Resolução da lista de economia

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Questões Resolvidas
[Fácil] Q1 - Utilidade
1) A utilidade que Jane obtém por meio do consumo de alimento A e vestuário V é
dada por: u(A,V) = A*V.
a) Desenhe a curva de indiferença associada a um nível de utilidade igual a 12 e a
curva de indiferença associada a um nível de utilidade igual a 24. Essas curvas de
indiferença são convexas?
Ambas as curvas de indiferença são convexas em relação à origem.
b) Suponha que o alimento custe $1 por unidade, o vestuário custe $3 por unidade, e
que Jane disponha de $12 para as despesas com os dois bens. Desenhe a linha do
orçamento com a qual ela se defronta.
c) Qual será a escolha de alimento e vestuário capaz de maximizar sua utilidade?
(Resolva a questão graficamente e também por Lagrangiano).
otimização de Lagrange
Passo 1
g(A, V) = restrição (preços) → A + 3V = 12
f(A, V) = maximizar (utilidade) → A*V
Passo 2
gradf(A, V) = <V, A>
(derivadas parciais de A e V da função f)
gradg(A, V) = <1, 3>
(derivadas parciais de A e V da função g)
Passo 3
Montar um sistema com:
1. gradf = λ*gradg
2. restrição
<V, A> = λ*<1, 3>
A + 3V = 12
Passo 4
Decompondo o sistema temos:
V = λ
A = 3λ
A + 3V = 12
Resolvendo temos:
λ = 2, V = 2 e A = 6
d) Qual será a taxa marginal de substituição de alimento por vestuário quando a
utilidade for maximizada?
e) Suponha que Jane tenha decidido adquirir 3 unidades de alimento e 3 unidades de
vestuário com seu orçamento de $12. Sua taxa marginal de substituição de alimento
por vestuário seria maior ou menor que 1/3? Justifique.
Será 3/3 que é maior que ⅓.
[Fácil] Q2 - Elasticidade
A elasticidade-preço da demanda para computadores pessoais é estimada em
-2,2. Se o preço dos computadores pessoais diminuir 20%, qual será o aumento
percentual esperado na quantidade de computadores vendidos?
EPD < 1 -> produtos essenciais: se aumentar o preço não sai perdendo
EPD > 1 -> produtos não essenciais: se aumentar o preço sai perdendo
Com EPD = -2,2 e diminuindo o preço em 20%, a quantidade aumentará em 44%
pois -0,2*-2,2 = 0,44 = 44%
[Médio] Q3 - Elasticidade
A função demanda por bicicletas na Holanda foi estimada em:
Q = 2.000 + 15Y – 5,5P
em que Y é a renda em milhares de florins, Q é a quantidade demandada em
unidades e P é o preço unitário. Quando P = 150 florins e Y = 15.000 florins,
determinar:
a) A elasticidade-preço da demanda.
Elasticidade - preço da demanda =
(preço/ função de demanda) * derivada função de demanda sob o preço
Q(15000, 150) = 20000 + 15*15000 - 5.5*150 = 226175
EPD = 150/ Q(15000, 150) * -5.5
EPD = 150/226175 * -5.5 = -0.00365
b) A elasticidade-renda da demanda.
Elasticidade - renda da demanda =
(renda/ função de demanda) * derivada função de demanda sob a renda
ERD = 15000/Q(15000, 150) * 15
ERD = 15000/226175 * 15 = 0.99
[Médio] Q5 - Utilidade
Simone tem a seguinte função de utilidade:
U(X,Y ) = Sqrt(X) + Sqrt(Y)
onde X é o seu consumo de roupas, com preço Px = $1 e Y é o seu consumo
de alimentos, com Py = $3.
a) Supondo que a renda de Simone é dada por I, derive sua demanda por
roupas e alimentos.
Passo 1
g(X, Y) = restrição (preços) → X + 3Y = I
f(X, Y) = maximizar (utilidade) → 𝑥 + 𝑦
Passo 2
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑋, 𝑌) = < 1/(2 𝑥), 1/(2 𝑦) >
(derivadas parciais de X e Y da função f)
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔(𝑋, 𝑌) = < 1, 3 >
(derivadas parciais de X e Y da função g)
Passo 3
Montar um sistema com:
1. gradf = *gradg
2. restrição
< 1/(2 𝑥), 1/(2 𝑦) >= λ < 1, 3 >
𝑋 + 3𝑌 = 𝐼
Passo 4:
Decompondo o sistema temos:
1/(2 𝑥) = 1λ
1/(2 𝑦) = 3λ
𝑋 + 3𝑌 = 𝐼
b) Suponha que sua renda seja I = $100. Quantas roupas e quantos alimentos
Simone consumirá?
c) Qual é a elasticidade-renda da demanda por roupas e alimentos?
Elasticidade - renda da demanda =
(renda/ demanda) * derivada da demanda sob a renda
Roupas = I/X * derivada de X em I
[Fácil] Q6 - Produto marginal
Suponha que um fabricante de cadeiras esteja produzindo a curto prazo, situação em
que o equipamento é fixo. O fabricante sabe que, à medida que o número de
funcionários utilizados no processo produtivo eleva-se de 1 para 7, o número de
cadeiras produzidas varia da seguinte forma: 10, 17, 22, 25, 26, 25, 23.
a) Calcule o produto marginal e o produto médio do trabalho para esta função de
produção.
PMG[i] = produção[i] - produção[i-1]
PMe[i] = produção[i]/ (total de insumos)
b) Esta função de produção apresenta rendimentos decrescentes de escala para o
trabalho? Explique.
c) Explique, de forma intuitiva, qual poderia ser a razão de o produto marginal do
trabalho se tornar negativo.
[Fácil] Q7 - TMST
O produto marginal do trabalho na produção de chips para computadores é de
50 chips por hora. A taxa marginal de substituição técnica de horas de trabalho por
horas de maquinário é de ¼. Qual é o produto marginal do capital?
[Médio] Q8 - Função de produção
Considere a seguinte função de produção de curto prazo (onde X = insumo
variável e Q = quantidade):
Q = 6X² – 0,4X³
a) Determine a função de produto marginal (PMAx).
função do produto marginal = derivada da função de produção
b) Determine a função de produto médio (PMEx).
função do produto médio = função de produção / insumo variável
(6X² - 0,4X³)/X = 6X-0,4X²
c) Indique o valor de X que maximiza Q.
PMGx = 12x - 1,2X²
Para 12x - 1,2X² = 0, temos x’ =0 e x’’ = 10. Dentre os dois, precisamos achar qual é ponto
de máximo.
d) Indique o valor de X para o qual a função do produto marginal assume seu valor
máximo.
e) Indique o valor de X para o qual a função do produto médio assume seu valor
máximo.
f) Indique em um gráfico as funções de produto (i) total, (ii) marginal e (iii) médio para
valores de X = 0, 1, 2, 3, ..., 12.
[Fácil] Q9 - Função de produção
Considere a seguinte função de produção de curto prazo (onde X = insumo variável e
Q = quantidade):
Q = 10X – 0,5X²
Suponha que o produto possa ser vendido por US$ 10 por unidade. Assuma também
em que a empresa possa obter toda a quantidade necessária do insumo variável (X)
por US$ 20 por unidade.
a) Determine a função do produto da receita marginal.
Fórmula = Receita marginal * produto marginal
Receita marginal neste caso é o preço, que é 10$ por unidade.
Produto marginal é a derivada da função em x, ou seja, 10 + X
logo, temos:
(10 - X)*10 = 100 - 10X
b) Determine a função do custo marginal.
“A função custo marginal é a variação do custo total, decorrente da variação na
quantidade produzida, em, uma unidade. Cmg(x) = C(x + 1) – C(x) ≅ C′(x)”
Como a quantidade necessária é obtida sempre por 20$, o custo marginal será
sempre 0.
c) Determine o valor ótimo de X, considerando-se que o objetivo consiste em
maximizar o lucro.
O valor ótimo de X será obtido quando produto da receita marginal for igual preço do
insumo, que neste caso é 20$.
100 - 10X = 20
X = 8
[Resolver] Questão 10 - Função de Produção
Dada a função de produção:
Q = 1,40L^0,70 * K^0,35
a) Determine a elasticidade da produção com relação à:
i. Mão-de-obra (L)
ii. Capital (K)
b) Dê uma interpretação econômica para cada valor determinado no item (a).
[Médio] Q11 - Cobb Douglas
Considere a seguinte função de produção Cobb-Douglas para o sistema de transporte
de ônibus em uma cidade:
onde
L = insumo de mão-de-obra em horas de trabalho
F = insumo de combustível em galões
B = insumo de capital em número de ônibus
Q = produto medido em milhões de milhas percorridas pelos ônibus
Imagine que os parâmetros (α, β1, β2, β3) desse modelo foram estimados com dados
anuais para os últimos 25 anos. Os seguintes resultados foram obtidos:
α = 0,0012
β1 = 0,45
β2 = 0,20
β3 = 0,30
a) Determine a elasticidade da produção de (i) mão-de-obra, (ii) combustível e (iii)
capital.
b) Suponha que o insumo mão-de-obra (horas de trabalho) aumente 2% no próximo
ano, sendo os demais insumos mantidos constantes. Determine a variação
percentual aproximada do produto.
A elasticidade da mão de obra é b1 = 0,45
0,45 * 0,02 = 0,009 = 0,9%
c) Suponha que o insumo capital (número de ônibus) diminua 3% no próximo ano
(isto é, certos ônibus maisantigos deixam de circular). Supondo que os demais
insumos sejam mantidos constantes, determine a porcentagem de variação
aproximada do produto.
A elasticidade do capital é b3 = 0,2
0,2 * -0,03 = -0,006 = -0,6%
d) Que tipos de rendimentos em escala parecem caracterizar esse sistema de
transporte por ônibus (despreze a significância estatística)?
Basta seguir este modelo.
rendimentos crescentes se maior do que 1, ou decrescentes se menor
que 1
[Médio] Q12 - Função de produção
12) Considere a seguinte função de produção cúbica de curto prazo, mantendo
constante o insumo de capital da empresa:
Q = -0,005L³ + 0,30L²
onde
Q = unidades de produto
L = unidades de insumo mão-de-obra
a) Que quantidade é produzida quando L = 0?
Quando L =0, Q será 0
b) Qual o produto médio da mão-de-obra?
O produto médio será dado por
(-0,005L³ + 0,30L²)/L = -0,005L² + 0,30L
c) Qual é o produto marginal da mão-de-obra?
O produto marginal será dado por
d/dL de -0,005L³ + 0,30L²
= -0,015L² + 0,6L
d) Em que nível do insumo mão-de-obra que o produto marginal da mão-de-obra é
maximizado?
Quando a derivada do produto marginal da mão de obra = 0
d/dL de -0,015L² + 0,6L = 0
-0,03L + 0,6 = 0
L = 20
e) Em que nível do insumo mão-de-obra o produto marginal da mão-de-obra é igual
ao produto médio da mão-de-obra? O que acontece ao produto total da mão-de-obra
nesse ponto?
-0,005L² + 0,30L = -0,015L² + 0,6L
L’ = 0 e L’’=30
Em 0 não há produção, logo L=30. Em L=30, Q=135
[Resolver] Questão 13 - Função de Produção
O produto (Q) de um processo de produção é função de dois insumos (X e Y), sendo
dado pela seguinte relação:
Q = 0,50XY – 0,10X² - 0,05Y²
Os preços unitários dos insumos X e Y são US$ 20 e US$ 25, respectivamente. A
empresa está interessada em maximizar a produção sujeita a uma limitação de custos
de US$ 500.
a) Formule a função de Lagrange.
Passo 1:
g(X, Y) = restrição (preços) -> 20X + 25Y = 500
f(X, Y) = maximizar (utilidade) -> 0,50XY – 0,10X² - 0,05Y²
Passo 2:
gradf(X, Y) = <0.5Y - 0.2X, 0.50X - 0.1Y>
gradg(X, Y) = <20, 25>
Passo 3:
Montar um sistema com:
1. gradf = Λ*gradg
2. restrição
<0.5Y - 0.2X, 0.50X - 0.1Y> = Λ*<20, 25>
20X + 25Y = 500
Passo 4:
Decompondo o sistema temos:
0.5Y - 0.2X = 20Λ
0.50X - 0.1Y = 25Λ
20X + 25Y = 500
b) Calcule as derivadas de LQ em relação a X, Y e λ e iguale-as a zero.
c) Resolva o conjunto de equações simultâneas do item (b) para os valores ótimos de
X, Y e λ.
d) Com base em suas respostas ao item (c), quantas unidades de X e Y deveriam ser
utilizadas pela empresa?
e) Dê uma interpretação econômica ao valor de λ determinado no item (c).
[Fácil] Q14 - Custos
14) Suponha que uma empresa fabricante de computadores tenha os custos
marginais de produção constantes a $1.000 por computador produzido. Entretanto,
os custos fixos de produção são iguais a $10.000.
a) Calcule as curvas de custo variável médio e de custo total médio para essa
empresa.
b) Caso fosse do interesse da empresa minimizar o custo total médio de produção,
ela preferiria que tal produção fosse muito grande ou muito pe
quena? Explique.
Grande, para que o custo fixo médio seja diluído, se aproximando de zero.
[Médio] Q15 - Função de produção
15) Você é o gerente de uma fábrica que produz motores em grande quantidade por
meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia
pode ser resumida pela função de produção:
Q = 4KL
em que Q é o número de motores por semana, K é o número de máquinas, e L o
número de equipes de trabalho. Cada máquina é alugada ao custo r = $12.000 por
semana e cada equipe custa w = $3.000 por semana. O custo dos motores é dado pelo
custo das equipes e das máquinas mais de $2.000 de matérias primas por motor. Sua
fábrica possui 10 máquinas de montagem.
a) Qual é a função de custo de sua fábrica – isto é, quanto custa produzir Q motores?
Quais os custos médio e marginal para produzir Q motores? Como os custos médios
variam com a produção?
O número de motores disponíveis é 10, logo Q = 40L e L = Q/40.
CT = 12000*K + 3000*L + 2000Q
CT = 120000 + 75Q + 2000Q
CT = 120000 + 2075Q
CMe = (120000 + 2075Q)/Q = 120000/Q + 2075
CMarginal = 2075
O custo marginal é constante enquanto o custo médio é decrescente.
b) Quantas equipes são necessárias para produzir 80 motores? Qual o custo médio
por motor?
L = Q/40
Com Q=80, são necessárias 2 equipes.
CMe = 120000/80 + 2075 = 3575
c) Solicitaram a você que fizesse recomendações para o projeto de uma nova fábrica.
O que você sugeriria? Em particular, com que relação capital/trabalho (K/L) a nova
planta deveria operar? Se custos médios menores fossem o único critério, você
sugeriria que a nova fábrica tivesse maior ou menor capacidade que a atual?
[Fácil] Q16 - Custos
A função de custo total a curto prazo de uma empresa expressa pela equação C = 190
+ 53Q, em que C é o custo total e Q é a quantidade total produzida, sendo ambos
medidos em dezenas de milhares de unidades.
a) Qual é o custo fixo da empresa?
O custo fixo é 190
b) Caso a empresa produzisse 100.000 unidades de produto, qual seria seu custo
variável médio?
Q será 10, pois é medido em dezenas de milhares
O custo variável médio seria (53*10)/10= 53
c) Qual é o custo marginal por unidade produzida?
O custo marginal é 53
d) Qual é seu custo fixo médio?
O custo fixo médio é dado por 190/Q
[Fácil] Q17 - Função de produção
17) Suponha que você seja administrador de uma empresa fabricante de relógios de
pulso, operando em um mercado competitivo. Seu custo de produção é expresso pela
equação: C = 100 + Q² , em que Q é o nível de produção e C é o custo total. (O custo
marginal de produção é 2Q. O custo fixo de produção é de $100).
C = 100 + Q²
CMg = 2Q
CF = 100
P = 60
a) Se o preço dos relógios for de $60, quantos relógios você poderá produzir para
maximizar o lucro?
P = CMg
60 = 2Q
Q = 30
b) Qual será o nível de lucro?
L = RT - CT
RT = 60*30 = 1800
CT = 100 + 30² = 1000
L = 1800 - 1000 = 800
c) Qual será o preço mínimo no qual a empresa apresentará uma produção positiva?
CVMe = CV/Q = Q²/Q = Q
Cmg = 2Q
Cmg > Cvme para Q>0, logo qualquer valor
[Médio] Q18 - Função de produção
18) A empresa MMMT tem direito exclusivo de venda para as camisetas modelo
Mutant Turtle nos EUA. A demanda dessas camisetas é expressa por Q = 10.000/P² . O
custo total da empresa a curto prazo é CTCP = 2.000 + 5Q, e seu custo total a longo
prazo é expresso por CTLP = 6Q.
a) Que preço deverá ser cobrado pela MMMT para haver maximização do lucro no
curto prazo? Que quantidade será vendida e qual o lucro gerado? Seria melhor
encerrar as atividades da empresa a curto prazo?
b) Que preço deverá ser cobrado no longo prazo pela MMMT? Que quantidade será
vendida e qual o lucro gerado? Seria melhor encerrar as atividades da empresa a
longo prazo?
[Resolver] Q19 - Oligopólio
19) Defina o que você entende por oligopólio e explique como se estabelece preço em
mercados oligopolizados com liderança de preço e com rigidez de preço (Curva de
demanda quebrada).
Definição: situação de mercado em que poucas empresas detêm o controle da maior
parcela do mercado.