AULA 4 circuitos acoplados magneticamentte

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AULA 4 – CIRCUITOS 
ACOPLADOS
MAGNETICAMENTE
INTRODUÇÃO AOS
TRANSFORMADORES
CIRCUITOS ELÉTRICOS II
Visão Geral
• Este capítulo introduz o conceito de indutância mútua.
• O princípio geral do acoplamento magnético é coberto.
• Isto é então aplicado ao caso de indução mútua.
• O capítulo termina com a abordagem de 
transformadores lineares.
Indutância
• Quando dois condutores estão muito próximos um do outro, o 
fluxo magnético devido à passagem da corrente irá induzir uma 
tensão no outro condutor.
• Isso é chamado de indutância mútua.
• Considere primeiro um único indutor, uma bobina com N voltas.
• A passagem de corrente através dele irá produzir um fluxo 
magnético, .
Autoindutância
• Se o fluxo muda, a tensão induzida é:
• A indutância L do indutor é dada:
d
v N
dt

=
• Ou em termos de variação da corrente:
d di
v N
di dt

=
• Isto é comumente denominada autoindutância, 
pois ela relaciona a tensão induzida em uma 
bobina por uma corrente variável no tempo na 
mesma bobina.
d
L N
di

=
Acoplamento Magnético
• Agora, considere duas bobinas com N 1 e N 2 voltas, 
respectivamente.
• Cada um com autoindutância L 1 e L 2.
• Assuma que no segundo indutor não passa corrente.
• O fluxo magnético da bobina 1 tem dois 
componentes:
1 11 12  = +
11, atravessa apenas a 
bobina 1, 12 se Associa com 
ambas bobinas.
Acoplamento Magnético II
• Mesmo que duas bobinas 
estejam fisicamente 
separadas, nós dizemos que 
elas estão magneticamente 
acopladas.
• Todo o fluxo passa através da 
bobina 1, assim a tensão 
induzida na bobina 1 é:
Na bobina 2, o fluxo 12 atravessa ele, portanto, a 
tensão induzida é:
12
2 2
d
v N
dt

=
1
1 1
d
v N
dt

=
Acoplamento Magnético III
• Estes podem ser expressos 
em termos da corrente 
através da bobina 1.
• M 21 é a indutância mútua 
da bobina 2 em relação a 
bobina 1.
• Existe um acoplamento 
semelhante para a bobina 1 
em relação à bobina 2
1 1
1 1 2 21
di di
v L v M
dt dt
= =
Acoplamento Magnético IV
• Suponha agora, façamos agora a corrente i2 fluir pela 
bobina 2
• Veremos que
Indutância Mutua
• A indutância mútua, medida em Henrys, é sempre positiva. Mas 
a tensão mutua M di/dt pode ser positiva ou negativa.
• Ao contrário da autoindutância, porém, o sinal da tensão não é 
determinado exclusivamente pela direção do fluxo de corrente.
• Precisamos saber a orientação das duas bobinas, uma em 
relação à outra.
Indutância Mutua II
• Este inconveniente para mostrar num diagrama de circuito. 
• Portanto, a convenção de ponto é usada.
• Um ponto é colocado no circuito em uma extremidade de cada uma das 
duas bobinas acopladas magneticamente. 
• O ponto indica a direção do fluxo se a corrente entrar pelo terminal da 
bobina marcado com um ponto. 
Convenção de Ponto
• Se uma corrente entrar no terminal da bobina marcado com um ponto, a 
polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é positiva no 
terminal da segunda bobina marcado com um ponto.
• Se uma corrente sai do terminal da bobina com um ponto, a polaridade de 
referência da tensão mútua na segunda bobina é negativa no terminal 
marcado com ponto na segunda bobina.
• Veja os exemplos no próximo slide:
Convenção de Ponto II
Bobinas em Série
Bobinas em Série
Bobinas em Série
• As bobinas acopladas podem ser conectadas em série de duas maneiras 
diferentes.
• A indutância total é:
1 2 2L L L M= + + 1 2 2L L L M= + −
Conexão série subtrativaConexão série aditiva:
Conexão serie aditiva
• Conhecendo a convenção ponto, podemos analisar a 
conexão série aditiva.
• Aplicando LTK à bobina 1:
Para bobina 2:
1 2
1 1 1 1
di di
v i R L M
dt dt
= + +
No domínio da frequência:
2 1
2 2 2 2
di di
v i R L M
dt dt
= + +
( )
( )
1 1 1 1 2
2 1 2 2 2
V R j L I j MI
V j MI R j L I
 
 
= + +
= + +
Conexão Séries opostas
• Agora, olhando para a série de oposição conexão.
• A aplicação de KVL à bobina 1 dá:
• A aplicação de KVL à bobina 2 dá:
( )1 1 1 2V Z j L I j MI = + −
( )1 2 20 Lj MI Z j L I = − + +
Solução de problemas
• Circuitos mutuamente acoplados são muitas vezes desafiadores para 
resolver, isto devido à facilidade de ter erros nos sinais.
• Se dividirmos em etapas a solução para a terminação de valor e 
sinal de um problema, as soluções tendem a ser menos propensas a 
erros.
• Veja a ilustração para as etapas propostas.
Solução de problemas II
• Cada indutor será representado como um indutor e uma fonte de tensão 
dependente.
• É possível calcular primeiro os valores das tensões induzidas, sem 
determinar os sinais das tensões.
• Em seguida, observando a direção do fluxo de corrente para o terminal 
pontilhado, o sinal da fonte dependente no indutor acoplado oposto 
pode ser determinado
Exemplo
• Calcule as correntes fasoriais I1 e I2
• SOL:para a bobina 1, a LTK resulta em
Sol:
• Para a bobina 2, a LTK resulta em
• Substituindo essa ultima equação em
• Calculamos I1
Exemplo
• Calcule as correntes de malha no circuito da figura
• Redesenhando a parte relevante do circuito:
• Malha 1
sol
• Para a malha 2
• Na forma matricial
• Os determinantes são
• As corrente de malha
Energia em um circuito acoplado
• Vimos anteriormente que a energia armazenada em um 
indutor é:
21
2
w Li=
• Para os indutores acoplados, a energia total armazenada 
depende da indutância individual e da indutância mútua.
• O sinal positivo é selecionado quando as 
correntes entram ou saem dos terminais 
pontilhados.
2 2
1 1 2 2 1 2
1 1
2 2
w L i L i Mi i= + 
Limite em M
• Com a energia total estabelecida para os indutores mútuos, podemos 
estabelecer um limite superior para M.
• O sistema não pode ter energia negativa porque o sistema é passivo.
• Para completar o quadrado, adicionamos, bem como subtraímos, o 
termo
2 2
1 1 2 2 1 2
1 1
0
2 2
L i L i Mi i+ − 
1 2M L L
• A partir disto, obtemos:
O Coeficiente de Acoplamento
• Podemos descrever um parâmetro que descreve quão 
próximo o valor de M se aproxima do limite superior.
• Isso é chamado de coeficiente de acoplamento
• K pode variar de 0 a 1
• É determinada pela configuração física das bobinas.
1 2
M
k
L L
=
Exemplo
• Considere o circuito. Determine o coeficiente de 
acoplamento e calcule a energia armazenada nos 
indutores acoplados no instante t=1s se 
v=60cos(4t+30°)V
• SOL: o coeficiente de acoplamento
Sol:
• Para determinar a energia armazenada, 
precisamos calcular a corrente. Para obter a 
corrente precisamos obter o equivalente no 
domínio da frequência
sol
• Malha 1
• Malha 2 • ou
• substituindo
• No domínio do tempo
• A energia total 
armazenada nos 
indutores acoplados
Transformadores Lineares
• Um transformador é um dispositivo magnético que tira proveito do 
fenômeno da indutância mútua.
• É geralmente um dispositivo de quatro terminais composto por duas ou 
mais bobinas acopladas magneticamente.
• A bobina que está conectada à fonte de tensão é chamada de primária.
• A bobina conectado à carga é chamado de secundário.
• Eles são chamados lineares se as bobinas são enroladas em um material 
magneticamente linear.
Transformadores Lineares
• R1 e R2 são incluídas para levar em conta as perdas( dissipação 
em potência) nas bobinas
• Gostaríamos de obter a 
impedância de entrada Zin
aplicando LTK.
Impedância do Transformador
• Um parâmetro importante a conhecer para um transformador é a forma 
como a impedância de entrada Zin é vista a partir da fonte.
• Zin é importante porque governa o comportamento do circuito no lado do 
primário.
• Usando a figura do último slide, se se aplica LTK às duas malhas:
Aqui você vê que a impactos 
secundários de Zin
2 2
2 2
R
L
M
Z
R j L Z


=
+ +
Impedância 
refletida
Circuitos Equivalentes
• Já sabemos que os indutores acoplados podem ser complicados 
de trabalhar.
• Uma abordagem é usar uma transformação para criar um circuito 
equivalente.
• O objetivo é remover a indutância mútua.
• Istopode ser realizado usando uma rede T ou 𝝅.
• O objetivo é combinar as tensões e correntes dos terminais da 
rede original com a nova rede.
Circuitos Equivalentes II
• Começando com os indutores acoplados como 
mostrado aqui:
• Transformando para a rede T os indutores são:
• Para o circuito da figura tem-se
1 1 1
2 2 2
V j L j M I
V j M j L I
 
 
     
=     
     
• Equiparando-se os termos nas matrizes de impedância
Circuitos Equivalentes II
• Equiparando-se
• Matriz inversa 
2 2
1 2 1 2
2 1
2
1 2
A B
C
L L M L L M
L L
L M L M
L L M
L
M
− −
= =
− −
−
=
• Para o circuito ∆ a analise nodal
Transformando para a rede 𝝅 os indutores 
são:
Exemplo
• No circuito da figura, calcule a impedância 
de entrada e a corrente I1. Considere Z1=60-
100jΩ, Z2=30+40jΩ e ZL=80+60jΩ.
• SOL:
• assim
Exemplo
• Determine o circuito T equivalente do 
transformador da figura
• SOL: dado que
• Os parâmetros são como
Exemplo
• Determine I1, I2 e Vo usando o circuito equivalente T 
para o transformador linear
• SOL: o circuito T equivalente
sol
• Substituindo no diagrama original
• Aplicando analise de malhas
• A partir da equação anterior
• Substituindo as equações 
obtemos
• Como 100 é muito grande comparado 
com 1, a parte imaginaria de 100-j 
pode ser ignorada de modo que 100-
j=100 logo
• A partir da equação
Transformadores ideais
• Um transformador ideal é um acoplamento perfeito (k = 1).
• Tem duas ou mais voltas com um grande número de enrolamentos em um 
núcleo de alta permeabilidade.
• O transformador ideal tem:
• 1. Bobinas com grande reatância (L1, L2, M →)
• 2. O coeficiente de acoplamento é igual à unidade.
• 3. Bobinas primárias e secundárias são sem perdas
Transformadores ideais II
• Os transformadores de núcleo de ferro estão próximos do 
ideal.
• As tensões são ligados uns aos outros pela voltas ração N:
2 1
1 2
1I N
I N n
= =
Por um lado, se (n <1) é um transformador abaixador de 
tensão, uma vez que a tensão é reduzida do primário 
para o secundário.
Um (n> 1) é o oposto ao descrito
A corrente está relacionada como:
Transformadores ideais III
Transformadores Ideais IV
• Existem regras para obter a polaridade correta do 
transformador em um circuito:
• Se V 1 e V 2 são ambos positivos ou ambos negativos no 
terminal pontilhada, use + n ocaso contrario use - n
• Se I 1 e I 2 entram ou sai do terminal com ponto, use - n caso 
contrario use + n
• A potência complexa no enrolamento primário é:
( )
** *2
1 1 1 2 2 2 2
V
S V I nI V I S
n
= = = =
Características do Transformador
• Maquina elétrica estática.
• Alimentado com corrente alternada.
• Possui 2 enrolamentos (primário e secundário).
• Transforma a relação V – I.
• Permite o transporte de energia elétrica em grandes 
distancias.
Geração, Transmissão e Distribuição
Tipos de Transformadores
Tipos de Transformadores
Tipos de Transformadores
Tipos de Transformadores
Componentes do Transformador
• O núcleo estabelece um caminho para as linhas de fluxo 
magnético.
• O enrolamento primário recebe a energia da fonte alternada 
senoidal.
• O enrolamento secundário recebe energia do enrolamento 
primário e entrega a carga.
• O gabinete protege os componentes de sujeira, umidade e 
choque mecânico.
Enrolamentos e Núcleo
Núcleo do Transformador
• Os núcleos são construídos de ar, ferro macio ou aço.
• Os transformadores de núcleo de ar são usados para alta frequência (> 20 
kHz). Transformadores de núcleo de ferro são usados para baixa frequência (< 
20 kHz).
• O núcleo de ferro macio é utilizado em transformador pequeno, porem, 
eficiente. 
• O transformador de núcleo de ferro é mais eficiente que um transformador 
de núcleo de ar.
Perdas no Transformador
• Na pratica, o transformador, embora eficiente, não é um equipamento 
perfeito.
• Ocorrem perdas elétricas nos enrolamentos e perdas magnéticas de 
correntes parasitas e de histerese no núcleo, que resultam em transformação 
de energia elétrica em energia térmica.
• Ocorre, também, perda por dispersão do fluxo magnético. 
• Transformador de pequena potencia, possui eficiência de 80 a 90%, e, 
transformador de grande potencia pode ter eficiência igual ou superior a 
98%.
Perda Elétrica nos Enrolamentos
• A perda elétrica devida à resistência nos enrolamentos primário e 
secundário é denominada Perda no Cobre.
• Como a quantidade de potencia dissipada pelo condutor e diretamente 
proporcional a resistência do fio e ao quadrado da corrente a Perda no 
Cobre também é denominada Perda R.I2.
• Embora os enrolamentos do transformador sejam feitos de fio de cobre de 
baixa resistência, um valor elevado de corrente causa uma grande potencia 
dissipada.
Perda de Correntes Parasitas
• O campo magnético produzido no núcleo do transformador induz neste uma 
tensão.
• A tensão induzida causa um fluxo de correntes no núcleo que produz energia 
térmica.
• Estas correntes são denominadas Correntes Parasitas.
• A Correntes Parasitas são reduzidas utilizando-se núcleos laminados e uma 
pequena percentagem de silício no ferro.
Perda de Histerese
• O campo magnético que atravessa o núcleo, o magnetiza, e, os domínios 
dentro dele tem que se alinhar com o campo magnético.
• Com a inversão do sentido do campo, os domínios tem que se realinhar e a 
energia, usada para alterar os domínios, que e dissipada como calor dentro 
do núcleo de ferro, e denominada Perda de Histerese, sendo resultante de 
fricção molecular.
• A Perda de Histerese pode ser controlada em pequeno valor através da 
escolha apropriada de material de núcleo.
Perda de Histerese
• Alinhamento dos domínios :
Perda por Dispersão do Fluxo
• Com o Coeficiente de Acoplamento k=1, a energia máxima seria transferida 
do primário para o secundário.
• Na pratica, nem todo o fluxo magnético produzido no enrolamento primário e 
enlaçado pelo enrolamento secundário.
• Isso gera Perda por Dispersão do Fluxo na transferência de potencia do 
transformador.
Relação de Tensões
• Como a forca eletromotriz no primário e igual (ou quase) a tensão aplicada, uma 
relação pode expressar o valor da tensão induzida em função da tensão aplicada 
no primário e do numero de espiras em cada enrolamento.
Relação de Correntes
• O fluxo no núcleo dos enrolamentos primário e secundário de um transformador, 
desde que os ampere-espiras são os mesmos para ambos os enrolamentos, deve 
ser o mesmo.
Relação de Potências
• O numero de espiras nos enrolamentos de um transformador esta relacionado com a 
corrente e a tensão, ou seja, maior tensão no primário implica menor corrente e 
menor tensão no secundário implica maior corrente, na mesma proporção.
• Assim, todo a potencia entregue ao primário pela fonte, também, e entregue a carga 
pelo secundário (menos a potência de perdas do transformador).
Circuito Equivalente
• Circuito equivalente completo de um transformador real com 
nucleo de ferro:
Circuito Equivalente
• Circuito equivalente simplificado de um transformador real com núcleo de ferro:
Impedância Refletida
• A impedância de entrada que aparece na fonte é:
2
L
in
Z
Z
n
=
• Isso também é chamado de impedância refletida, uma vez que parece como 
se a impedância de carga é refletida para o lado primário.
• Isso é importante quando se considera a correspondência de impedância.
Remoção do transformador
• Podemos remover o transformador do circuito, é colocando o 
secundário e primário juntos por certas regras:
• A regra geral para a eliminação do transformador e refletir o 
circuito secundário ao lado primário é: Divida a impedância do 
secundário por n2 , dividir a tensão secundária por n, e 
multiplicar a corrente secundária por n.
• A regra para eliminar o transformador e refletir o circuito 
primário para o lado secundário é: Multiplicar a impedância 
primária por n2 , multiplicara a tensão do primário por n, e 
dividir a corrente primária por n.
Remoção do transformador• Circuito de transformador ideal cujos circuitos equivalentes devem ser 
encontrados
Remoção do transformador
• Equivalentes Thevenin VTH • Equivalentes Thevenin ZTH
Remoção do transformador
• Refletindo o secundário para o primário
• Refletindo o primário para o secundário
Exemplo
• Um transformador ideal tem os seguintes valores 
nominais: 2400/120V, 9,6kVA; e tem 50 espiras 
no secundário. Calcule a) a relação de espiras; b) 
o numero de espiras no primário; c) os valores 
nominais das correntes nos enrolamentos 
primário e secundário.
• SOL: este é um transformador abaixador de tensão já que 
V1=2400V>V2=120V.
Exemplo
• Para o transformador Ideal da figura determine a) a 
corrente de fonte I1; b) a tensão de saída V0; a potência 
complexa fornecida pela fonte.
• A) a impedância de 20Ω pode ser refletida ao lado do 
primário, obtendo-se
sol
• portanto
• B) Como I1 e I2 deixam os terminais com pontos
• c) A potência complexa fornecida é
Exemplo
• Calcule a potência fornecida ao resistor de 10 Ω no circuito do 
transformador Ideal da figura
• SOL: A reflexão para o primário ou secundário não pode ser realizada com este 
circuito: existe uma conexão direta entre o primário e o secundário devido ao 
resistor de 30Ω. Para a Malha 1
sol
• Malha 2
• Nos terminais do transformador
• Note que(n=1/2) agora temos quatro equações e quatro 
incógnitas, porem nosso objetivo é encontrar I2.
• A potência absorvida pelo resistor de 10Ω
Autotransformador ideal
• Um autotransformador usa um enrolamento 
para o primário e secundário
• Ele pode fazer elevação o abaixar.
• A relação de tensão é:
1 1
2 1 2
V N
V N N
=
+
Não oferece isolamento!
Exemplo
• Compare as potências nominais do transformador de dois 
enrolamentos nas figuras com o autotransformador.
• Sol: para o transformador de dois enrolamentos a potência 
nominal é
• Sol: para o autotransformador a potência nominal é
• Que é 21 vezes a potência nominal do transformador de dois 
enrolamentos.
Exemplo
• Observe o circuito do autotransformador Calcule: a) I1,I2
e I0 se ZL=8+6jΩ; b) a potência complexa fornecida para a 
carga.
• SOL: este é um transformador elevador com N1=80, 
N2=120, V1=120∠30°
Sol: • ou
• porem
• ou
A potência complexa fornecida a carga
Na derivação, aplicando LTK temos
Transformador Trifásico
• Quando se trabalha com energia trifásica, há duas opções para 
transformadores:
• Um banco de transformadores, com um transformador por fase
• Um transformador trifásico
• O transformador trifásico será menor e menos caro.
• As mesmas ligações de conexão de Delta e Y mantêm como discutido 
anteriormente.
Transformador Trifásico II
• Para qualquer uma das quatro ligações, a potência total 
ST, a potência real PT e a potência reativa QT são obtidas 
como segue.
• Para o circuito da figura
Transformador Trifásico III
Exemplo
• A carga equilibrada de 42kVA, representada na figura, é alimentada por um 
transformador trifásico. A) determine o tipo de conexões de transformador 
b) calcule a tensão e a corrente de linha no primário. C) determine a 
potência nominal em kVA de cada transformador usado no banco de 
transformadores suponha que os transformadores sejam ideais
Sol:
• Primário em estrela e secundário em delta.
• A partir da equação.
• Como a carga é equilibrada, cada transformador 
compartilha igualmente a carga total, já que não há perdas.
• A potencia nominal em kVA de cada transformador é 
S=ST/3=14kVA
• A corrente de fase é Ilp/ 3=58,34 A por tanto 
S=240*58,34=14kVA