Gestão de Risco de Mercado - Valeu at Risk

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Gestão do Risco de Mercado 
Valeu at Risk (VaR) 
Educação Continuada ANBIMA 
 
Data: 24/01/2019 
 
 
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Sumário 
VAR ................................................................................................................................................ 3 
2.1. O QUE É VAR? .................................................................................................................... 3 
2.2. MEDINDO O VAR – MODELOS PARAMÉTRICOS ..................................................... 4 
2.3. MEDINDO O VAR – MODELOS NÃO PARAMÉTRICOS .......................................... 14 
2.4. REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 17 
APÊNDICE 1 ................................................................................................................................ 18 
APÊNDICE 2 ................................................................................................................................ 25 
 
 
 
 
 
3 
 
VAR 
2.1. O QUE É VAR? 
O ser humano tem uma necessidade intrínseca de quantificação. No nosso dia a dia, 
muitas vezes, não nos damos por satisfeitos apenas com ideias do tipo “fulano é alto ou 
baixo”, “o carro é rápido ou lento”, etc. Queremos saber quão alta é uma pessoa, ou 
quão rápido é um automóvel e, dessas questões, surgiram as grandezas comprimento e 
velocidade como respostas. Analogamente, é interessante saber o quanto um 
investimento é mais arriscado que outro. Nesse caso, a solução não é tão simples. O 
objetivo deste capítulo é estudar um dos modos mais aceitos atualmente de medição 
do risco: o Value at Risk (VaR). 
Em outubro de 1994, o banco J.P. Morgan tornou pública sua metodologia para o cálculo 
do risco e o conceito do VaR. Essa atitude, além de ter sido inédita, fugia totalmente ao 
padrão. Tudo o que se referia a esse assunto era guardado a sete chaves e considerado 
de alto valor. Hoje, essa é uma metodologia amplamente aceita e usada por bancos, 
fundos de investimento e legisladores do sistema financeiro de todo o mundo. 
Podemos definir o Value at Risk, ou valor em risco, como sendo o valor monetário das 
perdas no valor presente a que uma carteira está sujeita, a um determinado nível de 
confiança e dentro de um horizonte de tempo. Se dissermos que nossa carteira de ações 
tem um VaR de R$ 130 mil, em um dia e para um nível de confiança de 95%, isso equivale 
a dizer que há 5% de probabilidade de nossa carteira perder mais de R$ 130 mil em um 
dia. Ou a dizer que, em um a cada 20 dias, iremos perder mais do que R$ 130 mil. Ou, 
ainda, que, com 95% de confiança, a perda não será superior a 
R$ 130 mil. Note-se que, em termos de VaR, o lucro esperado é ignorado. 
O VaR sintetiza a perda máxima esperada, medida em valores monetários, dentro de 
determinado intervalo de tempo e dada uma probabilidade de ocorrência. Portanto, 
devemos sempre associar essa medida a: 
1. Uma moeda (valor monetário) 
2. Um intervalo de tempo (quando devemos notar essa perda) 
3. Uma probabilidade (com que frequência essa perda será notada) 
O VaR de uma posição comprada em R$ 1 milhão em ações de Petrobras pode ser de R$ 
60 mil para um dia com uma probabilidade de 98% ou de R$ 45 mil para um dia com 
uma probabilidade de 94%, ou até de R$ 90 mil para cinco dias com uma probabilidade 
de 95%. Podemos denotar essa medida de risco de várias maneiras, dependendo de 
nossas necessidades. 
Note que o tamanho da carteira, ou valor do ativo, é muito importante. Vamos supor 
que determinada carteira contenha apenas ações e que o VaR de um dia para um 
intervalo de confiança de 95% foi de R$ 3.250,00. Esse número é grande ou pequeno? 
Se essa carteira possui apenas uma ação no valor de R$ 100 mil, podemos dizer que ele 
é muito grande. Entretanto, se a carteira é composta por muitas ações em um montante 
 
4 
 
de R$ 1 milhão, o VaR é pequeno. O risco, medido dessa forma, está diretamente ligado 
ao valor da carteira ou ao montante do ativo que possuímos. 
Feitas essas observações preliminares, definiremos o VaR de uma carteira de valor Xt, 
no período t, como: 
 
P(∆𝑋𝑡 ≤ 𝑉𝑎𝑅) =∝ 
Equação (2.1) 
 
Onde: 
P = probabilidade de ocorrência de um evento 
α = nível de significância adotado, tendo (1 – α) como nível de confiança 
ΔXt = variação no valor da carteira de preço Xt. 
VaR = valor em risco para o horizonte de tempo t 
Em outras palavras, na fórmula 2.1, α indica qual a probabilidade de a variação da 
carteira ser menor ou igual ao VaR. 
 
2.2. MEDINDO O VAR – MODELOS PARAMÉTRICOS 
Como podemos notar, o conceito do VaR não é difícil, não emprega nada de estranho, 
e seu resultado é em unidades monetárias. Entretanto, medi-lo (ou melhor, estimá-lo) 
é outro problema. Quanto mais complexos forem os instrumentos que compõem a 
carteira, mais difícil será medir seu risco. Medir o risco de uma ação é relativamente 
fácil; já o de sua opção de compra é um problema mais complicado. 
Podemos dividir os modelos para o cálculo do VaR em dois grandes grupos: 
- Modelos paramétricos 
- Modelos não paramétricos 
Nesta seção, estudaremos os primeiros e, na seção 2.3, serão considerados os não 
paramétricos. 
O método paramétrico consiste em atribuir uma distribuição de probabilidade 
conhecida aos retornos dos ativos que compõem a carteira e, a partir daí, empregar as 
propriedades dessa distribuição e a Equação 2.1, para estimar o VaR. 
Uma das distribuições mais empregadas para esse fim é a distribuição normal ou 
Gaussiana. Ela serve como uma excelente aproximação para uma grande classe de 
distribuições que têm enorme importância prática. Portanto, vamos, primeiro, fazer 
uma breve apresentação sobre a distribuição normal. 
 
 
 
 
5 
 
2.2.1. A distribuição normal 
Uma variável X tem distribuição normal quando o aspecto de sua densidade de 
probabilidade é uma curva em forma de sino, semelhante à da Figura 1. A maior parte 
dos dados que compõem essa série histórica encontra-se em torno da média. À medida 
que nos afastamos dela, tanto para mais como para menos, a probabilidade de 
ocorrência de um resultado diminui de uma forma simétrica. Dessa forma, pode-se 
inferir que a curva de distribuição normal é uma curva simétrica em relação à sua média 
µ. 
 
Figura 1 – Distribuição normal – influência do desvio-padrão 
 
Essa curva de distribuição normal permite uma interpretação interessante para o 
desvio-padrão. Considerando que uma série histórica X qualquer seja normalmente 
distribuída com média µ e desvio-padrão Ơ: 
- A probabilidade de observarmos um dado dessa série no intervalo da curva 
formado por a [µ-Ơ, µ+Ơ] é igual a 68,26% ou um desvio-padrão. 
- A probabilidade de observarmos um dado dessa série no intervalo da curva 
formado por a [µ-3Ơ, µ+3Ơ] é igual a 99,74% ou três desvios-padrões. 
Para determinar a probabilidade de um dado da série histórica X estar, por exemplo, 
entre dois valores a e b (sendo a < b), temos de integrar a Função Densidade de 
Probabilidade (FDP) de X de a até b, ou seja, temos de determinar a área sob a curva 
normal situada entre a e b. Como essa integral não pode ser calculada pelos caminhos 
comuns e necessita de métodos de integração numérica, uma forma alternativa consiste 
em usar tabelas de distribuição normal. 
 
6 
 
Essas tabelas contêm os valores das probabilidades (denotada pela letra grega α) de 
uma distribuição normal-padrão Z ser menor ou igual que um dado Zα. A Tabela 1 
apresenta uma tabela de distribuição normal. 
 
zα α = P [Z ≤ Zα] 
-3 0,00135 
-2 0,02275 
-1 0,15865 
0 0,50000 
Tabela 1 – Tabela de distribuição normal 
 
A partir dela é possível demonstrar que: 
 
- se X tem distribuição normal N (µ, Ơ2), então: 
 
𝑋 − 𝜇
Ơ
 tem distribuição normal-padrão 
 
Usando essa evidência e a tabela de distribuição normal-padrão, podemos calcularprobabilidades para qualquer distribuição normal. Por exemplo, suponha que a altura H 
de um brasileiro adulto seja distribuída normalmente com média µ = 170 cm e variância 
Ơ2 = 100 cm2. Com o auxílio da Equação 2.1, é possível determinar a probabilidade de a 
altura de um brasileiro sorteado ao acaso ser maior que 2,0 m (= 200 cm). 
Tomando-se a Equação 2.1 e considerando que há simetria em ambos os lados da curva 
de distribuição normal, temos que o lado esquerdo da equação é representado por 
P[H>200] e o lado direito é representado por P[H-170<30]. Então: P[H>200]= P[H-
170>30] 
 
Assim: P(∆𝑋𝑡 ≤ 𝑉𝑎𝑅) = ∝ 
P[H>200] = P[H-170>30] 
P (
H−170
10
> 3) = P [Z > 3] 
 
Respeitando a simetria: P [Z > 3] = P [Z > -3] 
 
Consultando a tabela, temos: P [Z > -3] = 0,00135 ou 0,135% 
 
 
 
7 
 
2.2.2. VaR de um único ativo 
Para simplificar a análise, imaginemos que a nossa carteira seja composta por um único 
ativo (uma ação com boa liquidez). Em primeiro lugar, deveremos modelar 
estatisticamente o comportamento do preço da ação, ou seja, deveremos determinar a 
distribuição de probabilidade do seu preço. A experiência é simples: listar os desvios 
(acréscimos ou decréscimos de preço) verificados em um período fixo de dias. Anota-se 
o preço do ativo hoje, amanhã e depois, e verifica-se quanto o preço se desviou de um 
dia para outro. Assim, obtemos que o VaR de um dia do ativo é: 
 
VaR   X 0 z1     . 
Equação (2.2) 
Onde: 
X0 = valor presente ou marcado a mercado investido no ativo 
z1= constante relativa ao número de desvios-padrões para o nível de confiança 
desejado, isto é, o quantil correspondente a (1 – α) de uma distribuição normal-
padrão
 = desvio-padrão ou volatilidade diária do retorno do ativo 
 = retorno esperado de um dia para o ativo 
 
O sinal negativo no lado direito da Equação 2.2 aparece porque estamos considerando 
a distribuição dos ganhos. Sendo o VaR uma medida de perda, corresponde a um ganho 
negativo. De agora em diante, apresentaremos as fórmulas para cálculo do VaR sem o 
sinal de subtração (-), subentendendo que se trata de uma perda (caso o VaR seja 
positivo, o pior resultado dentro do intervalo de confiança considerado corresponde a 
um ganho). 
Para horizontes de tempo curtos (tipicamente de um dia), o retorno esperado é bem 
pequeno, podendo ser aproximado para zero. Assim, a Equação 2.3 simplifica-se para: 
 
VaR = - X 0 z1-α Ơ 
Equação (2.3) 
 
O VaR calculado com a ajuda da Equação 2.2 é chamado de VaR Relativo (perda relativa 
à média). Já o VaR determinado pela Equação 2.3 é denominado de VaR Absoluto. O 
número z1-α depende do nível de confiança (1 - α) e é calculado a partir da integração da 
função densidade de probabilidade da distribuição normal: 
 
∝= ∫ 𝑁(0,1)𝑑𝑥
∞
𝑍1−∝
 
 
8 
 
Onde: 
N(0,1) é a função densidade de probabilidade normal com média 0 e desvio-
padrão 1 
 
A Tabela 2 apresenta alguns valores de Z 1-α para os níveis de confiança mais adotados 
na prática: 
 
1-α 99,50% 99,00% 97,50% 95,00% 90,00% 
Z 1-α 2,58 2,33 1,96 1,65 1,28 
Tabela 2 – Valores de Z 1-α para uma distribuição normal 
 
2.2.2.1. Marcação a mercado 
O valor marcado a mercado de um ativo é o seu valor justo (fair value). E o que seria um 
valor justo? Não há regras ou normas estabelecidas para definir esse valor. Como 
orientação geral, o valor justo seria o valor que as contrapartes (comprador e vendedor) 
estariam dispostos a negociar para o ativo ou o contrato. Se for um título negociado em 
mercado secundário com boa liquidez, o valor de mercado pode, simplesmente, ser 
considerado como o valor médio das negociações realizadas no dia ou, ainda, o da 
última negociação. Se não há boa liquidez, pode-se, por exemplo, avaliar o título por 
meio de consultas a mesas de operações de instituições financeiras, verificando o preço 
a que estariam dispostos a fechar uma transação. 
Em determinados casos, a avaliação a mercado de um contrato pode ser vista como um 
valor de reposição desse contrato. Supondo um contrato de swap, é possível avaliá-lo 
considerando, como valor justo, o valor de um novo contrato com mesmo vencimento 
e mesmas condições contratuais. Pode-se, também, avaliar um ativo ou contrato pelo 
cálculo do valor presente do seu fluxo de caixa futuro, descontando pagamentos ou 
recebimentos futuros por taxas de juro de mercado (veja o Capítulo 3). Por último, na 
ausência de parâmetros de mercado, a avaliação pode ser obtida pelo emprego de 
fórmulas e modelos matemáticos, como no caso do emprego do modelo de Black-
Scholes (veja o Capítulo 4). 
A avaliação a mercado é imprescindível para a atividade de mensuração do risco de 
mercado. De nada adianta calcular determinadas medidas de risco (VaR, por exemplo) 
sobre carteiras que não estejam devidamente avaliadas a mercado. As estimativas de 
possíveis perdas estariam inteiramente equivocadas. 
 
2.2.2.2. Exemplo de cálculo do VaR para uma carteira formada por uma única ação 
Imagine que estamos interessados em calcular o VaR de uma posição de 10 mil ações de 
uma empresa com alta liquidez (ação A), para um dia, com um nível de confiança de 
95%. Marcar a mercado essa carteira (isto é, obter X0 para essa carteira) não é problema: 
 
9 
 
basta observar a cotação de fechamento do dia da ação e multiplicá-la pela quantidade 
de ações na carteira. 
Para estimar a volatilidade (e também a média) dos retornos dessa ação, podemos 
utilizar um procedimento conhecido como média móvel simples. Esse método consiste 
em fixar uma janela temporal e estimar a volatilidade usando como dados amostrais os 
retornos observados nesse período. 
A partir dos dados do retorno da ação A colhidos no Apêndice 1 e tomando uma janela 
de 60 dias (de 01/09/17 a 30/11/17), obtemos uma média de 0,16% e um desvio padrão 
de 1,88%. Considerando a última cotação dessa ação, o valor financeiro da carteira é de: 
 
 
X0 = 45,83 x 10.000 = 458.300 
 
Então: 
 
VaR Absoluto: VaR = - X 0 z1-α Ơ 
458.300 x 1,65 x 1,88% = R$ 14.181 
 
VaR Relativo: VaR   X 0 z1     . 
458.300 x (1,65 x 1,88% - 0,16%) = R$13.435 
 
A diferença entre o VaR absoluto e o relativo será tão menor quanto menor for o retorno 
médio para o horizonte de tempo definido. A Figura 2 ilustra graficamente o VaR dessa 
ação para um intervalo de confiança de 95%. 
 
 
Figura 2 – VaR da ação 
 
R$ 458.300 
5% 
R$ 444.118 
VaR=R$ 14.181 
 
10 
 
2.2.2.3. Distribuição log-normal 
Até o momento, estamos considerando a hipótese de que os retornos são distribuídos 
normalmente. No entanto, essa hipótese apresenta uma imperfeição, pois permite a 
ocorrência de preços negativos: uma alta de 120% tem a mesma probabilidade de uma 
baixa de 120%, o que implica uma cotação menor que zero para a ação. 
A melhor forma de contornar esse problema é utilizar um fator; isso permitirá que os 
preços tenham a mesma probabilidade de variar tanto para cima quanto para baixo. 
Utilizando, por exemplo, um fator de 1,10, o preço teria iguais probabilidades de subir 
1,10 vezes seu valor (ou seja, aumentar em 10%), ou cair 1,10 vezes seu valor (ou seja, 
uma baixa de 9,09%). Uma alta de 200% (três vezes seu valor) teria a mesma 
probabilidade de uma redução por três (uma baixa de 66,67%). Por maior que seja um 
fator, ele jamais levará um preço a ser negativo. 
Para modelar matematicamente uma distribuição na qual as probabilidades de alta e de 
baixa por um mesmo fator são iguais, temos de usar uma distribuição log-normal. Como 
faremos isso? Vamos admitir que a diferença entre o logaritmo natural da cotação da 
ação em um dia e o logaritmo natural da cotação da ação no dia anterior obedece a uma 
distribuição normal. 
Em outras palavras, agora iremos estudar a diferença ln(S0) - ln(S1), onde S0 é preço de 
fechamento hoje e S1 é o preço de fechamento ontem. 
Essa diferença é chamada de retorno geométrico1, em contraste com o retorno 
aritmético (ou simplesmente retorno), que é avariação percentual no preço do ativo. O 
retorno geométrico é o retorno utilizado na teoria de finanças, já o retorno aritmético é 
empregado em aplicações financeiras práticas. 
Se a distribuição da diferença entre o logaritmo dos preços é normal, então um fator de 
alta de 1,10 (uma alta de 10%) tem a mesma probabilidade que um fator de baixa de 
1,10 (uma baixa de 9,09%). Isso porque a distância entre o logaritmo de 100 e o de 100 
x 1,10 = 110 é a mesma entre o logaritmo de 100 e o de 100 ÷ 1,10 = 90,90: 
 
ln(110) - ln(100) = 0,095 
ln(100) - ln(90,90) = 0,095 
 
Portanto, o retorno geométrico é igual ao logaritmo natural do retorno aritmético 
acrescido de uma unidade. Para retornos aritméticos pequenos (menores que 5%), o 
retorno geométrico e o aritmético são praticamente iguais. Por exemplo, um retorno 
aritmético igual a 3% equivale a um retorno geométrico de ln(0,03 + 1) = 0,0296 = 2,96%. 
Em suma, uma alternativa à Equação 2.3 pode ser obtida partindo-se do pressuposto de 
que a distribuição de probabilidade do retorno geométrico de um ativo é normal. O 
documento técnico do banco J.P. Morgan, RiskMetrics (veja 
 
1 O retorno geométrico é também chamado de retorno logarítmico. 
 
11 
 
https://www.msci.com/documents/10199/5915b101-4206-4ba0-aee2-
3449d5c7e95a), que introduziu o conceito de VaR, usa essa abordagem. Assim: 
 
 𝑉𝑎𝑅 = 𝑥0 (1 − 𝑒
−𝑧 . 𝜎𝑔+ 𝜇𝑔) 
Equação (2.7) 
Onde: 
g = desvio-padrão do retorno geométrico de um dia 
g = média do retorno geométrico de um dia 
e 
x = função exponencial natural calculada no ponto x 
 
Para os mesmos dados do exemplo anterior, temos g = 1,88% e g = 0,15%. Logo, o VaR 
segundo a abordagem do RiskMetrics é: 
 
VaR Absoluto (VaRa) = 458.300 x (1 - e-1,65 x 1,88% + 0,15%) = R$ 13.331 
 
VaR Relativo (VaRR) = 458.300 x (1 - e-1,65 x 1,88%) = R$ 13.977 
 
Sendo: Ơg = 3,027% e µg = -0,030% 
 
2.2.3. VaR de uma carteira 
Se tivermos apenas um ativo em nossa carteira, podemos empregar as fórmulas 
anteriormente apresentadas; entretanto, se nossa carteira possui mais de um ativo, 
teremos de levar em conta o efeito da correlação entre os ativos. Isto é, teremos de 
considerar se os ativos que compõem a carteira têm um comportamento semelhante 
(quando um sobe, o outro tende a subir), oposto (quando um cai, o outro tende a subir) 
ou se não existe associação entre o comportamento dos ativos (quando um sobe, o 
outro pode subir ou cair com igual probabilidade). 
Conforme visto no Capítulo 1, uma medida do grau de associação entre o retorno de 
dois ativos é o coeficiente de correlação. Supondo que as condições de derivação da 
Equação 2.3 são válidas, temos: 
 
𝑉𝑎𝑅𝑐 = √𝑉𝑎𝑅1
2 + 𝑉𝑎𝑅2
2 + 2ƿ1,2 . 𝑉𝑎𝑅1 . 𝑉𝑎𝑅2 
 Equação (2.8) 
 
Onde: 
VaRc = Value at Risk da carteira 
https://www.msci.com/documents/10199/5915b101-4206-4ba0-aee2-3449d5c7e95a
https://www.msci.com/documents/10199/5915b101-4206-4ba0-aee2-3449d5c7e95a
 
12 
 
13331,04
2 
 8275,30
2 
 2 * 31,24% *13331,04 * 8275,30 
VaR1 = Value at Risk do ativo 1 da carteira 
VaR2 = Value at Risk do ativo 2 da carteira 
ƿ12 = coeficiente de correlação entre o ativo 1 e o ativo 2 
 
Por exemplo, considerando os dados do Apêndice 1 para uma carteira formada por 
20.000 ações, sendo 10.000 ações A e 10.000 ações B, no dia 10/11/17, o VaR de um dia 
com um nível de confiança de 95% é obtido do seguinte modo: 
VaRa = R$ 13.331,04 
VaRb = R$ 8.275,30 
Ƿ = 31,24% 
 
VaRC   R$ 17.751,66 
 
 Observe que o VaR da carteira é menor que a soma dos VaRs das duas ações 
(R$ 21.606). Esse fato é conhecido como efeito diversificação. 
 
2.2.4. Melhoramentos na estimação da volatilidade – EWMA e GARCH 
 
2.2.4.1. Método da média móvel simples 
O método da média móvel simples para o cálculo da volatilidade apresentado na seção 
anterior possui um problema: todas as observações possuem a mesma importância. O 
dia D-30 contribui da mesma forma que o dia D-1 na estimação da volatilidade. 
Algumas vezes, desejamos que os últimos dias tenham um peso maior, em outras 
palavras, estaremos fazendo a suposição bem razoável de que o dia de ontem influi mais 
no comportamento do ativo hoje do que os dias anteriores. 
Matematicamente, expressamos isso atribuindo pesos às observações diárias, com os 
dias mais recentes recebendo maiores pesos. Essa ideia, empregada pelo RiskMetrics, é 
conhecida como metodologia do decaimento exponencial ou EWMA (Exponentially 
Weighted Moving Average). 
Quanto menor for o fator de decaimento, maior será o peso das observações mais 
recentes. Portanto, se desejamos aumentar a importância das observações mais 
recentes, devemos diminuir o fator de decaimento. Por exemplo, em uma mudança 
abrupta da conjuntura macroeconômica, como a troca do regime cambial do país de fixo 
para flutuante, é interessante fazer com que nosso modelo reflita mais rapidamente 
essa nova situação; logo, deveremos diminuir o fator de decaimento. 
 
 
 
 
13 
 
2.2.4.2. Método da média móvel ponderada 
O método da média móvel ponderada possui duas vantagens importantes sobre o 
modelo simples. 
Primeiro, a volatilidade reage mais rapidamente a choques no mercado quando as 
observações mais recentes têm mais peso que os dados no passado distante; segundo, 
após um movimento extremo, a volatilidade declina exponencialmente à medida que o 
peso da observação do choque diminui. 
Em contraste, o uso de média móvel simples leva a mudanças relativamente abruptas 
no desvio-padrão, uma vez que os movimentos extremos saem da amostra considerada 
de forma não suavizada. Consequentemente, a estimativa da volatilidade por esse 
método tende a se comportar na forma de platôs. 
 
2.2.4.3. Comparação entre os dois métodos 
 
 
0,180% 
 
0,160% 
 
0,140% 
 
0,120% 
 
0,100% 
 
0,080% 
 
0,060% 
 
0,040% 
 
0,020% 
 
0,000% 
 
 
Tempo 
 
Figura3 - Comparação entre volatilidades do dólar estimadas pelos métodos simples e EWMA 
 
A Figura 3 ilustra graficamente o comportamento da volatilidade do dólar comercial de 
venda (PTAX800) calculada pelos métodos simples e pelo decaimento exponencial. No 
Simples - 60 dias EW MA - Lambda 0,94 
V
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30
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24
/0
6
 
24
/0
7
 
23
/0
8
 
 
 
Assimilação rápida do 
Platô 
movimento 
extremo 
Queda gradual da 
volatilidade 
Queda brusca da 
volatilidade 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
fim de outubro de 1997, ocorreu a crise nos mercados asiáticos, fazendo com que 
houvesse uma procura maior pelo dólar, ocasionando o seu fortalecimento perante o 
real. A volatilidade estimada segundo o EWMA, rapidamente, detectou esse evento, 
levando a um aumento de sua estimativa. Entretanto, com o passar do tempo, essa 
estimativa caiu lentamente, pois passou a assimilar de forma gradual a queda de 
volatilidade nos meses seguintes. Por outro lado, a estimativa da volatilidade utilizando 
o método simples com uma janela de 60 dias demorou mais tempo para registrar os 
movimentos extremos ocorridos e manteve-se alta por cerca de três meses (apesar de 
o mercado ter se estabilizado), quando finalmente caiu abruptamente no instante em 
que os retornos extremos saíram da amostra. 
 
2.2.4.4. GARCH 
Uma forma mais sofisticada de capturar a dependência entre os retornos diários de um 
ativo pode ser obtida com os modelos da família GARCH (Generalized Autoregressive 
Conditional Heteroskedasticity). Informalmente falando, heterocedasticidade significa 
“mudança da variância ao longo do tempo”, condicional implica uma dependência da 
variância com as últimas observações e autorregressiva significa um mecanismo de 
feedback que incorpora as observações passadas ao presente. Uma série temporal 
apresenta heterocedasticidadecondicional quando períodos de alta volatilidade se 
entrelaçam com períodos de tranquilidade. Como essa situação é geralmente 
verdadeira para muitos ativos, podemos imaginar a grande utilidade dos modelos 
GARCH em finanças. Diversos tipos diferentes de modelos GARCH têm sido propostos 
na literatura acadêmica, mas somente alguns deles têm encontrado aplicações práticas. 
 
2.3. MEDINDO O VAR – MODELOS NÃO PARAMÉTRICOS 
Existem determinados mercados em que a pressuposição de uma distribuição normal 
para os retornos dos ativos compromete muito a precisão do risco calculado. Um bom 
exemplo foi o mercado de dólares no Brasil pré-crise cambial de janeiro de 1999. Como 
o câmbio era administrado, assumir uma distribuição normal para esse mercado 
naquela época seria atribuir uma grande probabilidade para eventos que eram quase 
impossíveis de ocorrer (valorizações ou desvalorizações muito grandes), em detrimento 
daqueles que possuíam uma grande chance de ocorrência. 
Ao contrário, nos mercados em que existem maiores ocorrências de observações longe 
da média (distribuições com caudas gordas), assumir uma distribuição normal iria 
causar, inevitavelmente, uma distorção no cálculo do risco para um valor inferior ao real, 
ou seja, seriam atribuídas probabilidades de ocorrência menores do que as observadas, 
ou esperadas, para grandes variações. Essa deficiência se agrava, principalmente, nos 
casos de haver uma tendência na distribuição (uma cauda mais gorda do que a outra). 
Em estatística, distribuições com caudas gordas são chamadas de leptocúrticas. Uma 
medida da extensão dos dados observados que caem perto do centro ou nas caudas de 
uma distribuição é dada pela curtose. A curtose de uma distribuição normal é zero 
 
15 
 
(dizemos que a distribuição é mesocúrtica). Uma curtose maior que zero (leptocúrtica) 
indica uma distribuição com grandes picos, caudas grossas e poucos dados 
intermediários. Já uma curtose menor que zero (platicúrtica) significa que a distribuição 
possui muitos dados de magnitude intermediária e um pico pequeno. 
Outro problema bastante sério dos modelos paramétricos ocorre quando a carteira a 
ser analisada é uma função não linear de pelo menos um dos fatores de risco. Como será 
visto no Módulo 4, isso acontece com a opção: dada uma variação no preço do ativo 
objeto, podemos apenas aproximar a variação no prêmio por uma função linear. 
Buscando solucionar esses problemas, foram desenvolvidos os modelos não 
paramétricos que consistem, basicamente, em recalcular o valor da carteira segundo 
uma série de cenários definidos. Estudando os resultados obtidos, determinamos a 
distribuição de probabilidade do retorno dos instrumentos, que pode ou não ser normal. 
A chave para essa metodologia é a obtenção das diversas condições de mercado com as 
quais a carteira será reavaliada. 
Para a determinação dos cenários, podemos usar tanto os dados históricos quanto 
modelos probabilísticos, normalmente a simulação estruturada de Monte Carlo. 
Portanto, podemos subdividir esse método não paramétrico em dois grupos: a 
simulação história e a estruturada de Monte Carlo. Neste capítulo, estudaremos a 
técnica de simulação histórica; a simulação estruturada de Monte Carlo será vista no 
Capítulo 4. 
 
2.3.1. Simulação histórica 
Na simulação histórica, devemos definir um período de tempo e estudar as variações de 
preços ocorridas nesse período. Empregamos essas variações para reavaliar a carteira e 
obtemos um conjunto de retornos. Esse conjunto de retornos irá determinar nossa 
distribuição; com base nela e no intervalo de confiança desejado, iremos obter o VaR. 
Vamos voltar ao nosso exemplo e obter o VaR da carteira formada pela ação A usando 
simulação histórica. A Tabela 3 ilustra o procedimento. A primeira coluna da tabela é o 
número do cenário gerado. A segunda contém a data que servirá de base para a 
formação de um cenário histórico. A terceira é o retorno do ativo de um dia para o outro. 
A quarta indica o ganho ou perda da posição atual, supondo o cenário de retornos do 
dia da coluna 1. As duas últimas colunas representam as colunas 2 e 4 classificadas em 
ordem crescente da perda ou ganho da posição atual. 
Em outras palavras, o primeiro cenário a ser simulado impõe que o comportamento do 
ativo no dia 30/11/17 seja idêntico ao do dia 17/07/17, o segundo cenário impõe que o 
ativo no dia 29/11/17 se comporte da mesma forma que no dia 03/10/17 e assim 
sucessivamente. 
 
 
 
 
16 
 
Cenário Data Retorno 
Perda ou 
ganho 
Data 
(reordenada) 
Perda ou ganho 
(reordenado) 
1 30/11/2017 0,50% 2.312 17/07/2017 -20.046 
2 29/11/2017 3,26% 14.945 03/10/2017 -19.342 
3 28/11/2017 0,52% 2.399 11/09/2017 -18.223 
4 27/11/2017 -0,84% -3.828 23/08/2017 -14.527 
5 24/11/2017 0,23% 1.037 20/07/2017 -13.546 
6 23/11/2017 -0,56% -2.578 14/09/2017 -13.256 
... ... ... ... ... ... 
101 07/07/2017 -0,83% -3806 24/07/2017 17.206 
Tabela 3 – Simulação histórica da ação A 
 
Para um intervalo de confiança de 95%, o VaR é de R$ 13.256, que é o 5% percentil da 
última coluna. A Figura 2.10 ilustra o histograma dos cenários simulados apresentados 
na Figura 3 para a carteira da ação A. 
A quantidade de cenários a serem simulados é uma questão que depende muito da 
situação particular, mas deve atender a dois requisitos antagônicos: 
1. Para investimentos de prazo não muito longo, como os realizados pela 
tesouraria de um banco, você não deve usar muitos cenários. Por exemplo, 
escolher mil cenários para simulação em geral não é uma boa ideia, porque 
dados de um passado muito distante farão parte da simulação. A situação 
econômica e financeira da empresa (e também a conjuntura macroeconômica) 
de quatro anos (cerca de mil dias úteis) pode ser muito diferente da de hoje. Ou 
seja, você pode estar simulando cenários que não refletem, de modo algum, a 
situação atual. 
2. Usar poucos cenários também não é recomendável. Por exemplo, se você usar 
apenas 20 cenários, muito provavelmente a qualidade da estimação será ruim. 
Lembre-se: quanto maior o tamanho da amostra, melhor a qualidade da 
estimação. 
Os modelos não paramétricos funcionam muito bem para qualquer tipo de distribuição. 
Repare que utilizamos a própria distribuição do ativo para o cálculo de seu risco. Essa 
metodologia é muito versátil se quisermos saber o risco ou conhecer o comportamento 
da carteira: dada determinada circunstância de mercado, basta alimentar a simulação 
com os preços desejados. 
Imagine que detemos uma carteira e gostaríamos de saber como ela se comportaria em 
uma circunstância de estresse, como a ocorrida na época da crise do México ou na crise 
dos países asiáticos. Para tanto, basta escolher o período correspondente, calcular os 
retornos dos ativos e as variações nas taxas que determinam os preços dos instrumentos 
da carteira, tais como taxas de juros nacional e internacional (para simular CDBs, NTN 
cambiais) e taxas de câmbio (para determinar o valor de contratos de câmbio e ativos 
denominados em moeda estrangeira), alimentar essas variações nos modelos de 
 
17 
 
avaliação e verificar a perda ou o ganho na carteira para o cenário de crise simulado. 
Voltaremos a esse assunto em mais detalhes no Capítulo 5. 
 
2.4. REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, Carol. The Handbook of Risk Management and Analysis. Chichester: John 
Wiley & Sons, 1996. 
DOWD, Kevin. Beyond Value at Risk – The New Science of Risk Management. John 
Wiley & Sons, 1998. 
INOUE, Oscar. Modelos para Estimativa do Risco de Mercado em Carteiras de 
Derivativos. Escola Politécnica da USP, 2008. 
JORION, Philippe. Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. 2a 
ed, New York: McGraw-Hill, 2011. 
NETO, Lauro A. S. Derivativos: Definições, Emprego e Risco. São Paulo: Editora Atlas, 
1998. 
SECURATO, José R. e outros. Cálculo Financeiro das Tesourarias - Bancos e Empresas. 
1a ed., São Paulo: Editora Saint Paul, 1999. 
SOUZA FILHO, Gonzaga. Manual do Agente Autônomo de Investimento.Rio de Janeiro: 
G10 Consultoria & Treinamento, 2016. 
 
 
 
18 
 
Apêndice 1 
COTAÇÕES E RETORNOS DE WILSON SONS BDR E 
BRASIL ON 
 
Data 
Cotação fechamento Retorno aritmético Retorno geométrico 
WSON33.SA BBAS3.SA WSON33.SA BBAS3.SA WSON33.SA BBAS3.SA 
13/12/2016 44,52 33,29 -1,97% -1,44% -1,99% -1,45% 
14/12/2016 44,66 32,37 0,32% -2,78% 0,32% -2,82% 
17/12/2016 44,28 32,61 -0,84% 0,75% -0,85% 0,75% 
18/12/2016 45,32 34,56 2,34% 5,98% 2,31% 5,81% 
19/12/2016 46,07 34,9 1,66% 0,99% 1,65% 0,98% 
20/12/2016 45,03 33,49 -2,27% -4,05% -2,29% -4,13% 
21/12/2016 45,38 34,75 0,79% 3,78% 0,79% 3,71% 
26/12/2016 46,26 34,8 1,93% 0,14% 1,91% 0,14% 
27/12/2016 47,67 36,06 3,05% 3,61% 3,00% 3,55% 
28/12/2016 48,09 35,58 0,89% -1,32% 0,88% -1,33% 
02/01/2017 48,18 36,17 0,20% 1,64% 0,20% 1,63% 
03/01/2017 48,51 37,1 0,68% 2,59% 0,68% 2,55% 
04/01/2017 48,21 37,34 -0,62% 0,63% -0,62% 0,63% 
07/01/2017 49,27 37,48 2,18% 0,39% 2,16% 0,39% 
08/01/2017 48,87 36,8 -0,80% -1,82% -0,80% -1,84% 
09/01/2017 48,23 36,08 -1,31% -1,96% -1,32% -1,98% 
10/01/2017 47,92 34,75 -0,64% -3,67% -0,65% -3,74% 
11/01/2017 47,2 34,66 -1,51% -0,28% -1,52% -0,28% 
14/01/2017 45,46 33,34 -3,69% -3,80% -3,75% -3,87% 
15/01/2017 45,18 32,84 -0,60% -1,49% -0,60% -1,50% 
16/01/2017 45,22 33,24 0,08% 1,22% 0,08% 1,21% 
17/01/2017 45,88 33,93 1,46% 2,08% 1,44% 2,06% 
18/01/2017 46 33,93 0,27% 0,00% 0,27% 0,00% 
21/01/2017 45,41 33,34 -1,29% -1,75% -1,30% -1,77% 
22/01/2017 45,13 32,71 -0,62% -1,90% -0,62% -1,92% 
23/01/2017 44,85 33,63 -0,62% 2,83% -0,63% 2,79% 
24/01/2017 44,16 33,53 -1,53% -0,29% -1,54% -0,29% 
28/01/2017 45,73 32,95 3,56% -1,74% 3,49% -1,76% 
29/01/2017 44,86 31,2 -1,91% -5,33% -1,93% -5,47% 
30/01/2017 44,75 30,99 -0,23% -0,66% -0,23% -0,66% 
 
19 
 
31/01/2017 45,22 31,18 1,05% 0,60% 1,04% 0,60% 
01/02/2017 45,32 30,66 0,21% -1,66% 0,21% -1,67% 
04/02/2017 45,03 29,83 -0,62% -2,70% -0,62% -2,74% 
05/02/2017 45,02 30,71 -0,04% 2,94% -0,04% 2,90% 
06/02/2017 45,79 30,71 1,71% 0,00% 1,70% 0,00% 
07/02/2017 45,41 30,46 -0,82% -0,79% -0,82% -0,80% 
08/02/2017 44,71 30,03 -1,53% -1,44% -1,54% -1,45% 
13/02/2017 46,63 31,39 4,29% 4,55% 4,20% 4,45% 
14/02/2017 47,01 32,09 0,81% 2,24% 0,80% 2,21% 
15/02/2017 47,34 31,88 0,70% -0,67% 0,70% -0,67% 
18/02/2017 46,82 31,73 -1,09% -0,46% -1,10% -0,46% 
19/02/2017 46,82 31,78 0,00% 0,15% 0,00% 0,15% 
20/02/2017 47,15 32,46 0,70% 2,15% 0,70% 2,12% 
21/02/2017 48 33,19 1,79% 2,25% 1,78% 2,23% 
22/02/2017 48,8 33,73 1,67% 1,62% 1,65% 1,60% 
25/02/2017 49,89 35,29 2,24% 4,62% 2,21% 4,52% 
26/02/2017 50,58 35,08 1,39% -0,58% 1,39% -0,58% 
27/02/2017 52,08 35,78 2,96% 1,97% 2,91% 1,95% 
28/02/2017 52,74 34,85 1,28% -2,59% 1,27% -2,62% 
01/03/2017 54,44 35,48 3,21% 1,82% 3,16% 1,80% 
04/03/2017 54,91 35,48 0,86% 0,00% 0,86% 0,00% 
05/03/2017 53,59 33,1 -2,40% -6,73% -2,43% -6,97% 
06/03/2017 52,84 31,26 -1,40% -5,54% -1,41% -5,70% 
07/03/2017 53,12 30,56 0,53% -2,25% 0,53% -2,27% 
08/03/2017 52,92 31,54 -0,37% 3,19% -0,37% 3,14% 
11/03/2017 53,69 31,14 1,46% -1,27% 1,45% -1,28% 
12/03/2017 54,2 32,32 0,95% 3,79% 0,94% 3,72% 
13/03/2017 54,62 32,35 0,78% 0,09% 0,78% 0,09% 
14/03/2017 55,27 31,29 1,19% -3,25% 1,18% -3,31% 
15/03/2017 56,42 32,41 2,08% 3,58% 2,05% 3,52% 
18/03/2017 56,69 32,46 0,48% 0,15% 0,48% 0,15% 
19/03/2017 56,69 31,83 0,00% -1,95% 0,00% -1,97% 
20/03/2017 56,22 31,78 -0,83% -0,15% -0,83% -0,15% 
21/03/2017 55,28 30,62 -1,67% -3,65% -1,69% -3,72% 
22/03/2017 54,91 29,73 -0,68% -2,90% -0,68% -2,94% 
25/03/2017 55,39 28,99 0,87% -2,49% 0,87% -2,52% 
26/03/2017 56,12 29,82 1,32% 2,86% 1,31% 2,82% 
27/03/2017 56,75 29,2 1,13% -2,09% 1,13% -2,11% 
 
20 
 
28/03/2017 56,41 28,49 -0,60% -2,44% -0,60% -2,47% 
01/04/2017 57,64 29,44 2,18% 3,35% 2,16% 3,30% 
02/04/2017 56,95 29,25 -1,20% -0,66% -1,21% -0,66% 
03/04/2017 56,46 29,05 -0,86% -0,67% -0,86% -0,67% 
04/04/2017 56,65 29,44 0,35% 1,34% 0,35% 1,33% 
05/04/2017 55,87 29,15 -1,38% -0,99% -1,39% -1,00% 
08/04/2017 56,46 28,6 1,05% -1,87% 1,04% -1,89% 
09/04/2017 54,57 29,53 -3,34% 3,24% -3,40% 3,19% 
10/04/2017 54,7 30,07 0,23% 1,85% 0,23% 1,83% 
11/04/2017 54,41 29,89 -0,54% -0,62% -0,54% -0,62% 
12/04/2017 53,94 31,14 -0,86% 4,17% -0,87% 4,09% 
15/04/2017 54,42 30,51 0,89% -2,00% 0,88% -2,02% 
16/04/2017 54,81 30,76 0,72% 0,80% 0,72% 0,80% 
17/04/2017 55,58 30,9 1,41% 0,48% 1,40% 0,47% 
18/04/2017 55,11 30,72 -0,84% -0,60% -0,85% -0,60% 
19/04/2017 54,62 30,34 -0,89% -1,24% -0,89% -1,25% 
22/04/2017 54,41 29,43 -0,39% -2,99% -0,39% -3,03% 
23/04/2017 54,7 29,73 0,54% 1,03% 0,54% 1,02% 
24/04/2017 54,99 31,12 0,54% 4,66% 0,53% 4,55% 
25/04/2017 54,07 31,03 -1,69% -0,28% -1,70% -0,28% 
26/04/2017 52,92 30,61 -2,11% -1,35% -2,14% -1,36% 
29/04/2017 53,72 30,29 1,51% -1,05% 1,50% -1,06% 
30/04/2017 53,65 29,9 -0,15% -1,29% -0,15% -1,30% 
02/05/2017 51,96 28,85 -3,15% -3,51% -3,20% -3,57% 
03/05/2017 52,92 29,19 1,86% 1,18% 1,84% 1,17% 
06/05/2017 51,87 28,89 -1,99% -1,03% -2,01% -1,03% 
07/05/2017 51,77 28,75 -0,19% -0,48% -0,19% -0,49% 
08/05/2017 53,33 29,45 3,02% 2,43% 2,97% 2,41% 
09/05/2017 52,37 28,31 -1,81% -3,87% -1,83% -3,95% 
10/05/2017 51,76 28,05 -1,16% -0,92% -1,16% -0,92% 
13/05/2017 50,48 28,15 -2,47% 0,36% -2,50% 0,36% 
14/05/2017 51,18 29 1,39% 3,02% 1,38% 2,97% 
15/05/2017 50,79 29,45 -0,76% 1,55% -0,77% 1,54% 
16/05/2017 52,75 30,3 3,85% 2,89% 3,77% 2,85% 
17/05/2017 52,85 30,26 0,19% -0,13% 0,19% -0,13% 
20/05/2017 53,72 30,06 1,66% -0,66% 1,65% -0,66% 
21/05/2017 54,12 30,19 0,73% 0,43% 0,72% 0,43% 
22/05/2017 53,92 29,4 -0,36% -2,62% -0,36% -2,65% 
 
21 
 
23/05/2017 54,99 29,9 1,99% 1,70% 1,97% 1,69% 
24/05/2017 54,8 29,91 -0,36% 0,03% -0,36% 0,03% 
27/05/2017 54,6 30,58 -0,36% 2,24% -0,36% 2,22% 
28/05/2017 54,51 31,1 -0,18% 1,70% -0,18% 1,69% 
29/05/2017 54,04 31,86 -0,86% 2,44% -0,86% 2,41% 
31/05/2017 53,26 31,87 -1,45% 0,03% -1,46% 0,03% 
03/06/2017 53,24 31,1 -0,04% -2,42% -0,04% -2,45% 
04/06/2017 54,21 30,81 1,83% -0,93% 1,82% -0,94% 
05/06/2017 54,12 31,55 -0,18% 2,40% -0,18% 2,37% 
06/06/2017 52,94 30,6 -2,17% -3,01% -2,19% -3,06% 
07/06/2017 52,15 31,4 -1,49% 2,61% -1,51% 2,58% 
10/06/2017 52,55 32,8 0,77% 4,46% 0,76% 4,36% 
11/06/2017 51,77 31,15 -1,49% -5,03% -1,50% -5,16% 
12/06/2017 50,94 30,51 -1,60% -2,05% -1,62% -2,08% 
13/06/2017 49,96 30,05 -1,92% -1,51% -1,94% -1,52% 
14/06/2017 48,19 29,5 -3,56% -1,83% -3,62% -1,85% 
17/06/2017 48,52 29,91 0,69% 1,39% 0,69% 1,38% 
18/06/2017 48,11 29,86 -0,85% -0,17% -0,85% -0,17% 
19/06/2017 47,38 28,83 -1,52% -3,45% -1,53% -3,51% 
20/06/2017 44,74 27,4 -5,57% -4,96% -5,73% -5,09% 
21/06/2017 41,22 25,65 -7,86% -6,39% -8,19% -6,60% 
24/06/2017 42,79 27,15 3,82% 5,85% 3,74% 5,68% 
25/06/2017 44,64 27 4,31% -0,55% 4,22% -0,55% 
26/06/2017 47,52 26,5 6,46% -1,85% 6,26% -1,87% 
27/06/2017 48,44 27,85 1,93% 5,09% 1,91% 4,97% 
28/06/2017 47,96 28,3 -0,99% 1,62% -0,99% 1,60% 
01/07/2017 46,89 27,2 -2,24% -3,89% -2,27% -3,96% 
02/07/2017 46,19 26,72 -1,48% -1,76% -1,49% -1,78% 
03/07/2017 45,72 26,41 -1,01% -1,16% -1,02% -1,17% 
04/07/2017 45,86 26,4 0,30% -0,04% 0,30% -0,04% 
05/07/2017 45,35 26,3 -1,11% -0,38% -1,11% -0,38% 
08/07/2017 44,77 27,11 -1,29% 3,08% -1,30% 3,03% 
10/07/2017 43,76 26,8 -2,25% -1,14% -2,27% -1,15% 
11/07/2017 43,96 27,64 0,45% 3,13% 0,45% 3,09% 
12/07/2017 44,31 27,85 0,80% 0,76% 0,80% 0,76% 
15/07/2017 43,37 26,9 -2,12% -3,41% -2,14% -3,47% 
16/07/2017 43,96 26,5 1,35% -1,49% 1,34% -1,50% 
17/07/2017 44,66 26,88 1,60% 1,43% 1,59% 1,42% 
 
22 
 
18/07/2017 43,66 27,09 -2,23% 0,78% -2,26% 0,78% 
19/07/2017 43,04 26,5 -1,43% -2,18% -1,44% -2,20% 
22/07/2017 40,05 24,39 -6,95% -7,96% -7,20% -8,30% 
23/07/2017 39,07 23,61 -2,44% -3,20% -2,47% -3,25% 
24/07/2017 41,02 23,85 4,98% 1,02% 4,86% 1,01% 
25/07/2017 39,71 23,2 -3,19% -2,73% -3,24% -2,76% 
26/07/2017 38,06 21,5 -4,16% -7,33% -4,25% -7,61% 
29/07/2017 37,61 21,85 -1,18% 1,63% -1,19% 1,61%30/07/2017 38,19 22,4 1,56% 2,52% 1,55% 2,49% 
31/07/2017 39,96 23,8 4,63% 6,25% 4,53% 6,06% 
01/08/2017 40,93 24,3 2,42% 2,10% 2,39% 2,08% 
02/08/2017 42,3 24,3 3,34% 0,00% 3,29% 0,00% 
05/08/2017 40,27 22,46 -4,78% -7,57% -4,90% -7,87% 
06/08/2017 40,34 24,3 0,17% 8,19% 0,17% 7,87% 
07/08/2017 40,44 24,79 0,24% 2,02% 0,24% 2,00% 
08/08/2017 43,08 25,98 6,52% 4,80% 6,32% 4,69% 
09/08/2017 43,96 24,7 2,04% -4,93% 2,02% -5,05% 
12/08/2017 42,13 23,63 -4,16% -4,33% -4,24% -4,43% 
13/08/2017 39,75 23,11 -5,66% -2,20% -5,82% -2,23% 
14/08/2017 39,46 23,45 -0,71% 1,47% -0,72% 1,46% 
15/08/2017 39,9 22,7 1,11% -3,20% 1,11% -3,25% 
16/08/2017 39,8 23,49 -0,24% 3,48% -0,25% 3,42% 
19/08/2017 38,97 23,25 -2,09% -1,02% -2,11% -1,03% 
20/08/2017 38,49 22,67 -1,25% -2,49% -1,26% -2,53% 
21/08/2017 39,07 23,06 1,52% 1,72% 1,51% 1,71% 
22/08/2017 40,16 24,39 2,77% 5,77% 2,74% 5,61% 
23/08/2017 40,34 24,4 0,46% 0,04% 0,46% 0,04% 
26/08/2017 41,71 25,79 3,39% 5,70% 3,33% 5,54% 
27/08/2017 42,83 26,3 2,69% 1,98% 2,66% 1,96% 
28/08/2017 42,74 26,15 -0,23% -0,57% -0,23% -0,57% 
29/08/2017 42,59 26,7 -0,34% 2,10% -0,34% 2,08% 
30/08/2017 42,98 26,4 0,92% -1,12% 0,91% -1,13% 
02/09/2017 43,09 26,39 0,25% -0,04% 0,25% -0,04% 
03/09/2017 43,66 25,59 1,34% -3,03% 1,33% -3,08% 
04/09/2017 44,25 25,35 1,34% -0,94% 1,33% -0,94% 
05/09/2017 43,96 24,49 -0,66% -3,39% -0,66% -3,45% 
06/09/2017 44,38 24,64 0,96% 0,61% 0,95% 0,61% 
09/09/2017 44,74 25,1 0,81% 1,87% 0,81% 1,85% 
 
23 
 
10/09/2017 45,81 25,08 2,40% -0,08% 2,37% -0,08% 
11/09/2017 46,33 25,5 1,13% 1,67% 1,12% 1,66% 
12/09/2017 46,3 25,4 -0,06% -0,39% -0,06% -0,39% 
13/09/2017 46,99 25,2 1,50% -0,79% 1,49% -0,79% 
16/09/2017 46,11 24,63 -1,89% -2,26% -1,91% -2,29% 
17/09/2017 43,98 24,3 -4,62% -1,34% -4,73% -1,35% 
18/09/2017 43,47 23,61 -1,16% -2,84% -1,16% -2,88% 
19/09/2017 41,61 23,45 -4,27% -0,68% -4,36% -0,68% 
20/09/2017 42,69 24,3 2,58% 3,62% 2,55% 3,56% 
23/09/2017 41,31 23,1 -3,23% -4,94% -3,28% -5,06% 
24/09/2017 40,29 23,39 -2,46% 1,26% -2,49% 1,25% 
25/09/2017 38,93 23,41 -3,39% 0,09% -3,45% 0,09% 
26/09/2017 38,78 23,31 -0,38% -0,43% -0,38% -0,43% 
27/09/2017 35,16 21,7 -9,35% -6,91% -9,81% -7,16% 
30/09/2017 36,04 21,36 2,53% -1,57% 2,50% -1,58% 
01/10/2017 38,75 22,03 7,51% 3,14% 7,24% 3,09% 
02/10/2017 38,68 21,67 -0,18% -1,63% -0,18% -1,65% 
03/10/2017 39,75 22,49 2,75% 3,78% 2,72% 3,71% 
04/10/2017 39,71 23,06 -0,10% 2,53% -0,10% 2,50% 
07/10/2017 38,14 21,86 -3,94% -5,20% -4,02% -5,34% 
08/10/2017 38,58 21,71 1,15% -0,69% 1,15% -0,69% 
09/10/2017 38,29 21,15 -0,76% -2,58% -0,76% -2,61% 
10/10/2017 37,5 21,59 -2,07% 2,08% -2,09% 2,06% 
11/10/2017 36,19 21,6 -3,49% 0,05% -3,55% 0,05% 
14/10/2017 34,33 20,39 -5,13% -5,60% -5,26% -5,76% 
15/10/2017 34,34 20,4 0,03% 0,05% 0,03% 0,05% 
16/10/2017 34,38 20,16 0,11% -1,18% 0,11% -1,18% 
17/10/2017 37,41 21,6 8,81% 7,14% 8,44% 6,90% 
18/10/2017 38,1 21,89 1,83% 1,34% 1,81% 1,33% 
21/10/2017 38,34 22,13 0,64% 1,10% 0,64% 1,09% 
22/10/2017 38,97 22,89 1,66% 3,43% 1,64% 3,38% 
23/10/2017 41,22 24,59 5,76% 7,43% 5,60% 7,16% 
24/10/2017 42,09 24,55 2,11% -0,16% 2,09% -0,16% 
25/10/2017 42,4 24,8 0,74% 1,02% 0,74% 1,01% 
28/10/2017 41,03 23,2 -3,25% -6,45% -3,30% -6,67% 
29/10/2017 40,44 23,16 -1,43% -0,17% -1,44% -0,17% 
30/10/2017 42,49 24,7 5,07% 6,65% 4,95% 6,44% 
31/10/2017 43,27 25,19 1,84% 1,98% 1,82% 1,96% 
 
24 
 
01/11/2017 43,17 24,83 -0,25% -1,43% -0,25% -1,44% 
04/11/2017 41,82 24,57 -3,12% -1,05% -3,17% -1,05% 
05/11/2017 41,22 24,5 -1,42% -0,28% -1,44% -0,29% 
06/11/2017 40,72 23,9 -1,21% -2,45% -1,22% -2,48% 
07/11/2017 42 23,89 3,14% -0,04% 3,09% -0,04% 
08/11/2017 42,59 24,27 1,40% 1,59% 1,39% 1,58% 
11/11/2017 42,92 24,15 0,78% -0,49% 0,78% -0,50% 
12/11/2017 42,12 23,7 -1,87% -1,86% -1,88% -1,88% 
13/11/2017 42,31 23,83 0,45% 0,55% 0,45% 0,55% 
14/11/2017 43,45 24,34 2,69% 2,14% 2,66% 2,12% 
18/11/2017 44,1 24,6 1,50% 1,07% 1,48% 1,06% 
19/11/2017 43,75 25,1 -0,79% 2,03% -0,80% 2,01% 
20/11/2017 44,74 25,9 2,26% 3,19% 2,24% 3,14% 
21/11/2017 45,89 26 2,57% 0,39% 2,54% 0,39% 
22/11/2017 45,3 26,05 -1,29% 0,19% -1,29% 0,19% 
25/11/2017 44,16 25,95 -2,52% -0,38% -2,55% -0,38% 
26/11/2017 43,28 25,7 -1,99% -0,96% -2,01% -0,97% 
27/11/2017 43,1 25,79 -0,42% 0,35% -0,42% 0,35% 
28/11/2017 43 25,75 -0,23% -0,16% -0,23% -0,16% 
29/11/2017 44,45 26,8 3,37% 4,08% 3,32% 4,00% 
02/12/2017 44,8 27,51 0,79% 2,65% 0,78% 2,61% 
03/12/2017 45,09 27,4 0,65% -0,40% 0,65% -0,40% 
04/12/2017 45 27,35 -0,20% -0,18% -0,20% -0,18% 
05/12/2017 44,5 26,45 -1,11% -3,29% -1,12% -3,35% 
06/12/2017 44,49 26,53 -0,02% 0,30% -0,02% 0,30% 
09/12/2017 43,8 26,06 -1,55% -1,77% -1,56% -1,79% 
10/12/2017 43,4 25,88 -0,91% -0,69% -0,92% -0,69% 
11/12/2017 44,2 26,5 1,84% 2,40% 1,83% 2,37% 
12/12/2017 45,2 26,37 2,26% -0,49% 2,24% -0,49% 
13/12/2017 45,1 26,27 -0,22% -0,38% -0,22% -0,38% 
 
 
 
 
25 
 
Apêndice 2 
TAXAS DE JUROS PARA O PRAZO DE 60 DIAS 
 
Data Taxa - 60 dias Data Taxa - 60 dias 
09/04/2018 26,07% 29/05/2018 25,86% 
10/04/2018 26,24% 30/05/2018 25,92% 
11/04/2018 26,23% 02/06/2018 25,92% 
14/04/2018 26,25% 03/06/2018 25,93% 
15/04/2018 26,20% 04/06/2018 25,81% 
16/04/2018 26,16% 05/06/2018 25,85% 
17/04/2018 25,93% 06/06/2018 25,75% 
22/04/2018 25,83% 09/06/2018 25,66% 
23/04/2018 25,88% 10/06/2018 25,79% 
24/04/2018 25,93% 11/06/2018 25,85% 
25/04/2018 25,76% 12/06/2018 25,73% 
28/04/2018 25,66% 13/06/2018 25,37% 
29/04/2018 25,65% 16/06/2018 25,27% 
30/04/2018 25,78% 17/06/2018 25,20% 
02/05/2018 25,89% 18/06/2018 25,28% 
05/05/2018 25,96% 20/06/2018 25,27% 
06/05/2018 25,97% 23/06/2018 25,13% 
07/05/2018 25,84% 24/06/2018 25,01% 
08/05/2018 25,72% 25/06/2018 24,98% 
09/05/2018 25,85% 26/06/2018 24,96% 
12/05/2018 25,91% 27/06/2018 24,90% 
13/05/2018 25,66% 30/06/2018 24,79% 
14/05/2018 25,64% 01/07/2018 24,72% 
15/05/2018 25,72% 02/07/2018 24,74% 
16/05/2018 25,79% 03/07/2018 24,64% 
19/05/2018 25,73% 04/07/2018 24,52% 
20/05/2018 25,72% 07/07/2018 24,52% 
21/05/2018 25,73% 08/07/2018 24,38% 
22/05/2018 25,78% 10/07/2018 24,42% 
23/05/2018 25,93% 11/07/2018 24,47% 
26/05/2018 25,93% 14/07/2018 23,88% 
27/05/2018 25,86% 15/07/2018 23,86% 
28/05/2018 25,87% 16/07/2018 23,73% 
 
 
 
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EXPEDIENTE 
 
Texto 
José Valentim Machado Vicente 
Andréa Sá de Oliveira 
 
Revisão 
Gonzaga de Souza Filho 
Hilton Hostalacio Notini 
 
Apoio Técnico 
Patrícia Guedes 
 
Gerência de Certificação e Educação Continuada 
Daniel Pfannemuller 
 
Superintendência de Educação e Informações Técnicas 
Ana Claudia Leoni 
 
Superintendência Geral 
José Carlos Doherty 
 
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http://www.anbima.com.br/pt_br/educar/educar.htm 
 
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