Problemas aritméticos

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Aula 06
Raciocínio Lógico p/ Agente da Polícia Federal (com videoaulas)
Professor: Marcos Piñon
Raciocínio Lógico p/ Agente da Polícia Federal 
Teoria e exercícios comentados 
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SUMÁRIO PÁGINA 
1. Resolução das questões da Aula 05 1 
2. MDC, MMC e Fatoração 44 
3. Equação do 1º grau 46 
4. Equação do 2º grau 53 
5. Progressões 54 
6. Exercícios Comentados nesta aula 75 
7. Exercícios Propostos 79 
8. Gabarito 83 
 
 
1 - Resolução das questões da Aula 05 
 
 
(Texto para as questões 304 e 305) Considere que, em uma amostra 
composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do 
DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à 
documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a 
multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de 
veículos ou a multas. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens 
seguintes. 
 
304 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Caso se selecionem, ao acaso, duas 
pessoas, entre as 210 da amostra, a probabilidade de que ambas tenham 
procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à 
documentação de veículos ou que a tenham procurado para resolver 
problemas relacionados a multas será superior a 
6
1
. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos desenhar o diagrama para entender o que a questão está 
informando: 
 
Total de pessoas (T): 210 
Pessoas com problemas relacionados a documentação (D): 105 
Pessoas com problemas relacionados a multas (M): 70 
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Pessoas com problemas não relacionados à documentação ou a multas (N): 70 
Pessoas com problemas relacionados à documentação e a multas (D  M): ??? 
 
Podemos desenhar o seguinte diagrama para esta situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, podemos montar a seguinte equação: 
 
n(T) = n(N) + n(D  M) 
210 = 70 + n(D  M) 
n(D  M) = 210 – 70 
n(D  M) = 140 
 
Lembrando aquela equação do número de elementos da união de dois conjuntos, 
temos: 
 
n(D  M) = n(D) + n(M) – n(D  M) 
140 = 105 + 70 – n(D  M) 
n(D  M) = 175 – 140 
n(D  M) = 35 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Queremos selecionar duas pessoas entre as 210 que tenham procurado a unidade 
do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de 
veículos ou que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a 
multas. Assim, até pouco tempo atrás, eu entendia que as duas pessoas deveriam 
estar na área amarela do diagrama ou as duas pessoas deveriam estar na área 
azul do diagrama, porém, após a divulgação das justificativas para as repostas das 
questões da prova de Agente Administrativo da Polícia Federal aplicada este ano, 
devemos acrescentar, também, a opção de as duas pessoas estarem na área 
cinza do diagrama: 
 
 
T 
D 
M 
D  M 
T 
D 
M 
35 
70 
105-35 
= 70 
70-35 = 
35 
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Com isso, o número de casos favoráveis para uma pessoa na área amarela é 70, 
o número de casos favoráveis para uma pessoa na área azul é 35, o número de 
casos favoráveis para uma pessoa na área cinza é 35, e o número de casos 
possíveis é 210. 
 
P(1ª pessoa na área amarela) = 
possíveiscasos
favoráveiscasos
 = 
210
70
 = 
3
1
 
 
Como queremos a probabilidade para duas pessoas, o número de casos possíveis 
para a segunda pessoa é igual a 210 – 1 = 209 e o número de casos favoráveis é 
70 – 1 = 69. Assim: 
 
P(2ª pessoa na área amarela) = 
possíveiscasos
favoráveiscasos
 = 
209
69
 
 
Assim, a probabilidade total para duas pessoas na área amarela é: 
 
P(amarela) = 
3
1
 
209
69
 = 
209
23
 
 
Agora, vamos calcular a probabilidade para as duas pessoas pertencerem à área 
azul do diagrama: 
 
P(1ª pessoa na área azul) = 
possíveiscasos
favoráveiscasos
 = 
210
35
 = 
6
1
 
 
Como queremos a probabilidade para duas pessoas, o número de casos possíveis 
para a segunda pessoa é igual a 210 – 1 = 209 e o número de casos favoráveis é 
35 – 1 = 34. Assim: 
 
P(2ª pessoa na área azul) = 
possíveiscasos
favoráveiscasos
 = 
209
34
 
 
Assim, a probabilidade total para duas pessoas na área azul é: 
 
P(azul) = 
6
1
  
209
34
 = 
627
17
 
 
T 
D 
M 
70 
70 35 35 
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Agora, vamos calcular a probabilidade para as duas pessoas pertencerem à área 
cinza do diagrama: 
 
P(1ª pessoa na área cinza) = 
possíveiscasos
favoráveiscasos
 = 
210
35
 = 
6
1
 
 
Como queremos a probabilidade para duas pessoas, o número de casos possíveis 
para a segunda pessoa é igual a 210 – 1 = 209 e o número de casos favoráveis é 
35 – 1 = 34. Assim: 
 
P(2ª pessoa na área cinza) = 
possíveiscasos
favoráveiscasos
 = 
209
34
 
 
Assim, a probabilidade total para duas pessoas na área azul é: 
 
P(cinza) = 
6
1
  
209
34
 = 
627
17
 
 
 
Por fim, aplicando o princípio aditivo, a probabilidade total é: 
 
Pt = 
209
23
 + 
627
17
 + 
627
17
 = 
627
171769 
 = 
627
103
 
 
Como 
6
1
 = 
627
5,104
, podemos concluir que 
627
103
 < 
6
1
. Assim, como a probabilidade 
total é inferior a 
6
1
, o item está errado. 
 
 
305 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Entre as 210 pessoas da amostra, para se 
selecionar, ao acaso, ao menos duas que tenham procurado a unidade do 
DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de 
veículos ou ao menos duas que a tenham procurado para resolver 
problemas relacionados a multas, o menor número de pessoas que devem 
ser selecionadas será igual a 73. 
 
Solução: 
 
Sabemos que: 
 
- 70 pessoas foram resolver problemas não relacionados à documentação ou a 
multas 
 
- 140 pessoas foram resolver problemas relacionados à documentação ou a 
multas 
 
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Para que duas pessoas tenham ido resolver o mesmo problema (de 
documentação ou de multa), devemos escolher pelo menos 3 pessoas entre as 
140, pois caso escolhamos apenas duas pessoas, é possível que uma tenha ido 
resolver um dos problemas e a outra tenha ido resolver o outro problema. Agora, 
para garantir que, entre as 210 pessoas, duas tenham ido resolver o mesmo 
problema (de documentação ou de multa), deveremos escolher pelo menos 
3 + 70 = 73 pessoas, pois 70 pessoas não foram resolver nenhum desses dois 
problemas e podemos dar o azar de os escolhidos pertencerem a esse grupo. É o 
chamado “princípio da casa dos pombos”. 
 
Item correto. 
 
 
(Texto para as questões 306 e 307) Em uma cidade, uma emissora de 
televisão inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a 
aceitação desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa, cujo 
resultado mostrou que, das 1.200 pessoas entrevistadas, 770 pretendem 
assistirao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao programa B e 590 
não pretendem assistir ao programa B. 
 
Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, julgue os próximos 
itens, com base no resultado da pesquisa. 
 
306 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender 
assistir aos dois programas é superior a 
4
1
. 
 
Solução: 
 
Vamos desenhar o diagrama para entender melhor a questão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos atribuir variáveis às regiões do diagrama: 
 
 
 
 
 
 
B A 
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Sabemos que: 
 
1.200 pessoas entrevistadas 
 
x + y + z + w = 1200 (equação 1) 
 
770 pretendem assistir ao programa A 
 
x + y = 770 (equação 2) 
 
370 pretendem assistir apenas ao programa B 
 
z = 370 (equação 3) 
 
Substituindo os valores de “x + y” e de “z” das equações 2 e 3 na equação 1, 
temos: 
 
x + y + z + w = 1200 
 
770 + 370 + w = 1200 
 
w = 1200 – 770 – 370 = 60 
 
590 não pretendem assistir ao programa B 
 
x + w = 590 
 
Como w = 60, temos: 
 
x + w = 590 
 
x + 60 = 590 
 
x = 590 – 60 = 530 
 
Voltando com o valor de “x” na equação 2, temos: 
 
x + y = 770 
 
B A 
x y 
z 
w 
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530 + y = 770 
 
y = 770 – 530 = 240 
 
Preenchendo os valores de x, y, z e w no diagrama, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade 
de essa pessoa pretender assistir aos dois programas é: 
 
Casos favoráveis: 240 
Casos possíveis: 1200 
 
P = 
1200
240
 = 
5
1
 
 
Como 
5
1
 é inferior a 
4
1
, item errado. 
 
 
307 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender 
assistir a apenas um dos programas é igual a 
4
3
. 
 
Solução: 
 
Utilizando o diagrama da questão anterior, a pessoa que pretende assistir a 
apenas um dos programas está representada pela seguinte área cinza: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A 
530 240 370 
60 
B A 
530 240 370 
60 
240 
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Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de essa 
pessoa pretender assistir a apenas um dos programas é: 
 
Casos favoráveis: 530 + 370 = 900 
Casos possíveis: 1200 
 
P = 
1200
900
 = 
4
3
 
 
Portanto, item correto. 
 
 
(Texto para as questões 308 a 310) Célia e Melissa são candidatas ao cargo 
de presidente de uma empresa. A escolha será decidida na assembléia de 
acionistas e cada acionista poderá votar nas duas candidatas, em apenas 
uma ou em nenhuma delas. Uma pesquisa entre os 100 acionistas da 
empresa revelou a seguinte tendência: 
 
• 16 acionistas não votariam em nenhuma dessas 2 candidatas; 
• 28 acionistas votariam apenas em Melissa; 
• 65 acionistas votariam apenas em Célia ou apenas em Melissa. 
 
Nesse caso, escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele 
votar 
 
308 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) apenas em Célia é inferior a 0,4. 
 
Solução: 
 
Vamos começar desenhando o diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos preencher o diagrama com as quantidades informadas pela 
questão: 
 
 
• 16 acionistas não votariam em nenhuma dessas 2 candidatas; 
 
 
Célia Melissa 
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• 28 acionistas votariam apenas em Melissa; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 65 acionistas votariam apenas em Célia ou apenas em Melissa. 
 
Como 28 acionistas votariam apenas em Melissa, concluímos que 65 – 28 = 37 
acionistas votariam apenas em Célia. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por fim, como o total de acionistas entrevistados é igual a 100, e já temos 28 + 37 
+ 16 = 81 acionistas que não votariam nas duas (Melissa e Célia), concluímos que 
100 – 81 = 19 acionistas votariam nas duas candidatas. 
 
 
 
 
 
 
Célia Melissa 
16 
Célia Melissa 
28 
16 
Célia Melissa 
28 37 
16 
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Assim, escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar apenas 
em Célia é: 
 
Casos favoráveis: 37 
Casos possíveis: 100 
 
P = 
100
37
 = 0,37 
 
Portanto, item correto. 
 
 
309 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) nas duas candidatas é igual a 0,2. 
 
Solução: 
 
Utilizando o diagrama da questão anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar nas duas 
candidatas é: 
 
Casos favoráveis: 19 
Casos possíveis: 100 
 
P = 
100
19
 = 0,19 
 
Portanto, item errado. 
Célia Melissa 
28 19 37 
16 
Célia Melissa 
28 19 37 
16 
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310 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) em Melissa é superior a 0,45. 
 
Solução: 
 
Novamente, utilizando o diagrama construído anteriormente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar em Melissa é: 
 
Casos favoráveis: 28 + 19 = 47 
Casos possíveis: 100 
 
P = 
100
47
 = 0,47 
 
Portanto, item correto. 
 
 
(Texto para as questões 311 a 313) Considerando que, em uma 
concessionária de veículos, tenha sido verificado que a probabilidade de um 
comprador adquirir um carro de cor metálica é 1,8 vez maior que a de 
adquirir um carro de cor sólida e sabendo que, em determinado período, dois 
carros foram comprados, nessa concessionária, de forma independente, 
julgue os itens a seguir. 
 
311 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que ao menos um dos dois 
carros comprados seja de cor sólida é igual a 
784
460
. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
Probabilidade de aquisição de carro na cor sólida: x 
Probabilidade de aquisição de carro na cor metálica: 1,8.x 
 
Devemos considerar que só temos essas duas possibilidades, ou a cor do carro é 
sólida ou a cor do carro é metálica. Assim: 
Célia Melissa 
28 19 37 
16 
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x + 1,8.x = 1 
 
2,8.x = 1 
 
x = 
8,2
1
 = 
14
5
 
 
P(sólida) = 
14
5
 
 
P(metálica) = 1,8. 
14
5
 = 
14
9
 
 
Agora, podemos ter a cor dos dois carros da seguinte forma: 
 
- 1º carro cor sólida e 2º carro cor metálica 
 
- 1º carro cor metálica e 2º carro cor sólida 
 
- os 2 carros cor sólida 
 
- os 2 carros cor metálica 
 
Dessas opções, a única que não nos interessa é os dois carros sendo cor 
metálica. Assim, a probabilidade de que ao menos um dos dois carros comprados 
seja de cor sólida é: 
 
P(final) = 1 – P(2 carros na cor metálica) 
 
P(final) = 1 – 
14
9
.
14
9
 
 
P(final) = 1 – 
196
81
 
 
P(final) = 
196
81196 
 = 
196
115
 = 
784
460
 
 
Item correto. 
 
 
312 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que os dois carros 
comprados sejam de cor metálica é 3,24 vezes maior que a probabilidade de 
que eles sejam de cor sólida. 
 
Solução: 
 
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Vimos na questão anterior que a probabilidade de que um carro seja da cor 
metálica é 
14
9
. Assim, a probabilidade de que os dois carros sejam da cor metálica 
é: 
 
P(2 carros na cor metálica) = 
14
9
.
14
9
 = 
196
81
 
 
Vimos também, que a probabilidade de que um carro seja da cor sólida é 
14
5
. 
Assim, a probabilidade de que os dois carros sejam da cor sólida é: 
 
P(2 carros na cor sólida) = 
14
5
.
14
5
 = 
196
25
 
 
Portanto, a probabilidade de que os dois carros sejam da cor metálica é 
196
25
196
81
 
vezes maior do que os dois carros na cor sólida: 
 
196
25
196
81
 = 
25
81
 = 3,24 
 
Portanto, item correto. 
 
 
313 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que somente um dos dois 
carros comprados seja de cor metálica é superior a 50%. 
 
Solução: 
 
Essa probabilidade é dada por 
 
P(1 carro de cada cor) = 1 – P(2 carros na cor sólida) – P(2 carros na cor metálica) 
 
P(1 carro de cada cor) = 1 – 
196
25
 – 
196
81
 
 
P(1 carro de cada cor) = 
196
8125196 
 = 
196
90
 = 45,92% 
 
Portanto, item errado. 
 
 
(Texto para a questão 314) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, em 
2009, havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma 
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população total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região 
Centro-Oeste, no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de 
idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.505.415 
habitantes. A partir dessas informações, julgue o item subsequente. 
 
314 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos 
de idade ou mais escolhida ao acaso em 2009, na região Norte ou na região 
Centro-Oeste, ser analfabeta é inferior a 20%. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
Casos favoráveis: 1.074.700 + 840.433 = 1.915.133 
Casos possíveis: 10.747.000 + 10.505.415 = 21.252.415 
 
Assim, a probabilidade é: 
 
P = 
415.252.21
133.915.1
 = 0,0911 = 9,11% 
 
Item correto. 
 
 
(Texto para a questão 315) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas 
Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social 
está entre as maiores causas da violência entre jovens. 
 
Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população 
jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 
milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de 
até um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa. 
 
Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista 
de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas 
isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será 
violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por 
jovens de classe média. 
Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações). 
 
Tendo como referência o texto acima, julgue o item seguinte. 
 
315 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois jovens 
brasileiros, a probabilidade de ambos serem atingidos pela condição de 
extrema pobreza será inferior a 1,5%. 
 
Solução: 
 
O texto informa que a condição de extrema pobreza atinge 12,2% dos 34 milhões 
de jovens brasileiros. Assim, para a escolha do 1º jovem temos: 
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Casos Possíveis: 34.000.000 
Casos Favoráveis: 12,2% de 34.000.000 = 4.148.000 
 
P(1º jovem) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
000.000.34
000.148.4
 = 12,2% 
 
Para o segundo jovem, temos: 
 
Casos Possíveis: 34.000.000 – 1 = 33.999.999 
Casos Favoráveis: 4.148.000 – 1 = 4.147.999 
 
P(2º jovem) =
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
999.999.33
999.147.4
 = 12,1999974%  12,2% 
 
Como o espaço amostral é muito grande, retirando-se um jovem, a probabilidade 
de escolhermos o segundo jovem é praticamente a mesma da escolha do primeiro 
jovem. Assim, temos: 
 
P(2 jovens) = P(1º jovem)  P(2º jovem) = 12,2%  12,2% = 1,4884% 
 
Item correto. 
 
 
(Texto para as questões 316 e 317) Dos 420 detentos de um presídio, 
verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, 
por outros crimes. Verificou-se, também, que alguns estavam presos por 
roubo e homicídio. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. 
 
316 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de 
se selecionarem dois detentos entre os condenados por outros crimes, que 
não roubo ou homicídio, para participarem de um programa destinado à 
ressocialização de detentos é inferior a 10.000. 
 
Solução: 
 
Primeiramente, vamos representar a distribuição dos presos, sabendo que alguns 
estavam presos por roubo e homicídio: 
 
 
 
 
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Sabemos ainda que: 
 
O presídio continha 420 detentos 
 
A + B + C + D = 420 (equação 1) 
 
140 foram condenados por outros crimes 
 
D = 140 (equação 2) 
 
210 foram condenados por roubo 
 
A + B = 210 (equação 3) 
 
140 foram condenados por homicídio 
 
B + C = 140 (equação 4) 
 
Substituindo os valores de D e de A + B das equações 2 e 3 na equação 1, temos: 
 
A + B + C + D = 420 
210 + C + 140 = 420 
C = 420 – 210 – 140 
C = 70 
 
Substituindo o valor de C na equação 4, temos: 
 
B + C = 140 
B + 70 = 140 
B = 140 – 70 
B = 70 
 
Substituindo o valor de B na equação 3, temos: 
 
A + B = 210 
A + 70 = 210 
A = 210 – 70 
A = 140 
 
Assim, temos: 
 
 
 
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Agora, para selecionar dois detentos entre os condenados por outros crimes, 
podemos entender que formaremos um grupo de 2 pessoas entre os 140 
disponíveis, onde a ordem da escolha não importa. Com isso, utilizaremos a 
combinação dos 140 detentos, dois a dois: 
 
C(140, 2) = 
)!2140!.(2
!140

 = 
)!138.(2
!138.139.140
 = 
2
139.140
 = 70.139 = 9730 
 
Item correto. 
 
 
317 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois 
detentos desse presídio, a probabilidade de que ambos tenham sido 
condenados por roubo ou ambos por homicídio será superior a 
6
1
. 
 
Solução: 
 
Utilizando o diagrama já construído anteriormente: 
 
 
 
Mais uma questão onde devemos utilizar o entendimento demonstrado pelo Cespe 
na prova da Polícia Federal de 2014. Assim, os dois detentos devem ter sido 
condenados apenas por roubo, ou os dois detentos devem ter sido condenados 
apenas por homicídio, ou então os dois detentos devem ter sido condenados por 
roubo e por homicídio ao mesmo tempo. 
 
Para os dois detentos condenados apenas por roubo: 
 
P(1º apenas roubo) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
420
140
 = 
6
2
 
 
P(2º apenas roubo) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1420
1140


 = 
419
139
 
 
Pt(apenas roubo) = P(1º)  P(2º) = 
6
2
  
419
139
 = 
6
1
  
419
278
 
 
Para os dois detentos condenados apenas por homicídio: 
 
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P(1º apenas homicídio)=
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
420
70
 = 
6
1
 
 
P(2º apenas homicídio) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1420
170


 = 
419
69
 
 
Pt(apenas homicídio) = P(1º)  P(2º) = 
6
1
  
419
69
 
 
Para os dois detentos condenados por roubo e homicídio ao mesmo tempo: 
 
P(1º roubo e homicídio) =
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
420
70
 = 
6
1
 
 
P(2º roubo e homicídio) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1420
170


 = 
419
69
 
 
Pt(roubo e homicídio) = P(1º)  P(2º) = 
6
1
  
419
69
 
 
 
Pfinal = Pt(apenas roubo) + Pt(apenas homicídio) + Pt(roubo e homicídio) 
 
Pfinal = 
6
1
  
419
278
 + 
6
1
  
419
69
 + 
6
1
  
419
69
 
 
Pfinal = 
6
1
  (
419
278
 + 
419
69
 + 
419
69
) 
 
Pfinal = 
6
1
  (
419
416
) 
 
Como 
419
416
 é menor do que 1, podemos concluir que Pfinal é menor do que 
6
1
. 
 
Item errado. 
 
 
(Texto para a questão 318) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex 
o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo 
menos x procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a 
quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito 
desses conjuntos. 
 
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318 - (TCDF - 2012 / CESPE) A probabilidade de uma empresa selecionada ao 
acaso no conjunto E já ter participado de exatamente 10 procedimentos 
licitatórios é igual a 
0
1110
N
NN 
 . 
 
Solução: 
 
Esse tipo de questão costuma assustar logo na primeira leitura, mas com vocês 
isso não irá mais acontecer! 
 
Vamos entender quem são N10, N11 e N0: 
 
N0: Número total de empresas, inclusive contando com as que nunca participaram 
de qualquer licitação. 
 
N10: Número de empresas que participaram de pelo menos 10 licitações 
 
N11: Número de empresas que participaram de pelo menos 11 licitações 
 
Sabemos que a probabilidade de algo acontecer é igual à razão entre o número de 
casos favoráveis e o número de casos possíveis. Assim, o N0 representa 
corretamente o total de casos possíveis, pois equivale ao número total de 
empresas. Agora, percebam o seguinte: 
 
Conjunto E10: Formado pelas empresas que participaram de 10, 11, 12, 13, ... 
licitações 
 
Conjunto E11: Formado pelas empresas que participaram de 11, 12, 13, ... 
licitações 
 
Assim, a diferença da quantidade de elementos de E10 e E11 é justamente o total 
de empresas que participaram de exatamente 10 licitações, pois esses elementos 
estarão presentes apenas em E10. 
 
Com isso, podemos concluir que N10 – N11 representa corretamente o número total 
de empresas que participaram de exatamente 10 licitações, e pode ser 
considerado como o total de casos favoráveis. Item correto. 
 
 
(Texto para a questão 319) Dez policiais federais — dois delegados, dois 
peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir 
mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à 
superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para 
tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um 
delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. 
 
Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue. 
 
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319 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se cinco dos citados policiais forem 
escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a 
probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a 
exigência inicial será superior a 20%. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, para sabermos a probabilidade devemos saber o total de casos 
favoráveis e o total de casos possíveis. O total de casos favoráveis é o mesmo 
que a quantidade de maneiras diferentes de compor as equipes, que é dado por: 
 
Delegado: 2 opções 
Perito: 2 opções 
Escrivão: 2 opções 
Agente: C(4,2) = 
)!24!.(2
!4

 = 
)!2!.(2
!2.3.4
 = 
2
12
 = 6 opções 
 
Total de possibilidades = 2  2  2  6 = 48 possibilidades 
 
 
Já o total de casos possíveis é dado pela combinação dos 10 policiais 5 a 5: 
 
 
C10,5 = 
)!510!.(5
!10

 = 
)!5.(1.2.3.4.5
!5.6.7.8.9.10
 = 
2.3.4.5
6.7.8.9.10
 = 9  2  7  2 = 252 
 
Assim, temos: 
 
Casos Favoráveis = 48 
 
Casos Possíveis = 252 
 
Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
252
48
  0,1905 = 19,05% 
 
Item errado. 
 
 
(Texto para a questão 320) Em razão da limitação de recursos humanos, a 
direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar 
os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública 
que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir 
dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise 
na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = 
processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP(X) = processos de 
2 2 
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P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 
3
2
 são 
de A e 
5
3
 são de B, julgue os itens a seguir. 
 
320 - (MPU - 2013 / CESPE) Selecionando-se ao acaso um processo em 
trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva 
autoridade influente será superior a 30%. 
 
Solução: 
 
Essa questão é bastante simples. O que pode nos atrapalhar é simplesmente o 
entendimento das informações. Queremos saber a probabilidade de, escolhendo-
se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, qual a chance de 
este processo não se referir a autoridade influente, ou seja, queremos encontrar o 
valor de P( A ) que já sabemos que é igual a 1  P(A). Sabemos que 
3
2
 de todos 
os processos são de A, ou seja, a probabilidade P(A) é igual a 
3
2
. 
 
Casos Possíveis = P 
 
Casos Favoráveis para A = 
3
2
 de P = 
3
P.2
 
 
P(A) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
P
3
P.2
 = 
3
2
 
 
Assim, podemos encontrar a probabilidade de um processo não ser de A: 
 
P( A ) = 1  P(A) = 1  
3
2
 = 
3
1
 = 0,333... = 33,3% 
 
Portanto, item correto. 
 
 
(Texto para as questões 321 a 324) Estudos revelam que 95% dos erros de 
digitação de uma sequência numérica — como, por exemplo, um código de 
barras ou uma senha — são a substituição de um algarismo por outro ou a 
troca entre dois algarismos da mesma sequência; esse último tipo de erro 
corresponde a 80% dos casos. Considerando esses fatos e que a senha de 
acesso de um usuário a seu provedor de email seja formada por 8 
algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, julgue os itens 
seguintes. 
 
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321 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a 
probabilidade de ocorrer um erro de troca entre dois algarismos da própria 
sequência no momento da digitação de uma sequência numérica é de 80%. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, o erro é afirmar que a probabilidade de ocorrer um erro de troca 
entre dois algarismos da própria sequencia é de 80% no momento da digitação. 
Veja que foi dito no texto que quando ocorre um erro, 80% são de troca entre 
dois algarismos, o que é diferente de dizer que a chance de ocorrer um erro de 
troca entre dois algarismos é de 80% no momento da digitação. Perceberam? Os 
80% se referem ao total de erros já detectados e não ao total de códigos digitados.Item errado. 
 
 
322 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a 
probabilidade de um erro ocorrido na digitação de uma sequência numérica 
ser do tipo substituição de um algarismo por outro é de 15%. 
 
Solução: 
 
Essa questão afirma que dos erros de digitação, 95% se referem a substituição de 
um algarismo por outro ou a troca entre dois algarismos. Como foi dito que a troca 
entre dois algarismos representa 80%, podemos inferir que 95%  80% = 15% 
referem-se a substituição de um algarismo por outro. Item correto. 
 
 
323 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a senha, o usuário cometer um 
erro, a probabilidade de o erro dever-se à troca entre dois algarismos 
adjacentes da sequência será igual a 20%. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, eu demorei um pouco para entender e já estava imaginando que a 
questão estava errada, pensando que ela queria a probabilidade complementar. 
Porém, depois percebi a palavra "adjacente" que foi a pegadinha. Nesse caso, 
devemos calcular a quantidade de maneiras de se cometer esse erro, que é dado 
pela combinação de 8 dígitos 2 a 2: 
 
 
C(8, 2) = 
)!28!.(2
!8

 = 
)!6.(2
!6.7.8
 = 
2
7.8
 = 28 possibilidades 
 
 
Esses seriam os casos possíveis de erros de digitação em que se trocam dois 
algarismos. Porém, só queremos os algarismos adjacentes, o que reduz o número 
de possibilidades para 7: 
 
1º e 2º dígitos 
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2º e 3º dígitos 
3º e 4º dígitos 
4º e 5º dígitos 
5º e 6º dígitos 
6º e 7º dígitos 
7º e 8º dígitos 
 
Portanto, se 28 possiblidades correspondem a 80% de chance de ocorrer, 
podemos dizer que 7 possiblidades correspondem a 20% de chances de ocorrer: 
 
28 ------ 80% 
7 -------- x 
 
x = 
28
%807
 = 20% 
 
Essa foi, em minha humilde opinião, a questão mais bem bolada que vi o Cespe 
elaborar nos últimos anos. Item correto. 
 
 
324 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a sua senha, o usuário cometer 
um erro do tipo substituição de um algarismo por outro, então a 
probabilidade de que tal substituição ocorra no primeiro algarismo da senha 
será igual a 0,1. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, já temos que ocorreu o erro de substituição de um algarismo por 
outro. O que devemos encontrar é a probabilidade de esse erro ter acontecido no 
primeiro algarismo. Assim, temos: 
 
Casos Possíveis = 8 (cada um dos 8 algarismos da senha) 
 
Casos Favoráveis = 1 (apenas o primeiro algarismo da senha) 
 
P = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
8
1
 = 0,125 
 
Portanto, item errado. 
 
 
(Texto para as questões 325 e 326) Os alunos de uma turma cursam 4 
disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. As avaliações 
finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de 
segunda a sexta-feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. 
 
A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 
 
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325 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se cada professor escolher o dia em que 
aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos 
demais, a probabilidade de que todos escolham aplicar as avaliações em um 
mesmo dia será inferior a 1%. 
 
Solução: 
 
A primeira coisa que devemos saber nessa questão, é a probabilidade de que a 
avaliação de uma disciplina ocorra na segunda feira: 
 
Casos favoráveis: segunda-feira (1 único caso favorável) 
 
Casos possíveis: segunda, terça, quarta, quinta e sexta-feira (5 casos possíveis) 
 
Assim, a probabilidade de que essa avaliação ocorra na segunda-feira será: 
 
P = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
5
1
 
 
Para qualquer uma das quatro disciplinas a probabilidade de sua avaliação ocorrer 
na segunda-feira será de 
5
1
. Essa também é a mesma probabilidade de a 
avaliação ocorrer na terça-feira, ou na quarta-feira, ou então na quinta-feira, ou 
ainda na sexta-feira. 
 
Bom, a questão pede que calculemos a probabilidade de as avaliações das 4 
disciplinas ocorrerem no mesmo dia da semana, ou seja, devemos entender que 
as 4 avaliações podem ocorrer na segunda-feira, ou na terça-feira, ou na quarta-
feira, ou na quinta feira, ou na sexta-feira. Assim, temos: 
 
Para as 4 avaliações ocorrendo na segunda-feira: 
 
Pseg = 
5
1
 x 
5
1
 x 
5
1
 x 
5
1
 = 
625
1
 
 
Essa é a mesma probabilidade de as 4 avaliações ocorrerem na terça, que é a 
mesma probabilidade de ocorrerem na quarta, que é a mesma da quinta e a 
mesma da sexta-feira. Assim, como queremos a probabilidade de as 4 avaliações 
ocorrerem no mesmo dia, podendo este dia ser qualquer um entre segunda e 
sexta-feira, temos: 
 
Ptotal = Pseg + Pter + Pqua + Pqui + Psex 
 
Ptotal = 
625
1
 + 
625
1
+ 
625
1
 + 
625
1
 + 
625
1
 
 
Ptotal = 5  
625
1
 
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Ptotal = 
125
1
 = 0,008 = 0,8% 
 
Portanto, como esta probabilidade é inferior a 1% podemos concluir que o item 
está correto. 
 
 
326 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se cada professor escolher o dia em que 
aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos 
demais, a probabilidade de que haja mais de uma avaliação em determinado 
dia será superior a 80%. 
 
Solução: 
 
Uma forma de resolver esta questão é calcular todas as possibilidades de escala 
das avaliações e subtrair das possibilidades em que as 4 disciplinas ocorrem em 
dias separados. Assim, temos: 
 
Disciplina 1: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) 
Disciplina 2: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) 
Disciplina 3: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) 
Disciplina 4: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) 
 
Total de possibilidades para o calendário: 5  5  5  5 = 625 possibilidades 
 
Agora, vamos calcular o total de possibilidades em que as 4 disciplinas ocorrem 
em dias separados: 
 
Disciplina 1: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) 
Disciplina 2: 4 opções de data (pois não pode ser a mesma da disciplina 1) 
Disciplina 3: 3 opções de data (pois não pode ser a mesma das disciplina 1 e 2) 
Disciplina 4: 2 opções de data (pois não pode ser a mesma das disciplina 1, 2 e 3) 
 
Total de possibilidades em que as 4 disciplinas ocorrem em datas diferentes: 
5  4  3  2 = 120 possibilidades 
 
Assim, o total de possibilidades em que haverá mais de uma avaliação no mesmo 
dia será: 
 
Total com mais de uma avaliação no mesmo dia = 625  120 = 505 possibilidades 
 
Por fim, podemos calcular a probabilidade de mais de uma avaliação ocorrerem no 
mesmo dia: 
 
Casos Favoráveis = 505 
Casos Possíveis = 625 
 
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P = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
625
505
 = 0,808 = 80,8% 
 
Portanto, como esta probabilidade é superior a 80%, podemos concluir que o item 
está correto. 
 
 
(Texto para as questões 327 e 328) Considerando que, em uma pesquisa de 
rua, cada entrevistado responda sim ou não a cada uma de dez perguntas 
feitas pelos entrevistadores, julgue o item seguinte. 
 
327 - (TCE/RO - 2013 / CESPE) Se um entrevistado responder à pesquisa 
aleatoriamente, a probabilidade de ele responder sim a pelo menos uma 
pergunta será superior a 99%. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos um total de 10 perguntasa serem respondidas, e cada 
pergunta possui duas possíveis respostas: "sim" ou "não". Com isso, o total de 
formas de se responder às 10 perguntas é dado por: 
 
Casos Possíveis = 2  2  2  2  2  2  2  2  2  2 = 210 = 1024 possibilidades 
 
Deseja-se saber a probabilidade de o entrevistado responder "sim" em pelo menos 
uma pergunta, ou seja, a única opção de resposta que não atende a esta 
especificação é se o entrevistado responder "não" a todas as perguntas. Com isso, 
o total de casos favoráveis é dado por: 
 
Casos Favoráveis = 1024  1 = 1023 possibilidades 
 
Assim, podemos encontrar a probabilidade de o entrevistado responder "sim" em 
pelo menos uma pergunta: 
 
P = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1024
1023
 = 0,999 = 99,9% 
 
Portanto, item correto. 
 
 
328 - (TCE/RO - 2013 / CESPE) Será necessário entrevistar mais de mil 
pessoas para se garantir que duas pessoas respondam igualmente a todas 
as perguntas. 
 
Solução: 
 
Vimos na questão anterior que existem 1024 possibilidades para se responder à 
pesquisa. Para que se tenha certeza de que duas pessoas responderam 
igualmente todas as perguntas, utilizamos o princípio da casa dos pombos, ou 
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seja, é necessário que 1024 + 1 = 1025 pessoas respondam à pesquisa. Portanto, 
item correto. 
 
 
(Texto para a questão 329) Considere que, em um conjunto S de 100 
servidores públicos admitidos por concurso público, para cada x = 1, 2, 3, ..., 
Sx, seja o subconjunto de S formado pelos servidores que prestaram 
exatamente x concursos até que no concurso de número x foram aprovados 
pela primeira vez; considere, ainda, que Nx seja a quantidade de elementos 
de Sx. A respeito desses conjuntos, julgue o item a seguir. 
 
329 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Considere que Sx para x = 1, 2, 3 e 4 
represente conjuntos não vazios. Nessa situação, a probabilidade de um 
servidor público selecionado ao acaso no conjunto S ter prestado no 
máximo 4 concursos até ser aprovado pela primeira vez é igual 
100
N4 . 
 
Solução: 
 
Nessa questão, devemos primeiro entender quem são S1, S2, S3, ...etc. e N1, N2, 
N3, ... etc.. Temos que S1 é formado por todos os servidores que passaram no 
primeiro concurso que fizeram. S2 é formado por todos os servidores que 
passaram no segundo concurso que fizeram, após perderem o primeiro concurso. 
S3 é formado por todos os servidores que passaram no terceiro concurso que 
fizeram, após perderem o primeiro e o segundo concursos, e assim 
sucessivamente para S4, S5, .... Dessa informação, devemos perceber que S1, S2, 
S3, S4, ..., não possuem nenhum elemento em comum, ou seja, são todos 
disjuntos. 
 
Além disso, devemos entender que N1 representa a quantidade de elementos do 
conjunto S1, que N2 representa a quantidade de elementos do conjunto S2, que N3 
representa a quantidade de elementos do conjunto S3, e assim sucessivamente. 
 
Assim, para saber a probabilidade de um servidor público selecionado entre os 
100 integrantes do conjunto S ter sido aprovado até no máximo o quarto concurso 
prestado, este servidor deverá integrar com certeza o conjunto S1 (se tiver sido 
aprovado no primeiro concurso prestado), ou o conjunto S2 (se tiver sido aprovado 
no segundo concurso prestado), ou o conjunto S3 (se tiver sido aprovado no 
terceiro concurso prestado), ou o conjunto S4 (se tiver sido aprovado no quarto 
concurso prestado). Como esses quatro conjuntos são todos disjuntos, o total de 
casos favoráveis a esta escolha será N1 + N2 + N3 + N4, pois esta soma representa 
o total de elementos dos conjuntos S1, S2, S3 e S4. Como casos possíveis, temos 
os 100 servidores que integram o conjunto S. Com isso, temos: 
 
Casos Possíveis = 100 
Casos Favoráveis = N1 + N2 + N3 + N4 
 
Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
100
NNNN 4321  
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Portanto, item errado. 
 
 
(Texto para a questão 330) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a 
cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram 
para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos 
distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se 
inscreveram para o cargo B. A respeito dessa situação hipotética, julgue o 
item subsecutivo. 
 
330 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois 
candidatos entre os 1.200, a probabilidade de que ambos tenham-se inscrito 
no concurso para o cargo A ou para o cargo B é superior a 1/6. 
 
Solução: 
 
Vamos começar com o diagrama, e batizando suas regiões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos as seguintes informações: 
 
 
400, para cargos distintos de A e de B. 
 
w = 400 
 
 
600 deles se inscreveram para o cargo A 
 
x + y = 600 (equação 1) 
 
 
400 se inscreveram para o cargo B 
 
y + z = 400 (equação 2) 
 
 
uma amostra de 1.200 candidatos 
B A 
w 
x y z 
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x + y + z + w = 1200 (equação 3) 
 
 
Substituindo os valores de x + y da equação 1 e de w, na equação 3, temos: 
 
x + y + z + w = 1200 
 
600 + z + 400 = 1200 
 
z + 1000 = 1200 
 
z = 1200  1000 = 200 
 
 
Substituindo o valor de z na equação 2, temos: 
 
y + z = 400 
 
y + 200 = 400 
 
y = 400  200 = 200 
 
 
Por fim, substituindo o valor de y na equação 1, temos: 
 
x + y = 600 
 
x + 200 = 600 
 
x = 600  200 = 400 
 
 
Agora, vamos preencher o diagrama com as quantidades encontradas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Queremos a probabilidade de, selecionando-se ao acaso dois candidatos entre os 
1.200, que ambos tenham se inscrito no concurso para o cargo A ou para o cargo 
B A 
400 
400 200 200 
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B. Aqui devemos entender que os dois candidatos serão apenas de A, ou apenas 
de B, ou então de A e de B simultaneamente: 
 
Começando com a probabilidade para os dois candidatos sendo apenas para o 
cargo A: 
 
Para o 1º Candidato apenas de A: 
 
Casos Favoráveis = 400 
Casos Possíveis = 1200 
 
P(1º apenas de A) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1200
400
 = 
3
1
 
 
 
Para o 2º Candidato apenas de A: 
 
Casos Favoráveis = 400  1 = 399 
Casos Possíveis = 1200  1 = 1199 
 
P(2º apenas de A) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1199
399
 
 
 
Probabilidade total para ambos apenas de A: 
 
Pt(ambos apenas de A) = 
3
1
  
1199
399
 
 
 
Agora, vamos calcular a probabilidade para os dois candidatos sendo apenas para 
o cargo B: 
 
Para o 1º Candidato apenas de B: 
 
Casos Favoráveis = 200 
Casos Possíveis = 1200 
 
P(1º apenas de B) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1200
200
 = 
6
1
 
 
 
Para o 2º Candidato apenas de B: 
 
Casos Favoráveis = 200  1 = 199 
Casos Possíveis = 1200  1 = 1199 
 
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P(2º apenas de B) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1199
199
 
 
 
Probabilidade total para ambos apenas de B: 
 
Pt(ambos apenas de B) = 
6
1
  
1199
199
 
 
 
Agora, vamos calcular a probabilidade para os dois candidatos sendo para o cargo 
A e para o cargo B simultaneamente: 
 
Parao 1º Candidato para os dois cargos A e B: 
 
Casos Favoráveis = 200 
Casos Possíveis = 1200 
 
P(1º para os dois cargos A e B) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1200
200
 = 
6
1
 
 
 
Para o 2º Candidato para os dois cargos A e B: 
 
Casos Favoráveis = 200  1 = 199 
Casos Possíveis = 1200  1 = 1199 
 
P(2º para os dois cargos A e B) = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
1199
199
 
 
 
Probabilidade total para os dois cargos A e B: 
 
Pt(ambos para os dois cargos A e B) = 
6
1
  
1199
199
 
 
 
Por fim, calculamos a probabilidade final: 
 
Pfinal = 
3
1
  
1199
399
 + 
6
1
  
1199
199
 + 
6
1
  
1199
199
 
 
Pfinal = 
6
2
  
1199
399
 + 
6
1
  
1199
199
 + 
6
1
  
1199
199
 
 
Pfinal = 
6
1
  
1199
3992
 + 
6
1
  
1199
199
 + 
6
1
  
1199
199
 
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Pfinal = 
6
1
  
1199
798
 + 
6
1
  
1199
199
 + 
6
1
  
1199
199
 
 
Pfinal = 
6
1
  




 
1199
199199798
 
 
Pfinal = 
6
1
  





1199
1196
 
 
Como 
1199
1196
 é menor que 1, concluímos que Pfinal é menor que 
6
1
. 
 
Item errado. 
 
 
partidos homens mulheres 
PA 45 60 
PB 22 15 
PC 35 40 
PD 13 10 
total 115 125 
 
(Texto para as questões 331 a 334) A tabela acima mostra o resultado de uma 
pesquisa de intenção de voto, com 240 entrevistados — 115 do sexo 
masculino e 125 do feminino —, nos partidos PA, PB, PC e PD. Cada 
entrevistado preencheu uma ficha em que informava seu gênero (masculino 
ou feminino) e o partido em que pretendia votar. Considerando que essas 
fichas tenham sido arquivadas e que a probabilidade de se selecionar 
aleatoriamente qualquer uma delas é a mesma para todas as fichas, julgue 
os itens seguintes. 
 
331 - (INPI - 2014 / CESPE) A probabilidade de se selecionar aleatoriamente 
uma ficha de um entrevistado do sexo feminino que pretende votar no 
partido PC é inferior a 0,18. 
 
Solução: 
 
Nessa questão temos o seguinte: 
 
Casos Possíveis = 240 
Casos Favoráveis = 40 
 
Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
240
40
 = 0,1666... 
 
Item correto. 
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332 - (INPI - 2014 / CESPE) A probabilidade de se selecionar aleatoriamente 
uma ficha de um entrevistado do sexo masculino que não pretende votar no 
partido PB é inferior a 0,4. 
 
Solução: 
 
Nessa questão temos o seguinte: 
 
Casos Possíveis = 240 
Casos Favoráveis = 45 + 35 + 13 = 93 
 
Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
240
93
 = 0,3875 
 
Item correto. 
 
 
333 - (INPI - 2014 / CESPE) A probabilidade de se selecionar aleatoriamente 
uma ficha de um entrevistado do sexo masculino que pretende votar no 
partido PD ou de um entrevistado do sexo feminino que pretende votar no 
partido PA é superior a 0,41. 
 
Solução: 
 
Nessa questão temos o seguinte: 
 
Casos Possíveis = 240 
Casos Favoráveis = 13 + 60 = 73 
 
Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
240
73
 = 0,3041666... 
 
Item errado. 
 
 
334 - (INPI - 2014 / CESPE) A probabilidade de se selecionar aleatoriamente 
uma ficha de alguém que pretende votar no partido PD é superior a 0,1. 
 
Solução: 
 
Nessa questão temos o seguinte: 
 
Casos Possíveis = 240 
Casos Favoráveis = 13 + 10 = 23 
 
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Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
240
23
 = 0,0958333... 
 
Item errado. 
 
 
(Texto para as questões 335 e 336) Um batalhão é composto por 20 policiais: 
12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão 
é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais 
policia cada uma das quadras. Com referência a essa situação, julgue os 
itens subsequentes. 
 
335 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Caso as duplas de policiais sejam 
formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em determinado dia 
os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será 
superior a 0,5. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, teremos para os casos possíveis o total de combinações para 
todas as duplas, e para os casos favoráveis teremos o total de duplas formadas 
por homens, somada com o total de duplas formadas por mulheres. Assim, temos: 
 
Casos possíveis = C(20, 2) 
 
Casos possíveis = 
)!220!.(2
!20

 
 
Casos possíveis = 
)!18.(2
!18.19.20
 
 
Casos possíveis = 10  19 = 190 duplas. 
 
 
Casos Favoráveis = C(12, 2) + C(8, 2) 
 
Casos Favoráveis = 
)!212!.(2
!12

+ 
)!28!.(2
!8

 
 
Casos Favoráveis = 
)!10.(2
!10.11.12
+ 
)!6.(2
!6.7.8
 
 
Casos Favoráveis = 6  11 + 4  7 
 
Casos Favoráveis = 66 + 28 = 94 duplas 
 
 
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Por fim, podemos encontrar a probabilidade: 
 
Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
190
94
 = 0,495 
 
Item errado. 
 
 
336 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Considerando que, após concurso 
público, sejam admitidos novos policiais no batalhão, de modo que a 
quantidade dos novos policiais do sexo masculino admitidos seja igual ao 
triplo da quantidade de novos policiais do sexo feminino, e que, devido a 
essas admissões, 0,7 passe a ser a probabilidade de se escolher, ao acaso, 
um policial do sexo masculino desse batalhão, então, no batalhão haverá 
mais de 15 policiais do sexo feminino. 
 
Solução: 
 
Essa questão envolve, além do conhecimento de probabilidade, o conhecimento 
de problemas aritméticos que é o assunto da aula de hoje. De qualquer forma, 
vamos à resolução. 
 
Nessa questão, vamos chamar de M o total de novas policiais mulheres e de H o 
total de novos policiais homens. Assim, temos: 
 
Total de policiais após o concurso = 20 + M + H 
 
 
Além disso, sabendo que a quantidade dos novos policiais do sexo masculino 
admitidos foi igual ao triplo da quantidade de novos policiais do sexo feminino, 
temos: 
 
H = 3.M 
 
Assim, podemos substituir o valor de H na equação do total de policiais após o 
concurso: 
 
Total de policiais após o concurso = 20 + M + H 
 
Total de policiais após o concurso = 20 + M + 3.M 
 
Total de policiais após o concurso = 20 + 4.M 
 
 
Sabemos também que o total de homens após o concurso passou a ser de 12 + H, 
ou, escrevendo de outra forma, 12 + 3.M. Com isso, sabendo que a probabilidade 
de se escolher, ao acaso, um policial do sexo masculino desse batalhão após o 
concurso passou a ser de 0,7, temos: 
 
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Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 
 
0,7 = 
M.420
M.312


 
 
0,7.(20 + 4.M) = 12 + 3.M 
 
14 + 2,8.M = 12 + 3.M 
 
14 – 12 = 3.M – 2,8.M 
 
2 = 0,2.M 
 
M = 
2,0
2
 
 
M = 10 policiais 
 
Por fim, sabendo que o total de mulheres após o concurso era de 8 + M, podemos 
concluir que esse total era 8 + 10 = 18 policiais do sexo feminino. 
 
Item correto. 
 
 
(Texto para as questões 337 a 338) O rito processual de análise de 
determinado tipo de processo segue as três seguintes fases: 
 
• instrução: após a apresentação da representação e das provas, o juiz 
decide pela admissibilidade ou não do caso; 
 
• julgamento:admitido o caso, o juiz analisa o mérito para decidir pela culpa 
ou não do representado; 
 
• apenação: ao culpado o juiz atribui uma pena, que pode ser ou o 
pagamento de multa, ou a prestação de serviços à comunidade. 
 
A partir das informações acima, considerando que a probabilidade de que 
ocorra erro de decisão na primeira fase seja de 10%, na segunda, de 5% e, na 
terceira, de 3%, e que a ocorrência de erro em uma fase não influencie a 
ocorrência de erro em outras fases, julgue os próximos itens. 
 
 
337 - (TJ/SE - 2014 / CESPE) A probabilidade de que ocorram erros de 
decisão em todas as fases do processo é inferior a 0,1%. 
 
Solução: 
 
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Nessa questão, para que se considere que houve erro nas três fases, devemos 
considerar as probabilidades cumulativamente. Assim, temos: 
 
Probabilidade total = P1  P2  P3 
 
Probabilidade total = 0,1  0,05  0,03 
 
Probabilidade total = 0,00015 = 0,015% 
 
Item correto. 
 
 
338 - (TJ/SE - 2014 / CESPE) A probabilidade de que haja erro de decisão na 
análise de um processo em que se inocente o representado é inferior a 14%. 
 
Solução: 
 
Essa questão quer saber a probabilidade de um culpado ser declarado inocente. 
Teremos aqui 2 situações: 
 
1ª Situação: O processo não é admitido (10% de probabilidade de erro) 
 
P1 = 10% do total de processos 
 
 
2ª Situação: O processo sendo admitido (90% de chance de acerto), o juiz declara 
o culpado como inocente (5% dos 90% admitidos) 
 
P2 = 5% de 90% 
 
P2 = 0,05  0,9 
 
P2 = 0,045 = 4,5% do total de processos 
 
 
Assim, a probabilidade total é igual a 
 
PTotal = P1 + P2 
 
PTotal = 10% + 4,5% 
 
PTotal = 14,5%. 
 
Item errado. 
 
 
(Texto para a questão 339) As prestações de contas das campanhas dos 3 
candidatos a governador de determinado estado foram analisadas por 3 
servidores do TRE desse estado. Considerando que um servidor pode 
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analisar nenhuma, uma ou mais de uma prestação de contas e que, por 
coincidência, cada um dos 3 candidatos é parente de um dos 3 servidores, 
julgue os itens que se seguem. 
 
339 - (TRE/GO - 2015 / CESPE) Se as prestações de contas forem distribuídas 
para análise de forma aleatória e independente, então a probabilidade de que 
cada servidor analise as contas de seu parente é inferior a 1/30. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, devemos considerar que cada prestação de contas possui 3 
possibilidades de ser analisada. Assim, as 3 prestações de contas terão as 
seguintes possibilidades de análise, que serão os casos possíveis: 
 
Casos Possíveis = 3  3  3 = 27 possibilidades 
 
 
Agora, para os casos favoráveis, temos apenas uma possibilidade, que é cada 
servidor analisar a prestação de contas de seu parente: 
 
Casos Favoráveis = 1 possibilidade 
 
 
Assim, podemos calcular a probabilidade: 
 
Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
27
1
 
 
Como 1/27 é maior que 1/30, concluímos que este item está errado. 
 
 
(Texto para as questões 340 a 342) Para fiscalizar determinada entidade, um 
órgão de controle escolherá 12 de seus servidores: 5 da secretaria de 
controle interno, 3 da secretaria de prevenção da corrupção, 3 da 
corregedoria e 1 da ouvidoria. Os 12 servidores serão distribuídos, por 
sorteio, nas equipes A, B e C; e cada equipe será composta por 4 servidores. 
A equipe A será a primeira a ser formada, depois a equipe B e, por último, a 
C. A respeito dessa situação, julgue os itens subsequentes. 
 
340 - (TCE/RN - 2015 / CESPE) A probabilidade de um servidor que não for 
sorteado para integrar a equipe A ser sorteado para integrar a equipe B é 
igual a 0,5. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, devemos entender que se o servidor não foi escolhido para a 
equipe A, sobraram 12 – 4 = 8 servidores para serem escolhidos para a equipe B. 
Assim, a quantidade de casos possíveis é igual a 8. 
 
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Como cada equipe é formada por 4 integrantes, temos 4 casos favoráveis para a 
escolha do servidor. Com isso, temos: 
 
Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
8
4
 = 0,5 
 
Item correto. 
 
 
341 - (TCE/RN - 2015 / CESPE) A probabilidade de a equipe A ser composta 
por quatro servidores da secretaria de controle interno é inferior a 0,01. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos o seguinte: 
 
1º servidor 
 
Casos Possíveis = 12 
Casos Favoráveis = 5 
 
P1 = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
12
5
 
 
 
2º servidor 
 
Casos Possíveis = 12 – 1 = 11 
Casos Favoráveis = 5 – 1 = 4 
 
P2 = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
11
4
 
 
 
3º servidor 
 
Casos Possíveis = 12 – 2 = 10 
Casos Favoráveis = 5 – 2 = 3 
 
P3 = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
10
3
 
 
 
4º servidor 
 
Casos Possíveis = 12 – 3 = 9 
Casos Favoráveis = 5 – 3 = 2 
 
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P4 = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
9
2
 
 
 
Assim, a probabilidade total fica: 
 
PTotal = P1  P2  P3  P4 
 
PTotal = 
12
5
  
11
4
  
10
3
  
9
2
 
 
PTotal = 
99
1
 
 
 
Como 0,01 = 
100
1
, e 
99
1
 é maior do que 
100
1
, concluímos que esse item está 
errado. 
 
 
Outra forma de resolver essa questão é considerarmos como casos favoráveis, a 
combinação dos 5 servidores da secretaria de controle interno, quatro a quatro, e 
como casos possíveis, a combinação dos 12 servidores, também quatro a quatro. 
Com isso, teríamos o seguinte: 
 
Casos Favoráveis = C(5, 4) 
 
Casos Favoráveis = 
)!45!.(4
!5

 
 
Casos Favoráveis = 
)!1!.(4
!4.5
 
 
Casos Favoráveis = 
1
5
 
 
Casos Favoráveis = 5 
 
 
 
Casos Possíveis = C(12, 4) 
 
Casos Possíveis = 
)!412!.(4
!12

 
 
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Casos Possíveis = 
)!8.(2.3.4
!8.9.10.11.12
 
 
Casos Possíveis = 11  5  9 
 
Casos Possíveis = 495 
 
 
Assim, a probabilidade fica da seguinte forma: 
 
Probabilidade = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
495
5
 = 
99
1
 
 
 
342 - (TCE/RN - 2015 / CESPE) A chance de a equipe A ser composta por um 
servidor de cada unidade é superior a 10%. 
 
Solução: 
 
Nessa questão temos o seguinte. Iremos escolher os servidores um a um 
(lembrando que após cada escolha a quantidade de casos possíveis vai 
diminuindo). Em seguida, calculamos a forma como pode ser feita essa ordem de 
escolha. Por fim aplicamos o princípio multiplicativo: 
 
Probabilidade de escolhermos o primeiro servidor (supondo da secretaria de 
controle interno) 
 
P1 = 
12
5
 
 
 
Probabilidade de escolhermos o segundo servidor (supondo da secretaria de 
prevenção da corrupção) 
 
P2 = 
11
3
 
 
 
Probabilidade de escolhermos o terceiro servidor (supondo da corregedoria) 
 
P3 = 
10
3
 
 
 
Probabilidade de escolhermos o quarto servidor (supondo da ouvidoria) 
 
P4 = 
9
1
 
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Agora, podemos perceber que essa ordem de escolhapode variar e que essa 
quantidade de possibilidades para a ordem de escolha é dada pela permutação 
simples dos 4 servidores. Assim, temos: 
 
Possibilidades para a ordem de escolha (Pe) = 4! = 4  3  2  1 = 24 
 
 
Por fim, aplicamos o princípio multiplicativo: 
 
 
Probabilidade total = P1  P2  P3  P4  Pe 
 
Probabilidade total = 
12
5
  
11
3
  
10
3
  
9
1
  24 
 
Probabilidade total = 
11
1
 
 
 
Como 10% = 
10
1
, e 
11
1
 é menor do que 
10
1
, concluímos que esse item está 
errado. 
 
 
(Texto para a questão 343) Em uma empresa, as férias de cada um dos 50 
empregados podem ser marcadas na forma de trinta dias ininterruptos, ou 
os trinta dias podem ser fracionados em dois períodos de quinze dias 
ininterruptos ou, ainda, em três períodos de dez dias ininterruptos. Em 2013, 
depois de marcadas as férias de todos os 50 empregados, constatou-se que 
23, 20 e 28 deles marcaram os trinta dias de férias ou parte deles para os 
meses de janeiro, fevereiro e junho, respectivamente. Constatou-se, também, 
que, nesse ano, nenhum empregado marcou férias para algum mês diferente 
dos mencionados. 
 
Tendo como referência as informações acima, julgue o item que se segue. 
 
343 - (TC/DF - 2014 / CESPE) Considere que, em 2013, nenhum empregado 
que trabalha na empresa há mais de 10 anos tenha marcado férias para o 
mês de junho, e que, no mês de maio, a empresa tenha escolhido, 
aleatoriamente, 2 de seus empregados para participar de um curso de 
formação. Nesse caso, a probabilidade de esses 2 empregados escolhidos 
trabalharem na empresa há mais de 10 anos é inferior a 0,2. 
 
Solução: 
 
Bom, nessa questão, deveríamos concluir que no máximo 22 empregados 
possuem mais de 10 anos na empresa, pois nenhum deles tirou férias em junho, e 
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28 funcionários tiraram férias em junho (50 – 28 = 22). Com isso, vamos calcular a 
probabilidade considerando este valor máximo: 
 
1º Funcionário: 
 
Casos Possíveis: 50 
 
Casos Favoráveis: 22 
 
P1 = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
50
22
 
 
 
2º Funcionário: 
 
Casos Possíveis: 50 – 1 = 49 
 
Casos Favoráveis: 22 – 1 = 21 
 
P2 = 
PossíveisCasos
FavoráveisCasos
 = 
49
21
 
 
 
Ptotal = P1  P2 = 
50
22
  
49
21
 = 
450.2
462
 = 0,189 
 
 
Assim, no máximo a probabilidade seria de 0,189, se todos os funcionários que 
não tiraram férias em junho tivessem mais de 10 anos de empresa. 
 
Item correto. 
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Para essa aula de hoje, resolvi trazer alguns assuntos que podem ajudar na 
resolução dos problemas aritméticos. 
 
 
2 - MDC, MMC e Fatoração 
 
Esse assunto vocês já viram há muito tempo atrás, mas não custa nada relembrar 
(até porque ele ajuda na resolução de algumas questões). Primeiro, vamos 
lembrar o que significam essas siglas: 
 
MDC: Máximo Divisor Comum 
MMC: Mínimo Múltiplo Comum 
 
Bom, de forma simplificada, dados dois ou mais números naturais diferentes de 
zero, o MDC indica qual o maior número inteiro que estes dois ou mais números 
são divisíveis ao mesmo tempo (lembrando que um número é considerado 
divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero). Já o MMC 
indica qual o menor número diferente de zero que é múltiplo, ao mesmo tempo, 
destes dois ou mais números. Vamos ver alguns exemplos: 
 
Ex1: Encontrar o MDC e o MMC entre 4 e 6: 
 
Divisores de 4: 1, 2 e 4 
Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6 
 
MDC entre 4 e 6 = 2 (o maior dos divisores em comum) 
 
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... 
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... 
 
MMC entre 4 e 6 = 12 (o menor múltiplo em comum diferente de zero) 
 
Ex2: Encontrar o MDC e o MMC entre 15 e 20: 
 
Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15 
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20 
 
MDC entre 15 e 20 = 5 (o maior dos divisores em comum) 
 
Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, ... 
Múltiplos de 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100, ... 
 
MMC entre 15 e 20 = 60 (o menor múltiplo em comum diferente de zero) 
 
 
Cálculo do MDC e do MMC 
 
Bom, numa prova, listar todos os divisores e todos os múltiplos de um número 
pode não ser interessante, devido ao tempo que pode ser necessário para isso 
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(imaginem descobrir o MDC entre 1.200 e 1.800 dessa forma). Assim, existem 
algumas técnicas para o cálculo do MDC e do MMC que facilitam bastante o 
trabalho. 
 
- Fatoração 
 
A primeira coisa a se lembrar é da fatoração. Lembram o que é fatoração? E como 
fatorar um número? A fatoração, que nos interessa nesse momento, é um termo 
que indica a decomposição de um número em um produto de números primos 
(fatores). 
 
Fatorar o número 36 
 
36 2 
18 2 
 9 3 
 3 3 
 1 
 
36 = 2  2  3  3 = 22  32 
 
Fatorar o número 56 
 
56 2 
28 2 
14 2 
 7 7 
 1 
 
56 = 2  2  2  7 = 23  7 
 
Agora, podemos definir o MDC e o MMC, a partir da fatoração dos números: 
 
MDC: O MDC entre dois ou mais números é igual ao produto dos seus fatores 
primos comuns de menor expoente. 
 
MMC: O MMC entre dois ou mais números é igual ao produto dos seus fatores 
primos comuns de maior expoente e de seus fatores primos não comuns com seus 
respectivos expoentes. 
 
Ex: Encontrar o MDC e o MMC entre 36 e 56. 
 
MDC: 36 = 22  32 e 56 = 23  7 (percebam que tanto 36 quanto 56 possuem o 2 
como fator comum, assim, o MDC entre eles será o 2 com o menor expoente, ou 
seja, 22). MDC entre 36 e 56 = 22 = 4 
 
MMC: 36 = 22  32 e 56 = 23  7 (percebam que tanto 36 quanto 56 possuem o 2 
como fator comum e 3 e 7 como fatores não comuns, assim, o MMC entre eles 
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será o produto do 2 com o maior expoente, com 32 e 7, ou seja, 23  32  7). MMC 
entre 36 e 56 = 23  32  7 = 504 
 
Outra técnica para encontrar o MDC entre dois números é dividir o maior pelo 
menor. Em seguida, dividimos o divisor da primeira divisão pelo resto dessa 
divisão. E assim sucessivamente, até o resto ser igual a zero. O MDC será igual 
ao divisor que resultou no resto zero. Vamos ver como seria com o exemplo 
anterior: 
 
MDC entre 36 e 56 
 
36
56
 = 1 (resto = 20) 
 
20
36
 = 1 (resto = 16) 
 
16
20
 = 1 (resto = 4) 
 
4
16
 = 4 (resto = 0) 
 
Portanto, o MDC entre 36 e 56 é igual a 4. 
 
 
3 - Equações de 1º grau 
 
 
Podemos definir uma equação do primeiro grau como toda equação na forma 
 
a.x + b = 0, (com a  0) 
 
 
Exemplo 1: 
 
2.x + 4 = 0 (a = 2 e b = 4) 
 
 
Exemplo 2: 
 
8.x = 24 
 
Organizando: 
 
8.x – 24 = 0 (a = 8 e b = –24) 
 
 
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Exemplo 3: 
 
x + 6 = 3.x 
 
Organizando: 
 
3.x – x – 6 = 0 
 
2.x – 6 = 0 (a = 2 e b = –6) 
 
 
Exemplo 4: 
 
5.x = 0 
 
Organizando: 
 
5.x + 0 = 0 (a = 5 e b = 0) 
 
 
Chamamos de raiz da equação a qualquer valor de x que satisfaça a equação. 
Assim, podemos definir que resolver uma equação é o mesmo que encontrar suas 
raízes. 
 
As equações de 1º grau só possuem uma raiz real (por isso mesmo são ditas de 
1º grau), e a melhor forma de encontrar essa raiz é isolando a variável.Vamos encontrar as raízes das equações dos exemplos anteriores: 
 
 
Exemplo 1: 
 
2.x + 4 = 0 
 
2.x = –4 
 
x = 
2
4
 
 
x = –2 
 
logo, a raiz desta equação é igual a –2 
 
 
Exemplo 2: 
 
8.x = 24 
 
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x = 
8
24
 
 
x = 3 
 
logo, a raiz desta equação é igual a 3 
 
 
Exemplo 3: 
 
x + 6 = 3.x 
 
3.x – x = 6 
 
2.x = 6 
 
x = 
2
6
 
 
x = 3 
 
logo, a raiz desta equação é igual a 3 
 
 
Exemplo 4: 
 
5.x = 0 
 
x = 
5
0
 
 
x = 0 
 
logo, a raiz desta equação é igual a 0 
 
 
Sistemas de equações do 1º grau com 2 variáveis 
 
Um sistema de equações do 1º grau com duas variáveis x e y, é um conjunto de 
equações do tipo: 
 
a.x + b.y + c = 0 (com a, b e c sendo números reais) 
 
Para que possamos chamar de sistema, é necessário que existam pelo menos 
duas equações. 
 
 
Exemplo: 
 
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x – y + 1 = 0 
 
2.x + 3.y – 8 = 0 
 
 
Resolver esse sistema significa encontrar todos os pares (x, y) que satisfazem as 
equações simultaneamente. Vamos resolver o sistema do nosso exemplo: 
 
x – y + 1 = 0 
 
2.x + 3.y – 8 = 0 
 
 
Nesse sistema, o único par (x, y) que satisfaz às duas equações ao mesmo tempo 
é o par (1, 2), ou seja, x = 1 e y = 2. Mas como fazemos para encontrar a solução? 
Existem alguns métodos para isso. Vejamos: 
 
 
Método da substituição 
 
1º Passo – Isolar uma das variáveis em uma das equações. 
 
2º Passo – A variável isolada é substituída na outra equação, que resolvemos pois 
só fica uma variável. 
 
3º Passo – Após encontrar o valor de uma das variáveis, substituímos esse valor 
em qualquer uma das equações do sistema e a resolvemos. 
 
4º passo – Encontramos a solução 
 
Vamos testar esse método com o nosso exemplo: 
 
x – y + 1 = 0 
 
2.x + 3.y – 8 = 0 
 
 
Começamos isolando o x na primeira equação (poderia ser o y, tanto faz): 
 
x = y – 1 
 
2.x + 3.y – 8 = 0 
 
 
Agora, substituímos o valor do x na segunda equação: 
 
2.x + 3.y – 8 = 0 
 
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2.(y – 1) + 3.y – 8 = 0 
 
2.y – 2 + 3.y – 8 = 0 
 
5.y – 10 = 0 
 
5.y = 10 
 
y = 
5
10
 
 
y = 2 
 
Agora, substituímos o valor de y que acabamos de encontrar na primeira equação: 
 
x = y – 1 
 
x = 2 – 1 
 
x = 1 
 
Pronto, chegamos à solução do sistema (1, 2), ou seja, x = 1 e y = 2. 
 
 
Método da adição 
 
1º Passo – multiplicamos todos os valores de uma das equações por um número 
escolhido de forma que os coeficientes de uma das variáveis fiquem opostos nas 
duas equações. 
 
2º Passo – Somamos os membros das duas equações e resolvemos a equação 
restante, que terá apenas uma variável. 
 
3º Passo – Após encontrar o valor de uma das variáveis, substituímos esse valor 
em qualquer uma das equações do sistema e a resolvemos. 
 
4º passo – Encontramos a solução 
 
Vamos testar esse método no nosso exemplo: 
 
x – y + 1 = 0 
 
2.x + 3.y – 8 = 0 
 
Começamos multiplicando uma das equações por um número escolhido de forma 
que os coeficientes de uma das variáveis fiquem opostos nas duas equações. 
Para o nosso exemplo, vamos multiplicar a primeira equação por 3, pois assim o y 
ficará com coeficiente –3, que é oposto ao seu coeficiente na segunda equação: 
 
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x – y + 1 = 0 (multiplica tudo por 3) 
 
2.x + 3.y – 8 = 0 
 
 
3.x – 3.y + 3 = 0 
 
2.x + 3.y – 8 = 0 
 
 
Agora, somamos os membros das duas equações, e resolvemos a equação 
resultante: 
 
3.x – 3.y + 3 = 0 
 
2.x + 3.y – 8 = 0 
 
3.x + 2.x – 3.y + 3.y + 3 – 8 = 0 + 0 
 
5.x – 5 = 0 
 
5.x = 5 
 
x = 
5
5
 
 
x = 1 
 
Agora, substituímos o valor de x que acabamos de encontrar na primeira equação: 
 
x – y + 1 = 0 
 
1 – y + 1 = 0 
 
y = 1 + 1 
 
y = 2 
 
Pronto, chegamos à solução do sistema (1, 2), ou seja, x = 1 e y = 2. 
 
 
Sistema Indeterminado 
 
Se ao tentarmos resolver o sistema chegarmos a resultados do tipo: 
 
0 = 0 
1 = 1 
–15 = –15 
 
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ou qualquer outro semelhante em que a sentença é sempre verdadeira, dizemos 
que o sistema é indeterminado e possui infinitas soluções. 
 
Exemplo: 
 
x – y + 1 = 0 
 
2.x – 2.y + 2 = 0 
 
Multiplicando a primeira equação por –2, temos 
 
–2.x + 2.y – 2 = 0 
 
2.x – 2.y + 2 = 0 
 
Somando as duas equações: 
 
–2.x + 2.y – 2 = 0 
 
2.x – 2.y + 2 = 0 
 
–2.x + 2.x + 2.y – 2.y – 2 + 2 = 0 
 
0 = 0 
 
 
Sistema Impossível 
 
Se ao tentarmos resolver o sistema chegarmos a resultados do tipo: 
 
2 = 0 
3 = 1 
–4 = 5 
 
ou qualquer outro semelhante em que a sentença é sempre falsa, dizemos que o 
sistema é impossível e não possui solução real. 
 
Exemplo: 
 
x – y + 1 = 0 
 
2.x – 2.y + 5 = 0 
 
 
Multiplicando a primeira equação por –2, temos 
 
–2.x + 2.y – 2 = 0 
 
2.x – 2.y + 5 = 0 
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Somando as duas equações: 
 
 
–2.x + 2.y – 2 = 0 
 
2.x – 2.y + 5 = 0 
 
–2.x + 2.x + 2.y – 2.y – 2 + 5 = 0 
 
3 = 0 
 
 
4 - Equação do segundo grau 
 
 
Podemos definir uma equação do segundo grau como toda equação na forma 
 
a.x2 + b.x + c = 0, (com a  0) 
 
Lembram-se como resolver esta equação? Vou relembrar para vocês: 
 
Uma equação do segundo grau escrita dessa forma possui sempre duas raízes: 
 
 
Raízes = 
a.2
b 
, onde  = b2 – 4.a.c 
 
 
Vamos ver um exemplo 
 
Equação: x2 – 6.x + 5 = 0 
 
a = 1, b = -6 e c = 5 
 
Portanto: 
 
 = b2 – 4.a.c 
 = (-6)2 – 4.(1).(5) 
 = 36 – 20 
 = 16 
 
Com isso: 
 
Raízes = 
a.2
b 
 
 
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Teoria e exercícios comentados 
Prof Marcos Piñon – Aula 06 
 
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Raízes = 
1.2
16)6( 
 
 
Raízes = 
2
46 
 
 
1ª Raiz = 
2
46 
 = 
2
10
 = 5 
 
2ª Raiz = 
2
46 
 = 
2
2
 = 1 
 
Portanto, as raízes dessa equação do segundo grau são 1 e 5. 
 
 
5 - Progressões 
 
 
Em matemática, uma sequência é uma lista de elementos cuja ordem é definida 
por uma regra de formação, uma função específica (uma “lei” de formação). 
Vejamos alguns exemplos: 
 
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... 
 
Podemos facilmente perceber que o próximo elemento da seqüência é o número 
40, depois o 45, em seguida o 50, e assim por diante, pois percebemos que essa 
sequência é formada pelos múltiplos positivos do número 5. 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... 
 
Agora já complicou um pouco, mas podemos notar que todos os números desta 
sequência são números primos. Assim, os próximos números desta sequência são 
os números 41, 43, 47, ... 
 
Entre as diversas sequencias possíveis de serem formadas, dois tipos merecem 
uma atenção especial. São as Progressões Aritméticas e as Progressões 
Geométricas. Vejamos suas características: 
 
 
Progressões Aritméticas 
 
Podemos definir uma progressão aritmética da seguinte forma: 
 
Dados dois