33168_Calculo_para_quem_nao_gosta_mas_precisa

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1 
 
Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral: 
Para quem não gosta mas precisa! 
Jorge Brandão 
 
2 
 
Apresentação 
 
 Caríssimo leitor e prezada leitora, ler pode ser perigoso, com 
efeito, quando se lê um livro, uma revista, entre outros meios escritos, 
na verdade repetem-se os processos mentais de quem escreveu. Assim 
sendo, quando é que a leitura passa a ser algo construtivo para o(a) 
leitor(a)? 
Quando aquilo que se lê não é ponto de chegada e sim ponto de 
partida para o ato de pensar, haja vista a leitura dos pensamentos dos 
outros servir de base para o(a) leitor(a) conseguir ter os próprios 
pensamentos (COSTA, CASCINO e SAVIANI, 2000). A leitura feita 
com os olhos pode apreciar e associar gravuras ao texto, o que nem 
sempre ocorre com aqueles que leem com o tato. 
 De que forma um professor de Matemática deve trabalhar este 
campo do saber em sala de aula quando existem discentes com 
deficiência visual ou que possuem dificuldades de aprendizagem neste 
campo do saber? Ora, analisando a expressão “estudante com 
deficiência visual”, excluindo-se “deficiência visual” fica “estudante” e, 
por conseguinte, têm direitos e deveres iguais aos demais. Logo, o 
docente pode trabalhar conforme planejou sua atividade. É claro, com 
adequações. 
 Mesmo raciocínio vale para você, nobre leitor(a). Este material 
foi pensado no método passo a passo onde você dedicando até 60 
minutos para ler, compreender e se exercitar, você entenderá a 
“essência” do Cálculo Diferencial e Integral com uma variável. Ou 
seja, cada lição é composta de até sete passos, da 1ª à 5ª LIÇÃO
1
 
visando entender a construção do saber. A partir da 6ª Lição, a qual 
esperamos que os procedimentos tenham sido bem assimilados até 
então, recomendamos dedicação de tempo de, no mínimo, 60 minutos. 
 Exemplificando: A Matemática está associada aos números... 
então só há matemática se ocorrer a existência de números? 
Acompanhem, caríssimos leitores, o seguinte exemplo: Conjugar o 
verbo cantar. 
Primeira pergunta natural a ser feita é: em qual tempo verbal? 
Pois bem, caso seja no presente do indicativo temos: 
 
 
1 Até a 5ª lição temos o Cálculo Diferencial. Da 6ª lição em diante temos o cálculo 
integral 
3 
 
EU CANT O 
TU CANT AS 
... 
Caso seja no pretérito, fica: 
EU CANT EI 
TU CANT ASTE 
... 
Ora, o verbo cantar é um verbo de primeira conjugação porque 
termina em AR. Além disso, é um verbo regular. Verbos regulares são 
verbos que não possuem alteração no radical, no caso CANT. 
Percebam que há uma relação direta entre os sujeitos, que 
possuem suas características, e as desinências (terminações). A relação 
entre esses conjuntos, conjunto dos sujeitos e o conjunto das 
desinências, é dada pela existência do radical CANT. 
Como os sujeitos influenciam (DOMINAM) as desinências, 
podemos indicar tal conjunto como o DOMÍNIO da função "conjugar o 
verbo cantar". As desinências refletem, reagem a este domínio, isto é, 
elas representam CONTRADOMÍNIO. Ao conjunto das desinências de 
um tempo verbal específico chamamos de IMAGEM... 
Eis um exemplo de adequação. 
Aprender matemática (e qualquer outra área do saber) consiste 
em aprender seus conceitos. Por exemplo: leite em pó é leite, se uma 
criança conceitua leite como líquido de cor branca que saem das mamas 
dos mamíferos? 
 
Matemáticos cegos e contribuições 
 
 Lev Semenovich Pontryagin (1908–1988) nasceu em Moscou 
em 1908 e ficou cego aos 14 anos em virtude de uma explosão. Foi 
auxiliado em seus estudos principalmente pelo apoio recebido de sua 
mãe, Tatyana Andreevna, que lia para Pontryagin. 
 Muito embora fosse leiga na Matemática, Tatyana descrevia 
com um linguajar próprio a partir das aparências dos símbolos 
matemáticos. Por exemplo: para indicar que um conjunto A está 
contido em um conjunto B, notação A  B, ela fazia referência do tipo 
A cauda B (EVES, 2002). 
 A importância da citação de Pontryagin não é só sua 
capacidade matemática. Seu esforço o tornou um brilhante professor 
nas áreas de Topologia e Equações Diferenciais. Destaca-se a 
4 
 
participação de sua mãe como um apoio em seus estudos, 
“transcrevendo” textos. 
 Na Economia, o estudo da inflação ou nas medidas e 
instrumentos para medir a taxa de desemprego – fenômenos que sofrem 
variação só com o tempo, nas quais se usam as Equações Diferenciais 
Ordinárias, temos uma certa influência dele. 
 Em relação ao Saunderson, Nicholas Saunderson (1682–
1739), com aproximadamente um ano de idade perdeu a visão através 
de varíola, todavia, este ocorrido não o impediu de adquirir um 
conhecimento de latim e grego, bem como estudar matemática. Amigos 
liam para ele. 
 Destaca-se a máquina que ele desenvolveu. A mesma máquina 
era útil tanto para realização dos cálculos algébricos quanto para a 
descrição de figuras retilíneas, podendo ser comparada a um “pré-
geoplano”. 
 A máquina consistia em um quadrado, dividido em quatro 
partes iguais por meio de linhas perpendiculares aos lados, de modo que 
ele ofereça os nove pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O quadrado é 
perfurado por nove orifícios capazes de receber alfinetes de duas 
espécies todos do mesmo comprimento e da mesma grossura, mas uns 
com a cabeça um pouco mais grossa do que outros. 
 Os alfinetes de cabeça grande situam-se sempre no centro do 
quadrado; os de cabeça pequena, sempre nos lados exceto em um único 
caso, o do zero. O zero é assinalado por um alfinete de cabeça grande, 
colocado no centro do pequeno quadrado, sem que haja qualquer outro 
alfinete nos lados. O algarismo “1” é representado por um alfinete de 
cabeça pequena, colocado no centro do quadrado, sem que haja 
qualquer outro alfinete nos lados. 
 
 
 
Algarismo Representação Algarismo Representação 
0 



 5 





 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Infla%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_desemprego
http://74.125.93.104/translate_c?hl=pt-BR&sl=en&u=http://www.nationmaster.com/encyclopedia/Smallpox&prev=/search%3Fq%3Dnicolas%2Bsaunderson%26hl%3Dpt-BR&usg=ALkJrhgL5W13u1X-1agfUfCbTQHRm4hjXA
http://74.125.93.104/translate_c?hl=pt-BR&sl=en&u=http://www.nationmaster.com/encyclopedia/Latin&prev=/search%3Fq%3Dnicolas%2Bsaunderson%26hl%3Dpt-BR&usg=ALkJrhhFSOEatuUIBhAGd2dePePxdXr7VA
http://74.125.93.104/translate_c?hl=pt-BR&sl=en&u=http://www.nationmaster.com/country/gr&prev=/search%3Fq%3Dnicolas%2Bsaunderson%26hl%3Dpt-BR&usg=ALkJrhib-P4H4j-t4h_jWArnMW5F__W8mQ
http://74.125.93.104/translate_c?hl=pt-BR&sl=en&u=http://www.nationmaster.com/encyclopedia/Mathematics&prev=/search%3Fq%3Dnicolas%2Bsaunderson%26hl%3Dpt-BR&usg=ALkJrhg2-Ct5HZzH76oBYUMxRU-LJ-8wEA
5 
 
1 



 6 




 
2 





 7 




 
3 





 8 



 
4 



 9 





 
Figura 1 – Adaptando números de Saunderson, conforme Diderot (2007) 
 
 O  representa alfinete de cabeça pequena e  indica alfinete 
de cabeça grande 
 O algarismo “2” é indicado por um alfinete de cabeça grande, 
situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, 
situado em um dos lados do ponto “1”. O algarismo “3” é representado 
por um alfinete de cabeça grande, situado no centro do quadrado, e por 
um alfinete de cabeça pequena, situado num dos lados do ponto “2”. 
 Indica-se o algarismo “4” por um alfinete de cabeça grande, 
situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, 
situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, 
situado num dos lados do ponto “3”. 
 O algarismo “5”, por um alfinete de cabeça grande, situado no 
centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, colocado em 
um dos lados do ponto “4”. O algarismo “6” é representado por um 
alfinete de cabeça grande, situado no centro do quadrado,e por um 
alfinete de cabeça pequena, situado num dos lados do ponto “5”. 
 O algarismo “7”, por um alfinete de cabeça grande, colocado 
no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, colocado 
6 
 
num dos lados do ponto “6”. O algarismo “8”, por um alfinete de 
cabeça grande, colocado no centro do quadrado, e por um alfinete de 
cabeça pequena, colocado num dos lados do ponto “7”. E o algarismo 
“9”, por um alfinete de cabeça grande, colocado no centro do quadrado, 
e por um alfinete de cabeça pequena, colocado num dos lados do 
quadrado do ponto “8”. 
 O material apresentado por Saunderson pode ser considerado 
um precursor das celas Braille. Não obstante, a forma como 
confeccionava figuras planas, utilizando seu material ele estava 
introduzindo, de modo inconsciente, o hoje utilizado geoplano. 
 A gravura abaixo indica a representação de um trapézio 
segundo usos de Saunderson. 
 


























































 













00
00
00
00
00
000
000
000
00
00
000
000
00
00
 
Figura 02 – Representação de um trapézio 
 
 Os pontos pretos representam alfinetes e os zeros são espaços 
vazios. Entre colchetes tem-se uma “cela” do esquema de Saunderson. 
Com o tato ele caracterizava as figuras. Quando as figuras eram grandes 
ou com maior riquezas de detalhes, ele colocava apenas nos extremos 
(vértices) alfinetes e estes eram unidos por barbantes. 
E um terceiro matemático cego é Bernard Morin. Ele nasceu 
em 1931 em Shangai, onde o seu pai trabalhava para um banco. Morin 
desenvolveu glaucoma bem cedo e foi levado para a França para 
tratamento médico. Ele voltou a Shangai, mas, por ocasião do 
rompimento das retinas ficou completamente cego aos seis anos de 
idade. 
Depois que ficou cego, Morin retornou para a França sendo 
educado em escolas para cegos até a idade de quinze anos, quando 
entrou no ensino regular. Estudou no Centre National de la Recherche 
7 
 
Scientifique (França) como pesquisador em 1957. Concluiu a sua tese 
de Ph.D. na área da teoria da singularidade em 1972. 
A grande notoriedade de Morin está no fato de ser um dos 
(poucos) matemáticos que demonstrou a possibilidade da “eversão da 
esfera”, um problema na área de Topologia Matemática. 
As citações desses matemáticos servem para indicar que a 
Matemática pode ser apreendida por pessoas com necessidades 
especiais, e que a participação ativa da família e de amigos (e dos 
professores especialistas) é de grande importância para uma 
aprendizagem significativa. 
 
Iniciando... 
 
Saber operações numéricas é base para desenvolver uma 
matemática bem estruturada. Por exemplo: 
 
i. Sabemos que -1 = (-1)³, pois (-1).(-1).(-1) = -1. 
ii. Podemos reescrever (-1)³ como (-1)6/2, haja vista 3 = 6/2. 
iii. De ab/c ser interpretada como a raiz de ordem “c” de “a” 
elevado a “b”, segue-se que (-1)
6/2
 é a raiz quadrada de 
“menos um” elevado à sexta potência. 
iv. Como (-1)6 = 1, ficamos com a raiz quadrada de um. 
v. Ora, raiz quadrada de um é um, daí, -1 = 1??? 
 
Simplificando em símbolos: 
 ⏟
 
 ( ) ⏟
 
 ( )
 
 ⏟
 
 √( ) ⏟
 
 √ ⏟
 
 
 
Logo, como 1 ≠ -1, segue-se que há um erro. Onde? 
Desta feita, este material objetiva utilizar de forma coerente 
operações envolvendo limites, derivadas e integrais. 
 
Resumindo... 
 
Como há um erro na “justificativa” de -1 = 1, segue-se que é 
necessário compreender as operações numéricas atreladas. Mesmo 
artifício vale para aplicações: como garantir que o cálculo está certo ou 
que erro cometido foi prejudicial ao todo do problema. 
8 
 
Deste modo, apresentamos esse livro: contém aplicações 
seguidas das discussões de alguns dos principais erros observados nas 
resoluções de exercícios. Breve resumo é apresentado. TODAVIA, o 
foco é entender o que está sendo usado. 
Ou seja, dado que o “essencial é invisível aos olhos” (Antoine-
de-Saint-Exupery: O Pequeno Príncipe), segue-se que esta obra procura 
dialogar com leitor(a) a resolução e interpretação de situações, usando o 
mínimo de figuras/imagens. 
9 
 
Sumário 
 
 
1. 1a Lição = Revisando principais tópicos do ensino médio. 
2. 2a Lição = Limites: da vivência prática à teoria 
3. 3a Lição = Limites II: Número de Euler e aplicações 
4. 4a Lição = Derivadas: definição 
5. 5a Lição = Derivadas II: aplicações 
6. 6a Lição = Antiderivação… 
7. 7a Lição = Integrais indefinidas: Vivenciando as regras 
8. 8a Lição = Integrais definidas: áreas e volumes sólidos de 
revolução. Por quê? 
9. 9a Lição = Interagindo com técnicas de integração 
10. 10a Lição = Novos desafios… novas técnicas de 
integração 
11. 11a Lição = Integrais impróprias… para que servem? 
12. 12a Lição = Vivenciando diversas aplicações 
 
 
10 
 
1ª. LIÇÃO – REVISANDO PRINCIPAIS TÓPICOS DO ENSINO 
MÉDIO 
 
1º. Passo: Operações numéricas básicas... 
 
Retornando ao desafio inicial... onde está o erro no 
desenvolvimento dos argumentos abaixo? 
 
i. Sabemos que -1 = (-1)³, pois (-1).(-1).(-1) = -1. 
ii. Podemos reescrever (-1)³ como (-1)6/2, haja vista 3 = 6/2. 
iii. De ab/c ser interpretada como a raiz de ordem “c” de “a” 
elevado a “b”, segue-se que (-1)
6/2
 é a raiz quadrada de 
“menos um” elevado à sexta potência. 
iv. Como (-1)6 = 1, ficamos com a raiz quadrada de um. 
v. Ora, raiz quadrada de um é um, daí, -1 = 1??? 
 
Resumindo em símbolos: 
 ⏟
 
 ( ) ⏟
 
 ( )
 
 ⏟
 
 √( ) ⏟
 
 √ ⏟
 
 
 
Logo, como 1 ≠ -1, segue-se que há um erro. Onde? 
Para começar a argumentar, considere o jogo dos quatro-
quatro... 
Podemos escrever de 0 a 9 usando quatro números 4 e os sinais: 
 
 Da adição: + 
 Da subtração: - 
 Da multiplicação: * 
 Da divisão: / e 
 Parênteses: ( ). 
 
Por exemplo, 
0 = 4 + 4 – 4 – 4 ou (4 – 4)/(4 + 4) ou também (4 – 4)*4/4. 
Perceba que há mais de uma maneira de escrever um número inteiro 
dado (entre zero e nove, incluindo extremos). 
 A importância deste jogo está no uso coerente dos parênteses e 
das operações. Por exemplo, 4 + 4/4 não é o mesmo que (4 + 4)/4. 
11 
 
No primeiro caso, inicialmente calculamos a divisão de 4 por 4 e 
o resultado é acrescentado de 4, perceba uso dos parênteses 
(4 + 4/4 = 4 + 1 = 5). 
No segundo caso, resolvemos primeiro os parênteses, 4 + 4 = 8. 
O resultado é dividido por 4. Neste caso, a resposta é dois. Assim 
sendo, escrever, usando QUATRO quatros os números de 0 a 9. 
 
Antes de olhar uma resposta dada, quebre um pouco a cabeça... 
 
 1 = (4 + 4)/(4 + 4) 
 2 = 4*4/(4 + 4) 
 3 = (4 + 4 + 4)/4 
 4 = 4 + (4 – 4)/4 
 5 = (4*4 + 4)/4 
 6 = (4 + 4)/4 + 4 
 7 = 4 + 4 – 4/4 
 8 = 4*4/4 + 4 
 9 = 4 + 4 + 4/4 
 
Caríssimo leitor e prezada leitora, vocês podem fornecer de outra 
maneira os valores indicados? 
(...) 
 
Algumas propriedades básicas (que são mais utilizadas no 
Cálculo Diferencial e Integral e que apresentam maior índice de erros): 
i. No produto de dois números com sinais contrários, o resultado 
é um número negativo. Exemplo: (+3) x (-4) = -12. 
ii. (ab)c = ac.bc. Exemplo: (2.4)³ = 2³.4³ 
iii. 
 
 
 desde que a ≠ 0. Exemplo:
 
 
 
iv. √ 
 
 
 
 desde que... (argumentaremos um pouco mais 
adiante!) 
v. Sendo “a” e “b” reais, (a + b)² = a² + 2ab + b². 
Cuidado!!! (a + b)
n
 ≠ a
n
 + b
n
. 
Idem: √ √ √ 
Na dúvida... faça testes numéricos. 
Por exemplo, √ √ √ √ 
 
12 
 
vi. Em se tratando de frações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
, onde “a”, “b”, “c” e 
“d” são números reais e sendo b e d não nulos. 
Cuidado!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Há discentes que “cortam” o 
b... 
 
 
 
 Se isso fosse verdadeiro, então 
 
 
 Mesma 
recomendação...NÃO PODEMOS TER 
 
 
 
 
 
 
vii. O módulo... | | 2
 
 
. 
Exemplos: |7| = 7 e |-3,4| = 3,4. 
viii. |u| < a significa todos os valores de “u” entre “-a” e “a”. 
|u| > a significa todos os valores de “u” menores que “-a” ou 
maiores que “a”. 
Exemplos: 
| u | < 3  - 3 < u < 3 
| u | > 4  u < -4 ou u > 4 
Na dúvida... teste valores numéricos. Imagine u = -5. 
Logo | u | = 5. Como – 5 < - 4, segue-se que u < -4. 
 
Exemplos: 
(1). Se x + 1/x = 3, qual o valor de x² + 1/x²? 
Solução: 
Temos a “tendência” de transformar x + 1/x = 3 em uma 
equação do segundo grau, resolvê-la e, por fim, substituir em x² + 1/x². 
Não está errada tal linha de raciocínio! Tentem. 
Apresentamos a seguinte ideia: .
 
 
/
 
 
 
 
, é claro, sendo b não 
nulo. Motivação: 
 
 
 
 
 
 .
 
 
/
 
, com x ≠ 0. 
Para facilitar “visualização”, considere y = 1/x. Assim, x + y = 3 
e queremos x² + y². 
Se queremos o quadrado... algo nos impede de elevar ambos os 
membros da igualdade x + y = 3 ao quadrado? 
Vamos tentar: (x + y)² = (3)² 
Desenvolvendo, x² + 2xy + y² = 9. 
Como y = 1/x, segue-se que xy = 1 (por quê?). Desta feita, 
organizando: ( ) 
 
 
 . Ou seja, trocamos xy por 1 e y² por 
1/x². 
13 
 
Por fim, x² + 1/x² = 9 – 2 = 7. 
 
(2). Se x + 1/x = 3, qual o valor de x³ + 1/x³? 
Solução: 
Como a ideia de elevar ao quadrado “deu certo”, vamos elevar 
ambos os membros da igualdade ao cubo. Para tanto, recordar: 
(a + b)³ = (a + b)².(a + b) – compare com 5³ = 5*5*5 = 5²*5. 
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b) – desenvolvendo (a + b)² 
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²).a + (a² + 2ab + b²).b – usando a 
distributividade: p(r + s) = p.r + p.s. Neste caso, é como se p fosse a 
expressão a² + 2ab + b². 
(a + b)³ = a³ + 2a²b + b²a + a²b + 2ab² + b³ 
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
Assim, (x + 1/x)³ = 3³ 
Desenvolvendo: 
( ) ( ) (
 
 
* ( ) (
 
 
*
 
 (
 
 
*
 
 
 Organizando, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equivalendo a 
 
 
 
 
 
 . Usamos o seguinte 
fato: 
 
 
 
 
 
. Ou seja, se p > q, deixamos expressão no 
numerador. No caso de p < q, a expressão fica no denominador. 
 Assim, de x + 1/x = 3, temos 3(x + 1/x) = 3(3) = 9. Por quê? 
Porque apareceu 3x + 3/x no desenvolvimento de (x + 1/x)³. 
Logo, x³ + 1/x³ = 27 – 9 = 18. 
Reflita, nobre estudante, sobre as “passagens” realizadas. 
 
Os próximos exemplos envolvem módulo. Motivo: há aplicações onde 
precisamos determinar um intervalo (para mais de uma variável, 
região plano ou espacial) para realização da aplicação (nas 
engenharias, chamamos de condição de contorno). 
 
(3). Quais valores de x tornam verdadeira a desigualdade 
| | ? 
Solução: 
Sabemos que | u | < 3  - 3 < u < 3. 
 Assim, supor u = 2x – 1. Dai, - 3 < 2x – 1 < 3. 
14 
 
 Como queremos apenas o “x”, vamos isolar. Inicialmente, somar 
“1” a cada membro da desigualdade. Motivo: há o “-1”. E a – a = 0. 
Deste modo, -3 + 1 < 2x – 1 + 1 < 3 + 1. 
Que equivale a -2 < 2x < 4. Por fim, dividir ambos os membros 
da desigualdade por 2, o coeficiente do x. 
Consequentemente: -1 < x < 2. 
 
(4). Quais valores de x tornam verdadeira a desigualdade 
| | ? 
Solução: 
 Sabemos que | u | < 3  - 3 < u < 3. 
 Assim, supor u = 2 – 11x. Dai, - 3 < 2 – 11x < 3. 
 Replicando raciocínio anterior, subtrairemos 2 de cada membro 
da desigualdade (percebam que realizamos a operação inversa!). 
Portanto: 
– 3 – 2 < 2 – 11x – 2 < 3 – 2  – 5 < – 11x < 1. Por fim, dividir ambos 
os membros da desigualdade por “-11”. ATENÇÃO! Dividir por “–11” 
equivale a multiplicar por “–1/11”. SEMPRE que multiplicamos uma 
desigualdade por um valor negativo, ela INVERTE o sinal. 
 Em símbolos: 
 {
 
 
 
 De volta ao problema, 
 
 
 
 
 
. 
 
Agora é sua vez... Estes exercícios serão resolvidos, direta ou 
indiretamente nos próximos passos ou serão comentados no final desta 
lição. Recomendamos que tentem, reflitam nas etapas que devem ser 
seguidas. 
 
1. Como se lê: (a + b)²? 
2. Como se lê: a + b²? 
3. Onde está o erro no desenvolvimento do 1 = -1, 
apresentado no início deste tópico? 
4. Assim como 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 √ 
 , segue-se que qualquer 
número dividido por ele mesmo é igual a “1”. 
5. Uma criança argumentou que se tem uma laranja e não vai 
dividir com ninguém, então sobra a laranja. Idem se forem 
duas ou três laranjas... Escreveu, para ilustrar seus 
15 
 
pensamentos, os seguintes símbolos: 
 
 
 
 
 
 E 
agora? Podemos argumentar que 1 dividido por 0 é igual a 
1? 
 
2º. Passo: Função Polinomial do 1º Grau 
 
A função polinomial do primeiro grau é do tipo f(x) = ax + b, 
onde a e b são reais, com a ≠ 0. A variável x é a variável real 
independente. Podemos indicar y = f(x) como a variável dependente. 
Qual seu domínio? 
 Antes de abordar mais detalhes, apresento uma ilustração 
realizada com um grupo de crianças cegas, entre oito e onze anos de 
idade. 
 
 Formar fileira de quadrados com palitos... 
 
 Fizemos um quadrado com um palito de lado. Em seguida, 
acrescentamos mais três palitos para formar um segundo quadrado. 
Solicitamos que um aluno fizesse o mesmo... 
 
 
 
 
Figura 03 – fileira de quadrados 
 
Pedimos que ele dissesse quantos palitos foram utilizados para 
compor a fileira com três quadrados, depois com quatro e depois com 
cinco. Ele contou e respondeu, respectivamente, 10, 13 e 16 palitos. 
 Solicitamos que fornecesse a quantidade de palitos para formar 
seis, sete e dez quadrados. Para os dois primeiros não demorou em 
responder: 19 e 22. Mas, para dez quadrados enfileirados, não soube 
responder. 
 
Nobre leitor(a), verifique as contas! Será que de fato são necessários 
19 palitos para o sexto quadrado? Tente “por construção”, isto é, 
forme o sexto quadrado... depois o sétimo quadrado. 
 
16 
 
 Indagamos como havia encontrado os valores 19 e 22. Segundo 
ele “basta somar três palitos, pois estou colocando três palitos”. 
 Solicitamos que desconstruísse a figura e refizesse observando 
outra maneira de formar a figura. Desta vez ele conseguiu responder a 
quantidade de palitos para formar dez quadrados enfileirados, para 
tanto, foi fazendo contas com os dedos e dizendo em voz baixa com 
quantos quadrados ele estava: 
 
 Com cinco quadrados eu tenho 16 palitos; 
 Com seis quadrados, eu tenho 16 mais três que fornece 19; 
 Para sete quadrados... 19 mais três fornece 22; 
 Para ter oito quadrados... 22 mais três resulta 25; 
 25 mais três resulta 28, e eu fico com nove quadrados; 
 31 palitos é a resposta, pois é 28 mais três. 
 
Fizemos uma intervenção... segurando nas mãos dele separamos 
o primeiro quadrado como sendo um palito mais três palitos. Para o 
segundo quadrado, colocávamos mais três palitos, assim, para formar o 
segundo quadrado nós precisávamos de um palito mais dois grupos de 
três palitos. 
 
 
 
 
Figura 04 – construção da fileira de quadrados 
 
Para o terceiro quadrado, seriam necessários três grupos de três 
palitos e um palito que se encontrava no canto da mesa. Perguntamos se 
ele estava entendendo o que estávamos fazendo. Ele respondeu que sim. 
Por sua vez, quando solicitado para dizer como seria a 
construção para o próximo quadrado, ele ficou calado. 
 Neste exemplo, a ideia prática é escrever o número de palitos, y, 
como sendo a expressão y = 1 + 3x, onde x é a quantidade de 
quadrados. 
 
E nas Engenharias? Na Economia? Na Geografia? Onde podemos 
usar a função do 1º. Grau? 
 
17 
 
Os exemplos a seguir podem ser encontrados, direta ou 
indiretamente, nos nossos livros de referência. 
“A poluição atmosférica em grandes cidades aumenta durante 
andamento de um dia. Em certa ocasião, a concentração de poluentes 
no ar, às 08:00 h, era de 15 partículas, em cada milhão de partículas, 
e, às 12:00 h, era de 60 partículas,em cada milhão de partículas. 
Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é linear em 
relação ao tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em 
cada milhão de partículas, às 16:00 h?” 
Solução: 
Quando a variação for LINEAR, significa dizer que faremos uso 
da função y = ax + b. Nosso problema é, inicialmente, determinar “a” e 
“b”. 
Considere x o tempo (aqui em horas) e y a quantidade de 
partículas, em cada milhão de partículas, em determinada hora. 
Da informação obtida na segunda linha “(...) às 08:00 h, era de 
15 partículas, em cada milhão de partículas ...”, temos: x = 8 e y = 15. 
Na terceira linha, “às 12:00 h, era de 60”, assim: x = 12 e y = 60. 
Substituindo em y = ax + b tais informações, temos: 
(1) 15 = 8a + b 
(2) 60 = 12a + b 
Há diversas formas de resolver, uma delas é isolar b em (1) e 
substituir em (2). 
Assim, b = 15 – 8a 
Daí, 60 = 12a + b = 12a + (15 – 8a) = 15 + 4a. 
Organizando, 60 = 15 + 4a  4a = 60 – 15 = 45  a = 45/4 = 
11,25. 
Por fim, b = 15 – 8a = 15 – 8(45/4) = 15 – 90 = -75. 
Logo, y = 11,25x – 75. 
Por fim, às 16:00 h, isto é, x = 16  y = 11,25.(16) – 75 = 105. 
 
EXEMPLO II: 
A tabela a seguir indica a variação da temperatura da água com a 
profundidade, em relação ao nível do mar. 
Profundidade (m) 0 100 200 500 1000 
Temperatura (oC) 30 26 20 12 4 
Admitindo LINEARIDADE entre duas medições consecutivas, qual a 
temperatura estimada aos 140 m de profundidade? 
Solução: 
18 
 
Interessante salientar é: “como é construída a tabela?” Uma 
maneira está associada a determinar intervalos, no caso de 
profundidade, com mesmo tamanho. Pode ser tamanho de 1 m em 1 m 
e analisa-se a temperatura, ou de 5 m em 5 m... é claro que, com uma 
maior quantidade de observações, melhor a aproximação da realidade. 
Os dados da tabela e, com a informação da linearidade entre 
duas medições consecutivas, permite-nos (lembrar que “essencial seja 
invisível aos olhos”, logo não faremos figuras!!!): 
 Seja x a profundidade (em metros) e considere y a temperatura 
(em 
o
C) para determinada profundidade. Como queremos a temperatura 
para a profundidade de 140 m, interessa-nos o intervalo entre as 
medições que são anteriores e posteriores a tal valor. Ou seja, x = 140 
está entre 100 e 500. 
 Ora, quando x = 100, segue-se que y = 26. (*) 
Quando x = 500, temos y = 20. (**) 
Sendo linear, podemos admitir y = ax + b. 
De (*), 26 = 100a + b. 
De (**), 20 = 500a + b. 
Isolando “b” em (*), temos: b = 26 – 100a 
Substituindo em (**), temos: 20 = 500a + (26 – 100a) 
Por conseguinte, 400a + 26 
Organizando, 20 – 26 = 400a  a = –6/400 = –0,015 
Assim, voltando para (*), b = 26 – 100a = 26 – 100.(-0,015) = 
27,5 
Daí, y = –0,015x + 27,5, desde que x esteja entre 100 e 500, isto 
é, 100 ≤ x ≤ 500 (e 20 ≤ y ≤ 26). Pois, para outros valores, há outras 
expressões. 
Enfim, para x = 140, y = –0,015.(140) + 27,5 = 25,4 
 
RESUMO... 
 Percebemos nestes dois exemplos que, se a > 0 a função é 
crescente (os valores de y aumentam quando os valores de x aumentam) 
e, caso a < 0, a função é decrescente, isto é, os valores de y diminuem 
quando os de x aumentam. 
 
Agora é sua vez... 
Qual a temperatura quando a profundidade for de 800 m? Lembre-
se, 800 está entre 500 e 1000, logo, y deve estar entre 4 e 12. 
 
19 
 
3º. Passo: Função Polinomial do 2º Grau 
 
Antes de gerar uma expressão para função polinomial do 
segundo grau, vamos resolver o “agora é sua vez” do 1º passo... 
conversemos um pouco: quais dificuldades você teve? Enunciado da 
questão? Operações matemática? Se não teve dificuldades, vamos à 
solução: 
 Linearidade  y = mx + n, com m ≠ 0 (e não y = ax + b? Tanto 
faz o uso das letras, o importante é ficar claro que há um valor atrelado 
à variável independente – isto é, um número não nulo que multiplica x 
– acrescido (ou subtraído) de um termo independente). 
Profundidade 500 m e temperatura 12 
o
C  x = 500 e y = 12. 
Daí, (i) 12 = 500m + n 
Profundidade 1000 m e temperatura 4 
o
C  x = 1000 e y = 4. 
Daí, (i) 4 = 1000m + n 
Mesma estratégia, “m” ocupando lugar do “b”. 
De (i), n = 12 – 500m. Em (ii), 4 = 1000m + (12 – 500m) = 
500m + 12. Organizando, 4 – 12 = 500m  m = –8/500 = – 0,016. 
Voltando para (i), n = 12 – 500m = 12 – 500.( –0,016) = 12 + 8 
= 20. 
Expressão: 
y = –0,016x + 20, com 500 ≤ x ≤ 1000 (e 4 ≤ y ≤ 12). 
Por fim, y = –0,016.(800) + 20 = 7,2 
... 
 
Considere a seguinte situação para introdução da função do 2º 
grau... durante uma crise atrelada à gripe das aves, alguns 
produtores foram aconselhados a construir seus aviários em 
grandes galpões refrigerados (...). Nos galpões, cada aviário de um 
produtor específico era construído no formato retangular usando 
telas de arames com 20 m. Desconsiderando a altura das telas, 
quais devem ser as medidas do retângulo de modo que sua área seja 
a maior possível? 
Vamos “traduzir” para a matemática. 
A expressão “formato retangular usando telas de arames com 
20 m” está associada ao perímetro. Com efeito, a tela está contornando 
o aviário (se fosse mais de uma vez, deveria ser informado no contexto 
do problema). Ou seja, indicando por x e z as medidas dos lados do 
retângulo, segue-se que 2x + 2z = 20. Ou seja, (*) x + z = 10. 
20 
 
A área de um retângulo é (**) Área = xz. Note que ela é uma 
função de duas variáveis. Como ainda não sabemos trabalhar (de 
maneira significativa) com funções com mais de uma variável, vamos 
tornar a área função de uma única variável. 
De (*), z = 10 – x. 
Em (**), Área = x(10 – x) = –x² + 10x. 
ATENÇÃO!!! 
Sendo área de um retângulo, x, medida de um dos lados, não 
pode ser negativo. Assim, x > 0. Pelo mesmo motivo z > 0. 
Como z = 10 – x, segue-se que 10 – x > 0  x < 10. 
Assim, área = f(x) = 10x – x² desde que 0 < x < 10. 
Paremos um pouco (já que o foco é MAIOR área). 
 
Uma função polinomial do segundo grau é do tipo f(x) = ax² + 
bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0. Como o foco deste material são as 
aplicações, vamos direto ao quadro resumo: 
 
Se o valor de “a” for... O gráfico é do tipo... E no VÉRTICE... 
POSITIVO  Temos MENOR valor 
NEGATIVO  Temos MAIOR valor 
 
Suas raízes, ou valores que anulam f(x), são 
 √ 
 
. 
Caso não recorde ou queira entender a demonstração, favor acessar site 
da editora. 
 No vértice, o gráfico tem simetria... 
 
 
 
 
 
 
 De volta ao problema da gripe das aves, f(x) = –x² + 10x. Ou 
seja, repare que a = –1, b = 10 e c = 0. Sendo a < 0, temos MAIOR 
valor. Entendendo, queremos o xv. Daí, 
 
 
 
 
 ( )
 
 Logo, z = 10 – x = 10 – 5 = 5. 
Concluímos que o retângulo de maior área com perímetro 
constante (dado) é um quadrado. 
 
EXEMPLO II – Caso um dos lados do aviário fosse uma longa parede 
retilínea... quais as medidas do retângulo de maior área? 
Solução: 
21 
 
Neste caso, seja x as medidas dos lados perpendiculares à parede 
e considere z a medida do lado paralelo à parede. Assim, z + 2x = 20 
(pois não será usada tela na parede). 
Área = xz = x(20 – 2x) = –2x² + 20x, com 0 < x < 10 (mesmo 
domínio?). 
Maior área... xv = –20/2(–2) = 5... e z = 20 – 2x = 20 – 2.(5) = 
10. 
 
Vamos dialogar... descreva o passo a passo deste exemplo, 
comparando com as etapas indicadas no Exemplo I. 
 
EXEMPLO III – O exemplo a seguir está atrelado às aplicações do 
Cálculo para Economia (Leithold é principal referencial usado, mas tal 
exemplo pode ser encontrado nos demais livros aqui indicados). 
 
Função Demanda  É a função que a todo preço p associa a demanda 
ou procura de mercado ao preço p é denominada função demanda ou 
função procura de mercado da utilidade no período considerado. A 
representação gráfica desta função constitui a curva de demanda ou de 
procura da utilidade. A quantidade procurada (demanda) de uma 
mercadoria é função (em geral LINEAR) do preço: q = f(p). 
Se Linear, q = f(p)= ap + b. 
 
Função Custo Total  Considere q a quantidade produzida de um 
produto (em vez do x tradicional). O custo total depende de q e de 
custos fixos (como encargos). O Custo Total (dado por CT) é a soma 
desses custos, CT = CF + q.Cv onde CF é o custo fixo e Cv é o custo 
variável atrelado à quantidade produzida. 
 
Função Receita Total  Admitindo que sejam vendidas q unidades do 
produto, o ganho (ou receita) de vendas depende de q e a função que 
relaciona receita com quantidade é chamada função receita (denotada 
por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a 
quantidade demandada. A receita total pode ser expressa através da 
função R = q.p 
 
Por fim, a função lucro total (L) é a diferença entre a função receita e a 
função custo total, L = R - CT 
 
22 
 
Aplicação: O dono de uma tapiocaria verificou que, quando o preço 
unitário de cada tapioca era de R$ 10,00 o número de tapiocas 
vendidas era 150 por semana. Verificou também que, quando preço 
passava para R$ 8,00, a quantidade vendida era de 200 unidades. 
Considere o custo de uma tapioca de R$ 6,00. Determine: 
A. A função demanda; 
B. A função Receita; 
C. A função Lucro; 
D. Qual é a quantidade vendida que maximiza o lucro semanal. 
E. Qual o lucro máximo da tapiocaria? 
F. Qual o preço que maximiza o lucro? 
 
Solução: 
Função DEMANDA. 
Temos q = f(p) = ap + b, onde “a” e “b” são reais, e a ≠ 0. 
Da informação “preço R$ 10,00 com venda (demanda) de 150”, 
temos: 150 = 10a + b (1). 
 Idem para “preço passava para R$ 8,00, a quantidade vendida 
era de 200” implica 200 = 8a + b (2). 
 Assim, de (1) b = 150 – 10a 
 Substituindo em (2), 200 = 8a + (150 – 10a) = –2a + 150. 
Organizando, 200 – 150 = –2a  –2a = 50  a = –25 
Assim, b = 150 – 10(–25) = 150 + 250 = 400. 
Por conseguinte, q = –25p + 400. 
Ou 25p = 400 – q  p = –0,04q + 16 
 
Função RECEITA (em função de q... mas pode ser em função de p...) 
 R = pq = q(–0,04q + 16) = –0,04q² + 16q 
 
Função LUCRO 
 L = R – CT = –0,04q² + 16q – 6q 
Obs.: 6q é o custo de R$ 6,00 de cada tapioca. 
 Assim, L = –0,04q² + 10q 
 
Maximização do LUCRO 
 Como L = aq² + bq + c (lembre-se, podemos usar q em vez de 
x...). 
 Como a < 0, tem-se MAIOR. 
 Observe que, neste caso, a = –0,04, b = 10 e c = 0. 
23 
 
 E o maior está no vértice: 
 
 
 
 
 ( )
 
 
Lucro MÁXIMO 
 Basta substituir na fórmula do lucro o “q” que maximiza. Ou 
seja, 
 L = –0,04q² + 10q = –0,04(125)² + 10.(125) = –625 + 1250 = 
625. 
Lembre-se... lucro por semana! 
 
Preço que maximiza lucro: 
 p = –0,04q + 16 = –0,04(125) + 16 = –5 + 16 = 11 
 
O que podemos inferir? 
 
Agora é sua vez... 
 
Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 
720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de 
frangos era dada pela relação V(x) = ax² + b, onde V(x) é o número 
de elementos vivos no tempo x (meses). Sabendo-se que o último 
frango morreu quando x = 12 meses após o início da experiência, 
qual a quantidade de frangos que ainda estavam vivos no 10 mês? 
 
4º. Passo: Função Exponencial 
 
 Comecemos com o “agora é sua vez”... 
 
Para iniciar resolução, reflita: Qual sua idade, em anos, no ano que 
você nasceu? 
... 
A minha era zero... E a sua também! 
Assim, quando no enunciado fala-se que INICIALMENTE havia 
720 frangos, segue-se que V(0) = 720. 
Deste modo, V(0) = a(0)² + b = b .: b = 720. 
Se o último morreu no 12º mês... então V(12) = 0. 
Desta feita, V(12) = a(12)² + 720 = 0  a.144 = –720  a = –5. 
Por conseguinte, V(x) = –5x² + 720. 
Por fim, V(10) = –5.(10)² + 720 = 220. 
24 
 
Para introduzir o assunto função exponencial, considere a 
seguinte atividade: 
Segredo das matrizes 
As tabelas, ou matrizes, que serão apresentadas, indicam um 
jogo (podem ser adaptadas para pessoas com deficiência visual...). 
Antes, vale ressaltar que todo e qualquer número natural pode ser 
decomposto como somas de potências do número 2. 
1. Lembremos que: 
 1 = 2
0
; 
 2 = 2
1
; 
 4 = 2
2
; 
 8 = 2
3
; 
 16 = 2
4
. 
E, generalizando, 2
n
 = 2 x 2 x ... x 2 (produto do 2 por ele 
mesmo n-vezes, sendo n um número natural). 
2. Assim, para escrever um número natural qualquer como soma 
de potências de base 2, basta inicialmente observar qual a 
potência mais próxima do número, sendo menor que este. 
Acompanhe os exemplos: 
a. Número 9. Como 9 > 8, vamos retirar este número. Daí, 
temos que 9 – 8 = 1. Sendo 1 = 2
0
, segue-se que 9 = 1 + 8 
(2
0
 + 2
3
). 
b. Número 23. Temos que 25 = 32 > 23. Como 24 = 16 < 23, 
fazemos a diferença entre 23 e 16. 23 – 16 = 7. Agora, 
temos o número 7. Percebemos que 7 < 8 (= 2
3
), bem 
como 7 > 4 (= 2
2
). Daí, fazendo a diferença, 7 – 4 = 3. 
Notemos que 3 > 2 (= 2
1
). Realizamos a diferença entre 3 
e 2, 3 – 2 = 1. Assim, “reconstruímos” 23 = 16 + 4 + 2 + 
1 (soma dos números retirados). 
Exemplos gerais: 
a) 81  81 – 64 = 17  17 – 16 = 1  
81 = 64 + 16 + 1. 
b) 62  62 – 32 = 30  30 – 16 = 14  
14 – 8 = 6  6 – 4 = 2  
62 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 
. 
Como podemos “explorar” matematicamente o segredo das matrizes? 
25 
 
 Potências de base dois. Você, caro leitor ou prezada leitora, 
pode dar uma folha de papel para uma criança (ou pessoa) e 
pedir que dobre a folha ao meio. Vale lembrar que dobrar é 
igual a multiplicar. Realizando três dobras, por exemplo, 
teremos 2 x 2 x 2 = 8 retângulos. 
 
Continue seguindo a “lei de formação”. Para a terceira dobra, 
deixe o papel dobrado no tamanho do menor retângulo e dobre-o ao 
meio. Abrir e contar para verificar que existem oito retângulos. Observe 
que a área de cada retângulo pequeno é igual a área do papel (retângulo 
grande) dividida por W = 2
n
, onde n é o número de dobras. 
 Outra utilidade matemática desta brincadeira: figuras 
semelhantes. Perceba uma situação-problema: quantas 
cerâmicas de 20cm por 30cm são necessárias para cobrir um 
piso de 8m por 12m? 
 Neste exemplo, o piso é como se fosse o papel. As cerâmicas 
podem ser comparadas às dobras. Assim, quantas dobras são 
necessárias? 
 Da observação anterior, Área Papel (Área Piso) = Área 
retângulo pequeno (cerâmica) x W(número de cerâmicas). 
Logo, 
 Número de cerâmicas =
 
 
 
 
 
 . 
 Lembre-se que 1 m = 100 cm... daí, 8m = 800cm e 12m = 
1.200cm 
Agora, observe as seguintes tabelas: 
 
01 05 09 
15 Tabela A 07 
13 11 03 
 
02 14 15 
07 Tabela B 03 
10 11 06 
 
05 04 06 
13 Tabela C 07 
14 12 15 
26 
 
 
09 08 15 
10 Tabela D 11 
13 14 12 
 
Vamos adivinhar números pensados? Nas tabelas acima estão 
dispostos números de 01 a 15. Escolha um número de, 01 a 15, e 
escreva em um pedaço de papel à parte (para garantir credibilidade!). 
Em quais tabelas se encontra o número? Observe atentamente... 
 Caso você diga que o número está nas tabelas C e D, o número 
em questão é o número 12. Caso esteja apenas em B, o número é o 02. 
 Qual o segredo? 
Você lembra que todo e qualquer número natural pode ser 
decomposto em uma soma de potências de base dois... pois bem, neste 
caso, o maior número é 15 e 15 = 1 + 2 + 4 + 8 (quatro números e 
quatro tabelas). 
 
01 05 09 
15 Tabela A 07 
13 11 03 
 
02 14 15 
07 Tabela B 03 
10 11 06 
 
04 05 06 
13 Tabela C 07 
14 12 15 
 
08 09 15 
10 Tabela D 11 
13 14 12 
 
 Repare que estes números foram colocados no canto superior 
esquerdo de cada tabela. Mas você pode colocar em qualquer posição 
de sua preferência. Como é que as tabelas foram sendo completadas? 
Com raciocínio inverso às atividades anteriores... 
 Número 1, fica na tabela A; 
27 
 
 Número 2, fica na tabela B; 
 Número 3 = 1 + 2, fica nas tabelas A e B; 
 Número 4, fica na tabela C; 
 Número 5 = 1 + 4, fica nas tabelas A e C; 
 Número 6 = 2 + 4, fica nas tabelas B e C; 
 ... 
 Número 8, fica na tabela D; 
 Número 16, fica na tabela E; 
 Número 18 = 2 + 16, ficanas tabelas B e E; 
 Número 21 = 1 + 4 + 16, fica nas tabelas A, C e E. 
 
Está clara a ideia? Em quais tabelas devemos colocar o número 
13? Como 13 é igual a 1 + 4 +8, deve ser colocado nas tabelas A, C e 
D. 
Caso queiramos números maiores, como devemos proceder? 
Bem, a próxima potência de base dois maior que 8 é 16, a próxima 
maior que 16 é 32, e assim sucessivamente. No caso de querermos seis 
tabelas, como 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63. Fazemos uma seis tabela e 
o número a ser escolhido deve estar entre 01 e 63. 
Quantas linhas e colunas devemos ter? Bem, na tabela A devem 
ser colocados todos os números ímpares... 
 Entre 01 e 31, incluindo os extremos, há 16 números. Daí 
optamos, por estética, em quatro linha e quatro colunas. 
Podiam ter sido duas linhas e oito colunas (compare com jogo 
dos pontinhos para saber número de linhas e de colunas). 
 Entre 01 e 63, incluindo os extremos, há quantos números? 
São eles, 01, 03, 05, ..., 59, 61 e 63. Logo, são 32 os números. 
Podemos formar tabelas com quatro linhas e oito colunas (ou 
uma escolha sua, tente...) 
Assim, formamos “aleatoriamente” 
 Já não vamos construir tabelas para uma escolha entre 01 e 123, 
incluindo os extremos. Todavia, ao fazer as sete tabelas, se uma pessoa 
disser que o número escolhido está nas tabelas A, C e G, garanto que o 
número em questão é 69. Com efeito... 
 A  1 = 20; 
 B  2 = 21; 
 C  4 = 22; 
 D  8 = 23; 
28 
 
 E  16 = 24; 
 F  32 = 25; 
 G  64 = 26; 
“Basta” somar... A (1) + C (4) + G (64) = 69. 
 
 No exemplo apresentado trabalhamos com 2
x
, sendo x um 
número natural. Outros exemplos estão relacionados diretamente com a 
função exponencial, como é o caso do Montante (M ou Cn) de uma 
capital inicial (C) aplicado durante n períodos a uma taxa i 
(correspondente ao período, isto é, se período mensal a taxa é mensal, 
etc), no sistema de juros compostos. 
 Com efeito, supondo aplicação mensal, com taxa i (mensal). 
 Após um período, C1 = C + iC. 
 Após dois períodos, C2 = C1 + iC1. 
Após três períodos, C3 = C2 + iC2 
... 
Após n períodos, Cn = Cn-1 + iCn-1 
Organizando a escrita em função de C, i e n, temos (por 
percepção): 
C1 = C + iC = C(1 + i) 
C2 = C1 + iC1 = C1(1 + i), substituindo C1 por C(1 + i), temos 
que C2 = C(1 + i)(1 + i). Se, para facilitar “visualização” x = 1 + i, 
então (1 + i)(1 + i) = x.x = x². Por conseguinte, C2 = C(1 + i)². 
Analogamente seguem demais construções, até: Cn = C(1 + i)
n
 
 
No caso da taxa conhecida, seja k = 1 + i, daí, temos k
n
... Por sua 
vez, podemos trabalhar com subunidades de períodos, entendendo, 
você pode fazer uma aplicação com taxa anual sendo a 
capitalização mensal... 
 
Definimos... 
 tal que f(x) = k
x
, com k > 0 e k ≠ 1. 
 
Exemplos: 
1) Sejam f(x) = 2x e g(x) = (2/3)x. Complete a tabela: 
x = -10 -5 -1 0 1 5 10 
f(x) = 
g(x) = 
 
29 
 
2) Generalizando... o que podemos concluir em relação à função 
f(x) = k
x
 no caso de x ser muito grande, por exemplo 100 ou 
1000 para: 
(a) k > 1 e 
(b) 0 < k < 1? 
 
3) Qual deve ser valor de x tal que f(x) = 3x seja igual a 
0,037037... 
 
Resolvendo... 
1) Basta substituir os valores de x. Para f(x) quando x for 5, f(5) 
= 2
5
 = 32. Idem para g(-5) = .
 
 
/
 
 
 
.
 
 
/
 
 
 
 
 
 
 
. 
Lembrando que a
-1 
 = 1/a. 
2) Note que: 1 < k, ao serem multiplicados ambos os membros da 
desigualdade por k, temos: k < k². Repetindo raciocínio, k² < 
k³. fazendo-o sucessivamente, a expressão aumenta. Logo, se x 
for muito grande (em breve apresentaremos um símbolo e um 
conjunto de aplicações para tal situação), k
x
 também é muito 
grande (k > 1). 
Agora, sendo 0 < k < 1  0 < k² < k  0 < k³ < k² (repetindo 
ideia de multiplicar, sucessivamente, ambos os membros da 
desigualdade por k). Logo, x muito grande implica k
x
 cada vez 
mais próximo de zero. Faça o teste com calculadora... 
3) Temos uma dízima periódica 0,037037... 
Como é repetição a cada três termos, basta dividir por 999. 
Com efeito, se fosse 0,kkk... 
Supor y = 0,kkk... 
Daí, 10y = k,kkk... (lembre-se, são infinitos ks após vírgula). 
Assim, 10y – y = k,kkk... – 0,kkk...  9y = k .: y = k/9. 
Por exemplo, 0,222... = 2/9. 
Se fosse 0,ababab... 
Considere u = 0,ababab... 
Como são dois que se repetem, 100u = ab,abab... 
Fazendo a diferença: 100u – u = ab,abab... – 0,abab... 
Por conseguinte, 99u = ab  u = ab/99 
Exemplo, 0,313131... = 31/99 – use uma calculadora para 
verificar! 
30 
 
 
Por fim, 
 
 
. Simplificando, 37/999 = 1/27 = 
1/3³ = 3
-3
 
Logo, f(x) = 3
x
 = 3
-3
  x = –3 
Agora é sua vez... 
Uma planta tem a seguinte característica: a cada dia que passa a 
área de superfície de um lago por ela ocupada dobra. Se em 53 dias 
toda a superfície do lago será ocupada por esta planta, quantos dias 
são necessários para cobrir metade do lago? 
 
5º. Passo: Função Exponencial x Função Logarítmica 
 Desta vez não iniciaremos resolvendo o desafio do último passo. 
Motivo: apresentaremos a inversa da função exponencial. 
Como questão norteadora, considere a seguinte situação: 
Estimava-se que a população da Terra cresceria exponencialmente, 
isto é, a taxa de crescimento populacional é proporcional à população 
presente em dado instante, conforme a função P(x) = Be
kx
, onde B é a 
população inicialmente observada, k é chamada constante de 
proporcionalidade e x é o tempo (em anos). Qual seria a população da 
Terra em 2025, conforme tal modelo, se em 1975 havia cerca de 4 
bilhões de habitantes, e, em 2000, essa era de 6 bilhões? 
Este problema será resolvido no assunto “derivação”. Está aqui 
apresentado porque “ser proporcional a” não significa ser sempre uma 
variação linear (como em regras de três). O número “e” também será 
trabalhado, com maiores riquezas de detalhes, em tópicos futuros. 
O importante é, por enquanto, observar a existência de outras 
funções do tipo f(x) = k
x
, desde que k... 
Considere o problema: Aplicando um capital C a uma taxa de 
juros de 10% ao mês, após quantos meses esse capital dobrará? 
De Cn = C(1 + i)
n
 queremos saber o valor de n tal que Cn = 2C 
(dobrar valor do capital...). Ou seja, 2C = C(1 + 0,1)
n
. Lembrar i = 10% 
= 10/100 = 0,1. Assim, 2 = 1,1
n
. Como obter n? 
Aí, torna-se necessária a inversa da função exponencial
2
... 
 
2 Deixaremos para você, nobre leitor(a), a investigação do domínio da função 
logarítmica... Usaremos linguagem informal para melhor compreensão, todavia, não 
“facilitaremos” no rigor matemático 
31 
 
Onde: log 
Ou seja, x, outrora aplicado, fica isolado e y, antes isolado, fica 
aplicado. A base k... permanece base. 
 Quando k = 10, escrevemos simplesmente logy. 
 Alguns exemplos: Se a = log100 e b = log1000, então quanto 
vale a soma: a + b? 
 Se a = log100 é porque 10
a
 = 100. Como 100 = 10², temos 10
a
 = 
10² e, por conseguinte, a = 2. Por analogia (verifiquem!) b = 3. Logo, 
segue-se que a + b = 5. Como estamos trabalhando com potências... a + 
b = log10
5
 = log10².10³... 
 
Propriedades principais: 
(1) No produto de potências de mesma base, repetimos a base e 
somamos os expoentes: . Como o logaritmo é a 
inversa, segue-se que logA + logB = logAB – isto é, ao somar 
dois logaritmos de mesma base, o resultado é o logaritmo do 
produto de A por B. 
(2) De tem-se o equivalente logA – logB = logA/B 
(3) log e log1 = 0 
 
Alguns exercícios: 
1ª. Questão 
Qual valor de x tal que 2 = 1,1
x
? 
Solução 
Aplicando “log” em ambos os membros da igualdade: log2 = 
log(1,1)
x
. Usando a propriedade (3), log2 = x.log1,1. Assim, com base 
em calculadoras, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão 
Em Química, o pH de uma solução é definido como o logaritmo 
decimal do inverso da respectiva concentração de H3O
+
. Sabendo-seque o cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O
+ 
é 
4,8. 10 
-8 
mol/l. Qual será o pH desse líquido? 
Solução 
Aplicação direta do conceito: log .
 
 
/ 
log.
 
 
/ 
 
32 
 
3ª. Questão 
 A escala Ritcher foi inicialmente destinada a estudar apenas os sismos 
com origem numa área específica do sul da Califórnia cujos 
sismogramas eram recolhidos por sismógrafos de torção do tipo Wood-
Anderson. Utilizando valores facilmente medidos sobre o registo 
gráfico do sismógrafo o valor é calculado usando a seguinte equação: 
 log( ) 4
 
 
5 
Onde: 
 A = amplitude das ondas sísmicas, em milímetros, medida 
diretamente no sismograma. 
 x = tempo, em segundos, desde o início do trem de ondas P 
(primárias) até à chegada das ondas S (secundárias). 
 M = magnitude arbitrária, mas constante, aplicável a sismos 
que libertem a mesma quantidade de energia. 
Qual a magnitude de um terremoto se A = 10
6 
e x = 3 (desafio: 
procurar as magnitudes dos maiores terremotos registrados!) 
Solução: 
Aplicação direta: .
 
 
/ .
 
 
/ 
 
4ª. Questão 
Q = Q0.e
-kt
 representa a taxa de decaimento de uma substância 
radioativa. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se 
desintegra a uma taxa de 5% (k = 0,05) ao ano. (Meia-vida é o tempo 
que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de 
uma substância radioativa se desintegre) 
Solução: 
Pela “meia-vida” Q = Qo/2. Assim, Qo/2 = Q0.e
-.0,05t
 
Observação: o logaritmo de base “e” é chamado logaritmo 
natural e é indicado por “ln”. 
 De volta ao problema: ½ = e
-0,05t
. 
Pela definição de logaritmo, –0,05t = ln(1/2) 
Daí, 
 .
 
 
/
 
 
( )
 
 
 
Agora é sua vez... 
Se P(x) = Be
kx
, com P(0) = 4 e P(25) = 6, qual o valor de P(50)? – 
este é o problema inicial deste tópico. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sism%C3%B3grafo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tor%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wood-Anderson
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wood-Anderson
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_s%C3%ADsmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%ADmetro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sismograma
https://pt.wikipedia.org/wiki/Segundo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_s%C3%ADsmica
33 
 
6º. Passo: Funções trigonométricas 
 
Você lembra o que é um triângulo retângulo? 
Desenhe um triângulo retângulo de 
hipotenusa a e catetos b e c. Seja x 
ângulo oposto ao cateto de medida b 
Relações: 
 
Teor. Pitágoras: 
a² = b² + c² 
sen(x) = b/a e 
cos(x) = c/a 
Rel. fund. Trigonometria: 
sen²(x) + cos²(x) = 1 
Tg²(x) + 1 = sec²(x) (#) 
Ctg²(x) + 1 = csc²(x) (##) 
Notas: 
 tangente de x, 
 
 
 , também usamos tagx 
 cotangente de x, 
 
 
, também indicada por ctgx 
 secante de x, 
 
 
 
 co-secante de x, 
 
 
 , também denotada por cossecx 
 (#) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, membro a 
membro, por cos²(x). 
 (##) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, membro a 
membro, por sen²(x). 
 ( ) ( )cos ( ) ( )cos ( ) 
 cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) 
 
Obs.: No CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO o eixo dos “x” corresponde 
ao eixo dos cossenos e o eixo dos “y” ao eixo dos senos. Onde ficam a 
secante, a tangente? Considere figura, sendo Ѳ o ângulo (para evitar 
confusão com o x e o y usados anteriormente). 
 Descrevendo a figura: imagine um prato plástico circular. Traçar 
dois diâmetros (segmentos de reta que passam pelo centro do prato) que 
sejam perpendiculares entre si. A partir do centro considere um 
segmento como eixo X e o outro como eixo Y. 
 O ângulo, lembrando, é dado no sentido anti-horário. Faça uma 
marcação qualquer na borda do prato. Chamar P tal ponto. Sendo 
circunferência de raio unitário (por quê?), segue-se figura: 
34 
 
 
Obs2.: Daí, as demais...por qual motivo? Vamos investigar? 
 
Principais Ângulos: 
Interessante relembrar como são obtidos. Entendendo. Dada uma folha 
no formato de um quadrado, onde sabemos que todos os lados possuem 
a mesma medida e todos os ângulos internos também, e iguais a 90º, 
unindo-se dois vértices opostos, geramos um triângulo retângulo e 
isósceles, cujos ângulos agudos valem, cada um, 45º. Se L é a medida 
de cada lado, a hipotenusa, por Pitágoras, vale √ ... 30º e 60º estão 
atrelados ao juntar dois vértices de um triângulo equilátero... 
 
Ângulo (grau e 
radianos) 
Seno Cosseno Tangente 
0
o
 = 0 0 1 0 
30º = π/6 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
45º = π/4 
√ 
 
 
√ 
 
 1 
60º = π/3 
√ 
 
 
 
 
 √ 
90º = π/2 1 0 Não existe! 
 
Aplicações: 
Encontre, se possível: sen(120º); cos(75º); tg(3π/2). 
Obs.: Há várias maneiras! Apresentamos uma! É interessante rever 
outras... 
Solução: 
 Para sen(120º) podemos pensar em 120º = 30º + 90º ou 60º + 60º 
ou 150º - 30º (Ops! Não determinamos, ainda, o 150º!!!). 
35 
 
Consideremos: ( ) ( ) 
Desenvolvendo, ( ) cos( ) ( ) ( ) 
Pela tabela, substituindo valores, ( ) 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
Para cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) 
 ( ) ( ) 
Daí, cos( ) 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ √ 
 
 
 
Por fim, caso queira, como π = 180º, segue-se que 3π/2 = 
(3/2).(180º) = 270º. Ou seja, no círculo trigonométrico estamos sob o 
eixo dos “y”, que corresponde ao eixo dos seno, abaixo da origem. 
Assim, .
 
 
/ 
 .
 
 
/
 .
 
 
/
 
 
 
 ( ) 
(...) 
A função seno associa a cada número real x o seu seno, f(x) = 
senx. Tem sinal positivo nos 1º e 2º quadrantes, e é negativo nos 3º e 4º 
quadrantes. 
Como, em módulo, o maior valor que assume é um, segue-se 
que sua imagem é [-1, 1], ao passo que não há restrições em seu 
domínio. O gráfico da função seno é representado pelo intervalo 
denominado senóide 
 Oportunamente faremos esboço de gráficos. Assim sendo, 
focaremos aplicações no assunto “derivadas”, principalmente as 
“equações de ondas”. 
 No tópico anterior abordamos a inversa da exponencial. Pois 
bem, quem é a inversa da função seno? 
Lembrando que uma função f, em determinado domínio, SÓ 
possui inversa se, e somente se, f for bijetora, por este motivo nem todas 
as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de 
definição. TODAVIA, podemos trabalhar com subconjuntos dos 
respectivos domínios para gerar novas função que possuam inversas. 
Restringiremos o domínio da função f(x) = sen(x), com domínio 
no intervalo [π/2,π/2] e imagem no intervalo [1,1]. Por qual motivo? 
Quando iniciarmos o tópico sobre esboço de gráficos melhor 
entenderemos. Desta feita, a função inversa de f, denominada arco cujo 
36 
 
seno, denotada por f
-1
(x) = arcsen(x) é assim definida: por f
-1
:[ 1,1]  
[π/2,π/2] 
Traduzindo... quem é o arcsen(1/2)? A ideia básica é saber qual 
o PRIMEIRO ângulo cujo seno vale ½. No caso 30º. 
 
Determine: (a) arctg(1); (b) arcsec(√ ) e (c) arccos(0). 
Solução: 
Para arccos(0). Qual o primeiro ângulo cujo cosseno vale zero? 
Resposta: 90º ou π/2. Logo, arccos(0) = 0. Em relação ao arctg(1), qual 
o primeiro ângulo cuja tangente vale 1? Resposta: 45º ou π/4. Por fim, 
para arcsec(√ ), devemos saber qual primeiro ângulo cuja secante vale 
√ Isto é, √ 
 
 
 √ 
 
√ 
 
√ 
 
. Ou seja, o 
primeiro ângulo cujo cosseno é √ é 45º ou π/4 
Agora é sua vez.... 
Determine: (a) arctg(√ ); (b) arcsen(
√ 
 
) e (c) arccos(1/2). 
 
7º. Passo: Exercícios... 
 
Exercícios... Primeiro tente resolver, em seguida, degustar a 
solução, pois o saber tem que ter sabor. Isto é, compreender a 
“essência”. 
 
(1) Como se lê: (a + b)²? E, como se lê: a + b²? 
(2) Onde está o erro no desenvolvimento do 1 = 1, apresentado 
no início deste tópico? 
(3) Assim como 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 √ 
 , segue-se que qualquer número 
dividido por ele mesmo é igual a “1”. 
(4) Uma criançaargumentou que se tem uma laranja e não vai 
dividir com ninguém, então sobra a laranja. Idem se forem 
duas ou três laranjas... Escreveu, para ilustrar seus 
pensamentos, os seguintes símbolos: 
 
 
 
 
 
 E agora? 
Podemos argumentar que 1 dividido por 0 é igual a 1? 
(5) Qual o valor de x tal |3x – 5| > 7? 
(6) Determine o maior valor de f(x) = 4 – 9x². 
(7) Se f(x) = 2x, qual valor de f(-3)? Quem é x tal que f(x) = 128? 
37 
 
(8) Seja f(x) com a seguinte lei de formação: f(a + b) = f(a).f(b), 
para quaisquer “a” e “b” reais. Sabendo que f(1) = 3, encontre 
f(10). 
(9) Se uma planta tem a seguinte característica: a cada dia que 
passa a área de superfície de um lago por ela ocupada dobra. 
Se em 53 dias toda a superfície do lago será ocupada por esta 
planta, quantos dias são necessários para cobrir metade do 
lago? 
(10) Se P(x) = Bekx, com P(0) = 4 e P(25) = 6, qual o valor de P(50)? 
(11) Qual valor de arcsen(1)? 
(12) Qual o cos(105º)? 
(13) Escreva f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) em função de suas raízes x1 e 
x2. 
 
Soluções... 
1ª. Questão: Chamando c de a + b, então a + b ao quadrado é igual a c 
ao quadrado, ou quadrado de lado c. Assim (a + b)² é quadrado da 
soma de “a” com “b” e a + b² é lida como a soma de “a” com o 
quadrado de “b”. Pode parecer sem sentido esta questão, mas o foco 
está na interpretação geométrica. 
Entendendo: a = a x 1 pode ser comparada com um retângulo de 
área “a” e lados com medidas iguais a “a” e “1”. 
 
2ª. Questão: Só faz sentido 
 
 ⁄ √ 
 
 se a > 0. Logo... 
 
3ª. Questão: Quanto vale 12 dividido por 4? Resposta “3”. Por quê? 
Porque 3 x 4 = 12. Ou seja, 
 
 
 . Se b ≠ 0, tudo 
tranquilo! Todavia, se b = 0, segue-se que 0 x c = 0, qualquer que seja 
c. Desta feita, se a ≠ 0, segue-se que é IMPOSSÍVEL 
 
 
. 
Enfim, respondendo ao problema, 
 
 
 se a ≠ 0. Em outras palavras, 
como não posso determinar o valor de “a” em a x 0 = 0, segue-se que 
há uma INDETERMINAÇÃO. Verifique! 0 x 2 = 0; 0 x ½ = 0, 0 x 0 = 
0... 
Finalmente, qualquer número dividido por ele mesmo é igual a “1” 
desde que o número seja DIFERENTE de ZERO! 
 
4ª. Questão: Vide a 3ª. 
38 
 
 
5ª. Questão: Sabemos que | u | > a  u < a ou u > a. 
Assim, consideremos u = 3x – 5. Daí: 
 3x – 5 < 7  3x < 5 – 7  x < 2/3 
 3x – 5 > 7  3x > 7 + 5  3x > 12  x > 4. 
 
6ª. Questão: O maior valor está no vértice. 
Lembre-se, comparando f(x) = ax² + bx + c, com a expressão 
f(x) = 4 – 9x², segue-se: a = 9, b = 0 e c = 4. Logo, 
 
 ( )
 e 
o yv = f(xv) = f(0) = 4. 
 
7ª. Questão: Substituir x por 3: f(3) = 2
-3
 = ½³ = 1/8. 
Para saber o valor de x tal que f(x) = 128, vamos “fatorar” o 128, 
encontramos 128 = 2
7
. Assim, 2
x
 = 2
7
  x = 7. 
 
8ª. Questão: O objetivo desta questão é instigar a “construção do 
problema”. Queremos f(10) e conhecemos f(1). Há a informação f(a + 
b) = f(a).f(b). 
Algo nos impede de supor a = 1 E b = 1? Por quê? Porque é a 
única informação que dispomos. Assim, f(1 + 1) = f(1).f(1)  f(2) = 
[f(1)]² = 3² = 9. 
Legal, temos f(2). Agora, vamos “construir” o f(3). 
Como 3 = 1 + 2, f(3) = f(1 + 2) = f(1).f(2) = 3.3² = 3³ = 27. 
Interessante, f(4) = f(3 + 1) = f(3).f(1) = 3³.3 = 3
4
. 
... 
Ou seja, f(1) = 3
1
, f(2) = 3
2
, f(3) = 3
3
... Podemos intuir (na 
verdade, o ideal é induzir matematicamente, mas este procedimento, 
INDUÇÃO FINITA, será evitado nesta obra, pois o foco é a 
compreensão da essência... em outras palavras, Cálculo para quem não 
gosta, mas precisa) que f(10) = 3
10 
 
9ª. Questão: Vamos supor que inicialmente a área seja x. Assim, no 
segundo dia a área será 2.x. Terceiro dia = 2(2x) = 4x – dobra a nova 
área... compare com o material “segredo das matrizes” que usamos 
para motivação da função exponencial. Quarto dia = 2(4x)= 8x ... 
interessante, “x” está fixa ao passo que há variação no coeficiente, que 
são múltiplos (no caso, potências do 2). 
 1º dia  Área ocupada = 1.x = 20x (lembre-se, 20 = 1) 
39 
 
 2º dia  Área ocupada = 2.x = 21x 
 3º dia  Área ocupada = 4.x = 2²x 
 4º dia  Área ocupada = 8.x = 2³x 
Podemos perceber que o expoente do “2” para um determinado 
dia “n” é igual a “n – 1”. Confere?Assim, f(n) = 2
n – 1
x, onde f(n) 
representa a área ocupada no “n-ésimo” dia. 
Área toda ocupada em 53 dias... f(53) = 2
52
x. 
Quantos dias tinha a metade, isto é, quem é n tal que f(n) = 
(2
52
x)/2 = 2
51
x? 
Assim, 2
n – 1
x = 2
51
x  2
n – 1
 = 2
51
  n – 1 = 51  n = 52 
Há outras maneiras de argumentar esta questão... 
 
10ª. Questão: P(50) = Be
50k
. Falta descobrir quem são B e k. 
De P(0) = 4  4 = Be
0.k
 = Be
0
 = B.1 = B .: B = 4. 
De P(25) = 6  6 = 4e
25k
  6/4 = e
25k
  e
25k
 = 1,5  25k = ln(1,5)... 
Podemos desenvolver... mas queremos e
50k
 = e
2.(25k)
 = (e
25k
)². 
Assim, P(50) = 4.(1,5)² = 9. 
 
11ª. Questão: Queremos saber qual o primeiro ângulo cujo seno é 1. 
No caso, 90º ou π/2. Deste modo, arcsen(1) = π/2. 
 
12ª. Questão: Como 105º = 60º + 45º (usando ângulos conhecidos), 
temos: 
cos( ) cos( )
 cos( ) cos( ) ( ) ( ) 
Consultando tabela (o ideal, é ter tais valores cravados em sua mente) 
cos( ) 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ √ 
 
 
√ 
 
( √ ) 
 
13ª Questão: Se x1 e x2 são as raízes, então podemos considerar 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
Reparemos que, manipulando-as: 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 √ √ (√ ) 
 
 
40 
 
Atenção ao uso dos sinais... ()x() = (+) e ()x(+) = ()... como 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, ( ) . 
 
 
 
 
 
/ ( ) 
Ainda não está muito simplificada a escrita, embora já tenhamos 
resolvido o problema. Vamos simplificar mais... 
Provaremos que f(x) = ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2). Para 
tanto, basta desenvolver o lado direito da igualdade: 
 ( )( ) , ( ) ( )-
 , ( ) - 
Finalmente: 
 ( )( ) ( 
 ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Felicidade começa com Fé... Onde depositamos a nossa?
41 
 
2ª. LIÇÃO = LIMITES: DA VIVÊNCIA PRÁTICA À TEORIA 
1º. Passo: Introdução ao assunto... 
 
Imagine que um trecho de uma montanha russa
3
 seja 
aproximado pela função f(t) = sen(t), onde t é o tempo e f(t) é a 
distância percorrida. A velocidade média, entre dois instantes 
consecutivos t2 e t1 é: 
 ( ) ( ) 
 
. 
Se então 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 Se 
(isto é, supondo um intervalo de tempo muito pequeno) temos que o 
quociente se aproxima de 0 dividido por 0, isto é: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 . 
Melhorando a escrita, se t1 = 0, então f(t1) = sen(0) = 0 e temos: 
 
 
 
 
 
. 
Paremos momentaneamente com esta função. 
Complete as tabelas dadas em relação à função ( ) 
 
 
 
. Por qual motivo este quociente? Em breve veremos 
aplicações envolvendo vertedouros de açudes (foco na razão entre o 
volume de água que passa em determinado tempo) ou fluxo sanguíneo 
na artéria ou intensidade de corrente elétrica em um instante... Não 
queremos pressionar... aliás, pressão é a relação entre uma 
determinada força e sua área de distribuição. 
Ok em relação à função do no numerador? Mas, por qual motivo 
o “1”. Está sendo usado como uma unidade. Entendendo, sua idade, em 
ano, no ano que você nasceu era zero. Todavia, você é alguém (deveras 
importante para sua família, vale ressaltar) é uma unidade! 
Deixando um pouco de lado o pensamento filosófico, note que x 
não pode ser igual a um senão zera o denominador. Todavia, x = 1 
também zera o numerador. E 0/0 é forma indeterminada. 
 E o que são formas indeterminadas? São expressões que podem 
assumir quaisquer valores. Por exemplo, sabemos que 12 / 4 = 3 porque 
12 = 4 x 3. Bem, se 0/0 =n, segue-se que o zero do numerador será o 
produto do zero do denominador pelo n. Assim, 0 = 0.n. Todavia, 
qualquer número multiplicado por zero dá... ZERO! 
 
3 Não só montanha russa, há estradas brasileiras, entre subidas e descidas que 
também podem aproximar-se da referida situação. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a
42 
 
Assim, vamos considerar valores próximos de um para as tabelas 
dadas. Entretanto, se x  1, segue-se que ou x < 1 ou que x > 1. Logo, 
vamos nos aproximar por ambos os lados. 
 
Valores próximos de “1”, sendo menores que este. 
X 0,5 0,9 0,95 0,99 
F(x) 
 
 Para facilitar a expressão podemos reescrever o numerador em 
função de suas raízes (pois “1” é raiz!). Para tanto, f(x) = ax² + bx + c 
fica na forma f(x) = a(x – x1)(x – x2). Vide 13ª questão da lição 
passada. 
 2x² + 3x – 5 = 2(x – x1)(x – x2), sendo x1 = 1, segue-se que, do 
produto das raízes (poderia ser da soma!) x1.x2 = -5/2  x2 = -5/2. 
Assim, 2x² + 3x – 5 = 2(x – 1)(x + 5/2) = (x – 1)(2x + 5) – favor 
verificar! 
Reescrevendo o quociente: ( ) 
 
 
 2x + 5. Ou seja, basta 
multiplicar cada valor por 2 e, em seguida, acrescentar 5. 
 
Valores próximos de “1”, sendo maiores que este. 
X 1,5 1,1 1,05 1,01 
F(x) 
 
 Completando, primeiro vamos tentar antes de conferir... 
 
Valores próximos de “1”, sendo menores que este. 
X 0,5 0,9 0,95 0,99 
F(x) 6,00 6,80 6,90 6,98 
E 
Valores próximos de “1”, sendo maiores que este. 
X 1,5 1,1 1,05 1,01 
F(x) 8,00 7,20 7,10 7,02 
 
Podemos concluir que, quanto mais próximo de “1” estiver x, mais 
próximo de “7” está f(x). 
 Também percebemos que: 
Se x = 0,5, então a diferença 1 – x será igual a “0,5”. 
43 
 
Se x = 0,9, então a diferença 1 – x será igual a “0,1”. 
Se x = 0,95, então a diferença 1 – x será igual a “0,05”. 
Se x = 0,99, então a diferença 1 – x será igual a “0,01”. 
 
Também... 
 
Se x = 1,5, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,5”. 
Se x = 1,1, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,1”. 
Se x = 1,05, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,05”. 
Se x = 1,01, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,01”. 
 
 Vamos recordar a função módulo. A interpretação geométrica 
dela é a distância da origem até x. Assim sendo, é conveniente 
reescrever: 






0,
0,
)(
xx
xx
xf 
Traduzindo... a importância do módulo é deixar tudo positivo (o que se 
entende por este tudo? Reflita). 
 Note que: 
 | 1 – x | = 0,5, se x = 1,5 ou se x = 0,5. 
 | 1 – x | = 0,1, se x = 1,1 ou se x = 0,9. 
 | 1 – x | = 0,05, se x = 1,05 ou se x = 0,95. 
 | 1 – x | = 0,01, se x = 1,01 ou se x = 0,99. 
 
Bem como: 
 | 7 – f(x) | = 1,0, se x = 1,5 ou se x = 0,5. 
 | 7 – f(x) | = 0,2, se x = 1,1 ou se x = 0,9. 
 | 7 – f(x) | = 0,1, se x = 1,05 ou se x = 0,95. 
 | 7 – f(x) | = 0,02, se x = 1,01 ou se x = 0,99. 
 
Ou seja, para esta função dada notamos que, para um dado intervalo 
de x, o módulo da diferença entre “7” e “f(x)” é o dobro do módulo 
da diferença entre “1” e “x”... 
 
Definição: Seja uma função f definida em um intervalo aberto que 
contém o ponto “a”, exceto possivelmente no próprio ponto “a”, e seja 
“L” um número real. Então: 
lim
 
 ( ) 
44 
 
significa 
 | |
 ⇒ | ( ) | 
 
Interpretação: ao indicar |u| < v, isto significa que – v < u < v. 
Ou seja, | x – a | < d implica – d < x – a < d. Somando “a” em cada 
membro da desigualdade, a – d < x < a + d. 
Isto é, temos uma variação no intervalo ]a – d, a + d[. 
Traduzindo: Dada a existência de um intervalo no eixo x, em torno de 
“a”, há um intervalo no eixo y em torno de “L”. 
 
Próximo passo aprofundaremos mais a interpretação desta definição... 
 
Agora é sua vez... 
Complete as tabelas sendo ( ) 
 
 
 
 
Valores próximos de “1”, sendo menores que este. 
X 0,5 0,9 0,95 0,99 
F(x) 
E 
Valores próximos de “1”, sendo maiores que este. 
X 1,5 1,1 1,05 1,01 
F(x) 
 
2º. Passo: Exercícios... 
 
 Iniciaremos indicando que sendo ( ) 
 
 
 unção 
está cada vez mais próxima de “17” quando x se aproxima de “1” e 
notamos que, para um dado intervalo de x, o módulo da diferença 
entre “17” e “f(x)” é cinco vezes o módulo da diferença entre “1” e 
“x”... 
 Tal conclusão é retirada das tabelas... mas sempre precisaremos 
de tabelas para tratar de tais aproximações? Não. Para tanto, temos 
resultados. 
 Não é obrigatório “decorar” apenas entender o passo a passo das 
demonstrações. Com efeito, durante as argumentações atreladas à 
45 
 
justificativa (ou demonstração) de cada teorema, podemos estabelecer 
estratégias para a resolução de situações problemas. 
 
TEOREMAS SOBRE LIMITES 
 
(1). Se f(x) tem um limite quando x tende para a, então o limite é 
único. 
Prova: 
Suponha que possam haver dois valores para o limite, L e M. 
Queremos chegar em uma contradição! 
Supor que L < M e vamos escolher 
 
 
. Não obstante, 
considerar os intervalos abertos (L – , L + ) e (M – , M + ). Como 
 
 
 
 estes dois intervalos não se interceptam. 
Pela definição de limite, existe um tal que, sempre que x está 
no intervalo aberto (a - , a + ) e x ≠ a, então f(x) está no intervalo 
aberto (L – , L + ). 
Analogamente, existe um tal que, sempre que x está no 
intervalo aberto (a - , a + ) e x ≠ a, então f(x) está no intervalo 
aberto (M – , M + ). 
 Supondo ainda < , se escolhermos um x que esteja 
simultaneamente nos intervalos (a - , a + ) e (a - , a + ), então 
f(x) estará simultaneamente em (L – , L + ) e (M – , M + ), 
contrariando o fato de que esses dois intervalos não se interceptam. 
 Logo, a suposição inicial é falsa! 
 
(2). Se existem ambos os limites ( ) e ( ), então: 
I. , ( ) ( )- ( ) ( ) 
II. , ( ) ( )- ( ) ( ) 
III. , ( ) ( )- ( ) 
 ( ) desde que ( ) 
 
Prova: 
Suponhamos que ( ) ( ) 
Item (I): 
Pela definição de limite, devemos mostrar que, para todo > 0, 
existe um > 0; 0 < | x – a | < então | [f(x) + g(x)] – (L + M) | < 
 
46 
 
Uma estratégia recorrente na matemática é “partir” de onde queremos 
“chegar” 
 
Comecemos por escrever 
| [f(x) + g(x)] – (L + M) | = | [f(x) – L] + [g(x) – M] | 
 
Utilizando a desigualdade triangular | b + c | < | b | + | c | segue-
se que: 
| [f(x) – L] + [g(x) – M] | < | f(x) – L| + |g(x) – M|. 
 
Na definição de limite temos “qualquer”. A ideia é, quanto 
menor o tamanho do intervalo, melhor! 
Assim, ( ) fica se 0 < | x – a | < então | f(x) – L | < 
(*) 
E, ( ) fica se 0 < | x – a | < então | g(x) – M | < 
(**) 
 
Seja o menor dos números , então, 0 < | x – a | < 
implica que as duas desigualdades anteriores são verdadeiras (*) e (**). 
 Por conseguinte, | [f(x) – L] + [g(x) – M] | < + = 
 
Item (II): 
Inicialmente, suponha que se h(x) é uma função tal que 
 ( ) então, , ( ) ( )- 
 ( ) fica se 0 < | x – a | < então | f(x) – L | < 1 (supondo 
 ) (***) 
 
De novo, saindo de onde queremos chegar... 
 
| f(x) | = | f(x) + L – L |, pois 0 + u = u e podemos pensar em 0 = L – L. 
| f(x) + L – L | < | f(x) + L | + | L |, pela desigualdade triangular. 
| f(x) + L | + | L | < 1 + |L|, pela suposição (***) 
 
Assim, se 0 < | x – a | < então | f(x).h(x) | < (1 + |L|).|h(x)|. 
 
Como ( ) , segue-se que para todo > 0, existe 
um > 0 tal que se 0 < | x – a | < então | h(x) – 0| < 
 
 | |
. 
47 
 
Se for o menor dos números , então, sempre que 0 < | x – a | < 
 segue-se que | f(x).h(x) | < (1 + |L|).
 
 | |
 = 
 Agora, façamos a demonstração: 
 Considere f(x).g(x) – LM = f(x).g(x) – M.f(x) + M.f(x) – LM 
Assim, f(x).g(x)– LM = f(x).[g(x) – M] + M.[f(x) – L]. Como 
 ( ) equivale a , ( ) - segue-se 
resultado com h(x) = g(x) – M. 
 
Item (III): 
 Basta mostrar que 
 
 ( )
 
 
 
 
 Note que |
 
 ( )
 
 
 
| |
 ( )
 ( )
| 
 
| | | ( )|
 | ( ) | 
Como ( ) segue-se que existe um > 0 tal que se 
 0 < | x – a | < então | g(x) – M| < 
| |
 
. 
Motivação: 
|M| = |g(x) + [M – g(x)]| < |g(x)| + |M – g(x)| < |g(x)| + |M|/2 
Organizando, |M| < |g(x)| + |M|/2  |M|/2 < |g(x)| ou 
 
| ( )|
 
 
| |
 
Assim, |
 
 ( )
 
 
 
| 
 
| | | ( )|
 | ( ) | 
 
| | 
| ( ) |... 
 
(3). “Teorema do Sanduíche” 
Seja f(x) < h(x) < g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo 
a, exceto possivelmente para o próprio a. 
Se ( ) ( ) ( ) 
 
Prova: 
Para todo > 0, existe um > 0 tal que se 0 < | x – a | < 
então | f(x) – L| < bem como existe um > 0; se 0 < | x – a | < 
então | g(x) – L| < . Se for o menor dos números , então, 
sempre que 0 < | x – a | < ambas as desigualdades anteriores que 
envolvem são verdadeiras, isto é, - < f(x) – L < e, por conseguinte 
– < g(x) – L < 
Consequentemente, se 0 < | x – a | < , então L – < f(x) e 
g(x) < L + . Como f(x) < h(x) < g(x), se 0 < | x – a | < , então 
L – < h(x) < L + que equivale a |h(x) – L| < 
 
48 
 
Obs.: só existe o limite no ponto se existirem e forem iguais os limites 
laterais. Limites laterais? Sim, é o ato de aproximar-se de x = a por 
valores pela direita (ou maiores que a) ou pela esquerda (ou menores 
que a). 
 
Em símbolos: 
Limite pela direita: )(lim xf
ax 
 
Limite pela esquerda: )(lim xf
ax  
 
Resultados: 
 ( ) 
 
Para todo > 0, existe um > 0 tal que se 0 < | x – a | < 
então |(bx + c) – (ab + c)| = |bx – ab| = |b|.|x – a|. Ou seja, basta 
considerar = |b|. 
 
Se a > 0 e n é um inteiro positivo, ou se a < 0 e n é um inteiro 
positivo ímpar, então √ 
 √ 
 
 
 
Sejam a > 0 e n um inteiro positivo. Mostraremos que,  > 0, 
existe um > 0; se 0 < | x – a | < então | √ 
 √ 
 | . 
Ou equivalentemente, se – < x – a < e x ≠ a, então, segue-se que 
 √ 
 √ 
 . 
Vamos “mexer” onde queremos chegar... 
 √ 
 √ 
 
√ 
 √ 
 √ 
 
( √ 
 )
 
 (√ 
 )
 
 
( √ 
 )
 
 (√ 
 )
 
 
 0 (√ 
 )
 
1 (√ 
 )
 
 
se denota o menor dos dois últimos números positivos dados por 
 (√ 
 )
 
 e (√ 
 )
 
 , então, segue-se que sempre que 
– a desigualdade se verifica e o teorema está 
demonstrado para este caso. 
 
 
49 
 
Traduzindo... estamos tão próximos do valor indicado que, se 
substituirmos a variável pelo valor indicado o erro entre o valor 
aproximado e o valor real praticamente é zero. Logo, basta 
substituir a variável pelo valor indicado. 
 
A título de curiosidade (não se assustem!) 
Usando a definição de limites, prove que: ( ) 
Devemos mostrar que 
 | | |( ) | 
A ideia prática é saber onde queremos chegar... (dada a tese, “mexer” 
para fazer aparecer a hipótese. 
Ou seja, 2x² + 4x – 30 = 2(x² + 2x – 15) = 2(x – 3)(x + 5). 
Assim, | | | | | | | | (*) 
Suponha que (Por qual motivo?) 
Deste modo, 
 | | | | 
 
Isto é, 2 < x < 4 que equivale (para fazer aparecer módulo) a 
5 + 2 < 5 + x < 5 + 4... 7 < x + 5 < 9 
Assim sendo, em virtude do intervalo que devemos obter (por quê?), em 
(*), | | | | | | | | . 
 Por fim, seja 2 
 
 
3. 
Ufa! 
 
Exemplos: 
lim
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
lim
 
 
 
 ⏟
 
 
 
 
 
 
 
 
Repetindo, “basta substituir a variável pelo valor a qual ela tende”. 
Quando aparecer a indeterminação 0/0, devemos mexer com a 
expressão e, só então, aplicar o limite. 
lim
 
 
 
 lim
 
( )( )
 
 lim
 
( ) 
Calcule os limites laterais da função indicada: 
50 
 
01. ;
1xse1
1xse0
)x(f





 
02. 








 ;
1
122
1
1
)(
2
xsex
xexse
x
x
xg 
03. ;
1x1sex1
1xou1xse1x
)x(p
2
2





 
04. ;
2x1se1
1x0sex
0x2sex
)x(P
2







 
Solução... 
01). No caso, a = 1. 
11lim)(lim
1
   xax xf Tender para „1‟ pela direita significa 
que a função está definida para valores maiores que „1‟. Ou seja, f(x) = 
1. 
Analogamente... 00lim)(lim
1
   xax xf 
 
03). 
0)1(lim)(lim
0)1(lim)(lim
0)1(lim)(lim
0)1(lim)(lim
2
11
2
11
2
11
2
11












xxf
xxf
xxf
xxf
xx
xx
xx
xx
 
Nota: independentemente de ser pela direita ou pela esquerda, “basta” 
substituir a variável pelo valor a qual ela tende. 
 
Agora é sua vez... 
Encontre os limites: 
51 
 
 ) 
 
√ 
 
 ) 
 
 
 
 ) 
 
√ 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
3º. Passo: Limites infinitos e no infinito 
 
Iniciamos respondendo as questões do passo anterior... Basta 
substituir a variável pelo valor a qual tende. Caso encontremos 0/0, usar 
simplificação ou produtos notáveis. Lembrar: ao trocar a variável pelo 
valor a qual tende, a expressão “lim” desaparece. 
 
Item (a): lim √ 
 
 √ ( ) 
 
 
Item (b): lim 
 
 
 
 ( )
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Item (c): lim 
√ 
 
 
 
 
. 
Vamos pensar da seguinte forma. Se a = √ e b = 2, pois não 
podemos pensar separadamente cada expressão (numerador ou 
denominador), segue-se, então que a² = x e b² = 4. 
De a²  b² = (a – b)(a + b)... 
 lim
 
√ 
 
 lim
 
√ 
(√ )(√ )
 lim
 
 
√ 
 
 
 
 
Item (d): lim 
 
 
 
 
 
 
De a³  b³ = (a – b)(a² + ab + b²), temos, comparando “a” com 
“x” e “b” com “1”: x³  1 = (x – 1)(x² + x + 1). Por analogia, de a²  b² 
= (a – b)(a + b), segue-se que x²  1 = (x – 1)(x + 1). 
Lembrando que se x  1 (isto é, se x se aproxima de “1‟, então 
x é diferente de “1”. Ou seja: x ≠ 1  x – 1 ≠ 0. 
Assim: lim 
 
 
 lim 
( )( )
( )( )
 lim 
 
 
 
 
 
 
 
 Notamos a necessidade da divisão de polinômios (ou produtos 
notáveis) quando, no cálculo de limites, encontrarmos 0/0. Mas o que 
acontece quando x se aproximar de um valor muito grande ou se o 
denominador se aproximar de 0 e o denominador de outro número? 
 
52 
 
LIMITES INFINITOS E NO INFINITO 
 
Considere a função y = 1/x. Com x diferente de zero. Ela tem 
grande importância porque qualquer polinômio pode ser reescrito em 
termos dela. 
Por exemplo: p(x) = x³ + 3x² + 2x. 
Vamos colocar em evidência o x³. Isto é, dividir o membro 
direito da igualdade por x³ (e multiplicar por ele mesmo, desde que x ≠ 
0). 
Assim, 
])
1
(2
1
31[)
23
1()
23
()( 23
2
3
33
2
3
3
3
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxp 
. 
 Algumas considerações sobre o “infinito”: 













n
n
n
n
n
n
n
0,0
0,
0,
0,
 
 
Por quê? Discuta com seus colegas... antes, compare com a 
seguinte ideia: se alguém não vive 130 anos, viverá 130 + 10? Ou o 
produto de 130 por 10? 130
10
? 
 
Vamos completar as tabelas: 
Quando x decresce indefinidamente, isto é, x   
X 10
10 
10
100
 10
1.000
 10
100.000
 
Y = 1/x 
 
Quando x cresce indefinidamente, isto é, x   
X 10
10 
10
100
 10
1.000
 10
100.000
 
Y = 1/x 
 
Quando x se aproxima de zero por valores menores que zero, isto é, x 
 0
- 
53 
 
X 10
10 
10
100
 10
1.000
 10
100.000
 
Y = 1/x 
 
Quando x se aproxima de zero por valores maiores que zero, isto é, x  
0
+ 
X 10
-10 
10
-100
 10
-1.000
 10
-100.000
 
Y = 1/x 
 
Percebemos que: 








x
x
xx
x
x
xx
1
lim
1
lim
1
lim0
1