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características dinâmicas dos instrumentos de medida Todos nós sabemos que os instrumentos de medida demoram um certo tempo para atingirem o valor da medida. Esse tempo ocorre devido a inércias, resitências e atrasos necessários para se obter equilíbrios de forças, pressões, temperaturas, etc. 5.1. - Velocidade de Resposta ou Inércia de um instrumento Corresponde ao tempo tomado pelo sistema de medição em responder completamente a uma modificação no valor da variável de entrada. Vamos tomar, por exemplo, um termômetro de mercúrio que, estando a temperatura ambiente (20 ºC), será mergulhado numa cuba com água a 80 ºC. água 80 ºC termômetro a 20 ºC Figura .5.1. - Termômetro usado para medição da temperatura da água Ao ser mergulhado na cuba, o termômetro passa a receber um fluxo de calor. Todas as partes do termômetro (vidro do bulbo, mercúrio e vidro da haste) passam a aquecer-se. Com a dilatação do mercúrio, este se expande pelo tubo capilar, à medida em que vai recebendo calor. Vejamos : Instrumentação e Controle 19 água 80 ºC Figura 5.2. - Sistema durante o equilíbrio de temperatura 20 ºC 80 ºC vidro mercúrio água a fluxo de calor Fluxo de Calor Figura 5.3. - Fluxo de calor passando pelo vidro do bulbo e aquecendo o mercúrio. Durante o tempo em que houver fluxo de calor da água para o mercúrio, o termômetro estará marcando um valor errado de temperatura. É o chamado erro dinâmico. Apenas a partir do instante que houver equilíbrio térmico (ou seja, a água, o mercúrio e o vidro estiverem a mesma temperatura (80 ºC), o erro dinâmico deixa de existir, e o termômetro passa a medir a temperatura da água com a precisão que lhe é própria. A velocidade de resposta e o erro dinâmico são importantes quando se pretende medir grandezas dinâmicas. 5.2. - Função Transferência de Sistemas. No Capítulo 1 definimos o que um sistema, e no Capítulo 3 vimos que um instrumento de medida pode ser tratado como um sistema. A Fig. 5.4 mostra a configuração de um sistema, com as quantidades de entrada e saída. Instrumentação e Controle 20 S E Função Tranferência F(t) Figura 5.4. - Configuração de um sistema. onde : E = quantidade de entrada S = quantidade de saída F(t) = Função transferência t = tempo. A Função Transferência relaciona as quantidades de entrada e de saída : E SF t =)( (Eq. 5.1) Como exemplo, o medidor de nível de combustível da Fig.3.2, teria : S = Ângulo do ponteiro E = Nível de combustível Função Tranferência F(t) Quando a Função Transferência não depende do tempo, a relação entre as quantidades de entrada e saída é instantânea; quando F(t) é dependente do tempo (será, portanto, uma equação diferencial), haverá um atraso da quantidade de saída em relação à entrada. Faremos, a seguir, um estudo resumido do equacionamento do comportamento dinâmico de instrumentos de medida. Um estudo completo pode ser encontrado no livro "Measurements Systems - Doebelin, E.O.", citado na bibliografia. Vamos ver, a seguir, o comportamento de instrumentos de medida para ordens zero, um e dois. 5.3. - Instrumento de ordem zero Quando a Função Tranferência tem grau zero, portanto uma equação algébrica, temos: (Eq. 5.2) EbSa 00 = e a Função Transferência fica : Instrumentação e Controle 21 K a bF t == 0 0 )( (Eq. 5.3) ou seja, é independente do tempo. Como a relação saída/entrada não está relacionada com o tempo, ela é instantânea, ou, não sofre atraso. O instrumento cuja Função Transferência tem essas condições é chamado de Instrumento de ordem zero. A relação b0/a0 = K é definida como sensitividade estática, e já foi definida no capítulo 4. Vamos tomar como exemplo o medidor de deslocamento por potenciômetro da Fig. 5.5. Corpo com movimento vibratório V Xe Vs Figura 5.5. - Instrumento de ordem zero. Deseja-se medir a distância xe, obtendo-se a tensão Vs, através da variação da resistência elétrica. Considerando-se que a resistência é linearmente distribuída em todo o comprimento L, podemos escrever : XeKV L XeVs .Vs seja,ou == (Eq. 5.4) onde L VK = (Eq. 5.5) Nota-se claramente que não existe qualquer atraso no valor da tensão Vs, quando se altera Xe. A resposta é imediata. Qualquer que seja a alteração de Xe, haverá uma resposta proporcional e sem atraso de Vs. 5.4. - Instrumentos de primeira ordem A equação geral de um sistema de 1ª ordem é: EbSa dt dSa 001 =+ (Eq. 5.6) Dividindo a equação por a0, teremos : Instrumentação e Controle 22 E a b S dt dS a a 0 0 0 1 =+ (Eq. 5.7) onde podemos definir K b a = 0 0 como sensitividade estática (Eq. 5.8) e τ = a a 1 0 como constante de tempo. (Eq. 5.9) A constante de tempo τ sempre tem a dimensão de tempo [segundo, minuto, hora, etc], e é a responsável pelo atraso da resposta. A sensitividade estática K (válida para instrumento de qualquer ordem) tem a dimensão da relação saída/entrada. Portanto, a Função Transferência para um instrumento de medida de primeira ordem é : 1 KES.DS +=→=+→=+ D K E SKES dt dS τττ (Eq. 5.10) ou seja, um instrumento de primeira ordem pode ser representado pelo sistema : S E K τ. D + 1 Como exemplo de instrumento de primeira ordem, tomemos o termômetro das Figs. 5.1, 5.2 e 5.3. A quantidade de entrada E é a temperatura da água a ser medida Te, e a quantidade de saída é a distância S indicada no termômetro. S Te Figura 5.6. - Variáveis do termômetro Equacionando-se o fluxo de calor e o volume expandido, chegaremos na equação 5.7 com os seguintes valores: Instrumentação e Controle 23 K K V A ex b c = . [in/ºF] (Eq. 5.11) τ ρ= . .. C V U A b b [segundos] (Eq. 5.12) onde : Tt = Temperatura do fluido do bulbo (para Te = 0 ⇒ X0 = 0 ), [ º F] Kex = diferença entre os coeficientes de dilatação do fluido e do vidro [in3/in3.ºF] Vb = volume do bulbo [in3] Ac = área da secção transversal do tubo capilar [in2]. U = Coeficiente de transmissão de calor da parede do bulbo [in2. ºF s] Ab = Área de transferência de calor do bulbo [in2] ρ = densidade do fluido do termômetro [lb/in3] C = calor específico do fluido do termômetro [lb.ºF]. Resposta de instrumentos de 1ª Ordem para entrada degrau Uma das formas mais claras de se avaliar a velocidade de resposta de um instrumento de medida, é aplicando uma entrada repentina, cronometrando o tempo de resposta. Esse tipo de entrada é chamada de entrada degrau. A entrada degrau teria o seguinte aspecto : Ed Tempo E Fig. 5.7. - Entrada do tipo degrau. A entrada degrau sempre assume a condição de E = 0, para t = 0. A solução homogênea para a equação diferencial é : (Eq. 5.13) τ/. th eCS −= e a solução particular é : Instrumentação e Controle 24 (Eq. 5.14) dp EKS .= e a solução geral é : (Eq. 5.15) d t EKeCS .. / += − τ Aplicando-se as condições iniciais temos : (Eq. 5.16) dEKC .0 += (Eq. 5.17) dEKC .−= se obtendo, finalmente a equação da resposta de um instrumento de 1ª Ordem para uma entrada degrau : (Eq. 5.18) )1.(. /τtd eEKS −−= A Fig. 5.8 mostra a resposta de um sistema de 1ª Ordem a uma entrada degrau S K.Ed S K.Ed S K.Ed S K.Ed Fig. 5.8. - Resposta para uma entrada degrau. Instrumentação e Controle 25 Nota-se que, para o tempo t = τ, o sistema responde 63,2 % do degrau, e para t = 3 τ, a respostaé de 0,95 do degrau. Podemos então definir como tempo de resposta (settling time) de um instrumento de medida, como o tempo que o sistema demora para alcançar a resposta, para uma dada precisão. A Fig. 5.9 mostra o tempo de resposta para 95 % de precisão. S K.Ed Fig. 5.9. - Tempo de resposta para 95 % de precisão. Para o nosso exemplo do termômetro das Figs 5.1, 5.2 e 5.3 : Ö temperatura inicial = 20 ºC Ö temperatura final a ser medida = S = 80 ºC Ö degrau = Ed = 60 ºC Vamos supor que o valor de τ do termômetro seja = 1,5 segundos. Portanto a resposta dinâmica do termômetro seria : § para o tempo t = τ ele já teria respondido 63,2 % do degrau, ou seja, em 1,5 segundos após ser mergulhado na cuba, ele estaria marcando 0,632 x 60 = 57,92 ºC; em 3 segundos, marcaria 0,865 x 60 = 71,9 ºC; em 4,5 segundos, marcaria 0,95 x 60 = 77 ºC; e em 6,0 segundos, marcaria 0,982 x 60 = 78,92 ºC. Resposta de instrumentos de primeira ordem para entrada rampa O mesmo estudo realizado para entrada degrau, pode ser realizado para entrada rampa. Esse tipo de entrada caracteriza-se por ter uma variável em contínuo crescimento. O tratamento matemático é semelhante ao dado para entrada degrau. Para uma entrada rampa do tipo : (Eq. 5.19) tEE . •= a resposta será : Instrumentação e Controle 26 (Eq. 5.20) )..(. / ττ τ −+= −• teEKS t A resposta e o erro dinâmico estão na Fig. 5.10. Steady-state time = τ Tem E Er •= τ. E Resposta de Erro S po Figura 5.10. - Resposta de um instrumento de 1ª Ordem para entrada rampa. 5.5. - Instrumentos de Segunda Ordem A equação geral para um sistema de 2ª ordem é: EbSat Sa t Sa 0012 2 2 =++ d d d d (Eq.5.21) onde podemos definir : K a b = 0 0 sensitividade estática ω n aa= 0 2 freqüência natural [rad/s] ξ = aa a 1 0 22. . fator de amortecimento. A resposta de um instrumento de 2ª ordem para estrada degrau é mostrada na Fig.5.11, e a resposta para uma entrada rampa está na Fig 5.12. Instrumentação e Controle 27 S K.Ed n.t Figura 5.11. - Resposta de um instrumento de 2ª Ordem para entrada degrau. Steady-state time = 2. ξ ωn Tempo E Er n E.2. Resposta de Erro ω ξ •= S Figura 5.12. - Resposta de um instrumento de 2ª ordem para entrada rampa. EXERCÍCIOS : Exercício Nº 1 - Descreva as vantagens e desvantagens para um instrumento de medida ter um pequeno tempo de resposta. Exercício Nº 2 - A Figura 5.13 mostra a resposta de dois instrumentos de medida, com dois valores de τ . Qual a ordem desse instrumento ? Qual o que tem tempo de resposta maior ? Exercício Nº 3 - Descreva como se comporta dinamicamente o termômetro de pressão da Figura 2.3. Qual seria a ordem da Função Transferência ? Faça um esboço da resposta. Instrumentação e Controle 28 Tempo Ed 2 1 E Figura 5.13 – Resposta de 2 instrumentos de medida Exercício Nº 4 - Descreva como se comporta dinamicamente o medidor de nível de combustível da Figura 3.2. Qual seria a ordem da Função Transferência ? Faça um esboço da resposta. Exercício Nº 5 - Um termômetro com constante de tempo de 10 segundos é usado para medir a temperatura de um líquido a 120 ºC. Inicialmente o termômetro está a 20 ºC. Quanto estará marcando o termômetro após 5 segundos de mergulhado no líquido ? E após 15 segundos ? Faça um gráfico da temperatura marcada pelo termômetro contra o tempo. R. : Para t = 5 s T = 59,34 ºC; para t = 10 s T = 83,21 ºC; para t = 15 s T = 97,68 ºC. Exercício Nº 6 - Um termômetro com tempo de resposta de 15 segundos deverá ser usado para medir a temperatura de um líquido em um processo de fabricação. Sabe-se que o processo mantém o líquido entre 85 e 95 ºC, e que o termômetro estava inicialmente a 20 ºC. Sabendo-se que após 15 segundos mergulhado no líquido o termômetro acusava 69,3 ºC, verificar se a temperatura do líquido está dentro da faixa pretendida. R. : Está fora do especificado. T = 98,0 ºC Exercício Nº 7 - Um termômetro médico usado para verificar a temperatura do corpo de pessoas tem uma escala de 35 a 41 ºC. O fabricante indica que, para ter-se uma precisão de 98,2 %, deve-se colocar o termômetro em contato com o corpo da pessoa e aguardar-se 3 minutos. Qual o erro dinâmico do termômetro para a leitura aos 3 minutos ? Qual a constante de tempo desse termômetro ? R. : Erro dinâmico = 0,108 ºC; Constante de tempo τ = 1,333 segundos. Exercício Nº 8 - Um forno em aquecimento, eleva a sua temperatura à taxa de 40 ºC por minuto. Um termômetro com tempo de resposta de 3 min. é acoplado ao forno para medir sua temperatura. Responda : 1 - Qual o tipo de entrada que é dada ao termômetro. 2 - Equacione a entrada. 3 - Quando o termômetro marca 450 ºC, qual a verdadeira temperatura do forno ? 4 - Se pretende-se que o termômetro acuse um erro dinâmico máximo de 20 ºC, qual deve ser o tempo de resposta desse termômetro ? R. : Entrada rampa; Qe = 40.t [min]; Erro de 40. τ = 120 ºC; Erro = 20 = 40. τ τ = 0,5 min.
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