17_Radiac_a_o

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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Ondas
Campos Radiantes
1
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Campos Radiantes
• Uma dada distribuição de cargas e correntes variantes no tempo 
pode produzir e irradiar ondas eletromagnéticas; 
• Tipicamente, a distribuição de corrente localiza-se em um ponto do 
espaço como uma antena.
• Uma fonte de corrente produz campos eletromagnéticos que 
podem se propagar até pontos muito distantes da posição da fonte.
Campo 
estático
Campo 
variante!
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Campos Radiantes
• Pode-se descrever o fenômeno da radiação 
eletromagnética, a partir das equações de 
Maxwell e do vetor potencial magnético .
• Primeiramente, considere-se um fio de raio a 
em que circula uma corrente elétrica variante 
harmonicamente no tempo:
• A densidade de corrente varia tanto no tempo 
como no espaço, ao longo do condutor:
• onde:
3
 
!
A !r ,t( )
I !t( ) = I0e j" !t
 
!
J !!r , !t( ) =
!
J !!r( ) I0
"a2 e
j# !t
 !
!r = x!ax + y
!ay + z
!azJ
 
!ay
 
!az
0
a
 
!ax
dV
 !
!r
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Campos Radiantes
• O vetor potencial magnético no ponto P 
distante R da fonte, é dado por:
• enquanto o campo magnético em torno do fio 
relaciona-se ao potencial magnético através de:
• Pela lei de Ampère, o campo magnético 
variante no tempo gera um campo elétrico:
• Ambos campos propagam-se no espaço, em 
direção ortogonal ao plano dos vetores E e H. 
Nesse caso, é radial, na direção do versor a .
4
 
!
A !r ,t( )
 
!
A !r ,t( ) = µ04!
!
J "!r , "t( )
!r # "!r dVV$$$
=
µ0
4!
!
J "!r , "t( )
R dVV$$$
 
!ax
 
!ay
 
!az
 ay ay
0
dV
 
!
H !r ,t( ) = 1
µ0
!
! "
!
A !r ,t( )
 
!
E !r ,t( ) = 1j!"0
!
# $
!
H !r ,t( )
 
!
H 
!
E
 
!ar 
!ar
a
J
 
!
H
 
!
E
 !
!r
 R =
!r ! "!r
P !r
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Campos Radiantes
• A radiação eletromagnética do fio é tal que o 
vetor potencial magnético no ponto P, no instante 
t, resulta da corrente no fio no instante t’:
• Considerando que a onda se propaga na 
velocidade da luz, tem-se:
• logo, 
• o que define o potencial retardado:
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!
A !r ,t( ) = µ04!
!
J "!r , "t( )
R dVV###
 !
!r
 R =
!r ! "!r
 
!ay
 
!az
 ay ay
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R
c
 
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J !!r , !t( ) =
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J !!r( ) I0
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&'
(
)* =
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J !!r( ) I0
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j# te$ j
#
c R
=
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J !!r ,t( )e$ j
#
c R =
!
J !!r ,t( )e$ jkR
 
!
A !r ,t( ) = µ04!
!
J "!r ,t( )e# jkR
R dVV$$$
a
J
 
!ax
P
 
!
E
 
!
H
dV
 
!r
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Dipolo Hertziano
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 ay ay
∼
• Um dipolo é uma antena ou radiador constituído 
de duas hastes metálicas distribuídas num 
mesmo eixo e separadas por uma distância 
muito pequena.
• O dipolo é dito infinitesimal quando o seu 
comprimento l é menor ou igual a !/50.
• A alimentação é feita no centro do par de hastes.
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• Ao alcançar a extremidade do dipolo (fig. j),, a 
mesma condição inicial do processo é novamente 
atingida.
• As cargas elétricas continuam seu movimento 
em direção às extremidades do dipolo, 
formando uma nova linha de força (fig. i).
• Ao atingirem o centro, as linhas do campo 
elétrico se fecham, formando uma segunda 
"bolha", cujas linhas de força tem sentido 
contrário ao da primeira (fig. h).
• Ao atingirem a extremidade do dipolo, as 
cargas elétricas, em posições invertidas, são 
novamente refletidas de volta, movendo-se para 
o centro do dipolo (fig. f e fig. g).
• Movendo-se novamente em d i reção a 
extremidade do dipolo as cargas elétricas 
positivas e negativas, agora em posições invertidas 
em relação ao movimento anterior, formam uma 
nova linha de força de sentido contrário (fig.e).
• No perfeito casamento de impedâncias, os pulsos 
são absorvidos pelo gerador e as linhas do campo 
elétrico fecham-se quando as cargas elétricas 
atingem o centro do dipolo, formando uma 
espécie de "bolha" que se propaga para fora do 
dipolo na velocidade da luz. Observar que quando 
a corrente é máxima a tensão é zero e vice-versa.
• As cargas elétricas ao atingirem a extremidade do 
dipolo são refletidas de volta movendo-se para o 
centro dodipolo. (fig. c)
 3 – PARÂMETROS FUNDAMENTAIS DAS ANTENAS 35 
 
 Versão 1.4 - fev/2011 Prof. Uvermar Sidney Nince – Eng. Elétrica - UFG 
 
 
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T
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T
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T
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T
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7 TT
4
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t
+
-
v = max
l0
t = 0
+v = max
I = 0
l = /2 !0
t = 0
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2
(a) (b) (d)
G
-
(c)
+
-
I
I
+I
I
t =T/8
G
I
I
+
I
I
t =T/4
G -I=max
v=0
(e)
I
I +
I
I
t =3T/8
G
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(g)
I
I +
I
I
t =5T/8
G
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(i)
I
I
+I
I
t =7T/8
G
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(j)
+
t =T
G
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(h)
I
I
+
I
I
t =3T/4
G -
(f)
+
t =T/2
G
-
I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
!/2 
 
Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolo na velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargas percorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
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 Versão 1.4 - fev/2011 Prof. Uvermar Sidney Nince – Eng. Elétrica - UFG 
 
 
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v = max
l0
t = 0
+v = max
I = 0
l = /2 !0
t = 0
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(a) (b) (d)
G
-
(c)
+
-
I
I
+I
I
t =T/8
G
I
I
+
I
I
t =T/4
G -I=max
v=0
(e)
I
I +
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I
t =3T/8
G
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(g)
I
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I
I
t =5T/8
G
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(i)
I
I
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t =7T/8
G
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(j)
+
t =T
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(h)
I
I
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t =3T/4
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(f)
+
t =T/2
G
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I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
!/2 
 
Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolo na velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargaspercorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
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t
+
-
v = max
l0
t = 0
+v = max
I = 0
l = /2 !0
t = 0
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(a) (b) (d)
G
-
(c)
+
-
I
I
+I
I
t =T/8
G
I
I
+
I
I
t =T/4
G -I=max
v=0
(e)
I
I +
I
I
t =3T/8
G
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(g)
I
I +
I
I
t =5T/8
G
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(i)
I
I
+I
I
t =7T/8
G
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(j)
+
t =T
G
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(h)
I
I
+
I
I
t =3T/4
G -
(f)
+
t =T/2
G
-
I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
!/2 
 
Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolo na velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargas percorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
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+
-
v = max
l0
t = 0
+v = max
I = 0
l = /2 !0
t = 0
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(a) (b) (d)
G
-
(c)
+
-
I
I
+I
I
t =T/8
G
I
I
+
I
I
t =T/4
G -I=max
v=0
(e)
I
I +
I
I
t =3T/8
G
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(g)
I
I +
I
I
t =5T/8
G
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(i)
I
I
+I
I
t =7T/8
G
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(j)
+
t =T
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(h)
I
I
+
I
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t =3T/4
G -
(f)
+
t =T/2
G
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I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
!/2 
 
Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolo na velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargas percorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
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v = max
l0
t = 0
+v = max
I = 0
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t = 0
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(a) (b) (d)
G
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(c)
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I
I
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I
t =T/8
G
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G -I=max
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(j)
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(f)
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I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
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Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolo na velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargas percorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
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v = max
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t = 0
+v = max
I = 0
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t = 0
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G
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I
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I
t =T/8
G
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I
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t =T/4
G -I=max
v=0
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t =3T/8
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I
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G
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I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
!/2 
 
Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolo na velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargas percorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
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 Versão 1.4 - fev/2011 Prof. Uvermar Sidney Nince – Eng. Elétrica - UFG 
 
 
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t = 0
+v = max
I = 0
l = /2 !0
t = 0
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G
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G
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v=0
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I
I
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I
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I
t =7T/8
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(j)
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(h)
I
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+
I
I
t =3T/4
G -
(f)
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t =T/2
G
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I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
!/2 
 
Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolo na velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargas percorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
 3 – PARÂMETROS FUNDAMENTAIS DAS ANTENAS 35 
 
 Versão 1.4 - fev/2011 Prof. Uvermar Sidney Nince – Eng. Elétrica - UFG 
 
 
-
0
T
2
T
4
T
8
T
8
3
T
8
5
T
8
7 TT
4
3
t
+
-
v = max
l0
t = 0
+v = max
I = 0
l = /2 !0
t = 0
1 3
2
(a) (b) (d)
G
-
(c)
+
-
I
I
+I
I
t =T/8
G
I
I
+
I
I
t =T/4
G -I=max
v=0
(e)
I
I +
I
I
t =3T/8
G
-
(g)
I
I +
I
I
t =5T/8
G
-
(i)
I
I
+I
I
t =7T/8
G
-
(j)
+
t =T
G
-
(h)
I
I
+
I
I
t =3T/4
G -
(f)
+
t =T/2
G
-
I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
!/2 
 
Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolo na velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargas percorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
• Pode-se usar uma antena dipolo para explicar o 
processo de conversão de energia elétrica em 
energia eletromagnética em cinco fases, mostradas 
na figura ao lado, como resultado da aplicação de 
um pulso de curta duração nos terminais centrais 
da antena.
 3 – PARÂMETROS FUNDAMENTAIS DAS ANTENAS 35 
 
 Versão 1.4 - fev/2011 Prof. Uvermar Sidney Nince – Eng. Elétrica - UFG 
 
 
-
0
T
2
T
4
T
8
T
8
3
T
8
5
T
8
7 TT
4
3
t
+
-
v = max
l0
t = 0
+v = max
I = 0
l = /2 !0
t = 0
1 3
2
(a) (b) (d)
G
-
(c)
+
-
I
I
+I
I
t =T/8
G
I
I
+
I
I
t =T/4
G -I=max
v=0
(e)
I
I +
I
I
t =3T/8
G
-
(g)
I
I +
I
I
t =5T/8
G
-
(i)
I
I
+I
I
t =7T/8
G
-
(j)
+
t =T
G
-
(h)
I
I
+
I
I
t =3T/4
G -
(f)
+
t =T/2
G
-
I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
!/2 
 
Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolona velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargas percorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
Dipolo Hertziano
7
 ay ay
 3 – PARÂMETROS FUNDAMENTAIS DAS ANTENAS 35 
 
 Versão 1.4 - fev/2011 Prof. Uvermar Sidney Nince – Eng. Elétrica - UFG 
 
 
-
0
T
2
T
4
T
8
T
8
3
T
8
5
T
8
7 TT
4
3
t
+
-
v = max
l0
t = 0
+v = max
I = 0
l = /2 !0
t = 0
1 3
2
(a) (b) (d)
G
-
(c)
+
-
I
I
+I
I
t =T/8
G
I
I
+
I
I
t =T/4
G -I=max
v=0
(e)
I
I +
I
I
t =3T/8
G
-
(g)
I
I +
I
I
t =5T/8
G
-
(i)
I
I
+I
I
t =7T/8
G
-
(j)
+
t =T
G
-
(h)
I
I
+
I
I
t =3T/4
G -
(f)
+
t =T/2
G
-
I = 0
v=max
v=max
I=max
v=0
I = 0
!/2 
 
Fig. 3.2 
 
 Ao atingirem o centro as linhas do campo elétrico se fecham formando uma segunda "bolha" cujas linhas de 
força tem sentido contrário aos da primeira (fig. 3.2h). As cargas elétricas, continuando o seu movimento em direção a 
extremidade do dipolo, formam uma nova linha de força interligando as cargas elétricas positivas e negativas (fig. 1.2i). Ao 
alcançar a extremidade do dipolo (fig. 3.2j), a mesma condição inicial do processo é novamente atingida, e daí para frente tudo 
se repete de forma contínua onde novas "bolhas" são criadas e enviadas para fora do dipolo na velocidade da luz. A figura 3.3 
apresenta de forma mais completa as "bolhas" formadas por mais de uma linha de força do campo elétrico. O período de tempo 
"T" entre os pulsos 1 e 3 é o tempo requerido para as cargas percorrerem o caminho de ida e volta ao gerador. Este é o mesmo 
tempo gasto para as cargas percorrerem o comprimento "l" do dipolo duas vezes, na velocidade da luz, portanto: 
 
 ! " #$% 
 
 & " '( 
 
 $ " )#& (l em metros, f em Hz e c em m/s) 
 
 $ " '*+& (l em metros e f em MHz) [3.1] 
 
 Desta forma, o comprimento do dipolo determina o espaçamento entre os pulsos T, enquanto o pulso de duração 
""""t determina o comprimento de onda mais curto do pulso radiado. Observar que os pontos P, P', P"..... movem com a 
velocidade da luz (v=c) para pontos distantes do dipolo. Isto pode ser confirmado pela medição das distâncias entre os 
sucessivos pontos. A intensidade de campo elétrico é proporcional a intensidade das linhas de campo elétrico. 
 
 
 
 
 
• No inicio do processo (t=0), um pulso é aplicado 
nos terminais da antena de tal forma que as cargas 
elétricas se movam para a extremidade do dipolo 
(fig. b). As linhas do campo elétrico são formadas 
interligando as cargas elétricas positivas e 
negativas.
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Dipolo Hertziano
• No dipolo infinitesimal, a densidade de 
corrente não varia para diferentes pontos do 
condutor, sendo função apenas do tempo, ou 
seja:
• Para o dipolo de comprimento l, tem-se:
• Considerando l ≪ R, tem-se R ! r:
8
!
P
J0
 
!ax 
!ay
 
!az
 ay ay
0
l
2
 
!r
J0
!
l
2
 
!
J t( ) = J0e j! t
!az =
I0
"a2 e
j! t !az
 
!
A !r ,t( ) = µ0I0e
j! t
4" 2a2
e# jkR
R $r d $r d% dz0
a
&
0
2"
&
#
l
2
l
2
& !az
 
!
A !r ,t( ) = µ0I0e
j! t
4" 2a2
e# jkR
R $r d $r d% dz0
a
&
0
2"
&
#
l
2
l
2
& !az
=
µ0I0l
4"r e
j ! t# kr( )!az = Az r,t( )
!az
!
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Dipolo Hertziano
• O campo magnético irradiado pela antena 
dipolo pode ser obtido a partir de:
• que, em coordenadas esféricas é dado por:
• Porém, o potencial deve ser convertido de 
coordenadas cilíndricas para esféricas:
9
!
P
 
!ax 
!ay
 
!az
 ay ay
0
l
2
 
!r
!
l
2
!
 
!
H !r ,t( ) = 1
µ0
!
! "
!
A !r ,t( )
 
!
H !r ,t( ) = 1
µ0r2 sen!
det
!ar r
!a! r sen!
!a"
#
#r
#
#!
#
#"
Ar rA! r sen!A"
$
%
&
&
&
&
&
'
(
)
)
)
)
)
145 7.2. Dipolo Infinitesimal ou Hertziano
Se o dipolo tiver comprimento total igual a l, enta˜o
A(r, t) =
µoIo e jω t
4pi2a2
l
2∫
−l
2
2pi∫
0
ro∫
0
e − jkR
R
r!d r!dϕ dz az (7.15)
Considerando-se l! R, tem-se
A(r, t) =
µoIo e jω t
4pi2a2
e − jkR
R
l
2∫
−l
2
2pi∫
0
ro∫
0
r!d r!dϕ dz az (7.16)
ou
A(r, t) = Az (r, t) az =
µoIo l
4pir
e j(ω t− k r) az (7.17)
uma vez que l e´ pequeno, enta˜o, r " R.
O campo magne´tico radiado pela antena e´ obtido da equac¸a˜o (7.5), isto e´,
H(r, t) =
1
µor 2sen θ
det
 ar r aθ r sen θ aϕ∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂ϕ
Ar rAθ r sen θAϕ
 (7.18)
pois a representac¸a˜o dos campos radiados e´ geralmente feita em coordenadas esfe´ricas.
Portanto, para resolver a equac¸a˜o acima, e´ necessa´rio converter a representac¸a˜o do
potencial vetor A de coordenadas cil´ındricas para esfe´ricas. Estes sistemas esta˜o
relacionados de acordo com a expressa˜o a seguir: ArAθ
Aϕ
 =
 sen θ 0 cos θcos θ 0 −sen θ
0 1 0
 AρAϕ
Az
 (7.19)
Sendo assim, teˆm-se
Ar = Az cos θ (7.20)
Aθ = −Azsen θ (7.21)
e
Aϕ = 0 (7.22)
J0
J0
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Dipolo Hertziano
• Portanto, como o potencial só tem 
componente na direção a , têm-se:
• daí:
• Da Lei de Ampère, o campo elétrico fica:
10
!
P
 
!ax 
!ay
 
!az
 ay ay
0
l
2
 
!r
!
l
2
!
 
!az
145 7.2. Dipolo Infinitesimal ou Hertziano
Se o dipolo tiver comprimento total igual a l, enta˜o
A(r, t) =
µoIo e jω t
4pi2a2
l
2∫
−l
2
2pi∫
0
ro∫
0
e − jkR
R
r!d r!dϕ dz az (7.15)
Considerando-se l! R, tem-se
A(r, t) =
µoIo e jω t
4pi2a2
e − jkR
R
l
2∫
−l
2
2pi∫
0
ro∫
0
r!d r!dϕ dz az (7.16)
ou
A(r, t) = Az (r, t) az =
µoIo l
4pir
e j(ω t− k r) az (7.17)
uma vez que l e´ pequeno, enta˜o, r " R.
O campo magne´tico radiado pela antena e´ obtido da equac¸a˜o (7.5), isto e´,
H(r, t) =
1
µor 2sen θ
det
 ar r aθ r sen θ aϕ∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂ϕ
Ar rAθ r sen θAϕ
 (7.18)
pois a representac¸a˜o dos campos radiados e´ geralmente feita em coordenadas esfe´ricas.
Portanto, para resolver a equac¸a˜o acima, e´ necessa´rio converter a representac¸a˜o do
potencial vetor A de coordenadas cil´ındricas para esfe´ricas. Estes sistemas esta˜o
relacionados de acordo com a expressa˜o a seguir: ArAθ
Aϕ
 =
 sen θ 0 cos θcos θ 0 −sen θ
0 1 0
 AρAϕ
Az
 (7.19)
Sendo assim, teˆm-se
Ar = Az cos θ (7.20)
Aθ = −Azsen θ (7.21)
e
Aϕ = 0 (7.22)
145 7.2. Dipolo Infinitesimal ou Hertziano
Se o dipolo tiver comprimento total igual a l, enta˜o
A(r, t) =
µoIo e jω t
4pi2a2
l
2∫
−l
2
2pi∫
0
ro∫
0
e − jkR
R
r!d r!dϕ dz az (7.15)
Considerando-se l! R, tem-se
A(r, t) =
µoIo e jω t
4pi2a2
e − jkR
R
l
2∫
−l
2
2pi∫
0
ro∫
0
r!d r!dϕ dz az (7.16)
ou
A(r, t) = Az (r, t) az =
µoIo l
4pir
e j(ω t− k r) az (7.17)
uma vez que l e´ pequeno, enta˜o, r " R.
O campo magne´tico radiado pela antena e´ obtido da equac¸a˜o (7.5), isto e´,
H(r, t) =
1
µor 2sen θ
det
 ar r aθ r sen θ aϕ∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂ϕ
Ar rAθ r sen θAϕ
 (7.18)
pois a representac¸a˜o dos campos radiados e´ geralmente feita em coordenadas esfe´ricas.
Portanto, para resolver a equac¸a˜o acima, e´ necessa´rio converter a representac¸a˜o do
potencial vetor A de coordenadas cil´ındricas para esfe´ricas. Estes sistemas esta˜o
relacionados de acordo com a expressa˜oa seguir: ArAθ
Aϕ
 =
 sen θ 0 cos θcos θ 0 −sen θ
0 1 0
 AρAϕ
Az
 (7.19)
Sendo assim, teˆm-se
Ar = Az cos θ (7.20)
Aθ = −Azsen θ (7.21)
e
Aϕ = 0 (7.22)
145 7.2. Dipolo Infinitesimal ou Hertziano
Se o dipolo tiver comprimento total igual a l, enta˜o
A(r, t) =
µoIo e jω t
4pi2a2
l
2∫
−l
2
2pi∫
0
ro∫
0
e − jkR
R
r!d r!dϕ dz az (7.15)
Considerando-se l! R, tem-se
A(r, t) =
µoIo e jω t
4pi2a2
e − jkR
R
l
2∫
−l
2
2pi∫
0
ro∫
0
r!d r!dϕ dz az (7.16)
ou
A(r, t) = Az (r, t) az =
µoIo l
4pir
e j(ω t− k r) az (7.17)
uma vez que l e´ pequeno, enta˜o, r " R.
O campo magne´tico radiado pela antena e´ obtido da equac¸a˜o (7.5), isto e´,
H(r, t) =
1
µor 2sen θ
det
 ar r aθ r sen θ aϕ∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂ϕ
Ar rAθ r sen θAϕ
 (7.18)
pois a representac¸a˜o dos campos radiados e´ geralmente feita em coordenadas esfe´ricas.
Portanto, para resolver a equac¸a˜o acima, e´ necessa´rio converter a representac¸a˜o do
potencial vetor A de coordenadas cil´ındricas para esfe´ricas. Estes sistemas esta˜o
relacionados de acordo com a expressa˜o a seguir: ArAθ
Aϕ
 =
 sen θ 0 cos θcos θ 0 −sen θ
0 1 0
 AρAϕ
Az
 (7.19)
Sendo assim, teˆm-se
Ar = Az cos θ (7.20)
Aθ = −Azsen θ (7.21)
e
Aϕ = 0 (7.22)
CAP´ıTULO 7. Processo de Radiac¸a˜o 146
uma vez que, em coordenadas cil´ındricas, so´ Az e´ diferente de zero.
Desta forma, pode-se obter as expresso˜es do campo magne´tico utilizando-se
(7.18), ou seja,
Hr = Hθ = 0 (7.23)
e
Hϕ =
jkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.24)
Ja´ as expresso˜es referentes a`s componentes de campo ele´trico sa˜o obtidas a partir
da equac¸a˜o (7.7),
Er =
ηIo l cos θ
2pir2
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.25)
Eθ =
jηkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
− 1
(kr)2
)
e j(ω t− k r) (7.26)
e
Eϕ = 0 (7.27)
sendo η = 120pi Ω, impedaˆncia intr´ınseca do va´cuo.
7.3 Regio˜es de Campo
7.3.1 Campo Pro´ximo Reativo
Pode-se observar nas equac¸o˜es dos campos eletromagne´ticos que estes sa˜o grandezas
complexas. Nas proximidades de uma antena, as partes imagina´rias dos campos sa˜o
predominantes. Nesta regia˜o, chamada de regia˜o de campos pro´ximos reativos, a
energia transferida pela antena para o espac¸o fica armazenada na forma de campos
evanescentes, que na˜o se propagam e decaem exponencialmente com a distaˆncia.
Para esta regia˜o, onde e´ r " λ e kr " 1, os campos pro´ximos radiados por um
dipolo hertziano sa˜o fornecidos por:
Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.28)
Hϕ # Io l sen θ
4pir2
e j(ω t− k r) (7.29)
CAP´ıTULO 7. Processo de Radiac¸a˜o 146
uma vez que, em coordenadas cil´ındricas, so´ Az e´ diferente de zero.
Desta forma, pode-se obter as expresso˜es do campo magne´tico utilizando-se
(7.18), ou seja,
Hr = Hθ = 0 (7.23)
e
Hϕ =
jkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.24)
Ja´ as expresso˜es referentes a`s componentes de campo ele´trico sa˜o obtidas a partir
da equac¸a˜o (7.7),
Er =
ηIo l cos θ
2pir2
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.25)
Eθ =
jηkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
− 1
(kr)2
)
e j(ω t− k r) (7.26)
e
Eϕ = 0 (7.27)
sendo η = 120pi Ω, impedaˆncia intr´ınseca do va´cuo.
7.3 Regio˜es de Campo
7.3.1 Campo Pro´ximo Reativo
Pode-se observar nas equac¸o˜es dos campos eletromagne´ticos que estes sa˜o grandezas
complexas. Nas proximidades de uma antena, as partes imagina´rias dos campos sa˜o
predominantes. Nesta regia˜o, chamada de regia˜o de campos pro´ximos reativos, a
energia transferida pela antena para o espac¸o fica armazenada na forma de campos
evanescentes, que na˜o se propagam e decaem exponencialmente com a distaˆncia.
Para esta regia˜o, onde e´ r " λ e kr " 1, os campos pro´ximos radiados por um
dipolo hertziano sa˜o fornecidos por:
Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.28)
Hϕ # Io l sen θ
4pir2
e j(ω t− k r) (7.29)
CAP´ıTULO 7. Processo de Radiac¸a˜o 146
uma vez que, em coordenadas cil´ındricas, so´ Az e´ diferente de zero.
Desta forma, pode-se obter as expresso˜es do campo magne´tico utilizando-se
(7.18), ou seja,
Hr = Hθ = 0 (7.23)
e
Hϕ =
jkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.24)
Ja´ as expresso˜es referentes a`s componentes de campo ele´trico sa˜o obtidas a partir
da equac¸a˜o (7.7),
Er =
ηIo l cos θ
2pir2
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.25)
Eθ =
jηkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
− 1
(kr)2
)
e j(ω t− k r) (7.26)
e
Eϕ = 0 (7.27)
sendo η = 120pi Ω, impedaˆncia intr´ınseca do va´cuo.
7.3 Regio˜es de Campo
7.3.1 Campo Pro´ximo Reativo
Pode-se observar nas equac¸o˜es dos campos eletromagne´ticos que estes sa˜o grandezas
complexas. Nas proximidades de uma antena, as partes imagina´rias dos campos sa˜o
predominantes. Nesta regia˜o, chamada de regia˜o de campos pro´ximos reativos, a
energia transferida pela antena para o espac¸o fica armazenada na forma de campos
evanescentes, que na˜o se propagam e decaem exponencialmente com a distaˆncia.
Para esta regia˜o, onde e´ r " λ e kr " 1, os campos pro´ximos radiados por um
dipolo hertziano sa˜o fornecidos por:
Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.28)
Hϕ # Io l sen θ
4pir2
e j(ω t− k r) (7.29)
CAP´ıTULO 7. Processo de Radiac¸a˜o 146
uma vez que, em coordenadas cil´ındricas, so´ Az e´ diferente de zero.
Desta forma, pode-se obter as expresso˜es do campo magne´tico utilizando-se
(7.18), ou seja,
Hr = Hθ = 0 (7.23)
e
Hϕ =
jkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.24)
Ja´ as expresso˜es referentes a`s componentes de campo ele´trico sa˜o obtidas a partir
da equac¸a˜o (7.7),
Er =
ηIo l cos θ
2pir2
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.25)
Eθ =
jηkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
− 1
(kr)2
)
e j(ω t− k r) (7.26)
e
Eϕ = 0 (7.27)
sendo η = 120pi Ω, impedaˆncia intr´ınseca do va´cuo.
7.3 Regio˜es de Campo
7.3.1 Campo Pro´ximo Reativo
Pode-se observar nas equac¸o˜es dos campos eletromagne´ticos que estes sa˜o grandezas
complexas. Nas proximidades de uma antena, as partes imagina´rias dos campos sa˜o
predominantes. Nesta regia˜o, chamada de regia˜o de campos pro´ximos reativos, a
energia transferida pela antena para o espac¸o fica armazenada na forma de campos
evanescentes, que na˜o se propagam e decaem exponencialmente com a distaˆncia.
Para esta regia˜o, onde e´ r " λ e kr " 1, os campos pro´ximos radiados por um
dipolo hertziano sa˜o fornecidos por:
Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.28)
Hϕ # Io l sen θ
4pir2
e j(ω t− k r) (7.29)
CAP´ıTULO 7. Processo de Radiac¸a˜o 146
uma vez que, em coordenadas cil´ındricas, so´ Az e´ diferente de zero.
Desta forma, pode-se obter as expresso˜es do campo magne´tico utilizando-se
(7.18), ou seja,
Hr = Hθ = 0 (7.23)
e
Hϕ =
jkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.24)
Ja´ as expresso˜es referentes a`s componentes de campo ele´trico sa˜o obtidas a partir
da equac¸a˜o (7.7),
Er =
ηIo l cos θ
2pir2
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.25)
Eθ =
jηkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
− 1
(kr)2
)
e j(ω t− k r) (7.26)
e
Eϕ = 0 (7.27)
sendo η = 120pi Ω, impedaˆncia intr´ınseca do va´cuo.
7.3 Regio˜es de Campo
7.3.1 Campo Pro´ximo Reativo
Pode-se observar nas equac¸o˜es dos campos eletromagne´ticos que estes sa˜o grandezas
complexas. Nas proximidades de uma antena, as partes imagina´rias dos campos sa˜o
predominantes. Nesta regia˜o, chamada de regia˜o de campos pro´ximos reativos, a
energia transferida pela antena para o espac¸o fica armazenada na forma de campos
evanescentes, que na˜o se propagam e decaem exponencialmente com a distaˆncia.
Para esta regia˜o, onde e´ r " λ e kr " 1, os campos pro´ximos radiados por um
dipolo hertziano sa˜o fornecidos por:
Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.28)
Hϕ # Io l sen θ
4pir2
e j(ω t− k r) (7.29)
J0
J0
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Campo Próximo 
Reativo
• Nas proximidades de uma antena, as partes imaginárias 
dos campos são predominantes.
• Esta é a regiã!o de campos próximos reativos, onde a 
energia fica armazenada em campos que não se 
propagam e decaem exponencialmente com a distância. 
• Como r ≪ ! e kr ≪ 1, os campos próximos radiados 
por um dipolo hertziano são:
• A densidade média de potência é nula nessa região, que é 
delimitada na prática peloraio:
11
CAP´ıTULO 7. Processo de Radiac¸a˜o 146
uma vez que, em coordenadas cil´ındricas, so´ Az e´ diferente de zero.
Desta forma, pode-se obter as expresso˜es do campo magne´tico utilizando-se
(7.18), ou seja,
Hr = Hθ = 0 (7.23)
e
Hϕ =
jkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.24)
Ja´ as expresso˜es referentes a`s componentes de campo ele´trico sa˜o obtidas a partir
da equac¸a˜o (7.7),
Er =
ηIo l cos θ
2pir2
(
1 +
1
jkr
)
e j(ω t− k r) (7.25)
Eθ =
jηkIo l sen θ
4pir
(
1 +
1
jkr
− 1
(kr)2
)
e j(ω t− k r) (7.26)
e
Eϕ = 0 (7.27)
sendo η = 120pi Ω, impedaˆncia intr´ınseca do va´cuo.
7.3 Regio˜es de Campo
7.3.1 Campo Pro´ximo Reativo
Pode-se observar nas equac¸o˜es dos campos eletromagne´ticos que estes sa˜o grandezas
complexas. Nas proximidades de uma antena, as partes imagina´rias dos campos sa˜o
predominantes. Nesta regia˜o, chamada de regia˜o de campos pro´ximos reativos, a
energia transferida pela antena para o espac¸o fica armazenada na forma de campos
evanescentes, que na˜o se propagam e decaem exponencialmente com a distaˆncia.
Para esta regia˜o, onde e´ r " λ e kr " 1, os campos pro´ximos radiados por um
dipolo hertziano sa˜o fornecidos por:
Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.28)
Hϕ # Io l sen θ
4pir2
e j(ω t− k r) (7.29)
147 7.3. Regio˜es de Campo
Er ! − jηIo l cos θ
2pikr3
e j(ω t− k r) (7.30)
e
Eθ ! − jηIo l sen θ
4pik r3
e j(ω t− k r) (7.31)
A densidade de poteˆncia me´dia nesta regia˜o e´ igual a zero, uma vez que os campos
ele´trico e magne´tico esta˜o em quadratura (defasado de 90◦). Assim, utilizando-se as
equac¸o˜es (7.29) e (7.31), pode-se concluir que
Wm =
1
2
Re {E×H∗} = 0 (7.32)
na˜o havendo propagac¸a˜o de onda.
Na pra´tica, a regia˜o de campo pro´ximo e´ delimitada pelo raio [2]
Rcp = 0, 62
√
D3
λ
(7.33)
onde D e´ a maior dimensa˜o da antena.
7.3.2 Campo Pro´ximo Irradiante (Regia˜o de Fresnel)
Nesta regia˜o ja´ comec¸a a existir campos que se propagam no espac¸o, isto e´, ondas
eletromagne´ticas. As equac¸o˜es dos campos produzidos por um dipolo hertziano
podem ser aproximadas como segue:
Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.34)
Hϕ ! jkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.35)
Er ! ηIo l cos θ
2pir2
e j(ω t− k r) (7.36)
e
Eθ ! jηkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.37)
pois, neste caso, kr > 1.
Na pra´tica, a regia˜o de campo pro´ximo irradiante e´ delimitada pelos raios Rcp e
Rcd, isto e´,
Rcp = 0,62
l 3
!
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Campo Próximo 
Irradiante
Nesta região, também conhecida como região de 
Fresnel, kr > 1 e já se pricipiam as ondas eletro-
magnéticas, descritas pelos campos:
Na prática, a região de Fresnel é delimitada pelos 
raios:
onde
12
147 7.3. Regio˜es de Campo
Er ! − jηIo l cos θ
2pikr3
e j(ω t− k r) (7.30)
e
Eθ ! − jηIo l sen θ
4pik r3
e j(ω t− k r) (7.31)
A densidade de poteˆncia me´dia nesta regia˜o e´ igual a zero, uma vez que os campos
ele´trico e magne´tico esta˜o em quadratura (defasado de 90◦). Assim, utilizando-se as
equac¸o˜es (7.29) e (7.31), pode-se concluir que
Wm =
1
2
Re {E×H∗} = 0 (7.32)
na˜o havendo propagac¸a˜o de onda.
Na pra´tica, a regia˜o de campo pro´ximo e´ delimitada pelo raio [2]
Rcp = 0, 62
√
D3
λ
(7.33)
onde D e´ a maior dimensa˜o da antena.
7.3.2 Campo Pro´ximo Irradiante (Regia˜o de Fresnel)
Nesta regia˜o ja´ comec¸a a existir campos que se propagam no espac¸o, isto e´, ondas
eletromagne´ticas. As equac¸o˜es dos campos produzidos por um dipolo hertziano
podem ser aproximadas como segue:
Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.34)
Hϕ ! jkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.35)
Er ! ηIo l cos θ
2pir2
e j(ω t− k r) (7.36)
e
Eθ ! jηkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.37)
pois, neste caso, kr > 1.
Na pra´tica, a regia˜o de campo pro´ximo irradiante e´ delimitada pelos raios Rcp e
Rcd, isto e´,
147 7.3. Regio˜es de Campo
Er ! − jηIo l cos θ
2pikr3
e j(ω t− k r) (7.30)
e
Eθ ! − jηIo l sen θ
4pik r3
e j(ω t− k r) (7.31)
A densidade de poteˆncia me´dia nesta regia˜o e´ igual a zero, uma vez que os campos
ele´trico e magne´tico esta˜o em quadratura (defasado de 90◦). Assim, utilizando-se as
equac¸o˜es (7.29) e (7.31), pode-se concluir que
Wm =
1
2
Re {E×H∗} = 0 (7.32)
na˜o havendo propagac¸a˜o de onda.
Na pra´tica, a regia˜o de campo pro´ximo e´ delimitada pelo raio [2]
Rcp = 0, 62
√
D3
λ
(7.33)
onde D e´ a maior dimensa˜o da antena.
7.3.2 Campo Pro´ximo Irradiante (Regia˜o de Fresnel)
Nesta regia˜o ja´ comec¸a a existir campos que se propagam no espac¸o, isto e´, ondas
eletromagne´ticas. As equac¸o˜es dos campos produzidos por um dipolo hertziano
podem ser aproximadas como segue:
Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.34)
Hϕ ! jkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.35)
Er ! ηIo l cos θ
2pir2
e j(ω t− k r) (7.36)
e
Eθ ! jηkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.37)
pois, neste caso, kr > 1.
Na pra´tica, a regia˜o de campo pro´ximo irradiante e´ delimitada pelos raios Rcp e
Rcd, isto e´,
CAP´ıTULO 7. Processo de Radiac¸a˜o 148
Rcp < r < Rcd (7.38)
sendo [2]
Rcd =
2D2
λ
(7.39)
7.3.3 Campo Distante (Regia˜o de Fraunhofer)
Nesta regia˜o, onde r > Rcd, os campos sa˜o predominantemente irradiantes e a
densidade de poteˆncia me´dia e´ obtida a partir dos campos Eθ e Hϕ, isto e´,
Wm =
1
2
Re {E×H∗} = 1
2
Re
{
EθH
∗
ϕ
}
ar =
1
2
|Eθ|2
η
ar (7.40)
Os campos para um dipolo infinitesimal sa˜o
Eϕ = Hr = Hθ = Er = 0 (7.41)
Hϕ " jkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.42)
e
Eθ = ηHϕ (7.43)
A Figura 7.3 mostra as regio˜es de campos.
Exemplo 7.1 Qual deve ser a mı´nima distaˆncia para se medir o campo distante
radiado por um dipolo de meio comprimento de onda operando em 30MHz?
Soluc¸a˜o: A medida tem que ser feita na regia˜o de Fraunhofer, logo, a distaˆncia
mı´nima e´ dada por
Rcd =
2D2
λ
=
λ
2
= 5m
pois a maior dimensa˜o, D, e´ nesse caso o comprimento do dipolo l = λ/2 = 5m.
Rcd =
2l2
!
Rcp
 Fresnel
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Campo Distante
• Nesta região, também conhecida como região de 
Fraunhofer, r > Rcd, os campos são predominan-
temente irradiantes, descritos pelas equações:
• A densidade média de potência nessa região é 
obtida a partir dos campos elétrico e magnético:
que indica o fluxo de potência na direção radial, 
afastando-se da antena.
13
CAP´ıTULO 7. Processo de Radiac¸a˜o 148
Rcp < r < Rcd (7.38)
sendo [2]
Rcd =
2D2
λ
(7.39)
7.3.3 Campo Distante (Regia˜o de Fraunhofer)
Nesta regia˜o, onde r > Rcd, os campos sa˜o predominantemente irradiantes e a
densidade de poteˆncia me´dia e´ obtida a partir dos campos Eθ e Hϕ, isto e´,
Wm =
1
2
Re {E×H∗} = 1
2
Re
{
EθH
∗
ϕ
}
ar =
1
2
|Eθ|2
η
ar (7.40)
Os campos para um dipolo infinitesimal sa˜o
Eϕ = Hr = Hθ = Er = 0 (7.41)
Hϕ " jkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.42)
e
Eθ = ηHϕ (7.43)
A Figura 7.3 mostra as regio˜es de campos.
Exemplo 7.1 Qual deve ser a mı´nima distaˆncia para se medir o campo distante
radiado por um dipolo de meio comprimento de onda operando em 30MHz?
Soluc¸a˜o: A medida tem que ser feita na regia˜o de Fraunhofer, logo, a distaˆncia
mı´nima e´ dada por
Rcd =
2D2
λ
=
λ
2
= 5m
pois a maior dimensa˜o, D, e´ nesse caso o comprimento do dipolo l = λ/2 = 5m.
CAP´ıTULO 7. Processo de Radiac¸a˜o 148
Rcp < r < Rcd (7.38)
sendo [2]
Rcd =
2D2
λ
(7.39)
7.3.3 Campo Distante (Regia˜o de Fraunhofer)
Nesta regia˜o, onde r > Rcd, os campos sa˜o predominantemente irradiantes e a
densidade de poteˆncia me´dia e´ obtida a partir dos campos Eθ e Hϕ, isto e´,
Wm =
1
2
Re {E×H∗} = 1
2
Re
{
EθH
∗
ϕ
}
ar =
1
2
|Eθ|2
η
ar (7.40)
Os campos para um dipolo infinitesimal sa˜o
Eϕ = Hr = Hθ = Er = 0 (7.41)
Hϕ " jkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.42)
e
Eθ = ηHϕ (7.43)
A Figura 7.3 mostra as regio˜es de campos.
Exemplo 7.1 Qual deve ser a mı´nima distaˆncia para se medir o campo distante
radiado por um dipolo de meio comprimento de onda operando em 30MHz?
Soluc¸a˜o: A medida tem que ser feita na regia˜o de Fraunhofer, logo, a distaˆncia
mı´nima e´ dada por
Rcd =
2D2
λ
=
λ
2
= 5m
pois a maior dimensa˜o, D, e´ nesse caso o comprimento do dipolo l = λ/2 = 5m.
CAP´ıTULO 7. Processode Radiac¸a˜o 148
Rcp < r < Rcd (7.38)
sendo [2]
Rcd =
2D2
λ
(7.39)
7.3.3 Campo Distante (Regia˜o de Fraunhofer)
Nesta regia˜o, onde r > Rcd, os campos sa˜o predominantemente irradiantes e a
densidade de poteˆncia me´dia e´ obtida a partir dos campos Eθ e Hϕ, isto e´,
Wm =
1
2
Re {E×H∗} = 1
2
Re
{
EθH
∗
ϕ
}
ar =
1
2
|Eθ|2
η
ar (7.40)
Os campos para um dipolo infinitesimal sa˜o
Eϕ = Hr = Hθ = Er = 0 (7.41)
Hϕ " jkIo l sen θ
4pir
e j(ω t− k r) (7.42)
e
Eθ = ηHϕ (7.43)
A Figura 7.3 mostra as regio˜es de campos.
Exemplo 7.1 Qual deve ser a mı´nima distaˆncia para se medir o campo distante
radiado por um dipolo de meio comprimento de onda operando em 30MHz?
Soluc¸a˜o: A medida tem que ser feita na regia˜o de Fraunhofer, logo, a distaˆncia
mı´nima e´ dada por
Rcd =
2D2
λ
=
λ
2
= 5m
pois a maior dimensa˜o, D, e´ nesse caso o comprimento do dipolo l = λ/2 = 5m.
Rcp
Rcd
 
!
Sm =
1
2 Re
!
E !
!
H *{ } = 12 Re E"H#
*{ } !ar = 12
E"
2
$0
!ar
 Fresnel
 Fraunhofer
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Dipolo de Meio 
Comprimento de Onda
• Enquanto no dipolo infinitesimal, a densidade de 
corrente não varia ao longo do condutor, em um 
dipolo de meio comprimento de onda a corrente 
distribui-se na forma de onda estacionária, como 
ocorre em uma linha de transmissão aberta.
• Para l = !/2, a corrente ao longo do dipolo é dada 
por:
 
• Assim, o campo produzido num ponto P da região de 
Fraunhofer, distante r do dipolo, pode ser calculado 
pela superposição dos campos elementares 
provenientes dos infinitos dipolos infinitesimais de 
comprimento dz :
 ay ay
 
E! =
j"kI z( )sen!
4#r e
j $ t% kr( ) d z
%
&
4
&
4
'
 
I z( ) = I0 cos kz( ),!
"
4 # z #
"
4
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
• Desenvolvendo a expressão do campo elétrico do dipolo de meio 
comprimento de onda, obtém-se:
• enquanto que o campo magnético pode ser calculado a partir de:
 ay ay
 
E! =
j"kI z( )sen!
4#r e
j $ t% kr( ) d z
%
&
4
&
4
' =
j"I0 cos kz( )sen!
2&r e
% jk r%$k t
(
)*
+
,- d z
%
&
4
&
4
'
=
j"I0 sen!
2&r cos kz( )e
% jk r% z cos!( ) d z
%
&
4
&
4
' =
j"I0
2#
cos #2 cos!
(
)*
+
,-
sen! e
% jkr = jE0
cos #2 cos!
(
)*
+
,-
sen! e
% jkr
H! =
E"
#
==
jI0
2$
cos $2 cos"
%
&'
(
)*
sen" e
+ jkr = j E0
#
cos $2 cos"
%
&'
(
)*
sen" e
+ jkr
Dipolo de Meio 
Comprimento de Onda
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Exercício
• Qual deve ser a mínima distância para se medir o campo distante radiado por 
um dipolo de meio comprimento de onda operando em 30MHz?
A medida tem que ser feita na região de Fraunhofer, logo, a distância mínima é dada 
por
Portanto, nesse caso, a partir de 5m da antena, já se considera que as ondas são 
planas.
16
Rcd =
2l2
!
=
2 ! 2( )
2
!
= 2
!2 4
!
= ! 2 =
3"108
2 # 30 "106 = 5m
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Antena Isotrópica
17
• Uma antena isotrópica é aquela que irradia 
campos eletromagnéticos de mesma 
intensidade, independentemente da direção.
• A densidade média de potência originada 
por uma fonte isotrópica é dada por:
Não existe, na prática, radiador totalmente 
isotró"pico. Este é utilizado apenas como 
referência para outras antenas.
 
!
S0 =
Ptrans
4!r2
!ar
 Área = 4!r2
 Decai com r2
S
distância
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Exercício
• Sabendo-se que a radiação solar (energia térmica) na superfície da terra 
equivale a 150 mW/cm2, e considerando o sol como uma fonte isotrópica, qual 
a potência total radiada pelo sol? (Distância da terra ao sol = 149 x 106 km).
Sabe-se que a densidade de potência de uma onda propagando-se no ar é:
Substituindo-se em:
tem-se:
18
 
1
2
E02
!0
=
Ptrans
4"r2 # E0 = 2!0
Ptrans
4"r2 =
1
r 377
Ptrans
2" ! 0,0077V m
 
!
Sm =
1
2
E02
!0
!ar
 
!
S0 =
Ptrans
4!r2
!ar
!
Obrigado!
19