Lista de Exercício Matrizes 0 1

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LISTA DE EXERCÍCIOS 
Autor:Flávia Barbosa
1	Matrizes
Exercício 1. Crie uma situação cotidiana cujas informações podem ser expressas por uma matriz 3 × 3.
Exercício 2. Determine a,b,c,d,e,f de tal forma que a matriz A seja simétrica:
.
Exercício 3. Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se aij = −aji. Prove que os valores da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica qualquer são todos nulos.
Exercício 4. Sejam. Calcule, quando possível:
· B + C
• 
· A.B
· (A.B).Ct
· A.C + Ct.A
Exercício 5. Dadas . Mostre que
A.B = A.C.
Exercício 6. Seja. Existe uma matriz C tal que CA = B?
Exercício 7. Sejam. Verifique que A(AB) = A2B.
Exercício 8. Calcule e determine os valores reais ou complexos de λ de modo
que det(A) = 0.
Exercício 9. Sem cálculo, provar que a matriz tem determinante igual a zero quaisquer que sejam
x,y,z ∈ R.
Exercício 10. Sejam A,B e C matrizes de ordem 2 e seja
,
de ordem 4. Prove que det(X) = det(A)det(B). Este resultado vale também para matrizes A,B e C de ordem n. Exercício 11. Seja uma matriz de ordem 4, com x,y,z,t ∈ R. Calcular det(A) e provar que A é inversível, se ao menos um dos 4 números x,y,z,t não for nulo.
Exercício 12. Dada a matriz, escreva em termos de a,b,c,d ∈ R a inversa de A assumindo que ad − bc 6= 0.
Exercício 13. Encontre a inversa da matriz.
Exercício 14. Sejam . Determine matrizes elementares E1,...,Ek tais que Ek ...E1A = I3.
Exercício 15. Descreva todas as matrizes 2 × 2 LRFE.
Exercício 16. Considere
 .
Encontre uma matriz R, LRFE, que é linha equivalente a A e uma matriz invertível P tal que R = P · A.
Exercício 17. Considere
 .
Determine para quais, existe um escalar c tal que A · X = c · X.
Exercício 18. Verifique se a matriz
1 2 3 4
A = 0 2 3 40 0 3 4

0 0 0 4
é invertível. Em caso afirmativo, determine A−1.
Exercício 19. Considere as matrizes
 .
Usando operações elementares verifique se as matrizes são invertíveis e encontre a inversa no caso em que for.
Exercício 20. Seja
.
Usando operações elementares, prove que A é invertível se e somente se (ad − bc) 6= 0.
Exercício 21. Suponha A ∈ M2×1(R) e B ∈ M1×2(R). C = A · B é invertível? Prove ou dê um contra exemplo.
Exercício 22. Seja A ∈ Mn (R). Prove que:
1. Se A é invertível e A · B = 0, para alguma matriz B ∈ Mn (R), então B = 0.
2. Se A não é invertível, então existe uma matriz B ∈ Mn (R) tal que A · B = 0 mas B = 06.
Exercício 23. Uma matriz n × n A é chamada de triangular superior se aij = 0 para todo i > j. Prove que uma matriz triangular superior é invertível se, e somente se as entradas da diagonal são diferentes de zero.
Exercício 24. Duas matrizes A e B serão ditas semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que A = P−1·B·P. Prove que se A e B são semelhantes então det(A) = det(B).
Exercício 25. Reduza as seguintes matrizes a LRFE.
	2 −3
1. 4 −6
	1	1
	.
	2. 
	.
	3. 
	.
Exercício 26. Seja uma matriz 2×2. Existem matrizes X e Y de ordem 2 tais que A = XY −Y X?
Prove que a resposta é afirmativa se, e somente se, a11+ a22 = 0.
2	Sistemas lineares
Exercício 27. Considere
 .
Tais sistemas são equivalentes? Em caso afirmativo, mostre como obter um sistema a partir do outro.
Exercício 28. Faça o mesmo do exercício anterior para e
 .
Exercício 29. Determine todas as soluções de
 .
Exercício 30. Determine, tal que, se então o sistema A · X = Y tem solução.
Exercício 31. Suponha R e R0 duas matrizes LFRE, 2×3, tais que R·X = 0 e R0 ·X = 0 têm as mesmas soluções. Mostre que R = R0.
Exercício 32. Para quais valores de a o seguinte sistema tem solução nula? Infinitas soluções? Uma única solução?
Exercício 33. Seja	
a matriz ampliada de um sistema de equações lineares. Determine para quais valores de a e b o sistema:
1. tem uma única solução?
2. infinitas soluções, com duas incógnitas em função de uma?
3. infinitas soluções, com uma incógnita em função de duas?
4. não admite soluções?
Exercício 34. Resolva o sistema em x,y e z
 .
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