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Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
REGRAS BÁSICAS para o Lugar das Raízes
R1 – Número de Ramos
O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema.
R2 – Simetria
 O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real.
R3 – Segmentos sobre o Eixo Real
 O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de 
malha aberta faz parte do lugar das raízes.
R4 – Pontos de Entrada e de Saída
O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de G(s)H(s) (FTMA) e 
termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s).
R5 – Comportamento no Infinito
Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas. 
Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de intersecção sobre o eixo 
real, σa , e o ângulo, θa , conforme equações: 
( ) ( )
( ) ,.....2,1,0
..
12
..
±±=
−
+
=
−
−
=
∑ ∑
konde
finitoszerosNumfinitospólosNúm
k
finitoszerosNumfinitospólosNúm
finitoszerosfinitospólos
a
a
piθ
σ
Lugar das Raizes – Parte II (Capítulo 8, NISE)
Sistemas de Controle 2010-1
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Plano s
82,32 =σ
45,11 −=σ
R6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real
O Lugar das raízes sai do eixo real no ponto onde o ganho K é máximo e entra no 
eixo real no ponto onde o ganho K é mínimo.
Como Obter:
Onde: zi e pi são os negativos dos valores de zeros e pólos.
Lugar das Raizes – Parte II
REGRAS ADICIONAIS para o Lugar das Raízes
∑∑
+
=
+
n
i
m
i pz 11
11
σσ
( ) ( ) ( )( )( )( )21
53
++
−−
=
ss
ssksHsKG
( )( ) ( )( )
0612611
21
12
53
35
2
1
1
1
5
1
3
1
2
=−−
++
+++
=
−−
−+−
+
+
+
=
−
+
−
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσσσ
82,3;45,1 21 =−= σσ
Exemplo: Esboçar o lugar das raízes para o 
sistema abaixo.
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Assíntota
Plano s
Assíntota
Assíntota
R7 – Cálculo dos pontos de interseção do eixo jw
O Lugar das raízes cruza o eixo jw em um ponto onde ∠G(s)H(s)=(2k+1)180o. 
Pode-se usar Routh-Hurwitz (RH) ou uma busca ao longo do eixo jw para (2k+1)180o 
para determinar o ponto de interseção do eixo jw.
Lugar das Raizes – Parte II
REGRAS ADICIONAIS para o Lugar das Raízes
Exemplo: Encontrar o valor de K que leva o sistema abaixo a ter raízes sobre o eixo 
imaginário.
( ) ( )( ) KsKsss
sKsT
38147
3
234 +++++
+
=
( ) ( )( ) ( ) ( )421
3
+++
+
=
ssss
sKsF
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R7 – Cálculo dos pontos de interseção do eixo jw
Usando o denominador de T(s) e simplificando algumas das entradas por meio da 
multiplicação de linhas por uma constante positiva, obtem-se a tabela de Routh abaixo:
Lugar das Raizes – Parte II
REGRAS ADICIONAIS para o Lugar das Raízes
( ) ( )( ) KsKsss
sKsT
38147
3
234 +++++
+
=
s4 1 14 3K
s3 7 8 + K
s2 90 - K 21K
s1 [-K2 – 65K + 720] / 
[90 - K]
s0 21K
- Uma linha completa de zeros resulta na possibilidade de raízes no eixo imaginário. 
- Para valores positivos de ganho, para os quais o lugar das raízes é esboçado, 
somente a linha s1 pode resultar em uma linha de zeros. 
-K2 -65K + 720 = 0 → K = 9,65
-Do polinômio par da linha s2 
com K = 9,65, obtém-se:
(90 – K)s2 + 21K = 
80,35s2 + 202,65 = 0 
 → s = ±j1,587
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Assíntota
Plano s
Assíntota
Assíntota
33,1−
4349,0−
j587,1
j587,1−
R7 – Cálculo dos pontos de interseção do eixo jw
Lugar das Raizes – Parte II
REGRAS ADICIONAIS para o Lugar das Raízes
( ) ( )( ) KsKsss
sKsT
38147
3
234 +++++
+
=
Cálculo do ponto de partida do eixo real:



−
−
±−
=⇒=++++
+
+
+
+
+
+=
+
4349,0
6097,1
6812,0311,3
0248477263
4
1
2
1
1
11
3
1
234
j
raízesσσσσ
σσσσσ
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R8 – Ângulos de partida e de chegada
- O lugar das raízes sai dos pólos complexos a malha aberta, e chega nos zeros complexos a 
malha aberta, segundo ângulos que podem ser calculados da seguinte forma:
- Admita um ponto ∈ próximo ao pólo ou zero compexo.
- Adicione a este ponto todos os ângulos desenhados a partir dos pólos e zeros a malha 
aberta.
- A soma deve ser igual a (2k + 1)180o. 
- O único ângulo desconhecido é o vetor traçado a partir de ∈ próximo ao pólo ou ao zero, 
visto que os vetores a partir de todos os outros pólos e zeros podem ser considerados ligados ao 
pólo ou ao zero complexo ∈ próximo ao ponto. 
- Calculando o ângulo desconhecido obtém-se o ângulo de partida e o ângulo de chegada.
Exemplo: Dado o sistema com retroação unitária abaixo, encontre o ângulo de partida dos pólos 
compexos e esboce o lugar das raízes.
Lugar das Raizes – Parte II
REGRAS ADICIONAIS para o Lugar das Raízes
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Plano sÂngulo
de saída
R8 – Ângulos de partida e de chegada
Lugar das Raizes – Parte II
REGRAS ADICIONAIS para o Lugar das Raízes
Pólos Complexos: 
 -1.0000 +1.0000i
 -1.0000 - 1.0000i
- θ1 – 90o + tg-1(1/1) – tg-1(1/2) = 180o
θ2 = 90o
θ3 = 45o
θ4 = 26,6o
θ1 = -251,6o = 108,4o
- θ1 – θ2 + θ3 – θ4 = (2k + 1)180o
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Assíntota
Plano s
Assíntota
Assíntota
33,1−
4349,0−
j587,1
j587,1−
plano s
 ζ = cos θ θ = → cos-1 (0,45) 
→ θ =63,3o → %UP = 20%
R9 – Contruindo e calibrando o lugar das raízes
Todos os pontos no lugar das raízes satisfazem a relação ∠G(s)H(s)=(2k+1)180o. O 
ganho K, em qualquer ponto sobre o lugar das raízes é dado por
Ou por:
 
Lugar das Raizes – Parte II
REGRAS ADICIONAIS para o Lugar das Raízes
ωσ jssHsG
k
+=
−=
)()(
1
∏
∏
∏
∏
=
−
−
=
+==
=
pontoaozzerooligaquevetordocomp
pontoaoppólooligaquevetordocomp
zs
ps
k
l
j
js
m
l
l
n
j
j
.
.
1
1
ωσ
( ) ( )( ) KsKsss
sKsT
38147
3
234 +++++
+
=
Exemplo: Considere o sistema abaixo. Suponha que se 
queira achar o ponto exato no qual o lugar das raízes cruza a 
reta de relação de amortecimento igual a 0,45 e o ganho K 
naquele lugar.
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Raio
Ângulo
(graus)
Plano s–158,4
–180,0
–199,9
–230,4
–251,5
0,5
0,747
1,0
1,5
2,0
1,5
,5
0,45
j655,0333,0 +−
R9 – Contruindo e calibrando o lugar das raízes
- A figura abaixo mostra os pólos e zeros a malha aberta do sistema junto com a reta de ζ = 0,45;
- Se forem selecionados alguns pontos de teste ao longo da reta ζ = 0,45, pode-se avaliar suas 
somas angulares e localizar o ponto onde os ângulos totalizam um múltiplo ímpar de 180o. É neste 
ponto que existe lugar das raízes.
- Selecionando o ponto de raio 2 (r = 2) sobre a reta ζ = 0,45, e adicionando os ângulos dos zeros 
e subtraindo os ângulos dos pólos, tem-se:
 
Lugar das Raizes – Parte II
REGRAS ADICIONAIS para o Lugar das Raízes
θ2 - θ1 - θ3 – θ4 - θ5 = -251,5o
- Visto que a soma não é igual a 
um múltiplo ímpar de 180o, o 
ponto raio=2 não está no lugar 
das raízes;
- Procedendo de forma 
semelhante para os pontos nos 
raios = 1,5; 1; 0,747 e 0,5, 
obtem-se a tabela ao lado;
- O ponto de raio r = 0,747 está 
no lugar das raízes;
- Pontanto, K para este ponto 
vale: 
 K = |A||C||D||E| = 1,71
 |B|
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Atividades para os alunos:
- Estudar exemplos e exercícios de avaliação relacionados no cap. 08
- Fazer problemas 1, 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 25, 26, 30.
Lugar das Raizes – Parte II
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