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Juros simples APRESENTAÇÃO Nesta Unidade de Aprendizagem (UA), você irá compreender como se comportam os juros simples, que também podem ser apresentados como capitalização simples ou linear. A capitalização simples é uma base para cálculos futuros. Sendo assim, você, tendo conhecimento desse tópico, irá avançar com precisão nos cálculos da convenção exponencial. Por meio dos juros simples, você irá calcular e transformar taxas equivalentes, alterar unidades de tempo, calcular o número de dias exatos e aproximados. Também poderá estimar o valor futuro de uma aplicação ou, ainda, o montante após o pagamento de juros. Nesta UA, você irá dispor de exemplos e problemas que envolvem assuntos relacionados a juros simples, questões estas que podem ser determinadas por meio de máquinas calculadoras comuns, científicas ou financeiras, como a HP 12c. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Calcular juros simples e montante.• Descobrir o valor futuro com base no cálculo de juros simples.• Resolver problemas que envolvem operações com juros simples.• DESAFIO Vários cálculos podem ser solucionados por meio da capitalização simples, desde o cálculo de juros, o montante após uma aplicação, a taxa de juros cobrada pelos bancos ou instituições financeiras até o juro cobrado por um amigo e também o tempo de um investimento, empréstimo ou atraso de um pagamento. Descubra quanto Eduardo aplicou no banco X e quanto de juros ele irá obter no banco Y, bem como o montante acumulado após esse ano de aplicação. E, ainda, ajude Eduardo a descobrir qual o banco mais vantajoso para os próximos investimentos. INFOGRÁFICO Na capitalização simples, são introduzidos conceitos básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da matemática financeira. O valor do dinheiro no tempo e a realidade dos juros são componentes conectados e essenciais ao crescimento do estudo da matemática financeira. No Infográfico a seguir, acompanhe alguns conceitos do juro simples e como ele pode ser abordado. CONTEÚDO DO LIVRO Por meio das principais fórmulas dos juros simples e do montante, você irá entender e associar a resolução de diversos cálculos e problemas relacionados à matemática financeira. Além disso, irá compreender que esses cálculos envolvem diversas operações financeiras e têm como principais variáveis o tempo, a taxa de juros e o capital. Na obra Matemática financeira, leia o capítulo Juros simples, que é base teórica desta Unidade de Aprendizagem. Neste capítulo, você irá acompanhar os principais conceitos da capitalização simples, tais como: os juros representam a remuneração do capital empregado; juro simples é um aumento calculado sobre o valor inicial de um investimento financeiro; o valor principal (inicial) de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. Esse valor é corrigido pela taxa de juros, que é apresentada de forma percentual. Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital ficou aplicado ou emprestado. Boa leitura. Maycon Carbone Caixa de texto Primeiramente, vamos calcular o valor que Eduardo aplicou no banco X: n = 1 ano = 12 meses i = 2% a.m. = 0,02 PV = J / i . n PV = 1.080 / (0,02 . 12) PV = 1.080 / 0,24 PV = 4.500 Logo, descobre-se que Eduardo aplicou $ 4.500,00 no banco X. Então, no banco Y, Eduardo aplicou o restante, ou seja 15.000 - 4.500 = 10.500, durante 1 ano (= 4 trimestres), com taxa de 14% a.t. Fazendo o cálculo, podem-se descobrir os juros: J = PV . i . n J = 10.500 . 0,14 . 4 J = 5.880 Para saber o montante final de Eduardo, soma-se 4.500,00 + 1.080,00, que corresponde aos juros, totalizando $ 5.580,00, que, por sua vez, corresponde ao montante a ser resgatado no banco X. No banco Y, o capital de 10.500,00 + 5.880,00 de juros totalizando $ 16.380,00, chegando ao montante do banco Y. Juntando os dois montantes, Eduardo terá no banco X $ 5.580,00 e, no banco Y, $ 16.380,00, totalizando o valor de $ 21.960,00. Para saber onde Eduardo deve continuar investindo, basta comparar as taxas de juros. No banco X, a taxa mensal é de 2% ao mês e, no banco Y, a taxa é de 14% ao trimestre. Para comparar, é necessário encontrar a taxa mensal equivalente, transformando 14% a.t. em mensal. Isso ocorre dividindo 14 por 3 (um trimestre = 3 meses). Então, encontra-se 4,67% ao mês. Eduardo deverá fazer suas próximas aplicações no banco Y, pois este oferece a melhor taxa de juros. MATEMÁTICA FINANCEIRA Adriana Claudia Schmidt Juros simples Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Calcular juros simples e montante. Descobrir o valor futuro com base no cálculo de juros simples. Resolver problemas que envolvem operações com juros simples. Introdução A capitalização simples é utilizada no mercado financeiro especificamente em operações de curto prazo. O desenvolvimento desses cálculos é extremamente simples, pois os juros incidem somente sobre o capital inicial, ou seja, o juro produzido em cada período é constante. Neste capítulo, você vai entender e praticar as fórmulas básicas utiliza- das no cálculo de juros simples, assim como resolver exemplos utilizados nessa capitalização. Para entender melhor o conceito de juros simples, você vai trabalhar com aplicações práticas de fácil entendimento. Assim, vai perceber a importância do cálculo do valor futuro e de todas as ope- rações relacionadas à capitalização simples. Cálculo de juros e aplicações Entender os juros simples ou a capitalização simples vai auxiliá-lo em cálculos futuros, em especial nos juros compostos, uma vez que o juro simples lhe dará todo o embasamento necessário para cálculos mais aprofundados. Conforme Almeida (2016), os juros simples são utilizados no mercado financeiro nas operações de curtíssimo prazo (desde que não maiores de 30 dias) ou “que não há capitalizações intermediárias durante todo o período em que os juros são computados” (OLIVEIRA, 2009, p.426): hot money (empréstimo diário e renovável); cheque especial; desconto de títulos (notas promissórias e duplicatas); desconto antecipado de cheques. Nos cálculos financeiros, é preciso considerar o tempo de duas formas: o tempo exato e o tempo aproximado. Tempo exato É quando consideramos o número exato de dias de um intervalo. Para saber o número exato de dias, considerando que os meses variam entre 28 e 31 dias, você pode fazer isso verifi cando em um calendário ou por meio de uma calculadora fi nanceira HP 12c. Veja a seguir um exemplo para calcular o número exato de dias pela HP 12c. Determine o número exato de dias entre 24/05/2019 e 31/12/2019: Regule a sua calculadora no sistema brasileiro, g D.MY. Insira na calculadora: 24.052019 ENTER 31.122019 g ∆ DYS (está na tecla EEX) A resposta será 221 dias exatos. O tempo exato corresponde ao ano civil, que tem 365 dias (ou 366 dias, se o ano for bissexto). Tempo aproximado É quando consideramos qualquer mês como tendo 30 dias. O tempo aproxi- mado é calculado a partir do ano comercial ou ordinário, considerando-se 360 dias. Veja a seguir como resolver o exemplo anterior considerando tempo aproximado. Determine o número aproximado de dias entre 24.05.2019 e 31.12.2019: Insira na calculadora: 24.052019 ENTER 31.122019 g ∆ DYS (está na tecla EEX) A resposta novamente será 221 dias exatos. Tecle x y. A resposta será 217 dias aproximados. Se o tempo não for mencionado, considere sempre o ano comercial, ou seja, o tempo aproximado, em que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. Juros simples2 A capitalização simples acontece de forma linear, isto é, o juro é gerado somente sobre o capital inicial. A seguir, você verá a introdução das principais fórmulas dos juros simples e as suas aplicações. onde: J = juro; PV = valor principal, capital ou valor inicial; i = taxa de juros, que deve ser decimal; n = prazo, tempo, número deperíodos. É importante lembrar que o tempo (n) e a taxa de juros (i) devem estar na mesma unidade. Assim, se a taxa for em dias, o tempo também deverá ser em dias; já se a taxa for em anos, o tempo deverá ser em anos, e assim por diante. Se isso não ocorrer no problema com o qual você está lidando, você poderá modificar tanto a taxa como o tempo, transformando-os na mesma unidade. Exemplo 1 Antônio empresta a seu irmão uma quantia de $ 6.700,00 para serem pagos daqui a seis meses, cobrando uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Quanto de juros Antônio receberá? Resolução: PV = 6.700,00 n = 6 meses i = 2% a.m. ÷ 100 = 0,02 J = ? Lembre-se de que a taxa de juros, quando substituída em qualquer fórmula, deve ser sempre unitária, ou seja, dividida por 100, como demonstrado no exemplo acima. Na situação do exemplo, a taxa e o tempo estão na mesma unidade, não sendo necessário transformá-los. 3Juros simples Para calcular os juros na calculadora HP 12c, é imprescindível que o tempo seja em dias e a taxa, em anos. Logo, no Exemplo 1 seria necessário transformar seis meses em 180 dias (6 x 30) e 2% a.m. em 24% a.a. (2 x 12). Resolução: 6.700 CHS PV 180 n 24 i f INT (para calcular o juro) Por meio da fórmula do juro simples, é possível demonstrar as suas fórmulas decorrentes, como você verá a seguir. Valor principal É o valor atual ou aquilo que temos em mãos hoje. É também chamado de capital: onde: J = juros; i = taxa de juros; n = tempo. Exemplo 2 Carla aplicou certo valor a uma taxa de juros simples de 14% ao semestre, durante 12 meses, tendo um rendimento de $ 1.350,00. Qual o valor aplicado por Carla? i = 14 % a.s. ÷ 100 = 0,14 n = 12 meses = 2 semestres J = 1.350 Juros simples4 PV = ? 1 ano = 2 semestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 12 meses Número de períodos É o tempo que um valor pode fi car aplicado, isto é, o tempo que decorre do início ao fi nal de uma operação fi nanceira. O número de períodos é representado pela letra n, e a fórmula utilizada é a seguinte: onde: J = juros; PV = valor principal; i = taxa de juros. Exemplo 3 Adão aplicou o seu décimo terceiro salário no valor de $ 3.703,70 no banco X, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, tendo um rendimento de $ 500,00. Durante quantos meses Adão deixou o seu dinheiro aplicado? PV = 3.703,70 i = 1,5 % a.m. ÷ 100 = 0,015 J = 500 5Juros simples N = ? Taxa de juros A taxa de juros é representada pela letra i. Trata-se do valor cobrado por algum empréstimo ou do valor atribuído a alguma aplicação. A fórmula usual no juro simples é a seguinte: onde: J = juros; PV = valor principal; n = tempo. Exemplo 4 Ana aplicou as suas economias no valor de $ 11.000,00 e resgatou, cinco anos depois, o valor de $ 18.300,00. Qual a taxa mensal de juros dessa aplicação? PV = 11.000,00 J = 18.300,00 – 11.000,00 = 7.300,00 n = 5 anos = 60 meses i = ? Juros simples6 Quando você encontra a taxa de juros, ela sempre será decimal. Então, para transformá- -la em percentual, você deverá multiplicar o número encontrado por 100. Valor futuro na capitalização simples Montante Também chamado de valor futuro, o montante é representado pelas letras M, S ou FV. Neste capítulo, vamos utilizar o FV, por ser uma das teclas da calcu- ladora HP 12c. Por defi nição, montante é a soma do capital aos juros. Então: Colocando em evidência o PV, que é o termo comum, temos: Exemplo 5 Você aplicou $ 8.000,00 a uma taxa de juros simples de 1,3% ao mês, durante 10 meses. Determine o valor acumulado ao fi nal desse período: PV = 8.000 i = 1,3% ÷ 100 = 0,013 n = 10 meses PV = ? No Exemplo 6, as taxas não são equivalentes. 7Juros simples Exemplo 6 Um investidor aplicou o valor de $ 150.000,00 em títulos de capitalização que lhe renderão uma taxa de juros simples de 4,8% ao bimestre, durante um semestre. Qual será o valor do resgate ao fi nal desse prazo? PV = 150.000 i = 4,8% ÷ 100 = 0,048 n = 1 semestre = 3 bimestres FV = ? Na utilização de fórmulas, é importante lembrar as regras básicas da matemática. Primeiramente você deve resolver a multiplicação e a divisão; por último, resolve a adição e a subtração. Ainda, primeiramente você deve resolver os parênteses, depois os colchetes, e por último as chaves. Para realizar o cálculo anterior na HP 12c, você precisa transformar a taxa mensal em anual, fazendo 1,3% × 12 = 15,6% a.a., e o tempo mensal em dias, fazendo 10 meses × 30 = 300 dias. Na HP 12c: 8.000 CHS PV 15,6 i 300 n f int + Juros simples8 Taxas proporcional e equivalente Em muitos problemas de juros simples, as taxas e o tempo não estão na mesma unidade e, como você viu anteriormente, é necessário que haja essa homogeneidade. Assim, nos juros simples, tanto a taxa como o tempo podem ser modifi cados. Para Veras (2005), duas taxas se dizem proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas em que se expressam e as durações dos períodos de tempo a que se referem. Na capitalização simples, as taxas propor- cionais são equivalentes, isto é, elas são consideradas a mesma coisa. Logo, a colocação proporcional ou equivalente é indiferente, pois elas são idênticas. Exemplo 7 Dada a taxa de 20% ao trimestre, determine as taxas equivalentes mensal, bimestral e anual. Resolução: Trimestral para mensal – basta dividir por 3, pois um trimestre tem três meses: Trimestral para bimestral – você pode usar a taxa mensal e multiplicar por 2, pois um bimestre tem dois meses. Ainda, pode usar a taxa trimestral e dividir por 1,5, pois um trimestre corresponde a um bimestre e meio: Trimestral para anual – você deverá multiplicar por 4, pois um ano tem quatro trimestres: Na capitalização simples, ao realizar transformações das taxas em que você tem o maior período e quer encontrar o menor, basta dividir pelo correspondente. Se você tiver o menor período e quer encontrar o maior, multiplique pelo correspondente. 9Juros simples Juro exato e juro comercial Ambos os tipos de juros são calculados da mesma maneira; o que difere é o tempo em relação a cada um. Para Assaf Neto (2012), é comum, nas operações de curto prazo (em que predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples), o prazo ser defi nido em número de dias. Nesse caso, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado dessa maneira denomina-se juro exato. Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Nesse critério, denomina-se juro comercial ou ordinário. Exemplo 8 Encontre a taxa diária, pelos critérios do juro exato e comercial, equivalente a 16% ao ano. Juro exato: Juro comercial: Todas essas relações são muito importantes em cálculos da capitalização simples, em especial os juros e o montante. Veja o Exemplo 9. Exemplo 9 Uma quantia de $ 50.000,00 foi aplicada em 18 de agosto para ser resgatada em 20 de novembro, a uma taxa de 21% ao ano. Calcule o montante a ser resgatado, considerando os juros comerciais e exatos. Primeiramente, vamos explorar os dados do problema. No juro comer- cial, o ano tem 360 dias, e cada mês tem 30 dias. Logo: 18 de agosto a 18 de setembro = 30 dias; 18 de setembro a 18 de outubro = 30 dias; 18 de outu- bro a 18 de novembro = 30 dias; 18 de novembro a 20 de novembro = 2 dias. Portanto, o total é 92 dias. No juro exato, o processo é o mesmo, mas você precisará ter conhecimento dos dias exatos de cada mês. Então: 18 de agosto Juros simples10 a 18 de setembro = 31 dias (agosto tem 31 dias); 18 de setembro a 18 de outubro = 30 dias; 18 de outubro a 18 de novembro = 31 dias (outubro tem 31 dias); 18 de novembro a 20 de novembro = 2 dias. Portanto, o total no juro exato será de 94 dias. Resolução pelo juro comercial: PV = 50.000 n = 92 dias i = FV = 50.000 ∙ 1,053636 FV = ? Resolução pelo juro exato: PV = 50.000 n = 94 dias i = FV = ? Dependendo do número de casas que você utilizar após a vírgula, oresultado pode divergir. O ideal é usar o maior número de casas possíveis após a vírgula. 11Juros simples Resolução de problemas Conforme Puccini e Puccini (2006, p. 22), “[...] na prática, os juros simples são bastante utilizados pelo mercado, pela facilidade de cálculo, e porque aumentam fi cticiamente a rentabilidade efetiva das aplicações fi nanceiras [...]”. A partir de agora, você vai acompanhar a utilização das principais fórmulas do regime de juros simples e as suas aplicações em problemas do mercado. Exemplo 10 Seu João aplicou, em uma instituição fi nanceira, o valor de $ 180.000,00, resgatando $ 210.000,00 quatro meses depois. Calcule a taxa mensal de juros simples auferida nessa aplicação: PV = 180.000 n = 4 meses FV = 210.000 J = FV – PV J = 210.000 – 180.000 = 30.000 i = ? Tanto na convenção linear (juros simples) como na convenção exponencial (juro composto), pode-se dizer que: FV = PV + J PV = FV – J J = FV – PV Juros simples12 Exemplo 11 Juliana vai precisar de $ 120.000,00 daqui a 11 meses para comprar um terreno. Quanto Juliana deverá depositar hoje num fundo de poupança que remunera a uma taxa linear de 10% ao ano? FV = 120.000 n = 11 meses i = 10% a.a. ÷ 100 = 0,1 ÷ 12 = 0,008333 a.m. PV = ? Exemplo 12 Determine a taxa trimestral de juros simples que faz com que um capital dobre de valor após um ano. PV = 100 FV = 200 J = 200 – 100 = 100 n = 1 ano = 4 trimestres i = ? Na resolução de problemas em que você não conhece os valores, você pode atribuir qualquer valor. Por convenção, é recomendável utilizar 100 como base de cálculo. Exemplo 13 Antônio depositou o valor de $ 600,00, aplicados a uma taxa de 22% ao ano, durante 25 dias. Quais os juros recebidos por Antônio? PV = 600 n = 25 dias 13Juros simples i = 22% ÷ 100 = 0,22 ÷ 360 dias = 0,000611 a.d. Por padrão, você sempre deverá usar os juros comerciais (ano igual a 360 dias), a menos que seja explicitado o contrário. Exemplo 14 Uma pessoa aplica $ 12.000,00 a 28% ao ano, de 12 de maio a 31 de dezembro do mesmo ano. Determine os juros exatos e o tempo exato pela convenção linear. PV = 12.000 n = 233 dias i = 28% ÷ 100 = 0,28 ÷ 365 dias = 0,000767 a.d. Para calcular o número de dias exatos, você pode utilizar o calendário, tabelas ou ainda uma calculadora HP 12c. Acompanhe o exemplo anterior pela HP 12c: 12.052019 ENTER (você pode considerar qualquer ano) 31.122019 g ∆DYS 233 dias Juros simples14 Exemplo 15 Ana aplicou na poupança o valor de $ 5.000,00, a uma taxa de 1,8% ao bimestre, resgatando um montante de $ 6.250,00. Durante quantos meses Ana deixou esse valor aplicado? PV = 5.000 FV = 6.250 J = 6.250 – 5.000 = 1.250 i = 1,8% ÷ 100 = 0,018 ÷ 2 = 0.009 a.m. O juro simples é uma parte da matemática financeira baseada no cálculo do capital principal, independentemente dos aumentos no decorrer do tempo. Com base no que você viu até aqui, poderá verificar as diversas fórmulas para resolver problemas financeiros, taxas de juros, capital e montante. ALMEIDA, J. T. S. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016. ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012. PUCCINI, A. L.; PUCCINI, A. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: Sa- raiva, 2006. VERAS, L. L. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2005. 15Juros simples DICA DO PROFESSOR Na capitalização simples, os juros incidem somente sobre o capital inicial, não incidindo nos juros acumulados. Em juros simples, a taxa varia linearmente em função do tempo. A remuneração pelo valor principal é diretamente proporcional ao tempo e ao valor aplicado. Na capitalização simples, os cálculos são, geralmente, de fácil entendimento, e é possível resolvê-los com fórmulas específicas e máquinas calculadoras simples. São comumente utilizados em períodos curtos, sendo que vários problemas do cotidiano podem ser solucionados por esse regime de capitalização. Na Dica do Professor, você vai acompanhar um exemplo prático de aplicação de juros simples. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! EXERCÍCIOS 1) Muitas empresas precisam fazer empréstimos, sendo algumas vezes para quitar saldos devedores, outras para quitar salários em atraso. A empresa C x A tomou um empréstimo a uma taxa de juros simples de 3.50% a.m. durante 10 meses. Ao final desse período, calculou em $ 230.000,00 o total de juros auferidos na operação. Qual foi o valor do empréstimo? A) $ 6.571,43. B) $ 80.500,00. C) $ 557.142,43. Maycon Carbone Carimbo D) $ 657.142,86. E) 700.000,00. 2) Carlito adquiriu uma dívida no valor de $ 48.000,00. Ele recebeu um valor de herança e vai conseguir quitar a dívida 4 meses antes do vencimento. Para a quitação antecipada, o credor concede um desconto de 16% ao ano. Qual o valor aproximado da dívida a ser paga antecipadamente por Carlito? A) $ 29.268,00. B) $ 41.500,00. C) $ 45.570,00. D) $ 46.500,00. E) $ 47.000,00. 3) No mundo financeiro, há diversos tipos e taxas de aplicação. Se o valor atual de um título é 3/5 do valor futuro e o prazo da aplicação é de 18 meses, qual a taxa de juros simples considerada nessa aplicação? A) 3,33% a.m. B) 3,70% a.m. C) 0,037% a.m. D) 0,33% a.m. Maycon Carbone Realce Maycon Carbone Realce Maycon Carbone Carimbo Maycon Carbone Realce Maycon Carbone Carimbo E) 0,37% a.m. 4) Cristina fez um investimento de um capital no valor de $ 2.300,00 por um período de 70 dias. O banco em que Cristina fez a aplicação vai pagar juro civil (exato) de 47% ao ano. Ao final desse período, quanto, aproximadamente, Cristina terá para resgatar? A) $ 2.507,00. B) $ 3.600,00. C) $ 4.373,00. D) $ 4.505,00. E) $ 4.807,00. 5) Marcelo lhe pediu dinheiro emprestado por um curto período de tempo. Você pode emprestar, mas vai resgatar o valor de sua poupança e, por isso, terá de cobrar juros. Marcelo quer $ 1.900,00 e vai lhe devolver $ 2.052,00. Você vai lhe cobrar juros de 0,80% ao mês. Quanto tempo Marcelo levou para lhe devolver o dinheiro? A) 1 ano e meio. B) 1 ano. C) 10 dias. D) 10 bimestres. Maycon Carbone Realce Maycon Carbone Carimbo Maycon Carbone Carimbo E) 10 meses. NA PRÁTICA A grande maioria das pessoas e das empresas trabalha com bancos, instituições financeiras, bem como realiza empréstimos, depósitos e várias operações bancárias. Em Na Prática, você terá o acompanhamento do extrato bancário de uma empresa calculado sob a convenção linear. Maycon Carbone Realce SAIBA MAIS Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: Matemática financeira - Fundamentos e aplicações No capítulo 3, página 11 deste livro, você poderá aprofundar seus conhecimentos adquiridos no decorrer desta Unidade de Aprendizagem, assim como resolver diversos exercícios propostos pelos autores. Taxa de juros: nominal, efetiva ou real? Neste artigo, você vai acompanhar as diferenças e as proporcionalidades entre as diversas taxas aplicadas em juros simples. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Matemática financeira: um enfoque da resolução de problemas como metodologia de ensino e aprendizagem Neste artigo, você vai encontrar um enfoque da resolução de problemas como metodologia de ensino e aprendizagem na matemática financeira. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
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