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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Ondas Ondas Planas com Incidência Normal 1 Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Reflexão • Considere-se agora z = 0 na fronteira entre duas regiões: a primeira tem parâmetros (!1, µ1, "1), para z < 0, denominada região 1; a segunda tem parâmetros (!2, µ2, "2), para z > 0, denominada região 2. • Pressupondo-se uma onda se propagando na região 1, no sentido positivo de , pode-se descrever as intensidades dos campos elétrico e magnético da onda incidente conforme as equações abaixo. • Parte da energia da onda incidente é transmitida através da fronteira em z = 0 para a região 2, produzindo a onda transmitida. !az 2 !azregião 2z > 0 Exs1+ = Ex10+ e! jk1z Hys1+ = Ex10+ !1 e" jk1z Onda incidente Exs1+ ,Hys1+ região 1 z < 0 Onda transmitida Exs2+ ,Hys2+ Exs2+ = Ex20+ e! jk2 z Hys2+ = Ex20+ !2 e" jk2 z 0 Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Reflexão • Na região de fronteira, os campos elétricos devem ser iguais e contínuos, bem como os campos magnéticos • Para tal, seria necessário que e , ou seja, . • Porém, isto seria trivial e nem sempre acontece. • A diferença entre a onda transmitida e a incidente corresponde à onda refletida, movendo-se de volta na região 1. 3 !az Onda incidente Onda transmitida região 2 z > 0 Exs1+ ,Hys1+ Exs2+ ,Hys2+ região 1 z < 0 Ex10+ = Ex20+ Ex10+ !1 = Ex20+ !2 !1 = !2 Exs1! = Ex10! e+ jk1z Hys1! = ! Ex10! "1 e+ jk1z Onda refletida Exs1! ,Hys1! refletida Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Reflexão • Assim, os campos elétrico total e magnético total são contínuos em z = 0, de tal forma que: 4 Hys1 = Hys2 , z = 0 ou seja, Hys1+ + Hys1! = Hys2+ , z = 0 logo, Ex10+ "1 ! Ex10! "1 = Ex20+ "2 Exs1 = Exs2 , z = 0 ou seja, Exs1+ + Exs1! = Exs2+ , z = 0 logo, Ex10+ + Ex10! = Ex20+ Daí tem - se que !2 !1 Ex10+ " !2 !1 Ex10" = Ex10+ + Ex10" Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Reflexão • Logo, a amplitude do campo elétrico da onda refletida é dada por: • Assim, as amplitudes das ondas incidente e refletida relacionam-se pelo coeficiente de reflexão: tal que a onda refletida está defasada da incidente de um ângulo #. • Já a amplitude do campo elétrico da onda transmitida é dada por: onde 5 Ex10! = Ex10+ "2 !"1 "2 +"1 # $% & '( = Ex10+ ) ! = Ex10" Ex10+ = #2 "#1 #2 +#1 $ %& ' () = ! e j* +C Ex20+ = Ex10+ 2!2 !2 +!1 " #$ % &' = Ex10+ ( Coeficiente de Reflexão Coeficiente de Transmissão ! = 1+ " Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Exemplo • Considere-se uma onda eletromagnética que incide sobre um material condutor perfeito (região 2: "2 = !). Considere-se que a região 1 é um dielétrico perfeito: • Logo, não podem existir campos variantes no tempo em condutores perfeitos, ou seja, a profundidade pelicular é 0 (zero). Daí: • Portanto, o condutor perfeito reflete toda a onda incidente! 6 ! = "2 #"1 "2 +"1 = 0 #"1 0 +"1 = #1 !azregião 2z > 0 Onda incidente Exs1+ ,Hys1+ região 1 z < 0 Ex20+ = Ex10+ 2!2 !2 +!1 " #$ % &' = 0 !2 = j"µ2 # 2 + j" $%2 = 0 Ex10! = Ex10+ " = Ex10+ !1( ) = !Ex10+ Onda refletida Exs1! ,Hys1! Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Onda Estacionária • Quando |"| < 1, parte da energia é transmitida para a região 2 através da interface e parte é refletida. • Assim, na região 1, tem-se o campo elétrico composto tanto pela onda incidente quanto pela onda refletida: • somando-se e subtraindo-se , tem-se: Exs1 = Exs1+ + Exs1! = Ex10+ e! j"1z + #Ex10+ e+ j"1z = Ex10+ e! j"1z + # e j$e+ j"1z( ) Ex10+ 1! "( )e! j#1z Exs1 = Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ e! j#1z + " e j$e+ j#1z( ) ! Ex10+ 1! "( )e! j#1z = Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ e! j#1z + Ex10+ " e j$e+ j#1z ! Ex10+ e! j#1z + Ex10+ " e! j#1z = Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ " e j$e+ j#1z + Ex10+ " e! j#1z = Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ " e j $ 2 e+ j#1ze j $ 2 + e! j#1ze! j $ 2( ) = Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ " e j $ 2 e+ j #1z+ $ 2( ) + e! j #1z+ $ 2( )% &' ( )* Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Onda Estacionária • Que, pela fórmula de Euler, pode ser escrita como: • No domínio do tempo, temos: Exs1 = Ex10+ 1! "( )e! j#1z + 2Ex10+ " e j $ 2 cos #1z +$ 2( ) Ex1 z,t( ) = Re Exs1e j! t"# $% = Re Ex10+ 1& '( )e& j(1z + 2Ex10+ ' e j ) 2 cos (1z +) 2( )"#* $%+e j! t{ } = Re Ex10+ 1& '( )e j ! t&(1z( ) + 2Ex10+ ' cos (1z +) 2( )e j ! t+) 2( ),-. / 0 1 Ex1 z,t( ) = 1& '( )Ex10+ cos !t & (1z( ) + 2Ex10+ ' cos (1z +) 2( )cos !t +) 2( ) onda viajante onda estacionária Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Onda Estacionária • Diferentemente da onda viajante, a onda estacionária não se move, apenas oscila. • Para , tem-se que a porção estacionária do campo elétrico na região 1 é nula, independentemente da variação temporal. (Como corda de violão que não vibra nas extremidades em que está presa) 9 !1z = " 2 # (2m +1) $ 2 onda estacionáriaonda viajante Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Onda Estacionária • A onda na região 1, em geral, apresenta comportamento que mistura o deslocamento espacial da onda viajante à variação de amplitude da onda estacionária. • Isto significa que, ao longo do eixo z, a amplitude mínima do campo vale: • e a máxima vale: • A razão entre as amplitudes máxima e mínima é definida como a taxa de onda estacionária: • Quanto maior for |"|, maior s, ou seja, mais estacionária a onda na região 1. 10 Ex1min = 1! "( )Ex10+ , para z = ! 12#1 $ ! (2m +1)%[ ], m ímpar. Ex1max = 1+ !( )Ex10+ , para z = " 12#1 $ " (2m +1)%[ ], m par. Ex1max Ex1min s = Ex1maxEx1min = 1+ !( ) 1" !( ) , ! < 1. Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Potência • Analisando o vetor de Poynting ao longo das regiões, tem-se que: a) densidade de potência incidente: b) densidade de potência refletida: c) densidade de potência transmitida: 11 ! S1i = 1 2 Re Exs1 + Hys1+*{ } = 12 Re Ex10+ Ex10+* !1 * " # $ % & ' = 1 2 Re 1 !1 * " # $ % & ' Ex10+ 2 ! S1r = ! 1 2 Re Exs1 ! Hys1!*{ } = ! 12 Re ! "Ex10+ "*Ex10+* #1 * $ % & ' ( ) = 1 2 Re 1 #1 * $ % & ' ( ) Ex10+ 2 " 2 ! S1r = ! S1i " 2 ! S1i = ! S1r + ! S2 , pela conservação da potência, logo ! S2 = ! S1i ! ! S1r = ! S1i ! ! S1i " 2 ! S2 = ! S1i 1! " 2( ) Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Reflexões Múltiplas • Até agora se estudou a reflexão em fronteiras únicas entre meios semi- infinitos. • Generalizando os conceitos estudados, pode-se analisar o caso de três regiões. • A espessura da região 2 é finita, tal que a primeira interface ocorre em z = -l. 12 !az Onda incidente Onda transmitida região 2 -l < z < 0 Exs1+ ,Hys1+ Exs2+ ,Hys2+ região 1 z < -l Onda refletida Exs1! ,Hys1! região 3 z > 0 -l 0 Onda refletida Onda transmitida Exs3+ ,Hys3+ Exs2! ,Hys2! !1 !2 !3 Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Reflexões Múltiplas • Na região 1 tem-se o coeficiente de reflexão dado por: • onde !ent é a impedância da região 2 à distância l de sua interface com a região 3, ou seja, é a impedância da combinação das duas interfaces. • Para se determinar"!ent, primeiro se analisam os campos elétricos da região 2: 13 !azregião 2 Exs1+ ,Hys1+ Exs2+ ,Hys2+ região 1 Exs1! ,Hys1! região 3-l 0 Exs3+ ,Hys3+ Exs2! ,Hys2! !1 !2 !3 ! = Ex10" Ex10+ = #ent "#1 #ent +#1 $ %& ' () Exs2 = Ex20+ e! j"2 z + Ex20! e+ j"2 z = Ex20+ e! j"2 z + #23e+ j"2 z( ), #23 = $3 !$2$3 +$2 !ent Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Reflexões Múltiplas • Os campos magnéticos na região 2 relacionam-se por: • Assim, a impedância intrínseca varia ao longo do material, sendo dada por: • Para se determinar"!ent, agora basta substituir z = -l : 14 !azregião 2 Exs1+ ,Hys1+ Exs2+ ,Hys2+ região 1 Exs1! ,Hys1! região 3-l 0 Exs3+ ,Hys3+ Exs2! ,Hys2! !1 !2 !3 Hys2= Hy20+ e! j"2 z + Ey20! e+ j"2 z = Ex20+ #2 e! j"2 z ! $23e+ j"2 z( ) !w z( ) = Exs2 Hys2 = !2 e" j#2 z + $23e+ j#2 z e" j#2 z " $23e+ j#2 z % & ' ( ) * = !2 !3 cos#2z " j!2 sen#2z !2 cos#2z " j!3 sen#2z % & ' ( ) * !ent = !2 !3 cos"2l + j!2 sen"2l !2 cos"2l + j!3 sen"2l # $ % & ' ( !ent Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Casamento • A transmissão da região 1 para a região 3 é total se houver o casamento de impedâncias, ou seja, se " = 0: • Como !ent depende de l, este pode ser ajustado para que haja o casamento: a) Para logo a região 2 é “imaterial” e, se !3 ="!1, tem-se o casamento de meia onda. b) Para logo, se , então !ent = !1 e tem-se o casamento de quarto de onda, mesmo que !3 # !1. 15 ! = "ent #"1 "ent +"1 = 0 $ "ent = "1 l = m !22 : "2l = m# $ %ent = %3 l = 2m !1( )"24 : #2l = 2m !1( ) $ 2 % &ent = &2 2 &3 !2 = !1!3 Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Exemplo • Deseja-se revestir uma superfície de vidro com uma camada de dielétrico que proporcione transmissão total do ar para o vidro para $0 = 570 nm. O índice de refração do vidro é n3 = 1,45. Determine o índice necessário para o revestimento e sua espessura mínima. 16 !1 = 377" (ar) Como !3 " !1 , então se busca o casamento de quarto de onda : !2 = !1!3 = 377 #260 = 313$ Logo, o índice de refração necessário para a região 2 será : n2 = 377 !2 = 377 313 = 1,20 e o comprimento de onda na região 2 fica : %2 = 570 nm n2 = 475 nm !3 = 377" n3 = 377" 1, 45 = 260" (vidro) Daí, a espessura mínima é : l = !24 = 119 nm Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Exercício • Uma onda plana uniforme, propagando-se no ar, incide normalmente sobre uma lâmina de dielétrico de espessura $2/4 e impedância intrínseca de !2 = 260". Determine a amplitude e o ângulo do coeficiente de reflexão. 17 ! Obrigado! 18
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