GAAL - Aula 12

Prévia do material em texto

Planos no Espac¸o
Um plano pode ser dado de va´rias maneiras:
I Por 3 pontos na˜o colineares passa um u´nico plano.
I Dadas duas retas concorrentes.
I Dadas duas retas paralelas.
I Dado um ponto e uma reta, existe um u´nico plano ortogonal a
reta e que passa por este ponto.
Algumas destas situac¸o˜es podem ser caracterizadas pelo produto
escalar. Outras, pelo produto vetorial.
Vamos comec¸ar discutindo a u´ltima situac¸a˜o.
Planos no Espac¸o
Um plano pode ser dado de va´rias maneiras:
I Por 3 pontos na˜o colineares passa um u´nico plano.
I Dadas duas retas concorrentes.
I Dadas duas retas paralelas.
I Dado um ponto e uma reta, existe um u´nico plano ortogonal a
reta e que passa por este ponto.
Algumas destas situac¸o˜es podem ser caracterizadas pelo produto
escalar. Outras, pelo produto vetorial.
Vamos comec¸ar discutindo a u´ltima situac¸a˜o.
Planos no Espac¸o
Um plano pode ser dado de va´rias maneiras:
I Por 3 pontos na˜o colineares passa um u´nico plano.
I Dadas duas retas concorrentes.
I Dadas duas retas paralelas.
I Dado um ponto e uma reta, existe um u´nico plano ortogonal a
reta e que passa por este ponto.
Algumas destas situac¸o˜es podem ser caracterizadas pelo produto
escalar. Outras, pelo produto vetorial.
Vamos comec¸ar discutindo a u´ltima situac¸a˜o.
Planos no Espac¸o
Um plano pode ser dado de va´rias maneiras:
I Por 3 pontos na˜o colineares passa um u´nico plano.
I Dadas duas retas concorrentes.
I Dadas duas retas paralelas.
I Dado um ponto e uma reta, existe um u´nico plano ortogonal a
reta e que passa por este ponto.
Algumas destas situac¸o˜es podem ser caracterizadas pelo produto
escalar. Outras, pelo produto vetorial.
Vamos comec¸ar discutindo a u´ltima situac¸a˜o.
Planos no Espac¸o
Um plano pode ser dado de va´rias maneiras:
I Por 3 pontos na˜o colineares passa um u´nico plano.
I Dadas duas retas concorrentes.
I Dadas duas retas paralelas.
I Dado um ponto e uma reta, existe um u´nico plano ortogonal a
reta e que passa por este ponto.
Algumas destas situac¸o˜es podem ser caracterizadas pelo produto
escalar. Outras, pelo produto vetorial.
Vamos comec¸ar discutindo a u´ltima situac¸a˜o.
Planos no Espac¸o
Um plano pode ser dado de va´rias maneiras:
I Por 3 pontos na˜o colineares passa um u´nico plano.
I Dadas duas retas concorrentes.
I Dadas duas retas paralelas.
I Dado um ponto e uma reta, existe um u´nico plano ortogonal a
reta e que passa por este ponto.
Algumas destas situac¸o˜es podem ser caracterizadas pelo produto
escalar. Outras, pelo produto vetorial.
Vamos comec¸ar discutindo a u´ltima situac¸a˜o.
Planos no Espac¸o
Um plano pode ser dado de va´rias maneiras:
I Por 3 pontos na˜o colineares passa um u´nico plano.
I Dadas duas retas concorrentes.
I Dadas duas retas paralelas.
I Dado um ponto e uma reta, existe um u´nico plano ortogonal a
reta e que passa por este ponto.
Algumas destas situac¸o˜es podem ser caracterizadas pelo produto
escalar. Outras, pelo produto vetorial.
Vamos comec¸ar discutindo a u´ltima situac¸a˜o.
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Seja dado um ponto P0 e um vetor N 6= ~0.
Existe um u´nico plano α que passa por P0 e que e´ ortogonal ao
vetor N.
Nesta situac¸a˜o N e´ um vetor normal ao plano.
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Seja dado um ponto P0 e um vetor N 6= ~0.
Existe um u´nico plano α que passa por P0 e que e´ ortogonal ao
vetor N.
Nesta situac¸a˜o N e´ um vetor normal ao plano.
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se os vetores
N = (a, b, c) e
−−→
P0P = (x − x0, y − y0, z − z0) sa˜o perpendiculares.
〈N,−−→P0P〉 = 0 ⇔ a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se os vetores
N = (a, b, c) e
−−→
P0P = (x − x0, y − y0, z − z0) sa˜o perpendiculares.
〈N,−−→P0P〉 = 0
⇔ a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se os vetores
N = (a, b, c) e
−−→
P0P = (x − x0, y − y0, z − z0) sa˜o perpendiculares.
〈N,−−→P0P〉 = 0 ⇔ a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se os vetores
N = (a, b, c) e
−−→
P0P = (x − x0, y − y0, z − z0) sa˜o perpendiculares.
〈N,−−→P0P〉 = 0 ⇔ a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
Planos, dado um ponto e um vetor normal
P ∈ α ⇔ 〈N,−−→P0P〉 = 0 ⇔ ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
O lado direito desta igualdade e´ uma constante
d = ax0 + by0 + cz0. Da´ı um ponto P = (x , y , z) pertence ao
plano se
ax + by + cz = d
Planos, dado um ponto e um vetor normal
P ∈ α ⇔ 〈N,−−→P0P〉 = 0 ⇔ ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
O lado direito desta igualdade e´ uma constante
d = ax0 + by0 + cz0.
Da´ı um ponto P = (x , y , z) pertence ao
plano se
ax + by + cz = d
Planos, dado um ponto e um vetor normal
P ∈ α ⇔ 〈N,−−→P0P〉 = 0 ⇔ ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
O lado direito desta igualdade e´ uma constante
d = ax0 + by0 + cz0. Da´ı um ponto P = (x , y , z) pertence ao
plano se
ax + by + cz = d
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Exemplo: Determine a equac¸a˜o geral do plano que passa por
P0 = (2, 3,−4) e que e´ ortogonal ao vetor N = (5,−2, 3)
Soluc¸a˜o. A equac¸a˜o geral do plano e´ da forma ax + by + cz = d ,
em que os coeficientes a, b e c sa˜o as coordenadas de um vetor
ortogonal ao plano. Neste caso, a equac¸a˜o do plano tem a forma
5x − 2y + 3z = d .
Substituindo o ponto P0 = (2, 3,−4), calculamos d .
5 · 2− 2 · 3 + 3 · (−4) = d ⇒ d = −8
Equac¸a˜o do plano 5x − 2y + 3z = −8 .
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Exemplo: Determine a equac¸a˜o geral do plano que passa por
P0 = (2, 3,−4) e que e´ ortogonal ao vetor N = (5,−2, 3)
Soluc¸a˜o. A equac¸a˜o geral do plano e´ da forma ax + by + cz = d ,
em que os coeficientes a, b e c sa˜o as coordenadas de um vetor
ortogonal ao plano.
Neste caso, a equac¸a˜o do plano tem a forma
5x − 2y + 3z = d .
Substituindo o ponto P0 = (2, 3,−4), calculamos d .
5 · 2− 2 · 3 + 3 · (−4) = d ⇒ d = −8
Equac¸a˜o do plano 5x − 2y + 3z = −8 .
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Exemplo: Determine a equac¸a˜o geral do plano que passa por
P0 = (2, 3,−4) e que e´ ortogonal ao vetor N = (5,−2, 3)
Soluc¸a˜o. A equac¸a˜o geral do plano e´ da forma ax + by + cz = d ,
em que os coeficientes a, b e c sa˜o as coordenadas de um vetor
ortogonal ao plano. Neste caso, a equac¸a˜o do plano tem a forma
5x − 2y + 3z = d .
Substituindo o ponto P0 = (2, 3,−4), calculamos d .
5 · 2− 2 · 3 + 3 · (−4) = d ⇒ d = −8
Equac¸a˜o do plano 5x − 2y + 3z = −8 .
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Exemplo: Determine a equac¸a˜o geral do plano que passa por
P0 = (2, 3,−4) e que e´ ortogonal ao vetor N = (5,−2, 3)
Soluc¸a˜o. A equac¸a˜o geral do plano e´ da forma ax + by + cz = d ,
em que os coeficientes a, b e c sa˜o as coordenadas de um vetor
ortogonal ao plano. Neste caso, a equac¸a˜o do plano tem a forma
5x − 2y + 3z = d .
Substituindo o ponto P0 = (2, 3,−4), calculamos d .
5 · 2− 2 · 3 + 3 · (−4) = d ⇒ d = −8
Equac¸a˜o do plano 5x − 2y + 3z = −8 .
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Exemplo: Determine a equac¸a˜o geral do plano que passa por
P0 = (2, 3,−4) e que e´ ortogonal ao vetor N = (5,−2, 3)
Soluc¸a˜o. A equac¸a˜o geral do plano e´ da forma ax + by + cz = d ,
em que os coeficientes a, b e c sa˜o as coordenadas de um vetor
ortogonal ao plano. Neste caso, a equac¸a˜o do plano tem a forma
5x − 2y + 3z = d .
Substituindo o ponto P0 = (2, 3,−4), calculamos d .
5 · 2− 2 · 3 + 3 · (−4) = d ⇒ d = −8
Equac¸a˜o do plano 5x − 2y + 3z = −8 .
Planos, dado um ponto e um vetor normal
Exemplo: Determine a equac¸a˜o geral do plano que passa por
P0 = (2, 3,−4) e que e´ ortogonal ao vetor N = (5,−2, 3)
Soluc¸a˜o. A equac¸a˜o geral do plano e´ da forma ax + by + cz = d ,
em queos coeficientes a, b e c sa˜o as coordenadas de um vetor
ortogonal ao plano. Neste caso, a equac¸a˜o do plano tem a forma
5x − 2y + 3z = d .
Substituindo o ponto P0 = (2, 3,−4), calculamos d .
5 · 2− 2 · 3 + 3 · (−4) = d ⇒ d = −8
Equac¸a˜o do plano 5x − 2y + 3z = −8 .
Equac¸a˜o geral do plano
ax + by + cz = d
Para escrever a equac¸a˜o geral de um plano, precisamos de um
vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano.
Neste caso, este e´ um vetor normal ao plano.
Observe que N 6= ~0.
Em muitas situac¸o˜es, este vetor normal sera´ calculado pelo
produto vetorial.
A equac¸a˜o geral de plano na˜o e´ u´nica, pois todo mu´ltiplo na˜o nulo
de um vetor normal tambe´m e´ um vetor normal. (multiplicando a
equac¸a˜o ax + by + cz = d por um nu´mero na˜o nulo, na˜o alteramos o seu conjunto
soluc¸a˜o, mas mudamos o vetor normal.)
Equac¸a˜o geral do plano
ax + by + cz = d
Para escrever a equac¸a˜o geral de um plano, precisamos de um
vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano.
Neste caso, este e´ um vetor normal ao plano.
Observe que N 6= ~0.
Em muitas situac¸o˜es, este vetor normal sera´ calculado pelo
produto vetorial.
A equac¸a˜o geral de plano na˜o e´ u´nica, pois todo mu´ltiplo na˜o nulo
de um vetor normal tambe´m e´ um vetor normal. (multiplicando a
equac¸a˜o ax + by + cz = d por um nu´mero na˜o nulo, na˜o alteramos o seu conjunto
soluc¸a˜o, mas mudamos o vetor normal.)
Equac¸a˜o geral do plano
ax + by + cz = d
Para escrever a equac¸a˜o geral de um plano, precisamos de um
vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano.
Neste caso, este e´ um vetor normal ao plano.
Observe que N 6= ~0.
Em muitas situac¸o˜es, este vetor normal sera´ calculado pelo
produto vetorial.
A equac¸a˜o geral de plano na˜o e´ u´nica, pois todo mu´ltiplo na˜o nulo
de um vetor normal tambe´m e´ um vetor normal. (multiplicando a
equac¸a˜o ax + by + cz = d por um nu´mero na˜o nulo, na˜o alteramos o seu conjunto
soluc¸a˜o, mas mudamos o vetor normal.)
Equac¸a˜o geral do plano
ax + by + cz = d
Para escrever a equac¸a˜o geral de um plano, precisamos de um
vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano.
Neste caso, este e´ um vetor normal ao plano.
Observe que N 6= ~0.
Em muitas situac¸o˜es, este vetor normal sera´ calculado pelo
produto vetorial.
A equac¸a˜o geral de plano na˜o e´ u´nica, pois todo mu´ltiplo na˜o nulo
de um vetor normal tambe´m e´ um vetor normal. (multiplicando a
equac¸a˜o ax + by + cz = d por um nu´mero na˜o nulo, na˜o alteramos o seu conjunto
soluc¸a˜o, mas mudamos o vetor normal.)
Equac¸a˜o geral do plano
ax + by + cz = d
Para escrever a equac¸a˜o geral de um plano, precisamos de um
vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano.
Neste caso, este e´ um vetor normal ao plano.
Observe que N 6= ~0.
Em muitas situac¸o˜es, este vetor normal sera´ calculado pelo
produto vetorial.
A equac¸a˜o geral de plano na˜o e´ u´nica, pois todo mu´ltiplo na˜o nulo
de um vetor normal tambe´m e´ um vetor normal. (multiplicando a
equac¸a˜o ax + by + cz = d por um nu´mero na˜o nulo, na˜o alteramos o seu conjunto
soluc¸a˜o, mas mudamos o vetor normal.)
Equac¸a˜o geral do plano
ax + by + cz = d
Para escrever a equac¸a˜o geral de um plano, precisamos de um
vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano.
Neste caso, este e´ um vetor normal ao plano.
Observe que N 6= ~0.
Em muitas situac¸o˜es, este vetor normal sera´ calculado pelo
produto vetorial.
A equac¸a˜o geral de plano na˜o e´ u´nica, pois todo mu´ltiplo na˜o nulo
de um vetor normal tambe´m e´ um vetor normal. (multiplicando a
equac¸a˜o ax + by + cz = d por um nu´mero na˜o nulo, na˜o alteramos o seu conjunto
soluc¸a˜o, mas mudamos o vetor normal.)
Produto Vetorial em R3
Dados dois vetores V e W , queremos achar um vetor V ×W
ortogonal a V e a W .
Pergunta: Quantos vetores perpendiculares a V e a W existem?
Como sa˜o va´rios, mas todos paralelos, precisamos apenas fixar o
comprimento e o sentido.
Produto Vetorial em R3
Dados dois vetores V e W , queremos achar um vetor V ×W
ortogonal a V e a W .
Pergunta: Quantos vetores perpendiculares a V e a W existem?
Como sa˜o va´rios, mas todos paralelos, precisamos apenas fixar o
comprimento e o sentido.
Produto Vetorial em R3
Dados dois vetores V e W , queremos achar um vetor V ×W
ortogonal a V e a W .
Pergunta: Quantos vetores perpendiculares a V e a W existem?
Como sa˜o va´rios, mas todos paralelos, precisamos apenas fixar o
comprimento e o sentido.
Produto Vetorial em R3
Por definic¸a˜o, o comprimento de V ×W e´ a a´rea do paralelogramo
definido por V e W .
‖ V ×W ‖ = ‖ V ‖‖W ‖ sen(θ)
Ja´ temos a norma e a direc¸a˜o de V ×W .
Falta fixar o sentido.
Produto Vetorial em R3
Por definic¸a˜o, o comprimento de V ×W e´ a a´rea do paralelogramo
definido por V e W .
‖ V ×W ‖ = ‖ V ‖‖W ‖ sen(θ)
Ja´ temos a norma e a direc¸a˜o de V ×W .
Falta fixar o sentido.
Produto Vetorial em R3
Por definic¸a˜o, o sentido de V ×W e´ tal que:
V , W e V ×W , nesta ordem, satisfazem a regra da ma˜o direita.
Produto Vetorial em R3
Portanto o produto vetorial V ×W e´ caracterizado por:
I (norma) ‖ V ×W ‖ = ‖ V ‖‖W ‖ sen(θ).
I (direc¸a˜o) V ×W e´ perpendicular ao plano de V e W .
I (sentido) V , W e V ×W satisfazem a regra da ma˜o direita.
Produto Vetorial em R3
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Soluc¸a˜o. ?????????????
E´ muito dif´ıcil calcular o produto vetorial usando a definic¸a˜o que
foi dada.
Para fazer este ca´lculo, vamos explorar primeiro as propriedades de
V ×W .
Produto Vetorial em R3
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Soluc¸a˜o. ?????????????
E´ muito dif´ıcil calcular o produto vetorial usando a definic¸a˜o que
foi dada.
Para fazer este ca´lculo, vamos explorar primeiro as propriedades de
V ×W .
Produto Vetorial em R3
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Soluc¸a˜o. ?????????????
E´ muito dif´ıcil calcular o produto vetorial usando a definic¸a˜o que
foi dada.
Para fazer este ca´lculo, vamos explorar primeiro as propriedades de
V ×W .
Produto Vetorial em R3
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Soluc¸a˜o. ?????????????
E´ muito dif´ıcil calcular o produto vetorial usando a definic¸a˜o que
foi dada.
Para fazer este ca´lculo, vamos explorar primeiro as propriedades de
V ×W .
Propriedades do produto vetorial
Sejam V e W vetores em R3. Enta˜o
1. V ×W = −(W × V ).
2. V ×W = ~0 se V = αW ou se W = αV .
3. 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
4. Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).
5. V × (W + U) = V ×W + V × U.
Propriedades do produto vetorial
Sejam V e W vetores em R3. Enta˜o
1. V ×W = −(W × V ).
2. V ×W = ~0 se V = αW ou se W = αV .
3. 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
4. Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).
5. V × (W + U) = V ×W + V × U.
Propriedades do produto vetorial
Sejam V e W vetores em R3. Enta˜o
1. V ×W = −(W × V ).
2. V ×W = ~0 se
V = αW ou se W = αV .
3. 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
4. Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).
5. V × (W + U) = V ×W + V × U.
Propriedades do produto vetorial
Sejam V e W vetores em R3. Enta˜o
1. V ×W = −(W × V ).
2. V ×W = ~0 se V = αW ou se W = αV .
3. 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
4. Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).
5. V × (W + U) = V ×W + V × U.
Propriedades do produto vetorial
Sejam V e W vetores em R3. Enta˜o
1. V ×W = −(W × V ).
2. V ×W = ~0 se V = αW ou se W = αV .
3. 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉
= 0.
4. Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).
5. V × (W + U) = V ×W + V × U.
Propriedades do produto vetorial
Sejam V e W vetores em R3. Enta˜o
1. V ×W = −(W × V ).
2. V ×W = ~0 se V = αW ou se W = αV .
3. 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
4. Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).
5. V × (W + U) = V ×W + V × U.
Propriedades do produto vetorial
Sejam V e W vetores em R3. Enta˜o
1. V ×W = −(W × V ).
2. V ×W = ~0 se V = αW ou se W = αV .
3. 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
4. Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).
5. V × (W + U) = V ×W + V × U.
Propriedadesdo produto vetorial
Sejam V e W vetores em R3. Enta˜o
1. V ×W = −(W × V ).
2. V ×W = ~0 se V = αW ou se W = αV .
3. 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
4. Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).
5. V × (W + U) = V ×W + V × U.
Produto Vetorial em coordenadas
Vetores canoˆnicos: ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1).
Se V = (a, b, c), enta˜o podemos escrever
V = a~i + b~j + c~k
Produto Vetorial em coordenadas
Vetores canoˆnicos: ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1).
Se V = (a, b, c), enta˜o podemos escrever
V = a~i + b~j + c~k
Produto Vetorial em coordenadas
~i ×~i = ~0 ~j ×~i = −~k ~k ×~i =~j
~i ×~j = ~k ~j ×~j = ~0 ~k ×~j = −~i
~i × ~k = −~j ~j × ~k =~i ~k × ~k = ~0
Produto Vetorial em coordenadas
V = (v1, v2, v3) = v1~i + v2~j + v3~k
W = (w1,w2,w3) = w1~i + w2~j + w3~k
Aplicando a propriedade distributiva
V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
E´ mais fa´cil memorizar o seguinte determinante simbo´lico
V ×W = det
 ~i ~j ~kv1 v2 v3
w1 w2 w3

Produto Vetorial em coordenadas
V = (v1, v2, v3) = v1~i + v2~j + v3~k
W = (w1,w2,w3) = w1~i + w2~j + w3~k
Aplicando a propriedade distributiva
V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
E´ mais fa´cil memorizar o seguinte determinante simbo´lico
V ×W = det
 ~i ~j ~kv1 v2 v3
w1 w2 w3

Produto Vetorial em coordenadas
V = (v1, v2, v3) = v1~i + v2~j + v3~k
W = (w1,w2,w3) = w1~i + w2~j + w3~k
Aplicando a propriedade distributiva
V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
E´ mais fa´cil memorizar o seguinte determinante simbo´lico
V ×W = det
 ~i ~j ~kv1 v2 v3
w1 w2 w3

Aquele exemplo, novamente
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Agora ficou fa´cil:
V ×W = det
 ~i ~j ~k−1 3 0
2 1 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 3 01 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ −1 02 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ −1 32 1
∣∣∣∣ .
V ×W = 15~i + 5~j + (−7)~k = (15, 5,−7).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Aquele exemplo, novamente
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Agora ficou fa´cil:
V ×W = det
 ~i ~j ~k−1 3 0
2 1 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 3 01 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ −1 02 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ −1 32 1
∣∣∣∣ .
V ×W = 15~i + 5~j + (−7)~k = (15, 5,−7).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Aquele exemplo, novamente
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Agora ficou fa´cil:
V ×W = det
 ~i ~j ~k−1 3 0
2 1 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 3 01 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ −1 02 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ −1 32 1
∣∣∣∣ .
V ×W = 15~i + 5~j + (−7)~k = (15, 5,−7).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Aquele exemplo, novamente
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Agora ficou fa´cil:
V ×W = det
 ~i ~j ~k−1 3 0
2 1 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 3 01 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ −1 02 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ −1 32 1
∣∣∣∣ .
V ×W = 15~i + 5~j + (−7)~k = (15, 5,−7).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Aquele exemplo, novamente
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Agora ficou fa´cil:
V ×W = det
 ~i ~j ~k−1 3 0
2 1 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 3 01 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ −1 02 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ −1 32 1
∣∣∣∣ .
V ×W = 15~i + 5~j + (−7)~k = (15, 5,−7).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Aquele exemplo, novamente
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e
W = (2, 1, 5).
Agora ficou fa´cil:
V ×W = det
 ~i ~j ~k−1 3 0
2 1 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 3 01 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ −1 02 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ −1 32 1
∣∣∣∣ .
V ×W = 15~i + 5~j + (−7)~k = (15, 5,−7).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.