Cálculo Atuarial trabalho

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Trabalho realizado para a disciplina de Cálculo Atuarial do professor Roberto Mendonça, apresentando Tábuas de Mortalidade, Probabilidades Contingentes, Rendas Aleatórias, Seguros, Cálculos de Prêmios e Reservas.
DUQUE DE CAXIAS
2018
Sumário
1. Introdução..............................................................................................04
2. Tábuas de Mortalidade..........................................................................05
3. Invalidez e Serviço.................................................................................08
4. Probabilidades Contingentes.................................................................09
5. Rendas..................................................................................................10
6. Seguros.................................................................................................13
7. Cálculo de Prêmios................................................................................20
8. Reservas de Lucros...............................................................................23
9. Referências Bibliográficas......................................................................25
Introdução
No meado para o final do século XIX, apareceu a ciência atuarial, na Inglaterra. Estudos que foram realizados acabaram por se destinar a entidades da área de reforma e pensões, objetivando o estudo da mortalidade populacional. No século XVII, Holanda e Inglaterra, dedicavam-se a vender para seus súditos alguns títulos públicos que possibilitava quem os tinha de possuir uma renda vitalícia. Foi assim que se tornou necessário definir com uma maior exatidão a importância em valores monetários que precisariam ser cobradas nessa contraprestação de serviço, para que a coroa não fosse prejudicada. Desta mesma maneira, foi criada uma base para o nascimento da matemática atuarial, no que tange o cálculo da probabilidade de Pascal Graunt e Edmond Halley, na Inglaterra, e De Witt, na Holanda, desde os registros de nascimentos e óbitos. Eles estudaram alguns problemas levando em consideração as leis da probabilidade e a expectativa de vida do homem. No século XX, a área de seguros aumentou a abrangência do estudo atuarial, e a inserção cada vez mais frequente das empresas de seguros e pensões no mercado financeiro, fez com que a ciência atuarial se especializasse cada vez mais em campos económicos e financeiros. A partir de então as empresas seguradoras passaram a oferecer programas de seguro de vida e outras especializações.
A ciência atuarial é a ciência das técnicas específicas de análise de riscos e expectativas, principalmente na administração de seguros e fundos de pensão. Esta ciência aplica conhecimentos específicos das matemáticas estatística e financeira. Mesmo parecendo uma ciência recente, as origens da atuária remontam às primeiras preocupações em se criarem garantias aos indivíduos de uma sociedade e em se estudar quantidades de nascimento e morte das pessoas. Outra área que tem sido utilizada cada vez mais o profissional de atuária é o ramo de operadoras de saúde suplementar. Muito embora o cálculo atuarial compreenda potencialmente tudo o que o cálculo financeiro abrange, a utilização com a qual o cálculo atuarial geralmente se identifica, os tópicos como; a tábua de mortalidade, invalidez, probabilidade contingentes, rendas aleatórias, seguros, cálculo de prêmio e de reservas são os principais temas abordados dentro da área atuarial.
Tábuas de Mortalidade
Tábuas de Mortalidade são tabelas que os atuários usam para analisar a morte e a sobrevivência de uma parcela população em função de sua idade. A primeira Tábua de Mortalidade de fato foi construída por Edmund Halley, o cara que dá nome ao Cometa Halley. 
A construção de uma tábua de mortalidade é necessário basicamente se pegar uma população de um lugar específico (por exemplo, de uma cidade) e ver quantas pessoas vivas têm nesse lugar (vamos supor, 10mil). Aí, conforme as pessoas vão morrendo, vai-se anotando (por exemplo, ano 1 morreram 10; ano 2 morreram 20; ano 3 morreram 14; e assim por diante). No final, calcula-se a probabilidade de morrer para cada ano, que é o número de mortos dividido pelo número de vivos. E de forma semelhante dá para montar outros dados também. Podemos verificar na imagem acima que as tábuas de mortalidade são organizadas em colunas, onde normalmente x é a idade e os outros dados se dão em função de x. Essas funções são conhecidas como Funções Biométricas. Vemos aqui as definições dessas funções:
· lx - É o número de pessoas que atingem a idade x vivas. A letra l é porque vem do inglês life ou live.
· dx - É o número de pessoas com a idade x que morrem antes de atingir a idade x+1. A letra d é porque vem do inglês death ou dead.
· px - Probabilidade de quem tem a idade x atingir a idade x+1 vivo. 
· qx - Probabilidade de quem tem a idade x morrer antes de atingir a idade x+1.
· Lx - É a média entre lx e lx+1, e representa o número médio de anos que viveu a soma da população viva em x, ou seja, lx.
· Tx - É o somatório de Lx até Lω e representa o número de anos que a população viva em x (ou seja,lx) ainda tem pra viver.
· mx -  [~~~~ aprender definição intuitiva~~~]
· e0x - É conhecido como vida média completa e é o número total de anos que a população ainda vai viver, Tx, distribuído igualmente por todos os por todos vivos na idade x, ou seja lx. 
· l0 - É a idade em que a tábua inicia, também chamado de raiz da tábua.
· ω - É a idade final da tábua.
Em cada uma dessas funções tem alguma correlação com as anteriores. Algumas são visíveis, como o conceito de Lx ou e0x , mas outras são um pouco mais complexas de inferir. Clicando em cada conceito dá para ver sua definição mais específica. Além disso, baseado nas funções biométricas surgem algumas probabilidades importantes. É importante dar valor à notação usada para cada um desses conceitos, probabilidades, entre outros, já que em atuária essas notações são bem consagradas. Assim, se uma letra está em minúsculo, é porque sua notação é em minúsculo. Por exemplo, lx e Lx tem definições diferentes.
Invalidez e Serviços
O Fator Previdenciário é utilizado somente no cálculo do valor da aposentadoria por tempo de contribuição. Na aposentadoria por invalidez não há utilização do fator, e, na aposentadoria por idade, a fórmula é utilizada opcionalmente, apenas quando contribui para aumentar o valor do benefício. As informações divulgadas hoje nas Tábuas Completas de Mortalidade do Brasil de 2015 com as expectativas de vida para as idades exatas até os 80 anos foram utilizadas para determinar o fator previdenciário, no cálculo das aposentadorias do Regime Geral de Previdência Social. Pelas regras da aposentadoria por tempo de contribuição, se o fator for menor do que 1, haverá redução no valor do benefício. Se o fator for maior que 1, haverá acréscimo no valor e, se o fator for igual a 1, não há alteração. O novo Fator Previdenciário será aplicado daqui por diante apenas nos casos em que o segurado opte por esta forma de cálculo. Para requerer aposentadoria sem incidência do fator, o segurado poderá optar pela regra 85/95 progressiva. Os benefícios já concedidos (até 30 de novembro passado) não sofrerão qualquer alteração em função da divulgação da nova tábua de expectativa de vida do IBGE. A utilização dos dados do IBGE, como uma das variáveis da fórmula de cálculo do fator, foi determinada pela Lei 9.876, de 1999, quando se criou o mecanismo.
Probabilidades Contingentes
Nas probabilidades contingentes os modelos matemáticos consistem em uma simplificação da realidade. A atuária também é sustentada por modelos matemáticos aplicados que envolvem a gestão dos seguros em geral. Os modelos matemáticos são uma idealização das características do fenômeno observado, que podem ser determinísticos, quando dadas as condições de experimentação pode-se determinar o resultado final do experimento; estocásticos: quandonão é possível predizer, com certeza, o resultado final do experimento, por exemplo: a soma dos pontos de dois dados, a quantidade de falecimentos em uma determinada população, a investigação do efeito de um remédio em pacientes.
Rendas
Rendas são valores monetários, cujos pagamentos são continuados por um prazo certo ou vitalício, e a periodicidade pode ser mensal, trimestral, anual, etc. Esse valor é pago ao segurado pela Seguradora. Prêmio é o valor pago periodicamente pelo segurado à Seguradora, para fazer jus ao valor da renda. De acordo com as situações previstas anteriormente, as rendas de que trataremos serão relacionadas somente com pessoas ativas. A Teoria das Probabilidades de modo geral busca definir um modelo matemático estocástico que seja conveniente à descrição e a interpretação de fenômenos aleatórios. Os fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios são aqueles onde os processos de experimentação estão sujeitos a influências de fatores e conduzem a resultados incertos.
Os principais tipos de rendas são essas:
· Renda Aleatória Imediata Antecipada Vitalícia
· Renda Aleatória Imediata Postecipada Vitalícia
· Renda Aleatória Imediata Antecipada Temporária
· Renda Aleatória Imediata Postecipada Temporária
· Renda Aleatória Diferida Antecipada Vitalícia
· Renda Aleatória Diferida Postecipada Vitalícia
· Renda Aleatória Diferida Antecipada Temporária
· Renda Aleatória Diferida Postecipada Temporária
Renda aleatória é aquela cujos os valores somente serão pagos em caso de sobrevivência do segurado, e a ocorrência do falecimento do mesmo é um evento não programado; renda aleatória imediata é aquela renda em que o segurado paga um prêmio único, ou seja, efetua o pagamento à vista do prêmio e já começa a receber o valor da renda; renda aleatória diferida é aquela renda em que o segurado paga o prêmio e somente começa a receber, o valor da mesma, a partir de um determinado período. Esse período entre a contratação da renda e o início do recebimento é conhecido como diferimento, onde poderão ser compradas à vista, com pagamento do prêmio único; ou à prazo, com pagamentos de prêmios parcelados.
· Renda Aleatória Imediata Antecipada Vitalícia
É uma renda anual, paga no início do período, por toda a vida. Para determinarmos o quanto o segurado deverá pagar de uma só vez (prêmio único), precisamos identificar qual é o valor presente das obrigações futuras da empresa em pagar-lhe periodicamente o valor da renda. Assim, o nosso objetivo imediato é determinar o Valor Atual das rendas futuras que serão pagas ao segurado. Para efeito de desenvolvimento didático trabalharemos com período anual. Além disso consideraremos que será paga uma renda de R$1,00 a cada ano, pois, para qualquer outro valor de renda, bastará multiplicar o valor da anuidade encontrada pelo novo valor de renda desejado e estaremos determinando o valor do prêmio único para aquela renda específica. É o mesmo que se dizer, como em matemática financeira, que o nosso objetivo é determinar o “valor atual” (que passaremos a designar por A), em uma época zero, das anuidades unitárias que serão pagas enquanto as pessoas que as recebe estiver viva.
Porém, no caso de renda aleatória, o pagamento de cada anuidade só se realiza se as pessoas que a recebe estiver viva. Isto é, a probabilidade de cada pagamento é a probabilidade da pessoa estar viva. Assim, o problema passa a ter um outro enunciado: valor atual das anuidades pagáveis a pessoa que, na época zero, tem idade x. E, levando-se em conta as probabilidades dessa pessoa sobreviver nos anos subsequentes o valor atual procurado, que designaremos por äx, será expresso por äx = valor atual (Prêmio Único) de uma série de pagamentos iguais à unidade de capital, pagáveis a uma pessoa de idade x, enquanto viver e a partir da idade x. Ou prêmio Único Puro de uma renda constante, imediata vitalícia e antecipada.
Fórmula: äx = v0.0px + v1.1px + v2.2px + v3.3px + v4.4px + ... + vn-1.n-1px + ... até o final da tábua.
Na apuração das somas, do tipo das indicadas acima, será muito trabalhosa, se operada manualmente. E, a cada vez que se considerar uma idade diferente para as pessoas, muitas dessas parcelas serão as mesmas já apuradas no cálculo de outras somas. Para poupar a repetição desse trabalho, os atuários mais antigos, que não dispunham de máquinas operadoras como as que existem hoje em dia (planilha eletrônica tipo excel), valeram-se de outros meios simplificadores. Os matemáticos criaram simplificações chamadas de “Comutações”, umas relacionadas com sobrevivência, outras com a morte.
Seguros
É a opção moderna e mais usada de gerenciamento do risco. Envolve a transferência do risco de perda de uma entidade (empresa ou indivíduo) para outra entidade (seguradora) que assume os riscos e recebe em troca um prêmio. O conjunto dos prêmios de vários riscos, muitos sem desastres, permitem às seguradoras formar reservas para pagar os desastres.
O seguro envolve uma aglomeração do risco e divisão das perdas, pois as seguradoras agrupam riscos semelhantes em carteiras diferentes, de modo que estima as respectivas e prêmios de seguros. O risco é transferido, pois a seguradora tem que arcar com as indenizações referentes à determinada carteira, mesmo quando a soma dos prêmios recolhidos for inferior ao valor das indenizações. Se e prejuízo ocorrer com grande frequência, a seguradora não está sendo bem conduzida: falha na aceitação e na comparação dos riscos.
Funcionamento dos seguros
O seguro é um contrato entre um indivíduo ou uma empresa (segurado) e uma seguradora. O segurado paga um preço chamado “prêmio” e a companhia, em troca, compromete-se pagar a eventual perda financeira correspondente, durante o período da apólice. O risco é transferido do segurado para a seguradora e o documento que formaliza esse contrato se chama apólice. A apólice é um documento que é emitido pela seguradora, que formaliza a aceitação do risco, que é a finalidade do contratado. Nela deve haver todas as condições contratuais, o bem ou a pessoa segurada, o que o seguro cobre, as garantias e o prazo do contrato. O seguro é um contrato inevitavelmente especulativo. A seguradora recebe as informações do segurado e, com base nelas, traça um perfil do risco e calcula a perda esperada e o prêmio. Se o segurado omite informações que agravariam o risco, ameaçando de prejuízo a seguradora, ele falta com o princípio da boa-fé. O mesmo ocorre se a empresa, aproveitando-se do desconhecimento da maioria dos segurados a respeito das tecnicalidades do mercado, deliberadamente usa de terminologias vagas na apólice de modo a, por exemplo, esconder certas exclusões.
Nesses casos, a lei diz que o contrato é nulo. A lei impõe aos contratantes o dever de obedecer ao princípio de boa-fé, pois, na falta dele, o acúmulo de prejuízos e levaria à suspeitas generalizadas e, no limite, à inviabilização do próprio mercado. Nota-se que esse princípio é aplicável a todos os contratos e transações. Ele proíbe o agente de esconder da outra parte o que sabe confidencialmente, para induzi-la a um negócio que não ocorreria ou ocorreria de modo diverso se essa parte tivesse acesso à informação sonegada. 
Cálculo de Probabilidade
Uma seguradora ao assumir o risco de ter de pagar uma indenização de R$ 30.000,00 contra um prêmio de R$ 1.500,00 precisa analisá-lo antes da aceitação. Do ponto de vista da seguradora, o mecanismo envolve:
· A avaliação precisa do risco, o que é feito por meio de técnicas de Estatística;
· A eliminação do risco por um processo de agregação e a divisão do risco
Um exemplo simples da divisão do risco é o cosseguro, trata-se da repartição de um mesmo risco, de um mesmo segurado, entre duas ou mais seguradoras.
A lei dos grandes números
Essa lei, base do seguro, diz o seguinte: “Dada uma amostra de observações independentes e identicamente distribuídas de uma variável aleatória, a média da amostra tende a se igualar à média da população, na medida em que o número de observações aumenta”. O enunciado da leipode parecer que poucos chegariam ao entendimento, mas é facilmente ilustrado com o exemplo da média de valores que se obtém ao jogar um dado por certo número de vezes.
No mercado de seguros, a receita de prêmios precede o pagamento de indenizações, ás vezes em anos. Pense, por exemplo, no caso, jovens que adquirem seguros da vida ou de saúde. A probabilidade de desastres, nesse caso, é bem baixa nos primeiros anos de vigência das apólices. Os recursos dos prêmios são aplicados nos mercados financeiros e de capitais e, em menor proporção, no mercado em consequência, as seguradoras alcançam uma receita adicional, decorrente de operações financeiras e não diretamente relacionada ao mercado de seguros.
Riscos seguráveis e não seguráveis
Utilizando o mercado de seguros, uma pessoa pode construir uma rede de proteção bastante efetiva em sua vida e propriedades. Mas nem todos os riscos são seguráveis. Pense nos seguintes riscos:
· Você tem uma carteira de ações e teme que os papéis caíssem fortemente de valor.
· Você abriu uma empresa e teme não ser capaz de atingir a taxa de lucro que prezou.
· Você vai viajar para uma região conturbada e teme ser vítima de um atentado terrorista.
· Você precisa tirar certa nota num exame da faculdade e teme não ser capaz de alcançar o esperado.
· Você vai jogar num cassino e teme perder o dinheiro que reservou para isso.
Nenhuma seguradora vai se dispuser a fazer seguro para esses riscos. Ao contrário, em todo o mundo, as seguradoras procuram excluir de forma clara as coberturas, os danos resultantes desses eventos. Seja porque é quase impossível de se prever esses eventos, pois corre bastante risco da seguradora de prejudicar com essas ações. Mais precisamente, as condições necessárias para que um risco seja segurável são as seguintes:
· Grande número de eventos (Lei dos Grandes Números): essa lei da área de Estatística, fundamental para a viabilidade dos seguros. Quanto maior o número de segurados, maior a estabilidade de resultados de desastres que uma seguradora pode esperar.
· Eventos independentes entre si (desconcentração de riscos): para que a Lei dos Grandes Números seja plenamente aplicável, é preciso que os riscos sejam independentes entre si. Nenhuma seguradora formará uma carteira de seguro rural apenas numa região, ou de seguro de incêndio num mesmo local.
· Experiência suficiente (cálculo correto de probabilidades): pode ser que os eventos sejam independentes e que grande número de interessados no seguro, mas se houver grande imprevisibilidade, como nos casos de guerras atentados terroristas, o seguro não será feito, ou estes riscos serão excluídos da apólice, que é o mais provável acontece se não houver suficiente experiência pregressa, que permita aos atuários o cálculo mais correto da probabilidade de perda.
· Baixa incidência de “risco moral”: “Risco moral” é a possibilidade de uma pessoa ou empresa, depois de esta comportar-se diferentemente do que faria se estivesse inteiramente exposta ao risco.
Um caso que acontece com bastante frequência é o indivíduo que fez seguro contra roubo de automóvel e, depois disso, tornou-se menos vigilante com o seu carro. Ele age assim porque as consequências negativas do roubo não serão suas, mas de responsabilidade companhia de seguros. O “risco moral” está relacionado à chamada assimetria de informação - as seguradoras têm dificuldade de sabe antemão como reagirão seus segurados depois de contratado o seguro. De certa maneira, o risco moral existe em maior ou menor grau em todas as carteiras de seguros, mas nos casos extremos, em que a mudança de comportamento é previsível, pode inviabilizar o seguro. O caso mais simples é de uma população de, por exemplo, fumantes e não fumantes e uma seguradora de saúde cobra preços idênticos por não saber diferenciar, a priori, quem pertence a cada grupo.
Classificação dos Seguros
Seguros automóveis, incêndio, vida, entre outros, por serem bastante conhecidos facilitam o entendimento do conceito que regulam um deles. Existem no Brasil, classificados oficialmente, 95 ramos de seguros que apresentam grande variedade, o seguro de responsabilidade civil tem 12 ramos diferentes, os seguros ligados à agricultura contam com 1 distintos, etc.
A tabela abaixo resume esses níveis. Um quadro mais preciso dos grupos de seguros você encontra no site da Susep “Atos normativos”. 
Existe ainda um nível maior de agregação que divide o mercado em seguros de vida, seguros de saúde e seguros elementares. Os seguros de vida incluem as apólices contra risco de morte e acidentes pessoais bem como os planos de previdência privada aberta. Já os seguros elementares são os que têm por finalidade a garantia de perdas, danos ou responsabilidade sobre objetos ou pessoas, excluída desta classificação os seguros do ramo vida. 
· Seguros facultativos e obrigatórios são seguros que podem ser ainda facultativos ou obrigatórios. A maioria dos seguros vendidos no Brasil tem contratação facultativa, mas a lei determina a contratação de uma série de seguros que passam a ser obrigatórios. Durante muitos anos, as dificuldades de fiscalização do pagamento dessas apólices fizeram com que a maioria fosse deixada de lado pela população, quase esquecida de que são de contratação obrigatória.
· Seguro de Danos Pessoais Causados por Veículos Automotores de via Terrestre (DPVAT) foi criado pela Lei 6.194, de 19 de dezembro de 1974, e tem como objetivo amparar as vítimas de acidentes de trânsito causados por veículos automotores e por suas cargas, em todo o território nacional, independente de quem seja a culpa desses acidentes. 
· Seguro de Danos Pessoais de Embarcações ou suas Cargas (DPEM) foi instituído pela Lei 8.374, de 30 de dezembro de 1991, e tem por finalidade dar cobertura de vida e acidentes pessoais a pessoas, transportadas ou não, inclusive aos proprietários, tripulantes e condutores das embarcações, e a seus respectivos beneficiários ou dependentes.
· Seguro de Acidentes de Trabalho (SAT) é um seguro antigo, instituído na época do presidente Getúlio Vargas, mas assumiu maior relevância jurídica a partir da Lei 5.316, de 14 de setembro de 1967. O objetivo é garantir ao empregado segurado do regime de previdência social um seguro contra acidente do trabalho, gastos do empregador através do pagamento de um adicional sobre a folha de salários, garantido atualmente pela Previdência Social. 
· Seguro Carta Verde é o seguro obrigatório para automóveis quando em viagem para países do Mercosul e cobre responsabilidade civil por danos pessoais e materiais causados a terceiros não transportados pelo veículo segurado. 
· Seguros em grupo e individuais podem ser também classificados em seguros individuais ou em grupo. Seguro Individual é uma relação entre uma pessoa ou uma família e uma seguradora. A seguradora, evidentemente, terá que verificar o risco segurado e invalidar. Seguro em grupo é o seguro de um conjunto de pessoas ligadas entre si de modo que se estabelece uma relação entre a seguradora, o segurado e o grupo a que ele pertence. O grupo pode ser constituído por uma empresa, por uma organização sem fins lucrativos, por uma associação profissional, ou por uma pessoa física. Os seguros contratados por empresas são chamados de empresariais ou corporativos. É um seguro em grupo, formalizado por uma única apólice que garante coberturas estabelecidas de acordo com um critério objetivo e uniforme, não dependente exclusivamente da vontade do segurado. 
· Seguros conforme o regime de financiamento, diferem também segundo o regime de financiamento, ou seja, a técnica atuarial que determina a forma de financiamento das indenizações e benefícios que completam o contrato. Os regimes se dividem em repartição e capitalização. O regime de repartição se divide entre repartição simples e repartição de capitais de cobertura, onde o Regime de Repartição Simples - Todos os prêmios pagos pelos segurados em determinado período forma um fundo que se destina ao custeio de indenizações a serem pagas por todos os desastres ocorridosno próprio período (e às demais despesas da seguradora). Isso implica em que o prêmio cobrado é calculado de forma que corresponda à importância necessária para cobrir o valor das indenizações relativas aos desastres esperados; Regime de Repartição de Capitais de Cobertura - É o método em que há formação de reserva apenas para garantir os pagamentos das indenizações e benefícios iniciados no período, ou seja, arrecada-se apenas o necessário e suficiente para formação de reserva garantidora do cumprimento dos benefícios futuros que se iniciam neste período.
O Regime de Capitalização é o método que determina a contribuição necessária para atender determinado fluxo de pagamento de benefícios, estabelecendo que o valor da série de contribuições efetuadas ao longo do tempo seja igual ao valor da série de pagamentos de benefícios que se fará no futuro. Esse modelo de financiamento constitui reservas tanto para os participantes assistidos como para os ativos e obviamente a aplicação das contribuições nos mercados financeiros, de capitais e imobiliários a fim de adicionar valor à reserva que se está constituindo. A capitalização é dividida em duas fases diferentes: a primeira denominada "fase contributiva" e a segunda "fase do benefício". 
A legislação torna obrigatória a utilização do regime financeiro de capitalização para os benefícios de pagamento em prestações que sejam programadas e continuadas. Nesse regime, obriga-se a empresa a constituir provisão de benefícios autorizados, como no caso anterior, e provisão de benefícios a conceder. Assim, no regime de capitalização, o objetivo não é apenas pagar indenização ou benefício pré-estabelecido, mas permitir ao segurado ou participante retirar ao final do contrato uma poupança que, idealmente, cubra os riscos de morte, invalidez, aposentadoria, etc.
Cálculo de Prêmios
Existem diversas técnicas para o cálculo de prêmio de seguro, envolvendo vários parâmetros estatísticos. A SUSEP não define forma para a elaboração. Assim, as Seguradoras possuem liberdade de estabelecer a forma de fixação do prêmio, a qual deverá ser enviada à SUSEP por meio da Nota Técnica Atuarial. De uma forma bastante simplificada, os prêmios podem ser calculados conforme demonstrado nos exemplos abaixo:
Carteira: 1.000 veículos segurados
Importância Segurada = R$ 10.000,00 cada veículo, no ato da contratação.
Despesas Administrativas = 10%, Comissão de Corretagem = 15%,
Margem de Segurança = 3%, Lucro = 5%
1ª Hipótese Sinistros de Indenização Integral pagos pelo VMR (os valores de indenização são diferenciados porque são estabelecidos na data do pagamento da indenização com base na tabela de referência).
1 indenização de R$ 10.000,00 + 2 indenizações de R$ 9.000,00 + 2 indenizações de R$ 8.000,00 = R$ 44.000,00
Taxa de Risco = 44.000/(1.000 x 10.000) x 100 = 0,44 %
Prêmio de Risco = 0,44% x 10.000 = R$ 44,00
Prêmio Puro = 44 x (1 + 0,03) = R$ 45,32
Prêmio Comercial = 45,32 / (1 0,10 0,15 0,05) = R$ 64,74
2ª Hipótese Sinistros de Indenização Integral pagos pelo VD (os valores de indenização são fixos).
5 indenizações de R$ 10.000,00 = R$ 50.000,00
Taxa de Risco = 50.000/(1.000 x 1 0.000) x 100 = 0,50 %
Prêmio de Risco = 0,50% x 10.000 = R$ 50,00
Prêmio Puro = 50 x (1 + 0,03) = R$ 51,50
Prêmio Comercial = 51,50 / (1 0,10 0,15 0,05) = R$ 73,57
Note que, o Prêmio pago na modalidade VD é maior que o Prêmio pago na modalidade VMR.
Reserva de Lucros
As reservas de lucros são as contas de reservas constituídas pela apropriação de lucros da companhia, conforme previsto no § 4º do art. 182 da Lei 6404/76, para atender a várias finalidades, sendo sua constituição efetivada por disposição da lei ou por proposta dos órgãos da administração. Referidas reservas devem fazer parte do Patrimônio Líquido. O saldo das reservas de lucros, exceto as para contingências e de lucros a realizar, não poderá ultrapassar o capital social; atingido esse limite, a assembleia deliberará sobre a aplicação do excesso na integralização ou no aumento do capital social, ou na distribuição de dividendos. Tendo em vista o seu conceito e as definições da Lei das S/A, classificam-se como Reservas de Lucros.
· Reserva Legal 
A reserva legal deverá ser constituída mediante destinação de 5% (cinco por cento) do lucro líquido do exercício, antes de qualquer outra destinação. Esta reserva será constituída, obrigatoriamente, pela companhia, até que seu valor atinja 20% do capital social realizado, quando então deixará de ser acrescida, ou então, poderá, a critério da companhia, deixar de receber créditos, quando o saldo desta reserva, somados ao montante das reservas de capital (exceto a reserva de correção monetária do capital realizado), atingir 30% (trinta por cento) do capital social. A finalidade da reserva legal é assegurar a integralidade do capital social, sendo permitida a sua utilização exclusivamente para absorção de prejuízos, cuja compensação ocorrerá obrigatoriamente quando houver saldo de prejuízos, após terem sido absorvidos os saldos de lucros acumulados e das demais Reservas de Lucros.
· Reservas Estatutárias
As reservas estatutárias são constituídas por determinação do estatuto da companhia, como destinação de uma parcela dos lucros do exercício, e não podem restringir o pagamento do dividendo obrigatório.
· Reserva para Contingências
De acordo com o artigo 195 da Lei nº 6.404/76, a assembleia geral poderá, por proposta dos órgãos de administração, destinar parte do lucro líquido à formação de reserva com a finalidade de compensar, em exercício futuro, a diminuição do lucro decorrente de perda julgada provável, cujo valor possa ser estimado.
· Reserva de lucros a Realizar
No exercício em que o montante do dividendo obrigatório, calculado nos termos do estatuto ou do art. 202 da Lei das S/A, ultrapassar a parcela realizada do lucro líquido do exercício, a assembleia-geral poderá, por proposta dos órgãos da administração, destinar o excesso à constituição de reserva de lucros a realizar.
· Reserva de Lucros para Expansão
Para atender a projetos de investimento e expansão, a companhia poderá reter parte dos lucros do exercício. Essa retenção deverá estar justificada com o respectivo orçamento de capital aprovado pela assembleia geral.
O orçamento, submetido pelos órgãos da administração com justificação da Retenção de Lucros proposta, deverá compreender todas as fontes de recursos e aplicações de capital, fixo ou circulante, e poderá ter a duração de até 5 (cinco) exercícios, salvo no caso de execução, por prazo maior, de projeto de investimento.
Referências Bibliográficas
http://www.ebah.com.br/search?q=rendas+aleat%C3%B3rias
http://conhecimentosbancarios.blogspot.com.br/2013/05/tabuas-de-mortalidade.html
http://www.portaldecontabilidade.com.br
https://www.classecontabil.com.br/introducao-aos-calculos-atuariais/
http://www.tudosobreseguros.org.br/portal/pagina.php?c=1449