CAP 4

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IV-ANÁLISE DE CIRCUITOS CA
Tensão e corrente alternada
Uma tensão CA é aquela cujo módulo varia 
continuamente e cuja polaridade é invertida 
periodicamente.
Uma tensão CA pode ser produzida por um gerador, 
denominado alternador. Nele, uma espira condutora
gira através do campo magnético e intercepta linhas
de força para gerar uma tensão induzida nos 
terminais. Uma rotação completa da espira 
corresponde a um ciclo. 
Nas posições A e C a tensão induzida é nula porque a
espira gira paralelamente ao campo magnético. Nas
posições B e D, por sua vez, a tensão induzida é 
máxima porque a espira intercepta o campo num 
angulo de 90.
A polaridade da tensão induzida em D é negativa 
porque o fluxo é interceptado no sentido oposto 
(esquerda para a direita) em relação à posição B 
( direita para a esquerda). 
A onda CA de A à C constitui meio ciclo de rotação,
denominado alternação. Um ciclo CA é verificado 
entre A e A’ ou B e B’ .
O eixo horizontal da onda de tensão CA corresponde
à graus elétricos em vez de graus geométricos. 
A forma de onda da tensão CA é denominada onda
senoidal.
(1)
Quando uma onda senoidal de tensão é conectada a
uma resistência de carga, a corrente que passa pelo
circuito também é uma onda senoidal.
Ex.) Uma tensão senoidal varia de 0 a um máximo de
10 V. Determine tensão para =30, 45, 60, 180 e 
270.
Ex.) A tensão senoidal CA abaixo é aplicada a uma 
resistência de carga de 10 . Mostre a onda senoidal
resultante para a corrente alternada.
Frequência e período
O número de ciclos por segundo é denominado de 
frequência f, dada em hertz (Hz). Um ciclo por segundo
equivale a um hertz.
O intervalo de tempo para que um ciclo se complete
é denominado de período T. A frequência é o inverso
do período.
(2)
Ex.) Uma corrente CA varia ao longo de um ciclo 
completo em 1/100 s. Qual é o período e a 
frequência ? Se IM =5 A, mostre a forma de onda 
para a corrente em graus e em milessegundos.
Comprimento de onda
O comprimento de onda  é o comprimento de uma 
onda ou ciclo completo.  depende da frequência e
e da velocidade de transmissão da onda.
(3)
Para uma onda eletromagnética, tem-se :
(4)
Relações de fase
O ângulo de fase entre duas formas de onda de 
mesma frequência é a diferença angular em um dado
instante. Na figura abaixo, o ângulo de fase entre as
ondas B e A é de 90, com a onda B adiantada em 
relação à onda A. 
Fasores
Na comparação entre os ângulos de fase de tensões 
e corrente alternadas é útil a representação das ondas
de tensão e corrente num diagrama fasorial.
Um fasor é uma grandeza com módulo e sentido sendo
que o seu comprimento representa o módulo da 
tensão ou corrente alternada.
A figura a seguir mostra o diagrama fasorial das ondas
de tensão B e A, tomando o fasor VA como referência.
Nesse caso, o fasor VB está adiantado em 90 em 
relação ào fasor VA .
Alternativamente, pode-se tomar o fasor VB como 
referência e nesse caso o fasor VA está atrasado de 90
em relação ao fasor VB .
Quando duas ondas estão em fase, o ângulo de fase
é zero. Nesse caso, as amplitudes se somam para 
determinação da resultante.
Quando as duas ondas estão exatamente fora de fase, 
o ângulo de fase é de 180. Nesse caso, as amplitudes
são subtraídas para determinação da resultante.
Ex.) Qual é o ângulo de fase entre as ondas A e B na 
figura abaixo ? Desenhe os diagramas fasoriais
tomando as ondas A e B como referência.
Valores característicos de tensão e 
de corrente
Como uma onda senoidal possui vários valores
instantâneos ao longo do ciclo, é conveniente
especificar alguns parâmetros característicos da onda
para efeito de comparação de uma onda com outra.
Valor de pico VM : É o valor máximo da onda.
Valor de pico a pico Vp-p : É a soma das amplitudes 
máximas e mínimas da onda.
Valor médio: É a média aritmética sobre todos os 
valores em uma onda senoidal para um meio ciclo.
(5)
Valor eficaz ou rms : Corresponde à mesma 
quantidade de corrente ou tensão contínua capaz de
produzir a mesma potência de aquecimento. Todas as
medidas de ondas senoidais CA serão dadas em 
valores rms. As letras V e I serão usadas para indicar os
valores rms de tensão e corrente.
(6)
A tabela abaixo é útil na conversão de um valor 
característico em outro. 
Resistência em circuitos CA
Para um circuito CA puramente resistivo, as variações
na corrente ocorrem em fase com a tensão. Essa 
relação entre V e I em fase permite que circuitos CA
sejam analisados pelos mesmos métodos de circuitos
CC. Os cálculos são geralmente feitos com valores rms.
Ex.) Uma tensão CA de 110 V é aplicada a duas 
resistências de 5  e 10  em série. Calcule a corrente
e a queda de tensão através de cada resistência. 
Desenhe o diagrama fasorial.
Problemas resolvidos
1) Calcule o atraso de tempo para um ângulo de fase
de 45 em uma frequência de 500 MHz.
2) A onda senoidal de uma corrente alternada exibe 
um valor máximo de 80 A. Que valor de corrente CC
produziria o mesmo efeito de aquecimento ?
3) Calcule o ângulo de fase para as seguintes ondas 
CA e desenhe os respectivos diagramas fasoriais.
(a)
(b)
(c)
4) Calcule a tensão V, o período T, a frequência f e a
tensão de pico a pico na figura abaixo.
5) Determine as tensões de pico a pico, a frequência 
e o período para as formas de onda mostradas abaixo.
6) Uma tensão CA de 120 V é aplicada a uma carga 
resistiva de 20 . Calcule os valores de I, VM, Vp-p, 
Vmed, IM, Ip-p, Imed e P.
7) Um ferro elétrico de 20  e uma lâmpada de 100 
estão conectados em paralelo a uma linha de 
alimentação CA de 120 V e 60 Hz. Calcule a corrente
total, a resistência total e a potência total consumida.
Desenhe o diagrama fasorial.
8) Um circuito CA série-paralelo tem dois ramos 
através de uma linha de alimentação de 60 Hz e 
120 V. Calcule I1, I2, I3, V1, V2 e V3.
Problemas propostos
P1) A tensão de pico de uma onda senoidal CA
é de 100 V. Calcule a tensão instantânea em 0,
30, 60, 135 e 245. Use os pontos obtidos e 
faça um gráfico da onda CA.
P2) Um forno elétrico consome 7,5 A de uma 
fonte de alimentação CC de 120 V. Qual o valor 
máximo de uma corrente alternada capaz de 
produzir o mesmo efeito térmico ? Calcule a 
potência consumida da linha CA.
P3) Calcule V, Vp-p ,T e f para a onda senoidal 
abaixo.
P4) Calcule Vp-p e f na forma de onda ilustrada 
abaixo.
P5) Qual é o comprimento de onda de uma 
estação de rádio que transmite o sinal de FM em
uma frequência de 107,3 KHz ? 
P6) Determine o ângulo de fase para as ondas 
abaixo e desenhe o seu fasor. Represente I como
fasor de referência.
P7) Uma fonte CA fornece 120 V para uma 
residência. Essa tensão é medida por um 
voltímetro CA. Qual o valor de pico dessa 
tensão ?
P8) Uma linha de alimentação CA fornece 240 V
para um sistema de aquecimento que tem uma
resistência total de 5 . Calcule I,VM ,Vp-p ,Vmed , 
IM ,Ip-p , Imed e P.
P9) Um circuito CA tem um resistor de 5 M em 
série com um resistor de 15 M através de uma 
fonte CA de 200 V. Calcule I, V1, V2, P1 e P2. 
P10) Para o circuito CA série-paralelo abaixo, 
calcule a corrente total e a corrente em cada
resistência. Calcule também a tensão em cada
resistência. 
P11) Complete o quadro abaixo.
Indutância
A capacidade que um condutor possui de induzir 
tensão em si mesmo quando a corrente varia é a 
sua indutância. 
A indutância é simbolizada pela letra L e a sua 
unidade é o henry (H). Um henry é a quantidade de
indutância que permite uma indução de um volt
quando a corrente varia na razão de um ampère por
segundo. A indutância L é dada por:
(7)
A tensão induzida na bobina é dada por 
(8)
Ex.) Qual é o valor da indutância de uma bobina que
induz 20 V quando a corrente que passa por ela varia
de 12 para 20 A em 2 s ? 
Ex.) Uma bobina tem uma indutância de 50 H. Qual
a tensão induzida na bobina quando a taxa de 
variação da corrente for de 10.000 A/s ?
Na figura a seguir, umacorrente variável em L1, induz
tensão em L1 e L2. A tensão induzida em L2 , produz 
uma corrente tal que o campo magnético formado 
induz tensão em L1. Portanto, L1 e L2 possuem uma 
indutância mútua que é definida pelo símbolo LM . 
A indutância de uma bobina depende de como ela é
enrolada, do material do núcleo e do número de 
espiras. De forma geral, a indutância varia diretamente
com a permeabilidade magnética, número de espiras
e a área das espiras e, inversamente, com o 
comprimento da bobina.
(9)
As perdas no núcleo da bobina se devem às perdas
por efeito de correntes parasitas e às perdas por 
histerese. 
Reatância indutiva
A reatância indutiva XL é a oposição à corrente CA 
devida à indutância do circuito. A unidade de reatância
é o ohm .
(10)
Para um circuito puramente indutivo, a lei de ohm 
pode ser aplicada substituindo XL por R. 
Ex.) Um circuito puramente indutivo consiste em uma
bobina de 20 mH que funciona a uma frequência de
950 kHz. Qual a reatância indutiva da bobina ? 
Ex.) Uma bobina de resistência desprezível limita a
corrente através dela em 50 mA, quando uma tensão
de 25 V e 400 kHz é aplicada aos seus terminais. 
Calcule XL pela lei de ohm e em seguida calcule L. 
Indutores em série e em paralelo
Se os indutores forem dispostos suficientemente 
afastados de modo que não interajam 
eletromagneticamente, eles são associados de forma
análoga ao caso de resistências. Nesse caso, para 
indutores em série, temos:
(11)
Por outro lado, se duas bobinas em série estiverem
muito próximas, a indutância mútua LM entre elas deve
ser considerada na associação.
(12)
O sinal positivo em LM indica série aditiva onde a 
corrente produz o mesmo sentido de campo 
magnético nas duas bobinas. O sinal negativo indica 
série subtrativa onde os campos magnéticos são 
opostos. 
Para indutores em paralelo, temos:
(13)
(2 indutores) (14)
Ex.) Duas bobinas de 10 e 12 H são colocadas próximas
uma da outra de modo a se acoplarem através de uma 
indutância mútua de 7 H. Qual é o valor da indutância
total se (a) as bobinas forem enroladas no mesmo
sentido e (b) em sentidos opostos ? 
Ex.) Qual é a indutância total de dois indutores em
paralelo com indutâncias de 8 H e 12 H ?
Ex.) Um indutor de 6 H e outro de 22 H estão 
conectados em série e são alimentados através de 
uma tomada de 120 V ca e 60 Hz. Considere que as
suas resistências sejam desprezíveis e que eles não
possuam indutância mútua. Quais são as suas 
reatâncias indutivas e qual valor de corrente eles
consomem ?
Circuitos indutivos
1) Apenas indutância
Se uma tensão ca for aplicada a um circuito que tenha
apenas indutância, a corrente ca resultante que passa
pela indutância, iL , estará atrasada em relação à 
tensão na indutância, vL , em 90.
As tensões v e vL são iguais. VL e iL são ondas senoidais
de mesma frequência. Letras minúsculas indicam 
valores instantâneos de corrente e tensão enquanto
letras maiúsculas indicam valores rms ca ou cc. 
2) RL em série
Quando uma bobina tem uma resistência em série, 
a corrente I é limitada tanto por XL quanto por R. A
corrente I através de XL está atrasada de 90 em
relação à VL porém está em fase com VR .
A tensão total VT é o fasor soma das duas tensões VR
e VL que estão 90 fora de fase. Para um circuito em
série, a corrente I é a mesma em R e XL e portanto é
tomada como referência no diagrama fasorial. 
A resultante da adição dos fasores R e XL é chamada de
impedância Z. A impedância é a reação total ao fluxo 
da corrente, expressa em ohms. O triângulo de 
impedância corresponde ao triângulo de tensões. As
equações para a impedância são obtidas como segue:
Ex.) Um circuito RL série ca tem uma corrente de 1 A
de pico com R=50  e XL =50 . Calcule VR , VL , VT e 
. Faça o diagrama fasorial entre VT e I. Faça o 
diagrama de tempo de i, vR , vL e vT .
Ex.) Se um R de 50  e um XL de 70  estiverem em
série ao se aplicarem 120 V aos seus terminais, calcule
os seguintes valores: Z, , I, VR e VL . Qual é o ângulo
de fase de VL , VR e VT em relação a I ? Prove que a
soma das quedas de tensão em série é igual a tensão
aplicada VT . 
3) RL em paralelo
Para um circuito RL paralelo, a tensão total VT é igual
a VR e VL e portanto será tomada como referência. A
corrente no ramo resistivo IR =VT/R está em fase com
VT enquanto que a corrente no ramo indutivo IL está
atrasada de 90 em relação à VT . O fasor soma de IR e
IL é a corrente total da linha IT .
Ex.) Um circuito RL paralelo tem uma tensão de pico
de 100 V aplicada através de R=20  e XL =20 .
Calcule IR , IL , IT e . Desenhe o diagrama fasorial e o
diagrama de tempo de vT , iR , iL e iT .
Ex.) Qual é a impedância total ZT relativa a um circuito
RL paralelo com R=200  e XL =200  ? Admita uma 
tensão aplicada de 400 V.
Fator de qualidade de uma bobina
O fator de qualidade Q de uma bobina é dado pela
equação:
(15)
onde Ri é a resistência interna da bobina igual à 
resistência do fio da bobina. Q é uma grandeza
adimensional.
Potência em circuitos RL
Em um circuito ca com reatância indutiva, a corrente
da linha I está atrasada em relação à tensão aplicada.
A potência real P é a tensão multiplicada somente
pela parcela da corrente de linha que está em fase 
com a tensão.
(16)
onde  é o ângulo de fase entre V e I. Cos  é o fator
de potência (FP) do circuito. 
A potência real também é dada por:
(17)
onde R é a componente resistiva total do circuito.
A potência reativa Q do circuito em volt-ampères-
reativos (VAR) é dada por: 
(18)
A potência aparente S em volt-ampères (VA) é dada
por:
(19)
Nas expressões para o cálculo da potência os valores
de V e I são dados em rms. A relação entre as 
potências real, reativa e aparente são ilustradas pelo
diagrama de fasores de potência ou triângulo de 
potência. 
Ex.) O circuito ca abaixo tem 2 A através de um R de
173  em série com um XL de 100 . Calcule o fator
de potencia, a tensão aplicada V, a potência real P, a
potência reativa Q e a potência aparente S.
Problemas resolvidos
1) Qual é a indutância total do circuito abaixo ?
2) Uma bobina de 20 H é conectada a uma linha de 
alimentação de 110 V e 60 Hz. Se a bobina tiver uma
resistência nula, qual será a corrente e a potência
consumida ?
3) Uma bobina de sintonia tem uma indutância de 
39,8 H e uma resistência interna de 20 . Calcule a
sua impedância para uma frequência de 100 kHz e a
corrente através da bobina se a queda de tensão for
de 80 V através de toda a bobina. Calcule também a
queda resistiva e a queda indutiva da bobina e 
desenhe o diagrama fasorial.
4) A finalidade de um filtro passa-alta é permitir que 
altas frequências passem para a carga e evitar 
passagem de frequências baixas. Calcule as correntes 
nos ramos, a corrente total e a percentagem da 
corrente total que passa pelo resistor para (a) um sinal
de audiofrequência baixa de 1,5 kHz e um sinal de 
radiofrequência alta de 1 MHz.
5) Qual a indutância de uma bobina cuja resistência é
100 , sendo que ela consome 0,55 A de uma linha 
de alimentação de 110 V e 60 Hz ?
6) Uma resistência R de 500  está em paralelo com
uma reatância XL de 300 . Calcule IT ,  e ZT .
7) Um motor de indução que opera com um fator de
potência de 0,8 consome 1056 W de uma linha ca de
110 V. Qual é o valor da corrente ?
Problemas propostos
1) Em um determinado instante a variação de corrente
em uma bobina é de 1000 A/s. Se a tensão induzida for
de 1,5 V, qual será a indutância da bobina ?
2) Uma bobina de choque de 25 H em um circuito de
filtro de uma fonte de alimentação funciona em 60 Hz.
Calcule (a) sua reatância indutiva, (b) a corrente que 
passa pela bobina se a tensão nela for de 105 V e (c) 
os valores rms, de pico e médio dessa corrente. 
3) Calcule a indutância total do circuito abaixo.
4) Um circuito de proteção contra raios contém uma
bobina de 55,7 mH em série com um resistor de 6 .
Que corrente fluirá ao ser testado com uma tensãode 110 V e 60 Hz ? Que potência será consumida por
esse circuito ? Desenhe o diagrama fasorial.
5) Um resistor de 20  e uma reatância indutiva de
15  são conectados em paralelo em uma linha ca
de 120 V. Calcule as correntes nos ramos, a corrente
total, a impedância e a potência consumida. Desenhe
o diagrama fasorial.
6) Uma indutância de resistência 5  e reatância de
12  está conectada a uma linha ca de 117 V e 60 Hz.
Calcule as potências real, aparente e reativa.
7) Uma linha de alimentação de 120 V e 60 Hz está 
conectada a uma bobina de choque de 12 H cuja 
resistência vale 500 . Calcule a reatância indutiva, o
Q da bobina, a impedância e a corrente da bobina.
O capacitor
Um capacitor é um dispositivo elétrico que consiste
em duas placas condutoras de metal separadas por
um material isolante denominado dielétrico. O 
capacitor armazena a carga elétrica no dielétrico. 
Capacitância
A capacitância é a capacidade de armazenamento de
carga elétrica. A capacitância é igual a quantidade de 
carga que pode ser armazenada em um capacitor 
dividida pela tensão aplicada às placas. A unidade de
capacitância é o farad (F).
(20)
Um farad é a capacitância que armazena um coulomb
de carga no dielétrico quando a tensão aplicada aos
terminais do capacitor é de um volt. 
A característica do dielétrico que descreve a sua 
capacidade de armazenar energia elétrica é chamada
de constante dielétrica. Para o ar, que é tomado como
referência, é atribuído o valor unitário para a sua 
constante dielétrica.
A capacitância de um capacitor depende da área das
placas condutoras, da separação entre as placas e da
constante dielétrica do material isolante. 
(21)
Ex.) Qual a capacitância de um capacitor que armazena
4 C de carga com uma tensão de 2 V ?
Ex.) A área de uma placa de um capacitor de duas
placas com micas é de 0,0025 m2 e a separação entre
elas é de 0,02 m2. Se a constante dielétrica da mica
é 7, qual a capacitância do capacitor ?
Tipos de capacitores
Os capacitores comerciais são denominados de 
acordo com o seu dielétrico. Ex. ar, mica, papel e
cerâmica, além do tipo eletrolítico. 
Associação de capacitores
As regras usadas para associação de capacitores são
opostas em relação à associação de resistores.
Capacitores em série
(22)
Capacitores em paralelo
(23)
Ex.) Calcule a capacitância total da associação abaixo. 
Reatância capacitiva
A reatância capacitiva XC é a oposição ao fluxo de
corrente ca devido à capacitância no circuito. A 
unidade de reatância capacitiva é o ohm. A reatância
capacitiva é dada por: 
(24)
A tensão e a corrente em um circuito contendo 
somente reatância capacitiva podem ser determinadas
utilizando-se a lei de ohm. 
(25)
Ex.) Qual é a reatância capacitiva de um capacitor de
0,001 F em 60 Hz ?
Ex.) Uma corrente ca de 25 mA e 120 Hz passa por um
circuito contendo um capacitor de 10 F. Qual é a 
queda de tensão através do capacitor ?
Circuitos capacitivos
1) Somente capacitância
Se uma tensão ca v for aplicada a um circuito que 
possua apenas capacitância, a corrente ca resultante
que passa pela capacitância, ic , estará adiantada em
relação à tensão através da capacitância, vc , em 90.
Em circuitos série, a corrente IC é tomada como fasor
de referência e a tensão VC está atrasada em relação
a corrente Ic em 90.
2) Circuito RC série
Em um circuito RC série contendo R e XC , a corrente
que passa por R e XC é a mesma, I, e portanto tomada
como referência. A tensão através de XC (VC ) está
atrasada em relação à corrente em XC (IC) em 90. A
tensão em R está em fase com I, pois a resistência 
não produz desvio de fase.
A tensão total VT é a soma fasorial de VR e VC .
(25)
Ex.) Um circuito ca RC em série tem uma corrente de
pico de 1 A com R=50  e XC =120 . Calcule VR , VC ,
VT e . Desenhe o diagrama fasorial de VC e I. Desenhe
também o diagrama de tempo de i, vr , vc e vT .
Para circuitos RC série, o triângulo de tensão 
corresponde ao triângulo de impedância. 
Ex.) Uma reatância XC de 40  e uma resistência R de
30  estão conectados em série a uma fonte de 120 V.
Calcule Z, I e . Desenhe o diagrama fasorial.
3) Circuito RC em paralelo
No circuito RC em paralelo, a tensão em R e XC é igual
a tensão da fonte que é tomada como fasor de 
referência. A corrente no ramo resistivo IR está em 
fase com VT e a corrente no ramo capacitivo IC está
adiantada em relação a VT de 90. A corrente total IT é
igual ao fasor soma de IR e IC .
(26)
A impedância total ZT do circuito RC paralelo é dada
pela lei de ohm.
(27)
Ex.) Um resistor de 15  e um capacitor com reatância
capacitiva de 20  estão dispostos em paralelo e 
conectados a uma linha ca de 120 V. Calcule IR , IC , IT
e ZT . Desenhe o diagrama fasorial.
Potência em circuitos RC
As equações do cálculo de potência para circuitos RL
são igualmente aplicadas para circuitos RC.
A capacitância, como a indutância, não consome 
potência sendo o consumo realizado pela resistência.
A potência reativa Q no circuito RC é capacitiva sendo 
representada abaixo do eixo horizontal. 
Problemas resolvidos
1) Uma capacitância de 3,53 F e uma resistência
de 40  estão conectadas em série através de 
uma fonte ca de 110 V e 1,5 kHz. Calcule XC , Z,
, I, VR,VC e P. Desenhe o diagrama fasorial.
2) Uma tensão de 10 V em uma frequência de
20 kHz é aplicada a um capacitor de 1 F. 
Calcule a corrente e a potência real usada. 
Desenhe o diagrama fasorial.
3) A finalidade de um circuito filtro passa-baixas
é de permitir que as baixas frequências passem
para a carga e evitar que passem as altas 
frequências. Calcule as correntes nos ramos, a
a corrente total, o ângulo de fase e a percentagem
da corrente total que passa pelo resistor para (a)
um sinal de audiofrequência (baixa) de 1,5 khz e
(b) um sinal de radiofrequência (alta) de 1MHz. 
Problemas propostos
1) Calcule os valores indicados.
2) Uma tensão ca de 120 V e 60 Hz é aplicada a um 
circuito em série constituído por um resistor de 10 
e um capacitor de reatância igual a 15 . Calcule a 
impedância, o ângulo de fase, a corrente na linha, a 
queda de tensão no resistor e no capacitor, e a 
potência. Desenhe o diagrama fasorial.
3) Um resistor de 15  e uma reatância capacitiva de
8  são colocados em paralelo e conectados a uma
linha ca de 120 V. Calcule os fasores das correntes nos
ramos, a corrente total e o ângulo de fase, a 
impedância e a potência consumida. Desenhe o 
diagrama fasorial.
Circuito RLC em série
A corrente em um circuito contendo resistência,
reatância indutiva e reatância capacitiva é 
determinada pela impedância total da associação. A
corrente I é a mesma em R, XL e XC e a queda de tensão
em cada elemento é determinada pela lei de ohm.
A queda de tensão através da resistência está em fase
com a corrente. A tensão através da indutância está
adiantada em relação a corrente na indutância. A 
tensão no capacitor está atrasada em relação a 
corrente na capacitância.
Como VL e VC estão 180 graus fora de fase e agem em
sentidos opostos, essas quantidades são somadas 
algebricamente no diagrama de fasores. Quando XL é
maior do que XC , o circuito é indutivo, VL é maior do
que VC , e I está atrasada em relação a VT . 
Quando XC é maior do que XL , o circuito é capacitivo,
VC é maior do que VL , e I está adiantada em relação
a VT . 
Para XL > XC , temos:
Para XC > XL, temos:
Ex.) No circuito ca RLC em série abaixo, qual a tensão 
aplicada e o ângulo de fase? Desenhe o diagrama de
fasores de tensão. 
Para o circuito RLC série, a impedância é igual à soma
dos fasores R, XL e XC . Para XL > XC , temos:
Para XC > XL , temos:
Na figura acima, X é a reatância efetiva dada por
Ex.) Quando a reatância XL e a reatância capacitiva XC
forem exatamente iguais em um circuito RLC série,
surge uma condição chamada de ressonância em
série. Em um circuito em série para o qual R= 4 ,
XL = XC = 19,5  e I = 2 A, calcule Z e VT .
CircuitoRLC em paralelo
Para um circuito RLC em paralelo, a tensão aplicada
VT é a mesma na resistência, indutância e 
capacitância ou seja, VT = VR = VL = VC. Nesse caso, a 
tensão aplicada é usada como fasor de referência.
A corrente total IT é a soma dos fasores IR , IL e IC . A
corrente na resistência IR está em fase com a tensão
aplicada VT . A corrente no indutor está atrasada em
relação à tensão aplicada VT de 90, enquanto a 
corrente no capacitor está adiantada de 90 em 
relação a VT .
Uma vez que IL e Ic estão 180 fora de fase, seus valores
são somados algebricamente no diagrama de fasores.
Se IL > IC , IT está atrasada em relação à VT e o circuito
RLC paralelo é considerado indutivo. Por outro lado, se 
IC > IL , IT está adiantada em relação à VT e o circuito é
considerado capacitivo.
Se IL > IC e o circuito é indutivo, temos:
Se IC > IL e o circuito é capacitivo, temos:
A impedância total ZT de um circuito RLC em paralelo
é dada pela lei de ohm. 
Ex.) Para o circuito RLC paralelo ilustrado, determine:
os fasores das correntes nos ramos, a corrente total,
o ângulo de fase e a impedância. Desenhe o diagrama
de fasores. 
Ex.) Quando, em um circuito RLC em paralelo, XL = XC ,
diz-se que o circuito está em ressonância em paralelo.
Considere XL = XC =40  no exemplo anterior e calcule
as mesmas quantidades solicitadas no exemplo.
Ramos RL e RC em paralelo
A corrente total IT para um circuito contendo ramos
paralelos RL e RC é a soma dos fasores das correntes
I1 e I2 nos ramos. 
Uma forma conveniente de se determinar IT consiste
em (1) somar algebricamente as componentes de I1 e
e I2 com relação ao fasor de referência, (2) somar
algebricamente as componentes verticais de I1 e I2, e
(3) construir um triângulo retângulo, tendo essas 
somas como catetos, e determinar o valor da 
hipotenusa IT e o ângulo formado com a horizontal. 
Ex.) O circuito ca ilustrado tem um ramo RL paralelo 
a um ramo RC. Calcule a corrente total IT , o ângulo 
de fase e a impedância desse circuito.
Potência e fator de potência
A potência instantânea é o produto da corrente pela
tensão em um dado instante. 
Quando ambos, tensão e corrente são positivos, ou 
negativos, a potência é positiva, sendo consumida no
circuito. Por outro lado, se a tensão e a corrente tem
sinais opostos, a potência é negativa, sendo 
retornada para a linha.
O produto da tensão na resistência pela corrente é
chamada de potência real e representa a potência 
gasta no circuito. A potência na reatância é 
denominada potência reativa e não é consumida no 
circuito. O produto da tensão de linha pela corrente 
de linha é denominada de potência aparente.
Para um circuito onde a reatância resultante é 
indutiva, a potência reativa Q está atrasada e situada
acima do eixo horizontal. Se a reatância resultante for
capacitiva, Q está adiantada e situada abaixo da linha
horizontal.
A razão entre a potência real e a potência aparente é
denominado de fator de potência FP 
ou
O fator de potência determina que parcela da potência
aparente é potência real e pode variar desde 1 (=0)
até 0, indicando que nenhuma potência está sendo
gasta (=90). Um FP=0,7 indica que apenas 70% da 
potência aparente está sendo consumida.
Um circuito onde a corrente está atrasada em relação
à tensão (circuito indutivo) tem FP indutivo ou de 
atraso. Para a situação em que a corrente está 
adiantada em relação à tensão (circuito capacitivo), o
FP é capacitivo ou de avanço.
Ex.) No circuito ca abaixo, a corrente de linha de 2 A
está atrasada em relação à tensão aplicada de 17 V
em 61,9. Calcule FP, P, Q e S. Desenhe o triângulo de
potência.
Correção do fator de potência
Para uso mais eficiente da corrente fornecida à carga,
deseja-se um FP elevado e próximo de 1. Um FP baixo
se deve a grandes cargas indutivas, como motores de
indução, que consomem a corrente com atraso de 
fase. A correção do fator de potência tem como 
objetivo fazer com que a corrente fique 
aproximadamente em fase com a tensão aplicada 
(  0). Isto é feito com a colocação de uma carga 
capacitiva em paralelo com a carga indutiva. 
Ex.) Um motor de indução consome 1,5 kW e 7,5 A de
uma linha de 220 V e 60 Hz. Qual deverá ser a 
capacitância de um capacitor em paralelo a fim de
se aumentar o FP total até a unidade ? 
Ex.) Um motor de indução consome 15 kVA em 440 V
e com 75% de FP indutivo. Qual deverá ser o FP de 
uma carga de 10 kVA conectada em paralelo para 
elevar o FP total até a unidade ? 
Problemas resolvidos
1) Para o circuito RLC abaixo, calcule XL , XC , Z, I, VR ,
VL , VC , P e FP. Faça o diagrama de fasores.
2) Calcule a impedância e a corrente do circuito RLC
série mostrado abaixo. 
3) Para o circuito mostrado abaixo, calcule IT , , ZT e
P. Desenhe o diagrama fasorial. O circuito é indutivo
ou capacitivo ?
4) Um motor de indução de 6  de resistência e 8 
de reatância indutiva está em paralelo com um motor
síncrono de 8  de resistência e 15  de reatância
capacitiva. Calcule a corrente total IT consumida de 
uma fonte de 150 V e 60 Hz, o ângulo de fase, a 
impedância total, o fator de potência e a potência
consumida pelo circuito. Calcule a impedância, a
corrente e o ângulo de fase em cada ramo.
5) Um motor de indução de 10 kVA, funcionando com
um FP de 80% indutivo, e um motor síncrono de 5 kVA,
funcionando com um FP de 70% capacitivo, estão
conectados em paralelo através de uma linha de
alimentação de 220 V e 60 Hz. Calcule a potência real
total PT , a potência reativa total QT , o fator de 
potência total FPT , a potência total ST e a corrente
total IT . 
6) Um motor de indução consome 7,2 kW com fator 
de potência indutivo de 80% alimentado por uma 
linha de 220 V e 60 Hz. Calcule a capacitância de um
capacitor colocado nos terminais do motor para 
aumentar o FP para 1. 
7) Uma carga indutiva consome 5 kW com FP indutivo
de 60 %, a partir de uma linha de 220 V. Determine a
especificação em kVA do capacitor a fim de aumentar
o fator de potência total para 1.
8) A carga de uma instalação consome 2000 kVA de
uma linha de 240 V com um FP de 0,7 indutivo. 
Calcule o valor da potência em kVA necessária para
que um banco de capacitores em paralelo com a 
instalação eleve o FP total para 0,9 indutivo. 
9) Uma associação RL série em um circuito ca tem
R=10  e XL =12 . Um capacitor é conectado à
associação. Qual deverá ser a reatância do capacitor
se o circuito tiver de ter um FP igual a 1 ?
Problemas propostos
1) Em um circuito em série, R=12 , XL =7  e 
XC =2 . Calcule a impedância, o ângulo de fase do
circuito e a corrente de linha quando a tensão ca for
for de 110 V. Calcule também todas as quedas de
tensão e desenhe o diagrama de fasores para a 
tensão. Desenhe o triângulo de potência. Calcule o
fator de potência.
2) Um resistor de 30 , uma reatância indutiva de 15 
e uma reatância capacitiva de 12  estão conectados 
em paralelo através de uma linha de 120 V e 60 Hz.
Calcule os fasores das correntes nos ramos, a corrente
total e o ângulo de fase, a impedância e a potência
consumida. Desenhe o diagrama fasorial para a 
corrente e o triângulo de potência. Calcule o fator de
potência.
3) Para o circuito abaixo, calcule IT , , ZT , FP e P.
4) Uma linha de 220 V fornece 15 kVA para uma carga
com FP de 80% indutivo. Calcule o FP de um motor 
síncrono de 12 kVA em paralelo para elevar o FP para
100 %.
5) Um conjunto de motores consome, de uma linha de
440 V e 60 Hz, 30 kW com um FP de 75% indutivo. 
Calcule o valor da potência em kVA e a capacitância
de um capacitor colocado nos terminais do motor para
elevar o FP para 1.