exercicios respondido dados os vetores u=(1,-2,3) v=(2, 1, 3) , w=(-1,-1,4) e t=(4,0,13) escreva t como combinaçao linear de u,v e w

Boa noite!

Para obter t como combinação linear dos vetores u, v e w montamos a seguinte equação:

t=au+bv+cw

(4,0,13)=a(1,-2,3)+b(2,1,3)+c(-1,-1,4)

(4,0,13)=(a,-2a,3a)+(2b,b,3b)+(-c,-c,4c)

(4,0,13)=(a+2b-c,-2a+b-c,3a+3b+4c)

Então chegamos no seguinte sistema linear:

a+2b-c=4

-2a+b-c=0

3a+3b+4c=13

Resolvendo (por qualquer método desejado) chegamos na solução:

a=15/26

b=59/26

c=29/26

Então, o vetor t, escrito como combinação linear de u, v e w fica:

t = (15/26)u+(59/26)v+(29/26)w

Espero ter ajudado!

Abraços!

Uma combinação linear de vetores é uma soma de múltiplos escalares do vetor. Em linguagem matemática, \(V\) é combinação linear se existem \(a,b, c,....m\), tais que:

\(V=ax+by+cz.....mn\)

Para qe os vetores \(U=(1,-2,3) , v= (2, 1, 3) \)e  \(w=(-1,-1,4)\)  sejam uma combinação linear de \(t=(4,0,13)\):

\(x1.U+ x2. v+ x3.w= t\)

Assim, vamos descobrir os valores de \(x1\), \(x2\) e \(x3\)

\(x1.U+ x2. v+ x3.w= t\\ x1.(1,-2,3)+ x2. (2, 1, 3)+ x3.(-1,-1,4)= (4,0,13)\\ (x1,-2x1,3x1)+ (2x2, x2, 3x2)+ (-x3,-x3,x3)= (4,0,13)\)

\(x1+2x2-x3=4 \)   Equação \(1\)

\(-2x1+x2-x3=0 \) Equação \(2\)

\(3x1+3x2+x3=13\) Equação \(3\)

Esse é um sistema de equação. 

Vamos isolar o \(x3\) na equaçao \(1\) e \(2\):

\(x1+2x2-4=x3\)  Equação \(1\)

\(-2x1+x2=x3\) Equação \(2\)

Substituindo \(2\) em \(1\):

\(x1+2x2-4=-2x1+x2\\ 3x1+x2= 4\)

\(x2=4-3x1\)   Equação \(4\)

Vamos substituir a equação \(4\) na equação \(2\):

\(-2x1+x2=x3\)   Equação \(2\)

\(-2x1+(4-3x1) =x3\)

\(-5x1+4= x3\)   Equação \(5\)

Subsituindo \(4\) e \(5\) na equação \(3\):

\(3x1+3x2+x3=13 \)  Equação \(3\):

\(3x1+ 3 ( 4-3x1) + (-5x1+4) =13\\ 3x1+12-9x1-5x1+4=13\\ -11x1=-3\\ x1= 3/11\)

Substituido esse valor na euação \(4\):

\(x2=4-3x1 \\ x2=4-3(3/11)\\  x2=4-9/11 = 35/11\)

Substituindo também na equação \(5\):

\(-5x1+4= x3\\ -5(3/11)+4= x3\\ -15/11+4\\ x3= 29/11\\\)

Assim, a combinação linear fica

 \((x1,-2x1,3x1)+ (2x2, x2, 3x2)+ (-x3,-x3,x3)= (4,0,13)\\ \boxed{(\frac{3}{11},\frac{-6}{11} ,\frac{9}{11} )+ (\frac{70}{11}, \frac{35}{11},\frac{105}{11} )+ (\frac{-29}{11},\frac{-29}{11},\frac{29}{11})= (4,0,13)} \)