Matemática para ciências da natureza

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Matemática para ciências da 
natureza
Grandezas físicas e unidades de medidas
Grandezas físicas - tudo o que pode ser medido, descrito quantitativamente 
e qualitativamente
Grandeza escalar - um valor numérico e uma unidade de medida
ex: massa 50kg
Grandeza vetorial - além de ter o valor numérico e a unidade de medida 
precisa de direção e sentido para expressar todas informações sobre aquela 
grandeza
ex: força que se aplica a um corpo 10 Newtons para a direita 
Unidades de medida - é uma quantidade específica de uma grandeza física 
que serve como padrão para eventuais comparações
Sistema internacional de unidades e medidas (SI)
Grandezas fundamentais - padronizar - sistema padrão
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Comprimento (L) metro m
Massa (M) quilograma Kg
Tempo (T) segundos s
Temperatura (Θ teta) kelvin K (temperatura termodinâmica)
Intensidade da corrente elétrica (I) ampere A
Intensidade luminosa (Iv) candela cd
quantidade de matéria (N) mol mol (número de moléculas que tem naquele 
corpo)
Notação científica
Uma forma de expressar número muito grandes ou muito pequenos utilizando 
uma potência de base 10
c · 10ˣ
c = coeficiente 
1 ≤ c < 10
x = expoente
x > 0 multiplicando por 10 x vezes
x < 0 dividindo por 10 x vezes
Ordem de grandeza
Método geométrico (mais usado)
√10 = 3,16
se c < 3,16 10ˣ
se c ≥ 3,16 10ˣ+¹
Método aritmético 
se c < 5,5 10
se c ≥ 5,5 10ˣ+¹
Operações básicas
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Adição (+)
a+b=c
2+3=5
Subtração (-)
c-b=a
5-3=2
Multiplicação (. ou x)
a.b=d ou a x b=d
2 . 3=6 ou 2 x 3=6
Divisão (:)
d : b=a
6 : 3=2
Potenciação
a^b= a vezes a b vezes 
a²=a . a
a³= a . a . a
2²= 2. 2 = 4
2³= 2 . 2 . 2 = 8
Radiciação
√a = a elevado ao inverso de n
²√a=a ¹/2
³√a= a ¹/3 
√9= 3 ou -3
³√8= 2 ou -2
ex de onde usar as operações:
S=Si+Vi.t+a.t²/2 
S=10+2 . 4+3 . 4²/2
S=10+8+3 . 16/2
S=10+8+24
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S=42
Proporção - regra de três
Quando uma quantidade A é multiplicada por um número B, temos uma 
proporção
a/b=c/d
Diretamente proporcional
A grandeza B aumenta ou diminui na mesma proporção que a grandeza A
usado em probemas que compara grandezas físicas 
obs: a divisão entre A e B é constante
a/b=constante
ex: força e aceleração 
Inversamente proporcionais
Se a grandeza C aumenta a grandeza A diminui
C proporcional a 1/a
obs.: o produto entre C e A é constante
Razão - divisão
a/b ou a:b
a está para b
b difernte de 0
ex: p=F/A 
F=50N e A=10m²
ou seja p=50/10=5Pa
Fração e operações com frações
É uma forma de expressar uma quantidade através de uma razão entre dois 
números inteiros
a/b 
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a: numerador
b: denominador
obs.: todos os números racionais podem ser representado por uma fração
Operações com frações
Adição e subtração
2/3 + 6/3= 8/3
6/3 - 1/4= 24/12 - 3/12= 21/12= 7/4
Multiplicação e divisão
2/3 . 8/4= 16/12= 4/3
8/4 : 3/4= 8/4 . 4/3= 32/12= 8/3
ex: associação de resistores 
1/Req=1/R1+1/R2+... 
Função
relação de um conjuto com outro ou outros conjuntos
f:A ⇾ B, y=f(x)
A ⇾ domínio
B ⇾ contradomínio
ex: f(x)=2·x+3
 y=2·x+3
se x=0 y=2·0+3=3
 x=1 y=2·1+3=5
 x=2 y=2·2+3=7
 x=3 y=2·3+3=9
Na física
Funções horárias do movimento uniforma
S = Si + v · t
S = f (t)
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v = vi ⇾ função constante ⇾ a velocidade não se altera a medida 
que o tempo passa
Funções horárias do movimento uniformemente variável
S = Si + vi · t + a · t²/2 
S = f (t)
v = vi + a · t 
v = f(t)
Função da osilação em um sitema massa mola
x = A · cos (ϖ · t)
x = f (t)
Gráficos de uma função 
Eixo horizontal - x - elementos do domínio
Eixo vertical - y - elementos do contradomínio 
Para facilitar monte uma tabela de relação entre x e y
Teorema do valor médio 
O valor médio - média aritmetrica
o valor médio entre x1 e x2
xm =( x1 + x2) / 2
O teorema (TVM)
ponto médio entre dois pontos em funções do 1° grau
ym = (y1 + y2) / 2
Funciona em gráfico de velocidade do MUV
Função constante
No gráfico:
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Reta paralela ao eixo X
Gráfico de velocidade MU: a velocidade é constante (a mesma) com o passar 
do tempo
ex: v(t)=2m/s
Gráfico de aceleração MUV: a aceleração é constante com o passar do tempo
Função afim = função do 1° grau
Comportamento linear crescente ou decrescente
f (x) = ax + b
f (x) = y
obs.: a ≠ 0 
se a = 0, então é uma função constante
f (x) = ax + b
a - coeficiente angular (o quento muda no gráfico)
b - coeficiente linear (b = y, quando x = 0)
x - variável independente - domínio
y - variável dependete (depende do valor de x) - contrdomínio - o que encontra 
resolvendo a função 
ex: f (x) = 2x + 3
f (x) = y 
a = 2
b = 3
se x = 0, y = 3
se x = 1, y = 5
na física
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função horária da posição no MU
S = Si + vt
em que, x = t
y = S
b = Si
a = v
função horária da velocidade no MUV 
V = Vi + at
em que, x = t
y = V
b = Vi
a = a
Gráficos
reta que não é paralela ao eixo x, crescente ou decrescente
quando 
a > 0 - crescente - reta sobre
ex: y = f (x) = 2x + 3
a < 0 - decrecsente - reta desce
ex: y = f (x) = -2x + 3
na física
gráfico da posição em função do tempo no MU 
a > 0
movimento progresivo - corpo se movimentando a favor da orientação da 
trajetória - possioções aumentando
a < 0 
movimento retrogrado - corpo se movimentando contra a orientção da trajetória
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gráfico da velocidade (em função do tempo) no MUV
a > 0
aceleração positiva - veloicdade aumentando no decorrer do tempo
a < 0
aceleração negativa - velocidade diminuindo 
Função quadrática (função do segundo grau)
f(x) = a x² + b x + c
em que a ≠ 0
ex: f(x) = 4 x² + 2 x + 1
se x = 1, então: y = 4 ༝ 1² + 2 ༝ 1 + 1 = 7
Exemplo na física: função horária da posição no MUV
S = Si + vi ༝ t + a ༝ t²/2
Em que, S=y, Si=c, vi=b, a/2=a, t=x
Gráfico
Sempre será uma parábola
Quando a>0, a concavidade é para cima
Quando a<0, a concavidade é para baixo
(Obs: concafidade é a parte aberta)
Raizes
As raizes de uma função são os valores de x para encontrar y=0
Onde a parábola passa no eixo x
Pode usar a fórmula de Baskara para encontrar as raizes da função
Vértice da parábola - ponto médio entre x1 e x2
x = (−b±√b²− 4ac)/2a
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Função raiz quadrada
Função que possui um comportamento de uma raiz quadrada
f(x) = x¹/²
x ≥ 0
ex: f(x) = √x+2
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2
x = -2, y = √-2+2 = 0
x = 2, y = √2+2 = 2
x = 7, y = √7+2 = 3
Obs: o gráfico será curvado
Na física
Função da velocidade em relação a posição no M.U.V
v² = vi² + 2aΔS
v = √vi² + 2a (S - Si)
ex: considerando vi=3m/s; a=2m/s²; Si=2m; determine v em:
S1 = 2m → v = √3² + 2 · 2 (2 - 2) = √9 + 4 · 0 = 3m/s
S2 = 6m → v = √3² + 2 · 2 (6 -2) = √9 +16 = 5m/s
S3 = 8,75m → v = √3² + 2 · 2 (8,75 - 2) = √9 + 4 · 6,75 = √9 + 27 = 6m/s
S4 = 12m → v = √3² + 2 · 2 (12 -2) = √9 +40 = 7m/s
Trigonometria
Relação entre os lado de um triângulo e os seus ângulos
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Triângulo retângulo: um ângulo de 90°
Teorema de pitágoras: hip² = cate1² + cate2²
Relação entre ângulos e lados: seno, cosseno e tangente
seno = cateto oposto/hipotenusa
cosseno = cateto ajacente/hiotensa
tangente = cateto oposto/cateto adjacente = seno/cosseno
Círculo trigonométrico: uma circunferência possui um raio igual a uma 
unidade (ex: r = 1 metro)
Obs: o raio será igual a hipotenusa do triângulo fromado
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Radianos
90° = pi/2 rad 
180° = pi rad
Obs.: para descobrir outros ângulos basta fazer regra de três
Logaritmo
É uma operação inversa da potenciação
a^x = b
log a b = x
qual o numero que quando eu pego o ae elevo a esse numero vai dar b
ex: log 10 1000 = 3 
10³ = 1000
propriedades
log c (a b) -= log c a + log c b
log c (a/b) = log c a - log c b
log c b^a = a log c b
Na física
acústica: nível do som
NS = 10 log (i/i0)
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