Resolução exercicio aula 03 e 04 -nao terminado

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Aula 03 
Resolução Exercício lajes 
Calcular e detalhar a armadura das lajes indicadas. 
Dados: 
1) Carregamentos: 
1.1) Contrapiso de espessura 2 cm e peso específico = 18 kN/m3 
1.2) Piso com peso de 0,20 kN/cm2 
2) Obra urbana, classe de agressividade moderada – cobrimento nominal de 25 mm 
3) fck = 20 MPa 
4) Aço CA50 
5) Dimensões das vigas bw = 12 cm e h=50 cm 
6) Utilização para escritórios 
 
 
1) Discretização das lajes 
Laje L1 
 Lajes no mesmo nível 
 Lajes com mesma (ou próximas) espessura 
 Dimensão próxima das demais 
Considerar engastada nos bordos em L2 eL3 e simplesmente apoiada nos demais bordos 
 
lx = 6m e ly = 6m 
ly / lx = 6/6 = 1 < 2 ou seja, laje armada nas 2 direções 
Laje L1 - Tipo 04 (slide 13) 
Laje L2 
 
Mesmas condições da L1 – mesma espessura, mesmo nível, dimensões próximas das demais 
Considerar L2 engastada nos bordos com L1 e L3 e simplesmente apoiada nos demais bordos. 
lx = 4m e ly = 6m 
ly / lx = 6/4 = 1,5 < 2 ou seja, laje armada nas 2 direções 
Laje L2 – Tipo 04 (slide 13) 
Laje L3 
 
Mesmas condições da L1 e L2 – mesma espessura, mesmo nível, dimensões próximas das demais 
Considerar L3 engastada nos bordos com L1 e L2 e simplesmente apoiada nos demais bordos. 
lx = 5m e ly = 10m 
ly / lx = 10/5 = 2 < 2 ou seja, laje armada nas 2 direções 
Laje L3 – Tipo 03 (slide 13) 
 
2) Pré-dimensionamento das lajes 
 
𝑑 ≥ 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
 
Laje L1 
λ = ly / lx =6/6 =1 
 
Para λ =1 e tipo 4 temos Ψ2 = 1,80 (slide 16) 
Para Aço CA50 e laje maciça - Ψ3 = 25 
𝑑 ≥ 
𝑑 ≥ 
, ∗
= 0,133 𝑚 
 
Adotando 𝜙 = 10 𝑚𝑚 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
ℎ = 0,133 + 0,025 + 0,01 +
, 
ℎ = 0,173 𝑚 
 
Laje L2 
λ = ly / lx =6/4 =1,5 
 
Para λ =1,5 e tipo 4 temos Ψ2 = 1,60(slide 16) 
Para Aço CA50 e laje maciça - Ψ3 = 25 
𝑑 ≥ 
𝑑 ≥ 
, ∗
= 0,10 𝑚 
 
Adotando 𝜙 = 10 𝑚𝑚 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
ℎ = 0,10 + 0,025 + 0,01 +
, 
ℎ = 0,14 𝑚 
Laje L3 
λ = ly / lx =10/5 =2 
 
Para λ =2 e tipo 3 temos Ψ2 = 1,40 (slide 16) 
Para Aço CA50 e laje maciça - Ψ3 = 25 
𝑑 ≥ 
𝑑 ≥ 
, ∗
= 0,14 𝑚 
 
Adotando 𝜙 = 10 𝑚𝑚 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
ℎ = 0,14 + 0,025 + 0,01 +
, 
ℎ = 0,18 𝑚 
 
L1 – h=0,173m 
L2 – h= 0,14 m 
L3 – h = 0,18m 
 
Adotando h = 0,16m = 16 cm para as 3 lajes 
 
3) Carregamentos 
 
3.1) Carga permanente (peso específico do concreto armado = 25 kN/m3) 
Carga peso próprio da laje (g1) =0,16m * 25 kN/m3 = 4 kN/m2 
Carga do contrapiso (g2) = 0,02m*18 kN/m3 = 0,36 kN/m2 
Carga do piso (g3) = 0,20 kN/m2 
Total (g) = 4+0,36+0,2 = 4,56 kN/m2 
 
3.2) Carga acidental 
Tabela 02 da NBR 6120:1980 
q =2 kN/m2 
 
 
3.3) Combinação quase permanente (necessária na verificação do estado limite de 
deformação) 
 
4,56 + 2 * 0,4 = 5,36 kN/m2 
 
3.4) Carga total 
 
A carga total que será utilizada no ELU será calculada após verificação das flechas e definida 
espessura final das lajes. 
 
4) Verificação das flechas 
 
4.1) Valores limites de deslocamento 
 
 
 
Laje L1: 
lx = 6m = 600 cm 
 
Deslocamento limite para combinação quase permanente = l / 250 = 600/250 = 2,4 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para a laje , o Deslocamento para combinação quase 
permanente = (2/3)*2,4 = 1,6 cm 
 
Deslocamento devido carga acidental = l/350 = 600/350 = 1,71 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para a laje, o Deslocamento devido carga acidental = 
(2/3)*1,71 = 1,14cm 
 
Laje L2: 
lx = 4m = 400 cm 
 
Deslocamento limite para combinação quase permanente = l / 250 = 400/250 = 1,6 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para a laje , o Deslocamento para combinação quase 
permanente = (2/3)*1,6 = 1,07 cm 
 
Deslocamento devido carga acidental = l/350 = 400/350 = 1,14 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para a laje, o Deslocamento devido carga acidental = 
(2/3)*1,14 = 0,76cm 
 
 
 
 
Laje L3: 
lx = 5m = 500 cm 
 
Deslocamento limite para combinação quase permanente = l / 250 = 500/250 = 2 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para a laje , o Deslocamento para combinação quase 
permanente = (2/3)*2 = 1,33 cm 
 
Deslocamento devido carga acidental = l/350 = 500/350 = 1,43 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para a laje, o Deslocamento devido carga acidental = 
(2/3)*1,43 = 0,95cm 
 
Tabela Resumo – flechas limites 
Laje 
Flechas limites (em cm) 
Comb quase permanente Carga acidental 
L1 1,60 1,14 
L2 1,07 0,76 
L3 1,33 0,95 
 
4.2) Cálculo da flecha elástica 
 
𝑓 = 
 
 
4.2.1) Módulo de deformação longitudinal a compressão 
 
𝐸 = 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 
 
𝐸 = 5600 𝑓 
𝐸 = 5600√20 
𝐸 = 25043 𝑀𝑃𝑎 
 
𝐸 = 0,85𝐸 
𝐸 = 0,85 ∗ 25043 
𝐸 = 21287 𝑀𝑃𝑎 
𝐸 = 21287000 𝑘𝑁/𝑚2 
 
 
4.2.2) Flecha para laje L1 
 
𝑓 = 
 
 
Para λ= 1 e caso 4, ou seja, α= 2,42 (slide 22) 
 
4.2.2.1) Flecha para carga obtida com a comb quase permanente 
 
𝑓 = 𝑓 = 
5,36 ∗ (6)
21287000 ∗ 0,16
2,42
100
= 0,0019 𝑚 = 0,19 𝑐𝑚 
 
4.2.2.2) Flecha apenas para carga acidental 
 
𝑓 = 
∗ ( )
∗ ,
,
= 0,0007𝑚 = 0,07 𝑐𝑚 
 
4.2.2.3) Flecha considerando a fluência do concreto 
 
𝛼 = 
∆
∗
 
 
∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡 ) 
14 dias – início da retirada do escoramento 
𝑡 =
14
30
= 0,47 
 
ξ (t) =0,68 *0,996 ∗ 𝑡 , para t < 70meses 
 
𝜉(𝑡 ) = 0,68 ∗ 0,996 , ∗ 0,47 , = 0,53 
𝜉(∞) = 2 
 
∆𝜉 = 2 − 0,53 = 1,47 
 
𝜌 = 0 - não há armadura comprimida 
𝛼 = 
∆𝜉
1 + 50 ∗ 𝜌
 
𝛼 = 
1,47
1 + 50 ∗ 0
 
𝛼 = 1,47 
 
𝑓 , = 𝑓 ∗ (1 + 𝛼 ) 
 
4.2.2.3.1) Flecha considerando a fluência do concreto – utilizando as cargas quase 
permanente 
𝑓 , = 0,19 ∗ (1 + 1,47) = 0,47 𝑐𝑚 
 
4.2.3) Flecha para laje L2 
 
Para λ=1,5 e caso 4 – α= 4,38 (slide 22) 
 
4.2.3.1) Flecha para carga obtida com a comb quase permanente 
𝑓 = 𝑓 = 
5,36 ∗ (4)
21287000 ∗ 0,16
4,38
100
= 0,0007 𝑚 = 0,07 𝑐𝑚 
 
 
4.2.3.2) Flecha apenas para carga acidental 
𝑓 = 
∗ ( )
∗ ,
,
= 0,0002𝑚 = 0,02 𝑐𝑚 
 
 
4.2.3.3) Flecha considerando a fluência do concreto 
Como as condições para L2 são as mesmas já calculas para L1, portanto: 
 
𝛼 = 1,47 
 
 
4.2.3.3.1) Flecha considerando a fluência do concreto – utilizando as cargas quase 
permanente 
 
𝑓 , = 0,07 ∗ (1 + 1,47) = 0,17 𝑐𝑚 
 
 
 
 
4.2.4) Flecha para laje L3 
 
Para λ=2 e caso 3 temos α= 5,66 (slide 22) 
 
 
4.2.4.1) Flecha para carga obtida com a comb quase permanente 
𝑓 = 𝑓 = 
5,36 ∗ (5)
21287000 ∗ 0,16
5,66
100
= 0,0022 𝑚 = 0,22 𝑐𝑚 
 
 
4.2.4.2) Flecha apenas para carga acidental 
 
𝑓 = 
∗ ( )
∗ ,
,
= 0,0008𝑚 = 0,08 𝑐𝑚 
 
 
4.2.4.3) Flecha considerando a fluência do concreto 
 
Como as condições para L3 são as mesmas já calculas para L1 e L2, portanto temos: 
 
𝛼 = 1,47 
 
4.2.4.3.1) Flecha considerando a fluência do concreto – utilizando as cargas quase 
permanente 
 
𝑓 , = 0,22 ∗ (1 + 1,47) = 0,54 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela resumo 
Laje 
Flechas limites (em cm) Flecha (em cm) 
Comb quase 
permanente Carga acidental 
devido carga 
quase permanente 
devido carga 
acidental total, 
∞ 
L1 1,6 1,14 0,19 0,07 0,47 
L2 1,07 0,76 0,07 0,02 0,17 
L3 1,33 0,95 0,22 0,08 0,54 
 
Todas as flechas calculadas são menores que as flechas limite, o que abre espaço para 
redução da espessura das lajes. 
Para isto vamos considerar a maior flecha (Laje L3- f = 0,54cm) e para esta laje, a flecha 
limite máxima é 1,33cm (0,0133m) – faz-se o calculo inverso (tendo a flecha, acha-se a 
espessura da laje) 
 
𝑓 = 𝑓 ∗ (1 + 𝛼 ) 
0,0133 = 𝑓 ∗ (1 + 1,47) 
𝑓 = 0,0054 𝑚 
𝑓 = 
 
0,0054 = 
, ∗
∗
, 
11462230 ∗ ℎ = 18961 
ℎ = 0,118𝑚 = 11,8 𝑐𝑚 
 
Adotando h = 12 cm para todas as lajes 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
ainda considerando 𝜙 = 10𝑚𝑚 
12 = 𝑑 + 2,5 + 1 + 
𝑑 = 8𝑐𝑚 para armadura positiva 
 
Para armadura negativa podemos considerar d um valor um pouco maior na região central 
do apoio e, portanto, adotaremos d=9 cm para armadura negativa. 
 
5) Carregamento total 
 
Conforme item 3.4 vamos calcular a carga totalcom a nova espessura 
 
Nova espessura adotada: 12 cm 
 
Carga de peso próprio (g1) = 0,12 * 25 = 4 kN/m2 
Carga do contrapiso (g2) = 0,02 * 18 = 0,36 kN/m2 
Carga do piso (g3) = 0,2 kN/m2 
Carga acidental (q) = 2 kN/m2 
 
Carga total = 5,56 kN/m2 
 
6) Determinação dos momentos 
Os momentos máximos positivo e negativo nas lajes por unidade de comprimento (faixa 
unitária) são calculados por: 
 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
 
 
Utilizaremos o d da camada de armadura superior – d = 8 cm 
 
6.1) Dados do concreto 
 
fck = 20 MPa = 2,20 kN/cm2 = 20000 kN/m2 
𝑓𝑐𝑑 = = 20000 / 1,4 = 14285,71 kN/m2 
 
6.2) Dados do aço - Aço CA50 ( 500MPa = 50 kN/cm2) 
 
 
𝑓𝑦𝑑 = = 50 /1,15 = 43,48 kN/cm2 
 
E aço = 210 GPa = 210.000 MPa = 21.000 kN/cm2 
𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜀 
𝑓𝑦𝑑 = 𝐸 ∗ 𝜀𝑦𝑑 
43,48 = 21000 ∗ 𝜀𝑦𝑑 
𝜀𝑦𝑑 = 0,00207= 2,07‰ 
 
6.3) Laje L1; λ= 1; caso 4; lx = 6m 
 
do slide 29 temos: 
𝜇 = 2,81 
𝜇′ = 6,99 
𝜇 = 2,81 
𝜇′ = 6,99 
 
𝑚 = 2,81 ∗
, ∗ 
 
𝑚 = 2,81 ∗
, ∗ =5,62kNm/m = 𝑚 
 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
𝑥 = 6,99 ∗
5,56 ∗ 36
100
= 14
𝑘𝑁𝑚
𝑚
= 𝑥 
 
6.4) Laje L2; λ= 1,5; caso 4; lx = 4m 
 
do slide 29 temos: 
𝜇 = 4,81 
𝜇′ = 10,62 
𝜇 = 2,47 
𝜇′ = 8,06 
 
𝑚 = 4,81 ∗
, ∗
= 4,28 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑚 = 2,47 ∗
, ∗ =2,20kNm/m 
 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
𝑥 = 10,62 ∗
5,56 ∗ 16
100
= 9,45
𝑘𝑁𝑚
𝑚
 
 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
𝑥 = 8,06 ∗
, ∗
= 7,17 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
 
6.5) Laje L3; λ= 2; caso 3; lx=5m 
 
do slide 29 temos: 
𝜇 = 6,51 
𝜇′ = 12,34 
𝜇 = 1,48 
𝜇′ = não aplicável 
 
𝑚 = 6,51 ∗
, ∗
= 9,05 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑚 = 1,47 ∗
, ∗ =2,06kNm/m 
𝑥 = 12,34 ∗
5,56 ∗ 25
100
= 17,15
𝑘𝑁𝑚
𝑚
 
 
 
Tabela resumo 01 - momentos máximos 
Laje 
Momentos máximos positivos 
(kNm/m) 
Momentos máximos negativos 
(kNm/m) 
mx my xx xy 
L1 5,62 5,62 14 14 
L2 4,28 2,2 9,45 7,17 
L3 9,05 2,06 17,15 - 
 
6.6) Determinação da altura mínima (dmin) 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2 ∗
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∗ 𝑓𝑐𝑑
 
6.6.1) Para armadura positiva utilizaremos o máximo momento positivo atuante no 
pavimento, ou seja, mx = 9,05 kNm/m na laje L3 
bw = 1 m (faixa unitária) 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2 ∗
1,4*9,05
1 ∗ 14285,71
 = 0,060 m = 6 cm 
Estamos adotando d = 8 cm para armaduras positivas, d > dmin – Armadura simples 
 
6.6.2) Para armadura negativa utilizaremos o máximo momento negativo atuante no 
pavimento, ou seja, xx= 17,15 kNm/m na laje L3. 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2 ∗
1,4*17,15
1 ∗ 14285,71
 = 0,082 m = 8,2 cm 
Estamos adotando d = 9 cm para armaduras negativas, d > dmin – Armadura simples 
 
 
7) Cálculo das armaduras longitudinais 
Há 2 alturas uteis nas lajes, uma para cada direção e , nos cálculos recomenda-se que a altura útil 
seja a distância entre a borda comprimida superior e o centro das barras da camada superior da 
armadura positiva. Altura útil menor da laje resulta em área de aço maior. 
 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
7.1) Laje L1; λ= 1; caso 4; lx = 6m 
7.1.1) Armadura positiva – mx = 5,62 kNm/m e my = 5,62 kNm/m 
d= 8 cm = 0,08m 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐾𝑀𝐷 = 
1,4*5,62
1 ∗ 0,08 ∗ 14285,71
= 0,086 (adotar 0,085 - valor + próximo) 
KZ= 0,9472(slide 34) 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd = 2,07‰ – fs’ = fyd 
 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
1,4*5,62
(0,9472) ∗ 0,08 ∗ 43,48
= 2,388 cm2/m 
 
 
7.1.2) Armadura negativa – xx = 14 kNm/m e xy = 14 kNm/m 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
 
 
𝐾𝑀𝐷 = 
1,4*14
1 ∗ 0,08 ∗ 14285,71
= 0,214 
KZ= 0,8515 (slide 34) 
s (‰) = 5,9255‰ 
Como s (‰) = 5,9255‰ > yd = 2,07‰ – fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
1,4*14
(0,8515) ∗ 0,08 ∗ 43,48
= 6,617 cm2/m 
 
7.2) Laje L2; λ= 1,5; caso 4; lx = 4m 
7.2.1) Armadura positiva – mx = 4,28 kNm/m 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐾𝑀𝐷 = 
1,4*4,28
1 ∗ 0,08 ∗ 14285,71
= 0,066 
 
KZ= 0,9602 (slide 34) 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd = 2,07‰ – fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
1,4*4,28
(0,9602) ∗ 0,08 ∗ 43,48
= 1,794cm2/m 
 
7.2.2) Armadura positiva – my = 2,20 kNm/m 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐾𝑀𝐷 = 
1,4*2,2
1 ∗ 0,08 ∗ 43,48
= 0,035 (adotar 0,040) 
KZ= 0,9759 (slide 34) 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd = 2,07‰ – fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
1,4*2,2
(0,9759) ∗ 0,08 ∗ 4348
= 0,907 cm2/m 
7.2.3) Armadura negativa – xx = 9,45 kNm/m 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐾𝑀𝐷 = 
1,4*9,45
1 ∗ 0,08 ∗ 14285,71
= 0,145 
KZ= 0,9058 (slide 34) 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd = 2,07‰ – fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
1,4*9,45
(0,9058) ∗ 0,08 ∗ 43,48
= 4,20 cm2/m 
7.2.4) Armadura negativa – xy = 7,17 kNm/m 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐾𝑀𝐷 = 
1,4*7,17
1 ∗ 0,08 ∗ 14285,71
= 0,11 
 
KZ= 0,9305 (slide 34) 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd = 2,07‰ – fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
1,4*7,17
(0,9305) ∗ 0,08 ∗ 43,48
= 3,10 cm2/m 
 
 
7.3) Laje L3; λ= 2; caso 3; lx = 5m 
7.3.1) Armadura positiva – mx= 9,05 kNm/m 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
= 0,139 (adotar 0,140) 
KZ= 0,9094 (slide 34) 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd = 2,07‰ – fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
1,4*9,05
(0,9094) ∗ 0,08 ∗ 43,48
= 4 cm2/m 
 
 
7.3.2) Armadura positiva – my = 2,06 kNm/m 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
= 0,031 
KZ= 0,9820 (slide 34) 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd = 2,07‰ – fs’ = fyd 
 
𝐴 = 
( )∗ ∗
= 0,844 cm2/m 
 
 
7.3.3) Armadura negativa – xx = 17,15 kNm/m 
𝐾𝑀𝐷 = 
∗ ∗
 = 0,263 (adotar 0,265) 
KZ= 0,08068 (slide 34) 
s (‰) = 3,7459‰ 
Como s (‰) = 3,7459‰ > yd = 2,07‰ – fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
 
𝐴 = 
1,4*17,15
(0,8068) ∗ 0,08 ∗ 43,48
= 8,56 cm2/m 
 
 
 
 
Tabela Resumo 02 
Laje 
Momentos máximos positivos Momentos máximos negativos 
mx (kNm/m) 
As 
(cm2/m) my (kNm/m) 
As 
(cm2/m) xx (kNm/m) 
As 
(cm2/m) xy (kNm/m) 
As 
(cm2/m) 
L1 5,62 2,388 5,62 2,388 14 6,617 14 6,617 
L2 4,28 1,794 2,2 0,907 9,45 4,2 7,17 3,10 
L3 9,05 4 2,06 0,844 17,15 8,56 - - 
 
 
 
8) Detalhamento das armaduras 
8.1) Diâmetro máximo das barras 
Ø max < h/8 
Ø max < h12/8 = 1,5 cm = 15 mm 
8.2) Diâmetros adotados 
Adotaremos Ø 6,3mm e Ø 10 mm 
8.3) Armadura mínima 
Para fck = 20 MPa e um estrutura retangular de bw = 1 m temos ρmin = 0,15% (slide 37) 
𝜌 = 
𝐴 ,
𝐴
 
𝐴 , = 𝜌 ∗ 𝐴 
𝐴 , = (0,15/100) ∗ bw * h 
𝐴 , = (0,15/100) ∗ 100 * 12 
𝐴 , = 1,8 cm2/m 
 
8.4) Espaçamento para armadura mínima 
 
Para Ø = 6,3 mm 𝐴 ,Ø = 0,315cm2 
𝑠 =
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴
= 0,315/1,8 = 0,18m = 18 cm 
Para Ø = 10 mm 𝐴 ,Ø = 0,8cm2 
𝑠 = = ,Ø =0,8/1,8=0,44 m = 44 cm 
 
8.5) Espaçamento máximo adotado 
s< 20 cm ou 2*h 
No nosso exemplo: s < 20 cm ou 2*12 = 24 cm (deve respeitar o menor valor) 
s max = 20 cm 
8.6) Espaçamento das barras 
8.6.1) Laje L1; λ= 1; caso 4; lx = 6m 
8.6.1.1) Armadura positiva – mx=5,62 kNm/m e my=5,62kNm/m – As = 2,388 cm2/m 
Adotando Ø 6,3 mm 
𝑠 =
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴 ,
=
0,315
2,388
= 0,132 m = 13,2 cm 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
8.6.1.2) Armadura negativa – xx = 14 kNm/m e xy=14kNm/m – As = 6,617 cm2/m 
Adotando Ø 10mm 
𝑠 =
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴 ,
=
0,80
6,617
= 0,12m = 12cm 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
 
8.6.2) Laje L2; λ= 1,5; caso 4; lx = 4m 
8.6.2.1) Armadura positiva – mx=4,28 kNm/m – As =1,794 cm2/m 
Adotando Ø 6,3mm 
𝑠 =
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴 ,
= 0,315/1,794 = 0,175m = 17,5cm 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
 
8.6.2.2) Armadura positiva – my = 2,20 kNm/m – As = 0,907 cm2/m 
Adotando Ø 6,3 mm 
𝑠 =
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴 ,
= 0,315/0,907 = 0,347m = 34,7cm 
Espaçamento calculado acima do o máximo indicado de 20 cm, portanto adotaremos espaçamento 
máximo de 20 cm. 
 
8.6.2.3) Armadura negativa – xx = 9,45 kNm/m - As = 4,20 cm2/m 
Adotando Ø 10 mm 
𝑠 =
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴 ,
= 0,8/4,2 = 0,19m = 19cm 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
 
8.6.2.4) Armadura negativa – xy = 7,17 kNm/m -As=3,10 cm2/m 
Adotando Ø 10 mm 
𝑠 =
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴 ,
= 0,8/3,1 = 0,25𝑚 = 25 𝑐𝑚 
Espaçamento calculado acima do o máximo indicado de 20 cm, portanto adotaremos espaçamento 
máximo de 20 cm. 
 
8.6.3) Laje L3; λ= 2; caso 3; lx = 5m 
8.6.3.1) Armadura positiva – mx= 9,05 kNm/m – As = 4 cm2/m 
Adotando Ø 6,3mm 
𝑠 = = ,Ø
,
=0,315/4 = 0,07 m = 7 cm – espaçamento muito pequeno 
 Adotando Ø 10mm 
𝑠 = = ,Ø
,
=0,8/4 = 0,2 m = 20 cm 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
8.6.3.2) Armadura positiva – my = 2,06 kNm/m – As=0,844 cm2/m 
Adotando Ø 6,3mm 
𝑠 =
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴 ,
= 0,315/0,844 = 0,377m = 37,7cm 
Espaçamento calculado acima do o máximo indicado de 20 cm, portanto adotaremos espaçamento 
máximo de 20 cm. 
8.6.3.3) Armadura negativa – xx = 17,15 kNm/m – As = 8,56 cm2/m 
Adotando Ø 10mm 
𝑠 = = ,Ø
,
= 0,8/8,56 = 0,09 m = 9 cm - adotou 10 cm 
 
Efeito de verificação do espaçamento 
Adotando Ø 12,5mm 
𝑠 = = ,Ø
,
= 1,25/8,56 = 0,149 m = 15 cm 
Tabela resumo 03 
Laje L1 L2 L3 
Momento mx my xx xy mx my xx xy mx my xx xy 
kNm/m 5,62 5,62 14,00 14,00 4,28 2,20 9,45 7,17 9,05 2,06 17,15 - 
As (cm2/m) 2,388 2,388 6,617 6,617 1,794 0,907 4,2 3,1 4 0,844 8,56 - 
Ø adotado (mm) Ø 6,3 Ø 6,3 Ø 10 Ø 10 Ø 6,3 Ø 6,3 Ø 10 Ø 10 Ø 10 Ø 6,3 Ø 10 - 
s calculado (cm) 13,2 13,2 12 12 17,5 20 19 20 20 20 9 - 
s adotado (cm) 12 12 12 12 17,5 17,5 20 20 20 20 10 - 
 
 
 
 
8.6.4) Verificação da armadura máxima 
Armadura máxima 
As + As’ < 4% Ac 
 
Ac = bw * h = 100 * 12 = 1200 cm2 
4% Ac = 48 cm2 / m 
Pegamos o maior diâmetro com o menor espaçamento – no exemplo, laje L3 (Ø 10mm a cada 10 
cm) 
Nesta situação temos 10 barras de Ø 10 mm em 1 metro de laje que totaliza 8 cm2/m – bastante 
abaixo do máximo indicado. 
 
 
8.7) Comprimento e espaçamento das barras 
8.7.1) Armaduras positivas 
AS barras das lajes devem penetrar nos apoios (vigas)= 6 cm ou 10Ø 
8.7.1.1) Armadura positiva L1 (lx = ly = 6m) 
As barras devem penetrar nos apoios 6 cm ou 10Ø (10*0,63 = 6,3 cm) – adotar 7 cm 
Comprimento total da barra = comprimento eixo a eixo dos apoios -2* metade da largura das vigas + 
2* parcela que deve penetrar nos apoios 
Comprimento total = 600 – 2*12/2+2*7 = 602 cm (N1) 
Espaçamento adotado em ambas as direções na L1 = 12 cm 
Quantidade de barras = 600 / 12 = 50 barras 
 
 
50N1 Ø 6,3 c 12 (602) 
 5
0N
1 
Ø
 6
,3
 c
12
 (6
02
) 
8.7.1.2) Armadura positiva L2 (lx= 4m e ly = 6m) 
As barras devem penetrar nos apoios 6 cm ou 10Ø (10*0,63 = 6,3 cm) – adotar 7 cm 
Comprimento total da barra = comprimento eixo a eixo dos apoios -2* metade da largura das vigas + 
2* parcela que deve penetrar nos apoios 
Comprimento total em lx = 400 – 2*12/2+2*7 = 402 cm (N2) 
Comprimento total em ly = 600 – 2*12/2+2*7 = 602 cm (N1) – é o mesmo formato, comprimento e 
Ø da armadura da laje L1 
Espaçamento adotado em ambas as direções na L2 = 17,5 cm 
 
Quantidade de barras perpendicular a lx = 400/17,5=22,85 = 23 barras 
Quantidade de barras perpendicular a ly = 600 / 17,5 = 34,28 = 35 barras 
 
 
 
 
8.7.1.3) Armadura positiva L3 (lx=5 m e ly = 10m) 
Aqui temos 2 diâmetros para a armadura positiva 
Na direção lx, temos Ø 10mm – as barras devem penetrar nos apoios 6 cm ou 10Ø (10*1 = 10 cm) – 
adotar 10 cm 
Na direção lx, temos Ø 6,3mm – as barras devem penetrar nos apoios 6 cm ou 10Ø (10*0,63 = 6,3 
cm) – adotar 7 cm 
 
23N1 Ø 6,3 c 17,5 (602) 
35
N
2 
Ø
 6
,3
 c
17
,5
 (4
02
) 
Comprimento total da barra = comprimento eixo a eixo dos apoios -2* metade da largura das vigas + 
2* parcela que deve penetrar nos apoios 
Comprimento total em lx = 500 – 2*12/2+2*10 = 508 cm (N3) 
Comprimento total em ly = 1000 – 2*12/2+2*7 = 1002 cm (N4) 
Espaçamento adotado em ambas as direções na L3 = 20 cm 
 
Quantidade de barras perpendicular a lx = 500/20=25 barras 
Quantidade de barras perpendicular a ly = 1000 / 20 = 50 barras 
 
 
 
8.7.2) Armaduras negativas 
 Todas as barras da armadura negativa são Ø 10 mm 
 Nas lajes adjacentes será considerado a armadura referente ao maior momento 
 Em todas as situações de vinculação, a armadura se estenderá no interior da laje a 
uma distância de 0,25 lx + comprimento de ancoragem reto (lb) 
 Em todas as extremidades da armadura negativa deve ser adicionado ganchos retos 
na vertical (que serão a altura da laje menos o cobrimento em cada face) 
50Ø N3 Ø10 c20 (508) 
25
N
4 
Ø
 6
,3
 c
20
(1
00
2)
 
 Comprimento final em cada laje: 
L = 0,25* lx + lb + lg 
 
 
8.7.2.1) Comprimento de ancoragem (lb) Slide 39 
 Barra nervurada CA50 - ƞ1 = 2,25 
 Zona de boa aderência: ƞ2 = 1,0 
 Ø 10mm – ƞ3 = 1,0 
𝑓 =
,
𝑓
/ 
𝑓 =
,
,
20 / = 1,105 
 
𝑓 = 𝜂1 ∗ 𝜂2 ∗ 𝜂3 ∗ 𝑓 
𝑓 = 2,25 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1,105 = 2,486 
 
𝑙 =
𝜙
4
𝑓
𝑓
 
𝑙 =
1
4
500/1,15
2,486
= 43,72 cm = 44 cm 
 
8.7.2.2) Comprimento do gancho (lg) 
 
lg = altura da laje – cobrimento de ambos os lados 
lg = 12 – 2*2,5 = 7 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.7.2.3) Armaduras negativas das lajes L1 e L2 
L1y – Ø 10mm c/ 12 cm 
L2x – Ø 10 mm c/20 cm 
Adota-se Ø 10mm c/12 cm (maior momento e, por consequência, maior taxa de aço por metro) 
 
Comprimento na L1 = 0,25 * 600 + 44+7 = 201 cm 
Comprimento na L2 = 0,25 * 400 + 44+7 = 151 cm 
Comprimento total = 352 cm (N5) 
Quantidade = 600 / 12 = 50 barras 
50 N5 Ø 10 c/12 (352) 
Em L1 = 0,25*600 +44 = 194 cm 
Em L2 = 0,25*400 +44 = 144 
 
 
 
19
4 
14
4 
8.7.2.4) Armaduras negativas das lajes L1 e L3 
L1x – Ø 10mm c/ 12 cm 
L3x – Ø 10 mm c/10 cm 
Adota-se Ø 10mm c/10 cm (maior momento e, por consequência, maior taxa de aço por metro) 
 
Comprimento na L1 = 0,25 * 600 + 44+7 = 201 cm 
Comprimento na L3 = 0,25 * 500 + 44+7 = 176 cm 
Comprimento total = 377 cm (N6) 
Quantidade = 600 / 10 = 60 barras 
60 N6 Ø 10 c/10 (377) 
Em L1 = 0,25*600 +44 = 194 cm 
Em L3 = 0,25*500 +44 = 169 cm 
 
 
 
 
8.7.2.5) Armaduras negativas das lajes L2 e L3 
L2y – Ø 10mm c/ 20 cm 
L3x – Ø 10 mm c/10 cm 
Adota-se Ø 10mm c/10 cm (maior momento e, por consequência, maior taxa de aço por metro) 
 
Comprimento na L2 = 0,25 * 400 + 44+7 = 151 cm 
Comprimento na L3 = 0,25 * 500 + 44+7 = 176 cm 
Comprimento total = 327 cm (N7) 
194 169 
7 7 
Quantidade = 400 / 10 = 40 barras 
40 N7 Ø 10 c/10 (327) 
Em L2 = 0,25*400 +44 = 144 cm 
Em L3 = 0,25*500 +44 = 169 cm 
 
 
A borda entre L2 e L3 é uma continuação da borda entre L1 e L3, portanto é interessante 
harmonizar estas armaduras: 
Entre L1 e L3 temos 60 N6Ø10 c /10 (377) 
Entre L2 e L3 temos 40 N7Ø10 c /10 (327) 
 
Adotaremos 100 N6Ø 10 c/10 (377) 
8.7.2.6) Armaduras negativas das lajes com as vigas externas 
Do item 8.3 temos 
𝐴 , = 1,8 𝑐𝑚2/𝑚 
 
Espaçamento = 2 * h = 2*12 = 24 cm 
 
Ø 6,3 mm = 0,315 cm2 
 
Adotando espaçamento de 20 cm 
100 cm / 20 = 5 barras em 1 metro 
5*0,315 = 1,57 cm2/m – inferior ao mínimo 
 
Adotando espaçamento de 15 cm 
100 cm / 15 = 6 barras em 1 metro 
194 169 
7 7 
7 
7 
144 169 
6*0,315 = 1,89 cm2/m – atende ao mínimo 
 
Para a interface L1 com V1 e V4 
Trecho horizontal = 0,2 * lx = 0,2 * 600 = 120 cm 
Trecho vertical = 25 * Ø = 25*0,63 = 15,75 = 16 cm 
 
Para a interface L2 com V3 e V4 
Trecho horizontal = 0,2 * lx = 0,2 * 400 = 80 cm 
Trecho vertical = 25 * Ø = 25*0,63 = 15,75 = 16 cm 
 
Para a interface L3 com V1 , V3 e V6 
Trecho horizontal = 0,2 * lx = 0,2 * 500 = 100 cm 
Trecho vertical = 25 * Ø = 25*0,63 = 15,75 = 16 cm 
 
 
Para armadura negativa de borda com V1 e V4 
 
74N7Ø6,3 c15 (136) uma parte em V1 
67 N7Ø 6,3 c15 (136) e outra parte em V4 
 
 
 
Para armadura negativa de borda com V3 
 
78N8Ø 6,3 c15 (116) 
 
 
 
 
Para armadura negativa de borda com V6 
67 N8Ø 6,3c/15 (116) 
 
 
 
 
 
 
Desta forma temos: 
 
 
 
120
16 
100 
16 
100
16 
 
 
 
 
 
8.7.3) Armadurade distribuição 
20% *As principal 
0,9cm2/m 
Para Ø 10mm – 20% *0,8 = 0,16 cm2/m 
Para Ø 6,3 mm – 20%*0,315 = 0,063 cm2/m 
Adotar 0,9 cm2/m 
Adotar Ø 5 mm (As = 0,2 cm2) 
 
Para atender 0,9cm2/m e espaçamento máximo de 33 cm, podemos adotar Ø 5mm a cada 20 cm (1 
cm2/m). 
 
23N1 Ø 6,3 c 17,5 (602) 
35
 N
2 
Ø
 6
,3
 c
 1
7,
5 
(4
02
) 
25
 N
4 
Ø
 6
,3
 c
 2
0 
(1
00
2)
 
50
 N
1 
Ø
 6
,3
 c
 1
2 
(6
02
) 
50 N1 Ø 6,3 c 12 (602) 
50 N3 Ø 10 c 20 (508) 
100 N6 Ø 10 c 20 (377) 
50
N
5 
Ø
10
 c
12
 (3
52
) 67 N8 Ø 6,3 c 15 (116) 
74
N
8 
Ø
 6
,3
 c
 1
5 
(1
16
) 
74
 N
7Ø
6,
3 
c 
15
 (1
36
) 
67N7 Ø 6,3 c 15 (136)