Aula_11_-_CE_1_-_cap_04

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Circuitos de Primeira Ordem
14  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem4.1  ‐ Introdução  /  Circuitos  sem  fontes 1
Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.1 – introdução
 Um circuito de primeira ordem é caracterizado por uma equação diferencial de primeira
ordem.
‐ Existem basicamente dois tipos de circuitos: circuitos RC e circuitos RL. Há duasExistem basicamente dois tipos de circuitos: circuitos RC e circuitos RL. Há duas
formas de excitar esses circuitos:
I. Circuitos sem fontes  Neste caso supomos que a energia esteja
inicialmente armazenada no elemento capacitivo ou indutivo A energia fazinicialmente armazenada no elemento capacitivo ou indutivo. A energia faz
que a corrente flua no circuito e seja gradualmente dissipada nos resistores.
II. Circuitos com fontes independentes.
N t ít l t ã id d f t‐ Neste capítulo somente serão consideradas fontes cc.
4.2 – Circuitos sem fontes4.2   Circuitos sem fontes
 Embora os circuitos sem fonte sejam, por definição livres de fontes independentes, eles 
podem eventualmente, ter fontes dependentes. 
 Circuito RC sem fonte
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.2  ‐ Circuitos  sem  fontes  / Circuito RC 2
Um circuito RC sem fonte ocorre quando uma fonte cc é desco‐
nectada abruptamente. A energia já armazenada no capacitor é
liberada para os resistores O resistor e capacitor podem ser aliberada para os resistores. O resistor e capacitor podem ser a
resistência e a capacitância equivalente de associação de resis‐
tores e capacitores.
Considere o circuito ao lado, um capacitor em série com uma
resistência. O objetivo é determinar a tensão v(t) no capacitor.
vdv
‐ O capacitor esta inicialmente carregado. Portanto, no instante  t=0 tem‐se  v(0) = Vo.‐ A tensão no capacitor não altera instantaneamente: oVvvv   )0()0()0(
00 
R
v
dt
dvCii RC    :nós  dos  lei  a  Aplicando   ‐
    :ordem  1 de   ldiferencia  equação  a  Resolva   ‐ a 0
RC
v
d
dv
RCdt
   A
RC
tvdt
RC
dv
v
lnln11            integrando
onde ln(A) é a constante de integração. Portanto, 0,)(ln 

  tAetv
RC
t
A
v RCt   
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.2  ‐ Circuitos  sem  fontes  / Circuito RC  3
Utilize a condição inicial para a determinação da constante  A.
o
RC
o VAAevVv              0)0()0(
‐ A tensão no capacitor é dada por: 0)(   teVtv RCto    ,
‐ Observe, no gráfico ao lado, que a resposta em
tensão de um circuito RC sem fontes é uma
queda exponencial da tensão inicial e deno‐queda exponencial da tensão inicial e deno
minada resposta natural do circuito.
 A resposta natural de um circuito se refere ao comportamento (em termos de tensõesp p (
e correntes) do próprio circuito, sem nenhuma fonte externa de excitação.
 Observe no gráfico que em t=0, tem‐se a condição inicial do problema v(0) = Vo. À
medida que t aumenta, a tensão diminui em direção a zero. A rapidez com que a tensão
decresce é expressa em termos da constante de tempo ().
A constante de tempo de um circuito é o tempo necessário para a resposta deA constante de tempo de um circuito é o tempo necessário para a resposta de
decaimento a um fator igual a e-1 ou a 36,8% de seu valor inicial.
‐ Isto implica que no instante t=: RCRC VeVeVeVv 3680)( 1   ‐ Isto implica que, no instante t=: oooo VeVeVeVv    368,0)( 
RC
RC
  1
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.2  ‐ Circuitos  sem  fontes  / Circuito RL  4
‐ A tensão no capacitor em função da constante de tempo: 0)(   teVtv to     ,p ç p
‐ A corrente no resistor:
)( o ,
to
RR eR
Vti
R
tvti  )()()(
‐ A potência instantânea dissipada no resistor: toR eRVtptitvtp 2
2
)()().()( 
t‐ A energia absorvida pelo resistor até o instante t é: R dttptw
0
)()(  
   tRRC
t
to
t
to
R eCVtwe
VdteVtw 222
2
2
2
11)()(    
 Circuito RL sem fonte
 oRR eCVtweRdteRtw 00 12)(2)(   
 Circuito RL sem fonte
Considere o circuito ao lado, um indutor em série com uma
resistência. O objetivo é determinar a corrente i(t) no
circuito.
‐ O indutor esta inicialmente carregado. Portanto, no
instante t=0 tem‐se i(0) = Io.
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.2  ‐ Circuitos  sem  fontes  / Circuito RL  5
00  Ri
d
diLvv RL    :malhas  das  lei  a  Aplicando   ‐ dtRLp
        :ordem  1  de   ldiferencia  equação  a  Resolva   ‐ a dt
L
Rdi
i
i
L
R
dt
di  10
    0)(ln)(ln1
)(ln
0
)(
 




 teItitLRItidtLRdii LRto
ti
o
tti
Io
   ,                                
ln 

 Io
‐Observe que a resposta natural de um cir‐
it RL é d i l d tcuito RL é uma queda exponencial da corrente
inicial.
‐ No instante de tempo t=: LRtoeIi )(
C t f ã d t t d t
R
L IeIeI oo
LR
o    368,01  
tIti )(‐ Corrente em função da constante de tempo:
‐ A tensão no resistor:
t
oeIti )(
t
oRR eRItvtRitv
 )()()(
‐A potência dissipada no resistor: toR eRItptitvtp 22)()().()( 
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.2  ‐ Circuitos  sem  fontes  /  Circuito RL  /  Exercícios 6
‐ A energia absorvida pelo resistor até o instante t é:  tR dttptw )()(A energia absorvida pelo resistor até o instante t é: R dttptw
0
)()(
   toRttot toR eLItweRIdteRItw RL 22
0
22
0
22 1
2
1)(
2
1)(     
00
Exercício 4.1 ‐ Considere vC(0)=15V. Encontre vC, vx e ix para t0.
E í i 4 2 A h d i i l d f i f h d l í d é bExercício 4.2 ‐ A chave do circuito ao lado foi fechada por um longo período e é aberta
em t=0. encontre v(t) para t  0. Calcule a energia inicial armazenada no capacitor.
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Exercícios  /  Circuitos  com  fontes 7
Exercício 4.3 ‐ Supondo que i(0)=10 A, calcule i(t) e ix(t) no
circuito ao lado.
Exercício 4.4 ‐ No circuito abaixo, encontre io, vo
e i durante todo o tempo, supondo que a chave fora
aberta por um longo período.
4.3 – Circuitos com fontes
 Neste tópico serão estudados os circuitos de primeira ordem, RC e RL, com fontes inde‐
pendentes cc.
 Quando uma fonte cc de um circuito de primeira ordem for aplicada repentinamente, a
fonte de tensão ou de corrente pode ser modelada como uma função degrau e a resposta é
conhecida como resposta a um degrau.
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes  /  Função  degrau  unitário 8
 Função degrau unitário
 A função degrau unitário u(t) é 0 para valores negativos de t
e 1 para valores positivos de t.
O áfi l d f ã Ob i




0,1
0,0
)(
t
t
tu
O gráfico ao lado apresenta a função. Observe que no instante
t=0 há uma mudança abrupta de 0 para 1.
 Se a mudança abrupta ocorrer em t= to (em que to >0) a função degrau unitário fica:




o
o
o tt
tt
ttu
,1
,0
)( 
indicando que u(t) esta atrasada em t segundos conforme observado no gráfico‐ indicando que u(t) esta atrasada em to segundos, conforme observado no gráfico
acima.
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes  /  Função  degrau  unitário 9
 Se a mudança abrupta ocorrer em t= to (em que to <0) a função degrau unitário fica:
  tt0




o
o
o tt
tt
ttu
,1
,0
)( 
‐ indicando que u(t) esta adiantada em to segundos, conforme observado no gráfico
acimaacima.
 Representação de uma mudança abrupta em uma fonte de tensão ou de corrente  p ç ç p
no instante to.
,0
)( o
ttV
tt
tv




)()(
, oo
ttVt
ttV 

)()( oo ttuVtv 
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RC 10
,
,0
)(
oo
o
ttI
tt
ti





)()( oo ttuIti 

 Resposta ao degrau de um circuito RC
Considere o circuito RC ao la‐
do. VS é uma constante e a
tensão no capacitor no instan‐
te t=0 é Vo.
oVv )0(

 A tensão no capacitor não pode mudar instantaneamente  
onde  v(0-) é a tensão no capacitor imediatamente antes da mudança e  v(0+) é suao
Vvv   )0()0(
( ) ( )
tensão imediatamente após a mudança. 
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RC 11
‐ Aplicando a leidos nós  00)(  tVvdvCvtuVdvC ss ou‐ Aplicando a lei dos nós   
‐ Resolva a equação diferencial: , para a determinação de v(t)
00  t
Rdt
C
Rdt
C   ,ou
00  tVvdv s ,Resolva a equação diferencial:                                        , para a determinação de v(t)00  t
RCdt
  ,
 ln11 )(   tVvdtdv ttvinicial  condição  a  ãoconsideraç em  levando  e  integrando      
    )(ln0ln)(ln
ln
0



 

tVtvtVVVtv
RC
Vvdt
RC
dv
Vv
s
V
s
s o
   
)(
ln0ln)(ln



 

Vtv
RCVVRC
VVVtv
RCts
so
sos        
ladososambos
  se‐ndoexponencia
  0)(
)(

 


teVVVtv
e
VV
Vtv
RCt
RCt
so
s
,
          lados  os  ambos   
ou 
  0)(  teVVVtv os     ,            
 


  0
0
)(
teVVV
tV
tv t
o

onde   = RC
   0teVVV sos
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RC 12
 A expressão de v(t) para todo t > 0 do slide anterior é denominada resposta completa A expressão de v(t) para todo t > 0, do slide anterior, é denominada resposta completa
do circuito. Essa resposta completa pode ser decomposta da seguinte forma:
       )()()( tvtvtv fn 
         1)()( tstotsos eVeVtveVVVtv   
  
Forçada RespostaNatural  RespostaCompletaResposta
‐ Observe que a resposta natural do circuito depende exclusivamente da condição
inicial do problema v(0)=Vo, enquanto que a resposta forçada depende da

)()( tvtv fn
p ( ) o, q q p ç p
magnitude Vs da fonte independente de tensão.
Se  v(0)=0  capacitor inicialmente descarregado     vn(t) =0( ) p g n( )
Portanto:                                             e
  01)()()( Vtv t 
  01)(   teVtv ts    ,
  01)()()(   te
R
Vti
R
tvti ts    ,             
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RC 13
 Outra forma de expressar a resposta completa v(t) para todo t > 0 é dividi la em duas Outra forma de expressar a resposta completa v(t) para todo t > 0, é dividi‐la em duas
componentes:
I. Resposta transiente vt (t) é a resposta temporária do circuito que decai a zero à
did i d i fi imedida que o tempo se aproxima do infinito.
II. Resposta em regime permanente vss é a resposta que permanecerá após a
resposta transiente ter se extinguido.
       
ioEstacionár  Regime  Resposta           Transiente   Resposta    CompletaResposta 
sst vtvtv  )()(
          )()()0()()(
)(
  vevvtvVeVVtv t
v
s
tv
t
so
sst


 Para a obtenção da resposta ao degrau de um circuito RC, deve‐se encontrar:
i. A tensão inicial v(0) no capacitor.
( )ii. A tensão em regime permanente v() no capacitor.
iii. A constante de tempo .
 Se a chave fechar no instante t=t em vez de t=0 a expressão torna se: Se a chave fechar no instante t=to em vez de t=0, a expressão torna‐se:
        otto evtvvtv  )()()()(
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RC 14
Exercício 4 5 ‐ No circuito ao lado aExercício 4.5 No circuito ao lado a
chave foi fechada há um bom tempo e
é aberta no instante t=0. Determine ié aberta no instante t 0. Determine i
e v durante todo período.
Solução:Solução:
Lembre que
Neste exercício tem‐se dois períodos de tempo a serem analisados
 

030
00
)(30
t
t
tu
Neste exercício tem se dois períodos de tempo a serem analisados
i)  t < 0 ‐ chave fechada há um bom tempo‐ a  fonte independente 30u(t)=0  substituída por um curto‐circuito
á l d b‐ o capacitor está totalmente carregado    circuito aberto em cc
Utilizando as informações,  redesenhe o circuito original.
Aii
t
1
10
100
0

 :setem  , todo para  Portanto,
VvvvVv 10)0()0()0(10  
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RC 15
ii) t  0 ‐ chave abre em t = 0ii)  t  0 chave abre em t 0‐ a  fonte independente  de  10V é desconectada do circuito
Utilizando as informações,  redesenhe o circuito original.
b 0Lembre que para  t  0, tem‐se:
‐ do slide anterior:
  )()()0()(   vevvtv t 
Vvvv 10)0()0()0(  do slide anterior: 
‐ Cálculo de v()
capacitor carregado   circuito aberto entre os terminais do capacitor 
20
Vvvv 10)0()0()0(
‐ Cálculo da constante de tempo   = RC
Vvv 20)(30
3020
20)(  
tensão  de  divisor
Para isto deve‐se calcular a resistência equivalente do circuito entre os terminais
do capacitor  =  resistência de Thévenin RTH
 2020101020 RR   //
a constante de tempo fica:
  32010 THTH RR
s6,0
3
5
4
1
3
20                 CRTH
 Portanto:  
343
   Vetvetv tt   6,06,0 1020)(202010)(  
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RC 16
‐ para o cálculo da corrente aplique a lei dos nós  dvvi 41para o cálculo da corrente aplique a lei dos nós   
   eeti tttv 6,06,0)( 10)6,0(
4
1
20
1020)( 

      de  expressão  a  dosubstituin
dt
i 420

 Aeti t6,01)(
420
                                                               
 Depois da análise de cada intervalo de tempo, escreva as respostas
i)  corrente no resistor de 10:  


  01
01
)( 6,0 tAe
tA
ti t
 
ii) tensão no capacitor:   
   01 , tAe
 


  01020
010
)( 6,0 tV
tV
tv t
    01020 tV
Exercício 4.6 ‐ Determine a tensão no capacitor
para t>0 e t<0 para o circuito ao lado.
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RC 17
Exercício 4.7 ‐ Determine aExercício 4.7 Determine a
constante de tempo para
cada um dos circuitos aocada um dos circuitos ao
lado.
Exercício 4.8 ‐ Determine ix para todo
t>0 Faça R1=R2=1k R3=2k e
Exercício 4.9 ‐ Determine v(t) para t>0 no
circuito ao lado Considere v(0)=0t>0. Faça R1=R2=1k, R3=2k e
C=0,25mF.
circuito ao lado. Considere v(0)=0.
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RL 18
 Resposta ao degrau de um circuito RLp g
Considere o circuito RL ao la‐
do. VS é uma constante e aS
corrente no indutor no instan‐
te t=0 é Io.

Ii )0(
 A corrente no indutor não pode mudar instantaneamente   oIiii   )0()0()0(
oIi )0(
A li d l i d lh di‐ Aplicando a lei das malhas   
‐ Resolva a equação diferencial:                                                                            , para a 
0 tRi
dt
diLVRivV ss   ,ou


 
R
Vi
L
R
dt
di
L
VRi
dt
di ss
determinação de i(t)  RLdtLdt
RVdRd
t
ti
l1
)(
inicialcondiçãoaãoconsideraç
em  levando  e  integrando    
t
L
R
R
Vidt
L
Rdi
i
V
I
s
R
V
o
s



   ln
1
0
inicial condição  a  ãoconsideraç
t
L
R
I
tit
L
R
R
VI
R
Vti
R
V
o
R
V
s
o
s
s
s 






 

  )(ln0ln)(ln          
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RL 19
LtR
s
s
eVI
R
Vti



                lados  os ambos      se‐ndoexponencia )(
R
LLtRs
o
s
o
tAeVIVti
R
I


      onde         ,               0)( Ro RR  ,)(
 Outra forma de expressar a resposta completa i(t) para todo t > 0: Outra forma de expressar a resposta completa i(t) para todo t > 0:
   eiiitie
R
VI
R
Vti ttsos 

   )()0()()()( 
    
permanenteregimenocorrenteaoé
 inicial  corrente  a  o  é  
   onde Vi
Ii
s
o



)(
)0(
permanente  regime  no  corrente a  o  é  
R
i )(
 Se a chave fechar no instante t=to em vez de t=0, a expressão torna‐se:
        otto eitiiti  )()()()(
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RL 20
 A tensão no indutor é obtida a partir da seguinte forma: p g
 1)()( )( 

 

  

  
e
R
VILtv
dt
diLtv tso
e
R
VI
R
Vti tsos 


    todo  para   ,0)( 

 teRIVtv
Rdt
t
os


      
 Se i(0)=Io =0  indutor inicialmente descarregado
  )(1)()( tueVtieVIVti tstss     
        
   
)()()(
)(1)()(
tueVtveRIVtv
tue
R
tie
R
I
R
ti
t
s
t
os
ss
o
s
  
 
  )()()( sos
4  ‐ Circuitos  de  Primeira  Ordem
4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RL 21
Exercício 4 10 No circuito ao lado a chaveExercício 4.10 ‐ No circuito ao lado a chave
S1 é fechada em t=0 e a chave S2 é fechada
4s depois Encontre i(t) para t > 04s depois. Encontre i(t) para t > 0.
Solução:
Neste exercício tem se três períodos de tempoNeste exercício tem‐se três períodos de tempo
a serem analisados
i) t < 0 ‐ As chaves estão abertas = não há corrente no indutor  i(0-) = 0i)  t < 0 As chaves estão abertas = não há corrente no indutor     i(0 ) 0.
ii)  0  t  4 ‐ A chave  S1 é fechada e a chave  S2 continua aberta
os resistores de 4 e 6 Ohms estão em série e tem se o circuito RL abaixo‐ os resistores de 4 e 6 Ohms estão em série e tem‐se o circuito RL abaixo
‐ expressão para a corrente:
‐ a corrente no indutor não varia abruptamente
      teiiiti  )()0()()(
p
‐ a corrente de regime permanente:
( d )
0)0()0()0(   iii
A
R
Vi 4
10
40)( 
(indutor = curto circuito) 
‐ constante de tempo:
R 10
s
R
L 5,0
10
5 
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4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RL 22
‐ expressão para a corrente:     4014)(404)( 25,0   tAetieti tt‐ expressão para a corrente:            ,   4014)(404)(  tAetieti
iii)  t > 4 ‐ As  chaves  S1 e  S2 estão  fechadas
Obt h i it i l t d Thé i t t i i b‐ Obtenha o circuito equivalente de Thévenin entre os terminais a e b.

 2224‐ RTH =  4 // 2 + 6
‐ VTH é exatamente o valor da tensão no nó P com o terminal ab aberto.


3
226
24
24
THTH RR       
expressão geral da corrente para o circuito RL:
VVVV THTHTH  202 10440 
    otteitiiti  )()()()(‐ expressão geral da corrente para o circuito RL:
‐ a corrente no indutor não altera abruptamente:
       oo eitiiti  )()()()(
0)0()0()0(   iii
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4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RL 23
‐ a corrente no indutor não altera abruptamente:a corrente no indutor não altera abruptamente:
‐ corrente de regime permanente:
  Aiiii tetit      em    4)4()4()4()4( 214)(4   
AiVi TH 30)(20)( ‐ corrente de regime permanente:
‐ a constante de tempo: 
Ai
R
i
TH 11
)()(
3
22

s
R
L
22
155
22
 
‐ a expressão para a corrente:
RTH 22322
14303030 2222  tt        ,   4
11
14
11
30)(
11
304
11
30)( 1515 

  tAetieti tt
 Depois da análise de cada intervalo de tempo, escreva a resposta
  

1430
40,14
)( 22
2 te
ti t
t

   4,
11
14
11
30)( 15 te
ti t
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4.3  ‐ Circuitos  com  fontes   /  Circuito  RL 24
Exercício 4.11 ‐ Determine a corrente no indutor
para t>0 e t<0 para o circuito ao lado.
Exercício 4.12 ‐ Determine vo(t) para t>0 e t<0
para o circuito ao lado.
Exercício 4.13 ‐ Determine a cor‐
rente i se o pulso de tensão for aplicado
ao circuito.