Distribuição Normal (MATA44)

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Aula 5 - Distribuição Normal
Função que associa a cada possível resultado do espaço amostral, um valor numérico. As variáveis aleatórias podem ser classificadas como:
Discreta: Se assume valores num conjunto enumerável ou contável;
Exs: - Nº de acidentes em determinado trecho da BR-324 entre 8 e 10h da manhã;
 - Nº de episódios de diarreia;
 - Nº de óbitos por COVID-19.
Contínua: se assume valores num conjunto não enumerável.
Exs: - Níveis de hemoglobina
 - Pressão sistólica;
 - Peso ao nascer;
 - Medidas antropométricas.
É importante que a coleta das amostras seja aleatória, pois os resultados baseados em amostras aleatórias são respaldados no princípio da probabilidade, onde podemos calcular os possíveis erros daquela informação que estamos coletando.
Uma variável aleatória nada mais é que uma função. A cada possível resultado que a variável aleatória assume, conseguimos associar um valor numérico, seja discreta ou contínua. 
A distribuição Normal
- Distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas;
- O matemático e astrônomo alemão Carl Friedrich Gauss foi o primeiro a descrever, no século XIX, a distribuição Normal em aplicações na área de astronomia;
- A curva descrita pelo modelo “Normal” apresentado por Gauss é conhecida como Curva de Gauss (ou também como Curva Normal);
Gauss usou a média e desvio padrão para a descrição da função que deu origem a distribuição normal de probabilidade. 
- Porém, a distribuição da variável pode não ser simétrica. Nesse caso, não poderemos usar a distribuição normal. Contudo, como primeiro experimento, sempre partem do pressuposto que a distribuição normal pode ser utilizada para modelar o comportamento de qualquer variável aleatória contínua.
Exemplo de Variável Contínua
Importância da distribuição Normal
- Podemos fazer testes de hipóteses e intervalos de confiança a partir de inferências estatísticas;
- A partir do momento que é identificado a variável mais importante do estudo, conseguimos associar uma distribuição de probabilidade e identificar que modelo estatístico seria mais apropriado para modelar o comportamento daquela variável juntamente com o conjunto de variáveis que podem ajudar a explicar essa variável principal;
- Representa, com boa aproximação, as distribuições de frequências observadas de muitos fenômenos naturais e físicos;
- A distribuição amostral das médias (e proporções) em grandes amostras se aproxima da distribuição normal, o que nos permite fazer estimações e testes estatísticos;
- Usado para caracterização de variáveis contínuas, em relação à sua distribuição de probabilidade;
- Quando há uma variável contínua, se saí do pressuposto que o comportamento dessa variável pode ser modelado a partir da distribuição normal.
A distribuição Normal
Definida por dois parâmetros: a média (µ) e o desvio-padrão (σ);
Simétrica em torno da média (A média pode ser positiva ou negativa);
● A largura (amplitude) da curva é determinada pelo desvio-padrão.
● A função densidade de uma variável X, com distribuição Normal é dada por:
● Notação: X ∼ N (μ, σ2)
- O X (é a variável genérica) é regida por N (uma distribuição normal), que tem uma média (µ) e desvio padrão (σ). 
- μ informa onde está centrada a curva Gaussiana, ou seja, representa a média da distribuição;
- A forma do sino (mais “achatado” ou mais “alongado”) é dada pelo valor do desvio-padrão, representado pela quantidade σ.
O gráfico da direita não tem diferença no peso médio, mas há diferença na dispersão maior de peso dos bebês do sexo masculino. A partir disso, podemos fazer hipóteses: o peso médio é maior em bebês do sexo masculino que feminino?
O gráfico da esquerda tem a média do peso dos bebês do sexo feminino é menor que a média dos masculinos, mas a variabilidade é igual.
Assim, podemos ver se estão diferindo em medida central ou em dispersão
Para calcularmos uma probabilidade qualquer a partir da distribuição Normal, devemos trabalhar com intervalos;
- É importante lembrar que a área total vale 1!!
- Se desejarmos calcular a P (a < X < b) ou P (X ≥ a) ou P (X ≤ b), devemos procurar pelas seguintes áreas:
A distribuição Normal Padrão
Como existem infinitas combinações dos valores para μ e s, seria inviável tabelar as probabilidades de todas as distribuições Normais possíveis; 
Será criada a variável Z a partir de uma variável original
Se a v.a. X é tal que X ∼ N(μ, σ2), então a v.a. Z é obtida como uma transformação linear de X da seguinte forma:
Z = X- µ/ σ
Diremos que a v.a. Z ∼ N (0, 1);
- As probabilidades podem ser calculadas com o auxílio de uma tabela.
Tabela da distribuição Normal Padrão
Centro: probabilidades, que são as áreas (nosso interesse)
Z: Parte inteira 
Exemplo: 1,30. Z =1,3; centro: 0,00; área: 0,4032.
Precisamos saber o tipo de probabilidade que eu quero avaliar. Intervalo, de um ponto pra frente ou pra trás??? Do menor pro maior?
Afinal, como calculamos estas probabilidades?!
1º passo: Precisamos identificar as informações da variável aleatória (sua média e variância (ou desvio-padrão):
X ~ Normal (3100, 602)
2º passo: Precisamos trabalhar com a variável transformada Z, pois somente assim conseguimos calcular as probabilidades a partir da distribuição normal;
Z = X – 𝜇/ σ ⟹ Z ~ N (0, 1)
3º passo: Identificamos na curva da normal, qual a área que desejamos calcular:
ex: P(X> 3000) = P(Z> - 1,67)
4º passo: Com o auxílio da tabela da normal reduzida, calculamos a probabilidade de interesse.
 Tabela da distribuição Normal padrão (reduzida)
Exemplo 1
Para classificação do peso ao nascer, a OMS considera: baixo peso (crianças com < 2500g), peso insuficiente (≥ 2500g e ≤ 2999g), peso adequado (≥ 3000g e ≤ 3999g) e excesso de peso (≥4000g). Suponha que em um estudo realizado com 100 crianças que nasceram em uma maternidade de Salvador em jan/2020, encontrou-se um peso médio de 3100g com desvio-padrão de 60g. Se selecionarmos aleatoriamente uma criança deste estudo, qual a probabilidade que: 
1. Seu peso ao nascer seja inferior a 2900g?
 2. Seu peso esteja entre 3000g e 3200g? 
3. Seja superior a 3250g?
4. Seu peso esteja entre 2850g e 3050g?
Exemplo 2
Considere que o tempo, em dias, que os pacientes submetidos a uma cirurgia passam internados no hospital para o pós-operatório seja modelado por uma distribuição Normal com média igual a 15 dias e variância igual a 4 dias. Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso, apresentar: 
a. Tempo de internação superior a 18 dias? 
b. Tempo de internação entre 13 e 16 dias? 
c. Tempo de internação inferior a 14 dias? 
d. O percentil 7 deixa 7% dos pacientes abaixo dele. Qual seria o tempo t para este percentil, que indicará que 7% dos pacientes ficaram internados no máximo até este dia t?
Exemplo 3
Considere a variável que representa a pressão sistólica de homens com idade entre 18 e 74 anos. Suponha que em determinada população seja possível assumir que o comportamento desta variável seja Normal, com média a 129 mmHg e desvio-padrão igual a 19,8 mmHg. 
a. Qual seria a probabilidade de selecionar aleatoriamente um homem desta população, na faixa indicada, e sua pressão sistólica estar entre 125 e 132 mmHg? 
b. Qual a probabilidade de selecionarmos um homem desta população e sua pressão sistólica ser superior a 150 mmHg? 
c. Suponha que apenas 2,5% dos homens desta população possuem uma pressão sistólica superior a determinado valor x. Qual seria este valor?