Algebra Linear - Vitor

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Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
Plano de aula de Álgebra Linear
Aula 1: O estudo das matrizes.
• Matrizes: Uma matriz real (ou complexa) do tipo m × n é uma tabela de m · n números reais (ou números
complexos) dispostos em m linha e n colunas;
• Observações:
1. As matrizes serão representadas por letras maiúsculas do nosso alfabeto;
2. Caso m = n, dizemos que a matriz é de ordem n;
3. M(m× n,R) indicará o conjunto de todas as matrizes reais do tipo m× n;
• Representação genérica de uma matriz: De forma genérica, podemos representar uma matriz por
A = (aij)m×n =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn

O śımbolo aij representa a entrada da matriz A que ocupa a linha i e a coluna j. Ás vezes, uma matriz pode
ser dada por uma lei de formação aij = f(i, j);
• Matrizes Especiais: Algumas matrizes aparecerão com frequência durante o curso e merecem destaque especial.
1. Matrizes quadradas: é toda matriz em que m = n. Em particular, as entradas aij com i = j formam a
diagonal principal dessa matriz;
2. Matriz nula: é toda matriz em que aij = 0, ∀ i ∈ {1, 2, . . . ,m}, ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n};
3. Matriz coluna: é toda matriz em que n = 1;
4. Matriz linha: é toda matriz em que m = 1;
5. Matriz diagonal: é toda matriz quadrada em que aij = 0, ∀ i 6= j;
6. Matriz identidade: é toda matriz diagonal em que aij = 1, ∀ i = j;
7. Matriz triangular superior: é toda matriz quadrada em que aij = 0, ∀ i > j;
8. Matriz triangular inferior: é toda matriz quadrada em que aij = 0, ∀ i < j;
• Igualdade de matrizes: Sejam A = (aij)m×n e B = (bij)r×s. Definimos:
A = B ⇐⇒ m = r, n = s e aij = bij , ∀ i, j
• Adição de matrizes: Sejam A = (aij)m×n e B = (bij)m×n. Definimos a matriz soma C = A+B por:
C = (cij)m×n , em que cij = aij + bij , ∀ i, j
• Matriz oposta: Dada uma matriz A = (aij)m×n, definimos a matriz oposta de A, denotada por −A, da seguinte
maneira:
−A = (−aij)m×n
• Subtração de matrizes: Sejam A = (aij)m×n e B = (bij)m×n. Definimos:
A−B = A+ (−B)
• Propriedades da adição de matrizes:
1. A+B = B +A;
2. A+ (B + C) = (A+B) + C;
3. A+ 0 = A, em que 0 representa a matriz nula do tipo m× n;
4. A+ (−A) = 0;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar: Sejam A = (aij)m×n e k ∈ R. Definimos:
kA = (kaij)m×n
• Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar:
1. k1(k2A) = (k1k2)A;
2. k(A+B) = kA+ kB;
3. (k1 + k2)A = k1A+ k2A;
4. 1 ·A = A;
• Transposição de matrizes: Seja A = (aij)m×n. Definimos a transposta de A, denotada por A
T , da seguinte
maneira:
AT = (aji)n×m
• Propriedades da transposição de matrizes:
1. (A+B)
T
= AT +BT ;
2. (kA)
T
= kAT ;
3.
(
AT
)T
= A;
• Matrizes simétricas e matrizes anti-simétricas: Seja A = (aij)m×n. Dizemos que A é uma matriz simétrica se
AT = A. Se AT = −A, dizemos que A é anti-simétrica;
• Multiplicação de matrizes. Sejam A = (aij)m×n e B = (bij)n×p. Definimos o produto C = A ·B por
C = (cij)m×p , em que cij =
n∑
k=1
aikbkj
• Observações:
1. An = A ·A · . . . ·A indicará o produto da matriz A por ela mesma n vezes;
2. Em geral, A ·B 6= B ·A quando tais produtos existem;
3. A ·B = 0 não acarreta A = 0 ou B = 0;
4. A · I = A e I ·A = A, em que I é a matriz identidade de ordem correspondente;
5. A · (B + C) = A ·B +A · C;
6. (A+B) · C = A · C +B · C;
7. (A ·B) · C = A · (B · C);
8. (A ·B)T = BT ·AT ;
9. 0 ·A = 0, desde que tal produto esteja definido;
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Lista de Exerćıcios 1 - Álgebra Linear
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendações:
• Mencione todas as vezes que você utilizar um resultado importante;
• Todos os cálculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Não omita nenhum cálculo;
1a Questão: Determine a matriz soma C = (cij)3×3 das matrizes A = (aij)3×3 e B = (bij)3×3, em que aij = i
2 + j2
e bij = 2ij.
Resp.: C =
 4 9 169 16 25
16 25 36

2a Questão: Antônio, Bernardo e Cláudio sáıram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no
domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
S =
 4 1 40 2 0
3 1 5
 e D =
 5 5 30 3 0
2 1 3

S refere-se às despesas de sábado e D refere-se às despesas de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes
que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3.
(a) Quem bebeu mais chopes no fim de semana?
(b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
Resp.: (a) Cláudio (b) 2
3a Questão: Resolva o sistema matricial
{
X + Y = 3A
X − Y = 2B
, em que A =
(
2 0
0 4
)
e B =
(
1 5
3 0
)
.
Resp.: X =
(
4 5
3 6
)
e Y =
(
2 −5
−3 6
)
4a Questão: Sendo A =
(
1 1
0 1
)
, determine uma expressão para An, n ∈ N.
Resp.: An =
(
1 n
0 1
)
5a Questão: Um projeto de pesquisa sobre dietas envolve adultos e crianças de ambos os sexos. A composição
dos participantes no projeto é dada pela matriz
 adultos crianças80 120 masculino
100 200 feminino
. O número diário de grams de
protéınas, de gorduras e de carboidratos consumidos por criança e por adulto é dado pela matriz protéınas gorduras carboidratos20 20 20 adultos
10 20 30 crianças

Considerando essas informações, julgue em verdadeiro ou falso as afirmações dadas abaixo. Justifique suas respostas.
(a) 6000 g de protéınas são consumidos diariamente por adultos e crianças do sexo masculino.
(b) A quantidade de gorduras consumida diariamente por adultos e crianças do sexo masculino é 50% menor que a
consumida por adultos e crianças do sexo feminino.
(c) As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente um total de 13200 g de carboidratos.
Resp.: (a) F (b) F (c) V
6a Questão: O gerente de uma danceteria fez um levantamento sobre a frequência da casa em um final de semana e
enviou a seguinte tabela para o proprietário: rapazes moças80 60 sábado
? 75 domingo

O gerente esqueceu de informar um campo da tabela, mas sabia que, curiosamente, a arrecadação nos dois dias foi a
mesma. Sabendo que o ingresso para rapazes é R$15, 00 e para moças é R$12, 00, faça o que se pede:
(a) Represente, através do produto de matrizes, a matriz que fornece a arrecadação da casa em cada dia.
(b) Qual o valor do campo que ficou sem ser preenchido?
Resp.: (a)
(
80 60
? 75
)(
15
12
)
=
(
1920
15? + 900
)
(b) ? = 68
7a Questão: Sejam In×n e Im×m as matrizes identidades de ordem n e m, respectivamente. Mostre que, se
A = (aij)m×n é uma matriz arbitrária, então Im×mA = A e AIn×n = A.
Resp.: Para C = Im×mA, basta observar que cij =
m∑
k=1
δikakj = aij , uma vez que δik =
{
0, se i 6= k
1, se i = k
. Análogo para
D = AIn×n.
8a Questão: Para matrizes A e B arbitrárias, tais que os produtos envolvidos estejam definidos, pergunta-se: as
igualdades (A−B)(A+B) = A2 −B2 e (A+B)2 = A2 + 2AB +B2 são válidas? Justifique sua resposta.
Resp.: São falsas, pois, em geral, o produto de matrizes não é comutativo.
9a Questão: Dizemos que uma matriz quadrada A de ordem n é nilpotente, se existe k ∈ N tal que Ak = 0. Nesse
caso, a ordem de nilpotência de A é o menor k ∈ N tal que Ak = 0. Mostre que A =

0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
 é nilpotente,
com ordem de nilpotência 4.
Resp.: Basta mostrar que A4 = 0.
10a Questão: Determine todas as matrizes X de ordem 2 tais que X2 = 0, isto é, todas as matrizes X de ordem 2
que são nilpotentes, com ordem de nilpotência 2.
Resp.: X =
(
0 0
c 0
)
, com c ∈ R, ou ainda, X =
 a b
−a
2
b
−a
, com a, b ∈ R.
4
11a Questão: Dizemos que uma matriz quadrada A de ordem n é idempotente se A2 = A.
(a) Mostre que A =
(
1
2 1
1
4
1
2
)
é idempotente.
(b) Existe x ∈ [0, 2π) tal que a matriz A(x) =
(
cosx 1
0 sinx
)
seja idempotente?
Resp.: (a) Calcule A2 e compare com A (b) x = 0 e x =
π
2
12a Questão: Dizemos que umamatriz quadrada A de ordem n é simétrica, se A = AT . Determine os valores de x,
y, e z que tornam a matriz
 1 x 52 7 −4
y z −3
 simétrica.
Resp.: x = 2, y = 5 e z = −4.
13a Questão: Dizemos que uma matriz quadrada A de ordem n é anti-simétrica, se A = −AT . Determine os valores
de x, y e z que tornam a matriz
 0 −4 2x 0 1− z
y 2z 0
 anti-simétrica. Mostre que os elementos da diagonal principal
de qualquer matriz anti-simétrica são nulos.
Resp.: x = 4, y = −2 e z = −1.
14a Questão: Mostre as seguintes afirmações:
(a) Se A e B são simétricas, então A+B é simétrica.
(b) Se A e B são anti-simétricas, então A+B é anti-simétrica.
(c) Se A é simétrica, então kA é simétrica, ∀k ∈ R.
(d) Se A é anti-simétrica, então kA é anti-simétrica, ∀k ∈ R.
Resp.: (a) Mostre que (A + B)T = A + B (b) Mostre que (A + B)T = −(A + B) (c) Mostre que (kA)T = kA
(d) Mostre que (kA)T = −kA.
15a Questão: Seja A = (aij)n×n uma matriz arbitrária. Mostre que:
(a) A matriz S =
1
2
(A+At) é simétrica.
(b) A matriz T =
1
2
(A−At) é anti-simétrica.
(c) Qualquer matriz quadrada de ordem n pode ser escrita como uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz
anti-simétrica.
Resp.: (a) Mostre que ST = S (b) Mostre que TT = −T (c) Escreva A = S + T .
16a Questão: Determine os valores de x, y, z e w, tais que
(
x y
z w
)(
2 3
3 4
)
=
(
1 0
0 1
)
.
Resp.: x = −4, y = z = 3 e w = −2.
17a Questão: Dadas A =
 1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
, B =
 1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2
 e C =
 2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0
, mostre que
AB = AC.
18a Questão: Suponha que A 6= 0 e que AB = AC, em que A, B e C são matrizes tais que os produtos anteriores
estão bem definidos. Responda o que se pede:
(a) É verdade que B = C?
(b) Suponha que exista uma matriz Y , tal que Y A = I, em que I é a matriz identidade. É verdade que B = C?
5
Resp.: (a) Falso. Contra-exemplo: vide exerćıcio anterior. (b) Verdadeiro. Como AB = AC, segue que
Y (AB) = Y (AC), isto é, (Y A)B = (Y A)C, ou seja, B = C.
19a Questão: Para cada α ∈ R, considere a matriz Tα =
(
cosα − sinα
sinα cosα
)
. Mostre que:
(a) TαTβ = Tα+β .
(b) T−α = T
T
α .
Resp.: (a) Calcule o produto TαTβ e use as identidades trigonométricas cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ e
sin(α+β) = sinα cosβ+ sinβ cosα (b) Basta notar que as funções seno e cosseno são, respectivamente, ı́mpar e par.
20a Questão: Suponhamos que A e B sejam matrizes simétricas. Pergunta-se: AB é uma matriz simétrica? Prove
ou dê um contra-exemplo.
Resp.: Falso, pois (AB)T = BTAT = BA e, em geral, AB 6= BA.
21a Questão: Seja A =
(
2 3
1 4
)
. Mostre que A anula o polinômio p(x) = x2 − 6x+ 5.
Resp.: Calcule p(A) = A2 − 6A+ 5I, em que I é a matriz identidade de ordem 2.
22a Questão: Mostre que, se A e B são duas matrizes que comutam com a matriz J =
(
0 1
−1 0
)
, então A e B
comutam, isto é, AB = BA.
Resp.: Sejam A =
(
a b
c d
)
e B =
(
x y
z w
)
. Através das relações AJ = JA e BJ = JB, mostre que
A =
(
a b
−b a
)
e B =
(
x y
−y x
)
. Faça os produtos AB e BA e compare-os.
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Plano de aula de Álgebra Linear
Aula 2: Equações e sistemas de equações lineares. Sistemas e matrizes.
• Equações lineares: Toda equação da forma
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b (∗)
é denominada equação linear nas incógnitas x1, x2, . . . , xn. Os números a1, a2, . . . , an ∈ R são denominados
coeficientes e b ∈ R é denominado termo independente. Uma solução de (∗) é uma n-upla de números reais
(γ1, γ2, . . . , γn) tal que
a1γ1 + a2γ2 + . . .+ anγn = b
é uma identidade;
• Observações:
1. Se b = 0, a equação (∗) é denominada homogênea;
2. Toda equação linear homogênea admite a n-upla (0, 0, . . . , 0) como solução;
3. Toda equação linear da forma 0x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b, b 6= 0, não admite solução e é denominada equação
linear do tipo imposśıvel;
4. Excetuando a possibilidade de equação linear do tipo imposśıvel, qualquer outra equação linear admite
infinitas soluções;
• Sistema de m equações lineares a n incógnitas: É um conjunto de m equações lineares com n incógnitas cada,
ou seja, 
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
(?)
Uma solução de (?) é uma n-upla de números reias (γ1, γ2, . . . , γn) que é solução de cada equação linear do
sistema;
• Observações:
1. Se b1 = b2 = . . . = bm = 0, o sistema (?) é denominado homogêneo;
2. Todo sistema linear homogêneo admite a n-upla (0, 0, . . . , 0) como solução;
3. Se o sistema (?) apresenta uma equação linear do tipo imposśıvel, então tal sistema não admite conjunto
solução;
• Classificação de sistemas lineares: Todo sistema linear se enquadra em uma, e apenas uma, das situações abaixo:
1. Sistema posśıvel e determinado (S. P. D.): o sistema linear possui uma única solução;
2. Sistema posśıvel e indeterminado (S. P. I.): o sistema linear possui infinitas soluções;
3. Sistema imposśıvel (S. I.): o sistema linear não admite conjunto solução;
• Sistemas lineares equivalentes: Dois sistemas lineares são ditos equivalentes se, e somente se, toda solução de
qualquer um dos sistemas também é solução do outro;
• Sistemas lineares e matrizes: O sistema linear
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
pode ser reescrito em notação matricial
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn

︸ ︷︷ ︸
A

x1
x2
...
xn

︸ ︷︷ ︸
X
=

b1
b2
...
bm

︸ ︷︷ ︸
B
,
ou seja, AX = B. As matrizes A, X e B são denominadas matriz dos coeficientes, matriz das incógnitas e matriz
dos termos independentes, respectivamente. A matriz
a11 a12 . . . a1n
... b1
a21 a22 . . . a2n
... b2
...
...
. . .
...
...
...
am1 am2 . . . amn
... bm

é denominada matriz ampliada (ou aumentada) do sistema e reúne informações sobre a matriz dos coeficientes
e dos termos independentes simultaneamente;
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Lista de Exerćıcios 1 - Álgebra Linear
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendações:
• Mencione todas as vezes que você utilizar um resultado importante;
• Todos os cálculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Não omita nenhum cálculo;
23a Questão: Quais das equações dadas abaixo são lineares?
(a) 2x1 + lnx2 − x3 = ln 2;
(b) (
√
3)x1 − (
√
2)x2 + x3 = 5;
(c) x1 +mx2 + x
2
3 = n, em que m, n ∈ R;
(d) (ln 3)x1 + (e
π
√
2)x2 − x3 + x4 = ln 5;
(e) a1x1 + a2x2 + a3x3x4 = b, em que a1, a2, a3, b ∈ R;
Resp.: (b) e (d)
24a Questão: Faça o que se pede:
(a) Verifique se (2, 0,−3) é solução da equação linear 2x1 + 5x2 + 2x3 = −2.
(b) Encontre uma solução para a equação linear 2x1 − x2 − x3 = 0, diferente da solução trivial (0, 0, 0).
(c) Verifique se a tripla ordenada (0,−3,−4) é solução do sistema de equações lineares

x+ y − z = 1
2x− y + z = −1
x+ 2y + z = 2
.
Resp.: (a) É solução (b) (1, 1, 1) (c) Não é solução
25a Questão: Escreva cada sistema linear dado abaixo na forma matricial. Em seguida, escreva a matriz ampliada
associada a ele:
(a)

3x− 2y = 4
−2x+ y = 0
x+ 4y = −1
(b)

ax− y + bz = c
a2x+ abz = d
−by + az = e
, em que a, b, c, d, e ∈ R.
Resp.: (a)
 3 −2−2 1
1 4
( x
y
)
=
 40
−1
; matriz ampliada:
 3 −2 4−2 1 0
1 4 −1

(b)
 a −1 ba2 0 ab
0 −b a

 xy
z
 =
 cd
e
; matriz ampliada:
 a −1 b ca2 0 ab d
0 −b a e

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Plano de aula de Álgebra Linear
Aula 3: Operações elementares. Eliminação gaussiana e o método de Gauss - Jordan.
• Operações elementares sobre as linhas de uma matriz: Seja A = (aij)m×n. Definimosas seguintes operações
sobre as linhas de A:
1. Permutação da i-ésima linha com j-ésima linha (Li ↔ Lj);
2. Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não-nulo k (Li ← kLi);
3. Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (Li ← Li + kLj);
• Matrizes linha-equivalentes: Dizemos que a matriz B = (bij)m×n é linha-equivalente a matriz A = (aij)m×n,
se B for obtida através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. Nessa situação,
escrevemos A ∼ B;
• Formas escalonada e escalonada reduzida por linhas: Dizemos que uma matriz A = (aij)m×n está na forma
escalonada reduzida por linhas se:
1. A primeira entrada de uma linha não nula é sempre 1 (denominado pivô ou ĺıder);
2. Linhas nulas estão agrupadas nas linhas inferiores da matriz;
3. Em quaisquer duas linhas sucessivas não nulas, o pivô da linha inferior ocorre sempre mais a direita que o
pivô da linha superior;
4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais entradas;
Se a matriz cumprir somente as três primeiras condições, então dizemos que a matriz está na forma escalonada;
• Teorema: Toda matriz A = (aij)m×n é linha-equivalente a uma única matriz na forma escalonada reduzida por
linhas;
• Teorema: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas linha - equivalentes são equivalentes;
• Eliminação gaussiana: é quando colocamos a matriz ampliada de um sistema na forma escalonada e buscamos
o conjunto solução por retro-substituição;
• Método de Gauss - Jordan: é quando colocamos a matriz ampliada do sistema na forma escalonada reduzida
por linhas. O conjunto solução, caso exista, é obtido automaticamente;
• Aplicação f́ısica: Em circuitos elétricos, podemos usar as leis de corrente Kirchhoff, de voltagem de Kirchhoff e
de Ohm para determinar as correntes num dado circuito.
1. Lei de corrente de Kirchhoff: A soma algébrica das correntes fluindo para dentro de qualquer ponto de um
circuito elétrico é igual à soma algébrica das correntes fluindo para fora do ponto;
2. Lei de voltagem de Kirchhoff: Em torno de qualquer circuito fechado (ou malha), a soma algébrica das
diferenças de potencial é zero;
3. Lei de Ohm: A diferença de potencial através de um resistor é o produto da corrente que passa por ele e a
resistência;
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Lista de Exerćıcios 1 - Álgebra Linear
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendações:
• Mencione todas as vezes que você utilizar um resultado importante;
• Todos os cálculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Não omita nenhum cálculo;
26a Questão: Diga se as matrizes dadas abaixo estão na forma escalonada reduzida por linhas, forma escalonada ou
nenhuma das duas:
(a) A =
(
1 0 3 1
0 1 2 4
)
(b) B =
 1 1 00 1 0
0 0 0

(c) C =
 1 2 00 1 0
0 0 0

(d) D =
 1 0 00 0 0
0 0 1

(e) E =
 1 0 20 1 3
0 0 0

(f) F =
(
1 −7 5 5
0 1 3 2
)
(g) G =
 1 0 0 50 0 1 3
0 1 0 4

Resp.: (a) Forma escalonada reduzida por linhas (b) Forma escalonada (c) Forma escalonada (d) Nenhuma
(e) Forma escalonada reduzida por linhas (f) Forma escalonada (g) Nenhuma
27a Questão: Utilizando o método da eliminação gaussiana, resolva cada sistema linear dado abaixo:
(a)

−x+ y − z = 5
x+ 2y + 4z = 4
3x+ y − 2z = −3
(b)

x+ y + z + t = 1
−x+ 2y + z = 2
2x− y − z − t = −1
x− 3y + z + 2t = 0
Resp.: (a) S = {(−2, 3, 0)} (b) S = {(0, 0, 2,−1)}
28a Questão: Se a ∈ R, determine o conjunto solução do sistema
{
x sin a− y cos a = − cos 2a
x cos a+ y sin a = sin 2a
.
Resp.: S = {(sin a, cos a)}
29a Questão: Resolva o sistema dado abaixo:

2
x −
1
y −
1
z = −1
1
x +
1
y +
1
z = 0
3
x −
2
y +
1
z = 0
Sugestão: Faça u =
1
x
, v =
1
y
e w =
1
z
.
Resp.: S =
{(
−3,−9
2
,
9
5
)}
30a Questão: Escalone e classifique os sistemas lineares dados abaixo. Explicite as soluções, quando for o caso.
(a)

x+ y = 3
3x− 2y = −1
2x− 3y = −4
(b)

x+ 3y + 2z = 2
3x+ 5y + 4z = 4
5x+ 3y + 4z = −10
(c)

x+ y − z + t = 1
3x− y − 2z + t = 2
−x− 2y + 3z + 2t = −1
(d)

x+ y + z = 1
x− y − z = 2
2x+ y + z = 3
(e)

x+ 4y = −8
3x− y = 15
10x− 12y = 7
(f)

x+ 2y + z = 9
2x+ y − z = 3
3x− y − 2z = −4
(g)

x− y + z = 4
3x+ 2y + z = 0
5x+ 5y + z = −4
Resp.: (a) SPD e S = {(1, 2)} (b) SI (c) SPI e S =
{(
6− 14t
7
,
2− 7t
7
,
1− 14t
7
, t
)
; t ∈ R
}
(d) SI (e) SI
(f) SPD e S = {(1, 3, 2)} (g) SPI e S =
{(
1
5
(8− 3z), 2
5
(−6 + z), z
)
; z ∈ R
}
12
31a Questão: Discuta, em função dos parâmetros dados, os sistemas lineares abaixo:
(a)
{
ax+ 3ay = 0
2x+ ay = 4
(b)
{
x− y = 2
2x+ ay = b
(c)

mx+ y = 1
x+ y = 2
x− y = m
(d)

ax+ y + 2z = b
2ax− y + 2z = 1
2x+ y + 2z = 3
(e)

x+ y + z = 0
x− y +mz = 2
mx+ 2y + z = −1
Resp.: (a) SPD: a 6= 0 ou a 6= 6; SPI: a = 0; SI: a = 6 (b) SPD: a 6= −2; SPI: a = −2 e b = 4; SI: a = −2 e
b 6= 4 (c) SPD: m = 0 ou m = −1; SI: m 6= 0 e m 6= −1 (d) SPD: a 6= 2; SPI: a = 2 e b = 3; SI: a = 2 e b 6= 3
(e) SPD: m 6= 0 ou m 6= 1; SPI: m = 1; SI: m = 0
32a Questão: Para que valores de a os sistemas

x+ y = 2
2x− 4y = −2
3x+ y = 4
e
{
ax+ y = a+ 1
5x− 4y = 1
são equivalentes?
Resp.: Para qualquer a ∈ R
33a Questão: Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos termos indepen-
dentes são todos nulos, isto é, o sistema cuja representação matricial é AX = 0. Responda o que se pede:
(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?
(b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogêneo
2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x+ +kz = 0
tenha uma solução distinta da trivial, isto é, tenha infinitas soluções.
Resp.: (a) S = {(0, 0, 0)} (b) k = 2
34a Questão: Sejam x, y, z ∈ R tais que (2x+ y − z)2 + (x− y)2 + (z − 3y)2 = 0. Mostre que a soma x+ y + z pode
ser tomada tão grande quanto se queira e determine os valores de x, y e z tais que x+ y + z = 5.
Resp.: Observe que a2 + b2 + c2 = 0⇐⇒ a = b = c = 0; x = y = 1 e z = 3
35a Questão: Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determinou-se que:
1. O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 5 unidades de vitamina C.
2. O alimento II tem 2 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 5 unidades de vitamina C.
3. O alimento III tem 3 unidades de vitamina A, não contém unidades de vitamina B e 3 unidades de vitamina
C.
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina B e 20 unidades de vitamina C, faça o que se
pede:
13
(a) Determine todas as posśıveis quantidades de alimentos I, II e III que fornecem a quantidade de vitaminas
desejada.
(b) Se o alimento I custa R$ 0, 60 por grama e os outros dois custam R$ 0, 10, existe uma solução custando exatamente
R$ 1, 00?
Resp.: (a) S =
{
(−5 + 3z, 8− 3z, z) ; z ∈ R, 5
3
≤ z ≤ 8
3
}
(b) S = {(1, 2, 2)}
36a Questão: Eric necessita de complementos das vitaminas A e C. Diariamente precisa de pelo menos 63 unidades
de A e no mı́nimo 55 unidades de C. Ele pode escolher entre os compostos I e II, que apresentam, por cápsula, as
caracteŕısticas abaixo:
Composto Vitamina A Vitamina C Valor R$
I 7 unidades 4 unidades 0,70
II 4 unidades 5 unidades 0,50
Qual o gasto mı́nimo diário de Eric, em reais, com os compostos I e II?
Resp.: R$7, 00
37a Questão: Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras por apenas 2, num
total de 38 fregueses. Qual o número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas?
Resp.: 5
38a Questão: Numa prova de 40 questões, cada resposta certa vale 0, 25 e cada resposta errada vale −0, 1. Um aluno
resolveu todas as questões e obteve nota 0, 2. Determine a porcetagem de erros desse aluno em relação ao número
total de questões.
Resp.: 70%
39a Questão: Uma loja de departamentos, para venderum televisor, um DVD e um aparelho de som, propôs a seguinte
oferta: o televisor e o DVD custam juntos R$ 1200, 00; o DVD e o aparelho de som custam juntos R$ 1100, 00; o
televisor e o aparelho de som custam juntos R$ 1500, 00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos
anunciados?
Resp.: R$ 1900, 00
40a Questão: Considere o sistema {
x+ 6y − 8z = 1
2x+ 6y − 4z = 0
Mostre o que se pede:
(a) Verifique que X1 =
 −113
0
 é uma solução para o sistema.
(b) Resolva o sistema e verifique que toda solução é da forma X = λ
 −42
1
+
 −113
0
, em que λ ∈ R.
(c) Mostre que X0 = λ
 −42
1
 é solução do sistema homogêneo associado { x+ 6y − 8z = 0
2x+ 6y − 4z = 0
(d) Conclua que toda solução de AX = B é a soma de uma solução do sistema homogêneo associado AX = 0 com
uma solução particular de AX = B.
14
41a Questão: Sejam AX = B um sistema linear qualquer que admite solução e AX = 0 o sistema linear homogêneo
associado a ele. Responda o que se pede:
(a) Mostre que se X0 for solução de AX = 0 e X1 for solução de AX = B, então X0 +X1 é solução de AX = B.
(b) Se X1 e X2 são soluções de AX = B, então X1 −X2 é solução de AX = 0.
(c) Conclua que toda solução de AX = B é a soma de uma solução do sistema homogêneo associado AX = 0 com
uma solução particular de AX = B.
Resp.: (a) Mostre que A (X0 +X1) = B (b) Mostre que A (X1 −X2) = 0
42a Questão: Sejam A = (aij)m×n uma matriz arbitrária e B = (bij)m×n sua forma escalonada reduzida por linhas.
Definimos o posto de A, denotado por p(A), o número de linhas não-nulas de B. A nulidade de A é, por definição, o
número n− p(A). Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes:
(a) A =

1 2 1 2
−1 1 1 1
1 0 1 0
3 1 −1 3

(b) M =

2 1 3
−2 0 1
−2 −1 −3
4 2 6

Resp.: (a) 4 (b) 2
43a Questão: Suponha que o sistema linear AX = B admite duas soluções distintas X0 e X1. Prove que AX = B
admite infinitas soluções. Isto mostra que todo sistema linear que admite mais de uma solução não pode ter um
número finito de soluções.
Resp.: Defina Xλ = (1− λ)X0 + λX1, em que λ ∈ R. Basta provar que Xλ satisfaz AX = B. De fato,
AXλ = A [(1− λ)X0 + λX1]
= (1− λ)AX0 + λAX1
= (1− λ)B + λB
= B
para qualquer λ ∈ R, portanto conclúımos que AX = B admite infinitas soluções.
APLICAÇÕES NA ENGENHARIA
Em circuitos elétricos, existem três quantidades básicas: o potencial elétrico (E), a resistência (R) e a intensidade
de corrente (I). O fluxo da corrente num circuito elétrico é governado por três prinćıpios básicos:
Lei de Ohm A diferença de potencial através de um resistor é o produto da corrente
que passa por ele e a resistência, isto é, E = IR.
Lei de corrente de Kirchhoff A soma algébrica das correntes fluindo para dentro de
qualquer ponto de um circuito elétrico é igual à soma algébrica das correntes
fluindo para fora do ponto.
Lei de voltagem de Kirchhoff Em torno de qualquer circuito fechado, a soma algébrica
das diferenças de potencial é zero.
15
44a Questão: Utilizando os prinćıpios básicos mencionados acima, encontre as correntes de cada circuto apresentado
abaixo:
(a)
(b)
Resp.: (a) I1 =
255
317
, I2 =
97
317
, I3 =
158
317
(b) I1 =
13
5
, I2 = −
2
5
, I3 =
11
5
45a Questão: Mostre que se as duas correntes denotadas por I nos circutos da figura abaixo são iguais, então
R =
1
1
R1
+
1
R2
.
16
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
Plano de aula de Álgebra Linear
Aula 4: O estudo dos determinantes.
• Definição: O determinante, denotado por det, é uma função que associa a cada matriz quadrada A = (aij)n×n,
um número real denotado por det(A). Em śımbolos,
det : M(n× n,R) −→ R
A 7→ det(A)
Nosso objetivo é determinar a lei de correspondência dessa função;
• Permutações: é toda aplicação bijetora σ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n}. A quantidade de permutações de n
objetos é dada por n! = n · (n− 1) · . . . · 2 · 1;
• Inversão em permutações: Seja σ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n} uma permutação. Dizemos que existe uma
inversão em σ toda vez que um inteiro precede outro menor que ele. Se o número de inversões for par, dizemos
que a permutação é par. Se o número de inversões for ı́mpar, dizemos que a permutação é ı́mpar;
• Produtos elementares: Um produto elementar de n entradas de uma matriz A = (aij)n×n é dado por
a1j1 · a2j2 · . . . · anjn ,
em que (j1 j2 . . . jn) é uma permutação do conjunto {1, 2, . . . , n};
• Observação: Em um produto elementar não há duas entradas de mesma linha ou mesma coluna de A = (aij)m×n;
• Determinante de uma matriz: Dada A = (aij)n×n, definimos
det(A) =
∑
σ
±a1j1 · a2j2 · . . . · anjn ,
em que a soma é tomada sobre todas as permutações σ do conjunto {1, 2, . . . , n} e os sinais de + ou − são
consideradas caso a permutação (j1 j2 . . . jn) seja par ou ı́mpar, respectivamente;
• Propriedades dos determinantes:
1. Se A tem uma linha (ou coluna) nula, então det(A) = 0;
2. det(A) = det(AT );
3. Se B é obtida de A pela operação elementar Li ↔ Lj , então det(B) = −det(A);
4. Se B é obtida de A pela operação elementar Li ← kLi, então det(B) = k det(A);
5. (Teorema de Jacobi): Se B é obtida de A pela operação elementar Li ← Li + kLj , então det(B) = det(A);
6. (Teorema de Binet): det(A ·B) = det(A) · det(B);
• Observações:
1. A propridade 2 garante que, naturalmente, transmitem-se propriedades relativas às linhas para colunas;
2. Como consequência imediata da propriedade 3, se A tem duas linhas (ou colunas) iguais (ou proporcionais),
então det(A) = 0;
3. Como consequência imediata da propriedade 4, det(kA) = kn det(A), em que n é a ordem da matriz A;
4. O determinante é uma função linear das linhas (ou colunas);
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Lista de Exerćıcios 1 - Álgebra Linear
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendações:
• Mencione todas as vezes que você utilizar um resultado importante;
• Todos os cálculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Não omita nenhum cálculo;
46a Questão: Determine os valores de x que verificam a equação det
 x− 1 2 x0 1 −1
3x x+ 1 2x
 = det( 3x 2x
4 −x
)
.
Resp.: S =
{
±
√
3
3
}
47a Questão: Para as matrizes A =
(
1 2
1 0
)
e B =
(
3 −1
0 1
)
, mostre que det(A+B) 6= det(A) + det(B).
Resp.: 3 = det(A+B) 6= −2 + 3 = det(A) + det(B) = −1
48a Questão: Utilizando as propriedades dos determinantes, determine o valor de det
 x2 xy2 xxy y3 y
x2 y2 x
.
Resp.: O determinante vale 0, uma vez que a 1a e 3a colunas são proporcionais.
49a Questão: Justifique, utilizando as propriedades de determinantes, que det

a ab a a2b
b bc b c
c cd c b
d ad d d
 = 0.
Resp.: 1a e 3a colunas são iguais.
50a Questão: Utilizando as propriedades dos determinantes, mostre que det
 bc a a2ac b b2
ab c c2
 = det
 1 a2 a31 b2 b3
1 c2 c3
.
Resp.: Para o determinante do lado esquerdo da igualdade, multiplique a 1a linha por a, a 2a linha por b e a 3a linha
por c e utilize as propriedades das quais o determinante goza.
51a Questão: Mostre que det
 a b cx y z
m n p
 = det
 a b+ 2c cx y + 2z z
m y + 2p p
.
Resp.: Escreva o determinante do membro direito da igualdade como uma soma de determinantes e utilize as propri-
edades operatórias.
52a Questão: Mostre que det
 cos 2a cos2 a sin
2 a
cos 2b cos2 b sin2 b
cos 2c cos2 c sin2 c
 = 0.
Resp.: Utilize a relação trigonométrica cos(2x) = cos2 x− sin2 x.
53a Questão: Mostre que det
 cos(x+ a) sin(x+ a) 1cos(x+ b) sin(x+ b) 1
cos(x+ c) sin(x+ c) 1
 independe de x.
Resp.: Use as relações trigonométricas cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y e sin(x+ y) = sinx cos y + sin y cosx.
54a Questão: Toda matriz de ordem 3 da forma V =
 1 1 1a b c
a2 b2 c2
 é dita matriz de Vandermonde (ou daspotências). Mostre que det(V ) = (c− a)(c− b)(b− a).
Resp.: Desenvolva o determinante pela Regra de Sarrus.
55a Questão: Mostre que, toda matriz real anti-simétrica de ordem ı́mpar tem determinante nulo.
Resp.: Use os fatos que A = −At, det(A) = det(At) e det(kA) = kn det(A)
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Plano de aula de Álgebra Linear
Aula 5: Teorema de Laplace. Cálculo de determinantes através da eliminação gaussiana.
• Menor complementar: Seja A = (aij)n×n, n ≥ 2. Definimos o menor complementar do elemento aij , denotado
por Aij , como sendo o determinante da submatriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A;
• Cofator (ou complemento algébrico): Seja A = (aij)n×n, n ≥ 2. O cofator (ou complemento algébrico) do
elemento aij , indicado por Cij , é dado por
Cij = (−1)i+jAij
• Teorema (de Laplace): Seja A = (aij)n×n, n ≥ 2. Então,
det(A) =
n∑
j=1
aijCij ,
isto é, a soma dos produtos dos elementos de uma linha qualquer pelos respectivos cofatores;
• Observação: Pela propriedade 2 dos determinantes, pode-se obter um resultado análogo ao teorema de Laplace
trocando linhas por colunas;
• Eliminação gaussiana e o cálculo de determinantes: O método da eliminação gaussiana pode ser usado para
calcular determinantes. As observações e o teorema a seguir ilustram como o método funciona.
1. A forma escalonada de uma matriz quadrada é sempre uma matriz triangular;
2. A única operação elementar invariante por determinantes é a terceira (teorema de Jacobi);
3. Teorema: Se A = (aij)n×n, n ≥ 2, é uma matriz triangular (superior, inferior ou diagonal), então
det(A) =
n∏
i=1
aii = a11 · a22 · . . . · ann,
isto é, o produto da entradas da diagonal principal;
4. Se B é a forma escalonada de A, então det(B) pode ser calculado pelo teorema anterior. Fazendo as
devidas compensações ocasionadas pelas primeira e segunda operações elementares utilizadas durante o
escalonamento, é posśıvel determinar det(A);
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Lista de Exerćıcios 1 - Álgebra Linear
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendações:
• Mencione todas as vezes que você utilizar um resultado importante;
• Todos os cálculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Não omita nenhum cálculo;
56a Questão: Calcule o determinante da matriz A, em que A =

2 4 2 4
0 1 1 0
1 0 2 3
3 0 1 0
.
Resp.: −44
57a Questão: Calcule det

1 2 3 −4 2
0 1 0 0 0
0 4 0 2 1
0 −5 5 1 4
0 1 0 −1 2
.
Resp.: −25
58a Questão: Calcule det

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
.
Resp.: 0
59a Questão: Utilizando o processo de escalonamento (eliminação gaussiana), calcule o determinante da matriz
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
.
Resp.: 6
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Plano de aula de Álgebra Linear
Aula 6: Matrizes adjuntas. Matrizes inversas. Um processo para inversão de matrizes.
• Matriz dos cofatores: Seja A = (aij)n×n, n ≥ 2. Definimos a matriz dos cofatores de A por
C = (Cij)n×n,
em que Cij indica o cofator da entrada aij de A;
• Matriz adjunta: Seja A = (aij)n×n, n ≥ 2. Definimos a matriz adjunta de A, denotada por adj (A), como sendo
a transposta da matriz dos cofatores, isto é,
adj (A) = CT
• Teorema: Seja A = (aij)n×n, n ≥ 2. Então,
A · adj (A) = det(A) · I,
em que I denota a matriz identidade de ordem n;
• Matrizes invert́ıveis: Seja A = (aij)n×n, n ≥ 2. Dizemos que A é invert́ıvel se existe B = (bij)n×n tal que
A ·B = B ·A = I,
em que I indica a matriz identidade de ordem n. Nessa situação, escrevemos B = A−1. Caso não existe nenhuma
matriz B = (bij)n×n que satisfaça a condição anterior, dizemos que a matriz A é singular;
• Observações:
1. Se existe a inversa de uma matriz, então ela é única;
2. Se A = (aij)n×n e B = (bij)n×n são matrizes invert́ıveis, então AB é invert́ıvel e (AB)
−1 = B−1A−1;
3. Se A = (aij)n×n é uma matriz invert́ıvel, então A
T é invert́ıvel e (AT )−1 = (A−1)T ;
4. Se A = (aij)n×n é uma matriz invert́ıvel, então A
−1 é invert́ıvel e (A−1)−1 = A;
5. Nem toda matriz admite inversa;
6. Se existe uma matriz B = (bij)n×n tal que B ·A = I, então A ·B = I e B = A−1;
• Teorema: Seja A = (aij)n×n, n ≥ 2. Então,
A é invert́ıvel⇐⇒ det(A) 6= 0
• Observações:
1. Do teorema anterior, segue que
A−1 =
1
det(A)
adj (A) (?)
2. Do ponto de vista operacional, a expressão (?) não é conveniente para n ≥ 3. Em particular, para n = 2, é
posśıvel provar que
A−1 =
1
ad− bc
(
d −b
−c a
)
,
em que A =
(
a b
c d
)
é uma matriz invert́ıvel;
• Matrizes elementares: Dizemos que E = (eij)n×n é uma matriz elementar se ela pode ser obtida da matriz
identidade I de ordem correspondente através de uma única operação elementar;
• Observação: Cada operação elementar está associada a uma única matriz elementar;
• Teorema: Sejam A = (aij)m×n uma matriz arbitrária e E = (eij)m×m a matriz elementar associada a operação
elementar O. Então, o produto E ·A é a matriz que resulta quando esta mesma operação elementar O é efetuada
sobre as linhas de A;
• Processo prático para inverter matrizes: Seja A = (aij)n×n, n ≥ 2. Então, ou a forma escalonada reduzida por
linhas de A tem, ao menos, uma linha de zeros ou é a matriz identidade. Se o primeiro caso ocorrer, então A
não é invert́ıvel (Propriedade 1 dos determinantes). Para o segundo caso, temos:
Er · Er−1 · . . . · E2 · E1 ·A = I,
isto é, após r operações elementares sobre as linhas de A, obtemos a matriz identidade de ordem n. Além disso,
segue que
B = Er · Er−1 · . . . · E2 · E1 · I
é tal que B ·A = I. Portanto, pela observação 6 anterior, B = A−1, isto é, a sequência de operações elementares
que reduz A à matriz identidade I é a mesma sequência de operações elementares que transforma I em A−1;
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Lista de Exerćıcios 1 - Álgebra Linear
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendações:
• Mencione todas as vezes que você utilizar um resultado importante;
• Todos os cálculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Não omita nenhum cálculo;
60a Questão: Mostre que, se A é invert́ıvel de ordem n, então det(A−1) =
1
det(A)
.
Resp.: A.A−1 = I =⇒ det(A) det(A−1) = 1, isto é, det(A−1) = 1
det(A)
61a Questão: Qual a condição que devemos impor sobre a de tal forma que a matriz
 1 a aa 1 a
a a 1
 seja invert́ıvel?
Resp.: a 6= 1 e a 6= −1
2
62a Questão: Mostre que a matriz
 1 0 0a 1 0
b c 1
 é invert́ıvel ∀a, b, c ∈ R.
Resp.: Para quaisquer a, b, c ∈ R, o determiante da matriz é igual a 1, portanto ela é invert́ıvel.
63a Questão: Justifique a seguinte afirmação: “Não existe nenhuma matriz A de ordem n tal que det (AAT ) = −1”.
Resp.: Suponha que exista tal matriz nas condições apresentadas. Temos:
−1 = det (AAT ) = det(A) det(AT ) = (det (A))2 ≥ 0,
o que é um absurdo.
64a Questão: Mostre que, se a inversa de uma matriz A de ordem n existe, ela é única.
Resp.: Suponha que A admita duas inversas B e C e mostre que B = C.
65a Questão: Determine, se existir, a inversa de cada matriz dada abaixo:
(a) A =
 1 0 11 2 3
1 2 4

(b) B =
 2 3 54 −1 3
5 4 9

Resp.: (a) A−1 =
 1 1 −1− 12 32 −1
0 −1 1
 (b) Não admite inversa
66a Questão: Sabendo-se que A, B e C são matrizes quadradas invert́ıveis de ordem n, para cada caso abaixo,
expresse X em função de A, B e C.
(a) AXB = C
(b) (AXC)t = B
Resp.: (a) X = A−1CB−1 (b) X = A−1BTC−1
67a Questão: Mostre que, se A, B e C são matrizes invert́ıveis de ordem n, então ABC é invert́ıvel e
(ABC)−1 = C−1B−1A−1.
Resp.: Mostre que (ABC)(C−1B−1A−1) = I e use a unicidade da inversa.
68a Questão: Mostre que, se A é uma matriz invert́ıvel de ordem n, então AT é invert́ıvel e (AT )−1 = (A−1)T .
Resp.: Mostre que AT .(A−1)T = I e use a unicidade da inversa.
69a Questão: Mostreque, se A é uma matriz invert́ıvel de ordem n, então A−1 é invert́ıvel e (A−1)−1 = A.
Resp.: Mostre que A−1.A = I e use a unicidade da inversa.
70a Questão: Dizemos que uma matriz A é ortogonal se A−1 = AT ou, de forma equivalente, A.AT = AT .A = I.
Faça o que se pede:
(a) Mostre que a matriz
(
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
é ortogonal para qualquer θ ∈ R.
(b) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é ainda uma matriz ortogonal.
(c) Mostre que se A é uma matriz ortogonal, então det A = ±1, isto é, toda matriz ortogonal admite inversa.
(d) Mostre que a inversa de uma matriz ortogonal é ainda uma matriz ortogonal.
Resp.: (a) Mostre que A.AT = I e use a unicidade da inversa (b) Mostre que (AB)(AB)T = I, em que A e B são
matrizes ortogonais (c) A ortogonal acarreta A.AT = I, isto é, (detA)2 = (detA)(detAT ) = det(AAT ) = det I = 1
(d) Para A ortogonal, temos AT = A−1 e, dáı A−1.(A−1)T = (ATA)−1 = I−1 = I
71a Questão: Sem efetuar nenhum cálculo, justifique porque a matriz A =
 1 0 x1 1 x2
2 2 ( 2√
2
x)2
 não admite inversa.
Resp.: A 2a e 3a linhas de A são proporcionais, logo det(A) = 0 e A não admite inversa.
72a Questão: Dada a matriz A =
 2 1 −30 2 1
5 1 3
, faça o que se pede:
(a) Determine adj (A).
(b) Mostre que det (A) 6= 0.
(c) Determine A−1.
Resp.: (a) adj(A) =
 5 −6 75 21 −2
−10 3 4
 (b) 45 (c) A−1 =

1
9 −
2
15
7
45
1
9
7
15 −
2
45
− 29
1
15
4
45

73a Questão: Dizemos que duas matrizes A e B de ordem n são semelhantes, se existe uma matriz invert́ıvel P de
ordem n tal que AP = PB. Mostre que, se A e B são semelhantes, então det(A) = det(B).
Resp.: Observe que A = PBP−1 e use o fato que o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes.
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74a Questão: Justifique a seguinte afirmação: “Toda matriz de ordem n invert́ıvel tem posto n.”
Resp.: Se A é invert́ıvel, então A é equivalente por linhas a matriz identidade, que possui n linhas não-nulas.
75a Questão: Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Considere a seguinte
associação entre letras do alfabeto e śımbolos com números:
A B C D E F G H I J K L M N O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
P Q R S T U V W X Y Z ! ? : −
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 0
Suponha que você deseje enviar a mensagem “PUXA-VIDA”. Formamos a seguinte matriz de ordem 3:
M =
 P U XA − V
I D A

Tal matriz em correspondência numérica fica
M =
 16 21 241 0 22
9 4 1

Considere a seguinte matriz invert́ıvel de ordem 3:
C =
 1 0 1−1 3 1
0 1 1

Ao efetuarmos o produto MC, obtemos:  −5 87 611 22 23
5 13 14

Transmitimos essa nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números −5 87 61 1 22 23 5 13 14 ).
Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa (MC).C−1 = M e posterior transcrição
dos números para letras. A matriz C é denominada ‘ ‘matriz chave”para o código. Responda o que se pede:
(a) Suponha que você recebeu a seguinte mensagem:
−2 14 9 −2 65 43 −17 104 61
Utilizando a chave C, decodifique a mensagem. Suponha que a matriz chave anterior seja substitúıda pela matriz
chave D =
 1 1 −11 1 0
0 0 2
. Você é capaz de decodificar a mensagem? Justifique.
Resp.: A mensagem enviada foi “ACERTEI!!”. A chave D não permite decodificar a mensagem, pois det(D) = 0.
76a Questão: Suponha que uma matriz A de ordem n anule o polinômio p(x) = x2−3x+1. Mostre que A é invert́ıvel
e A−1 = 3I −A.
Resp.: Mostre que A(3I −A) = I.
77a Questão: Sejam A e B duas matrizes de ordem n. Se A + B e A forem invert́ıveis, mostre que
(A+B)−1 = A−1(I +BA−1)−1, em que I representa a matriz identidade de ordem n.
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Resp.: Mostre que (A+B)[A−1(I +BA−1)−1] = I.
78a Questão: A matriz A =
(
coshx sinhx
sinhx coshx
)
é invert́ıvel? Em caso afirmativo, determine sua inversa.
Resp.: detA = 1 e A−1 =
(
coshx − sinhx
− sinhx coshx
)
79a Questão: Mostre que o que se pede:
(a) Se A ∈M(n× n,R) é invert́ıvel, então adj(A) também é invert́ıvel e [adj(A)]−1 = 1
det(A)
A = adj(A−1).
(b) Se A ∈M(n× n,R) é invert́ıvel, então det(adj(A)) = [det(A)]n−1.
Resp.: Para os itens (a) e (b), utilize a expressão A−1 =
1
det(A)
adj(A).
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Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
Plano de aula de Álgebra Linear
Aula 7: Teorema de Cramer.
• Teorema (de Cramer): Suponha que a forma matricial de um sistema
A ·X = B (?)
é tal que A = (aij)n×n (sistema quadrado) e D = det(A) 6= 0. Então, (?) é um sistema posśıvel e determinado
e sua única solução é dada por
γi =
Di
D
, i ∈ {1, 2, . . . , n}
em que Di é o determinante da matriz que se obtém substituindo a i-ésima coluna de A pela coluna dos termos
independentes;
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
Lista de Exerćıcios 1 - Álgebra Linear
Professor Vitor Luiz de Almeida
Recomendações:
• Mencione todas as vezes que você utilizar um resultado importante;
• Todos os cálculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Não omita nenhum cálculo;
80a Questão: Utilizando a regra de Cramer, determine a solução do sistema linear dado abaixo:

x+ y + z + t = 1
2x− y + z = 2
−x+ y − z − t = 0
2x+ 2z + t = −1
(a) Justifique porque a regra de Cramer é aplicável.
(b) Utilizando a regra de Cramer, obtenha o conjunto solução do sistema apresentado.
Resp.: (a) A regra de Cramer é aplicável pois o sistema é quadrado (número de incógnitas igual ao número de equações)
e o determinante da matriz dos coeficientes é não-nulo (b) S =
{(
4,
1
2
,−11
2
, 2
)}
81a Questão: Discuta os sistemas lineares dados abaixo:
(a)

mx+ y − z = 4
x+my + z = 0
x− y = 2
(b)
{
6x+ ay = 12
4x+ 4y = b
(c)

x+ ky + 2z = 0
−2x+ ky − 4z = 0
x− 3y − kz = 0
Resp.: (a) m 6= −1 é S.P.D.; m = −1 é S.I. (b) a 6= 6 é S.P.D.; a = 6 e b = 8 é S.P.I.; a = 6 e b 6= 8 é S.I.
(c) k 6= −2 e k 6= 0 é S.P.D.; k = −2 ou k = 0 é S.P.I.
Bons estudos!