APOSTILA MATEMÁTICA BÁSICA EXERCICIOS COM GABARITO ENEM CONCURSO

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Produzido por: @ilan_cs 
MATEMÁTICA 
 
 SISTEMAS DE MEDIDAS 
O Sistema Legal de Medidas é também conhecido de modo mais abrangente como SI (Sistema 
Internacional). O SI tem por objetivo padronizar as medidas utilizadas globalmente. 
A notação científica é uma forma sintética de escrever números muito grandes e muito pequenos 
aproveitando as propriedades das potências de 10. Sempre que multiplicamos por uma potência de 10n, 
estamos multiplicando 10 por N vezes. 
Exemplo: 
3.104 = 3 x 10 x 10 x 10 x 10 = 30000 (ou apenas mais 4 zeros). 
4,52.105 = 4,52 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 452000 (ou apenas desloca-se a vírgula 5 casas para 
a direita). 
 
Conversão 
Comprimento 
Quilômetro – (km); 
Hectômetro – (hm); 
Decâmetro – (dam); 
Metro – (m); 
Decímetro – (dm); 
Centímetro – (cm); 
Milímetro – (mm). 
 
Área: 
 
Quilômetro quadrado– (km2); 
Hectômetro quadrado – (hm2); 
Decâmetro quadrado – (dam2); 
Metro quadrado – (m2); 
Decímetro quadrado – (dm2); 
Centímetro quadrado – (cm2); 
Milímetro quadrado – (mm2). 
 
Volume: 
 
Quilômetro – (km3); 
Hectômetro – (hm3); 
Decâmetro – (dam3); 
Metro – (m3); 
Decímetro – (dm3); 
Centímetro – (cm3); 
Milímetro – (mm3). 
 
 
Massa 
Decigrama (dg): 
Centigrama (cg): 
Miligrama (mg): 
Grama 
Decagrama (dag): 
Hectograma (hg): 
Quilograma (kg): 
 
 
Tempo: 
Dias 
Horas 
Minutos 
Segundos 
 
 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
A ideia dos conjuntos numéricos segue uma ordem de acordo com a história da Matemática. 
Ou seja, à medida que a matemática avançou, foi necessário a criação de novos conceitos e, 
com isso, foram surgindo vários conjuntos de números. 
 
Conjunto dos números naturais - 
 
São números inteiros (não tem parte decimal ou vírgula); 
São números positivos (contamos de 0 para cima 
 
 
Para representar o conjunto dos números naturais não-nulos (ou seja, diferentes de zero), 
deve-se colocar um * ao lado do símbolo: 
 
 
Conjunto dos números inteiros - 
 
É constituído pela união (U) dos elementos do conjunto dos números naturais com os 
números negativos. 
 
 
Conjunto dos Números Racionais - 
 
 Tem todos os elementos dos conjuntos anteriores (N e Z), somados a alguns exclusivos, que 
o diferencia. Neste caso, estamos incluindo os números não-inteiros, ou seja, os que 
são decimais, as frações e raízes exatas. 
 
→Os números que podem ser escritos na forma de fração são: 
-Todos os números inteiros; 
-Decimais finitos; 
-Dízimas periódicas. 
https://www.infoescola.com/matematica/historia-da-matematica/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
https://beduka.com/blog/materias/matematica/como-transformar-numero-decimal-fracao/
https://beduka.com/blog/materias/matematica/o-que-e-fracao/
Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais. Como por 
exemplo: 
0,1 
3,5 
6,32 
 
Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas casas 
decimais. Por exemplo: 
5,22222… 
4,45454545…. 
7,255255255255…. 
 
Conjunto dos Números Irracionais – I 
 
Podemos definir também o conjunto dos números irracionais da seguinte forma: Os números 
irracionais são os que NÃO podem ser escritos na forma de fração. São eles: 
 
Decimais infinitos; 
Raízes não exatas. 
 
Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são 
dízimas periódicas. Tais como: 
 
0,1541984561354… 
√2 
π 
 
Conjunto dos Números Reais – 
 
Ele é o conjunto master, aquele que contém todos os 
anteriores. Ele é o mais completo e o maior! 
 
Veja no diagrama ao lado qual conjunto está contido em 
qual: 
 
 
 EQUAÇÕES 
 
Uma equação é uma afirmação de que duas expressões são iguais. Por exemplo, a 
expressão 5 + 3 é igual à expressão 6 + 2 (porque ambas são iguais a 8), então podemos 
escrever a equação a seguir: 
5 + 3 = 6 + 2 
 
A maioria das equações tem uma variável. Por exemplo, a equação x + 2 = 6 tem uma 
variável, o X. Sempre que temos uma equação como essa com uma variável, podemos chamá-
la de equação algébrica. 
Para uma equação algébrica, nossa meta é, geralmente, descobrir qual é o valor da variável 
que tornará a equação verdadeira. 
Para a equação x + 2 = 6: 
 
X + 2 = 6 
 
Devemos então tentar isolar a variável (letra) e deixar todos os números de um lado só, 
porém sempre que mudarmos o lado de um termo inverteremos o seu sinal. Mais vira menos, 
menos vira mais, multiplicação vira divisão e divisão vira multiplicação. 
 
X = 6 – 2 
 
Agora Devemos realizar a subtração 
 
 X = 4 
 
Chegamos ao resultado dessa equação, X é igual a 4 pois substituindo na equação incial 
temos: 
 
X+2=6 
4+2=6 
6=6 
 
O valor da variável que torna a equação verdadeira é chamada de solução da equação. 
Exemplo 1: 
3 + y = 10 
y = 10 – 3 
y = 7 
Exemplo 2: 
2x = 10 
X = 10/2 
X=5 
 
 INEQUAÇÃO 
A inequação é uma expressão algébrica que possui um sinal de desigualdade entre os seus 
termos. 
Exemplos: 
 5 > 4 
5x + 1 ≥ 4 
 
Símbolos da inequação 
 
< → menor que 
≤ → menor ou igual 
> → maior que 
≥ → maior ou igual 
 
Como Se lê 
 
5 > 4 → cinco é maior que quatro 
5x + 1 ≥ 4 → cinco x mais um é maior ou igual a 4 
 
Como Resolver 
 
De maneira muito parecida com uma equação, veja: 
 
Encontre o conjunto de soluções da inequação 2x – 10 < 4. 
Quando há uma letra junto a 
um número sem nenhum 
sinal (2x) ou com um ponto 
(2.x) significa uma 
multiplicação 
Para encontrar a solução da inequação, vamos isolar a variável: 
 
2x – 10 < 4 
2x < 4 + 10 
2x < 14 
x < 14/2 
x < 7 
Perceba que a solução para essa inequação é qualquer valor que seja menor que 7. 
S: {x ∈ R | x < 7} (Lê-se: x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é menor que 
sete.) 
 
Exemplo 2: 
Encontre o conjunto de soluções da inequação 5x – 4 ≤ 8x + 2. 
Para encontrar a solução da inequação, vamos isolar a variável: 
5x – 9 ≤ 8x + 3 
5x – 8x ≤ 9 + 3 
-3x ≤ 12 
Agora é necessário multiplicar todos os membros por -1, pois a tanto na equação quanto na 
inequação a variável (letra) não deve ficar negativa, mas é importante realizar a inversão da 
desigualdade, ou seja, a desigualdade era ≤ e ficará ≥. 
 
-3x ≤ 12 (-1) 
3x ≥ -12 
x ≥ -12/3 
x ≥ -4 
 
S: {x ∈ R | x ≥ -4} 
 
 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas. Já a proporção é 
determinada pela igualdade entre duas razões. 
A razão está relacionada com a operação da divisão. 
Razão: Proporção 
 
 
 
Exemplo 1 
Qual a razão entre 40 e 20? 
 
Exemplo 2 
Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
Para isso basta multiplicar cruzado, o de cima da esquerda (1) pelo de baixo da direita (x) e 
igualar ao de baixo da esquerda multiplicado pelo de cima da direita 
3 . 12 = x 
x = 36 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/multiplicacao.htm
 
 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos problemas que envolvem 
duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, o aumento de uma implica 
no aumento da outra na mesma proporção. 
 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, o aumento de uma implica 
na redução da outra. 
Prática: 
5 pessoas ocupam uma área de 5m2, quantas pessoas ocupam uma área de 800m2? 
As grandezas desse problema são: pessoas e área. 
Pessoa Área 
5 2m2 
x 800 m2 
 
Identificar se é direta ou inversamente proporcional. Essa parte é importante para não errar o 
resultado, vamos analisar. 
Se eu aumentar a área de 800 m², a quantidade de pessoas vai aumentar, concorda? Então 
temos uma regra de três simples diretamente proporcional, ou seja, aumentaem uma razão e 
também aumenta na outra. 
Montamos a proporção. 
 
 
Agora resta apenas resolver multiplicando em cruz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a quantidade de pessoas na festa era de 2000 pessoas. 
 
Exemplo 2: 
 
Se abrirmos 6 torneiras, estas enchem um tanque com água em 22 minutos. Agora, abrindo 4 
torneiras apenas, qual é o tempo que leva para o tanque ficar cheio? 
As grandezas desse problema são: torneiras e tempo (minutos). 
Torneira Tempo 
6 22 
4 x 
 
Vamos analisar essa parte crucial do problema. Veja, se eu diminuir a quantidade de torneiras, o 
tempo para encher o tanque aumenta. Então é inversamente proporcional. 
Montamos a seguinte proporção. 
 
Essas setas guias servem para você lembrar que tem que fazer a inversão de uma das frações 
para não errar no cálculo e encontrar uma resposta diferente. Feito a inversão temos a seguinte 
proporção: 
 
Resolva o problema para encontrar o valor de x. 
 
Logo, para encher o tanque com apenas 4 torneiras precisaremos de 33 minutos. 
 
 REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
A regra de três composta é a razão e proporção entre três ou mais grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais 
Exemplo: 
Sabendo que 4 pintores levariam 8 dias para pintar 6 escolas, quanto tempo 8 pintores levariam 
para pintar 18 escolas? 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/razao-e-proporcao
→Faça uma tabela na qual as colunas são as grandezas e as linhas são os valores; 
 
→Coloque uma seta para baixo na coluna que tem o x; 
→Observe qual grandeza está aumentando e qual está diminuindo. Se estiver 
aumentando, coloque uma seta para cima, se estiver diminuindo, uma seta para baixo; 
 
 →Monte a equação. Nas colunas em que a seta está para cima, significa que os valores 
são indiretamente proporcionais, então, deve-se inverter a divisão (por isso vira 8/4 e 18/6 
e não 4/8 e 6/18). As que estão com a seta para baixo permanecem assim; 
→Coloque a divisão em que está o x à esquerda do símbolo de =; 
→ Multiplique as outras duas grandezas uma pela outra; 
→Resolva a equação 
 
 
 
 PORCENTAGEM 
 
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números 
ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
→ A gasolina teve um aumento de 15%. 
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00. 
→ O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00. 
 
A Porcentagem pode ser representada de três formas diferentes, fracionária, decimal e 
percentual, veja respectivamente: 
 
 
→ Considere o seguinte problema: 
 
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
Para solucionar esse problema, devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de 
cavalos. 
 
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
 
EX.: 
Calcular 10% de 300. 
 
 
Calcular 25% de 200kg. 
 
 
Como calcular desconto? 
 
Ao comprar um produto numa loja virtual ou loja física você encontra uma promoção de 10%. 
Suponha que este produto seja uma calça jeans no valor de R$ 250,00. Qual o preço após o 
desconto obtido? 
Para saber o desconto obtido, em reais, temos que multiplicar o desconto em porcentagem pelo 
valor da calça. Veja: 
 
Assim, você obteve um desconto de R$ 25,00 no valor final do produto. Então, o preço após 
aplicar o desconto é: 250,00 – 25,00 = 225,00 
Você comprou o calça jeans por R$ 225,00. 
→ Se quisesse calcular o aumento de um produto, ao final do processo ao invés de subtrair você 
somaria 
 
 JUROS SIMPLES 
O juro é aquele valor a mais que você paga quando atrasa um pagamento ou quando paga 
por um empréstimo, por exemplo. 
O juro simples é uma taxa previamente definida e que incide somente sobre o valor 
inicial. 
Exemplo: Se você emprestar R$1000,00 com uma taxa de 2% ao mês no juro simples, a taxa 
será sempre 2% de R$1000 ao longo do prazo. 
 
Como Calcular? 
 
Os juros simples são calculados a partir da seguinte fórmula:: 
J = C × i × t 
 
Onde: 
J = juros simples; 
C = capital inicial; 
i = taxa de juros; 
t = tempo da aplicação. 
 
Agora, para saber qual o valor final a ser pago ou recebido, basta somar os juros simples 
calculados ao capital inicial. 
 
Exemplos: 
 
Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 1 ano e 2 
meses. Determine os juros e o montante dessa aplicação. 
 
RESPOSTA: 
Capital (C) = R$ 1.200 
Tempo (t) = 14 meses 
 
Taxa (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 
 
Fórmula dos juros simples: 
J = C × i × t 
J = 1200 × 0,02 × 14 
J = 336 
 
Se a taxa estiver ao mês, o tempo 
deve estar em meses, se a taxa 
estiver ao ano o tempo deve estar 
em anos 
https://urbe.me/lab/juros-voce-sabe-o-que-e/
Montante: 
M = C + J 
M = 1200 + 336 
M = 1536 
O valor dos juros da aplicação é de R$336 e o montante a ser resgatado é de R$1.536,00. 
 
 JUROS COMPOSTOS 
Já taxa de juros compostos, também chamada de juros sobre juros, é sempre aplicada ao 
somatório do capital no final de cada período. 
Isso quer dizer que a taxa incide sobre o valor total (ou montante) do período anterior, 
quando esse montante já teve o valor do juro somado a ele. 
 
Como resolver? 
Os juros compostos são calculados a partir da seguinte fórmula: 
M = C × (1 + i)
n
 
M = C + J 
J = M – C 
 
Onde: 
M = montante; 
C = capital aplicado ou valor inicial; 
i = taxa de juro composto; 
n = tempo de aplicação; 
J = juro composto. 
 
Exemplo: 
Uma aplicação especial rende 1,5% ao mês em regime de juros compostos. Certa pessoa 
deseja aplicar a quantia de R$620,00 durante 2 anos. Determine o montante gerado por essa 
aplicação. 
RESPOSTA 
C = 620 
t = 2 anos → 24 meses 
i = 1,5% → 1,5/100 → 0,015 
M = C × (1 + i)
t
 
M = 620 × (1 + 0,015)24 
M = 620 × 1,01524 
M = 620 × 1,429503 
M = 886,29 
O montante gerado será de R$886,29. 
https://www.idinheiro.com.br/quem-somos/
 SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais 
de uma incógnita. 
Como resolver um sistema de equações do 1º grau? 
Método da substituição 
Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para 
determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra 
equação. 
Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos 
encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado 
e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita. 
Exemplo 
Resolva o seguinte sistema de equações: 
 
Resolução 
Vamos começar escolhendo a primeira equação do sistema, que é a equação mais simples, 
para isolar o x. Assim temos: 
 
Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira: 
 
Agora que encontramos o valor do y, podemos substituir esse valor da primeira equação, 
para encontrar o valor do x: 
 
Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8, 4). Repare que esse resultado 
tornam ambas as equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3.8 - 4 = 20. 
 EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU 
A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os 
coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0. 
→ Exemplos 
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 e c = – 6 
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 e c = 2 
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 e c = –1 
 
Atenção: o valor do coeficiente a nunca é igual a 0, caso isso ocorra, a equação deixa de ser 
do 2º grau. 
 
Como resolver equações de 2º grau? 
A solução de uma equação do 2º grau ocorre, quando as raízes são encontradas, ou seja, os 
valores atribuídos a x. 
O método conhecido como método de Bhaskara ou fórmula de Bhaskara aponta que as 
raízes de uma equação do 2º grau do tipo ax2 + bx + c = 0 é dada pela seguinte relação: 
 
COM→ Exemplo 
Determine a solução da equação x2 – x – 12 = 0. 
Note que os coeficientes da equação são: a = 1; b= – 1 e c = – 12. Substituindo esses 
valores na fórmula de Bhaskara, temos: 
 
O delta (Δ) recebe o nome de discriminante e note que ele está dentro de uma raiz 
quadrada e, conforme sabemos, levando em conta os números reais, não é possível extrair raiz 
quadrada de um número negativo. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-raiz-quadrada.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-raiz-quadrada.htm
Conhecendo o valor do discriminante, podemos realizar algumas afirmações a respeito da 
solução da equação do 2º grau: 
→ discriminante positivo (Δ > 0): duas soluções para a equação; 
→ discriminante igual a zero (Δ = 0): as soluções da equação são repetidas; 
→ discriminante negativo (Δ < 0): não admite solução real. 
 
 GEOMETRIA PLANA 
A Geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras planas. Ou seja, aquelas 
que possuem comprimento e largura 
Principais Figuras Planas 
 
 
Triângulo: polígono formado por três lados. São classificados de acordo com as medidas 
dos lados, bem como seus ângulos: 
Quanto a medida dos lados: 
Triângulo Equilátero: apresenta lados e ângulos internos iguais; 
Triângulo Isósceles: apresenta dois lados e dois ângulos internos congruentes; 
Triângulo Escaleno: apresenta todos os lados e ângulos internos diferentes. 
 
Quanto a medida dos ângulos: 
Triângulo Retângulo: possui um ângulo interno de 90°; 
Triângulo Obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um 
ângulo obtuso interno, maior que 90°; 
Triângulo Acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90°. 
 
https://www.todamateria.com.br/triangulo-equilatero/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-isosceles/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-escaleno/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/
Quadrado: quadrilátero regular formado por quatro lados congruentes (mesma medida). Ele 
é formado por quatro ângulos internos de 90°, os quais são chamados de ângulos retos. 
 
Retângulo: quadrilátero formado por quatro lados, dois deles na vertical e dois na horizontal. 
Da mesma forma que o quadrado, ele apresenta quatro ângulos internos de 90° (retos). 
 
Círculo: Figura plana também chamada de disco. Apresenta uma forma circular. O raio do 
círculo representa a medida entre o ponto central da figura e uma das extremidades. 
Já o diâmetro equivale duas vezes o raio, posto que representa o segmento de reta que 
passa pelo centro do círculo, dividindo-o em duas metades iguais. 
 
Trapézio: quadrilátero notável com dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra 
menor. A soma de seus ângulos internos totaliza 360°. São classificados em: 
Trapézio Retângulo: apresenta dois ângulos de 90º (ângulos retos); 
Trapézio Isósceles: também chamado de trapézio simétrico donde os lados não paralelos 
possuem a mesma medida; 
Trapézio Escaleno: todos os lados apresentam medidas diferentes. 
 
Losango: quadrilátero equilátero formado por quatro lados iguais. Apresenta dois lados e 
ângulos opostos congruentes e paralelos, com duas diagonais que se cruzam 
perpendicularmente. Ele possui dois ângulos agudos (menores que 90º) e dois ângulos obtusos 
(maiores que 90º). 
 
Fórmula das Áreas das Figuras Planas 
Confira abaixo as fórmulas para os cálculos de área: 
 
Atenção! 
Vale lembrar que a área e o 
perímetro são dois conceitos 
utilizados na geometria plana que 
apresentam diferenças. 
Área: tamanho da superfície da 
figura. O valor da área será dado 
sempre em cm2, m2 ou km2. 
Perímetro: soma de todos os 
lados da figura. O valor do 
perímetro será dado sempre em 
cm, m ou km. 
 
 RELAÇÕES METRICAS NO TRIANGULO 
As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns 
outros segmentos de um triângulo retângulo. 
Elementos do triângulo retângulo 
A figura a seguir é um triângulo retângulo (um dos ângulos mede 90°) ABC, cujo ângulo reto 
é Â e é cortado pela altura AD: 
Nesse triângulo, observe que: 
 
A letra a é a medida da hipotenusa; 
As letras b e c são as medidas dos catetos; 
A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo; 
A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa; 
A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa. 
 
Teorema de Pitágoras: 
 
O teorema de Pitágoras é o seguinte: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos. Ele é válido para todos os triângulos retângulos e pode ser escrito da 
seguinte maneira: 
 
a2 = b2 + c2 
 
*a é hipotenusa, b e c são catetos. 
 
Exemplo: 
Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 20 cm e o lado menor 
mede 10 cm? 
Solução: 
A diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos retângulos. Essa diagonal fica sendo 
a hipotenusa, como mostra a figura a seguir: 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-triangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-pitagoras.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/potencias.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/retangulos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-diagonais-um-poligono-convexo.htm
Para calcular a medida dessa diagonal, basta usar o teorema de Pitágoras: 
a2 = b2 + c2 
a2 = 202 + 102 
a2 = 400 + 100 
a2 = 500 
a = √500 
a = 22,36 cm, aproximadamente. 
 
Outras relações importantes: 
 
a × h = b × c 
B2 = a × n 
C2 = a × m 
H = m × n 
A = m + n 
 
 
 
 TRIGONOMETRIA NO TRIANGULO RETANGULO 
 
A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias 
envolvendo triângulos retângulos. Observe a figura abaixo que representa um triângulo 
retângulo. 
 
 
 
O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto 
oposto e a hipotenusa. 
 
 
O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o 
cateto adjacente e a hipotenusa. 
 
 
 
A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o 
cateto oposto e o cateto adjacente. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo. 
 
 
Solução: Temos que 
 
Exemplo 2. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo: 
 
 
Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida 
conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que: 
 
 
 FUNÇÕES 
 
A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la 
utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). 
Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função. 
 
A partir dessa definição, é possível constatar que x é a 
variável independente e que y é a variável dependente. Isso 
porque, em toda função, para encontrar o valor de y, 
devemos ter inicialmente o valor de x. 
 
 
 
 
As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos duas 
coordenadas, que são x e y. 
 A coordenada x é chamada de abscissa e a y, 
de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis 
de formação. Ao localizar os pontos em que x e y se 
encontram temos a linha do gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
função afim 
 
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é definida como f(x) = ax + b, 
sendo a e b números reais. Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e 
representa a taxa de crescimento ou taxa de variação da função. Já o número b é chamado de 
termo constante. 
 
Exemplo: 
 
Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3. 
 
Solução 
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na 
equaçãoe calcular o valor correspondente para a f (x). 
 
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. 
Substituindo esses valores na função, temos: 
 
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1 
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1 
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3 
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5 
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7 
 
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo: 
 
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma 
reta bastam dois pontos. 
 
Se o a é maior que zero, a função será crescente /. Ao contrário, se a for negativo, a função 
será decrescente \. 
 
Função quadrática 
 
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função 
representada pela seguinte expressão: 
 
f(x) = ax2 + bx + c 
 
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
 
Exemplo: 
 
f(x) = 2x2 + 3x + 5, sendo: 
 
a = 2 
b = 3 
c = 5 
 
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) =0. 
As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau: 
 
f(x) = ax2 +bx + c = 0 
 
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar a Fórmula de Bhaskara, ou seja: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Encontre os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6. 
 
Solução: 
 
Sendo 
a = 1 
b = – 5 
c = 6 
 
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: 
 
 
Portanto, as raízes são 2 e 3. 
 
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido 
pela expressão: Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminante. 
 
Assim, 
 
Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2); 
Se Δ , a função não terá uma raiz real; 
Se Δ = 0, a função terá duas raízes reais e iguais (x1 = x2). 
 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
Gráfico 
 
O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Diferente 
das funções do 1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções 
quadráticas são necessários conhecer vários pontos. 
 
A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em no 
máximo dois pontos dependendo do valor do discriminante (Δ). Assim, temos: 
Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos; 
Se Δ < 0 não cortará o eixo x 
Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto. 
 
Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo ou 
mínimo da função. Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula: 
 
O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver 
voltada para baixo e o valor mínimo quando estiver para cima. 
 
É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do 
coeficiente a. Se o coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for 
negativo ficará para baixo, ou seja: 
 
 
 
Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o valor 
do a, calcular os zeros da função, seu vértice e também o ponto em que a curva corta o eixo y, 
ou seja, quando x = 0. 
 
Exemplo: 
 
f(x) = x² – 6x + 8 
 
1º passo: As raízes da função são os pontos em que a parábola toca o eixo x, logo queremos 
encontrar os pontos (x’, 0) e (x”,0). 
 
Para isso faremos f(x) = 0, então temos que: 
x² – 6x + 8=0 
a= 1 
b= -6 
c = 8 
https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
https://www.todamateria.com.br/vertice-da-parabola/
Δ = b² -4ac 
Δ = (-6)² -4·1·8 
Δ = 36 – 32 
Δ = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já temos dois pontos para o gráfico, o ponto A(4,0) e o ponto B (2,0). 
 
2º passo: encontrar o vértice da parábola. 
 
 
 
Então o vértice da parábola é o ponto V(3, -1). 
 
3º passo: encontrar o ponto de intersecção da parábola com o eixo y. 
Para isso, basta calcular f(0): 
 
f(x) =x² – 6x + 8 
f(0) = 0² -6·0 + 8 
f(0) = 8 
 
Por fim, o ponto C (0,8) pertence ao gráfico. 
 
4º passo: Agora que temos os pontos, vamos marcá-los no plano cartesiano e fazer o esboço 
do gráfico da parábola. 
 
A(4,0) 
B(2,0) 
V(3,-1) 
C(0,8) 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
 EXERCÍCIOS 
 
1. Qual a proposição abaixo é verdadeira? 
 
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número 
inteiro. 
 
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos 
números irracionais tem 1 elemento. 
 
c) O número 1,83333... é um número racional. 
 
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
 
2. Temos o conjunto A = {1, 2, 4, 8 e 16} e o conjunto B = {2, 4, 6, 8 e 10}. 
De acordo com a alternativas, onde estão localizados os elementos 2, 4 
e 8? 
 
 
3. Sobre os conjuntos numéricos, marque a alternativa incorreta. 
 
A) Todo número natural é também um número racional. 
 
B) Um número racional não pode ser irracional. 
 
C) Todo número negativo é um número inteiro. 
 
D) O conjunto dos números reais é formado pela união dos números 
racionais e irracionais. 
 
E) As dízimas periódicas são consideradas números racionais, portanto 
são também números reais. 
 
4. Sobre os conjuntos numéricos, podemos afirmar que: 
 
I – a soma de dois números racionais é sempre um número racional. 
II – a divisão de dois números naturais é sempre um número natural. 
III – a diferença entre dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
IV – o produto entre dois números reais é sempre igual a um número 
real. 
 
Julgando as afirmativas, temos que: 
A) somente a afirmativa I é falsa. 
B) somente a afirmativa II é falsa. 
C) somente a afirmativa III é falsa. 
D) somente a afirmativa IV é falsa 
E) todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
5. Um concurso para preencher 200 vagas recebeu 1600 inscrições. 
Quantos candidatos há para cada vaga? 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
 
6. Gustavo estava treinando pênaltis caso precisasse na final dos jogos de 
futebol escolares. Sabendo que de 14 chutes ao gol ele acertou 6, qual a 
razão do número de acertos para o total de chutes? 
a) 3/5 
b) 3/7 
c) 7/3 
d) 5/3 
 
7. Determine o valor de x nas proporções a seguir. 
a) 2/6 = 9/x 
b) 1/3 = y/12 
c) z/10 = 6/5 
d) 8/t = 2/15 
 
8. Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Em 28 minutos, quantas voltas 
essa roda dará? 
 
9. Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. 
Quantos dias levarão 6 eletricistas, para fazer o mesmo trabalho? 
10. Com 6 pedreiros podemos construir uma parede em 8 dias. Quantos 
dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? 
 
11. Uma fábrica engarrafa 3.000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas 
levará para engarrafar 4.000 refrigerantes? 
 
12. Para realizar o acabamento de um condomínio fechado, 2 pedreiros 
foram contratados. Sabendo que eles conseguiram fazer o reboco de 48 
m² por dia, trabalhando 6 horas diárias, qual seria a produtividade se 
fossem contratados mais 4 pedreiros para trabalhar 4 horas por dia? 
 
A) 72 m² 
B) 80 m² 
C) 92 m² 
D) 96 m² 
E) 100 m² 
 
13. Para produção de um determinado tipo de peça em uma empresa, 5 
máquinas com produtividades idênticas produzem 260 peças em 5 dias, 
operando 4 horas por dia. Sabendo que duas máquinas deram defeito, 
qual será a quantidade de peças produzidas durante 10 dias se as 
máquinas restantes operarem durante 10 horas? 
 
A) 680 
B) 780 
C) 850 
D) 900 
E) 920 
 
14. Quatro torneiras enchem um reservatório em 10 horas. Quantas horas 
levarão 7 torneiras para encher 2 tanques? 
 
A) Entre 8 e 9 horas 
B) Entre 9 e 10 horas 
C) Entre 10 e 11 horas 
D) Entre 11 e 12 horas 
E) Entre 12 e 13 horas 
 
15. Em uma fábrica de perfumes, 3 máquinas produzem 900 perfumes em 
12 dias. Quantos dias serão necessários para 8 máquinas produzirem 
1200 perfumes? 
A) 2 
B) 4 
C) 6 
D) 8 
E) 10 
 
16. Em uma sala de aula há 30 alunos, dos quais 40% são meninas. 
Quantas meninas têm na sala? 
a) 10 meninas 
b) 12 meninasc) 15 meninas 
d) 18 meninas 
 
17. Na promoção de uma loja de eletrodomésticos, um aparelho de som que 
custava R$ 400,00 teve um desconto de 12%. Quanto o cliente que 
decidir comprar o equipamento pagará? 
a) R$ 372,00 
b) R$ 342,00 
c) R$ 362,00 
d) R$ 352,00 
 
18. Em um concurso, 520 candidatos se inscreveram. No dia da prova 
apenas 364 candidatos compareceram. Neste caso, qual foi a 
porcentagem dos candidatos que faltaram a prova? 
a) 10% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 40% 
 
19. Em uma loja, uma máquina de lavar roupas custava R$ 1500,00 e seu 
preço sofreu um aumento de 3%. Logo após o aumento a loja resolveu 
fazer uma promoção oferecendo um desconto de 3% no mesmo 
produto. Qual o valor do produto após o aumento e após o desconto? 
 
a) R$ 1555,00 com aumento e R$ 1498,65 com desconto. 
b) R$ 1545,00 com aumento e R$ 1500,00 com desconto. 
c) R$ 1545,00 com aumento e R$ 1498,65 com desconto. 
d) R$ 1555,00 com aumento e R$ 1500,00 com desconto. 
 
20. 25 representa quantos por cento de 200? 
a) 12,5% 
b) 15,5% 
c) 16% 
d) 20% 
 
21. Num balancete de uma empresa consta que certo capital foi aplicado a 
uma taxa de 30% ao ano durante 8 meses, rendendo juros simples no 
valor de R$ 192,00. O capital aplicado foi de: 
A) R$ 288,00. 
B) R$ 880,00. 
C) R$ 960,00. 
D) R$ 2.880,00. 
 
22. Um capital foi aplicado a juros simples com taxa de 5% ao mês, durante 
cinco meses. Se no fim desse período o juro produzido foi de R$ 152,25, 
qual foi o montante ao término da aplicação? 
A) R$ 761,25. 
B) R$590,75. 
C) R$609,00. 
D) R$706,12. 
E) R$ 692,30. 
 
23. Para completar a compra de um carro, Júlia pegou emprestado de sua 
amiga R$ 10.000,00 e pagou, ao final, R$ 12.250,00. Sabendo que a 
taxa de juros da operação empregada foi 2,5% a.m., quanto tempo Júlia 
levou para pagar sua amiga? 
A) 6 meses. 
B) 7 meses. 
C) 8 meses. 
D) 9 meses. 
E) 10 meses. 
 
24. Uma aplicação especial rende 1,5% ao mês em regime de juros 
compostos. Certa pessoa deseja aplicar a quantia de R$ 620,00 durante 
2 anos. Determine o montante gerado por essa aplicação. 
 
25. Um capital de R$ 2500 foi investido a juros compostos durante 36 meses, 
com a taxa de juros de 12% ao ANO. Os juros gerados por esse capital 
foram de: 
 
 
A) R$ 3512,32 
B) R$ 3400 
C) R$ 2520,25 
D) R$ 1012,32 
E) R$ 900 
 
26. Resolva as seguintes equações do primeiro grau com uma incógnita. 
a) 4x + 2 = 38 
b) 9x = 6x + 12 
c) 5x – 1 = 3x + 11 
d) 2x + 8 = x + 13 
 
27. Resolva a equação 5y + 2 = 8y – 4 e TAMBEM a 4x – 2 = 3x + 4 e 
determine: 
a) o valor numérico de y 
b) o valor numérico de x 
c) o produto de y por x 
d) o quociente de y por x 
 
28. 6 unidades somadas ao dobro de um número é igual a 82. Qual é esse 
número? 
a) 43 
b) 38 
c) 24 
d) 32 
 
29. Resolva as seguintes inequações: 
 
a) 2x + 1 x + 6 
b) 2 - 3x x + 14 
 
30. Se x = 5, MARQUE a inequação em que ele faz parte do conjunto 
solução: ( A ) 4 < X + 1 
( B ) 2x ≥ x + 5 
( C ) 3x + 8 = 18 
( D ) 2x < 13 – x 
 
 
31. Resolva o sistema de equações abaixo: 
 
32. Um número x é igual ao triplo no número y. Se a soma desses números 
é 180, quais são esses números? 
 
 
33. A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a 
diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo 
assim, é correto afirmar que o produto de x vezes y é igual a: 
 
a) -15 
b) -12 
c) -10 
d) -4 
e) - 2 
 
34. Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre 
motos e carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é 
a quantidade de motos e de carros estacionados na rua de André? 
 
35. Lucas fez um desenho e pretende reproduzi-lo em cartolina. Esse 
desenho está representado em cinza, na malha quadriculada abaixo, em 
que cada quadradinho tem 1cm² de área. Quantos centímetros quadrados 
de cartolina são necessários para reproduzir esse desenho? 
 
 
 
a) 38 cm² b) 42 cm² c) 54 cm² d) 63 cm² 
 
36. Juliana possui dois tapetes de mesma área. O tapete quadrado possui 
lado de 4 m e o tapete retangular tem altura de 2 m e base de 8 m. Qual 
tapete apresenta o maior perímetro? 
a) O tapete quadrado 
b) O tapete retangular 
c) Os perímetros são iguais 
 
 
37. Carla, Ana e Paula estão prontas para iniciar um jogo. Observando a 
maneira como se organizaram, podemos notar que suas posições formam 
um triângulo. 
Sabendo que o triângulo tem 30 cm de perímetro e Carla está a 8 cm de 
distância de Ana e Ana está a 12 cm de distância de Paula, qual a 
distância de Carla e Paula? 
 
 
a) 10 cm 
b) 11 cm 
c) 12 cm 
d) 13 cm 
 
38. Paulo decidiu aproveitar o espaço não utilizado do seu quarto para 
construir um banheiro. Conversando com um arquiteto, Paulo descobriu 
que para o cômodo com vaso sanitário, pia e chuveiro ele precisaria de 
uma área mínima de 3,6 m2. 
Respeitando as indicações do arquiteto, qual das figuras abaixo 
representa a planta correta para o banheiro de Paulo? 
 
a) 2,55 m x 1,35 m 
b) 1,55 m x 2,25 m 
c) 1,85 m x 1,95 m 
 
 
Lembre-se que o perímetro de uma figura é dado pela soma de seus lados, 
basicamente o comprimento do seu contorno 
39. Calcule a área da figura abaixo, sabendo que as medidas estão em cm. 
 
40. A área da figura abaixo é: 
 
a)24 cm² 
b)30 cm ² 
c)33 cm ² 
d)36 cm² 
e)48 cm² 
 
41. Com uma lata de tinta dá para pintar 10 m² de um muro. É necessário 
comprar quantas latas de tinta para pintar o muro todo sabendo que ele 
tem 20 metros de comprimento e 2,8 metros de altura? 
 
42. Um prefeito construiu um chafariz circular numa praça da cidade. Ele 
solicitou ao engenheiro que o chafariz tivesse um diâmetro de 10 m. 
Calcule a área deste chafariz. 
 
 
43. Calcule a altura do triângulo. 
 
 
Dica: o diâmetro é o dobro do raio, se o diâmetro mede 10m, logo o valor da 
medida do raio será a metade, ou seja 5 m 
2 8 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/05/exec15.jpg
44. Qual é a medida do cateto oposto ao ângulo α no triângulo a seguir? 
 
a) 10 cm 
b) 15 cm 
c) 20 cm 
d) 25 cm 
e) 30 cm 
 
45. A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada 
colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento 
dessa escada é de: 
 
a) 12 m. 
b) 30 m. 
c) 15 m. 
d) 17 m. 
e) 20 m. 
 
46. Encontre o valor da incógnita nos triângulos abaixo 
 
 
 
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-triangulo-retangulo.htm
 
47. Analisando o triângulo retângulo, com suas medidas dadas em 
centímetros, podemos afirmar que o valor do seno do ângulo ꞵ é igual a: 
 
A) 3/5 
B) 4/5 
C) 5/4 
D) 4/3 
E) 3/4 
 
48. Um engenheiro foi contratado para calcular a altura de um prédio sem 
subir nele. A uma distância de 40 metros, constatou-se que era possível 
construir o seguinte triângulo retângulo: 
 
Podemos afirmar que a altura do prédio é de, aproximadamente: 
(Dados: use √3 = 1,7) 
A) 20 m 
B) 21,5 m 
C) 22,7 m 
D) 23 m 
E) 23,8 m 
 
49. Qual o valor de f(4) + f(−7), sendo a função f(x) = − 8 − 6x? 
a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
50. Determine as raízes ou zeros da função quadrática f(x) = x² – 4x – 5. 
51. Seja a função quadrática 
f(x) = 3x² – 5x + 4, calcule f(-1), f(-2), f(10) e f(2). 
 
52. Em um teste de aptidão em um concurso da Polícia Militar de um 
determinado estado, o candidato deve percorrer uma distância de 2400 
metros em um tempo de 12 minutos. Qual alternativa indica os valores 
de distância e tempo em km e hora, respectivamente? 
a) 2,4 km e 2 h 
b) 4,2 km e 0,2 h 
c) 0,24 km e 0,2 h 
d) 4,2 km e 2 h 
e) 2,4 km e 0,2 h 
 
53. Ao estudar a planta de uma construção, um engenheiro deparou-se com 
unidades de área dadas em cm². Certo cômodo dessa construção 
apresentava área de 120 000 cm². Essa área, expressa em m², equivale 
a: 
a) 12 m² 
b) 1200 m² 
c) 12 m² 
d) 346 m² 
e) 0,12 m² 
 
54. Converta: 
a) 5,8 km em cm 
b) 0,4 m em mm 
c) 180 hm3 em km³ 
 
 
 
 
GABARITO EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 
 
1. C2. C 
3. C 
4. B 
5. C 
6. B 
7. a) 27, b) 4, c) 12 e d) 60 
8. 112 voltas 
9. 4 dias 
10. 16 dias 
11. 8 horas 
12. D 
13. B 
14. D 
15. C 
16. B 
17. D 
18. C 
19. C 
20. A 
21. C 
22. A 
23. D 
24. O montante gerado será de R$ 
886,29. 
25. D 
26. a) x = 9 
b) x = 4 
c) x = 6 
d) x = 5 
27. a) y = 2 
b) x = 6 
c) y.x = 12 
d) y/x = 1/3 
28. B 
29. A) x 5 
B) x -3 
30. A 
31. (-2,1) 
32. (135,45) 
33. D 
34. treze motos e sete carros 
35. C 
36. B 
37. A 
38. C 
39. 412 cm² 
40. B 
41. 6 latas 
42. Aproximadamente 78,54 m² 
43. 4 
44. B 
45. D 
46. a) n = 3 
b) b = 6 
47. b 
48. c 
49. a 
50. -1 e 5. 
51. -1 = 12 
-2 = 26 
2 = 6 
10 = 254 
52. E 
53. A 
54. A) 580000 cm 
b) 400 mm 
c) 0,180 km3