ANÁLISE COMBINATÓRIA 03

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ANÁLISE COMBINATÓRIA – TD 03 PROFESSOR CARLOS CLEY
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ARRANJO SIMPLES
Dado um conjunto E com n elementos,
chama-se arranjo simples dos n elementos
de E tomados p a p, a todo subconjunto
ordenado de E com p elementos distintos
(0  p  n; n, p  ).
Dados n elementos distintos
n21 a,...,a,a , o número de modos de ordená-los
p a p é:
p)!(n
n!
AA pn,
p
n 

01. Dez equipes de futebol participam de um
campeonato em dois turnos, em que todos
jogam entre si uma vez a cada turno,
tornando-se campeão o clube que obtiver
maior número de pontos. O total de jogos
desse campeonato é:
A) 45
B) 90
C) 105
D) 110
E) 115
02. (UEFS/2004) Uma senha deve ser
formada, escolhendo-se 4 algarismos de 0 a 9,
sem que haja algarismos repetidos. Portanto,
o número máximo de senhas que satisfazem a
essa condição é:
A) 840
B) 1210
C) 3420
D) 5040
E) 6100
03. Num ramal de estrada de ferro existem 12
estações. Se a agência de viagens possui
bilhetes que possam indicar todas as viagens
possíveis entre as estações, então o número
de bilhetes distintos é
A) 66
B) 132
C) 76
D) 152
E) 216
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutação simples de n elementos
(n  2 e n  N) é qualquer arranjo simples de
n elementos tomados n a n, ou seja, dados n
elementos distintos n21 a,...,a,a ; o número de
modos diferentes de ordená-los é:
!nPA nnn, 
04. Quantos são os anagramas da palavra:
a) BRASIL?
b) Quantos desses anagramas começam por
vogal e terminam por consoante?
c) Quantos desses anagramas têm as vogais
juntas e em ordem alfabética?
d) Quantos desses anagramas têm as
consoantes juntas e em ordem alfabética?
e) Quantos desses anagramas têm as vogais
juntas?
f) Quantos desses anagramas têm as
consoantes juntas?
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05. (FCC/2010) Marli colocou cada um dos 6
objetos diferentes em uma prateleira do móvel,
representado abaixo, de modo que a
arrumação de um dia nunca era a mesma dos
dias anteriores. Ela conseguiu fazer isso
durante
A) mais de 2 anos.
B) mais de 1 ano e meio e menos de 2 anos.
C) mais de 1 ano e menos de 1 ano e meio.
D) mais de 6 meses e menos de 1 ano.
E) menos de 6 meses.
06. (UECE/2006) Seja P o conjunto cujos
elementos são números inteiros positivos com
cinco dígitos obtidos com as permutações dos
algarismos 2, 3, 4, 8 e 9. Se dispusermos os
elementos de P em ordem crescente, o
número de ordem de 43928 será:
A) 58
B) 57
C) 59
D) 60
07. (EN) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6
formam-se todos os números de 5 algarismos
distintos. Determine a soma de todos eles.
08. (UPE/2013) Oito amigos entraram em
um restaurante para jantar e sentaram-se
numa mesa retangular, com oito lugares,
como mostra a figura a seguir:
Dentre todas as configurações possíveis,
quantas são as possibilidades de dois desses
amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em
frente um do outro?
A) 1 440
B) 1 920
C) 2 016
D) 4 032
E) 5 760
09. (ENEM/2011) O setor de recursos
humanos de uma empresa vai realizar uma
entrevista com 120 candidatos a uma vaga de
contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir
a cada candidato um número, colocar a lista
de números em ordem numérica crescente e
usá-la para convocar os interessados.
Acontece que, por um defeito do computador,
foram gerados números com 5 algarismos
distintos e, em nenhum deles, apareceram
dígitos pares. Em razão disso, a ordem de
chamada do candidato que tiver recebido o
número 75913 é
A) 24.
B) 31.
C) 32.
D) 88.
E) 89.
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PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS
REPETIDOS.
O número de permutações de n
elementos (n   e n  2) dos quais  são
iguais x1,  iguais a x2, ...,  iguais xn, onde 
    n, é:
! !... ! !
!n
P )..., , ,(n 

10. Quantos são os anagramas da palavra:
a) CAMA
b) BATATA
11. (UNEB) Um anagrama de uma palavra é
qualquer ordenação de suas letras. O número
de anagramas da palavra BAHIA é:
01) 150
02) 60
03) 80
04) 120
05) 30
12. Um homem encontra-se no ponto A como
mostra a figura. Ele só pode dar um passo de
cada vez (da esquerda para a direita ou de
baixo para cima). Por quantos caminhos ele
pode optar para chegar ao ponto B, saindo de
A?
A) 24
B) 120
C) 126
D) 9!
E) 13!
13. (ITA) Quantas são as soluções inteiras e
não negativas da equação x + y + z + w = 5?
A) 36
B) 48
C) 52
D) 54
E) 56
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Cada uma das maneiras distinta de
dispor n (n  2) elementos em torno de um
círculo é denominada permutação circular dos
n elementos, e o total desses agrupamentos é
indicado por:
)!1n(PCn 
14. (OSEC) O número de maneiras de 4
pessoas se sentarem ao redor de uma mesa
circular é:
A) 16
B) 24
C) 8
D) 6
E) n.d.a.
15. (UFC) De quantas maneiras diferentes
pode-se colocar seis pessoas sentadas ao
redor de uma mesa de forma circular se duas
delas devem ficar sempre juntas?
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COMBINAÇÃO SIMPLES
Dado um conjunto E com n elementos,
chama-se combinação simples dos n
elementos de E tomados p a p, todo
subconjunto de E com p elementos distintos
(0  p  n ; n,p  ).
Dados n elementos distintos
, o número de combinações
simples desses n elementos tomados p a p é:
p)!(np!
n!
CC pn,
p 
n 

16. Uma mini-loto consiste num jogo em que
o cartão de aposta possui dez números
(00-01-02-...-09) e o apostador deve marcar
nesse cartão quatro número distintos.
Quantos cartões distintos podem ser jogados
na mini-loto?
17. (UNEB/2009) Sobre uma circunferência,
foram marcados 5 pontos distintos. Com base
na informação, pode-se concluir que o número
de triângulos que podem ser formados, tendo
esses pontos como vértice, é igual a
01) 8
02) 9
03) 10
04) 11
05) 12
18. (UFBA) Sobre duas retas paralelas e
distintas, r e s, são marcados cinco e três
pontos distintos. Determine quantos triângulos
poderão ser formados tendo como vértices três
dos pontos considerados.
19. (UPE) Uma empresa tem doze diretores,
entre os quais Júnior, Daniela e Maria Eduarda.
Quantas comissões de seis diretores podem
ser formadas, sempre contendo Júnior, Daniela
e Maria Eduarda como membros?
A) 48
B) 84
C) 112
D) 108
E) 104
20. (UNIVASF/2005) O gerente de uma
empresa dispõe de 10 funcionários, dentre eles
Carlos e Paulo. O número de comissões de 6
funcionários que poderão ser formados a partir
desses 10 funcionários e que não terão Carlos
e Paulo juntos na mesma comissão será
A) 28
B) 84
C) 112
D) 140
E) 210
21. (ITA/2006) Considere uma prova com
10 questões de múltipla escolha, cada questão
com 5 alternativas. Sabendo que cada questão
admite uma única alternativa correta, então o
número de formas possíveis para que um
candidato acerte somente 7 das 10 questões é:
A) 44.30
B) 43.60
C) 53.60
D) 34.
3
7






E) 





7
10
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COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
A combinação com repetição de
n elementos tomados p a p )(CR pn, é dada
pela expressão:
p , 1) p (npn, CCR 
onde C(n + p -1), p é a combinação simples de n
+ p – 1 elementos tomados p a p.
22. Mostre, através da fórmula de
combinação com repetição, que o número de
peças do jogo de dominó é 28.
23. (UFPE) Semelhante ao dominó, mas feito
de pedras triangulares eqüiláteras, o jogo de
trominó apresenta na face triangular superior
um certo número de pontos com repetições,
escolhidos de 1 a n, dispostos ao longo de
cada aresta (ver figura). Quantas peças há no
trominó, supondo n = 6?
RESOLVA EM CASA!
01. (UNICAMP/2012) O grêmio estudantil
do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e
8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu
se formar uma comissão de 3 rapazes e 5
moças para a organização das olimpíadas do
colégio. De quantos modos diferentes pode-se
formar essa comissão?
A) 6720.
B) 100800.
C) 806400.
D) 1120.
02. (FGV/2012) Cinco estudantes param
para pernoitar em um hotel à beira da estrada.
Há dois quartos disponíveis, um com duas
camas e outro com três. De quantas maneiras
eles podem se dividir em dois grupos, um com
duas pessoas e outro com três, para se
hospedar no hotel?
A) 80 D) 10B) 40 E) 5
C) 20
03. (CESGRANRIO-TRANSPETRO/2009) Um
candidato fará uma prova com 5 questões de
múltipla escolha. Cada questão possui 4
alternativas, sendo apenas uma destas a correta.
O candidato marcará apenas uma alternativa em
cada questão e não deixará questão em branco.
A figura ilustra duas maneiras diferentes de o
candidato preencher cartões-respostas dessa
prova.
Quantos são os cartões-respostas distintos que
apresentam exatamente 3 respostas certas?
A) 9 D) 64
B) 19 E) 90
C) 36
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04. (UFPE/2012) São dados os 8 pontos A, B,
C, D, E, F, G e H sobre uma circunferência,
como na figura abaixo. De quantas maneiras
podem-se formar triângulos com vértices
nesses pontos?
05. (UFU/2011) O câncer de mama é o
segundo tipo de câncer mais comum e o que
mais mata mulheres no mundo. Pesquisadores
da Universidade de Brasília (UnB) investigam
propriedades antitumorais de extratos vegetais
produzidos a partir de plantas da Amazônia,
como a Cassia Ocidentalis. Suponha que no
laboratório de farmacologia da UnB trabalhem
10 homens e 4 mulheres. Necessita-se formar
uma equipe composta por 4 pessoas para dar
continuidade às pesquisas e nela pretende-se
que haja pelo menos uma mulher. Nessas
condições, o número total de maneiras de se
compor a equipe de pesquisadores é igual a:
A) 641 D) 936
B) 826
C) 791
06. (UECE/2011) A diretoria de um sindicato
é composta de dez membros entre os quais o
presidente e o vice-presidente. Quantas
comissões com quatro membros da diretoria é
possível formar, se em cada uma destas
comissões deve figurar o presidente e o vice-
presidente?
A) 22. D) 28.
B) 24.
C) 26.
07. (UFAL/2011) Uma equipe, formada por
cinco estudantes, deve ser escolhida em uma
turma com vinte estudantes, para participar de
uma olimpíada. De quantas maneiras a equipe
pode ser escolhida, se o estudante que ganhou
a olimpíada no ano anterior, e que faz parte do
grupo dos vinte estudantes, deve fazer parte
da equipe?
A) 3.872 D) 3.878
B) 3.874 E) 3.880
C) 3.876
08. (UNIFOR) Um casal e seus quatro filhos
vão ser colocados lado a lado para tirar uma
foto. Se todos os filhos devem ficar entre os
pais, de quantos modos distintos os seis
podem posar para tirar a foto?
A) 24 D) 120
B) 48 E) 720
C) 96
09. (UFPI) Todos os números de telefone de
certa cidade têm sete algarismos e os dois
algarismos iniciais são ou dois-zero ou três-
zero. Quantos números de telefone tem essa
cidade, no máximo?
A) 100 000 D) 729 000
B) 200 000 E) 2 000 000
C) 590 490
10. (UCSal) Sejam dados A, B, C, D ,E e F
vértices de um hexágono regular, e o ponto x,
centro da circunferência circunscrita a esse
hexágono. O número de triângulos que podem
ser formados, com vértices nos sete pontos
dados, é:
A) 210 D) 32
B) 207 E) 20
C) 35
11. (ITA) O número de anagramas da palavra
VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco
vogais juntas, é:
A) 12! D) 12! – 8!
B) (8!)(5!) E) 12! – (7!)(5!)
C) 12! – (8!)(5!)
12. Quantos números impares podemos
formar permutando os algarismos 2, 3, 4, 6, 7
e 9?
A) 120 D) 1440
B) 360 E) 2880
C) 720
13. Considere o conjunto A = {1,2,3,4,5,6}.
Quantos são os subconjuntos de A que
possuem 4 elementos distintos?
A) 30 D) 45
B) 15 E) 64
C) 60
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14. (UFC) Sobre uma reta r, marcam-se 6
pontos distintos e sobre outra reta, paralela a
primeira, marcam-se 5 pontos distintos. Desse
modo usando esses pontos como vértices
podem ser construídos n triângulos e m
quadriláteros. O valor de m – n é igual a:
A) 15 D) 60
B) 30 E) 75
C) 45
15. (FACAPE/2013) Hoje em dia é muito
comum fazermos uso de senhas para
acessarmos caixas eletrônicos ou sites da
internet. O usuário Juliano, após fazer três
tentativas incorretas teve a senha de sua caixa
postal bloqueada. Mas ele ainda tem uma
alternativa que é responder corretamente à
pergunta secreta que havia implantado na
ocasião do seu cadastro.
Ao acessar tal pergunta:
“Qual posição ocupa o número 321,
quando escrevemos em ordem
crescente, números de três
algarismos, sem repetição, com
1, 2, 3 e 4?”
Ajude a Juliano fazendo corretamente as
contas, informando a resposta correta na
alternativa:
A) 12 D) 25
B) 15 E) 32
C) 22
16. (UFBA) No conjunto N* existem x
números menores que 1000, com todos os
algarismos distintos. Calcule x/18.
17. (UCSal) O Clube Náutico do Preguiçosos
tem 895 sócios e suas carteirinhas são
numeradas assim: 000, 001, 002, ..., 894, 895.
Quantas são as carteirinhas em cujo número
não há algarismo repetido?
A) 710 D) 646
B) 694 E) 612
C) 648
18. Com os dígitos 1,2,3,4,5,6 e 7 de quantas
formas podemos permutá-los de modo que os
números ímpares fiquem sempre em ordem
crescente?
A) 840 D) 420
B) 720 E) 210
C) 600
19. Em um grupo de 15 pessoas existem 5
médicos, 7 engenheiros e 3 advogados.
Quantas comissões podemos formar, cada qual
constituída de 2 médicos, 2 engenheiros e 1
advogado?
A) 240 D) 630
B) 420 E) 890
C) 540
20. (ENEM/2005) A escrita Braile para cegos
é um sistema de símbolos no qual cada caráter
é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma
retangular, dos quais pelo menos um se
destaca em relação aos demais. Por exemplo,
a letra A é representada por
O número total de caracteres que podem ser
representados no sistema Braile é
A) 12 D) 63
B) 31 E) 720
C) 36
21. (UNEB/2009) A quantidade de maneiras
distintas que 4 moças e 4 rapazes podem se
sentar em uma fila de 8 assentos, de modo
que nunca haja nem dois rapazes vizinhos e
nem duas moças sentadas uma ao lado da
outra, é igual a
01) 2304 04) 380
02) 1152 05) 256
03) 576
22. (UESPI) Ao colocarmos, em ordem
alfabética, os anagramas da palavra MURILO
qual é a quinta letra do anagrama que ocupa
a 400ª posição?
A) M D) I
B) U E) L
C) R
23. (UNEB) Oito pontos são marcados sobre
um círculo. O número de triângulos inscritos
nesse círculo, com vértices nesses pontos, é:
01) 24 04) 65
02) 48 05) 336
03) 56
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24. (UNEB/2006) Com 8 flores distintas
sendo 3 alvas e 5 rubras, um artesão vai
arrumar um ramalhete contendo 6 dessas
flores, em que, pelo menos, uma seja alva.
Com base nessas informações, pode-se
afirmar que o número máximo se ramalhetes
distintos que ele pode confeccionar é igual a
01) 3 04) 18
02) 10 05) 28
03)15
25. (UFPE) Seja A um conjunto com 3
elementos e B um conjunto com 5 elementos.
Quantas funções injetoras de A em B existem?
26. (UNICAP) Em uma reunião, todos os
presentes se cumprimentaram, perfazendo um
total de 91 cumprimentos. Quantas pessoas
estavam na reunião?
27. (UFPE) Com vértices em 10 pontos
escolhidos numa circunferência constroem-se
todos os polígonos convexos possíveis. Indique
a soma dos dígitos do número de tais
polígonos.
28. (UPE) Um grupo de pessoas é composto
de 7 rapazes e 5 moças. Desejando-se formar
equipes de 6 pessoas, de modo que cada
equipe não tenha mais rapazes do que moças,
obtém-se:
I II
0 0 462 equipes.
1 1 350 equipes como o número de rapazes
igual ao número de moças.
2 2 262 equipes.
3 3 162 equipes.
4 4 112 equipes com mais moça do que
rapazes.
29. (FACID/2012.1) Um número é dito
palíndromo se sua leitura da direita para a
esquerda for igual à leitura feita da esquerda
para a direita. Por exemplo, 14241 e 2332 são
palíndromos. Considerando a definição, é
correto afirmar que a soma de todos os
palíndromos positivos de 4 algarismos que são
divisíveis por 9 é :
A) 12365 D) 596065
B) 23659 E) 59004
C) 50990
30. (UNEB) A Seleção Brasileira de
Basquetebol feminino deve ser escalada a
partir de um conjunto de 8 jogadoras, entre
elas Marta e Paula. O número de maneiras que
a escala pode ser feita, sabendo-se que a
seleção atua com 5 atletas e que Marta e Paula
devem sempre ser escaladas, é:
01) 8! 04)
!3!.5
!8
02)
!3
!8 05)
!3!.3
!6
03)
!2
!6
31. (UnB) Seja u o último algarismo da
soma 1! + 2! + 3! + ... + 99!.
Se P(x) = x5 – 3x3 – 6x2 – 12x+ 1, então P(u)
é igual a:
A) 70 D) 73
B) 71 E) 74
C) 72
32. (UNEB) Um empresário, visando proteger
o sistema de segurança de suafirma, deseja
criar senhas constituídas de seqüências de
quatro dígitos distintos, sendo os dois
primeiros vogais e os dois últimos algarismos.
O número de senhas distintas, do tipo descrito,
que podem ser formadas é igual a:
01) 180 04) 1600
02) 200 05) 1800
03) 800
33. (UNEB/2005) Colocando-se em ordem
crescente todos os números inteiros de cinco
algarismos distintos formados com os
elementos do conjunto {2, 4, 5, 6, 7}, a
posição do número 62754 é a
01) 56ª 04) 87ª
02) 64ª 05) 91ª
03) 78ª
34. (UESB/2006) O número máximo de
anagramas da palavra UESB que não
apresentam as duas vogais juntas é
01) 6 04) 18
02) 8 05) 24
03) 12
ANÁLISE COMBINATÓRIA – TD 03 PROFESSOR CARLOS CLEY
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35. (EXPCEX/2007) A equipe de professores
de uma escola possui um banco de questões
de matemática composto de 5 questões sobre
parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre
retas. De quantas maneiras distintas a equipe
pode montar uma prova com 8 questões,
sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3
de retas?
A) 80 D) 640
B) 96 E) 1280
C) 240
36. (UFRN/2008) Arranjam-se os dígitos 1,
2, 3 e 4 de todos os modos possíveis,
formando-se 24 números de 4 dígitos distintos.
Listam-se, em ordem crescente, os 24
números formados. Nessa lista, o número
3.241 ocupa a
A) 14ª posição. D) 15ª posição.
B) 13ª posição.
C) 16ª posição.
37. (UEFS/2006)
A figura ilustra um bloco de um código de
barras utilizado por uma empresa para
cadastrar os preços dos produtos que
comercializa. Cada bloco é formado por 12
barras verticais separadas por 11 espaços
podendo ser usadas barras de três larguras
distintas e espaços de duas larguras distintas.
Nessas condições, o número máximo de preços
que podem ser cadastrados através desse
sistema é:
A) 312.211 D) 3 + 611
B) 123.112 E) 312 + 611
C) 123 + 112
38. (IME) Quantos retângulos há na figura?
39. (UFC/2005) Considere o octaedro
ABCDEF, representado ao lado. Nele, um
besouro se desloca ao longo de suas arestas,
do ponto A ao ponto F, de modo que não passa
por qualquer dos vértices mais de uma vez. De
quantos modos diferentes ele pode fazer isso?
40. (UFBA) Com base nos conhecimentos
sobre análise combinatória, é verdade:
(01) Podem-se escrever 24 números pares,
compreendidos entre 99 e 1000, com os
algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los.
(02) Um grupo de turistas tem 30 maneiras
diferentes de escolher 3 roteiros de
passeios distintos, dentre os 10 oferecidos
por uma agência.
(04) Uma pessoa tem 24 opções para ir da
cidade A para a cidade B, passando pelas
cidades C, D, E e F.
(08) Se Cm, 3 – Cm, 2 = 0, então m  [5, 7].
(16) Se 20
x!
2)!(x

 , então x é um número
par.
41. (EXPCEX/2008) Num determinado setor
de um hospital, trabalham 4 médicos e 8
enfermeiras. O número de equipes distintas,
constituídas cada uma de 1 médico e 3
enfermeiras, que podem ser formadas nesse
setor é de
A) 60 D) 1344
B) 224 E) 11880
C) 495
42. (UNIVASF/2009 – 2ª fase) Em uma
festa, cada um dos participantes cumprimenta
cada um dos demais, uma vez. Se o número
de cumprimentos entre dois homens foi 21, e
entre duas mulheres foi 45; quantos foram os
cumprimentos entre um homem e uma mulher?
ANÁLISE COMBINATÓRIA – TD 03 PROFESSOR CARLOS CLEY
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43. (FUVEST/2007) Em uma classe de 9
alunos, todos se dão bem, com exceção de
Andréia, que vive brigando com Manoel e
Alberto. Nessa classe, será constituída uma
comissão de cinco alunos, com a exigência de
que cada membro se relacione bem com todos
os outros. Quantas comissões podem ser
formadas?
A) 71 D) 83
B) 75 E) 87
C) 80
44. (UECE/2008.1 - 2ª fase) Assinale a
alternativa na qual se encontra a quantidade
de modos distintos em que podemos dividir 15
jogadores em 3 times de basquetebol,
denominados Vencedor, Vitória e Confiança,
com 5 jogadores cada.
A) 3003 D) 756756
B) 9009
C) 252252
45. (UFC/2008 – 2ª fase) Considere o
conjunto de dígitos C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a) Dentre todos os números naturais com
quatro dígitos que se pode formar utilizando
somente elementos de C, calcule quantos são
múltiplos de 4.
b) Dentre todos os números naturais com três
dígitos distintos que se pode formar utilizando
somente elementos de C, calcule quantos são
múltiplos de 3.
46. (CEFET-SP/2007) Em uma classe com
20 alunos, sendo 15 homens e 5 mulheres, um
professor propôs as seguintes regras para
divisão dos alunos em duplas:
– as mulheres não podem fazer duplas entre si
– Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos
– Henrique e Pedro têm de fazer dupla juntos.
O número de maneiras diferentes de formar as
duplas na sala, atendendo todas as regras do
professor, é igual a
A) 142. D) 284.
B) 168. E) 312.
C) 226.
47. (ENEM/2008) O jogo-da-velha é um jogo
popular, originado na Inglaterra. O nome
“velha” surgiu do fato de esse jogo ser
praticado, à época em que foi criado, por
senhoras idosas que tinham dificuldades de
visão e não conseguiam mais bordar. Esse
jogo consiste na disputa de dois adversários
que, em um tabuleiro 3×3, devem conseguir
alinhar verticalmente, horizontalmente ou na
diagonal, 3 peças de formato idêntico. Cada
jogador, após escolher o
formato da peça com a qual
irá jogar, coloca uma peça
por vez, em qualquer casa do
tabuleiro, e passa a vez para
o adversário. Vence o
primeiro que alinhar 3 peças.
No tabuleiro representado ao
lado, estão registradas as jogadas de dois
adversários em um dado momento. Observe
que uma das peças tem formato de círculo e a
outra tem a forma de um xis. Considere as
regras do jogo-da-velha e o fato de que, neste
momento, é a vez do jogador que utiliza os
círculos. Para garantir a vitória na sua próxima
jogada, esse jogador pode posicionar a peça
no tabuleiro de
A) uma só maneira.
B) duas maneiras distintas.
C) três maneiras distintas.
D) quatro maneiras distintas.
E) cinco maneiras distintas.
48. (UFC/2009 – 2ª fase) Uma comissão de
5 membros será formada escolhendo-se
parlamentares de um conjunto com 5
senadores e 3 deputados. Determine o número
de comissões distintas que podem ser
formadas obedecendo à regra: a presidência
da comissão deve ser ocupada por um senador,
e a vice-presidência, por um deputado (duas
comissões com as mesmas pessoas, mas que
a presidência ou a vice-presidência sejam
ocupadas por pessoas diferentes, são
consideradas distintas).
49. (UEFS) O número de anagramas da
palavra FEIRA, em que nem duas vogais
podem estar juntas nem duas consoantes, é
igual a
A) 10 D) 24
B) 12 E) 25
C) 18
ANÁLISE COMBINATÓRIA – TD 03 PROFESSOR CARLOS CLEY
11
50. (UESB/2007) A Câmara Municipal de um
pequeno município tem exatamente 13
vereadores, sendo que 8 apóiam o prefeito e
os demais são da oposição. Uma comissão
constituída de 3 vereadores da situação e 4 da
oposição será escolhida. Com base nessas
informações, pode-se afirmar que o número de
comissões distintas do tipo descrito é igual a
01) 280 05) 5
02) 140 04) 56
03) 120
51. (UFRN/2002) De acordo com o Conselho
Nacional de Trânsito CONTRAN, os veículos
licenciados no Brasil são identificados
externamente por meio de placas cujos
caracteres são três letras do alfabeto e quatro
algarismos. Nas placas abaixo as letras estão
em seqüência e os algarismos também.
O número de placas que podemos formar com
as letras e os algarismos distribuídos em
seqüência, como nos exemplos, é:
A) 192 D) 208
B) 168
C) 184
52. (UNIFESP/2009) Duzentos e cinquenta
candidatos submeteram-se a uma prova com 5
questoes de multipla escolha, cada questao
com 3 alternativas e uma unica resposta
correta. Admitindo-se que todos os candidatos
assinalaram, para cada questao, uma unica
resposta, pode-se afirmar que pelo menos:
A) um candidato errou todas as respostas.
B) dois candidatos assinalaram exatamente as
mesmas alternativas.
C) um candidato acertou todas as respostas.
D) a metade dos candidatos acertou mais de
50% das respostas.
E) a metade dos candidatos errou mais de
50% das respostas.
53. (PUC RS/2007) Com 8 frutas diferentes,
o número de saladas que podem ser feitas
contendo exatamente 3 dessas frutas é
A) 24 D) 112
B) 54 E) 336
C) 56
54. (UNEB/2010) Umainstituição de ensino
selecionou um grupo de 10 estudantes aos
quais serão concedidas bolsas de estudos para
cursos de inglês ou espanhol. Sabe-se que
existem disponíveis 6 bolsas para o curso de
inglês e 4 bolsas para o curso de espanhol.
Então, o número máximo de formas distintas
de distribuí-las, de modo que cada estudante
receba uma única bolsa, e X, Y e Z,
participantes do grupo, recebam bolsas para o
curso de Inglês é igual a
01) 84 04) 35
02) 70 05) 21
03) 42
55. (UFC) O número de maneiras segundo as
quais podemos dispor 3 homens e 3 mulheres
em três bancos fixos, de tal forma que em
cada banco fique um casal, sem levar em
conta a posição do casal no banco, é:
A) 9 D) 32
B) 18 E) 36
C) 24
56. (UFBA/2006) Durante uma reunião,
ocorreu uma divergência quanto à formação de
uma comissão gestora, a ser escolhida entre
os presentes. Um grupo defendia uma
comissão com três membros, sendo um
presidente, um vice-presidente e um secretário.
Outro grupo queria uma comissão com três
membros sem cargos definidos. A primeira
alternativa oferece 280 possibilidades de
escolha a mais que a segunda. Determine o
número de pessoas presentes à reunião,
sabendo-se que esse número é maior que 5.
57. (UFRN/2009) Uma pessoa foi ao dentista e
constatou que estava com cinco cáries, cada uma
em um dente. Ficou decidido que seria
restaurado um dente cada vez que ela voltasse
ao consultório. O dentista combinou que
marcaria as datas em cinco semanas seguidas,
um dia a cada semana. Considerando-se
apenas os dias úteis e sabendo-se que, nesse
período, ocorreriam, ao todo, dois feriados, em
semanas diferentes, o número de maneiras
distintas para se programar o tratamento do
paciente seria:
A) 3.125 D) 2.000
B) 1.875
C) 1.600
ANÁLISE COMBINATÓRIA – TD 03 PROFESSOR CARLOS CLEY
12
58. (UFG/2010) Num episódio de uma série
policial de televisão, um agente secreto
encontra-se diante do desafio de descobrir a
senha de quatro dígitos digitada no teclado
numérico, instalado na porta de entrada de
num laboratório. Para isso, o agente utiliza o
seguinte artifício: borrifa um spray sobre o
teclado, fazendo com que os algarismos
recém-digitados para abrir a porta fiquem
destacados, como mostra a figura. Para sua
surpresa, apenas três dígitos são ressaltados
pelo spray, indicando que um dos dígitos
aparece duas vezes na senha.
A) 36
B) 24
C) 16
D) 13
E) 4
59. (IME/2008) De quantas maneiras n
bolas idênticas podem ser distribuidas em três
cestos de cores verde, amarelo e azul?
A) 




 
2
2n
D)  ! 3n 
B) 





3
n
E) n3
C) n!/3!
60. (UEFS) Para elaborar uma prova,
pretende-se criar uma comissão entre os 7
professores de matemática de uma escola. O
número de possibilidades para formar essa
comissão, de modo que ela contenha, pelo
menos, dois professores, é igual a:
A) 42 D) 150
B) 120 E) 210
C) 128
61. (UESPI/2010) O código de abertura de
um cofre é formado por seis dígitos (que
podem se repetir, e o código pode começar
com o dígito 0). Quantos são os códigos de
abertura com pelo menos um dígito 7?
A) 468.559 D) 645.985
B) 468.595 E) 855.964
C) 486.595
62. (UNIVASF/2008.2) De quantas
maneiras seis pessoas podem ser colocadas
em fila, se duas delas se recusam a ficar em
posições adjacentes?
A) 460 D) 490
B) 470 E) 500
C) 480
63. (UNIFOR/2012.1) Dos 30 candidatos ao
preenchimento de 4 vagas em certa empresa,
sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 dos
candidatos são fumantes e 7 são as mulheres
que não fumam. De quantos modos podem ser
selecionados 2 homens e 2 mulheres entre os
não fumantes?
A) 900 D) 1035
B) 945 E) 1080
C) 990
64. (UFV/2010) A comissão organizadora da
Feira da Cultura de uma escola é constituída
por oito professores, dentre os quais um é
instrutor (surdo) de LIBRAS – Língua Brasileira
de Sinais e outro, intérprete (ouvinte) de
LIBRAS. Para uma entrevista de divulgação da
Feira, devem ser escolhidos cinco desses
professores de forma que, se um deles for o
instrutor, então um dos outros deve ser
obrigatoriamente o intérprete. O número total
de possibilidades de escolha é:
A) 41 D) 56
B) 42
C) 55
65. (UDESC/2012) As frutas são alimentos
que não podem faltar na nossa alimentação,
pelas suas vitaminas e pela energia que nos
fornecem. Vera consultou um nutricionista que
lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão
de três frutas diariamente, dentre as seguintes
opções: abacaxi, banana, caqui, laranja, maçã,
pera e uva. Suponha que Vera siga
rigorosamente a sugestão do nutricionista,
ingerindo três frutas por dia, sendo pelo
menos duas diferentes. Então, ela pode
montar sua dieta diária, com as opções
diferentes de frutas recomendadas, de:
A) 57 maneiras. D) 77 maneiras.
B) 50 maneiras. E) 98 maneiras.
C) 56 maneiras.
ANÁLISE COMBINATÓRIA – TD 03 PROFESSOR CARLOS CLEY
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66. (INSPER/2012) Em cada ingresso
vendido para um show de música, é impresso
o número da mesa onde o comprador deverá
se sentar. Cada mesa possui seis lugares,
dispostos conforme o esquema a seguir. O
lugar da mesa em que cada comprador se
sentará não vem especificado no ingresso,
devendo os seis ocupantes entrar em acordo.
Os ingressos para uma dessas mesas foram
adquiridos por um casal de namorados e
quatro membros de uma mesma família. Eles
acordaram que os namorados poderiam
sentar-se um ao lado do outro. Nessas
condições, o número de maneiras distintas em
que as seis pessoas poderão ocupar os lugares
da mesa é
A) 96.
B) 120.
C) 192.
D) 384.
E) 720.
67. (UNEB/2012) No filme, Kung Fu Panda: Os
segredos dos cinco furiosos, direção Raman Hui,
Dream Works — Paramount, EUA, 2008, Po
encara uma nova e desanimadora tarefa: ensinar
Kung Fu para um ávido grupo de coelhinhos do
Vale da Paz, contando a eles como os Cinco
Furiosos (Macaco, Garça, Louva-Deus, Tigresa e
Víbora) se tornaram os heróis do Kung Fu.
Suponha que Po decida formar um grupo para
aprimorar os estudos das técnicas do Kung Fu.
Para isso, ele deve convidar três dos Cinco
Furiosos a assumirem as funções de Mestres, um
nos exercícios de equilíbrio, outro nos exercícios
de concentração e mais um nos exercícios de
respiração. E seis dos dez coelhinhos do Vale da
Paz como aprendizes. Nessas condições, o
número de maneiras distintas que o grupo de
Mestres e aprendizes pode ser formado é
01) 2100 04) 10240
02) 4680 05) 12600
03) 8460
68. (CESGRANRIO/2012) Certa empresa
identifica as diferentes peças que produz,
utilizando códigos numéricos compostos de 5
dígitos, mantendo, sempre, o seguinte padrão:
os dois últimos dígitos de cada código são
iguais entre si, mas diferentes dos demais. Por
exemplo, o código “03344” é válido, já o
código “34544”, não. Quantos códigos
diferentes podem ser criados?
A) 3.312 D) 7.000
B) 4.608 E) 7.290
C) 5.040
69. (UERJ/2013) Na ilustração abaixo, as 52
cartas de um baralho estão agrupadas em
linhas com 13 cartas de mesmo naipe e
colunas com 4 cartas de mesmo valor
Denomina-se quadra a reunião de quatro
cartas de mesmo valor. Observe, em um
conjunto de cinco cartas, um exemplo de
quadra:
O número total de conjuntos distintos de cinco
cartas desse baralho que contêm uma quadra
é igual a:
A) 624 D) 720
B) 676
C) 715
70. (AFA/2013) Num acampamento militar,
serão instaladas três barracas: I, II e III.
Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles
o soldado A e o soldado B, de tal maneira que
fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca
II e 3 na barraca III. Se o soldado A deve ficar
na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na
barraca III, então o número de maneiras
distintas de distribuí-los é igual a
A) 560 D) 2240
B) 1120
C) 1680
ANÁLISE COMBINATÓRIA – TD 03 PROFESSOR CARLOS CLEY
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GABARITO - RESOLVA EM CASA
01 D 15 B 29 B 43 A 57 D
02 D 16 41 30 05 44 D 58 A
03 E 17 D 31 D 45 *** 59 A
04 56 18 E 32 05 46 A 60 B
05 C 19 D 33 03 47 B 61 A
06 D 20 D 34 03 48 300 62 C
07 C 21 02 35 C 49 B 63 B
08 B 22 B 36 C 50 01 64 D
09 D 23 03 37 A 51 A 65 D
10 D 24 05 38 210 52 B 66 C
11 C 25 60 39 28 53 C 67 05
12 B 26 14 40 13 54 04 68 E
13 B 27 05 41 B 55 E 69 A
14 A 28 ** 42 70 56 08 70 B
**28 - V,V,F,F,V***45 - a) 324 b) 48