ALGEBRA LINEAR - UNIDADE 1

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ALGEBRA LINEAR
VETORES: segmento de reta orientado que apresenta módulo (tamanho), direção (horizontal e vertical) e sentido (para cima ou para baixo); e vai de um ponto à outro 
A		 B
Quando há apenas um ponto no espaço, é chamado vetor nulo. 
Dados dois vetores AB e CD, dizemos que AB é equivalente a CD se B-A=D-C. para verificar, considere:
A = (0,0), B = (2,3), C = (1,2), D = (1,1), E = (1,0), F = (-1,-1)
Então AD é equivalente a CB:
D-A = (1,1) – (0,0) = (1,1)
B-C = (2,3) – (1,2) = (1,1)
Adição de Vetores
Regra do paralelogramo: considerando dois vetores u e v, cuja soma u + v queremos encontrar. Para isso, precisamos traçar o segmento orientado AB e também um segmento AC, originando um ponto D. O vetor AD é o vetor soma de u + v. 
sendo três vetores, u v e w, temos as propriedades: 
1) Comutativa: u+v = v+u
2) Associativa: (u+v)+w = u+(v+w)
3) Elemento neutro: u+0 = u
4) Elemento oposto: u+(-u)=0
Adição de Vetores
A multiplicação de um vetor v ≠ 0 por um escalar e um escalar α≠0 chama-se produto do número real α pelo vetor v, o vetor αv tal que:
*Módulo: |α| |v|, ou seja, αv é o comprimento de v multiplicado por |α|
*Direção: |α| é paralelo a v
*Sentido: u e v têm o mesmo sentido se α>0, e contrário se α<0v
2v
-v
Sendo os vetores u e v e α e β escalares, são válidas as propriedades:
1) 
2) 
3) 
4) 
Tratamento Algébrico
 As operações com vetores podem ser definidas pelo sistema de coordenadas cartesianas. 
vetor e suas componentes: 
Assim podem-se realizar as operações de adição e multiplicação por escalar:
1. Adição dos vetores e é dada por:
2. Multiplicação de um vetor por um escalar α é dado por: 
Exemplo: se v=(2,3,0) e w=(-5,0,3) então: 
Outro exemplo é se v=(2,3,0) então 2vdeverá ser: 
Igualdade – Paralelismo – Módulo de um Vetor
Definições:
1) Dois vetores e são iguais se, e somente se, 
2) Se u e v são paralelos então e representamos seu paralelismo por 
3) O módulo do vetor é dado por 
Vetor Unitário
Todo vetor cujo módulo é 1, é um vetor unitário. Qualquer vetor pode ser transformado em unitário pela fórmula 
Existem três vetores unitários especiais: , e no plano tridimensional. No bidimensional, serão apenas e 
Exemplos: 
W=(3,2,5) determinar a e b de modo que os vetores u=(2,1,4) e v=(a,6,b)+ 2w sejam paralelos.
u=αv
2w=(2.3,2.2,2.5) = (6,4,10)
v=(a,6,b)+2(3,2,5)
v=(a,6,b)+(6,4,10)
v=((a+6),(6+4),(b+10))
v=v=((a+6);(10);(b+10))
proporcionalidade de u e v = 
u=(2,1,4)/ v=(14,6,30)
Produto Escalar
Produto escalar é o produto entre dois vetores, cujo resultado é escalar. ex: sejam dois vetores u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3) o produto será: 
Exemplo: dados os vetores e calcule o produto escalar de u por v:
PROPRIEDADES:
1. 
2. e 
3. 
Definições geométricas
É possível encontrar ângulos entre dois vetores pelo produto escalar:
Para calcular basta isolar o ângulo da equação:	 
Exemplo: calcular ângulo entre os vetores u=(1,1,-1) e v=(2,-1,0):
Obs: (inverso do ângulo)
Ângulos diretores
Ângulo diretor é o ângulo que o vetor forma com os eixos coordenados
Podemos encontrar qualquer um dos três ângulos:
Propriedades: 
Vetores ortogonais
São ortogonais quando o produto escalar for nulo; têm ângulo de 90° entre si. Exemplo: considere dois vetores u=(a,-2) e v=(5,6). Calcule o valor de a para que os vetores u e v sejam ortogonais:
Aplicações na parte computacional: O uso de vetores na parte computacional é de muita importância, pois na computação gráfica as posições de um objeto no espaço são representadas por vetores. Nessa parte, para que um objeto translade ou rotacione será aplicada uma matriz neste vetor posição. Entraremos em detalhes nessa parte nas unidades II e III.
Produto Vetorial
É o produto de vetores em três dimensões. O módulo do resultado do produto vetorial pode ser escrito como:
Nesse caso o módulo do produto vetorial será máximo quando o ângulo for de 90°.
O produto vetorial também pode resultar em outro vetor, que pode ser encontrado pelo cálculo do determinante. Tendo u=(u1,u,2,u3) e v=(v1,v2,v3), o produto vetorial entre eles será dado por:
Nesse caso, o determinante da matriz será o produto vetorial.
Exemplo: calcule o produto vetorial u.v, sendo u=(1,2,3) e v=(0,1,-1)
O módulo desse vetor será: 
PROPRIEDADES:
1. 
2. 
3. 
Produto Misto
Considerando três vetores u, v e w no espaço tridimensional, podemos calcular o produto misto entre eles por 
Exemplo: considere u=(3,2,-1), v=(0,2,-3) e w=(2,6,-7) calcule o produto misto
Equação da Reta
As retas podem estar no plano R2 (x,y) ou tridimensional R3 (x,y,z).
Para o plano (x,y) teremos o cálculo. Onde m é o coeficiente da reta, dado por:
 
Exemplo: escreva a equação da reta que passa pelos pontos (0,0) e (2,3)
Equação Vetorial da Reta
A reta pode ser determinada também conhecendo dois dos seus pontos ou um dos pontos e sua inclinação.
Considere AP = tv
Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(1,-1,4) e tem direção vetor v=(2,3,2). Então teremos:
Para obter as coordenadas dos pontos devemos atribuir valores a t:
Para 
Para 
Para 
Equação paramétrica: devemos usar uma equação paramétrica para determinar as coordenadas de um ponto na reta r quando já sabemos uma de suas coordenadas. Dessa forma, teremos:
 ou 
Podemos dividi-las em:
Exemplo: determine a equação paramétrica de uma reta que passa pelo ponto A(3,-4,2) e é paralela ao vetor v=(2,1,-3). Teremos:
Supondo dois pontos (B e C) na reta r e adotando os parâmetros t=2 e t=3, obtemos:
Desse modo os pontos são definidos B (7,-2,-4) C (9,-1,7)
Equação simétrica: para obter as equações simétricas, basta isolar o t das equações paramétricas e igualar as mesmas
Equação do plano
Considerando a figura abaixo onde o ponto pertence ao plano α e n=(a,b,c) é um vetor normal ao plano. O plano α é o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor AP é ortogonal a n. O ponto P pertence a um determinado plano se, e somente se:
Essa equação é um produto escalar entre dois vetores.
Sabemos que a equação geral do plano é:
Onde 
O vetor n é ortogonal a qualquer outro vetor representado nesse plano.
Exemplo: determinar a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,-4,2) sabendo que o vetor v=(2,1,-3) é normal ao plano
Posições relativas entre retas e planos
Dado um plano π de equação geral e equação paramétrica da reta r 
Nessa situação a reta r e o plano serão transversais se 
Se então são paralelas
Caso não seja transversal poderemos ter: reta r paralela ao plano π de forma disjunta do plano; reta r contida no plano π.
Exemplo: demonstra que a reta abaixo é paralela ao plano. 
Equação da reta 
Equação do plano 
Posições relativas entre planos
Dois planos podem ser paralelos, transversais e coincidentes. Exemplo: sejam dois planos
π1 e π2 são paralelos se seus vetores normais n forem paralelos também. Contudo se: 
Onde é uma constante de proporcionalidade, então temos que os panos são coincidentes. Caso não haja a proporcionalidade, então os planos são ditos paralelos distintos
Já se π1 e π2 forem transversais, os vetores normais não são paralelos, ou seja, não existe proporcionalidade entre .
Se os planos forem transversais, então a reta r determinada pela interseção dos dois planos deve ser perpendicular aos vetores normais