AEP-matematica-equacao-de-primeiro-e-segundo-grau

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Sumário 
 
 
 
 
 
Uma equação é uma sentença expressa por uma igualdade envolvendo expressões matemáticas, 
que apresentam incógnitas (variáveis) e coeficientes. A palavra “incógnita” significa desconhecida e equação 
tem o prefixo “equa” que provém do Latim e significa igual. 
Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença 
apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte 
mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática. 
 
SENTENÇA COM PALAVRAS SENTENÇA MATEMÁTICA 
O dobro da minha idade mais quatro é igual a trinta 2x + 4 = 30 
 
Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a 
Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo 
desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações. 
Resolver uma equação consiste em determinar qual é o valor que substitui à incógnita, de forma a 
tornar verdadeira. 
 
 
Para exemplificar, usaremos uma situação lúdica e dela tiraremos 
algumas informações importantes. 
A balança ao lado está desequilibrada. No prato esquerdo há um 
"peso" de 1Kg e no prato direito há um "peso" de 5Kg. Se forem colocadas 
duas melancias iguais e de pesos desconhecidos, a balança ficará em 
equilíbrio. 
Dessa forma, quanto deve pesar cada melancia? 
Sabemos que o peso de “2 MELANCIAS + 1Kg” é igual “5Kg”. 
Podemos usar uma variável x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser 
escrita, do ponto de vista matemático, como: 
2x + 1 = 5 
Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e 
aparece na maioria das situações reais. 
Podemos ver que toda equação tem: 
 
 
 Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou 
incógnitas; 
 Um sinal de igualdade (=). 
 Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada 1º membro ou membro da esquerda; 
 Uma expressão à direita da igualdade, denominada 2º membro ou membro da direita. 
 
1º MEMBRO SINAL DE IGUALDADE 2º MEMBRO 
2x + 1 = 5 
 
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação. 
Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x. 
 
2x + 1 = 5 Equação original 
2x + 1 – 1 = 5 – 1 Subtraímos 1 dos dois membros 
2x = 4 Dividimos por 2 os dois membros 
x = 2 Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André 
é 4 anos mais novo do que Carlos. 
SOLUÇÃO: 
Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e 
a letra a para a idade de André, logo a = c – 4 . Assim: 
c + a = 22 
c + (c – 4) = 22 
2c – 4 = 22 
Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em 
ambos os membros da equação, ela permanece em 
equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou 
dividimos ambos os membros da equação por um valor 
não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este 
processo nos permite resolver uma equação, ou seja, 
permite obter as raízes da equação. 
LINK: 
 
 
2c – 4 + 4 = 22 + 4 
2c = 26 
c = 13 
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos. 
 
EXEMPLO: 
A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma 
população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? 
SOLUÇÃO: 
Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos 
que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever: 
a + b = 100000 
3b + b = 100000 
4b = 100000 
b = 25000 
Portanto, como 
a = 3b 
então a população de A corresponde a 
a = 3 . 25000 
a = 75000 habitantes. 
 
EXEMPLO: 
Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada 
quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2? 
SOLUÇÃO: 
Tomaremos a área de cada dormitório com letra x. 
3x + 140 = 260 
3x = 260 -140 
3x = 120 
x = 40 
Resposta: Cada quarto tem 40m2. 
 
 
 
a x² + b x + c = 0 
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
 
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma: 
 
 
 
onde os números reais “a”, “b” e “c” são os coeficientes da equação, sendo que “a” deve ser diferente de 
zero. 
Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao 
quadrado e podem ser classificadas como: completas ou incompletas. 
 
COMPLETAS 
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero. 
 
EXEMPLOS: 
2x2 - 10x + 12 = 0 
x2 + 5x - 14 = 0 
 
INCOMPLETAS 
Uma equação do 2º grau é incompleta, se b = 0 ou c = 0, ou ambos. No entanto, o coeficiente “a” continua 
diferente de zero. 
 
EXEMPLOS: 
x2 + 6x = 0 
3x2 – 27 = 0 
2x2 = 0 
 
 
 
 
 
1º CASO: ax2 = 0 
Basta dividir toda a equação por “a” para obter: 
 x2 = 0 
logo, a equação possui duas raízes iguais a zero. 
 
EXEMPLO: 
3x2 = 0 
 x2 = 0 
 x = 0 
então 
 x’ = x” = 0 
 
2º CASO: ax2 + c = 0 
Nesse caso, passamos o termo independente “c” para o segundo membro 
 ax2 = -c 
e em seguida, dividimos por “a” para obter: 
 x2 = -c/a 
Dessa forma, se “-c/a” for negativo, não existe solução real, mas se “-c/a” for positivo, a equação terá duas 
raízes opostas, ou seja 
 x’ = -x” 
 
EXEMPLO: 
3x2 - 27 = 0 
 3x2 = 27 
 x2 = 9 
 x = 3 
logo 
 x’ = -3 e x” = 3 
 
 
 
3º CASO: ax2 + bx = 0 
 
Inicialmente fatoramos a equação e obtemos: 
 x.(ax + b) = 0 
Sabendo que para um produto ser zero, um dos fatores tem que ser zero, logo 
 x = 0 ou ax + b = 0 
portanto, as duas raízes são: 
x’ = 0 ou x” = -b/a 
 
EXEMPLO: 
x2 + 8x = 0 
 x.(x + 8) = 0 
ou seja 
 x = 0 ou x + 8 = 0 
logo 
 x’ = 0 e x” = -8 
 
 
EQUAÇÃO COMPLETA: ax2 + bx + c = 0 
 
Para encontrar as raízes de uma equação completa do segundo grau, basta usar a fórmula quadrática 
(atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma: 
 
 
 
onde  = b2 – 4ac é o discriminante da equação. 
 
Para esse discriminante , há três possíveis situações: 
Se <0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo. 
Se =0, há duas soluções iguais: 
 
 
 
x' = x” = –b/2a 
Se >0, há duas soluções reais e diferentes: 
x' = (–b +  )/2a 
x” = (–b –  )/2a 
 
EXEMPLO: 
x2 – 7x + 10 = 0 
o discriminante é dado por 
  = b2 – 4ac 
  = (-7)2 – 4.1.10 
  = 49 – 40 = 9 
 
Substituindo na equação de Bhaskara, temos: 
 
a
b
x
2

 
 
1.2
9)7(
x


2
37 
 
Logo 
 x’ = 5 e x” = 2 
RELAÇÕES ENTRE RAÍZES 
Para toda equação do 2º grau, valem as seguintes relações: 
 x’ + x” = -b/a 
 x’.x” = c/a 
 
MÉTODO DA SOMA E DO PRODUTO 
Quando o coeficiente “a” de uma equação do 2º grau é igual a 1, temos: 
 x2 – Sx + P = 0 
onde 
S = x’ + x” 
e 
P = x’.x” 
 
 
 
Dessa forma, para descobrir as raízes basta pensar em dois números cujo produto seja P e, em seguida, 
verificar se soma deles é igual a S. Esse método é muito prático e rápido, o que acelera o tempo de 
resolução. 
 
EXEMPLO: 
x2 – 7x + 10 = 0 
Nesse caso, temos: 
 S = 7 e P = 10 
O segredo é sempre pensar primeiro em dois números cujo produto é P, ou seja 
 2.5 = 10 
e testar se a soma é igual a S. 
 2 + 5 = 7 
Uma vez confirmada, teremos 
 S = {2, 5} 
 
EXEMPLO: 
x2 + 7x + 10 = 0 
Agora, temos: 
 S = -7 e P = 10 
Pensando em dois números cujo produto é 10 e lembrando que para esse produto ser positivo é preciso que 
eles tenham o mesmo sinal, temos duas possibilidades: 
 2.5 = 10 ou (-2).(-5) = 10 
Testando a soma, verificamos que 
 2 + 5 = 7 e -2 -5 = -7 
Logo, temos o seguinte conjunto solução 
 S = {-5, -2} 
 
EXEMPLO: 
x2 – 3x – 10 = 0 
Nesse caso, temos: 
 S = 3 e P = -10 
Pensando em dois números cujo produto é -10, temos 
 
 
 (-2).5= -10 ou 2.(-5) = -10 
Se testarmos na soma, verificamos que 
 -2 + 5 = 3 e 2 – 5 = -3 
Logo, teremos como solução 
 S = {-2, 5} 
 
EXEMPLO: 
x2 + 3x – 10 = 0 
Nesse caso, temos: 
 S = -3 e P = -10 
Pensando em dois números cujo produto é -10, temos 
 (-2).5 = -10 ou 2.(-5) = -10 
Se testarmos na soma, verificamos que 
 -2 + 5 = 3 e 2 – 5 = -3 
Logo, teremos como solução 
 S = {-5, 2}