AD1 - Calculo 3 - gabarito -2020-1

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Cálculo III – Gabarito – 2020-1
Nome: Matŕıcula:
Questão 1 Considere a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = x2 + y2 − 10x− 10y + 25.
(a) (2,5 ponto) Parametrize a curva de ńıvel C = 0 da função f ;
(b) (2,5 ponto) Sendo E a curva mencionada no item (a), determine a equação vetorial da reta
tangente à E , no ponto Q =
(
10+5
√
3
2 ,
15
2
)
.
Solução:
(a) Completando quadrados, obtemos
f(x, y) = (x− 5)2 + (y − 5)2 − 25
para cada (x, y) ∈ R2. Portanto, a curva de ńıvel C = 0 da função f é dada por
E = {(x, y) ∈ R2; f(x, y) = 0} =
{
(x, y) ∈ R2; (x− 5)2 + (y − 5)2 = 25
}
,
isto é, E é o ćırculo de raio r = 5, centrado no ponto P0 = (5, 5). Dáı, a função vetorial
α : t ∈ [0, 2π] 7−→ (5 + 5 cos t, 5 + 5sen t) ∈ R2
é uma parametrização de E .
(b) Seja α a parametrização de E considerada no item (a), e tomemos t0 ∈ [0, 2π] tal que
(5 + 5 cos t0, 5 + 5sen t0) = α(t0) = Q =
(
10 + 5
√
3
2 ,
15
2
)
.
Nesse caso, cos t0 =
√
3
2 e sen t0 =
1
2 , donde t0 =
π
6 . Uma vez que
α′(t) = (−5sent, 5 cos t),
para todo t ∈ [0, 2π], segue que α′
(
π
6
)
=
(
−5
2 ,
5
√
3
2
)
é o vetor diretor da reta tangente à curva
E , no ponto Q. Consequentemente, a equação vetorial de tal reta é
r(λ) = α(t0)+λα′(t0) =
(
10 + 5
√
3
2 ,
15
2
)
+λ
(
−5
2 ,
5
√
3
2
)
=
(
10 + 5
√
3− 5λ
2 ,
15 + 5λ
√
3
2
)
,
com λ ∈ R.
Cálculo III AD1 2
Questão 2 Considere a função vetorial
r : λ ∈ R 7−→
(
6− 2
√
3 + λ
√
3, λ
)
∈ R2,
e seja C o ćırculo centrado em (2,2), que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta para-
metrizada por r.
(a) (3,0 pontos) Encontre uma parametrização de C;
(b) (2,0 pontos) Seja Q o ponto de interseção entre C e a reta parametrizada por r. Encontre a
equação vetorial da reta normal ao ćırculo C, que passa pelo ponto Q.
Solução:
(a) Consideremos a > 0 e seja C : (x − 2)2 + (y − 2)2 = a2 o ćırculo procurado. Ponhamos
x = x(λ) = 6− 2
√
3 + λ
√
3 e y = y(λ) = λ para cada λ ∈ R. Dáı, (x0, y0) ∈ R2 pertence à
reta parametrizada por r se, e somente se, existir λ0 ∈ R tal que
x0 − 6 + 2
√
3√
3
= λ0 = y0,
isto é,
x0 =
√
3y0 + 6− 2
√
3.
Em particular, supondo que (x0, y0) ∈ C, temos
(
√
3y0 + 4− 2
√
3)2 + (y0 − 2)2 = a2,
que equivale a
4y20 − (8
√
3− 16)y0 + (32− 16
√
3− a2) = 0.
Dáı, para que a reta parametrizada por r seja tangente à C no ponto (x0, y0), é necessário e
suficiente que o discriminante da última equação de segundo grau acima, dado por
∆ = (8
√
3− 16)2 − 4 · 4(32− 16
√
3− a2) = 16(−4 + a2),
seja igual a zero. Como
∆ = 0⇐⇒ a2 = 4
e a > 0, resulta que a = 2, ou seja, C é o ćırculo centrado P = (2, 2) que tem raio igual a 2.
Finalmente,
γ : t ∈ [0, 2π] 7−→ (2 + 2 cos t, 2 + 2sen t) ∈ R2
é uma parametrização de C.
(b) Pelo item (a), o ponto Q = (x0, y0) no qual o ćırculo C é tangenciado pela reta parametrizada
por r, tem suas coordenadas satisfazendo
4y20 + (8
√
3− 16)y0 + (32− 16
√
3− a2) = 0.
e
x0 =
√
3y0 + 6− 2
√
3,
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Cálculo III AD1 3
onde a = 2. Resolvendo a primeira dessas equações, temos
y0 =
−(8
√
3− 16)± 0
2 · 4 = 2−
√
3.
Consequentemente,
x0 =
√
3(2−
√
3) + 6− 2
√
3 = 3.
Dáı, Q = (3, 2 −
√
3). Agora, como a reta normal à curva C em Q é perpendicular à reta
parametrizada por r = r(λ), que tem vetor diretor ~u = (
√
3, 1), segue que tal reta normal
deve ter o vetor ~v = (1,−
√
3) como vetor diretor. Portanto, a equação vetorial da reta normal
ao ćırculo C, que passa pelo ponto Q, é dada por
r1(λ) = Q+ λ~v = (3, 2−
√
3) + λ(1,−
√
3) = (3 + λ, 2−
√
3− λ
√
3),
onde λ ∈ R.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ