cap_3_derivadas

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 3. DERIVADAS
A derivada: inclinação e taxa de variação
 HOFFMANN (2002, p.74), de acordo com a fisica clássica, em t segundos de queda, o
corpo percorre uma distância s(t)=4,9t² metros. Suponha que estejamos interessados em
determinar a velocidade do corpo em t=3 segundos.
Para HOFFMANN (2002, p.77) a Derivada de uma Função f(x) em relação a x é uma
função f'(x) ( que se lê como f linha de x) dada por:
f ' x =lim
f  xh − f x
h
h 0
 este processo de calcular a derivada é chamado de derivação.
Então a função f(x) é derivável no ponto c se f'(c) existe ( ou seja, se o limite do
quociente-diferença existe no ponto x=c)
Inclinação como uma derivada: a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (c,
f(c)) é dada por mtan= f'(c).
Taxa de variação instantanea como uma derivada :a taxa de variação instantanea de uma
grandeza f(x) em relação a x no ponto c é f'(c).
 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:34 1
t distancia velocidade
3 44,1000 29,890000
3,1 47,0890 29,400049
3,00001 44,1003
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1) Calcule a derivada de f(x)=x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva
y=x³ no ponto x=-1. Qual é a equação da reta tangente nesse ponto? Resposta: y=3x-2
solução: 1) calcule a derivada no ponto x=-1 2) substitua na equação da reta y-yo=m(x-xo)
f ' x =lim
f  xh − f x
h
h 0
= lim
xh3−x³
h
h 0
= lim
x³3x²h3h²xh³−x³
h
h0
divide tudo por h para não continuar zero sobre zero
lim
3x²h
h

3h²x
h

h³
h
h 0
 simplifica lim 3x²3hxh²
h0
, calculando o limite da função
tem-se f'(x)=3x²
 2) Um empresário calcula que quando x unidades de um certo produto são fabricados, a
receita bruta associada ao produto é dada por R(x)=0,5x² +3x-2 milhares de reais. Qual é a
taxa de variação da receita com o nível de produção x quando 3 unidades estão sendo
fabricadas? Para esse nível de produção,a receita aumenta ou diminui com o aumento da
produção? Resposta: aumenta porque a derivada primeira é positiva.
 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:34 2
-15 -10 -5 0 5 10 15
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
y=x^3
x y=x^3
­10 ­1000
­9 ­729
­8 ­512
­7 ­343
­6 ­216
­5 ­125
­4 ­64
­3 ­27
­2 ­8
­1 ­1
0 0
1 1
2 8
3 27
4 64
5 125
6 216
7 343
8 512
9 729
10 1000
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3.1. DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE
HOFFMANN (2002, p.79-81), uma função contínua para ser derivável em um ponto P e em
todos os pontos próximos de P, a curva f(x) tem uma reta tangente não vertical neste ponto.
Exemplos de funções : f(x)=1/x ; f(x)= |x| ; f x =3 x2
 
Estas três funções não são deriváveis no ponto (0;0).
A função f(x)=1/x não é definida no ponto (0;0), a função f(x)=|x|, existe um vértice no ponto
(0;0) e a função f x =3 x2 , existe uma cúspide no ponto (0;0) . A função contínua não é
necessáriamente diferenciável em todos os pontos.
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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
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3.2 EXERCICIOS
3) HOFFMANN (2002, p.80-81), calcule a derivada da função dada e determine a inclinação
da reta tangente à curva da função no ponto dado:
a) f(x) =5x-3 para x=2 b) f(x)=x² -1 para x=-1 c) f(x)=2x²-3x -5 x=0
4) Suponha que f(x)=x³.
a) calcule a inclinação da reta secante que liga os pontos da curva de f cujas coordenadas x
são x=1 e x=1,1.
b) use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de f no
ponto x=1 e compare o resultado com o item (a).
5) A função lucro P(x)= 400(15-x) (x-2) para a produção de fitas. O gráfico de y=P(x) é a
parábola com a abertura voltada para baixo.
a) determine P'(x). b) determine o ponto em que P'(x)=0. Nesse ponto, a reta tangente à
curva que representa a função de lucro é horizontal. O que se pode dizer a respeito do lucro
neste ponto da curva?
6) Os experimentos mostram que a altura ( em metros) do pulo de uma pulga após t segundos
é dada pela função H(t)=4,4 t-4,9t². Usando os métodos do cálculo, determine o instante em
que a pulga atinge a altura máxima. Qual é a altura máxima atingida pela pulga?
7) a) Determine a derivada da função linear f(x)=3x-2.
b) determine a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto x=-1.
c) explique de que forma as respostas aos itens (a) e (b) poderiam ter sido obtidas
exclusivamente a partir de considerações geométricas, ou seja, sem realizar nenhum cálculo.
8) a) determine a derivada da função y=x² +3x.
b) determine as derivadas das funções y=x² e y=3x separadamente.
c) qual é a relação entre as derivadas obtida no item (a) e as derivadas obtidas no item (b)?
d) no caso geral, se f(x)= g(x) + h(x), qual é a relação entre a derivada de f e as derivadas de
g e h?
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9) Faça o gráfico de uma função f com as propriedades pedidas.
a) f'(x)>0 para x<1 e para x>5
b) f'(x) <0 para 1<x<5
c) f'(1)=0 e f'(5)=0
3.3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE DERIVADA
CUNHA (1990, p.193), a derivada de uma função num ponto de abscisssa conhecido,
obtendo-se um numero real que representa o coeficiente angular da reta tangente à curva
nesse ponto. Esta reta tangente no ponto indicado é aproximado através de reta secante pela
aproximação de dois pontos:
 y
 x
=
y−yo
x−xo
=
f x − f xo
x−xo
 Quando a reta secante se aproxima da reta tangente resulta
em lim
 y
 x
 X0
= f '  xo representa o declive da reta tangente à curva no ponto indicado.
AlGUMAS REGRAS SIMPLES DE DERIVAÇÃO
HOFFMANN (2002, p.80-83)
regra constante : y=c ==> y'=0
regra da potência : y=xn ===> y'= n xn-1 
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3.4 EXERCICIOS
10) HOFFMANN (2002, p.87-91), dada a função calcule a derivada . Faça o máximo possível
de cálculos de cabeça e simplifique as respostas:
a) y=x-4 b) y= 9 x c) y=x² +2x+3 d) y=x -5x +x +12⁹ ⁸
11) Calcula-se que daqui a x meses a população de certa cidade será de P(x)=2x+4x3/2 +5000.
a) qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 9 meses? R: 20
* calcule a derivada primeira
b) qual será a taxa de variação percentual da população com o tempo daqui a 9 meses?
R:0,39%
* divida a derivada primeira pelo valor de P(x).
12) O salário inicial de um certo engenheiro é de R$ 2000 por mês e ele receberá um
aumento de R$ 200 a cada ano.
a) expresse a taxa de variação do salário no final de 1 ano.
b) qual será a taxa de variação percentual do salário após 1 ano?
 3.5 REGRAS DO PRODUTO EDO QUOCIENTE
Segundo CUNHA (1990, p.209) as regras gerais de derivação do produto e quociente:
u(x)* v(x)= u(x)*v'(x) + u'(x)*v(x) 
• dedução da fórmula
• p(x)=u(x)*v(x) p(x+dx)=u(x+dx)*v(x+dx)
• variação de p : p(x+dx)-p(x)=u(x+dx)*v(x+dx)- u(x)v(x)
• u(x+dx)-u(x) =du ( variação de u)
• v(x+dx)-v(x)=dv ( variação de v)
• variação de p : [u(x) +du][v(x)+dv] – u(x)v(x)
•
 p
 x
=ux 
 v
 x
v x
u
 x
 u
 v
 x
• u(x)* v(x)= u(x)*v'(x) + u'(x)*v(x) 
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ux 
v x 
=
u ' x ∗v x−ux ∗v ' x 
[v x ]2
3.5 EXERCICIOS
13) HOFFMANN (2002, p.96), calcule a derivada da função dada:
a) f(x) =(2x+1)(3x-2) 
b) f x =2x−3
5x4
 
c) y=400(15-x²)(3x-2) 
d) gx =x²x44−x 
2x−1
14) A população de uma colonia de bactérias é dada por Pt =24t10
t²1
mil t horas após
a introdução de uma toxina. Use os métodos do cálculo para determinar o instante em que a
produção é máxima e determine qual é a população nesse instante. Resposta : 0,67=40' ;
18000
15) Um corpo se move em linha reta tal que forma após t minutos a distancia percorrida é de
D t =10t
5
t−1
−5 metros.
a) qual a velocidade do corpo após 4 minutos? R:9,44
b) qual a distancia percorrida pelo corpo durante o quinto minuto? R:9,58
16) Uma doença está se espalhando de tal forma que após t semanas, o número de pessoas
infectadas é dado por N(t)=5175 -t³(t-8) 0t8 .
a) qual a taxa de disseminação da epidemia após 3 semanas? Resposta : 108
b) suponha que as autoridades declarem que uma doença atingiu proporcões epidêmicas
quando a taxa de disseminação percentual é maior ou igual a 25%. Durante que período de
 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 7
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tempo esse critério é satisfeito no caso em questão? * calcule N'(t)/N(t) para cada intervalode
tempo dado.
3.6. ANÁLISE MARGINAL: APROXIMAÇÃO POR INCREMENTOS
HOFFMANN (2002, p.100),análise marginal é uma parte da economia que estuda o que
acontece com grandezas como custo, a receita e o lucro, quando o nível de produção varia um
valor unitário.Se C(x) é o custo para produzir x unidades de quem certo produto, o custo para
produzir a unidade xo+1 é C(xo+1) -C(xo). Como a derivada da função custo C(x),
conhecida como custo marginal é dada por C'(xo).
Receita : numero unidades vendidas *preço por unidade
Lucro: receita - custo
17) Um fabricante estima que quando x unidades de um certo produto são fabricados, o custo
total é de C(x) =x²/8 +3x+98 reais e que todas as x unidades são vendidas quando o preço é de
p(x)=25-x/3 reais por unidade.
a) use a função de custo marginal para estimar o custo para produzir a nona unidade. Qual é o
custo exato para produzir a nona unidade? R: 5 ; 5,125
b) determine a função de receita do produto. Em seguida, use a função de receita marginal
para estimar a receita obtida com a venda da nona unidade. 
* Receita marginal: R(xo+1)-R(xo)~=R'(xo) 
Qual é a receita exata obtida com a venda da nona unidade? 
* receita :R(x)=x*p(x);19,67 ; 19,33
c)determine a função lucro associada à produção de x unidades. Plote a função de lucro e
determine o nível de produção para o qual o lucro é máximo.
 R: -11x²/24 +22x-98; L(24)= 166
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3.7 APROXIMAÇÃO POR INCREMENTOS
Tem-se que a derivada é dada por :
f ' x =lim
f  xh − f x
h
h 0
para pequenos valores de h, a derivada f'(x) é
aproximadamente igual ao quociente -diferença.
f ' x ≃
f xh− f x 
h
≃
 f
 x
 
então a aproximação por incrementos é  f≃ f ' xo x
18) O custo total em reais para fabricar q unidades de um certo produto é C(q)=3q²+5q+10. Se
o nível atual de produção é de 40 unidades, estime a variação do custo total se 40,5 unidades
forem produzidas. Resposta : 122,50
19) O PIB de um certo país foi de N(t)=t²+5t+200 bilhões de dólares t anos 1994. Use os
métodos do cálculo para estimar a variação percentual do PIB durante o primeiro trimestre de
2002. 
Resposta: 1,73% * t= 8 anos  t=1
4
3.7.1 DIFERENCIAL 
A diferencial de x é dx= x e se y =f(x) é uma função derivável de x , dy=f'(x)dx é a
diferencial de y.
Como dy pertence a reta tangente a curva e  y pertence a curva então a diferencial
é uma boa aproximação de  y por dy.
 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 9
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3.7 EXERCICIOS
20) Estime a variação da função f(x)=x²-3x+5 quando x varia de 5 para 5,3. resposta: 2,1
21)Estime a variação da função f x = x
x1
−3
 quando x diminui de 4 para 3,8.
resposta:-0,008
22) O custo total de certa fábrica , é de C(q)=0,1q³ -0,5q² +500q + 200 reais quando o nível de
produção é q unidades. O nível atual de produção é de 4 unidades, mas o fabricante pretende
aumentá-lo para 4,1 unidade. Estime a variação do custo total em consequencia desse
aumento de produção. Resposta: 50,08
23) A produção diária de certa fábrica é de QL =300L2 /3 unidades , onde L é a mào de
obra utilizada são produzidas durante o mês. No momento, a fábrica utiliza 512 homens-hora.
Estime o número de unidades adicionais que seriam necessários para aumentar em 12,5
unidades a produção. Resposta: 0,5
24) Um estudo realizado no turno da manhã de certa fábrica revela que um operário que
chegou ao trabalho às 8 horas montou em média f(x)= -x³ +6x²+ 15x aparelhos de rádio x
horas mais tarde. Quantos rádios são montado, em média, por um operário entre 9h e
9h15min? Resposta: 6 rádios
 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 10
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3.8 REGRA DA CADEIA
Se y é uma cadeia derivável de u e u é uma função derivável de x, y é uma função composta
de x e dy
dx
=
dy du
du dx
25)Determine dy/dx para y=u³ -3u² +1 e u =x²+2
y'=3u2*u'-6u*u' u'=2x
substitui em y' a variavel u e u' ou deriva a função composta
função composta : y=(x²+2)³-3*(x²+2)+1
y'= 3*(x²+2)²*2x-6x*(x²+2)*2x
• resolve separadamente cada derivada ou substitui a função u em y e deriva.
Resposta: y'=6x +12x³⁵
26) Determine dy/dx no ponto x=1 y=u/(u+1) e u =3x²-1 . Resposta: y'=6x/(3x²)²=2/3
27) O custo para produzir x unidades de um certo produto é de C(x)=x²/3 +4x+53 reais e o
número de unidades produzidas em t horas de trabalho é de x(t)= 0.2t² +0.03t unidades. Qual
é a taxa de variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho? R:10,13
 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 11
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3.9 EXERCICIOS
28) HOFFMANN (2002, p.116)Use a regra da cadeia para calcular a derivadady/dx da
função dada e simplifique a resposta.
a) y=u²+1 u=3x-2 b) y=2u²-u+5 u=1-x² c) y= x u=x²+2x-3
29) Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx para a função dada e o valor
especificado de x:
a) y=3u -4u +5 u=x³-2x -5 ; x=2 R: -160 b) y=u -3u² + 6u -5 , u=x²-1; x=1 R:12⁴ ⁵
30) Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta:
a) f(x)=(2x+1) b) ⁴ f x =5x6−12  c) f x =
1−5x²

332x
 d) f y= 3y11−4y
e) f(x)=(x+2)³ (2x-1)⁵
3.10 DERIVADA SEGUNDA
● É taxa de variação da taxa de variação.
● A aceleração de um automóvel é taxa de variação da velocidade.
Exemplo: Calcule a derivada segunda da função f(x)= 5x -3x² -3x+7.⁴
APLICAÇÕES DA DERIVADA SEGUNDA
31) Um estudo de eficiencia realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que um
operário que chega ao trabalho às 8 horas terá produzido Q(t)=-t³ + 6t² + 24t unidades t horas
mais tarde.
a) calcule a taxa de produção dos operários às 11 horas. 
Solução ; Q'(t) =-3t² +12t+24 Q'(3)=33 unidades por hora.
b) qual é a taxa de variação da taxa de produção dos operários as 11 horas?
Solução : Q”(t)= -6t+12 Q”(3)=-6 unidades por hora ao quadrado
* o sinal negativo indica que a taxa de produção está diminuindo.
 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 12
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c) use os métodos do cálculo para estimar a variação da taxa de produção dos operários entre
11h e 11h 10 min.
Solução: Q' t ≃Q' ' t  t = -1 unidade por hora. ( diferencial) em t=11 horas.
• a taxa de produção dos operários que era de 33 unidades por hora as 11 h , diminui de
aproximadamente 1 unidade por hora para 32 unidades por hora durante os 10 minutos.
d)calcule a variação real da taxa de produção dos operários entre 11h e 11h 10 min.
Solução :a avariação real da taxa de produção dos operários entre 11h e 11h 10 min é a
diferenças das derivadas primeiras . R: -1,08 unidade por hora.
32) Se a posição de um corpo que está se movendo em linha reta é dada por s(t)=t³-3t²+4t no
instante t, calcule a velocidade e aceleração do corpo. Respostas: v(t)=3t² -6t+4 a(t)=6t-6
33)Uma projeção do aumento da população indica que daqui a t anos a população de certa
cidade será de p(t) =-t³ + 9t² + 48t + 200 mil habitantes.
a) qual será a taxa de aumento da população daqui a 3 anos? R:75000
b) qual será a taxa de variação da taxa de aumento da população daqui a 3 anos?R:0
c)use os métodos do cálculo para estimar a variação da taxa de aumento da população durante
o primeiro mês do quarto ano.R:zero * use Q' t ≃Q' ' t  t
d) calcule a variação real da taxa de aumento da população durante o primeiro mês do quarto
ano.R: -20 habitantes* use p'(t2)-p'(t1)
 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 13
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3.11 .DERIVAÇÃO IMPLÍCITA E TAXAS RELACIONADAS
HOFFMANN (2002, p.125-135),suponha que uma equação defina y implicitamente como
uma função derivável de x. Para calcular dy/dx.
● Derive os ambos os membros da equação em relacão a x. Não se esqueça de que y é
função de x e use a regra da cadeia ao derivar os termos que contem y.
● Explicite dy/dx na equação resultante.
34) Calcule dy/dx =y' para a função x²y +2y³ =3x +2y
solução:
2xy + x²y' + 3y²y' =3 +2y' 
* deriva em relação a x * deriva em relação a y e acrescenta y'.
resposta: y '= 3−2xy
x²6y²−2
35) (Taxas relacionadas)Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante
tem interesse em produzir x mil unidades, onde x²−2x p− p²=31 . Qual é a taxa de
variação da oferta quando o preço unitário é de $ 9 e está aumentando à razão de $ 0,20 por
semana?
Solução: p=9 p'=dp/dt=0,20 qual é o valor de x'
• substitui p=9 na função e x vale 14 mil unidades
• deriva em relação a x e a p
• 2xx '−2 px '− 2xp '
2 p 
−2pp '=0
 substituindo p=9 p'=0,20 x=14 tem-se 0,206
• então a oferta está aumentando em 206 unidades por semana.
 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 14
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3.12 EXERCICIOS
36) Quando o preço unitário de um certo produto é de p reais, a demanda é de x centenas de
unidades, onde x² +3px+p²=79. Qual é a taxa de variação da oferta se o preço unitário éde $
5,00 e está aumentando à razão de $0,30 por mês?
37) Quando o preço unitário de um certo produto é p $ , o fabricante tem interesse em fabricar
x unidades, onde 3p² -x² =12. Qual é a taxa de variação da oferta se o preço unitário é de $
4,00 e está aumentando à razão $0.87 por mês? Resposta: 6pp' -12xx'=0 isole x'=1,74
38) Calcule dy/dx por derivação implicita:
a) x²+y² =25 * equação circunferencia com raio igual a 5, calcule a inclinação da reta tangente
no ponto (3;4) e (3;-4). b)x³+y³ =xy c) y² +2xy²-3x+1=0 d) (x-2y)²=y
f) (x²+3y²) =2xy⁵
respostas: c) y '= 3−2y
2
2y4xy
39) Para estimar a quantidade de madeira que existe no tronco de uma arvore, é razoavel
supro que a arvore é um cone truncado. Se o raio superior do tronco é r, o raio inferior é R e a
altura é H , o volume de madeira é dado por V=H
3
R²rRr²  . As taxas de aumento
de r, R e H são respectivamente 10 cm/ano , 12,5 cm/ano e 22,5 cm/ano. 
a)Qual é a taxa de aumento de V no instante em que r=60 cm, R=90 cm e H=4,5 cm? R:2,80
b) Calcule a variação real do volume. R:3,11
• V'=pi/3*(H'R² + 2RHR' + [ (r'R +R'r)H + H'r.R] + 2r r'H +r²H')
• multiplitique a expressão por H 
• na expressão rRH aplicar uv=u'v+v'u
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3.1.3 APLICAÇÕES ADICIONAIS DA DERIVADA
Funções Crescente e Decrescentes
f'(x)> 0 ---> função crescente ( inclinações positivas)
f'(x)<0 ---> função decrescentes ( inclinações negativas)
40) Determine os intervalos em que a função f(x)=2x³+3x² -12x-7 é crescente e decrescente.
* calcule a derivada primeira e faça igual a zero.
intervalo Número de teste c Sinal de f'(c) conclusão
x<-2 -3 positivo crescente
-2<x<1 0 negativo decrescente
x>1 2 positivo crescente
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3.1.4 EXTREMOS RELATIVOS
HOFFMANN ( 2002, p.146) , uma função f(x) possui um máximo relativo no ponto x=c se
f c f x  para todos os valores de x em um intervalo a<x<b que contenha o ponto c.
Uma função f(x) possui um mínimo relativo no ponto x=c se f c f  x para todos os
valores de x em um intervalo a<x<b que contenha o ponto c. Os máximos e mínimos relativos
de f são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.
NÚMEROS CRÍTICOS E PONTOS CRÍTICOS 
● número crítico --->f'(c)=0 ou f'(c) não existe
● ponto crítico--->(c,f(c))
TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS
Máximo relativo Mínimo relativo Ponto ordinário
f'(x)>0 à esquerda de c e
f'(x)<0 `a direita de c
f'(x)<0 à esquerda de c e
f'(x)>0 à direita de c
f'(x)>0 dos dois lados de c
ou
f'(x)<0 dos dois lados de c
3.1.5 EXERCICIOS
42)Determine todos os pontos críticos da função f(x)=x +8x³+18x²-8.⁴
Resposta : (-3;19) (0;-8)
43) Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como
máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
a) f(x)=3x -8x³+6x²+2 resposta: minimo (0;2) ponto ordinário (1;3)⁴
b) f(x)=(x³-1) resposta: ponto ordinário : (0;1) mínimo relativo :(1;0)⁴
44) A porcentagem de ovos de bicho da maçã que chocam a uma dada temperatura ( em graus
Celsius) é dada por H(t)= - 0,53T² +25T -209 para 15≤T≤30 . Faça um gráfico da função
H(T). Para que a temperatura T( 15≤T≤30 ) a porcentagem de ovos chocados é máxima?
Qual é esta porcentagem máxima.
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45) Plote a função com a seguintes propriedades :
a) f'(x)> 0 para x< -5 e para x>1.
b) f'(x)< 0 para -5<x<1.
c) f(-5) =4 e f(1)=-1
SINAL DE DERIVADA SEGUNDA 
 
 
 f''(x)<0
 f”(x)>0 concavidade para baixo
 concavidade para
 cima
 
3.1.6 PONTOS DE INFLEXÃO
É quando um ponto de uma função no qual a concavidade muda de sentido.
Passo 1: calcule a derivada segunda e determine os pontos nos quais f¨(x)=0 ou f”(x) não
existe.
Passo 2: assinale os pontos obtidos no passo 1 sobre uma reta, dividindo assim a reta em
subintervalos. Calcule o valor de f”(p) para números de teste p situados em todos os
intervalos.
Passo 3: a função tem concavidade para cima nos intervalos em que f”(p) >0 e concavidade
para baixo nos intervalos em f”(p) < 0. Os pontos de inflexão são os pontos que separam
subintevalos nos quais a função tem diferentes concavidades.
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3.1.7 APLICAÇÕES DA DERIVADA SEGUNDA
46) Determine se a função f(x)=3x -2x³-12x²+18x+15 está aumentando ou diminuindo e se⁴
possui concavidade para cima ou para baixo. Determine os pontos extremos relativos e pontos
de inflexão e plote o gráfico associado.
Respostas: (-1,5; -17,06) (-2/3;-1,15) (1,22) (0;15)
47) Um estudo de eficiencia realizado no turno da manhã ( 8h ao meio dia) revela que um
operário que chega para trabalhar as 8 h produziu Q(t)= -t³ +9t²/2 +15t unidades t horas mais
tarde.
a) em que instante do turno da manhà a produtividade do operário é maxima? R: t=1,5
b) em que instante do turno da manhà a produtividade do operário é mínima? R: t=4
48) Uma projeção, válida para 5 anos, revela que daqui a t anos a população de certo bairro
será de P(t)= -t³ +9t² +48t+50 mil habitantes.
a) em que instante, dentro do periodo de 5 anos, a taxa de crescimento da população será
maxima? t=3
b) em que instante, dentro do periodo de 5 anos, a taxa de crescimento da população será
mínima? t=0
c) em que instante a taxa de crescimento da população estará variando mais rapidamente?
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3.1.8 REGRA DE L'HOSPITAL PARA O CALCULO DE LIMITES
CUNHA (1990, p.217-219), utiliza-se regra de L'Hospital nas formas 0
0
e ∞∞ , aplica-se
a derivada no numerador e denominador separadamente.
49) lim
x2−1
x 2−3x2
x 1
 
50) lim
x−1
x−1
x 1
51) lim
x1−2
x−3
x 3
52)Calcule os seguintes limites usando se possível regra de L' Hospital:
a)
x2
x3senlim
0x→
b)
x4
xsenlim
0x→
c)
x3
x2tglim
0x→
d)
x3sen
x4senlim
0x→
e) x5tg
x3tglim
0x→
f)
x
xcos1lim
0x
−
→
g)
xsen.x
xcos1lim
0x
−
→
h) 20x x
xsec1lim −
→
i)
x
xsentgxlim
0x
+
→
l) xsenxcos
x2coslim
4
π
x −→
m)
xsenx
xsenxlim
0x +
−
→
n)
x3senx
x2senxlim
0x +
−
→
o)
x4sen
x3cosx5coslim
0x
−
→
p)
xsen
x2senx3senlim
0x
−
→
q)
x
asen)axsen(lim
0x
−+
→
r)
x
acos)axcos(lim
0x
−+
→
s) 
xπ
2
xsen1
lim
πx
−
−
→
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j) tgx1
xcosxsenlim
4
π
x −
−
→
k)
xsen
xsentgxlim 20x
−
→
t) 20x x3
x2cos1lim −
→
 
u) 3 x 0
tgx senxlim 
x→
−
Respostas:
a b c d e f g h i j k
2
3
4
1
3
2
3
4
5
3 0
2
1
2
1
−
2
2
2
−
0
l m n o p q r s t u
2 0
4
1
−
0 1 a cos a sen− 0
3
2 1/2
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REFERENCIAS
CUNHA, Felix da et al. Matemática Aplicada. Editora Atlas. SP.1990.
HOFFMANN .L.D. & BRADLEY.G.L. Cálculo . Um curso moderno e suas aplicações.
Editora LTC.RJ.7a edição.2002.
Disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/func/grgr.htm acessado
02/09/2008.
Disponível em http://www.hottopos.com.br/regeq8/cardoso1.htm, acessado em 04/09/2008
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