Parte 2 - Probabilidade

Prévia do material em texto

Continuação Probabilidade
Prof. MSc Paula Andrade
1
Conceitos básicos
 Experimento: qualquer processo que gere um conjunto
de dados.
Exemplos:
 Avaliar a situação de uma determinada área quanto a
degradação
 Medir a concentração de um poluente numa porção de
água extraída de um rio que corta uma cidade.
2
Conceitos básicos
 Observação: qualquer informação registrada, seja ela
categórica ou numérica.
Exemplos:
 Situação de um área avaliada quanto a degradação
(assume-se como sendo degradada ou não-degradada).
 Concentração de um poluente numa porção de água
extraída de um rio que corta uma cidade.
3
Conceitos básicos
 Espaço amostral (S ou ): é o conjunto de todos os
resultados (observações) possíveis de um experimento
estatístico.
Exemplos:
 Todas as situações possíveis de uma determinada área
quanto a degradação.
S =  = {degradada, não-degradada}
 Todas as concentrações p possíveis de um poluente
numa porção de água extraída de um rio que corta uma
cidade
S =  = {p  0}
4
Conceitos básicos
 Complemento: O complemento de um evento A
relacionado a S =  é o subconjunto de todos os
elementos de S =  que não estão em A. Representamos
o complemento de A pelo símbolo, A’ = Ac.
 (Lê-se: A complementar).
5
Conceitos básicos
 Complemento:
Exemplos:
 Dada um espaço amostral S =  = {p  0} de todas as
concentrações p possíveis de um poluente numa porção
de água extraída de um rio que corta uma cidade. Se o
evento A são as concentrações onde p vale até 5, então A’
= Ac é dado por:
A’ = Ac = {p|p > 5}
6
Conceitos básicos
 Complemento:
Observação:
A’ = Ac  A = S = 
7
8
Conceitos básicos
 Intersecção de dois eventos: A intersecção de dois
eventos A e B, é o evento que contém todos os
elementos comuns a A e a B.
Exemplo: Seja C um evento no qual uma pessoa
selecionada aleatoriamente em um ciber-café é um
estudante universitário e M o evento no qual essa pessoa é
do sexo masculino. Então C  M é o evento formado por
todos os estudantes universitários do sexo masculino no
ciber-café.
9
Conceitos básicos
 Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos: Dois
eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se
A  B = , ou seja, se A e B não tiverem elementos em
comum.
Exemplo: Seja o experimento de lançar um dado e observar
sua face. Considere também o evento A como sendo face par
e B, o evento face impar, ou seja, A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}.
Então, como A  B =  os eventos A (face par) e B (face
impar) são ditos mutuamente exclusivos ou disjuntos.
10
Conceitos básicos
 União de dois eventos: A união de dois eventos A e B,
denotada pelo símbolo A  B, é o evento que contém todos
os elementos que pertencem a A ou B, ou a ambos.
Exemplo: Seja o experimento de lançar um dado e observar
sua face. Considere também o evento A como sendo face
menor ou igual a 4 e B, o evento face igual a 6, ou seja, A =
{1, 2, 3, 4} e B = {6}. Então,
A  B = {1, 2, 3, 4, 6}
11
Probabilidade de um evento
 Exemplo: Uma moeda é jogada três vezes. Qual a
probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara?
Solução: Fazendo H = cara e T = coroa, o espaço amostral
para esse experimento é:
S =  = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT, TTT}.
Se a moeda for balanceada (honesta), cada um desses
resultados poderá igualmente ocorrer. Assim, atribuímos uma
probabilidade  para cada ponto amostral. Então 8 = 1  
= 1/8.
12
Probabilidade de um evento
 Exemplo: Uma moeda é jogada três vezes. Qual a
probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara?
Solução: (continuação)
Se A representa o evento da ocorrência de pelo menos uma
cara, então:
A = {HHH, HTH, THH, TTH, HHT, HTT, THT}. 
e
P(A) = 1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8 =7/8 
13
Probabilidade de um evento
 Teorema: Se um experimento pode resultar em
qualquer um de N diferentes resultados equiprováveis,
e se exatamente n desses resultados correspondem ao
evento A, então a probabilidade do evento A é:
14
# #
( )
# #
A A n
P A
S N
  

Probabilidade de um evento
 Exercício: Uma sala de aula de engenharia consiste de
25 estudantes de engenharia industrial, 10 de mecânica,
10 de elétrica e 8 de engenharia civil. Se uma pessoa é
selecionada aleatoriamente pelo instrutor para responder
a uma pergunta, determine a probabilidade de que o
estudante escolhido seja
a) Um estudante de engenharia industrial
b) Um estudante de engenharia civil ou elétrica.
15
Regras aditivas
 Teorema: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
16
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B    
 Corolário 1: Se A e B são mutuamente exclusivos (ou
disjuntos), então:
( ) ( ) ( )P A B P A P B  
 Corolário 2: Se A1, A2, A3, ..., An são mutuamente
exclusivos, então:
1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )n nP A A A P A P A P A      
Regras aditivas
 Teorema: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
17
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B    
 Corolário 3: Se A1, A2, A3, ..., An são mutuamente exclusivos
A1A2A3... An = (ou seja, formam uma partição do espaço
amostral  , então:
1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1n nP A A A P A P A P A P         
Regras aditivas
 Teorema: Para três eventos A, B e C quaisquer, temos:
18
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P A B C
P A P B P C P A B P A C P B C P A B C
  
          
Regras aditivas
19
 Exercício: João vai se formar em engenharia ambiental no
final do semestre. Depois de ser entrevistado por duas
empresas, ele avalia que a probabilidade de conseguir uma
oferta da empresa A é de 0,8 e da empresa B é de 0,6. Se,
por outro lado, ele crê que a probabilidade de conseguir
uma oferta das duas empresas é de 0,5, qual é a
probabilidade de que ele consiga uma oferta de pelo menos
uma das empresas?
Regras aditivas
 Teorema: Se A e A’ = Ac são eventos complementares,
então
P(A) + P(A’) = 1  P(A) = 1 – P(A’) 
20
Probabilidade condicional
A probabilidade de um evento B ocorrer quando sabemos que
algum evento A ocorreu é chamada de probabilidade
condicional e é denotada por P(B|A) “Lê-se: probabilidade de
B dado A”
 Teorema: A probabilidade condicional de B dado A,
denotada por P(B|A), é definida por:
21
( ) ( )
( | ) , ( ) 0
( ) ( )
P B A P A B
P B A P A
P A P A
 
  
Probabilidade condicional
22
 Exercício: a probabilidade de que um voo regular parta
na hora é P(D) = 0,83; a probabilidade de que chegue na
hora é P(A) = 0,82; e a probabilidade de que o voo parta e
chegue na hora é P(DA) = 0,78. Determine a
probabilidade de que
a) O avião chegue na hora, dado que partiu na hora.
b) O avião partir na hora, dado que chegou na hora.
Probabilidade condicional
 Definição (Eventos Independentes): Dois eventos A e B
são independentes se somente se
P(B|A) = P(B) ou P(A|B) = P(A)
Desde que as probabilidades condicionais existam. Caso
contrário, A e B serão dependentes.
23
Regras multiplicativas
Teorema: Se em um experimento ambos os
eventos A e B podem ocorrer, então
P(AB) = P(A)P(B|A), desde que P(A) > 0.
24
25
 Exercício: Suponha que temos uma caixa com 20
fusíveis, dentre os quais cinco apresentam defeito. Se
dois fusíveis são selecionados aleatoriamente e
removidos da caixa, sucessivamente, sem reposição do
primeiro, qual é a probabilidade de que ambos
apresentem defeito?
Regras multiplicativas
 Teorema (INDEPENDÊNCIA): Dois eventos A e B são
independentes se e somente se
P(AB) = P(A)P(B)
Portanto, para obter a probabilidade de que ambos os 
eventos ocorrerão, simplesmente determinamos o produto 
de suas probabilidades individuais.
26
27
 Exercício: Uma pequena cidade tem um caminhão de
bombeiros e uma ambulância para as emergências. A
probabilidade de que o caminhão de bombeiros esteja
disponível quando necessário é de 0,98 e a ambulância é
de 0,92. No caso de um ferimento causado por um incêndio
em um prédio, determine a probabilidade de a ambulância e
o caminhãode bombeiros estarem disponíveis.