metodo Aplicações da Programação Linear

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DESCRIÇÃO
Modelagem de problemas clássicos de programação linear: fabricação versus compra,
problemas de mistura, planejamento, produção e estoques, transporte, transbordo e alocação.
PROPÓSITO
Discutir os problemas clássicos de programação linear a fim de entender a técnica de
modelagem e a importância desse campo do conhecimento, essencial para a sua formação e
atuação no processo de decisão de problemas complexos.
PREPARAÇÃO
Tenha em mãos uma calculadora ou um software editor de planilhas eletrônicas para que
possa realizar as operações matemáticas necessárias.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a técnica de modelagem em problemas clássicos de programação linear
MÓDULO 2
Aplicar a técnica de modelagem nos problemas de transporte e transbordo
MÓDULO 3
Aplicar a técnica de modelagem em problemas de alocação
INTRODUÇÃO
Os modelos são simplificações do objeto ou problema de decisão que representam. Você pode
estar se perguntando: como a modelagem matemática pode auxiliar o processo de tomada de
decisão, em especial em problemas complexos? A modelagem matemática possibilita
examinar diferentes cenários, em geral, de forma mais rápida e barata do que analisar a
situação na realidade.
O foco deste conteúdo é a programação linear, uma das técnicas mais difundidas na
Pesquisa Operacional (PO). Aqui, reforçaremos os conceitos sobre a construção de modelos
de programação linear na modelagem de problemas clássicos de programação linear,
abordando suas diferentes aplicações. Com isso, passaremos a dominar a técnica de
modelagem e entenderemos melhor a importância desse campo do conhecimento, em
especial, a sua aplicação no planejamento de redes logísticas, por meio do problema de
transporte e transbordo, e de alocação, problemas clássicos de programação linear que
merecem ser destacados!
APRESENTAÇÃO DO TEMA
No vídeo a seguir, o especialista apresenta o tema programação linear como ferramenta de
gestão (Crédito Digital), reforçando a importância da modelagem e apresentando alguns
problemas clássicos que podem ser solucionados pela programação linear.
MÓDULO 1
 Aplicar a técnica de modelagem em problemas clássicos de programação linear
MODELAGEM DE PROBLEMAS DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR
O processo de modelagem consiste em transformar a linguagem do problema em linguagem
matemática. Para isso, devemos começar definindo as variáveis de decisão e, posteriormente,
a função objetivo e as restrições, conforme os passos ilustrados abaixo:
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO

IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO

IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES
 ATENÇÃO
O passo mais importante no desenvolvimento de modelos de programação linear consiste na
definição correta das variáveis de decisão. Um equívoco na seleção das variáveis de decisão
implica erros na identificação da função objetivo e do conjunto de restrições.
Existem classes de modelos de programação linear que são adaptáveis a uma série de
situações práticas, sendo considerados como “problemas típicos.” Esses modelos seguem
padrões semelhantes, de modo que podemos considerar que formam diferentes “classes” de
problemas. Assim, se soubermos modelar um destes problemas típicos, provavelmente
conseguiremos modelar os demais problemas da mesma classe. Por isso, é tão importante
conhecer esses padrões e entender a lógica por trás da construção destes modelos
matemáticos (RODRIGUES et al., 2014).
Neste módulo, serão abordados alguns dos principais modelos de programação linear
considerados “típicos.” Devemos entender como funciona o padrão de modelagem para cada
problema típico para que, então, possamos aplicar essa mesma lógica a outros problemas da
mesma classe, ou seja, que seguem o mesmo padrão.
 DICA
Estude e faça a maior quantidade de exercícios possível. Apenas com a prática você
internalizará a lógica e desenvolverá seus modelos com maior facilidade.
Trataremos, a seguir, dos problemas da mistura, do planejamento de produção e de estoques,
e fazer versus comprar. Estes são problemas clássicos que podem ser aplicados em diferentes
setores produtivos.
PROBLEMA DA MISTURA
Muitos modelos de programação linear representam situações em que o tomador de decisão
deseja minimizar o custo para atender a determinadas condições (restrições). O problema da
mistura, também conhecido como o problema da dieta, é um dos modelos clássicos que se
encaixa neste tipo de padrão.
Veja mais informações sobre o problema da dieta:
O PROBLEMA DA DIETA
O problema da dieta foi proposto pela primeira vez por Stiger (1945), tendo sido um dos
primeiros problemas de otimização linear a ser implementado na prática com sucesso. Neste
tipo de problema, o tomador de decisão deseja determinar níveis de utilização de matérias-
primas na composição de uma ração alimentar, que deve respeitar certas características
nutricionais, estando limitado à disponibilidade de matérias-primas e insumos, bem como ao
atendimento da demanda. É importante destacar que este tipo de problema não se limita à
dieta humana, sendo aplicado também à elaboração de rações para gado, peixe, aves etc.
Entretanto, de forma mais ampla, o problema da mistura não se restringe apenas à composição
de rações alimentares. O problema da mistura pode ser aplicado à produção de ligas
metálicas, à especificação de combustíveis, à fabricação de remédios ou de produtos químicos
em geral, à produção de adubos ou de papel. Em suma, o problema da mistura representa uma
classe de modelos clássicos, que podem ser aplicados a diferentes setores. Neste tipo de
problema, diferentes insumos devem ser misturados em uma proporção ideal para fabricar
produtos para a comercialização.
TEORIA NA PRÁTICA
EXEMPLO - PROBLEMA DA DIETA
Uma mãe está muito preocupada com a alimentação de seus filhos. Ela deseja que as crianças
tenham uma alimentação equilibrada e, assim, consultou uma nutricionista que lhe recomendou
que eles comam, no mínimo, 10mg de vitamina A, 70mg de vitamina C e 250mg de vitamina D
por dia.
Porém, além de se preocupar com a qualidade da alimentação, essa mãe também está
preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos seus filhos essa dieta equilibrada, porém
ao menor custo possível. Por isso, ela fez uma pesquisa e descobriu as informações
nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado na tabela a seguir:
Vitamina Leite (l) Carne (kg) Peixe (kg)
Salada
(100g)
A 2 2 10 20
C 50 20 10 30
D 80 70 10 80
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Tabela de informações nutricionais em mg 
Fonte: Adaptado de Goldbarg e Luna (2005)
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa R$2,00, um quilo de
carne custa R$20,00, um quilo de peixe custa R$25,00 e para preparar 100g de salada ela
gastaria R$3,00.
Vamos usar nossos conhecimentos de programação linear para ajudar essa mãe a escolher a
melhor dieta para seus filhos com o menor custo possível!
RESOLUÇÃO
DEFINIR VARIÁVEIS DE DECISÃO
O primeiro passo para a modelagem deste exemplo de um clássico problema da dieta é a
definição das variáveis de decisão. A variável de decisão deve ser xi, sendo x a quantidade
de alimento do tipo “i” a ser consumida por dia. Logo, temos:
x1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças;
x2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças;
x3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças;
x4 = 100g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças.
IDENTIFICAR A FUNÇÃO OBJETIVO
Em seguida, devemos identificar a função objetivo. Sabemos que a mãe deseja gastar o
menor valor possível, de modo que este deve ser um problema de minimização! A mãe já
fez a pesquisa de preços, então só nos falta montar a função objetivo:
MIN Z= 2X1+20X2+25X3+3X4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
IDENTIFICAR O CONJUNTO DE INEQUAÇÕES
Porém, não se esqueça de que a mãe também está preocupada com a qualidadenutricional
da alimentação de seus filhos e que a nutricionista indicou que as crianças devem comer, no
mínimo, 10mg de vitamina A, 70mg de vitamina C e 250mg de vitamina D por dia. As
informações nutricionais em mg de vitamina A, C e D dos alimentos leite, carne, peixe e
salada são apresentadas na tabela de informações nutricionais, já apresentada. Assim,
podemos identificar o conjunto de inequações que representam estas restrições. São elas:
2x1+2x2+10x3+20x4≥10→Vitamina A
50x1+20x2+10x3+30x4≥70→Vitamina C
80x1+70x2+10x3+80x4≥250 →Vitamina D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não podemos nos esquecer das restrições de não negatividade para as variáveis de decisão.
Logo, temos que:
x1,x2,x3,x4≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MODELO
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema da dieta é:
Min Z= 2x1+20x2+25x3+3x4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
2x1+2x2+10x3+20x4≥10
50x1+20x2+10x3+30x4≥70
80x1+70x2+10x3+80x4≥250
 x1,x2,x3,x4≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROBLEMA DO PLANEJAMENTO DE
PRODUÇÃO E DE ESTOQUES
Neste tipo de problema, deseja-se determinar níveis para atividades de produção,
considerando que a capacidade de produção de cada atividade sofra restrições de caráter
tecnológico e prático.
O problema do planejamento de produção pode ser estático ou dinâmico.
PROBLEMA ESTÁTICO
No problema estático, considera-se a produção em determinado horizonte de programação
finito, de modo que as formulações contemplam apenas um período, conforme verificaremos
no exemplo a seguir:
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA DO PLANEJAMENTO DE PRODUÇÃO
ESTÁTICO
Uma fábrica de bicicletas está planejando seus níveis de produção para o próximo semestre. O
custo unitário da produção da bicicleta infantil é de R$280,00, enquanto o custo unitário da
produção da bicicleta para adultos é de R$620,00.
São necessários seis trabalhadores para fazer um lote de 8 bicicletas infantis por dia, enquanto
três trabalhadores conseguem fabricar 5 bicicletas de adulto por dia. Existem 200 pessoas
disponíveis para a produção de bicicletas, podendo ser alocadas em qualquer um dos dois
serviços.
A fábrica tem capacidade máxima de produção de 300 bicicletas. Ainda, para atender à
demanda existente, devem ser produzidos, no mínimo, 20 lotes de bicicletas infantis e 15 lotes
de bicicletas de adultos. Formule o modelo de programação linear para minimizar o custo de
produção da fábrica.
RESOLUÇÃO
O primeiro passo para a construção de qualquer modelo consiste em identificar as variáveis
de decisão para o problema. Neste caso, a variável de decisão deve ser xi, sendo x a
quantidade de bicicletas do tipo “i” a ser produzida por dia. Logo, temos:
x1 = número de bicicletas infantis a serem produzidas por dia;
x2 = número de bicicletas infantis a serem produzidas por dia.
 
Em seguida, passamos à definição da função objetivo. A fábrica tem como meta minimizar o
seu custo de produção diário. Assim, como o custo unitário da produção da bicicleta infantil é
de R$280,00, e da bicicleta de adulto é de R$620,00, temos a seguinte função objetivo:
Min Z= 280x1+620x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fábrica emprega 200 funcionários por dia. São necessários seis trabalhadores para fazer
um lote de 8 bicicletas infantis por dia, logo, cada trabalhador produziria 0,75 bicicletas por
dia. Três trabalhadores fabricam 5 bicicletas de adulto por dia, logo, cada trabalhador
produziria 0,625 bicicletas. Com esses dados, conseguimos definir a restrição da fábrica com
relação à capacidade de mão de obra:
0,75x1+0,6x2 ≤200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fábrica tem capacidade máxima de produção de 300 bicicletas. Logo, a restrição com
relação à capacidade da fábrica é:
x1+x2 ≤300
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, para atender à demanda existente devem ser produzidos, no mínimo, 20 lotes de
bicicletas infantis. Como cada lote é composto por 8 bicicletas infantis, devem ser produzidas,
ao menos, 160 bicicletas infantis.
x1 ≥160
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por sua vez, devem ser produzidos 15 lotes de bicicletas de adultos, com 5 bicicletas em
cada um, de modo que:
x2 ≥75
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema de planejamento da produção
estático é:
Min Z= 280x1+620x2
Sujeito a:
0,75x1+0,6x2 ≤200
x1+x2 ≤300
x1 ≥160
x2 ≥75
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, neste caso, não são necessárias as restrições de não negatividade das variáveis
de decisão devido às restrições para o atendimento mínimo da demanda.
Neste exemplo, resolvemos um problema de planejamento de produção estático. Contudo, em
situações reais, é mais comum realizar o planejamento para diferentes períodos de tempo.
Nesses casos, são necessários modelos dinâmicos, ou seja, que utilizam formulações do tipo
multiperíodo.
PROBLEMA DINÂMICO
Nos modelos de programação dinâmica, as disponibilidades de matéria-prima e de mão de
obra, e até os lucros, podem variar ao longo do tempo. Também são considerados os níveis de
estoque, visando sempre atender à demanda em todos os períodos, com o menor custo
possível.
A seguir, vamos desenvolver o modelo matemático para um problema de planejamento de
produção dinâmico.
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA DO PLANEJAMENTO DE PRODUÇÃO
DINÂMICO
Uma fábrica de bicicletas está planejando seus níveis de produção para os próximos seis
meses. A fábrica tem capacidade máxima de estocar 6.000 bicicletas. Os dados com relação à
produção máxima mensal, ao custo unitário de produção e à demanda mensal são
apresentados na tabela a seguir:
Mês 1 2 3 4 5 6
Custo
unitário de
produção
(R$)
240,00 250,00 265,00 285,00 280,00 260,00
Demanda
(unidades)
1.000 4.500 6.000 5.500 3.500 4.000
Produção
máxima
(unidades)
4.000 3.500 4.000 4.500 4.000 3.500
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Dados de produção de bicicletas. 
Fonte: Adaptado de Ragsdale (2009).
Sabe-se que o estoque inicial do semestre é de 2.750 unidades, e que o custo de estoque é
equivalente a 1,5% do custo unitário de produção no mesmo mês. Desenvolva o modelo
matemático para minimizar o custo total da fábrica no próximo semestre.
RESOLUÇÃO
O primeiro passo para a modelagem deste exemplo de um clássico problema de
planejamento de produção dinâmico é a definição das variáveis de decisão. As variáveis de
decisão devem ser xi, sendo x o número de unidades de bicicletas a serem produzidas no
mês “i”, e ei, sendo e o inventário inicial do mês “i”. Logo, temos:
xi = número de unidades a produzir no mês i, i=1 a 6
ei = inventário inicial mês i, i=1 a 6
 COMENTÁRIO
Repare que pela primeira vez estamos modelando um problema em que o índice da variável
de decisão se refere ao período de tempo, pois estamos analisando a situação ao longo do
tempo.
Conhecendo o custo unitário de produção e o custo de estoque de cada mês, conseguimos
determinar a função objetivo para a minimização dos custos da fábrica:
Min Z= 240x1+250x2+265x3+285x4+280x5+260x6 + 3,6(e1+e2)/2 + 3,75(e2+e3)/2 +
3,98(e3+e4)/2+ 4,28(e4+e5)/2 + 4,20(e5+ e6)/2 + 3,9(e6+e7)/2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que o estoque inicial em dado mês equivale ao estoque final do mês anterior, e que
estamos considerando o custo do estoque médio no mês. Assim, para o custo de estoque,
consideramos que o nível de estoque é a média entre o valor de inventário inicial e final do
mês.
 Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal
A produção de unidades de bicicleta por mês deve ser, no mínimo, o suficiente para atender à
demanda, porém não pode superar a produção máxima mensal. Logo, temos as seguintes
restrições com relação aos níveis de produção.
2.000≤x1 ≤ 4.000 } mês 1
1.750 ≤ x2 ≤3.500 } mês 2
2.000 ≤ x3 ≤4.000 } mês 3
2.250 ≤ x4 ≤ 4.500 } mês 4
2.000 ≤ x5 ≤4.000 } mês 5
1.750 ≤ x6 ≤3.500 } mês 6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabe-se também que a capacidade máxima de estoque na fábrica é de 6.000 unidades de
bicicletas. Logo, o estoque final em cada mês não pode ser superior a essa capacidade
máxima, de modo que esta restrição será do tipo ≤.
Como o Estoque final = Estoque inicial + produção - unidades vendidas, temos:
x1 + e1 - 1.000 < 6.000 } mês 1
x2 + e2 - 4.500 < 6.000 } mês 2
x3 + e3 - 6.000 < 6.000 } mês 3
x4 + e4 - 5.500 < 6.000 } mês 4
x5 + e5 - 3.500 < 6.000 } mês 5
x6 + e6 - 4.000 < 6.000 } mês 6
em =
ei + ei+1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ainda em relação ao estoque, é necessário o balanço do inventário, representado pelas
seguintes restrições:
e1 = 2750
e2 = e1 + x1 – 1.000
e3 = e2 + x2 - 4.500
e4 = e3 + x3 - 6.000
e5 = e4 + x4 - 5.500
e6 = e5 + x5 - 3.500
e7 = e6 + x6 - 4.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema de planejamento da produção
dinâmico é:
Min Z= 240x1+250x2+265x3+285x4+280x5+260x6 + 3,6(e1+e)/2 + 3,75(e2+e3)/2 +
3,98(e3+e4)/2+ 4,28(e4+e5)/2 + 4,20(e5+ e6)/2 + 3,9(e6+e7)/2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
2.000≤x1 ≤ 4.000 } mês 1
1.750 ≤ x2 ≤3.500 } mês 2
2.000 ≤ x3 ≤4.000 } mês 3
2.250 ≤ x4 ≤ 4.500 } mês 4
2.000 ≤ x5 ≤4.000 } mês 5
1.750 ≤ x6 ≤3.500 } mês 6
x1 + e1 - 1.000 < 6.000 } mês 1
x2 + e2 - 4.500 < 6.000 } mês 2
x3 + e3 - 6.000 < 6.000 } mês 3
x4 + e4 - 5.500 < 6.000 } mês 4
x5 + e5 - 3.500 < 6.000 } mês 5
x6 + e6 - 4.000 < 6.000 } mês 6
e1 = 2750
e2 = e1 + x1 – 1.000
e3 = e2 + x2 - 4.500
e4 = e3 + x3 - 6.000
e5 = e4 + x4 - 5.500
e6 = e5 + x5 - 3.500
e7 = e6 + x6 - 4.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROBLEMA FAZER X COMPRAR
As organizações enfrentam, no seu dia a dia, o dilema de fazer ou comprar.
AO SE DECIDIR ENTRE A FABRICAÇÃO INTERNA OU
A AQUISIÇÃO DE DETERMINADO COMPONENTE NO
MERCADO, AS EMPRESAS COSTUMAM REALIZAR A
ANÁLISE ECONÔMICA, OU SEJA, COMPARAR OS
CUSTOS DE FABRICAÇÃO AO CUSTO DE AQUISIÇÃO.
DiSERIO; SAMPAIO, 2001
De acordo com Slack et al. (1997), fornecedores externos podem se especializar na produção
de certos componentes e produzi-los a custos menores e com melhor qualidade que a própria
empresa. Assim sendo, as empresas devem decidir entre “fazer ou comprar” determinado
componente.
Modelos de programação linear podem ser utilizados para auxiliar no processo decisório em
relação à terceirização, tal como podemos verificar no exemplo a seguir.
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA FAZER X COMPRAR
Uma fábrica de bicicletas acaba de receber um pedido de R$750.000,00. Foram
encomendadas 3.000 bicicletas do modelo 1, 2.000 do modelo 2 e 1.000 do modelo 3.
São necessárias 2 horas para a montagem da bicicleta do modelo 1 e 1 hora para sua pintura.
Para a bicicleta do modelo 2, leva-se 1,5 horas para a montagem e 2 horas para a pintura.
Para a bicicleta do modelo 3, são necessárias 3 horas de montagem e 1 hora de pintura. A
fábrica tem disponibilidade de 10.000 horas para montagem e 6.000 horas para pintura até a
entrega da encomenda.
Os custos para a fabricação das bicicletas são: R$350,00 para a bicicleta 1, R$400,00 para a
bicicleta 2 e R$430,00 para a bicicleta 3.
A fábrica teme não ter tempo hábil para produzir toda a encomenda e, por isso, cotou o custo
de terceirizar a sua fabricação. O custo para comprar uma bicicleta do modelo 1 seria de
R$460,00, de R$540,00 para a bicicleta do modelo 2 e de R$ 580,00 para a bicicleta do modelo
3.
Desenvolva o modelo de programação linear para minimizar o custo de produção da
encomenda de bicicletas.
RESOLUÇÃO
A fábrica teme não ter tempo hábil para realizar a produção de bicicletas para a entrega e,
por isso, precisa decidir entre fabricá-las ou comprá-las de outro fabricante. Assim, teremos
dois tipos de variáveis de decisão na modelagem deste problema.
xi = quantidade de bicicleta do modelo i a ser fabricada internamente;
ci = quantidade de bicicleta do modelo i a ser comprada de concorrente.
Logo, as variáveis de decisão para este exemplo são:
x1 = quantidade de bicicleta do modelo 1 a ser fabricada internamente;
x2 = quantidade de bicicletas do modelo 2 a ser fabricada internamente;
x3 = quantidade de bicicletas do modelo 3 a ser fabricada internamente;
c1 = quantidade de bicicletas do modelo 1 a ser comprada de concorrente;
c2 = quantidade de bicicletas do modelo 2 a ser comprada de concorrente;
c3 = quantidade de bicicletas do modelo 3 a ser comprada de concorrente.
Conhecendo os custos de produção e de aquisição dos diferentes modelos de bicicletas,
temos a seguinte função objetivo:
Min Z= 350x1+400x2+430x3+ 460c1+540c2+580c3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Foram encomendadas 3.000 bicicletas do modelo 1, 2.000 do modelo 2 e 1.000 do modelo 3,
de modo que a restrição de demanda é representada pelas seguintes equações:
x1 + c1 = 3.000 } demanda para o modelo 1
x2 + c2 = 2.000 } demanda para o modelo 2
x3 + c3 = 900 } demanda para o modelo 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fábrica tem disponibilidade de 10.000 horas para montagem e 6.000 horas para pintura até
a entrega da encomenda. Essas restrições são:
2x1 + 1,5x2 + 3x3 ≤10.000 } montagem
1x1 + 2x2 + 1x3 ≤ 5.000 } pintura
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, há a condição de não negatividade das variáveis de decisão:
 x1, x2, x3, c1, c2, c3 >= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema de fazer x comprar é:
Min Z= 350x1+400x2+430x3+ 460c1+540c2+580c3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
x1 + c1 = 3.000
x2 + c2 = 2.000
x3 + c3 = 900 
2x1 + 1,5x2 + 3x3 ≤10.000
x1 + 2x2 + x3 ≤ 5.000
x1, x2, x3, c1, c2, c3 >= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante ressaltar que a decisão sobre a terceirização é um pouco simplificada, pois
focam-se apenas os aspectos econômicos. Contudo, a terceirização de determinados produtos
ou serviços deve incluir outras considerações além de questões econômicas, devendo, além
disso, considerar aspectos estratégicos como competências essenciais e vantagens
competitivas. Ao delegar certos serviços a terceiros (outsourcing), a empresa pode se
concentrar em sua competência central, mantendo-se competitiva no mercado.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Aplicar a técnica de modelagem nos problemas de transporte e transbordo
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
O problema de transportes é a aplicação de programação linear mais frequente na logística.
Esse padrão de problema envolve decisões como o volume a ser transportado entre
localidades, podendo envolver ou não decisões referentes ao desenho da cadeia e também
problemas de localização.
O problema de programação linear para o problema clássico de transportes consiste em definir
o melhor caminho (ou rota) para fazer com que determinada quantidade de produtos de um
ponto de suprimento chegue a um ponto de demanda. O objetivo pode ser minimizar as
distâncias percorridas, o custo de transporte ou até mesmo maximizar os níveis de serviço ou o
lucro com vendas.
O problema de transporte é um modelo fluxo em grafo bipartido, demodo que não existem nós
intermediários de transbordo ou transição para fluxo, conforme ilustrado .
 Rede do problema de transportes.
 ATENÇÃO
Na rede de transportes, os nós representam os pontos de suprimento e de demanda, enquanto
os arcos representam a conexão entre os nós.
Conforme pode ser observado, no problema de transportes, há m pontos de suprimento, cada
um com capacidade de oferta máxima designada por Si, onde o índice i representa o ponto de
suprimento em questão (i = 1,…, m). Existem ainda n pontos de demanda a serem abastecidos
por estes pontos de suprimento. Cada ponto de demanda recebe pelo menos Dj unidades do
produto a ser transportado, sendo que o índice j representa os pontos de demanda, tal que j =
1, …, n. Para cada unidade do ponto de fornecimento i remetida ao ponto de demanda j incorre
um custo cij, que é o custo de fornecer o produto ao ponto de demanda j a partir do ponto de
suprimento i.
Assim sendo, para modelar o problema de transportes, consideramos a variável de decisão xij,
que representa o número de unidades do produto específico despachadas do ponto de
suprimento i para o ponto de demanda j. Considerando que a função objetivo seja minimizar o
custo total de transporte, temos que a função objetivo é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As condições de transporte estão sujeitas a restrições de fornecimento e de demanda. Logo, o
total transportado para o ponto de demanda tem que, ao menos, atender à quantidade mínima
demandada, enquanto o total transportado a partir do ponto de suprimento não pode ser
superior à sua capacidade de oferta. Logo, as restrições para o problema clássico de
transportes podem ser representadas pelas seguintes equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em suma, o modelo matemático para o problema clássico de transporte é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
Min 
m
∑
i=1
n
∑
j=1
cijxij
n
∑
j=1
xij ≤ si  (i = 1,   … ,  m)
mn
∑
i=1
xij ≥ dj  (j = 1,   … ,  n)
Min 
m
∑
i=1
n
∑
j=1
cijxij
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar o entendimento do modelo matemático para o problema clássico de transportes,
vamos resolver o exemplo a seguir:
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA DE TRANSPORTE
Uma empresa fabricante de bicicletas conta com duas plantas, uma localizada em São Paulo e
outra em Recife. A empresa atende ao público por meio de três revendedores, localizados em
Porto Alegre, Brasília e Manaus.
 Rede do problema de transportes.
Plantas Custos de envio por unidade Ofertas
Mercados
n
∑
j=1
xij ≤ si  (i = 1,   … ,  m)
m
∑
i=1
xij ≥ dj  (j = 1,   … ,  n)
xij ≥ 0 ∀i, j
Porto Alegre Brasília Manaus
SP 25 30 70 600
Recife 60 35 50 700
Demandas 450 500 300 
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Distâncias para a rede do problema de transportes. 
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
Formule o problema de programação linear que minimize os custos de distribuição da empresa.
RESOLUÇÃO
Consideramos que i=1 para São Paulo e i=2 para Recife, enquanto j=1 para Porto Alegre, j=2
para Brasília e j=3 para Manaus. Logo, as variáveis de decisão são:
x11= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Porto Alegre;
x12= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Brasília;
x13= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Manaus;
x21= quantidade de produtos transportados de Recife para Porto Alegre;
x22= quantidade de produtos transportados de Recife para Brasília;
x23= quantidade de produtos transportados de Recife para Manaus.
 
A função objetivo para minimizar o custo total de transporte é:
Minz Z=25X11+30X12+70X13+60X21+35X22+50X23
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O total transportado para Porto Alegre tem que ser, ao menos, igual a 450, para atender à
demanda mínima da cidade. Para Brasília e Manaus, devem ser transportadas, no mínimo,
500 e 300 bicicletas, respectivamente. Assim, as restrições referentes à demanda são:
X11+X21 ≥450 à restrição quanto → demanda para Porto Alegre;
X12+X22 ≥500à restrição quanto → demanda para Brasília;
X13+X23 ≥300à restrição quanto → demanda para Manaus.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O total transportado de São Paulo não pode ser superior a 600 unidades, pois trata-se da
capacidade máxima de oferta da planta. Já o total transportado de Recife deve ser inferior a
700 unidades, que é a capacidade máxima de oferta desta planta. Assim, as restrições
referentes à oferta são:
X11+X12+X13+≤600à restrição quanto ao suprimento de São Paulo;
X21+X22+X23≤700à restrição quanto ao suprimento de Recife.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O modelo matemático deste problema é:
Minz Z=25X11+30X12+70X13+60X21+35X22+50X23
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
X11+X21 ≥450
X12+X22 ≥500
X13+X23 ≥300
X11+X12+X13≤600
X21+X22+X23≤700
X11, X12, X13, X21, X22, X23≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
Os problemas de transporte são casos particulares de problemas de programação linear, de
modo que sua resolução algébrica pode ser desenvolvida por algoritmos de programação
linear. Entretanto, é possível aproveitar as particularidades do problema de transporte para
resolvê-lo de forma mais eficiente que o caso geral do simplex. Assim, existem algoritmos
específicos para a solução do problema de transporte, como o Método do Canto Noroeste e o
Método de Vogel, porém não vamos abordá-los aqui. Caso você tenha interesse em aprofundar
os seus conhecimentos, recomenda-se a leitura do capítulo 7 de Winston (2004).
PROBLEMA DE TRANSBORDO
O problema de transbordo segue lógica semelhante ao problema de transportes, porém este
não é um modelo fluxo em grafo bipartido, pois existem nós intermediários de
transbordo ou de transição para fluxo, conforme ilustrado na figura a seguir:
 Rede do problema de transbordo.
Além de um conjunto de m nós, que representam os pontos de suprimentos, e n nós, que
representam os pontos de demanda, a rede também dispõe de l pontos de transbordo.
É importante que você saiba bem a diferença entre estes diferentes tipos de nó:
PONTOS DE SUPRIMENTO
São responsáveis pelo fornecimento de insumos, de modo que podem remetê-los para outros
pontos, porém não podem recebê-los.
PONTOS DE DEMANDA
São os pontos de consumo, de modo que devem receber insumos de outros pontos, porém
não podem recebê-los.
PONTOS DE TRANSBORDO
Podem tanto receber insumos de outros pontos quanto remeter insumos para outros pontos, ou
seja, são locais onde é possível realizar a transferência da carga. Um centro de distribuição,
por exemplo, pode funcionar como um ponto de transbordo em uma cadeia logística,
recebendo insumos de diversas plantas ou diversos fornecedores, realizando a consolidação
da carga e remetendo insumos para outras plantas, outros centros de distribuição ou clientes.
Um depósito também é um bom exemplo de um ponto de transbordo.
Uma particularidade do problema de transbordo é que aquilo que é transportado das unidades
intermediárias (de transbordo) aos mercados consumidores não deve ultrapassar a quantidade
de produto que chega a tais pontos.
A quantidade que insumos que chega a um ponto de transbordo deve ser igual à quantidade de
insumos que sai dele.
Com essa restrição, garantimos o equilíbrio do fluxo neste nó, ou seja, o fluxo que entra deve
ser igual a todo o fluxo que sai. Portanto, o modelo matemático para o problema de transbordo
é semelhante ao do problema clássico de transporte, porém acrescenta-se a restrição de
equilíbrio nos nós que representam pontos de transbordo.
Temos que o modelo matemáticopara o problema de transbordo é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
Min 
m
∑
i=1
n
∑
j=1
cijxij
n
∑
j=1
xij ≤ si  (i = 1,   … ,  m)
m
∑
i=1
xij ≥ dj  (j = 1,   … ,  n)
m
∑
i=1
xik =
n
∑
j=1
xkj  (k = 1,   … ,  l) →Equilíbrio nos nós de transbordo T
xij ≥ 0 ∀i, j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar o entendimento do modelo matemático para o problema clássico de transbordo,
vamos resolver o exemplo a seguir:
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA DE TRANSBORDO
Uma empresa fabricante de bicicletas conta com duas plantas, uma localizada em São Paulo e
outra em Recife, e atende o público por meio de dois revendedores, localizados em Porto
Alegre e Manaus. A empresa também dispõe de um centro de distribuição, localizado em
Brasília, que pode ser usado como ponto de transbordo caso contribua para reduzir o custo
total de transporte.
 Rede do problema de transbordo.
Plantas/CD Custos de envio por unidade Ofertas
Mercados/CD
Porto Alegre Manaus Brasília
SP 25 70 30 600
Recife 60 50 35 700
Brasília 45 65 0 
Demandas 450 500 
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Demandas e custos de transporte por unidade. 
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
RESOLUÇÃO
Consideramos que i=1 para São Paulo, i=2 para Recife e i=3 para Brasília, enquanto j=1 para
Porto Alegre, j=2 para Manaus e j=3 para Brasília. Logo, as variáveis de decisão são:
x11= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Porto Alegre;
x12= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Manaus;
x13= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Brasília;
x21= quantidade de produtos transportados de Recife para Porto Alegre;
x22= quantidade de produtos transportados de Recife para Manaus;
x23= quantidade de produtos transportados de Recife para Brasília;
x31= quantidade de produtos transportados de Brasília para Porto Alegre;
x32= quantidade de produtos transportados de Brasília para Manaus.
 
A função objetivo para minimizar o custo total de transporte é:
Min Z=25X11+70X12+30X13+60X21+50X22+35X23+45X31+65X32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O total transportado para Porto Alegre tem que ser, ao menos, igual a 450, para atender à
demanda mínima da cidade. Para Brasília e Manaus, devem ser transportadas, no mínimo,
500 e 300 bicicletas, respectivamente. Assim, as restrições referentes à demanda são:
X11+X21 +X31≥450 → restrição quanto à demanda para Porto Alegre;
X12+X22 +X32≥500 → restrição quanto à demanda para Manaus.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O total transportado de São Paulo não pode ser superior a 600 unidades, pois esta é a
capacidade máxima de oferta da planta. Já o total transportado de Recife deve ser inferior a
700 unidades, que é a capacidade máxima de oferta desta planta. Assim, as restrições
referentes à oferta são:
X11+X12+X13+≤600 → restrição quanto ao suprimento de São Paulo;
X21+X22+X23≤700 → restrição quanto ao suprimento de Recife.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se ainda da restrição de equilíbrio nos nós que representam pontos de transbordo.
Tudo o que chega no centro de distribuição de Brasília deve ser igual ao que sai de Brasília,
conforme indicado na equação a seguir:
X11+ X23+=X31+X32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O modelo matemático deste problema é:
Min Z=25X11+70X12+30X13+60X21+50X22+35X23+45X31+65X32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
X11+X21 +X31≥450
X12+X22 +X32≥500
X11+X12+X13+≤600
X21+X22+X23≤700
X11+ X23+=X31+X32
X11, X12 , X13, X21, X22, X23, X31,X32 ≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROBLEMA DE TRANSPORTE E
TRANSBORDO
A seguir, o especialista apresenta os problemas de transporte e de transbordo, abordando as
particularidades deste tipo de problema de programação linear e a importância de sua
aplicação no ambiente gerencial.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Aplicar a técnica de modelagem em problemas de alocação
PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO
No problema de alocação, também denominado problema de designação ou de matching,
existem dois conjuntos e devem ser formados pares entre os elementos destes dois conjuntos.
O problema consiste em determinar a formação destes pares, ou seja, a combinação destes
elementos de modo a minimizar o custo total de todas as alocações, respeitando as restrições
existentes.
 ATENÇÃO
O problema da alocação visa designar tarefas a designados, podendo ser pessoas, máquinas,
veículos ou até mesmo fábricas. Neste tipo de problema, há um custo associado para o
designado desempenhar cada tarefa. Assim, o objetivo final é determinar a combinação de
alocações que minimiza o custo total.
Também pode ser considerado que cada designado i tem determinado interesse em efetuar
cada tarefa j, dado por pij. Logo, o objetivo é realizar a alocação de maneira que a soma dos
interesses seja maximizada.
 ATENÇÃO
Destaca-se que, no problema de alocação, o número de designados e de tarefas devem ser
iguais. Assim, temos n designados e n tarefas. Cada tarefa deve ser atribuída a apenas um
designado, que também só deve realizar uma única tarefa. Além disso, todas as tarefas devem
ser executadas.
O problema da alocação pode ser considerado um caso especial do modelo de transportes, no
qual cada origem tem uma unidade disponível e cada destino requer também uma unidade.
Assim, o problema de alocação é um problema de transporte balanceado, no qual todas as
demandas e capacidades são iguais a 1. Desse modo, o problema de alocação utiliza variáveis
binárias. A variável binária, ou booleana, pode assumir apenas dois valores, zero ou 1. No
problema de alocação, a variável de decisão xij recebe o valor igual a “1” se decidirmos que a
tarefa “i” será alocada para o designado “j”, sendo “0” se decidirmos o contrário. De tal forma,
temos que o modelo matemático para o problema da alocação é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
Xij ꞓ {0,1}, (i=1,...n; j=1,...,n)
Xij=1, se o designado i for alocado para realizar a tarefa j.
Xij=0, caso contrário.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
Os modelos de alocação podem ser adotados para auxiliar no processo de tomada de decisão
em diversas situações reais, tal como na determinação da escala de vendedores para pontos
de venda, na distribuição de atividades para membros de uma equipe ou na alocação de
máquinas para resolver diferentes tarefas.
MinZ = ∑
i
∑
j
cijxij
∑
j
xij = 1  (i = 1,   … ,  n) →cada designado é alocado a uma só tarefa.
∑
i
xij = 1  (j = 1,   … ,  n) →cada tarefa é alocada a apenas um trabalhador.
Para facilitar o entendimento do modelo matemático para o problema clássico de alocação,
vamos resolver o exemplo a seguir:
TEORIA NA PRÁTICA
A supervisora de uma equipe de limpeza em um hotel necessita formar equipes de camareiras
para realizar a limpeza dos quartos na hora de troca de hóspedes. Os hóspedes que estão
realizando check-out precisam sair do quarto até às 12h, enquanto os novos hóspedes podem
realizar o check-in a partir de 14h. Assim, as esquipes têm pouco tempo para organizar e
limpar todos os cômodos. Logo, a supervisora precisa organizar as equipes de modo que os
serviços sejam realizados o mais rápido possível.
A supervisora precisa formar a equipe para cuidar dos quartos do terceiro andar do hotel. As
tarefas a serem realizadas são: arrumar as camas, limpar o banheiro, varrer o quarto e tirar o
pó. As camareiras desempenham as tarefas, por quarto, nos seguintes tempos:
Camareira
Tarefa
Arrumar
cama
Limpar
banheiro
Varrer
quarto
Tiraro pó
Lara 2 min 5 min 7 min 3 min
Ana 3 min 6 min 8 min 4 min
Julia 4 min 4 min 6 min 5 min
Talita 2 min 5 min 7 min 2 min
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Tempo para execução das tarefas 
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
Formule o problema de programação linear que minimize o tempo de arrumação do quarto.
RESOLUÇÃO
Neste problema de alocação, a variável de decisão xij recebe o valor igual a “1” se decidirmos
que a tarefa “i” será alocada para o designado “j”, sendo “0” se decidirmos o contrário. De tal
forma, temos:
x11= 1, se Lara arruma a cama; zero, caso contrário;
x12= 1, se Lara limpa banheiro; zero, caso contrário;
x13 =1, se Lara varre o quarto; zero, caso contrário;
x14=1, se Lara tira o pó; zero, caso contrário;
x21= 1, se Ana arruma a cama; zero, caso contrário;
x22= 1, se Ana limpa banheiro; zero, caso contrário;
x23= 1, se Ana varre o quarto; zero, caso contrário;
x24= 1, se Ana tira o pó; zero, caso contrário;
x31= 1, se Julia arruma a cama; zero, caso contrário;
x32= 1, se Julia limpa banheiro; zero, caso contrário;
x33= 1, se Julia varre o quarto; zero, caso contrário;
x34= 1, se Julia tira o pó; zero, caso contrário;
x41= 1, se Talita arruma a cama; zero, caso contrário;
x42= 1, se Talita limpa banheiro; zero, caso contrário;
x43= 1, se Talita varre o quarto; zero, caso contrário;
x44= 1, se Talita tira o pó; zero, caso contrário.
 
O modelo matemático para o problema da alocação é:
Min Z=
2X11+5X12+7X13+3X14+3X21+6X22+8X23+4X24+4X31+4X32+6X33+5X34+2X41+5X42+7X43+2X44
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
X11+X12+X13+X14=1
X21+X22+X23+X24=1
X31+X32+X33+X34=1 Cada trabalhador desempenha apenas uma tarefa.
X41+X42+X43+X44=1
X11+X21+X31+X41=1
X13+X23+X33+X43=1
X12+X22+X32+X42=1 Cada tarefa é alocada para apenas um trabalhador.
X14+X24+X34+X44=1
 
 
X11, X12, X13, X14, X21, X22, X23, X24, X31, X32, X33, X34, X41, X42, X43, X44 ꞓ {0,1}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
Assim como o problema de transportes, o problema da alocação também é um caso particular
de problemas de programação linear, de modo que sua resolução algébrica pode ser
desenvolvida por algoritmos de programação linear. Porém, tal como o problema de
transportes, possui particularidades específicas que podem ser aproveitadas para resolvê-lo de
forma mais eficiente. Assim como para a solução do problema de transporte, com o Método do
Canto Noroeste e o Método de Vogel, também existem algoritmos específicos para a solução
do problema de alocação, a exemplo do algoritmo húngaro. Porém, não vamos abordá-los
aqui. Caso você tenha interesse em aprofundar os seus conhecimentos, recomenda-se a
leitura do capítulo 7 de Winston (2004).
EXEMPLO DE PROBLEMA DE ALOCAÇÃO
No vídeo a seguir, o especialista apresenta um problema de alocação e desenvolve a
resolução detalhadamente, até a obtenção do resultado final.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Vimos como a Pesquisa Operacional pode auxiliar no apoio a processos de decisão, em
especial para problemas complexos. Ao longo dos módulos, aprendemos sobre modelos
matemáticos e como estes podem nos ajudar na análise de decisão, em especial por
permitirem avaliar a solução do problema em diferentes cenários a um menor tempo e custo.
Além disso, colocamos estes conceitos em prática à medida que aprendemos a construir
modelos matemáticos para problemas de programação linear.
Entretanto, é preciso ter em mente que a modelagem não é uma tarefa simples, principalmente
para aqueles que estão iniciando neste campo do conhecimento. Assim, para nos
familiarizarmos com a técnica de modelagem e podermos construir modelos com mais
facilidade, é preciso praticar por meio de exercícios. A prática é essencial para nos ajudar a
entender e a dominar a lógica por trás da modelagem matemática. Outro ponto que também
facilita a internalização deste conhecimento é entender que alguns modelos, conhecidos como
problemas típicos, seguem padrões semelhantes. Portanto, se entendemos a lógica por trás
dessa “categoria” de problemas, conseguiremos modelar os demais problemas desta mesma
classe. Por isso, é importante conhecer esses padrões!
No módulo 1, apresentamos os problemas clássicos da mistura, do planejamento de produção
e de estoques, e fazer versus comprar. Dedicamos os módulos 2 e 3 para entender a lógica do
problema de transporte e de seus casos particulares. O destaque para o problema de
transporte ocorre porque trata-se do modelo de programação linear mais aplicado na área da
logística. Abordamos, ainda, no módulo 2 o problema de transbordo, enquanto no módulo 3
tratamos especificamente do problema de alocação.
Até o momento, aprendemos a solucionar os modelos matemáticos por meio da aplicação do
Método Gráfico. Contudo, tal método é restrito a problemas mais simples, com até duas
variáveis de decisão.
 PODCAST
Agora, o especialista encerra o tema com um resumo sobre aplicações de programação linear.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
DiSERIO, L.; SAMPAIO, M. Projeto da cadeia de suprimento: uma visão dinâmica da decisão
fazer versus comprar. In: Revista de Administração de Empresas, v. 41, n. 1, p. 54-66, 2001.
GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. Otimização combinatória e programação linear. 2. ed. São
Paulo: Campus, 2005.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de Janeiro: LTC,
2016.
RAGSDALE, C. T. Modelagem e análise de decisão. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
RODRIGUES, L. H.; AHLERT, F.; LACERDA, D. P.; CAMARGO, L. F. R.; LIMA, P. Pesquisa
operacional: programação linear passo a passo: do entendimento do problema à interpretação
da solução. São Leopoldo: Unisinos, .
SLACK, N.; CHAMBERS, S.; HARLAND, C.; HARRISON, A.; JOHNSTON, R. Administração
da produção. São Paulo: Atlas, 1997.
STIGER, G. J. The cost of Subsistence. Journal of Farm Economics 27(2), p. 303-314, 1945.
WINSTON, W. L.; GOLDBERG, J. B. Operations research: applications and algorithms. Vol. 3.
Boston: Cengage Learning, 2004.
EXPLORE+
Para obter mais conhecimento sobre os conteúdos discutidos, sugerimos a seguinte leitura:
WINSTON, W. L.; GOLDBERG, J. B. Operations research: applications and
algorithms. Vol. 3. Boston: Cengage Learning, 2004.
CONTEUDISTA
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 CURRÍCULO LATTES
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