09 Resolução de Problemas Aritméticos

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Aula 09
 Raciocínio Lógico Matemático p/ PRF
(Policial) Pós-Edital
Autor:
Equipe Exatas Estratégia
Concursos
Aula 09
14 de Fevereiro de 2021
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SUMÁRIO 
1. Introdução .............................................................................................................................................. 2 
2. Resolução de Problemas Matemáticos................................................................................................ 2 
3. Operações com Números Inteiros, Fracionários e Decimais .......................................................... 10 
3.1. Números Inteiros .......................................................................................................................... 10 
3.2 Números Fracionários .................................................................................................................. 11 
3.3 Números Decimais ......................................................................................................................... 13 
4. MMC e MDC ........................................................................................................................................ 20 
5. Número de elementos de conjuntos ................................................................................................. 30 
6. Problemas envolvendo equação do 1º grau ..................................................................................... 39 
7. Questões envolvendo idades ............................................................................................................. 52 
8. Divisão Proporcional ............................................................................................................................ 57 
8.1 Divisão em Números Diretamente Proporcionais ...................................................................... 57 
8.2 Divisão em Números Inversamente Proporcionais ..................................................................... 59 
8.3 Conceito Misto: Divisão Direta e Inversamente Proporcional................................................... 61 
9. Regra de Três ....................................................................................................................................... 71 
10. Porcentagem ...................................................................................................................................... 85 
QUESTÕES COMENTADAS ........................................................................................................................ 94 
CESPE .................................................................................................................................................... 94 
LISTA DE QUESTÕES ............................................................................................................................... 160 
CESPE .................................................................................................................................................. 160 
GABARITO................................................................................................................................................ 181 
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1. INTRODUÇÃO 
Chegamos à metade do nosso curso! Antes de avançarmos, faremos uma super revisão dos tópicos estuda-
dos até aqui! Se você está confiante nos assuntos que vimos anteriormente, fique à vontade em pular para 
a próxima aula e avançar no conteúdo. Não há problema algum! 
Se você ficou, tenha certeza que essa revisão será de fundamental importância para a solidificação do ali-
cerce teórico que construímos até aqui. No fim dessa revisão, você contará com uma baita lista de questões 
focadas na banca do seu edital. 
Bons estudos! 
2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
A resolução de problemas é uma habilidade fundamental, pois o uso da matemática é para basicamente 
resolver problemas, o que proporciona aos estudantes desenvolvimento da comunicação, da construção de 
aprendizagens significativas e da capacidade de aplicar os conceitos matemáticos na vida diária. Portanto, 
é amplamente recomendado que você enfrente esse tipo de exercício. 
Contudo, como se resolve um problema matemático? Bem, a resolução de um problema é realizada em 
cinco etapas1. Isso é o que você sempre fez quando resolveu problemas matemáticos, só vamos a seguir 
explicar um pouco melhor cada uma dessas etapas e depois resolveremos problemas para ilustrá-las. 
A primeira delas é a compreensão. Ou seja, inicialmente faz-se necessário entender o problema que está 
diante de você: 
• Leu o problema? Entendeu as informações contidas no enunciado? 
• Qual é a incógnita ou valor a ser determinado? Quais são os dados ou o que a questão te fornece 
para a solução? 
• Quais são as condições? É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a 
incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias? Separe as condições em par-
tes. 
Depois disso, vem a segunda etapa, que consiste na elaboração de um plano ou estratégia. Aqui se exige 
do aluno realmente pensar no problema e ver qual é a maneira ideal para você abordá-lo e tentar resolvê-
lo. Achar conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares 
ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para "bolar" um plano ou es-
tratégia de resolução do problema. 
 
1 O processo de resolução de problemas matemáticos aqui retratado é inspirado no livro “A Arte de Resolver Problemas”, escrito 
por George Polya. 
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• Você já encontrou este problema ou algum parecido? 
• Você conhece um problema semelhante? Você conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar? 
• Olhe para a incógnita! Agora tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita seme-
lhante. 
• Aqui está um problema relacionado com o seu e que você já sabe resolver. Você consegue aproveitá-
lo? Você pode usar seu resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de 
modo a viabilizar esses objetivos? 
• Você consegue enunciar o problema de outra maneira? 
• Se você não consegue resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido. Você conse-
gue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais acessível? Você consegue 
resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe 
o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora? Você consegue obter alguma coisa dos dados? 
Você consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incógnita? Você consegue alterar a in-
cógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próxi-
mos? 
• Você está levando em conta todos os dados? E todas as condições? 
Agora, chegou a terceira etapa, que envolve a execução desse plano. É você colocar a mão na massa e 
resolver o problema, aplicando aquela estratégia que você pensou. 
Nesse ponto, exige-se do aluno, além do conhecimento matemático, o uso da interpretação dos textos con-
tidos nos enunciados. É comum nos depararmos com problemas em que é cobrado do candidato mais o 
entendimento do que se pede do que com os cálculos propriamente ditos. 
Além disso, aqui enfrentaremos o desafio de converter a linguagem escrita em linguagem matemática, ou 
seja, em expressões numéricas. 
Enfim, são problemas que testam não somente o conhecimento das várias vertentes matemáticas, como 
também a capacidade de interpretação de informações. 
 
DICAS PARA INTERPRETAR INFORMAÇÕES EM PROBLEMAS ARITMÉTICOS2 
 
1) Qual é o número...? 
Provavelmente você já deve ter visto essa pergunta. Quando ela aparece, significa que precisamos en-
contraro valor de um número, então vamos logo chamá-lo de x. Portanto, já escreva: 
 
2 Inspirado no artigo "Como interpretar problemas matemáticos?" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-
2019. Consultado em 02/09/2019 às 11:44. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/faq/interpretar.php 
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x = ? 
Aliás, geralmente quando aparecem perguntas envolvendo pronomes interrogativos (como "qual" e 
"quanto"), significa que precisamos encontrar o x da questão. 
 
2) E quando aparecem as preposições? 
Em problemas matemáticos, as preposições como "de", "da" e "do" costumam indicar uma operação de 
multiplicação. 
Por exemplo, se um problema pede 2/5 de x, isso significa que vamos fazer o produto entre 2/5 e x, ob-
tendo a expressão: 
 
 
𝟐
𝟓
 . 𝒙 =
𝟐𝒙
𝟓
 
 
Outra preposição que aparece bastante nos problemas matemáticos é a "por", que normalmente indica 
uma operação de divisão. Inclusive essa preposição também está "escondida" dentro do sinal % ("por 
cento"). Exemplo: 2 por 3 = 
2
3
. 
 
3) Verbos 
Verbos como "é", "tem" e "equivale" significam igualdade. Para exemplificar esse caso de traduções 
para linguagem matemática, considere um problema em que é dito que Carlos e João têm juntos 50 
anos. Aritmeticamente, traduzimos que: 
C + J = 50 
 
4) Antecessor e consecutivo 
São outros termos bem frequentes nas questões matemáticas. E seu entendimento é bem simples: 
- O antecessor de um número qualquer significa x – 1 
- O consecutivo de um número qualquer significa x + 1 
 
5) Oposto e inverso 
Por fim, você pode encontrar também os seguintes termos: 
- Oposto de um número qualquer significa -x 
- Inverso de um número qualquer significa 1/x 
Aprendidas essas dicas de interpretação de um problema, vamos executar a estratégia. Ao fazer isso, ana-
lise cada passo. Você consegue mostrar claramente que cada um deles está correto? 
Em seguida, na quarta etapa vamos fazer a verificação de como executamos a estratégia elaborada. 
Será que esse plano que você teve e a execução dele resultaram na resposta correta? 
Você consegue obter a solução de um outro modo? 
Qual a essência do problema e do método de resolução empregado? 
Em particular, você consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema? 
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Por fim, na quinta e última etapa você irá simplesmente formular a resposta do problema. Ou seja, veja a 
pergunta apresentada no enunciado. Pode respondê-la numa frase simples, objetiva e direta? 
Portanto, essas são as cinco etapas necessárias à resolução de um problema aritmético: 
 
Agora, vamos resolver alguns problemas aplicando esse método. 
 
EXEMPLO 01 
Laura é muito vaidosa e gosta de se vestir muito bem para qualquer ocasião. Para assistir às aulas do 
seu curso preparatório, ela comprou uma saia vermelha e outra azul, uma camisa amarela, uma verde 
e outra preta. Então, de quantas maneiras diferentes Laura poderá se vestir? 
Estamos diante de uma típica questão de Raciocínio Matemático, de modo que teremos que aplicar as cinco 
etapas para a resolução de um problema aritmético. 
A primeira coisa a se fazer é compreender o problema. Para isso, fazemos uma boa leitura do enunciado 
com vistas a entender bem as informações ali presentes. 
Também precisamos separar os dados que o exercício nos forneceu daquilo que buscamos descobrir, isto é, 
a incógnita. Bem, repare que queremos descobrir de quantas maneiras diferentes Laura poderá se vestir. E 
quais dados o problema nos dá? Ele diz que ela comprou uma saia vermelha e outra azul, ou seja, duas saias, 
e uma camisa amarela, uma verde e outra preta, isto é, três camisas. Logo, foram duas saias e três camisas. 
Na segunda etapa, entra em cena a elaboração de um plano. Então, precisamos pensar se na resolução do 
problema iremos adotar um esquema, ou uma tabela, ou uma equação, ou diagrama, ou então fazer um 
desenho. Nesse caso, optaremos por fazer um desenho. Indicaremos as saias que ela comprou (uma verme-
lha e uma azul) combinando cada uma com as camisas (uma amarela, uma verde e uma preta): 
1) Compreenda o problema 2) Elabore um plano 3) Execute o plano
4) Verifique a execução do 
plano5) Formule a resposta
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Agora, chegou a terceira etapa, que corresponde à execução do plano. Veja que por meio do esquema que 
fizemos já é possível resolver o problema. Com a saia vermelha, Laura pode combinar a camisa amarela, a 
camisa verde e a camisa preta; e o mesmo acontece com a saia azul. Ou seja, ela tem à sua disposição três 
opções com a saia vermelha e três opções com a saia azul, o que totaliza 3 + 3 = 6 maneiras diferentes de se 
vestir. Dessa forma, conseguimos fazer a conversão da linguagem escrita em linguagem matemática, que 
fica evidente por meio da operação de soma. 
Terminamos de resolver o problema? Calma, falta muito pouco. Em seguida, temos a quarta etapa, em que 
faremos a verificação da execução plano. A bem da verdade, já cumprimos essa etapa no momento em 
que elaboramos o esquema anterior, que nos permite graficamente concluir que realmente o resultado da 
operação descrita no enunciado é 6. 
Nessa etapa, é oportuno avaliar se conseguiríamos resolver o problema de outra forma. Bem, nesse caso 
conseguiríamos sim. De fato, eu poderia usar o princípio multiplicativo. Como seria isso? Bem, são duas 
saias e três camisas, então era só fazer o produto entre 2 e 3 que daria certo também. Veja que essa resolu-
ção é até mais prática, porém é importante considerar outras maneiras de resolver o problema, nesse caso 
usando um esquema. Até porque tem aluno que entende melhor por meio de desenho, outros têm mais 
facilidade com a Matemática mais abstrata, de modo que é interessante dispor das diversas maneiras que 
podemos solucionar um exercício. 
Por fim, concluímos a resolução com a quinta e última etapa, na qual formularemos a resposta do pro-
blema. Nesse ponto, voltamos ao enunciado e verificamos qual a pergunta que foi feita a nós: “de quantas 
maneiras diferentes Laura poderá se vestir?”. É nisso que precisamos nos concentrar para responder de forma 
objetiva. Vamos fazer isso? A resposta será: Laura poderá se vestir de seis maneiras diferentes. 
 
Saia vermelha
Camisa amarela
Camisa verde
Camisa preta
Saia azul
Camisa amarela
Camisa verde
Camisa preta
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Geralmente, nos concursos precisamos marcar a alternativa correta dentre as opções dis-
poníveis de resposta, e aqui muitos “morrem na praia” após tanto esforço, simplesmente 
por marcar a letra errada na pressa! Então, tenha foco do início ao fim! 
EXEMPLO 02: 
Fabiano levou para sua escola um saco de balas para dividir com os amigos. Aos primeiros que encon-
trou, deu metade das balas que trazia. Depois encontrou mais amigos e deu metade das que ainda ti-
nha. E foi assim que chegou à sala dele só com 20 balas. Quantas balas tinha no saco antes de Fabiano 
o abrir? 
Vamos agilizar nosso processo de resolução do problema. 
Você compreendeu o exercício? Vamos adotar a estratégia de resolver esse problema do fim para o início. 
Inclusive esse método de resolução é conhecido como princípio da regressão, a qual estudaremos com mais 
detalhes nos princípios de contagem. 
Veja que no final Fabiano acabou com 20 balas. Mas antes disso ele havia dado a metade das que possuía. 
E quantas eram? Aqui precisamos converter a linguagem escrita na linguagem matemática. Isso é simples. 
Pense conosco, se eu dei metade e aindafiquei com vinte é porque anteriormente eu tinha 20 × 2 = 40 balas. 
Continuamos o processo de executar as operações de trás para frente. E antes de ter essas 40 balas? Fabiano 
tinha feito a mesma coisa, isto é, havia dado metade do que tinha inicialmente, de modo que ele possuía 40 
× 2 = 80 balas no saco fechado. Chegamos ao resultado desejado! 
Será que esse resultado faz sentido? Podemos verificá-lo seguindo agora o processo de resolução do início 
para o fim das operações, usando o valor que encontramos como resposta, e estando atentos se acharemos 
alguma contradição. 
Inicialmente, havia 80 balas no saco (é essa a hipótese que estamos considerando). Como Fabiano deu a 
metade das balas aos primeiros amigos, sobraram 80 ÷ 2 = 40 balas. Ao encontrar mais amigos, deu metade 
das balas que tinha, de modo que ficou com 40 ÷ 2 = 20 balas. E foi exatamente essa a quantidade que ele 
chegou à sala de aula. 
Portanto, verificamos que a nossa estratégia, a execução aplicada e o resultado a que chegamos estão cor-
retos. Isso nos permite responder à pergunta do enunciado por afirmar que antes de abrir o saco Fabiano 
dispunha de 80 balas. 
EXEMPLO 03 
Carlos comprou uma televisão no valor de R$ 950,00, dividida em 10 prestações iguais. Ao pagar a 4º pres-
tação, recebeu de presente de seu avô o restante do dinheiro para a quitação do aparelho. Quanto Carlos 
recebeu? 
Vamos chamar de x o valor que Carlos recebeu de presente de seu avô. Essa é a nossa incógnita, o valor que 
desejamos calcular. 
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Quais foram os dados fornecidos? Bem, é dito que o valor do aparelho é igual a R$950,00. Também o enun-
ciado informa que Carlos resolveu dividir o televisor em 10 prestações iguais. Logo, obtemos o valor de cada 
prestação fazendo a seguinte operação de divisão: 
950
10
= 𝟗𝟓 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
Sabemos que Carlos efetuou o pagamento de 4 prestações, de modo que ainda faltam ser pagas 10 – 4 = 6 
prestações, as quais correspondem às que o avô de Carlos resolveu pagar. Elas valem 95 × 6 = 570 reais. 
Portanto, Carlos recebeu R$570,00 de seu avô. 
EXEMPLO 04 
Quantas partes se obtêm dobrando uma folha ao meio por 8 vezes consecutivas? 
Repare que o nosso objetivo consiste em determinar a quantidade de partes resultantes em se dobrar 8 
vezes uma folha ao meio. 
Vamos adotar a estratégia de descobrir uma regularidade ou padrão matemático no processo indicado, por 
meio da construção de uma tabela. Nessa tabela, vamos associar o número de dobras realizadas com a 
quantidade de partes obtida: 
Dobras Partes 
 
Concorda que se a folha não tem nenhuma dobra, então há apenas uma parte, que corresponde à superfície 
dela? Vamos inserir essa informação na tabela: 
Dobras Partes 
0 1 
Quando eu faço uma dobra ao meio na folha, ela vai ficar dividida em duas. Na próxima dobra, que é a se-
gunda consecutiva, a folha vai estar dividida em quatro partes. Na terceira dobra, a folha vai estar dividida 
em oito partes. Ou seja: 
Dobras Partes 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
Conseguiu perceber aqui uma regularidade? Sim, veja que os números contidos na coluna “partes” são for-
mados multiplicando 2 por eles próprios. Esse é um padrão que estará presente durante todo o processo de 
dobra da folha! Assim, na quarta dobra, o que obteremos? Ora, seria o 2 multiplicado por ele mesmo quatro 
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vezes, resultando em 2 × 2 × 2 × 2 = 16 partes. Seguindo o padrão, na oitava dobra, teríamos o 2 multiplicado 
por ele próprio oito vezes. Essa operação pode ser representada na forma de potência: 
𝟐𝟖 = 𝟐𝟓𝟔 
 
Portanto, concluímos que a folha estaria dividida em 256 partes. 
EXEMPLO 05 
Suponha que há um certo número de coelhos e de gaviões em duas gaiolas diferentes, totalizando 7 
cabeças e 22 patas. São quantos coelhos e quantos gaviões? 
Qual a estratégia podemos aplicar na resolução desse problema? Vamos resolver associando-o a um pro-
blema análogo mais simples. 
Desse modo, podemos simplesmente ignorar que tem coelhos, vamos tratar só dos gaviões. Sabemos que 
são 7 cabeças, de forma que tem 7 animais lá dentro, concorda? Então seriam 7 gaviões, que têm 14 patas 
ao todo. 
Gavião 1 Gavião 2 Gavião 3 Gavião 4 Gavião 5 Gavião 6 Gavião 7 Total 
2 patas 2 patas 2 patas 2 patas 2 patas 2 patas 2 patas 14 patas 
Veja que isso está errado, porque eu preciso obter 22 patas. Ou seja, estão faltando 22 – 14 = 8 patas. Assim, 
devemos distribuir essas oito patas pelos coelhos, que são animais com 4 patas. 
Vamos substituir alguns dos gaviões por coelhos. Em cada gavião, já contabilizamos 2 patas, o que nos per-
mite deduzir que são quatro coelhos, com 4 × 4 = 16 patas ao todo. E são quantos gaviões? Como há sete 
cabeças, vão ter que ser três gaviões. 
Gavião 1 Gavião 2 Gavião 3 Coelho 1 Coelho 2 Coelho 3 Coelho 4 Total 
2 patas 2 patas 2 patas 4 patas 4 patas 4 patas 4 patas 22 patas 
Portanto, concluímos que há 4 coelhos e 3 gaviões na gaiola. 
Consideramos até aqui alguns modelos possíveis de problemas matemáticos nos quais aplicamos as cinco 
etapas de resolução. 
Ok, professor. Entendi as estratégias que utilizamos na resolução desses problemas. Mas, como isso cai em 
prova? 
Excelente pergunta. Foco é tudo! E o nosso alvo é sua aprovação! Na realidade, a capacidade de resolver 
problemas é exigida em toda a matemática com o objetivo de testar sua capacidade de raciocínio, clareza 
de ideias e habilidade para desenvolver e aplicar estratégias. 
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No âmbito do raciocínio aritmético, a análise das provas que cobram o assunto nos permite avaliar que a 
resolução dos problemas exige o conhecimento de temas como operações com números inteiros, fracioná-
rios e decimais; MMC e MDC; número de elementos de conjuntos; equação do 1º grau; divisão proporcional; 
regra de três; porcentagem etc. 
Então, a partir de agora resolveremos problemas de cada um desses tópicos, apresentando inicialmente 
uma teoria relacionada na forma de resumo. Para um maior detalhamento desses assuntos e de outros mais 
sobre Aritmética, recomendamos um estudo mais aprofundado, como o do nosso livro Matemática Básica 
Definitiva para Concursos, conforme citamos na introdução deste tópico. Contudo, acreditamos que o con-
teúdo que apresentaremos a seguir seja o que você muito provavelmente necessitará para fazer sua prova 
de Raciocínio Lógico. 
3. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS, FRACIONÁRIOS E 
DECIMAIS 
3.1. Números Inteiros 
O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e negativos e o zero. 
Sucessor: é o número que está imediatamente à sua direita na reta. Em outras palavras, é o inteiro que 
vem após o número dado. 
Antecessor: é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta. Falando de outro modo, é o in-
teiro que vem antes do número dado. 
Dois números inteiros são chamados simétricos quando a soma entre eles é zero. Por exemplo, 2 e −2 
são simétricos um do outro. 
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro corresponde à distância que o número está do zero, 
e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. 
Adição: É a operação que une duas quantidades em um só número. Os termos da adição são chamados 
parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total. 
(1ª parcela) + (2ª parcela) = soma 
Subtração: É a operação que tem por objetivo diminuir, de um número, o valor do outro. O primeiro termo de 
uma subtração é chamado minuendo, o segundo é o subtraendo e o resultado da operação de subtração 
é denominado resto ou diferença. 
(Minuendo) – (Subtraendo) = Resto 
Multiplicação: É a operação que adiciona um número emfunção da quantidade unitária de outro, em que 
seus termos são chamados fatores e o resultado da operação é denominado produto. 
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(1º fator) x (2º fator) = produto 
Divisão: É a operação matemática que tem por objetivo repartir um valor em partes iguais, correspon-
dendo ao inverso da multiplicação. 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
Regras de sinais: 
Adição e subtração: temos dois casos a considerar: 
Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal do maior; 
Sinais diferentes: subtraem-se os números e conserva-se o sinal do maior. 
+5 + 3 = +8 
+5 − 3 = +2 
−5 − 3 = −8 
−5 + 3 = −2 
Multiplicação e divisão: também temos dois casos a considerar: 
Sinais iguais: o resultado da operação será positivo; 
Sinais diferentes: o resultado da operação será negativo. 
3.2 Números Fracionários 
Os números fracionários, ou simplesmente fração, representam uma ou mais partes de um inteiro que foi 
dividido em partes iguais. 
𝑵𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓
𝑫𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓
 
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Soma e subtração: 
1º caso: Os denominadores são iguais. 
1º passo: Conserva-se o denominador; 
2º passo: Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores. 
2º caso: Os denominadores são diferentes. 
1º passo: Encontrar o denominador comum; 
2º passo: Dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração; 
3º passo: Multiplicar o resultado anterior pelo respectivo numerador; 
4º passo: Efetuar a soma ou subtração. 
Multiplicação: 
1º) Multiplicar os numeradores, encontrando o numerador do resultado; 
2º) Multiplicar os denominadores, encontrando o denominador do resultado. 
Divisão: basta multiplicar a primeira pelo inverso da segunda. 
Número misto: É a soma de um número inteiro com uma fração própria, geralmente representado sem 
o sinal de adição. Para transformá-lo numa fração imprópria, multiplica-se o número inteiro pelo 
C
L
A
S
S
I
F
I
C
A
Ç
Ã
O
 D
A
S
 F
R
A
Ç
Õ
E
S
Próprias
Valor absoluto do numerador é não 
nulo e menor que o denominador.
Ex: 
𝟑
𝟒
e 
𝟐
𝟓
Impróprias
Valor absoluto do numerador é maior 
que o denominador.
Ex: 
𝟒
𝟑
e 
𝟓
𝟐
Aparentes
O numerador é igual ou múltiplo do 
denominador.
Ex: 
𝟒
𝟒
e 
𝟏𝟎
𝟓
Equivalentes
Representam a mesma parte do 
inteiro.
Ex: 
𝟏
𝟐
, 
𝟐
𝟒
e 
𝟒
𝟖
Irredutíveis
O numerador e o denominador são 
números primos entre si.
Ex: 
𝟏𝟏
𝟑
e 
𝟕
𝟓
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denominador e ao resultado soma-se o numerador, obtendo-se assim, o numerador da fração. Por sua vez, 
o denominador será o próprio denominador da fração dada. 
3.3 Números Decimais 
Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-exata de dois números in-
teiros. Correspondem, portanto, aos números que possuem “casas após a vírgula”. 
Adição e subtração: 
 
Multiplicação: aplicar o mesmo procedimento da multiplicação comum, sabendo que o número de casas 
decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo 
multiplicados. 
Divisão: transformá-la numa divisão de números inteiros. 
 
Veja como esse assunto já foi cobrado! 
Os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo 
abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra 
As casas correspondentes devem ser somadas/subtraídas, começando da direita 
para a esquerda
À medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para 
a próxima adição/subtração (das casas logo à esquerda).
No caso específico da subtração, devemos, além de igualar as casas à direita da 
vírgula, completar com zeros quando necessário.
Igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor
Multiplicar ambos os valores por uma potencia de 10 de modo a 
retirar todas as casas decimais presentes, obtendo dois números 
inteiros
Efetuar a divisão dos dois números inteiros normalmente
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(CESPE/Polícia Federal/2014) Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do 
sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, 
uma dupla de policiais polícia cada uma das quadras. 
Se, dos 20 policiais do batalhão, 15 tiverem, no mínimo, 10 anos de serviço, e 13 tiverem, no máximo, 20 
anos de serviço, então mais de 6 policiais terão menos de 10 anos de serviço. 
Comentários: 
O enunciado é claro ao afirmar que 15 policiais têm 10 anos ou mais de serviço (“no mínimo”). 
Além disso, já que temos 20 policiais ao todo, chegamos à conclusão de que o restante tem menos de 10 
anos de serviço. Ou seja: 
20 − 15 = 5 
Logo, 5 policiais têm menos de 10 anos de serviço. Assim, o item está errado, pois menos de 6 policiais 
terão menos de 10 anos de serviço. 
Gabarito: ERRADO. 
(FCC/BACEN/2006) Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsável pela venda de 
títulos é composto de três elementos. Se, num determinado período, cada um dos elementos do grupo 
vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos vendidos pelo grupo é sempre um número múltiplo de 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
Comentários: 
Devemos considerar as hipóteses possíveis. Ora, se cada um dos três vendeu 4 ou 7 títulos, temos as seguin-
tes as possibilidades: 
1) Todos vendem 4, total de títulos = 12 
2) Todos vendem 7, total de títulos = 21 
3) Dois vendem 4, um vende 7, total de títulos = 15 
4) Dois vendem 7, um vende 4, total de títulos = 18 
Percebe-se que todos estes números são múltiplos de 3. 
Gabarito: Letra A. 
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(CESPE/SEFAZ-RS/2019) Uma repartição com 6 auditores fiscais responsabilizou-se por fiscalizar 18 
empresas. Cada empresa foi fiscalizada por exatamente 4 auditores, e cada auditor fiscalizou 
exatamente a mesma quantidade de empresas. Nessa situação, cada auditor fiscalizou 
A) 8 empresas. 
B) 10 empresas. 
C) 12 empresas. 
D) 14 empresas. 
E) 16 empresas. 
Comentários: 
O enunciado informa que são 18 empresas, as quais devem ser fiscalizadas por 4 auditores, o que totaliza 
18 × 4 = 72 fiscalizações. 
É dito que a repartição conta com 6 auditores, de modo que cada um deles fiscalizou 72/6 = 12 empresas. 
Gabarito: Letra C. 
(CESPE/TRE-ES/2011) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção 
eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para 
votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais. 
Comentários: 
Seja n o número de seções eleitorais. O enunciado afirma que cada seção eleitoral possui apenas uma urna. 
Logo, n também corresponde ao número de urnas. 
Visto que cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então os 2.500 eleitores, se houvesse apenas uma 
seção eleitoral, levariam: 
2.500 𝑥 1,5 = 3.650 𝑚𝑖𝑛 
Isso corresponde a: 
3.650 𝑚𝑖𝑛
60𝑚𝑖𝑛
= 62,5ℎ 
Como a questão nos diz que a votação dura 10 horas, então são necessárias no mínimo: 
𝑛 =
62,5ℎ
10ℎ
= 𝟔, 𝟐𝟓 𝒖𝒓𝒏𝒂𝒔 
Devemos elevar esse número para o próximo inteiro (o número de urnas não pode ser fracionário), que é 7. 
Assim, são necessárias no mínimo 7 seções eleitorais. 
Gabarito: CERTO. 
(FGV/IBGE/2017) Uma equipe de trabalhadores de determinada empresa tem o mesmo número de 
mulheres e de homens. Certa manhã, 3/4 das mulheres e 2/3 dos homens dessa equipe saíram para um 
atendimentoexterno. Desses que foram para o atendimento externo, a fração de mulheres é: 
a) 3/4 
b) 8/9 
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c) 5/7 
d) 8/13 
e) 9/17 
Comentários: 
O enunciado informa que a equipe tem o mesmo número de mulheres e de homens. Então, vamos supor 
que a equipe tenha 24 pessoas, 12 mulheres e 12 homens. 
É dito que 3/4 das 12 mulheres saíram para atendimento externo: 
3/4 × 12 
= 3 × 3 
= 9 
Em seguida, a questão fala que 2/3 dos 12 homens também saíram para atendimento externo: 
2/3 × 12 
= 2 × 4 
= 8 
Assim, saíram um total de 9 + 8 = 17 pessoas para atendimento externo, 9 mulheres e 8 homens. 
Dividindo o número de mulheres que saíram para atendimento externo (9) pelo número total de pessoas 
que saíram para atendimento externo (17), fica: 
9/17 
Portanto, dos que foram para atendimento externo, a fração de mulheres é igual a 9/17. 
Gabarito: Letra E. 
(FGV/IBGE/2017) Sérgio deve R$7,50 à sua amiga Fernanda. Ele tem um cofrinho cheio de moedas de 
R$0,25, de R$0,50 e de R$1,00. A diferença entre a maior e a menor quantidade de moedas que ele pode 
usar para pagar a ela é: 
a) 22 
b) 20 
c) 17 
d) 15 
e) 12 
Comentários: 
A maior quantidade de moedas ocorre quando todas as moedas têm o menor valor, ou seja, são de 25 cen-
tavos. 
Nesse caso, temos que n moedas de R$ 0,25 totalizam R$ 7,50: 
0,25n = 7,5 
n = 750/25 = 30 
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O número máximo de moedas que Sérgio pode ter é 30, todas de 25 centavos. 
O número mínimo de moedas que Sérgio pode ter é 8: 
 7 moedas de 1 real (totalizando 7 reais) 
 mais 1 moeda de 50 centavos 
Assim, a diferença entre a maior e a menor quantidade de moedas vale 30 – 8 = 22. 
Gabarito: Letra A. 
(FEPESE/Pref Tijucas/2017) Em uma escola as turmas A, B e C devem arrecadar 50 kg de alimentos não 
perecíveis cada (totalizando 150 kg de alimentos). Em determinado momento verifica-se que a turma 
A arrecadou 4/5 de sua meta, a turma B, 60% e a turma C arrecadou 1/4 do arrecadado pela turma A. 
Portanto, o total de alimentos arrecadado até o momento da verificação é: 
a) 60 kg. 
b) 70 kg. 
c) 80 kg. 
d) 90 kg. 
e) 100 kg. 
Comentários: 
O enunciado informa que a turma A arrecadou 4/5 de 50 kg: 
4/5 × 50 = 40 kg 
Por sua vez, é dito que a turma B arrecadou 60% de 50 kg: 
0,6 × 50 = 30 kg 
E a turma C arrecadou 1/4 do arrecadado pela turma A, isto é 40 kg: 
1/4 × 40 = 10 kg 
Dessa forma, as 3 turmas arrecadaram 40 + 30 + 10 = 80 kg de alimentos. 
Gabarito: Letra C. 
(FCC/TRF 4ª Região/2019) Na granja de Celso, há codornas, galinhas e patas. Por dia, Celso recolhe 15 
ovos de codorna, 12 ovos de galinha e 9 ovos de pata. O menor número de dias necessários para Celso 
ter certeza de que recolheu, pelo menos, 1 800 ovos de galinha e 1 500 de pata é 
a) 150 
b) 316 
c) 156 
d) 167 
e) 100 
Comentários: 
O enunciado informa que Celso recolhe diariamente 12 ovos de galinha. Então, para recolher 1.800 ovos de 
galinha, são necessários 1.800/12 = 150 dias. 
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Em seguida, é dito que ele recolhe diariamente 9 ovos de pata, de modo que para recolher 1.500 ovos de 
pata, são necessários 1.500/9 = 166,6… dias. 
Assim, Celso precisa de 166 dias e mais uma fração do próximo dia para atingir a meta de recolhimento dos 
ovos de galinha e de pata simultaneamente. 
Portanto, são necessários 167 dias para cumprir o objetivo. 
Gabarito: Letra D. 
(ESAF/ANEEL/2006) Pedro, Paulo e Luís trabalham em uma imobiliária. No mês de junho, Pedro 
vendeu 2/3 e Paulo vendeu 1/6 do total de imóveis vendidos pela imobiliária. Sabe-se que, no mesmo 
mês de junho, Luís vendeu 6 imóveis. Com essas informações, conclui-se que, no mês de junho, o 
número de imóveis que a imobiliária vendeu foi igual a: 
a) 42 
b) 28 
c) 32 
d) 36 
e) 52 
Comentários: 
Seja x a quantidade de móveis vendidos no mês de junho pela imobiliária. 
O enunciado afirma que Pedro vendeu 2/3 de x, Paulo vendeu 1/6 de x e Luís vendeu 6 imóveis. Considerando 
que Pedro, Paulo e Luís foram os únicos três corretores que venderam imóveis no mês de junho, temos que 
a soma da quantidade de imóveis vendidos por cada um é igual a x. Logo: 
2
3
. 𝑥 +
1
6
. 𝑥 + 6 = 𝑥 
Precisamos deixar os dois lados da equação com o mesmo denominador, a fim de efetuar as operações 
devidas no numerador. Daí: 
4𝑥 + 1𝑥 + 36
6
=
6𝑥
6
 
Podemos “cortar” os denominadores, já que nos dois lados da equação possuem o mesmo valor. 
5𝑥 + 36 = 6𝑥 
5𝑥 − 6𝑥 = −36 
−𝑥 = −36 
Multiplicando os dois lados da equação por (-1), temos: 
𝒙 = 𝟑𝟔 
Portanto, conclui-se que, no mês de junho, o número de imóveis que a imobiliária vendeu foi igual a 36. 
Gabarito: Letra D. 
(CESPE/TC-DF/2014) Em uma empresa, as férias de cada um dos 50 empregados podem ser marcadas 
na forma de trinta dias ininterruptos, ou os trinta dias podem ser fracionados em dois períodos de 
quinze dias ininterruptos ou, ainda, em três períodos de dez dias ininterruptos. Em 2013, depois de 
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marcadas as férias de todos os 50 empregados, constatou-se que 23, 20 e 28 deles marcaram os trinta 
dias de férias ou parte deles para os meses de janeiro, fevereiro e junho, respectivamente. Constatou-
se, também, que, nesse ano, nenhum empregado marcou férias para algum mês diferente dos 
mencionados. 
Tendo como referência as informações acima, julgue o item que se segue. 
Suponha que, em 2013, mais de 5/6 dos empregados que não marcaram férias para fevereiro eram do sexo 
feminino e mais de 2/3 dos que não marcaram férias para janeiro eram do sexo masculino. Nessa situação, 
é correto afirmar que, em 2013, havia na empresa no máximo 12 mulheres a mais que homens. 
Comentários: 
Sabemos que 50 – 20 = 30 pessoas não marcaram férias para fevereiro. Por sua vez, o enunciado afirma que 
5/6 delas são mulheres. Logo: 
5
6
. 30 = 25 
Como é mais de 5/6, então há pelo menos 26 mulheres. 
Além disso, sabemos que 50 – 23 = 27 pessoas não marcaram férias para janeiro. Por sua vez, o enunciado 
afirma que 2/3 delas são homens. Logo: 
2
3
. 27 = 18 
Como é mais de 2/3, então há pelo menos 19 homens. 
Assim, até aqui, já temos garantidas 45 pessoas, faltando 5 funcionários para completar os 50. 
Vamos tentar maximizar o número de mulheres. Para isso, basta fazer com que estes 5 faltantes sejam to-
dos do sexo feminino. Daí: 
Mulheres: 26 + 5 = 31 
Homens: 19 
Diferença: 31 – 19 = 12 
Dessa maneira, a maior diferença possível é igual a 12. Ou seja, há no máximo 12 mulheres a mais que 
homens. 
Gabarito: CERTO. 
(FGV/IBGE/2017) Sete amigos jantaram em um restaurante e combinaram dividir a conta igualmente 
entre eles. Na hora de pagar, um deles notou que tinha esquecido a carteira e, portanto, estava sem 
dinheiro. Assim, cada um de seus amigos teve que pagar um adicional de R$14,50 para cobrir a sua 
parte. O valor total da conta foi: 
a) R$522,00 
b) R$567,00 
c) R$588,00 
d) R$595,00 
e) R$609,00. 
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Comentários: 
O enunciado informa que 6 amigos tiveram que pagar, cada um, R$ 14,50 referentes ao consumo do amigo 
que “esqueceu” a carteira. 
Então, o consumo desse amigo foi igual a: 
6 × 14,50 = 87 reais 
Visto que a conta havia sido dividida igualmente entre os 7 amigos, concluímos que cada amigo consumiu87 reais. 
Portanto, os 7 amigos consumiram um total de 7 × 87 = 609 reais. 
Gabarito: Letra E. 
 
4. MMC E MDC 
Denominamos Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números inteiros e não nulos ao menor 
número positivo que seja múltiplo de todos os números dados. 
O método da decomposição simultânea em fatores primos é a principal, mais simplificada e prática 
estratégia para determinar o MMC entre dois ou mais números. Basicamente, aplicaremos os seguintes 
passos: 
 
 
Lembre-se de que no MMC não tem conversa: Todo mundo entra e com o maior expoente! 
Por exemplo, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 15, 24 e 60. 
Para determinar o MMC entre dois ou mais números por meio do método da decomposição simultânea 
em fatores primos cumprimos as seguintes etapas: 
1º) fazer a decomposição em fatores primos simultaneamente, até achar tudo 1. 
1º) Decompor todos os números em fatores primos 
simultaneamente até achar tudo 1
2º) Multiplicar todos os fatores primos utilizados
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Para este procedimento, decompomos, simultanemente, os números, dividindo sucesivamente pelo menor 
fator primo e, no caso de algum dos números não ser divisível pelo fator primo, ele deve ser repetido no 
algoritmo. 
 
2º) Depois é só multiplicar os fatores, pois o MMC será o produto de todos os números primos 
encontrados à direita. 
Portanto, o MMC (15, 24, 60) = 23 x 3 x 5 = 120 
Denominamos Máximo Divisor Comum (MDC) de dois ou mais números inteiros e não nulos ao maior dos 
divisores comum a todos eles. 
O método da decomposição simultânea em fatores primos é a principal e mais prática forma para 
determinar o MDC entre dois ou mais números. Aplicaremos os seguintes passos: 
 
 
Lembre-se de que no MDC só entram os fatores comuns e com o menor expoente! 
 
Para exemplificar, vamos encontrar o MDC entre 120, 140 e 200. 
1º) Decompor todos os números em fatores primos 
simultaneamente até achar tudo 1
2º) Multiplicar os fatores nas linhas onde houve divisão 
em TODOS os elementos.
•O MMC é o produto de todos os fatores com os maiores expoentes.
•O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.
FIQUE LIGADO!!!
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1º passo: Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos: 
 
 
 
 
 
 
 
2º passo: O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor expoente. 
▪ 120 = 23 x 3 x 5 
▪ 140 = 22 x 5 x 7 
▪ 200 = 23 x 52 
Portanto, o MDC (120, 140, 200) = 22 x 5 = 20. 
 
 
Até aqui fomos apresentados a um resumo que nos permite efetuar o cálculo do MDC e do MMC. 
Entretanto, tarefa ainda mais importante é conseguir aplicar esse conhecimento a casos concretos, 
O MDC entre números primos é igual a 1.
O MMC entre números primos é igual ao produto
entre eles.
MMC(a, nxa) = nxa
(o maior deles) MDC(a, nxa) = a
(o menor deles)
120 
60 
30 
15 
5 
1 
2 
2 
2 
3 
5 
 
120 = 23 x 3 x 5 
140 
70 
35 
7 
1 
2 
2 
5 
7 
 
140 = 22 x 5 x 7 
200 
100 
50 
25 
5 
1 
2 
2 
2 
5 
5 
 
200 = 23 x 52 
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cobrados em provas de concursos públicos no âmbito do raciocínio aritmético. Isto é, diante de um 
problema matemático, quando se deve usar o MMC ou o MDC? 
Assim, torna-se necessário sabermos as principais características dos valores a que estão relacionados o 
MMC e o MDC, as quais detalharemos a partir de agora. 
Em relação ao Máximo Divisor Comum (MDC), é possível perceber que nos seus valores está presente a 
ideia de divisão. Além disso, o objetivo da questão consistirá em repartir uma quantidade em partes iguais 
ou determinar o maior tamanho possível de determinado item. 
Por sua vez, nos números relativos ao Mínimo Multiplo Comum (MMC) é marcante a ideia de tempo ou 
período. De fato, é comum que os enunciados exijam do condidato o reconhecimento de coincidência 
temporal ou mesmo quando determinado evento irá acontecer novamente. 
 
A fim de esquematizar o que foi analisado e propor um roteiro a ser observado diante de uma questão, 
apresentamos o diagrama a seguir: 
 
Suponha que dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. 
João costuma realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sa-
bendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coinci-
dirão novamente? 
Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra 
daqui a 27, e assim por diante. 
Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. 
Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplo de 9 e também de 15, isto é, 
múltiplos comuns de 9 e 15. Ou seja, estamos diante da necessidade de reconhecer uma coincidência 
MDC
Ideia de divisão
Repartir em partes iguais
Maior tamanho possível!
MMC
Ideia de tempo
Coincidência
Quando irá acontecer novamente?
1º passo) Analisar as informações do enunciado
2º passo) Verificar se a questão é de MDC ou de MMC
3º Passo) Efetuar os cálculos necessários
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temporal ou quando determinado evento irá acontecer novamente, de modo que a estratégia de resolução 
envolve uma aplicação do MMC. 
De fato, a próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 
15, que é 135. 
Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 135 dias. 
Agora, digamos que temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de 
cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor 
número de grupos possível? 
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30 pelo maior número possível. 
Note que o objetivo da questão consiste em repartir uma quantidade em partes iguais ou determinar o 
maior tamanho possível de determinado item, de forma que a estratégia de resolução envolve uma 
aplicação do MDC. 
Realmente, este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o Máximo 
Divisor Comum entre 20 e 30. 
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22 x 5. Temos também que 30 = 2 x 3 x 5. Portanto, MDC 
(20,30) = 2 x 5 = 10. 
Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 
10 gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5. 
Considere que uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes 
necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 cen-
tímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cor-
tasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação? 
Foi dito que o funcionário deveria cortar o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Fica 
claro, portanto, que precisamos encontrar o MDC entre 156 e 254, pois tal valor corresponderá à medida do 
comprimento desejado. 
 
Então, a decomposição em fatores primos fica: 
234 = 2 * 3 * 3 * 13 
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156 = 2 * 2 * 3 * 13 
Assim, o MDC (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78 
Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento. 
Veja como esse assunto já foi cobrado!(VUNESP/Pref de Barretos – SP/2018) Em um tanque há 3 torneiras, A, B e C, todas com defeito e que 
pingam sem parar. A torneira A pinga a cada 20 segundos, a torneira B pinga a cada 35 segundos e a 
torneira C pinga a cada 15 segundos. Sabendo que as 3 torneiras pingaram juntas às 8 horas e 54 
minutos, e que permaneceram assim o dia todo, sem que alguém tivesse mexido nelas, então, o 
próximo horário em que as 3 torneiras voltarão a pingar juntas será às 
A) 8 horas e 58 minutos. 
B) 9 horas e 01 minuto. 
C) 9 horas e 06 minutos. 
D) 9 horas e 12 minutos. 
E) 9 horas e 15 minutos. 
Comentários: 
O nosso objetivo consiste em determinar quando as 3 torneiras voltarão a pingar juntas. Ou seja, estamos 
diante da necessidade de reconhecer uma coincidência temporal ou quando determinado evento irá 
acontecer novamente, de modo que a estratégia de resolução envolve uma aplicação do MMC. 
Assim, o MMC entre os valores das frequências que cada torneira pinga é dado por: 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, as três torneiras voltarão a pingar juntas 420 segundos ou 7 minutos após a primeira vez em que 
isso ocorre. Dessa forma, o próximo horário em que as 3 torneiras voltarão a pingar juntas será às 8h e 54 
min + 7 minutos= 9h e 01min. 
Gabarito: Letra B. 
 
15, 20, 35 
15, 10, 35 
15, 5, 35 
5, 5, 35 
2 
2 
3 
5 
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26 
 
(CESPE/IFF/2018) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de 
bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 
dias; o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias. Nesse caso, se os três tiverem 
trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente 
juntos nesse voo ocorrerá daqui a 
a) 30 dias. 
b) 74 dias. 
c) 120 dias. 
d) 240 dias. 
e) 960 dias. 
Comentários: 
Estamos diante da necessidade de reconhecer uma coincidência temporal, de modo que a estratégia de 
resolução envolve uma aplicação do MMC. 
Assim, o MMC entre os valores dos tempos em que cada comissário trabalha no voo é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, após 120 dias os comissários trabalharão juntos novamente. 
Gabarito: Letra C. 
 
(VUNESP/IPSM/2018) Participarão de um congresso 256 funcionários da empresa A, 416 funcionários 
da empresa B e 656 funcionários da empresa C. Esses funcionários serão divididos em grupos, de modo 
que, em cada grupo: 
• haja o mesmo número de participantes; 
• haja o maior número possível de participantes; 
• sejam todos da mesma empresa. 
Divididos dessa maneira, o total de grupos obtidos será 
A) 48. B) 54. C) 75. D) 83. E) 96. 
Comentários: 
8, 10, 12 
4, 5, 6 
2, 5, 3 
1, 5, 3 
1, 5, 1 
1, 1, 1 
2 
2 
2 
3 
5 
MMC (2, 3, 4) = 23 × 3 × 5 = 120 
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O nosso objetivo consiste em formar grupos com a mesma quantidade de pessoas, mas que haja o maior 
número possível de pessoas em cada um deles. Ou seja, estamos diante da necessidade de repartir uma 
quantidade em partes iguais ou determinar o maior tamanho possível de determinado item, de forma que 
a estratégia de resolução envolve uma aplicação do MDC. 
Assim, o MDC entre as quantidades dos funcionários é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, multiplicamos os fatores em que houve divisão em todos os elementos, encontrando o MDC (256, 
416, 656) = 24 = 16. Dessa maneira, teremos no máximo 16 pessoas em cada grupo. 
Como cada grupo terá funcionários de uma mesma empresa, dividimos a quantidade de pessoas de cada 
empresa pelo número máximo de pessoas que pode haver em cada grupo: 
- A: 256  16 = 16 
- B: 416  16 = 26 
- C: 656  16 = 41 
Portanto, serão formados 16 + 26 + 41 = 83 grupos. 
Gabarito: Letra D. 
256, 416, 656 
128, 208, 328 
64, 104, 164 
32, 52, 82 
16, 26, 41 
8, 13, 41 
4, 13, 41 
2, 13, 41 
1, 13, 41 
1, 1, 41 
1, 1, 1 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
13 
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(FCC/TRF 2ª Região/2007) Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 
unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes 
instruções: 
- Todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com 
a mesma quantidade de documentos; 
- Cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. 
Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade de 
documentos que poderá ser colocada em cada caixa é 
a) 8 
b) 12 
c) 24 
d) 36 
e) 48 
Comentários: 
Ora, precisamos achar um número que divida tanto o 192 quanto o 168 e que seja o maior possível. Estamos 
falando do... MDC! 
 
 
 
 
 
 
Daí, o MDC (168, 192) = 23 x 3 = 24, que corresponde ao número máximo de documentos por caixa. 
Gabarito: Letra C. 
(UFMT/2014) Segundo a revista Exame, de 16/04/2014, o sistema ferroviário brasileiro está aquém das 
necessidades do país, e, além disso, os trens brasileiros também são lentos. A figura abaixo apresenta 
a velocidade média (adaptada) nas ferrovias, em quilômetros por hora, dos sistemas ferroviários da 
China, dos Estados Unidos e do Brasil. 
 
Qual é o quociente da divisão do mínimo múltiplo comum (MMC) das velocidades médias dos sistemas 
ferroviários da China, dos Estados Unidos e do Brasil pela velocidade média do sistema ferroviário no 
Brasil? 
a) 15 
168, 192 
84, 96 
42, 48 
21, 24 
21, 12 
2 
2 
2 
2 
2 
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b) 24 
c) 12 
d) 20 
Comentários: 
Inicialmente, calculamos o MMC entre as velocidades médias dos sistemas ferroviários da China, dos 
Estados Unidos e do Brasil: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o MMC (50, 40, 30) = 600. Mas, o que precisamos determinar é a divisão do MMC pela velocidade 
média do sistema ferroviário no Brasil, que corresponde a 600 ÷ 30 = 20. 
Gabarito: Letra D. 
(CESGRANRIO/IBGE/2006) Da rodoviária de uma cidade partem três linhas de ônibus. Os horários de 
cada linha são apresentados na tabela abaixo. 
 
Observando-se as informações da tabela, é correto concluir que ônibus das três linhas partirão juntos 
do terminal às: 
a) 7h 30min 
b) 8h 
c) 9h 36min 
d) 10h 45min 
50, 40, 30 
25, 20, 15 
25, 10, 15 
25, 5, 15 
25, 5, 5 
5, 1, 1 
1, 1, 1 
2 
2 
2 
3 
5 
5 
 
= 23 x 3 x 52 = 600 
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e) 11h 30min 
Comentários: 
Primeiramente, temos que calcular o intervalo de tempo em que os ônibus das três linhas saem juntos. Para 
determinar essa coincidência, recorremos ao MMC entre os momentos de saída de cada linha de ônibus: 
 
 
 
 
 
Assim, a cada 60 minutos ou 1 hora os três ônibus saem juntos do terminal. E, visto que o ônibus da linha 3 
é o último a sair, e isso ocorre às 7h, então podemos concluir que o próximo encontro para eles sairem 
simultaneamente é às 8h. 
Gabarito: Letra B. 
5. NÚMERO DE ELEMENTOS DE CONJUNTOS 
Nas provas de raciocínio lógico-quantitativo é comum serem cobradas questões que exigem do candidato 
o tópico Conjuntos. O principal conhecimento desse assunto diz respeito ao cálculo da quantidade de ele-
mentos de um conjunto. 
Consideremos dois conjuntos A e B, de modo que o número de elementos (também chamado de cardinal) 
do conjunto A seja n(A) e o númerode elementos do conjunto B seja n(B). Agora, tomemos o número de 
elementos da interseção A ∩ B por n(A ∩ B) e o número de elementos da união A ∪ B por n(A ∪ B). Assim, 
podemos definir a seguinte equação: 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) – 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
Essa relação é tão importante que a chamaremos de equação fundamental dos conjuntos. Nesse sentido, 
você verá como ela é útil na resolução de diversas questões. Portanto, fica claro que essa vale a pena deco-
rar! 
Aliás, nem precisa decorar, é melhor entendê-la. De fato, o conceito de União de conjuntos indica que esta-
mos reunindo ou adicionando os elementos dos conjuntos envolvidos na operação, de modo que: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) (I) 
15, 12, 10 
15, 6, 5 
15, 3, 5 
5, 1, 5 
1, 1, 1 
2 
2 
3 
5 
= 22 x 3 x 5 = 60 
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Entretanto, é preciso eliminar aqueles elementos que fazem parte, simultaneamente, dos dois conjuntos. E 
é justamente por isso que existe a subtração da interseção na equação apresentada. Todavia, caso os con-
juntos em análise sejam disjuntos entre si, isto é A ∩ B = ∅, então utilizaremos a equação (I). 
Além disso, caso tenhamos 3 (três) conjuntos, adicionando-se um conjunto C por meio do seu cardinal n(c), 
a quantidade de elementos da união entre eles é dada pela seguinte equação: 
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) 
Por fim, trazemos para você a seguinte equação que pode ser bastante útil na resolução das questões de 
concursos públicos, por meio da qual obtemos a quantidade de elementos do conjunto diferença: 
𝑛(𝐴 − 𝐵) = 𝑛(𝐴) – 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
Por exemplo, de um grupo de 300 alunos de línguas, somente 170 estudam inglês e somente 180 estudam 
espanhol. Considerando que, nesse grupo, ninguém estude qualquer outro idioma, quantos alunos dedi-
cam-se tanto ao estudo da língua de Shakespeare quanto ao da de Cervantes? 
Esse é um típico modelo das questões que veremos a seguir e que você se deparará na sua prova. Diante da 
importância desse tópico, mostraremos três formas diferentes de resolver este exercício. Ficará a seu cri-
tério escolher qual o mais apropriado, sendo que haverá casos que poderemos aplicar até mais de um desses 
métodos. Ok? Vamos lá! 
1º modo: uso de diagramas 
Considere o diagrama a seguir em que I representa o conjunto de todos os alunos que estudam Inglês e E, o 
de todos os alunos que estudam Espanhol. O x representa o número de alunos que estudam os dois idiomas. 
 
 
Uma vez que x representa uma parte dos 170 alunos que estudam Inglês, restam 170 – x que estudam Inglês, 
mas que não estudam Espanhol. 
Do mesmo modo, x também representa parte dos 180 alunos que estudam Espanhol, restando 180 – x que 
estudam Espanhol, mas não estudam Inglês. 
 
x 
I E 
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Como a soma dos três números deve dar 300, fazemos: 
(170 – x) + x + (180 – x) = 300 
170 + 180 – x = 300 
350 – x = 300 
X = 50 
2º modo: análise da interseção 
Se somarmos o número de alunos de inglês (170) com o de alunos de Espanhol (180), teremos 170 + 180 = 
350, ou seja, 50 alunos a mais do que o total de alunos de línguas do grupo, que é 300. 
Isso ocorreu porque, ao somarmos os dois números, acabamos tomando duas vezes o número daqueles que 
se dedicam ao estudo dos dois idiomas, ou seja, trata-se de interseção entre os dois conjuntos. Logo, o 
número de alunos que estudam Inglês e Espanhol é 50. 
3º modo: aplicação da equação fundamental 
Sejam: 
n(I): número de alunos que estudam Inglês; 
n(E): número de alunos que estudam Espanhol. 
Temos os seguintes dados: n(I) = 170; n(E) = 180; n(I ∪ E) = 300. 
Aplicando a fórmula do número de elementos da união: 
n(I ∪ E) = n(I) + n(E) – n(I ∩ E) 
300 = 170 + 180 - n(I ∩ E) 
170 - x 180 - x
 
x 
I E 
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n(I ∩ E) = 350 – 300 
n(I ∩ E) = 50 
Como era de esperar, usando os três métodos chegamos ao mesmo resultado. Você perceberá ao longo das 
demais questões que, invariavelmente, utilizaremos um dos três métodos demonstrados. 
Veja como esse assunto já foi cobrado! 
 
(FCC/CL-DF/2018) Em uma escola com 150 alunos, são oferecidos cursos de Inglês e Francês. Conforme 
um levantamento, 15 alunos desta escola não estão frequentando estes cursos e 90 frequentam o curso 
de Inglês. Se 72 alunos frequentam o curso de Francês, então o número de alunos que frequenta um e 
somente um dos cursos é igual a 
a) 126 
b) 144 
c) 138 
d) 132 
e) 108 
Comentários: 
O enunciado informa que o total de pessoas que frequenta pelo menos um curso é 150 – 15 = 135. 
Como 90 alunos frequentam o curso de inglês e 72, o de francês, temos: 
n(F ou I) = n(F) + n(I) – n(F e I) 
135 = 72 + 90 – n(F e I) 
n(F e I) = 27 
Assim, há 27 pessoas que frequentam os dois cursos. 
Portanto, concluímos que 135 – 27 = 108 pessoas frequentam apenas um curso. Isso já nos permite marcar 
a letra E como opção correta. Mas, vamos prosseguir para detalhar o número de alunos que frequentam 
apenas o curso de francês e apenas o curso de inglês. 
Já que 72 pessoas estudam francês, então 72 – 27 = 45 frequentam apenas o curso de francês. 
Como 90 estudam inglês, então 90 – 27 = 63 frequentam apenas o curso de inglês. 
Dessa forma, confirmamos que o total de pessoas que frequenta apenas um curso é igual a 45 + 63 = 108. 
Gabarito: Letra E. 
(FCC/Detran-MA/2018) Em relação a todos os agentes de trânsito de uma cidade, 40% possuem 
diploma de curso superior e 15% pretendem se aposentar nos próximos dois anos. Sabe-se ainda que 
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os agentes com diploma de curso superior que pretendem se aposentar nos próximos dois anos 
representam 10% do total de agentes. Dessa forma, o percentual de agentes de trânsito dessa cidade 
que não possuem diploma de curso superior nem pretendem se aposentar nos próximos dois anos é 
igual a 
A) 35%. 
B) 40%. 
C) 45%. 
D) 50%. 
E) 55%. 
Comentários: 
Sejam A e B, respectivamente, o grupo de pessoas com diploma de curso superior e o grupo que pretende 
se aposentar nos próximos dois anos. É dito que n(A) = 40% e n(B) = 15%. 
É dito que os agentes com diploma de curso superior e que pretendem se aposentar nos próximos dois anos 
representam 10% do total, ou seja, n (A ∩ B) = 10%. 
No diagrama a seguir estão descritas essas informações: 
 
 
 
 
 
Assim, fica claro que o total de pessoas com curso superior ou que pretendem se aposentar nos próximos 
dois anos é de 45% (30% + 10% + 5%), de modo que 100 – 45 = 55% não atendem a nenhum desses dois 
critérios. 
Gabarito: Letra E. 
(FCC/TRT 11ª Região/2017) Uma construtora convoca interessados em vagas de pedreiros e de 
carpinteiros. No dia de apresentação, das 191 pessoas que se interessaram, 113 disseram serem aptas 
para a função pedreiro e 144 disseram serem aptas para a função carpinteiro. A construtora contratou 
apenas as pessoas que se declararam aptas em apenas uma dessas funções. Agindo dessa maneira, o 
número de carpinteiros que a construtora contratou a mais do que o número de pedreiros foi igual a 
A) 19. 
B) 12. 
C) 65. 
D) 47. 
E) 31. 
Comentários: 
A B 
30% 10% 5% 
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Se somarmos as quantidades dos que se declararam pedreiros com os que se declararam carpinteiros, te-
mos 113 + 144 = 257. Obviamente, isso é MAIS do que 191, que é o total de pessoas.Na realidade, a diferença 257 – 191 = 66 é o número de pessoas aptas às duas profissões, ou seja, corres-
ponde à quantidade de pessoas que se encontram na interseção! 
Assim, os que são APENAS pedreiros somam 113 – 66 = 47, e os que são APENAS carpinteiros são 144 – 66 
= 78. 
Todavia, o objetivo da questão consiste em obtermos o número de carpinteiros que a construtora contratou 
A MAIS do que o número de pedreiros, de modo que a diferença é de 78 - 47 = 31. 
Gabarito: Letra E. 
 
(CESPE/Polícia Federal/2014) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado 
concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B 
e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se 
inscreveram para o cargo B. 
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item subsecutivo. 
Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B. 
Comentários: 
Definiremos os seguintes conjuntos: 
A = conjuntos dos candidatos que se inscreveram para o cargo A; 
B = conjuntos dos candidatos que se inscreveram para o cargo B. 
Representaremos por um retângulo o conjunto universo da questão, que é formado por todos os candida-
tos ao concurso. E dentro dele, desenharemos os conjuntos A e B. Já o número 400, fora dos círculos, indica 
o número de candidatos que não se inscreveram a nenhum dos cargos A e B. 
 
 
Ora, se são 1.200 candidatos no total e 400 deles se inscreveram para outros cargos, então: 
1.200 – 400 = 800 
Isso significa que 800 candidatos se inscreveram para A ou B, de forma que: 
n(A ∪ B) = 800 
Aplicando a fórmula do número de elementos da união: 
n(A) n(B)
400 
AB 
A B 
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n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
800 = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
800 = 600 + 400 - n(A ∩ B) 
n(A ∩ B) = 600 + 400 - 800 = 200 
Portanto, 200 candidatos se inscreveram para A e B. 
Gabarito: ERRADO. 
 
(CESPE/PM-CE/2014) Uma pesquisa realizada com um grupo de turistas que visitaram, em Fortaleza, a 
praia do Futuro (PF), o teatro José Alencar (TJA) e a catedral Metropolitana (CM) apresentou as 
seguintes informações: 
►70 turistas visitaram a PF; 
►80 turistas visitaram o TJA; 
►70 turistas visitaram a CM; 
►30 turistas visitaram apenas a PF; 
►50 turistas visitaram a CM e o TJA; 
►25 turistas visitaram a PF e a CM; 
►20 turistas visitaram esses três pontos turísticos; 
►cada um dos turistas visitou pelo menos um dos três pontos turísticos. 
Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
O número de turistas que visitou a PF e o TJA é superior a 30. 
Comentários: 
Façamos um diagrama para representar as quantidades de cada conjunto. 
 
 
 
 
PF 
TJA CM 
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O enunciado afirma que 20 turistas visitaram os três pontos turísticos: 
 
 
 
 
Em seguida, é dito que 25 turistas visitaram PF e CM. Utilizando a técnica descrita no 1º método de resolu-
ção, precisamos subtrair a interseção (isto é, 20), a fim de encontrar turistas que visitaram exclusivamente 
PF e CM. Logo: 
 
 
Também foi informado que 50 turistas visitaram CM e TJA. Com a interseção já foram alocados 20 destes 
50, de modo que faltam 30. 
 
20 
 
PF 
TJA CM 
20 
5 
PF 
TJA CM 
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30 turistas visitaram apenas a PF. Assim: 
 
 
Além disso, é dito que 70 visitaram a PF. Já alocamos 30 + 20 + 5 = 55. Faltam 15: 
 
30
20 
5 
PF 
TJA CM 
30 
20 
5 
PF 
TJA CM 
30 
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A interseção entre os conjuntos dos turistas que visitaram PF e TJA apresenta 20 + 15 = 35 elementos. Logo, 
35 pessoas visitaram a PF e o TJA. 
Gabarito: CERTO. 
6. PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
Equação do 1º grau é a relação de igualdade que possui o formato ax + b = 0, com a e B pertencente ao 
conjunto dos números reais e a diferente de zero, em que: 
a: coeficiente da equação 
x: incógnita 
b: termo independente 
Note que se trata de equação devido ao fato de a incógnita estar igualada a um número, que nesse caso 
corresponde a zero. Além disso, a equação descrita é do 1º grau porque a incógnita tem expoente igual a 1. 
Para exemplificar, considere 3x – 5 = 0. 
Inicialmente, perceba que estamos diante de uma equação do 1º grau, pois o expoente da incógnita x é igual 
a 1. 
Adicionalmente, precisamos ter em mente o significado da igualdade presente na expressão. Ela indica que 
tudo que está do lado esquerdo (1º membro da equação) é igual ao conteúdo do lado direito (2º membro da 
equação), que neste exemplo é igual a 0. Assim, substituindo o valor de x e fazendo as operações necessá-
rias, devemos ter como resultado o número que está do lado direito da igualdade. 
30
20 
5 
PF 
TJA CM 
30 
15 
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Agora para definirmos os valores dos termos da equação, basta lembrarmos o seu formato genérico: ax + b 
= 0. Dessa forma, comparando isso com a equação dada, concluímos que: 
ax + b = 0 
 
3x – 5 = 0 
a = 3 e b = -5 
O mais importante deste tópico é sabermos determinar o valor da incógnita, que é chamado raiz da equa-
ção. 
Para isso, o nosso objetivo deve ser separar na igualdade a incógnita dos números (coeficiente e termo in-
dependente), invertendo a operação caso tenha havido alguma transferência de um lado para outro. Isto é, 
caso de trate de uma multiplicação passa para o outro lado dividindo, e vice-versa; ao passo que se estiver 
subtraindo, passa somando, e vice-versa. 
Em outras palavras, queremos letras com letras de um lado da equação e números com números do outro 
lado, mudando a operação caso aconteçam transferências entre lados! 
 
Para exemplificar, vamos solucionar as equações do 1º grau a seguir. 
a) 8x – 15 = 3x 
Primeiramente, vamos passar o -15 (que é um número) para o outro lado da igualdade. Para isso, devemos 
alterar o seu sinal de negativo para positivo. Similarmente, passaremos o 3x (que é letra) para o outro lado, 
mudando seu sinal de positivo para negativo. Logo: 
8x – 3x = 15 
5x = 15 
Agora, precisamos passar o 5 (que é número) para o outro lado da igualdade. Qual é a operação que ele está 
fazendo? Multiplicação, de modo que passará dividindo: 
Incógnita
Coeficiente
e
Termo 
Independente
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x = 15/5 
x = 3 
Portanto, a raiz da equação é 3. Inclusive, muitas vezes esta solução é representada em forma de conjunto. 
Assim, teríamos S = {3}, ou seja, o conjunto solução é formado pelo elemento 3. 
b) 2(3x + 1) – 3(6 – 2x) = 20 
Inicialmente aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação, destacando que o segundo parêntese 
está sendo multiplicado por “-3”, e não por “3”: 
6x + 2 – 18 + 6x = 20 
Nesse momento, fazendo a transferência de todos os números para o outro lado da equação e fazemos as 
operações resultantes: 
12x = 20 – 2 + 18 
12x = 36 
Repare que o 12 está multiplicando a incógnita, de modo que deve passar para o outro lado dividindo: 
x = 36 / 12 → x = 3 
c) 
𝑦−3
2
+
2(3𝑦−5)
3
=
2𝑦−1
6
 
Neste caso todos os termos da equação estão na forma fracionária, com a incógnita (y) presente nos nume-
radores. 
Além disso, os denominadores são diferentes entre si, de modo que devemos calcular o MMC entre eles, 
para trabalharmos com um denominadorcomum: 
 
 
 
Assim, o MMC entre 2, 3, 6 é igual a 6, o qual será o denominador comum da equação e deve substituir cada 
denominador até então existente. Como faremos isso? 
Em cada fração, iremos dividir o 6 pelo denominador inicial, e o resultado dessa operação será multiplicado 
pelo numerador, obtendo o novo numerador. Veja: 
3(𝑦 − 3)
6
+
2 × 2(3𝑦 − 5)
6
=
1(2𝑦 − 1)
6
 
2, 3, 6 
1, 3, 3 
1, 1, 1 
2 
3 
= 2 ⨯ 3 = 6 
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3𝑦 − 9
6
+
12𝑦 − 20
6
=
2𝑦 − 1
6
 
Como os denominadores são todos iguais, podemos simplificar a equação por eliminá-los. Em seguida, con-
tinuamos as operações para encontrar a raiz da equação: 
3𝑦 − 9 + 12𝑦 − 20 = 2𝑦 − 1 
3𝑦 + 12𝑦 − 2𝑦 = −1 + 9 + 20 
13𝑦 = 28 → 𝒚 =
𝟐𝟖
𝟏𝟑
 
Portanto, fica claro que a resolução de uma equação do 1º grau segue um processo prático, composto dos 
seguintes passos: 
 
Adicionalmente, precisamos conhecer as questões no âmbito do raciocínio aritmético que abordam este 
assunto. Trata-se de quando temos um problema cuja solução é obtida por meio da solução de uma equação 
do 1º grau. 
Nesse tipo de questão é fundamental sabermos interpretar corretamente as informações presentes no 
enunciado de modo a conseguirmos transformá-las em linguagem matemática, identificando os elementos 
integrantes para construir corretamente a expressão. Em outras palavras, precisamos desenvolver a habili-
dade de traduzir textos em números! 
Para auxiliá-lo, na tabela a seguir estão descritos alguns exemplos de expressões cotidianas que já aparece-
ram em questões de concursos e suas respectivas equivalências matemáticas, considerando a incógnita x 
como o termo desconhecido. 
1) Eliminar os denominadores (Se as equações possuírem 
termos fracionários);
2) Isolar num dos lados todos os termos que contém a 
incógnita e os demais no outro lado;
3) Reduzir todos os termos semelhantes a um só;
4) Passar para o outro lado dividindo ou multiplicando os 
termos que estão, respectivamente, multiplicando ou 
dividindo a incógnita;
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Exemplos de expressões cotidianas e suas equivalentes matemáticas 
Um número mais sete. x + 7 
Cinco vezes um determinado número. 5x 
Metade de certo número. 
𝑥
2
 
O quíntuplo de um número mais quatro. 5x + 4 
A quarta parte de um número mais três. 
𝑥
4
+ 3 
O triplo de um número somado ao seu quádruplo. 3x + 4x 
A diferença entre um número e a sua metade. 𝑥 −
𝑥
2
 
Doze dividido por um certo número. 
12
𝑥
 
O consecutivo de um número. x + 1 
O dobro do antecessor de um número. 2(x – 1) 
Somando quatro a um certo número e multiplicando o resultado por 8. (x + 4) ⨯ 8 
O quociente entre seis e a soma de um certo número com dois. 
6
𝑥 + 2
 
Três números inteiros, positivos, pares e consecutivos. x, x + 2, x + 4 
A diferença entre dois números é 12. x e x + 12 
O inverso de um número somado a seis resulta em oito. 
1
𝑥
+ 6 = 8 
A idade de uma pessoa há dois anos. x – 2 
Vamos examinar alguns exemplos. 
 
1) A soma de dois números é 212 e a diferença é 24. Quais são esses números? 
Comentários: 
Como a diferença entre os números é 24, podemos dizer que o menor é x e o maior é x + 24. 
Em seguida, é dito que a soma entre eles é 212. Logo: 
x + (x + 24) = 212 
2x + 24 = 212 
2x = 188 
x = 188/2 → x = 94 
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Assim, o número menor é 94, ao passo que o maior é 94 + 24 = 118. 
2) Lucas tem 28 anos a menos que o seu pai, o qual tem 3 vezes a idade de Lucas. Qual a idade de am-
bos? 
Comentários: 
Levando em conta que Lucas tem 28 anos a menos que o seu pai, dizemos que a idade de Lucas é y e a de 
seu pai é y + 28. E como o pai de Lucas possui 3 vezes a idade de Lucas, temos: 
y + 28 = 3y 
3y – y = 28 
y = 28/2 → y = 14 
3) Francisco tem hoje 46 anos e o seu filho, 10 anos de idade. Daqui a quantos anos a idade do pai será 
o quádruplo da idade do filho? 
Comentários: 
Se atualmente Francisco tem 46 anos de idade e o seu filho possui 10 anos, então após certo tempo terão: 
Francisco: 46 + x 
Filho de Francisco: 10 + x 
Queremos saber quando a idade de Francisco será o quádruplo da idade de seu filho. Logo: 
46 + x = 4(10 + x) 
46 + x = 40 + 4x 
4x – x = 46 – 40 
3x = 6 → x = 2 
Portanto, a idade de Francisco corresponderá a quatro vezes à do seu filho daqui a dois anos. 
4) Considere que no mês de outubro, os estudantes Carlos e Artur haviam gastado, respectivamente, 
dois terços e três quintos de suas mesadas. Embora a mesada de Carlos seja menor, ele gastou R$ 8,00 
a mais que Artur. Se a soma dos valores das duas mesadas é R$ 810,00, qual é o valor monetário da 
diferença entre os valores das duas mesadas? 
Comentários: 
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Veja que o problema diz que Carlos e Artur haviam gastado, respectivamente, dois terços e três quintos de 
suas mesadas; sendo que Carlos gastou R$ 8,00 a mais que Artur. 
Então, chamaremos de A e C as mesadas de, respectivamente, Artur e Carlos. Daí, teremos: 
2
3
𝐶 −
3
5
𝐴 = 8 
Com essa fórmula, registramos o gasto que cada um dos estudantes teve bem como destacamos o fato de 
as despesas de um deles ter superado a do outro em oito reais. Entendido até aqui? 
Mas vamos tentar simplificar um pouco mais a equação a que chegamos por eliminar os denominadores. 
Sabendo que o MMC entre 3 e 5 é 15, ficamos com: 
10
15
𝐶 −
9
15
𝐴 =
120
15
 
𝟏𝟎𝑪 − 𝟗𝑨 = 𝟏𝟐𝟎 (𝑰) 
Repare que chamamos a equação obtida de (I) apenas para organização dos dados. 
Em seguida, o problema diz que a soma das duas mesadas é R$ 810,00. Logo: 
𝐶 + 𝐴 = 810 
𝑨 = 𝟖𝟏𝟎 − 𝑪 (𝑰𝑰) 
Com a equação (II) obtemos uma equação que nos permite calcular o valor da mesada de Artur em função 
da quantia de Carlos. Neste sentido, vamos substituir a equação (II) em (I): 
10𝐶 − 9(810 − 𝐶) = 120 
10𝐶 − 7290 + 9𝐶 = 120 
Perceba que chegamos numa equação do 1º grau com apenas uma incógnita, isto é C, de modo que pode-
mos calcular a sua raiz: 
19𝐶 = 120 + 7290 
𝐶 =
7410
19
 → 𝑪 = 𝟑𝟗𝟎 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
Agora substituímos este valor na equação (II), de forma a determinar a quantia que coube a Artur: 
𝐴 = 810 − 390 → 𝑨 = 𝟒𝟐𝟎 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
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Assim, concluímos que a mesada de Artur é R$ 420,00, ao passo que a de Artur é R$ 390,00. Inclusive tais 
quantias respeitam a descrição contida no problema, pois realmente a mesada de Carlos é menor que a de 
Artur. 
Mas, terminamos a solução do problema? Não! Pois o enunciado exige o valor da diferença entre o valor das 
duas mesadas. Logo: 
𝐴 − 𝐶 = 420 − 390 = 𝟑𝟎 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
Veja como esse assunto já foi cobrado! 
 
(FCC/TRT 6ª Região/2018) A relação entre funcionários homens e funcionárias mulheres em uma 
repartição pública é de 5 para 4, nessa ordem. Após um concurso, foram admitidos 5 novos funcionários 
homens e 12 novas funcionárias mulheres nessa repartição. Com o ingresso desses funcionários, a 
proporção entre funcionários homens e funcionárias mulheres da repartição passou a ser de 9 para 8, 
nessa ordem. Sendo assim, depois do concurso a repartição passou a ter um total de funcionárias 
mulheres igual a 
a) 64. 
b) 78. 
c) 80. 
d) 72. 
e) 70. 
Comentários: 
Vamos chamar de m e h, respectivamente, as quantidades iniciais de homens e de mulheres. 
O enunciado informa que inicialmente a razão entre homens e mulheres era