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Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Exemplo 9.1: Reduzir o erro de estado estacionário para uma entrada degrau unitário a 
zero mantendo a relação de amortecimento em 0,174. 
Compensador
Ganho Processo a controlar
Processo a controlar
0,1
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Um método de implementar um Compensador Integral Ideal
Sistemas de Controle 2010-1
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0,174
0,694 3,926
164,6
100,02°
11,61
Plano s
Pólo a malha fechada
Pólo a malha aberta
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Exemplo 9.1: Reduzir o erro de estado estacionário para uma entrada degrau unitário a 
zero mantendo a relação de amortecimento em 0,174. 
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Um método de implementar um Compensador Integral Ideal
Análise do sistema não-compensado:
- Determina-se a localização dos pólos de segunda ordem 
dominantes;
- Em seguida, calcula-se o erro de estado estacionário para 
uma entrada em degrau unitário;
- Uma relação de amortecimento de 0,174 é representada 
por uma reta radial desenhada no plano “s” com um ângulo 
de 100,02o;
- Investigando ao longo desta reta, usando o RootLocus, 
obtem-se os pólos dominantes: − 0,694 ± j3,926, para um 
ganho K=164,6.
- Terceiro pólo (sobre o eixo real): usando o RootLocus e 
procurando o mesmo valor de ganho correspondente ao do 
par dominante K=164,6, encontra-se o terceiro pólo em 
aproximadamente − 11,613.
Erro de Estado Estacionário:
Kp=164,6 / (1 x 2 x 10)=8,23
e(∞ ) = 1 / (1+Kp) = 1 / (1+8,23) = 0,108
 
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Pólo a malha fechada
0,174
0,678 3,837
158,2
100,02°
Plano s
11,55
0,1
Quarto pólo a malha
fechada em –0,0902
Pólo a malha aberta
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Um método de implementar um Compensador Integral Ideal
Análise do sistema compensado:
- Os pólos de 2a ordem dominantes, o terceiro pólo 
além de − 10 (−11,555), e o ganho K=158,2, são 
aproximadamente os mesmos do sistema não-
compensado;
- Uma outra seção do lugar das raízes compensado 
fica entre a origem e − 0,1. Investigando esta região 
para o mesmo valor de ganho do par dominante, 
K=158,2, encontra-se o quarto pólo a malha 
fechada em − 0,0902, suficientemente próximo do 
zero para ocasionar o cancelamento de pólo com 
zero.
- Portanto, os pólos a malha fechada do sistema 
compensado e o ganho são aproximadamente os 
mesmos do sistema não-compensado, o que indica 
que a resposta transistória do sistema compensado 
é aproximadamente a mesma do sistema não-
compensado;
- O sistema compensado, com seu pólo na origem, 
é um sistema do Tipo 1. Diferentemente do sistema 
não-compensado, responderá a uma entrada em 
degrau com erro nulo.
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Um método de implementar um Compensador Integral Ideal
Análise do sistema compensado:
- A resposta do sistema não-compensado tende a 0,892 (erro de estado estacionário de 0,108);
- A resposta ao degrau do sistema com compensação integral ideal tende a 1 (um) em estado estacionário 
(erro de estado estacionário nulo);
- A resposta transitória do sistema não-compensado e do sistema com compensação integral é a mesma até 
aproximadamente 3 seg.
 - Depois deste instante, o integrador do compensador compensa lentamente o erro até que se obtenha 
finalmente erro nulo.
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Não-compensado
Com compensador
 integral ideal
Tempo (s)
Comparação entre a resposta Não-Compensada e 
a resposta Compensada Integral Ideal
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Compensação por Atraso de Fase
- A compensação integral ideal, com 
seu pólo na origem, requer um 
integrador ativo;
(c) Se forem usadas estruturas 
passivas, o pólo e o zero serão 
deslocados para a esquerda, nas 
proximidades da origem.
- Esse posicionamento do pólo, 
embora não aumente o tipo do 
sistema, também é capaz de produzir 
uma melhoria na constante de erro 
estacionário em relação ao sistema 
não compensado.
Ganho
Processo
a controlar
Processo
a controlarCompensador
Plano s
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Plano sPlano s
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Compensação por Atraso de Fase
Erro de Estado Estacionário para um sistema Tipo 1 
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )∞=∞⇒=∞=∞
=
+++
+++
=
=
++
++
=
==∞
→
→
→
a
c
c
na
c
c
n
c
c
c
c
svn
sva
sv
v
e
z
pe
zKz
ppe
zzKz
pppe
ppp
zzKz
pspspss
zszszssKK
pp
zKz
pspss
zszssKK
ssGK
K
e
...
...;
...
...
...
...
...
....lim
...
...
...
....lim
lim;1
21
21
21
21
21
21
21
21
0
21
21
21
21
0
0
Sistema não-compensado:
Sistema compensado:
Relação de erro estacionário:
Exemplo: 
- Se o pólo do controlador está em − 0,01 e o zero do controlador está em − 0,1, o novo erro será 10 vezes 
menor que o erro sem compensação; ou
- Se o pólo do controlador está em − 0,01 e o zero do controlador está em − 0,1, a nova constante de erro 
será 10 vezes maior que a do sistema não-compensado.
Antes da compensação Depois da compensação
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Compensação por Atraso de Fase
Compensador
Processo a
controlar
zero
pólo
Para o exemplo 9.1 manter a relação de amortecimento em 0,174 e utilizar um controlador de 
atraso de fase que melhore a constante de erro por um fator de 10.
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Compensação por Atraso de Fase
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )( )( ) ( )
111,001,013,11
59,91
20
6,164
1021
6,164lim
59,910108,0
1
10108,0
10
108,0
108,0
23,81
1
23,8
20
6,164
1021
6,164lim
lim;
1
1
0
0
0
=⇒==
==
++++
+
=
=⇒=
+
⇒==∞
≅
+
=∞
==
+++
=
=
+
=∞
→
→
→
cc
c
c
c
c
c
c
spn
pn
pn
n
a
spa
sp
p
zpescolhendo
p
z
p
z
sssps
zsK
K
K
e
e
sss
K
sGK
K
e
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Compensação por Atraso de Fase
0,174
-0,694 +j3,926
164,6
100,02°
11,61
Plano s
Pólo a malha fechada
Pólo a malha aberta
Lugar das Raízes do 
Sistema não-compensado
Plano s
0,174
-0,678 j3,836
158,1
11,55
100,02°
0,111
Pólo do compensador
em –0,01
Quarto pólo a malha
fechada em –0,101Pólo a malha fechada
Pólo a malha aberta
Lugar das Raízes do 
Compensado pelo Atraso de Fase
- Ao longo da reta ζ=0,174 obtem-se os pólos dominantes de 2a ordem: − 0,678 ± j3,836, com um K=158,1;
- O terceiro e quarto pólos estão sobre o eixo real (com ganho K=158,1): e são − 11,555 e − 0,1009.
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte II
Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Compensação por Atraso de Fase
Características previstas do sistema Não-Compensado e do sistema Compensado por Atraso de Fase
Parâmetro Não-compensado Compensado por atraso de fase
Processo e compensador 0,111
0,01
164,6 158,1
8,23 87,75
0,108 0,011
0,694 3,926 0,678 3,836
11,5511,61
Nenhum
Nenhum
0,101
0,111
Pólos dominantes
de segunda ordem
Terceiro pólo
Quarto pólo
Zero
- O quarto pólo do sistema compensado cancela o zero do compensador. Isso deixa os três pólos restantes a 
malha fechada do sistema compensado muito próximos dos valores dos três pólosa malha fechada do sistema 
não-compensado;
- Em consequência, a resposta transitória de ambos os sistemas é aproximadamente a mesma, bem como o 
ganho do sistema;
- Porém o erro de estado estacionário do sistema compensado é 9,818 vezes menor que o do sistema não-
compensado e está próximo da especificação de projeto: melhoria de 10 vezes no erro estacionário.
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Melhorando o Erro de Estado Estacionário – Cascata
Compensação por Atraso de Fase
Respostas ao degrau do Sistema Não-Compensado e do Sistema Compensado por Atraso de Fase
- Embora as respostas transitórias dos sistemas não-compensado e compensado por atraso de fase sejam 
iguais, o sistema compensado por atraso de fase apresenta um erro de estado estacionário menor por 
aproximar-se mais da unidade do que o sistema sem compensação.
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Tempo (s)
Sem compensação
Compensado
por atraso de fase
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Compensação por Atraso de Fase
Atividades para os alunos:
- Fazer o exercício de avaliação: 9.1
- Fazer os problemas: 2 e 4.
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	Slide 11
	Slide 12