5 Estatistica inferencial_CORTE

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Fernanda Karine Ruiz Colenghi
Joaquim Osvaldo Pereira de Gouvêa
Wilton Rezende de Freitas
Estatística inferencial
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
© 2017 by Universidade de Uberaba
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Pró-Reitor de Educação a Distância
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Coordenação de Graduação a Distância
Sílvia Denise dos Santos Bisinotto
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
 Colenghi, Fernanda Karine Ruiz. 
C677e Estatística inferencial / Fernanda Karine Ruiz Colenghi, Joaquim 
 Osvaldo Pereira de Gouvêa, Wilton Rezende de Freitas. – Uberaba : 
 Universidade de Uberaba, 2017.
 117 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
 Inclui bibliografia. 
 ISBN 978-85-7777-759-4
 
 1. Estatística matemática. 2. Estatística. 3. Amostragem 
 (Estatística). I. Gouvêa, Joaquim Osvaldo Pereira de. II. Freitas, 
 Wilton Rezende de. III. Universidade de Uberaba. Programa de 
 Educação a Distância. IV. Título. 
 CDD 519.5
Fernanda Karine Ruiz Colenghi
Graduada em estatística pela Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG).
Joaquim Osvaldo Pereira de Gouvêa
Especialização em avaliação no ensino superior, pela Universidade de Brasília – 
UnB (1998). Graduado em ciências econômicas pela Faculdade de Economia, 
Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo – USP (1973). 
Professor de economia, finanças e estatística dos cursos de graduação em 
administração e ciências contábeis e em cursos de pós-graduação da Univer-
sidade de Uberaba – Uniube.
Wilton Rezende de Freitas
Graduado em administração pela Universidade de Uberaba, pós-graduado em 
finanças e controladoria pela Faculdade de Ciências Econômicas do Triângulo 
Mineiro (parceria com a FEA-USP/RP). Professor de administração e ciências 
contábeis. Preceptor dos cursos de administração e ciências contábeis da Uni-
versidade de Uberaba – Uniube.
Sobre os autores
Sumário
Apresentação ................................................................................................ VII
Capítulo 1 A importância da inferência para a tomada de decisões: 
intervalos de confiança e testes de hipóteses ...............................1
1.1 Conceitos iniciais: parâmetros, estimadores e estimativas ...........................................6
1.1.1. Parâmetro ............................................................................................................6
1.1.2. Estimador e estimativa ........................................................................................6
1.1.3. Estimador não viciado .........................................................................................7
1.1.4. Teorema Central do Limite ..................................................................................8
1.2 Estimação da média populacional m: intervalos de confiança .....................................10
1.2.1 Caso 1: a variância populacional 2σ é conhecida .............................................10
1.2.2 Caso 2: a variância populacional 2σ é desconhecida e a amostra é 
grande (n ≥ 30)..................................................................................................14
1.2.3 Caso 3: a variância populacional 2σ é desconhecida e a amostra é 
pequena (n < 30) ................................................................................................15
1.2.4 Determinação do tamanho da amostra ..............................................................18
1.3 Estimação da proporção populacional ........................................................................19
1.3.1 Expressão do intervalo de confiança .................................................................19
1.3.2 Determinação do tamanho da amostra ..............................................................21
1.4 Testes de hipótese para média populacional ..............................................................23
1.4.1 Formulação das hipóteses para teste ................................................................23
1.4.2 Erros em testes de hipóteses .............................................................................25
1.4.3 Estatística de teste .............................................................................................27
1.4.4 Tipos de testes: bilateral e unilateral ..................................................................28
1.4.5 Valor p (nível descritivo) .....................................................................................41
1.5 Teste para proporção ...................................................................................................45
1.5.1 Caso unilateral ...................................................................................................46
VI UNIUBE
1.5.2 Caso bilateral .....................................................................................................47
1.5.3 Critério do valor p no teste de proporção ...........................................................47
1.6 Usando intervalos de confiança para tomada de decisões .........................................50
Capítulo 2 Aplicações do teste qui-quadrado em 
tabelas de contingência ...............................................................61
2.1 Tipos de teste qui-quadrado ........................................................................................64
2.2 Conceitos iniciais .........................................................................................................65
2.3 Características da distribuição qui-quadrado (x2) .......................................................66
2.4 Teste de independência ...............................................................................................68
2.5 Teste de homogeneidade ............................................................................................71
Capítulo 3 Correlação, regressão linear simples e múltipla ..........................81
3.1 Coeficiente de correlação de Pearson ........................................................................84
3.1.1 Propriedades interessantes do coeficiente de correlação ..................................85
3.1.2 Teste da significância da correlação ..................................................................87
3.2 Regressão linear simples ............................................................................................89
3.2.1 Estimação dos parâmetros 0b e 1b .................................................................91
3.2.2 Avaliação da qualidade de um modelo de regressão .........................................93
3.3 Verificação das suposições do modelo .......................................................................97
3.3.1 Verificação da normalidade dos resíduos ..........................................................98
3.3.2 Independência (não autocorrelação) e aleatoriedade dos resíduos ................100
3.3.3 Teste F para verificar se 1b é significativo ......................................................102
3.3.4 Verificação se o coeficiente do modelo 1 b é significativo 
utilizando o teste t-Student ...............................................................................1043.4 Um pouco mais sobre o modelo de regressão ..........................................................106
3.4.1 Intervalo de confiança de parâmetros estimados .............................................106
3.4.2 Intervalo de confiança das previsões ...............................................................108
3.5 Regressão múltipla ....................................................................................................109
Apresentação
Este livro trata da inferência estatística. Inferir significa deduzir uma coisa de 
outra. Na estatística inferencial usamos os métodos estatísticos para fazer con-
clusões, estimações, predições e generalizações a respeito de uma população, a 
partir de uma amostra. Ou seja, com base nas informações amostrais deduzimos 
que uma população apresenta determinada característica.
O propósito deste volume é apresentar os métodos estatísticos que permitem 
fazer inferências sobre a média ou sobre a proporção de uma população. A 
inferência estatística envolve, basicamente, intervalos de confiança e testes de 
hipóteses, assuntos que você estudará neste livro.
O capítulo 1 aborda a estimação da média populacional mediante a construção de 
intervalos de confiança e a formulação de testes de hipóteses sobre a média 
da população.
No capítulo 2 são apresentados os testes de independência e de homogeneidade.
Já no capítulo 3, são abordados os fundamentos básicos dos modelos de re-
gressão linear e múltipla.
Todos os estudos aqui propostos enfatizam o uso de métodos computacionais 
para resolver os problemas de inferência estatística. Esperamos que eles con-
tribuam para a sua formação profissional, desencadeando, gradativamente, um 
interesse maior nessa área do conhecimento.
Bons estudos!
Newton Gonçalves Garcia / Renata de Oliveira
Introdução
Iniciamos, aqui, parte fundamental da sua formação como professor de 
língua inglesa: a fonética. Porém, além de se dedicar ao estudo dessa 
importante faceta da língua, você deve se preparar para ensiná-la ao 
seu grupo de alunos.
Você que já iniciou ou inicia agora seus estudos da língua inglesa 
certamente já teve dificuldades com a pronúncia desse idioma. Isso 
é algo esperado de ocorrer já que se trata de um idioma com origens 
na língua anglo-saxã, portanto, com características distintas de nosso 
idioma de origem latina. 
Apesar desse aspecto, por meio do estudo da fonética, é possível con-
seguir uma pronúncia inteligível aos falantes nativos e não nativos do 
idioma, como frisa Underhill (200?, p.92) em:
The aim of pronunciation teaching can no longer be to get stu-
dents to sound [...] like native speakers, or more like the teacher 
[…]. The primary aim must be to help learners to communicate 
successfully when they listen or speak in English, often with 
other non-native speakers.
O objetivo do ensino da pronúncia não pode ser mais fazer com que 
os alunos soem como falantes nativos ou como seu professor. O ob-
jetivo primário deve ser ajudar os aprendizes a se comunicar com 
Fonética: a sonoridade 
da língua inglesa
Capítulo
1
Fernanda Karine Ruiz Colenghi / 
Joaquim Osvaldo Pereira de Gouvêa
Introdução
Este capítulo aborda o ramo da estatística conhecido por estatística 
inferencial. Esta compreende as técnicas por meio das quais são 
tomadas decisões sobre uma população esta-
tística, as decisões são baseadas unicamente na 
observação de uma amostra ou na elaboração 
de um juízo.
Começaremos nosso estudo com uma situação 
hipotética. Você é o gerente de marketing da 
empresa fabricante do sabão em pó Lave Bem e 
pretende realizar uma pesquisa de opinião na ci-
dade de Araxá, Minas Gerais, com a finalidade de 
verificar o grau de satisfação dos consumidores 
com o produto. Especificamente, seu problema é 
saber a proporção de consumidores do município 
que preferem a marca Lave Bem.
Como dispõe de um tempo muito curto e de um orçamento limitado para 
executar o projeto, você não poderá entrevistar todos os habitantes 
de Araxá para obter os dados de que necessita: terá de consegui-los 
consultando apenas uma parte dos consumidores. Em outras palavras, 
coletará os dados a partir de uma amostra de consumidores.
A importância da 
inferência para a 
tomada de decisões: 
intervalos de confiança 
e testes de hipóteses
Capítulo
1
População
É o conjunto de 
todos os elementos 
que interessam ao 
estudo. Por exemplo, 
o conjunto de todos os 
eleitores do município 
de Uberlândia constitui 
a população de 
eleitores do município.
Amostra
É um subconjunto da 
população.
2 UNIUBE
Assim, com base nos dados da amostra, você fará suas estimativas e 
testará as hipóteses que deseja verificar.
 
Como seria obtida uma amostra dos consumidores?
Dentre os vários procedimentos possíveis, você poderia usar o seguinte. 
De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística ― IBGE, 
o número de famílias residentes em Araxá, em 2006, é 23.832. Admita 
que exista uma dona de casa em cada família, então o número de donas 
de casa em Araxá é 23.832. Suponha que a amostra selecionada de 
donas de casa seja de mil consumidoras. Você escolheria ao acaso mil 
consumidoras numa praça central da cidade, ou escolheria ao acaso 
uma quantidade em cada um dos bairros da cidade até completar mil 
entrevistadas.
Uma outra maneira de obter uma amostra é associar um número a 
cada uma das 23.832 famílias, colocar todos esses números numa lista 
e sortear mil números. As moradoras correspondentes aos números 
sorteados formariam a amostra.
Suponha que você realize o sorteio dessa forma e o gerente de marke-
ting de uma empresa concorrente, desconhecendo sua iniciativa, repita 
o mesmo procedimento.
 
Você acha que as amostras sorteadas por você e por seu concorrente serão 
as mesmas?
UNIUBE 3
Se você respondeu que as amostras sorteadas não serão as mesmas, 
parabéns, você acertou a resposta. Se realizarmos várias vezes a 
amostragem descrita, provavelmente obteremos amostras compostas 
por consumidoras diferentes.
Apesar de diferentes, podemos ter respostas próximas ou iguais nas 
diversas amostras?
A resposta é afirmativa e estará subjacente às ideias desenvolvidas 
neste capítulo.
Resumindo a discussão, podemos dizer que, devido à natureza aleatória 
envolvida no procedimento amostral, não temos a certeza de que repetições 
de amostras produzam sempre resultados idênticos. Ou seja, ao coletarmos 
uma amostra, não podemos prever antecipadamente seu resultado. Toda-
via, a amostragem e os resumos estatísticos dos dados de uma amostra, 
combinados, fornecem as informações essenciais para a condução de uma 
pesquisa. Naturalmente, o uso de dados amostrais para tirar conclusões a 
respeito de uma característica da população conduz a um erro. Conforme 
você estudará adiante, esse erro é previsto e pode ser calculado.
Assim, você neste capítulo conhecerá os conceitos básicos de estima-
ção, aprenderá a construir intervalos de confiança para média e pro-
porção de uma população e a calcular o tamanho de amostra. Também 
aprenderá a realizar testes de hipóteses para a média e proporção, bem 
como aprenderá outros critérios de decisão baseados em intervalos de 
confiança e valor p.
Objetivos
Esperamos que, ao terminar o estudo deste capítulo, você seja ca-
paz de:
• diferenciar estimação pontual de estimação por intervalo;
• definir parâmetro, estimador e estimativa;
4 UNIUBE
• enunciar as propriedades de um estimador;
• usar a distribuição de probabilidades adequada aos diferentes 
casos de intervalos de confiança e de testes de hipóteses;
• calcular margens de erro fixados os graus de confiança;
• construir intervalos de confiança para a média populacional;
• construir intervalos de confiança para a proporção de uma po-
pulação;
• interpretar os resultados de intervalos de confiança construídos;
• calcular o tamanho da amostra necessário para atender a 
especificações fixadas, tais como margem de erro e grau de 
confiança;
• elaborar as hipóteses para a tomada de decisõesem diferentes 
cenários de testes de hipóteses;
• realizar testes de hipóteses para a média e proporção popula-
cionais;
• tomar decisões em testes de hipóteses;
• aplicar os conhecimentos adquiridos em projetos de pesquisa 
científica e na solução de problemas de sua área de atuação.
Esquema
1.1 Conceitos iniciais: parâmetros, estimadores e estimativas.
1.1.1 Parâmetro,
1.1.2 Estimador e estimativa
1.1.3 Estimador não viciado
1.1.4 Teorema Central do Limite
1.2 Estimação da média populacional  m : intervalos de confiança
1.2.1 Caso 1: a variância populacional 2σ é conhecida
1.2.2 Caso 2: a variância populacional 2σ é desconhecida e a 
amostra é grande (n ≥ 30)
1.2.3 Caso 3: a variância populacional 2σ é desconhecida e a 
amostra é pequena (n < 30)
1.2.4 Determinação do tamanho da amostra
UNIUBE 5
1.3 Estimação da proporção populacional
1.3.1 Expressão do intervalo de confiança
1.3.2 Determinação do tamanho da amostra
1.4 Testes de hipótese para a média populacional
1.4.1 Formulação das hipóteses para teste
1.4.2 Erros em testes de hipóteses
1.4.3 Estatística de teste
1.4.4 Tipos de testes: bilateral e unilateral
1.4.4.1 Caso 1: teste unilateral quando a variância 
populacional 2σ é conhecida ou a amostra é 
grande (n > 30)
1.4.4.2 Caso 2: teste bilateral quando a variância 
populacional 2σ é conhecida ou amostra é 
grande (n > 30)
1.4.4.3 Caso 3: teste unilateral quando a variância 
populacional 2σ é desconhecida e a amostra 
pequena (n < 30)
1.4.4.4 Caso 4: teste bilateral quando a variância 
populacional 2σ é desconhecida e a amostra é 
pequena (n < 30)
1.4.5 Valor p (nível descritivo)
1.4.5.1 Caso unilateral
1.4.5.2 Caso bilateral
1.5 Teste para proporção
1.5.1 Caso unilateral
1.5.2 Caso bilateral
1.5.3 Critério do valor p no teste de proporção
1.6 Usando intervalos de confiança para tomada de decisões
6 UNIUBE
 1.1 Conceitos iniciais: parâmetros, estimadores e estimativas
Para formalizar as ideias apresentadas neste capítulo, precisamos conceituar 
parâmetros, estimadores e estimativas.
1.1.1. Parâmetro
As características numéricas de uma população, em geral desconhecidas e so-
bre as quais temos interesse, são denominadas parâmetros e usualmente são 
representadas por letras gregas tais como θ, m e σ, entre outras. Para efeito de 
nossos estudos, os parâmetros populacionais que nos interessam são a média 
m e o desvio padrão σ .
1.1.2 Estimador e estimativa
À combinação dos elementos da amostra, construída com a finalidade de re-
presentar, ou estimar, um parâmetro de interesse na população, denominamos 
estimador. Em geral, denotamos os estimadores por símbolos com o acento 
circunflexo: θ̂ , m̂ , σ̂ etc. Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores, 
denominamos estimativas pontuais ou simplesmente estimativas.
Um estimador, digamos θ̂ , é uma função das variáveis aleatórias constituintes 
da amostra. Logo, um estimador também é uma variável aleatória e, como tal, 
possui uma distribuição de probabilidades. A correspondente distribuição de 
probabilidade formará a base das argumentações probabilísticas utilizadas na 
extrapolação da informação da amostra para os parâmetros da população.
Para que fiquem bem entendidos os conceitos de estimador e estimativa, vere-
mos como se faz o cálculo da média e desvio padrão amostrais; o que precisa-
remos para as estimativas?
Suponha que uma amostra de tamanho n é retirada da população e apresente 
os valores pertencentes ao conjunto de variáveis aleatórias ( )nXXX ,,, 21  . 
Sejam os parâmetros média, variância e proporção de certa característica na 
UNIUBE 7
população indicados por m , σ e p, respectivamente. Os estimadores “naturais” 
para esses parâmetros são as correspondentes média, variância e proporção 
calculadas na amostra. Representando-os, respectivamente, por X , σ̂ e p̂ , 
temos:
Note que cada um dos estimadores apresentados depende dos valores per-
tencentes à amostra aleatória ( )nXXX ,,, 21  ; essa estimação é denominada 
estimação pontual.
Numerosos têm sido os critérios utilizados por estatísticos matemáticos para es-
colher os estimadores apropriados para estimar, com base em dados de amostra, 
os parâmetros populacionais. Uma das características mais importantes de um 
estimador é que seja não viciado (não tendencioso).
1.1.3 Estimador não viciado
Um estimador não viciado é uma estatística amostral cujo valor esperado é igual 
ao parâmetro que está sendo estimado.
Magalhães (2002) mostra que os estimadores X e p̂ têm boas propriedades 
e, além disso, são não viciados. No entanto, o estimador 2σ̂ é viciado, portanto 
não é adequado para estimação. Para eliminar esse vício, define-se o seguinte 
estimador:
( )
2
1
2
1
1 ∑
=
−
−
=
n
i
i XXn
S
;
;
.número de itens com a característica na amostra
n
^p =
8 UNIUBE
2S é um estimador não viciado para estimar 2σ . O estimador 2S recebe o nome 
de variância amostral e será sempre denotado por 2S para distinguir de outros 
estimadores denotados genericamente por 2σ̂ .
 exemplificando! 
1.1 O número de faltas, por ano, de funcionários de determinada empresa foi anotado 
a partir de uma amostra de 25 funcionários escolhidos ao acaso. Deseja-se saber 
qual é o número médio de faltas por funcionário em um ano. Os dados obtidos são: 
2, 2, 3, 1, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 5, 3, 4, 3, 4, 2, 4, 3, 5, 2, 1, 6, 2, 3 e 4.
Solução
A estimativa da média populacional é:
44,3
25
4322 =++++= X faltas
Logo o número médio de faltas por funcionário em cada ano é aproximadamente 4.
A estimativa da variância amostral é:
( ) ( ) ( ) 006,2
24
44,3444,3244,32 2222 =−++−+−= S faltas2.
Antes de introduzirmos o conceito de intervalo de confiança, vamos estudar um 
assunto importante que é o Teorema central do limite.
1.1.4 Teorema Central do Limite
Suponha uma amostra aleatória simples de tamanho n retirada de uma po-
pulação com média m e variância 2σ (note que o modelo de probabilidades 
da variável aleatória não é especificado). Representando tal amostra por n 
UNIUBE 9
variáveis aleatórias independentes ( )nXXX ,,, 21  e, denotando sua média 
por X , temos que:
( )1,0~ NZ
n
X n  →− ∞→
σ
m
Em palavras, o teorema central do limite garante que para n grande a distribui-
ção da média amostral, devidamente padronizada, se comporta segundo uma 
distribuição normal de probabilidades com média 0 e variância 1.
Pelo teorema central do limite, temos que quanto maior o tamanho da amostra, 
melhor é a aproximação à distribuição normal. Estudos envolvendo simulações 
mostram que em muitos casos, valores de n ao redor de 30 fornecem boas 
aproximações para aplicações práticas.
Uma aplicação importante relaciona-se com a distribuição da proporção amostral. 
Recorde que definimos a proporção amostral ( )p̂ como a fração de indivíduos 
com uma dada característica em uma amostra de tamanho n. Se construirmos 
para o i -ésimo indivíduo uma variável aleatória iY ,tal que:
1, se o indivíduo apresenta a característica;
0, caso contrário.
Yi = 
Podemos escrever a proporção amostral como:
Y
n
Y
n
YYY
p
n
i
in ==
+++
= ∑
=1
21ˆ 
A proporção amostral é a média de variáveis aleatórias convenientemente 
definidas. Assumindo que a proporção de indivíduos com a característica na 
população é p e que os indivíduos são selecionados aleatoriamente, temos 
que nYY ,,1  formam uma sequência de variáveis aleatórias do modelo Ber-
10 UNIUBE
noulli. Assim, a média e a variância do modelo Bernoulli são dadas por p e 
( ) npp −1 , respectivamente.
A partir do Teorema Central do Limite temos que:
( )
( )1,0 
1
ˆ
N
npp
pp n  →
−
− ∞→
Conhecido o Teorema Central do Limite, estudaremos a seguir os diversos casos 
de estimação intervalar.
 1.2 Estimação da média populacional m: intervalos de confiança
Os estimadores vistos até o momento são pontuais, pois fornecem estimativa 
numérica para o parâmetro de interesse. O método que veremos agora, denomi-
nado de estimação intervalar ou estimação por intervalo, incorporaà estimativa 
pontual uma margem de erro.
Estudaremos os seguintes casos de estimação intervalar:
• Intervalo de confiança para a média populacional m quando a variância po-
pulacional 2σ é conhecida;
• Intervalo de confiança para a média populacional m quando a variância po-
pulacional 2σ é desconhecida e a amostra é grande ( 30n ≥ elementos);
• Intervalo de confiança para a média populacional m quando a variância po-
pulacional 2σ é desconhecida e a amostra é pequena ( 30n < elementos).
1.2.1 Caso 1: a variância populacional 2σ é conhecida
Quando a variância populacional 2σ é conhecida e supondo uma amostra de 
tamanho n, temos, pelo Teorema Central do Limite, que a média amostral tem 
distribuição normal com a mesma média m e a variância 
2
n
σ . Para um valor 
UNIUBE 11
a fixado, tal que 10 <<a , podemos obter na tabela da distribuição normal Z 
padronizada um valor 2az tal que:
16  Administração 
podemos, então, escrever a proporção amostral como: 
A  proporção  amostral  é  a  média  de  variáveis  aleatórias 
convenientemente  defi nidas.  Assumindo  que  a  proporção  de 
indivíduos  com  a  característica  na  população  é  p  e  que  os 
indivíduos  são  selecionados  aleatoriamente,  temos  que 
formam  uma  seqüência  de  variáveis  aleatórias  do  modelo 
Bernoulli  (visto  no  curso  de Estatística  Básica). Assim,  a média 
e a variância do modelo Bernoulli são dadas por p e  , 
respectivamente. 
A partir do Teorema Central do Limite, temos que: 
Vejamos,  agora,  a  parte  A,  onde  você  estudará  a  estimação 
intervalar,  para  diversos  casos.  Logo  em  seguida,  na  parte  B, 
você  conhecerá  os  diferentes  cenários  de  testes  de  hipóteses 
para média e proporção. 
Parte A: Estimação por Intervalo 
Os estimadores vistos até o momento são pontuais, pois fornecem 
estimativa numérica para o parâmetro de interesse. O método que 
veremos agora, denominado de estimação  intervalar,  incorpora 
a estimativa pontual e informações a respeito de sua variabilidade. 
Veremos, a seguir, diferentes casos: 
conhecida; 
desconhecida e amostra grande; 
desconhecida e amostra pequena. 
• 
• 
• 
1º Caso:  conhecida 
Quando  a  variância  populacional  é  conhecida,  e  supondo 
uma  amostra  de  tamanho  n,  vimos  que  a  média  amostral  tem 
distribuição  Normal  com  a  mesma  média  e  variância  . 
Para  um  valor  fi xado,  tal  que  ,  podemos  obter  um 
valor  tal que:
Lembre-se que a distribuição normal é simétrica, portanto a área a deve ser 
igualmente distribuída em torno de 0, conforme mostra a Figura 1.
Interlocução importante:
( )1 %a− é o coeficiente de confiança e 2az é o valor de z  que fornece uma 
área de 2a na extremidade superior da distribuição normal padrão, assim 
temos o intervalo:
n
zX
n
zXz
n
Xz σµσ
σ
µ
αααα 2222 +<<−⇒<
−<−
O intervalo de confiança para m , com coeficiente de confiança ( )1 %a− é 
dado por:
( ) 


 +−=−
n
zX
n
zX σσαµ αα 22 ;1,IC
Figura 1: Gráfico da distribuição normal padronizada Z.
12 UNIUBE
 
Nessa altura de seus estudos, você deve estar se perguntando: afinal, o que significa 
coeficiente de confiança?
O coeficiente de confiança é interpretado do seguinte modo: se obtivermos várias 
amostras de mesmo tamanho e para cada uma calcularmos os correspondentes 
intervalos de confiança com coeficiente de confiança (1 )%a− , esperamos que 
a proporção de intervalos que contenham o valor de m seja igual a (1 )%a− .
Dessa forma, se construirmos cem intervalos para a média m com 90% de confiança, 
é de se esperar que 90 desses intervalos contenham a verdadeira média m .
Um conceito importante é o conceito de erro de estimação. Ao estimarmos a 
média populacional por intervalo, incorporamos à estimativa pontual um erro e 
esse erro é dado pela expressão:
n
zE σα 2=
 parada para reflexão 
A fórmula do erro, também chamada margem de erro, revela que há efetivamente três 
fatores determinantes do tamanho ou quantidade do erro. Quais são esses fatores? 
Como eles afetam o erro?
Você, que é um observador atento, deve ter notado que os fatores que determi-
nam a margem de erro são:
• a confiança desejada, representada pelo valor de 2az ;
• a dispersão (ou desvio padrão) da população σ ;
• o tamanho da amostra n.
UNIUBE 13
Também deve ter inferido que:
• quanto maior o coeficiente de confiança ou a dispersão da população, maior 
o erro;
• quanto maior o tamanho da amostra menor o erro.
Encontramos o valor de 2az na tabela de distribuição normal padronizada.
 parada obrigatória 
Não continue a leitura deste capítulo se tiver dúvida sobre como consultar a tabela da 
distribuição normal. Recorra, se necessário, aos textos que tratam das distribuições 
de probabilidades.
Vejamos, a seguir, os exemplos sobre a construção de intervalos de con-
fiança.
 exemplificando! 
1.2 Um consultor toma uma amostra aleatória de tamanho n =16 de um conjunto de 
contas a pagar. Sabe-se que o desvio padrão das contas a pagar é =σ R$57,00. A 
partir da amostra, observou-se que a média amostral foi =X R$250,00. Construa 
um intervalo de 95% para o valor médio das contas.
Solução
O intervalo de confiança para a média m é dado pela expressão: 
( ) 


 +−=−
n
zX
n
zX σσαµ αα 22 ;1,IC
Temos:
1 0,95a− = , logo 0,05a =
=X R$250,00
14 UNIUBE
0,05 0,025
2 2
Z Z Za = = . 
Consultando a tabela da distribuição normal padronizada, encontramos 025,0z =1,96, 
pois ( ) 475,096,10 =≤≤ zP , logo ( ) 025,096,1 =≥zP .
=σ R$57,00
n =16
Substituindo os valores na expressão do intervalo de confiança, obtemos:
( ) 





+−⇒





+−=
16
5796,1250;
16
5796,1250
16
57250;
16
57250%59 ,IC 22 ααµ zz
Assim, o intervalo de confiança para o valor médio das contas a pagar, com 95% de 
confiança é [ ]93,277;07,222 . Em outras palavras, com 95% de confiança, o valor 
médio das contas a pagar situa-se de R$ 222,07 a R$ 277,93.
1.2.2 Caso 2: a variância populacional 2σ é desconhecida e a amostra é 
grande (n ≥ 30)
Na maioria das aplicações, a variância populacional 2σ é desconhecida. Quando 
isso acontece, o estimador não viciado, 2S , pode ser usado para estimar 2σ . Nos 
casos em que a amostra é grande, n ≥ 30, o Teorema Central do Limite fornece 
boa aproximação para a distribuição da média amostral. Então o intervalo de 
confiança de ( )a−1 % é expresso da forma:
( ) 





+−=−
n
SzX
n
SzX 22 ;1,IC αααµ
tal que 2SS = . Portanto, a construção do intervalo de confiança é semelhante 
à que foi feita no 1o caso, a única diferença é que no lugar de σ usa-se o desvio 
padrão amostral S .
UNIUBE 15
 exemplificando! 
1.3 Para ilustrar esse caso, consideremos o exemplo de Anderson, Sweeney e Williams 
(2002), relativo a um estudo de amostragem conduzido pela Statewide Insurance Com‑
pany. Como parte de uma revisão anual das apólices de seguro de vida, a Statewide 
selecionou uma amostra aleatória simples de 36 proprietários de apólices de seguro 
de vida Statewide. As correspondentes apólices de seguro de vida são revistas em 
termos de garantia de cobertura. Para o estudo, um gerente solicitou uma estimativa 
do intervalo de confiança de 90% da idade média para a população dos proprietários 
da apólice de seguro de vida. A idade média da amostra é 5,39=X anos. O desvio 
padrão da amostra é 77,7=S . O valor de 05,0z é 1,645.
Portanto o intervalo de 90% é dado por:
[ ]2,1339,5 ;13,25,39
36
77,7645,15,39 ;
36
77,7645,15,39 +−⇒





+−
A margem de erro é 2,13 e a estimativa da idade média da população de proprietários 
de apólices de seguros, com 90% de confiança, é 37,37 a 41,63 anos.
1.2.3 Caso 3: a variância populacional 2σ é desconhecida e a amostra é 
pequena (n < 30)
Se tivermos uma amostra pequena ( )30<n e pretendemos construir um intervalo 
de confiança, mas não conhecemos 2σ , podemos utilizar a distribuição t‑Student, 
ou simplesmente, distribuição t, para construir o intervalo de confiança.
A distribuição t é utilizada na determinaçãode valores críticos denotados por 2at . 
Observe na tabela da distribuição t que nas linhas aparece o número de graus 
de liberdade, que é dado por 1−n . Os graus de liberdade, (gl) correspondem ao 
número de valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições 
a todos os valores.
16 UNIUBE
A distribuição t‑Student exibe algumas propriedades interessantes:
• É diferente conforme o tamanho da amostra, ou seja, ela muda dependendo 
dos graus de liberdade;
• Apresenta a mesma forma geral simétrica (forma de sino) que a distribuição 
normal, mas com maior variabilidade, o que é esperado em amostras peque-
nas, logo ( ) 5,00 =≥tP e ( ) 5,00 =≤tP ;
• O desvio padrão da distribuição t varia com o tamanho da amostra, mas é 
superior a 1;
• Na medida em que aumenta o tamanho n da amostra, a distribuição t se 
aproxima mais e mais da distribuição normal padronizada.
Podemos agora determinar os valores para a margem de erro para construir 
intervalos de confiança:
n
StE n 1,2 −= a ,
tal que 1,2 −nta é o valor de t que fornece uma área de 2a na extremidade su-
perior da distribuição t com 1−n graus de liberdade.
E o intervalo de ( )a−1 % de confiança é dado por:
n
StX
n
StXEXEX nn 1,21,2 −− +<<−⇒+<<− αα µµ
O intervalo de confiança para m , com coeficiente de confiança ( a−1 )% também 
pode ser expresso por:
( ) 





+−=− −− n
StX
n
StX nn 1,21,2 ;1,IC αααµ
 exemplificando! 
1.4 Voltemos ao exemplo 1.1, do quadro Exemplificando, da seção 1.1.3, referente 
ao número de faltas de funcionários de determinada empresa por ano, em que os 
UNIUBE 17
valores estimados de X e 2S foram 3,44 faltas e 2,006 faltas2, respectivamente, 
sendo 4163,1006,22 === SS falta. Calculemos um intervalo de 95% de con-
fiança para o número médio de faltas por funcionário.
Solução
Temos:
1 0,95a− = , 
logo
 0,05a = e 0,05 0,025
2 2
a
= =
3,44X =
1,4163S =
25n = ,
logo: 25 1 24gl = − =
Para encontrar o valor de 24;025,0t , consultamos a Tabela 1, da distribuição t. Como 
a amostra é de tamanho 25, temos 24 graus de liberdade. Na tabela da distribuição 
t, o valor crítico que deixa área de 2,5% acima da curva, com 24 graus de liberdade 
é 24;025,0t = 2,064.
Tabela 1: Distribuição t.
Graus de 
liberdade
0,005 
(unilateral)
0,01
(bilateral)
0,01
(unilateral)
0,02
(bilateral)
0,025 
(unilateral)
0,05
(bilateral)
0,05 (unilateral)
0,10
(bilateral)
21 2,831 2,518 2,080 1,721
22 2,819 2,508 2,074 1,717
23 2,807 2,500 2,069 1,714
24 2,797 2,492 2,064 1,711
25 2,787 2,485 2,060 1,708
( ) 95,0064,2064,2 =≤≤− tP
Fonte: Adaptado de Morettin (2009, p. 347).
18 UNIUBE
Assim o intervalo de 95% de confiança para a média será dado por
( ) [ ] [ ]025,4;855,2585,044,3
25
4163,1064,244,3%95,IC ⇒±⇒





±=µ ,
sendo a margem de erro igual a 0,585 faltas.
1.2.4 Determinação do tamanho da amostra
Suponha que os dados ainda não foram coletados. Como saber quantos elemen-
tos da população devem ser escolhidos? Suponha, por exemplo, que queiramos 
estimar a renda média de professores da rede pública do ensino fundamental em 
Minas Gerais. Quantas rendas devemos incluir em nossa amostra?
A determinação do tamanho da amostra é um problema de grande importância, 
porque amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo 
e de dinheiro; e amostras demasiadamente pequenas podem levar a resultados 
não confiáveis. Em muitos casos, é possível determinar o tamanho mínimo de 
uma amostra para estimar determinado parâmetro. A fórmula a seguir permite 
calcular o tamanho da amostra:
2
2




=
E
z
n
σα
O tamanho da amostra deve ser um número inteiro, quando o resultado não for 
inteiro, como regra, deve-se arredondar para o próximo inteiro maior.
Com essa fórmula, pode-se determinar o tamanho da amostra necessária para 
dar resultados precisos, fixados o grau de confiança e a margem de erro. A 
fórmula deve ser usada quando conhecemos o valor do desvio padrão popu-
lacional σ e queremos determinar o tamanho da amostra necessário para 
estabelecer, com um nível de confiança de a−1 , o valor de m com um erro a 
menos de E± . A existência dessa fórmula implica que o tamanho da amostra 
não depende do tamanho da população.
UNIUBE 19
 exemplificando! 
1.5 Um analista de salários deseja estimar a renda média para o primeiro ano de 
trabalho de engenheiros civis. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o 
analista deseja ter 95% de confiança de que a média amostral esteja a menos de 
R$ 300,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos, por um estudo 
prévio, que para tais rendas, =σ R$ 2.050,00.
Solução
Queremos determinar n , dado que 05,0=α , 300=E , 2050=σ . Aplicando a 
fórmula:
18038,179
300
2050.96,1 2 ≅=



=n
Portanto, devemos obter uma amostra de pelo menos 180 rendas de engenheiros civis 
com um ano de formatura, selecionadas aleatoriamente. Com essa amostra teremos 
95% de confiança em que a média amostral X difira em menos de R$ 300,00 da 
média populacional m .
 1.3 Estimação da proporção populacional
1.3.1 Expressão do intervalo de confiança
Vimos na seção 1.1.3 que o melhor estimador para estimar a proporção p de 
uma população é p̂ (MAGALHÃES, 2002). O raciocínio para a construção do 
intervalo de confiança é semelhante ao da média.
O estimador usado para o desvio padrão da proporção p é dado por:
( )pp ˆ1ˆ −=σ
20 UNIUBE
A margem de erro para a proporção populacional e o intervalo de confiança são 
calculados respectivamente por:
( )
n
pp
zE
ˆ1ˆ
2/
−
= α ;
 
( ) ( )




 −±=−
n
ppzpp
ˆ1ˆˆ)%1( ;ˆIC 2/αα
Este é um intervalo de confiança de ( )%1 a− . Para encontrar o nível crítico 2/az 
consultemos a tabela da distribuição normal.
 exemplificando! 
1.6 Com o intuito de melhorar a qualidade dos serviços de um hospital, a adminis-
tração fez uma pesquisa para avaliar a satisfação dos funcionários. Como o quadro 
era muito grande e fazer uma entrevista com cada funcionário demandaria tempo 
e dinheiro, uma amostra de dois funcionários por setor foi aleatoriamente extraída, 
totalizando 36 entrevistados. A última pergunta do questionário era saber se o fun-
cionário estava satisfeito com o emprego ou não. Para não prejudicar o funcionário 
e não ocorrer respostas mentirosas, o sigilo foi mantido de forma que o entrevistado 
não seria identificado. Dos 36, apenas 23 afirmaram que estavam satisfeitos com o 
emprego. Apresente uma estimativa de 95% de confiança da proporção da satisfação 
dos funcionários do hospital.
Solução
A estimativa pontual de p é:
64,06389,0
36
23ˆ ≈==p
O intervalo de 95% de confiança é dado por:
( ) [ ] [ ]797,0;483,0157,064,0
36
64,0164,096,164,0 ⇒±⇒




 −±
Com 95% de confiança, podemos dizer que a proporção de funcionários satisfeitos 
está entre 0,483 e 0,797. Ou, em outras palavras, podemos afirmar que a proporção 
de funcionários satisfeitos é 64%, com margem de erro de 15,7%.
UNIUBE 21
 agora é a sua vez 
Vamos praticar? Resolva a atividade 2a e 2b.
1.3.2 Determinação do tamanho da amostra
No caso de proporção populacional, a determinação do tamanho da amostra se 
procede de forma similar à que foi feita para a média.
Resolvendo a equação de erro para n, encontramos:
( ) ( )
2
2
2/ ˆ1ˆ
E
ppz
n
−
= α
Observe que para aplicar a fórmula, podemos fixar a margem de erro E e o grau 
de confiança ( )%1 a− . Mas qual valor atribuir à proporção p̂ ?
Na prática, para atribuir um valor a p̂ você pode adotar um dos seguintes cri-
térios:
• Usar a proporção amostral p̂ estimada em um estudo piloto;
• Usar 5,0ˆ =p , pois este é o valor que maximiza da variância de p;
• Usar um valor fornecido por especialista da área de estudo;
• Usar a proporção da amostra a partir de unidade similar.
Quando n não for inteiro, arredonda-se para o inteiro superior.
22 UNIUBE
 exemplificando! 
1.7 Uma montadora de automóveis deseja saber a proporção de motoristas clientes da 
sua marca que fazem revisão mecânica em sua autorizada. Eladeseja estimar, com 
uma margem de erro de três pontos percentuais, a percentagem de motoristas que 
se dirigem ao seu serviço autorizado quando os automóveis apresentam problemas 
mecânicos ou desejam outro serviço. Supondo que se pretenda um nível de confiança 
de 95% nos resultados, quantos motoristas devem ser pesquisados?
a) Suponha que tenhamos uma estimativa p̂ com base em estudo anterior, que 
mostrou que 18% dos motoristas utilizavam o serviço da autorizada.
b) Suponha que não tenhamos qualquer informação que possa sugerir um valor de p .
Solução
a) 18,0ˆ =p ; ao nível de 95% de confiança, 05,0=α e 96,12/ =αz . A margem de 
erro é de três pontos percentuais, logo: 03,0=E .
( )( ) 6310224,630
03,0
82,018,096,1
2
2
≈==n
Devemos pesquisar ao menos 631 motoristas selecionados aleatoriamente.
b) Assim como na parte (a), utiliza-se 96,12/ =αz e 03,0=E , mas sem qualquer 
conhecimento prévio de p , temos que utilizar o valor de 5,0ˆ =p que maximiza a 
variância.
( ) 10681111,1067
03,0
5,096,1
2
22
≈==n
Para termos 95% de confiança de que nossa percentagem amostral está a menos 
de três pontos percentuais da verdadeira percentagem de todos os motoristas, de-
vemos selecionar aleatoriamente e pesquisar 1.068 motoristas. Comparando esse 
resultado com o tamanho amostral de 631, obtido na parte (a), podemos ver que, na 
ausência de conhecimento de um estudo prévio, é necessária uma amostra maior 
para obtermos os mesmos resultados que obteríamos se pudéssemos estimar o 
valor de p .
UNIUBE 23
 1.4 Testes de hipótese para média populacional
Estudaremos agora os testes de hipóteses (ou afirmações) sobre parâmetros 
de uma população. Vejamos inicialmente como formular hipóteses, a partir de 
três exemplos.
1.4.1 Formulação das hipóteses para teste
 exemplificando! 
1.8 Uma indústria farmacêutica deseja testar um novo medicamento no combate à 
dor de cabeça. A ideia é verificar se o novo medicamento, Sem dor, é mais rápido 
para atuação no organismo de uma pessoa que os analgésicos comuns. Sabe-se 
que o tempo de alívio de dor dos analgésicos comuns é 15 minutos. Logo, a indús-
tria deseja testar se o medicamento Sem dor age no organismo em menos de 15 
minutos. Admite-se que o tempo de alívio do medicamento no organismo segue uma 
distribuição normal.
1.9 O gerente de um importante hotel estabeleceu que a quantia média gasta por 
hóspedes em um fim de semana é de R$ 500,00 ou menos. Um funcionário do setor 
de contabilidade observou que as despesas totais dos hóspedes têm aumentado nos 
últimos meses. O contador do hotel irá avaliar se essa afirmativa é verdadeira ou não. 
Admite-se que o gasto dos hóspedes segue uma distribuição normal.
1.10 Uma empresa de telefonia fixa afirma que o consumo mensal de ligações de longa 
distância foi 3 horas e 35 minutos por residência no último ano. Deseja-se avaliar se 
o consumo por residência deste ano é o mesmo. Admite-se que o consumo mensal 
de ligações à longa distância segue uma distribuição normal.
Existem testes de hipóteses para média e para proporção de uma população. Uma 
suposição que precisa ser feita é que os dados da população provêm de uma distri-
buição normal com a média ou proporção desconhecidas; a variância pode ser co-
nhecida ou não. Vamos agora definir as componentes de um teste de hipóteses:
24 UNIUBE
• Hipótese nula (denotada por H0): é uma afirmação sobre o valor de um parâ-
metro populacional (como a média ou proporção), deve conter a condição de 
igualdade e deve escrever-se como =, ≤ ou ≥ . (Ao fazermos efetivamente o 
teste, trabalhamos com a hipótese de que o parâmetro é igual a um valor es-
pecificado.) Para a média, temos as três formas possíveis para a hipótese nula:
H0: m = algum valor
H0: ≥m algum valor
H0: ≤m algum valor
• Hipótese alternativa (denotada por Ha): é uma afirmação que deve ser ver-
dadeira se a hipótese alternativa comporta apenas uma das três formas:
Ha: ≠m algum valor
Ha: m < algum valor
Ha: m > algum valor
 importante! 
Se você está fazendo uma pesquisa e deseja usar um teste de hipótese para apoiar 
sua afirmação, essa afirmação deve ser formulada de maneira que se torne a hipótese 
alternativa, não podendo conter a condição de igualdade (TRIOLA, 1999).
No exemplo 1.8, as hipóteses a serem testadas são:
• Hipótese nula H0: 15≥µ minutos;
• Hipótese alternativa Ha: 15<µ minutos.
No exemplo 1.9, as hipóteses a serem testadas são:
• a hipótese nula é H0: 500≤m reais;
• a alternativa é Ha: 500>m reais.
UNIUBE 25
No exemplo 1.10, as hipóteses a serem testadas são:
• a hipótese nula é H0: 215=m minutos (3 horas e 35 minutos)
• a alternativa é Ha: 215≠m minutos.
1.4.2 Erros em testes de hipóteses
Ao testarmos hipóteses podemos tomar duas decisões: rejeitar H0 ou não re-
jeitá-la. As decisões podem estar corretas ou incorretas, mesmo quando se faz 
o planejamento do teste corretamente. Na condução de um teste de hipótese, 
podemos cometer dois erros:
• Erro tipo I: consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
• No exemplo 1.8 seria dizer que o tempo de reação do medicamento Sem 
dor é menor que 15 minutos, quando, na verdade, é igual ou superior a 
15 minutos.
• No exemplo 1.9 seria dizer que o consumo dos hóspedes é superior a 
R$ 500,00, quando, na verdade, é igual ou inferior a R$ 500,00.
• No exemplo 1.10 seria dizer que o consumo mensal de ligações por re-
sidência é diferente de 3 horas e 35 minutos, quando, na verdade, esse 
consumo é igual a 3 horas e 35 minutos.
A probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira é chamada de nível 
de significância (denotada por a ), geralmente é fixada antes de se realizar 
o teste.
• Erro tipo II: consiste em não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa.
26 UNIUBE
• No exemplo 1.8 seria dizer que o tempo de reação do novo medicamento é 
igual ou superior a 15 minutos, quando, na verdade, é inferior a 15 minutos.
• No exemplo 1.9 seria dizer que o consumo dos hóspedes é igual ou inferior 
a R$ 500,00, quando, na verdade, é superior a R$ 500,00.
• No exemplo 1.10 seria dizer que o consumo mensal de ligações por resi-
dência é igual a 3 horas e 35 minutos, quando, na verdade, é diferente de 
3 horas e 35 minutos.
A probabilidade de não rejeitar Ho quando ela é falsa é representada pelo sím-
bolo b .
O Quadro 1 resume os erros que podemos cometer quando realizamos um teste 
de hipóteses.
 importante! 
No teste de hipóteses devemos escolher a probabilidade do erro tipo I (a), mas não 
selecionamos a probabilidade do erro tipo II (b). O ideal seria se 0== ba , mas como 
isso não é possível; devemos controlar as probabilidades de erro a e b . Pode-se mostrar 
matematicamente que a, b e o tamanho da amostra n estão todos inter-relaciona-
dos, de forma que, escolhidos quaisquer dois deles, o terceiro está automaticamente 
determinado. Na prática, o comum é determinar os valores de a e n , de modo que 
o valor de b fica determinado.
Além das definições de erro tipo I e erro tipo II, existem outros componentes 
que precisam ser definidos:
• Estatística de teste: é um valor baseado nos dados amostrais para tomar 
uma decisão sobre a rejeição da hipótese nula. No caso de teste para média 
ela será formada pela média amostral e pelo desvio padrão. Veremos mais a 
frente como se constrói a estatística de teste.
UNIUBE 27
• Região crítica: é o conjunto de todos os valores da estatística de teste que 
levam à rejeição da hipótese nula.
• Valor crítico: é o valor ou os valores que separa(m) a região crítica dos valores 
da estatística de teste que não levam à rejeição da hipótese nula. Os valores 
críticos dependem da natureza da hipótese nula, da distribuição amostral da 
estatística de teste do nível de significância a.
1.4.3 Estatística de teste
A estatística de teste, que chamaremos Z calculado e denotaremos Zcalc, utilizada 
no teste de hipóteses é construída a partir do Teorema Central do Limite. Para 
a média, a estatística de teste é dada por:
0
/calc
Xz
n
mσ
−
= , 
considerando que o valor de 0m é o valor extremo dado pela hipótese nula.
Também podemos definir a estatística de teste para a proporção:
0
0 0
ˆ
(1 )calc
p pz
p p
n
−
=
−
, 
sendo 0p o valor extremo fornecido pela hipótese nula.
Quadro 1: Erros em testes de hipóteses.
H0 é verdadeira H0 é falsa
Decisão
Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta
Não rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II
Fonte: Elaborado por Fernanda Karine Ruiz Colenghi.
28 UNIUBE
1.4.4 Tipos de testes: bilateral e unilateral
As caudas em uma distribuição de probabilidades são as regiões extremas deli-
mitadas por valores críticos. A partir de H0, dá para saber qual é o tipo de teste. 
A cauda corresponderá à região crítica que contém os valores conflitantes com 
a H0. As figuras 1.3, 1.4 e 1.5 mostram como se verificam os tipos de testes. Na 
figura 1.3, o teste é unilateral esquerdo. Na figura 1.4, o teste é unilateral direito. 
Na figura 1.5, o teste é bilateral. As expressões unilateral e bilateral em alguns 
livros são denominadas unicaudal e bicaudal.
Mais adiante você entenderá melhor como se faz o teste para proporção. Vamos 
enfocar primeiramente o teste para a média.
Figura 3: Região de rejeição para o teste 
unilateral esquerdo. Sinal de Ha: < teste 
unilateral esquerdo.
Figura 4: Região de rejeição para o teste 
unilateral direito. Sinal de Ha: > teste 
unilateral direito.
Figura 5: Região de rejeição para o teste 
bilateral. Sinal de Ha: ≠ teste bilateral.
Figura 2: Região crítica ou de rejeição da hipótese nula.
UNIUBE 29
 importante! 
Quando o teste é unilateral definimos as hipóteses assim:
• H0: 0mm ≤ contra Ha: 0mm > para o teste unilateral direito; ou
• H0: 0mm ≥ contra Ha: 0mm < para o teste unilateral esquerdo.
Contudo, alguns autores usam as mesmas hipóteses definidas de forma diferente:
• H0: 0mm = contra Ha: 0mm > para o teste unilateral direito; ou
• H0: 0mm = contra Ha: 0mm < para o teste unilateral esquerdo.
A diferença está no sinal de igualdade para a hipótese nula no teste unilateral. Essa 
diferença de notação não altera a construção do teste.
 exemplificando! 
1.11 Uma entidade de defesa do consumidor afirma que os consumidores dos postos 
Compre Barato estão sendo prejudicados em virtude de que quando o marcador indica 
1 litro, a quantidade média de combustível fornecida é realmente inferior a 1 litro.
a) Expresse, de forma simbólica, a afirmação de que os postos Compre Barato estão 
prejudicando os consumidores.
Solução
A afirmação de que os consumidores estão sendo prejudicados é equivalente a afir-
mar que a média é inferior a 1 litro, o que, em forma simbólica, se expressa como 
1<m litro.
b) Identifique a hipótese nula H0.
Solução
A afirmação original 1<m litro não contém a igualdade conforme exigida pela hipótese 
nula. A afirmação original é, pois, a hipótese alternativa; a hipótese nula é H0: 1≥m .
30 UNIUBE
c) Identifique a hipótese alternativa Ha.
Solução
A hipótese alternativa é Ha: 1<m .
d) Identifique esse teste como bilateral, unilateral direito ou unilateral esquerdo.
Solução
Esse teste é unilateral esquerdo, porque a hipótese nula é rejeitada se a média amos-
tral é significativamente inferior a 1 (está à esquerda de 1). (Com uma dupla verificação, 
note que a hipótese alternativa 1<m contém o sinal <, que aponta para a esquerda.)
e) Identifique o erro tipo I para esse teste.
Solução
O erro tipo I (rejeição de uma hipótese nula verdadeira) consiste em rejeitar H0: 1≥m 
quando a média populacional é realmente igual ou superior a 1. Trata-se de um erro 
sério, porque os postos Compre Barato serão acusados de prejudicar os consumidores 
quando, na realidade, não há tal prejuízo.
f) Identifique o erro tipo II para esse teste.
Solução
O erro tipo II (não rejeitar a hipótese nula falsa) consiste em não rejeitar H0: 1≥m 
litro, quando a média populacional é realmente inferior a 1. Isto é, concluímos que 
não há evidência suficiente para comprovar o prejuízo, quando esse prejuízo está 
efetivamente ocorrendo.
g) Suponha que a conclusão seria rejeitar a hipótese nula. Enuncie a conclusão em 
termos não técnicos; certifique-se de que está abordando a afirmação original.
Solução
UNIUBE 31
Conclui-se que há evidência suficiente para apoiar a afirmação de que a quantidade 
média de combustível fornecida é inferior a 1 litro.
h) Suponha que a conclusão seja não rejeitar a hipótese nula. Enuncie a conclusão 
em termos não técnicos; certifique-se de que está abordando a afirmação original.
Solução
Concluir que não há evidência suficiente para apoiar a afirmação de que a quantidade 
média de combustível fornecida é inferior a 1 litro.
 importante! 
Para realizar os testes, temos que levar em consideração o tipo de teste (bilateral ou 
unilateral) e se a variância dos dados é conhecida ou não. Se esta for desconhecida, 
devemos observar se a amostra é grande (n > 30) ou não. Isso é importante, pois a 
partir dessa análise é que as estatísticas de teste e a região crítica são construídas.
Vamos estudar todos os quatro casos.
1.4.4.1 Caso 1: teste unilateral quando a variância populacional 2σ é 
conhecida ou a amostra é grande (n > 30)
Quando se realiza um teste unilateral, a hipótese alternativa é Ha: m < 0m , no caso 
do teste unilateral esquerdo ou Ha: m > 0m , no caso de um teste unilateral direito. 
A partir de uma amostra dos dados calcula-se a média amostral X . No caso em 
que a variância populacional 2σ é conhecida, a estatística de teste será:
0
/calc
Xz
n
µ
σ
−=
32 UNIUBE
Figura 6: Região de rejeição da hipótese nula no 
teste unilateral esquerdo.
Figura 7: Região de rejeição da hipótese nula no 
teste unilateral direito.
No caso em que a variância 2σ é desconhecida, mas a amostra é grande (n > 30) 
utiliza-se o valor do desvio padrão S dos dados da amostra como uma estimativa 
de σ . Portanto a estatística de teste será:
0
/calc
Xz
S n
µ−=
Assim, é construída a regra de rejeição, conforme ilustram as figuras 6 e 7.
UNIUBE 33
Quando se observa o valor da estatística calcZ (estatística de teste) na região 
crítica, deve-se rejeitar H0. Caso contrário, não se deve rejeitar H0. Denotando 
RC de região crítica, podemos escrever:
• { }, tal que RC z z za= ∈ℜ < − para teste unilateral esquerdo;
• { }αzzzRC >ℜ∈= . que tal, para teste unilateral direito.
 exemplificando! 
1.12 Retomemos o exemplo 1.8, visto na seção 1.4.1. Suponha que se tenha uma 
amostra dos tempos no qual os pacientes acusaram para o alívio de dor de cabeça 
do medicamento Sem Dor. A média dos tempos de atuação para os 40 pacientes foi 
2,14=X minutos, o desvio padrão calculado a partir das observações foi 73,2=S 
minutos. Vamos testar a hipótese de que o tempo de reação do medicamento é menor 
que 15 minutos, usando um nível de significância 05,0=α .
Hipóteses:
H0: 15≥µ minutos contra Ha: 15<µ minutos
Região crítica:
{ }64,1 que tal, −<ℜ∈= zzRC
 
34 UNIUBE
Estatística de teste:
Pelas observações coletadas temos:
14,2 15 0,8 1,85
0,432,73 / 40calc
z − −= = = −
Decisão:
Como -1,85 está na RC, rejeita-se H0 a 5% de significância.
Conclusão:
Há evidência suficiente para apoiar a afirmação de que o novo medicamento alivia a 
dor de cabeça em menos de 15 minutos.
 agora é a sua vez 
Vamos praticar? Resolva as atividades 3a e 3b.
1.4.4.2 Caso 2: teste bilateral quando a variância populacional 2σ é 
conhecida ou a amostra é grande (n > 30)
Quando se realiza um teste bilateral, a hipótese alternativa é Ha: 0mm ≠ ( 0m é o 
valor especificado por H0). A partir de uma amostra dos dados calcula-se a média 
amostral X . Assim, quando a variância é conhecida, a estatística de teste será:
0
/calc
Xz
n
µ
σ
−=
Quando a variância é desconhecida, mas a amostra é grande (n > 30), utiliza-se 
o valor de S dos dados como uma estimativa de σ, igual ao caso unilateral. 
Portanto, a estatística de teste será:
0
/calc
Xz
S n
µ−=
UNIUBE 35
Assim, é construída a regra de rejeição, conformemostra a Figura 8.
Quando se observa o valor da estatística calcZ na região crítica, deve-se rejeitar 
H0. Caso contrário, não se deve rejeitar H0. Podemos escrever a região crítica 
da forma:
{ }2/2/ ou que tal, αα zzzzzRC >−<ℜ∈=
 exemplificando! 
1.13 O dono de um grande supermercado afirma que o consumo mensal de ener-
gia elétrica de seu estabelecimento é 40.000 kWh. Um engenheiro contratado pelo 
supermercado deseja avaliar se essa afirmação é verdadeira. Após coletar 36 da-
dos de consumo dos meses anteriores, o engenheiro observa: 42000=X kWh 
e 3500=S kWh. O teste será realizado considerando a probabilidade de o erro 
tipo I ser igual a 0,05. Suponha que o consumo de energia do supermercado siga 
uma distribuição normal.
Solução
Hipóteses:
H0: 40000=m e Ha: 40000≠m
Figura 8: Região de rejeição da hipótese nula no teste bilateral.
36 UNIUBE
Estatística de teste:
Pelas observações temos:
42000 40000 3,43
3500 / 36calc
z −= =
Região crítica:
32  Administração 
Exemplo 5 
O dono de um grande supermercado afi rma que o gasto mensal de 
seu estabelecimento  com energia elétrica é 40000 kWh. O contador 
contratado  pelo  supermercado  deseja  avaliar  se  essa  afi rmação 
é  verdadeira.  Após  36  dados  terem  sido  coletados,  referentes 
a  consumo  dos  meses  anteriores,  ele  observa: 
kWh  e  kWh.  O  teste  será  realizado  considerando  a 
probabilidade do erro tipo I sendo 0,05. Suponha que o consumo 
de energia do supermercado segue uma distribuição normal. 
Hipóteses: 
H 0 :  e H a : 
Estatística de Teste: 
Pelas observações, temos: 
Região Crítica: 
Decisão: 
Como  ,  decide­se  pela  rejeição  de  H 0 ,  a  5%  de 
signifi cância. 
Conclusão: 
Há evidências de que o consumo de energia desse supermercado 
não é 40000 kWh. 
Caso  3:  Teste  unilateral  para  desconhecida  e  amostra 
pequena 
Nos  casos  vistos  até  o  momento,  a  amostra  era  grande  e, 
portanto, era possível utilizar o Teorema Central do Limite e usar 
a  aproximação  normal para  a  estatística de  teste. Contudo,  não 
podemos  utilizar  esse  teorema  para  amostras  pequenas.  Para 
realizar  testes  com pequenas amostras,  vamos seguir  o mesmo
z = 0
{ }96,1ou 96,1 que tal, >−<ℜ∈= zzzRC
Decisão:
Como RC 43,3 ∈ , decide-se pela rejeição de H0, a 5% de significância.
Conclusão:
Há evidências de que o consumo de energia desse supermercado não seja de 
40000 kWh.
1.4.4.3 Caso 3: teste unilateral quando a variância populacional 2σ é 
desconhecida e a amostra é pequena (n < 30)
Nos casos vistos até o momento, a amostra era grande e, portanto, era pos-
sível utilizar o Teorema Central do Limite e usar a aproximação normal para a 
UNIUBE 37
Figura 9: Região de rejeição em testes t bilaterais.
estatística de teste. Contudo, não podemos utilizar esse teorema para amostras 
pequenas. Para realizar testes com pequenas amostras, vamos seguir o mesmo 
raciocínio que foi utilizado na estimação intervalar. Em vez de utilizar a aproxi-
mação normal, iremos recorrer à distribuição t de Student. A estatística de teste, 
que chamaremos t calculado e denotaremos tcalc, neste caso é:
0
/calc
X
t
S n
µ−
=
A região crítica é construída utilizando a distribuição t com 1−n graus de liber-
dade. No caso em que a hipótese é unilateral temos:
Quando se observa o valor da estatística calct na região crítica, deve-se rejeitar 
H0. Caso contrário, não se deve rejeitar H0. Podemos escrever:
• { }1 , que tal, −−<ℜ∈= ntttRC α para teste unilateral esquerdo e;
• { }1 ,. que tal, −>ℜ∈= ntttRC α para teste unilateral direito.RC = {t }
}RC = {t
O valor crítico 1 , −nta é o valor de t da tabela t Student que fornece uma área 
de a na extremidade superior da distribuição t com 1−n graus de liberdade, 
conforme se vê no gráfico da Figura 10.
38 UNIUBE
 exemplificando! 
1.14 Voltemos ao exemplo 1.9, da seção 1.4.1, em que o contador do hotel pretende 
avaliar se a média de gastos de hóspedes no fim de semana é superior a R$ 500,00. 
Para isso ele selecionou aleatoriamente gastos de 22 hóspedes que estiveram no 
hotel em fins de semana de determinado mês. Os dados observados em reais foram: 
475, 612, 382, 520, 600, 580, 490, 615, 475, 530, 470, 700, 385, 580, 645, 430, 450, 
555, 527, 410, 585, 620. O teste será realizado considerando 01,0=α .
Hipóteses:
H0: 500≤m reais contra Ha: 500>m reais.
Estatística de teste:
Primeiramente calculam-se os estimadores da média e do desvio padrão populacionais:
9,528
22
620585612475 ≈++++= X
( ) ( ) 0,88
21
9,5286209,528475 22 =−++−= S
Figura 10: Área a da distribuição t-Student.
UNIUBE 39
A estatística de teste será:
528,9 500 1,54
88 / 22calc
t −= =
Região crítica:
Pela tabela da distribuição t, o valor crítico é 518,221;01,0 =t .
A região crítica do teste é { }158,2. que tal, >ℜ∈= ttRC
Decisão:
Como 1,54 < 2,158, decide-se pela não rejeição de H0: 500≤m reais.
Portanto, a 1% de significância não há evidências de que o gasto dos hóspedes seja 
superior a R$ 500,00.
 agora é a sua vez 
Vamos praticar? Faça a atividade 4.
1.4.4.4 Caso 4: teste bilateral quando a variância populacional 2σ é 
desconhecida e a amostra é pequena (n < 30)
Seguindo o mesmo raciocínio do Caso 3, o teste bilateral também segue à dis-
tribuição t-Student. A estatística de teste será:
40 UNIUBE
0
/calc
X
t
S n
µ−
=
A região crítica é construída utilizando a distribuição t com 1−n graus de liber-
dade. No caso em que a hipótese é bilateral temos:
Quando se observa o valor da estatística calct na região crítica, deve-se rejeitar 
H0. Caso contrário não se deve rejeitar H0. Podemos escrever a região crítica no 
teste bilateral { }1 ,2/1 ,2/ ou que tal, −− >−<ℜ∈= nn tttttRC αα . O valor crítico 1 ,2/ −nta 
é o valor de t da tabela t‑Student que fornece uma área de 2/a na extremidade 
superior da distribuição t com 1−n graus de liberdade.
 exemplificando! 
1.15 Um consultor de marketing deseja avaliar o preço de um produto comestível no 
mercado. Para tanto, ele seleciona aleatoriamente os preços do produto em 16 lojas 
e acha o valor médio X = 7,50 com um desvio padrão de 1,00 $R=S . Supõe-se que 
os preços do produto sejam normalmente distribuídos. Deseja-se testar a hipótese 
nula H0: 8,00 $R=m usando um nível de significância de 10%.
Solução
Observe que a hipótese alternativa nesse caso é Ha: 8,00 $R≠m . Como o desvio foi 
estimado a partir dos dados e a amostra é pequena, devemos utilizar a estatística t:
7,50 8,00 2
1,00 / 16calc
t −= = −
Figura 11: Região de rejeição do teste bilateral com a 
distribuição t-Student.
}RC = {t
UNIUBE 41
Região crítica:
Pela tabela da distribuição t, o valor crítico é 753,115;05,0 =t . Esse é o valor de t da 
tabela t de Student que fornece uma área de 0,05 na extremidade superior da distri-
buição t com 15 graus de liberdade.
A região crítica do teste é { }753,1ou 1,753 que tal, >−<ℜ∈= tttRC .
Decisão:
Como 2calct = − < 753,1=críticot decidimos pela rejeição de H0: 8,00 $=m a 10% de 
significância. Portanto, há evidências de que o valor do produto não é R$ 8,00.
1.4.5 Valor p (nível descritivo)
Ao realizarmos um teste de hipóteses, partimos de um dado valor de a pre-
fixado, para construir a regra de decisão. Uma alternativa é deixar a cargo de 
quem vai utilizar as conclusões do teste a escolha do valor para a probabilidade 
a , que não precisará ser fixado a priori (antes de realizar o teste). A ideia con-
siste em calcular, supondo que a hipótese nula seja verdadeira, a probabilidade 
(usando a distribuição t ou a normal padronizada) de se obter estimativas mais 
desfavoráveis ou extremas do que está sendo fornecida pela amostra (pelas 
estatísticas calct ou calcz ).
Uma outra maneira é o valor p, denotado por *a . Ele funciona em todos os 
quatro casos vistos anteriormente. Valores pequenos de *a evidenciam que a 
42 UNIUBE
hipótese nula é falsa. Sendo a amostra nossa ferramenta de inferência sobre a 
população, ela fornece uma estimativaque teria probabilidade muito pequena de 
acontecer, se H0 fosse verdadeira. O conceito do que é “pequeno” fica a cargo 
do responsável pelo teste, que, assim, decide qual a usar para comparar com 
o valor obtido *a . Quando não é definido o valor de a para se fazer a compa-
ração recomenda-se usar o nível 0,05.
1.4.5.1 Caso unilateral
Para amostras grandes ou variância populacional conhecida, o valor p será:
• 0* ( | H verdadeira)calcP z za = < para H0: 0mm ≥ e Ha: 0mm < ;
• 0* ( | H verdadeira)calcP z za = > para H0: 0mm ≤ e Ha: 0mm > .
No caso de amostras pequenas, o valor p será :
• 0* ( | H verdadeira)calcP t ta = < para H0: 0mm ≥ e Ha: 0mm < ;
• 0* ( | H verdadeira)calcP t ta = > para H0: 0mm ≤ e Ha: 0mm > .
 importante! 
Alguns valores de nível descritivo não estão acessíveis nas tabelas das distribuições 
normal padronizada e t. Quando não há um software disponível para fazer o cálculo, 
mas somente as tabelas, você pode fazer uma aproximação para o valor p, dizendo 
entre quais valores ele se situa. No Excel 2003, você obtém o valor p na função DIST.
NORMP, para a normal padronizada e DISTT para a distribuição t. Veja na ajuda do 
Excel que a função disponibiliza a distribuição acumulada até o ponto calcz ou calct .
UNIUBE 43
 exemplificando! 
1.16 Voltando ao exemplo do medicamento Sem Dor, visto na seção 1.4.1, a estatís-
tica de teste foi calcz = -1,85.
O valor p é:
==−<= )15|85,1(* µα zP 0,0322
Isso significa que a probabilidade de se dizer que o tempo de reação do medicamento 
é 15<µ minutos, quando na verdade é 15≥µ é 0,0322, que é bem pequena. O 
erro que estaria cometido seria pequeno. Por isso é que se decide pela rejeição de 
H0: 15≥µ .
No exemplo 2, da seção 4.1, o valor p é dado por 07,0)500|54,1(* =≤>= µα tP .
Se o nível de significância adotado fosse 0,05, decidiríamos por não rejeitar H0 e se 
fosse 0,1 decide-se por rejeitar H0. A decisão final será de acordo com a vontade de 
quem realiza o teste. Ele irá avaliar se o erro é grande e decidirá pela não rejeição 
de H0 ou se é tolerável, podendo rejeitar H0.
44 UNIUBE
1.4.5.2 Caso bilateral
Ao calcularmos o nível descritivo (valor p), precisamos considerar que forma da 
região crítica envolve os valores de calcz e calct que se distanciam muito (para 
mais ou para menos) daquele previsto pela hipótese nula. Dessa forma, o proce-
dimento usual é multiplicar por dois a probabilidade obtida em uma das caudas, 
de modo a preservar a ideia de afastamento bilateral. Assim, ao testarmos H0: 
0mm = contra Ha: 0mm ≠ , a definição do valor p depende da relação entre X e 
0m que é o mesmo que avaliar se calcz e calct são maiores que zero:
1) Se 0calcz < para o caso de amostra grande ou variância conhecida, ou 0calct < 
para o caso de amostra pequena e variância desconhecida,
• 0* 2 ( | H verdadeira)calcP z za = × < ;
• 0* 2 ( | H verdadeira)calcP t ta = × < respectivamente.
2) Se 0calcz > para o caso de amostra grande ou variância conhecida, ou 0calct > 
para o caso de amostra pequena e variância desconhecida,
• 0* 2 ( | H verdadeira)calcP z za = × > ;
• 0* 2 ( | H verdadeira)calcP t ta = × > respectivamente.
Vejamos na Figura 12 como é encontrado o valor p no caso em que 0calcz > e 
0calct > são maiores que zero.
Figura 12: Região de rejeição dado *a em testes bilaterais.38  Administração 
Caso bilateral 
Ao calcularmos o nível descritivo (valor p), precisamos considerar 
que forma da região crítica envolve os valores de  e  que 
se distanciam muito (para mais ou para menos) daquele previsto 
pela hipótese nula. Dessa forma, o procedimento usual é multiplicar 
por dois a probabilidade obtida em uma das caudas, de modo a 
preservar  a  idéia  de  afastamento  bilateral. Assim,  ao  testarmos 
H 0 :  contra H a :  , a defi nição do valor p depende da 
relação entre  e  , que é o mesmo que avaliar se  e 
são maiores do que zero: 
se  para  o  caso  de  amostra  grande  ou  variância 
conhecida,  ou  para  o  caso  de  amostra  pequena  e 
variância desconhecida, 
; 
, respectivamente. 
se  para  o  caso  de  amostra  grande  ou  variância 
conhecida,  ou  para  o  caso  de  amostra  pequena  e 
variância desconhecida, 
; 
, respectivamente. 
1. 
• 
• 
2. 
• 
• 
Vejamos, por exemplo, como é encontrado o valor p no caso em 
que  e  são maiores do que zero.
UNIUBE 45
 exemplificando! 
1.17 Voltando ao exemplo 1.13, da seção 1.4.4.2, relativo ao consumo de energia em 
um supermercado, tínhamos as hipóteses H0: 40000=m kWh contra Ha: 40000≠m 
kWh. Se formos tomar a decisão a partir do valor p, temos que calcular:
• 0* 2 ( | H verdadeira)calcP z za = × > , porque 0calcz > .
• 0,01)40000|43,3 (2* <=>×= µα zP
Como nesse caso, o valor p é muito pequeno, decide-se pela rejeição de H0, levando 
à mesma conclusão que no procedimento de teste de hipóteses.
 agora é a sua vez 
Vamos praticar? Faça as atividades 5.a e 5.b.
 1.5 Teste para proporção
Vamos agora mostrar como podemos testar uma afirmação sobre uma pro-
porção, probabilidade ou porcentagem. O raciocínio é semelhante ao que foi 
desenvolvido no teste para a média. Todavia, trabalhando com a proporção, as 
observações se originam de um modelo Binomial, e de acordo com Triola (1999), 
a distribuição amostral das proporções amostrais pode ser aproximada por uma 
distribuição normal. As hipóteses no teste para proporção são:
H0: 0pp = H0: 0pp ≤ H0: 0pp ≥
Ha: 0pp ≠ Ha: 0pp > Ha: 0pp <
46 UNIUBE
E a estatística de teste é:
0
0 0
ˆ
(1 )calc
p pz
p p
n
−
=
− ;
tal que p̂ é a proporção observada na amostra e n é o número de observações 
da amostra. Observe que o desvio utilizado no teste é ( )0 01p p
n
σ
−
= fornecido 
pela hipótese nula, ele não é estimado pelos dados. Por isso a aproximação da 
estatística de teste é feita pela distribuição normal padronizada.
A Figura 13 mostra a região crítica nos casos de testes unilaterais esquerdo e 
direito.
1.5.1 Caso unilateral
Quando se observa o valor da estatística calcz na região crítica, deve-se rejeitar H0. 
Caso contrário não se deve rejeitar H0. Podemos escrever:
• { }αzzzRC −<ℜ∈= que tal, para teste unilateral esquerdo;
• { }αzzzRC >ℜ∈= . que tal, para teste unilateral direito.
Figura 13: Região de rejeição para o teste da proporção p nos casos unilaterais.
UNIUBE 47
1.5.2 Caso bilateral
A região de rejeição no caso de um teste bilateral é ilustrada na Figura 14.
Quando se observa o valor da estatística calcz na região crítica, deve-se rejeitar H0. 
Caso contrário não se deve rejeitar H0. Podemos escrever a região crítica da 
forma:
{ }2/2/ ou que tal, αα zzzzzRC >−<ℜ∈=
1.5.3 Critério do valor p no teste de proporção
Seguindo o mesmo raciocínio que foi mostrado para o valor p para o teste para 
média, temos:
• 0* ( | H verdadeira)calcP z za = < para H0: 0pp ≥ e Ha: 0pp < ;
• 0* ( | H verdadeira)calcP z za = > para H0: 0pp ≤ e Ha: 0pp > ;
Ao testarmos H0: 0pp = contra Ha: 0pp ≠ , a definição do valor p depende da 
relação entre p̂ e 0p , que é o mesmo que avaliar se calcz é maior ou menor 
do que zero:
• Se 0calcz < , 0* 2 ( | H verdadeira)calcP z za = × < ;
• Se 0calcz > , 0* 2 ( | H verdadeira)calcP z za = × > .
Figura 14: Região de rejeição para o teste da 
proporção p nos caso bilateral.
48 UNIUBE
 exemplificando! 
1.18 O departamento de recursos humanos de uma grande multinacional, preocu-
pado com a qualidade de vida de seus funcionários, deseja saber se a proporção de 
fumantes em sua empresa é superior a 30%. Para tanto, o administrador responsável 
pelo estudo selecionou aleatoriamente 40 funcionários, e verificou que nove fumavam. 
Qual foi a conclusão do administrador a um nível de significância de 5%?
Solução
A proporção de fumantes estimada é:
 
p̂ = 8
40
= 0,2
Hipóteses:
H0: 3,0≤p contra Ha: 3,0>p
Região crítica:
Como o teste é unilateral direito, a região crítica é dada por: { }64,1 que tal, >ℜ∈= zzRC , 
sendo que( ) 05,064,1 =>zP .
42  Administração 
Região Crítica: 
Como  o  teste  é  unilateral  direito,  a  região  crítica  é  dada  por: 
, sendo que 
Estatística de teste: 
Decisão: 
Como  ­1,38  não  pertence  à  região  crítica,  decide­se  pela  não 
rejeição de H 0  com 5% de signifi cância.  Logo,  há evidências de 
que a proporção de fumantes não é superior a 30%. 
Critério de decisão pelo valor p 
O  valor  p  é  ,  comparando­o 
com o nível 0,05,  decide­se,  também, pela não  rejeição de H 0 : 
. 
Uma  empresa  de  telefonia  celular  deseja  saber  se  a  proporção 
de  consumidores  que  utilizam  seu  serviço  é  de  50%  da 
população  do  estado.  Para  isso,  ela  selecionou  aleatoriamente 
100  consumidores,  dos  quais  48  informaram  que  utilizam  seus 
serviços. Tire conclusões a 5% de signifi cância. 
A proporção amostral observada é: 
Exemplo 9 
Hipóteses: 
H 0 :  e H a : 
Estatística de Teste:
Estatística de teste:
( )
0,2 0,3 1,38
0,3 0,7 / 40
calcz
−
= = −
×
UNIUBE 49
Decisão:
Como -1,38 não pertence à região crítica, decide-se pela não rejeição de H0 com 5% de 
significância. Logo, há evidências que a proporção de fumantes não é superior a 30%.
Critério de decisão pelo valor p
O valor p é 916,0)3,0|38,1(* =≤−>= pzPα , comparando-o com o nível 0,05, 
decide-se também pela não rejeição de H0: 3,0≤p .
1.19 Uma empresa de telefonia celular deseja saber se a proporção de consumidores 
que utilizam seu serviço é 50% da população do estado. Para isso ela selecionou 
aleatoriamente cem consumidores, dois quais 48 informaram que utilizam seus ser-
viços. Tire conclusões a 5% de significância.
Solução
A proporção amostral observada é:
48,0
100
48ˆ ==p
Hipóteses:
H0: 5,0=p e Ha: 5,0≠p
Estatística de teste:
0,48 0,5 0,40
(0,5 0,5) /100calc
z −= = −
×
43 Etapa IV ­ Volume 2 
Região Crítica: 
Como  >  ­1,96  e  <  1,96,  toma­se  por  decisão  não 
rejeitar  H 0 ,  isso  signifi ca  que  não  há  evidência  sufi ciente  para 
rejeitar  a  afi rmação  de  que  50%  dos  consumidores  utilizam  o 
serviço da empresa de telefonia celular. 
Ao tomar a decisão usando o valor p, considerando­se que o teste 
é bilateral e  , temos: 
Como  o  valor  p  supera  o  nível  de  signifi cância  de  0,05,  não 
rejeitamos  a  hipótese  nula  e,  novamente,  concluímos  que  não 
há  evidência  sufi ciente  para  rejeitar  a  afi rmação  de  que  50% 
dos consumidores utilizam os  serviços da operadora de  telefone 
celular. 
Usando intervalos de confi ança para tomada de 
decisões 
O  intervalo  de  confi ança  pode  ser  utilizado  para  tomada  de 
decisões  no  caso  de  teste  de  hipóteses  bilateral.  Sejam  as 
hipóteses H 0 :  contra H a :  , a decisão tomada será: 
Rejeita­se  H 0  ,  se  não  pertence  ao  intervalo  de 
confi ança; 
Não  se  rejeita  H 0  ,  se  pertence  ao  intervalo  de 
confi ança. 
O nível de confi ança  considerado no intervalo, em termos 
do teste de hipóteses, será o nível de signifi cância  . A tomada de 
decisões ,por meio do intervalo, serve para teste de média com
50 UNIUBE
Região crítica:
{ }96,1ou 96,1 que tal, >−<ℜ∈= zzzRC
Como 0,40calcz = − > –1,96 e < 1,96, decide-se não rejeitar H0, isso significa que 
não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação de que 50% dos consumidores 
utilizam o serviço da empresa de telefonia celular.
Ao tomar a decisão usando o valor p, considerando que o teste é bilateral e 0calcz < , 
temos:
0,68920,34462)5,0|40,0(2* =×==−<×= pzPα
Como o valor p supera o nível de significância de 0,05 não rejeitamos a hipótese 
nula e novamente concluímos que não há evidência suficiente para rejeitar a 
afirmação de que 50% dos consumidores utilizam os serviços da operadora de 
telefone celular.
 1.6 Usando intervalos de confiança para tomada de decisões
O intervalo de confiança pode ser utilizado para tomada de decisões no 
caso de teste de hipóteses bilateral. Sendo as hipóteses H0: 0mm = contra 
Ha: 0mm ≠ , a decisão a ser tomada será:
• Rejeitar H0 se m não pertencer ao intervalo de confiança;
• Não se rejeita H0 se m pertencer ao intervalo de confiança.
O nível de confiança ( )1 %a− considerado no intervalo, em termos do teste 
de hipóteses, será o nível de significância a . A tomada de decisões por meio 
UNIUBE 51
do intervalo serve para teste de média com variância conhecida e desconhecida 
(amostra grande e pequena) e para teste de proporção.
Para entendermos a mecânica do teste, retomemos os exemplos 1.3 e 1.4, 
estudados na seção 1.2.2 e 1.2.3, respectivamente.
No exemplo 1.3, do quadro Exemplificando, a Statewide Insurance Company 
deseja testar se a idade média dos proprietários de apólices de seguro de vida 
Statewide é 40 anos, com 10% de significância. O teste é H0; 40=µ contra 
Ha: 40≠µ .
O intervalo de 90% construído foi [37, 37; 41, 63]. Como 40=µ pertence ao 
intervalo não se deve rejeitar H0. Portanto, a 10% de significância, há evidên-
cias de que a idade média dos proprietários de apólices de seguro de vida 
Statewide é 40 anos.
Para o exemplo 1.4, deseja-se testar se o número médio de faltas dos fun-
cionários por ano é 2,5, com 5% de significância. O teste é H0; 5,2=m contra 
Ha: 5,2≠m .
O intervalo de 95% de confiança construído para o número médio de faltas por 
funcionário foi [ ]025,4;855,2 . Como 5,2=m não pertence ao intervalo deve-se 
rejeitar H0. Portanto, a 5% de significância, há evidências de que o número 
médio de faltas para cada funcionário, por ano, não é 2,5.
 agora é a sua vez 
Vamos praticar? Faça as atividades 1.d, 2.c e 5.c.
52 UNIUBE
Resumo
Neste capítulo você estudou como construir intervalos de confiança para a 
média m e para a proporção p de uma população. O objetivo de se determi-
nar um intervalo de confiança é estabelecer a precisão de uma estimativa, 
construindo um intervalo que, com certa probabilidade, inclua o verdadeiro 
parâmetro da população.
A expressão do intervalo de confiança depende se o tamanho da amostra n 
é grande ( 30n ≥ ) ou pequeno ( 30n < ), se o desvio padrão σ da população 
é conhecido ou não e se a população de onde é extraída a amostra apresenta 
uma distribuição normal de probabilidades ou aproximadamente normal.
Caso o tamanho da amostra seja grande ( 30n ≥ ) e o desvio padrão σ da 
população, conhecido, usamos a distribuição normal z para calcular a margem 
de erro. Se o tamanho da amostra é grande ( 30n ≥ ) e o desvio padrão σ 
da população é desconhecido, usamos a distribuição normal z, substituindo, 
na fórmula de cálculo da margem de erro σ, pelo desvio padrão amostral S. 
Se o desvio padrão σ da população é desconhecido e a amostra é pequena 
( 30n < ), é necessário que a população tenha uma distribuição normal ou 
aproximadamente normal: nesse caso, usamos a distribuição t. Se a amostra 
é pequena e não pudermos fazer a hipótese de que a população é normal, 
aumentamos o tamanho da amostra para 30n ≥ .
Vimos também os testes de hipóteses para a média m populacional e para 
a proporção p de uma população. O teste de hipóteses é um procedimento 
estatístico para decidir se uma afirmação a respeito da média ou da proporção 
da população deve ser rejeitada a partir de dados obtidos de uma amostra.
Para conduzir um teste, estabelecemos duas hipóteses: a hipótese nula H0 
e hipótese alternativa Ha. Os testes podem ser bilaterais ou unilaterais.
Em seguida, construímos a estatística de teste z ou t. Vimos que a estatística 
de teste depende do tamanho da amostra, de o desvio padrão σ da popula-
UNIUBE 53
ção ser ou não conhecido e de a população de onde provém a amostra ser 
normal ou aproximadamente normal.
A regra de rejeição consiste em comparar a estatística de teste z ou a esta-
tística de teste t com um valor crítico fornecido pela tabela normal z ou pela 
tabela t, respectivamente.
Para um teste unilateral esquerdo, rejeitamos a hipótese nula H0 se o valor 
da estatística de teste for menor que o valor crítico. Para um teste unilateral 
direito,