24 - Potencial Elétrico

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CAPÍTULO 24
POTENCIAL ELÉTRICO
ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA
• Uma carga acelerada por um campo elétrico é 
análoga a uma massa descendo uma colina;
• Em ambos os casos, a energia potencial diminui à 
medida que a energia cinética aumenta, −∆𝑈 = ∆𝐾
• O trabalho é realizado por uma força conservativa, e 
por isso podemos escrever 𝑊 =–𝛥𝑈
Conservação da energia: ∆𝑈 + ∆𝐾 = 0
Conservação da energia: ∆𝑈 + ∆𝐾 = 0
POTENCIAL E ENERGIA POTENCIAL
Massa 𝑀 Carga ±𝑸
Gera
𝐠 = −𝐺
𝑀
𝑟2
ො𝐫 𝐄 = 𝑘𝑒
𝑄
𝑟2
ො𝐫
“Sente” Ԧ𝐅𝑔 = 𝑚𝐠 Ԧ𝐅𝐸 = 𝑞𝐄
Corpo de Prova Carga de Prova
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
𝑊𝑔 = ∫ Ԧ𝐅𝑔 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐬
𝑊𝑔 = න
𝐴
𝐵
−
𝐺𝑀𝑚
𝑟2
ො𝐫 ⋅ (𝑑𝑟ො𝐫 + 𝑟𝑑𝜃෡𝜽)
𝑊𝑔 = න
𝑟𝐴
𝑟𝐵
−
𝐺𝑀𝑚
𝑟2
𝑑𝑟
𝑊𝑔 =
𝐺𝑀𝑚
𝑟 𝑟𝐴
𝑟𝐵
= 𝐺𝑀𝑚
1
𝑟𝐵
−
1
𝑟𝐴
𝑊𝑔 é o trabalho realizado pelo campo gravitacional e não depende do caminho
Não depende
do caminho
∮ Ԧ𝐅 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐬 = 0
𝑊𝑔 < 0
TRABALHO REALIZADO 
PRÓXIMO À SUPERFÍCIE
𝐠 ≈ −
𝐺𝑀
𝑟𝑇
2 ො𝐲 = −𝑔ො𝐲
𝑊𝑔 = ∫ Ԧ𝐅𝑔 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐬 = න
𝐴
𝐵
(−𝑚𝑔ො𝐲) ⋅ 𝑑Ԧ𝐬
𝑊𝑔 = −න
𝑦𝐴
𝑦𝐵
𝑚𝑔𝑑𝑦 = −𝑚𝑔 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
∮ Ԧ𝐅 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐬 = 0
CAMPO GRAVITACIONAL É CONSERVATIVO
• Podemos definir a Energia Potencial Gravitacional
∆𝑈𝑔 = 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 = −න
𝐴
𝐵
Ԧ𝐹𝑔. 𝑑 Ԧ𝑠 = −𝑊𝑔 +𝑊𝑒𝑥𝑡
𝑈𝑔 = −
𝐺𝑀𝑚
𝑟
+ 𝑈0
𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑦 + 𝑈0
• A energia 𝑈0 é uma constante arbitrária que depende de um ponto de referência. Sempre 
buscamos um ponto tal que: 
𝑈0 = 0
POTENCIAL GRAVITACIONAL
• Definimos o potencial gravitacional como a energia potencial gravitacional por 
unidade de massa de prova:
𝑉𝑔 =
𝑈𝑔
𝑚
Δ𝑉𝑔 = −න
𝐴
𝐵 Ԧ𝐅𝑔
𝑚
⋅ 𝑑Ԧ𝐬
Δ𝑉𝑔 = −න
𝐴
𝐵
𝐠 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐬
Δ𝑉 = −න
𝐴
𝐵
𝐄 ⋅ 𝑑Ԧ𝐬
Δ𝑈 = −න
𝐴
𝐵
FE ⋅ 𝑑 Ԧ𝐬
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA
• Formalmente, a variação na energia 
potencial entre dois pontos, 𝑎 e 𝑏, é igual 
ao trabalho negativo realizado pela força 
conservativa quando uma carga de prova 
se move de 𝑎 até 𝑏.
𝛥𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =
𝑈𝑏−𝑈𝑎
𝑞0
= −
𝑊𝑎𝑏
𝑞0
𝑊𝑎𝑏 = න
𝑎
𝑏
Ԧ𝐹 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑠 = 𝑞0න
𝑎
𝑏
𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑠
Δ𝑉 =
Δ𝑈
𝑞0
= −න
𝑎
𝑏
𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑠
Independe da carga de prova
TOPOGRAFIAS DE 
POTENCIAL
• Cargas “fonte” GERAM topografias de 
potencial:
𝑉 Ԧ𝑟 = 𝑉0 + ∆𝑉 = 𝑉0 −න
"0"
𝑟
𝐄 ⋅ 𝑑𝐬
• Cargas “de prova” SENTEM as 
topografias de potencial
𝑈 Ԧ𝑟 = 𝑞𝑉(Ԧ𝑟)
EXEMPLO 1
Uma carga 𝑄 = +3.0 𝑛𝐶 está inicialmente em repouso a uma distância (𝑟1= 10𝑐𝑚) de uma carga 𝑞 =
+ 5.0 𝑛𝐶 fixada na origem. Se essa carga é acelerada até chegar a 𝑟2
• Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico entre 𝑟1 e 𝑟2?
• Quanta energia cinética 𝑄 terá ao chegar em 𝑟2?
𝑊12 = න
𝑟1
𝑟2
Ԧ𝐹 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑟 = න
𝑟1
𝑟2 𝑘𝑞𝑄
𝑟2
𝑑𝑟 = −
𝑘𝑞𝑄
𝑟
𝑟1
𝑟2
= 𝑘𝑞𝑄
−1
𝑟2
+
1
𝑟1
W𝑒𝑙 = 8.99 × 10
9Nm2/C2 5.0 × 10−9C 3.0 × 10−9C
−1
0.15m
+
1
0.10m
𝑊𝑒𝑙 = 4.5 × 10
−7𝐽 = ∆𝐾 = 𝐾𝑓
Se 𝑄 tivesse uma massa de 4𝜇𝑔 qual seria a velocidade de 𝑄 em 𝑟2?
EXEMPLO 2
Uma carga 𝑄 = +3.0 𝑛𝐶 está inicialmente em repouso a uma distância (𝑟1= 10𝑐𝑚) de uma carga 𝑞 =
+ 5.0 𝑛𝐶 fixada na origem. Se essa carga é acelerada até chegar a 𝑟2, qual é a variação na energia 
potencial do sistema de duas cargas de 𝑟1para 𝑟2?
∆𝑈12= −න
𝑟1
𝑟2
Ԧ𝐹 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑟 = −න
𝑟1
𝑟2 𝑘𝑞𝑄
𝑟2
𝑑𝑟 = −
𝑘𝑞𝑄
𝑟 𝑟1
𝑟2
= −𝑘𝑞𝑄
−1
𝑟2
+
1
𝑟1
= − 8.99 × 109Nm2/C2 5.0 × 10−9C 3.0 × 10−9C
−1
0.15m
+
1
0.10m
= −4.5 × 10−7J
∆𝑈 = −∆𝐾
UNIDADES
• As unidades de Potencial Elétrico são:
𝑉 =
𝑈
𝑞
→ 𝑉(𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠) =
𝐽
𝐶
• As unidades para o campo elétrico são atualizadas:
1
N
C
= 1
N
C
1V
1J
C
1J
1N ⋅ m
= 1
𝑉
𝑚
• O elétron-volt é definido como o trabalho necessário para deslocar uma 
carga elementar 𝑒 (como do elétron ou do próton) quando a diferença de 
potencial entre o ponto inicial e o ponto final é de um volt:
1𝑒𝑉 = 1.602 × 10−19𝐽
SUPERFÍCIES 
EQUIPOTENCIAIS
• É importante notar que as linhas 
equipotenciais são sempre perpendiculares às 
linhas de campo elétrico. Nenhum trabalho é 
necessário para mover uma carga ao longo de 
uma equipotencial, uma vez que 𝛥𝑉 = 0
CÁLCULO DO POTENCIAL A PARTIR DO CAMPO
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = −න
𝑖
𝑓
𝐸. 𝑑 Ԧ𝑠
• Se o potencial 𝑉𝑖 do ponto i é tomado como zero:
𝑉 = −න
𝑖
𝑓
𝐸. 𝑑 Ԧ𝑠
𝐸. 𝑑 Ԧ𝑠 = 𝐸𝑑𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐸𝑑𝑠
∆𝑉 = −𝐸∆𝑥
𝑉 = −𝐸𝑑
EXEMPLO
• Duas grandes placas condutoras carregam cargas iguais e opostas, 
com densidade de carga superficial 𝜎 de magnitude 6.81 ×
10−7 𝐶/𝑚2, como mostrado na figura ao lado. A separação entre 
as placas é 𝑙 = 6.50 𝑚𝑚. (a) Qual é o campo elétrico entre as 
placas? (b) Qual é a diferença de potencial entre as placas? (c) Qual 
é a distância entre os planos equipotenciais que diferem por 100 V?
EXEMPLO
• Campo elétrico:
𝐸 =
𝜎
𝜀0
=
6.81 × 10−7C/m2
8.85 × 10−12C2/N ⋅ m2
= 7.69 × 104V/m
• Se definirmos que a integral de trajetória se inicia na placa à esquerda; 
Δ𝑉 = −∫ 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑙 = −𝐸∫ 𝑑𝑙 = −𝐸𝑙 = − 7.69 × 104 Τ𝑉 𝑚 6.50 × 10−3m = −500V
• Onde
∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = −500𝑉 → 𝑉𝑖 = 𝑉𝑓 + 500𝑉
𝑉𝑖
𝑉𝑓
Façam o mesmo cálculo fazendo com que a integral se inicie na placa à direita
POTENCIAL DE CARGAS 
PONTUAIS
Em analogia ao campo gravitacional: 
𝑉 𝑟 = ±
𝑘𝑒𝑄
𝑟
Uma carga positivamente carregada 
produz um potencial elétrico positivo
EXEMPLO
• As cargas em eletricidade estática são tipicamente na faixa desde nanocoulomb (𝑛𝐶) até 
microcoulomb (𝜇𝐶). Qual é a tensão/voltagem a 5.00 𝑐𝑚 do centro de uma esfera de metal sólido de 
1 𝑐𝑚 de diâmetro que tem uma carga estática de −3.00 𝑛𝐶?
V = 𝑘
𝑞
r
= 8.99 × 109
N ⋅ m2
C2
−3.0 × 10−9C
5.0 × 10−2m
= −539 𝑉
EXEMPLO
• O campo elétrico na superfície 
de uma esfera sólida de cobre 
de raio 0.200 𝑚 é 3800 V/m, 
dirigido para o centro da esfera. 
Qual é o potencial no centro da 
esfera se nós assumimos que o 
potencial infinitamente longe 
da esfera é zero?
• Uma esfera metálica deve ter campo 
nulo em seu interior;
• Se o campo é nulo, toda a esfera é uma 
equipotencial;
• O potencial eletrostático é contínuo; o potencial 
no centro da esfera é igual ao potencial na 
superfície:
1. Calculamos a carga necessária para justificar o campo 
elétrico;
2. Calculamos o potencial na superfície.
SOLUÇÃO
• Carga em função do campo:
𝑞 = 4𝜋𝜖0𝐸𝑟
2 =
(3800𝑉/𝑚)(0.200m)2
8.99 × 109N ⋅ m2/C2
= 1.69 × 10−8C
• Potencial eletrostático:
𝑉 =
𝑞
4𝜋𝜖0𝑟
=
8.99 × 109N ⋅ m2/C2 −1.69 × 10−8C
0.200m
= −760V
Este é o potencial em todo o interior e na superfície da esfera.
POTENCIAL PRODUZIDO POR UM 
GRUPO DE PARTÍCULAS 
CARREGADAS
𝑉𝑃 =෍
𝑖
𝑁
𝑘
𝑞𝑖
𝑟𝑖
= 𝑘෍
𝑖
𝑁
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Energia potencial de uma carga de teste trazida 
até este arranjo de cargas:
𝑈𝑃 = 𝑞𝑡𝑉𝑃 = 𝑞𝑡𝑘෍
𝑖
𝑁
𝑞𝑖
𝑟𝑖
EXEMPLO
• Determine o potencial elétrico nos pontos A 
e B
𝑉A = 𝑉A2 + 𝑉A1
𝑉𝐴 = 𝑘
𝑄2
𝑟2A
+ 𝑘
𝑄1
𝑟1A
𝑉A =
9.0 × 109N ⋅ m2/C2 5.0 × 10−5C
0.30m
+
9.0 × 109N ⋅ m2/C2 −5.0 × 10−5C
0.60m
= 1.50 × 106V − 0.75 × 106V
= 7.5 × 105V
EXEMPLO
• Potencial elétrico no ponto B
𝑉B = 𝑉𝐵2 + 𝑉𝐵1
𝑉𝐵 = 𝑘
𝑄2
𝑟2B
+ 𝑘
𝑄1
𝑟1B
𝑉A =
9.0 × 109N ⋅ m2/C2 5.0 × 10−5C
0.40m
+
9.0 × 109N ⋅ m2/C2 −5.0 × 10−5C
0.40m
= 0.75 × 106V − 0.75 × 106V
= 0𝑉
POTENCIAL PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO
𝑉𝑃 = 𝑉+ + 𝑉− = 𝑘𝑒
𝑞
𝑟+
−
𝑞
𝑟−
• Pontos afastados do dipolo:
𝑟 >> 𝑑 ⇒ ൝
𝑟(−)− 𝑟(+) ≈ 𝑑cos 𝜃
𝑟(−)𝑟(+) ≈ 𝑟
2
𝑉( Ԧ𝑟) = 𝑘𝑒
𝑝𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟2
= 𝑘𝑒
Ԧ𝑝 ⋅ Ԧ𝑟
𝑟3
V DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS DE CARGA
𝑉(Ԧ𝑟) = න
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞(Ԧ𝑟′)
Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟′
𝑑𝑞 = ቐ
𝜆𝑑𝑙 (uma dimensão)
𝜎𝑑𝐴 (duas dimensões)
𝜌𝑑𝑉 (três dimensões)
POTENCIAL DE UMA LINHA DE CARGA
𝑉𝑃 = 𝑘∫
𝑑𝑞
𝑟
= 𝑘න
−𝐿/2
𝐿/2 𝜆𝑑𝑦
𝑥2 + 𝑦2
= 𝑘𝜆 ln 𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2
−𝐿/2
𝐿/2
𝑉𝑃 = 𝑘𝜆 ln
𝐿
2
+
𝐿
2
2
+ 𝑥2 − ln −
𝐿
2
+ −
𝐿
2
2
+ 𝑥2
𝑉𝑃 = 𝑘𝜆ln
𝐿 + 𝐿2 + 4𝑥2
−𝐿 + 𝐿2 + 4𝑥2
POTENCIAL DEVIDO A UM ANEL DE CARGA
𝑉𝑃 = 𝑘∫𝑑𝑞
𝑟
𝑉𝑃 = 𝑘න
0
2𝜋 𝜆𝑅𝑑𝜃
𝑧2 + 𝑅2
=
𝑘𝜆𝑅
𝑧2 + 𝑅2
න
0
2𝜋
𝑑𝜃
𝑉𝑃 =
2𝜋𝑘𝜆𝑅
𝑧2 + 𝑅2
= 𝑘
𝑞tot
𝑧2 + 𝑅2
POTENCIAL DEVIDO A UM DISCO DE CARGA
𝑑𝑉𝑃 = 𝑘𝑒
𝑑𝑞
𝑧2 + 𝑟2
𝑑𝑞 = 𝜎2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑉𝑃 = ∫ 𝑑𝑉𝑃 = 𝑘𝑒2𝜋𝜎න
0
𝑅 𝑟𝑑𝑟
𝑧2 + 𝑟2
𝑉𝑃 = 𝑘𝑒2𝜋𝜎 𝑧
2 + 𝑅2 − 𝑧2
EXEMPLO - EQUIPOTENCIAIS DE UMA 
DISTRIBUIÇÃO CILÍNDRICA
• Um cilindro muito longo de 2.00 𝑐𝑚 raio tem uma densidade de carga de 
1.50 𝑛𝐶/𝑚. (a) Descreva o formato das superfícies equipotenciais para este 
cilindro. (b) Usando o nível de referência para que seja zero na superfície do 
cilindro, encontre o raio das superfícies equipotenciais com valores de 
potencial: 10 𝑉;20𝑉 𝑒 30𝑉.(c) As superfícies equipotenciais são igualmente 
espaçadas? Se não, elas se tornam mais próximas ou mais afastadas 
conforme 𝑟 aumenta?
SOLUÇÃO
• Usando a Lei de Gauss:
∮ 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝑞𝑖𝑛𝑡
𝜀0
=
λL
𝜀0
𝐸 =
λ
2𝜋𝑟𝜀0
Obtemos então o potencial:
𝑉 = න
𝑅
𝑟
𝐸 ⋅ ҧ𝑑𝑟 =
𝜆
2𝜋𝜀0
න
𝑅
𝑟 𝑑𝑟
𝑟
=
𝜆
2𝜋𝜀0
l n
𝑟
𝑅
Sabendo que 
2𝜋𝜀0

= 0.037
𝑟(𝑉) = 2𝑒0.037𝑉
𝑟 10𝑉 = 2𝑒0.37 = 2.90𝑐𝑚 ∆𝑟 = 0.90𝑐𝑚
𝑟 20𝑉 = 2𝑒0.74 = 4.19𝑐𝑚 (∆𝑟 = 1.29𝑐𝑚)
𝑟 30𝑉 = 2𝑒1.11 = 6.07𝑐𝑚 (∆𝑟 = 1.88𝑐𝑚)
CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL
Já vimos que:
Δ𝑉 = −න
𝐴
𝐵
𝐄 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐬
Podemos escrever então:
𝑑𝑉 = −𝐄 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐬
Ou, para campos unidimensionais:
𝐸𝑥 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑥
• Em geral:
𝐸 = −∇𝑉
∇= Ƹ𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ Ƹ𝑗
𝜕
𝜕𝑦
+ ෠𝑘
𝜕
𝜕𝑧
∇= Ƹ𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+ ො𝜑
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜑
+ Ƹ𝑧
𝜕
𝜕𝑧
∇= Ƹ𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+ መ𝜃
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
+ ො𝜑
1
𝑟sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜑
Cartesianas
Cilíndricas
Esféricas
Operador
gradiente
https://mathinsight.org/directional_derivative_gradient_introduction
https://mathinsight.org/directional_derivative_gradient_introduction
EXEMPLO – CAMPO DE UMA CARGA PONTUAL
• Temos que
𝑉 𝑟 =
𝑘𝑒𝑞
𝑟
• Em coordenadas esféricas:
Ԧ𝐸 = − Ƹ𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+ Ƹ𝜃
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
+ Ƹ𝜑
1
𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝜕
𝜕𝜑
𝑘
𝑞
𝑟
𝐸 = −𝑘𝑞 Ƹ𝑟
−1
𝑟2
+ መ𝜃0 + ො𝜑0 = 𝑘
𝑞
𝑟2
Ƹ𝑟
EXEMPLO: CAMPO DE UM ANEL DE CARGA
𝑉 = 𝑘
𝑞𝑡𝑜𝑡
𝑧2 + 𝑅2
𝐸𝑧 = −
𝜕
𝜕𝑧
𝑘𝑞tot
𝑧2 + 𝑅2
= 𝑘
𝑞tot𝑧
𝑧2 + 𝑅2 3/2
EXEMPLO: CAMPO DE UM DISCO DE CARGA
𝑉𝑃 = 𝑘𝑒2𝜋𝜎 𝑧
2 + 𝑅2 − 𝑧
𝐸𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= −𝑘𝑒2𝜋𝜎
𝑑
𝑑𝑧
𝑧2 + 𝑅2 − 𝑧
𝐸𝑧 = 𝑘𝑒2𝜋𝜎 1 −
𝑧
𝑧2 + 𝑅2
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE 
UM SISTEMA DE PARTÍCULAS 
CARREGADAS
Construção de um Sistema de Quatro Cargas 
Positivas
Determine a quantidade de trabalho que um 
agente externo deve realizar na montagem de 
um sistema consistindo de quatro cargas 
+ 2.0 𝜇𝐶, +3.0 𝜇𝐶,+4.0 𝜇𝐶, e +5.0 𝜇𝐶 nos 
vértices de um quadrado de 1.0 cm de lado, 
sendo que cada carga parte do infinito 
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE 
PARTÍCULAS CARREGADAS
• Primeiro trazemos a carga +2.0𝜇𝐶 para a origem. Uma vez que 
não há outras cargas a uma distância finita desta carga ainda, 
nenhum trabalho é realizado em trazê-la do infinito,
• 𝑊1 = 0
• Enquanto mantemos a carga +2.0 𝜇𝐶 fixada na origem, trazemos a 
carga +3.0 𝜇𝐶 para 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,0,0 . Agora, a força aplicada 
deve trabalhar contra a força exercida pela carga +2.0𝜇𝐶 fixada 
na origem. O trabalho realizado é igual à variação na energia 
potencial da carga +3.0𝜇𝐶:
• 𝑊2 = 𝑘
𝑞1𝑞2
𝑟12
= 9.0 × 109
N⋅m2
C2
2.0×10−6C 3.0×10−6C
1.0×10−2m
= 5.4J
O potencial da carga 1 é:
𝑉1 =
𝑘𝑞1
𝑟
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE 
PARTÍCULAS CARREGADAS
• Mantendo as cargas de +2.0 𝜇𝐶 e +3.0 𝜇𝐶 fixadas em seus lugares, traremos agora a carga 
+ 4.0𝜇𝐶 para (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,1,0). O trabalho realizado nesta etapa é:
𝑊3 = 𝑘
𝑞1𝑞3
𝑟13
+ 𝑘
𝑞2𝑞3
𝑟23
𝑊3 = 9.0 × 10
9
N ⋅ m2
C2
2.0 × 10−6C 4.0 × 10−6C
2 × 10−2m
+
3.0 × 10−6C 4.0 × 10−6C
1.0 × 10−2m
= 15.9J
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE 
PARTÍCULAS CARREGADAS
• Por fim, mantendo as três primeiras cargas em seus lugares, traremos a carga +5.0 𝜇𝐶
para a posição (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,1,0). O trabalho realizado neste passo é:
𝑊4 = 𝑘𝑞4
𝑞1
𝑟14
+
𝑞2
𝑟24
+
𝑞3
𝑟34
= 9.0 × 109
N ⋅ m2
C2
5.0 × 10−6C
2.0 × 10−6C
1.0 × 10−2m
+
3.0 × 10−6C
2 × 10−2m
+
4.0 × 10−6C
1.0 × 10−2m
= 36.5J
• Assim, o trabalho total realizado pela força aplicada na construção do sistema com as 
quatro cargas é igual à soma dos trabalhos em trazer cada carga do infinito até a sua 
posição final:
𝑊𝑇 = 𝑊1 +𝑊2 +𝑊3 +𝑊4 = 0 + 5.4 𝐽 + 15.9 𝐽 + 36.5 𝐽 = 57.8 𝐽
ENERGIA POTENCIAL DE DUAS 
CARGAS PUNTIFORMES
𝑉LJ 𝑟 = 4𝜀
𝜎
𝑟
12
−
𝜎
𝑟
6
EXEMPLO DE CONVERSÃO DE ENERGIA POTENCIAL 
EM CINÉTICA
• Uma partícula alfa (que possui dois prótons) está rumando diretamente para o centro de um núcleo 
que contém 92 prótons. A partícula alfa possui uma energia cinética inicial de 0.48 𝑝𝐽. Qual é a menor 
distância centro a centro a que a partícula alfa consegue chegar do núcleo, supondo que o núcleo seja 
mantido fixo no lugar?
𝐾𝑖 = 4.8 × 10
−13𝐽 = −𝑈𝑓
𝑈𝑓 =
𝐾𝑒𝑞𝑄
𝑟
=
9 × 109 2𝑒 92𝑒
𝑟
=
4.24 × 10−26
𝑟
𝑟 = 8.8 × 10−14𝑚
CONDUTORES EM 
EQUILÍBRIO 
ELETROSTÁTICO
Uma carga em excesso colocada em um 
condutor se distribui na superfície do condutor 
de tal forma que o potencial é o mesmo em 
todos os pontos do condutor (tanto na superfície 
como no interior). Isto acontece, mesmo que o 
condutor tenha uma cavidade interna e mesmo 
que a cavidade interna contenha uma carga 
elétrica.
POTENCIAL DE UM 
CONDUTOR ESFÉRICO 
CARREGADO
EFEITO DE PONTAS
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅
1
4𝜋𝜀0
𝑞1
𝑅1
=
1
4𝜋𝜀0
𝑞2
𝑅2
𝑞1
𝑅1
=
𝑞2
𝑅2
𝑞 = 𝜎(4𝜋𝑅2)
𝜎1𝑅1 = 𝜎2𝑅2
Onde o raio de curvatura é grande 𝜎 e 𝐸 são pequenos