AULA 08

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Estatística p/ AFRFB 2017 
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“Variável, professor, mas não estamos tratando da média calculada para nossa 
amostra”? 
Veja, o parâmetro “média populacional” não é uma variável, 
pois seu valor é o mesmo para todos os experimentos possíveis em que possamos 
calculá-lo, haja vista em todos estes o tamanho da amostra é igual à própria 
população. Isso não é verdade no caso da média amostral! A média será calculada 
para as mais diversas amostras que podem ser retiradas da população, ou seja, este 
estimador é uma variável! 
 
Assim, é muito provável que a nossa distribuição da variável “média de altura” seja 
algo semelhante à: 
 
 
Veja, esse tipo de distribuição de frequências é o mais comum (formato de sino), pois 
muitos fenômenos são assim: 
 
 Valores extremos com menor probabilidade de ocorrência; 
 Valores mediano e médio (e/ou próximos a estes) com grande chance de 
ocorrência. 
 
No nosso exemplo, é de se esperar que alturas comuns no povo brasileiro (como o 
intervalo que vai de 1,70m a 1,80m) sejam valores em torno dos quais a maior parte 
das médias calculadas irá orbitar. Por outro lado, podem ocorrer valores extremos, 
como uma altura média de 1,95, entretanto a probabilidade (frequência em que 
ocorre) de sua ocorrência será pequena! 
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Pelo seguinte meu querido aluno, nós podemos padronizar qualquer variável com 
distribuição normal de forma que sua média seja sempre igual à zero e seu desvio 
padrão igual à 1 por meio da seguinte operação: 
 権 噺 隙博 伐 航購 
 
No caso da média amostral, sabemos que: 
 権 噺 隙博 伐 航峭謬購ふ券 嶌 
 
Sendo a variável (権) uma padronização da nossa média amostral (隙博) por meio da 
diminuição da mesma de sua média e divisão pelo seu respectivo desvio padrão. Essa 
operação garante que a variável (権) terá uma distribuição normal com média igual a 
zero e variância igual a 1. 
 
-“Tudo bem professor, mas por que fazer tudo isso”? 
 
Calma, você vai entender agora! A questão é que a normal padrão, que é obtida 
pela transformação de uma variável em seu respectivo valor (子), tem uma 
“tabelinha mágica” que nos diz a probabilidade de que o valor encontrado (子 
calculado) esteja entre 0 (zero) e um determinado valor a ser especificado! 
 
Perceba que o estudo que se segue não se aplica somente a médias, 
mas também a qualquer variável que possua distribuição normal e que, portanto, pode 
ser padronizada. Só atenção ao caso das médias, pois você precisa dividir a 
estatística do desvio padrão por ヂ券 na hora de padronizar a variável. 
 
Vamos a um exercício para vocês entenderem. Não tentem resolver sozinhos, 
acompanhem a minha resolução e depois tentem sozinhos! 
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権 噺 隙博 伐 航峭謬購ふ券 嶌 
 
Portanto: 
 権 噺 な┸ばはに 伐 な┸ばど磐 ど┸なヂなど卑 簡 な┸ひは 
 
Agora faça assim, olhe a tabela de distribuição normal: 
 
 
 
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O processo de utilizar a tabela é assim: veja qual o valor correspondente dentro da 
tabela de um 権 噺 捲┸ 捲捲. Olhe a linha correspondente aos dois primeiros dígitos de 権 e 
o terceiro você vai encontrar na coluna lá em cima. Por exemplo, encontramos um 
valor 権 噺 な┸ひは, portanto: 
 
 
Este valor é a “probabilidade monocaudal” de o valor testado pertencer à nossa 
população. 
 
 
 
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-Monocaudal, professor”? 
 
Isso mesmo! O que estamos vendo é qual a probabilidade de que o valor calculado 
esteja no intervalo amarelo abaixo: 
 
 
 
Viu? Trata-se da probabilidade monocaudal, pois só estamos vendo a probabilidade 
de que ocorram valores maiores do que 1,70m, que foi normalizado em 権 噺 ど, mas 
menores do que 1,762, normalizado em 1,96. Isso é, a parte amarela só corresponde 
a valores à direita (ou maiores) do que 1,70m. 
 
Portanto, no gráfico acima, estamos calculando a probabilidade de que o valor testado 
(1,762m) tenha derivado de uma amostra de nossa população. Com base na tabela 
acima podemos inferir que o valor encontrado é de 0,475, ou seja, 47,5%! Portanto, 
a probabilidade de que a média amostral se situe entre os valores de 1,70m e 
1,762 é de 47,5%! Assim, no nosso exemplo: 
 皿岫層┸ 挿宋 判 仕é纂餐珊 珊仕伺史嗣司珊残 判 層┸ 挿掃匝岻 噺 皿岫宋 判 子 判 層┸ 操掃岻 噺 宋┸ 想挿捜 噺 想挿┸ 捜ガ 
 
Simples, não? Olhe um “resuminho”: 
 
 
 
 
 
 
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Mas, cuidado! Este é um caso em que estamos lidando com “probabilidade 
monocaudal”, ou seja, olhando se o valor testado se situa dentro do intervalo superior 
(valores maiores do que a média populacional, mas compatíveis com nossas 
informações). Entretanto, nós podemos estar interessados em saber qual a 
probabilidade de que um determinado desvio com relação à média ocorra, isso é, um 
intervalo de valores maiores e menores do que a média populacional, mas 
condizentes com nossas informações. 
 
Vamos a um exemplo para simplificar! Se ao invés de calcularmos a probabilidade de 
ocorrência do valor 1,762m, podemos estar interessados na probabilidade de que a 
média populacional seja 0,062m maior ou menor do que 1,70m. Neste caso, estamos 
interessados em uma “probabilidade bicaudal”! Vamos calcular o valor (権) para a 
probabilidade de ocorrência de (な┸ばど 伐 ど┸どはに 噺 な┸はぬぱ): 
 権 噺 な┸はぬぱ 伐 な┸ばど磐 ど┸なヂなど卑 噺 伐ど┸どはに磐 ど┸なヂなど卑 簡 伐な┸ひは 
 
Assim: 
 
Para o cálculo da probabilidade de que uma variável com 
distribuição normal padronizada assuma determinado valor 
faça: 
1) Calcule o valor 権 correspondente 
2) Olhe a tabela com o valor 権 correspondente 
3) Multiplique o valor por 100 
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 Neste caso, o que estamos calculando é: 
 皿岫層┸ 掃惣掻 判 仕é纂餐珊 珊仕伺史嗣司珊残 判 層┸ 挿掃匝岻 噺 皿岫伐層┸ 操掃 判 子 判 層┸ 操掃岻 
 
Como a distribuição normal é simétrica, uma mesma distância com relação à origem 
(権 噺 ど) corresponde à mesma probabilidade de ocorrência, seja à esquerda ou direita. 
Assim, fica fácil perceber que a probabilidade de ocorrência do evento acima é igual 
a 2 (duas) vezes a chance de ocorrência de um dos dois isoladamente! 
Analiticamente: 
 鶏岫伐な┸ひは 判 権 判 な┸ひは岻 噺 鶏岫伐な┸ひは 判 権 判 ど岻 髪 鶏岫ど 判 権 判 な┸ひは岻 
 
Portanto: 
 鶏岫伐な┸ひは 判 権 判 ど岻 髪 鶏岫ど 判 権 判 な┸ひは岻 噺 ど┸ねばの 髪 ど┸ねばの 噺 ど┸ひの 噺 ひのガ 
 
Entendeu? A probabilidade de encontrarmos um valor que varie em 0,062 da média 
populacional na nossa amostra é de 95%. 
 
Essa aula é pesada! Respire um pouquinho antes de continuar! 
 
 
 
 
 
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2.2 Testando a média – teste de hipóteses e intervalo de confiança 
 
Com base no que sabemos já somos capazes de testar hipóteses. A primeira coisa 
que temos de estipular é “o que é muita coincidência”. 
 
-“Comoassim, professor”? 
 
Veja, no exemplo anterior encontramos que 95% das vezes em que realizarmos uma 
amostragem com base em nossa população, nosso valor de média amostral se 
encontrará dentro daquele intervalo (な┸はぬぱ 判 兼é穴件欠 欠兼剣嫌建堅欠健 判 な┸ばはに). 
 
Mas, o que estes 95% querem dizer? Será que esse intervalo é “muito” ou “pouco” 
provável? Ora, você já deve ter percebido onde quero chegar. Existe uma 
arbitrariedade envolvida na definição do que é provável ou não! 
 
Veja, no nosso exemplo, 95% das vezes os valores encontrados para a média 
amostral estarão dentro daquele intervalo. Aí é que entra a definição de significância 
de um teste: 
 
 
 
 
 
No caso em estudo, poderíamos estipular que 10% seria muita coincidência, ou seja, 
se a média amostral testada ocorrer em menos do que 10% das vezes, isso seria 
muita coincidência e poderíamos descartar a hipótese de que aquele intervalo seria 
possível com base em nossas informações. 
 
 
 
Significância de um teste é o valor que é 
considerado como “muita coincidência”. Este 
valor é definido previamente pelo pesquisador com 
base em estudos e em sua experiência pessoal. 
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Mas, com base nos nossos cálculos, encontramos que aquele intervalo ocorre 
em 95% das vezes, assim aceitaríamos a hipótese de que aquela amostra foi 
retirada da população em estudo! 
 
Agora que vocês entenderam o que é significância de um teste, podemos realizar o 
exercício inverso e calcularmos um intervalo de confiança para nosso estudo, de 
forma que possamos ver a adequação de nossas hipóteses com base em 
informações prévias. Vamos fazer um exercício para ficar claro! 
 
Faça a mesma coisa de novo! Resolva o exercício junto comigo e só depois faça 
sozinho. 
 
Exercício 2 
 
(Auditor da Previdência Social – ESAF/2002/modificada) A variância para o peso 
de peças mecânicas obtidas num lote de produção é de 25kg. Sabendo-se que, 
em uma amostra de 100 peças do lote, foi encontrado um peso médio de 23,2kg, 
qual o intervalo de confiança para a média? (assuma que o nível de confiança é 
de 95%) 
a) 岷匝匝┸ 匝匝┹ 匝想┸ 層掻峅 
b) 岷匝捜┸ 匝匝┹ 匝想┸ 層掻峅 
c) 岷匝匝┸ 匝匝┹ 匝挿┸ 宋宋峅 
d) 岷匝匝┸ 宋宋┹ 匝想┸ 宋宋峅 
e) 岷匝匝┸ 層操┹ 匝掻┸ 層掻峅 
 
Resolução 
 
O que o exercício está te pedindo é: a 95% de confiança, qual o intervalo que 
corresponde a valores possíveis para a média de peso destas peças? 
 
Ora, o exercício já está te dando o valor (権), haja vista a informação de que o nível de 
confiança é de 95%! Olhando a tabela você verá que o valor de (ど┸ねばの), que é a 
metade de (ど┸ひの), corresponde ao número な┸ひは. Colocando na “fórmula”: 
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 権 噺 隙博 伐 航峭謬購ふ券 嶌 蝦 罰な┸ひは 噺
にぬ┸に 伐 航磐 のヂなどど卑 
 
Você entende porque estamos lidando com 1,96 em valores positivos e negativos? 
Isso porque queremos encontrar um intervalo de confiança para a média 
populacional, ou seja, o quanto ela pode variar positivamente ou negativamente, de 
forma a observarmos a parte esquerda e direita da curva! Olhem o desenho abaixo 
que vocês entenderão: 
 
 
 
Assim, precisamos encontrar o valor “máximo” e “mínimo” que são possíveis para a 
média populacional, dadas as informações que temos. 
 
Assim: な┸ひは 噺 にぬ┸に 伐 航ど┸の 蝦 匝惣┸ 匝 伐 侍 噺 宋┸ 操掻 
 伐な┸ひは 噺 にぬ┸に 伐 航ど┸の 蝦 匝惣┸ 匝 伐 侍 噺 伐宋┸ 操掻 
 
Este valor (宋┸ 操掻) é chamado de “margem de erro”. Isso mesmo! É aquele valor 
que os jornais costumam falar quando tratam de campanhas eleitorais. Em nosso 
exemplo, o que esta margem de erro está nos dizendo é que a média populacional 
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será igual a uma média amostral mais um valor que nos dará esta “flutuação” nos 
resultados, a saber: 
 航沈津捗勅追沈墜追 噺 にに┸にに 
 航鎚通椎勅追沈墜追 噺 にね┸なぱ 
 
Este é nosso intervalo de confiança (荊系): 
 荊系 噺 岷にに┸にに┹ にね┸なぱ峅 
 
Alternativa (a). 
 
Atenção! E os valores que estão “fora da região de aceitação da hipótese nula”? 
Essa é chamada de “Região Crítica”! Esta define-se como o conjunto de valores 
para os quais a hipótese nula é rejeitada. 
 
 
Mais um? Vamos lá! 
 
Exercício 3 
 
(BACEN – FCC\2005) A distribuição dos valores de aluguéis dos imóveis em 
certa localidade é bem representada por uma curva normal com desvio padrão 
populacional de R$ 200,00. Por meio de uma amostra aleatória de 100 imóveis 
neste local, determinou-se um intervalo de confiança para a média destes 
valores de [R$ 540,00;R$ 660,00]. 
A mesma média amostral foi obtida com um outro tamanho de amostra, com o 
mesmo nível de confiança anterior, sendo o novo intervalo [R$ 560,00;R$ 
640,00]. A população tem tamanho infinito, o tamanho da amostra no segundo 
caso é de: 
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a) 225 
b) 256 
c) 324 
d) 400 
e) 625 
 
Resolução 
 
Questão bem difícil! Tem que pensar! Veja o raciocínio que você tem de fazer: 
 
1) Encontre a média amostral; 
2) calcule o valor Z para a primeira amostra; 
3) Com base no Z anterior, encontre o tamanho da amostra. 
 
A média amostral não é difícil de ser calculada, pois já aprendemos isso em aulas 
anteriores: 
 
 警é穴件欠 噺 隙博 噺 詣件兼件建結 嫌憲喧結堅件剣堅 穴結 件券建結堅懸欠健剣 髪 健件兼件建結 件券血結堅件剣堅 穴結 件券建結堅懸欠健剣に 噺 なにどどに 噺 掃宋宋 
 
Agora fica fácil encontrar o valor (権) para a primeira amostra: 
 権鎚通椎勅追沈墜追 噺 ははど 伐 はどどにどどヂなどど 噺 ぬ 権沈津捗勅追沈墜追 噺 のねど 伐 はどどにどどヂなどど 噺 伐ぬ 
 
Ou seja, em valores absolutos (sem considerar sinal), 権 噺 ぬ. Com intuito de 
simplificação, vamos utilizar o limite superior, mas saiba que dá na mesma! 
 
Agora, vamos substituir (権 噺 ぬ) na equação da segunda amostra de modo que: 
 
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権鎚通椎勅追沈墜追 噺 ぬ 噺 はねど 伐 はどどにどどヂ券 
Realizando a operação: 
 はどどヂ券 噺 ねど 蝦 仔 噺 匝匝捜 
 
Alternativa (a). 
 
Retornando à aula! 
 
Bom, vimos que é possível estabelecer um intervalo de confiança de modo a 
garantirmos que, a determinado nível de confiança, os valores possíveis estarão 
contidos em um intervalo descrito. Mas, se nós podemos construir tal intervalo, nós 
também podemos testar hipóteses que são feitas com relação a nossos dados. 
 
-“Como isso é possível, professor”? 
 
Bom, a primeira coisa que você vai fazer é determinar qual hipótese você está 
testando. Por exemplo, se alguém faz afirmações sobre o valor de um determinado 
parâmetro 肯, é feita a seguinte hipótese nula (茎待): 
 茎待┺ 肯 噺 肯待 
 
Este é o nosso exemplo da altura dos indivíduos, a hipótese nula afirma que a média 
de altura dos mesmos é igual à 1,70m. 
 
Mas, toda hipótese científica tem uma “alternativa”, que é o caso quando o que 
estamos afirmando não é verdade. Esta hipótese alternativa (茎怠) pode assumir as 
seguintes formas: 
 茎怠┺ 肯 塙 肯待 茎怠┺ 肯 隼 肯待 
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茎怠┺ 肯 伴 肯待 
 
Ou seja, poderíamos concluir que o parâmetro em estudo não é igual ao valor sob 
hipótese nula por se tratar de um valor diferente do mesmo, menor, ou maior, 
respectivamente! 
 
Assim, a nossa hipótese nula seria sempre uma igualdade e teria como alternativa 
um destes casos, sendo que o primeironecessitaria de uma análise bicaudal, 
enquanto que o segundo e terceiro seriam monocaudais. 
 
Com efeito, isso está intimamente relacionado com o que já estudamos sobre 
“probabilidades monocaudais” e “bicaudais”. A ideia aqui seria criar um intervalo de 
confiança para o valor testado, se o mesmo não estivesse contido neste, rejeitaríamos 
a hipótese nula. 
 
Assim, no caso do nosso exemplo de altura dos indivíduos, como nós concluímos que 
1,70m encontra-se dentro do intervalo de confiança calculado a 95% de confiança, 
podemos afirmar que a afirmação é verdadeira. 
 
Veja que não há nada de novo com relação ao cálculo do intervalo de confiança, 
no fundo é a mesma coisa, só o jeito de olhar que é diferente! 
 
Vamos fazer uns exercícios para entender! Faça este primeiro junto comigo, 
ok? 
 
Exercício 4 
 
(TRF 1ª Região – FCC/2001/modificada) Julgue a afirmativa. 
 
Seja uma variável aleatória X, com média 侍 e desvio padrão igual à 5. A partir 
de uma amostra aleatória de 16 elementos, observou-se uma média amostral de 
valor 13. Uma pessoa afirmou que a média populacional dos elementos é igual 
a 15, com 5% de significância. Essa afirmação mostrou-se como verdadeira. 
 
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Resolução 
 
Vamos lá pessoal, a primeira coisa é definir nossas hipóteses nula e alternativa: 
 茎待┺ 航 噺 なの 茎怠┺ 航 塙 なの 
 
Perceba que se trata de um teste bicaudal, pois podemos encontrar valores 
superiores e inferiores a 15. Assim, nós iremos usar aquela “fórmula” da estatística 
(権), também chamada de estatística de teste: 
 権 噺 隙博 伐 航購ヂ券 
 
Dado que se trata de uma média! 
 
 
Assim: 
 権 噺 隙博 伐 航購ヂ券 噺 なぬ 伐 航のね 
 
Olhando a nossa tabela, vamos construir um intervalo, supondo verdadeira a hipótese 
nula e que contenha 95% dos possíveis valores amostrais: 
 健件兼件建結 嫌憲喧結堅件剣堅 噺 な┸ひは 
 健件兼件建結 件券血結堅件剣堅 噺 伐な┸ひは 
 
Você percebeu? Como falamos 5% de significância, isso significa 2,5% de cada 
lado, o que nos leva a um valor de 1,96 na tabela! Assim, quando estivermos 
trabalhando com testes bicaudais, devemos dividir a significância pedida pelo 
exercício por 2 (dois). 
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Assim, substituindo o valor de z: 
 なぬ 伐 航のね 噺 な┸ひは 蝦 層惣 伐 侍 噺 匝┸ 想捜 
 なぬ 伐 航のね 噺 伐な┸ひは 蝦 層惣 伐 侍 噺 伐匝┸ 想捜 
 
Com efeito, nosso intervalo de confiança será: 
 荊系 噺 岷など┸のの┹ なの┸ねの峅 
 
Ou seja, o valor 15 está contido no intervalo! A afirmação é verdadeira! 
 
Outra forma de resolver o exercício é calculando a estatística de 
teste como se a hipótese fosse verdadeira e vendo se o 権 calculado está dentro do 
intervalo previsto para a variável padronizada. 
 
Assim, calcule a estatística de teste como se a média fosse realmente 15: 
 権 噺 隙博 伐 航購ヂ券 噺 なぬ 伐 なののね 噺 伐層┸ 掃宋 
 
Como seria o intervalo de confiança para os valores padronizados? Este seria dado 
pelos valores de 権 que fazem com que 95% da amostra esteja em seu intervalo, ou 
seja: 
 荊系 噺 岷伐な┸ひは┹ な┸ひは峅 
 
O valor calculado está no intervalo, portanto aceitamos a hipótese nula! 
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Alternativa correta. 
 
Para que vocês aprendam o uso de testes monocaudais, vamos refazer o exercício 
com uma pequena modificação! 
 
Exercício 5 
 
(TRF 1ª Região – FCC/2001/modificada) Julgue a afirmativa. 
 
Seja uma variável aleatória X, com média 侍 e desvio padrão igual à 5. A partir 
de uma amostra aleatória de 16 elementos, observou-se uma média amostral de 
valor 13. Uma pessoa afirmou que a média populacional dos elementos é de, no 
mínimo, 15, com 5% de significância. Essa afirmação mostrou-se como 
verdadeira. 
 
 
Resolução 
 
Agora a hipótese alternativa é que muda: 
 茎待┺ 航 噺 なの 茎怠┺ 航 隼 なの 
 
Lembre-se de que a hipótese nula sempre é avaliada em uma igualdade! 
 
Bom, pelas nossas hipóteses, o valor nunca será superior a 15, portanto só 
precisamos olhar o lado esquerdo da distribuição normal padronizada. Vamos testar 
se a amostra com média igual à 13 é compatível com a afirmação do indivíduo. 
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Percebam que todos os “5%” ficam do lado esquerdo! Aí é diferente na hora de 
consultar a tabela! Como a tabela te dá os valores unicaudais, procure o valor 
respectivo a 45%, que é 1,65! 
 
Esqueça o lado direito! Vamos só testar se a média é menor do que 15 (ou menor do 
que 0 (zero) na versão padronizada)! Neste caso, só faríamos o cálculo para a cauda 
superior: 
 隙博 伐 なののね 噺 伐な┸はの 蝦 隙博 伐 なの 噺 伐に┸どは 散拍 噺 層匝┸ 操想 
 
Assim, nosso intervalo de confiança seria: 
 
 荊系苔泰ガ 噺 岷なに┸ひね┹ 髪タ峅 
 
Ou seja, o limite superior vai até “infinito”, cobrindo todas a possibilidades, havendo, 
tão somente, um limite mínimo! 
 
Com base nestas considerações podemos concluir que a hipótese nula é verdadeira! 
Pois, mesmo com uma média igual a 15, podemos obter uma média amostral de valor 
13. 
 
Mais um exercício? 
 
 
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Exercício 6 
 
(BACEN – FCC/2005) As empresas de um determinado setor têm uma situação 
líquida bem descrita por uma distribuição normal, com média igual a 2,5 milhões 
de reais e desvio padrão de 2 milhões de reais. Selecionando uma empresa 
aleatoriamente deste setor, a probabilidade dela apresentar uma situação 
líquida negativa é de: 
 
a) 50% 
b) 39% 
c) 23% 
d) 16% 
e) 11% 
 
Resolução 
 
Outra questão que exige um pouco mais de raciocínio! Atente-se que, neste caso, 
não estamos testando uma média, mas uma variável com distribuição normal. Assim, 
na padronização basta utilizarmos o desvio padrão em nível (sem dividi-lo pelo 
tamanho da amostra, como no caso da média). 
 
Vamos encontrar o valor normalizado para o caso de uma situação líquida nula (隙 噺ど): 
 
 権 噺 隙 伐 航購 噺 ど 伐 に┸のに 噺 伐層┸ 匝捜 
 
Ou seja: 
 
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Agora basta olharmos na tabela a probabilidade correspondente a 権 噺 な┸にの, isso é, 
qual é a probabilidade de que um valor esteja entre 0 e 1,25. Podem conferir, o valor 
encontrado é 0,39. Assim, toda aquela área amarela corresponde a uma 
probabilidade de 0,39! 
 
Agora, eu te pergunto: qual a probabilidade de ocorrência de um evento na parte 
vermelha da figura (que é o que desejamos saber, dado que o exercício pergunta a 
probabilidade da empresa ter resultado nulo ou negativo)? 
 
Ora, toda a figura tem probabilidade igual a 1, certo? Então, como a distribuição é 
simétrica, cada “lado do sino” tem probabilidade de ocorrência igual a 0,5! Assim, a 
probabilidade da parte vermelha é: 
 鶏岫権 判 な┸にの岻 噺 ど┸の 伐 ど┸ぬひ 噺 宋┸ 層層 
 
Alternativa (e). 
 
1.2 Testando a média quando a variância é desconhecida 
 
Até agora tratamos do caso em que queremos testar um possível valor de média 
populacional, dadas informações sobre uma média calculada com base na amostra e 
na variância populacional. 
 
Mas, isso não é estranho? Se você não tem a média populacional, porque teria a 
variância? O que nós costumamos ter é a variância amostral. 
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Neste caso, a versão padronizada de nossa estatística de teste seria: 
 隙 伐 航鯨ヂ券 
 
Sendo 鯨 o desvio padrão amostral, dado por: 
 
経結嫌懸件剣 鶏欠穴堅ã剣 噺 鯨 噺 俵み岫捲沈 伐 捲違岻態券 伐 な 
 
-“O que isso muda, professor”? 
 
Simples, a distribuição correspondente a esta estatística deixa de ser uma normal 
padrão e torna-se a famosa t de Student. A distribuição t de Student é muito parecida 
com a normal, não necessitando de maiores detalhes sobre a mesma, tal como pode 
ser percebido no gráfico abaixo: 
 
 
 
Assim, pode-se dizer que a expressão acima segue uma distribuição t de Student com 
(券 伐 な) graus de liberdade. Analiticamente: 
 
 
 
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 隙 伐 航鯨ヂ券 ｂ 建岫津貸怠岻 
 
“O que são estes graus de liberdade, professor”? 
 
Olhe pessoal, isso é um pouco mais avançado e desnecessário para seu concurso, 
portanto decore que o grau de liberdade associado a uma estatística t de Student é 
igual ao tamanho da amostra em questão menos uma unidade. Você precisará deste 
valor para consultar a tabela, como vocês podem ver abaixo: 
 
 
 
 
 
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A forma de utilização desta tabela é buscar o número de graus de liberdade na linha 
e o valor crítico na coluna. Perceba que a coluna tem 2 valores, sendo que o de cima 
corresponde ao valor bicaudal, enquanto que o de baixo é o respectivo valor no caso 
de um teste monocaudal (às vezes a tabela só dá o valor monocaudal). A título de 
exemplo, veja o valor 建待 para o caso de 4 graus de liberdade e 10% de significância 
em um teste monocaudal: 
 
 
 
Pode-se provar que, conforme aumentam os graus de liberdade, a distribuição t 
converge para uma distribuição normal! Assim, a forma de avaliação das duas é muito 
semelhante. 
 
-“Professor, como vou decorar este monte de tabelas”? 
 
Não se preocupe, a banca vai disponibilizar os valores das tabelas, você só tem que 
aprender como usá-las! 
 
A forma de resolução de problemas com a distribuição t é muito semelhante ao caso 
da normal padrão, tal como vocês poderão perceber nos exercícios abaixo. 
 
 
 
 
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Exercício 7 
 
(TRT 2ª Região – 2008/FCC) Para uma experiência realizada com referência à 
medição do comprimento de determinada peça fabricada por uma indústria, 
utilizou-se uma amostra de 16 peças, apurando-se uma média de 0,9m e um 
desvio padrão de 0,2m. Supondo que os comprimentos das peças tenham 
distribuição normal, com média 侍 e variância desconhecida, deseja-se saber, 
ao nível de significância de 5%, se o comprimento da peça não é inferior a 1m. 
Seja H0 a hipótese nula do teste (侍 噺 層仕) e H1 a hipótese alternativa (侍 隼 層仕) e 嗣宋┸宋捜 噺 伐層┸ 挿捜 o quantil da distribuição t de Student tabelado para teste 
unicaudal, com 15 graus de liberdade. Então, pelo teste t: 
 
a) A conclusão obtida seria a mesma para qualquer nível de significância 
b) H0 não pode ser aceita, indicando que os comprimentos são menores 
que 1m 
c) O número de graus de liberdade não interferiu na definição de 嗣宋┸宋捜 噺伐層┸ 挿捜 
d) Para um nível de significância superior a 5% a conclusão não poderia ser 
a mesma 
e) O valor da estatística de teste é de -0,5 
 
Resolução 
 
Bom, pode-se perceber que se trata de um teste monocaudal, ou seja, a região limite 
(muitas vezes chamada de “crítica”) é formada por valores na esquerda do gráfico da 
distribuição. O valor crítico fornecido pelo exercício é: 
 建待 噺 伐な┸ばの 
 
Confira com o valor da tabela, assim você aprende a usá-la caso seja necessário. 
 
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O que este valor está nos mostrando é um intervalo de confiança para testarmos 
nossa estatística de teste, sendo que este é dado por: 
 荊系 噺 岷伐な┸ばの┹ タ峅 
 
O exercício só nos fornece o desvio padrão amostral, assim, temos de utilizar a 
estatística t de Student. Calculando a estatística de teste chegamos a: 
 建 噺 ど┸ひ 伐 など┸にヂなは 噺 伐ど┸など┸どの 噺 伐匝 
 
Veja que este valor não está no intervalo de confiança, superando o valor crítico 
inferior do intervalo. Portanto rejeitamos a hipótese nula! 
 
Alternativa (b). 
 
Vamos fazer mais alguns exercícios! Agora vamos dar uma generalizada! 
 
Exercício 8 
 
(ATRFB – ESAF/2013) A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 
e 3 é igual a 
a) 3. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Para calcularmos esta estatística devemos nos atentar à palavra “amostra”. Perceba 
que, neste caso, a variância deve ser calculada com base na seguinte estatística: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 鯨態 噺 み岫捲沈 伐 捲違岻態券 伐 な 
 
Não se esqueça de modificar o denominador por (券 伐 な). 
 
Agora é fácil: 
 警é穴件欠 噺 に 髪 ぬ 髪 な 髪 ね 髪 の 髪 ぬは 噺 惣 
 
Então: 
 鯨態 噺 岫に 伐 ぬ岻態 髪 岫ぬ 伐 ぬ岻態 髪 岫な 伐 ぬ岻態 髪 岫ね 伐 ぬ岻態 髪 岫の 伐 ぬ岻態 髪 岫ぬ 伐 ぬ岻ふの 噺 などの 噺 匝 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 9 
 
(FINEP – CESGRANRIO/2011) Uma amostra aleatória de 100 famílias foi 
selecionada com o objetivo de estimar o gasto médio mensal das famílias com 
medicamentos. Os resultados amostrais estão resumidos na distribuição de 
frequência, a seguir, segundo as classes de gastos, em 10 reais. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Gastos em 10 reais Frequência Absoluta 
de 1 a 3 10 
de 3 a 5 30 
de 5 a 7 60 
total 100 
 
 
As melhores estimativas para a média aritmética e para a variância amostral 
são, aproximada e respectivamente, 
 
a) 5 reais e 1,82 reais² 
b) 5 reais e 18,2 reais² 
c) 50 reais e 1,82 reais² 
d) 50 reais e 18,2 reais² 
e) 50 reais e 182 reais² 
 
Resolução 
 
Na aula 01 nós já realizamos parte deste exercício, calculando a média, que era de 
50 reais. Agora, com base no nosso conhecimento de variância amostral, vamos 
calcular esta estatística. A melhor forma é encontrar os pontos médios de cada classe: 
 
 
 
 
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Gastos (em 10 reais) Ponto Médio Frequência Absoluta 
de 1 a 3 2 10 
de 3 a 5 4 30 
de 5 a 7 6 60 
total 100 
 
Agora, calcule a variância: 
 鯨ふ 噺 など 糾 岫に 伐 の岻態 髪 ぬど 糾 岫ね 伐 の岻態 髪 はど 糾 岫は 伐 の岻ふなどど 伐 な 噺 なぱどひひ 竿 な┸ぱに 
 
Entretanto, cuidado, estamos tratando com unidades de 10 reais, assim, nosso 
resultado é de 182² reais (な┸ぱに 糾 などふ, pois estamos tratando de variância, assim a 
medida também fica ao quadrado). 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 10 
 
(FINEP – CESGRANRIO\2011) Dois dados comuns, honestos, foram lançados 
simultaneamente. Sabe-se que a diferença entre o maior resultado e o menor é 
igual a um. Qual é a probabilidade de que asoma dos resultados seja igual a 
sete? 
a) 1/3 
b) 1/4 
c) 1/5 
d) 1/6 
e) 1/7 
 
Resolução 
 
Bom, a primeira coisa a fazer é pensar quais são os resultados cuja soma pode ser 
igual a 7, mas a diferença entre o maior e o menor resultado é igual a 1. 
 
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Bom, os únicos casos em que isso ocorre são: 
 岫ぬ┹ ね岻┹ 岫ね┹ ぬ岻 
 
Mas existem várias outras possibilidades de que a diferença entre o maior e menor 
valor seja igual a 1. Vamos listar de cabeça o espaço amostral (よ): 
 よ 噺 岫な┹ に岻┹ 岫に┹ な岻┹ 岫に┹ ぬ岻┹ 岫ぬ┹ に岻┹ 岫ぬ┹ ね岻┹ 岫ね┹ ぬ岻┹ 岫ね┹ の岻┹ 岫の┹ ね岻┹ 岫の┹ は岻┹ 岫は┹ の岻 
 
Assim: 
 鶏岫嫌剣兼欠 嫌結堅 ば岻 噺 潔欠嫌剣嫌 血欠懸剣堅á懸結件嫌潔欠嫌剣嫌 喧剣嫌嫌í懸結件嫌 噺 になど 噺 なの 
 
Alternativa (c). 
 
 
(TCU – CESPE/2008) Uma instituição afirma que o custo médio para realização 
de determinada obra é igual ou inferior a R$ 850,00 m². Para avaliar esta 
afirmação, foi realizado um teste estatístico cujas hipóteses nulas e alternativas 
são, respectivamente, H0: 侍 判 掻捜宋 e H1: 侍 伴 掻捜宋. Considere que a distribuição 
de custos por metros quadrados possa ser considerada como normal com 
média 侍 e desvio padrão de R$ 300m². A partir de uma amostra aleatória de 
tamanho 25, a estatística de teste para a média foi igual a 2,1. Com base nestas 
afirmações, julgue o item a seguir: 
 
Exercício 11 
 
A média amostral produzida pelo teste estatístico foi superior a 950 m² e inferior 
a 1000 m². 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Basta calcularmos a estatística de teste: 
 権 噺 隙博 伐 航購ヂ券 蝦 に┸な 噺 隙博 伐 ぱのどぬどどヂにの 
 
Calculando o valor de 隙博: 
 隙博 伐 ぱのど 噺 なには 蝦 散拍 噺 操挿掃 
 
Portanto, o item está correto, pois o valor calculado encontra-se entre 950m² e 
1000m². 
 
Retornando! 
 
2. Teste para a variância 
 
Até agora analisamos hipóteses feitas sobre médias ou variáveis com distribuição 
normal, o que podíamos fazer com base na distribuição normal padrão (ou t de 
Student, caso não conheçamos a variância). Agora vamos aprender como determinar 
intervalos de confiança para variâncias, que sejam derivadas de distribuições 
normais (isso é muito importante). 
 
-“Como fazer isso, professor”? 
 
A forma de fazer isso é por meio do cálculo da seguinte estatística de teste: 
 
 
 
 
 岫券 伐 な岻 糾 鯨ふ購ふ 
 
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Sendo 購ふ a variância populacional, 鯨ふ a variância amostral e 券 o tamanho da amostra. 
 
Sob a hipótese nula, pode-se provar que esta estatística seguirá uma distribuição qui-
quadrado com 岫券 伐 な岻 graus de liberdade. Assim: 
 岫券 伐 な岻 糾 鯨態購態 ｂ 鋼津貸怠態 
 
A distribuição qui-quadrado, em geral, não é simétrica, tal como pode ser observado 
abaixo: 
 
 
 
Portanto, a forma de realização do teste de hipóteses para a variância é feito da 
mesma forma que para a média, mas utilizamos a estatística de teste qui-quadrado, 
além da necessidade de atentarmos para o fato de que os valores na cauda direita e 
esquerda serão diferentes! 
 
Veja a tabela de valores críticos qui-quadrado: 
 
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Calma, vou ensinar a vocês com exercícios! 
 
 
 
 
 
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Exercício 12 
 
(TRT 3ª Região – FCC/2009) O peso de pacotes de café é uma variável aleatória 
X. Uma máquina de encher pacotes está regulada para fazê-lo com 侍 噺 捜宋宋賛 e 時ふ 噺 層宋宋賛ふ. Com o objetivo de manter sob controle a variabilidade do produto, 
a cada 30 minutos uma amostra aleatória de alguns pacotes é selecionada e 
testa-se se a variabilidade está controlada. Assim, desejando-se testar H0: 時ふ 噺層宋宋 contra H1: 時ふ 塙 層宋宋, toma-se uma amostra de 16 pacotes e observa-se uma 
variância amostral de 160g². O valor observado para a estatística de teste é de: 
a)31 
b)28 
c)24 
d)22 
e)19 
 
Resolução 
 
O cálculo da estatística de teste é feito da seguinte forma: 
 岫券 伐 な岻 糾 鯨態購態 噺 岫なは 伐 な岻 糾 なはどなどど 噺 匝想 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 13 
 
(Elaborado pelo autor) Com base no exercício anterior, a 5% de significância, 
verifique se a hipótese nula é satisfeita. 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
A forma de olhar a tabela é um pouco diferente dos casos anteriores, pois a 
distribuição não é simétrica. Portanto, no caso em questão, devemos verificar as duas 
extremidades da distribuição, ou seja, os 2,5% da extremidade inferior e os 97,5% da 
extremidade superior, de forma que tenhamos um total de 5% de significância testada. 
Olhando a tabela vocês encontrarão: 
 健件兼件建結 嫌憲喧結堅件剣堅 岫ひば┸のガ岻 噺 にば┸の 健件兼件建結 件券血結堅件剣堅 岫に┸のガ岻 噺 は┸には 
 
Entendeu o que fizemos? Como a distribuição não é simétrica, precisamos encontrar 
os valores para os limites superior e inferior individualmente e assim estabelecer o 
intervalo de confiança, que no nosso caso é: 
 荊系 噺 岷は┸には┹ にば┸の峅 
 
Como o valor calculado está dentro do intervalo, aceitamos a hipótese nula. 
 
3. Poder de um teste e o p-valor 
 
Suponha que estejamos tentando determinar se uma moeda é ou não viciada. Neste 
caso, podemos testar essa hipótese com base na quantidade de caras que ocorrem 
em uma determinada quantidade de lançamentos. Assim, as hipóteses nulas e 
alternativas com relação à probabilidade de ocorrer cara são: 
 茎待┺ 喧 噺 ど┸の 茎怠┺ 喧 塙 ど┸の 
 
Agora, vamos determinar a significância do nosso teste, ou seja, o que é muita 
coincidência! Por suposição, vamos considerar que o nosso nível de significância é 
de 10%. 
 
 
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A probabilidade de ocorrer uma cara no primeiro lançamento é de 0,5. Assim, qual é 
a probabilidade de ocorrerem duas caras seguidas? 
 鶏岫に 潔欠堅欠嫌岻 噺 ど┸の 糾 ど┸の 噺 ど┸にの 
 
Com base em nosso nível de significância, isso é possível de ocorrer, pois 10% que 
é muita coincidência. E se tirarmos outra cara em um terceiro lançamento? 
 鶏岫ぬ 潔欠堅欠嫌岻 噺 ど┸の 糾 ど┸の 糾 ど┸の 噺 ど┸なにの 
 
Isso continua sendo possível! E se fosse 4 vezes? 
 鶏岫ね 潔欠堅欠嫌岻 噺 ど┸の 糾 ど┸の 糾 ど┸の 糾 ど┸の 噺 ど┸どはにの 
 
Perceba que este valor é inferior à significância do teste, portanto isso seria muita 
coincidência! Neste caso, rejeitaríamos a hipótese nula de que a moeda é honesta. 
 
Este valor (6,25%) seria o p-valor para este experimento. O p-valor seria o valor limite 
entre a aceitação e rejeição da hipótese nula. Em termos mais analíticos, pode-se 
definir o p-valor como o menor nível de significância em que a hipótese nula 
pode ser rejeitada. No exemplo, como o p-valor (6,25%) é menor do que o nível de 
significância adotado, rejeita-se a hipótese nula! 
 
Fique calmo, nós já vamos fazer uns exercícios que vão te ajudar a entender o 
conceito! 
 
-“Tudo bem professor, mas e se eu realizar um teste de hipótese que, apesar de 
rejeitar uma determinada hipótese nula, ele estiver incorreto”? 
 
 
 
 
 
 
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Não vou mentir, esta é uma possibilidade! Na verdade, esta 
probabilidade tem até um nome: “erro tipo 1”. O erro tipo 1 ocorre quando rejeitamos 
uma hipótese nula, quando na verdade ela é verdadeira. No caso da moeda, nosso 
teste de hipóteses está rejeitando a hipótese nula de uma moeda honesta, mas isso 
não é certo, pois, apesar de pouco provável, aquele resultado pode acontecer. 
 
No nosso exemplo, o erro tipo 1 seria a probabilidade de que estivéssemos na parte 
“improvável” da curva de distribuição, ou seja, nos valores definidos pela significância 
de 10%. Portanto fica fácil ver que: 
 鶏岫結堅堅剣 建件喧剣 な岻 噺 嫌件訣券件血件潔â券潔件欠 穴剣 建結嫌建結 
 
Isso fica claro quando pensamos: qual a probabilidade de o valor “verdadeiro” não 
estar no intervalo de confiança a ser definido por nós? Ora, nos valores que 
consideramos “muita coincidência”. 
 
Outro erro possível ocorre quando aceitamos a hipótese nula quando ela é falsa! Este 
é o erro tipo 2! 
 
Neste caso, temos um problemão aqui! Pense comigo, este valor nós não temos 
acesso, haja vista não conhecermos a distribuição que contem o valor verdadeiro que 
estamos procurando. Com base na figura abaixo, pode-se inferir um caso em que 
aceitaríamos a hipótese nula apesar de ela ser falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Você percebe o que está ocorrendo? A primeira curva seria relativa aos dados que 
estamos testando, enquanto que a segunda seria relativa à verdadeira distribuição da 
variável. A parte escura está dentro de nossa região de aceitação, mas ela não 
contem o valor verdadeiro. 
 
-“E se eu diminuir o nível de significância para ser mais rigoroso”? 
 
Não tem jeito, é o problema do cobertor curto. Se você reduz a probabilidade de erro 
tipo 1, você aumenta a probabilidade do erro tipo 2! Isso porque o que você vai fazer 
é que mais valores possam ser considerados como “corretos”, aumentando a chance 
de que outras distribuições possam ter valores considerados como verdadeiros, 
quando não o são. 
 
O erro de tipo 2 é importante para definir a efetividade de um teste, fixando o poder 
do teste. Se chamarmos a probabilidade de erro tipo 2 de 紅, o poder do teste será 
dado por: 
 鶏剣穴結堅 穴剣 劇結嫌建結 噺 な 伐 鶏岫結堅堅剣 建件喧剣 に岻 噺 な 伐 紅 
 
Este valor nos diz qual a probabilidade de que um determinado teste rejeite a 
hipótese nula quando ela é falsa. 
 
 
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-“Mas, como melhorar a eficiência de minhas estimativas, professor”? 
 
Você precisa deixar suas distribuições mais “fininhas”, ou seja, com menor variância, 
deste modo diminuímos a probabilidade dos dois erros. Isso só é possível com 
amostras maiores. Portanto, uma amostra maior pode ser vista como uma quantidade 
maior de “provas” para nossas conclusões, o que aumenta a acurácia de nossas 
previsões. 
 
Bom, estudamos vários testes de hipóteses, mas 
focamos no caso de variáveis com distribuição normal! Este não é o único tipo 
de distribuição conhecida, o que pode mudar a forma de abordagem do teste de 
hipóteses. 
 
4. Teste para proporções 
 
Vamos fazer um exercício juntos para que vocês possam entender bem como 
funciona este teste. Perceba que se trata de um caso com uma amostra grande (1000 
elementos). Em geral, quando você vir uma amostra de mais 50 elementos, pode 
usar a distribuição normal. Além disso, pelo formato do exercício vocês vão 
saber quando é um caso ou outro. Você vai ver! 
 
 
Exercício 14 
 
(Petrobrás – CESGRANRIO/2010) Um fabricante deseja fazer um estudo, com 
confiança de 95%, a respeito da aceitação de seu novo produto. Esse novo 
lançamento só será comercializável se o índice de aceitação for de, pelo menos, 
90%. Para tal, realizou uma pesquisa em uma cidade na qual o produto já foi 
comercializado. Foi perguntado aos consumidores se estes gostaram do 
produto. O resultado foi o seguinte: 850 consumidores responderam que 
gostaram e 150 que não gostaram. Qual será a estatística de teste a ser utilizada 
neste teste? 
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a) -5,27 
b) -1,96 
c) -1,65 
d) 1,96 
e) 5,27 
 
Resolução 
 
No presente caso estamos tratando com um caso de distribuição Bernoulli. Não 
percebeu? Ao escolhermos um consumidor ao acaso, temos 85% (ぱのど 閥 などどど) de 
chance de encontrar alguém que gosta do produto. Ou seja, estamos comparando 
uma proporção de “sucesso” com uma proporção “teórica” e verificando se a amostra 
permite concluir que a teoria está adequada. 
 
Bom, vamos nos lembrar daquela “fórmula” da estatística de teste: 
 権 噺 捲違 伐 航購 
 
Assim, na média, temos 85% de chance de acertar! Essa é nossa média amostral 
(捲違). Por simplicidade, vamos chamar a este valor de (喧┏). 
 
-“Isso é uma proporção média, professor”? 
 
Sim, pois o percentual de 85% nem sempre pode bater com o valor encontrado. Por 
exemplo, se você extrair uma amostra de 20 indivíduos deste total, isso significa que 
você encontrará, exatamente, 17 pessoas que gosta do produto? Não! Pode ser que 
você não encontre nenhuma! O que você sabe é que, na média, 85% das pessoas 
analisadas preferem o produto, ou seja, se você realizar este experimento infinitas 
vezes 85% das pessoas irão gostar. 
 
Qual o parâmetro que estamos comparando com essa média? Nós queremos saber 
se, na média e com base no que sabemos da amostra, podemos assumir como 
verdadeira a hipótese feita sobre a população, de que a média de preferências que 
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pode ser encontrada é de 90%. Esse é nosso parâmetro populacional (航). Vamos 
chamar a este parâmetro de (喧). 
 
E a variância? Nós já sabemos como calcular a variância de uma binomial: 
 撃欠堅岫捲岻 噺 喧 糾 岫な 伐 喧岻 
 
Então, nós temos como saber qual a variância da população se hipótese feita for 
verdadeira: 
 喧 糾 岫な 伐 喧岻 噺 ど┸ひ 糾 ど┸な 噺 宋┸ 宋操 
 
Mas, devido ao fato de que estamos tratando de uma proporção média, 
devemos nos lembrar da fórmula para o estimador não viesado da variância da 
média amostral: 
 撃欠堅岫捲岻 噺 購ふ券 
 
Portanto, combinando tudo isso que falamos, a nossa fórmula modificada para testes 
em proporções seria: 
 
 
 
 
Viu? No fundo é a mesma coisa, o que muda mesmo é o cálculo da variância! Vamos 
aplicar ao caso concreto para entendermos. A variância do processo seria: 
 撃欠堅岫喧岻 噺 購ふ券 噺 ど┸どひなどどど 
 
 子 噺 使赴 伐 使謬使 糾 岫層 伐 使岻仔 
 
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Sendo que o desvio padrão respectivo seria: 
 
経喧岫喧岻 噺 俵購ふ券 噺 俵 ど┸どひなどどど 噺 ど┸ぬヂなどどど 
 
Colocando tudo na estatística de teste, chegamos a: 
 権 噺 喧┏ 伐 喧経喧岫喧岻 噺 ど┸ぱの 伐 ど┸ひど┸ぬヂなどどど 噺 伐ど┸どの 糾 ヂなどどどど┸ぬ 
 
Exercício chato de cálculo! Uma forma de resolver é pensar, mais ou menos, quanto 
seria a raiz quadrada de 1000. Pense 20² é 400, 30² é 900 e 40² é 1600, opa, pare aí 
mesmo! Deve ser um número entre 30 e 40, só que bem mais próximo de 30, então 
deve ser inferior a 35. Se você fizer 31² você chegará à 961. Este é o valor mais 
próximo! 
 
Então vamos fazer um cálculo aproximado: 
 権 噺 伐ど┸どの 糾 ヂなどどどど┸ぬ 竿 伐の┸な 
 
Oque chega mais próximo é a alternativa (a). Esta é a correta! Faça com a 
calculadora e confirme o raciocínio. 
 
Entenderam como se calcula a estatística de teste? 
 
Agora, podemos testar essa hipótese, fixando a hipótese nula de que 喧 噺 ど┸ひ e a 
hipótese alternativa de que 喧 隼 ど┸ひ. Assim: 
 茎待┺ 喧 噺 ど┸ひ 茎怠┺ 喧 隼 ど┸ひ 
 
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Se formos testar a hipótese a 10% de significância, basta olharmos a tabela da normal 
padronizada para encontrarmos o valor do intervalo: 
 権 噺 岷伐な┸にぱ┹ 髪タ峅 
 
Lembre-se de que este é um teste monocaudal, portanto, vocês devem procurar uma 
probabilidade de, aproximadamente 0,40 na tabela! 
 
Se você comparar a estatística de teste com o intervalo construído, você perceberá 
que a mesma não está contida neste último, portanto, rejeita-se a hipótese nula. 
 
Entendeu? Não tem segredo! Agora, vamos treinar um pouco para aprender de 
verdade. Alguns exercícios podem ter uns macetes que falta ensinar, mas pode 
deixar que eu aviso antes para que vocês acompanhem a resolução. 
 
Chega de lero lero, vamos exercitar! 
 
 
(TCU – CESPE/2008) Uma instituição afirma que o custo médio para realização 
de determinada obra é igual ou inferior a R$ 850,00 m². Para avaliar esta 
afirmação, foi realizado um teste estatístico cujas hipóteses nulas e alternativas 
são, respectivamente, H0: 侍 判 掻捜宋 e H1: 侍 伴 掻捜宋. Considere que a distribuição 
de custos por metros quadrados possa ser considerada como normal com 
média 侍 e desvio padrão de R$ 300m². A partir de uma amostra aleatória de 
tamanho 25, a estatística de teste para a média foi igual a 2,1. Com base nestas 
afirmações, julgue o item a seguir: 
 
 
 
 
 
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Exercício 15 
 
O poder do teste que representa a probabilidade de se aceitar corretamente a 
hipótese nula é de 98,2%. 
 
Resolução 
 
Simples pessoal. Está errado! O poder de um teste é a probabilidade de se rejeitar a 
hipótese nula dada que ela é falsa. 
 
Exercício 16 
 
(DNOCS – FCC/2010) Em um teste de hipóteses estatístico, sendo H0 a hipótese 
nula e H1 a hipótese alternativa, o nível de significância do teste consiste na 
probabilidade de: 
a) Aceitar H0 dado que H0 é verdadeira 
b) Rejeitar H0 dado que H0 é falsa 
c) Aceitar H0, independentemente de falsa ou verdadeira 
d) Aceitar H0, dado que é falsa 
e) Rejeitar H0, dado que é verdadeira 
 
Resolução 
 
O nível de significância de um teste é a probabilidade de cometer o erro tipo 1, isso 
é, a probabilidade de rejeitar H0 dado que ela é verdadeira. 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 17 
 
(Petrobras – CESGRANRIO/2010) Em um teste de hipóteses estatístico, sendo 
H0 a hipótese nula e H1 a hipótese alternativa, cometer erro tipo 2 consiste em: 
a) Rejeitar H0, dado que é verdadeira 
b) Aceitar H0, dado que é falsa 
c) Aceitar H1, sendo H1 verdadeira 
d) Rejeitar H1, sendo H1 falsa 
e) Aceitar H0 e H1 
 
Resolução 
 
A probabilidade de erro tipo 2 é a de aceitar H0, dado que a mesma é falsa. 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 18 
 
(STN – ESAF/2013) Em um teste de hipóteses, onde Ho é a hipótese nula e Há é 
a hipótese alternativa, pode-se afirmar que: 
a) ocorre Erro Tipo I quando aceita-se Ho e Ho é falsa. 
b) a estatística F de Snedecor tem por finalidade testar o efeito individual de 
cada variável explicativa sobre a variável explicada. 
c) a soma das probabilidades dos Erros Tipo I e Tipo II é igual a 1. 
d) se o valor-p de um teste de hipóteses for igual 0,015, então a hipótese nula 
será rejeitada ao nível de significância de 5%, mas não ao nível de significância 
de 1%. 
e) o nível de confiança é a probabilidade de se cometer Erro Tipo II. 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Vamos analisar uma a uma: 
a) Errado, é o nível de significância do teste. 
b) Na última aula vocês vão aprender a estatística F, mas está errado! 
c) Essa propriedade não existe. 
d) Perfeito, como o p-valor é menor do que 0,05 e maior do que 0,01, rejeitamos 
a hipótese nula a 5% e aceita-se a 1%. 
e) Não, este é o erro tipo 2. 
 
Alternativa (d). 
 
Exercício 19 
 
(ISS-SP – FCC/2006) Uma variável aleatória X tem distribuição normal com 
média 侍 e desvio padrão 100. O tamanho da amostra para que a diferença, em 
valor absoluto, entre a média amostral e 侍 seja menor do que 2, com coeficiente 
de confiança de 89% é: 
a)1100 
b)2200 
c)2800 
d)3600 
e)6400 
 
Resolução 
 
Olhe, quando o exercício te diz “diferença entre média amostral e 航”, ele está falando 
de: 
 隙博 伐 航 噺 に 
 
Sabendo que um nível de confiança de 89% corresponde a um valor de 0,445 de cada 
lado. Olhe a tabela normal, você verá que o valor encontrado é de 1,6. 
 
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Agora basta substituirmos na estatística de teste: 
 権 噺 隙博 伐 航購ヂ券 蝦 な┸は 噺 になどどヂ券 
 
Agora vamos operar: 
 ヂ券 噺 などどに 糾 な┸は 蝦 券 噺 磐などどに 糾 な┸は卑態 
 仔 噺 掃想宋宋 
 
Alternativa (e). 
 
(ANPEC – 2012) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 20 
 
Se o p-valor de um teste é maior do que o nível de significância adotado, rejeita-
se a hipótese nula. 
 
Resolução 
 
É exatamente o contrário, caso o p-valor seja inferior ao nível de significância, aí sim 
rejeita-se a hipótese nula. 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
Suponha que o objetivo seja testar a hipótese nula de que a média populacional 侍 é igual a 0. Se esta hipótese é rejeitada num teste monocaudal contra a 
hipótese alternativa de que 侍 伴 宋, ela também será rejeitada num teste bicaudal 
contra a hipótese alternativa de que 侍 塙 宋, adotando-se o mesmo nível de 
significância. 
 
Resolução 
 
A um mesmo nível de significância, o valor crítico será um número superior (em 
número absoluto) em um teste bicaudal do que em um monocaudal. 
 
Por exemplo, compare um nível de significância de 10% em um teste bicaudal, que 
nos dá um valor (権 噺 な┸はの), enquanto que em um monocaudal o valor passa a ser (権 噺な┸にぱ). 
 
Assim, para uma mesma estatística de teste, nada garante que, se o valor supera o 
valor de (権) monocaudal, o mesmo será superior ao valor bicaudal para um mesmo 
nível de significância. 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 22 
 
(Gestor fazendário – ESAF/2005) Lança-se uma moeda 20 vezes e observa-se a 
ocorrência de 7 caras. Seja 飼 a probabilidade de cara. Assinale a opção que dá 
o valor da estatística de teste correspondente ao teste 殺宋┺ 飼 半 宋┸ 捜 contra 殺層┺ 飼 隼宋┸ 捜. 
a) 伐宋┸ 惣ヂ匝宋 
b) 伐宋┸ 匝ヂ匝宋 
c) 宋┸ 惣ヂ匝宋 
d) 宋┸ 匝ヂ匝宋 
e) 宋┸ 捜ヂ匝宋 
 
Resolução 
 
Bom, vamos testar esta moeda que mostra uma probabilidade de obter cara de: 
 喧┏ 噺 ばにど 噺 宋┸ 惣捜Agora só precisamos usar a fórmula de estatística de teste: 権 噺 喧┏ 伐 喧謬喧 糾 岫な 伐 喧岻券 
Assim, substituindo os valores: 権 噺 喧┏ 伐 喧謬喧 糾 岫な 伐 喧岻券 噺 ど┸ぬの 伐 ど┸の謬ど┸の ゲ ど┸のにど 噺 伐ど┸なの 糾 ヂにどど┸の 噺 伐ど┸ぬ ゲ ヂにど 
 
Alternativa (a). 
 
A próxima vale a pena vocês acompanharem primeiro! 
 
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Exercício 23 
 
(ICMS-MG – ESAF/2005) Um fabricante afirma que, pelo menos, 95% dos 
equipamentos que fornece à indústria encontram-se dentro de suas 
especificações. Uma amostra de 200 itens escolhidos ao acaso revelou 10 itens 
fora de especificação. Assinale a opção que corresponde ao valor probabilístico 
(p-valor) do teste 殺宋┺ 飼 半 宋┸ 操捜 contra 殺珊┺ 飼 隼 宋┸ 操捜, sendo 飼 a proporção 
populacional dos itens dentro das especificações. 
a) 0,5 
b) 0,05 
c) 0,025 
d) 0,01 
e) 0,1 
 
Resolução 
 
Vamos utilizar a mesma “fórmula” para estatística de teste do exercício anterior: 
 権 噺 喧┏ 伐 喧謬喧 糾 岫な 伐 喧岻券 
 
A questão agora é que o que é pedido é o p-valor. Mas, o que é o p-valor? Vamos 
lembrar-nos da aula anterior: “Em termos mais analíticos, pode-se definir o p-
valor como o menor nível de significância em que a hipótese nula pode ser 
rejeitada”. 
 
Então, em termos práticos, o que estamos fazendo? Nós vamos calcular, por meio da 
estatística de teste, os valores que estão dentro de um intervalo de confiança definido 
para a proporção. O p-valor será a probabilidade de obtermos valores extremos, além 
do intervalo de confiança definido para a proporção. 
 
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Vamos aplicar no nosso exemplo, sendo que, para isso, temos de calcular a 
proporção amostral: 
 喧┏ 噺 なひどにどど 噺 宋┸ 操捜 
 
Vamos substituir na estatística de teste: 
 権 噺 ど┸ひの 伐 ど┸ひの謬喧 糾 岫な 伐 喧岻券 噺 宋 
 
Veja que nem precisamos calcular o denominador, pois o numerador é igual à zero. 
 
O que este resultado está nos dizendo? Olhe o gráfico abaixo: 
 
 
 
Nós estamos bem no centro da distribuição, o que nos leva à conclusão de que 
estamos em um ponto que divide a distribuição em duas partes iguais de 50% de 
chance. 
 
Qual o p-valor? É a probabilidade de estarmos à direita do 権 calculado, ou seja, nos 
valores extremos delimitados pelo intervalo de confiança. Portanto, o p-valor será de: 
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 喧 伐 懸欠健剣堅 噺 な 伐 ど┸の 噺 宋┸ 捜 
 
Alternativa (a). 
 
 
(ICMS-RJ – FCC\2013) Para responder às questões de números 24 a 25, 
considere as informações a seguir: 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,8) = 0,788; P(Z < 1,25) = 0,894; P(Z < 1,4) = 0,92; 
P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,96) = 0,975; P(Z < 2) = 0,977 
 
 
Exercício 24 
 
Seja p a probabilidade de ocorrer cara quando se lança uma determinada 
moeda. Com base em 100 lançamentos da moeda, deseja-se testar a hipótese 
de que a moeda é não viciada (p = 0,5) contra a alternativa de que p = 0,8. Com 
base na variável aleatória 使赴 que representa a proporção de caras em 100 
lançamentos estabeleceu-se para o teste a seguinte região crítica (RC): RC = {使赴 
≥ 0,75}. Sendo く a probabilidade do erro do tipo II, e admitindo-se a aproximação 
à normal para a distribuição de使赴, o valor de く é 
a) 0,150 
b) 0,250 
c) 0,106 
d) 0,053 
e) 0,125 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
O erro tipo II é a probabilidade de aceitarmos a hipótese nula dado que ela é falsa. O 
exercício fala que a região crítica é dada pelos valores nos quais a proporção é maior 
ou igual a 0,75. 
 
Para fazer isso, precisamos encontrar a probabilidade de que encontremos um valor 
menor do que 0,75, sabendo-se que a média do processo é 0,8. 
 
Antes de começarmos, atente-se que se trata de um caso de teste de jipóteses com 
proporções! Assim, vamos usar nossa fórmula: 
 権 噺 喧┏ 伐 喧謬喧 糾 岫な 伐 喧岻券 噺 ど┸ばの 伐 ど┸ぱ謬ど┸ぱ 糾 岫ど┸に岻などど 噺 伐層┸ 匝捜 
 
Ou seja, com base no enunciado: 
 鶏岫傑 隼 な┸にの岻 噺 鶏岫傑 伴 伐な┸にの岻 噺 ど┸ぱひね 
 
Essa é a probabilidade de encontrarmos um valor maior do que 0,75, mas nós 
queremos exatamente o contrário! 
 
Portanto, a probabilidade de encontrarmos um valor menor do que 0,75 significa 
encontrar um valor de estatística Z “mais negativo”, ou mais “à esquerda” da curva de 
distribuição normal. 
 な 伐 鶏岫傑 伴 伐な┸にの岻 噺 ど┸などは 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
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Exercício 25 
 
O tempo necessário para o atendimento de uma pessoa em um guichê de uma 
repartição pública tem distribuição normal com média た = 140 segundos e 
desvio padrão j = 50 segundos. A probabilidade de que um indivíduo, 
aleatoriamente selecionado, espere entre 3 e 4 minutos para ser atendido é 
a) 0,765 
b) 0,632 
c) 0,235 
d) 0,189 
e) 0,678 
 
Resolução 
 
Vamos trabalhar com a unidade “segundos”: 
 ぬ 兼件券憲建剣嫌 噺 なぱど ね 兼件券憲建剣嫌 噺 にねど 
 
Precisamos encontrar a diferença entre a probabilidade de o indivíduo esperar 4 
minutos e 3 minutos a fim de respondermos a questão. Assim, a probabilidade de o 
indivíduo esperar até 3 minutos: 
 権 噺 なぱど 伐 なねどのど 噺 ねどのど 噺 ど┸ぱ 
Com base no enunciado: 
 鶏岫傑 隼 ど┸ぱ岻 噺 ど┸ばぱぱ 
 
Já a chance de o indivíduo esperar entre 0 e 4 minutos é: 
 権 噺 にねど 伐 なねどのど 噺 などどのど 噺 に 
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Assim: 
 鶏岫傑 隼 に岻 噺 どひばば 
 
O que estamos procurando é: 
 鶏岫ど┸ぱ 隼 傑 隼 に岻 噺 鶏岫傑 隼 に岻 伐 鶏岫傑 隼 ど┸ぱ岻 噺 ど┸ひばば 伐 ど┸ばぱぱ 噺 ど┸なぱひ 
 
Alternativa (d). 
 
 
Exercício 26 
 
(SEPLAG MG – FUNCAB\2014) 
 
 
Resolução 
 
Questãozinha mal elaborada. Veja, vamos explicar cada um dos membros não 
explicados: 
 
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 建底 噺 建 穴結 鯨建憲穴結券建 潔剣兼 嫌件訣券件血件潔â券潔件欠 糠 権底 噺 軽剣堅兼欠健 喧欠穴堅ã剣 潔剣兼 嫌件訣券件血件潔â券潔件欠 糠 
 
Veja, como encontrar um intervalo de confiança? 
 
Ora, pegue a média amostral e some\diminua a margem de erro! 
 
O que é a margem de erro? É a significância estatística dividida por 2 (lembre-se de 
que a significância deve estar dividida entre os dois lados da distribuição) multiplicada 
pela variância da média amostral, que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada 
do tamanho da amostra. Assim: 
 捲違 伐 権銚態 抜 購ヂ券 隼 航 隼 捲違 髪 権銚態 抜 購ヂ券 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 27 
(SEMAD – FUNCAB\2013) 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Vamos nos lembrar do conceito de p-valor: 
 
“O p-valor seria o valor limite entre a aceitação e rejeição da hipótese nula. Em 
termos mais analíticos, pode-se definir o p-valor como o menor nível de 
significância em que a hipótese nula pode ser rejeitada.” 
 
Se o p-valor encontrado foi de 0,059, isso significa que não é possível rejeitar a 
hipótese nula a 5%, mas isso é possível para qualquer valor superior a 5,9%. 
 
Portanto, a alternativacorreta é (b). 
 
Exercício 28 
 
(SISEMA – FUNCAB\2013) Lança-se uma moeda 64 vezes e observa-se a 
ocorrência de 48 caras. Seja 誌 a probabilidade de cara, assinale a opção que dá 
o valor da estatística teste correspondente ao teste da hipótese H : 誌 < 0,5 contra 
H 誌 半 宋┸ 捜: 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
 
Resolução 
 
Qual foi a probabilidade encontrada? Ocorreram 48 cara em 64 lançamentos, 
portanto: 
 喧 噺 ねぱはね 噺 ど┸ばの 
 
A estatística de teste, pra o teste de que a probabilidade seja, na verdade, 0,5 é dada 
por uma estatística de teste para proporções, ou seja: 
 
Estatística p/ AFRFB 2017 
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 権 噺 喧┏ 伐 喧謬喧 糾 岫な 伐 喧岻券 噺 ど┸ばの 伐 ど┸の謬ど┸の 抜 ど┸のはね 噺 ど┸にのど┸のぱ 噺 ね 
 
Alternativa (d). 
 
 
Exercício 29 
 
 
(ARSAE – FUNCAB\2014) 
 
 
Resolução 
 
 
Quando o exercício diz que a variável é 軽岫ににど┸などど岻, isso significa que ela tem 
distribuição normal com média de 220 e variância igual a 100 (desvio padrão de 10). 
Para obtermos uma normal padrão, com média zero e desvio padrão igual a 1, 
devemos normalizá-la, o que já estamos carecas de saber como: 
 子 噺 散 伐 匝匝宋層宋 
 
Alternativa (c). 
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Exercício 30 
 
(DNIT – ESAF/2013) Os pintores Antônio e Batista farão uma exposição de seus 
quadros. Antônio vai expor 3 quadros distintos e Batista 2 quadros distintos. 
Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em linha reta, sendo que 
os quadros de um mesmo pintor devem ficar juntos. Então, o número de 
possibilidades distintas de montar essa exposição é igual a: 
a) 5 
b) 12 
c) 24 
d) 6 
e) 15 
 
Resolução 
 
Pessoal, a melhor forma de pensar nesta questão é com base na lógica mesmo! 
Pense comigo, para que os quadros dos pintores fiquem juntos, os quadros de Batista 
(ele será o quadro amarelo) deverão ficar na extremidade de cada linha reta, pois 
caso contrário, não ficarão juntos: 
 
 
 
 
 
Pense, isso são duas possibilidades. Mas, há mais duas, pois nós podemos trocar o 
lugar dos quadros amarelos que estão no mesmo lado! Portanto, 4 possibilidades 
para os amarelos. Agora, precisamos saber quantas possibilidades existem para os 
vermelhos (basta fazer uma permutação de 3): 
 
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 鶏岫ぬ岻 噺 ぬ┿ 噺 ぬ 抜 に 抜 な 噺 は 
 
Portanto: 
 系剣兼決件券欠ç�結嫌 噺 は 抜 ね 噺 にね 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 31 
 
(Analista Controle Interno – FGV/2014) Uma variável aleatória X tem média igual 
a 2 e desvio padrão igual a 2. Se Y = 6 – 2X, então a média de Y, a variância de 
Y e o coeficiente de correlação entre X e Y valem, respectivamente, 
(A) −2, 4 e 1. 
(B) −2, 16 e 1. 
(C) 2, 16 e −1. 
(D) 10, 2 e −1. 
(E) 2, 4 e −1. 
 
Resolução 
 
Lembrem-se das propriedades da média e variância! 
 
Média: 
1) Se somarmos (subtrairmos) todas as observações com um determinado valor 
fixo, tal como x, toda a média terá resultado igual ao anterior à operação mais 
(menos) x. 
2) Se multiplicarmos (dividirmos) todas as observações de uma amostra por um 
determinado valor fixo, tal como x, a média terá resultado igual ao anterior à 
operação vezes (dividido por) x. 
 
 
 
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Variância: 
 
1) Ao somar (diminuir) qualquer valor fixo das observações utilizadas para cálculo 
da variância (Va�) ou de seu respectivo desvio padrão (DP), o resultado ficará 
inalterado. 
2) Ao multiplicar (dividir) todas as observações de uma série por um determinado 
valor fixo, tal como x, a variância resultante ficará multiplicada (dividida) por x², 
enquanto que o desvio padrão resultante ficará multiplicado (dividido) por x. 
 
Ora, para quem fez o curso, basta aplicar os operadores de Média e Variância. Mas, 
vamos pensar de uma forma mais intuitiva! Veja a fórmula: 
 Y 噺 は 伐 にX 
 
Qual a média de Y? 
 警é穴件欠岫桁岻 噺 警é穴件欠岫は 伐 に隙岻 
 
Já que a média de um número fixo é igual a ele mesmo, podemos reescrever: 
 警é穴件欠岫桁岻 噺 は 伐 警é穴件欠岫に隙岻 
 
Veja a propriedade (2) da média e perceba que: 
 警é穴件欠岫桁岻 噺 は 伐 に 抜 警é穴件欠岫隙岻 噺 は 伐 に 抜 に 噺 に 
 
E a variância? 
 桁 噺 は 伐 に隙 
 
 
Se você soma ou diminui alguma coisa de sua variável, isso não afeta a variância, 
conforme propriedade 1 da variância. Assim, a variância de Y dependerá somente de: 
 
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撃欠堅岫桁岻 噺 撃欠堅岫は 伐 に隙岻 噺 撃欠堅岫伐に隙岻 
 
Conforme estudamos no curso, o valor que multiplica a variável sairá do operador 
variância ao quadrado: 
 撃欠堅岫桁岻 噺 撃欠堅岫伐に隙岻 噺 にふ撃欠堅岫隙岻 
 
Como o exercício fala que o desvio padrão de X é igual à 2, a variância é igual a 4. 
Assim: 
 撃欠堅岫桁岻 噺 撃欠堅岫伐に隙岻 噺 に態撃欠堅岫隙岻 噺 ね 抜 ね 噺 なは 
 
Só com essas resoluções você já chega na alternativa correta, que é a letra (c). 
Coeficiente de correlação a gente aprende na próxima aula! 
 
Exercício 32 
 
(Analista Controle Interno – FGV/2014) Avalie se as seguintes propriedades de 
um estimador de um certo parâmetro são desejáveis: 
I. Ser não tendencioso para esse parâmetro. 
II. Ter variância grande. 
III. Ter erro quadrático médio grande. 
Assinale: 
(A) se apenas a propriedade I estiver correta. 
(B) se apenas as propriedades I e II estiverem corretas. 
(C) se apenas as propriedades I e III estiverem corretas. 
(D) se apenas as propriedades II e III estiverem corretas. 
(E) se todas as propriedades estiverem corretas 
 
 
 
Resolução 
 
I.Perfeito. Sempre queremos um estimador não viesado. 
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II.Errado. Quanto maior a variância, menor a capacidade de predição de um 
estimador. 
III.Errado. Pois, o erro quadrático médio é uma combinação de Viés e Variância. 
 
Alternativa (a). 
 
Exercício 33 
 
(Analista Controle Interno – FGV/2014) Para estimar a proporção populacional 
p de eleitores favoráveis a certa candidatura, uma amostra aleatória simples de 
tamanho 1.600 foi observada e mostrou 800 eleitores favoráveis à referida 
candidatura. Um intervalo de 95% de confiança para p é 
(A) (0,4602; 0,5398). 
(B) (0,4555; 0,5445). 
(C) (0,4620; 0,5380). 
(D) (0,4343; 0,5657). 
(E) (0,4755; 0,5245). 
 
 
Resolução 
 
Para responder, basta perceber que trata-se de um teste de hipóteses com 
proporções, o que deve ser testado por meio da seguinte estatística de teste: 
 権 噺 】喧┏ 伐 喧】謬喧 糾 岫な 伐 喧岻券 
 
Sendo 喧┏ a probabilidade de sucesso do experimento e 券 o tamanho da amostra. 
 
Só lembrando, estas “barras” em volta do numerador indica que o mesmo está em 
módulo, ou seja, o numerador pode ser: 
 喧┏ 伐 喧 
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Ou: 伐喧┏ 髪 喧 
 
Vamos considerar que o “sucesso” seria encontrar um eleitor favorável, portanto a 
probabilidade de o encontrarmos é de: 
 喧 噺 ぱどどなはどど 噺 なに 噺 ど┸の 
 
Substituindo na função: 
 権 噺 】喧┏ 伐 ど┸の】謬ど┸の 糾 ど┸のなはどど 
 
O valor z deve ser procurado na tabela, com uma probabilidade de 0,975, haja vista 
que, por se tratar de um teste bicaudal,queremos que “sobre” 2,5% de cada lado da 
distribuição, a fim de que a confiança do teste seja de 95%. O valor z com 
probabilidade de 0,975 é 1,96. 
 】喧┏ 伐 ど┸の】謬ど┸の 糾 ど┸のなはどど 噺
】喧┏ 伐 ど┸の】ど┸のねど 噺 な┸ひは 
 
Multiplicando invertido: 
 】喧┏ 伐 ど┸の】 噺 ど┸どにねの 
 
Para encontrarmos o intervalo de confiança: 
 犯伐喧┏ 髪 ど┸の 噺 ど┸どにねの喧┏ 伐 ど┸の 噺 ど┸どにねの 般 
 
Assim, a probabilidade ficará no intervalo: 
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 犯喧 噺 ど┸ねばのの喧 噺 ど┸のにねの般 
 
 
O que corresponde a: 
 喧 噺 岶ど┸ねばのの┹ ど┸のにねの岼 
 
Alternativa (e). 
 
 
(ANTAQ – CESPE/2014) Com base no enunciado a seguir, julgue as afirmativas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 34 
 
Resolução 
 
De um total de 8.000 pessoas 80% pagam a tarifa normal e, portanto, 20% pagam a 
diferenciada. Assim, temos: 
 建欠堅件血欠 券剣堅兼欠健┺ ぱどガ 抜 ぱどどど 噺 は┻ねどど 建欠堅件血欠 穴件血結堅結券潔件欠穴欠┺ にどガ 抜 ぱどどど 噺 な┻はどど 
 
Das pessoas que pagam a tarifa normal 60% estão satisfeitos e dos que pagam a 
diferenciada este percentual de satisfação é de 90%! 
 建欠堅件血欠 券剣堅兼欠健┺ はどガ 抜 は┻ねどど 噺 ぬ┻ぱねど 建欠堅件血欠 穴件血結堅結券潔件欠穴欠┺ ひどガ 抜 な┻はどど 噺 な┻ねねど 
 
Depreende-se que há um total 5.280 pessoas satisfeitas de um universo de 8.000, 
assim a probabilidade de encontrar alguém satisfeito é de: 
 鶏岫嫌欠建件嫌血欠çã剣岻 噺 のにぱどぱどどど 噺 ど┸はは 噺 ははガ 
 
Alternativa verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 35 
 
 
Resolução 
 
O que o exercício está perguntando é: 
 鶏岫憲嫌憲á堅件剣 嫌結堅懸件ç剣 穴件血結堅結券潔件欠穴剣】件券嫌欠建件嫌血結件建剣岻 
 
Nós sabemos que: 
 鶏岫嫌結堅懸件ç剣 穴件血結堅結券潔件欠穴剣】件券嫌欠建件嫌血結件建剣岻 噺 鶏岫嫌結堅懸件ç剣 穴件血結堅結券潔件欠穴剣 結 件券嫌欠建件嫌血結件建剣岻鶏岫件券嫌欠建件嫌血結件建剣岻 
 
A probabilidade de ser usuário de serviço diferenciado e estar insatisfeito é de (já 
calculamos o número de satisfeitos do serviço diferenciado no exercício anterior, 
1440): 
 鶏岫嫌結堅懸件ç剣 穴件血結堅結券潔件欠穴剣 結 件券嫌欠建件嫌血結件建剣岻 噺 建剣建欠健 穴件血結堅結券潔件欠穴剣 結 件券嫌欠建件嫌血結件建剣建剣建欠健噺 なはどど 伐 なねねどぱどどど 噺 なはどぱどどど 噺 ど┸どに 
 
A probabilidade de estar insatisfeito é (já calculamos o total de satisfeitos no exercício 
anterior, 5280): 
 鶏岫件券嫌欠建件嫌血結件建剣岻 噺 ぱどどど 伐 のにぱどぱどどど 噺 にばにどぱどどど 噺 ど┸ぬね 
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Assim: 
 鶏岫嫌結堅懸件ç剣 穴件血結堅結券潔件欠穴剣】件券嫌欠建件嫌血結件建剣岻 噺 ど┸どにど┸ぬね 噺 ど┸どのぱ 簡 はガ 
 
Alternativa errada. 
 
Exercício 36 
 
(IBGE – CESGRANRIO/2014) 
 
Resolução 
 
Com base nos nossos conhecimentos, sabemos que o cálculo do intervalo deve ser 
tal que: 
 隙沈津捗勅追沈墜追 噺 航 伐 購権 隙鎚通椎勅追沈墜追 噺 航 髪 購権 
 
A primeira coisa a fazer é encontrar o valor tabelado z! Se a probabilidade é igual a 
97%, temos de procurar 48,5% na tabela normal (bicaudal). Ao observar a tabela você 
verá que: 
 
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Portanto, z = 2,17. Assim substituindo os valores do enunciado no nosso sistema: 
 なにど 噺 なはど 伐 購 抜 に┸なば にどど 噺 なはど 髪 購 抜 に┸なば 
 
Tanto faz qual dos dois você vai utilizar. Vamos utilizar o de baixo: 
 ねど 噺 購 抜 に┸なば 蝦 購 噺 なぱ┸ねぬ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 37 
 
(PETROBRAS – CESGRANRIO/2012) 
 
Resolução 
 
A partir de um cálculo do intervalo de confiança, ficou constatado que, com um nível 
de confiança de 90%, o intervalo é dado por [5;15]. 
 
Isso significa que, a 10% de significância, rejeita-se a hipótese nula de que a média 
é igual a zero, haja vista que o valor 0 não está contido no intervalo calculado com 
90% de confiança. 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 38 
 
(SUSAM – FGV/2014) 
 
 
Resolução 
 
Primeira coisa, estamos tratando com uma amostra, mas o exercício fala: 
 券 蛤 券 伐 な 
 
Isso quer dizer, de maneira simples, considere que n = n-1. Veja que a amostra é de 
100 unidades, o que é possível perceber pela fórmula do somatório, que indica que a 
somatória é feita para 100 unidades. 
 
Assim, vamos utilizar nossa “fórmula amiga”: 
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 懸欠堅件â券潔件欠 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 
 
A média dos quadrados é: 
 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 噺 デ 捲沈態などど 噺 などどなどど 噺 な 
 
E a média: 
 兼é穴件欠 噺 デ 捲沈などど 噺 などなどど 噺 ど┸な 
 
Portanto: 
 懸欠堅件â券潔件欠 噺 な 伐 岫ど┸な岻態 噺 な 伐 ど┸どな 噺 ど┸ひひ 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: 
 穴結嫌懸件剣 喧欠穴堅ã剣 噺 紐ど┸ひひ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 39 
 
(SUSAM – FGV/2014) 
 
 
Resolução 
 
O erro tipo I é aquele da rejeição da hipótese nula quando ela é verdadeira! No caso, 
a hipótese nula é a de que o suspeito é inocente. 
 
Assim, erro tipo I seria rejeitar a hipótese nula (condenar o acusado), sendo o mesmo 
inocente. 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(DEPEN – CESPE/2015) 
 
 
Esta questão exige um uso de lógica por parte do candidato. Veja, a forma de 
distribuir a amostra sob amostragem estratificada deve seguir critérios. No 
caso, “uniforme”, como o nome diz, mostra divisão igualitária entre os estratos, 
enquanto que “proporcional” mostra uma divisão baseada em valores 
atribuídos a cada uma das unidades. 
 
Exercício 40 
 
 
 
Resolução 
 
Se a amostra foi feita de maneira uniforme, isso significa que, da amostra de 20, 10 
foram selecionados na capital e 10 no interior. Sabendo que a média da capital é de 
10: 
 警é穴件欠 喧堅結嫌剣嫌 喧剣堅 潔結健欠 噺 劇剣建欠健 穴結 喧堅結嫌剣嫌劇剣建欠健 穴結 喧堅結嫌í穴件剣嫌 岫潔結健欠嫌岻 欠懸欠健件欠穴剣嫌 
 
Assim: 
 
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など 噺 建剣建欠健 穴結 喧堅結嫌剣嫌など 蝦 などど 
 
No caso do interior: 
 なの 噺 建剣建欠健 穴結 喧堅結嫌剣嫌など 蝦 なのど 
 
Então a média geral é de: 
 なのど 髪 などどにど 噺 なに┸の 
 
Alternativa falsa. 
 
Exercício 41 
 
 
Resolução 
 
Uma alocação proporcional, como o próprio nome diz, se baseia no tamanho de cada 
uma das populações. Assim, a amostra deve guardar a mesma relação da população, 
a saber: 
 潔欠喧件建欠健件券建結堅件剣堅 噺 のどなどど 噺 なに 
 
 
Assim, o valor da amostra a ser alocada na capital deve ser igual à metade do valor 
no interior. A ideia básica seria que, de um total de 150 presídios, 2/3 estão no interior 
e 1/3 está na capital. Ora, a proporção deverá ser a mesma no que se refere a uma 
amostra de 20: 
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