Potenciação

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POTÊNCIAÇÃO
Prof. Matheus Gomes
 Definição:
POTENCIAÇÃO
1) Calcule o valor das potências a seguir:
 Produto de potências de mesma base:
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Produto de potência de mesma base
PRATICANDO
Simplifique as expressões a seguir:
c) 
PRATICANDO.
Para construir um telhado, um carpinteiro solicitou que fossem compradas telhas. Quantas telhas serão necessárias para finalizar telhados iguais a esse? Dê a resposta em forma de uma única potência.
 Potências de potências:
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Divisão de potência de mesma base
 Distributiva em relação à multiplicação:
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Distributiva em relação à multiplicação
 Distributiva em relação à multiplicação:
PRATICANDO
 Distributiva em relação à divisão:
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Distributiva em relação à divisão
 Distributiva em relação à divisão:
PRATICANDO
 Divisão de potências de mesma base:
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Divisão de potência de mesma base
PRATICANDO
3) Responda:
Qual a metade de 
Qual a metade de 
PRATICANDO
3) Sendo e usando as propriedades estudadas, escreva cada uma das expressões na forma :
b) 
 Uma sequência pode ser finita (se apresenta um último termo) ou infinita (indicada por reticências no final);
 Quando queremos indicar uma sequência f qualquer, escrevemos:
e lemos “sequência f dos termos onde o conjunto de índices é I.
 Toda sequência aparece entre parênteses, ordenadamente da esquerda para a direita.
SEQUÊNCIA
EXEMPLOS DE SEQUÊNCIA
1º) (1, 2, 3, 4, 6, 12) é a sequência (finita) dos divisores inteiros positivos de 12, dispostos em ordem crescente.
2º) (2, 4, 6, 8, ..., 2i, ...) é a sequência (infinita) dos múltiplos inteiros positivos de 2.
3º) (2, 3, 5, 7, 11, ...) é a sequência (infinita) dos números primos positivos.
 Sabemos que duas aplicações f e g são iguais quando têm domínios iguais e para todo do domínio. Assim, duas sequências infinitas e são iguais quando , isto é, para todo . Em símbolos:
Em ouras palavras, duas sequências são iguais somente se tiverem os mesmos elementos dispostos na mesma ordem.
IGUALDADE DAS SEQUÊNCIAS
 Interessam à Matemática as sequências em que os termos se sucedem obedecendo a certa regra, isto é, aquelas que têm uma lei de formação. Esta pode ser apresentada de três maneiras:
5.1 Por fórmula de recorrência
São dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo e outra para calcular cada termo a partir do antecedente . 
Exemplos: Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem a seguinte fórmula de recorrência: 
LEI DE FORMAÇÃO
5.1 Por fórmula de recorrência
Exemplos: Escrever os cinco termos iniciais de uma sequência infinita g dada pela seguinte fórmula de recorrência: 
Exemplos: Escrever os quatro elementos iniciais da sequência onde:
LEI DE FORMAÇÃO
5.2 Expressando cada termo em função de sua posição
É dada uma fórmula que expressa em função de .
Exemplos: Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem a lei 
Exemplos: Escrever os cinco termos iniciais de uma sequência infinita g em que os termos verificam a relação 
LEI DE FORMAÇÃO
5.3 Por propriedade dos termos
É dada uma propriedade em que os termos da sequência devem apresentar.
Exemplos: Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita g formada pelos números primos positivos colocados em ordem crescente.
Temos: 
Notemos que esta sequência não pode ser dada por fórmula de recorrência bem como não existe fórmula para calcular o n-ézimo número primo positivo a partir de n.
LEI DE FORMAÇÃO
5.3 Por propriedade dos termos
É dada uma propriedade em que os termos da sequência devem apresentar.
Exemplos: Escrever a sequência finita f de seis termos em que cada termo é igual ao número de divisores inteiros do respectivo índice.
LEI DE FORMAÇÃO
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Definição:
Um progressão aritmética é uma sequência de números nas qual é constante a diferença entre cada termo e o seu antecedente 
Essa diferença constante é chamada de razão e será representada por .
Assim, uma progressão aritmética de razão é uma sequência na qual , para todo natural.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Normalmente os termos de uma progressão são numerados com índices a partir do índice 1: , Entretanto, há casos em que é mais natural começar com . Essa diferença de notação pode afetar algumas fórmulas.
Exemplo: As sequências
(2, 5, 8, 11, ...) (cada termo é igual ao anterior mais 3)
(, , , , ...) (todos os termos iguais)
(7, 3, -1, -5, ...) (cada termo é igual ao anterior menos 4)
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Exemplo: A população de certa cidade aumenta anualmente de 100 habitantes. Se chamarmos de a população atual e de a população da cidade daqui a n anos, será uma progressão aritmética de razão 100.
Exemplo: Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Calcule-os, sabendo que o perímetro do triângulo vale 24.
Pondo os lados em ordem crescente e chamando de x o cateto maior, os lados serão .
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Classificação:
As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:
1ª) crescentes são as P.A em que cada termo é maior que o anterior. É imediato que isto ocorre somente se , pois:
2ª) constantes são as P.A em que cada termo é igual ao anterior. É fácil ver que isto só ocorre quando , pois:
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Classificação:
As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:
3ª) decrescentes são as P.A em que cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre somente se , pois:
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Notações especiais:
Quando procuramos obter uma P.A. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a notação:
1ª) para 3 termos: ou 
2ª) para 4 termos: ou , onde .
3ª) para 5 termos: ou 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Teorema 1.1:
Se é uma progressão aritmética de razão r, então para todo n inteiro e positivo.
Prova: Pela definição de progressão aritmética, temos:
Somando essas igualdades, obtemos , isto é, 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Exemplo:
Na progressão aritmética 2, 5, 8, 11, ... temos:
Em particular, 
Exemplo: 
Obter a razão da P.A em que o primeiro é -8 e o vigésimo é 30.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Soma dos termos de uma P.A
Quando o matemático Carl. F. Gaus (1777-1855) tinha sete anos de idade, seu professor lhe pediu que calculasse a soma dos inteiros de 1 a 100. O professor, esperando que o trabalho durasse pelo menos uma hora, ficou surpreso quando, em poucos minutos, o pequeno Gaus anunciou que o valor da soma era 5.050. A resposta estava correta e, curioso, o professor lhe perguntou como conseguira fazer o cálculo tão rapidamente.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Soma dos termos de uma P.A
Gauss explicou-lhe que somara primeiramente Assim obtivera somas iguais a e a resposta era 
Baseados nessa mesma ideia, podemos calcular a soma dos termos de progressão aritmética qualquer.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Teorema 1.2:
A soma dos n primeiro termos da progressão aritmética é igual a
Prova:
Daí, 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Teorema 1.2:
Observe que, ao passar de um parênteses para o seguinte, a primeira parcela aumenta de r e a segunda parcela diminui de r, o que não altera a soma. Portanto, todos os parênteses são iguais ao primeiro, .
Logo, e 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Exemplo:
A soma dos vinte primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, 11, ...) é:
Exemplo: 
Obter a soma dos 200 primeiros termos da sequência dos números ímpares positivos. Calcular também a soma dos n termos iniciais da mesma sequência.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: sequências, matrizes determinantes e sistemas. v. 4. 4.ed.. São Paulo: Atual, 2009.
MACHADO, A. S. Matemática: trigonometria e progressões. São Paulo: Atual, 1986.
MORGADO, A.C.; WAGNER, E. ZANI, S. C. Progressões e Matemática Financeira. Rio de Janeiro: SBM, 20015.
REFERÊNCIAS