GRA1582 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE APLICADA GR0899-212-9 - 202120 ead-17449 01 Unidade 4

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introduçãoIntrodução
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADEESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
APLICADAAPLICADA
DISTRIBUIÇÕES DEDISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADE CONTÍNUAPROBABILIDADE CONTÍNUA
Autor: Me. Raimundo Almeida
Revisor : Hugo Estevam de Sa les Câmara
IN IC IAR
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Na unidade passada você conheceu a de�nição de distribuição de probabilidade e pôde
trabalhar bastante com as distribuições binomiais e de Poisson. Destinaremos essa unidade
ao estudo da distribuição de probabilidade contínua mais trabalhada em todo o mundo: a
distribuição Normal (ou distribuição Normal de Gauss).
Com os conhecimentos adquiridos aqui, você se convencerá de como a estatística pode nos
auxiliar em decisões corriqueiras do nosso dia a dia, como no dimensionamento da altura
de uma porta, ou em situações mais complexas, como avaliar a qualidade da produção de
um equipamento numa linha de produção.
Bons estudos!
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Considere um conjunto de dados que possui média e desvio-padrão . Dizemos que a
distribuição de probabilidade é Normal se puder ser descrita pela função:
Fique tranquilo(a)! A função anterior, por conta da sua complexidade, não precisará ser
utilizada em nenhum momento ao longo do restante desta unidade. Em substituição,
utilizaremos uma tabela com valores previamente calculados e que garantem toda a
ferramenta necessária para nosso estudo das distribuições normais.
Uma vez �xados os parâmetros e , a função anterior possui como grá�co a curva a
seguir.
Distribuição Normal -Distribuição Normal -
Parte IParte I
μ σ
P (x) =
e
− 1
2
( )x−μσ
2
σ 2π−−√
μ σ
Figura 4.1 - Curva Normal de Gauss
Fonte: Elaborada pelo autor.
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A curva anterior, por conta do seu formato, é chamada de curva sino, curva normal ou
curva de Gauss.
A principal propriedade da curva de Gauss é a sua simetria em torno da média .
OBSERVAÇÃO:
Observe que a lei que de�ne tal curva depende apenas da média e do desvio-padrão. Uma
vez alterados esses parâmetros, a curva se altera, mas mantém a forma de sino. A �gura a
seguir ilustra esse fato.
Iniciaremos nosso estudo assumindo que a média e o desvio-padrão são constantes e iguais
a 0 e 1, respectivamente. Nesse caso, chamamos a nossa distribuição normal de padrão. Na
próxima seção, aprenderemos a trabalhar com parâmetros diferentes dos assumidos na
distribuição-padrão ( e ).
Uma distribuição normal padrão tem as propriedades a seguir.
1. A média é igual a 0.
2. O desvio-padrão é igual 1.
3. O grá�co possui o formato de sino.
A área sob a curva normal é sempre igual a 1, o que garante a existência de uma
correspondência entre tal área e a probabilidade. Dessa fórmula, para calcular alguma
probabilidade em uma distribuição normal, calcularemos alguma área abaixo da curva
normal.
Como a função que descreve a curva normal é extremamente complexa e o procedimento
para determinação de áreas de regiões delimitadas por ela requer densos cálculos,
utilizaremos a tabela que consta no �m desta unidade para determinar essas áreas
procuradas.
μ
Figura 4.2 - In�uência dos parâmetros nas curvas normais
Fonte: Elaborada pelo autor.
μ = 0 σ = 1
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Para usar a tabela, é muito importante que você se atente aos itens a seguir:
1. A tabela só pode ser utilizada quando a distribuição for normal padrão ( e
).
2. A tabela é dividida em duas partes: uma para valores negativos e outras para
valores positivos.
3. Um escore é um valor limitante da área, situado no eixo horizontal. Na tabela, ela
corresponde à primeira coluna e primeira linha.
4. Cada valor observado na tabela corresponde à área acumulada até o valor do
escore (área sempre à esquerda de ).
Por convenção, utilizaremos a variável apenas quando a distribuição for padrão. Para
casos gerais, utilizaremos a variável .
Por exemplo, considere que a variável possua distribuição normal com média e
desvio-padrão , ou seja, a distribuição é normal padrão. Qual a probabilidade de que
?
Essa pergunta pode ser respondida com o valor da área indicada em lilás na �gura a seguir.
Ou seja: a área abaixo da curva de normal para .
Para determinação dessa área, vamos recorrer à tabela de escores . Procurando na
primeira coluna o valor de 1,3 e na primeira linha o valor de 0,02, obtermos a área
(probabilidade) igual a 0,9066. Ou seja: a probabilidade para que é igual a 90,66%.
Exercício resolvido 1:
Utilizando a tabela de escores , determine a probabilidade para que .
Solução:
Observe na �gura a seguir a área que corresponde à probabilidade desejada.
μ = 0
σ = 1
z
z z
z
x
z μ = 0
σ = 1
z ≤ 1, 32
z ≤ 1, 32
Figura 4.3 - Probabilidade para 
Fonte: Elaborada pelo autor.
z ≤ 1, 32
z
z ≤ 1, 32
z z ≥ 0, 07
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Como a tabela de escores só nos fornece áreas acumuladas à esquerda de um
determinado valor, usaremos a seguinte estratégia: subtrairemos da área total abaixo da
curva normal (área total = 1), o valor acumulado à esquerda de 0,61. Ou seja:
Utilizando a tabela de escores z, temos que .
Portanto, , conforme Figura 4.5.
praticarVamos Praticar
Figura 4.4 - Probabilidade para 
Fonte: Elaborada pelo autor.
z ≥ 0, 61
z
P (z ≥ 0, 61) = 1 − P (z ≤ 0, 61)
Figura 4.5 - Probabilidades para e 
Fonte: Elaborada pelo autor.
z ≤ 0, 61 z ≥ 0, 61
P(z ≤ 0, 61) = 0, 7291
P(z ≥ 0, 61) = 0, 2709
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Num equipamento da indústria têxtil, um dos parâmetros a serem controlados pelos engenheiros
de produção é o indicador . Suponha que esse indicador seja uma medida contínua, normalmente
distribuída, com média e desvio-padrão . Calcule a probabilidade para que, num
determinado momento, o indicador seja observado entre os números 0,72 e 2,03.
Dica: 
a) 32,61%
b) 51,47%
c) 14,79%
d) 21,46%
e) 32,04%
α
μ = 0 σ = 1
P (0, 72 ≤ z ≤ 2, 03) = P (z ≤ 2, 03) − P (z ≤ 0, 72)
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Nessa seção, discutiremos como calcular probabilidades para distribuições normais não
padronizadas, ou seja, ou .
Nos casos de distribuições não padronizadas, converteremos a variável da questão para
escores , utilizando a relação a seguir.
A �gura a seguir ilustra a conversão que deve ser realizada. Nela você deve observar que a
área procurada permanece a mesma, o que justi�ca a troca de variáveis.
Exercício resolvido 2:
Distribuição Normal -Distribuição Normal -
Parte IIParte II
μ ≠ 0 σ ≠ 1
z
z =
x − μ
σ
Figura 4.6 - Mudança da variável para a variável 
Fonte: Elaborada pelo autor.
x z
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A temperatura de câmaras frigorí�cas para armazenamento de vegetais em supermercados
é normalmente distribuída, com média de 7ºC e desvio-padrão de 1ºC. Por lei, essas câmaras
devem ter temperatura controlada entre 4ºC e 9ºC. Determine o percentual de câmaras
frigorí�cas que atendem a exigênciada legislação.
Solução:
Para responder essa questão, devemos calcular a área indicada em lilás na �gura a seguir.
Figura 4.7 - Probabilidade para 
Fonte: Elaborada pelo autor.
4 C ≤ x ≤ 9 Co o
reflitaRe�ita
Existem vários critérios (alguns visuais e outros
mais quantitativos) para veri�cação da
normalidade de uma população. Por
simpli�cação, assumiremos nessa disciplina
que a população está normalmente distribuída
quando a curva de densidade apresenta o
aspecto de sino. Para uma aplicação mais
precisa dos métodos estatísticos apresentados
aqui, outros critérios podem ser levados em
conta. Esses outros critérios são melhores
trabalhados em cursos mais avançados de
estatística.
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Primeiro, vamos padronizar a variável , utilizando a equação de conversão .
Aplicando os limites e nessa equação, obtemos e .
Por �m, vamos utilizar a tabela de escores para determinação da probabilidade desejada:
Portanto, 97,59% das câmaras frigorí�cas atendem a legislação.
praticarVamos Praticar
2) Em 2016 a China possuía uma média de 148,0 habitantes por , com desvio-padrão de 32,0
hab/ . Assumindo que a distribuição de pessoas por área na China é normal, determine o
percentual da área total do país com ocupação inferior a 115,1 hab./ .
a) 17,81%
b) 14,48%
c) 18,27%
d) 15,15%
e) 22,62%
x z = x−71
x = 4 x = 9 z = −3 z = 2
Figura 4.8 - Probabilidade para 
Fonte: Elaborada pelo autor.
−3 C ≤ z ≤ 2 Co o
z
P(4 ≤ x ≤ 9) = P(−3 ≤ z ≤ 2) = P(z ≤ 2) − P(z ≤ −3) = 0, 9772 − 0, 0013 = 0, 9759
km2
km2
km2
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Nas seções anteriores você aprendeu a calcular a área abaixo da curva normal situada à
direita de um escore prede�nido. Nesta seção você aprenderá o processo inverso:
determinar o escore a partir de uma área conhecida. Para isso, considere o seguinte
procedimento:
1. Esboce uma curva normal genérica e hachure a área em questão.
2. Localize na tabela de escores , a probabilidade mais próxima da desejada e
veri�que qual o escore correspondente.
Por exemplo, suponha que queiramos determinar o escore para o qual a área à esquerda
de seja igual a 0,6591. O primeiro passo para isso consiste em esboçar, em uma curva
normal genérica, a área em questão e indicar a posição do escore desejado. Essa etapa
serve para visualizarmos se, de fato, o valor procurado pode ser lido diretamente na tabela
(uma vez que esta só se refere a áreas acumuladas à esquerda).
Determinação deDeterminação de
Escores Escores a Partir de a Partir de
Áreas ConhecidasÁreas Conhecidas
zz
z
z
z
z
z
z
z
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Por �m, uma vez que tivermos a certeza que estamos em busca de uma área à esquerda de
, procuramos na tabela o valor de 0,6591. Nesse caso encontramos que 0,41.
A seguir, veja dois exercícios resolvidos que auxiliarão na sua compreensão desse
procedimento.
Exercício resolvido 3:
Determine o valor de que torna a área indicada em lilás na �gura a seguir igual a 0,7576.
Solução:
Observe que a região indicada em lilás corresponde à área delimitada entre os escores e
0,75. Dessa forma, . Logo,
Figura 4.9 - Escore para área igual a 0,6591
Fonte: Elaborada pelo autor.
z
z z =
a
Figura 4.10 - Área limitada entre dois escores
Fonte: Elaborada pelo autor.
a
P (a ≤ z ≤ 0, 75) = 0, 7576
P (z ≤ 0, 75) − P (z ≤ a) = 0, 7576
0, 7734 − P (z ≤ a) = 0, 7576
−P (z ≤ a) = −0, 0158
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Procurando na tabela de escores o valor de , concluímos que .
Exercício Resolvido 4:
O comprimento de um �o de cobre, extraído de um determinado equipamento industrial, é,
em média 3,2 metros, com desvio-padrão de 0,8 metros. Assumindo que o comprimento dos
�os é normalmente distribuído, determine a dimensão mínima para que 80% do conjunto
de �os extraídos possuam comprimento inferior a .
Solução:
Inicialmente, vamos identi�car na tabela o escore para o qual a área acumulada à
esquerda seja de 0,8. Assim, obtemos que .
Usando a equação , convertendo o escore para :
Portanto, 80% dos �os produzidos pelo equipamento possuem comprimento inferior a 3,88
metros.
O quadro a seguir contempla um resumo do passo a passo para resolução de exercícios
envolvendo a distribuição normal.
P (z ≤ a) = 0, 0158
z 0, 0158 a = −2, 15
x
x
z
z ≃ 0, 85
z =
x−μ
σ
z x
0, 85 =
x − 3, 2
0, 8
x − 3, 2 = 0, 68
x = 3, 88   metros
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Quadro 4.1 - Resumo dos procedimentos sobre a distribuição normal
Fonte: Elaborado pelo autor.
Com o Quadro 4.1, você pode inserir o passo a passo da coluna à esquerda toda vez que o
exercício lhe fornecer um escore e solicitar um valor de probabilidade. Para os exercícios
que fornecem um valor de probabilidade, você deve proceder conforme passo a passo
descrito na coluna da direita.
praticarVamos Praticar
O nascimento do primeiro dente em um bebê é, em média, no 177º dia de vida da criança, tendo
um desvio-padrão de 14 dias. Assumindo que essa idade segue uma distribuição normal, determine
o número de dias mínimo para o qual, a partir dessa idade, 70% das crianças já tenham o seu
primeiro dente.
a) Aproximadamente 153 dias.
b) Aproximadamente 192 dias.
O que você está procurando?
A probabilidade, a partir de um
escore conhecido
O escore, a partir de uma
probabilidade conhecida
1º passo: converta o escore para a
distribuição padronizada. Para isso,
utilize a fórmula de conversão 
. 
2º passo: procure na tabela de escores 
a área desejada. Lembre-se que as
áreas que contam na tabela
correspondem às regiões acumuladas à
esquerda de .
1º passo: esboce a curva sino para
identi�car a área acumulada à esquerda
do escore dado. 
2º passo: localize, na tabela de escores
, a probabilidade correspondente e
colete o valor de . 
3º passo: use a equação 
para obter o valor desejado.
z =
x−μ
σ
z
z
z
z
x = μ + z ⋅ σ
z
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c) Aproximadamente 141 dias.
d) Aproximadamente 195 dias.
e) Aproximadamente 184 dias.
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indicações
Material
Complementar
LIVRO
Introdução à Estatística - Atualização da Tecnologia -
Capítulo 6
Mario F. Triola
Editora: LTC
ISBN: 9788521622062
Comentário: Neste livro você encontrará outros exemplos e
aplicações de todo o conteúdo trabalhado na unidade, além de
inúmeros exercícios para fortalecer e �xar seu aprendizado.
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WEB
Distribuição Normal
Ano: 2015
Comentário: Esse vídeo contempla os principais tópicos do
conteúdo da nossa unidade. Ele inicia tratando das principais
características da Distribuição Normal. Em seguida, aborda as
propriedades da curva Normal, incluindo a in�uência dos
parâmetros média e desvio na geometria de tal curva. Por �m,
orienta como realizar a padronização de uma curva Normal.
Assista ao vídeo no link a seguir.
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=MoGes4OzsIk
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conclusão
Conclusão
Aqui chega ao �m o conteúdo do seu curso básico de estatística. Agora você já pode se dizer
conhecedor de todas as ferramentas básicas da estatística descritiva e da teoria das
probabilidades. Pode, também, utilizar todo o conteúdo visto para realizar análise e tratativa
de dados de forma assertiva e coerente quanto ao rigor cientí�co exigido no ensino
superior. Aproveite para fazer uma revisão de todo o conteúdo trabalhado no semestre,
realizar todas as atividades práticas da disciplina e responder muitos exercícios até obter
con�ança quanto ao que aprendeu.
referências
Referências
Bibliográ�cas
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2006.
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para
engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística: atualização da tecnologia, v. único. 11. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2013.
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