ANÁLISE COMBINATÓRIA

Prévia do material em texto

Matemática
Professor Elton Soares
_1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. EXEMPLO
Em determinada confraternização há 12 moças e 10 rapazes, 
onde 5 deles (3 moças e 2 rapazes) são filhos da mesma mãe 
e os restantes não possuem parentesco. Quantos são os 
casamentos possíveis entre homens e mulheres?
.
EXERCÍCIOS
1. (CESPE/UnB – INMETRO) Se uma moeda for lançada 5 vezes, o 
número de sequências diferentes de cara e coroa que poderão 
ser obtidas será igual a:
a. 20.
b. 2.
c. 10.
d. 24.
e. 25.
2. (CESPE/UnB – TJ – PA – ANALISTA JUDICIÁRIO – 2020) Em um 
sistema de acesso a uma rede de computadores, os usuários 
devem cadastrar uma senha de 6 dígitos, que deve ser formada 
da seguinte maneira:
• os 2 primeiros dígitos devem ser letras minúsculas distintas, 
escolhidas entre as 26 letras do alfabeto;
• os demais 4 dígitos da senha devem ser números inteiros 
entre 0 e 9, admitindo-se repetição.
Nessa situação, a quantidade de senhas diferentes que podem 
ser formadas é igual a
a. 3.674.
b. 5.690.
c. 1.965.600.
d. 3.276.000.
e. 6.500.000.
3. (CESPE/UnB – TRT) Para a codificação de processos, o 
protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo 
duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, 
escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem 
sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se 
seguem.
 ) ( O número de processos que podem ser codificados por 
esse sistema é superior a 650.000.
 ) ( O número de processos que podem ser codificados 
por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas 
primeiras posições do código é superior a 28.000.
 ) ( O número de processos que podem ser codificados por 
esse sistema de modo que em cada código não haja 
repetição de letras e de algarismos é superior a 470.000. 
4. (FGV – 2017) Cinco pessoas de diferentes alturas devem 
ocupar as cinco cadeiras abaixo para uma fotografia. 
O fotógrafo pediu que nem o mais baixo nem o mais alto 
ocupassem as cadeiras das extremidades. Respeitando essa 
condição, o número de maneiras como as pessoas podem se 
posicionar para a fotografia é 
a. 12. 
b. 18. 
c. 24. 
d. 36. 
e. 72.
5. (CESPE/UnB – SEPLAG – APOIO ADMINISTRATIVO) Julgue o item:
 ) ( A quantidade de boletos de uma rifa cujos números 
tenham 3 algarismos distintos escolhidos no conjunto {1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e sejam inferiores a 350 é inferior a 100.
6. (CESPE/UnB – ADAPTADA - 2018) Considere que, em um 
sistema de emplacamento de veículos, a identificação das 
placas seja iniciada com três letras, escolhidas entre as 26 
letras do alfabeto, seguidas de quatro algarismos distintos, 
escolhidos entre os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Com base nessas 
informações, julgue o item a seguir:
 ) ( Nesse caso, o número máximo de veículos que podem ser 
licenciados é superior a 10 x 26 x 133.
GABARITO
1. E 2. E 3. CEE 4. D 5. E 6. C
2. PERMUTAÇÕES SIMPLES
Permutação simples é o arranjo em que n = P
Pn = n!
Fatorial de n
n! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)...2.1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! 6.5.4! = 720
7! = 5040
.
.
.
Matemática | Elton Soares
_2
EXERCÍCIOS
1. (FUNIVERSA - 2015 - SEGPLAN-GO - Perito Criminal) A partir 
de determinada palavra, podem-se formar anagramas dessa 
palavra, que consistem na troca de posição de suas letras. 
A quantidade de anagramas, que começam e terminam com 
consoante, que é possível formar com a palavra PERITO é igual
a. 144.
b. 148.
c. 150.
d. 152.
e. 154.
2. (CESPE/UnB – FUB – 2018) Considerando que 4 livros distintos 
de matemática e 6 livros distintos de física devam ser 
acomodados em uma estante, de modo que um fique ao lado 
do outro, julgue o item seguinte.
 ) ( A quantidade de maneiras distintas de se acomodar esses 
livros na estante de forma que os livros de matemática 
fiquem todos à esquerda dos livros de física é igual a 720.
3. (CESPE/UnB – BNB – 2018) Julgue os próximos itens, relativos 
a análise combinatória. 
 ) ( A quantidade de números naturais distintos, de cinco 
algarismos, que se pode formar com os algarismos 1, 
2, 3, 4 e 5, de modo que 1 e 2 fiquem sempre juntos e em 
qualquer ordem, é inferior a 25. 
 ) ( A quantidade de maneiras distintas de 5 meninos e 4 
meninas serem organizados em fila única de forma que 
meninos e meninas sejam intercalados e 2 meninos ou 2 
meninas nunca fiquem juntos é inferior a 3.000. 
4. (CESPE/UnB – SEFAZ/RS – 2018) Sete pessoas se dirigem 
para formar uma fila em frente ao único caixa de atendimento 
individual em uma agência bancária. Dessas sete pessoas, 
quatro são idosos. Um servidor da agência deverá organizar a 
fila de modo que os idosos sejam atendidos antes dos demais.
Nessa situação, a quantidade de maneiras distintas de se 
organizar a fila é igual a
a. 5.040.
b. 720.
c. 576.
d. 288.
e. 144.
5. (CESPE/UnB – POLÍCIA FEDERAL) Conta-se na mitologia grega 
que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. 
Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, 
que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas 
por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. 
Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, 
capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de Erimanto. 
Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar 
uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem 
executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente 
aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho 
seja executado de cada vez. Com relação ao número de 
possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens 
subseqüentes. 
 ) ( O número máximo de possíveis listas contendo os 
trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali 
de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer 
ordem, é inferior a 6! × 8!.
 ) ( O número máximo de possíveis listas contendo os 
trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira 
posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira 
posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6. 
 ) ( O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho 
“matar o leão de Neméia” na primeira posição é inferior a 
240 × 990 × 56 × 30.
 ) ( O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia 
preparar é superior a 12 × 10!.
6. (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos – entre 
eles Caio e Beto – e seis meninas – entre elas Ana e Beatriz 
- compra ingressos para nove lugares localizados lado a 
lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam 
sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo 
pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-
se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de 
salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-
se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com 
essas informações, o número de diferentes maneiras que 
esses amigos podem sentar-se é igual a:
a. 1.920 
b. 1.152 
c. 960 
d. 540 
e. 860
GABARITO
1-A 2-E 3-EC 4-E 5-CECC 6-A
3. PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO
Quando temos n elementos dos quais n1 são repetidos, n2 são 
repetidos e assim por diante, então o número de permutações 
que podemos formar é:
EXERCÍCIOS
1. (CESPE/UnB - SEPLAG – Monitor) Julgue o item seguinte a 
respeito de permutações.
 ) ( Com 3 letras A e 7 letras B formam-se 120 sequências 
distintas de 10 letras cada.
2. (CESPE/UnB – BB - SP) Julgue o item que se segue, a respeito 
de contagem. 
 ) ( A quantidade de permutações distintas que podem 
ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que 
começam e terminam com R, é igual a 60.
3. (CESPE/UnB – ANAC) Julgue:
P
n
n1, n2, ..., nk = 
n!
n1,! n2!, ..., nk!
Matemática | Elton Soares
_3
 ) ( Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma 
permutação das letras dessa palavra, tendo ou não 
significado na linguagem comum, α seja a quantidade 
de anagramas possíveis de se formar com a palavra 
AEROPORTO, β seja a quantidade de anagramas 
começando por consoante e terminando por vogal 
possíveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo 
que 9! =362.880 e 5! = 120,então α = 21β.
4. (CESPE/UnB – MPE – AM) Julgue o item a seguir.
 ) ( Considere que um painel deva ser montado utilizando-se 4 
peças em forma de losangos (indistinguíveis), 6 em forma 
de círculos (indistinguíveis) e 2 em forma de triângulos 
(indistinguíveis). A quantidade de maneiras que se pode 
construir esse painel, colocando-se uma peça ao lado da 
outra, é inferior a 14.000.
5. (CESPE/UnB – TCE - RONDÔNIA – 2013) Considerando que, em 
uma pesquisa de rua, cada entrevistado responda sim ou não 
a cada uma de dez perguntas feitas pelos entrevistadores, 
julgue o item seguinte. 
 ) ( Serão cem maneiras distintas de um entrevistado 
responder sim a três perguntas e não às demais. 
6.( ) (CESPE/UnB) Considerando-se que um anagrama da 
palavra ANATEL seja uma permutação das letras dessa 
palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, 
que n1 seja a quantidade de anagramas distintos que é 
possível formar com essa palavra e n2 seja a quantidade 
de anagramas distintos dessa palavra que começam por 
vogal, então .
7. (CESPE/UnB – TRE) Julgue:
 ) ( Se um anagrama de uma palavra é uma permutação de 
suas letras, então a quantidade de anagramas da palavra 
PARTIDO é igual à quantidade de anagramas da palavra 
POLÍTICO que começam por vogal.
8. (CESPE/UnB – MMA) O Brasil faz parte de um grupo de 15 
países denominados megadiversos, que, juntos, abrigam 
cerca de 70% da biodiversidade do planeta. No Brasil, existem 
6 regiões com uma diversidade biológica própria, os chamados 
biomas. Por exemplo, o bioma caatinga, no nordeste do 
país, ocupa uma área de aproximadamente 844.452 km2; o 
bioma pantanal, no centro-oeste do país, ocupa uma área de 
aproximadamente 150.500 km2.
A Comissão Nacional de Biodiversidade (CONABIO), que atua 
fundamentalmente na implementação da política nacional 
de biodiversidade, é constituída pelo presidente e mais 6 
membros titulares, tendo estes 6 últimos 2 suplentes cada.
No Programa Nacional de Florestas, há alguns projetos 
em andamento, como, por exemplo, o Plano Nacional de 
Silvicultura com Espécies Florestais Nativas (P1) e o Plano de 
Recuperação de Áreas Degradadas (P2).
Com base nessas informações e no texto acima, julgue 
 ) ( Por definição, um anagrama de uma palavra é uma 
permutação das letras dessa palavra, formando uma 
seqüência de letras que pode ou não ter significado 
em língua portuguesa. Dessa forma, a quantidade de 
anagramas que podem ser formados com a palavra 
CONABIO de modo que fiquem sempre juntas, e na mesma 
ordem, as letras de cada palavra utilizada na formação 
dessa sigla é superior a 7. 
GABARITO
1-C 2-C 3-C 4-C 5-E
6-C 7-C 8-E
4. AGRUPAMENTOS SIMPLES
4.1. Arranjo Simples
Denominamos arranjos de n elementos distintos p a p às 
sucessões formadas de p termos distintos escolhidos entre os 
n elementos dados. O número de arranjos simples é dado por:
Observação: Arranjos simples são agrupamentos que diferem 
entre si pela ordem e pela natureza de seus elementos.
4.2. Combinações Simples
Denominamos combinações de n elementos distintos tomados 
p a p aos conjuntos de P elementos distintos escolhidos entre 
os n elementos dados. E o número de combinações é dado por:
Observação: Combinação simples são agrupamentos que 
diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos.
EXEMPLOS DE ARRANJOS
SENHAS
COMPETIÇÕES
SORTEIO DE PRÊMIOS DISTINTOS
MATRÍCULA
NÚMERO DE TELEFONE
PROTOCOLO
PLACA DE VEÍCULO
DISTRIBUIÇÃO DE CARGOS DISTINTOS
EXEMPLOS DE COMBINAÇÕES
EQUIPES COM MEMBROS COM FUNÇÕES DISTINTAS
EQUIPES COM MEMBROS COM FUNÇÕES IDÊNTICAS
SORTEIO DE PRÊMOS IDÊNTICOS
ESCOLHA DE PESSOAS
EXERCÍCIOS
1. (CESPE/UnB – PF/ PAPILOSCOPISTA – 2018) Em um processo 
de coleta de fragmentos papilares para posterior identificação 
de criminosos, uma equipe de 15 papiloscopistas deverá se 
revezar nos horários de 8 h às 9 h e de 9 h às 10 h. Com relação 
a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
 ) ( Se dois papiloscopistas forem escolhidos, um para 
atender no primeiro horário e outro no segundo horário, 
então a quantidade, distinta, de duplas que podem ser 
formadas para fazer esses atendimentos é superior a 300. 
n2
n1 =
1
2
A n,p
n!
(n - p)!
= , n ≥ p
C n,p
n!
p!(n - p)!
= , n ≥ p
Matemática | Elton Soares
_4
 ) ( Considere que uma dupla de papiloscopistas deve ser 
escolhida para atender no horário das 8 h. Nessa situação, 
a quantidade, distinta, de duplas que podem ser formadas 
para fazer esse atendimento é inferior a 110.
2. (CESPE/UnB – SEDUC) Em uma sala de aula foram escolhidos 
5 alunos para se formar uma comissão de 2 elementos. Acerca 
dessa comissão, julgue os itens que se seguem.
 ) ( Se um dos membros da comissão tiver a missão de dialogar 
com a direção da escola e o outro, com a secretária da 
escola, então o número máximo de comissões distintas 
que podem ser formadas é igual a 18.
 ) ( Se os alunos da comissão tiverem funções idênticas, então 
a quantidade máxima de comissões distintas que podem 
ser formadas é igual a 10.
3. (CESPE/UnB – PREFEITURA DE SÃO LUIZ/MA – 2017) Em 
2015, na cidade de São Luís, 1.560 docentes atuavam nas 
escolas de ensino fundamental. Entre eles, havia 450 Marias 
e 150 Pedros. Esses 1.560 docentes eram distribuídos, para 
cada escola, de forma aleatória. Nessa situação, assinale a 
opção que apresenta a expressão que permite determinar a 
quantidade de possíveis escolhas para a formação do primeiro 
grupo de 20 professores de maneira que, nesse grupo, não 
haja nenhuma Maria e nenhum Pedro.
a. 600/20!x580!
b. 1.560!/600!
c. 300!/20!
d. 960!/600!x360!
e. 960!/20!x940!
4. (CESPE / UnB – TCDF – TÉCNICO - 2014) Considerando que, em 
um planejamento de ações de auditoria, a direção de um órgão 
de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de 
governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe 
de 15 servidores para a montagem das equipes de análise e 
que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, um 
relator e um técnico, julgue os próximos itens. 
 ) ( A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 
desses programas para serem acompanhados pelo órgão 
é inferior a 4.000. 
 ) ( A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 
dos referidos servidores para a montagem de uma equipe 
de análise é superior a 2.500. 
5. (CESPE/UnB – TJES) Entre 3 mulheres e 4 homens, 4 serão 
escolhidos para ocupar, em uma empresa, 4 cargos de 
igual importância. Julgue o item a seguir, a respeito das 
possibilidades de escolha dessas 4 pessoas.
 ) ( A proposição “Se 2 mulheres e 2 homens forem os 
escolhidos, então a quantidade de maneiras distintas de 
se ocupar os cargos é igual a 12” é uma proposição falsa.
6. (CESPE/UnB – ABIN – OFICIAL DE INTELIGÊNCIA - 2018) Como 
forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell 
e Gödel disputaram, no parque da cidade, em um domingo à 
tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra 
os quantitativos de membros de cada família presentes no 
parque, distribuídos por gênero. 
família masculino feminino
Turing 5 7
Russell 6 5
Godel 5 9
A partir dessa tabela, julgue o item subsequente. 
 ) ( A quantidade de maneiras distintas de se formar um time 
de vôlei com seis integrantes, sendo três homens da 
família Turing e três mulheres da família Gödel, é superior 
a 700.
7. (CESPE/UnB – TRT) Considere que em um escritório 
trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o nível 
médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses 
empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um 
trabalho de pesquisa. Com base nessas informações, julgue 
os itens seguintes, acerca dessa equipe. 
 ) ( Se essa equipe incluir todos os empregados de nível 
fundamental, então essa equipe poderá ser formada de 
mais de 40 maneiras distintas.
 ) ( Formando-se a equipe com dois empregados de nível 
médio e dois de nível superior, então essa equipe poderá 
ser formada de, no máximo, 40 maneiras distintas.
8. (CESPE/UnB – MPS) De um grupo de 5 homense 3 mulheres 
será formada uma comissão de 5 pessoas e, nessa comissão, 
deverá haver pelo menos uma mulher. Nessa situação, julgue 
os itens seguintes.
 ) ( Caso a comissão deva ter mais homens que mulheres, a 
quantidade de maneiras distintas de se formar a comissão 
será igual a 48.
 ) ( Há 55 maneiras distintas de se formar essa comissão.
9. (CESPE/UnB – ANAC) Julgue:
 ) ( O número de coquetéis (misturas de duas ou mais bebidas) 
que é possível fazer com 5 bebidas distintas é inferior a 25.
 ) ( O número de modos distintos para se escolher, entre 
um grupo de 8 homens e 6 mulheres, uma equipe de 
5 comissários de bordo constituída de 3 homens e 2 
mulheres é inferior a 800.
 ) ( O número de comissões constituídas por 4 pessoas que 
é possível obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, 
incluindo, pelo menos, 2 pilotos, é superior a 210.
10. (CESPE/UnB – FUB – 2013) Considerando que uma turma de 
formandos de um curso da UnB tenha 10 alunos e 8 alunas, 
entre eles Carlos e Carla, e que uma comissão composta por 4 
alunos e 2 alunas dessa turma será formada para administrar 
os preparativos da formatura desses alunos, julgue os itens 
a seguir.
 ) ( Se Carlos e Carla integrarem a comissão, a quantidade de 
maneiras distintas de formá-la será inferior a 590.
 ) ( Se Carlos integrar a comissão e Carla, não, então a 
comissão poderá ser formada de mais de 1.800 maneiras 
distintas.
11. (CESPE/UnB – PF/ESCRIVÃO – 2018) Para cumprimento de 
um mandado de busca e apreensão serão designados um 
delegado, 3 agentes (para a segurança da equipe na operação) 
e um escrivão. O efetivo do órgão que fará a operação conta 
com 4 delegados, entre eles o delegado Fonseca; 12 agentes, 
entre eles o agente Paulo; e 6 escrivães, entre eles o escrivão 
Matemática | Elton Soares
_5
Estêvão. Em relação a essa situação hipotética, julgue os itens 
a seguir. 
 ) ( A quantidade de maneiras distintas de se escolher os três 
agentes para a operação de forma que um deles seja o 
agente Paulo é inferior a 80. 
 ) ( Considerando todo o efetivo do órgão responsável pela 
operação, há mais de 5.000 maneiras distintas de se 
formar uma equipe para dar cumprimento ao mandado. 
 ) ( Se o delegado Fonseca e o escrivão Estêvão integrarem 
a equipe que dará cumprimento ao mandado, então essa 
equipe poderá ser formada de menos de 200 maneiras 
distintas. 
 ) ( Há mais de 2.000 maneiras distintas de se formar uma 
equipe que tenha o delegado Fonseca ou o escrivão 
Estêvão, mas não ambos.
12. (CESPE/UnB) Julgue o item seguinte.
 ) ( É inferior a 7.500 o número de maneiras pelas quais 9 
cópias de filmes distintos podem ser distribuídas entre 
4 salas de projeção, de modo que a menor sala receba 3 
cópias dos filmes e cada uma das outras salas receba 2 
cópias dos filmes
13. (CESPE/UnB – ME - 2013) Em uma expedição de 
reconhecimento de uma região onde será construída uma 
hidrelétrica, seis pessoas levarão três barracas, sendo que, 
em cada uma, dormirão duas pessoas. Com base nessas 
informações, o número de maneiras distintas que essas 
pessoas poderão se distribuir nas barracas é igual a:
a. 216. 
b. 720. 
c. 36. 
d. 90. 
e. 192.
GABARITO
1-EC 2-EC 3-E 4-EC 5-C 6-C 7-EE
8-EC 9-EEC 10-CE 11-CCEE 12-E 13-D
5. O MODELO DE PAU E BOLA
Exemplo 
De quantas maneiras uma pessoa pode comprar três 
refrigerantes, sabendo que deverá escolher entre três 
variedades distintas?
Algumas situações (as bolas correspondem a quantidade 
de cada refrigerante e o traço separa a variedade dos 
refrigerantes):
• • I • • I •
• I • I • • •
I • • • I • •
Portanto, o número de soluções é igual à quantidade de 
permutações possíveis de se fazer com 7 símbolos (cinco bolas 
e dois paus), dentre os quais há repetição de 5 e de 2.
EXERCÍCIOS
1. (CESPE/UnB – ANAC) Com relação a análise combinatória, 
julgue:
 ) ( Considerando que, em um serviço de bordo de um avião, 
sejam servidos cinco tipos de balas e sete variedades de 
barras de cereal, o número de modos que os passageiros 
têm para escolher 3 balas (não necessariamente 
distintas) é diferente do número de modos que eles têm 
para escolher quatro barras de cereais distintas.
2. (IADES) Uma floricultura vende orquídeas de 4 cores 
diferentes (vermelha, azul, amarela e branca). Aproveitando 
o Dia dos Namorados, a floricultura resolveu fazer uma oferta 
relâmpago: o cliente pode escolher 6 orquídeas e pagar apenas 
por 4 delas. De quantas maneiras diferentes um cliente pode 
aproveitar esta promoção?
a. 15. 
b. 21.
c. 45. 
d. 84
3. (CESGRANRIO) Uma loja vende barras de chocolate de diversos 
sabores. Em uma promoção, era possível comprar três barras de 
chocolate com desconto, desde que estas fossem dos sabores ao 
leite, amargo, branco ou com amêndoas, repetidos ou não. Assim, 
um cliente que comprar as três barras na promoção poderá 
escolher os sabores de n modos distintos, sendo n igual a:
a. 4 
b. 10 
c. 12 
d. 16 
e. 20
4. (CONSULPLAN – MAPA – AGENTE ADMINISTRATIVO - 2014) 
Para preparar um sanduíche, uma pessoa dispõe de 3 tipos 
P
7
5,2 7!
5! • 2!
= =
7 • 6• 5!
5! • 2
= 21
Matemática | Elton Soares
_6
de carne, 4 tipos de queijo e 5 vegetais. De quantas maneiras 
pode-se montar o sanduíche com 1 carne, 2 fatias de queijos 
iguais ou diferentes e 3 vegetais distintos? 
a. 240. 
b. 300. 
c. 360. 
d. 480
GABARITO
1-C 2-D 3-E 4-B
EXERCÍCIOS
1. (QUADRIX – CRN – 2020) 13 pessoas estão reunidas em uma 
mesa de bar. 
Com base nesse caso hipotético, julgue os itens.
 ) ( Pelo menos duas delas nasceram no mesmo mês.
 ) ( Pelo menos uma dessas pessoas é do sexo masculino.
2. (CESPE / UnB - TRT 10.ª REGIÃO 2013) Considerando que, dos 
10 postos de combustíveis de determinada cidade, exatamente 
dois deles cometam a infração de vender gasolina adulterada, 
e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para 
serem fiscalizados, julgue o item seguinte. 
 ) ( Cinco é a menor quantidade de postos que devem ser 
escolhidos para serem fiscalizados de modo que, com 
certeza, um deles seja infrator.
3. (CESPE/UnB – DEPEN – 2013) Uma pessoa guardou em seu 
bolso duas notas de R$ 100, três notas de R$ 50 e quatro 
notas de R$ 20. Essa pessoa deseja retirar do bolso, de forma 
aleatória, sem olhar para dentro do bolso, pelo menos uma 
nota de cada valor.
Considerando essa situação, julgue os itens a seguir. 
 ) ( Para que ao menos uma nota de cada valor seja retirada 
do bolso, a pessoa deverá retirar, pelo menos, oito notas.
4. (FGV – 2019) Um baralho contém 13 cartas de cada um dos 
naipes: ouros, copas, espadas e paus. Ao todo, são 52 cartas 
(13×4). Com as cartas embaralhadas e, sem ver qualquer uma 
delas, o número mínimo de cartas que devem ser retiradas 
desse baralho para que se tenha a certeza que existam, entre 
elas, pelo menos 5 cartas do mesmo naipe é
a. 6.
b. 17.
c. 25.
d. 26.
e. 31. 
PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS
A inspiração para o nome do princípio: pombos em gaiolas 
(“casas”). Aqui n = 7 e m = 9.
O princípio do pombal ou princípio da casa dos pombos é a 
afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas, 
e se n > m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um 
pombo. 
Matematicamente falando, isto quer dizer que se o número de 
elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de 
elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em 
B não pode ser injetiva. É também conhecido como teorema de 
Dirichlet ou princípio das gavetas de Dirichlet, pois supõe-se que 
o primeiro relato deste principio foi feito por Dirichlet em 1834, 
com o nome de Schubfachprinzip (“princípio das gavetas”). O 
princípio do pombal é um exemplo de um argumento de calcular 
que pode ser aplicado em muitos problemas formais, incluindo 
aqueles que envolvem um conjunto infinito. Embora se trate de 
uma evidência extremamente elementar, o princípio é útil para 
resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são 
imediatos. Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, 
quem faz o papel dos objetos e quemfaz o papel das gavetas.
1. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que 
haverá pelo menos duas delas façam aniversário no mesmo 
mês? 
Resolução: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se 
houver mais pessoas (13) do que meses (12) é certo que pelos 
menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês.
2. (ESAF) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em 
seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove 
amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma 
noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. 
O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter 
certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é
a. 6. 
b. 4. 
c. 2. 
d. 8. 
e. 10.
Resolução: Uma pessoa já poderia de imediato pegar duas 
blusas azuis, ou duas amarelas, ou duas pretas, ou duas 
verdes, ou duas vermelhas. Porém não podemos garantir, 
pois seria muita sorte. Vamos pensar em uma pessoa com 
muito azar. Esta pegaria uma de cada cor, antes de acontecer 
o esperado (duas da mesma cor), ou seja, uma azul, uma 
amarela, uma preta, uma verde e uma vermelha, mas a 
próxima que ela retirar repetirá uma cor.
Logo a precisa pegar 6 blusas.
Matemática | Elton Soares
_7
5. (CESPE – SEPLAG – MONITOR) Julgue:
 ) ( Considere que, para imprimir alguns documentos, a 
secretária escolar tenha encontrado apenas 10 folhas de 
papel da cor azul, 16 da cor branca, 8 da cor rosa e 6 da cor 
verde, e que os papéis tenham sido colocados misturados 
na gaveta da impressora. Nesse caso, para se garantir 
que 3 cópias de um documento de apenas uma página 
sejam impressas em folhas da mesma cor, deverão ser 
impressas 9 páginas. 
6. (CESGRANRIO – FUNASA – SUPERIOR) Em uma urna há 5 bolas 
pretas, 4 bolas brancas e 3 bolas verdes. Deseja-se retirar, 
aleatoriamente, certa quantidade de bolas dessa urna. O 
número mínimo de bolas que devem ser retiradas para que se 
tenha certeza de que entre elas haverá 2 de mesma cor é:
a. 8
b. 7 
c. 5 
d. 4 
e. 3
7. (CESGRANRIO – FUNASA – MÉDIO) Em uma gaveta, há 6 lenços 
brancos, 8 azuis e 9 vermelhos. Lenços serão retirados, ao 
acaso, de dentro dessa gaveta. Quantos lenços, no mínimo, 
devem ser retirados para que se possa garantir que, dentre os 
lenços retirados haja um de cada cor?
a. 11 
b. 15 
c. 16 
d. 17 
e. 18
8. (NCE) Em um baú há 15 lenços brancos, 25 vermelhos e 12 
pretos. O numero mínimo de lenços que devem ser retirados do 
baú para que se possa garantir que, entre os lenços retirados, 
haja pelo menos 4 de mesma cor é: 
a. 44 
b. 45 
c. 12 
d. 4 
e. 10
GABARITO
1. CE 2. E 3. C 4. B
5. C 6. D 7. E 8. E