Aula_09_-_CE_1_-_cap_03

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3  ‐ Capacitores  e  Indutores
3.3  ‐ Indutores 13
 Considere o caso em que temos duas bobinas
com auto‐indutâncias L1 (N1 espiras) e L2 (N2 espiras)
que estão bem próximas uma da outra. Para fins de
simplicidade suporemos que não circula corrente na
segunda bobina.
 O fluxo magnético 1 gerado na bobina 1
possui duas componentes: uma componente
11 que atravessa apenas a bobina 1 e o outro
componente 12 que associa ambas as bobinas.
1 = 11 + 121  11  12
Embora as duas bobinas estejam fisicamente separadas, diz‐se que elas estão magneti‐
camente acopladas. Neste caso temos que
dididd 
dt
diLv
dt
di
di
dNv
dt
dNv
L
1
11
1
1
1
11
11
11
1
             


dt
diMv
dt
di
di
dNv
dt
dNv
M
1
212
1
1
12
22
12
22
21
             


onde L1 é a auto‐indutância da bobina 1 e M21 é denominada indutância mútua da
bobina 2 em relação à bobina 1. A tensão v2 é denominada tensão mútua (ou induzida).
M 21
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3.3  ‐ Indutores 14
 Considere novamente o circuito anterior e Considere novamente o circuito anterior e
admita que na bobina 1 não circula corrente.
O fluxo magnético 2 gerado na bobina 2
possui duas componentes: uma componentepossui duas componentes: uma componente
22 que atravessa apenas a bobina 2 e o outro
componente 21 que associa ambas as
bobinasbobinas.
2 = 22 + 21
Neste caso temos que
dt
diMv
dt
di
di
dNv
dt
dNv
M
2
121
2
2
21
11
21
11
12
             


dt
diLv
dt
di
di
dNv
dt
dNv
M
2
22
2
2
22
22
22
22
12
             


onde L2 é a auto‐indutância da bobina 2 e M12 é denominada indutância mútua da
bobina 1 em relação à bobina 2. A tensão v1 é denominada tensão mútua (ou induzida).
L2
 M12 = M21 = M (a indutância entre as duas bobinas)
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3.3  ‐ Indutores 15
 Polaridade da tensão induzida. Polaridade da tensão induzida.
Embora a indutância mútua M seja sempre um valor positivo, a tensão induzida M di/dt
pode ser negativa ou positiva, da mesma forma acontece com a tensão induzida L di/dt .
 Por essa regra um ponto colocado no circuito em uma extremidade de cada
‐ A determinação da polaridade para M di/dt em análise de circuitos é feita através da
convenção dos pontos.
 Por essa regra, um ponto colocado no circuito em uma extremidade de cada
uma das duas bobinas acopladas magneticamente indica o sentido do fluxo
magnético se a corrente entrar pelo terminal da bobina marcada com o ponto.
Observe a figura abaixoObserve a figura abaixo.
‐ Transformador é um dispositivo de quatro terminais formado por duas bobinas 
acopladas magneticamente, conforme a figura acima.
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3.3  ‐ Indutores 16
 Se uma corrente entra pelo terminal da bobina marcado com um ponto, a polaridade de
f ê d d d b b é l d f d lreferência da tensão induzida na outra bobina é positiva no terminal identificado pelo
ponto. Observe as figuras abaixo.
 ou se uma corrente sai pelo terminal da bobina marcado com um ponto, a polaridade de
referência da tensão induzida na outra bobina é negativa no terminal identificado pelo
pontoponto.
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3.3  ‐ Indutores 17
Exercício 3.5 ‐ Determine a indutância equivalente entre os terminais a e b.
(a) (b)
Exercício 3.6 ‐ Determine as equações de malha para os circuitos abaixo.
a)
b)
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 Energia em um circuito acoplado
Considere o circuito da figura ao lado. Suponha que as corren‐
tes i1 e i2 sejam inicialmente iguais a zero, implicando que
energia armazenada nas bobinas seja nula.g j
 Se aumentarmos i1 de zero até I1 mantendo i2 =0, a
energia armazena no circuito será
di
2
1
111111
1)(
)()(
1
ILwdiiLwdttpw
dt
diiLtpivtp
It


 111
0
1111
0
11 2
)( ILwdiiLwdttpw     
 Se agora mantivermos i1=I1 e aumentarmos i2 de zero até I2, a tensão induzida na
bobina 1 será M12 di/dt ao passo que a tensão induzida na bobina 2 será zero, já quebobina 1 será M12 di/dt, ao passo que a tensão induzida na bobina 2 será zero, já que
i1 é constante. A energia armazena no circuito será
2
22
2
121222112 )()(
diiLdiMItpivIvtp ind 
  2
22121222112
1)(
)()(
2
1
ILIIMdiiLMId
dt
iL
dt
MItpivIvtp
It
vind



  22221122
0
2221212
0
22 2
)( ILIIMwdiiLMIwdttpw              
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3.3  ‐ Indutores 19
11
A energia total do sistema é:
 Se invertermos a ordem na qual as correntes atingem seus valores finais, isto é
2112
2
22
2
1121 2
1
2
1 IIMILILwwww  (1)
q g
aumentarmos primeiro i2 de zero até I2 e, posteriormente, i1 de zero a I1, a energia to‐
tal armazenada nas bobinas é: .2121
2
22
2
11 2
1
2
1 IIMILILw  (2)
Comparando (1) e (2) conclui‐se que M12 = M21 = M
22
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILw          
 A expressão para o cálculo da energia armazenada no circuito, foi obtida levando‐se em
consideração em que ambas as correntes entram em terminais marcados com o ponto. Se
l i l d i l i l duma corrente entra pelo terminal do ponto e outra sai pelo terminal do ponto tem‐se:
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILw          
‐ Energia instantânea armazenada no circuito: 21222211 2121)( iMiiLiLtw 
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3.3  ‐ Indutores 20
 A energia armazenada no circuito é positiva, pois o circuito é passivo.A energia armazenada no circuito é positiva, pois o circuito é passivo.   
Analisemos o caso em que  0
2
1
2
1)( 21
2
22
2
11  iMiiLiLtw
‐ adicione e subtraia o termo                     do lado esquerdo da equação
011 22   LLiiiMiiLLLiiiL
2121 LLii
 
0
22
2
21212122212111

 
LL
LLiiiMiiLLLiiiL
o termo elevado ao quadrado nunca será negativo mas pode ser zero. 
  0
22 21212
2
1
1 


  MLLiiiLiL
q g p
Portanto,                   só se                                                              .
 O grau com que a indutância mútuaM se aproxima do limite superior é especificado pelo
0)( tw 2121 0 LLMMLL 
O grau com que a indutância mútua M se aproxima do limite superior é especificado pelo 
coeficiente de acoplamento k, dado por                     ,  onde  0  k  1 . 
21LL
Mk  210 LLM     
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3.3  ‐ Indutores 21
 Transformador Ideal
 Transformador ideal é um transformador que possui acoplamento magnético perfeito
(k=1), no qual as bobinas, primária e secundária, possuem auto‐indutâncias infinitas e são
sem perdas (resistência do enrolamento desprezada).
Considere o circuito da figura abaixo. Os terminais do transformador relacionado à bobina
1 é o lado primário e o lado relacionado à segunda bobina é o secundário do
transformador.
(1)            02111  dtdiMdtdiLv
(2)            01222  dtdiMdtdiLv
Isolando o termo de  di1/dt em (1) e substituindo em (2) :
011 2
2
21 


    diMLvMvdiMvdi (2)  em  substituir
mas
0
1
21
1
21
1



 dtLLvLMvdtMvLdt
n
L
Lvv
L
LLvLLM  11121221 01
onde                é a relação de espiras.
LvL 221
2
1
N
Nn 
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3.3  ‐ Indutores  /  Exercícios 22
 A energia fornecida ao primário deve ser exatamente igual a energia absorvida pelo 
dá á f d d l d d d dsecundário, já que o transformador ideal são desconsideradas as perdas. Então
)()(
)()( 21121
2211 tniti
tnvtv
n
N
N
i
i
v
viviv 
        
 Transformador abaixador de tensão é aquele no qual a tensão no secundário é menor 
que a tensão no primário.
)()( 12212 tnitiNiv 
q p
 Transformador elevador de tensão é aquele no qual a tensão no secundário é maior que 
a tensão no primário.
Exercício 3.7 ‐ Considere o circuito abaixo em
regime permanente cc. Determine (a) i, vC e iL; (b) a
energia armazenada no indutor e no capacitor.
Exercício 3.8 ‐ Para o circuito ao lado, em regime
estacionário cc, calcule o valor de R que fará com
que a energia armazenadano capacitor seja aque a energia armazenada no capacitor seja a
mesma que a energia armazenada no indutor.
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3.3  ‐ Indutores 23
Exercício 3 9 ‐ Determine a indutância equivalenteExercício 3.9 ‐ Determine a indutância equivalente
Leq que pode ser utilizada para representar o circuito
entre os terminais a e bentre os terminais a e b.
Exercício 3.10 ‐ Determine as indutâncias La , Lb e Lc para o circuito equivalente T doa b c
transformador linear abaixo.

Exercício 3.11 ‐ No circuito com transformador ideal, determine i1(t) e i2(t) no circuito