exemplo_operador_seg_ordem

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Exemplo completo de Exemplo completo de 
modelagem e solumodelagem e soluçção de um ão de um 
circuito de segunda ordemcircuito de segunda ordem
Professor Dr. Antônio CProfessor Dr. Antônio Céésar Baleeiro Alvessar Baleeiro Alves
Exemplo 9.3.1 (com enunciado estendido pelo professor)Exemplo 9.3.1 (com enunciado estendido pelo professor)
Determine o modelo matemático e a resposta completa da 
tensão vL(t) no circuito da figura. Use operadores para 
formular a equação diferencial e obter a resposta em 
termos de duas constantes arbitrárias.
Dado:
vS(t) = 100u(t)
Após obter a solução completa, simule o circuito no PSpice
e analise o gráfico da tensão no indutor, vL(t) para t>0.
Escrevendo as equaEscrevendo as equaçções das malhas usando o ões das malhas usando o 
operador operador s = d /dt::
0)4(4
4)212(
21
21
=++−
=−+
isi
viis s (1)
(2)
Escrevendo as equaEscrevendo as equaçções das malhas na forma ões das malhas na forma 
matricial:matricial:
�
�
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
+−
−+
0)4(4
4)212(
2
1 sv
i
i
s
s (3)
Obtendo o determinante da matriz dos coeficientes:Obtendo o determinante da matriz dos coeficientes:
32202)4(4
4)212(
det
16)4)(212()4(4
4)212(
det
2 ++=
+−
−+
−++=
+−
−+
ss
s
s
ss
s
s
(3)
(4)
Aplicando o mAplicando o méétodo de Cramer para obter todo de Cramer para obter i2::
1610
2
32202
4
32202
04
)212(
det
22
222
++
=
++
=
++
−
+
=
ss
vi
ss
v
ss
vs
i
s
s
s
(5)
Aplicando o mAplicando o méétodo de Cramer para obter todo de Cramer para obter i2::
sdt
di
dt
id
vi 21610 2222
2
=++ (6)
dt
tdi
L tv
)(21)( =
Mas, o interesse Mas, o interesse éé pela pela edoedo da tensão da tensão vL::
(7)
Vejamos a seguir o resultado da substituiVejamos a seguir o resultado da substituiçção...ão...
SubstituiSubstituiçções:ões:
sdt
di
dt
id
vi 21610 2222
2
=++
(8)
2
2
2
dt
id
dt
dvL
=
(9)
dt
tdi
L tv
)(21)( = (7)
�= dtvi L2
sLLdt
dv
vdtvvL 21610 =�++
(10)
EquaEquaçção diferencial da tensão ão diferencial da tensão vL(t)::
dt
dv
Ldt
dv
dt
vd sLL v 216102
2
=++
(10)
(11)
(6)
sLLdt
dv
vdtvvL 21610 =�++
DeterminaDeterminaçção das condião das condiçções iniciaisões iniciais
Iniciamos com a análise para t=0–,
Circuito para t=0–, vS(0–) = 0V (fonte em degrau):
Portanto, 
0)0(
,0)0(
2
1
=
=
−
−
i
i
0)0(
,0)0(
2
1
=
=
+
+
i
i
ContinuaContinuaçção da determinaão da determinaçção das condião das condiçções iniciaisões iniciais
Precisamos recorrer ao circuito e ao conjunto de equações 
obtidas da aplicação das Leis de Kirchhoff:
0,0)(4)(4
0,100)(42)(12
)(
21
2
)(
1
2
1
>=++−
>=−+
ttiti
ttiti
dt
tdi
dt
tdi
De onde vêm as equaDe onde vêm as equaçções mostradas atrões mostradas atráás?s?
0,0)(4)(4
0,100)(42)(12
)(
21
2
)(
1
2
1
>=++−
>=−+
ttiti
ttiti
dt
tdi
dt
tdi
De (1) e de (2), temos:De (1) e de (2), temos:
0,0)(4)(4
0,100)(42)(12
)(
21
2
)(
1
2
1
>=++−
>=−+
ttiti
ttiti
dt
tdi
dt
tdi (1) reescrita
(2) reescrita
0)4(4
4)212(
21
21
=++−
=−+
isi
viis s (1)
(2)
Reescrevendo as equaReescrevendo as equaçções (1) e (2) em termos ões (1) e (2) em termos 
de derivadas:de derivadas:
ContinuaContinuaçção da determinaão da determinaçção das condião das condiçções iniciaisões iniciais
0)0(4)0(4
100)0(42)0(12
)0(
21
2
)0(
1
2
1
=++−
=−+
+
+
++
++
dt
di
dt
di
ii
ii
Análise para t=0+,
0
50
)0(
)0(
2
1
=
=
+
+
dt
di
s
A
dt
di
Consequentemente, para t=0+,
0)0(1)0( )0(2 =→= ++
+
Ldt
di
L vv (12)
Como obter a condição inicial da derivada?
dt
dvL )0( +
s
V
dt
dv
dt
dv
L
L
200
04504
)0(
)0(
=
×−×=
+
+
ContinuaContinuaçção da determinaão da determinaçção das condião das condiçções iniciaisões iniciais
dt
tdi
dt
tdi
dt
tdv
L
dt
tdi
L
tititv
titi
)()()(
21
21
)(
21
2
44
)(4)(4)(
)(4)(4
−=
−=
−=
Consequentemente, para t=0+,
dt
di
dt
di
dt
dvL )0()0()0( 21 44
+++
−=
(13)
Obtenção da resposta natural
dt
dv
Ldt
dv
dt
vd sLL v 216102
2
=++
Equação (11):
016102
2
=++ Ldt
dv
dt
vd
vLL
(11)
(14)
Equação (11) com segundo membro nulo:
016100)1610( 22 =++→=++ ppvpp L
Obtenção da resposta natural
8
2
2
16141010
2
2
16141010
1
2
2
−==
−==
××−−−
××−+−
p
p
(15)
Polos ou raízes características:
Resposta natural em termos de constantes 
arbitrárias:
tt
Ln eAeAtv
8
2
2
1)( −− += (16)
Obtenção da resposta forçada
dt
dv
Ldt
dv
dt
vd sLL v 216102
2
=++
Equação (11):
(11)
016102
2
=++ Ldt
dv
dt
vd
vLL
Equação (11) para t>0:
(17)
Obtenção da resposta forçada
�+=
=
m
n dt
tyd
nLf n
n
MtyMtv
1
)(
0 )()(
Suporemos a forma da resposta forçada a partir da 
forma matemática das fontes de excitação:
(18)
Combinação linear das m primeiras derivadas 
linearmente independentes da função da fonte de 
excitação
Obtenção da resposta forçada
100)( 0MtvLf =
Neste caso, como a fonte é constante e não possui 
derivadas LI, tem-se:
(19)
Substituindo essa forma na edo (17):
0100160100
01610
0
2
2
=+×+
=++
M
vLfdt
dv
dt
vd LfLf 0010016 00 =→= MM
0)( =tvLf
Obtenção da resposta completa
Basta adicionar as duas respostas, a natural e a 
forçada e, em seguida, utilizar as condições 
iniciais:
0)( 8221 ++= −− ttL eAeAtv (20)
)()()( tvtvtv LfLnL +=
Obtenção da resposta completa
Utilizando as condições iniciais:
tt
dt
tdv
tt
L
eAeA
eAeAtv
L 8
2
2
1
)(
8
2
2
1
82
)(
−−
−−
−−=
+=
(21)
21
21
82200
0
AA
AA
−−=
+=
(22)
3
100
2
3
100
1
−
=
=
A
A
Resposta completa
0,)( 83100
2
3
100 >−= −− teetv ttL (23)