(Dependência Linear) Respostas Lista de Exercícios da Aula 5

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Universidade Federal do Maranhão 
Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia 
Vetores e Geometria Analítica 
01/11/2021 
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Professor: José Antônio 
Aluno: Eber Fernandes de Souza Matrícula: 2021053073 
Lista de Exercícios 
Exercícios de Fixação Propostos na Aula 5 
[1] Mostre que os vetores u⃗ = (−2,1,3), v⃗ = (2, −1,1) e w⃗⃗⃗ = (6,−3,−1) são linearmente 
dependentes. 
[2] Verifique se os vetores u⃗ = (1,−1,1), v⃗ = (−1,−1,0) e w⃗⃗⃗ = (4,2, −1) são linearmente 
independentes. 
[3] Utilize os dados da questão acima e verifique se o vetor w⃗⃗⃗ = (−2,−1,2) pode ser 
escrito como combinação linear de u⃗ , v⃗ e w⃗⃗⃗ . 
[4] Podemos afirmar que todo vetor u′⃗⃗ ⃗ ∈ ℝ3pode ser escrito como combinação linear de 
u⃗ = (1, −1,1), v⃗ = (−1,−1,0) e w⃗⃗⃗ = (4,2, −1)? Justifique sua resposta. 
 
Solução: 
[1] Três vetores são ditos Linearmente Dependentes (L.D.) caso sejam coplanares, ou seja, 
um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois, podendo se verificar 
através da expressão: 
αu⃗ + βv⃗ + γw⃗⃗⃗ = 0⃗ 
Caso exista uma ou mais soluções para {α, β, γ} diferente de {0,0,0}, o conjunto é L.D.: 
α(−2,1,3) + β(2,−1,1) + γ(6,−3,−1) = (0,0,0) 
Agrupando por coordenadas: 
(1)
(2)
(3)
{
−2α + 2β + 6γ = 0
α − β − 3γ = 0
3α + β − γ = 0
 
Chamando de A a matriz de coeficientes do sistema, temos: 
A = [
−2 2 6
1 −1 −3
3 1 −1
] 
det(A) = (−2) + (−18) + 6 + 18 + 6 + 2 = 0 
O determinante igual a 0 indica que o sistema é possível e indeterminado, contendo 
infinitas soluções. Portanto, o conjunto de vetores é L.D. 
[2] Três vetores são ditos L.I. caso a única combinação linear possível deles seja a solução 
de coeficientes nulos. Escrevendo αu⃗ + βv⃗ + γw⃗⃗⃗ = 0⃗ , os vetores são L.I. caso a única 
solução seja α = β = γ = 0. 
αu⃗ + βv⃗ + γw⃗⃗⃗ = 0⃗ 
α(1,−1,1) + β(−1,−1,0) + γ(4,2,−1) = (0,0,0) 
Agrupando por coordenadas: 
(1)
(2)
(3)
{
α − β + 4γ = 0
−α − β + 2γ = 0
α − γ = 0
 
De (3) concluímos que: 
α = γ 
Substituindo em (2): 
−γ − β + 2γ = 0 
−β = −γ 
β = γ 
Substituindo em (1): 
γ − γ + 4γ = 0 
6γ = 0 
γ = 0 
O sistema é possível e determinado com solução: 
{
α = 0
β = 0
γ = 0
 
Portanto, os vetores a⃗ , b⃗ e c são L.I. 
[3] 
w′⃗⃗⃗⃗ = αu⃗ + βv⃗ + γw⃗⃗⃗ 
(−2,−1,2) = α(1, −1,1) + β(−1,−1,0) + γ(4,2, −1) 
Agrupando por coordenadas: 
(1)
(2)
(3)
{
α − β + 4γ = −2
−α − β + 2γ = −1
α − γ = 2
 
Fazendo (2′) = (1) + (2) e (3′) = (1) − (3): 
(1)
(2′)
(3′)
{
α − β + 4γ = −2
−2β + 6γ = −3
−β + 5γ = −4
 
Fazendo (3′′) = (2′) − 2(3′): 
(1)
(2′)
(3′′)
{
α − β + 4γ = −2
−2β + 6γ = −3
−4γ = 5
 
De (3′′): 
γ = −
5
4
 
Substituindo em (3): 
α − (−
5
4
) = 2 
α =
3
4
 
Substituindo em (1): 
3
4
− β + 4(−
5
4
) = −2 
−β = −2 + 5 −
3
4
 
β = −
9
4
 
 O vetor w′⃗⃗⃗⃗ pode ser escrito como combinação linear dos vetores u⃗ , v⃗ e w⃗⃗⃗ . 
w′⃗⃗ ⃗⃗ =
3
4
u⃗ −
9
4
v⃗ −
5
4
w⃗⃗⃗ 
 
 
[4] Escrevemos o vetor genérico u′⃗⃗ ⃗ = (x, y, z): 
u′⃗⃗ ⃗ = αu⃗ + βv⃗ + γw⃗⃗⃗ 
(x, y, z) = α(1,−1,1) + β(−1,−1,0) + γ(4,2,−1) 
Agrupando por coordenadas: 
(1)
(2)
(3)
{
α − β + 4γ = x
−α − β + 2γ = y
α − γ = z
 
Fazendo (2′) = (1) + (2) e (3′) = (1) − (3): 
(1)
(2′)
(3′)
{
α − β + 4γ = x
−2β + 6γ = x + y
−β + 5γ = x − z
 
Fazendo (3′′) = (2′) − 2(3′): 
(1)
(2′)
(3′′)
{
α − β + 4γ = −2
−2β + 6γ = −3
−4γ = (x + y) − 2(x − z)
 
De (3′′): 
γ = −
1
4
(−x + y + 2z) 
γ =
x − y − 2z
4
 
Substituindo em (3): 
α − (
x − y − 2z
4
) = z 
α = 𝑧 +
x − y − 2z
4
 
α =
x − y + 2z
4
 
Substituindo em (1): 
x − y + 2z
4
− β + 4(
x − y − 2z
4
) = x 
−β = −
x − y + 2z
4
−
4x − 4y − 8z
4
+ x 
−β =
−x + 5y + 6z
4
 
β =
x − 5y − 6z
4
 
Portanto, o vetor genérico u′⃗⃗ ⃗ pode ser escrito como combinação linear de u⃗ , v⃗ e w⃗⃗⃗ : 
u′⃗⃗ ⃗ = αu⃗ + βv⃗ + γw⃗⃗⃗ 
(x, y, z) = α(1,−1,1) + β(−1,−1,0) + γ(4,2,−1) 
Onde: 
{
 
 
 
 α =
x − y + 2z
4
β =
x − 5y − 6z
4
γ =
x − y − 2z
4