06_ReflexãoNormal

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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Ondas
Ondas Planas com Incidência Normal
1
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Reflexão
• Considere-se agora z = 0 na fronteira entre duas regiões: a primeira tem 
parâmetros (!1, µ1, "1), para z < 0, denominada região 1; a segunda tem 
parâmetros (!2, µ2, "2), para z > 0, denominada região 2. 
• Pressupondo-se uma onda se propagando na região 1, no sentido positivo 
de , pode-se descrever as intensidades dos campos elétrico e magnético 
da onda incidente conforme as equações abaixo.
• Parte da energia da onda incidente é transmitida através da fronteira em 
z = 0 para a região 2, produzindo a onda transmitida. 
 
!az
2 
!azregião 2z > 0
Exs1+ = Ex10+ e! jk1z
Hys1+ =
Ex10+
!1
e" jk1z Onda incidente
Exs1+ ,Hys1+
região 1
z < 0
Onda transmitida
Exs2+ ,Hys2+ Exs2+ = Ex20+ e! jk2 z
Hys2+ =
Ex20+
!2
e" jk2 z
0
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Reflexão
• Na região de fronteira, os campos elétricos devem ser iguais e contínuos, 
bem como os campos magnéticos
• Para tal, seria necessário que e , ou seja, .
• Porém, isto seria trivial e nem sempre acontece.
• A diferença entre a onda transmitida e a incidente corresponde à onda 
refletida, movendo-se de volta na região 1.
3
 
!az
Onda incidente Onda transmitida
região 2
z > 0
Exs1+ ,Hys1+ Exs2+ ,Hys2+
região 1
z < 0
Ex10+ = Ex20+
Ex10+
!1
=
Ex20+
!2
!1 = !2
Exs1! = Ex10! e+ jk1z
Hys1! = !
Ex10!
"1
e+ jk1z Onda refletida
Exs1! ,Hys1!
refletida
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Reflexão
• Assim, os campos elétrico total e magnético total são contínuos em 
z = 0, de tal forma que:
4
 
Hys1 = Hys2 , z = 0
ou seja,
Hys1+ + Hys1! = Hys2+ , z = 0
logo,
Ex10+
"1
!
Ex10!
"1
=
Ex20+
"2 
Exs1 = Exs2 , z = 0
ou seja,
Exs1+ + Exs1! = Exs2+ , z = 0
logo,
Ex10+ + Ex10! = Ex20+
 
Daí tem - se que
!2
!1
Ex10+ "
!2
!1
Ex10" = Ex10+ + Ex10"
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Reflexão
• Logo, a amplitude do campo elétrico da onda refletida é dada por:
• Assim, as amplitudes das ondas incidente e refletida relacionam-se pelo 
coeficiente de reflexão:
tal que a onda refletida está defasada da incidente de um ângulo #.
• Já a amplitude do campo elétrico da onda transmitida é dada por:
 
onde
5
Ex10! = Ex10+
"2 !"1
"2 +"1
#
$%
&
'(
= Ex10+ )
 
! =
Ex10"
Ex10+
=
#2 "#1
#2 +#1
$
%&
'
()
= ! e j* +C
Ex20+ = Ex10+
2!2
!2 +!1
"
#$
%
&'
= Ex10+ (
Coeficiente 
de Reflexão
Coeficiente 
de Transmissão
! = 1+ "
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Exemplo
• Considere-se uma onda eletromagnética que incide sobre um material condutor 
perfeito (região 2: "2 = !). Considere-se que a região 1 é um dielétrico perfeito: 
• Logo, não podem existir campos variantes no tempo em condutores perfeitos, ou 
seja, a profundidade pelicular é 0 (zero). Daí:
• Portanto, o condutor perfeito reflete toda a onda incidente!
6
! =
"2 #"1
"2 +"1
=
0 #"1
0 +"1
= #1
 
!azregião 2z > 0
Onda incidente
Exs1+ ,Hys1+
região 1
z < 0
Ex20+ = Ex10+
2!2
!2 +!1
"
#$
%
&'
= 0
!2 =
j"µ2
# 2 + j" $%2
= 0
Ex10! = Ex10+ "
= Ex10+ !1( )
= !Ex10+
Onda refletida
Exs1! ,Hys1!
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Onda Estacionária
• Quando |"| < 1, parte da energia é transmitida para a região 2 através da interface e 
parte é refletida.
• Assim, na região 1, tem-se o campo elétrico composto tanto pela onda incidente 
quanto pela onda refletida:
• somando-se e subtraindo-se , tem-se:
Exs1 = Exs1+ + Exs1! = Ex10+ e! j"1z + #Ex10+ e+ j"1z
= Ex10+ e! j"1z + # e j$e+ j"1z( )
Ex10+ 1! "( )e! j#1z
Exs1 = Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ e! j#1z + " e j$e+ j#1z( ) ! Ex10+ 1! "( )e! j#1z
= Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ e! j#1z + Ex10+ " e j$e+ j#1z ! Ex10+ e! j#1z + Ex10+ " e! j#1z
= Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ " e j$e+ j#1z + Ex10+ " e! j#1z
= Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ " e j
$
2 e+ j#1ze j
$
2 + e! j#1ze! j
$
2( )
= Ex10+ 1! "( )e! j#1z + Ex10+ " e j
$
2 e+ j #1z+
$
2( ) + e! j #1z+
$
2( )%
&'
(
)*
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Onda Estacionária
• Que, pela fórmula de Euler, pode ser escrita como:
• No domínio do tempo, temos:
 
Exs1 = Ex10+ 1! "( )e! j#1z + 2Ex10+ " e j
$
2 cos #1z +$ 2( )
Ex1 z,t( ) = Re Exs1e j! t"# $% = Re Ex10+ 1& '( )e& j(1z + 2Ex10+ ' e j
)
2 cos (1z +) 2( )"#* $%+e j! t{ }
= Re Ex10+ 1& '( )e j ! t&(1z( ) + 2Ex10+ ' cos (1z +) 2( )e j ! t+) 2( ),-.
/
0
1
Ex1 z,t( ) = 1& '( )Ex10+ cos !t & (1z( ) + 2Ex10+ ' cos (1z +) 2( )cos !t +) 2( )
onda viajante onda estacionária
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Onda Estacionária
• Diferentemente da onda viajante, a onda estacionária não se move, apenas oscila.
• Para , tem-se que a porção estacionária do campo elétrico na região 1 é 
nula, independentemente da variação temporal. (Como corda de violão que não vibra nas 
extremidades em que está presa)
9
!1z =
"
2 # (2m +1)
$
2
onda estacionáriaonda viajante
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Onda Estacionária
• A onda na região 1, em geral, apresenta comportamento que mistura o deslocamento 
espacial da onda viajante à variação de amplitude da onda estacionária.
• Isto significa que, ao longo do eixo z, a amplitude mínima do campo vale:
• e a máxima vale:
• A razão entre as amplitudes máxima 
e mínima é definida como a taxa de 
onda estacionária:
• Quanto maior for |"|, maior s, ou seja, 
mais estacionária a onda na região 1.
10
Ex1min = 1! "( )Ex10+ , para z = ! 12#1
$ ! (2m +1)%[ ], m ímpar.
Ex1max = 1+ !( )Ex10+ , para z = " 12#1
$ " (2m +1)%[ ], m par.
Ex1max
Ex1min
s = Ex1maxEx1min
=
1+ !( )
1" !( ) , ! < 1.
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Potência
• Analisando o vetor de Poynting ao longo das regiões, tem-se que:
a) densidade de potência incidente:
b) densidade de potência refletida:
c) densidade de potência transmitida:
11
 
!
S1i =
1
2 Re Exs1
+ Hys1+*{ } = 12 Re
Ex10+ Ex10+*
!1
*
"
#
$
%
&
'
=
1
2 Re
1
!1
*
"
#
$
%
&
'
Ex10+
2
 
!
S1r = !
1
2 Re Exs1
! Hys1!*{ } = ! 12 Re !
"Ex10+ "*Ex10+*
#1
*
$
%
&
'
(
)
=
1
2 Re
1
#1
*
$
%
&
'
(
)
Ex10+
2
" 2
!
S1r =
!
S1i "
2
 
!
S1i =
!
S1r +
!
S2 , pela conservação da potência, logo
!
S2 =
!
S1i !
!
S1r =
!
S1i !
!
S1i "
2
!
S2 =
!
S1i 1! " 2( )
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Reflexões Múltiplas
• Até agora se estudou a reflexão em fronteiras únicas entre meios semi-
infinitos. 
• Generalizando os conceitos estudados, pode-se analisar o caso de três regiões.
• A espessura da região 2 é finita, tal que a primeira interface ocorre em z = -l.
12
 
!az
Onda incidente Onda transmitida
região 2
-l < z < 0
Exs1+ ,Hys1+ Exs2+ ,Hys2+
região 1
z < -l
Onda refletida
Exs1! ,Hys1!
região 3
z > 0
-l 0
Onda refletida
Onda transmitida
Exs3+ ,Hys3+
Exs2! ,Hys2!
!1 !2 !3
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Reflexões Múltiplas
• Na região 1 tem-se o coeficiente de reflexão dado por:
 
• onde !ent é a impedância da região 2 à distância l de sua interface com a região 
3, ou seja, é a impedância da combinação das duas interfaces.
• Para se determinar"!ent, primeiro se analisam os campos elétricos da região 2:
13
 
!azregião 2
Exs1+ ,Hys1+ Exs2+ ,Hys2+
região 
1
Exs1! ,Hys1!
região 
3-l 0
Exs3+ ,Hys3+
Exs2! ,Hys2!
!1 !2 !3
! =
Ex10"
Ex10+
=
#ent "#1
#ent +#1
$
%&
'
()
Exs2 = Ex20+ e! j"2 z + Ex20! e+ j"2 z 
= Ex20+ e! j"2 z + #23e+ j"2 z( ), #23 = $3 !$2$3 +$2
!ent
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Reflexões Múltiplas
• Os campos magnéticos na região 2 relacionam-se por:
 
• Assim, a impedância intrínseca varia ao longo do material, sendo dada por:
• Para se determinar"!ent, agora basta substituir z = -l :
14
 
!azregião 2
Exs1+ ,Hys1+ Exs2+ ,Hys2+
região 
1
Exs1! ,Hys1!
região 
3-l 0
Exs3+ ,Hys3+
Exs2! ,Hys2!
!1 !2 !3
Hys2= Hy20+ e! j"2 z + Ey20! e+ j"2 z 
=
Ex20+
#2
e! j"2 z ! $23e+ j"2 z( )
!w z( ) =
Exs2
Hys2
= !2
e" j#2 z + $23e+ j#2 z
e" j#2 z " $23e+ j#2 z
%
&
'
(
)
* = !2
!3 cos#2z " j!2 sen#2z
!2 cos#2z " j!3 sen#2z
%
&
'
(
)
*
!ent = !2
!3 cos"2l + j!2 sen"2l
!2 cos"2l + j!3 sen"2l
#
$
%
&
'
(
!ent
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Casamento
• A transmissão da região 1 para a região 3 é total se houver o casamento de 
impedâncias, ou seja, se " = 0:
 
• Como !ent depende de l, este pode ser ajustado para que haja o casamento:
a) Para
 logo a região 2 é “imaterial” e, se !3 ="!1, tem-se o casamento de meia 
onda. 
b) Para
 logo, se , então !ent = !1 e tem-se o casamento de quarto de 
onda, mesmo que !3 # !1.
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! =
"ent #"1
"ent +"1
= 0 $ "ent = "1
 
l = m !22 : "2l = m# $ %ent = %3
 
l = 2m !1( )"24 : #2l = 2m !1( )
$
2 % &ent =
&2
2
&3
!2 = !1!3
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Exemplo
• Deseja-se revestir uma superfície de vidro com uma camada de dielétrico que 
proporcione transmissão total do ar para o vidro para $0 = 570 nm. O índice de 
refração do vidro é n3 = 1,45. Determine o índice necessário para o 
revestimento e sua espessura mínima. 
16
 !1 = 377" (ar)
 
Como !3 " !1 , então se busca o casamento de quarto de onda :
 !2 = !1!3 = 377 #260 = 313$
Logo, o índice de refração necessário para a região 2 será :
n2 =
377
!2
=
377
313 = 1,20
e o comprimento de onda na região 2 fica :
%2 =
570 nm
n2
= 475 nm
 
!3 =
377"
n3
=
377"
1, 45 = 260" (vidro)
 
Daí, a espessura mínima é :
l = !24 = 119 nm
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Exercício
• Uma onda plana uniforme, propagando-se no ar, incide 
normalmente sobre uma lâmina de dielétrico de espessura $2/4 e 
impedância intrínseca de !2 = 260". Determine a amplitude e o 
ângulo do coeficiente de reflexão.
17
!
Obrigado!
18