MATERIAL - JOGO DOS DISCOS

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Presidência da República 
Ministério da Educação 
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior 
Diretoria de Educação a Distância
Curso de Especialização em Ensino de 
Matemática para o Ensino Médio
Matem@tica
na Pr@tica
Curso de Especialização em Ensino de 
Matemática para o Ensino Médio
Módulo I
Jogo dos Discos
Paulo Antonio Silvani Caetano
Roberto Ribeiro Paterlini
Matem@tica
na Pr@tica
Produção Editorial - Central de Texto
Editora: Maria Teresa Carrión Carracedo
Produção gráfica: Ricardo Miguel Carrión Carracedo
Projeto gráfico: Helton Bastos
Paginação: Ronaldo Guarim Taques
Revisão para publicação: Henriette Marcey Zanini
Índices para catálogo sistemático:
1. Professores de matemática : Formação : Educação 370.71
Caetano, Paulo Antonio Silvani
Jogo dos discos : módulo I. -- Cuiabá, MT :
Central de Texto, 2013. -- (Matem@tica na
pr@tica. Curso de especialização em ensino
de matemática para o ensino médio)
Bibliografia.
ISBN 978-85-88696-90-7
1. Matemática - Estudo e ensino 2. Matemática -
Formação de professores 3. Prática de ensino
I. Paterlini, Roberto Ribeiro. II. Título.
III. Série.
13-07111 CDD-370.71
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio
Equipe de especialistas em formação de professores de Matemática
Coordenação: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar)
Especialistas: Cláudio Carlos Dias (UFRN), João Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar), 
Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar), 
Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM-UFRJ)
Desenvolvimento Instrucional
Coordenação: Cristine Costa Barreto
Designers instrucionais: Juliana Silva Bezerra, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff
Responsáveis por este fascículo
Autores: Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini.
Leitores: Marlusa Benedetti da Rosa e Victor Augusto Giraldo.
Designers instrucionais: Cristine Costa Barreto, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff
Revisão: Paulo Alves
Apresentação
O Matem@tica na Pr@tica é um Curso de Especialização em Ensino de Matemática 
para o Ensino Médio na modalidade a distância, que está inserido no Plano de Ações Ar-
ticuladas do Ministério da Educação. Esse plano tem como um de seus objetivos promover 
uma importante atividade de formação continuada dirigida a você, professor do ensino 
básico, incentivando a renovação da sua prática pedagógica e propondo caminhos para 
que você possa criar, organizar e compartilhar novos conhecimentos com seus estudantes 
e colegas de trabalho.
O primeiro módulo de nosso curso consiste em três atividades práticas sobre temas 
que trazem importantes significados para a Matemática do ensino básico. Em seguida, você 
terá a oportunidade de refletir sobre essas atividades para, depois, dedicar-se à aplicação 
de uma delas em sua sala de aula.
Neste fascículo, apresentamos a atividade prática denominada “jogo dos discos”, que é 
um experimento muito atraente para os estudantes envolvendo o lançamento aleatório de 
discos em um quadriculado. O jogo dos discos aborda o tema probabilidade geométrica 
e constitui uma oportunidade para o estudante refletir sobre conceitos de probabilidade, 
obtenção de dados a partir de um experimento, ajuste de curvas e modelagem de dados 
através de uma função. 
Seja bem-vindo ao jogo dos discos!
Equipe do Matem@tica na Pr@tica
Março, 2013
Sumário
Ciclo I - Experimentando o Jogo dos Discos 9
1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 11
2. A probabilidade em nosso cotidiano 14
3. E o improviso virou Matemática 16
4. Estudo do jogo dos discos 17
5. Da cartolina para o chão da escola 30
Ciclo II - Explorando o Jogo dos Discos 33
1. Recapitulando 35
2. O que há de novo neste Ciclo? 37
3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39
4. Probabilidade geométrica 42
5. Probabilidade experimental 
versus probabilidade teórica 46
6. Nem tudo são parábolas 52
7. Lucrando com o jogo dos discos 54
8. Abordando outras situações 
específicas no jogo dos discos 56
Conclusão 59
Resumo 59
Orientações sobre avaliação 60
Encerramento 60
Referências 61
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Ciclo I 
Experimentando 
o Jogo dos Discos
 ▹ Como utilizar jogos para estudar 
probabilidade?
 ▹ Qual a influência das regras no 
favorecimento de um jogador?
 ▹ Como o modelo matemático do 
jogo ajuda a fazer previsões?
1. Um dia de cão... É possível prever ou não?
1. Um dia de cão... É possível prever ou não?
Abro os olhos AssustAdA e me dou contA de 
que perdi A horA. tenho menos de 10 minutos 
pArA sAir de cAsA. pulo dA cAmA, pensAndo nA 
reunião mArcAdA há semAnAs por meu chefe, 
que não vAi com A minhA cArA. se me AtrAsAr, 
perco meu emprego! olho pelA jAnelA e nuvens 
cinzAs no céu sugerem frio e chuvA.
meiAs... preciso de minhAs meiAs de lã. morro de frio nAquelA 
sAlA de reuniões, sempre com o Ar-condicionAdo no máximo. 
meiAs nA gAvetA de meiAs, conforme esperAdo. visto A primeirA 
roupA que vejo, corro pArA A sAlA, pego minhA bolsA e 
penduro no pescoço o pen-drive (não posso esquecer 
A ApresentAção em slides que pAssei A mAdrugAdA 
prepArAndo pArA Abrir A reunião). busco, 
freneticAmente, meu guArdA-chuvA! onde deixei 
mesmo? nossA, pode estAr em quAlquer 
lugAr dA cAsA! por que deixo o guArdA-
chuvA cAdA diA em um lugAr diferente?
deixA prA lá, vou ArriscAr sAir Assim mesmo. 
tomArA que não chovA logo... Abro A portA de 
cAsA e tropeço no jornAl. mesmo AtrAsAdA, leio 
A mAnchete e fico chocAdA com A notíciA sobre 
um Avião que cAiu, no meio do Atlântico, com mAis 
de 200 pAssAgeiros A bordo. que trAgédiA! AindA 
AtordoAdA com o desAstre, olho o relógio e me 
dou contA de que tenho que correr pArA o ponto 
de ônibus e que, se o dAnAdo AtrAsAr mAis de 
cinco minutos, eu não chego no trAbAlho A tempo. 
com A chuvA começAndo A cAir, AgorA mesmo é que 
A condução não tem horA prA pAssAr...
1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 11
mirAculosAmente, o ônibus chegA. subo os 
degrAus voAndo e sento no último lugAr 
vAgo. no meio do cAminho, cedo meu lugAr 
pArA umA mulher grávidA, imAginAndo se o 
bebê que elA cArregA é menino ou meninA. vou 
pArA o corredor do ônibus. que confusão! 
chego no trAbAlho e A chuvA ApertA. percebo que perdi 
o pen-drive no empurrA-empurrA do ônibus e, com ele, A 
ApresentAção dA reunião, o emprego, o Aluguel, As fériAs, 
tudo... que diA de cão! ensopAdA, AtrAsAdA e desolAdA.
subo As escAdAs ApressAdA e logo encontro 
um colegA, sAindo dA sAlA de reuniões, com umA 
expressão de incredulidAde no rosto. penso: fui 
demitidA! meu colegA olhA prA mim e diz, com A voz 
fAlhA: você não vAi AcreditAr... o chefe gAnhou 
sozinho nA loteriA... descobriu hoje, Assim que 
entrou nA sAlA... subiu nA mesA de reunião, dAnçou 
um tAngo com o ventilAdor de pé, e pediu demissão! 
foi direto pro Aeroporto, pegAr o próximo voo pArA 
o egito. disse que queriA conversAr com A esfinge, e 
que você seriA A novA chefe...
12 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
O significado dos termos previsível e aleatório tem a ver com a noção de incerteza. 
Quanto maior a chance de ocorrência de um evento, maior nossa certeza em relação a 
ele. É o caso de chover em um dia nublado, de o ônibus atrasar em dias de chuva, com 
tráfego intenso, ...
 Atividade 1 O que é e o que não pode ser
Na história em quadrinhos, diversos acontecimentos 
dão-se ao longo de uma tumultuada manhã. Do ponto de 
vista da personagem, selecione um acontecimento que você 
considera ser previsível e um acontecimento que você consi-
dera ser não previsível ou aleatório. Justifique sua resposta.
 ⺸ Acontecimento previsível
Justificativa
 ⺺ Acontecimento não previsível ou aleatório
Justificativa
Resposta comentada
Dentre os possíveis acontecimentos que a personagem 
poderiaprever, você pode ter identificado:
 ㍟ A perda do emprego devido à sua chegada atrasada 
na reunião, justificada pelo conhecimento das polí-
ticas da empresa e da personalidade de seu chefe;
 ㍟ O dia ser chuvoso e frio, justificado pelas nuvens 
cinzentas;
 ㍟ Ter facilidade para encontrar as meias e dificuldade 
para encontrar o guarda-chuva, justificado por haver 
um lugar específico onde ela guarda suas meias.
Dentre os acontecimentos aleatórios que a personagem 
não poderia prever, você pode ter identificado:
 ㍟ O sexo do bebê, pois as chances são iguais para 
menino ou menina;
 ㍟ A manchete do jornal sobre a queda do avião, por se 
tratar de um evento raro, não esperado.
 ㍟ O ônibus ter chegado rápido, por se tratar de um dia 
chuvoso e horário de tráfego intenso;
 ㍟ O chefe ter ganho sozinho na loteria, pois se trata de 
um acontecimento extremamente raro, de natureza 
imprevisível.
 ㍟ A promoção para o cargo de chefia, pois dependeu 
do fato de o chefe ter ganho sozinho na loteria.
1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 13
Figura 1: Como avaliar uma 
incerteza?
Na atividade anterior, refletimos sobre o termo aleatório, relacionado com eventos 
ocorridos em uma conturbada manhã. Esperamos que você tenha entendido melhor o 
que é um evento aleatório.
A chance de ocorrência de um evento aleatório é medida através de uma probabilida-
de. Um dos objetivos desta atividade é compreender ainda melhor este conceito e buscar 
novas maneiras de apresentá-lo em sala de aula. 
2. A probabilidade em nosso cotidiano
A probabilidade aparece em nosso dia a dia de um jeito que nem nos damos conta. Por 
exemplo, hoje em dia muitas pessoas pagam um plano de saúde e o valor da mensalidade 
envolve cálculos de probabilidades. A empresa que oferece o plano de saúde recebe men-
salidades de diferentes usuários, desde crianças recém-nascidas até pessoas idosas. Com 
os recursos recolhidos mensalmente, a empresa tem de pagar as despesas de consultas, 
operações e procedimentos diversos solicitados por eles. 
Figura 2: Alguns procedimentos 
cobertos por planos de saúde
Além disso, precisa sustentar sua estrutura operacional, como funcionários, prédios, 
veículos, impostos, etc. Os donos da empresa também querem que, no final do mês, sobre 
um lucro para eles mesmos.
 Saiba Mais O que é evento aleatório?
É um acontecimento com resultado imprevisível. Por exemplo, se lançamos para cima uma 
moeda qualquer e a deixamos cair em um piso duro, não temos como prever qual a posição 
em que ela vai ficar, após cessar seu movimento. É quase certo que ela fique sobre uma de suas 
faces, mas não temos como prever qual.
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14 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
Como calcular a mensalidade a ser cobrada dos clientes de modo que esse recurso 
seja suficiente para a empresa pagar suas despesas? Como a empresa pode prever quan-
tos clientes vão ter um determinado problema de saúde, quantas consultas vão solicitar, 
exames clínicos, operações, etc?
Ao fazer esses cálculos, a empresa usa a teoria das probabilidades para estimar a 
ocorrência de problemas e necessidades de saúde na população. Calculando essas proba-
bilidades, e conhecendo o perfil de seus clientes, a empresa pode saber qual a provável 
despesa que terá em um determinado mês. Por exemplo, não faz sentido esperar que um 
homem faça uma operação de ligadura de trompas, nem que uma mulher tenha câncer 
de próstata. Também é pouco provável que uma criança utilize os serviços relacionados a 
doenças do coração e que moradores de cidades pacatas tenham problemas de estresse.
Como você já deve ter percebido, a probabilidade está presente em nossas vidas e 
possui importância na sociedade atual, justificando a escolha deste tema como abertura 
do primeiro módulo do curso Matem@tica na Pr@tica. 
Antes de prosseguirmos, reflita sobre a seguinte pergunta: quais são os recursos e 
métodos que você mais utiliza para ensinar probabilidade em sala de aula?
Figura 3: O valor da mensalidade 
de um plano de saúde é 
determinado pela probabilidade 
de utilização de seus serviços, 
variando de acordo com a 
localidade, idade, sexo, etc. de 
seus clientes.
Figura 4: Estes objetos sempre 
marcam presença nas aulas de 
probabilidade
Diria que há uma grande chance de você ter respondido que usa dados, dominó ou 
cartas. Estes instrumentos são muito importantes e bastante úteis. Mas será que podemos 
ir mais além? Que tal construir um jogo diferente que envolva os conceitos de probabili-
dade, polígonos regulares, funções quadráticas e gráficos?
A seguir, apresentamos um jogo que vai proporcionar a você, professor, uma oportu-
nidade de mobilizar os estudantes de sua sala de aula em uma atividade em grupo muito 
interessante.
A aprendizagem da probabilidade é fundamental para a compreensão de 
fenômenos naturais e do cotidiano. O documento Matriz de Referência para 
o Enem-2009 indica que, ao término do Ensino Médio, o aluno deve ter 
desenvolvido a seguinte competência: “Compreender o caráter aleatório e 
não determinístico dos fenômenos naturais e sociais, e utilizar instrumentos 
adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de proba-
bilidade para interpretar informações de variáveis, apresentadas em uma 
distribuição estatística”. Os Parâmetros Curriculares Nacionais sugerem que o 
desenvolvimento da temática probabilidade seja abordado através de situações 
de aprendizagem que orientem os estudantes a coletar, organizar e analisar 
informações. No Caderno do SAEB 2009 encontramos o dado de que apenas 
24% dos estudantes conseguem compreender o cálculo da probabilidade de 
um evento. Tal fato indica que os professores precisam trabalhar mais forte-
mente essa habilidade, principalmente para atender às demandas da matriz 
de referência para o Enem-2009.
 Janela Pedagógica Documentos de referência e probabilidade
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2. A probabilidade em nosso cotidiano 15
3. E o improviso virou Matemática
Na França, no século XVIII, era moda ladrilhar pisos de castelos e jardins.
As crianças não perderam tempo e logo fizeram desses ladrilhos um grande tabuleiro. 
Inventaram o jogo dos discos, lançando moedas aleatoriamente no piso e apostando na 
parada da moeda no interior de um ladrilho.
Mas que fatores contribuíam para uma criança ganhar a aposta e ver sua moeda intei-
ramente dentro de um ladrilho, num lançamento aleatório, sem tocar nenhuma de suas 
bordas? As crianças mais espertas logo perceberam que o diâmetro da moeda e o tamanho 
dos ladrilhos influenciavam, e muito, na probabilidade de ganho deste jogo.
Figura 5: O Jogo dos Discos – 
ganha quem lançar o disco no 
interior de um ladrilho, sem tocar 
nenhuma de suas bordas. 
As crianças gostam de jogos que envolvam lançamentos de objetos em pisos quadri-
culados.
O jogo dos discos pode ser praticado por nossas crianças e, ainda por cima, ajudar 
nossos estudantes a aprender Matemática. Não acredita? Então, leia o texto a seguir, onde 
é feita uma proposta de atividade com esse jogo para o ensino da Matemática. 
Formandos antenados!
Na festa anual, promovida por sua escola, os estudantes do terceiro ano do Ensino 
Médio resolveram montar uma barraca para arrecadar fundos para a realização da tão 
sonhada festa de formatura. Alguns estudantes queriam montar uma barraca de doces, 
outros queriam vender refrigerantes e salgados, mas a maior parte da turma pensou em 
bolar um jogo de apostas. Só faltava saber qual seria o jogo, que deveria ser simples e 
interessante.
Depois de muitadiscussão e nenhuma definição, a turma resolveu pedir 
ajuda ao professor de Matemática. O professor, lembrando-se do 
Conde de Buffon, levou a turma para o pátio da escola 
e mostrou o piso quadriculado, com ladrilhos 
quadrados de 30 cm de lado. Neste momento, 
o professor fez a seguinte sugestão: 
Que tal construir discos com um certo diâme-
tro para serem comprados pelos convidados e jo-
gados “aleatoriamente” no piso? Se o disco, depois 
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 Saiba Mais Probabilidade e Geometria, 
um casamento perfeito
A imagem é do naturalista e matemático Georges Louis Leclerc, o Conde de Buffon 
(1707–1788). Ele discutiu a probabilidade de ganho no jogo dos discos, num livro em 
1777, juntamente com o famoso problema da agulha. Diz a História que este livro é o 
primeiro tratado conhecido sobre Probabilidade Geométrica.
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16 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
de parar, ficar inteiramente dentro de um ladrilho, sem tocar ou interceptar as linhas de 
separação do ladrilhamento, o convidado receberá um prêmio. 
Posições favoráveis ao jogador Posições favoráveis aos formandos
Figura 6: Regra básica para o jogo dos discos
Os alunos adoraram a ideia e, na mesma hora, começaram a pensar qual seria o melhor 
diâmetro para os discos. Claro que quanto maior melhor, pensaram...
O professor completou: 
Vocês só precisam tomar cuidado na hora de determinar o diâmetro desses discos, pois 
os convidados da festa somente irão se interessar pelo jogo se acharem que têm chance 
de ganhar o prêmio. Agora me digam: qual seria o diâmetro ideal? Vamos resolver este 
problema em sala de aula?
Então, você gostou da sugestão do professor? Ele foi bem esperto, não acha? Conseguiu 
motivar os estudantes para suas aulas e ainda propôs o ensino de probabilidade de forma 
lúdica, agradável e significativa.
Você também pode propor esse jogo para os seus estudantes. Mas para que essa ati-
vidade dê certo, você precisa dominar todo o processo de construção do conhecimento 
proporcionado por ele. Como? Estudando e experimentando. 
E vamos começar agora!
4. Estudo do jogo dos discos
Nosso primeiro objetivo é determinar qual é a influência do diâmetro do disco e do 
tamanho dos lados dos ladrilhos na probabilidade de o jogador ganhar com lançamentos 
aleatórios no jogo dos discos.
Para estudar os conceitos matemáticos envolvidos, vamos fazer vários experimentos 
considerando discos de diâmetros variados. Faremos muitos lançamentos aleatórios e 
anotaremos tudo, para comparar as jogadas vencedoras com o total delas.
Podemos sair por aí e procurar pisos ladrilhados para fazer os lançamentos. Mas fica 
mais prático se adotarmos algumas simplificações, principalmente se quisermos executar 
os lançamentos em sala de aula. Nossa sugestão é construir um quadriculado, com qua-
drados de 3 cm de lado, desenhados em papel cartolina de 42 cm 42 cm. O lado de 3 cm 
combina bem com moedas pequenas e botões de camisa.
4. Estudo do jogo dos discos 17
Uma vez construído o quadriculado, vamos inicialmente lançar moedas de 10 centavos 
como discos. O inconveniente das moedas é que, embora existam muitos tipos, elas não 
têm grande variação no diâmetro. Por isto, mais adiante, será preciso lançar também bo-
tões de camisa com diâmetros variados, para explorar diversas possibilidades em nossos 
lançamentos.
Mas, por ora, vamos colocar a cartolina quadriculada em uma mesa e lançar, aleato-
riamente, moedas de 10 centavos da segunda família de moedas do real, que possuem 2 
cm de diâmetro. 
Você pode lançar mais de uma moeda ao mesmo tempo. Veja na Figura 7 um 
exemplo de lançamento de cinco moedas de 10 centavos em um quadriculado com 
quadrados de 3 cm de lado.
Como vimos nas regras do jogo, um lançamento (também denominado evento) é 
favorável se a moeda cair inteiramente dentro de um quadrado, e não favorável se tocar 
ou interceptar alguma linha do quadriculado. Como você pode ver na figura a seguir, os 
eventos C e D são favoráveis, e os eventos A, B e E são não favoráveis.
A
B
C D
E
Figura 7: Quadriculado com 
cinco lançamentos, sendo 
dois favoráveis e três não 
favoráveis
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3 Após realizar os passos anteriores, 
está pronto o quadriculado formado por 
quadrados de 3 cm de lado.
⺺ Com o auxílio da régua e um esquadro (ou 
utilizando um par de esquadros), comece a construir o 
quadriculado, traçando segmentos de reta verticais e 
horizontais, partindo dos pontos marcados na folha. 
Material cartolina já recortada em 42 cm x 42 cm; régua; par de esquadros; fita adesiva e lápis
Antes de tudo fixar a folha na mesa com uma fita adesiva, para evitar que ela se mova e prejudique a construção
⺸ Marque, com o auxílio da régua, 
pontos distantes 3 cm um do outro, ao 
longo de duas bordas da folha (uma 
horizontal e outra vertical).
18 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
Antes de iniciarmos os lançamentos, é importante fazermos algumas reflexões. Faça a atividade a seguir e pense nas 
questões propostas.
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Valor Facial 
(R$)
Diâmetro 
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Peso 
(g)
Espessura 
(mm)
Bordo Material
0,01 20,00 2,96 1,20 Liso Aço inoxidável
0,05 21,00 3,27 1,20 Liso Aço inoxidável
0,10 22,00 3,59 1,20 Liso Aço inoxidável
0,25 23,50 4,78 1,40 Liso Aço inoxidável
0,50 23,00 3,92 1,20 Liso Aço inoxidável
1,00 24,00 4,27 1,20 Liso Aço inoxidável
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0,01 17,00 2,43 1,65 Liso Aço revestido de cobre
0,05 22,00 4,10 1,65 Liso Aço revestido de cobre
0,10 20,00 4,80 2,23 Serrilhado Aço revestido de bronze
0,25 25,00 7,55 2,25 Serrilhado Aço revestido de bronze
0,50 
(1998 a 2001)
23,00 9,25 2,85 Legenda* Cuproníquel
0,50 
(2002 em diante)
23,00 6,80 2,85 Legenda* Aço inoxidável
1,00 
(1998 a 2001)
27,00 7,84 1,95
Serrilha 
intermitente
Cuproníquel (núcleo)
e Alpaca (anel)
1,00 
(2002 em diante)
27,00 7,00 1,95
Serrilha 
intermitente
Aço inoxidável (núcleo)
e Aço revestido 
de bronze (anel)
* ORDEM E PROGRESSO BRASIL
Fonte: Banco Central do Brasil
 Multimídia 
Em 1998, o Banco Central lançou a 
2ª família de moedas do Real. Em vez 
do aço inoxidável, que reveste a 1ª 
família, as moedas da 2ª família são 
feitas de aço carbono, revestidas de 
cobre ou latão, com exceção da mo-
eda de 50 centavos, que é feita com 
uma liga de cobre-níquel. A 2ª família 
de moedas tem cores, formatos e 
tamanhos diferentes das moedas da 
família anterior.
Veja, nas tabelas ao lado, as carac-
terísticas técnicas que diferenciam 
essas duas famílias de moedas.
Para obter mais informações, você 
pode acessar o site:
<http//www.bcb.gov.br/?MOEDAREAL>
 Atividade 2 Algumas questões para pensar
 ⺸ Como proceder com os lançamentos para 
que sejam aleatórios? 
 ⺺ Um jogador, ao lançar uma moeda, chega bem perto e 
mira no centro de um quadrado. Seu lançamento é aleatório?
 3 O que acontece se fizermos 1.000 
lançamentos com uma moeda cujo diâ-
metro é maior do que o lado do quadrado 
do quadriculado?
 ⺾ Um estudante, ao desenhar um quadriculado, usou um 
pincel de ponta grossa, que faz linhas de 3 mm. O que muda? 
 ⻀ Um estudante foi solicitado pelo professor a fazer 200 
lançamentos de uma determinada moeda. Teve a seguinte 
ideia para acelerar a contagem: arrumou dez moedas iguaise lançava as dez simultaneamente. Assim, fez apenas 20 
lançamentos, mas contou 200. Isso pode?
 ⻂ Se for válido o lançamento de várias moedas de 
uma vez, para acelerar a contagem, o que fazer se, em 
um determinado lançamento, duas moedas ficarem so-
brepostas?
4. Estudo do jogo dos discos 19
A
B
C D
E
As questões que você acabou de responder têm a ver com aspectos comumente levan-
tados por alunos envolvidos no estudo de probabilidade, e é sempre bom refletir sobre 
elas antes de iniciar o desenvolvimento deste conteúdo. Além destes aspectos, há ainda 
alguns pontos que desejamos relembrar com você, antes de iniciarmos nosso experimento 
propriamente dito. Vamos lá?
Você sabe que, para estimar uma probabilidade, devemos contar os casos favoráveis e 
dividir esse número por todos os casos possíveis. 
No caso do jogo dos discos, para se estimar a probabilidade de ganho com um deter-
minado disco, devemos realizar um grande número de lançamentos com este disco, contar 
quantas vezes o disco parou inteiramente dentro de um quadrado (lançamento favorável) 
e dividir esse número de lançamentos favoráveis pelo número total de lançamentos reali-
zados. O resultado dessa divisão é uma estimativa aproximada da probabilidade de ganho 
com o disco em questão.
Por exemplo, a figura ilustra um lançamento aleatório de 5 moedas idênticas de 10 cen-
tavos num quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Nesta situação, podemos estimar 
a probabilidade de ganho com a moeda de 10 centavos, 
calculando a razão entre os lançamentos favoráveis (C e D) 
e o total de lançamentos (A, B, C, D e E). 
Na situação da figura acima, a probabilidade aproxima-
da de ganho com a moeda de 10 centavos é: 
2
0,4%
5
lançamentos favoráveis
p
total de lançamentos
= = = ou 40%
A probabilidade de ganho com um disco depende do 
seu diâmetro. Indicando o diâmetro por d (em cm), a probabilidade de ganho p será uma 
função de d, e, assim, escrevemos ( )p d .
Fo
to
s:
 A
fo
ns
o 
Li
m
a 
 / 
 S
XC
 
Resposta comentada
Sentiu alguma dificuldade para responder às questões 
anteriores? Então preste atenção nas explicações a seguir.
Perceba que, se a moeda for lançada horizontalmente e a 
certa distância do tabuleiro, pode-se praticamente assegurar 
que o lançamento é aleatório. A distância não precisa ser 
muito grande. Deve-se evitar “mirar” em um quadrado, ou 
“deixar cair” verticalmente a moeda. É preferível que não se-
jam colocados obstáculos nos lados 
do quadriculado e nem colocar o 
quadriculado junto a paredes. 
Observe também que, ao lançar 
uma moeda ou um disco com diâmetro maior do que o lado 
dos quadrados do quadriculado, ele sempre tocará algum 
lado de um quadrado. Neste caso, o jogador nunca ganha. 
É importante que a espessura das linhas do quadriculado 
seja a mais fina possível, caso contrário o tamanho dessa 
espessura pode influenciar na probabilidade de ganho do 
jogador. No Ciclo 2, esta questão será tratada com maior 
profundidade. 
Para acelerar a contagem, você pode lançar várias moe-
das ou discos idênticos de uma só vez, desde que haja um 
razoável espalhamento. Se dois discos caírem sobrepostos, 
pode-se retirar o de cima e fazer novo lançamento apenas 
com ele.
20 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
Considerando que a moeda de 10 centavos tem 2 cm de diâmetro, na situação da 
Figura 7 temos ( )2 40%p ≈ .
Mas será que essa informação corresponde à realidade? Em breve, você irá descobrir.
Para prosseguir com nosso experimento, precisamos obter estimativas de ( )p d para 
outros valores de d. Deste modo, você pode fazer outros lançamentos com moedas de 25 
centavos da segunda família de moedas do real, que possuem 2,5 cm de diâmetro, 
com botões idênticos de camisa, com cerca de 1,1 cm de diâmetro, e com botões 
idênticos de roupinhas de bebê, com cerca de 0,8 cm de diâmetro.
Agora sim! Na atividade a seguir, você vai fazer o experimento por completo. Faça 
a atividade com cuidado e atenção. Não se esqueça que tudo deve ser registrado.
A atividade experimental de lançamentos de moedas e botões em uma cartolina 
quadriculada, com quadrados de 3 cm de lado, também foi realizada pela equipe 
do Matem@tica na Pr@tica.
 Atividade 3 Costurando conhecimento
Com o quadriculado sugerido anteriormente (com qua-
drados de 3 cm de lado, desenhado em papel cartolina de 42 
cm x 42 cm), faça 200 lançamentos com cada um dos quatro 
tipos de discos indicados (moedas de 25 centavos, moedas 
de 10 centavos, botões idênticos de camisa e botões idênticos 
de roupinhas de bebê).
Com isso, você irá estabelecer a relação existente entre 
o diâmetro do disco e a probabilidade de o jogador ganhar, 
lançando aleatoriamente esse disco em quadrados de 3 cm 
de lado. 
Lembre-se de que, ao lançarmos 200 vezes um disco de 
diâmetro d, a probabilidade estimada ( )p d de ganho com o 
disco é:
( ) 
200
número de lançamentos favoráveis
p d ≈
Deste modo, siga as instruções passo a passo:
1º passo Realize um lançamento com dez moedas de 10 
centavos simultaneamente (discos de 2,0 cm de diâmetro). 
Repita esse procedimento 20 vezes.
Sugerimos, para esse início do experimento, organizar 
os dados na tabela a seguir. Após registrar os dados obtidos, 
calcule a probabilidade de ganho com essa moeda.
Tabela 1: Dados obtidos no lançamento das moedas de 10 centavos
L Q F L Q F
1 10 11 10
2 10 12 10
3 10 13 10
4 10 14 10
5 10 15 10
6 10 16 10
7 10 17 10
8 10 18 10
9 10 19 10
10 10 20 10
T 100 T 100
L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis
Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas
W
ag
ne
r M
ei
ra
 B
eff
Fo
to
s:
 D
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 J
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 R
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 M
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l C
ar
rió
n 
Ca
rr
ac
ed
o
4. Estudo do jogo dos discos 21
2º passo Prossiga a experiência, fazendo lançamentos 
simultâneos com dez moedas de 25 centavos (discos de 2,5 
cm de diâmetros). 
Continue registrando os dados obtidos na tabela a seguir 
e não se esqueça de calcular a probabilidade de ganho com 
essa moeda.
Tabela 2: Dados obtidos no lançamento das moedas de 25 centavos
L Q F L Q F
1 10 11 10
2 10 12 10
3 10 13 10
4 10 14 10
5 10 15 10
6 10 16 10
7 10 17 10
8 10 18 10
9 10 19 10
10 10 20 10
T 100 T 100
L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis
Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas
3º passo Faça agora lançamentos simultâneos, utilizando 
dez botões de camisa idênticos (discos com cerca de 1,1 cm 
de diâmetro).
Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de 
ganho com esse botão. 
Tabela 3: Dados obtidos no lançamento dos botões de camisa
L Q F L Q F
1 10 11 10
2 10 12 10
3 10 13 10
4 10 14 10
5 10 15 10
6 10 16 10
7 10 17 10
8 10 18 10
9 10 19 10
10 10 20 10
T 100 T 100
L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis
Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas
22 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
4º passo Finalmente, faça lançamentos simultâneos, utili-
zando dez botões de roupinha de bebê idênticos (discos com 
cerca de 0,8 cm de diâmetro). 
 
Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de 
ganho com esse botão. 
Tabela 4: Dados obtidos no lançamento dos 
botões de roupinhas de bebê
L Q F L Q F
1 10 11 10
2 10 12 10
3 10 13 10
4 10 14 10
5 10 15 10
6 10 16 10
7 10 17 10
8 10 18 10
9 10 19 10
10 10 20 10
T 100 T 100
L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis
Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas
Imaginamos que você, professor, realizou todos os passos 
indicados anteriormente. Sugerimos, então, organizar os 
dados em outra tabela,como a que está a seguir:
Tabela 5: Organizando os dados obtidos com lançamentos 
experimentais de discos com diâmetros variados 
Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm
Tipo 
de disco
Diâmetro 
(cm)
Quant. de 
lançamentos
Eventos 
favoráveis
Probabilidade 
de ganho
Agora, responda:
 ⺸ Qual foi a probabilidade encontrada no lançamento de 
200 moedas de 10 centavos? Compare este valor com o valor 
encontrado no exemplo da Figura 7. Os dois resultados estão 
muito diferentes? Por que isso aconteceu?
 ⺺ Como você pode decidir se 200 lançamentos são su-
ficientes para obter uma precisão de uma casa decimal no 
valor de ( )p d ? Não seriam necessários mais lançamentos? 
Será que 100 lançamentos não seriam suficientes?
4. Estudo do jogo dos discos 23
 3 Imagine que você está realizando esse 
experimento em sala de aula. Um dos seus es-
tudantes, ao lançar os discos no tabuleiro, con-
jecturou que essa probabilidade seria a razão 
entre a área da superfície do disco pela área do 
quadrado. Com os conhecimentos obtidos até o 
momento, como será possível ver se o estudante 
fez uma boa conjectura?
 ⺾ Que dificuldades podemos encontrar para medir o 
diâmetro de uma moeda ou de botões, usando uma régua? 
Verifique qual a melhor forma de obter essa medida. Você 
pode fazer uma estimativa para o erro em seu método de 
medição?
 ⻀ Você deve ter observado que o texto dá a entender 
que, ao lançar discos em um quadriculado com quadrados 
de 3 cm de lado, é melhor escolher discos com diâmetros 
espalhados no intervalo [0,3]. Por que isso?
 ⻂ Considerando que a probabilidade é um quociente, 
qual o menor valor que ela pode atingir e qual o maior valor?
Resposta comentada
Agora, vamos responder às questões propostas:
1▹	O valor encontrado com o lançamento de 200 moe-
das provavelmente foi diferente daquele encontrado 
na situação da Figura 7, com apenas 5 moedas. Difi-
cilmente, com 5 lançamentos, você obtém uma boa 
Uma conjectura é 
uma ideia baseada 
em suposições, com 
fundamento não ve-
rificado, ou seja, não 
foi provada como 
verdadeira.
24 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
estimativa da probabilidade em questão.
2▹	Como não conhecemos o valor exato da probabilida-
de, não temos como precisar quantas casas decimais 
exatas encontramos com 200 lançamentos. Quanto 
mais lançamentos fizermos com discos de um de-
terminado diâmetro d, maiores serão as chances 
de obtermos uma estimativa melhor de ( )p d . Esta 
experiência, com grupos de estudantes que realiza-
ram essa atividade, sugere que 200 lançamentos é 
uma quantidade adequada. Você, professor, também 
pode investigar isto.
3▹	Os experimentos não confirmam essa conjectura. Por 
exemplo, no caso da moeda de 10 centavos, com raio 
1r = cm e quadrados de lado 3=� cm, pela conjec-
tura do estudante teríamos 
( )
2
2
2 0,349
9
r
p
π π
= = ≈
�
, 
mas nos experimentos obtivemos (2) 0,135p ≈ .
4▹	Uma boa forma de medir diâmetros de discos é usar 
um paquímetro. Se usarmos uma régua 
numerada com centímetros, a precisão 
obtida será de 1 mm, isto se a régua foi 
bem fabricada. Uma forma de melhorar 
essa precisão é enfileirar dez discos, 
colocando-os bem alinhados, medir o 
total dos diâmetros e dividir por 10. Isto 
dá uma precisão de 0,1 mm.
5▹	Geralmente, o conhecimento dos va-
lores assumidos por uma função em pontos bem 
espalhados em seu domínio fornece uma boa ideia 
da função. 
6▹	Revendo a definição de probabilidade dada nesse 
texto, vemos que ela é um quociente em que o nume-
rador é sempre menor que ou igual ao denominador. 
Portanto, o maior valor possível da probabilidade é 1. 
A probabilidade pode ser zero se não houver eventos 
favoráveis, pois nesse caso o numerador é zero. 
Os dados obtidos pela equipe estão organizados nas tabelas a seguir.
Tabela 6: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica com moedas de 10 centavos
L Q F L Q F
1 10 4 11 10 3
2 10 1 12 10 1
3 10 2 13 10 2
4 10 1 14 10 0
5 10 1 15 10 1
6 10 1 16 10 2
7 10 0 17 10 2
8 10 0 18 10 0
9 10 3 19 10 2
10 10 1 20 10 0
T 100 14 T 100 13
L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis
Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas
Paquímetro é um 
instrumento de pre-
cisão para medição 
de espessuras, diâ-
metros e pequenas 
distâncias.
4. Estudo do jogo dos discos 25
Note que a equipe do Matem@tica na Pr@tica fez 200 lançamentos com moedas de 
10 centavos, dos quais 14 13 27+ = foram favoráveis, obtendo uma estimativa para a pro-
babilidade de ganho com esta moeda de:
 27
0,135 13,5%
 200
número de eventos favoráveis
número total de eventos
= = =
Considerando que uma moeda de 10 centavos tem 2 cm de diâmetro, a equipe do 
Matem@tica na Pr@tica obteve
(2) 0,135p ≈
O experimento prosseguiu com moedas de 25 centavos, que têm 2,5 cm de diâmetro, 
com botões de camisa de 1,1 cm de diâmetro e com botões de roupinha de bebê de 0,8 
cm de diâmetro. Foram feitos 200 lançamentos para cada tipo de disco, e os resultados 
obtidos estão dispostos na tabela a seguir.
Tabela 7: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica.
Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm
Tipo 
de disco
Diâmetro 
(cm)
Quant. de 
lançamentos
Eventos 
favoráveis
Probabilidade 
de ganho
Botãozinho 0,8 200 117 0,585 58,5%=
Botão 1,1 200 78 0,39 39%=
Moeda 
R$ 0,10
2,0 200 27 0,135 13,5%=
Moeda 
R$ 0,25
2,5 200 10 0,05 5%=
Em resumo, para um quadriculado com quadrados de lado de 3 cm, a equipe do Ma-
tem@tica na Pr@tica obteve as seguintes estimativas:
(0,8) 0,585p ≈
 
(1,1) 0,39p ≈
 
(2) 0,135p ≈
 
(2,5) 0,05p ≈
Retomando nosso estudo... 
Agora que você já percebeu que existe uma relação entre o diâmetro do disco e a pro-
babilidade de ganho com este disco, podemos caminhar na direção da questão levantada 
pelo professor de Matemática para os formandos da escola:
“Vocês só precisam tomar cuidado na hora de determinar o diâmetro desses discos, 
pois os convidados da festa somente irão se interessar pelo jogo se acharem que têm 
chance de ganhar o prêmio. Agora me digam: qual será o diâmetro ideal? Vamos resolver 
este problema em sala de aula?”
26 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
Nesta direção, vamos considerar inicialmente um jogo justo, em que a 
probabilidade de ganho é de 50%, num quadriculado com quadrados de 
3 cm de lado. Qual deve ser o diâmetro do disco ?
Já sabemos que devem ser considerados apenas diâmetros entre 0 cm e 3 cm, corres-
pondentes a probabilidades de ganho entre 0% e 100%. Já que 50% é ponto médio entre 
0% e 100%, a primeira ideia para o cálculo desse diâmetro é considerar o ponto médio de 
0 cm e 3 cm, não acha professor? Sendo assim, o diâmetro do disco que ofereceria uma 
probabilidade de ganho de 50% seria de 1,5 cm. Será que esta consideração está correta? 
Os experimentos feitos até agora são suficientes para decidir isto?
Examinando a Tabela 7, é fácil perceber que não. Os valores tabelados indicam que 
o diâmetro procurado deve ser algo entre 0,8 cm e 1,1 cm. Para obter uma informação 
mais precisa, você pode fazer lançamentos com discos de diâmetros intermediários, por 
exemplo 0,9 cm e 1,0 cm. Recursos computacionais podem ajudar nesse refinamento.
Existe outra forma de obter essa informação. Que tal fazer um gráfico? É isso mesmo, 
podemos plotar os pontos ( ; ( ))d p d que já temos em um gráfico. Supondo que o gráfico da 
função ( )p d seja uma curva contínua, podemos desenhar uma curva que melhor se ajuste 
aos pontos plotados. Vamos fazer?
 Atividade 4 Visualizando probabilidades
Utilize os eixos a seguir para plotar os dados que você 
obteve na Tabela 5.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
Resposta comentada
Seguem abaixo os dados plotados pela equipe do Ma-
tem@tica na Pr@tica, conforme Tabela 7.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
Observe que o eixo horizontal deste gráfico refere-se ao 
diâmetro d dos discos. Comonosso quadriculado é feito de 
quadrados de 3 cm de lado, indicamos a abscissa de 0 a 3. 
O eixo vertical deste gráfico refere-se à probabilidade ( )p d , 
A
da
m
 C
ie
si
el
sk
i 
/ 
SX
C 
Plotar significa dese-
nhar, especialmente 
um gráfico, basean-
do-se em informa-
ções fornecidas.
4. Estudo do jogo dos discos 27
O próximo passo é desenhar a curva contínua que melhor se ajusta a esses pontos. 
Depois de traçar a curva, e isso nós vamos deixar por sua conta, você vai observar que ela 
não é uma reta, parecendo ser parte de uma parábola com vértice em (3;0). A partir daí, 
fica fácil descobrir o diâmetro ideal dos discos para que o jogo seja justo.
que pode assumir valores de 0 a 1 (ou de 0 a 100%, se for 
expresso em porcentagem). 
O gráfico mostra-nos os pontos obtidos nos experimen-
tos (ver Tabela 7). Percebeu que existem dois pontos no grá-
fico que não foram obtidos no experimento? A explicação é 
simples. Observe que, se um disco tiver 3 cm de diâmetro, a 
probabilidade de ganho do jogador é 0. Por isto. acrescenta-
mos o ponto (3,0). Acrescentamos ainda o ponto (0,1), admi-
tindo que se o disco tem diâmetro 0, então a probabilidade 
de ganho é total (é igual a 1). Portanto, no gráfico mostrado 
anteriormente foram marcados os pontos:
(0;1) (0,8;0,58) (1,1;0,39) (2;0,135) (2,5;0,05) (3;0)
 Atividade 5 
Utilize os eixos a seguir para fazer um esboço da curva 
( )p d que melhor se ajusta aos valores obtidos pela equipe 
do Matem@tica na Pr@tica.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
Agora, responda:
 ⺸ Qual deve ser o diâmetro aproximado do disco, para 
uma probabilidade de acerto de 0,5 ou 50%?
 ⺺ Você se lembra de que as funções 2( )p d ad bd c= + + 
são as que possuem gráfico na forma de uma parábola? 
Vamos supor que o gráfico seja, de fato, uma parábola, com 
vértice no ponto (3;0). Nestas circunstâncias, encontre os 
valores dos coeficientes a, b e c.
Resposta comentada
A curva ajustada pela equipe do Matem@tica na Pr@tica 
é apresentada a seguir:
28 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
7▹	Usando o gráfico, podemos resolver o problema, 
pensando de forma inversa, isto é, qual deve ser a 
abscissa que corresponde a uma ordenada de 0,5. 
Observe que podemos traçar uma linha horizontal 
com ordenada 0,5 (essa é a probabilidade de ganho 
que desejamos). Ela toca o gráfico em um ponto A. 
Deste ponto, traçamos uma linha vertical, que inter- 
cepta o eixo das abscissas no ponto 0,9. 
Veja:
A
0.50 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
1
0.8
0.6
0.4
0.5
0.2
-0.2
0
A
0.5
0.9
0 1 1.5 2 2.5 3
p(d)
d
1
0.8
0.6
0.4
0.5
0.2
-0.2
0
Portanto, será preciso um disco com 0,9 cm de diâmetro 
para obter uma probabilidade de 50%. Lembre-se de que esta 
é uma solução aproximada.
8▹	Precisamos, agora, descobrir os coeficientes da fun-
ção 2( )p d ad bd c= + + . Assumindo que (0;3) é o 
vértice da parábola, segue que 3d = é uma raiz dupla 
e a expressão de ( )p d se simplifica na forma 
2 2( ) ( 3) 6 9p d a d a d a d a= − = − + . Como o gráfico 
passa pelo ponto (0;1), segue que 9 1a = e, conse-
quentemente, 
1
9
a = , 
2
3
b = − e 1c = .
será que esse jogo pode 
servir de trAnsição entre 
o estudo de funções 
lineAres e funções 
quAdráticAs?
4. Estudo do jogo dos discos 29
5. Da cartolina para o chão da escola
Professor, vamos agora variar nosso experimento?
Os lançamentos no jogo dos discos também podem ser realizados no chão da escola, 
em pisos ladrilhados com quadrados. Um piso muito comum em áreas públicas são aqueles 
feitos com quadrados de 30 cm de lado. Para a experiência com esses pisos, podem ser 
construídos discos de vários diâmetros. Uma forma cômoda é comprar anéis de vedação 
de canos de esgoto, disponíveis em lojas de material de construção em vários diâmetros.
Figura 8: CDs ou argolas também são boas opções de discos para tabuleiros de grandes dimensões
Figura 9: Os anéis de vedação de 
canos de esgoto são ótimos discos 
para o nosso jogo
 Saiba Mais 
Suponha que o jogo dos discos aconteça em um quadriculado com os 
quadrados de 3 cm de lado, deslocados como na Figura à direita. Você 
acha que essa disposição acarreta resultados diferentes dos anteriores? 
Como se pode verificar isso?
Uma forma de verificar é fazer experimentos com esse novo quadriculado 
e comparar os resultados com o quadriculado anterior. Naturalmente, os 
quadrados de ambos os quadriculados devem ter o mesmo lado. 
Mas, vamos pensar...
Imagine que a posição do disco, depois de lançado, depende apenas de seu centro. Isso é bem razoável, pois é 
bastante provável que o disco caia “deitado”. Assim, quando o disco é lançado, podemos imaginar que seu centro 
“escolhe” um quadrado onde cair (se o quadriculado for suficientemente grande, ele tem de escolher um quadrado). 
Então não importa se o quadrado escolhido estiver deslocado em relação ao que está abaixo ou acima. 
No Ciclo 2, vamos aplicar uma certa teoria e isto vai ficar mais claro.
Pa
ul
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 S
XC
30 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
Conclusão
Você gostou da escolha do jogo dos discos como uma das atividades deste curso? 
Entendemos que o jogo dos discos é uma atividade prática que aproxima os conteúdos 
acadêmicos do “chão da escola”. Trata-se de uma atividade simples e motivadora para os 
estudantes, facilmente aplicável pelo professor em sala de aula. 
Existem muitos problemas envolvendo probabilidade geométrica. O jogo dos discos, 
que acabamos de experimentar, é apenas um exemplo. Você pode pesquisar outros pro-
blemas interessantes, relacionados ao tema, criar algumas atividades e aplicá-las com os 
seus alunos.
No decorrer deste módulo, você também poderá fazer uma interação do jogo dos 
discos com o desafio dos polígonos regulares. 
Com isso, terminamos a primeira parte de nossa apresentação do jogo dos discos. 
Esperamos que você tenha gostado da nossa proposta.
Até a próxima!
Resumo
Durante este Ciclo:
 ▹ Experimentamos o jogo dos discos, que consiste em lançar aleatoriamente discos 
em um quadriculado e observar se o disco fica inteiramente dentro de um dos qua-
drados do quadriculado;
 ▹ Vimos que, neste jogo, a probabilidade do disco ficar inteiramente dentro de um 
quadrado depende do lado do quadrado e do diâmetro do disco;
 ▹ Construímos um gráfico com os pontos obtidos no experimento e chegamos a um 
traço que indica ser um pedaço de parábola.
 ▹ Por fim, através do gráfico que representa a probabilidade em função do diâmetro 
do disco, vimos que é possível determinar a chance de o jogador realizar uma jogada 
favorável.
Informações para o próximo ciclo
Professor, no Ciclo 2 retomaremos o estudo do jogo dos discos. Ali faremos uma abor-
dagem mais teórica e obteremos uma expressão exata para a função p(d).
Figura 10: Imagine só como ficaria 
interessante o jogo dos discos em 
um ladrilhamento hexagonal. 
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5. Da cartolina para o chão da escola 31
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Ciclo II 
Explorando 
o Jogo dos Discos
Bem-vindo, professor, ao Ciclo 2 do jogo dos discos.
No Ciclo 1 você experimentou o jogo dos discos e percebeu 
como ele pode ajudá-lo a pensar sobre probabilidade e a 
trabalhar com este conceito na sua sala de aula. Neste Ciclo 
vamos desenvolver uma abordagem mais teórica para o jogo 
dos discos, explorando questões ligadas à probabilidade 
geométrica.
Para começar, reflita sobre as seguintes questões:
 ▹ Como podemos construir uma análise matemática mais 
elaborada para o jogo dos discos?
 ▹ Como podemos obter uma expressão algébrica para a 
probabilidade envolvida no jogo dos discos a partir da 
geometria de seus elementos?
 ▹ De que forma a articulação entre uma abordagem 
experimental e uma abordagem teórica pode enriquecer 
suas aulas de probabilidade?O QUE VOCÊ ACHOU DO 
CICLO 1 DO JOGO DOS DISCOS?
EU ADOREI ESSA PROPOSTA 
DE ENSINAR MATEMÁTICA 
ATRAVÉS DE 
EXPERIEMENTOS.
OI, MEU NOME É JOSÉ 
E EU TAMBÉM ESTOU 
FAZENDO MATEM@TICA 
NA PR@TICA.
ACHO QUE VOU 
APROVEITAR ESSA 
IDEIA E CRIAR UM 
PROJETO SOBRE O 
DESAFIO DO JOGO 
DOS DISCOS LÁ NA 
ESCOLA
lEMBRA QUE CONSTRUÍMOS 
UM QUADRICULADO COM 3 CM DE 
LADO? DEPOIS FIZEMOS VÁRIOS 
LANÇAMENTOS COM MOEDAS E 
BOTÕES DE DIVERSOS 
DIÂMETROS?
COM ESSE GRÁFICO 
CONSEGUIMOS 
DETERMINAR O DIÂMETRO 
APROXIMADO DO DISCO 
PARA UMA 
PROBABILIDADE 
DE 50%.
DETERMINAMOS A 
PROBABILIDADE APROXIMADA DAS 
MOEDAS E BOTÕES FICAREM DENTRO 
DE UM QUADRADO EM LANÇAMENTOS 
ALEATÓRIOS NO QUADRICULADO.
MAS, QUE TAL 
RELEMBRARMOS 
RAPIDAMENTE O 
QUE FIZEMOS NO 
CICLO 1?
DEPOIS, COM OS 
DADOS OBTIDOS, 
CONSTRUÍMOS O GRÁFICO 
DA PROBABILIDADE EM 
FUNÇÃO DO DIÂMETRO 
DO DISCO.
MAS... E AGORA?
O QUE SERÁ QUE 
NOS ESPERA 
PARA O CICLO 2?
ESSA ATIVIDADE 
FOI BEM LEGAL!
1. Recapitulando
1. Recapitulando 35
Figura 1: A imagem do lançamento de CDs em um piso quadriculado mostra dois exemplos: jogadas favoráveis 
(indicadas por setas), onde os discos estão inteiramente dentro do quadrado, sem encostar nas bordas, e 
jogadas não favoráveis, onde os CDs estão sobrepostos à borda do ladrilhamento
A história em quadrinhos nos ajudou a lembrar brevemente a experimentação do 
jogo dos discos realizada no primeiro Ciclo. Vamos pensar agora em algumas questões 
específicas que foram trabalhadas? 
Estas questões nos ajudarão a refletir sobre os conceitos que iremos desenvolver neste 
Ciclo 2.
No Ciclo 1 vimos a história de uma turma de formandos do terceiro ano do Ensino 
Médio que precisava arrecadar fundos para a realização da sua festa de formatura e pediu 
ajuda ao professor de Matemática da escola... Você lembra qual foi a sugestão do professor 
para a turma de formandos?
Ele sugeriu aos estudantes o uso do jogo dos discos para arrecadar fundos na festa 
da escola. Nesse jogo, os participantes comprariam lançamentos de discos e receberiam 
prêmios pelos lançamentos favoráveis.
Mas você lembra o que é um lançamento favorável?
No jogo dos discos, um lançamento é considerado favorável quando o disco, lançado 
aleatoriamente em um plano quadriculado, para inteiramente dentro de um quadrado sem 
tocar ou ficar sobreposto às linhas do quadriculado.
Assim, na história dos formandos, se o participante fizesse um lançamento favorável, 
ele lucraria. Se, ao contrário, não conseguisse fazer este tipo de lançamento, os formandos 
lucrariam. Com esse lucro, os estudantes ganhariam dinheiro para a festa de formatura.
O professor, ao propor o uso do jogo dos discos aos formandos, levou a turma para o 
pátio e mostrou que o chão era todo ladrilhado com quadrados de 30 cm de lado. Desse 
modo, a turma só precisaria construir os discos.
Mas qual o diâmetro ideal para esses discos? Esse era o problema que os estudantes 
teriam que resolver. No Ciclo 1 propusemos que você resolvesse essa mesma questão dos 
estudantes formandos...
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36 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
... e para resolver você fez vários experimentos lançando discos de diâmetros varia-
dos em um plano quadriculado. Ao comparar esses lançamentos, foi possível entender, 
experimentalmente, como o diâmetro do disco influencia na probabilidade de ele cair 
inteiramente dentro de um dos quadrados do quadriculado.
No Ciclo 1 percebemos ainda que a probabilidade de o disco cair dentro de um dos 
quadrados de um quadriculado depende não só do diâmetro do disco, mas também do 
lado do quadrado. 
Todo esse conhecimento adquirido no Ciclo 1 será de grande importância na nova abor-
dagem que iremos construir neste Ciclo 2. Por isso começamos com esta recapitulação! 
Aqui, neste segundo Ciclo, vamos dar um tratamento algébrico ao jogo dos discos, 
resgatando sempre os experimentos realizados anteriormente.
Agora que nossa memória foi atiçada, vamos pensar sobre a nova abordagem que 
iremos desenvolver no Ciclo 2?
2. O que há de novo neste Ciclo?
Neste Ciclo iremos determinar precisamente a probabilidade de um lançamento ser 
favorável no jogo dos discos, utilizando o conceito de Probabilidade Geométrica.
No Ciclo 1 você obteve, através de experimentos, estimativas para a probabilidade de 
lançamento favorável no jogo dos discos em função do diâmetro. Neste Ciclo iremos fazer 
uma abordagem teórica para obter uma fórmula algébrica exata para essa função ( ( ))p d .
Você deve estar se perguntando: por que fazer uma abordagem teórica se já resolve-
mos o problema experimentalmente?
A abordagem teórica irá fornecer uma expressão exata para a função probabilidade, e 
não estimada, como no método experimental. Além disso, a teoria pode evitar a necessi-
dade da construção do experimento. Não é o nosso caso, mas um experimento pode ser 
muito custoso. Lembramos que a expressão exata pode conter parâmetros (como o lado 
variável do quadrado do quadriculado), permitindo, assim, estabelecer a probabilidade do 
jogo dos discos em qualquer quadriculado. 
Mas como faremos isso?
Já que temos um problema para resolver, iremos adotar a seguinte estratégia de reso-
lução, que você também pode adotar com seus estudantes.
ETAPA ⺸ 
Para resolução do problema
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2. O que há de novo neste Ciclo? 37
Estratégia para resolução de problemas
Identificar o problema e formular o que desejamos saber.
Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema.
Verificar se existem teorias que podem ser aplicadas.
Validar a interpretação recorrendo a informações conhecidas.
Aplicar a teoria e interpretar o problema através de linguagem 
adequada (funções, fórmulas, gráficos, tabelas, etc.)
Utilizar o modelo construído para explicar, fazer previsões, etc.
p(d)
P
0
0
1
10 20 30
d
0
L
02
04
06
08
1
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38 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
Essa foi a estratégia que escolhemos para resolver o desafio de expressar algebrica-
mente a probabilidade do jogo dos discos. Esperamos que você se identifique com ela!
Ao longo desse desafio, você encontrará as imagens acima nas margens de algumas 
páginas. Essas imagens indicarão as etapas da resolução do problema pela qual você estará 
passando. A primeira imagem, que representa a etapa de identificação e formulação do 
problema, já apareceu... Volte algumas páginas e a encontre. Ela está mostrando exata-
mente qual o problema que iremos resolver! 
Então, vamos começar a pensar sobre este problema?
3. Posicionamento dos discos no quadriculado
Você deve estar lembrado de que no Ciclo 1 realizamos todos os experimentos em um 
quadriculado com quadrados de 3 cm de lado que nós mesmos construímos. No entanto, 
na sugestão do professor de Matemática para a turma de formandos, o quadriculado era 
o próprio piso da escola, formado por quadrados de 30 cm de lado.
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3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39
Como podemos passar do caso estudado no Ciclo 1, com o quadriculado formado por 
quadrados de 3 cm de lado, para um caso mais geral, sem especificar o valor do lado dos 
quadrados do quadriculado? Isto é, como podemos generalizar a probabilidade do jogo 
dos discos?
A generalização em Matemática é fundamental quando pretendemos validar os dados 
obtidos a partir de um determinado experimento. Este é um aspecto muito importante da 
Matemática que merece ser trabalhado com os alunos da Educação Básica, você não acha?
Neste Ciclo buscaremos essa generalização. Ou seja, mais uma novidade desta aborda-
gem! Esperamos que você consigaaproveitá-la em sua sala de aula.
Mas vamos por partes...
Inicialmente, vamos supor que a brincadeira ocorrerá em um plano quadriculado com 
quadrados, todos de mesmo lado L.
Figura 2: Ao generalizar nosso 
estudo, L pode ter qualquer valor
Figura 3: Impossível fazer 
uma cesta com uma bola 
maior do que o aro
L
L
Vamos refletir sobre a relação entre o tamanho do lado 
do quadrado L e o diâmetro do disco lançado d?
Para entendermos a probabilidade de lançamentos favoráveis em um quadriculado 
qualquer, precisamos pensar no diâmetro do disco que será lançado. A probabilidade p 
de um lançamento aleatório ser favorável é uma função do diâmetro d do disco que está 
sendo lançado e depende também do tamanho L dos quadrados do quadriculado. Indica-
remos esta função probabilidade por ( )p d .
O tamanho L , neste caso, funciona como um parâmetro da função ( )p d .
Uma informação obtida com os experimentos do Ciclo 1 diz respeito aos discos com 
diâmetros maiores ou iguais ao lado dos quadrados do quadriculado. Discos com essa 
característica nunca proporcionarão jogadas favoráveis em lançamentos aleatórios, pois 
sempre tocarão as linhas do quadriculado. Na lógica matemática, esse fato é representado 
pela seguinte sentença:
se d L≥ , então ( ) 0p d =
Fica claro, então, que os valores interessantes para o diâmetro d estão no intervalo 
0 d L≤ < . Lembre-se de que, quando d L= , a jogada nunca é favorável, e, portanto, ( ) 0p L = . 
Então, professor, qual é a condição geométrica para que um disco de diâmetro d esteja 
contido num quadrado de lado L?
Para responder a essa pergunta vamos considerar somente a geometria do problema, 
sem nos preocuparmos se o lançamento é ou não favorável. 
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40 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
Figura 4: Exemplos de discos de 
diâmetro d confinados em um 
quadrado de lado L. d/2
L
Imagine a figura de um disco que foi lançado e está parando sobre um dos quadrados 
do quadriculado. Pense no disco confinado nesse quadrado, em todas as posições possí-
veis, tocando ou não as bordas do quadrado.
Observando a Figura 4, você consegue visualizar que a localização do centro de um 
disco confinado no quadrado determina a posição desse disco no quadrado? 
Em nossa abordagem teórica, podemos considerar que lançar um disco em um quadri-
culado é o mesmo que lançar um ponto (que é o centro do disco) em qualquer um dos 
quadrados do quadriculado. 
Ainda observando a Figura 4, e considerando um grande número desses discos lança-
dos no interior do quadrado do quadriculado, você consegue observar que seus centros 
geram tanto a borda quanto o interior de um outro quadrado menor?
Você saberia deduzir o lado do quadrado menor formado em função do lado L do 
quadrado do quadriculado e do diâmetro d do disco?
ETAPA ⺺ 
Para resolução do problema
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3. Posicionamento dos discos no quadriculado 41
 Atividade 1 Que quadrado menor é esse?
Observe a figura ao lado e deduza o tamanho do lado 
do quadrado menor formado pelos centros dos discos de 
diâmetro d confinados no quadrado de lado L.
L
d/2
Resposta comentada
A figura mostra o quadrado gerado pelos centros dos 
discos de diâmetro d confinados em um quadrado de lado 
L do quadriculado. Certamente o lado desse novo quadrado 
é menor do que L .
L
d/2
L-d
d—2
d—2
Note que a distância entre o lado do quadrado menor e 
o lado paralelo mais próximo do quadrado maior tem a 
 
mesma medida do raio do disco, que é 
2
d , e, portanto, o 
lado do quadrado menor é 
2 2
d d
L L d− − = − .
Você já conseguiu vislumbrar como a geometria dos quadrados da atividade anterior 
pode nos ajudar a resolver o problema de probabilidade do jogo dos discos? Vamos juntos 
pensar sobre isso...
4. Probabilidade geométrica
Para discutirmos a relação entre geometria e probabilidade, vamos usar o conceito de 
probabilidade geométrica. Você o conhece?
Para entender esse conceito, vejamos o caso de um meteorito que cai na Terra e atinge 
a superfície S do planeta em um ponto aleatório.
Fotos: Henry Hingst – Lars Sundstrom / SXC
42 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
A
B
Como sabemos que aproximadamente 3 / 4 da superfície terrestre é formada pelos 
oceanos, podemos estimar que a probabilidade deste meteorito cair em terra firme é:
1
 14
 4
Ssuperfície terrestre formada por terra firme
superfície total da Terra S
≈ =
Com esta ideia chegamos ao conceito de probabilidade geométrica.
Como você pode ver na figura ao lado, se tivermos uma região B do plano contida em 
uma região A, e se for escolhido ao acaso um ponto de A, a probabilidade de que esse 
ponto pertença a B é:
 
 
área de B
p
área de A
=
Este conceito de probabilidade geométrica se aplica mesmo quando a área de região 
B for nula, como no caso de pontos, segmentos, arcos, etc. 
Assim, considerando o caso do meteorito, a probabilidade dele cair em terra firme de-
pende apenas da área da superfície do planeta coberta por terra e da área total do planeta. 
O conceito de Probabilidade Geométrica é pouco trabalhado no Ensino Médio. Na 
escola, frequentemente o ensino de probabilidade se restringe apenas à contagem de 
casos favoráveis e casos possíveis. Porém, o trabalho com Probabilidade Geométrica pode 
ser muito interessante para que os alunos associem estudos de probabilidade e conheci-
mentos geométricos.
ETAPA 3 
Para resolução do problema
Considerando este conceito, você consegue deduzir qual seria a 
Probabilidade Geométrica de um lançamento favorável?
Aplicando o conceito de probabilidade geométrica ao jogo dos discos para 0 d L≤ <  , a 
região A corresponde a um dos quadrados de lado L do quadriculado, e a região B corres-
ponde ao interior do quadrado de lado L d− , ou seja, à região dos lançamentos favoráveis. 
Quando 0d = , o disco é um ponto qualquer do interior do quadrado de lado L , que nesse 
caso corresponde à região B. 
Observando que a área de um quadrado é igual à área de seu interior, vemos que a 
probabilidade de um lançamento ser favorável é:
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4. Probabilidade geométrica 43
 Atividade 2 Descobrindo a expressão 
polinomial da função p (d)
Você acabou de descobrir que os centros dos discos de 
diâmetro d, no interior de um quadrado de lado L, onde 
d L< , geram outro quadrado de lado L d− . 
Utilizando essa informação e o conceito de probabilida-
de geométrica, obtemos:
2
2
( )
( )
área do quadrado de lado L d L d
p d
área do quadrado de lado L L
− −
= =
Agora desenvolva ao máximo essa fórmula e tente des-
cobrir a expressão polinomial da função ( )p d .
Resposta comentada
Desenvolvendo ( )p d , temos:
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 1 2 1
1
L d L L d d L L
d d d d
L L L L L L L
− − +
= = − + = − +
daí,
2
2
1 2
p(d)= d - d +1
L L
Portanto, ( )p d é uma função quadrática da forma 
2( )p d ad bd c= + + , com 
2
1
a
L
= , 
2
b
L
= − e 1c = .
ETAPA ⺾ 
Para resolução do problema
( )
área do quadrado de lado L d
p d
área do quadrado de lado L
−
=
Nessa fórmula, L é um parâmetro que corresponde ao lado do quadrado do quadricu-
lado, e d é uma variável que corresponde ao diâmetro do disco lançado, como explicamos. 
Quer ver mais claramente que tipo de função é ( )p d ?
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44 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
Figura 5: Gráfico de ( )p d .
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
d
p
L
Com essa atividade, pudemos perceber que ( )p d é uma função quadrática. Esse tipo de 
função é trabalhado com frequência no Ensino Médio. O jogo dos discos é uma ferramen-
ta interessante para você desenvolver esse tipo de função com seus estudantes de forma 
contextualizada e significativa.
No jogo dos discos, temos uma função quadrática na variáveld:
2 2
2 2
1 2 1
( ) 1 ( )p d d d L d
L L L
= − + = −
com (0) 1p = e ( ) 0p L = . 
Note que d L= é uma raiz dupla dessa função. Assim, o gráfico de ( )p d é parte de uma 
parábola com concavidade voltada para cima e tangente ao eixo horizontal na abscissa 
d L= .
Já vimos o formato dessa curva no Ciclo 1, quando você construiu um gráfico como este 
a partir do lançamento de discos com diâmetros variados, lembra? Repetimos na figura 
anterior sua forma geral. A forma exata depende de atribuirmos a L um valor determinado.
Agora que você conhece a expressão polinomial da função ( )p d , que nesse caso é uma 
função quadrática, vamos resgatar os dados experimentais obtidos no Ciclo 1 para discos 
de vários diâmetros e comparar com os valores assumidos pela função ( )p d para esses 
mesmos diâmetros.
4. Probabilidade geométrica 45
 Atividade 3 Valores exatos 
para a probabilidade
Vamos retomar o Ciclo 1, onde fizemos experi-
mentos com um quadriculado com quadrados de 
3 cm de lado ( 3)L = . Nossos primeiros lançamen-
tos foram feitos com uma moeda de dez centavos, 
com diâmetro de 2 cm ( 2)d = .
Expresse a função ( )p d nesse caso e calcule o valor exato 
da probabilidade de uma jogada favorável para 2d = .
Resposta comentada
Utilizando a expressão polinomial que deduzimos ante-
riormente e considerando 3L = , obtemos:
2 2
2
1 2 1 2
( ) 1 1
9 3
p d d d d d
L L
= − + = − +
Calculando o valor assumido por ( )p d quando 2d = , 
obtemos:
1 2 1
(2) 4 2 1 0,111
9 3 9
p = ⋅ − ⋅ + = ≈
Portanto, para um disco com diâmetro de 2 cm e um 
quadriculado com quadrados de 3 cm de lado, a probabili-
dade de uma jogada favorável é exatamente 
1
9
 (a cada 9 
lançamentos, temos a probabilidade de 1 ser favorável), ou, 
aproximadamente, 0,11. Em porcentagem, a probabilidade 
é de aproximadamente 11%.
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Agora que já encontramos a probabilidade exata de uma jogada favorável a partir de 
uma abordagem teórica, vamos entender como ela se diferencia da probabilidade expe-
rimental obtida no Ciclo 1.
5. Probabilidade experimental versus probabilidade 
teórica
A atividade anterior nos lembra o que fizemos no Ciclo 1, quando calculamos expe-
rimentalmente a probabilidade de um lançamento favorável de uma moeda de 2 cm de 
diâmetro lançada em um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado.
46 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
Figura 6: Alguns lançamentos de moedas no quadriculado desenvolvido no Ciclo 1.
Você lembra que a probabilidade experimental é:
( )
quantidade de lançamentos favoráveis
p d
quantidade total de lançamentos
=
Lá fizemos 200 lançamentos com a moeda e obtivemos 27 lançamentos favoráveis, 
resultando numa probabilidade estimada de 
27
(2) 0,135
200
p ≈ =
Neste Ciclo, através da probabilidade teórica ou geométrica, obtivemos, por meio da 
função quadrática, o valor exato:
(2) 1/ 9 0,111p = ≈
Comparando os dois valores obtidos, podemos observar que existe um erro a ser 
considerado. Este erro pode ser calculado pela diferença positiva entre o valor exato e o 
experimental, ou seja:
experimental exato( ) ( )E p d p d= −
Nesse caso:
1
135 0,0238
9
E = − ≈
Fo
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5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 47
 Atividade 4 Calculando erros
A Preencha as duas primeiras colunas da Tabela (i) com os 
dados que você obteve no Ciclo 1 ao lançar moedas e botões 
no quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Em segui-
da, assumindo 3L = na expressão exata de ( )p d , preencha 
a próxima coluna com os valores exatos da probabilidade. 
Compare os resultados e preencha a coluna dos erros.
Tabela (i): Comparando a probabilidade experimental 
com a probabilidade exata e estimando o erro
Tipo 
de disco
Diâmetro 
cm
Pr
ob
ab
ili
da
de
 
ex
pe
ri
m
en
ta
l
Pr
ob
ab
ili
da
de
 
ex
at
a
Erro
Botão de 
roupinha de 
bebê 
Botão camisa
Moeda 
R$ 0,10
Moeda 
R$ 0,25
Fo
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Ou seja, temos um erro menor do que 3%.
Professor, por que existe essa diferença?
O método experimental resulta em um valor aproximado para a probabilidade, pois 
leva em conta uma quantidade finita de possibilidades, que é dada pelo número de lan-
çamentos que fizemos. Já o conceito de probabilidade geométrica considera como pos-
sibilidades um conjunto infinito de pontos, que é medido pela sua área, servindo como 
referência para o valor exato da probabilidade em questão.
Agora você já é capaz de comparar a probabilidade exata de uma jogada favorável com 
a probabilidade experimental encontrada usando como referência a expressão polino-
mial de ( )p d . Com isto, você pode validar ou não a abordagem teórica, utilizando os 
resultados já conhecidos e analisando o erro existente entre essas duas abordagens.
A atividade a seguir é bem simples e pode ser usada em sua sala de aula com seus 
alunos. Nela, você pode calcular a probabilidade exata para lançamentos de discos de di-
ferentes diâmetros em um quadriculado com 3 cm de lado ( 3)L = . E ainda pode comparar 
com os resultados obtidos no Ciclo 1, analisando o erro entre a probabilidade experimental 
e a probabilidade exata.
ETAPA ⻀ 
Para resolução do problema
p(d)
P
0
0
1
10 20 30
d
0
L
02
04
06
08
1
48 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
B Em uma escola, o desafio do jogo dos discos foi apli-
cado em seu piso, formado por peças quadradas de 30 
cm de lado. Os estudantes lançaram discos de borracha 
de vários diâmetros e obtiveram as probabilidades dis-
postas na tabela (ii).
Sua tarefa é completar essa tabela, comparando a 
probabilidade exata com a experimental e calculando 
o erro.
Tabela (ii): Analisando as probabilidades obtidas em uma sala de aula
Diâmetro 
(cm)
Probabilidade 
experimental
Probabilidade 
exata
Erro
4 0,755 75,5%=
6 0,685 68,5%=
8 0,62 62%=
10 0,5 50%=
12 0,38 38%=
14 0,32 32%=
Resposta comentada
A Para completar a tabela (i), vamos em primeiro lugar 
descobrir qual é o valor da probabilidade exata para 
cada um dos discos, certo? Para isso, lembre-se de que: 
2
2
1 2
( ) 1p d d d
L L
= − + . Como o lado do quadriculado é 
igual a 3 cm ( 3)L = , a expressão da probabilidade exata 
é:
2 2
2
1 2 1 2
( ) 1 1
(3) (3) 9 3
p d d d d d= − + = − +
Imaginando um botão de roupinha de bebê de 
0,8 cm de diâmetro, o valor exato é determinado da 
seguinte forma:
2 21 2 1 2( ) 1 (0,8) (0,8) 1 0,53777...
9 3 9 3
p d d d= − + = − + =
Para esse mesmo botão, a equipe do Matem@tica 
na Pr@tica obteve nos experimentos do Ciclo 1 uma 
probabilidade de 0,585. Repare que o valor que você 
obteve pode ter sido um pouco diferente!
Agora já podemos comparar as duas probabilidades 
para o botão de 0,8 cm, calculando o valor do erro. 
Neste caso, o erro aproximado é:
experimental exato( ) ( ) 0,585 0,538 0,047 0,05E p d p d= − ≈ − = ≈
Novamente, repare que a sua probabilidade experi-
mental pode ter sido diferente e, então, seu erro será Ad
am
 C
ie
si
el
sk
i 
/ 
SX
C 
D
am
io
n 
M
or
ga
n 
 / 
 S
XC
 
5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 49versus
também um pouco diferente, já que ele depende da 
probabilidade experimental! 
Seguindo esse mesmo raciocínio, preenchemos a 
tabela (i) com os valores encontrados pela equipe do 
Matem@tica na Pr@tica da seguinte forma:
Tipo de 
disco
Diâmetro 
cm
Probabilidade 
experimental
Probabilidade 
exata
Erro
Botão de 
roupinha 
de bebê 
0,8 0,585 0,538 0,05
Botão de 
camisa
1,1 0,39 0,401 0,01
Moeda de 
R$ 0,10
2,0 0,135 0,111 0,02
Moeda de 
R$ 0,25
2,5 0,05 0,027 0,02
B O raciocínio desta resposta é bem parecido com o 
anterior. O que muda em relação ao item (a) é que o 
piso da escola é formado por quadrados de 30 cm de 
lado. Logo, se 30L = , a expressão exata da probabilidade 
é diferente da que foiencontrada no item (a), pois:
2 2
2
1 2 1 1
( ) 1 1
(30) (30) 900 15
p d d d d d= − + = − +
Considerando um disco de 4 cm de diâmetro, o valor 
exato da probabilidade pode ser calculado de forma 
análoga ao anterior:
( ) 21 1 1694 (4) (4) 1 0,75111...
900 15 225
p = − + = =
Para esse disco obtivemos em nossos experimentos 
uma probabilidade de 0,755. Sendo assim, podemos 
comparar as probabilidades calculando o valor do erro:
0,755 0,751 0,004E ≈ − =
Seguindo esse mesmo raciocínio, você deve ter pre-
enchido a tabela (ii) da seguinte forma:
Diâmetro 
(cm)
Probabilidade 
experimental
Probabilidade 
exata
 Erro
4 0,755 75,5%= 0,751 0,004
6 0,685 68,5%= 0,640 0,045
8 0,62 62%= 0,540 0,082
10 0,5 50%= 0,450 0,050
12 0,38 38%= 0,360 0,020
14 0,32 32%= 0,284 0,036
Agora que já aprendemos a calcular a probabilidade de um lançamento favorável ( )p d 
a partir do diâmetro do disco e do lado do quadrado, podemos retomar a questão trazida 
pelo professor de Matemática aos formandos da escola lá do Ciclo 1.
Você lembra que, na situação-problema de uso do jogo dos discos como forma de ar-
recadar fundos para a festa de formatura, o objetivo era determinar o diâmetro do disco 
em função de uma probabilidade adequada? Probabilidade esta que proporcionasse um 
certo lucro para a turma sem desestimular os jogadores.
Ao retomar esta questão estaremos avançando em nossos estudos. Vamos utilizar todo 
o conhecimento desenvolvido até agora neste Ciclo 2 para darmos uma abordagem teórica 
a esta situação-problema trazida pelo professor. Vamos pensar sobre o conceito de Proba-
bilidade Geométrica e sobre a fórmula que desenvolvemos para encontrar a probabilidade 
exata de lançamentos no jogo dos discos...
... e vamos relacionar este conhecimento à situação-problema levantada pelo professor 
de Matemática.
50 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
Parece muita coisa de uma vez? Então, vamos devagar...
Vejamos o problema inverso, que consiste em encontrar o diâmetro d a partir de uma 
dada probabilidade p. Note que a situação-problema levantada pelo professor da turma 
de formandos inverte o que vínhamos fazendo, pois até agora sempre calculamos p a 
partir de d.
Para resolvermos uma situação-problema como esta, temos que olhar a expressão 
obtida para ( )p d : 
2
2
1 2( ) 1p d d d
L L
= − + 
Isolando d nessa expressão, podemos encontrar o diâmetro do disco a partir de uma 
dada probabilidade p. Esta conta fica mais fácil se partimos da definição de probabilidade 
geométrica dada pelo quociente de áreas:
2
2
( )L d
p
L
−
=
Manipulando esta equação temos 2 2( )p L L d= − . Extraindo a raiz quadrada em ambos 
os lados, vamos encontrar L p L d= − . Finalmente, isolando o diâmetro d obtemos:
( )1d L p= ⋅ −
Esta é a fórmula do diâmetro do disco em função da probabilidade requerida, tendo 
como parâmetro o lado L do quadriculado. 
Por exemplo, fixado 3L = , se quisermos uma probabilidade de 50%, isto é, 0,5p = , o 
diâmetro precisa ser: 
( )3 1 0,5 0,88d = − ≈
Note que esse valor teórico e exato é muito próximo do valor experimental 0,9d ≈ 
obtido para esta mesma situação, no Ciclo 1.
Usando este procedimento, você pode descobrir a medida ideal do diâmetro do disco 
para a probabilidade de acerto que desejar. Essa probabilidade pode ser 20%, 25%, 60%, 
80%... Enfim, é você quem decide a probabilidade de ganho do jogador. Considerando a 
situação-problema da turma de formandos do Ciclo 1, por exemplo, essa probabilidade 
deve ser alguma que proporcione lucro para os formandos e, ao mesmo tempo, encoraje 
os jogadores a participar do jogo dos discos!
Com as informações e expressões encontradas até aqui, os formandos já poderiam 
decidir o valor do diâmetro dos discos que utilizarão no jogo do pátio da escola.
ETAPA ⻂ 
Para resolução do problema
H
ar
ris
on
 K
ee
ly
 /
 S
XC
 
5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 51
Com o auxílio do conceito de Probabilidade Geométrica, podemos abordar outras 
situações em que se queira realizar o jogo dos discos, variando inclusive o lado dos qua-
drados do quadriculado.
Veremos isso na próxima seção.
6. Nem tudo são parábolas
Imagine a seguinte situação:
Em uma escola, os estudantes resolveram aplicar o jogo dos discos usando CDs comuns 
de 12 cm de diâmetro. Decidiram, depois de muita discussão, que o jogo deve ter uma 
 Atividade 5 Um estudante esperto...
Imagine que, em uma aula de Matemática, na qual o 
professor já vinha usando o jogo dos discos para explicar 
o conceito de probabilidade, um estudante perguntou qual 
seria o diâmetro do disco correspondente a uma probabilida-
de de 40% para um lançamento favorável, em um piso com 
quadrados de 30 centímetros de lado.
Antes mesmo que o professor pudesse falar, outro estu-
dante respondeu de bate-pronto, sem fazer contas: esse diâ-
metro está entre 10 cm e 12 cm. Se você fosse esse professor, 
como verificaria se essa resposta está correta?
Considere, em sua resposta, que na aula passada os 
alunos construíram e copiaram em seu caderno a tabela a 
seguir, após jogarem discos de diferentes diâmetros no piso 
da sala.
Diâmetro (cm) Probabilidade experimental
4 0,755 75,5%=
6 0,685 68,5%=
8 0,62 62%=
10 0,5 50%=
12 0,38 38%=
14 0,32 32%=
Resposta comentada
Provavelmente, o estudante que respondeu de bate-
-pronto concluiu examinando rapidamente, em seu caderno, 
a tabela feita na aula passada. E viu que o diâmetro estaria 
entre os valores de 10 e 12 cm, correspondentes respectiva-
mente às probabilidades de 50% e 38%. Espertinho, não?
Como sabemos que os quadrados do piso da sala de aula 
têm lados iguais a 30 cm, então o diâmetro d que resulta em 
uma probabil idade de 40% é determinado por: 
( )1d L p= − . Substituindo os valores da probabilidade e 
do lado, temos: ( )30 1 0,4 11,03d = − ≈ . Esta é uma outra 
forma de verificar que a resposta que o estudante deu está 
correta.
Pa
m
 R
ot
h 
 / 
 S
XC
 
52 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
probabilidade de 40% para um lançamento favorável ao jogador. Depois disso, alguns 
estudantes se dispuseram a desenhar um quadriculado para esse jogo.
Professor, qual deveria ser o valor do lado dos quadrados desse quadriculado?
Para responder isso, precisamos calcular a função que fornece a probabilidade de uma 
jogada favorável tendo como variável o lado do quadrado do quadriculado. 
A função que estamos procurando é obtida substituindo o valor 12d = dos diâmetros 
dos CDs na definição de probabilidade geométrica dada pelo quociente de áreas:
2
2
( )L d
p
L
−
=
Com isso, temos:
2 2
2 2 2
( 12) 24 144 1 1
( ) 1 24 144
L L L
p L
L L L L
− − +
= = = − ⋅ + ⋅
Note que essa função é bem definida para qualquer 0L ≠ . Porém, não interessa o caso 
em que o lado dos quadrados do quadriculado é menor do que o diâmetro dos CDs, certo? 
Logo, não faz sentido para o problema valores 12L ≤ . 
Diferentemente de ( )p d , a expressão ( )p L não é polinomial, e sim o quociente de duas 
funções quadráticas. Você observou que, quanto maior for L, mais próximo de 1 estará 
p? O gráfico a seguir, da função ( )p L , nos mostra esse fato. Note que esse gráfico não é 
parte de uma parábola.
Qual será a medida do lado dos 
Quadrados desse Quadriculado para 
resultar em uma probabilidade de ganho 
de 40% favorável ao jogador?
6. Nem tudo são parábolas 53
Figura 7: Gráfico da probabilidade de uma jogada favorável em função do lado dos quadrados do quadriculado.
0
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
p
L
A
fo
ns
o 
Li
m
a 
 / 
 S
XC
 
Para calcular o lado dos quadrados do quadriculado que resulta em uma probabilidade 
de 40% favorável ao jogador, basta resolver a equação
 
( ) 20,4
5
p L = = , ou seja, 2
2 1 1
1 24 144
5 L L
= − ⋅ + ⋅
Multiplicando esta equação por 25L e cancelando os denominadores, obtemos a se-
guinte equação de segundo grau: 2 22 5 120 720L L L= − + .
Ou, equivalentemente,
2 40