Ebook Matemática do ENEM 2014

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Matemática Do ENEM
Vagner Lopes de Almeida
2014
Conteúdo
1 Razão e Proporção 4
2 Questões envolvendo proporções 7
3 Grandezas Proporcionais 12
3.0.1 Grandezas diretamente proporcionais . . 12
3.0.2 Grandezas inversamente proporcionais . . 14
4 Regra de Três 16
4.0.3 Regra de três simples . . . . . . . . . . . 16
4.0.4 Regra de três composta . . . . . . . . . . 19
5 Porcentagem 22
6 Análise Dimensional 30
7 Questões do ENEM 36
8 P.A e Função do 1◦ Grau 67
8.0.5 Progressão Aritmética . . . . . . . . . . 67
8.0.6 Função do 1◦ Grau . . . . . . . . . . . . 68
1
9 Questões 74
10 Contagem - Análise Combinatória 84
11 Probabilidade 91
11.0.7 Probabilidade de A ou B ocorrer . . . . . 93
11.0.8 Eventos Independentes . . . . . . . . . . 94
11.0.9 Probabilidade Condicional . . . . . . . . 95
11.0.10 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . 96
12 Questões 98
13 Função do 2◦ Grau 121
14 Geometria Plana 130
14.0.11 Áreas Das Principais Figuras . . . . . . . 130
14.0.12 Semelhança de Triângulos . . . . . . . . 132
14.0.13 Relações Métricas No ∆ Retângulo . . . 134
14.0.14 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . 135
14.1 Geometria Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . 136
15 Geometria dos Sólidos 142
15.0.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
16 Estatística 203
16.0.2 Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
16.0.3 Medidas de dispersão . . . . . . . . . . . 208
16.0.4 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
17 Respostas 224
17.0.5 Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
17.0.6 Capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
2
17.0.7 Capítulo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 244
17.0.8 Capítulo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 255
17.0.9 Capítulo 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 256
17.0.10 Capítulo 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 281
3
Capítulo 1
Razão e Proporção
“ Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa
ciência aplicada, que economiza trabalho e torna a vida
mais fácil ? ” A resposta é simples... “ Porque ainda
não aprendemos a nos servir dela com bom senso ”.
Albert Einstein
Razão: Significa divisão ou quociente entre dois números A
e B, denotada por :
A
B
ou A/B.
Proporção: É a igualdade entre duas razões. A proporção
entre A/B e C/D é a igualdade:
A
B
=
C
D
→ (A está para B, assim
como, C está para D).
Porcentagem: Razão Centesimal −→ x% = x
100
.
Algumas razões especiais:
4
i) Velocidade:
v =
d
t
, isto é, velocidade é a razão entre a distância e o
tempo.
ii) Densidade Demográfica:
Número de habitantes
Área ocupada pela região
.
iii) Escala:
Comprimento do desenho
Comprimento real correspondente
.
iv) Pi:
Número irracional, que vale aproximadamente 3,141592...,
e é dado pela seguinte razão:
Comprimento de uma circunferência
Diâmetro ou dobro do raio
⇒ C
2r
= π.
Proposição 1.1 ( Propriedade Fundamental )
Podemos denotar essa proporção da seguinte forma A:B :: C:D
e que tem a seguinte leitura, A está para B, assim como, C está
para D. Veja que B e C são os termos do meio e A e D são os
5
extremos. Isto é, o produto dos termos do meio é igual ao produto
dos extremos.
Para demonstrar tal proposição, basta multiplicar ambos os
membros por B.D, se não, vejamos:
A
B
=
C
D
⇒ A
�B
.�B.D =
C
��D
.B.��D⇒ A.D = B.C.
Proposição 1.2 Se
A
B
=
C
D
⇒ A+B
B
=
C+D
D
.
Para demonstrar tal proposição, basta somar 1 a ambos os
membros:
A
B
=
C
D
⇒ A
B
+1 =
C
D
+1⇒ A+B
B
=
C+D
D
.
De modo semelhante, podemos subtrair 1 de ambos os mem-
bros e obter:
Se
A
B
=
C
D
⇒ A−B
B
=
C−D
D
.
Proposição 1.3 Se
A
B
=
C
D
⇒ A+C
B+D
=
A
B
=
C
D
.
Se
A
B
=
C
D
⇒ A
C
=
B
D
.
Aplicando a proposição 1.2, temos:
A
C
=
B
D
⇒ A+C
C
=
B+D
D
⇒ A+C
B+D
=
C
D
=
A
B
.
De modo, análogo, se
A
B
=
C
D
, então,
A−C
B−D
=
A
B
=
C
D
.
6
Capítulo 2
Questões envolvendo
proporções
Exemplo 2.1 Uma empresa possui atualmente 2 100 funcioná-
rios. Se a relação entre o número de efetivos e contratados é de 5
por 2, quantos são os efetivos?
A) 600
B) 1 000
C) 1 500
D) 1 600
E) 1 800
Solução: Chamando o número de efetivos de x e o número de
contratados de y, temos que x+y = 2100. Por outro lado, o enun-
ciado diz que a relação entre o número de efetivos e contratados
é de 5 por 2, temos aqui que relação é sinônimo de razão, isto é,
7
x/y = 5/2. Logo, temos que resolver um sistema de equações,
veja que o enunciado está interessado, apenas no valor de x.i) x+ y = 2100ii) x
y
=
5
2
Existem várias maneiras de resolver sistemas de equações.
Vou resolver de duas maneiras, uma delas vai ser usando as pro-
priedades das proporções.
De ii),
x
y
=
5
2
⇒ iii) x
5
=
y
2
.
Veja que aplicando a propriedade fundamental ( produto
dos extremos igual ao produto dos meios ) na equação ii) e na
equação iii), obtemos 2x = 5y, então ii)⇔ iii).
Então, usando a equação iii) e a proposição 1.3, temos que:
x
5
=
y
2
=
x+ y
5+2
=
2100
7
= 300.
Logo, temos que
x
5
= 300.
Aplicando a propriedade fundamental, temos que x = 5.300=
1 500, isto é, marcamos a letra C).
Agora vamos à segunda solução, chegamos em 2x = 5y⇔
2x− 5y = 0, isto é, vamos resolver o sistema que segue que por
sua vez é equivalente ao primeiro sistema.
8
{
i) x+ y = 2100
iv) 2x−5y = 0
Vamos multiplicar ambos os membros de i) por 5, fazendo
isso, temos v) 5x+5y = 10 500, logo, temos o sistema que segue.{
v) 5x+5y = 10 500
iv) 2x−5y = 0
Agora, vamos somar as equações v) e iv) membro a membro,
como segue.
Exemplo 2.2 ( ESAF ) A soma das idades de um pai, de um filho
e de um neto é de 105 anos. Sabendo-se que a idade do pai esta
para 8, assim como a do filho esta para 5 e do neto esta para 2, a
idade, em anos, de cada um é, respectivamente:
A) 66, 29 e 10.
B) 62, 31 e 12.
C) 56, 37 e 12.
D) 56, 35 e 14.
E) 58, 38 e 9.
9
Solução: Equacionando o problema, teremos o sistema que
segue.i) p+ f +n = 105ii) p
8
=
f
5
=
n
2
Aplicando a proposição 1.3 duas vezes em ii), teremos.
p
8
=
f
5
=
n
2
=
p+ f +n
8+5+2
=
105
15
= 7.
Logo,
p
8
= 7⇒ p = 7.8 = 56, f = 5.7 = 35 e n = 2.7 = 14.
Assim, ficamos com a letra D).
Exemplo 2.3 Uma estrada esta representada por 15 cm em um
mapa de escala 1 : 20 000. O comprimento real dessa estrada é:
A) 3 km
B) 30 km
C) 300 m
D) 3 000 cm
E) 30 000 dam
Solução: Temos uma questão de razão ( escala ), como sabe-
mos a razão 1 : 20 000 significa que 1 cm no desenho equivale a
20 000 cm no real, assim podemos montar a seguinte proporção,
1 está para 20 000, assim como, 15 cm está para x, isto é,
10
1
20000
=
15
x
.
Usando a propriedade fundamental das proporções, isto é,
multiplicando em cruz, temos 1.x = 15.20000⇒ x = 300 000 cm.
Como 1 m = 100 cm e 1 km = 1 000 m, temos que
1 km = 1 000 . 1 m = 1 000 . 100 cm = 100 000 cm.
Como, 1 km = 100 000 cm, então 300 000 cm = 3 km, isto é,
letra A).
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11
Capítulo 3
Grandezas Proporcionais
3.0.1 Grandezas diretamente proporcionais
Definição 3.1 Dizer que a grandeza y é diretamente proporci-
onal à grandeza x equivale a afirmar que existe um número k (
fator de proporcionalidade ) tal que
y
x
= k⇔ y = k.x
Exemplo 3.1 Supondo que um objeto custe R$ 2,00. Podemos
montar uma tabela com 2 grandezas, valor do objeto em função (
dependendo ) da quantidade de objetos.
Observe que fazendo a divisão entre as grandezas, isto é.
2
1
=
4
2
=
6
3
=
8
4
= 2 ou
1
2
=
2
4
=
3
6
=
4
8
= 0,5.
12
Então, se y for o custo e x a quantidade de objetos temos a
relação que segue.
y
x
= 2⇒ y = 2x ou x = y
2
⇔ x = 0,5y.
Como, a divisão entre o custo e o número de objetos é cons-
tante ( a saber, nesse caso é igual a 2 = fator de propocionalidade
), então dizemos que essas grandezas ( custo e objetos ) são di-
retamente proporcionais. Veja que a divisão entre o número de
objetos e o custo é constante ( fator de proporcionalidade igual a
0,5 ), então elas são diretamente proporcionais, isto é,
se uma grandeza x é proporcional a y, então a grandeza y é
proporcional a x.Veja eu como vendendor posso vender os objetos seguindo
o padrão da tabela, mas e se eu vendesse 3 objetos por 5,00,
se assim fosse feito, não teriamos grandezas proporcionais, pois
5/3 6= 2, veja na tabela ( objetos x custo ), que quando dobramos
o número de objetos, o custo dobra também, se multiplicamos o
número de objetos por 3, o valor do custo também será multipli-
cado por 3, então se estivemos diante de 2 grandezas, se o valor
de uma aumentar e por isso o valor da outra aumentar, isso não
quer dizer que elas são diretamente proporcionais, pois pra se-
rem proporcionais, além do aumento, temos que ter uma divisão
constante entre elas ( seus valores ). Vamos esboçar o gráfico
da função ( relação ) y = 2x, por sorte, tal função é do primeiro
grau e toda função do primeiro grau o gráfico é uma reta.
13
3.0.2 Grandezas inversamente proporcionais
Definição 3.2 Dizer que a grandeza y é inversamente proporci-
onal à grandeza x equivale a afirmar que existe um número k (
fator de proporcionalidade ) tal que x.y = k
Exemplo 3.2 Vamos fazer uma tabela com as grandezas veloci-
dade ( km/h ) e tempo ( horas ).
Velocidade 320 160 80 40 20
Tempo 1 2 4 8 16
Pela tabela temos na primeira linha a velocidade em km/h.
Por exemplo a velocidade de 160 km/h ( 1 h→ 160 km ), isto é,
pra cada hora temos a distância de 160 km. Assim, em 2 horas
vamos ter a distância de 320 km. Pela tabela temos que o produto
da velocidade pelo tempo é constante e a saber vale 320.
14
320.1 = 160.2 = 80.4 = 40.8 = 20.16 = 320. Como veloci-
dade é dada em km / h e o tempo em horas, temos o produto
km
��h
.��h = km, isto é, multiplicando a grandeza velocidade pela
grandeza tempo, vamos ter como resultado, distância.
Velocidade . Tempo = Distância
Então, como o produto entre velocidade e tempo é constante
( distância fixa ), dizemos que velocidade é inversamente pro-
porcional ao tempo. Pela tabela temos que quando a velocidade
aumenta o tempo vai diminuindo e além disso, temos que se do-
brar o valor da velocidade o tempo se reduz à metade. Fazendo o
gráfico velocidade × tempo, temos.
De modo geral , uma expressão como w = k.
a.b.c
y.d
.
Significa que w é diretamente proporcional ao produto a.b.c e
inversamente proporcional ao produto y.d.
15
Capítulo 4
Regra de Três
4.0.3 Regra de três simples
É um processo prático para resolver problemas que envolvam
quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, por-
tanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Exemplo 4.1 Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$ 120,00.
Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e
preço?
Solução: Se 3 camisas equivalem 120,00 é de se esperar que
uma camisa custe 120/3 = 40 e se assim for, temos que o número
de camisas é diretamente proporcional ao seu custo, ou seja, agora
vamos ver que o dispositivo prático chamado de regra de três na
verdade é apenas uma consequência das definições de grandezas
diretamente e inversamente proporcional. Logo, podemos fazer a
seguinte associação.
3 camisas→ 120,00⇒ 1 camisa→ 40,00.
16
Logo, como 1 camisa corresponde a 40,00, então 5 camisas
equivalem a 5.40 = 200,00. Esse é um método simples e fácil de
entender ( método da redução à unidade ), pois primeiro calcula-
mos o valor unitário.
Vamos agora ao dispositivo prático ( regra de três ).
6
Camisas
3
5
R$
120
x
6
Veja que no dispositivo temos uma correspondência entre as
grandezas e que usamos setas pra indicar se tais grandezas são
inversamente ou diretamente proporcionais. Então vai ficar esta-
belicido que setas que tem o mesmo sentido indicarão grandezas
diretamente proporcionais.
Logo, nesse exemplo, podemos montar a seguinte proporção.
3
5
=
120
x
. Agora basta usar a propriedade fundamental das
proporções ( multiplicar em cruz ) e teremos.
3
5
=
120
x
⇒ 3x = 5.120⇒ x = 5.120
3
= 5.40 = 200.
Exemplo 4.2 Certa máquina produz 90 peças, trabalhando du-
rante 50 minutos. Quantas peças produzirá em 1 h 20 min ?
Solução: Vamos usar o dispositivo prático.
17
6
Peças
90
x
Tempo
50
80
6
Como o enunciado diz, 1 h 20 min, então no dispositivo de-
vemos deixar tudo com a mesma unidade, então vamos colocar
tudo em minutos, isto é, 1 h e 20 min = 60 min + 20 min = 80
min. Veja que para produzir o dobro de peças o tempo será o
dobro, logo essas grandezas são diretamente proporcionais, como
indica as setas do dispositivo, então temos.
90
x
=
50
80
⇒ 90
x
=
5
8
⇒ 5x = 8.90⇒ x = 8.90
5
= 8.18 = 144.
Assim em 80 minutos serão produzidas 144 peças.
Exemplo 4.3 Um carro, à velocidade de 60 km/h, faz certo per-
curso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80 km/h, em
quantas horas seria feito o mesmo percurso ?
Solução:
6
km/h
60
80
horas
4
x ?
Como as grandezas velocidade e tempo são inversamente pro-
porcionais, então representamos isso colocando setas com senti-
dos contrários. Logo, invertemos uma delas e ficamos com a pro-
porção que segue.
60
80
=
x
4
⇒ 80x = 4.60⇒ x = 4.60
80
=
4.6
8
= 24/8 = 3.
18
Isto é, o carro vai gastar 3 horas para percorrer a mesma dis-
tância à velocidade de 80 km/h.
Exemplo 4.4 Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se fo-
rem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo necessário para enche-
lo?
Solução:
6
Torneira
1
3
Horas
6
x ?
Logo, temos a seguinte proporção.
3
1
=
6
x
⇒ 3x = 6⇒ x = 6
3
= 2, isto é, se utilizarmos 3 tornei-
ras, tal tanque poderia ser abastecido em 2 horas.
4.0.4 Regra de três composta
Exemplo 4.5 Em 6 dias de trabalho, 12 funcionários fazem 960
bolsas. Em quantos dias 8 funcionários poderão fazer 320 bolsas
?
Solução: Como agora temos uma relação de correspondência
com mais de duas grandezas, dizemos que se trata de uma regra
de três composta. Vamos ao dispositivo prático.
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19
6
Dias
6
x
Pessoas
12
8 ?
Bolsas
960
320
6
Veja que no dispositivo nossa incógnita tá na grandeza dias,
assim sendo, vamos fazer as comparações sempre usando tal gran-
deza.
1) Vamos as grandezas dias e pessoas, deixando fixa a gran-
deza bolsa, assim temos que quanto mais dias menos pessoas vão
ser necessárias para fazer tais bolsas, logo dias e pessoas são in-
versamente proporcionais ( setas com sentidos contrários ).
2) Agora só falta determinar a seta pra grandeza bolsa, en-
tão analisando a grandeza dias e bolsas, deixando fixa a grandeza
pessoas, temos que quanto mais dias, mais bolsas tais pessoas vão
fazer, isto é, dias e bolsas são diretamente proporcionais.
Todas as setas devem ter o mesmo sentido, para fazer isso te-
mos nesse caso, duas escolhas, ou invertemos dias e bolsas ou
invertemos apenas pessoas, por exemplo invertemos apenas pes-
soas temos.
6
x
=
8
12
.
960
320
⇒ 6
x
=
��82
��123
.
96
32
⇒ 6
x
=
2
��31
.
��9632
32
⇒ 6
x
=
2
1
.
��32
��32
⇒
6
x
=
2
1
⇒ 2x = 6⇒ x = 6/2 = 3.
Uma outra maneira de resolver, é usando as definições do ca-
pítulo 3, vamos conhecer tal solução.
20
Do capítulo 3, temos que o número de dias é diretamente pro-
porcional ao número de bolsas e inversamente proporcional ao
número de pessoas.
A expressão geral que segue mostra tal relação.
d =
k.b
p
, primeiro passo é determinar o valor da constante k,
basta substituir os valores da primeira linha na expressão e tere-
mos.
6 =
k.960
12
⇒ k = 6.12
960
=
3
40
.
Usando agora o valor de k que determinamos, temos.
d = k.
b
p
⇒ d = 3
40
.
320
8
= 3.
Logo, em 3 dias, 8 funcionários poderão fazer 320 bolsas.
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21
Capítulo 5
Porcentagem
Resolver questões de porcentagem é basicamente aplicar o que
já estudamos ( equacionar o problema, resolver um sistema ou
montar uma regra de três ).
Exemplo 5.1 Uma escola tem 25 professores, dos quais 24 %
ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática
nessa escola?
Solução: A questão se resume em calcular 24 % de 25, bem
já sabemos que x % =
x
100
, logo, para calcular 24 % de 25, basta
fazer.
24
100
.25 =
600
100
= 6, isto é, 6 professores ensinam matemática.Visite e Saiba Mais: www.universodalogica.blogspot.com
22
Exemplo 5.2 Supondo que um objeto custe R$ 75,00 e é vendido
por R$ 100,00. Determine.
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo;
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda.
Solução: Temos que L = V −C, isto é, a diferença entre a
venda e o custo, onde logicamente o valor da venda deve ser su-
perior, se for inferior, então teremos um prejuízo.
Logo, L = 100−75 = 25,00. Agora que sabemos que o lucro
é de 25,00, podemos calcular as taxas.
a)
25
75
≈ 0,33 = 33%.
b)
25
100
= 25%.
Exemplo 5.3 ( PUC-SP ) O preço de venda de um bem de con-
sumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25 % sobre
o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:
A) R$ 25,00
B) R$ 70,50
C) R$ 75,00
D) R$ 80,00
E) R$ 125,00
23
Solução: l = v− c⇔ v = l + c.
Pelo enunciado, temos que l =
25
100
.c = 0,25c.
Por outro lado temos que l = 100− c, fazendo a comparação
temos que 0,25c = 100−c⇒ 0,25c+c = 100⇒ 1,25c = 100⇒
c =
100
1,25
= 80, isto é, letra D).
Exemplo 5.4 Uma mercadoria que custava R$ 450,00 reais so-
freu um reajuste de 15 % de acordo com a inflação do período.
Qual é o seu preço atual?
Solução: Vamos calcular o aumento de 15 % em relação a
450,00.
15
100
.450 = 67,50.
Isto é, os 15 % de aumento corresponde a 67,50, então que-
remos aumentar 67,50 em relação aos 450,00 ( inicial ), então
temos que o valor final ( desejado ) é 450+67,50 = 517,50. Mas
também podemos utilizar uma forma mais direta de cálculo.
Temos que o valor inicial corresponde a 100 % e em cima de
tal valor vai ter um aumento de 15 %, então o valor final vai ser
100%+15% = 115% em cima do inicial, ou seja, calculando 115
% de 450,00 chegamos ao resultado desejado 517,50.
115
100
.450 = 517,50.
Exemplo 5.5 Uma loja de eletrodomésticos está oferecendo um
desconto de 14 % nas compras feitas com pagamento à vista.
Qual o valor de uma geladeira de R$ 1 200,00 na promoção
oferecida?
24
Solução: Comprando a geladeira à vista vamos ter um des-
conto de 14 % em cima do valor inicial ( 1 200 ). Calculando 14
% de 1 200,00, temos.
14
100
.1200 = 14.12 = 168,00, isto é, pagando à vista vamos
ter um abatimento de 168,00, logo, pagaremos 1 200− 168 =
1 032,00. Uma outra opção de cálculo era usar uma ideia análoga
a usada no exemplo anterior, isto é, se o valor inicial correponde
a 100 %, então dando um desconto de 14 % em cima do inicial,
temos 100− 14 = 86, logo pra chegar ao valor desejado bastava
calcular 86 % do valor inicial, ou seja, 86 % de 1 200,00.
86
100
.1 200 = 86.12 = 1 032,00.
Logo, o valor da geladeira à vista é 1 032,00.
Exemplo 5.6 Certa mercadoria, que custava R$ 24,00, passou a
custar R$ 30,00. Calcule a taxa percentual do aumento.
Solução: Temos que o aumento corresponde a diferença 30−
24 = 6, bem em questões desse tipo, ficará subentendido que a
taxa é em relação ao valor inicial, que nesse caso é 24,00. Logo,
temos que a taxa é dada por
6
24
= 0,25 = 25%.
Exemplo 5.7 Se um produto aumentou em 25 %, de quanto por
cento ele deve diminuir para voltar ao preço antigo?
Solução: Bem algumas questões podem ser resolvidas atri-
buindo valores, atribuir valores é sempre bom, ajudar a enten-
der o que tá se passando. Bem nesse caso como é uma questão
envolvendo porcentagem, vamos atribuir o valor 100, isto é, o
preço inicial ( suposição ) do produto é 100,00.
25
Então, para retornar ao preço antigo, ele deve sofrer um des-
conto de 25,00 em relação a 125,00 isto é, 25/125 = 0,2 = 20%.
De fato, 20 % de 125 corresponde a 25 e com isso teremos
125 - 25 = 100 ( valor inicial ).
Solução 2: Seja P o preço antigo e i a taxa percentual de
desconto, então temos que P.(1,25).(1− i) = P, dividindo ambos
os membros por P, temos 1,25.(1− i) = 1.
Assim, 1− i = 1
1,25
= 0,8⇒ i = 1−0,8 = 0,2 = 20%.
Exemplo 5.8 Qual o preço da mercadoria que custa R$100,00
após dois descontos sucessivos, de 30 % e de 20 %.
Solução:
Preço final = 100.(1− 0,3).(1− 0,2) = 100.(0,7).(0,8) =
100.(0,56) = 56.
Logo, o preço final é R$56,00. Observe que a taxa total de
desconto ficou sendo de 44 %, pois 100−44 = 56 e não 50 %.
Exemplo 5.9 Um produto recebeu um aumento de 10 %. Em
seguida, sofreu outro aumento de 20 %. Sabendo que o produto
passou a custar R$ 66,00. Determine seu preço inicial.
Solução:
Seja p seu preço inicial, então temos p.(1+0,1).(1+0,2) =
66⇔ p.(1,1).(1,2) = 66⇔ p.(1,32) = 66⇒ p = 66
1,32
= 50.
Exemplo 5.10 Depois de um aumento de 20 %, uma bolsa pas-
sou a custar R$ 38,40. Qual era o preço da bolsa antes do au-
mento?
26
Solução 1:
Seja p o preço inicial ( desejado ), então p.(1+0,2)= 38,4⇒
p.(1,2) = 38,4⇒ p = 38,4
1,2
=
384
12
= 32,00.
Solução 2: Podemos montar a seguinte regra de três.
6
%
120
100
R$
38,4
x
6
120
100
=
38,4
x
⇔ 12
10
=
38,4
x
⇒ 12x = 10.(38,4)⇒
12x = 384⇒ x = 384
12
= 32,00.
Exemplo 5.11 A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32
%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de
fumantes ficará reduzido a 12 800. Calcule:
a) O número de fumantes da cidade.
b) O número de habitantes da cidade.
Solução:
a) Se
3
11
param de fumar, então
8
11
continuam fumando.
Logo,
8
11
. f = 12 800, onde f é o número total de fumantes.
8
11
. f = 12 800⇒ 8. f = 11.12 800⇒
f =
11.12 800
8
= 11.1 600⇒ f = 17 600
27
b) Podemos montar a seguinte regra de três.
6
%
32
100
pessoas
17 600
x
6
32
100
=
17 600
x
⇒
32x = 100.17 600⇒ x = 1 760 000
32
= 55 000.
a) 17 600 fumantes na cidade; b) 55 000 habitantes.
Exemplo 5.12 ( UFAC 2001 ) O preço de um objeto de valor
aumenta todo mês 10 % . Nessas condições, no quarto mês de
aumento o novo preço será:
A) 21 % maior que o preço original
B) 21,1 % maior que o preço original
C) 40 % maior que o preço original
D) 46,41 % maior que o preço original
E) 58,54 % maior que o preço original
Solução:
Seja p o preço final, supondo que o preço inicial seja 100,
temos
p = 100.(1+0,1).(1+0,1).(1+0,1).(1+0,1)⇒
p = 100.(1,1).(1,1).(1,1).(1,1) = 100.(1,21).(1,21)⇒
p= 100.(1,4641) = 146,41, isto é, p= 100.(1,1)4 = 146,41.
28
Logo, o valor passou de 100 para 146,41, então temos um
aumento de 46,41 que em relação ao valor inicial ( 100 ) corres-
ponde a 46,41 %, isto é, letra D).
Exemplo 5.13 ( UFRJ ) Das 100 pessoas que estão em uma sala,
99 % são homens. Quantos homens devem sair para que a por-
centagem de homens na sala passe a ser 98 %?
Solução:
Veja que de 100 pessoas 99 são homens, então, seja x a quan-
tidade de homens que vamos retirar da sala, assim temos
99− x
100− x
=
98
100
⇒ 100.(99− x) = 98.(100− x)⇒
9900−100x = 9800−98x⇒ 100x−98x = 9900−9800⇒
2x = 100⇒ x = 100
2
= 50.
Assim, devem sair 50 homens da sala.
29
Capítulo 6
Análise Dimensional
Nesse capítulo vamos ver como usar a análise dimensional para
resolver algumas questões de matemática, física ou química. A
análise dimensional estuda as grandezas, as unidades de medidas,
então estaremos analisando as grandezas e são essas grandezas
que nos ajudarão a resolver as questões.
Ao estudar física, temos que a fórmula da velocidade é:
V =
∆S
∆T
Onde ∆S é a variação do espaço e ∆T é a variação do tempo
e sabemos que no SI ( Sistema Internacional ) a velocidade é me-
dida em m/s ( metro por segundo ). Então veja que na grandeza
da velocidade, temos no numerador uma grandeza de espaço (
distância ) e no denominador uma grandeza de tempo. Assim, te-
mos que a grandeza velocidade é dada pela divisão da grandeza
de distância pela grandeza do tempo.
30
Exemplo 6.1 Durante uma corrida de carros, um dos competi-
dores consegue atingir 100 km/h desde a largada em 5 s. Qual a
aceleração média por ele descrita em m/s2 ?
Veja que pela questão a aceleração é
m
s2
=
m
s
.
1
s
.
Assim, temos que a = v.
1
t
=
v
t
, então se dividimos a grandeza
da velocidade pela grandeza de tempo, temos a aceleração, isto
é:
a =
∆V
∆T
Agora vamos aos dados da questão. Como ele quer a acelera-
ção em m/s2, então vamos converter km em metro, basta lembrar
que 1km = 1000m e converter hora em segundos, basta lembrar
que 1 hora = 60 min = 60 . 60 segundos = 36 00 s.
100
km
h
=
100.1000 m
3600 s
=
1000 m
36 s
.
Então, temos que
1000 m
36 s
.
1
5 s
=
1000 m
36.5 s2
=
200 m
36 s2
= 5,55
m
s2
.
Assim temos que a aceleração do carro é de aproximadamente
5,55 m/s2.
31
Exemplo 6.2 ( MACKENZIE ) Um motor refrigerado a água,
densidade = 1,0 g/cm3 e calor específico = 1,0 cal/g◦C, circula
o líquido à razão de 100 cm3/s. Essa água sofre uma variação
de temperatura de 35 ◦C. O fluxo médio de calor do motor para
a água é:
A) 3000 cal/s
B) 3500 cal/s
C) 4000 cal/s
D) 4500 cal/s
Solução:
Pelas opções, temos que a grandeza desejada é cal/s. Assim,
temos que:
cal
s
=
cal
g.◦C
.
g
cm3
.
cm3
s
.◦C.
Fazendo fluxo médio = f, densidade = d, calor específico = c,
velocidade do líquido = v e temperatuta = t, temos que:
f = d . c . v . t
Substituindo os valores devidos temos que:
f = 1.1.100.35 = 3500 cal/s, o que corresponde a letra B).
32
Exemplo 6.3 ( FAAP ) Uma corda de nylon de densidade linear
0,1 kg/m está tracionada por uma força de 160 kg m/s2. Qual a
velocidade de uma onda mecânica transversal que pode ser pro-
duzida nesta corda.
A) 20 m/s
B) 30 m/s
C) 40 m/s
D) 50 m/s
Solução:
kg.m
s2
.
m
kg
=
m2
s2
.
Então ao fazer o produto das grandezas, basta extrair a raiz
quadrada. Assim, temos que:
160 m2
0,1 s2
= 1600 m2/s2.√
1600 m2
s2
= 40 m/s, o que corresponde a letra C).
33
Exemplo 6.4 A força de atração gravitacional entre dois corpos
sobre a superfície da terra é muito fraca quando comparada com
a ação da própria terra, podendo ser considerada desprezível. Se
um bloco de concreto de massa 8,0 kg está a 2,0 m de um outro
de massa 5,0 kg, a intensidade da força de atração gravitacional
entre eles será, em newtons, igual a:
Dado: G = 6,7.10−11Nm2/kg2.
A) 1,3.10−9;
B) 4,2.10−9;
C) 6,7.10−10;
D) 7,8.10−10;
Solução:
1
(2m).(2m)
.(8kg).(5kg).(6,7).(10−11).N.
m2
kg2
=
40 kg2
4 m2
.(6,7).10−11.N.
m2
kg2
⇒
F = 10.(6,7).10−11N = 6,7.10−10N.
Chegamos assim a letra C).
Um aluno que não conheci a análise dimensional, teria que
recorrer à física, isto é, memorizar fórmulas e fórmulas.
A lei da gravitação universal diz que dois objetos quaisquer
se atraem gravitacionalmente por meio de uma força que depende
das massas desses objetos e da distância que há entre eles.
34
Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância d entre
si, esses dois corpos se atraem mutuamente com uma força que
é proporcional à massa de cada um deles e inversamente pro-
porcional ao quadrado da distância que separa esses corpos.
Matematicamente, temos:
F =
G.m1.m2
d2
,
onde G = 6,67.10−11N.m2/kg2 é constante gravitacional uni-
versal.
Esses são apenas alguns exemplos de como usar essa poderosa
ferramenta, que é a análise dimensional.
35
Capítulo 7
Questões do ENEM
“ Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que
seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenô-
menos do mundo real ”.
Lobachevsky
Questão 7.1 [ENEM - 2001]
Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou
sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pe-
sou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida, recor-
tou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m ×
100 m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08 g. Com
esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros
quadrados, é de, aproximadamente,
36
A) 800.
B) 10 000.
C) 320 000.
D) 40 000.
E) 5 000 000.
Questão 7.2 [ENEM-2009] O mapa que segue representa um
bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sen-
tido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e
que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado,
de lado igual a 200 metros. Desconsiderando-se a largura das
ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em veloci-
dade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria
para chegar até o ponto Y ?
A) 25 min.
B) 15 min.
C) 2,5 min.
D) 1,5 min.
E) 0,15 min.
Questão 7.3 [ENEM - 2009]
Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes
Urbanos ( ANTU ) mostram que o número de passageiros trans-
portados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do
país vem caindo sistematicamente.
Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número
caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o ta-
37
manho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008
praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.
O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utili-
zado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de pas-
sageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos.
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões me-
tropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do
mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o to-
tal de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi
aproximadamente igual a
A) 355 milhões.
B) 400 milhões.
C) 426 milhões.
D) 441 milhões.
E) 477 milhões.
38
Questão 7.4 [ENEM - 2009]
A suspeita de que haveria uma relação causal entre taba-
gismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a par-
tir de observações clínicas. Para testar essa possível associação,
foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre es-
ses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação
ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são
mostrados no gráfico a seguir.
De acordo com as informações do gráfico,
A) O consumo diário de cigarros e o número de casos de cân-
cer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
B) O consumo diário de cigarros e o número de casos de cân-
cer de pulmão são grandezas que não se relacionam.
C) O consumo diário de cigarros e o número de casos de cân-
cer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.
D) Uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnos-
ticada com câncer de pulmão.
39
E) O consumo diário de cigarros e o número de casos de cân-
cer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas
sem proporcionalidade.
Questão 7.5 [ENEM - 2009]
A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave
que será fabricada para utilização por companhias de transporte
aereo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em
escala de 1 : 150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel,
deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha,
quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha de-
verá ter?
A) 2,9 cm × 3,4 cm.
B) 3,9 cm × 4,4 cm.
C) 20 cm × 25 cm.
D) 21 cm × 26 cm.
40
E) 192 cm × 242 cm.
Questão 7.6 [ENEM - 2009]
Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um con-
trato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria
12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6
horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia,
ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$
1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro ar-
gumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180
hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00.
Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo
dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa
deveria
A) manter sua proposta.
B) oferecer 4 máquinas a mais.
C) oferecer 6 trabalhadores a mais.
D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma
máquina.
Questão 7.7 [ENEM - 2009]
Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arreca-
darem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a
uma comunidade carente da região. 20 alunos aceitaram a ta-
refa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arreca-
dando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados,
30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar
41
4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenhase mantido constante,
a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipu-
lado seria de:
A) 920 kg.
B) 800 kg.
C) 720 kg.
D) 600 kg.
E) 570 kg.
Questão 7.8 [ENEM - 2009]
Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de
tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter
densidade entre 725 e 780 gramas por litro.
Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa cate-
goria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo tra-
çado tem 7 km de extensão.
O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros
para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe espe-
cífica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L,
esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para
reabastecimento.
Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para
retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo,
A) 617 kg.
B) 668 kg.
42
C) 680 kg.
D) 689 kg.
E) 717 kg.
Questão 7.9 [ENEM - 2009]
O quadro apresenta informações da área aproximada de cada
bioma brasileiro.
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários,
o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as me-
didas de 120 m × 90 m) para auxiliar a visualização de áreas
consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos
de futebol correspondente à área aproximada do bioma Panta-
nal?
A) 1.400
B) 14.000
C) 140.000
43
D) 1.400.000
E) 14.000.000
Questão 7.10 [ENEM - 2010]
Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro par-
tes iguais. Em seguida, preencheu 75 % dela com conceitos e
explicações, conforme a figura seguinte.
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por com-
pleto e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, vol-
tou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40 % do espaço
dela. Um representação possível para essa segunda situação é:
44
Questão 7.11 [ENEM-2010] A disparidade de volume entre os
planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro
dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é
o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é
o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o
quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior
dos planetas: dentro dele cabem 23 Neturnos.
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro
de Júpiter?
A) 406
B) 1 334
C) 4 002
D) 9 338
E) 28 014
Questão 7.12 [ENEM-2010] Embora o Índice de Massa Corpo-
ral (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras res-
trições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas.
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo
alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já
que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma
variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam es-
ses índices são:
45
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a
25 kg/m2, então ela possui RIP igual a:
A) 0,4 cm/kg1/3
B) 2,5 cm/kg1/3
C) 8 cm/kg1/3
D) 20 cm/kg1/3
E) 40 cm/kg1/3
Questão 7.13 [ENEM - 2010] No monte de Cerro Armazones,
no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da su-
perfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (
E-ELT ). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro,
“o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma
suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximada-
mente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho
humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primá-
rio do telescópio citado?
A) 1 : 20
B) 1 : 100
C) 1 : 200
D) 1 : 1 000
E) 1 : 2 000
46
Questão 7.14 [ENEM - 2010] A resistência elétrica e as dimen-
sões do condutor. A relação da resistência elétrica com as di-
mensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por
meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram
que existe proporcionalidade entre:
• resistência (R) e comprimento (l), dada a mesma secção
transversal (A);
• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o
mesmo comprimento (l);
• comprimento (I) e área da secção transversal (A), dada a
mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar
o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utili-
zando as figuras seguintes.
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes en-
tre resistência (R) e comprimento (l), resistência (R) e área da
secção transversal (A), e entre comprimento (l) e área da secção
transversal (A) são, respectivamente,
47
A) direta, direta e direta.
B) direta, direta e inversa.
C) direta, inversa e direta.
D) inversa, direta e direta.
E) inversa, direta e inversa.
Questão 7.15 [ENEM - 2011] Uma pessoa aplicou certa quan-
tia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30 % do total do
investimento e, no segundo mês, recuperou 20 % do que havia
perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de
R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa
pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de :
A) R$ 4 222,22.
B) R$ 4 523,80.
C) R$ 5 000,00.
D) R$ 13 300,00.
E) R$ 17 100,00.
Questão 7.16 [ENEM - 2011] Sabe-se que a distância real, em
linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo,
a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2
000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua
régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está
na escala de
48
A) 1 : 250.
B) 1 : 2 500.
C) 1 : 25 000.
D) 1 : 250 000.
E) 1 : 25 000 000.
Questão 7.17 [ENEM - 2011] Para uma atividade realizada no
laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma ma-
quete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de compri-
mento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na
escala de 1 : 250. Que medidas de comprimento e largura, em
cm, o aluno utilizará na construção da maquete?
A) 4,8 e 11,2
B) 7,0 e 3,0
C) 11,2 e 4,8
D) 28,0 e 12,0
E) 30,0 e 70,0
Questão 7.18 [ENEM - 2011] Muitas medidas podem ser toma-
das em nossas casas visando à utilização racional de energia elé-
trica. Isso deve ser uma atitude diária de cidadania. Uma delas
pode ser a redução do tempo no banho. Um chuveiro com potên-
cia de 4 800 W consome 4,8 kW por hora. Uma pessoa que toma
dois banhos diariamente, de 10 minutos cada, consumirá, em sete
dias, quantos kW ?
49
A) 0,8
B) 1,6
C) 5,6
D) 11,2
E) 33,6
Questão 7.19 [ENEM - 2011] Cerca de 20 milhões de brasilei-
ros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km2
de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família
precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes.
A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem
na vida do sertanejo. Segundo este levantamento, a densidade
demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por
km2, é de
A) 250.
B) 25.
C) 2,5.
D) 0,25.
E) 0,025.
Questão 7.20 [ENEM - 2011] A resistência das vigas de dado
comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao qua-
drado da altura (d), conforme a figura. A constante de propor-
cionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua
construção.
50
Considerando-se S como a resistência, a representação algé-
brica que exprime essa relação é:
A) S = k.b.d
B) S = b.d2
C) S = k.b.d2
D) S =
k.b
d2
E) S =
k.d2
b
Questão 7.21 [ENEM - 2012] Um biólogo mediu a altura de
cinco árvores distintas e representou as árvores em uma mesma
malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme in-
dicações na figura a seguir.
51
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real ?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
Questão 7.22 [ENEM - 2012] Nos shopping centers costumam
existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários co-
locam créditos em um cartão, que são descontados por cada pe-
ríodo de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da
criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetespara
trocar por produtos nas lojas dos parques. Suponha que o pe-
ríodo de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3,00
e que uma bicicleta custa 9.200 tíquetes. Para uma criança que
recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em re-
ais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para
trocar pela bicicleta é
A) 153.
B) 460.
C) 1.218.
D) 1.380.
E) 3.066.
52
Questão 7.23 [ENEM - 2012] A resistência mecânica S de uma
viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é di-
retamente proprocional à largura (b) e ao quadrado de sua altura
(d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre
os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x),
conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é
chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira
é:
A) S =
k.b.d2
x2
B) S =
k.b.d
x2
C) S =
k.b.d2
x
D) S =
k.b2.d
x
E) S =
k.b.2d
2x
53
Questão 7.24 [ENEM - 2012] Uma mãe recorreu à bula para
verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho.
Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada
2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou cor-
retamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então
a massa corporal dele é de:
A) 12 kg.
B) 16 kg.
C) 24 kg.
D) 36 kg.
E) 75 kg.
Questão 7.25 [ENEM - 2012] O esporte de alta competição da
atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o
limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da
lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O ame-
ricano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califór-
nia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor
de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capa-
cidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista
reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido. Se
o percursso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta,
qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percor-
rida pelo atleta ?
A) 1:700
B) 1:7 000
54
C) 1:70 000
D) 1:700 000
E) 1:7 000 000
Questão 7.26 [ENEM - 2012] José, Carlos e Paulo devem trans-
portar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. De-
cidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo
que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade
de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de
cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo di-
vidiram as laranjas na proproção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na
segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as la-
ranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente. Sabendo-se que
um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a
quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem,
transportaram na segunda parte do trajeto ?
A) 600, 550, 350
B) 300, 300, 150
C) 300, 250, 200
D) 200, 200, 100
E) 100, 100, 50
Questão 7.27 [ENEM-2012]
Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um
relatório de consultoria estatística, constando, entre outras infor-
mações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões
de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30.000
55
m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão.
O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e
a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (
10.000 m2 ). A variância das produções dos talhões expressa em
(sacas/hectare)2 é:
A) 20,25.
B) 4,50.
C) 0,71.
D) 0,50.
E) 0,25.
Questão 7.28 [ENEM - 2013] Muitos processos fisiológicos e
bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respira-
ção, apresentam escalas construídas a partir da relação entre
superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas,
por exemplo, considera que o “cubo da área S da superfície de
um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a
área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
A) S = k.M
B) S = k.M1/3
C) S = k1/3.M1/3
D) S = k1/3.M2/3
E) S = k1/3.M2
56
Questão 7.29 [ENEM - 2013] A Lei da Gravitação Universal, de
Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de atração entre
duas massas. Ela é representada pela expressão: F = G.
m1.m2
d2
,
onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, d à distância
entre eles, G à constante universal da gravitação e F à força que
um corpo exerce sobre o outro. O esquema representa as traje-
tórias circulares de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a
Terra.
Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra
exerce sobre cada satélite em função do tempo?
57
Questão 7.30 [ENEM - 2013] Em um certo teatro, as poltronas
são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3
desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as
claras não foram vendidas.
A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas
do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é:
58
A) 17/70
B) 17/53
C) 53/70
D) 53/17
E) 70/17
Questão 7.31 [ENEM - 2013] Uma indústria tem um reservató-
rio de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessi-
dade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser esco-
ada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas
quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um
novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento
da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório
estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão
ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo
reservatório deverá ser igual a:
A) 2
B) 4
C) 5
D) 8
E) 9
Questão 7.32 [ENEM - 2013] O contribuinte que vende mais de
R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar
Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consis-
tirá em 15 % do lucro obtido com a venda das ações.
59
Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que
custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita
Federal o valor de
A) R$ 900,00.
B) R$ 1 200,00.
C) R$ 2 100,00.
D) R$ 3 900,00.
E) R$ 5 100.00.
Questão 7.33 [ENEM - 2013] Para se construir um contrapiso,
é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia
e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de
areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma
garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira
com 14 m3 de concreto.
Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto
trazido pela betoneira?
A) 1,75
B) 2,00
C) 2,33
D) 4,00
E) 8,00
60
Questão 7.34 [ENEM - 2013] Para aumentar as vendas no iní-
cio do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de
seus produtos 20 % abaixo do preço original. Quando chegam
ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm
direito a um desconto adicional de 10 % sobre o valor total de
suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que cus-
tava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o
cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão
fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a
compra, em reais, seria de
A) 15,00.
B) 14,00.
C) 10,00.
D) 5,00.
E) 4,00.
Questão 7.35 [ENEM - 2013] Um dos grandes problemas en-
frentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transpor-
tada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos
limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o
peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga
interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da sus-
pensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa
responsabilidade e com base na experiência adquirida com pe-
sagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar
no máximo 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse ca-
minhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo,
podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassara
carga máxima do caminhão?
61
A) 300 tijolos
B) 360 tijolos
C) 400 tijolos
D) 480 tijolos
E) 600 tijolos
Questão 7.36 [ENEM - 2013] Uma torneira não foi fechada cor-
retamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da ma-
nhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se
que cada gota d’agua tem volume de 0,2 ml. Qual foi o valor mais
aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em li-
tros?
A) 0,2
B) 1,2
C) 1,4
D) 12,9
E) 64,8
Questão 7.37 [ENEM - 2013]
Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais uti-
lizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale
a aproximadamente 2,95 centilitros (cl). Sabe-se que o centilitro é
a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente
comercializada no Brasil tem capacidade de 355 ml. Assim, a
medida do volume da lata de refrigerante de 355 ml, em onça
fluida (fl oz), é mais próxima de
62
A) 0,83.
B) 1,20.
C) 12,03.
D) 104,73.
E) 120,34.
Questão 7.38 [ENEM - 2013] Na aferição de um novo semáforo,
os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo
(verde - amarelo - vermelho), a luz amarela permaneça acesa por
5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja
igual a 2/3 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz
verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo
dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação
entre X e Y?
A) 5X−3Y +15 = 0
B) 5X−2Y +10 = 0
C) 3X−3Y +15 = 0
D) 3X−2Y +15 = 0
E) 3X−2Y +10 = 0
Questão 7.39 [ENEM - 2013] O ciclo de atividade magnética
do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo
registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de
1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol
têm sido registrados. No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de
atividade magnética de número
63
A) 32.
B) 34.
C) 33.
D) 35.
E) 31.
Questão 7.40 [ENEM - 2013] Um comerciante visita um centro
de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja
comprar. Verifica que se aproveita 100 % da quantidade adqui-
rida de produtos do tipo A, mas apenas 90 % de produtos do tipo
B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produ-
tos, obtendo o menor custo / benefício em cada um deles. O qua-
dro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto
comercializado.
Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhi-
dos pelo comerciante são, respectivamente,
A) A, A, A, A.
B) A, B, A, B.
C) A, B, B, A.
64
D) B, A, A, B.
E) B, B, B, B.
Questão 7.41 [ENEM - 2013] A Secretaria de Saúde de um mu-
nicípio avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno
de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no
trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de im-
plantação do programa, o aluno que morava mais distante da
escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura,
na escala 1 : 25 000, por um período de 5 dias.
Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implan-
tação do programa?
A) 4
B) 8
C) 16
65
D) 20
E) 40
66
Capítulo 8
P.A e Função do 1◦ Grau
8.0.5 Progressão Aritmética
Uma progressão aritmética (P. A) é uma sequência numérica
em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo
anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão
ou diferença comum da progressão aritmética. Assim, temos que
se a sequência a1,a2,a3, · · · ,an−1,an for uma P.A, então,
a2− a1 = a3− a2 = · · · = an− an−1 = r, logo teremos que o
termo geral de uma P.A é dado por
an = a1 +(n−1).r
De fato, como a2−a1 = r⇒ a2 = a1 + r, a3 = a2 + r
⇒ a3 = a1 + r+ r⇒ a3 = a1 +2.r, assim,
a4 = a3 + r = a1 +2r+ r⇒ a4 = a1 +3r, por analogia,
an = a1 +(n−1).r �
67
Temos que a soma dos n termos de uma P.A é dada por,
Sn =
(a1 +an).n
2
De fato, seja S = a1 +a2 + · · ·+an−1 +an, onde a série
a1,a2, · · · ,an, são termos de uma P.A, assim temos,{
S = a1 +a2 + · · ·+an−1 +an
S = an +an−1 + · · ·+a2 +a1
Somando as equações membro a membro, temos,
2S = (a1 +an)+(a2 +an−1)+ · · ·+(an−1 +a2)+(an +a1)
Por sorte, a1 +an = a2 +an−1, por quê ?
Assim, 2.S = (a1 +an).n⇒ S =
(a1 +an).n
2
�
8.0.6 Função do 1◦ Grau
Chama-se função polinomial do 1◦ grau, ou função afim, a qual-
quer função f de R em R dada por uma lei da forma f (x) =
mx+c⇔ y=mx+c, onde m e c são números reais dados e m 6= 0.
Tal lei representa uma reta no plano, onde m é o coeficiente angu-
lar da reta e c o coeficiente linear.
68
Usando a definição de tangente na figura acima, temos,
m =
y− ya
x− xa
⇒ y− ya = m.(x− xa).
Exemplo 8.1 Dada a P.A 2,5,8, · · · , vamos determinar a lei que
define tal sequência.
Solução:
Como a série é uma P.A de razão 3, então podemos aplicar a
fórmula do termo geral, isto é,
an = a1 +(n−1).r⇒ an = 2+(n−1).3, distribuindo temos,
an = 2+3n−3⇒ an = 3n−1.
Agora que achamos o termo geral, podemos responder com
facilidade, por exemplo quem é o vigésimo termo dessa sequên-
cia, a20 = 3.20− 1 = 60− 1 = 59, assim, o vigésimo termo da
série é 59.
Observe que o termo geral de uma P.A é uma função do 1◦
grau, assim, podemos responder o exemplo acima sem precisar
memorizar a fórmula do termo geral de uma P.A, de fato,
69
na série, temos que, a1 = 2 e a2 = 5, assim temos a seguinte
correspondência,
(1→ 2),(2→ 5)⇔ (1,2),(2,5), ou seja, determinar o termo
geral de uma P.A equivale a determinar a equação da reta dado
dois pontos.
Sabemos que basta dois pontos para determinar a equação da
reta, então aplicando a definição de função, temos,
f (x) = mx+ c⇒ f (1) = m.1+ c = 2, por outro lado,
f (2) = m.2+c = 5, logo o problema se resume em resolver o
sistema,{
m+ c = 2 I)
2m+ c = 5 II)
Podemos resolver o sistema acima fazendo a diferença das
equações membro a membro, isto é,
II)− I), temos, 2m−m = 5− 2⇒ m = 3, substituindo esse
valor em I), temos, 3+ c = 2⇒ c = 2−3 =−1, logo,
f (x) = 3x−1⇔ y = 3x−1.
Veja achamos y = 3x−1 que é nada mais nada menos do que
a função que define o termo geral da P.A dada no exemplo.
Observe que ao fazer analogia entre P.A e função do 1◦ grau, o
problema se resumiu em determinar a equação da reta que passa
por dois pontos, podemos resolver esse problema de várias ma-
neiras. Vamos conhecer mais um caminho,
temos os pontos (1,2),(2,5)⇔ x1 = 1,y1 = 2,x2 = 2,y2 = 5,
vamos primeiro determinar o coeficiente angular da reta, assim,
temos,
70
m =
∆y
∆x
=
y2− y1
x2− x1
=
5−2
2−1
=
3
1
= 3.
Agora que temos o coeficiente angular, basta usar qualquer
um dos dois pontos dados e com isso determinar o coeficiente
linear, assim,
y = 3x+ c⇒ 2 = 3.1+ c⇒ 2 = 3+ c⇒ c =−1, logo,
y = 3x−1.
71
Exemplo 8.2 [ENEM - 2010] O gráfico mostra o número de fa-
velas no múnicipio do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, conside-
rando que a variação nesse número entre os anos considerados é
linear.
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver
nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010
é 968, então o número de favelas em 2016 será:
A) menor que 1 150.
B) 218 unidades maior que em 2004.
C) maior que 1 150 e menor que 1 200.
D) 177 unidades maior que em 2010.
E) maior que 1 200.
Solução: Pelo enunciado, variação linear, significa que os
dados estão relacionados a função do 1◦ grau, em seguida te-
mos o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos
próximos 6 anos, isto é dizer que nos próximos 6 anos teremos
uma P.A. Agora que já conhecemos o assunto ficou fácil resolver
a questão.
72
A questão se resume em encontrar a reta que passa pelos pon-
tos A(2004,750) e B(2010,968), logo a equação que passa por A
e B é y=
109x
3
−72 062→ ficará a cargo do leitor determinar tal
equação. Queremos saber qual é o valor de y quando x = 2016,
inserindo esse valor na equação temos,
y =
109.2016
3
−72 062⇒ y = 109.672−72 062 =
= 73 248−72 062 = 1 186, assim, marcamos a letra C).
Solução 2:
Basta analisar o esquema que segue.
Veja que a diferença entre 2010 e 2004 é 6 e a diferença entre
968 e 750 é 218. Assim, temos os pares (2004, 750);(2010, 968),
(2016, 1 186),... e assim por diante. Percebeu como é simples
resolver questões desse tipo ?
73
Capítulo 9
Questões
Questão 9.1 [ENEM - 2009] Um experimento consiste em colo-
car certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com
água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado
na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se
que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são
colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento
realizado.
74
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da
água (y) em função do número de bolas (x) ?
A) y = 30x.
B) y = 25x+20,2.
C) y = 1,27x.
D) y = 0,7x.
E) y = 0,07x+6.
Questão 9.2 [ENEM-2009] Um grupo de 50 pessoas fez um or-
çamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido en-
tre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com
todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas ha-
viam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa
total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não
havia ainda contribuido pagaria a sua parte, e cada uma das 50
pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De
acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada
no acerto final para cada uma das 55 pessoas ?
A) R$ 14,00.
B) R$ 17,00.
C) R$ 22,00.
75
D) R$ 32,00.
E) R$ 57,00.
Questão 9.3 [ENEM - 2010] Ronaldo é um garoto que adora
brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou cai-
xas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada
no esquema a seguir.
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha
uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possí-
vel prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9a. linha da
sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
A) 9.
B) 45.
C) 64.
D) 81.
E) 285.
Questão 9.4 [ENEM-2011] Uma professora realizou uma ativi-
dade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para
montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo.
76
A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quanti-
dade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de
formação das figuras está representada a seguir.
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função
da quantidade de quadrados de cada figura ?
A) C = 4Q
B) C = 3Q+1
C) C = 4Q−1
D) C = Q+3
E) C = 4Q−2
Questão 9.5 [FCC-Tribunal de Contas-2006] Usando palitos de
fósforos inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figu-
ras compostas por triângulos.
Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter
uma figura composta de 25 triângulos, o total de palitos de fósfo-
ros que deverão ser usados é:
77
A) 61
B) 57
C) 51
D) 49
E) 45
Questão 9.6 [ENEM-2011] O saldo de contratações no mercado
formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo
registrou alta.
Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro
com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 va-
gas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira
assinada. Suponha que o incremento de trabalhadores no se-
tor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do
ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as
quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, ja-
neiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a
expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses me-
ses é:
A) y = 4 300x
B) y = 884 905x
C) y = 872 005+4 300x
D) y = 876 305+4 300x
E) y = 880 605+4 300x
78
Questão 9.7 [ENEM - 2011] O prefeito de uma cidade deseja
construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para
isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empre-
sas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n),
acrescidos de um valor fixo R$ 350 000,00, enquanto a segunda
cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um
valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o
mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas
uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico,
qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que
tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das
propostas apresentadas ?
A) 100n+350 = 120n+150
B) 100n+150 = 120n+350
C) 100(n+350) = 120(n+150)
D) 100(n+350 000) = 120(n+150 000)
E) 350(n+100 000) = 150(n+120 000)
Questão 9.8 [ENEM-2011] O número mensal de passagens de
uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas
seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passa-
gens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão
de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quan-
tas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano
passado ?
A) 38 000
B) 40 500
79
C) 41 000
D) 42 000
E) 48 000
Questão 9.9 [ENEM-2012] As curvas de oferta e de demanda
de um produto representam, respectivamente, as quantidades que
vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em
função do preço do produto.
Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por
retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um
produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
QO =−20+4P
QD = 46−2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de
demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os eco-
nomistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja,
quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o
valor do preço de equilíbrio?
A) 5
B) 11
C) 13
D) 23
E) 33
80
Questão 9.10 [ENEM-2012] Um maquinista de trem ganha R$
100,00 por viagem e só pode viajar a cada 4 dias. Ele ganha
somente se fizer a viagem e sabe que estará de férias de 1◦ a 10 de
junho, quando não poderá viajar. Sua primeira viagem ocorreu
no dia primeiro de janeiro. Considere que o ano tem 365 dias. Se
o maquinista quiser ganhar o máximo possível, quantas viagens
precisará fazer ?
A) 37
B) 51
C) 88
D) 89
E) 91
Questão 9.11 [ENEM-2012] Dentre outros objetos de pesquisa,
a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes
do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da
superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa
m pela fórmula A= k.m2/3, em que k é uma constante positiva. Se
no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo
sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a
área da superfície corporal?
A) 3
√
16
B) 4
C)
√
24
D) 8
81
E) 64
Questão 9.12 [ENEM-2013] As projeções para a produção de
arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região
produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento cons-
tante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de
arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse
período, de acordo com essa projeção.
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser
produzida no período de 2012 a 2021 será de:
A) 497,25.
B) 500,85.
C) 502,87.
D) 558,75.
E) 563,25.
Questão 9.13 [ENEM-2013] A temperatura T de um forno (em
graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do ins-
tante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a ex-
pressão T (t) = −t
2
4
+ 400 , com t em minutos. Por motivos de
segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando
82
o forno atinge a temperatura de 39◦ C. Qual o tempo mínimo de
espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta
possa ser aberta?
A) 19,0
B) 19,8
C) 20,0
D) 38,0
E) 39,0
83
Capítulo 10
Contagem - Análise
Combinatória
Princípio 10.1 Se uma decisão D1 pode ser tomada de p modos
e, qualquer que seja esta escolha, a decisão D2 pode ser tomada
de q modos, então o número de maneiras de se tomarem consecu-
tivamente as decisões D1 e D2 é igual a pq.
Antes de iniciar com as questões vamos usar a seguinte estra-
tégia:
1 Postura: Devemos sempre nos colocar no papelda pessoa
que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que
decisões devemos tomar.
2 Divisão: Devemos sempre que possível, dividir as decisões
a serem tomadas em decisões mais simples, corresponden-
tes às diversas etapas do processo de decisão.
84
3 Não adiar dificuldades: Pequenas dificuldades adiadas
costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma
das decisões a serem tomadas for mais restrita que as de-
mais, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro
lugar.
Problema 10.1 Quantas são as formas de pintar a bandeira a
seguir utilizando 3 cores diferentes dentre 4 dadas ?
Solução:
Temos 3 decisões consecutivas a tomar: a cor externa, e a do
retângulo e a do círculo.
Cor externa: 4, Retângulo 3, Círculo: 2.
Logo, pelo P.F.C, temos que o número total de possibilidades
é 4.3.2 = 24.
Obs: Tendo diversas etapas de decisão, podemos usar o P.F.C
desde que o número de possibilidades em cada etapa não de-
penda das decisões anteriores.
Problema 10.2 Para pintar a bandeira abaixo, há 4 cores dis-
poníveis. De quantos modos ela pode ser pintada de modo que
faixas adjacentes tenham cores distintas ?
85
Solução:
Qual a primeira decisão a ser tomada ? → lembre-se da pos-
tura.
É escolher em que ordem vamos pintar a bandeira. ( de cima
pra baixo ?! )
Cor da primeira faixa: 4 possibilidades.
Cor da segunda faixa: 3 possibilidades.
Cor da terceira faixa: 3 possibilidades ( qualquer cor, exceto
a usada para segunda faixa ).
Assim, pelo P.F.C temos 4.3.3 = 36.
Problema 10.3 Quantos são os números pares de três dígitos
distintos ?
Solução:
−→ 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Por onde devemos começar→ qual a decisão mais restrita ?
Último digito: 0, 2, 4, 6 ou 8.
De quantos modos podemos escolher o primeiro dígito ?
Resp:“Depende": se não estivermos usado o zero, haverá 8
modos, pois não poderemos usar nem o zero nem o dígito já usado
na última casa. Se já tivermos usado o 0, haverá 9 modos, pois
apenas o 0 não poderá ser usado na primeira casa.
Como resolver esse impasse ?
Dividir as decisões em decisões mais simples→ contar sepa-
radamente.
−→ 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
86
Contaremos separadamente os números que terminam em 0 e
os que não terminam em 0.
Que terminam em 0: Há 1 modo de escolher o último dígito,
9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o digito
central. Temos assim: 1.9.8 = 72 números de dígitos distintos
terminados em 0.
Que não terminam em 0: Há 4 modos de escolher o último
dígito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o
do meio. Assim, temos: 4.8.8 = 256 números pares de dígitos
distintos que não terminam em 0.
Temos, portanto 72+ 256 = 328 números pares de 3 dígitos
distintos.
Problema 10.4 De quantos modos pode-se escolher 3 dos joga-
dores de um time de futebol, para representá-lo em uma cerimô-
nia de premiação?
Solução:
À primeira vista, parece ser simples resolvê-lo pelo P.F.C:
bastar escolher um representante de cada vez, assim teriamos:
11.10.9 = 990→ ERRADO !
→ 11 jogadores
Jogadores escolhidos: {A,B,C}
{A,B,C}= {B,C,A}= {C,B,A}· · · → Comissões iguais.
Quantas vezes vão surgir A, B e C ?
P.F.C→ 3.2.1 = 3! = 6 vezes.
Logo, o número correto de comissões é 990 dividido por 6,
que resulta em 165 comissões.
87
Proposição 10.1 De modo geral, o número de modos de escolher
p dentre n objetos é representado por Cn,p, que corresponde a,
n(n−1) · · ·(n− p+1)
p(p−1)(p−2) · · ·1
., isto é,
Cn,p =
n!
p!(n− p)!
Problema 10.5 Quantos são os anagramas da palavra BANANA
?
Solução:
A resposta 6! = 720→ Errado !
Para formar um anagrama de “BANANA"devemos colocar as
seis letras (que não são todas diferentes) em 6 lugares.
Para isso devemos escolher 3 dos 6 lugares para colocar as
letras A:
C6,3 =
6!
3!(6−3)!
=
6.5.4.3!
3!.3!
= 20 modos.
Em seguida devemos escolher 1 dos 3 lugares restantes para
colocar a letra B: 3 modos.
Finalmente, há apenas um modo de colocar as duas letras A
nos dois lugares restantes→ Temos, assim: 20.3.1 = 60.
Solução 2:
−→ BANANA
Se as letras fossem diferentes a resposta seria→ 6!.
88
Como as três letras A são iguais, quando as trocamos entre si
obtemos o mesmo anagrama e não um anagrama distinto, o que
aconteceria se fossem diferentes.
Então contamos o mesmo número de anagramas varias vezes,
mas quantas exatamente?
Modos de trocar a letra A→ 3! e modos de trocar a letra N
→ 2!
Logo, o número de anagramas é:
6!
3!.2!
=
6.5.4.3!
3!.2
= 60.
De modo geral, o número de permutacões de n objetos, dos
quais α são iguais a A, β são iguais a B, λ são iguais a C, etc., é:
Pα,β,λ,···n =
n!
α!β!λ! · · ·
Problema 10.6 De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em
dois grupos de 4 pessoas cada ?
Solução:
Resp: 8! → Errado !, C8,4→ Errado !
ABCD / EFGH = EFGH / ABCD. Além disso, divisões como
ABCD / EFGH e ABDC / EFHG, que diferem pela ordem dos
elementos de cada grupo, apesar de identicas foram contadas
como se fossem distintas. Cada divisão foi contada 2.4!.4! ve-
zes. Se contamos 8! divisões e cada divisão foi contada 2.4!.4!
vezes, o número de divisões é
8!
2.4!.4!
= 35.
De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos
de 4 pessoas cada ?
89
Solução 2:
O primeiro grupo pode ser escolhido de C8,4 modos. Sobram
assim, 4 pessoas e só há um modo de formar o segundo grupo.
Pelo, P.F.C, a resposta parece ser C8,4.1. Entretanto, contamos
cada divisão duas vezes. Assim, a resposta correta é
C8,4
2
= 35.
90
Capítulo 11
Probabilidade
Vamos aproveitar e estudar um pouco sobre probabilidade e va-
mos tentar ligar os conceitos de lógica e conjuntos a esse mundo
probabilístico.
ESPAÇO AMOSTRAL : É o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório ( ao acaso ). Vamos usar a
letra S para representar o espaço amostral.
Exemplo, no lançamento de uma moeda temos apenas 2 pos-
sibilidades, isto é, podemos ter cara ou coroa, assim,
S = {cara ou coroa}.
Chamaremos de evento, qualquer subconjunto do espaço amos-
tral.
Assim, por exemplo no lançamento de um dado, o evento
ocorrência de um número ímpar é {1,3,5}.
91
Eventos Mutuamente Exclusivos:
Dois eventos são mutuamente exclusivos, quando não pos-
suem elemento em comum.
Probabilidade:
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável
quando seus eventos elementares tem probabilidades iguais de
ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a pro-
babilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
P(A) =
n(A)
n(S)
, isto é, número de casos favoráveis dividido pelo
número de resultados possíveis.
Consequencias da definição:
1) Se A e A são eventos complementares, então,
P(A)+P(A) = 1.
A∩A =� e A∪A = S.
2) A probabilidade de um evento é sempre um número entre
zero (probabilidade do evento impossível) e 1 (probabilidade do
evento certo).
Isto é, se A é um evento qualquer de S, então: 0 ≤ P(A) ≤ 1
ou 0≤ P(A)≤ 100%.
92
11.0.7 Probabilidade de A ou B ocorrer
Probabilidade de A ou B ocorrer:
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabi-
lidade de ocorrer A ou B é dada por:
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
Se A e B são mutuamente exclusivos, então,
P(A∪B) = P(A)+P(B).
Exemplo1: Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se
uma bola dessa urna a probabilidade de se obter uma bola verme-
lha é 0,64. Qual a probabilidade de se obter uma bola que não
seja vermelha ?
Solução: Seja A o evento bolas vermelhas e seja A o evento
bolas não vermelhas.
Assim, temos que P(A) +P(A) = 1, pelo enunciado, temos
que P(A) = 1−0,64 = 0,36, ou 36%.
Exemplo 2: Uma urna contém cinco bolas vermelhas, três
bolas azuis e quatro bolas brancas. Retira-se ao acaso uma bola
da urna. Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha ou
uma bola azul?
Solução:
Temos que nosso espaço amostral é 12, vamos denotar o es-
paço amostral por n(S) = 12.
Isto é, S = {x|x é bola da urna}→ n(S) = 12.
Consideremos dois eventos:
A = {y ∈ S|y é bola vermelha}→ n(A) = 5.
93
B = {w ∈ S|w é bola azul}→ n(B) = 3.
Como A∩B é vazio, então temos que A e B são mutuamente
exclusivos.
Assim,
P(A∪B) = P(A)+P(B)= 5
12
+
3
12
=
8
12
≈ 0,66 = 66%.
11.0.8 Eventos Independentes
Exemplo 3 ( Eventos Independentes ): Uma urna contém exata-
mente sete bolas: quatro azuis (A) e três vermelhas (V). Retira-se
ao acaso uma bola da urna, registra-se sua cor, e repõe-se a bola
na urna. A seguir, retira-se novamente ao acaso uma bola da urna
e registra-se sua cor. Calcular a probabilidade de:
a) Sair uma bola azul e depois uma vermelha;
b) Sairem duas bolas de cores diferentes.
Solução:
a) temos que P(A) =
4
7
e P(V ) =
3
7
, queremos a probabilidade
de obter a sequência A e B, isto é, P(A∩B) = P(A).P(B) = 4
7
.
3
7
=
12
49
≈ 0,24 ou 24%.
b) Temos duas possibilidades, a saber: A e V ou V e A, ou
seja, queremos calcular o valor de P(A∩V ) +P(V ∩A), como
P(A∩V ) = P(A).P(V ) = 4
7
.
3
7
=
12
49
, de modo análogo temos que
P(V ∩A) = 12
49
, assim,
94
P(A∩V )+P(V ∩A) = 12
49
+
12
49
=
24
49
≈ 0,48 = 48%.
11.0.9 Probabilidade Condicional
A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um evento
B ocorreu, é chamada probabilidade condicional do evento A
dado B. Ela é denotada por P(A/B) e calculada por:
P(A/B) =
P(A∩B
P(B)
Exemplo 4: Em uma urna há duas moedas aparentemente
iguais. Uma delas é uma moeda comum, com uma cara e uma
coroa. A outra, no entanto, é uma moeda falsa, com duas caras.
Suponhamos que uma dessas moedas seja sorteada e lançada.
a) Qual é a probabilidade de que a moeda lançada seja a co-
mum ?
b) Qual é a probabilidade de que saia uma cara ?
c) Se o resultado do lançamento é cara, qual é a probabilidade
de que a moeda sorteada tenha sido a comum ?
Solução:
a) A resposta é 1/2, já que ambas as moedas tem a mesma
chance de serem sorteadas.
b) 3/4, pois temos 3 possibilidades de dar cara dos 4 resultados
possíveis.
95
c) Chamemos de A o evento: “sortear a moeda comum”, e
de B o evento: “obter resultado cara”, e temos o evento A∩B:
“sortear a moeda comum e tirar cara". Logo, temos que
P(A∩B) = 1/4, P(B) = 3/4, assim, P(A/B) = 1/4
3/4
=
1
3
.
Como temos uma informação adicional, a de que, após o lan-
çamento da moeda, o resultado foi cara. Com esta informação,
podemos rever o cálculo da probabilidade da moeda honesta ter
sido sorteada. Dos quatro resultados possíveis para o experi-
mento, listados acima, o segundo deve ser excluído. Restam, as-
sim, três possibilidades igualmente prováveis. Delas, apenas na
primeira a moeda sorteada é a comum. Logo, com a informação
de que o lançamento resultou em cara, a probabilidade de que a
moeda sorteada tenha sido a comum passou a ser 1/3.
11.0.10 Distribuição Binomial
Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lan-
çarmos um dado 7 vezes?
A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1
possibilidade em 6, ou seja, 1/6 é a probabilidade de obtermos o
número 4 em cada lançamento.
Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso
no lançamento, pois este é o resultado que pretendemos obter,
no entanto quando obtemos um outro resultado qualquer, esta-
mos diante de um fracasso. Note que só há duas possibilidades:
Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quando dá qualquer
outro. Observe que cada lançamento não interfere na probabili-
dade de qualquer outro lançamento, eles são independentes. Note
também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a
mesma em cada lançamento.
96
Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e
n− k fracassos em n tentativas, é obtida pelo termo geral do
Binômio de Newton:
P =
(n
k
)
.pk.qn−k
Onde,
(n
k
)
=
n!
k!(n− k)!
.
P representa a probabilidade procurada, n o total de tentativas,
k o número de tentativas que resultam em sucesso, p a probabi-
lidade de obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de
obtermos um fracasso.
Vamos voltar a questão, temos que p = 1/6, assim, q = 5/6,
já que p+q = 1, n = 7, k = 4
e
(7
4
)
=
7!
4!.3!
= 35. Assim, temos que:
P =
(7
4
)
.(1/6)4.(5/6)3 = 35.
1
1296
.
125
216
=
4375
279936
≈ 0,0156.
Logo, a probabilidade é de 0,0156 = 1,56 %.
97
Capítulo 12
Questões
Questão 12.1 Existem quatro estradas ligando duas cidades A e
B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantos modos
diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a cidade
C ?
Questão 12.2 Para a seleção brasileira foram convocados 2 go-
leiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4 atacantes. De quantos
modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4
meios de campo e 2 atacantes ?
Questão 12.3 Uma bandeira é formada por 7 listras que devem
ser pintadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas
98
será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca
estejam pintadas da mesma cor ?
A) 128 B) 192 C) 35 D) 2187 E) 210
Questão 12.4 O desenho que segue, mostra o mapa de um país
(imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir
esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois
estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras
diferentes o mapa pode ser pintado ?
A) 12
B) 6
C) 10
D) 24
E) 120
Questão 12.5 (ENEM-2001) Um município de 628 km2 é aten-
dido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam
um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura:
99
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa
avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando li-
vremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo
menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximada-
mente:
A) 20 %.
B) 25 %.
C) 30 %.
D) 35 %.
E) 40 %.
Questão 12.6 [ENEM-2001] Uma empresa de alimentos impri-
miu em suas embalagens um cartão de apostas do seguinte tipo:
Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e
8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços possíveis, de tal
forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca
seja igual a zero. Em determinado cartão existem duas bolas na
linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade
de o cliente ganhar o prêmio é:
100
A) 1/27
B) 1/36
C) 1/54
D) 1/72
E) 1/108
Questão 12.7 [ENEM-2005] A escrita Braile para cegos é um
sistema de símbolos na qual cada caráter é um conjunto de 6
pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um
se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é re-
presentada por
O número total de caracteres que podem ser representados no
sistema Braile é
A) 12
B) 31
C) 36
D) 63
E) 720
101
Questão 12.8 [ENEM - 2009 - Texto Referente As Duas Ques-
tões Que Seguem] A população mundial está ficando mais velha,
os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida au-
mentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por
pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU),
a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo
o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas
percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas
com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10
% e 15 % da população total nos países desenvolvidos.
1) Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que
x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano
2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em
milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar
essa população com 60 anos ou mais de idade nos países
em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, con-
siderando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60
anos ou mais estará, em 2030, entre
A) 490 e 510 milhões.
102
B) 550 e 620 milhões.
C) 780 e 800 milhões.
D) 810 e 860 milhões.
E) 870 e 910 milhões.
2) Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente,
uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população
dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de
A) 1/2
B) 7/20
C) 8/25
D) 1/5
E) 3/25
Questão 12.9 [ENEM-2009] O controle de qualidade de uma
empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabi-
lidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito
de fabricação é de 0,2 %. Se uma loja