado. 
 
Vamos traçar o gráfico?
 f(x) = y =  x −−√  g(x) = y = x − 2
  f(x) = g(x)  ⟺    = x − 2x −−√
 
 
 
 
 
 
 
⟺   ( = (x − 2x −−√ )
2
)2
⟺   x = − 4x + 4x2
⟺   0 = − 4x + 4 − xx2
⟺   0 = − 5x + 4x2
⟺   0 = (x − 4)(x − 1)
 x = 4   x = 1
 x = 4  = x − 2. x −−√

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Do ponto A até o C, a função que "está por cima" é Mas as funções inferiores
mudam: de A até B, a função inferior é o eixo porque não está inclusa nesse
intervalo ainda. Já de B até C, a função de baixo é Logo, vamos calcular duas áreas
separadamente, de tal forma que a área total seja a soma dos módulos das duas áreas. Ou seja, 
 
 
 
Para a área os limites de integração são e . Já para a área são e 
.
Calculando 
Calculando 
 f(x) = .  x −−√
 x,    g(x) = x − 2 
 g(x) = x − 2. 
 A = | | + | |A1 A2
   A1  a = 0   b = 2    A2  a = 2 
 b = 4
  :  A1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= ( − 0) dxA1 ∫
2
0
x −−√
=  dxA1 ∫
2
0
x −−√
= [A1
2
3
 x3
−−−√ ]
2
0
= [ − ]A1
2
3
8 
−−√ 8 
−−√
=  2A1
2
3
2 −−√
=A1
4
3
2 −−√
  :  A2
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Logo, a área total será:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= ( − (x − 2)) dxA2 ∫
4
2
x −−√
= ( − x + 2) dxA2 ∫
4
2
x −−√
= [ − + 2xA2
2
3
 x3
−−−√
x2
2
]
4
2
= − + 2 ⋅ 4 − [ − + 2 ⋅ 2]A2
2
3
 43
−−−√ 4
2
2
2
3
 23
−−−√ 2
2
2
= ⋅ 8 − 8 + 8 − [ ⋅ 2 − 2 + 4]A2
2
3
2
3
2 −−√
= −A2
10
3
 4  2 
−−√
3
 
 
 
 
 
 
A =     +    ∣∣ A1
∣
∣
∣
∣ A2
∣
∣
A =     +   −  
∣
∣
∣
4
3
2 
−−√
∣
∣
∣
∣
∣
∣
10
3
 4  2 
−−√
3
∣
∣
∣
A = + −
4
3
2 
−−√
10
3
 4  2 
−−√
3
A =
10
3
Determine as áreas das regiões compreendidas entre:
As respectivas respostas para os itens acima são:
 e 
 
 e , no intervalo [ , ]
 
 e , no intervalo [0, ]
 
 e , no intervalo [ , ]
I.      y = 7 − 2x2 y = + 4x2
II.    y = sen x y = −sen x −π π
III.  y = 2sen x y = sen (2x) π
IV .   y = cos x y = sen x π
4
3π
4
I.      8
QUESTÃO 5 DE 5
01/11/2021 22:05 Matemática - Cálculo
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a II.    4
III.  12
IV .   2 2
–√
b I.      0
II.    4
III.  4
IV .   0
c I.      4
II.    8
III.  4
IV .    2
–√
d I.      4
II.    0
III.  0
IV .   0
e I.      8
II.    0
III.  0
IV .   12
Resposta - Questão 5
Precisamos encontrar o intervalo de integração já que não foi dado. 
 
Esse intervalo será definido pelos pontos em que as duas funções se interceptam, ou seja, onde são
iguais. Vejamos: 
I. e __  y = 7 − 2  x2  y = + 4x2

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 é igual a se e, somente se
Essa igualdade será verdadeira quando :
Desenhando os gráficos de e temos:
Logo, nesse intervalo, a função está por cima da função Podemos por fim, escrever a
integral:
f(x) = y = 7 − 2  x2  g(x) = y = + 4 x2
 
 
 
 
 
 
 
 
7 − 2 = + 4x2 x2
7 = + 4 + 2x2 x2
0 = + 4 + 2 − 7x2 x2
0 = 3 − 3x2
0 = 3( − 1)x2
  − 1 = 0x2
 
 
 
 
 
 
− 1 = 0x2
= 1x2
x = ± 1 
−−√
x = ±1
 f(x)   g(x),  
 f(x)   g(x).  
 
 
 
 
      [ f(x) − g(x) ] dx∫
1
−1
= [ 7 − 2 − ( + 4) ] dx∫
1
−1
x2 x2
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Como o intervalo já foi dado, vamos esboçar o gráfico:
Lembre-se que estamos no plano real, onde Além disso, você precisa saber que: o
seno na circunferência trigonométrica é representado pelo eixo enquanto que o cosseno é
representado pelo eixo . A circunferência escolhida - por convenção - possui raio igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= [ 7 − 2 − − 4 ] dx∫
1
−1
x2 x2
= [ 3 − 3  ] dx∫
1
−1
x2
= [ 3x −  3x
3
3
]
1
−1
= [ 3x −  x3 ]
1
−1
= [ 3 ⋅ 1 − − (3(−1) − (−1 ) ]13 )3
= 4
II. e no intervalo   y = sen x   y = −sen x,   [  − π,  π ]
 π = 3, 1415. 
 y,  
 x   1.
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Repare no gráfico que no intervalo está por cima e de 
 está por baixo. Dessa forma, calcularemos duas integrais - uma de
cada um desses intervalos:
  − π ≤ x ≤ 0,   g(x) = −sen x 
 0 ≤ x ≤ π,   g(x) = sen x 
Área Total = [ g(x) − f(x) ] dx  +   [ f(x) − g(x) ] dx∫
0
−π
∫
π
0
 
 
 
 
    = [  − sen x − sen x ] dx  +   [ sen x − (−sen x) ] dx∫
0
−π
∫
π
0
    = [  − 2 sen x ] dx  +   [ 2 sen x ] dx∫
0
−π
∫
π
0
    = 2 [  −  sen x ] dx  +  2 [ sen x ] dx∫
0
−π
∫
π
0
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Já temos o intervalo de integração. 
 
Quando consideramos o ângulo em radianos, dizemos que ele vale Mas no plano
cartesianotemos números reais que não estão em radianos. Portanto, consideramos 
... 
 
 
Portanto, vamos traçar o gráfico nesse intervalo:
Dessa forma, a área será:
 
 
 
 
 
 
 
    = 2[cos x − 2[cos x]
0
−π
]
π
0
    = 2[cos(0) − cos(−π)] − 2[cos(0) − cos(π)]
    = 2[1 − (−1)] − 2[ − 1 − 1]
    = 8
III. e no intervalo   y = 2sen x   y = sen (2x),    [0, π]
 π   180º.  
 π = 3, 1415
 
 
 
A = [ f(x) − g(x) ] dx∫
π
0
   = [ 2 sen x − sen(2x) ] dx∫
π
0
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Vamos resolver as duas integrais separadamente:
Vamos resolver essa integral pelo método da substituição… 
 
Seja Logo, ou seja, 
 
 
Mas ainda temos que analisar os intervalos de integração:
 
   = 2 sen x dx  +   −sen(2x) dx     (∗)∫
π
0
∫
π
0
2 sen x dx = 2 sen x dx∫
π
0
∫
π
0
 
 
 
 
 
    = −2[cos x]
π
0
    = −2[cos(π) − cos(0)]
    = −2[ − 1 − 1]
    = 4
−sen(2x) dx :∫
π
0
 u = 2x.    du = 2 dx,     = dx
du
2
Quando  x = 0,  u = 2 ⋅ 0 = 0
Quando  x = π,  u = 2 ⋅ π
Temos, portanto:
−sen(2x) dx = −sen(u) ∫
π
0
∫
2π
0
du
2
 
 
 
 
 
 
     = −sen(u) du
1
2
∫
2π
0
     = [cos(u)1
2
]
2π
0
     = [cos(2π) − cos(0)]1
2
     = [1 − 1]
1
2
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Voltando à 
Área Total 
Como o intervalo está definido, vamos traçar o gráfico:
Quando consideramos o ângulo em radianos, dizemos que ele vale 
 
Ou seja, e 
 
Mas no plano cartesiano temos números reais e consideramos Logo, em 
 
números reais, e . 
 
Além disso, lembre-se dos ângulos simétricos (que possuem o mesmo valor para seno e o mesmo
valor para cosseno):
 
     = 0
 (∗) :
  =   2 sen x dx  +   −sen(2x) dx =  4  +  0 = 4∫
π
0
∫
π
0
IV. e no intervalo  y = cos x   y = sen x,   [ ,   ]π
4
3π
4
 π   180º.  
  = = 45º  
π
4
180º
4
   = 3  = 3 ⋅ 45º = 135º.  
3π
4
π
4
 π ≈ 3, 1415. 
  = ≈ 2, 356 
3π
4
 3 ⋅ 3, 1415 
4
  ≈ ≈ 0, 785
π
4
 3, 1415 
4
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Colocamos em módulos, pois devemos analisar os sinais nos quadrantes: cosseno é positivo no
primeiro e quarto, enquanto que o seno é positivo no primeiro e segundo. Lembrando que 
 podemos concluir que :
Portanto, a área será:
 (representados pelo eixo ) sen(45º)    =    sen(135º)      ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣  y
 (representados pelo eixo ) cos(45º)    =    cos(135º)      ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣  x
 sen(45º) = cos(45º) = ,  
 2 
−−√
2
 sen(135º) =
 2 −−√
2
 cos(135º) = −
 2 
−−√
2
Área     = [ sen x − cos x ] dx∫
3π
4
π
4
 
 
= sen x dx − cos x dx∫
3π
4
π
4
∫
3π
4
π
4
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Respondidas 5 de 5 questões.
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IR PARA O SLIDE:
1 2 3 4 5 6
 
 
 
 
 
 
 
 
= −[cos x − [sen x]
3π
4
π
4
]
3π
4
π
4
= −[cos( ) − cos( ) − [sen( ) − sen( )]3π
4
3π
4
]
3π
4
π
4
3π
4
3π
4
= −[ − −  ] − [ −  ] 2 
−−√
2
 2 −−√
2
 2 −−√
2
 2 −−√
2
= −[ − 2  ] − [0] 2 
−−√
2
= 2 
−−√
 REFAZER ATIVIDADE

REALIZAÇÃO E PRODUÇÃO:
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni2/slide5.html
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https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni2/slide1.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni2/slide2.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni2/slide3.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni2/slide4.html
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http://www.labtime.ufg.br/
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