# 8 Questões De Estatística Que Você Precisa Aprender Como Resolver Antes De Fazer A Prova Do Concurso De Auditor Fiscal Da Receita Federal

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8 Questões De Estatística Da Banca ESAF Que Você Precisa Aprender Como Resolver Antes De Fazer A Prova Do Concurso De 
Auditor-Fiscal Da Receita Federal 2014. Eunylson Lopes, © copyright 2014 - Todos Os Direitos Reservados | Dedicado, Exclusivamente, 
A Todos Aqueles Que Querem A Aprovação! 
 
Questões De Estatística Da 
Banca ESAF Que Você Precisa 
Aprender Como Resolver Antes 
De Fazer A Prova Do Concurso 
De Auditor-Fiscal Da Receita 
Federal 2014 
 
 
 
Dedicado, Exclusivamente, A Todos 
Aqueles Que Querem A Aprovação! 
 
 
 
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8 Questões De Estatística Da Banca ESAF Que Você Precisa Aprender Como Resolver Antes De Fazer A Prova Do Concurso De 
Auditor-Fiscal Da Receita Federal 2014. Eunylson Lopes, © copyright 2014 - Todos Os Direitos Reservados | Dedicado, Exclusivamente, 
A Todos Aqueles Que Querem A Aprovação! 
8 Questões De Estatística Da Banca ESAF Que Você Precisa 
Aprender Como Resolver Antes De Fazer A Prova Do 
Concurso De Auditor-Fiscal Da Receita Federal 2014 
Dedicado, Exclusivamente, A Todos Aqueles Que Querem A Aprovação! 
 
Neste ebook, irei lhe mostrar oito questões chaves de estatística da banca 
organizadora de concursos públicos ESAF, resolvidas e comentadas. Você verá 
mais de perto as nuances dessas questões, que poderão determinar o seu 
sucesso na parte de estatística de sua prova. 
Eu analisei diversas questões desse assunto, especificamente, as da banca desse 
concurso. E, só depois disso, decidi ficar com as oito que considero cruciais. 
Iremos abordar aqui os seguintes temas: Estatística Descritiva, Amostragem, 
Teste de Hipóteses, Análise Combinatória, Probabilidade, Distribuições de 
Probabilidade, Variáveis Aleatórias e Análise de Regressão. Estes representam 
toda a parte da ementa do edital referente à disciplina estatística. 
Ao longo de nossas resoluções, você perceberá o quão sua mente expandirá, 
tratando-se desse assunto, pois, tudo aqui será exposto, na medida do possível, 
na forma mais simples, descomplicada e objetiva. 
E ainda, irei lhe oferecer diversas dicas, onde uma parte delas será sobre o que 
poderá ser feito com as questões mais trabalhosas. Aquelas que dão uma 
vontade enorme de pular por parecerem ser grandes. 
Após o término da leitura desse livro, você estará mais apto a trabalhar com 
questões de estatística dos temas que abordaremos. E, é muito provável que sua 
chance de se sair bem em sua prova, na parte dessa disciplina, aumentará 
drasticamente. 
Por fim, eu lhe agradeço muito por ter adiquirido este meu primeiro livro 
digital. Fique sabendo que você acaba de dar um grande salto de qualidade e 
eficiência em seus estudos. Não serão todos candidatos que terão acesso a esse 
material, criado exclusivamente para esse concurso. Portanto, aproveite! Pode 
ter certeza que eu o fiz pensando em você, futuro Auditor-Fiscal da Receita 
Federal! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 Questões De Estatística Da Banca ESAF Que Você Precisa Aprender Como Resolver Antes De Fazer A Prova Do Concurso De 
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A Todos Aqueles Que Querem A Aprovação! 
Uma Questão De Pura Análise 
Tema: Estatística Descritiva 
 
ESAF – 2008 – Prefeitura de Natal – RN – Auditor do Tesouro Municipal 
A coleta de dados do município, relativa ao ensino fundamental, 
apresentou a seguinte composição etária: 
 
 
Faixa Etária Masculino Feminino 
Até 06 anos 9.000 10.200 
De 07 a 08 anos 10.000 9.300 
De 09 a 10 anos 8.000 8.500 
De 11 a 12 anos 7.000 5.500 
De 12 a 14 anos 5.000 3.500 
De 15 a 18 anos 3.000 2.500 
Acima de 18 anos 1.000 1.500 
Total 43.000 41.000 
 
Com base nos dados acima, temos as seguintes sentenças: 
 
 I. A Moda está na faixa etária até os 06 anos. 
 II. A Média de alunos está na faixa etária de 12 a 14 anos. 
III. A Mediana é superior à média. 
 
Apontando nos 3 (três) itens acima como V - Verdadeiro e F - 
Falso, a opção correta é: 
 
a) V, V, V 
b) V, F, V 
c) F, V, F 
d) F, F, F 
e) V, V, F 
 
 
 
 
 
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Comentários: 
 
Essa questão é uma daquelas que parece que será trabalhosa de fazer, com 
muitas contas. Pois, pela quantidade de dados que nos foi dada e pelos termos 
média, mediana e moda, nas sentenças, parece que despenderemos bastante 
tempo tentando resolvê-la. Então, vamos olhar essa questão mais de perto. 
 
Veja que ela possui sete intervalos de classes: Faixa Etária até 06 anos, de 07 a 
08 anos, de 09 a 10 anos, de 11 a 12 anos, de 12 a 14 anos, de 15 a 18 anos e 
acima de 18 anos. Bem, notou alguma coisa nesses intervalos? Se não, veja mais 
uma vez esses dois: até 06 anos e acima de 18 anos. E agora? Percebeu um 
pequeno detalhe? O primeiro poderia ser escrito da seguinte forma: de 0 até 06 
anos. Mas, e o segundo? De que maneira ele poderia ser escrito, de tal forma 
que, fosse possível ter o ponto médio do intervalo? A resposta é... 
 
 
...Não tem como! 
 
Simplesmente, por termos uma classe aberta. E, portanto, não é possível 
calcular a média desses dados, já que o ponto médio da classe é crucial. 
 
Se você não está familiarizado com o conceito de ponto médio de classe, entenda 
o que ele é agora: ele é o valor central da classe. O valor que está exatamente no 
meio. Por exemplo, se a classe é de 07 a 08 anos. O seu ponto médio de classe é 
07,5 anos. Já a média, iremos aprender como calculá-la na questão seguinte. 
 
A mediana é o valor central de nossos dados. Para encontrá-la, precisamos 
acumular as frequências das classes. Ela pertencerá à classe que contém a 
frequência acumulada de pelo menos 50% dos dados. 
 
Com relação à moda, ou valor modal, saiba que ela é o valor mais popular de 
nossas observações. Aquele valor que aparece com mais frequência. Nesse caso, 
como temos intervalos de classes, não temos um valor que é mais frequente, e 
sim uma classe que é mais frequente. Damos a ela o nome de classe modal. 
 
Há vários métodos para estimação do valor da mediana, moda e média. O 
enunciado não citou nenhum específico. Nesse caso, a mediana e a moda podem 
ser consideradas como os pontos médios dos intervalos de classes as quais 
pertencem. Estes métodos são os mais triviais! 
 
 
 
Resolvendo: 
 
Vamos analisar o item I que diz que a moda está na faixa etária até os 06 anos. 
Para isso, precisamos encontrar o total de alunos nessa faixa. Ou seja, 
precisamos somar a quantidade de pessoas do sexo masculino com a quantidade 
de pessoas do sexo feminino, de todas as faixas, para assim ver qual delas tem a 
maior frequência. 
 
 
 
 
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Faixa Etária Masculino Feminino Total 
Até 06 anos 9.000 10.200 19.200 
De 07 a 08 anos 10.000 9.300 19.300 
De 09 a 10 anos 8.000 8.500 16.500 
De 11 a 12 anos 7.000 5.500 12.500 
De 12 a 14 anos 5.000 3.500 8.500 
De 15 a 18 anos 3.000 2.500 5.500 
Acima de 18 anos 1.000 1.500 2.500 
Total 43.000 41.000 84.000 
 
 
Portanto, o item I é falso. A classe modal não é a faixa etária até 06 anos. E 
sim, a de 07 a 08 anos (19.300 é a maior frequência). Lembre-se que a moda 
está dentro dessa classe. 
 
Os itens II e III são falsos, pois como vimos, não podemos calcular a média 
desses dados. Ou seja, não podemos afirmar nada a respeito de seu valor.Logo, a alternativa certa dessa questão é a letra d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tomada De Decisão A Partir De Um Critério 
 Temas: Estatística Descritiva, Amostragem e Teste de Hipótese 
ESAF – 2005 – Receita Federal – Auditor Fiscal da Receita Federal 
Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos 
consumidores de seu principal produto é de 25 anos, considerada 
baixa por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua 
participação no mercado, a empresa realizou uma campanha de 
divulgação voltada para consumidores com idades mais avançadas. 
Um levantamento realizado para medir o impacto da campanha 
indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte 
distribuição: 
 
Idade (X) Frequência Porcentagem 
18 |- 25 20 40 
25 |- 30 15 30 
30 |- 35 10 20 
35 |- 40 5 10 
Total 50 100 
 
Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha 
considerando o seguinte critério de decisão: se a diferença X - 25 
for maior que o valor . Onde, X é a média amostral. 
Então, a campanha de divulgação surtiu efeito, isto é, a idade 
média aumentou; caso contrário, a campanha de divulgação não 
alcançou o resultado desejado. 
 
 
 
 
 
 
 
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a) A campanha surtiu efeito, pois X - 25=2,1 é maior que 
b) A campanha não surtiu efeito, pois X - 25=0 é menor que 
c) A campanha surtiu efeito, pois X - 25=2,1 é maior que 
d) A campanha não surtiu efeito, pois X - 25=0 é menor que 
e) A campanha surtiu efeito, pois X - 25=2,5 é maior que 
 
Comentários: 
 
Esta questão engloba três temas: Estatística Descritiva, Amostragem e Teste de 
Hipótese. E esses aparecem na seguinte ordem. Primeiro é feito uma 
amostragem. Depois são calculadas as estatísticas descritivas desses dados. E 
por último é feito uma comparação do que foi encontrado com o critério 
estabelecido, a fim de verificar nossa hipótese de interesse. 
 
À primeira vista, essa questão parece ser espantosa. Por ter um longo texto e, 
principalmente, pelo símbolo grego σ que aparece. Mas, tcharam! 
Incrivelmente, essa é uma das questões mais simples desse livro. Veja só como 
ela é tranquila. 
 
Para resolvê-la, temos que apenas saber como calcular a média e o desvio 
padrão de uma distribuição de dados com intervalos de classes. Como vimos na 
questão anterior, só podemos encontrar o valor da média se os intervalos de 
classes forem definidos. Isto é, se tiverem extremos inferiores e superiores. Pois, 
só assim poderemos calcular o ponto médio do intervalo. A média, nesse caso, é 
dada pelo somatório dos pontos médios intervalares multiplicados por suas 
respectivas proporções de vezes que aparecem na distribuição dos dados. 
Matematicamente, ela é expressa por: 
 
 
X = ∑ xi . pi 
 
Onde, 
 
 
 
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i indica a classe. O xi indica o ponto médio do intervalo i. E pi indica a proporção 
de vezes que esse ponto médio da classe i aparece na distribuição. Como nessa 
questão temos apenas quatro classes, o i irá variar de 1 a 4. 
 
O valor do σx é calculado da seguinte forma: 
 
σx = √[(∑ pi . (xi – X)2] 
 
Resolvendo: 
 
 
1° Passo – Encontrar os Pontos Médios (xi’s) dos Intervalos 
 
Intervalo 1 = (18 : 25], tem como ponto médio o valor (18 + 25) / 2 = 21,5 = x1. 
 
Intervalo 2 = (25 : 30], tem como ponto médio o valor (25 + 30) / 2 = 27,5 = x2. 
 
Intervalo 3 = (30 : 35], tem como ponto médio o valor (30 + 35) / 2 = 32,5 = x3. 
 
Intervalo 4 = (35 : 40], tem como ponto médio o valor (35 + 40) / 2 = 37,5 =x4. 
 
 
2° Passo – Calcular a Média Amostral 
 
X = ∑ xi . pi = x1 x 0,40 + x2 x 0,30 + x3 x 0,20 + x4 x 0,10 = 
 
= 21,5 x 0,40 + 27,5 x 0,30 + 32,5 x 0,20 + 37,5 x 0,10 = 27,1 
 
Logo, a média amostral X desse conjunto de dados é igual a 27,1. 
 
Observação: Veja que tive que converter os valores das porcentagens, dadas no 
quadro, para o seu respectivo valor em proporção. Por exemplo, a porcentagem 
40, ou 40%, é equivalente a 0,40. 
 
 
3° Passo – Encontrar o Resultado da Expressão X – 25 
 
X – 25 = 27,1 – 25 = 2,1. 
 
4° Passo – Encontrar o Valor de σx 
 
σx = √[(∑ pi . (xi – X)2] = √[0,40 . (21,5 – 27,1)2 + 0,30 . (27,5 – 27,1)2 
+ 0,20 . (32,5 – 27,1)2 + 0,10 . (37,5 – 27,1)2] = √[0,40 . 31,36 + 0,30 
. 0,16 + 0,20 . 29,16 + 0,10 . 108,16] = √[12,544 + 0,048 + 5,832 + 
10,816] = √29,24 = 5,41. 
 
 
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5° Passo - Encontrar o Resultado da Expressão 2 . σx / √n 
 
Sabemos que n, frequência total de consumidores, é igual a 50. Então, temos 
que, 
 
2 . σx / √n = 2 . 5,41 / √50 = 1,53. 
 
 
Portanto, a campanha surtiu efeito. Pois, X – 25 = 2,1 é maior que 2 . σx / √n 
= 1,53. Gabarito: letra a). 
 
Comentários finais: 
 
Bem meu caro, eu lhe digo uma coisa: atente-se para a forma de cálculo da 
média e variância de uma distribuição de dados com intervalos de classes. Como 
vimos é bem simples. Lembrando, mais uma vez, que o desvio padrão é a raiz 
quadrada da variância. E isso quer dizer que se você tem um deles, você pode 
encontrar o outro. 
 
Faça uma ou duas vezes esse exercício por sua conta (faça alterando os dados 
para não ficar muito repetitivo). Assim, todo o procedimento irá fixar em sua 
mente naturalmente. E a cada vez que fizer, mais fácil e trivial ficará! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Um Caso De Teoria 
Tema: Distribuições de Probabilidade 
 
ESAF – 2008 – Prefeitura de Natal – RN – Auditor do Tesouro Municipal 
Numa distribuição Binomial, temos que: 
 
I. A E[x] = n.p.q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número 
de elementos da avaliação, p - probabilidade de ocorrência do 
evento e q - probabilidade contrária (q = 1 - p). 
II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os 
parâmetros n e p. 
III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores 
(Xi) menos o quadrado da média. 
Apontando os três itens acima como V - Verdadeiro e F - Falso, a 
opção correta é: 
 
 
a) F, V, F 
b) V, V, F 
c) F, F, F 
d) V, F, F 
e) V, V, V 
 
Comentários: 
 
Essa questão é bem teórica. Um tipo de questão que ou você sabe ou não. Sem 
meios termos. Simples e direta. 
Para resolvê-la é necessário conhecer as características da distribuição binomial. 
A saber: 
 
 É uma distribuição de probabilidade discreta da quantidade de sucessos 
em n tentativas. 
 Seus parâmetros são dados por n e p. Onde n é o número de tentativas e 
p é a probabilidade de sucesso do evento de interesse. 
 Tem valor esperado (ou esperança) dado por E[X]= n.p. 
 Tem variância dada por Var[X] = n.p.q. Onde, q é dado por (1 – p). E 
então, a variância também pode ser expressa por Var[X] = n.p.(1 – p). 
 
 
 
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Essas são as principais características da distribuição binomial. E, apenas com 
essas informações já podemos gabaritar essa questão. 
 
 
 
Resolvendo: 
 
O item I comete um erro ao acrescentar q no cálculo do valor esperado. 
Portanto, ele está falso. 
O item II desconsidera o q que deveria estar no cálculo da variância. O desvio 
padrão é a raiz quadrada da variância. Certo. Mas, a variância é dada por n.p.q. 
Portanto, esse item também é falso! 
O item III vai longe ao erro. Como vimos, a variância da distribuição binomial é 
expressa por n.p.q. 
 
Logo, todas as sentenças são falsas. E, a alternativa c) é a resposta da questão. 
 
 
Comentários Finais: 
 
Saber a característica da distribuição binomial foi um ponto decisivo para 
acertar essa questão. Como o edital inclui o tópico “principais distribuições de 
probabilidade”, eu sugiro que você vá para a prova conhecendo pelo menos as 
seguintes distribuições: 
 
 Discretas: Binomial, Geométrica, Poisson e Uniforme 
 Contínuas: Normal, Exponencial e Uniforme Contínua 
 
 
Para cada uma, encontre suas características principais – assim como fiz para a 
distribuição binomial. E ainda, para as distribuições contínuas, veja também o 
formato de suas respectivas curvas. Tem muito material na internet que pode 
lhe ajudar nisso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E Mais Teoria! 
Tema: Distribuições de Probabilidade 
 
ESAF – 2008 – Prefeitura de Natal – RN – Auditor do Tesouro Municipal 
Se x é uma v. a. - variável aleatória com função densidade de 
probabilidade f(x), caracterizada pelo modelo normal, podemos 
afirmar que: 
a) o desvio-padrão é igual a 1 (um). 
b) a média tem valor 0 (zero). 
c) a função de distribuição acumulada f(x) é igual a 1, para 
todos os valores acima de b. 
d) os parâmetros média, moda e mediana são iguais. 
e) a variância tem o valor do quadrado da média. 
 
Comentários: 
 
Essa é outra questão que requere conhecimentos teóricos para resolvê-la. E eu 
vou lhe contar uma coisa... 
 
...A Distribuição Normal É A Alma Da Estatística 
 
Ela está praticamente em tudo na estatística. É, simplesmente, a principal 
distribuição, dentre as principais. Veja, se a regra do jogo fosse que eu só 
poderia estudar uma única distribuição de probabilidade antes de realizar essa 
prova. Adivinha qual distribuição que eu iria investir meu tempo? Resposta: 
Distribuição Normal. Então eu digo, dê uma dedicação diferenciada a ela. Trate-
a com mais carinho e tente compreendê-la mais. Essa é uma dica que vem do 
fundo do meu coração. 
 
E afinal, você saberia me dizer qual a diferença entre distribuição normal e 
distribuição normal padronizada? Veja a resposta aqui: 
 
A distribuição normal, é uma função de densidade contínua simétrica, em 
formato de sino (sim, aquele sino mesmo que se vê muito no natal), com 
média e variância representadas pelas letras gregas μ e σ2, 
respectivamente. Tanto a mediana, como a moda, coincidem com sua média. 
 
A distribuição normal padronizada, que é também chamada de distribuição 
normal padrão, é uma função de densidade contínua simétrica, em formato de 
 
 
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sino, com média zero e variância um. E então, seu desvio padrão também é 
um. Vamos lembrar mais uma vez que o desvio padrão é a raiz quadrada da 
variância. Tanto a mediana, como a moda também são iguais a 0. 
 
E então, viu que a diferença é simples? A diferença está no valor da média e 
variância. Mas, melhor falando, a distribuição normal padronizada é um caso 
particular da distribuição normal. 
 
É muito importante saber que a distribuição normal não padronizada pode ser 
convertida em distribuição normal padronizada. Para isso, é feito um processo 
bem simples de cálculo, que não irei mostrar aqui, por fugir um pouco de nossa 
questão. 
 
Aqui vai uma imagem da distribuição normal para podermos visualizá-la e tê-la 
em mente: 
 
 
 
 
Resolvendo: 
 
A letra a) diz que o desvio padrão da distribuição/modelo normal é igual a um. 
Bem, não necessariamente. Vimos que isso acontece na distribuição normal 
padronizada. Então, essa alternativa é falsa. 
 
A letra b) comete o mesmo erro. Mas, agora falando da média. A distribuição 
normal, não necessariamente, tem média zero. A distribuição normal 
padronizada é quem tem. Portanto, essa alternativa também é falsa. 
 
Sabe o que quer dizer função de distribuição acumulada? Olhe mais uma vez 
para a figura da distribuição normal. Veja que abaixo da curva, linha azul, tem 
 
 
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uma área. Cujo valor total, integrado, é (1) um. Então, qualquer janela de 
interesse no eixo horizontal pode me levar a uma área cujo valor oscila entre 0 e 
1. A esse valor de área, denominamos de probabilidade. Por exemplo, na figura, 
temos que a média da variável X é 50. Então, a chance de se ter um valor ao 
acaso, proveniente dessa distribuição, que seja maior que 50 é igual a 0,5. A 
janela escolhida foi: de 50 até o infinito. Agora, quando se tem uma função de 
distribuição acumulada, como o próprio nome já diz, tem-se uma função que lhe 
retorna a probabilidade acumulada. Começando a contar a área do extremo 
mais a esquerda (ou, menos infinito), até o valor de interesse. Se estamos 
interessado no valor dessa função, quando o valor de X é 50 (usando a mesma 
distribuição da figura), por exemplo, esse valor é 0,5. Se estamos interessados 
em saber o valor dessa função quando X tende ao infinito (maior extremo, à 
direita, do eixo horizontal), esse valor é 1. 
 
Agora veja o que a letra c) está dizendo: “a função de distribuição acumulada 
F(x) é igual a 1, para todos os valores acima de b.” Bem, b, pode ser qualquer 
coisa. Ele não foi definido. Pode haver área após o valor b. Essa questão só 
estaria certa se b fosse igual ao infinito, positivo. Portanto, essa alternativa está 
errada. 
 
Olha o que a letra d) diz: os parâmetros média, mediana e moda são iguais. SIM! 
A curva é simétrica. Olhe mais uma vez para ela se quiser! Esses são os valores 
centrais dessa distribuição. Invariavelmente. E também, como vimos 
anteriormente, essa é uma das características principais da distribuição normal. 
Logo, a alternativa d) é o gabarito dessa questão. 
 
A alternativa e) tá falando de uma característica da distribuição exponencial - 
nada a ver com o nosso caso. Essa distribuição é que tem a variância como 
sendo o quadrado de sua média. Portanto, essa alternativa é falsa. 
 
Comentários finais: 
 
Amigo, veja o quão e como a parte teórica, que fala sobre distribuições de 
probabilidade, pode ser cobrada pela banca ESAF em sua prova. Mas, veja 
também, que basta conhecer as suas características principais para matar a 
questãorapidamente. Continue aqui comigo e vamos entender mais como as 
questões podem cair. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 Questões De Estatística Da Banca ESAF Que Você Precisa Aprender Como Resolver Antes De Fazer A Prova Do Concurso De 
Auditor-Fiscal Da Receita Federal 2014. Eunylson Lopes, © copyright 2014 - Todos Os Direitos Reservados | Dedicado, Exclusivamente, 
A Todos Aqueles Que Querem A Aprovação! 
De Olho No Que Não É Informado! 
Tema: Análise Combinatória e Probabilidade 
 
 
ESAF – 2010 – SUSEP – Analista Técnico 
Considere um grupo de 15 pessoas dos quais cinco são 
estrangeiros. Ao se escolher ao acaso três pessoas do grupo, sem 
reposição, qual a probabilidade de exatamente uma das três 
pessoas escolhidas ser um estrangeiro? 
a) 45/91 
b) 1/3 
c) 4/9 
d) 2/9 
e) 42/81 
 
Comentários: 
 
Essa questão aborda dois temas distintos: Análise Combinatória e 
Probabilidade. A análise combinatória irá nos auxiliar a fazer a contagem da 
quantidade de elementos de nosso espaço amostral (vamos chamá-lo de EA) e 
da quantidade de casos favoráveis de nosso evento de interesse (vamos chamá-
lo de EI). A probabilidade de nosso evento de interesse ocorrer, pela definição 
de probabilidade, é dada pela razão entre EI e EA, isto é, P (EI) = EI / EA. E 
também, vamos recordar que a combinação de n escolhe k é dada por: 
 
Cn,k = n! / [(n – k)! x k!] 
 
Onde, n é a quantidade de elementos do conjunto, e k é a quantidade de 
elementos sendo escolhidos, sem reposição. 
 
Resolvendo: 
 
Dados do problema: 
 
10 pessoas não estrangeiras 
5 pessoas estrangeiras 
15 pessoas no total 
3 pessoas são escolhidas ao acaso 
EA = Quaisquer combinações de três pessoas de um grupo de 15 pessoas 
EI = Exatamente uma das três pessoas escolhidas é estrangeira 
 
 
 
 
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1° Passo – Calcular a Quantidade de Elementos do EA 
 
A quantidade de elementos do EA é contada da seguinte forma: 
 
Combinação de 15 (total de pessoas) escolhe 3 (total de pessoas selecionadas) = 
 
C15,3 = 15! / [(15-3)! x 3!] = 15! / (12! x 3!) = (15 x 14 x 13) / (3 x 2 x 1) = 
455. 
 
Logo, EA = 455. 
 
2° Passo – Calcular a Quantidade de Casos Favoráveis 
 
A quantidade de casos favoráveis é contada da seguinte forma: 
Combinação de 5 (total de pessoas estrangeiras) escolhe 1 (quantidade de 
estrangeiros de interesse) E Combinação de 10 (total de pessoas não 
estrangeiras) escolhe 2 (total de pessoas não estrangeiras de interesse) = 
 
C5,1 x C10,2 =5! / [(5 – 1)! x 1!] x 10! / [(10 – 2)! x 2!] = 
5! / (4! x 1!) x 10! / (8! x 2!) = (5 x 4!) / 4! x (10 x 9 x 8!) / (8! x 2) 
= 5 x (5 x 9) = 5 x 45 = 225. 
Logo, EI = 225. 
 
Observação: Veja que tenho que considerar a contagem do grupo restante, de 
não estrangeiros (combinação de 10 escolhe 2). Se quero que apenas uma 
pessoa seja estrangeira em um grupo de três, duas delas não devem ser, 
necessariamente. Só assim, terei a quantidade de casos favoráveis correta. 
 
 
3° Passo – Calcular a Probabilidade do Evento de Interesse 
 
P (EI) = EI / EA = 225 / 455 = 45 / 91 
Portanto, a resposta dessa questão é a letra a) 
 
Comentários Finais: 
Vimos que para resolver essa questão foi necessário saber um dos conceitos 
fundamentais de probabilidade, que é a razão entre a quantidade de casos 
favoráveis pelo espaço amostral. E também, foi necessário saber como contar 
 
 
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ambos. Para que não ocorra erro durante esses cálculos eu recomendo que você, 
primeiramente, tente deixar bem claro (escrevendo mesmo, da mesma forma 
que eu fiz) quem é o evento de interesse. Veja que o enunciado dessa questão 
deixou implícito que o evento de interesse era composto por duas pessoas não 
estrangeiras. Ele só disse que estava interessado em saber a probabilidade de 
exatamente uma pessoa dentre as três, ser estrangeira. Ou seja, se a combinação 
de 10 escolhe 2 não fosse considerada no processo de cálculo, a resolução do 
exercício estaria errada. Portanto, vai a dica para uma questão desse tipo: 
Defina claramente o seu evento de interesse. E lembre-se da parte do 
grupo a ser escolhida que não foi explicitada no enunciado (as duas 
pessoas não estrangeiras). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Dois Brilhantes Teoremas De Probabilidade 
Tema: Probabilidade 
 
 
ESAF – 2010 – SUSEP – Analista Técnico 
 
Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo 
genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e 
invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma 
probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um 
resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa 
desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, 
qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do 
exame foi negativo? 
 
a) 30% 
b) 7,5% 
c) 25% 
d) 15% 
e) 12,5% 
 
 
Comentários: 
 
Esta questão aborda o Teorema de Bayes, que é uma das derivações mais 
importantes da teoria de probabilidade condicional, e o Teorema da 
Probabilidade Total. Uma notícia boa é que geralmente os exercícios e questões 
de concursos que envolvem esses assuntos, não variam muito. Traduzindo isso. 
Na maioria das vezes essas questões pedem a mesma coisa. Em termos gerais, 
apenas a historinha do enunciado é alterada. Isso é bom, porque pegando o 
padrão da resolução, é só levá-lo consigo para as questões parecidas. 
 
Iremos agora ver o que é a probabilidade condicional. E a partir dela iremos 
derivar o teorema de Bayes. 
 
A probabilidade condicional, por definição, é expressa por: 
 
Sejam dois eventos A e B, e P(A) e P(B), a probabilidade de cada um desses 
eventos ocorrerem, respectivamente. 
 
Então, temos que P(A|B), que é lida como “probabilidade de A dado a 
ocorrência do evento B”, dada por P(A,B) / P(B). 
 
Ou seja, 
 
 
 
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P(A|B) = P(A,B) / P(B) 
 
Então, podemos ver que ela é equivalente a P(A,B), que significa a probabilidade 
de ocorrência do evento A e B ao mesmo tempo, dividida por P(B), 
probabilidade de ocorrência do evento B individualmente. 
 
Bayes, detalhista, percebeu a seguinte magnífica relação: 
 
Se, P(A|B) = P(A,B) / P(B), então, ao isolar P(A,B), terei 
 
P(A,B) = P(B) . P(A|B) 
 
Concorda? Se sim, vamos continuar. 
 
Suponha agora que eu queira a probabilidade do contrário, de B dado A. Isto é 
P(B|A) = P(B,A) / P(A). Da mesma forma feita acima, iremos isolar a P(B,A). 
 
E isso é o que temos: 
 
P(B,A) = P(A) . P(B|A) 
 
Então, repare. 
 
Se P(A,B) significa a probabilidade de ocorrência dos eventos A e B 
simultâneamente, isso é equivalente a P(B,A). Pois, P(B,A) também significa 
isso. 
 
Então, temos que, 
 
P(A,B) = P(B,A) 
 
E como isso é verdade, posso dizer que P(B) . P(A|B) = P(A) . (B|A). 
Daí, derivamos o seguinte:P(A|B) = P(A) . P(B|A) / P(B) 
Ou, 
P(B|A) = P(B) . P(A|B) / P(A) 
 
E, portanto, Bayes percebeu que a probabilidade condicional também pode ser 
calculada desta forma. Que nos ajuda muito quando não tempos a informação 
da probabilidade P(A,B). 
 
Mas, agora veja que no denominador do lado direito da expressão, aparece P(B) 
(na primeira expressão). O Teorema da Probabilidade Total diz que essa 
probabilidade é calculada pela seguinte relação: 
 
P(B) = P(A) . P(B|A) + P(Ã) . P(B|Ã) 
 
Onde, Ã indica o completar de A. Com probabilidade dada por P(Ã) = 1 – P(A). 
 
 
 
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E isso pode ser estendido para uma maior quantidade de eventos. 
Bem, tudo isso pode ser demonstrado. Mas, não iremos fazer isso aqui agora. 
 
Iremos entender melhor esses pontos ao resolver a questão. 
 
Então vamos nessa! 
 
 
 
Resolvendo: 
 
1° Passo – Interpretar e Escrever os Eventos 
 
Sejam, A e O, os seguintes eventos, 
 
A: Pessoa de um particular grupo genético tem uma determinada doença. 
Ã: Pessoa de um particular grupo genético não tem uma determinada doença. 
O: Resultado do exame é positivo. 
Õ: Resultado do exame é negativo. 
 
 
2° Passo – Listar Todos os Dados Fornecidos pelo Enunciado 
 
P(A) = 0,30, logo temos que P(Ã) = 1 – 0,30 = 0,70. 
 
P(O|Ã) = 0,10, logo temos que P(Õ|Ã) = 1 – 0,10 = 0,90. 
 
P(Õ|A) = 0,30, logo temos que P(O|A) = 1 – 0,30 = 0,70. 
 
Lembre-se sempre de listar a probabilidade complementar dos eventos! 
 
Estamos interessados em descobrir a probabilidade de uma pessoa que fez o 
exame, cujo resultado foi negativo, ter a doença. Isto é, P(A|Õ). 
 
Sabemos que a probabilidade condicional P(A|Õ), pelo teorema de Bayes, pode 
ser expressa por, 
 
P(A|Õ) = P(A,Õ) / P(Õ) = P(A) . P(Õ|A) / P(Õ). 
 
Os valores de P(A) e P(Õ|A), já foram dados pelo enunciado. E, portanto, 
precisamos apenas do valor de P(Õ) para resolver a questão. 
 
 
3° Passo – Calcular a Probabilidade de o Exame Ser Negativo, P(Õ) 
 
Sabemos que uma pessoa pode ter a doença e o resultado dar negativo, e assim 
também como, a pessoa não ter a doença e o resultado dar negativo. Duas 
possibilidades. 
 
Então, aplicando o teorema da probabilidade total, temos que 
 
 
 
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P(Õ) = P(A) . P(Õ|A) + P(Ã) . P(Õ|Ã) 
 
Interpretação: A probabilidade de o exame dar negativo é igual à 
probabilidade de uma pessoa ter a doença, e a probabilidade de o exame dar 
negativo dado que ela tem a doença, ou, a probabilidade de uma pessoa não 
ter a doença, e a probabilidade de o exame dar negativo dado que ela não tem 
a doença. 
 
Substituindo os valores que já conhecemos, 
 
P(Õ) = 0,30 . 0,30 + 0,70 . 0,90 = 0,72. 
 
Portanto, a probabilidade do exame ser negativo, tendo a doença ou não, é 0,72. 
 
 
4° Passo – Calcular P(A|Õ) 
 
Como vimos P(A|Õ) = P(A) . P(Õ|A) / P(Õ). 
 
Então, P(A|Õ) = 0,30 . 0,30 / 0,72 = 0,125. 
 
Portanto, a probabilidade dessa pessoa ter a doença dado que o resultado do 
exame foi negativo é: 0,125 (12,5%). 
 
Comentários finais: 
 
Conforme vimos, tivemos que aplicar dois teoremas derivados da probabilidade 
condicional (Teorema de Bayes e Teorema da Probabilidade Total) para resolver 
esta questão. Frequentemente se vê os dois aparecendo juntos por estarem 
muito conectados. E como eu já tinha dito, esse tipo de questão aparece 
bastante com o mesmo padrão de resolução. Geralmente, acrescentam mais um 
evento (em nosso caso tínhamos apenas dois). Raramente, se vê algo com mais 
do que três eventos. Portanto, foque um pouco em fazer algumas questões que 
englobam esse tema. Volte aqui e leia esta resolução quantas vezes forem 
necessárias. E por fim, você verá por si só que as resoluções de questões desses 
conceitos são bem mecânicas. Basta praticar! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uma Fórmula Gigante 
 Tema: Amostragem e Variáveis Aleatórias 
 
ESAF – 2005 – Receita Federal – Auditor Fiscal da Receita Federal 
Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro, 
registraram-se os seguintes salários mensais (em salários 
mínimos): 
 
Identificação do casal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Salário do marido (Y) 30 25 18 15 20 20 21 20 25 27 
Salário da esposa (X) 20 25 12 10 10 20 18 15 18 23 
Sabe-se que: 
 
 Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os 
salários dos homens e os salários das mulheres. 
a) 0,72 
b) 0,75 
c) 0,68 
d) 0,81 
e) 0,78 
 
Comentários: 
 
Aqui vai uma questão que exige o conhecimento prévio da fórmula que calcula a 
correlação amostral entre duas variáveis. Bem decoreba! Mas, pelo menos ela já 
nos fornece todos os dados que precisáremos para substituir na equação. Ufa! 
Veja agora o tamanho desse monstro (não se assuste): 
 
 
Correlação (x,y) = n.∑x.y – (∑x) . (∑y) 
 ________________________ 
 √ {[n∑x2 – (∑x)2 ] . [n∑y2 – (∑y)2 ]} 
 
 
 
 
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Legal né? Já temos tudo. Basta inseri-los nesta fórmula, calcular e ver o que 
encontramos. Então vamos lá. 
 
Resolvendo: 
 
 
Correlação (x,y) = 10.3940 – (171) . (221) 
 _________________________ 
 √ {[10.3171– (171)2 ] . [10. 5069– (221)2 ]} 
 
 
 
Correlação (x,y) = 39400 – 37791 
 _______________________ 
 √ {[31710– 29241] . [50690– 48841]} 
 
 
 
Correlação (x,y) = 1609 
 ___________ 
 √( 2469 . 1849) 
 
 
Correlação (x,y) = 1609 
 ________ 
 √4565181 
 
 
 
Correlação (x,y) = 1609 
 _____ 
 2136,63 
 
 
Correlação (x,y) = 0,75. 
 
 
 
Portanto, a resposta dessa questão é a letra b). 
 
Comentários finais: 
 
Infelizmente, a única saída para resolver essa questão é usar essa fórmula. 
Todos os dados foram fornecidos. E na verdade, vimos que nem precisamos 
olhar para os dados dentro da tabela. Puro enfeite! Estavam lá apenas para nos 
induzir ao erro de tentar calcular coisas desnecessárias. 
 
 
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Então, fique com essa dica: faça pelo menos duas vezes esse processo de cálculo 
para que você se acostume com essa fórmula. Mas, aqui vai outra dica queé 
melhor ainda: refaça o exercício ao longo de alguns dias. Isso quer dizer que 
você não deve se contentar apenas por conseguir resolvê-la por si só, por 
diversas vezes, em um único dia. Você deve ser capaz de resolvê-la por um prazo 
maior do que isso. 
 
Todavia, há uma forma de deixar essa memorização mais eficiente ainda. E aqui 
vai minha dica mais valiosa para lhe dar com esse tipo de fixação... 
 
...refaça esse cálculo em dias distantes, com um 
intervalo de pelo menos dois dias! 
 
Esse intervalo pode ser aumentado gradativamente, à medida que você vai se 
sentindo mais confiante, resolvendo sem fazer consultas. E isso é comprovado 
que funciona cientificamente! O que faz um enorme sentido, pois, você forçará o 
seu cérebro mais, ao tentar lembrar uma coisa que foi feita em um tempo mais 
distante. Essa técnica é altamente eficiente para quando se está interessado em 
obter fixações de longo prazo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Eis A Melhor Reta 
 Tema: Análise de Regressão 
 
ESAF – 2010 – SUSEP – Analista Técnico 
A partir de uma amostra aleatória foram 
obtidas as estatísticas: 
médias variâncias amostrais e 
covariância 
 
Qual a reta de regressão estimada de Y em X? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Comentários: 
 
Esta questão bate bem no núcleo do conceito de Análise de Regressão. Que é a 
estimação dos parâmetros de um modelo. Em nosso caso aqui agora, temos 
duas variáveis com seus respectivos dados coletados. Mas, podemos ver que não 
nos interessa conhecê-los - nessa questão especificamente - para fazer o que está 
sendo pedido, pois, esses nem nos foram fornecidos. Apenas usaremos o que foi 
dado. 
 
A equação de regressão linear simples que envolve duas variáveis é dada por 
 
Y = a . X + b 
 
Onde Y é a variável dependente da variável X. E X é conhecida como variável 
independente ou explicativa/preditora. 
 
Quando temos duas variáveis numéricas que parecem ter alguma relação linear, 
podemos expressá-las uma em função da outra, de tal forma que uma explique a 
outra. Então, nesse caso temos a equação acima. 
 
O que nos resta é encontrar os valores dos coeficientes a e b, que melhor 
expliquem Y, tais que os erros sejam os mínimos. 
 
 
 
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Obviamente, não iremos entrar na teoria por trás disso. Pois, precisamos de 
apenas saber que após um longo processo de cálculo iremos chegar a seguinte 
forma de estimação: 
 
a = Σ(xi – Xm) . (yi – Ym) / Σ(xi – Xm)2 
 
Onde, Xm e Ym representam as médias da variável X e Y, respectivamente. 
 
b = Ym – a . Xm 
 
Então, por aqui vemos que o coeficiente b é encontrado depois que encontramos 
a. 
 
E são apenas esses resultados que precisaremos para encontrar a reta de 
regressão estimada de Y em X. 
 
Como a questão não nos deus os valores individuais de cada elemento da 
variável. Temos uma boa notícia: Não precisaremos fazer essa conta toda para 
encontrar a e b. 
 
Mas, temos que encontrar uma saída então. Utilizando o que nos foi dado. 
 
Veja só, a variância S2x amostral de uma variável X qualquer é dado por, 
 
Σ(xi – Xm)2 / (n – 1). 
 
E a covariância amostral entre duas variáveis X e Y expressa por, 
 
Σ(xi – Xm) . (yi - Ym) / (n – 1). 
 
Veja o que acontece quando fazemos a divisão da covariância amostral entre X e 
Y pela variância amostral de X: 
 
 [Σ(xi – Xm) . (yi - Ym) / (n – 1)] / [Σ(xi – Xm)2 / (n – 1)]. 
 
= 
 
[Σ(xi – Xm) . (yi - Ym) / (n – 1)] . [(n – 1) / Σ(xi – Xm)2] 
 
Logo, o (n – 1) desaparece. Pois ele é cortado na razão (n – 1) / (n – 1) = 1. 
Então, temos, 
 
Σ(xi – Xm) . (yi - Ym) / Σ(xi – Xm)2 
 
Portanto, a é estimado por nada mais que Covariância Amostral entre X e 
Y dividida pela Variância Amostral de X. E esses dados nós temos! 
 
 
 
 
 
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Resolvendo: 
 
1° Passo – Calcular a 
 
a = Covariância Amostral entre X e Y / Variância Amostral de X = Sxy / S2x 
 
a = 36 / 30 = 1,2. 
 
 
2° Passo – Calcular b 
 
b = Ym – a . Xm = 19 – 1,2 . 12,5 = 4. 
 
3° Passo – Montar a Reta de Regressão com os Valores a e b 
 
Pelos passos anteriores vimos que a e b são iguais a 1,2 e 4, respectivamente. 
Logo, a reta de regressão estimada de Y em X é dada por, 
 
Y = 4 + 1,2 . X. 
 
Resposta: letra c). 
 
 
Comentários Finais: 
 
Mais uma vez vimos que essa questão era uma daquelas que precisamos utilizar 
uma fórmula e aplicar os resultados prontos que já nos foram dados. Sabendo 
essas fórmulas, a resolução da questão pode ser extremamente rápida e simples. 
Essa questão, por exemplo, pode ser resolvida em 30 segundos, ou menos, se 
você estiver muito bem familiarizado com as etapas de cálculos. Sem segredos! 
 
Dê uma praticada nessa resolução. Invente os valores de variâncias, 
covariâncias e médias. A ideia é que você se apegue ao hábito de resolvê-la 
naturalmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumo Das Dicas e Pontos Mais Quentes Deste 
Livro 
 
 
 Preste muita atenção na forma como os intervalos de classes, das 
distribuições de frequências, foi construída. Eles precisam estar com os 
extremos definidos para o cálculo da média. 
 Algumas questões que aparentemente são as mais trabalhosas acabam 
sendo as mais simples. A solução pode ser a mais trivial que se parece! 
 Geralmente, a banca ESAF, nos fornece resultados de contas complicadas 
já calculados. 
 Pratique a forma de cálculo da média e variância de uma distribuição de 
dados por classes. 
 Procure saber mais sobre as distribuições de probabilidade Binomial, 
Geométrica, Poisson, Uniforme, Normal, Exponencial e Uniforme 
Contínua. 
 A distribuição normal, de formato de sino, é a principal das principais. 
Entenda suas características. 
 A distribuição normal padronizada é um caso particular da distribuição 
normal. 
 A distribuição normal padronizada tem média zero e variância igual um. 
 Nas questões de probabilidade, defina muito bem os eventos de interesse. 
 As questões que abordam o teorema de Bayes e da Probabilidade total 
geralmente incluem no máximo três eventos. 
 Resolva os exercícios por caminhos claros: Passo a Passo. 
 Refaça aqueles exercícios que você teve mais dúvidas, alterando os dados. 
 Treine o processo de cálculo das questões que exigem equações mais 
trabalhosas. 
 Faça e refaça as questões que requerem fórmulas extensas em dias 
distantes para melhorar a sua eficiência de absorção das etapas a serem 
seguidas. 
 
 
Se você gostou de minhas dicas, da leitura deste livro e busca aprender mais, 
visite o meu espaço virtual: 
 
eunylsonlopes.com/est/blog 
 
E mais uma vez, muito obrigado por ter adquirido este material. 
 
Desejo a você um ótimo estudo e, uma excelente prova! 
 
Cordialmente, 
 
 
Eunylson Lopes 
http://www.eunylsonlopes.com/