Conceitos de Erros em Aproximações Numéricas

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22/10/2020 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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Exercício 1:
Seguem os seguintes conceitos listados abaixo sobre erros nas aproximações numéricas:
(1) Erro absoluto: Quando se substitui um valor a por outro valor aproximado a’
(a’¹a), diz-se que o erro absoluto cometido é Δ = |a - a'|.
(2) Erro relativo: Chama-se erro relativo cometido sobre um valor a, quando este
é aproximado por a’, ao quociente positivo, portanto δ = Δ / a.
(3) Arredondamento: Diz-se que um valor foi arredondado na posição de ordem
n, se todos os algarismos significativos n+1 em diante forem abandonados de
forma que o algarismo n é aumentado de uma unidade se, e somente se, o de
ordem n + 1 for superior a 4.
(4) Algarismos significativos de um número a são todos os seus algarismos de 1
a 9 e zeros, desde que não sirvam simplesmente para fixar a posição do ponto
decimal ou que não estejam substituindo algarismos de casas decimais de mais
baixa ordem abandonadas. 
Dos itens listados acima quais podem ser considerados corretos:
 
 
 
 
A)
(1), (2), (3) e (4)
B)
(2) e (4)
C)
(2), (3) e (4)
D)
(3) e (4)
E)
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(2) e (3)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 2:
Quando realizamos uma medida precisamos estabelecer a confiança que o valor encontrado para a
medida representa. Medir é um ato de comparar e esta comparação envolve erros dos instrumentos, do
operador, do processo de medida entre outros. Em qualquer situação deve-se adotar um valor que
melhor represente a grandeza e uma margem de erro dentro da qual deve estar compreendido o valor
real. Vamos supor que você está efetuando a medição de um segmento de reta, utilizando para isso uma
trena graduada em centímetros. Você observa que o segmento de reta tem um pouco mais de cento e
vinte e sete centímetros e menos que cento e vinte e oito centímetros. Então, você estima o valor desse
"pouco" que ultrapassa cento e vinte e sete centímetros, expressando o resultado da medição assim:
127,6 centímetros. Portanto podemos dizer que a aproximação da medida deste eixo tem:
A)
4 Algarismos significativos e nenhum duvidoso.
B)
3 Algarismos significativos corretos e 1 duvidoso.
C)
3 Algarismos significativos e 2 duvidosos.
D)
4 Algarismos significativos corretos.
E)
3 Algarismos significativos e nenhum duvidoso.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
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Exercício 3:
Considere uma máquina hipotética que trabalhe em vírgula flutuante com 4
dígitos decimais de precisão (i.e., guarda apenas os 4 primeiros dígitos
significativos de um número). Qual é o erro máximo relativo que pode ser
cometido ao arredondar qualquer número para 4 dígitos significativos?
A)
1,0 X 10-5
B)
 4,0 X 10-5
C)
 5,0 X 10-4
D)
5,0 X 10-5
E)
4,0 X 10-4
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 
Exercício 4:
Seja f = (x2y)/z. Se x = 5,00 ± 0,05, y = 4,00 ± 0,02 e z = 3,00 ± 0,06. Calcule o valor de f e encontre o
erro relativo de cada variável.
A)
F = 33,33 / ERx = 0,01 / ERy = 0,005 / ERz = 0,02
B)
F = 33,50 / ERx = 100 / ERy = 200 / ERz = 50
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C)
F = 33,33 / ERx = 100 / ERy = 200 / ERz = 50
D)
F = 3,33 / ERx = 0,1 / ERy = 0,005 / ERz = 0,02
E)
F = 33,50 / ERx = 0,1 / ERy = 0,05 / ERz = 0,2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 5:
A representação aritmética de ponto flutuante é muito utilizada na computação digital, por exemplo em
calculadoras científicas. A principal vantagem da representação em ponto flutuante é que ela pode
representar uma grande faixa de números se comparada à representação de ponto fixo. Seja uma
representação com 6 (seis) dígitos, quais serão o maior e o menor número para uma representação
utilizando ponto flutuante?
A)
maior número 9,9999 109 ; menor número 0,0001 10-9
B)
menor número 9,999 1099 ; maior número 0,001 10-99
C)
maior número 9,999 1099 ; menor número 1,111 10-99
D)
maior número 9,999 1099 ; menor número 0,001 10-99
E)
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maior número 9,99999 ; menor número 0,00001
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 6:
A propagação de erros pode influenciar diretamente nos cálculos matemáticos
alterando resultados. Estes erros podem ser provenientes de várias fontes, tais
como: instrumentos de medidas, erros humanos na aquisição de dados,
ferramentas de cálculos, etc.
Deseja-se realizar os cálculos das expressões (1) e (2) em uma máquina com 4
dígitos significativos. Sendo X1 = 0,3491.104 e X2 = 0,0023.100.
 
Expressão (1): ( X2 + X1 ) – X1
Expressão (2): X2 + ( X1 - X1 )
 
Das opções abaixo, qual delas constam os resultados corretos, com 4 dígitos significativos, das
expressões acima e a justificativa para a diferença dos resultados das expressões.
A)
Expressão (1) = 0,000 e Expressão (2) = 0,0023. Os dois resultados são diferentes quando não deveriam
ser, pois a causa foi o arredondamento feito na adição (X2 + X1), cujo resultado tem 8 dígitos e a
máquina apenas 4.
B)
Expressão (1) = 0,3491 e Expressão (2) = 0,0023. Os dois resultados são diferentes, devido o
truncamento feito na expressão 2.
C)
Expressão (1) = 0,000 e Expressão (2) = 0,002345. Os dois resultados são diferentes quando não
deveriam ser, pois a causa foi o arredondamento feito na adição (X2 + X1), cujo resultado tem 4 dígitos
e a máquina apenas 8.
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D)
Expressão (1) = 0,000 e Expressão (2) = 0,0000. Não há diferenças, os resultados são exatamente os
mesmos.
E)
Expressão (1) = 0,3491 e Expressão (2) = 0,0023. Os dois resultados são diferentes quando não
deveriam ser, pois a causa foi o arredondamento feito na adição (X2 + X1), cujo resultado tem 8 dígitos
e a máquina apenas 4.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 7:
Supondo um sistema de aritmética em ponto flutuante que trabalha com 4 dígitos na mantissa, na base
10, expoente e no intervalo Î [-5 5]. Consideremos agora a operação Z = X + Y, com X = 0,127.103 e y
= 0,97.10−1. Determine Z em função dos resultados desta operação com os valores de arredondamento
e truncamento.
A)
Valor de Z arredondado = 0,1270.103 e truncado = 0,1271.103
B)
Valor de Z arredondado = 1271,0.103 e truncado = 1270,0.103
C)
Valor de Z arredondado = 1,0970.103 e truncado = 1,0971.103
D)
Valor de Z arredondado = 0,1271.103 e truncado = 0,1270.103
E)
Valor de Z arredondado = 12,71 e truncado = 12,70
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 8:
Um modelo matemático raramente representará corretamente um fenômeno
físico na integra, pois são necessárias várias simplificações do mundo físico para
se obter um modelo matemático. São listadas abaixo algumas afirmações que
tentam justificar os erros devido a simplificação dos modelos matemáticos.
1. Erros na modelagem de um problema físico, ex: resistência do
ar, velocidade do vento, forma do objeto, etc.
2. Precisão de leitura de um instrumento de medida de distância.
3. O aquecimento damáquina (computador) durante o
processamento de dados.
4. O valor numérico de p em um cálculo de uma determinada área
de uma circunferência.
 5. Esforço computacional.
A)
(3) e (4).
B)
(1), (4) e (5).
C)
(2), (3) e (4).
D)
(1), (2) e (4).
E)
(3) e (5).
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
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Comentários:
D) 
Exercício 9:
Seja Y=0.005 e Z=0.006, qual das opções a seguir representam o erro absoluto (EA) e o erro relativo
(ER)? Sabe-se que o valor do erro de aproximação é designado por erro absoluto.
A)
EA = 0.001 ; ER = 0.25
B)
EA = 0.009 ; ER = 0.25
C)
EA = 0.009 ; ER = 0.001
D)
EA = 0.001 ; ER = 0.009
E)
EA = 0.001 ; ER = 0.2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E)