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1
07
Aula 
Análise combinatória III
Matemática
4B
 Combinações simples
Existem situações, em combinatória, em que a 
escolha dos elementos para formar um determinado 
agrupamento não depende da ordem com que 
esses elementos são dispostos ou escolhidos. Nesses 
casos, não há a necessidade de se estabelecer uma 
sequência, uma ordem. Isso ocorre quando temos que 
formar subconjuntos de um certo conjunto.
Por exemplo: dado o conjunto {a; b; c; d}, os possíveis 
subconjuntos com três elementos são:
{a; b; c} {a; b; d} {a; c; d} {b; c; d}
Cada um desses subconjuntos é uma combinação 
simples dos 4 elementos do conjunto tomados 3 a 3, ou 
combinação simples dos 4 elementos de classe 3.
A palavra simples indica apenas que os elementos 
escolhidos são distintos.
Observe que, para formar os subconjuntos, estamos 
interessados apenas em quais elementos compõem 
cada subconjunto. Esta é a típica situação envolvendo 
combinações simples.
Exemplo:
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/M
o
n
ke
y 
B
u
si
n
es
s 
Im
ag
es
Um grupo formado por 5 pessoas resolve formar 
uma comissão com 2 pessoas que ficarão encarregadas 
de organizar um almoço de confraternização. Qual o 
número total de possíveis comissões?
Vamos, inicialmente, representar as cinco pessoas 
por símbolos. Mais precisamente pelas letras: a, b, c, d, e.
Formar comissões de duas pessoas constitui-se na 
tarefa de escolher 2 pessoas entre as 5, e é o mesmo que 
formar subconjuntos de dois elementos do conjunto {a; 
b; c; d; e}. As escolhas possíveis são as seguintes:
{a; b} {a; c} {a; d} {a; e} {b; c}
{b; d} {b; e} {c; d} {c; e} {d; e}
Observe que as comissões {a; b} e {b; a} são iguais, 
pois são formadas pelas mesmas duas pessoas.
Logo, são 10 comissões no total.
Pode-se, portanto, dizer que o número de combina-
ções simples de 5 elementos tomados 2 a 2 é 10.
Em símbolos, escrevemos:
C
2
5 = 10
Número de elementos 
escolhidos
Número de elementos 
disponíveis
Número de combina-
ções simples ou de 
comissões possíveis
Mas, como podemos obter a quantidade de combi-
nações simples?
Podemos raciocinar da seguinte maneira:
Temos que dividir o conjunto das 5 pessoas em dois 
outros conjuntos: um grupo de 2 pessoas que formará 
a comissão e outro de 3 pessoas restantes que não 
2 Semiextensivo
formará a comissão. Para fazer a divisão das pessoas que 
formarão a comissão das pessoas que não formarão, 
podemos colocá-las em fila, utilizando uma barra para 
dividir os dois grupos:
a b | c d e
Formam comissões Não formam comissões
Podemos ordenar as cinco pessoas de 5! maneiras. 
Entretanto, observe que as filas
a b | c d e e b a | e c d
Divisões idênticas
representam divisões idênticas, formadas pelas mesmas 
pessoas. Tanto na primeira, quanto na segunda, as pes-
soas a e b participarão da comissão e as demais, c, d e 
e, não participarão. Como podemos ordenar o primeiro 
grupo (ab) de 2! maneiras e o segundo grupo (cde) de 3! 
e, no cálculo de 5!, cada uma dessas ordens já havia sido 
contada, então devemos dividir 5! por 2! e por 3!.
Dessa forma, o número de combinações simples de 
5 elementos tomados 2 a 2 é dado por:
C5
2 5
2 3
=
⋅
!
! !
Desenvolvendo os fatoriais, determinamos o número 
de combinações:
C5
2 5
2 3
5 4 3
2 1 3
5 4
2 1
10=
⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⋅
⋅
=
!
! !
!
!
Agora, vamos generalizar essa última ideia.
De quantas maneiras podemos escolher p obje-
tos distintos entre n objetos distintos dados?
Para escolher p objetos entre os n disponíveis, de-
vemos dividir os n elementos em um grupo de p ob-
jetos que são escolhidos e em outro grupo de (n – p) 
que não são escolhidos. Como os n objetos podem 
ser ordenados de n! maneiras e, destas, existem 
p! · (n – p)! maneiras – que já foram contadas – de 
ordenar os objetos em cada grupo, então o número 
de maneiras é:
C
n
pn
p =
⋅ −
!
! (n p)!
Acompanhe a definição formal de combinações 
simples:
Dado um conjunto com n elementos, chama-se 
combinação simples dos n elementos dados, toma-
dos p a p, a qualquer subconjunto de p elementos 
distintos escolhidos entre os n elementos.
O número de combinações simples de n elementos 
tomados p a p pode ser representado por Cpn ou Cn,p, 
sendo n e p números naturais com n ≥ p.
Quando n < p, define-se que Cpn = 0, pois não há 
maneira alguma de escolher mais elementos distintos 
do que os elementos disponíveis.
Para finalizar, não esqueça:
A ideia principal é a de que usamos combinações 
simples para formar subconjuntos, ou seja, escolher 
elementos. Assim, o número de subconjuntos é 
também o número de combinações simples.
É importante saber
• Existem combinações que, apesar de não serem 
idênticas, apresentam resultados iguais. Assim, 
por exemplo, as combinações C
3
7
 e C
4
7
 não são idên-
ticas, mas seus resultados são iguais. Observe:
C
C
7
3
7
4
7 6 5
3 2 1
35
7 6 5 4
4 3 2 1
35
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
Isso ocorreu pelo fato de que 3 + 4 = 7. Isto é, 
a soma das taxas (3 + 4) resulta na quantidade de 
elementos (7).
• Em geral, sendo n e p números naturais, tais que 
n ≥ p, as combinações Cpn e Cn
 n– p têm taxas com-
plementares, pois p + (n – p) = n. Logo, podemos 
escrever:
C Cn
p
n
n p= −
• Outros exemplos de combinações com taxas 
complementares:
C C10
2
10
8 , pois 2 + 8 = 10
C C6
2
6
4 , pois 2 + 4 = 6
C C9
1
9
8 , pois 1 + 8 = 9
Aula 07
3Matemática 4B
Situações para resolver
01. (ESPM – SP) – O campeonato de futsal de uma faculdade será disputado por 6 equipes. Na primeira fase de classi-
ficação, todas as equipes jogam entre si, uma única vez. Das 4 melhores colocadas, a primeira joga com a quarta, 
a segunda joga com a terceira e os vencedores dessas partidas jogam entre si, resultando daí a equipe campeã. O 
número total de jogos realizados será igual a:
a) 15 b) 20 c) 18 d) 16 e) 21
02. (UNIUBE – MG) – A equipe de plantonistas de um hospital é constituída de 5 médicos e 8 enfermeiras. Para cada 
plantão são escalados 3 médicos e 5 enfermeiras. O número de equipes de plantonistas que poderão ser constituí-
das, quando não há qualquer impedimento, é:
a) 560 b) 66 c) 56 d) 660 e) 600
03. (UP – PR) – Considere uma circunferência na qual são destacados 10 pontos distintos. 
 Se denotarmos por T a quantidade total de triângulos distintos que podem ser determinados com esses 10 pontos 
e por R a quantidade total de retas distintas que podem ser determinadas com esses 10 pontos, então:
a) T < R 
d) T · R é múltiplo de 7
b) T = R
e) T – R = 75 
c) T + R = 810
4 Semiextensivo
04. (PUCPR) – Para organizar a formatura do curso de Matemática, foi solicitado pela coordenação que alguns alunos 
formassem uma comissão com três pessoas. Apresentaram-se 5 homens e 4 mulheres, mas, a pedido da coordena-
ção do curso, essa comissão de formatura não poderia ser constituída apenas com pessoas do mesmo sexo. Nessas 
condições, quantas possibilidades de comissões de formatura podem surgir? 
a) 84 b) 74 c) 80 d) 70 e) 82
Testes
Assimilação
07.01. (PUCRJ) – Em uma sorveteria, há sorvetes nos 
sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas 
maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores 
diferentes, nessa sorveteria?
a) 6 maneiras
d) 9 maneiras
b) 7 maneiras
e) 10 maneiras
c) 8 maneiras
07.02. (UEPA) – Segundo a Revista VEJA (11/01/2012), 
cinco habilidades fundamentais compõem a nova teoria da 
inteligência social: Comunicação, Empatia, Assertividade, 
Feedback e Autoapresentação. Dentre as habilidades que 
compõem a nova teoria da inteligência social, o número de 
possibilidades distintas em que o setor de Recursos Huma-
nos de uma empresa pode eleger três dessas habilidades é:
a) 120
d) 20
b) 60
e) 10
c) 30
07.03. (UNEMAT – MT) – No campeonato de xadrez deste 
ano houve 30 inscritos. Na primeira fase do campeonato, 
quaisquer dois jogadores jogam entre si uma única vez. O 
número de jogos na primeira fase é:
a) 435
d) 455
b) 465
e) 445
c) 430
07.04. (FAC. CULTURA INGLESA – SP) – Umaadolescente 
possui 5 cores diferentes de esmalte (verde, amarelo, azul, 
branco e vermelho) e quer escolher duas cores diferentes 
para pintar as unhas de suas mãos. Sabendo que essa ado-
lescente não usa as cores vermelho e azul juntas, o número 
de maneiras distintas de se escolher as duas cores é:
a) 10
d) 7
b) 9
e) 6
c) 8
Aula 07
5Matemática 4B
07.05. (IFPE) – Para aumentar as chances de ganhar no 
sorteio da Mega-Sena da Virada, um grupo de dez amigos 
se juntou e fez todos os jogos possíveis de seis “dezenas” 
diferentes, escolhidas dentre quinze “dezenas” distintas 
previamente escolhidas. Qual o total de jogos que foram 
realizados por este grupo de amigos?
a) 5.000
d) 5.015
b) 5.005
e) 5.020
c) 5.010
Aperfeiçoamento
07.06. (UEPA) – Atual tendência alimentar, baseada no 
maior consumo de legumes, verduras e frutas, impulsiona 
o mercado de produtos naturais e frescos sem agrotóxicos e 
uma diminuição no consumo de produtos que levam glúten, 
lactose e açúcar. Uma empresa especializada no preparo de 
refeições, visando a esse novo mercado de consumidores, 
disponibiliza aos seus clientes uma “quentinha executiva” que 
pode ser entregue no local de trabalho na hora do almoço. 
O cliente pode compor o seu almoço escolhendo entradas, 
pratos principais e sobremesas. Se essa empresa oferece 
8 tipos de entradas, 10 tipos de pratos principais e 
5 tipos de sobremesas, o número de possiblidades com 
que um cliente pode compor seu almoço, escolhendo, den-
tre os tipos ofertados, duas entradas, um prato principal 
e uma sobremesa é:
a) 400
d) 1 200
b) 600
e) 1 400
c) 800
07.07. (UEGO) – Uma pizzaria oferece a seus clientes um 
cardápio com dez sabores distintos. As pizzas podem ser 
compostas por um ou dois sabores entre os dez disponíveis. 
Dessa forma, de quantas maneiras um cliente pode escolher 
a sua pizza? 
a) 10 b) 45 c) 55 d) 100 
07.08. (UNCISAL) – Um cantor tem um repertório de doze 
músicas dançantes e cinco românticas. Cada apresentação 
é composta por dez músicas, sendo sete dançantes e três 
românticas. Como fazem muito sucesso, três músicas dan-
çantes e uma romântica fazem parte de toda apresentação. 
Qual o número de repertórios possíveis para apresentação, 
sem considerar a ordem de execução das músicas?
a) 105 b) 132 c) 756 d) 1 100 e) 1 200
07.09. (FGV – SP) – Uma empresa tem 3 diretores e 5 geren-
tes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, 
contendo no mínimo um diretor?
a) 500 b) 720 c) 4500 d) 25 e) 55
07.10. (FGV – SP) – Um estádio tem 5 portões. De quantas 
formas ele pode ser aberto ao público, ficando com pelo 
menos dois portões abertos? 
a) 28 b) 26 c) 32 d) 24 e) 30 
07.11. (MACK – SP) – Em uma sala de aula há 25 alunos, 
quatro deles considerados gênios. O número de grupos, com 
três alunos, que pode ser formado, incluindo pelo menos 
um dos gênios, é:
a) 580 b) 1200 c) 970 d) 1050 e) 780
6 Semiextensivo
07.12. (FGV – SP) – Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado 
para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se 2 dos 10 
são marido e mulher e só irão juntos?
a) 98 b) 126 c) 115 d) 165 e) 122
Aprofundamento
07.13. (UEMG) – Observe a tirinha abaixo:
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na 
sorveteria, há 6 sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas 
por casquinha, sendo sempre uma de cada sabor. 
O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é 
igual a:
a) 20 b) 41 c) 120 d) 35
07.14. (FUVEST – SP) – Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com 
exceção de Andreia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será 
constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro 
se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?
a) 71 b) 75 c) 80 d) 83 e) 87
07.15. (UECRE) – Sejam r e s duas 
retas distintas e paralelas. Se fixarmos 
10 pontos em r e 6 pontos em s, todos 
distintos, ao unirmos, com segmentos 
de reta, três quaisquer destes pontos 
não colineares, formam-se triângulos. 
Assinale a opção correspondente ao 
número de triângulos que podem ser 
formados.
a) 360
c) 400
b) 380
d) 420
07.16. (UEFS-BA) – Os 12 funcionários 
de uma empresa serão divididos, alea-
toriamente, em três equipes, X, Y e Z, 
com 3, 4 e 5 pessoas, respectivamente. 
O número de maneiras distintas de 
formar essas equipes é igual a:
a) 810 
c) 12400
e) 44100
b) 4840
d) 27720
Aula 07
7Matemática 4B
07.17. (FUVEST – SP) – Em um grupo de 10 pessoas, deseja-
-se escolher 4 pessoas para compor uma comissão. Entre 
essas pessoas, José participa se, e somente se, Amanda 
também participar. Além disso, Márcia e Sandro não podem 
estar juntos na comissão. Então, o número de comissões que 
podem ser formadas, obedecendo a todas essas condições, é:
a) 76
d) 82
b) 78
e) 84
c) 80
07.18. (UERN) – Em uma sorveteria, há x sabores de 
sorvete e y sabores de cobertura. Combinando um sabor 
de sorvete com dois ou três sabores de cobertura tem-se, 
respectivamente, 150 ou 200 diferentes opções de escolha. 
Assim, conclui-se que o número de sabores de cobertura 
disponível é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
Discursivos
07.19. (FGV – RJ) – Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde 
somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo.
a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel?
b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar no único 
restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham 
somente para o norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho.
07.20. (UNESP – SP) – Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores 
primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam menores que 30?
8 Semiextensivo
Gabarito
07.01. a
07.02. e
07.03. a
07.04. b
07.05. b
07.06. e
07.07. c
07.08. c
07.09. e
07.10. b
07.11. c
07.12. a 
07.13. b
07.14. a
07.15. d
07.16. d
07.17. d
07.18. c
07.19. a) Existem C38 = 56 possibilidades para a escolha das três garotas 
que podem ficar no primeiro quarto triplo.
Após a escolha das três primeiras garotas, existem C3(8 – 3) = C
3
5 = 10 
possibilidades para a escolha das três garotas que podem ficar no 
segundo quarto triplo.
Agora, resta C2(8 – 3 – 3) = C
2
2 = 1 possibilidade para a escolha das 
duas garotas que podem ficar no quarto duplo.
Portanto, as oito garotas podem alojar-se, nesse hotel, de:
C38 C
3
5 C
2
2 = 56 10 1 = 560 modos diferentes.
b) Qualquer um dos trajetos possíveis, dentre os permitidos, deve 
ser percorrido caminhando-se 10 quadras, sendo 6 delas para o 
Leste e 4 para o Norte. Logo, cada caminho pode ser represen-
tado por uma permutação da sequência NNNNLLLLLL, onde N 
indica uma quadra caminhada para o Norte, e L, para o Leste.
Assim, o número total de trajetos diferentes, do hotel ao restau-
rante, é igual ao número de permutações de 10 elementos, com 
4 repetições de um deles e 6 repetições do outro, ou seja:
P10
4 6 10
4 6
10 9 8 7 6
4 3 2 1 6
210,
!
! !
!
!
=
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
Portanto, existem 210 caminhos diferentes.
07.20. Existem exatamente 10 números que são primos, positivos e me-
nores do que 30. São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Supondo que os números, citados no enunciado, tenham somente 
quatro fatores primos e que os quatro sejam distintos, a quantidade 
desses números, que é dada por C410, é igual a 210.
4B
9Matemática 4B
Matemática
Análise combinatória IV
Aula 08
 Arranjos simples
Nas aulas anteriores, você estudou o uso de per-
mutações nas situações em que há a necessidade de 
“ordenar” os objetos ou elementos. Assim, usamos 
permutações quando o interesse está na sequência com 
que são ordenados os objetos. 
Já no caso das combinações, o procedimentoé 
diferente. Utilizamos combinações nos casos em que há 
a necessidade de “escolher” subconjuntos de objetos 
ou elementos. Aí, o interesse está em quais objetos são 
escolhidos e não na sequência formada na escolha.
Nada impede que possamos realizar as duas opera-
ções – “escolher” e “ordenar” – num mesmo problema. 
Em alguns casos, inclusive, ambas as operações serão 
necessárias.
Escolher (combinações) e 
ordenar (permutações)
Na resolução de problemas de combinatória é 
importantíssimo identificar se é preciso apenas ordenar, 
apenas escolher, ou escolher e ordenar. Embora sejam 
essencialmente diferentes, cada uma das três maneiras 
tem por base os procedimentos de escolher e misturar.
Nas situações a seguir, vamos ilustrar esses procedi-
mentos. Observe atentamente cada uma delas e procure 
diferenciá-las ao final.
Situação 1:
Se, em uma turma de 10 pessoas, 3 delas são 
selecionadas para um mesmo roteiro de viagem, de 
quantas maneiras pode ocorrer a seleção?
Se o roteiro de viagem é o mesmo, basta escolher-
mos 3 pessoas entre as 10. Não estamos preocupados 
com a ordem da escolha, mas, sim, com “quais” pessoas 
são selecionadas. 
O número de maneiras de escolher 3 pessoas entre 
as 10 é dado por: 
C10
3 10
3 7
10 9 8 7
3 2 1 7
10 9 8
3 2 1
720
6
120=
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= =
!
! !
!
!
Logo, a seleção das três pessoas pode ser realizada 
de 120 maneiras.
Note que, nesse caso, não houve necessidade 
de ordenar, pois as três pessoas selecionadas têm o 
mesmo roteiro.
Situação 2:
Três pessoas desejam viajar, cada uma delas em 
um roteiro diferente. Se existem ao todo 3 roteiros 
distintos, de quantas maneiras pode ocorrer a distri-
buição de roteiros entre as pessoas?
Ao todo são 3 pessoas e 3 roteiros, e cada pessoa 
escolhe um único roteiro distinto de outra pessoa. 
Podemos escolher o roteiro 1 de 3 maneiras. Escolhido 
o roteiro 1, podemos escolher o roteiro 2 de 2 maneiras. 
Escolhidos os roteiros 1 e 2, podemos escolher o roteiro 3 
de uma única maneira. 
Assim, existem 3! maneiras de distribuir as 3 pessoas 
para os 3 roteiros. 
ROTEIRO 1 ROTEIRO 2 ROTEIRO 3
a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a
6 maneiras
O número de maneiras é o número de permutações 
de 3 pessoas (ou 3 roteiros): 
P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6
Portanto, existem 6 maneiras de distribuir os 3 rotei-
ros para as 3 pessoas.
10 Semiextensivo
Situação 3:
Em uma turma de 10 pessoas, 3 delas serão 
selecionadas para roteiros diferentes de viagens. 
Se existem 3 roteiros distintos e cada pessoa sele-
cionada escolhe um único roteiro distinto de outra 
pessoa, então de quantas maneiras pode ocorrer 
a seleção?
Primeiro, vamos escolher as 3 pessoas que serão 
selecionadas entre as 10 possíveis. Isso pode ser feito de 
C10
3
 maneiras. 
Em seguida, vamos distribuir (ordenar) as 3 pessoas 
escolhidas entre os 3 roteiros distintos possíveis. Isso 
pode ser feito de P3 maneiras.
A cada escolha das 3 pessoas que irão viajar, exis-
tem P3 maneiras de distribuir os roteiros para essas 
3 pessoas. Portanto, o número de maneiras é obtido 
multiplicando o número de maneiras de escolher as 3 
pessoas pelo número de maneiras de ordenar essas 3 
pessoas escolhidas:
C10
3 P
3
 = 120 6 = 720
A conclusão é a de que existem 720 maneiras de 
ocorrer a seleção.
Como os roteiros eram distintos, foi necessário 
escolher as 3 pessoas e, em seguida, ordenar os 3 
roteiros para essas pessoas. Começamos usando 
combinações, para escolher, e terminamos usando 
permutações, para ordenar.
 Arranjos simples
As ideias presentes na situação 3 constituem o que 
chamamos arranjos simples. Observe o cálculo que foi 
efetuado:
C P10
3
3
10 9 8
3 2 1
3 2 1 10 9 8 720⋅ =
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Fazendo C10
3
 P
3
 = A10
3
, em que A10
3 é o número de 
arranjos simples de 10 elementos tomados 3 a 3, temos:
A C P10
3
10
3
3= ⋅
A10
3
 = 10 . 9 . 8
Multiplicando e dividindo por 7!:
A10
3 10 9 8 7
7
=
⋅ ⋅ ⋅ !
!
A10
3 10
10 3
=
−
!
( )!
A palavra simples é utilizada para indicar que os 
elementos ordenados são distintos.
O número de arranjos simples de n elementos 
tomados p a p pode ser representado por An
p ou An,p 
em que n e p são números naturais e n ≥ p.
Vamos agora generalizar o raciocínio anterior.
De quantas maneiras podemos escolher e ordenar 
p objetos distintos entre n objetos distintos dados?
Para escolher p objetos entre os n disponíveis, exis-
tem C n
p maneiras. Para ordenar esses p objetos, 
existem Pp maneiras. Assim, o número de manei-
ras de escolhê-los e ordená-los, indicado por A n
p , 
é dado por:
A = C P
A =
n!
p!(n p)!
p!
n
p
n
p
p
n
p
⋅
⋅
−
A =
n!
(n p)!n
p
−−
Alguns exemplos:
A
A
A
7
2
8
3
15
4
7
7 2
7 6
8
8 3
8 7 6
15
15 4
15 14 13
=
−
= ⋅
=
−
= ⋅ ⋅
=
−
= ⋅ ⋅
!
( )!
!
( )!
!
( )!
⋅⋅12
Aula 08
11Matemática 4B
01. (PUCPR) – O campeonato brasileiro de futebol ou “Brasileirão” da série A é composto por 20 times que jogam entre 
si no 1o. e no 2o. turno durante um ano. Dessa forma, durante um campeonato, dois times quaisquer se enfrentam 
duas vezes. Qual é o número de jogos disputados em um campeonato brasileiro?
a) 190 b) 570 c) 95 d) 380 e) 20
02. (UFMG) – Duas das cinquenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distin-
tas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras, para ocupá-las, é:
a) 1225 b) 2450 c) 2! d) 49! e) 50!
03. (UP – PR) – De um grupo constituído por 5 rapazes e 4 garotas, uma equipe de três rapazes será escolhida para 
auxiliar no transporte de uma carga e uma dupla de garotas para ajudar na análise de custos de uma empresa. Uma 
das garotas escolhidas ficará encarregada de verificar os estoques; a outra, de estudar um projeto de viabilidade 
econômica. O número total de formas de a equipe de rapazes e de garotas ser escolhida é igual a:
a) 720 b) 120 c) 360 d) 60 e) 180
04. (MACK – SP) – Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resultados 
possíveis para o pódio, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das três primeiras colocações, são em 
número de: 
a) 426 b) 444 c) 468 d) 480 e) 504
Situações para resolver
12 Semiextensivo
Testes
Assimilação
08.01. (PUCPR) – Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 
6 e 7, quantos números de 3 algarismos diferentes podem 
ser formados? 
a) 840 
b) 720 
c) 360 
d) 210 
e) 180
08.02. (UP – PR) – Anselmo adquire um cofre com um 
sistema de segurança digital cuja senha de abertura é com-
posta apenas por 3 algarismos distintos. Nessas condições, 
a quantidade total de senhas que podem ser cadastradas, 
nesse sistema, é igual a:
a) 3! 
b) A10
3
c) C10
3
d) 263
e) 1000
08.03. (UP – PR) – Um condomínio é composto por 20 
moradores. Na próxima eleição deverão ser eleitos o síndico, 
o conselheiro fiscal e o conselheiro consultivo. Supondo que 
qualquer morador possa assumir qualquer um desses cargos, 
mas não é permitido o acúmulo de cargos, o número total de 
maneiras com que esses três cargos poderão ser ocupados, 
por moradores desse condomínio, é igual a:
a) 1140
b) 20!
c) 
20
3
!
!
d) 
20
17 3
!
! !
e) 6840
08.04. (PUCRS) – Para a escolha de um júri popular formado 
por 21 pessoas, o juiz-presidente de uma determinada Co-
marca dispõe de uma listagem com nomes de trinta homens 
e de vinte mulheres. O número de possibilidades de formar 
um júri popular composto por exatamente 15 homens é: 
a) C C30
15
20
6 
b) A A30
15
20
6 
c) C C30
15
20
6 
d) A A30
15
20
6
e) C 50
21
08.05. (UFTM) – A prova da primeira fase de um vestibular 
terá 8 questões objetivas de Matemática, com 5 alternativas 
cada. Pretende-se que apenas duas dessas questões tenham 
a resposta correta indicada na alternativa E. O número de 
formas de se escolher essas duas questões é: 
a) 28
b) 36
c) 48
d) 56
e) 68
Aperfeiçoamento
08.06. (UEMA) – Usando os algarismos 1, 3, 4, 6 e 9, quantos 
números detrês algarismos distintos pode-se formar?
a) 60
d) 40
b) 50
e) 30
c) 70
08.07. (UEPA) – Um profissional de design de interiores 
precisa planejar as cores que serão utilizadas em quatro pa-
redes de uma casa. Para isso, ele possui seis cores diferentes 
de tinta. O número de maneiras diferentes com que esse 
profissional poderá utilizar as cores nas paredes, sabendo-se 
que somente utilizará uma cor em cada parede, é:
a) 24
d) 360
b) 30
e) 400
c) 120
08.08. (MACK – SP) – Tendo-se 5 objetos diferentes e 7 
caixas numeradas de 1 a 7, o número de formas distintas de 
se guardar um objeto em cada caixa é:
a) 2.520
d) 1.260
b) 75
e) 840
c) 57
Aula 08
13Matemática 4B
08.09. (ESCS – DF) – Os sintomas mais comuns do vírus 
ebola são febre, diarreia, dores de cabeça, fraqueza, dor 
de garganta, dores nas articulações e calafrios. Em um 
hospital, depois que alguns pacientes foram examinados, 
constatou-se que cada um deles tinha exatamente três dos 
sete sintomas desse vírus, mas quaisquer dois deles não 
apresentavam os mesmos três sintomas. A partir dessas 
informações, infere-se que o número máximo de pacientes 
examinados foi
a) superior a 30 e inferior a 40.
b) superior a 40.
c) inferior a 20.
d) superior a 20 e inferior a 30.
08.10. (UEFS – BA) – Uma empresa de engenharia tem 6 
engenheiros e 12 técnicos. Para um dado projeto, devem ser 
indicados um engenheiro chefe, um engenheiro assistente 
e três técnicos. Com base nessa informação, conclui-se que 
a quantidade de maneiras distintas que essa equipe pode 
ser formada é igual a:
a) 3300
d) 13200
b) 6600
e) 39600
c) 7920
08.11. (UP – PR) – Cinco colegas do cursinho, com bastante 
tempo de folga, vão ao cinema e escolhem, para sentar-se, 
uma fila em que há oito lugares disponíveis. O número de 
maneiras como poderão sentar-se, cada um em um lugar 
distinto, é igual a:
a) 56
d) 120
b) 8! 
e) 4800
c) 6720
08.12. (UNICAMP – SP) – Para acomodar a crescente quanti-
dade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com 
três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras 
e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.
ABC 1234 ABCD 123
Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. 
O aumento obtido, com essa modificação, em relação ao 
numero máximo de placas em vigor, seria
a) inferior ao dobro.
b) superior ao dobro e inferior ao triplo.
c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
d) mais que o quádruplo.
Aprofundamento
08.13. (UFU – MG) – Considere um grupo composto por 
n pessoas. Contando com a participação dessas pessoas, 
sabe-se que existe uma constante real fixa K tal que:
– para se formar uma comissão com 2 pessoas, existem 
3K + 3 maneiras;
– para se formar uma comissão com 2 pessoas, ocu-
pando as posições de presidente e secretário, existem 
7K – 15 maneiras.
Segundo essas informações, o valor de n é um múltiplo de:
a) 5 b) 7 c) 9 d) 3
14 Semiextensivo
08.14. (ESPM – SP) – Os 7 países do mapa abaixo devem ser 
coloridos com 4 cores distintas, de modo que os fronteiriços 
devem ter cores diferentes, e os países A e D, a mesma cor. O nú-
mero de maneiras distintas de se efetuar esse trabalho é igual a:
a) 48 
d) 96 
b) 72
e) 120
c) 80
08.15. (PUCSP) – Certo dia, Nair, Raul e seus quatro filhos 
foram jantar em um restaurante e lhes foi reservada uma 
mesa no formato retangular com 8 cadeiras dispostas da 
forma como é mostrado na figura abaixo. 
Tendo em vista que as cadeiras eram fixadas no solo e consi-
derando que Raul e Nair sentaram-se apenas nas cabeceiras 
da mesa, de quantos modos toda a família pode ter se aco-
modado nas cadeiras para desfrutar do jantar? 
a) 720 
d) 150
b) 360 
e) 72
c) 180
Permutações circulares
Uma permutação circular é aquela em que os ele-
mentos são dispostos em torno de um círculo.
De quantas maneiras podemos dispor n objetos 
distintos em torno de um círculo?
Existem n! maneiras de permutar os n objetos, 
caso eles estejam lado a lado. Entretanto, os n obje-
tos podem ser “girados” em n disposições idênticas. 
Assim, devemos dividir n! por n para não repetir a 
contagem das mesmas disposições circulares. Logo, 
o número de maneiras de dispor n objetos distintos 
em torno de um círculo é:
PC
n
n
n n
n
n = =
⋅
⇒
! ( )!− 1
PCn = (n – 1)!
08.16. (UFU – MG) – Quer-se colocar as bandeiras de oito 
países em uma praça de forma octogonal, de modo que as 
bandeiras fiquem nos vértices do octógono e que as ban-
deiras de Brasil e Portugal ocupem vértices consecutivos. 
Pode-se fazer isso de quantas maneiras?
a) 5040
b) 40320
c) 80640
d) 10080
e) 1440
08.17. (UEL – PR) – Quando os deputados estaduais assu-
miram as suas funções na Câmara Legislativa, tiveram que 
responder a três questionamentos cada um. No primeiro, 
cada deputado teria que escolher um colega para presidir 
os trabalhos, dentre cinco previamente indicados. No se-
gundo, deveria escolher, com ordem de preferência, três de 
seis prioridades previamente definidas para o primeiro ano 
de mandato. No último, deveria escolher dois dentre sete 
colegas indicados para uma reunião com o governador. 
Considerando que todos responderam a todos os questio-
namentos, conforme solicitado, qual o número de respostas 
diferentes que cada deputado poderia dar?
a) 167
d) 10500
b) 810
e) 12600
c) 8400
Aula 08
15Matemática 4B
08.18. (UFRN) – Em virtude de uma crise financeira, uma fábrica dispõe de apenas quatro vigilantes para ocuparem sete postos 
de vigilância. Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um vigilante e que o posto da entrada principal não pode 
ficar desguarnecido, indique a opção correspondente ao número de maneiras distintas de que o chefe de segurança pode 
dispor para distribuir os vigilantes. Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas, os vigilantes ocupam os mesmos 
postos e cada posto é ocupado pelo mesmo vigilante; caso contrário, são ditas distintas. 
a) 35 b) 80 c) 480 d) 840
Discursivos
08.19. Anselmo possui papéis com cores distintas. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e embalou 30 caixinhas 
de modo a não usar a mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 embalagens. Determine a menor quantidade de 
cores distintas que ele necessitou utilizar para a confecção de todas as embalagens.
08.20. (UEGO) – Uma comissão de quatro pessoas será escolhida de um grupo composto de cinco homens e cinco mulheres. 
a) De quantas maneiras pode ser escolhida essa comissão, sendo constituída de dois homens e duas mulheres? 
b) De quantas maneiras essa comissão pode ser formada, tendo pelo menos uma mulher? 
16 Semiextensivo
Gabarito
08.01. d
08.02. b
08.03. e
08.04. a
08.05. a
08.06. a
08.07. d
08.08. a
08.09. a
08.10. b
08.11. c
08.12. a
08.13. d
08.14. e
08.15. a
08.16. 05
08.17. e
08.18. c
08.19. Suponha que Anselmo possua exatamente n papéis de cores dis-
tintas e que tenha utilizado todas as cores para embalar as 30 caixi-
nhas. Como ele utilizou uma cor para a embalagem e outra para a 
fita, de todas as maneiras possíveis, então:
A2n = 30
n n⋅ −( ) =1 30
n2 – n – 30 = 0
n=
− −( )± −( ) − ⋅ ⋅ −( )
⋅
1 1 4 1 30
2 1
2
n=
±1 121
2
n=
±1 11
2
n = 6 ou n = –5 (não convém, pois n 2).
Logo, a menor quantidade de cores distintas que ele utilizou, para 
a confecção de todas as embalagens, é igual a 6.
08.20. a) Para escolher 2 homens, existem C5, 2 = 10 modos. Para escolher 
2 mulheres, existem C5, 2 = 10 modos. Logo, para a escolha de 
2 homens e 2 mulheres existem 10 · 10 = 100 modos.
b) Para escolher 4 pessoas quaisquer, dentre as 10 disponíveis, 
existem C10, 4 = 210 modos. Para formar o grupo com 4 mulheres, 
existem C5, 4 = 5 modos.
Assim, para formar um grupo com pelo menos uma mulher, existem 
210 – 5 = 205 modos possíveis.