Introdução à Teoria das Funções - Richard Courant

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D iretor 
da UNIVERSIDADE DE NEW YORK 
Iniruduçao , 
~99- 
3 A Q 
cru QL 	uctâo 
PRdLOGO 
O praente trabalho e' • traduço das notas de aula de 
um curso ministrado na NEW YORK UNIVERSITY pelo prof. RI-
CHARD COURAT e redigida por A.A. BLANK. Coube à S.P.M. o 
prazer de editar,poss3velmente, o primeiro livro em lingua 
portuguesa s&Drea Teoria das Funç'es de Varivel Complex&, 
o qual reune pelo menos dois aspectos vantajosos: l)aer de 
autoria de um matemtico de renome, que no perde de vista 
as aplicaçes do exposto,; 2) estar revestido de carter e-
lementar, facilmente aceasí'vel aos familiarizados com os 
rudimentos de Calculo Infinitesimal, embora abranja t6pi-
coe os mais variegados. 
Os leitores ficaro, com isto, capacitados a enfren-
tar obras de maior vulto, entre as quais a do próprio R. 
COURANT em colaboração com HtJRWITZ, os tratados de 1IEBER-
13ACH 9 BEHNKE e SOMMER, CARATHODORY, WHITTAKER e WATSON, 
etc. 
Aos profs. dra. OIÀVO DEL CLARO, pelas proveitosas au 
geates sobre o texto, e JAIME MACHADO CARDOSO, que se en-
carregou da maior parte da confeço material da obra, os a 
gradecimentos do tradutor. 
Curitiba, dezembro de 1956 
Leo Baraotti 
2Q!LEúD 0 
• Pag. 
Capitulo 1. 	INTRODUÇÃO. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1 
1, Nineros 	complexos 	. 	 . 	 , 	,,....,, 2 
2, 5ir5.es de potências 	.,........s. 11 
3, A transrormaço linear geral 	...... 	. 22 
capítulo II, 	FUNÇES ANALÍTICAS 37 
1. .Definição de função 	,,,..,.. 	• 	 • 	 • 39 
2. Continuidade 	000 38 
3, 	Furiçes 	ana1tjcas 	.................... 41 
4. Propriedades geométricas das funções ana- 
1t1cas 	.................................... 48 
Capitul o III, 	INTEGRAÇÃO NO DOMÍNIO COMPLEXO e2 
1. 	Integrais de 	linha 	• • ............ 
2. O teorema de Cauchy . 	........... 
3. Frmu1a integral de Cauchy 	........ 79 
• 	 • 	 4. Ap1ioaçes à teoria do potencial. Estudo 
do 	fluxo 	,.,.. 	.................... 0 91 
capítulo IV, 	O MTODO DAS SRIES DE POT'NCIAS. 
PRÕLONGAMENTO ANALÍTICO 107 
• 	
• 	 1. Representação de uttaruno analftica por 
urna 	série 	de 	po:tnoiaa........................ 107 
2, Singularidades e zeros de ftnçGes anail- 
ticas. Funçes inteiras emeromnorfas 	. •, • 113 
3, Prolongamento anaI1tico e funçeø anal - 
tcaa 	ampliadas 	............................... 130 
CAP(TULOI 
INTRODUÇXO, CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
Dificilmente existirá teoria que domine tanto a Matemti-
'ca Moderna como a 'Teor1a das Funç3es, Notavelmente harmoniosa 
em ai mesma, a Teoria das Funçea, sistematiza campos to Varl 
ados, como a Teoria das Equações, a neprésentaço Conforme e a 
Teoria do Potencial. de irnportncia para as Geometrias no 
Euclidianas, 'Topologia, Hidrodinmica, Aerodinâmica, Eletrici-
dade e Termodinnica, e, alem disso, constitue fonte de novas 
descobertas matemitica8. 
10 logo a Idéia de função surgiu como conceito básico da 
moderna Anliss, os xnatemticos foram levados a estendê-la com 
aintroduço das variáveis complexas, O novo, instrumento adap-
tou-se logo ao cálculo formal, e os matematicos (embora desco 
fiados da natureza dos chamados "imagiririoa") no puderam dei 
xar de reconhecer o valor dos resultados com eles obtidos. No 
se#culo XVIII, Loonard Euler, mestre insuperado da invenço ana 
lftica, observou que .a representação em série de potências da 
funço exponencial 
.2 z 	z 	z 
8 
o 	2e1 j0 J' 
conduz a f6rmula 
+00 _2j+l 
8iy - V (-1 ) i _L_. + i V - 	
(2j) 	'-' (2j+ 1)1 
j-o 
ou 
iy = coe y + i,aen 3' 
pela aubstitu1ço pura e simples de z por ly e reagrupatn'ento 
dos termos. Tal método conduziu a outros resultados xtei8, 
como 
1 	1+ 1X 
	
arctg x = 	lg 
1_ ix 
que pode ser deduzido da serio 
Zi 
l(l + z) 
2 	 Capj 
substituindo, sucessivamente, z por ix e -ix e fazendo a dife-
rença dos resultados, obtendo-se, multiplicada por 21, a sdrie 
arctg x. No e, pois, de surpreender que o uso arbitrrio dês 
se cálculo formal tenha levado, eventualmente, a paradoxos,( ) 
Contudo, ao no século XIX J que esta atitude simplista 
foi substituída pelo exame critico atual. As funça'ea do varia 
vai complexa foram, ento, estudadas sistematicamente pela pri 
meira vez, originando grande progresso no campo da teoria das 
funçes, cujo estudo passou a ser considerado como o primeiro 
passo a ser dado por todo cultor da matematica, depois de as-
similar os elementos de Calculo Infinitesimal, 
1. NÚMEROS COMPLEXOS 
Os "imaginrios" surgiram na iClgebra quando os matemticoa 
medievais pesquisaram a solução geral das equaçes do wgundo e 
terceiro grau. R,Bombelli foi o primeiro a com eles operar, ao 
aplicar a frmula de G.Cardano a um caso irredutfvel da equa-
ço do 32 grau. Foi infeliz a escolha da denominaço "imag1n 
rio" dada a ütes novos ndmeros; porem, ela indica a desconf 
ança em que eram tidas os niineros complexos, suspeitas que ad 
foram dissipadas no fim do seculo XVIII, quando F.G.Gauaa em 
sua tese doutoral ( ) lhes deu simples representação geométri-
ca: podendo ser manejados segundo os metodos da Geometria, lo-
go perderam sua artificialidade temerosa. Atualmente, os mate 
maticos, seguindo outra orientação, preferem defini-los abstr 
tamente como simbolos sujeitos a certas operaçGes algébricas. 
1.1. DEFINIÇãOENÚMERO COMPLEXO,- Considere-se o con-
junto formado pelos ni.meros reais e um novo elemento 1. (unida-
de imaginria) sobre os quais se efetuam as operaços de adi-
çio e multiolicaço, como se fossem nmeros reais, porém, com 
(l) Supondo-se, por exemplo, que a função tg a possa ser generalizada de 
modo a tomar qualquer valor complexo, ponha-se tg a = 19 Êntio # para todo 
t3 + ± a ter-se-a 	
+ 	_±LJ 	1 - . ta 
	
ga 	' 	1-1tg3 	1=itgç3 	' 
o que evidentemente absurdo. Por conØeujn+e, admitir a ordinaria fortn]j 
la da tangente de uma soma quando um d03 angulo e tal a conduz a resulta-
do 1dmisve1 9 e, tal ang'2.o deve ser considerado inexistente. 
(2) Helinstadt (1 799), 
1.1 	H 
a relaço adicional 	2 i. =1. 	 (1.10) 
O ilconjunto dos números complexos compreende todos os pro-
dutos é:aomas finitas possiveis de 1 consigo mesmo e com os nu 
meros riais. Assim, um numero complexo z 80 um polin6mio em 1 
com coeficientes reais 
z = aO + ali + a2 12 +...+ a1 = (a0-.a2~ ...) + (a1 -a3+...)1 
Tõdo nímero complexo pode, pois, ser representado na for-
ma 
z=a+bi 	(a,breals) 
este 
 
modo de representação e imnico, pois se, por exemplo, 
a+bio+di, então a=o e bd. Com efeito,de 
a+bic+di 
obtém-se 
(ac)+(b.d)i=0. 
Mas O + 01 i a tnica representaQo de O na citada forma, 
Com efeito, se r + s 1 = 0, entaõ (r + si)(r - a 1) = r2+s2 
= 0, e r O = e. Segue-se, pois, que 
	
a-cbd0 	ou •ac 	e 	b=d. 
Somas e produtos so evidentemente dados pelas f6rmulas: 
	
(a + b i) + (e + d 1) = (a + o) + (b + d) 1. 	(1.12a) 
(a + 1, i)(o + d 1) = (ao - bd) + (ad + bo)i 	(1.12b) 
Se z = o + d 1 O fr um numero complexo, ento z possue 
um único reciproco z 1 tal que zz = 1. 	faci1 ver que 
1 
Z 
- Z 	c+d 
Para todo complexo w = a + b 1, o quociente de w por z0, 
io numero 
w a:+bi 	+ b j 	..l ao + bd. + bo - ad 
z o+di 	 c2 +d2 	e2 +d2 
znmeros reais a,b de (1,11) dizem-se, respctivamente, 
parte real e parte imagin ária de z, representados por 
aRz, 	b=lmz 
eegunaoL:Weierstraas. O numero complexo 
a.bi 	 (1.14) 
e chamado conjugado de z, gozando da propriedade de que tanto 
a soma z + z como o produto z.i aio reais. Evidentemente 
	
Rz+(z+) , 	 Imz(z..) 	(115) 
4 	 Cap.I 
A todo numero complexo z a-+ b 1 associa-se um ntrnero 
tal real e no negativo, chamado valor absoluto oumo'dulo de 
a, definido por 
Z 
= 2 	b2 	 (l.ie) 
Tem-se 
= tal =.Vrio 
Verifica-as foilmente que Iz1.a21 = 1a 1 1 .Jz2 j e (z2 4 0) 
Z i/Z2l = IZII/1Z21 
videnternente jz1 = O implica a 	0 e reciprocamente, 
possfvei dar urna definição axiomatica completa de niine-
ro complexo sem introduzir o s'mbolo auxiliar i (1), Um nme-
ro complexo e' definido como um par ordenado de rnimeros reais 
(a,b). Doisniimeros complexos (a,b) e (e,d) se dizem iguais 
se, e somente se, a = o e b = d; a unidade Imaginaria e' o par 
(0,1); os iumeros reais correspondem aos pares (a,0). Aálge-
bra dos pares ordenados de niíineros permite introduzir os nu-me 
roa complexos sem recorrer a elementos imaginrios,Outrora tao 
inconveniente. 
1,2, O PLANO DOS NI(ER0S COMPLEXOS,. Os ntimeroe complexos 
podem ser representados geometricamente pelos pontos de um pia 
no cartesiano ordinrio, cada numero complexo a tendo para ima 
gem o ponto de abcissa R a e ordenada Im a, A representaçao 
e' biun'voca, isto e', cada ponto do piano representa um numero 
complexo e no existem dois nimeros complexos representados pe 
lo mesmo ponto. Usar-se-í, pois, urna certa liberdade de lin-
guagem e empregar-se-ao,, indiferentemente, 08 termos "ponto" e 
"rnmero complexo", sto modo de representar os rnrmeros compie 
xos pode ser considerado como extenso da representação dos n 
meros reais mediante pontos de uma reta, cujas imagens são po 
tos do eixo x, 
Cada ponto do plano complexo individualiza o vetor repre-
sentado pelo segmento orientado que vai da origem ao ponto co 
siderado. A adiço de ntímeros complexos sendo feita pela adi-
ço de suas componentes, vi-se que tal operação corresponde a 
adiço do vetores segundo a lei do paralelogramo (Fig. 1), 
natural a introduç&o de coordenadas polares (r, O ) no 
(1) Cfr. LANDAU, E. - 'Grundlageii der Ânalysi8". 
1.2 	 1 	5 
plano complexo. Tem-se, ento, (Fie, 2): 
	
r =IN/x + y2 = Jz , 	xraos O, 	yraeno (1,21) 
Empregando estas relações, pode-se escrever z na forma p 
lar ou trz.gonome'trica 
	
Z = r(cos O + 1 sen o ) 	 ( 1.22) 
	
O ângulo O, chamado 	 z +z 
amplitude (argumento) de 	
- 	2 Y 
z, e' representado 	por 
am z • Embora as coordena 	/ 	/ 	 Y / 	/ 	O X 	X das polares definam com- 
pletamente o numero com- 
plexo Z. a em z (z 	O) 	/ 	 Z2 	x 
e' determinada a menos de 
um mtritipio de 27t e am O 	 Fig. 1 	 Fig. 2 
e' indeterminada. 
O conJuado i = x 1 y tem uma interpretação geome"trica 
simples: i o simétrico de z em relação ao eixo real. Evidente 
mente, ain z = em z = Iz . Logo 
z = r(ooa o 	1 sen e) 	 (1.23) 
O produto de dois ntmeros complexos tem para expressa o 
trigonome'tri ca 
= r1 .r2 1008(8 1+02) + 1 sen(o 1+02)j 	Ç1.24) 
em que se verifica a re1aço 1 z1 ,z2 = r1,r2 = 	 A re 
gra para mu1tiplicaço pode, então, ser eatab8leoida como se-
gue: Para multiplicar dois nimeros complexos, multiplicam- se 
seus módulos e somam-se suas amplitudes, 
Pondo 
e(a) = cose + i seno , 
acha-se, pela re1aço acima: 
6( 01)-e(02) = e(91+e2) 
conhecida como fórmula de de loivre, Esta identidade í análo-
ga ao teorema de adiço para a função exponencial; de fato, e 
tabelecor-se-u mais tarde que 	 ie e(e)e 
Demonstrar-se-ao, a seguir, algumas propriedades de e(e): 
e(g) e' perio'dica, ooin.periodo 2, is.o e', e( O 	2 ) = 
Ale'in. disto, e(0) = 1; e(,t/2) = 1; e(Jt) = -1; se z = e(0), en-
tão ze(.e), 
1 9 	 7 
+ 	+ li 	w12 = 2 (1z1 2 + 1w1 2 ) 
onde z, w so nrneros complexos arbitrrios, Interpretar geo-
• mtriôamente o resultado, 
.3) Escrever na forma a + b 1 as seguintes expressoe8: 
b) 	, 	ø)Vp + q i 
• Em 3c) ha 3 soluções a j + 1 b , ( j 	1,2 1 3), 	Achar a equação 
obica cujas raizes so a1, a 211 &3 e 
3, A ESFERA DOS NtYMEROS COMPLEXOS. PROEÇXOESTEREOGRL. 
FICA, Para certas finalidades i mais conveniente representar 
os niimeros complexos pelos pontos de urna esfera, Utiliza-se, 
para isto, a esfera unitria 5 
x2 +Y2 +z2 =1 
onde X, Y, Z so coordenadas cartesianas ortogonais no espaço. 
Para plano dos números complexos escolhe-se o plano equatorial 
Z = 0:e toma-se o eixo 
- 	 1 
real na direção de X e 
o imaginrio na de Y . 	 3T 
A reta que une o ponto 
z = x + 1 y do plano 	 - 	-------- - 
equatorial ao polo nor 
te N(X = O, Y O, Z1) 
intercepta 5 em umpon 
to P que se toma como 	
* 
representação geome'tri 	Fig. 3 	 X 
ca dez s6bre a esfe 	 z 
ra. peste modo, opla 
no complexo i representado s6bre a esfera unit&ia de maneira 
biunvoca, excepço feita do polo N que no corresponde a pon-
to:algum do pleno doa z (ou plano z). Entretanto, ao se apro-
ximar Pz de N, sGbre 5, a distâncla'jzj do ponto corresponden-
te aGbre o plano origem torna-se• maior do que qualquer va-
lor prefixado; por isso, as vezes se representa N pelo símbolo 
co, chamando-o de ponto no tnfinito da esfera S. i então van-
tajoso: introduzir a noço de ponto no inf2nito do plano z, pon 
to ideal que e associado a N para completar a correspondência 
biun1voca entre o plano e a esfera de z De maneira ana#loga, 
fala-se do valor co assumido por uma varivel complexa z, embo 
rã ele, nao possa ser incluído no sistema de niimeros complexos 
1.3 H 
Observando que X2 + 	1 Z2 , obtmse 
a(1 + Z) +bX + oY + d(1 Z) = O, 	 (1,35) 
equaçÕ de um plano que, associada . da esfera unitria, indi-
vidual 
: 
Iza um. cfrculo. Para a reta, pe-se a = O, e (1.35) se 
torna 
bX +cY + d(l.Z)O, 
plano que passa por N. Á reõl#proca do teorema prova-se de ma. 
rietra arialoga. 
A : representaço definida pela projeção estereogrfica g 
conforme ou conserva 0$ aZ9U1OS. Com isto se quer dizer que 
as imagens s6bre a esfera de duas curvas que se interceptam, 
formam o mesmo aneulo de intereeoço que as curvas originais. 
Tal 05 pode demonstrar analiticamente, porem, dar-se-a um argu 
mento eomtri•oo simples. 
Seja z o ponto de 1nterseoço das duas curvas, z1 o ponto 
correspondente na projeço. Basta mostrar que o £ngulo f orma 
do pelo plano tangente \ 
r em z com a projetan.. / 
te Nzz e o mesmo que 	
/ 	 1 faz como plano equato- 	
/ 
rial 	Pondo . 	= 	 O 	/ 	/ 	
z 
e 	= ,tem-se, na 
figura ao lado (pN5Z' 
uma Vez que ambos sao 	 3 	
Fie. 4 
comp1mentares do mesmo 
ngulo. Porem, 	N5z 
Nz 	,,polo ambos subentendem o mesmo arco. O teorema 
resulta do fato de C e e serem sime'tricos em relação ao plano 
bissétor do diedro por eles formado. 
EXERCf CIOS 
4) Moatrr que o segmento que une os pontos P 1 e P2 de 5 e' 
normai ao plano z se, e smente se, suas imagens Z] e z forem 
inversas em relação ao circulo unitrio lzi = 1, Isto e', 	se 
1 zj • z2 = 1 9 e z1/z2 real e negativo. 
5) Mostrar que as extremidades P1 8 	de um diâmetro de 3 
azo representados em dois pontos Z] e Z
2
com lz1 .z2 1 = 1 
real e negativo. 
6) Caracterizar a imagem sobre a esfera, por projeço esto 
10 	 Cap,I 
reografica, de 
a) uma família de retas paralelas; 
b) um feixe do retas; 
o) um conjunto de círculos concntrics, 
Tambe'na caracterizar a imagem sobra --a piano a de um conjura 
to de círculos mximoa por um ponto d esfera S. 
7) Demonstrar geomtr1camente que a projeção estereogrfica 
e' conforme, estudando a imagem do feixe de círculos que passa 
pelo polo N e por um ponto fixo P de S. 
1,4, CONJUNTOS DE PONTOS,- Tendo presente a interpretaço 
geome'trica doa nmeros complexos, considerar-se-ao al guns con-
ceitos títeia da teoria doa conjuntos de pontos, 
Um conjunto 5 de pontos do plano complexo diz-se limitado 
se for possfvel encerp-10 em um círculo com centro na origem, 
tato EÇ, se existir um numero R>O tal que subsista a desigual-
dado IzI< R para todo ponto de S. 
Uma vizinhança N de um po-nt a0 e' o conjunto de pontos 
a tp.is que zz0 J <e, isto J, internos ao círculo de raio e e 
centro a0 . Um ponto a de 5 diz-se interior a 3 se existir uma 
vizinhança de a contida em S. Será exterior a 5 se possuir u_ 
ma vizinhança que não contenha pontos de S. Um ponto que no 
J exterior nem interior e, ponto do contorno ou da 
fronteira de S. 
Conjunto aberto e o formado apenas por pontos interio-
res. Se o conjunto dos pontos no pertencentes a 5 fr aber 
to, dir-se-a que 3 e' um conjunto fechado. 
Conjunto conexo e' aquele em que se pode unir qualquer 
par de seus pontos por uma poligonal contida no conjunto. 
Domínio e' um conjunto aberto conexo, Região e' o conjun 
to formado pelo domínio ao qual se adiciona a fronteira, 
Um pontoz 3 e' chamado ponto de acumulação do conjunto 5 
se t6da vizinhança de z 0 contiver infinitos pontos de S. Rela 
cionado a este conceito, subsiste o teorema fundamental: 
Teorema de Bolzano-ffeierstrass - Todo conjunto de pontos 
do plano complexo, Infinito e limitado, possue, pelo menos, 
um ponto de acumulação, (l) 
Outro resultado importante e' o 
(l) Para deoustraço, ver COTJRANT-ROBBINS, "Quá es la niatemtica?", cap. IV. 
12 
para n,in>N 	 t<f 
Logo, pela desigualdade trian gular: 
I zn_I = 	(z_zm)I 	+ 	e para n,m> N. 
2) Reciprocamente, supondo que {z 1 } verifique o or1trio 
de Caucby, d (2,11) segue, para dado c> O arbitrariamente pe 
qio, que existe um N tal que 
AN 
2,2. 	 13 
1 ZN.1 % < e para todo a> N, 
Isto e', todos os pontos que seguem ZN 	acham-se no Interior 
de um circulo de centro 	e ralo e , enquanto que fora dele 
existe apenas um número finito de pontos da sucessão. Logo, 
auoaesio e' um conjunto Infinito e limitado de pontõs e, pelo 
teorema , de Bo1zanoWeierstraes, possue pelo menos um ponto de 
acumulaçio, o que demonstra que a eucessio tende a um limite, 
Supondo existir dois pontos de acumulação, z e z lato quer 
dizer que existem infinitos ruímeros z1 arbitrariamente pr6xiw 
moa tanto de z como de z, isto e': 
' 
para urna infinidade de a e n, sa quais, junto com a condição 
de Cauohy 
	
< -f 	para m,n>N(e) , 
dao: 
1 z.z*kfzzm ( + lZmZfli + 
como, por outro lado, e pode ser escolhido arbitr&rlamen- 
te peqieno, conclue-se quê z e 	coincidem. Logo, o condtçao 
de Cüuehy é necessária e suficiente pare a corwerghcia de 
USO SL4C$$3O, 
2,2. $gRIE8, & serie de números complexos 
	
=1 + a2 + ,., + a+ .,. 	(2,20) 
diz-se convergente ou que tem soma 3, se a suoessio 5 das ao-, 
mas parciais 
5 	ar al+a2+...+an 
tender a um limite 2: B = lia 5 = 	a 
r1 r 
a serie nao tiver soma neste sentido, ala se diz dt uer 
gente, 
Uma condiçio necessarla e suficiente para a oonvergmncia 
da seria e' fornecida pelo orite'rio (2.11) de Ce.uchy: se a todo 
e> O corresponder um N(c) t&l que 
i n 	n+pI = k+1 + a+2 + 	+ a+I < e 	(2.21) 
para todo ri> 9(e),, p qualquer, a serie serg convergente. Logo, 
em t&da série convergente, 1 Ç-,O, condiçio que nio é suficieri 
te, pote, a série hara6nics 9 por exemplo 
14 	 Cap.I 
	
1 + 	+ ~ + ••• + 	+ 
diverge. 
Nos casos concretos pode no ser fícil demonstrar a oon 
vergnoia pela aplicação direta do critério de Caucby. Por 1e 
to introduzem-se diversas oondiçies suficientes denominadas 
critérios de convergência que, na maioria dos casos, permite 
verificar foilmente a oonvergnoia. 
+CD 
A serie Za, denomina-se absolutamente convergente se 
	
r=1 	_ 
f6r convergente aaérió 	ia,j. À convergência absoluta i 
r=1 
plioa a converg e-nela ordinéria, pois para todo eO podese a-
obar um N (€) tal que 
11%+11 +..-+Iznlil= 1%+1I+0+IZn+pIIzn+1+0*+Zn+pI 
para todo n>N(e), p qualquer. A rec1prooa no é verdadeira, 
polsaserte 	 1 	1 	1 
+ 
converge porém nio absolutamente, Uma série convergente porém 
no absolutamente, é chamadA condicionalmente convergente, 
Critério de confronto: Se e série Eak, convergir ab.so1.a 
tenente, entao toda série Ebk, com lbftIIakIpara todo n>i, 
também convergirá absolutamente. 
Á demonstração é imediata: 
jb 
: 
+oco+ b p f 	b +1I +,,.+ b p I 	I a 1 I 
Muito dtil para o critirio de confronto • é a série geoné 
trtca: 
+ k 	 2 r1+r+r + coe +r 1 +,.. 
k=o 
que converge, para 1r1 <1, ao valor 1/(1.r) e diverge quan-
do i r] > 1, Utilizando-a,obtm-se vértos critérios interessa 
te e: 
a) se existir uma constante r tal que 
(2,22) 
para todo n > N, entéo a série 	a converge absolutamente ., 
k=o 
Para demonstra-lo, abandonar-sei a soma dos primeiros 
termos 
2.2 	 15 
que afetam a soma apenas pela adiçio de uma constante. Em se. 
guida, sem perda de generalidade, toma-se N = O, Tira-se de 
(2.22», 2 1 
HI&n+li 	rIaI 	r 	 r 	Ia0 ! 
Comparando-a com a se'rie geome'trica, vise que esta série 
converge absolutamente. 
Por outro lado, se 
I _hI1 	 (2,22a) an 
para todo n . N, a serie diverge. Como acima, pode-se tomar 
N = O. Ento aI 	a0 , pois a nao tende a zero, de modo 
que a serie no pode convergir. 
b) Por confronto análogo e' fácil mostrar que a série 
converge absolutamente e. 
V ianir<i 	 (2,23) 
para todo n>N, Igualmente, a se'rie Z j ak diverge se 
> 1 (2.23a) 
para todos os termos apo's um predeterminado, Com efeito, para 
a divergência e' evidente que basta ser verificada a (2.23a) pa 
rã uma infinidade de valores de ri. 
Em (2.22) e (2.23) e' essencial que Ia +1/aI e 
jaz limitadas superiormente por um numero menor que a. unidade. 
No basta, p • ex,, Ia +i/a <1, pois na ae'rie harmônica se tem I a 
an n+1 
Oe critérios de convergência (2.22). (2.23) podem ser e-
nunciados de outra maneira, utilizando as noç&es de limite an-
perioré inferior. O limite superior de um conjunto infinito 
e limitado de nmeros reais x, lia x ou Um sup x, e' o maior 
dos pontos de acumu1aço do conjunto, o qual sempre existe, Pa 
rã demonstra-lo,, considere-se o conjunto dos valores y que 8O 
ultrapassados no mximo por um numero finito de valores x, De 
de que tal conjunto seja limitado inferiormente, ele possue uma 
1iinitaço inferior máxima, que será representada por À. Ento 
À = 15 x, Com efeito: 
e' ponto de acumulação do conjunto doe x, pois, ooneid 
rando-se o intervalo À e < <À + , segue-se da definição de 
lo 	 Cap,I 
?. que existem infinitos x> W. e e, no isa'ximo, um ntmero fii4 
to de x > X + e • Conclue-se que todo interveio contendo ?., con 
tem uma infinidade de pontos do conjunto. 
2, À e' o maior doa pontos de acumulação do conjunto x,Poia, 
suposto que ?'>?. seja outro ponto de acumulação, pondo 
existIra uma infinidade de valores x no intervalo 	<X$ e 
por ser ?' ponto de acumuiaço. Pore'm isto implica na exiatn-
aia de Infinitos valores x> X+ e= X' e, contrariamente a de 
finicio de W. 
Se o conjunto dás valores de x no for limitado superior-
mente, escrever-se- 	- 
um x + co 
Do mesmo modo define-se IM x, ou, mais simplesmente, 
limx -iii(-x) 
De (2,22) resulta o crite'rio de D'Âlembert 
(2,24) 
e de (2.23) o crite'rio de Cauohy: 
(2,25) 
condições suficientes para a convergência absoluta da se'rie 
+00 
a. Pois se, p,ex,, 	um vi <1, entao existe um 
e> O tal que r = ) + e <1. Como existe somente um rnmero finl 
to de valores de n para os quais VIAni > r x + e, a conver-
gncIa segue de (2.23). Analogamente pode-se demonstrar o re- 
sultado complementar, que I a 
(2,28) 
n 
e 	
>1 	 (2.27) 
ao condiçe.a suficientes de divergência, Feia observação fei-
ta depois de (2.23a), pode-se substituir (2.27) pela conaiçao 
mais fraca 
iii VI 
ERCf 0108 
12) Calcular o limite ou o ponto de aoumu1aço da sucessão 
{ z} onde: 
2,3 	 1? 
wn 
a) zu = 	, para w complexo dado; 
	
_wn
• 	 b) z1 	afl(cos n 	+ 1 san n p) para a e p dados, 
13) Mostrar que se uni z 	Z, ento, 
	
• 	 ízi_+ 
2z2 + 	+ flZ 
1 	1+2.+,,,+n 
converge para Z. 
14) Calcular o limite da sucesso 	/í 	i[}. 
+00 
16) Se a sane 	a convergir absolutamente, mostrar que 1 +00 	 +00 
anj < 	fa 
18) A damonstraço acima da existncia do.limite superior e' 
urna demonstraço do teorema de olzano.WeierstraS8 para mimeros 
reais. Estende-la aos ntmeros complexos, 
17) Demonstrar que 
Vi a 1< 1 lll <Um Via ïin1 	 n1 	a 
e, portanto, que o criterio de Cauchy J mais concludente que o 
de D'Alembert, 
18) Mostrar que as séries 
a) 1 + 2r + 3r 2 + ,,, + nr 	+ coe 
2 	3 
b) r+—+—++—+ 
2 	3 	 n 
convergem para Orl e divergem para r1 
+00 
19) Se a seria 	a convergir abs1utament6, mostrar que 
k=1 
t&da se'rie dela obtida por mudança arbitraria dos trinos ooflver 
se ao mesmo limite, Se convergir condicionalmente, mostrar que 
tal permuta conduz: 
a) ou a convergência a qualquer valor de dada reta; 
b) ou a convergncia a valor complexo arbitrrio. 
2,3, SÉRIES DE POTÊNCIAS, Uma funço complexa f(z) defini 
da , sobre um conjunto de pontos D do planodos z associa a cada 
Ponto, de D um valor complexo f(z). A teoria clssica das fti 
çes pode ser desenvolvida sob certo ponto de vista ( devido, 
18 	 CapI 
principalmente a Weierstrass') como estudo das funções represen 
tveis por serie de potências convergente Neste pargrafo es-
tudar-se-o varias importantes propriedades de tais series. 
+00 
Seja a seria de funçoes 	u 4 (z), convergente para todos 
1=1 
os valores de z de um conjunto D do plano complexo Diz-se que 
a se'rle converge urziformementeern D se, para todo e>O, arbitra 
riamente pequeno, e' possfvei um N(e), independente de z, tal 
que, para n> N e p qualquer: 
lu n+l(z) + Un+2(Z) + 	+ u+(z) 	< e 
para todo z E D. 
Se os termos da se'rje satisfizerem a condição i(z)I 
para todo z em D. com 0 4 constantes reais tais que 	o 	con- 
- 	+00 	 j1 
viria, então 	Eu4(z) convergira uniforme e absolutamente em 
j=l 
D, pois, dado e> O, e posavel achar um N suficientemente gran-
de de modo a se ter 
e > °n+l + 	+ cn+p ? !un+i )I + 	+ lun+P(Z)1 ) 
> I+i ) + 	+ u(z)) 
para todo n>N e p qualquer. 
Uma série de potências e' uma se'rie da forma 
P(z) 	E a 4 z 	ao + a1 z + 	, + an + coe 	(2.31) 
onde os coeficientes a0 , a,,,,,, a ÉP O00 são nü'meros complexos 
quaisquer. O principal teorema sobre se'ries da pot&ncias esta-
belece Se a serle de potências (2.31) convergir para z = t, 
Ia convergirá' absolutamente para todos os valores de .a' tais 
que Izi <iti 	Alem disso, se 0<r<1, a sere convergirá uni- 
formemente no círculo Izi 	rJ t, 
Demonstração: A se'rie P(z) convergindo para z = t, segue-
se que at1 —O e que, portanto, existe um número M> O tal 
que 1at1'I <M para todo n 	Se izjrItj onde Or<l, ter- 
1 az <M r 
A demonstraço resulta por comparação com a serie geometri 
ca. 
In azJ < nr1(- 
Comparando-a com a síria do exerc. 18, obtem-se o resulta-
do almejado. 
Ha duas possibilidades para toda se'rie de potncias: ou con 
verge para qualquer z, ou existe pelo menos um valor z r para 
o qual diverge. Neste caso, a s'rie deve divergir para todo 
1 zf>ftl, pois do oontr&io, pelo teorema acima, a série convir- 
para z = 
Óonciue-se que uma serie de potências convergente para ai-
um z O e divergente para algum outro valor, tem um raio de 
convergência p tal que a ee'rie converge absolutamente para 
IZI <p8 diverge para Izi> p 	O c1rculo 1 i 	p é' chamado 
círculo de conuerggneia da sirie, 
Àsirie D(z) convere no interior do ci'rculo da converg&n 
eia de P(z) e diverge para lz> p. A convergência já foi mos-
trada acima, e que p também seja raio de convergência de D(z), 
resulta do seguinte 
q'eorerna de convergência de Cauchy-Iladamard: O raio de con-
vergência de uma se'rle de potências 
+00 
F(z) = E az 
jÕ 
8' 	h 
	
1 	1 2.33 
À iim\/jJ 
O teorema e' consequncia direta dos crité'rios 	(2.25) e 
(2.28), Em particular, nota-se que a sé'rie converge para qual 
quer zse À= O, e só para z 	O se 	co. 
Crité'rio geral s6bre o comportamento de urna se'rie de p0-
tncias na fronteira do circulo de convergência e' fornecido pe 
lo crzte'rio de Abel. Por outro lado, se a serie for absoluta-
mente convergente num ponto desta fronteira, ento seré' conver 
gente em qualquer outro ponto da mesma. 
natural chamar uma tunçao complexa da forma 
X 	= a0 + a1 + a2 z2 + 	+ anz!l 	(an 4 o) 
20 	 Capo 
com os a1 constantes complexas, polinorizto de grau n em z Uma 
sJrie de potnciaa convergente pode ser considerada como funço 
de z em seu círculo de convergência, definida como sendo o limi 
te da scessao de polinômios 
P(z) = 
A derivada de uma funço complexa f(z) e' definida, exata-
mente da mesma maneira que no caso real, por 
um 	_13_ 	(1) 
w-z 
Inicilmente subsiste a identidade algebrica 
w, zn 
:= n..L + 	+ 	• + n-.l 
e, quando w-z, obtem-se 
n-.1 
dz 
Segue ,-se que: 
d 	 P(w).P(z) 
P(z) = - P(z) = um _n 	 az'"1 = ri 	dz 	 W 
=D(z) 
onde P'(z) e 	 representam a derivada do polinômio com 
Plexo P(z) Subsiste o seguinte teorema, fundamental na teo-
ria das se'ries de potncias 
Uma série de potencias convergente F(z) = az'7 pode ser 
deriuàda tarmo a tarmo no interior de seu círculo de conuer9& 
eta. 
Isto e", se existir 
P'(z) 	um 
	
w-,z 	W" 
ter-se-.i: 
+00 
P 1 (z) = 	j a , z'1 ' = liin P 1 (z) 	lim D(z) = D(z). 
Ja se viu que D(z) Um D(z) no interior do circulo de 
2,3 
	
21 
conver&ncia. Reata demonstrar que a razao incremental 
W 
pode diferir arhitr.rj.amente pouco de D(z), tomando-se w basta 
te prxtmo de z no interior do ofroulode convergência. Para is 
to, forma-se a razo incremental 
 ao D(w,a) = 	: 	
P(w) : 
	
+ 	
a 
onde, por brevidade, escreveu-se 
Pj = 	:z 
	+ w i-2 	• 	+ zj-1 
Seja t um ponto interno ao circulo de convergência tal que 
fz( < rltl , com r<1. Ento, 
IP j I 	j r' 
Lõgo, para o resto 	= 	a pi 	se tem: 
j=n+l 
= IajPjl 
< 	Jat 	
jr"1 	
ao 	
J_1 
Como a serie 	j r 	converge, pode-se tornar I Rj<c /3 
e ID(z) - 	< C/3, tomando-se n bastante grande. Escolhe 
do w suficientemente pr6xitno de z para que 
n 	nD( Z ) < L 
w-z 	 3 
ento, dado e> O, pode-se achar um õ> O tal que 
_____ - 	+ 	 + 	< 
e 
para 	- zI<6 , o que demonstra o teorema 
Como a derivada de uma se'rie do potências tambd'm e uma se-
rie de totncias de mesmo cfrculo de convergência, pode-se deri 
vai' novamente e repetir indefinidamente o processo, resultando, 
ento que uma série de potê ncias tem derivadas de t6das as or-
densrzo anterior de seu círculo de convergência. 
A série P(z) = ta z é a derivada da série de potências 
j=o 
22 	 Cap.1 
	
1(z) 	_L z 	 ( 2.34) 
j=oj+1 
esta podendo ser considerado como uma integral indefinida (pri 
nzitiva) do P(z). Evidentemente, seu c'rculo de convergência e' 
o mesmo que de P(z). L pois, simples extenso dos resultados 
obtidos, que uma se'rie de potnoiaa possa ser interada,quantas 
vezes se queira, no interior de. seu crcu10 de convergência. 
CRCfCIOS 
20) Achar os raios do convergência das séries de potno1as 
cujos termos genéricos t&m para coeficientes: 
a) a = n; 	b) 82n = - ; a211 = O 
c) a 	2+ 1 n ; 	d) a2 	 = 	n) 
21) Demonstrar que se existir um 	, ter-se-a 
piimJ 
ao 
e mostrar que o raio de convergência de 	n5 z , com a oom- 
plexo, e' 1. n=o 
3 A TRANSFORMAÇ0 LINEAR GERAL 
Uma função complexa w = P(z) pode ser considerada, geom-
tricamenta, como uma transfàrmaço que representa um conjunto 
de pontos (o doininio da varivel livre z) s6bre outro conjunto 
(dornÇnjo dos valrea w da funço), Um exemplo esclarecedor o' o 
da transforniaço linear geral 
az + b , 
oz+d 	 (3.00) 
onde a,b,o,d 5g0 quatro constantes complexas com (ad-bc)0 
A transfortnaço (3.00) estabelece uma representação biunvoca 
de todo o plano dos z (1) abre todo o plano dos w (que pode 
coincidir com o plano dos z), z e dado pela transformaço in-
versa 
dw.b 
 aow 
cujo determinante e' o mesmo que o de (3.00). Mostrarse 	que 
a representação e' conforme e, depois, que a transfor!naço li-
(1) 
Incluindo o ponto no infinito. 
3.l 	 23 
near e' caracterizada por estas duas propriedades, isto e', que a 
inica :representação biunfvoca conforme do plano s6bre ai me 
mo e' dada pela transformaço linear geral. 
3.1. CASOS PARTICULARES DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR GERAL,- O 
produto ST de duas transformaçSea v = 5(w), w = T(z), í simples 
mente a tranaformaço v = S[T(z)] , vi-se Moilmente que o pro 
duto de duas transformaes lineares e outra tranaforTflaçao li-
near. A diaouso sere simplificada pela conaideraço da trans 
formaço (3.00) como composta de varias transformaçea elementa 
res. H 
a) A translaço 
wz+b 	 (3.10) 
representa, simplesmente, um deslocamento rígido do plano z pe-
lo vetor b. Segue-se que a imagem de qualquer configuração geo 
nie'trioa por esta transformaço e' uma oonfiguraço congruente. A 
representaçao w = z e' chamada a identidade 1, pois deixa malte 
rada todos os poitoa. Os pontos auto-correspondentes so chama 
dos pontos fixos (unidos) e so de interesse especial em 
qualquertransformação. Se b 4: O, o nico ponto fixo da repre-
aentaço (3.10) e' o co. 
A transformaço 
w = az (a 4:0) 	 (3.11) 
e' melhor estudada em coordenadas polares. Pondo 
z1z1(oose+iaene) 	e aIaI(ooacr+isena), 
resulta 
IaIIzI[ooa(ct + e) + i sen(cz + e)] 
donde 
	
lwI=IaItI 	e 	amwama+amz. 
Conclue-se que a transformação (3.11) representa urna homo 
tetta de razgo tal com centro na origem, seguida de rotação , 
em t&nro da mesma origem, de um ngulo a = ain a. Assim (3.11) 
pode ser considerada como produto das transformaçes 
a 
	
v=z 	e 	wjajv, 
-ia 
a primeira sendo uma rotago e a segunda urna homotetia. 
Como a imagem de uma configuração qualquer por uma destas 
transtomaçea e' uma oonfiguraçio semelhante, e' claro que a 
transformaço resultante w = a z tambe'in tem a mesma proprieda-
de. Note-se que ao e O aio pontos fixos de ambas transforma-
çes. 
24 	 Cap.I 
o) A função 
transforma o plano z biunbooaanente, excepto z = O Pelas con-
venções feitas, completa-se a representação escrevendo w=oo pa 
rã z =0 e, inversamente, z CD para w = 0, Se,00mo acima, se 
escrever z = r(.00ao +1 sono), então (3.12) tomara' ornar a forma: 
W 	 = L [cos(_e) + 1 aen(-O)] 
r(cos0 +1 sono) 	r 
Pode-se, pois, decompor (3,12) nas transformaQea w =V e 
v = Z/Z 2 , A primeira e' uma simetria do plano z em relação 
ao eixo real, transformando figuras em figuras congruentes, po-
rem, com angulos de sentidos opoatos. A segunda e' uma 2nuerso 
em relação ao círculo unitrio; z e v estio sobre a mesma reta 
que passa por O e 1v1 = 1/1z1. Dois pontos em tais condiçes 
dizem-se inversos. 
Y 	 z 	As prinoipal.s propriedades da in.. 
verso supõem-se conhecidas da Geome- 
/ 	TT2 	tria Elementar: a inverso transforma 
X círculos em círculos (1) e conserva os 
' invertendo-lhes, porem, o sen-
tido. Resulta que a transformação 1/z 
e' conforme e preserva os ofroulos. 
A propriedade mala importante da 
Fig. 5 	 tranafórinaço linear geral 
a z, + b 	 ab = 	40 	 (3.13) 
cz+d 	 cd 
i que os círculos sio transformados em círculos. Dar-se-ao duas 
demonstraçea diferentes: 
1 • O teorema resultara imediatamente demonstrado se a trans-
formação linear geral puder ser decomposta nas transformações 
mais simples a), b), o), para as quais se sabe que subsiste a 
propriedade. Se o = O, procede-se como segue
a 
 41 1 w=v3 +-., 	v3 (---) 2 , 	v2 - , 	v1 =oz+d 
No caso especial e = O, de & + O resulta d + 04 0bte'mae, 
ento 	 w = p z + q 	(p 0) 
(1) As retas IO consideradas como cr&to que passam pelo ponto no infinj 
to, 
3.2 	 25 
Observe-se que este mitodo ainda demonstra que a tranefor-
maço (3.13) e' conforme. 
II. A segunda demonstraço depende da seguinte propriedade 
bisica da transformação linear: a birrazo de quatrõ pontos nio 
se altera por transformaçes lineares. 
3.2. BIRRAZXO DE QUATRO PONTOS.- Lnlogamente i geometria 
Projetiva, define-se a birrazo de quatro pontos z 1 ,z2 ,z3 ,z4 co 
mo sendo - -z 
	
3 	14 	2 z1,z2,z3,z4I = z3 - z2 z4 - z1 
Se w1 ,w2 ,w,w forem os valores correspondentes da função 
para z1 ,z29 z33'z4 em (3.13), pode-se verificar diretamente que 
(w1 ,w2 ,w3 ,w4 ) = (z 1 ,z2 ,z3 ,z4 ) , 
ou que :a birrazao de quatro pontos e' invariante por transfor-
maçoes lineares, 
Teorema: Condiçao necessa'ria e suficiente para que quatro 
pontos estejam sabre um círculo é que sua blrraaJo seja real. 
Seja z 1 ,z2 ,z3 ,z4 os quatro pontos e ponha-se rjk=Izj_zkl. 
Sendo 
z3z1=r31e(a1) 	(1) 
e 	
z3 - 	= r32 e(a 2 ) 
obtim-se: 
/"iN\ Z 
onde a diferença a - al-a2e o angulo 	f3 NN 
entre z 3 - z1 e z3 - z2 . An.1oamente, 	 a
41 	 z 
:_: =(Pi-P2) . 
com.p 	f31-2 angulo entre z4 - 	e 
4 - z2 . Pode-se admitir Oa,pir. 
A birrazo toma a forma: 
31 42 
	
(z 1 ,z2 ,z3 ,z4 ) = 	e(a 	) 
Mas, a condiço necessiria e suficiente para que z 4 esteia 
(1) Lembrar que e(0) coe O + i.sen O. 
28 	 Cap.I 
sobro o círculo doe pontos 11, Z2 ,Z3 e que a = f3, e a birrazao e 
real se, e ao- mente se, a p 	O, o que demonstra o teorema. 
A propriedade da transformação linear de representar círcu 
los por círculos, resulta da invariança da birrazo 
A tranaformaçao linear geral 
	
A40 	 (3.21) 
no depende de mais que tris parmetros complexos, pois, multi-
plicando o numerador e o denominador por constante conveniente, 
pode-se impor a condição t = 1 que permite exprimir um parme-
tro em função doe outros. de se prever, pois, que uma traria-
formaç& linear seja individualizada pela condição, de que tre 
pontos dados z 1 ,z2 ,z3 tenham para imagem tr&s outros pontos W 19 
tambJin dados. Tal e o que se da. o ponto w correspon-
dente a varive1 z deve verificar a equaço 
w 	w ww 	z 	z z-z 3 	1 	2 = 3 	1 	2 	 (3.22) w 3 _w2 ww l z 3 z2 z_z 1 
Não difícil ver que esta J uma transformaço linear que 
Possue a propriedade requerida Alem disso, a transformação in 
dividualizada ao se dar três pares de pontos correspondentes 
tZnica. Com efeito, os pontos fixos de (3.21) verificam a condi 
ÇaO 	 az+b 
que equivale &equação 
e z 2 + (d- a)z - b = O 	 (3.23) 
cujas duas raizes aio os pontos fixos da transformação, Se Ti e 
aio duas transforniaçee que levam z1 ,z2 ,z 3 em w 1 ,w 2 ,w 3 , en- 
tao T = T1T 1 , onde T 1 e a transformação inversa de T2 , •J a 
transformação linear que deixa fixos z 1 ,z2 ,z 3 . A equaço (3.23) 
teria 'então tre raizes i1 ,z2 ,z3 , o que e# Impossível, a menos 
que a=bc0, isto i, T1T 1 = 1, donde Ti = T2' demonstrando 
a unicidade da transformaço linear (3.22). 
Uma viaao mais profunda (devida a F. Klein) da estrutura 
da transtorniaço linear, e obtida considerando o comportamento 
da família K de círculos que passam pelos pontos fixos. Admitia 
do, inicialmente, que (3.23) tenha duas raizes distintas zi e 
os círculos que as contam se transformam em círculos 	que 
tambe'm passam por eles, isto e', pertencem ao mesmo feixe K. De 
3.2 	 27 
ser conforme a representaçio, deduz-se que os círculos da fatn- 
lia E'. ortogonais a K, tambJm se transformam em círculos de K 
Trs possibilidades po 
dam ocorrer: 
1. Todo ofroulo de K se 
se transforma em si mesmo. 
Tala 
1
círculos podem ser con 
siderados, oinem&tioamente, 
como trajtriaa segundo as 
quais os pontos do plano se 
deslocam para suas imagens. 
Tal transformação e' denomi-
n#da h tper.bo'l tca, 
2 • - Todo ofrcui.o de w' 
se transforma em ai mesmo. 
Os círculos de K' sano, 
pois, as trajet6rias, e a transformação se diz elíptica. 
3. -Nio subsistindo nenhum distes casos, a tranaformaçio se 
denomina 2 oxodrôm ice, 
ESta olassificaçio conduz nTaturalmente a uma forma normal 
de deônlçio para as três espicies de transformações lineares. 
Dados oe pontos fixos z1 e z2 , sejam z3 e z dois pontos de um 
,círculo do feixe, cujas imagens aio w,e w (w 1 = z1 ,w2 = Z
2
). Da 
invariança da birrazio, obte'm-se: 
z-z1 z3 -z2 w-z1 w3 -z2 
z-z2 z3 3w-z2 w3 -z1 
Atransformaçio pode ser escrita na forma normal 
(a=:332 *O), 	(324) 
Nó caso hiperbdïico z 1 ,z2 ,z3 ,w3 estio sobre um mesmo cÍrc 
lo. Logo sua birrazio a e' real. A tranaformaçio hiperb611oa 
toma aforma: 
::= a 	 (a*O, real) 	(3.25) 
Reoprocamente, de (3.25) segue que w, imagem de z,esti no 
orculo que passa por z 1,z2 ,z, Logo, a transformação e hiperb6 
lica. 
Para a transformação elfptioa, o teorema de Apo16nlo da 
28 	 Cap.I 
Geometria Elementar (exero 22 e 23) conduz & relação 
Iz - zil - 1w - zi l - 	
Z 2 	 (3.20) 
Conclua-se que a tranaformaçio elÍptica tem a forma 
z_z 	w 
= a 	1 	(tal 	l,4 1). 	(3.27) z-z2 	wz2 
Reciprocamente, de (3.27) resulta (3.28) e, por conseguin-
te, w ,e z estio num mesmo círculo da família ortogonal. 
A tranaformaçio loxodr6niica encerra as possibilidades res-
tantes: 
: :1 =a 	: 	( Ia {4 l,a complexo) 	(3.28) 
Finalmente, se as raizes de (3.23) coincidirem, a transí'or 
mação dir-se paraból2ca. Deixa-se,como exercício s, a obtenção 
de sua forma normal. 
EXERCfCIO5 
22) Mostrar, por inversão, que um círculo intercepta outro 
circulo ortogonalmentese, e &omente se, passar por um par de 
Pontos inversos em relaçio ao círculo dado. 
23) Demonstrar o teorema de Apol6nio O lugar dos pontos do 
Plano cuja razio das distancias a dois pontos fixos, P19 P2 e 
constante, e um círculo. (sugestão: P 1 a P 2 aio conjugados em 
relaçio ao cÍrculo). 
24) Por Inversão em relação ao círculo unidade,que sucede ao 
conjunto: 
a) doa círculos tangentes na origem a uma reta que & con 
tJm? 
b) dos círculos que passam pela origem e por outro ponto 
dado A? E & família dos círculos que lhes aio ortogo 
nai a? 
25) Escrever as formas normais das transformações hiperb1i-
cas, elÍptica e loxodr6mica no caso de estar no infinito um dos 
Pontos fixos, 
28) Se os dois pontos fixos da transformação linear coincidi 
rem, ela se diz parab611ca. Escrever sua forma normal. 
27) Se numa tranaformaçio linear o anterior de um círculo se 
corresponde, mostrar que ela não pode ser loxodr&nica. 
3.3 	 29 
33, CASOS ESPECIAIS NOTÁVEIS DAS TRANSFOI(AÇ!S LINEARES, 
Varias: representaçes dadas mediante transformaÇeS lineares 
aio de particular importância (por exemplo a de círculos em cr 
culos). Como se viu, os coeficientes da tranaformaço linear 
geral podem ser escolhidos de modo que tra pontos arbitririoa 
do plano z correspondam a trs pontos prefixados do plano W. Co 
mo círculos se transformam em círculos, e um circulo e Indivi-
dualizado por tra de seus pontos, resulta que existe uma trans 
fortnaço linear que associa um círculo prefixado do plano z a 
dado circulo do plano w. Na individualizaço de transforinaçes 
específicas, necessita-se do seguinte lema: 
Iuo transformação linear, pontos inversos em relação a da-
do círculo têm imagens inversas em relao ao círculo imagem. 
O lema e' consequncia imediata do, exerc. 22. 
Como primeiro exemplo, tome-se a transformaço geral que 
representa o eixo real sabre o círculo unitário de modo a ser o 
semi-plano superior lis z> O representado no interior do ocr-
culo JwJ<l e o ponto za com lis z> O seja representado. 
pela origem w = O, Segue, do lema acima, que o ponto a tem w = 
= ct para correspondente. A tránsformaço deve, pois, ser da 
formaH 
wk 
Z 
A constante complexa k pode ser calculada observando que o 
eixo real e' representado pelo circulo unitrio,logo Jw1 = 1 pa-
ra a real, e Iki = 1, Com esta restrição de k e' claro que 
Ia z)' O para Jw1<1, Cjlculo direto permite verificar que a 
funço z.,a 
	
w = k - 	com k 	1 e lis a> O, (3.30) 
transforma o semi--plano superior no interior do círculo unida-
de, sendo, pois, a transformaço linear mais geral do tipo pres 
crito, 
Exemplo interessante e' o da transformaço que representa o 
Interior do circulo unidade em si mesmo. Escolhe-se,arbitrria 
mente! ponto a = a no interior do círculo (1 ai <.1), o qual se 
re transformado na origem w = O. Aplicando o lema, vi-se que o 
ponto inverso 1h E deve ter w = co para correspondente. A trans 
formaço ao' pode ser da forma 
3.4 	 31 
3 04. GEOMETRIA DE POINCARL- Pode-se dizer que a Geometria 
uclideana descreve as percepçGes mediante diagramas desenhados 
sGbre o papel. A geometria nêoáeuclideana, embora de aparência 
um pouco estranha no incjo, fornece melhor descriço do que a 
geometria ordinria de certas experiências, em particular, doa 
fen6menos oticoa. Existem, porem, certas particularidades co-
muns a estas geometrias, que ficarão esclarecidas dando-as com 
alwn detalhe, 
Tal Geometria empregará as noções de pontos, rotas, distan 
aias e deslocamentos como na geometria ordinaria. Em primeiro 
lugar, limitarse-a ao espaço constituido pelo semi-plano supe-
rior Im z>O, Como pontos, tomam-se os pontos euclideanos or-
d1nrios; para retas, os semi-ciroulos com centro no eixo real 
e situados no semi-plano superior. De acordo com esta conven-
ço, ficam inoluidas as semi-retas normais ao eixo real. Esta 
detinigo de reta goza das propriedades usuais: 
1, existe uma tiriica reta que passa por dois pontos quais- 
quer; 
II, duas rotas se interceptam em apenas um ponto; 
III, existem certas transformações do espaço, 	denominadas 
deslocamentos, qtis gozam da propriedade de transformarem retas 
em retas, de tal modo que: 
a) A ordem dos pontos de uma reta fio se altera por desloca-
monto; 
b) qualquer ponto pode ser deslocado para outro de tal modo 
que um raio com origem no primeiro seja transformado em 
raio arbitrrio com origem no segundo ponto. 
Como deslocamentos tomar-se-ia as transformações lineares 
do semi-plano superior 
w = 
	
- 	(a,b,o,d reais e ad-bc)-0). (3.40) 
O conceito análogo a distância ordin&ia entre dois pontos 
que tem maior tnterêsse, Existem cortas condições a serem 
preenchidas pela funçio distância. Se P,P2 ,P3 eao pontos quais 
quer do espaço e D(P,P 1 ) e' a distância entre eles, especificam 
se as seguintes condiçea: 
1. D(P1 P) = D(P.P) 
2, D(Pi , Pj)>O para P, 	e 
32 	 Cap,I 
D(P1 P) = O para P 1 = P 
3, D(P,P2 )+ D(P29 P3 ) 	D(P1 ,P3 ), a igualdade se veri 
ficando s?mente se os três pontos estiverem ordena-
damente sobre uma reta. 
Finalmente, exige-se que a distância entre dois pontos no 
mude em qualquer deslocamento. 
As possibilidades para definir uma tunço distnoia 8a0 ai 
go restritas, Se D(P 1 ,P2 ) í uma função distância qualquer, en-
to qualquer outra R(P1 ,P2 ) pode ser escrita como runçao unvo-
ca de D(P1 ,P2 ). Em outras palavras, existe uma relação biunlvo 
ca *entre os valores de D e os de R. 
Para demonstra-lo, provar-se-as que se z 1 ,z 2 e w 1 ,W2 aio pa 
res quaisquer de pontos, com D(z 1 ,z2 ) =D(w 1 ,w 2 ), entao R(1 1 ,z2 )= 
= R(wÏ,w2). inicialmente existe um deslocamento que transporta 
em w e o raio z 1 z2 em w1w2 , Seja v a imagem de z2 , Podem 
se dar dois casos: ou v esta entre w e w ou w 2 esta entre wl 
e v. No primeiro caso, obtem-se 
D(w 1 ,v) + D(v,w2 ) = D(w1 ,w2 ) 
Da invarincia de D por deslocamentos, 
D(w1 ,v) = D(z1 ,z2 ) 	D(w19 w2 ) 
Logo, D(v,w2 ) = 0 1 o que se da. apenas quando v = W2 . A 5 
gunda possibilidade conduz ao mesmo resultado. O fato de que 
existe um deslocamento que leva z 1 em w e z 2 em w2 revela ser 
R(z1
,7-
2 ) = R(w1 ,w2 ) 
A mesma demonstraço pode ser usada para mostrar a exíatên 
cia de uma correspondência biunvooa entre os valores de D e os 
de R. 
Pesquisando uma funço distancia invariante na transforma- 
o (3.40) pensa-se, naturalmente, na bjrrazo de 4 pontos.Mas, 
para definir a distancia D(P1 ,P2 ),que 
pontos se devem escolher para comple- 
1 tar a birrazo? Uma escolha obvia e' 
o par de pontos do eixo que estio nas 
extremidades do semi-orculo que une 
e P2 , os quais aio individualiza- 
dos de maneira jiioa e se transformam nas extremidades do semi- 
ofrcuio que passa pelas imagens dos deslocamentos de P 1 e P2. 
3.4 33 
A birrazio, entretanto, no satisfaz a propriedade aditiva 
da distância, isto e', se P19 P2 ,P3 so pontos da mesma reta enes 
ta ordem, entio, 
D(P1 ,P2 ) + D(P2 ,P3 ) = D(P1 ,P3 ) 
Entretanto, 
(P P (P1P31 ) (3.41) 
Isto sugere o uso do logaritmo da birrazio como tunçao dia 
tnoia adequada, 	Como no pode ser negativo, tomam-se os valo- 
res absolutos: 
D(P1 ,P2 ) =k1g(P1P2 Q2 ) 	, (3,42) 
onde k> O pode ser fixado arbitrariamente, 
£ formula (3,42) e' a função distancia mais geral obtida na 
geometria de Poinoare', 
Para demonstr-1o, trana Q2 
forma-se o aemio1rou10 unin- 	P1 
do os pontos P1 e P29num raio 	 2 
normal ao eixo real, o que, ! 
videntemente, pode ser feito, y1 	P 
porquanto disp'em-se 	de três 	Q 	 Q2 n e 
paretros reais, que permite 
escolher arbitrariamente um ponto e especificar que a 	abcissa 
do segundo e' a mesma que a do primeiro. 	A birrazgo (P 1P2 Q1 Q2 ) 
torna-se simplesmente y 2/y1 . 	Esoo1hese, entgo, como 	função 
distância 
D(P1 ,P2 ) 	(P,P) 	lg y2 - lg 	'i 
Se R(PP2 ) e' outra expresso para a distnoia, ela e' fun- 
ço unfvooa de D(P1 ,P2 ), 
R(P 19 P2 ) = f(D) = f(lg y1 
Em particular, se y1 ,y2 ,y3 8g0 pontos da reta, dispostos 
nesta ordem, tem-se:f(lg 2 1 )+ t(ig 	= f(lg ) = f 1 	+ lg = 
f(ílg 	+ 	lg—.-) 	. j 
Y2 	Y1 
Logo, para quaisquer valores positivos a,b: 
f(a) + f(b) = f(a + b) , (3.43) 
donde 	 f(n x) = n f(x) , 
34 	 Cap,I 
para n inteiro, A].e 'm disso, para todo racional p/q, observa-se 
que 
q t(f x) = p f(x) 
donde, 
f(j»x) = 
 q 
O resultado estende-se facilmente aos rnimeros reais. Seja 
r real ,e a<r<3 ( a,p racionais). Segue-se que 
f(ax) <f(r x) <f( x) 
deduzindo-se 
<frxJ < 
f(x) 
Logo, f(r x)/f(x) verifica as mesmas desigualdades que rui 
mero r, e se conclue que 
f(r x) = r f(x) 
Pondo f(l) = k, ter-se-is 
f(r) = f(r.l) = kr, 
Em particular, 	
7 
R(P19 P2 ) = R(D) = k D(P 1 ,P2 ) = k lg 
3.5. CONCEITO RflXANNIMO DE COMPRIMENTO.-Suponha-se a our 
va C no semi-plano superior, A maneira natural de definir seu 
comprimento na nova geometria i utilizar o me'todo de Riemenn ao 
mo no caso euolideano. 
Sejas 
P1 	xx(t), y=y(t) 	(Otl) 
as equaç6es parame'trioas da cur-
va. Na notaço complexa, san 
Z = z(t) = x(t) + 1 y(t) 
Supor-se-i que nenhum ponto 
corresponde a dois valores dis- 
tintos do parâmetro, que a curva seja geralmente regular e que 
se tenha sempre 
z'(t) = xe(t) + i y'(t) 
mo caso euclideano ordinirlo, o 
comprimento da curva e' avaliado to-
mando o limite de arcos poligonais 
inscritos em C. Subdividindo o inter 
valo de t 
O = t0 <t1 <SS <t 	1, 
obtém-se uma subdiv1so da curva pe- 
3.5 	H 
•los pontos 
= z(t0 ), w1 = z(t1 ) ,... , WN = z(tN) 
Unindo os pontos sucessivos por segmentos de reta, obtém- 
se, um polígono aproximado de comprimento 
	
- 	= 	At 
O limite desta soma quando max At— O, e a integral 
1 	i 
	
SJkt = 	 + [y'(t)] 2 dt dt o 
Nó semi-plano de Poincar, o comprimento de uma curva í de 
finidodo mesmo modo. Substitue-se a curva pela poligonal apro 
ximada cujos lados sã M o arcos 
de círculos, unindo pontos 
consecutivos da sucesaao con 
siderada e normais ao eixo 
real. O comprimento da cur 
vã é O: limite da soma 
Y d(w gw 
quand::max(t 1 t)--O. 
A distancia entre pontos vizinhos w, w + A w pode ser obti 
da transformando o semj-e,Çrculo que os une numa semi-reta nor-
mal ao eixo real, Ento, como anteriormente, ter-se-a 
	
D(w,W+Aw) = lgY 
+ 	= J Alg y = 	+ c( Ay)A y 
k diferencial do arco deve, pois, ser da forma , que 
em função do ponto w toma a forma ----, onde v = Im w. Logo, o 
comprimento da curva O e 
t1 dz 
dt dt 
EXEROf aIOS 
28)Achar a transformação que representa a região entre ocí 
oulo uitarjo e um círculo excêntrico nele contido em 
a) a região entre o circulo unit&io e um círculo con-
cntrico em seu interior; 
b) a região externa a dois círculos iguais. 
29) Verificar que as transformações lineares do semi -plano 
superior (3.40) verificam as condiçes para os deslocamentos na 
38 	 CapI 
geometria de Poincar(;. 
30) Verificar a desigualdade triangular para a funço di8tn 
cia (3.42), 
D(P1 ,P2 ) = k 19(P1P21Q2) 1 	(k>O) 
31) Mostrar que o comprimento L 
j t 
lIdz
L= 	
o Y 
de urna curva C no eernip1ano superior, i um invariante por des 
locatnento (isto e, por transformações lineares do semi-plano eu 
perior), 
Uma funço w = f(z) definida no drnÇnio ID, diz-se contínua 
em D quando, para todo ? de ID, se tiver: 
	
um f(z) = 	f() 	 (2.00) 
O limite de uma funo complexa e definido como no caso r 
ai. Se para E> O existir um ô(,) > O tal que 
If(z) - ai < s 	quando 	0< z - I<õ(c,) , 
diz-se que f(z) tende ao limite a quando z tende a , e se es-
creve: 
	
lim f(z) 	a 
2 	 39 
Assim, a definiço de continuidade importa na exigência de 
que dado qualquer c> O, exista um ô(e,) tal que If(z)f()I <e 
para todo z que verifica Jz_I<Õ(e,), Geonitricamente isto 
significa que, traçando-se qualquer círculo com f() para cen-
tro,, e sempre poseivel achar uma vizinhança de Z que tenha a 1-
magem completamente no interior do círculo dado. 
A. noção de limite e' inale geral que a de continuidade,. 	A. 
• tunço que tem limite num ponto pode tornar-se continua neste 
ponto, atribuindo-lhe, nele, o valor limite. 
A definiço de continuidade pode ser dada diversamente. A 
funço w = f(z) e' continua no ponto 	de seu domínio se para 
toda sucesso {z} em D comz— 	se tenha 
lim t(z) = f() . 	 (2.01) 
n - 
Diversamente, w = f(z) = u(x,y) + 1 v(x,y) e' continua em 
D se o forem, separadamente, suas partes real e Imaginaria. O 
leitor poderEZ demonstrar a equivalência destas três definições. 
Se f(z) e g(z) forem funções continuas em D, ento f(z) + 
g(z) e f(z),g(z) tambe"m o são em D. Ale"m disso, o quociente 
f(z)/g(z) sera continua em todo subdominio no qual g(z)+O. 
Uma função contínua de função contínua é contínua, Mais pr'eci 
samente, se g(z) for contínua e transformar um domínio D num 
conjunto D I e se f(z) f&r contínua num domínio contendo pe, en-
to a funço F(z) = f[g(z)] serã contínua em D. À demonstração 
e# aplicação direta de (2.01). É fcil construir classes amplas 
de funções contínuas: do fato de serem contínuas uma constante, 
e z, segue que opoiin6mio 
p(z) = a0 + a1z + ,,. + 
e' contÍnuo no plano z, e que qualquer funçao rac tonal 
a +az+ 	zM O 	1 	- is 
+ b1.z + ••• + bZ 
e' continua em qualquer domínio em que o denominador no seja nu 
lo. 
Os valores assumidos por uma função continua permanecem 
dentro de uma vizinhança de raio e de f() para todos os valo, 
roa dê 'z interiores a uma vizinhança de raio 6 de ?, onde 6 d 
pende de e e , 6 ô(e,). Em geral no sera possÍvel tomar 
40 	 Cap.II 
ô completamente independente do ponto 2. A função hz, por ex., • 
e contínua no domínio O < Jz1 <1, mas, dado qualquer e , no 
existe nenhum 0 fixo que convenha ao domínio todo, pois, evi-
dentemente, quando r, tender para a origem dever-se- fazer 8-'O, 
Diz-se que uma função e uniformemente contínua se a todo e>O 
corresponder um 8(e) > O tal que Lf(z) - f()ke para todos os 
pontos z,n em D que satisfizerem z - 1 <.8(e). Para uma re-
giaz finita, a continuidade implica a continuidade uniforme. 
Com efeito, pode-se estatuir com maior generalidade: 
Se uma função f(z) for contínua num conjunto de pontos li-
mttado fechado D. entao ela seró uniformemente contínua em D. 
Pondo f(z) = u(x,y) + i v(x,y), vi-se que este resultado 
e corolario do teorema para funções reais. ( ) 
Existem diversos meios para representar uma função por uma 
série de funçes convergentes. SO,, pois, essencial um !netodo que 
permita saber se uma função dada como soma de uma síria conver-
gente i contínua, o qual e fornecido pelo teorema: 
Uma funç ão f(z) definida num domínio .D como soma de uma si 
rie uniformemente convergente de funçes contínuas de z, é 
contínua. 
Com efeito, supondo 
f (z)n. n=l 
onde os f(z) aio contínuas em D, e representando o reato, apms 
n termos, por R(z), pode-se escrever: 
f(z) = 	 + R(z) 
	
Logo, para qualquep par de pontos z e 	em D, tem-as 
(f(z) - () I = 1 	- 	f(?) + R(z) - R(r) 
 È fk ( n ) Ãfk (Z) - 	 + 
Como a síria converge uniformemente em D, segue-se que, a 
todo e>O, corresponde um N(C) para o qual lRn(z)l < e/3, qual-
quer que seja n>N(c) e para todo z em D. Alermm disso, sendo 
oontnüa a soma de um nmnero finito de funçea oontl"nuas, pode-
se determinar um Ô(e tal que 
( 1 ) 
 
Ur. COURANT ciculo Diferezoisi e Integral", Vol.I, p.63 e seguiutea. 
3.1 	 41 
f 	Y 	1 - 	< -- , para lz-I < 
Aiaim, dado e>0 9 pode-se achar um . > O tal que 
	
- f(?)I < e 	quando 	IZ - 	< 
o que demonstra a continuidade de f(z). 
Qorolr1o: Usa série de potinc2aa representa uma fungo 
contínua no interior de seu círculo de convergência. 
3. FUNÇES ANALÍTICAS 
3,1, DITEREcILBILIDADE, Ate' a gora se empre garam conceitos 
que eram generalizações 4bvias das noções elementares da Anli-
se real. O desenvolvimento do cálculo diferencial e integral 
das funções complexas assenta s6bre a noço de derivada comple-
xa e esta, como se ver, conduz a novos pontos de vista. 
Uma função complexa w = f(z) diz-se diferenel6Del Ou OflO-
gmnca, no ponto se, ao tender z a , arazão incremental 
tende a limite independente da maneira segundo a qual z-. O 
limite desta razo incremental denomina-se derivada de f(z) no 
ponto n, representada por ou f'(). Uma função difere 
ciave1 necessariamente contínua, pois f(z)-f() tende a zero 
com z-n. Analogamente, pode-se introduzir a definiçio de deri-
vada pór meio do teorema do valor me'dio: 
Umá funço f(z) será dlferenojivel no ponto se puder ser 
,escrita na forma: 
f(z) 	+ 	+ 
onde ?)-0 quando z isto e', f(z) pode ser aproxima 
da por uma tunço linear na vizinhança de ?. Se f'(z) for uma 
funçoÓontÍnua em qualquer siíbconjunto fechado e limitado do 
domínio de analiticidade def(z), a f'unço 
e(z,) = f(z) : 	- f'(z) 
sendo contínua (1) deve ser uniformemente contínua e pode-se sri 
to prefixar, em (3.11), um e> O tal que 
1 C(Zgn ) <e 	para 	z - 
(1) Pari a . define-se o valor da rasgo incremental como sendo a derivada 
42 	 Cap.II 
com ô(e) funçãn apenas de C 
sa0 de particular interesse as funçGes que possuem deriva-
da em todo ponto do domínio D, as quais aio ditas analíticas em 
D. Mais tarde serão denominadas funções analíticas regulares, 
enquanto a palavra analítica designará,, mais geralinente,funçes 
que sao diferenciaveis excepto em certos pontos. Por enquanto 
no se fará esta distinço. 
As regras de diferenciação das funções analíticas so for-
malmente as mesmas que as das funçes reais, bem como as demon! 
traçes. Assim: 
I. 4 soma de duas funçes analíticas e' dertva'vel, e sua de-
rivada é a soma das derivadas das parcelas, 
dz + g(z) 	f'(z) + 
g , ( Z) 
	 (3.12) 
II O produto de duas funç6es analíticas tem derivada, a 
qual ó dada por 
dz = f'(z).g(z) + f(z).g'(z) 	(3.13) 
III. O quociente f(z)/g(z)i derivável desde que g(z) = O, 
e,9 9 como no caso real, 
= f(Z)R(Z)f(Z)g'(Z) 	 (3.14) 
IY, Finalmente, uma função analítica de uma função analíti-
co é analítica, tais precisamente, seta =f(z) é' diferencia-
061 no ponto n e se p (m) J dlferencla'vài no ponto ø=f(), e, 
to h(z) =g[f(i)] J d*ferencla'vel em s=, e tem-se: 
3.1 	 43 
f'ereneia'vel desde que o fossem suas partes real e imaginarla( 1 ). 
Tal, porem, nao se da. A diferenciabilidade de u(x,y) e 
v(x,y) nio implica a diferenciabilidade de f(x,y) como se pode 
vir com: um simples exemplo: seja f(z) = x + 21 y. Aqui u = x e 
V = 2y ao funçes diferanciveis de x e y Pondo z = 
= A x + IA y em (3.10), obtem-ae 
ic + âx + 2(y + Ay)I 	(x + 2y 1) 	Ax + 2lAy 
AX+IAY 	 AX+iAy 
Fazendo z - - O por valores reais, ento Ay = 0 1 e o li 
mi te 1; mas se Ax = O quando o limite será 2. Logo, 
f(x) no e analftioa. A exige-nela do limite de (3.10) ser o me! 
mc, qualquer que seja a maneira de z -,introduz algo de novo, 
que no se verificava na teoria das funções reais. 
Passarse.a# a investigar o que adiferenciabilidade da fu 
ço f(z) = u + 1 v implica para u e v, Tem-se 
f(z) = f(n) •+ [r'() + e(z,)] (z ..) 	(3.11) 
onde e(z,) —0 para z-. Separando as partes real e ima 
ginaria, z 	x + 1 y 	+ I'fl , f' (z) = A + 1 B e e = 	+ 
resulta: 
	
u(x,y) + 1 v(x,y) - [u(i) + 1 v(, li) ] 	(A +€1 )(x - 
	
(B +e2)(y ..ij) + i[(B +e2)(x - ) +(A+c1)(y 	)j 
donde 
u(x,y) - u(,r)) 	(A +e1)(x 	) 	(B +e 2 )(y - r) 
e 
v(x,y) 	( ,'-i) = (B 	 ) + (A +e1 )(y 
Como e1,e2 tendem a zero quando (x,y)_(,1),seguenj..se dos
, 
 
tas reiaç6e9 que A = u, B = u e A = v 7 , B = v, Logo, u e v 
devem satisfazer um par de equaçes a derivadas parciais - as 
oe'1ebrea equações de Cauchy-Riemann: 
(1) Uma funço real 11 u(x,y) o diferencivel no ponto E, se puder s rs 
presenteda na forma u(x,y) u(,) + (A+e)(x.) + (B4e 2 ) y-) onde ZrA e B 
so independentes de x e y, e e, e 2 tendem a zero quando o ponto (x ,y) ten- 
de a (,fl). Genrioamente A e B aZo as derivadas parciais de primeira or- 
dem de u( y) A u(,T)), B = u()). Uma condiçao suficiente para que 
uma funçao de duas variaveis reais seja diferenciavel, neste sentido e que 
u(x,y) seja continua numa vizinhança do ponto (t,i) e que u7( ,ii) exista 
O significado desta definição reside no fato de que uma função satisfazendo 
esta condiçao, possue derivada segundo todas as direções. Cfr. COURAN? "Cal 
- culo Diferencial e Integral", Vol,II, p.532 e. seguintes. 
44 	 Cap.II 
(315) 
ôxôy 	 ày 	àx 
Subsiste o teorema: 
condigo necesstfrta e suficiente para que a fungo complexa 
t(z)u(x,y)+i.v(x,y) tenha derivada contínua no domínio D 
é que as partes real e imaginaria sejam diferenciáveis e .a 
tisfaçam as equações de Cauchy-Riemann: 
ôx. õy 	' 	ôy - 
A demonstraço da suficincia e' simples (a necessidade j 
foi comprovada acima). Pode-se escrever: 
	
Xá, li + y) 	u(,) 	x + 	y +ay 
e v( + 	+ Ay) 	v() 	x + 	y + 
Vá x2 
onde e 1 e €2 tendem a zero com 	 Usando as equações 
(3,15), obtJm.ee: 
+ 	+ .í!1±!21L4!i 
	
4z 	 bx 	ax 
concluindo-se que f(z) tem para derivada: 
âx 	õxay 	õy 
Como exemplo de runçao analítica, seja 
w = (x2 - y2 ) + 2xyi, 
onde u = x2 y2 e v = 2xy so contínuas e d1ferenciveis, 
como uX = 2x, u7 = -2y, v = 2x, v = 2y, as equaçee 19 Cauchy.-
Rlemann so verificadas Observa-se que u e v so as partes re 
ai e Imaginária ia funço w = z 2 , e que 	= u, + i. v, = 2z. A dz 
derivada de w = z2 podia ser obtida sem recorrer às equaçes 1e 
Cauohy-Rieinann, formando a razo incremental e passando ao limi 
te. Por outro lado no basta tomar o limite em apenas uma dire 
ço Uma função to simples como f(z) = E não tem derivada 
Embora formalmente a mesma, a definição de derivada para 
funçes complexas conduz a uma classe de funçes mais restrita 
do que no caso real. Dos valores assumidos por urna funço real 
numa parte de seu domÍnio de definiço, nada se pode concluir 
sabre os valores nos demais pontos, enquanto que os valores lo-
cais de uma funço analÍtica acham-se Intimamente relacionados 
3.2 	H 	 45 
com os que ela assume no domnlo todo de defini.çao. Tal ser 
Posteriormente demonstrado, bem como a seguinte propriedade, 
talvez a mais notvel de toda a teoria: Á dertuada de urna fun-
çao anal (ttca éanaltttca0 Logo, qualquer funço analÍtica J 
indefinidamente derivável. 
3,2. OBSERVA Ç6 E EXEMPLOS, FUNÇÔES HARMÔNICAS.- Examinar 
ae..o alguns exemplos de funções analÍticas. 	Seja f(z) = 
Sob a forma (3.11) tem-se 
zn - 	(z)[n2' 	+ (z - n) R(z,[ 
onde R(z,) e' um polinômio e, portanto, (z -2)R(z,? )-0 quan- 
do z 	Por conseguinte, f(z) = z i diferenolvel para todo 
finito (n>0), isto e', z1' e' analítica no plano z e tem deri 
vada. 
= n 	• 	 (3.20) dz 
De (3.12), (3.13) e (3.14) resulta imediatamente que qual-
quer fnço racional 	 m a +a,z + ... +az 
R(z)= O 
+ b1z + ... + bz 
' analÍtica no plano z, excepto (eventualmente) nos pontos em 
que o denominador fBr zero. Ma particular, a função linear ge-
ral e analÍtloa. 
Outro exemplo importante e' a funço 
f(z) = eX(cos y + i san y) 
que verifica as equaçes (3.15) de Cauchy-Riemann e para a qual 
x+x2 
f(z1 :):.f(z2 ) = e 	[cos(y1+y2 ) +i sen(y1 +y2 )] = f(z 1 +z2 ); 
para z real, y = o e a função se reduz a eX. Tal runçao f orne 
ce uma extenao natural da função exponencial ao campo complexo. 
Verse', mais tarde, que a inica extenso anâ1ÇtIcapossÍvel. 
Logo, por definição, o = eX (aos y + 1 sen y) 	 (3.21) 
De. f'(z) = Ux + i v resulta a propriedade familiar da 
funço exponencial: 
A funço e(a) = cosO + 1 sano , definida no inÍcio do tra 
- balho, pode ser, agora,escrita na forma e ie ,e todo numero com 
plexo Z: assume a chamada forma exponencial 
46 	 Cap. ii 
1 = 
onde r=' Izt, 0= ao Z. Isto sugere a extenso da funço lota- 
ritmo ao campo complexo: 
lgZlgr elo lgr+18 
2 	 y 	 (3.22) = lg Vx + 	+ 1 arctg iT 
Evidentemente, 
x 	 y 
U =-•- 	=v , 	a = 
/2 2 	 ' 	F2 2 	X vx+y 	 vx +7 
de modo que lg z e" analÇtioa no plano 1 todo, exceptuada a o-
'1gem. 
De maneira geral já se viu que uma se"rie de potnoias 
P(z)a +a1 z+ oco +az 1 
analítica no interior de seu ori'ouio de convergência e, es 
conaequnoia, possue derivadas de todas as ordens no seu Inte-
rior, sendoP(z) = kak.+ 	&k +lZ + 	• 
+ 
De modo anilogo ao caso real, tem-se os seguintes resulta- 
dos: 
I. Se g(a) 	a + bi f6r derivada de usa funçao analítica 
ento a furzço J univocamente determinada a menos de uma cons-
tante arbitrária . 
Isto decorre imediatamente das equaçes de Cauohy-Riemann, 
Pois se f'(z) = a + b 1, então, 
I uxa fv=b 
Lu7 =-b 	 1v7 =a 
e estas equações ,determinam u(x,y) e V(X,yr) e, portanto, f(z), 
a menos de uma constante arbitraria. (2) 
86 w 	f(z) = u(x,y) + 1 v(x,y) fornece uma representa- 
qo biunívooa do domínio D do plano z s6bre um conjunto de pon-
tos D' do plano w, entio existe a funçao inversa, isto ei, a C 
da ponto ('u,v) de D' corresponde um uínico ponto (x,y) de D - O 
ponto que i representado por (u,v). Pode-se, pois, escrever 
Z = x(u,v) + 1 y(u,v) = g(w) 
(1) Por ~quanto no se considera a multiplicidade do ir4Çülo e da furZo. 
(2) Cfr, COTJEANTs "C].cu10 Diferencial e IntegraiN, V01.11 9 P. 530 e aig. 
3. 
II Se v = fez) = a + iv for continuamente diferencia'uel no 
ponto z e se f'(z)*O, então existe a fanço inversa z=g(m), 
a qual é diferesciévei, e sise derivada tem para expresso 
1 
&(w) = 
Com efeito, pelas equaçes de Cauohy-Rlemann, tem-se: 
A =:= 
 lui 
	
I=u+v= fI(z)2+O
X. 
Uma vez que o jacobiano da transfoaço é distinto de ze 
ro e que as derivadas aio continuas, segue-se que a representa-
çio u = u(x,y), v = v(x,y) é invers1vel e se pode escrever x e 
y oomo funçes diferenciiveia de u e v. Sendo 
entio se tiram, destas equaçoes: 
Vy u 	 V 
X, Yu7' 	v 
ou av 
Logo, 
ôv 	ôu 
lato é, x e y satisfazem a equaçes de Cauchy-Rlemann como fu 
çes de u e v. A funçio inversa é, pois, analítica e tem para 
derivada 
dz 	 Ux iVx 	V(z) 	1 
_xu +iyu = 	 = 
f'(z) V(z) 	f (z) 
Os teoremas do célculo diferencial fornecem algo mais que 
iate resultado. Desde que o jacobiano seja diverso de zero, se 
sue-se que a vizinhança do ponto do plano z é representada nu 
ma vizinhança completa do ponto f(n) do plano w e If'()I 2 é a 
razo de semelhança das ireas, Sabe-se ainda que se f(z)+O no 
, domínio D do plano z, entio a imagem D' no plano w é domínio o 
jo. pontos da fronteira correspondem aos ponta fronteiras de D. 
Leais, uma função analítica preserva domínios. Ver-se-i que es 
ta simples propriedade de representaçio tem consequincia de lar 
gas apUcaçSes - f(z)i no alcança nenhum méximo em qualquer 
domÍnio de analitioldade de f(z ) • 
48 	 Cap.II 
uxx 	 (3.25) 
que podem ser t&oilmente verif1.adaa. 
4. PROPRIEDADES GEOXTRI CAJ3 DAS FUNÇ6Z5 AKALÍTI CAS 
49 4.1 
ou, o que equivale, por 
z(t) 	x(t) + 1. y(t) 
com z0 
O &igulo diretor da curva no ponto z0 
e' o angulo O formado: pela tangente & cur-
va em z 0 com o eixo real. Assim, 
) 
tg O = dy - =(t ° 	 (4.10) 
dx x(t0) 
e escrevendo-se , 
z(t0 ) = x(t0 ) + 1 y(t0 ) 
tem-se, simplesmente, 
O = am z(t0 ) . 	 ( 4.11) 
Na vizinhança de w a imaemde C 6' a curva 
w(t) = f[z(t)] 	u[x(t),y(t)] + i v[x(t),y(t)J. 
Conclua-se que 
	
= u x i + u 	+ i(v x c + v, ) = 
= (u x + 1 v)(c + 1 
de modo que o ângulo diretor da curva 	em w0 = f(z0 ) e' 
	
e' = am[f'(z0).(t0)] . 	 ( 4.12) 
Supondo que as curvas z 1 (t) e z 2 (t) formem um ngulo a no 
Ponto z 0 de intersecço, seja 3 o &ngulo de suas imagens w 1 (t) 
e w2 (t) no pontow 0 . De (4.11) se tem 
a = 0 2 -01= am i 2 (t0 ) - arn 1 (t0 ) = ais z
2 (t 0 ) 
z 1 (t 0 ) 
e de (4.12) f'(z0 .z2 )(t0) 	z2(to) 
	
p =Ç-O=am----- 	—am— 	= 
i1 (t0 ) 
Fica, pois, demonstrado '4
ti 
e' diferente de zero, o angu-
que em todo ponto onde f'(z) 
lo de duas curvas, juntamen-
ce inalterado. Tal represen a 
te comse u sentido, permane- 
ce 
 
taço diz-se cónforme. Dia x u 
cut1r-se-a mais tarde o que 
sucede nos pontos eis que a derivada se anula. 
Esta propriedade da representaço basta para definir fun- 
50 	 Cap.II 
çea analíticas. Ou melhor: Se uma fzLnçao 	f(z) define uma 
representaçao biuníuoca conforme em algum domínio Donde suas 
partes real e imaginária so funções dlferenclvels de x e y, 
entao f() e' analítica em D Para demonstra-lo, considerem-se 
duas curvas y = y1 (x) e y = Y2 (x) que passam por dado ponto z 
de D. Elas se interceptam formando um ângulo a tal que 
y(x) - y(x) 
tga=— 	, 
1 + y1 (x).y9 (x) 
As curvas aerao transformadas por f(z) = u(x,y) + 1 v(x,y) 
nas curvas 
5 u1 = u[x,y1(x)} 	 J u2 = u[x,y2 (x)] 
1v1 = vfx,y1 (x)j 	 1v2 = v[x,y2 (x)1 
Por hip6tese 
dv2 dv1 
du2 	dii1 
tga 
+ dv1 dv2 
du1 du2 
dv1 v+v Yj 	 dv2 
Logo, usando - = 	 e a analoga para 	, ob- d.
0 	 u +u y' 	 u2 tem-se 	 X 	y 1 
y2 - j 	 (uv - uv )(y - Yj) 
1 + yy 	(u+ u) + [uu+vv7)(Yj+Y) + (v+v)yjy 
equação que deve subsistir para todo valor de e y Elimi-
nando os denominadores e Igualando os coeficientes dos termos 
correspondentes, obttn-se as reiaç6es 
2 	
+ 	
2 	
(4.13) 
e 
+ u, = u v. 	v = v + 2 
	
(4.14) 
onde, por hipctese, uxvy 
-U 
vx * O. A equaçao (4.13) pode ser 
escrita 
	
x o 	 (4.15) 
Â9 equações (4,14), ento, tomam a forma 
22 	2 	22 	22 	2 
). + u = x (v7 + u7 ) = uX + vy 
donde 
4.2 	 51 
(1 À)u + (À2 À)v = o, 
ou 	
(À22À+1)(u2+v2)_0 
O segundo fator sendo o jacobiano (no nulo), ao` se pode 
ter À= 1. De (4,15) tira-se, pois: 
. ux = v3r 	uy = - vx 
• que so as equaçes de Cauchy-Riemann, mostrando que f(z) e', de 
fato, funço analítica. 
Da :conservação dos &rigulos segue que uma funço ana1'tica 
transforma tringuloa suficientemente pequenos em figuras quasi 
semelhantes, ou, a transformaçao de uma vizinhança de um ponto 
uma bomotetia cuja razo depende apenas de z0 . Para veri- 
• fic-1o, considere-se a curva O por z0 e sua imagem O', e sejam 
a e a os comprimentos dos respectivos arcos. Ento; 
da/'2, ., '2, 	Idw 
da 	 yii t0j4V 
(to ) 
	
1fe(ZOI
i de - _________ - dz 
a 	../x2(t)+2(t) o 
Portanto, o comprimento de qualquer elemento linear da ou 
vã transformada passando por f(z 0 ) vem multiplioada pelo fator 
Ir'(z 0 )I. O significado da exigência de que a derivada de uma 
funçao anaiCtica independa da direçio de aproximação, fica, en-
tio, manifesto. 
4.2. TRANSFORMLÇXO w = zn ._ Depois da transformação linear 
geral (cujas propriedades J9 foram estudadas) o mais simples 
exemplo de função analÇtica e' w = z, com n> O inteiro, dife-
renciivel no plano z e cuja derivada e# w' = n z"1 . Como w'(z) 
diferente de zero para todo z 4: O, conclue-se que arepresen-
taço por ela definida e conforme, com posarvei excepção do pon 
to z = O. Usando a forma exponencial z = r e 20 e w = ob-
tm-ee as re1açea 
p=r'1 , 	qne 	 (4.21) 
Dar resulta que cÇrcuios com centro na origem transformam-
se em crrcuios analogos e retas pela origem em retas com a mes-
ma propriedade. Na relaçio p = n O observa-se a natureza espe-
cial da representação, O &ngulo entre dois raios pela origem 
fio se conserva, mas e' multiplicado por n, isto e', a tepresenta. 
çio nio e' conforme na origem. Um ponto com esta propriedade e' 
52 	 Cap.II 
chamado ponto de ramtficaçao de ordem n-1 
Os círculos Jz1= r se transformam nos círculos Jw1 =p, e 
um setor com ve0rtioe na origem sera# transformado num setor c1r-
cular cujo ingulo central e' n-plo do dado. Em particular, a fun 
çio w = z fornece uma representaçio conforme da porçio de pia-
no entre o semi-eixo real positivo e o raio que com ele forma 
um angulo ,% /n,no semi-piano superior. 
Quando se procura considerar a repreaentaçio inversa depa-
ra-se com nova dificuldade. Exceptuada a origem, todo ponto do 
Plano w e' imagem de mais de um ponto do plano z. A Imagem do 
círculo unitgrio do piano z, po ex., cobre n vezes a Imagem do 
oÇrcuio unitrIo do piano w. Em geral, a todo ponto w =p ei4O 
do plano w correspondem n pontos distintos do piano z, para os 
quais r =M e O = (cp + 2k t)/n (k = O,l,,,.,n-l). A funçio 
Inversa 
Z = 	 (4,22) 
fiO é univocamente definida, Com afeito., podem-se assinalar n 
valores distintos de z para todo w O, Tal correspondência e' 
chamada função p1uríocae neste caso particular, funçao a n 
valores, Subentender- se- que a palavra função sem outra qual 
ficaçio (a menos que figure explicitamente o contrrIo), Indica 
rã uma função iin(voea. 
Os valores da função (4,22) estio relacionados de maneira 
específica. Tornando-se urna vizinhança qualquer no plano w que 
nio contenha a origem e nela escolhendo-se um dos n possíveis 
valores que corresponde a um dos pontos de seu interior g os vã - 
lares no restante da vizinhança ficam completa e unvocamente 
determinados pela exigncia da continuidade, Mediante tal saco 
lha de valores, obteve- se uma representaçio biunvoca de parte 
do plano w (embora tal se possa realizar de n modos). Esta ma 
neira de proceder mostra que a escolha doa valores da função 
na correapondncIa entre vizinhanças e' um tanto arbitraria, con 
dicionada, porem, à continuidade da funçio Abandonando a res
trição da vizinhança nio conter a origem, pode-se, eventualmen-
te, voltar a um seu ponto com valor da função distinto do ini-
cial. Contorna-se a situaçio supondo que nio se esta mais na 
mesma "folha", pore'm em outra sobreposta a primeira. Assim a re 
prosentaçio z = pode ser considerada como biunfvoca se se 
Imaginar o plano w fçrmado por n folhas sobrepostas com um pon-. 
4.2 
to comum na origem e varias interconexoeso 
este e', de modo intuitivo, o conceito de urna Superfície de 
RI6T*ann, superfÇcie que permite urna representação hiunvoca de 
urna funço plur1voca, o tratar, com grande simplicidade, numera 
soa problemas que (de outro modo) seriam deveras difíceis. Co 
sidere-se, p.ex., a função z • Na representação w = 
qualquér raio cp = 	do plano w e' imagem de dois ralos do plano 
Z 	(P. /2 e e = ( q 0 + it)/2, Começando-se com o eixo real 
positivo = O, faça-se corresponder a ele o eixo real positivo 
do plano z, O = O, Quando variar de O a 211, e variará de O a 
it, isto e', enquanto um raio varre o plano w, o raso corresponden 
te percorre apenas o semi-plano superior. O dom'nio O <Cp <271 1 
do plano w, e' representado de maneira biun1vooa no semi - plano 
O<ê<it. 
Arepresentaçao da 
fronteira não e' biunÇvo 
ca, pois o eixo real po 
corresponde aos raios 	e 	e = o. X 
e=O e e=. Entre 
tanto, pode-se diferen- 
ciar (pelo menos formal 
mente) as repreaentaçes 
= O e 	= 27t do eixo real positivo e, assim, obter urna ma- 
neira conveniente de distinguir entre as duas folhas da superf 
olá de Riemann para qualquer ponto do eixo real. Prosseguindo, 
conceitualmente, numa segunda falha onde cp varia de 27E a 41 , 
pode-sé estender a repreaentaço ao 
semi-piano z inferior. Para ooinple 
tar a imagem da representação tem- 
se 	ligar as duas folhas w de ma 7' 
neira condizente com a 'conexaoentre 
os semi planos z superior e inf e- 	 / 
nor. Isto e, supondo-se cortadas 
as duas, f6lhaa segundo o eixo real 
positivo, liga-se o bordo inferior da primeira folha com o supl 
nor da: segundo, pois ambos correspondem ao angulo = 21 e 
vem ser, Identificados, e depois as arestasç,= 0 e T= 4% 	que 
54 	 Cap.II 
correspondem ao raio 8 = O, Que tal se no possa fazer mec&ii 
camente sem que a superf1cie se intercepte, nio é de interesse 
aqui; não há dificuldade em coneeb&.sla abstratamente. A super-
f1cie:reaultante, formada por dois planos complexos sobrepostos 
envolvendo a origem, e' a superf2'cie de Riemann completa da fun-
ço z=4, S6bre ela z e' definida como função unívcx,a de w e, 
por conseguinte, esta superf'cje e' representada por meio de z = 
univocamente no plano z, As duas diferentes determinações 
ou H rao& de -f 5a0 representadas abre falhas distintas da 
superffcie de Riemain. Os pontos ri = O e w = oo,comuna a ambas 
e nos quais no e' possfvel distinço entre as duas f6lhas, sio 
chamados pontos de raintficaça'o de primeira espécie, c»mpre obser 
var que o eixo positivo real no ocupa posiçao previlegiada ne 
ta discusso, introduzindo-se em sou lugar um corte do plano W 
segundo outra curva continua e simples que ligue os pontos do 
ramificação w = O e w = co, 
claro como proceder no caso w = z11 , obtendo-se uma rePrt 
sentaçao biun1voca do plano z sobre uma superfície de Riemann 
de n folhas envolvendo a origem com pontos de ramificação de o 
dom n..l em w = O e w = ao,, Esta serao a superffcie de Riemann 
de r'-fT. u=o 
4.3 
foco em w = o e virtices nos pontos w = 2 Evidentemente, o 
exterior de cada uma destas parábolas (domfnios que no oont&m 
a origem) corresponde a 
cada umdos semi-planos 
x> c. HAnlogamnente se 
obtêm para imagens de 
y = e, a família. orto go 	 V 
nal de parabolae 
Seus exteriores aio re 
preaentados nos semi- 
planos y>c. As imagens de x = -e e y = - o aio idinticas 
ia de xo e Y,= C 
EXERCÍCIOS 
1) Na representação w 	mostrar que a fainftia de cfrcu 
los 1 	= conet. J transformada na famflia de lemniscatas 
w.-1 Iw+l1 = const, do plano w. Mostrar, ald'm disto, que 08 
raios que passam por z = 1 aio transformados numa famÍlia de hi 
pe'rboleaequilateras que passam pelos pontos w = 1. 
2) Faer a representaçio conforme do semi-cÍrculo lzi <1 e 
Im z> O no cÍrculo unttario do plano w, de modo que z = 1/2 
transforme em w = O, com 	>O em z = 1/2. 
4.3, 	ÇO EXPONENCIAL E 05 LOGARÍTMOS, Abstraindo-se 
da definiço (3,21), introduz-se a funçio e de maneira talvez 
mais natural, escrevendo 
00 n 
e 	 l+z+4+,,, 	 (4.31) 
n=o 
por analogia com a funçio real ex, Verifica-se facilmente que 
esta sirté conver ge para todo z finito [Cfr.I,(2.22)], i como 
se demonstrou que toda série de potências e' analÍtica em seu 
cÍrculo de convergência (no qual pode ser diferenciada termo a 
termo), entio (4.31) define uma funço analitica em todo o pla-
no z. domo no caso real, 
= 	
nl = 
a Z 
ãZ 
n=1 (n1) 
5e 
	
Cap.II 
Para demonstrar que a f6rmula de adiço 
o 
Z 1 z2 = e z 1 + 2 (4.32) 
tambem subsiste para valores complexos, multiplicam-se as res-
pectivas series (que sao absolutamente convergentes), resultan-
do: ri ri .r n-r 
Z] ez2 	( 	
= 	ri 	t (nr) 
n 	r n-r 	1 	ri r n-r 
= 	 r (n-r) z1z2 = 
	 (r 1z2 
z.+z 
= 	-4(z1+2)u1e1 	2, 
n_o ri, 
que demonstra a afirmaçio. 
As funçes san 5 e aos z so definidas pelas sinos 
correspondentes ao caso real, onde a variável livre i substitui 
da por a, Escrevem.se 
CO 	1)n 
san a = 	 , COS 5 = f: 	5T ,(4,33) 
siries convergentes para todo a finito e que, por conseguinte, 
representam funçes ana11'ticas no plano a. Facilmente se veri-
fica que 
	
dz (san a) = coa a , 	(aos a) 	- san a 
Como as sd'niea ao absolutamente convergentes, pode-se es-
crever: 
[ 2n 2n 	2n+1 2n+11 	.... 
coe a+isenz = 	[T_+ 	1 n=o 	n,. 
o 	
t 2n+l,, 	ri-o 
obtendo-se, assim, a fórmula de Euler: 
etZ = 008 5 + i san a 	 (4.34) 
Desta e de (4.32) tira-se: 
= 8 x+ly = 	(coe y + i san y) 	(4.34 1 ) 
que comprova a equivalência desta definição com a Ç3,21) do ca-
prtuio II. 
AIim disto, em virtude da periodicidade das funções trigo-
nomitrioas, tem-se 	 2 
mostrando que e i peri6dioa com narÇodo ?,1 T 1 
4ó3 
Para examinar a representação definida pela funçao exponen 
dai w: = eZ, 	 w=pe 	e z = x + i y. Ter-se-á: 
x P = e 	(P = Y 
Da resulta que a reta y = a, paralela ao eixo real, e' re-
presentada s6bre o raio cp = a, sabre o qual O p < 00 	quando 
-00 <x < +00. Logo, o valor 
de aZ nà ao nao e' definido, 
urna vez que depende do valor 	 i ly 	 lu 
de Y, 	
X•C 
quanto a9 retas x = a, 
pode-seconslderar, em face 	' 	a 
::p::::::: a 
apenas função 
to O <;y <a <2 l, o qual t! ) 
V 
rã para imagem um arco de 
círoulop = e 0 , O < ç <a. A 
superfície entre o eixo x e a reta Y, a<27t tem para imagem 
o setor do plano w entre os raios p = O e ç = a • Urna faixa ho-
rizontal de largura 2it tem o plano w como imagem, e se f6r 
O.<y <27t , ficará excluido o semi-eixo positivo u, que será 
fronteira do domínio, e que corresponde as retas y = O e y = 27t. 
Para representar a imagem da faixa 2 < y < 4% ,utiliza-se uma 
segundar6lha tambe'm cortada segundoo eixo real positivo; e" on 
de p varia de 211 a 411 • Estas duas folhas devem ser unidas 
segundo os bordos p = 2r , correspondentes a fronteira comum 
y = 2% das duas faixas do plano z. Ficam, nesta superfície , 
dois bordos livres, p = O e ç = 41t , aos quais sao unidas as 
folhas Imagens das faixas -27t <y < O e 41 < y <Cit • Por 
este processo chega-se a uma superfície formada de uma inflnida 
de de folhas com bordos ligados na mesma ordem que as faixas ho 
rizontais de largura 2'it do plano z. A superfície assim obtida. 
e' a supárÍ'cie de Riemann da função z = lg w,inversa da funço 
W = eZ,a qual tem pontos de ramificaço na origem e no 00, de 
ordem Infinita e permite definir o logarítrno, função a infini-
tos valores, por meio de urna representação biunvoca. Tem-se: 
Zx+iylgw 
e, por àonseguinte, 
Xlgp, 	y=q; 
58 	 Cap.II 
onde, no plano w simples, cp e definido apenas a menos de um muI 
tiplo de 211 . Ologartmo tem uma infinidade de determinaçes: 
lg w = lgwI + i(am w + 2n1L) . 	 ( 4.35) 
Na superfície de Rismann, porem, am z + 2nit = p i univo-
camente determinada (as amplitudes de pontos correspondentes em 
'6lhaa bucessivas diferem de 2 'g) e a funço lg we# unvõo a 
mente definida. Finalmente, a determinação particular do loga-
ritmo 
lgwigw(+iamw 
	
onde O 	am w 2 1x e" chamado valor principal cLo logarÍtmo. 
:Deve-se salientar, que se o ponto w descrever uma curva SIm 
pies fechada no plano w, no envolvendo a origem, lg w volta ao 
valor inicial s6bre a curva, enquanto que, se a curva envolver 
a origem, o valor de lg w variara de + 2111, segundo o senti 
do de rotaço positivo ou negativo. 
Com o uso do logarl'tmo e possível dar detiniço tnIca da 
função w = za para a complexo qualquer. Por simplicidade co 
siderar-se-; a real e positivo. pS'e-se 
onde lg z varia sSbre a superfície de Riemann correspondente, 
na qual essa função i uni'voca. Por conseguinte, w 5 g z 
tambe"m funo unívoca de z s6bre a mesma superfície de Rlemann. 
Alen disto, da periodicidade da funço exponencial e do fato de 
que ig z varia de 211 ao se passar de um ponto ao corre8pO 
dente noutra folha, segue-se que se a for racional ( a = p/q, 
p e q primos entre si) w volta ao valor Inicial quando em Z 
aumentar de 2q n. Portanto, para uma representaço de w = 
e suficiente-considerar uma superfície de Rlemann com apenas q 
folhas, a superfi"cie de Riemann de V z. Aiim disto, esta super 
Kcie de Riemarin no e" representada no simples piano w de manel 
rã biuni'voca, porem, como se vê facilmente escrevendo 
se-lo-i numa superfície de Riemann sabre o plano w pextencante 
	
função 	 entre estas duas superficies que 	funço 
estabelece uma correspondência biunrvoca conforme. 
Como aplicaço das propriedades representativas das dif 6-
rentes funçSea r considere-se a ].inuia, constituída por dois ar-
cos de c1rculo, formando um ângulo ir/ano plano z, a qual se 
procurara representar no circulo unitário do plano w. Para Is- 
4.4 	 59 
so,considere-se a transformação linear que representa os pontos 
z = - 1 e z = +1 na origem e no ponto impr6prio do plano w 
= (1+z)/(1-z). Evidentemente, a lmnula será transformada 
por esta função numa região angular de ângulo central lt/a na o 
rigem W1 = O do plano w1 , A. passagem desta região ao ofroulo 
e" realizada simplesmente 
il y 
transformando-a primeiro 
no semi, plano e iate no 
círculo unitário. Para 
fazã-lo:, introduz- se a 
" 
que representa a regiao 
angular no semi-plano 
Re w2'>O. Girando-o de 1/2, obte"in-se o semi-plano superior 
- 
= e 	w2 ; a esta aplica-se a transformação que o leva no 
cí'rculo unitirio: w = e iX( w3 _b)/(w3 _b), onde Im b>O. Pode 
se escolher e b de modo que o ponto z = O seja representa-
do em w = O e que 2 >O naquele ponto. Um simples calculo dz 
fornece b = i . e 7s. = a 	Logo, 
	
a 	a 
- (l-z) -(l+z) 
	
- a 	a' (l- z) + (l+z) 
4.4. A. FUNÇÃO w = (z + 1/z)/2, 	A. representação conforme 
definida por esta funço apresenta aspectos de interesse espe-
cial, convindo eatud-1a detalhadamente. 
dw V-ee que 	= O para z ± 1 • Os pontos imagens w +1 
ao pontos de ramificação, nos quais a representação deixa de 
ser conformo. Em coordenadas polares 
u 	+ +) cose , 	v = -j.(r - +) senO 
Para r = o constante, obtêm-se, pela elim1naço de 
4u2 	4v2 
1 2 + 	1 	= 1 	
(4.41) 
(o +---) 	(o - 
famf].ia de e]Apses homofooais do plano-w cujos focos SO w=±l. 
A família ortogonal obtém-se eliminado r e supondo O constan 
te: 
O aos 	sane 
60 	 Cap.II 
fam1ia de hipe'rboles homofocais, de focos w = ± 1. 
Quando r —.l, a elipse (4,41) tende ao se gmento que une Os 
Pontos -1 e +1 recoberto duplamente. Se se considerar a reta 
como urna fenda, ento a circunferência do cfrculo unitário i re 
	
/ 	presentada nos bordos 
da fenda. Tôda elipse 
terno ao oÇroulo uni- 
tírio. ]Para evitar ês 
te duplo valor, Intro 
duz-se outra fôlha. ao 
bre o plano w, unida 
primeira pelo corte, bordo superior com o inferior e o infe 
rIor ao superior. O interior do cÍrculo unitgrio e" representa-
do sobre uma das folhas,, o exterior abre a outra. Esta funço 
resolve, pois, o problema de representar o exterior do cÍrculo 
unitário num plano seccionada por uma fenda horizontal. Os pon 
tos que estio no bordo superior e infer.or da fenda devem ser 
considerados como pontos fronteira diversos. 
EXERCÍCIOS 
3) Mostrar que 	51z - eZ 	 elZ + 
senz 	
21 	
008Z 	
2 
Delas deduzir as identidades 
sen2 z + coa2z = 1 
sen(z 1 + z2 )= sen z1 coe a2 +'008 a 1 san a2 
oos(z1 + z2 ) = coa a1 coe a2 - sen a1 san a2 
Demonstrar ainda que 
san a = san x.cosh y + i.cos x,seih y 
coa a = coa x,cosh y - i.sen x,sen)ï y 
4) Definindo tg a pelo quociente 	 demonstrar que 
sua inversa g 	 1 a = arct w - lg 
Em que domÍnIo ao plano z o circulo do plano w represen-
tado por arct w ? 
4.4 	H 	 61 
6) Em que dominios do plano w e a semi-faixa -2/2'< x <lt/2, 
y > O transformada pelas funçes 
wsenz 	wcoaz, 	wtgz? 
6) Efetuar a representação conforme do interior do doml'nto 
e z- 	a6brs o circulo unit&io, 	+ de modo que 
	
= - -- se transforme em w = O e 	>O eis tal ponto. dz 
7) Representar o exterior da li 	 y 
nula sime'trica do diagrama ao ia 
CV do, de maneira conforme e biunÇvo-
ca s6bre o plano w cortado de u = 
	
1 a u = + 1 e de modo que 	.l 	 +1 
as imagens de z = co e z 	se 
iam w = co e w = 1, respectivamente., 
8) Efetuar a representação conforme do interior do circulo 
nitrio jzj , <1 cortado segundo o eixo real de z= 1 a z =-h 
(0<b<1) num circulo contendo a ori 
gemi do plano w, de modo que z = O se 
represente em w = O e 	= 3. para 	-i 	.. 
o 
9);Representar o exterior da elip 
se 	+ 	= 1 do plano z conforme 
mente no interior do circulo uniti- 
rio do plano w, usando a transformação w 	z + 
10) Estudar as representações e superfÍcies de Riemann de 
W = zi w = Z a+ip 	reais) 
usando as funçes exponencial e lo.garitmica. 
li) Estudar detalhadamente a representação conforme e a es-
trutura da superfÍcie de ideniann da funço 
wz3 3s 
Seus pontos de ramificação w + 2 e w co podem ser unidos 
por um corte segundo o eixo real que vai de +2 ao infinito p0-
altivamente e de 2 ao ao negativamente. Três folhas estaro 
e6bre o plano w que deverão ser convenientemente ligadas por es 
tas linhas, e que so imagens biunfvocas das três regies do pia 
no z individualizadas pela hipirbole 3x2 y2 = 3, fste e 
xomplo típico de superfÍcie de Riemann algbrioa. 
aAPfTuLo III 
INTEGRAÇiO NO DOMfNIÓ aorxo 
1. INTEGRAI S DE LINHA 
1.1. NOQI5ES GEQM*rRIcAS.. Uma curva contínua no plano z 
um conjunto qualquer de pontos cujas coordenadas x(t), y(t) aio 
funções oontfnuas de um mnioo par&metro t num intervalo 
t2 . Na notaço complexa tal curva tem equação da forma 
z(t) = x(t) + 1 y(t) 
Se z(t1 ) = z(t2 ), a curva se diz fechada e se ngo se inter 
ceptar, i., z(t') z(e) para t' * t, ela se diz simples. P 
rã o presente caso, as curvas contfnuas simples so excessiva.. 
sente gerais,e utilizar-se-go apenas aquelas para as quais se 
pode definir seu comprimento, e que sero chamadas retificáveis 
(1). Em particular, ficar-se--a; restrito às curvas geralmente 
regulares, nas quais a tangente varia continuamente com o pon-
to,, excepto em um ntmero finito deles. Analiticamente, isto, 
significa que z(t) e continuamente diferenciavel, com a' (t)* O. 
Nos pontos excepcionais, supor-se-a' a existência de derivada u-
nilateral no nula, segundo qualquer direço. Por simplicidade, 
as curvas geralmente regulares sero chamadas linhas ou contor-
nos. Por conseguinte, uma linha ou contorno a' uma curva retifi 
oa'vel, geralmente regular, cujo comprimento e': 
t2 
L= J J(t)Idt 
ti 
As vezes e' necesaa'rio substituir uma curva C por unia øuoea 
9a0 de contornos 019, C2 ,900 9 c,,96 9 que a ela tendem, isto a', se 
Cfr dada por uma função a = z(t), (ttt 2 ), as curvas 
dadas, na forma parame'trioa por z = z(t), devem satisfazer uni 
forniemente a relação 
um z(t) = z(t) 
n ­b. ao 
(1) A, palavra curva será usada, maio tarde, para designar curvas retifica-
veia. 
1.1 
	
83 
A direção de tais curvas rio deve, necessariamente, tender 
a direço da curva limite C. mas se tal se verificar, se alem 
do limite acima se tiver, uniformemente, 
lim(t) = (t) 
dir-se-a, 	sequência C constitue uma aproximação regular 
de C (1), Em particular, qualquer linha pode seraproximada por 
uma sucesao de poli»gonoa formados ou pelas suas tangentes ou P& 
lãs suas cordas, Desta xiltíma no e» diffcil deduzir que se uma 
auces.so tle linhas i constituir uma aproximaço regular de C, 
os comprimentos das curvas % convergirão ao da curva limite. 
EXi:ste um famoso teorema de Jordan que estabelece que toda 
curva continua, simples a fechada subdivide o plano z em dois 
domínios que no se sobrepõem, um (infinito) externo e outro 
(finito), interno. No e» fácil provlo, apezar de sua aparên-
cia simples, e a demonstração completa se concretizou há poucos 
anos. Em teoremas deste tipo, deve -se suspeitar da Intuição. 
Poder- se -ia pensar, p.ex., que a fronteira de um dom1nio sim-
plesmente conexo e» uma curva continua. Entretanto, por mais 
plausivel que apareça esta asserço, poderi ser contrariada por 
vinca exemplos. 
No quadrado O < x . 1, O < y < 1 1, 
conduzam-se segmentos perpendicula- 
res ao lado x e de altura 1/2 nos 
pontos x = 1/2 1, 1/4, 1/8,..., 112ri, 
A regio formada pelo interior do 
quadradõ, deduzidos os pontos das- 
tes segmentos, e' tal qual um domi' - 
nio simplesmente conexo. Sua fron- 	o 
teira, porem, e' constituída por uma 	1/4 1/2 
curva com uma infinidade de ramos. 
Tambe'in se poderia pensar que todo ponto fronteira de um do 
minio põderia ser alcançado de seu interior, por uma poligonal 
que, excepto nos pontos extremos da fronteira, estivesse conti-
da no interior do dominio. Isto entretanto, nem sempre J verd 
deiro como se pode verificar para os pontos x = O, 0--y -,1/2 do 
(1) Mais precisamente, em cada ponto as sucesses de derivadas unilaterais 
deveriam 'àonvergir para as respectivas derivadas unilaterais nos pontos da 
curva limite. 
exeeplo acima. 
O exemplo que se segue e' o de um domínio, parte de cuja 
fro teira i uma curva simples fechada, embora nenhum de seus. 
ÕO pontos seja acessível de seu Inte-
rior. Seja O o círculo unitário e 
considere-se o domínio em esiral 
5 que envolve o círculo uma infini 
dade de vezes quando sua largura 
tende a zero, Podo ponto do cÍrcu 
lo unitário e ponto limite da espi 
ral, O interior de 3 e certamente 
um domínio segundo a convenço,e a 
fronteira conte'm o cÍrculo unitrio, Entretanto, toda poligonal 
traçada do interior de 3 para O envolve O uma infinidade de ve- 
zes e no pode terminar em a. o cÍrculo unitário i, pois, ina- 
ceasÍvei de todo ponto interno. 
A demonstraço do teorema de Jordan i excessivamente longa 
para ser dada aquÍ. Porem, o leitor pode achar interessante e 
Instrutivo tentar provar um resultado particular (l), 
Um polígono simples fechado P divide o plano z em dois do-. 
mfnios disjuntos. Mais exatamente, se o polígono P for retira-
do do plano, restarão dois conjuntos de pontos conexos e sem 
Ponto comum, 
Do teorema de Jordan para os polÍgonos, conclue- se que o 
Interioi , e o exterior de um polÍgono simples fechado so domÍ -
nios rio sentido te6rico. Por meio dele, pode-se distinguir en-
tre domÍnios que t&zn vazios ou "furos" e os que no Os trn, 50a 
tes dizem-se Simplesmente cOflBXOS, definidos como sendo os d2 
mfnios que contam o interior de todo polfgono nele construido, 
Os domÍnios das figuras acima aio simplesmente conexos. Uma ao 
roa, p,ex,, r<z<R no o J. 
Considere-se um domínio simplesmente conexo do qual se re-
tirou um ponto (ou um domínio simplesmente conexo), resultando 
o chamado domínio anular (ver figura), Tal domínio e' chamado 
duplamente conexo, Em geral um domínio n-uplamente conexo a' a 
quais em que foram retirados n-1 domÍnios simplesmente conexos. 
(l) 
 
Demonstrações completas acham - se em NEWMAN Topology of plane sete of 
points SEIFERT-TBRELFALLz Topologia. 
88 	 Cap.IlI 
nito de domínios poligonais convexos, como intersecçes de 08151 
planos. A sub-diviso em triangulos será feita para cada um .dês 
tsa sub-domnjoe convexos, 
1.2. INTEGRAIS DE LINHAS... Uma integral de linha e defini-
da, no Calculo Infinitesimal, como uma expresso da forma 
1 = f a(x,y)dx + b(x,y)dy o 
onde a e b são funç6es contínuas de x e y no domínio O do plano 
xy qe .contim a linha O. Seu valor e' definido pela ordinária i 
tegrál de Riezann 
1 = j lla[x(t),y(t)lx l (t) + b[x(t)(t)]'(t)}dt 
onde t e' um parâmetro, x = x(t) .e y = y(t) (para t 0 t t1) so 
as equaçes da curva a, e P = [x(t0),y(t0)],1p1 = [x(t i ),y(ti ) 1 
as extremidades de O, 
Mantendo fixos P e P e 
unindo-os por outra curva O' 
O jacente em O, eis geral, a In-
tegral ao longo de C# será dI 
versa da Integral segundo C; - 
P 	 o 1 	são porem de maior interesse 
P o 	 as integrais cujos valores de 
pendem apenas das extremida- 
- O 	 X das e ngo da particular linha 
que os une. 
Condiçao necessária e suficiente para que a integral cur-
vilínea 
I(C;P0P1) = 
	
a.dx + b.dy 
seja independente do cont8rno que une P a P 1 para todo par 
de pontos P 0 ,P1 em D, que exista uma fungo F(x,y) em D tal 
que 
= a(x,y) 	= b(x,y) 	(120) by 
À expressio a.dx + b.dy deve, pois, ser diferencial exa-
ta (diferencjaliotaj. de carta função ?), 
Na forma acima, o teor'ema no se apli -ca a casos especÍfi-
cos, uma vez que nio dá nenhum critirlo em função de a(x,y). e 
1.3 	 8? 
b(x,y) para a existn.cia de F. Entretanto, introduzindo outras 
hiDotesea referentes ao domínio e às funçes, obtém-se um teore 
ma mais diretamente ap1icvel. 
Se 1? f8r um domínio simplesmente conexo e a(x,y) e b(x,y) 
forem funçoes diferenciáveis,, 6ntao a integral de linha 
Fi 
5 a(x,y)dx + 
PC 
serd independente do caminho se, e semente se, a 	b (1,21). 
Esta relaçio conhecida como a condiçffo de ;ntegrabULa 
de para o caso de duas variáveis, lt oondiço necessária e s 
ficiénte para que a diferencial a.dx + b.dy seja exata. 
1.3. INTEGRAIS C0MPLEXAS... A integral definida 
o 	dz 
zo 
de uma função da variivei complexa x + i.y pode ser definida 
por meio das integrais das partes real e imaginaria. Pondo 
f(z) = u(x,y) + i.v(x,y) 
escreve-se 
f f(z)dz
zi 	f l,yl .xl,yl 
	
 (u.dx-v.dy) + 1 	(v.dx+u.dy) 	(1.30) 
zo 	 xo ,yo 	 xo ,yo 
Logo, para um domínio simplesmente conexo e u,v diferenoi 
veia, as condiçea para que estas Integrais independam do con-
torno de integraço, equivalem a 
	
uy - vx , 	vy,= ux 
que ao as equaçea de Gauchy - Riemann, Portanto, num domínio 
D simplesmente conexo, uma condição neceaseria esuflciente pa- 
ra que J f(z)da seja independente do contorno que une z a 
zo 
para todos z0 ,z1 em D, J que f(z) seja analí'tica. 
Introduzindo a noço ce integral definida, no se necessi-
ta fazer referência às partes real e Imaginária da função inte-
granda.i! possível definir uma integral complexa completamente 
em termos comil.exos, de maneira análoga à da integral de Riemann 
ordinria para.aa funçes reais de uma variável. 
Seja f(z) uma funçio unívoca contínua s6bre a curva C (que 
Cap.III 
i necessariamente uma linha, apenas retificável, de compri-
niento L, p ex ) Divide se C em n arcos, e sejam z0 ,z1 ,z2 , ,z 
os pontos de diviso n cada um dos arcos parciais escolhe-se 
um t ponto arbitrrjo t e forme-se a soma: 
n. 
	
1Zk = 
f(t1 )iz1 + ... + f(t) 	(1.31) 
- Z °-- 	onde /Zk = 	Zki. Fazen Z
n-1 que a soma (131) convergírã 
a um limite, independente da 
maneira particular de dividir 
C, e se escrevera, por definiçao: 
n. 
5 f(z)dz = 	1 1 m 	f(tk) 'à ' 74 	 (1.32) C 	max l zk . o k]. 
Sendo f(z) contínua no conjunto fechado C, a continuidade 
resulta uniforme e, por ser C retifiove1, dado um e > O qual-
quer, e possÇvel achar um ô (e ) >0 suficientemente pequeno para 
que se tenha, para todo par de pontos z',z" da curva, tais que 
- 
z til <ô: 
If(z') - f(z") < 
(L comprimento de c). Considerem-se duas d1vises quaisquer em 
que os. comprimentos doe arcos so todos menores que ô , e sejam 
os pontos de uma, e os da outra, com 
os quais se forma urna terceira diviso obtida tomando simulta-
neamente os pontos de uma e outra, os quais aio representados 
por Z,Zj,Z .....Logo, 
1k pode ser expresso na forma 
	
= tZ+ 	h+1 + 	+ 	h+r ' 
onde 	= Zkl e 	i+r 	Resultado auAogo se obtêm p 
raoszk. 
A cada diviso pode-se associar uma soma da forma (1.31). 
Em particular, escreve-se 
5 tr( '11:~k ) 
com expresses correspondentes para as outras somas. Qa termos 
de 5 so da forma 
Tk = f(tk) Azk 	f(tk)( tz + 	 + 	+ 
correspondentes aos de parte da soma 5' da terceira diviso 
	
= r(t) Az + f(t ~1) Az1 +...+ f(t +r ) 	i+r 
donde a desigualdade 
< 11lI 	tk)_t)l +...+ 
Porem, 08 pontos t 1!1, 	 th+r esto todos no arco 
ZkI z1 de comprimento <6. Por, conseguinte, 
	
IÍ(tk) - f(t+j)I <, para j 	0,1, ...,r 
O 	
lk 	 + ... + Az 
Para a soma t6da, se tem: 
fs 	'I < 	t 	_IAZl 
pois AZI no i maior que o comprimento do arco z 1 Z 39 
O mesmo racioclnio mostra que 
Is*_ s'I<t 
Portanto, 
IS 	1 
Concluo-se que existe o limite (1.32), o qual independe da 
divisão adotada. 
Varias propriedades das integrais resultam diretamente da 
definiço: 
Lema 1 -Se a funç&o f(z) f$r limitada, If(z)IM, entao 
11 f(z)d.ZkML , 	 (1.33) a 
L sendo o comprimento de c. 
Lema 2 -Se a curva Cfor composta de dois arcos retiflc-
veis consecutivos, Ç e c2, ter-se-a 
f Í'(z)dz = fa
f(z)dz + Jf(z)dz . 	(1.34) 
c2 
Lema 3 - Se o sentido de percurso do arco for Invertido, o 
valor da integral muda de sinal . Assim, representando por ..0 o 
arco C percorrido no outro sentido, ter-se-e': 
	
f f(z)dz = - J 	 (1.35) -a 	a 
Para um contorno fechado simples convenciona-se que o sen-
tido positivo seja aquele segundo o qual o interior fica a es-
querda do observador. 
Lema 4 - 4 integraç6o é uma opera ço 1 Inear, isto e', se a e 
forem constantes, ter-se-e': 
70 	 Cap.III 
j[a r (Z ) +P g(z)] dz = aft(z)dz + pf.(z)dz 	 (1.36 
ia arLmana; 
I.eina 5 	Á integral de urna série uniformemente convergente 
e' urna série formada com as integrais de seus thmos. 
Demonatraço: Supondo que a série 
f(z) = f1 (z) + f2 (z) + 
seja uniformemente convergente a6bre uma curva 0, para n sufi-
cientemente grande tem-se: 
onda s(z) e' a soma parcial doen primeiros termos. 	De (1.33) 
segue: 
f {r(z) -6 (z)}dz <eL a 
onde L •o comprimento de 0. Portanto 
ia
t(z)dz = ].im 	ffk(z)dz 
 n-,k=l O 
Lema 6 - A integral de uma constante inda pende da curva. 
Conserva-se invariável para todos os arcos de mesmas extremida-
des 	 Z1 f zo dz, z 1 	z o 	 (137) 
Analogamente 
J z dz =- z ) , 	 (1.38) zo 	 o 
Independentemente da curva de 1ntegraço, pois a integral pode 
ser aproximada por qualquer das somas 
5 = Y-Z (Z - Zk_I) OU 5' = EZ k-l(zk - zkl). 
Somando-as membro a membro, vem 
5+5' 	(Zk + zkl)(zk_zkl) 	(z - z_1 ) = 	- 	, 
donde segue (1.38). 
Lema 7 - Seja f(z) urna funç&o contínua numa reg2o R Se 
existir urna sucessao c2 ' c2 9 .. ,C, de curvas de comprimento lj 
mitado e que tendam para a curva retificável c0,ent&o, 
lii ff(z)dz = JOO 
f(z)dz 	 (1.39) 
n-.00 0n 
Demonstraço: Seja I a integral a6bre C. Pode-se obter 
urna aproximâço uniforme de 1 dividindo a curva em segmentos 
suficientemente pequenos Seja z(t) [oti] a equaço para 
71 
metrica de Mostrar-se-a, inicialmente, que e poasfvel divl 
dir o intervalo de variaço do parâmetro de modo a se obter uma 
diviso uniformemente pequena de todos os On - 
De serem as curvas retificveis, segue a possibilidade de 
proceder a tal divisão para um nmero finito delas. Porem, po-
de-se provar que o mesmo se dá para todas elas. Isto ej', dado 
qualquer 6>0, existe um ô tal que 1z(t) - z('r)I <6 , desde 
que It - ' com 6 Independente de n. Suponha-se, ao oon-
trario, que para algum 6* exista um n com iz(t) - z('r)i >8 P. 
rã certos t,'r tais que It - 'ri < ô Seja 61' 62' "8k'"' uma 
sucesso de õ tendendo a zero. Represente-se com n k o primei-
ro n para o qual se verificam simultaneamente t - 'r <i5ke 
IZ - zflk(fr)I 6. Evidentemente, os nk no ao limitados. 
Entao, Pode-se achar um N suficientemente grande tal que para 
todo n> N se tenha 6 
z0 (t)I < 
uniformemente em t. 	Aiim disso, como c e retificve1, existe o 
um ô * tal que it - ,rl<ô*implIca 
1z 0 (t) 	z0 ('r)I <4- 
Escolhendo um k para o qual õk <6* 5 	N, ter-se-a para 
todo t,'r com It _'r ! <6k: 
z n k 
(t%-Z 
n k 
(.01 =l[zn k (t)_zo (t 9 + 1zo (t)-zo ('C)] + [z o (#r)-Zn k ('C 
<+ 3 +3 	ô 
o que contraria a hipótese inicial, 
Sendo f(z) continua na região R, ela e uniformemente oont 
nua em R. Logo, dado um €>0 qualquer, existe um 6 tal que 
if(z) - f(?)I < e 
para todo z, 	em R com Iz - i< 6, Escolha-se uma divisio do 
Intervalo de variação de t suficientemente pequena afim de que 
 
para todo todo n, e forme-se a soma [z(t) = n 	ZnJ : 
= E 	 )(zni - 
De (1.37) deduz-se 
, 
= 	f 	r(z,)dz 1 
72 
Donde se conclue: 
I'nnI = 	
f(z)]dz 	C L, 
i- 	zn,i_I 
em que L J uma limitação superior do comprimento da curva. Dan 
do a n um valor suficientemente grande para que 
fz(t) - z0 (t)f < min(ô,e) 
uniformemente em t, considere-se , a diferença S 
Sn_ 80 = E{:r( znj )( Zn,3'zn,j-l )- :r( zoj )(ZO,J -ZO,J-, ) 
1
09
i[n,r o,jn,j 
+ [ftZn,j _f(z0,1)J(Z,j 
Assim, 
< in(2eM +CL) 	e(2mM +mL) , 
sendo M a limitaço de If(z)I em C0 . Resulta daí 
I mnoII m n 5nI + I 5n 8oI + I 5o_ IoIE e(2mM+mL+2L), 
oque completa a demonatraço. 
Lema 8- Se a curva de ir&tegraçao f6r um cont6rno ou linha, 
as 2 definiçoes de integral (1,30) e (1.33) sao equtualentes. 
Sejam x(t) e y(t) as equações paraine'trioas da linha C. Co 
sidere-se uma subdivisão qualquer de C tal que os pontos de das 
continuidade da derivada z(t) = x(t) + i y(t) sejam, pontos da 
divisão. Ento, a soma (1.32) pode ser substituída por somas 
de termos reais: 
= 2 (u 3+1v 3 )[(x j x 11 )+ i(y j _y 11 )] = 
- 1V 1Ay 1 + i { 
	
V j X 1 + . 1U1Y1 } 
onde 	z('r1 ), t 1 Ir1 	t , . Considere-se uma soma qual- 
quer, p.ex., Eu1 tx1 . Como x(t) e uniformemente contínua em 
cada arco regular de O, i certamente contínua em toda diviso, 
tendo-se 
+ ô) à t 1 
onde 	+ 8 	algum valor entre t , e t 1 . Ponha-se 
+ ôj ) - 
2 	 73 
Da continuidade uniforme de c(t) segue a existência de um 6 tal 
que 1 i(t) - x('r) 1 <e para 1 t - ri <õ. Escolhendo urna divisao em 
que A t < 6, pode-se afirmar que 1 ej i <c, e escrever 
rui,
X1 	U 1X 1 At 1 +u1 e 1 / t 
onde a ihtima soma e arbitrriainente pequena, uma vez que de 
1 f(z)M, resulta 
Iuj cj A til <IcMtjI 	e 
(Et = 1). Conclue-se, pois, 
1 1 m 	u Lx 	fu(x,y).c(t).dt = f u dx 
maxs1-o 	1 	i 	 C 
e resultados analogos se obtêm para as outras integrais. Por- 
tanto, 
f f(z)dz = f u.dx - v.dy + iJv.dx + u.dy 
C 	 C 	 C 
ou, com notaço abreviada, 
= J(u+iv)(dx+idy) = f f (Z).i(t).dt. 
2, O TEOREMADE CAUCHY 
Utilizando as expresses da integral complexa em função de 
integrais reais obtêm-se, pela aplicação dos critérios (1.20) e 
(1,21), condições para que ela seja independente do contorno* 
Tais oondiçes serio obtidas, a seguir, de maneira mais ge-
ral e sem recorrer &e integrais reais. À (1.20) corresponde o 
teorema: 
I. Condigo necessa'ria e suficiente para que a integral cu 
oU (neo deusa funço contínua 
f(z),da 
Z O 
seja independente da curva (retlftcduel) que une a0 a ai, para 
todo par de pontos a00 X1 no domínio D, é' que exista uma fun-
Ç&o P(a) em D tal que F '(z) = 
Note-se que no se fica limitado ao caso das linhas. 
suficlancia -Seja C urna curva qualquer de extremos z e 
e comprimento é. Te-se: 
zi 
J f(z)dz = 	limL.4F'(?1)(z+1 - Z 1 ) zo 
74 	 cap,III 
Pela continuidade de f(z) a soma anterior pode ser escrita 
:
[F(z11 ) - F(z1) 	1 
1 + c j j(z j+ _z j ) 
11+1 	j 
onde 	<c fixo 	Assim se obtêm: 
o 
Como ze i AzJ1 < et. tem-se, no limite: 
Jr(z)dz = F(z) - 
F(z0 ). 
Necessidade - Suponha-se que a integral f f(z)dz indepen 
de da curva de lntegraçao. Pondo 	
ZO 
Z 
F(z) 
zo 
forme-se a razo incremental 
z+z 
F(z + Az) - F(zj = 	r() Az 
Como a integral Independe da curva, considere-se o segmen-
to que une z a z+AZ. Tomando tAzJ suficientemente pequeno, 
f(z)j <c para 	zJ<IAzI. Logo, 
Jt(z) - F(z +Az)-piz)1 	
AZ=J 	[t(z) - fR)JdzJ < E:. 
Concluo-se dai' que F'(z) = f(z). 
A oondiQo (2.11) conduz a outro orïtrio que ütiliza a 
prcpria funç&o integranda: Se D f6r um domínio simplesmente c 
nexo, a integral de linha 
,lz 
J f(z)dz z o 
será independente do contôrno se, e somente se, 1(z) fôr con- 
tnuamente deriva'vel em D. 	As condiçes date teorema so 
muito restritivas. 	suficiente admitir a exiatnoia da deriva 
da, sendo desrzeoeasaria sua continuidade. 
II. Condição- necess.íria e suficiente para que a integral de 
linha 
J
ai 
f(z)dz. 
a0 
independa da curva de tntegraço num domínio simplesmente co- 
nexo D, e' que f(z) sejd analítica em D 
2 	 75 
A independêncIa da curva de integraçio equivale à aseero 
de que a integral segundo uma curva fechada qualquer e nula, 
POIS, 85 C 6 02 forem duas curvas 11 
gando a0 a a1 , entao as curvas a e 
formam urna curva fechada C. Sen- 
do 
 foi 
j0 , tem-se 
	
!I=Jcl+Lc2=JcL-fc2 =0, 	0 	
cl 
Reciprocamente, qualquer curva fechada pode ser decomposta 
em dois arcos unidos pelas extremidades. 
A proposição que: se refere a suficiência J O fundamental 
Teorema de Cauchy: Se f(z) f6r analítica num domínio sim 
plesmente conexo D, tér-se- 
0, 	 (2.00) 
para t88a curva C fechada e retificável interna a D. 
Dar-se.4 a famosa demonatraço de Goursat, 
A. O teorema e verdadeiro se C for um retngulo. Com efeito, 
seja R. um ret&ngulo qualquer em D. Divide-se R 0 em quatro re-
tngulos iguais por paralelas aos lados. Se R, R, R, R, ré 
presentarem tais retngulos, de (2,24) e (2.25) segue que 
r(z)dz 	+ 	+ 	+ 3 
RO 	 'w4 
Portanto, pondo 
= 	1 RO 
resulta: 
1 	IR1 + II + 3 	4 
Logo, pelo menos num dos R, p,ex., R 1 , ter-se-i: 
f 
= 'R f(z)dzl 1 
Repetindo o processo para o retngulo R 1 , obtem-se pelo m 
nos um retângulo R2 para o qual e' 
12 = I,t(z)I 2 
e reiterando o processo, obtin-se um R com 
Rr) R) 
R R) 
78 	 Cap.III 
•=ii f(z)dzI>.2 n 	R 
Deste modo resulta uma sucessão de retngu1os R 0 ,R19,R2 ,,., 
cada um contido no anterior, chamada sucess3o descendente de 
retângulos. Buas diagonais tendendo a zero, eles tero um mínico 
ponto em comum, como e fcilmoatrar. Como f(z) e analítica, 
pode-se aproximar f(z) em n por uma função linear, 
f(z) 	f(n) = [f'(n) + T)(z,n)](z - 
onde 't1(z,) pode ser tornado arbitrariamente pequeno, escolhen-
do z suficientemente pr6ximno de 2 (observe-se que )(n,n) = O), 
Isto e', dado e>O pode-se achar um 6 tal que Jz -n.8 implique 
i( 	)ke. 
Escolha-se n suficientemente grande para que R esteja cozi 
tido no domínio circular Ia - I<ã. S6bre R tem-se: 
f(z) = f() + a f'(?) -2f 1 (2) + (z - n)t 
Por conseguinte, 
jf(z)dz = f() 05ídz + f'(nIz dz_f'()5dz + f (z_Z )T)dz =
R 	 Rn 	 Rn 
='f (z-r.) ,ndz Rn 
tendo-se presente (1.37), (1.38) e teorema 1. 	Sobre Rn tem-se 
fnI e, uma vez que o retngulo todo esta a distancia <6 de e. 
Ale'm disso, 1 z 	<, L/2, sendo L o perímetro de R. Usando 
(1.33), obte'm-se: 	 L2 
= 1 51f(z)dz) < j 1h = 
Combinando este resultado com o anteriormente obtido, vem 
L2 	i 
j-->I >_ 24n 	n 
Consequentemente, 	 CL 2 
menor que um numero positivo arbitrrioé, portanto, I = O. 
O restante da demonstraço é a extenso do teorema pareci 
vas mais gerais. 
B. O teorema i verdacteiro para poli 
o 
gonos "escalonados", isto: 
formados por uni nimero finito de segmentos paralelos aos ei-
xos coordenados. Para demonstra-lo, suponha-se que O i um p91 
Fl- 
gono escalonado e simples. 	Djvide..ae C em retngulos, prolon- 
gando os lados do po11gono. O interior de O estarã certamente 
contido nos ret&ngulos d&ste retiou 
lado, pois 1 limitado pelas quatro 
retas obtidas dos lados situados 
mais acima e mais abaixo, mais à sa 
querda e mais à direita de O. O In 
tenor de cada retângulo do reticu- 
lado deve ser completamente interno 
ou externo a O, uma vez que nenhum 
deles oontin um ponto de O em seu interior. 
Pela convenço de orientação, O e' soma dos rstngulos in-
ternos a O. Conclue-se, por (1,34), que o teorema 1 verdadeiro 
para polígonos escalonados simples. 
Se a for polí'gono escalonado 
no simples, estão pode-se decom- 
p6-lo em secções simples como se- 	
B 
gue: Seja A um ponto qualquer de 
O. Partindo de A segue-se por C - 
em qualquer direçio ate' o contar- r 
no se encontrar, pela primeira 
vez, em B. A porço do contorno 
que vai do primeiro encontro 8 a um segundo, e', evidentemente, 
um pol2gono fechado simples. A integral nesta porção de a deve 
ser nula. Pode-se repetir o processo no restante de O. Como o 
nmero de auto-intersecções de O 1 finito, a decomposição de O 
em polígonos simples deve terminar. O teorema fica demonstrado 
para todos os polgonoa escalonados. 
O, Fica-se, agora, em oondiçes de demonstrar o teorema para 
curvas retificlveis arbitrlrias, É apenas necesslrio mostrar 
que qualquer curva retificlvel O pode ser aproximada,tanto quan 
to se queira, mediante polígonos escalonados, Sendo O retific 
vel, pode ser dividida em arcos de comprimento arbiti4riamente 
pequeno. Sejam z0 ,z1 ,,,,, pontos sucessivos de uma subdiviso, 
n cada intervalo aproxima-se O por meio de um degrau. Para o 
Intervalo de Z j.1 a Z j tomam-se os segmentos que ligam sucessi-
vamente Z j.,1 x1+i 
y 
 e z1 . Evidentemente o compri isento 
de tal degrau e' menor que 21z - z_1 f. Logo, o comprimento 
78 
	
Cap .111 
dessa poligonal aproximativa menor que 2 vezes o comprimento 
de C, Diminuindo o comprimento de cada arco, pode- se tornar o 
n 
poii'gono escalonado arbitrriamen- 
te prximo de 0, pois se 
- 
nenhum ponto do degrau entre Zj1 
e 
z 
 dieta mais que 2 e da curva. 
O teorema se gue do lema 7. 
Verias demonstraç ões do teore 
ma de Cauohy - foram dadas sob condies menos restritivas. O te2 
rema permanece verdadeiro considerando curvas numa regi ão sim-
plesmente conexa onde f(z) e suposta anali'tica no interior e 
apenas contínua no contrno. 
A oondiço de que a curva O esteja contida num domínio s im-
plesmente conexo de analiticidade de f(z) e essencial ao esta-
belecimento do teorema. Considere-se, p.ex., a Íunço f(z) = 
= l/z, analítica, excepto na origem. A integral de hz, esten-
dida ao círculo 0, 1 z R, 
dz 
 = 
 
Jo R : i.d = 1 fd = 2 1Ei 4 . 
Entretanto, parte do teorema permanece verdadeira. A inte 
gral independe do raio do círculo, o que sugere uma generaliza-
ço do teorema integral de Cauchy 
aos domínios multiplmente conexos. 
Seja R uma região contida no domínio 
de analiticidade de f(z). Suponha-se 
que R seja limitada por cont6rnoa sim 
ples fechados C, Cl C2 • onde os 
Interiores de C1,C2,..,C estio con-tidos no interior de O e externos en 
tre si. Considerando todas as inte- 
grais no sentido anti-horário, ter-se-a: 
5 f(z)dz 	f(z)dz + •. + ~Gn 
f(z)dz , 	(2.01) 
o que se demonstra construindo um domínio simplesmente conexo 
nirido cada um dos 0r a por meio de cont&rnos que no se inte 
ceptain. Restringindo-se a curvas que no cortam tais contornos, 
3 	 79 
o domínio resultante serí simplesmente conexo, donde se conclue 
que a integral sabre a nova curva cont orno se anula. Porém, as 
Integrais sobre os oontSrnos de unio dos 0 a O sendo tomadas 
em sentidos opostos, sua soma 
e 
 nula (Lema 3); consequentemente 
j.f(z)dz + 5 f(z)dz + ,.. + 5 f(z)dz = 0, O 	 C 	 On 
o que demonstra o teorema, 
3. F6RMULA INTEGRAL DE CAUOHY 
Seja D um domínio qualquer simplesmente conexo de analiti-. 
cidade de f(z). Se O for uma curva simples fechada de D .e ? um 
ponto qualquer de seu Interior, ter-se-a: 
	
= 	5 dz , 	 (3.00) 21t1 0- ~: 
Esta notvel relaç ão demonstra a estreita relação entre os 
valores de uma funç ão regular, bastando conhecer-lhe os valores 
no contorno para se saber os valores da funQo minterior de O. 
Para demonstra-la, considere-se um círculo qualquer de ce 
tro contido em O. A função f(z)/(Z-n) e evidentemente a-
nalitica no interior de O excepto em,?. Pelo teorema de Cauchy 
para domínios multiplamente conexos, segue que a integral segu 
do tal círculo e independente do raio e igual aí integral esten-
dida a O Tem-se: f(z) = f() + ¶1(z, ), onde t1(z, )I < € , 
quando 	z -2f<ô. Escolhendo-se um c írculo C de raio p <õ,
dz 
	
dz 
=
dz = f() 	p_Z; + 	 = 
 CP 
2jr1f()+ 5_—D.-dz 
Como Iz 	p, o valor absoluto do integrando no excede 
/p. Pelo Lema 1, tem-se: 
CZ 
Porem, a integral no de pendo de p. Portanto 5 =0, e cpz-~ 
.L.. 
	
2,ti 	CZ - 
80 	 Cap.III 
Corola'r to- Se f(z), g(z) forem analíticas num dotnnio con-
tendo C, e f(z) = g(z) sobre C, entgo, f(z) = g(z) no interior 
deC. 
A representação de uma função analítica por meio da fórmu-
la integral de Cauchy, permite obter uma expressão integral pa-
ra sua derivada. Com efeito, subsiste o 
Lema - Sejam c uma curva qualquer (não necessriainente fe-
chada) e Ø(z) uma funço contínua sGbre O. A função 
f 0 (z) dz 	 (3.01) 
ú 
' z - n 
anal ítica no plano complexo generalizado, excepto sGbre a, e 
tem para derivada 
 F'W = J 4Li. dz , 	 (3.02) 
Para demonstra-lo considere-se o quociente diferencial 
	
F (r- + à~ ) - F (r- 	f 	dz 
onde 	e menor que a distancia de ? ao ponto mais pr6ximo de 
O. Tem-se: 
f 
	dz = fo(z)[ ()( ' 
= 
 
f É( Z ) 22 	dz. 
a 
	
Como 0(z) e contínua sobre O, e1a 	limitada, JØ(z)I 	M. 
Seja da menor das dist âncias dee c', +A2 a O. Ter-se-a: 
_Ç_0(z) 	JiJtJ 
1 j(z-?)2 
onde L e o comprimento de O. Da resulta a relação (3.02) para 
Desde que 0(z) seja urna funço contínua qualquer, no se 
pode esperar que F() seja analítica sabre O. Porém, pode-se s 
por que F() tenda a algum valor quando 2 tende a um ponto z de 
C(o que nem aempre.suoede). Por exemplo, seja O o círculo uni 
trio, I ZI = 1, e tome-se 0 = 1/z. Resulta: 
= , 	 dz 	= À - -j--ldz = 
	
z(z - 	 ) 	0L (z-) 	zJ 
3 	 8i 
	
ldz 	ldz 21l 	o 
	
.T0 z - 	 - 
2.
Logo, o valor limite de F() sbre o aont6rnoi zero. 
Se C for um contorno fechado num dom2#nló simplesmente cone 
xo de analiticidade de f(z), segue-se por iste lema que 
	
1 	f(z) 2 dz , 	 (3.03) 
2,tj 	(z - r) 
para todos os pontos do interior de O. A tuno (3.03) e nova-
mente d1forenc1vel; na realidade o e um ni.mero qualquer de ve-
zes. Isto : Uma função complexa f(z) tendo derivada de pri-
meira ordem, tem derivadas de tâdas as ordens A derivada n-
e'sima i dada pela frmula: 
(r. 	fl 	 f(z) 	dz . 	 (3.04) 
21 
" (z) 
A demonstração e por induço. A ftrmula vale para n=l. Se 
o teorema for verdadeiro para n-1, é'ie o será certamente para 
n, p013, supondo 
f(z) dz 
2itj 
ter-se-a: 
	
f(Z1l) 	fl 	(j 	f(z)dz 	- 
	
g 	2,t.i Y 	( z _ .~ )n+l 	- 
= Ïn ) 	LL1 ' i:i- - 	 - 	
} 
dz 
2 	 1 (Z_)nl(Z 	A) 	(z - )' 
ç 
= 
 
In-l) Iit) 	--- 	 dz 2 
z- ~ n-r+]. 
-) 	-1) 
= 
	
1Jf(Z){E 	 n+l dz 2 	 (z-) 
in-it ML 
2 	d' 
onde M, L e d tm os significados jí vistos e 	escolhido 
suficientemente pequeno para que o valor absoluto da soma seja 
menor que e. 
Ficou, assim, demonstrado o notAel resultado: Uma função 
analítica tem derivadas de t6dasas ordens no seu domínio 	de 
82 	 Cap.III 
anal 2 tic idade • 	Assim, as derivadas de uma tunço analítica 
aio analíticas. 
Nestas demonstraçes evitou-se a hip6tese de serem contí-
nuas as derivadas parciais primeiras das partes real e imagina-
ria de f(z). A continuidade destas derivadas e a exist&ncia de 
derivadas de ordem superior aio asseguradas, apenas, pela exis-
t&ncia de tais derivadas parciais e verificação, das equações de 
Cauchy-Rieinann. 
A recíproca do teorema integral de Cauchy ( segunda metade 
do teorema II) e conhecida como Teorema Integral de Morera: Se 
f(z) fôr contínua num domínio D e 
jf(z)dz = O 
para toda curva fechada C de D, ento,f(z) é analítica em D. 
A hipteae do teorema equivale a asserção de que 
F(z) = f f(z)dz 
independe da linha que une z0 a z, Toda função f(z) que gozar 
desta propriedade dir-se-a integrável. Demonstrou-se (teorema 
1) que uma funço integrável e a derivada de uma função analíti. 
oa. Conclue-se, por sua vez, que uma função integrve1 deve ser 
analítica, e tainbJm ficou patente a possibilidade de definir u-
ma função analítica em termos de integrabilidade em lugar de di 
ferenciabilidade (uma propriedade implicando outra) em contras-
te com a maior complicaço da teoria das funções reais. 
3.1. cONSEUtNCIA5 DA FjRKU1AINTE DE cAUC}IY . - Um re-
sultado imediato e interessante e o Teorema do valor médio: Fa 
ra todo círculo no domínio de anal Iticidade de f(z), o valor 
da função no seu centro é a média dos valores s8bre a circun-
ferincia. 
Tem-se: 	 21z 
f() 	 dz 	 f i pe e F(e)d.e. 
Representando com a o comprimento do arco, seri da pdO 
e, por conseguinte, 	 1 f() -5'f(z)da 	 (3.10) 
2itp 
Conaequnoia importante do teorema (3.04) e'o fato das de-
rivadas de f(z) serem limitadas de modo bem definido por expres 
3.1. 	 83 
ao envolvendo a limitação da funço dada, o que não tem corres 
pondento nas funções reais. Seja R uma região de analiticidade 
de f(z), limitada por urna curva ai 
pies fechada C. Se 2 for um ponto 	 / 
qualquer do Interior de C, p a dia- 	R 
tncia(mí'nima) de ? a C, (3.04) per 
mite escrever: 
f(fl)(
e 
) 	n. 1 	f(z)dz 	fl e ML 
211 JO (z-y)''1 
Note-se que esta limitação no depende de 	mas apenas do 
sua distancia ao cont6rno. Em particular, sendo 	o orcuio 
de ralo p e centro , ter-se-a: 
< n kIÍQI 	 (3.11) 
onde M(p) e o valor máximo de If(z)l s6bre O • Em particular, 
para f(), resulta: 
()I 
que podia ter sido obtido como conaequnoia direta do teorema 
do valor mdio. Do resultado particular (3.12) i faoll deduzir 
o Teorema do módulo máximo: Se f(z) f6r analítica numa regido 
R, o valor máximo de If(19)1 é atingido na fronteira.(l) Se o 
f8,' também num ponto interno, então f(t) = const. 
Demonstração: Sendo no um ponto qualquer interno a R, pode 
se achar um círculo 0 de centro contido em R. Á no ser que 
f(z) M(p) em todo o circulo,, de (3.12) vem: 
Supondo que o mxÏm:M delf(z)1 
atingido no ponto, seguirí que f(z) é 
constante em R, donde o teorema. 
Inicialmente,, se f(; 0 ) = M, o ar 
gumento acima assegura que lf(z)IM em 
todo círculo interno a R e centron o, Ia 
to é, 1fW 1 = M no maior círculo inter 
no a R que pode ser traçado com centro em r. Seja ento 	um 
ponto qualquer de R. Pode-se achar uma linha interna a R que 
que una no a 	, 	Supondo If(1)I < M, pela continuidade de 
(1) f(z) 1 sendo contínua no conjunto fechado R, deve necessriainente nLe 
18 possuir um maximo. 
Cap.III 
1 f(z) 1 dever existir um primeiro ponto ~ do oont6rno no qual 
1 f(?'), = M, e, logo a seguir, jf(z) 1 <M. Mas, como lf(z)I = M 
em algum círculode centro ', isto implica numa contradição, e 
lf(z)I = M em todo o R. Das equações de Cauohy-Riemann se gue 
oue uma função de mdulo constante num domínio de regularidade, 
deve tambe'm nele ser constante, pois, fazendo f(z) = u + t. v, 
1 f(z.) 2 = u2 + v2 = 
Derivando em relaço a x e y, vem, 
	
u.ux + v.vx = O , 	 u.0 + v.v = O 
e, utilizando as equaç õe s de Cauchy-Riemarin: 
u.0 = v o u ,. 	v.0= - u.0 
donde, 
2 	2 	2 	2 
ux +uy =vx +vy =O 
Assim, as derivadas parciais de lã. ordem devem se anular. 
A JmIca possibilidade e que f(z) u + 1 v = oonst. 
Outra consequência da f6rmuia (3.11) (; o Teorema de L lou-
pUle: Uma fungo f(z) analítica e limitada no plano todo 
é necessariamente constante. 
Com efeito, num ponto do plano z, se tem por (3.11): 
Ir , 
onde p e' o raio de um círculo qualquer de centro 	. Fazendo 
p —'oo, resultará Um f 	O, o que s omente se dará se f(z) 
for constante. 
O teorema de LiouviUe é de importância em muitos casos, 
Considere-se, p.ex., a demonstração do Teorema fundamental da 
Álgebra: Todo polinômio 
	
P(z) = az + a 1z 	+ ... + ao (a 4 o) 
de grau n> O, admite pelo menos uma raiz no domínio complexo. 
Com efeito, supondo, ao contrário, que IP (Z) xo t enha raiz, 
a função (z) = l/P(z) será anal ítica e limitada em todo o pla-
no, e, pelo teorema de Liouville, Q(z) = const., o que contra-
ria a hipctese n> O. 
3,2, RESfDU0S. CÁLCULO D INTEGRAIS. - Seja f(z) uma funç ã o 
regular num domínio simplesmente conexo D, excepto (posshelme 
te) num ponto r . Se 0 for uma curva simples fechada contendo 
3.2 	 85 
no seu interior, define-se resíduo de f(z) em 	como sendo a 
integral 
-a-- jf (z)dz , 	 (3.21) 
2iti C 
a qual independe da curva que envolve 	, 
Mais geralmente: Se C estiver contido no domínio de analj 
tióidade de f(z), e f(z) f6r regular no interior de C. excep-
em um número finito de pontos zl,z2,,,,,t, ento 
.L. jf(z)dz 
2ti a 
será igual à soma dos resíduos nestes pontos. 
A demonstraç ão e imediata. 
A noção de resíduo e muito xítil no calculo de integrais com 
plexas, Seja calcular o readuo dafunço f(z).= 77. Pondo 
z = rei8 e integrando segundo um círculo de raio p com centro 
na origem, obtem-se 
1 	dZ 	1 	f _i(n_1)Ode 
 2tp n-1
e 
Como e21 = 1, conclue-se que o resíduo e nulo para n> 1 
e e 1 para n = 1. 
Da reiaço 4j(lg z) = --, resulta 
1g z = 
f, ~ 
- 	 (3.22) 
Esta expressão exibe o aspecto piurfvoco da rungao loga-
ritmo. Unindo 1 a z por duas curvas 
que no se interceptam e que formam 	 Z 
um contorno que envolve a origem, os 
dois valores obtidos pela (3,22) di-
ferirão de 2it1. Evidentemente exis 
tem infinitos valores de lg z, dif! 	 1 
rindo entre si por nuiltiploa de 2 id.. 
Utilizando os,.resíduos podem-se 
calcular vasta classe de integrais imprpriaa do domfnio real: 
Supondo f(z) regular no semi-plano superior lis z O, excepto 
em um numero finito de valores nao reais 21'.'''2n' se 
um z f(z) = O, 	 (3.23) 
z 
ter-se-9 	 +co 
f f(x)dx2zir 	 (3.24) 
88 
	
Cap.Ifl 
onde ri 6 o resíduo de f(z) no ponto z. 
Demonstraço: Torne-se R > O bastante grande para que todos 
os Zj estejam contidos no círculo JzJ<R. A integral segundo o 
contorno formado pelo semi-cÍrculo e pelo se gmento -R a R do ej 
xorea1 
f(z)dz; iR
f 
 + f IR 8f (Re ie )dg = 2111r 
fa 
 
Aumentando suficientemente R, a ____ 	integral sabre o semi-círculo pode 
ser tornada arbitrariamente pequena, 
7 	z2T\ 	pois 
/ 
° 	
z3 	\ 	1f
IZ 
 Re i0.fei6)d 8 k1tmtm 
-R 	 R 	
e pela (3.23), o segundo membro deve 
tender a zero. Conclue-se daí que 
+00 
].im f f(x)dx = ~CO f(x)dx = 2itir R- 	-R 
este resultado pode ser f&oilmente estendido ao caso de ha 
ver uma infinidade de pontos Zj para os quais f(z) no e regu-
lar, desde que os Zj nio ténham ponto de acumulação. A soma 
feita na ordem de crescimento de JzjJ. 
EXEMPLOS 
l)Afunço 
az +bz+c 
com a>O, b,o reais e b2-4ac<O e regular para Im z O, ex-
cepto no ponto z1 = (-b+iV4ac b2 ). Evidentemente, f(z) 
satisfaz a condiç ão (3.23). Logo, pelo teorema a.iterior, 
+00 
	
~Co 	
dx 
 ax2 +bx+c 
e igual a 2iti multiplicado pelo resíduo r 1 de f(z) em z1 . Po-
rém, pondo z = z 1 +pe', tem-se 
r 	 f(z)dz= lia _i—j 	
dz 	= 
1 	23ti a 	p-,. 2iti 	a(z-z1)(z-1) 
lim 	
2it 
1 	É 	IP e' Td 	 - 
	
—j 	 i 	- - 2iti o ape (P(pe +z1_z1) 
3.2 	 8? 
a(z1 -i,) - i'/aob2 
Donde 86 conclue que 
(x )dx = 
O me'todo usado no teorema acima pode ser adaptado a outras 
Integrais imprprias. Por exemplo: 
2) Calcular 
1 senx dx -00 X 
Considere-se 
iz 
dz 
Escolhe-se um domfnio semi-ofrou 
lar como o anterior, do qual se reti-
ra um semi-crrcuio S de raio e e cen 
tro na origem (ponto singular). Repre 
sentando com-IR e I as integrais s6bre os círculos 5R e e 
por 'H a integral s6bre o eixo real de -R a -e e de e a R, pelo 
teorema de Cauohy ter-se-í I = 'R - com 
= (f
C+ .R) -' 
ix dx = 2i 
1R 86fl X dx 
..RJe 	X 	 X 
iz 	 lt/2 
J 	= 'f 	d 1 j e 96ZOd8 = 2 f e 8anOdO = z 
R 
8 	it/2 
= 2(J 
+ f 	6-R S6fløde o 
Porem 1 6-R sene1 l para O8, e, tomando R bastante grau 
de, aer 	-R senOj <6 para õEe x /2. Logo, 
8. Ri 	2 	2 
Por outro lado, 
f 
iz 	 •it 
= 	
- dz = if em C senO6ic °°80de 
se z 	o 
como o integrando J continuo em e e e , pode-se fazer e - O 
ob o sinal de integraço, resultando lim -I€ =ir i 
Portanto, 	 C0 
88 	 Cap III 
f een x 	lia= 
e -O 
3) Como outro exemplo, seja calcular as integrais de Freanel 
f coa x2 dx e f n.y 	
se 2 x dx 
O 	 o 
2 Para isso, introduz-se a runo 
12 	e 	que e integrada segundo o con- 
torno do setor clGrcular de ralo R e 
10 
	
o 	x 	angulo central t/4. Pondo z = re , 
ter-se-é; 
f dx
+ i4e_1252iRl e10d0 
+ f 
O,-r28 
e dr = O 
Mostrar-se-ao que a segunda Integral tende a zero quando 
R-oo. Tem-se: 
1121 = R 1 j 	R je008 2e d. = 
= R 1tj .. 2 R2senq 
Como 	
2 
-(sen 'p) = - sen cp, segue que a. funço sena 	con- 
dcp 
vexa • no Intervalo O pit, e portanto jaz acima da reta que 
une suas extremidades : 	 2 aenp , 	-cP 
Assim, 	 2 
	
1 12 	-r J 	dcp = --(l - e 	) 
que, evidentemente, tende a zero quando R-'co. Logo, 
	
co 	2 	co 
f o dx f 	(1 + í)dr = 0 
e sendo 
89 3.2 
For conseguinte, 
OD 
f coa x 
2 dx f sen x2 dx = 2 V Z!2 O 	 O 
4) Como tíltimo exemplo calcular-se-
co 
f - dx 	(O<q<l) ol+X 
que e de importncla no estudo da fun- 
ção ', Para isso, considere-se o con-
t&rno fechada da figura ao lado, e a 
integral 
idz2,tir1 
./C1 + 
onde r1 e' O. reafduo de 	no ponto z 
l+z 
Evidentemente, 
	
= (1) q1 	61,t(q-l) 
Logo, 
dz = 
Rq-1 	
+ 	
q e 
fo 	 de + l+x 	 l+Re 
	
I q_l 027ti(q_l) 	2it p lcIe + R 	1+x 	dX_l Ji +pe i8d8= 
= 2,t1 5lic(q.1) 
ou 
2111 _l)]DZ dx = 27r1 5 11(ql) - 
l+x 
-1 
	
fo 1+ Re 	 ol+pe 
• 	21tq_iqe 
Porem, 
f
R e 
te d8-o para R-oo, pois, olRe 
2 t te JR s_e 
ol+Rele 	R-]. 
2t q iqO 
	
Analogamente, quando p-,O , f 	O 	d8-O ,uma vez que IG ol+pe 
f
P CI 5
1 qO de < 2J2 
o 1+pe 1p 
Cap.III 
Logo, 	
f
R q-1 
&dx 	lua 
0l+x 	Roo fP 1 + p -*.o 
- 
ji (q- 	sen t (l-q) 	sen qir 
~CICIOS 
1) Calcular: 	
2 
a) cos z.dz 	s6bre. a elipse —L. + 	= 1 
b) tg z,dz 	s6bre o ofrcuio 	x2 + y2 = g 
o) 	ooaec z.dz e6bre o ofrouiõ 	x2 + 	= 
2) Demonstrar, usando a formula integral de Cauohy, que se 
f(z) for regular numa regio R limitada por uma curva simples 
fechada a, e se t(z) for real sobre C, ser f(z) = const. em R 
e s6bre a, 
3) Calcular _L_ f2- dz , (a real) a6bre as curvas: 
2,ti 0 
a) C um caminho fechado envolvendo a origem; b)a uma reta paralela ao eixo y: x = x 0> O, s>O ; 
c)Careta xx0>O e s<O. 
4) Demonstrar que 
]O X20Ø5( 2..Ç7 ) 	fT+q) 
5) integrando e dz abre o ret&ngulo abaixo, calcular 
c 	2 	 3' 
J e coa 	 _____________ 
o 	L 
o 
a 
X 
ô) Calcular: 	
-L 
 
a) 	 2 dx ; b) fsen2x 
7) Demonstrar que 
l_R2j2% 	d9 --1 	(OR<l), 
2'jr 	 O l-2R coso +R 
az pelo calculo de 	(z-R)(Rz1) 	s6bre o o1'rculo unitario 
8) Demonstrar que se Q(z) f6r um polinômio de grau ri, tendo 
raizes simples20 *ento, para toda funço P(z) regu- 
41 
lar nestes pontos, o residuo de 	em z sers 
9) Seja Q(z) um polinômio de grau 2n com coeficientes reais, 
e tendo raizes simples no reais z 1 . Seja P(z) um polinômio do 
grau m-,-2n.2. Calcular 
P(x) dx 
10) Calcular: 
00 	 +00 	 +00 
f
x d 	 Ç 	dc a) 	f - ; 	b) 	00(l+x)2n ; 	c) 	00(l+x2)fl 
ii) Calcular 
00 r q-11 
J - 	dx (0<q<1) o l+x 
4. APLICAÇÕES À TEORIA DO POTENCIAL. ESTUDOS DO FLUXO 
4.1. O PROBLEMA DOS VALORES NO CONTCRNO*M Como se viu, 08 
valores de uma funço analítica no interior de uma curva sim-
pies fechada depende znioamente dos valores s6bre a fronteira. 
Nesta secção discutir-ae-a a estreita relaço deste resultado 
com o problema dos valores no contorno da teoria do potencial, 
Uma funço u(x,y) diz-se harm6nioa num domínio D se aí ti-
ver derivadas oontïnuas atJ a segunda ordem e verificar a equa-
ço de Laplace: 
L\U = Uxx + U = O.yy 
Sendo linear esta equaço, qualquer combinaçio linear de fun-
çes harrn6nlcas e funço harmônica. 
Das equaçes de Cauchy-Riemanri decorre, claramente, que as 
partes real e imaginaria de uma função analítica são fiçes ha 
m6nicas em x e y. Reciprocamente, dada uma funço harmônica 
u(x,y), existe outra função harm6njoa v(x,y) dada, amenos de 
ma constante aditiva, pela integral 
v(x, y) = J -udx +.0 x dy 	 (4.10) 
tal que f(z) = u(x,y) + i.v(x,y) seja funçgo ana1tica da va-
rivei complexa z = x + i,y. A função v assim definida diz-se 
conjugada de u, A tunço u sera, ento, conjugada de -v Tda 
função harmônica pode, pois, rigurar como parte real ou imagina 
92 	 .Cap.III 
riade uma função analítica. Tal fato estabelece a equivaln-
cia da teoria das funçea harmônicas com a teoria das funções a 
nalíticas. 
Várias propriedades das funções analíticas podem ser obti-
das imediatamente. Como as funções analíticas tem derivadas co 
tínuas de t6das as ordens, segue-se que uma funçao lzarm6nica 
u(x,y) tem derivadas contínuas de todas as ordens em reloçao a 
x e y Também subsistem os teoremas: 
1. Propriedade do valor médio; Se u(x,y) fôr funçáo harmô-
nica num círculo de raio r e centro x01 y09 então, 
u(x0 ,y0 ) = 	f u(xo + r.cose, yo + r.Esene)de . (4.11) 
o 
Isto resulta imediatamente do valor médio para as funçes 
analíticas; quer dizer, se v f6r conjugada de u e f(z)=u+i.v, 
f(z) = 1 	f f (Z + r . e i 8 )d,O 
2ir o 
A. separaço das partes real e imaginária fornece (4.11). 
2. Princípio de ma'xiszo e mínimo: 38 u(x,y) f6r harmónica, 
regular no domínio D e s6bre sua fronteira,u assumira' s6bre L 
la seus valores máximo e mínimo s 	Se o máximo ou o mínimo f6r 
também atingido num ponto interno, u reduz-se a uma constante. 
A demonatraçao para o máximo á análoga à do teorema corres 
ponente para as funçes analíticas. Para o mínimo, basta obser 
var que á o máximo de -u. 
Daí segue que uma funç&o harm6nica é unuocamente mdlvi-
dual izada por seus valores no cont6rno, isto á, se u1 e u2 fo-
rem ambas harmônicas em D e tiverem os mesmos valores sobre a 
fronteira de D, ento, u1 = u2 no interior de D, pois, a função 
u(x,y) = u1 (x,y) - u2 (x,- 
á harm&nioa em D e nula s6bre sua fronteira. Pelo princípio de 
máximo e mínimo, u = O em D. 
Uma funço analítica á também univocamente individua1iia 9 
dados os valores sobre ,a fronteira, pela fármula integral de 
Cauohy. Tal, entretanto, nao, significa que exista urna liberda-
de completa na escolha dos valores s6bre o contorno rara uma fun 
ço analítica f(z) - (na realidade tem-se apenas liberdade de 
escolher os valores de sua parte real ou imaginária) pois, os 
4.1 
valores no contorno da parte real de t(z) a individualizam com-
pletamente e, por (4.10), tambein sua parto imaginariS. De fato, 
achar-se-a uma expresso explícita da f(z) dados os valores no 
contorno de sua parte real. 
problema interessante achar qual a liberdade na escolha 
de uma runçao harmônica com dados valores no contorno. Esta queB 
to foi profundamente investigada em anos recentes; sob as con.. 
diç6ee restritivas aqui impostas de que a fronteira seja um con 
torno sabre o qual as funçes sejam oontnuas, o problema sem-
pra tem solução iínica. 
Demonstrar-se-a, em seguida, para o domínio ofroular sim-
ples, que i poss'vel exprimir dada função harm6nioa como Inte-
gral envolvendo apenas valores no contorno, an2logamente à for-
mula integral de Oauchy, a qual individualizando uma funço har 
m6nioa no domínio que tem tala valores no contorno, resolvera o 
problema em tal dominjo, Para domínios mais complicados, o pro 
blema e consideravelmente mais difcji. 
Pode-se, sem prejuízo da generalidade, considerar simples-
mente o círculo unj.tario e com centro na origem. Seja u(r,(p ) 
harm6nlca em C. e represente-se com u( (p) = u(l,(p) os valores de 
u(r,(p) no contorno do círculo C, e suponha-se que f(z) = u+ i.v 
seja uma funçio analÍtIca em C, tendo u como parte real. Pela 
formula integral de Cauchy, tem-se 
27ti,f(z) 	Ut dt 	(zIl) 
em que t representa a varlivel complexa sobre C. Em coordenadas 
polares, t = e 	sobre C. dando 
27r f(z) = f f (t) —.— dO 
Se ao conseguir separar as partes real e iznagina#ria nesta 
f6rmula, ter-se-a obtido as expresses de u e v em funço dos 
respectivos valores no cont6rno. Eis como se pode faz-1o. Es 
tando o inverso hz de z em re1aço a O fora de C. segue-se que 
f f(t) 
t1 deo, 
	
O 	t- 
donde 	 21r 
27rf(z) = ff(t){r- .± _í1] de. 	 (a) 
94 	 Cap,III 
Como tE = 1, 
t 	t 	t 	 1 -1z1 2 
+ = 
	- 	= 1 t 
sd real. Logo, pondo 	f(0i6) = u(e) + i.v(8), pode-se Imediata- 
mente separar (a) em suas parta e . real e imaginaria, obtendo-se 
	
21t 	 2 
2itu(r,) = f u(e) 	de, 	 (b) 
	
o 	It-zi 
onde z = 	um ponto interno a O e t = e1 e Evidentemen- 
te, 1 t - zi representa a dlst&ioia do ponto fixo Z = r.e 	ao pon 
te var1vel t, e J dado por 
It - zi = \/1 - 2roos(O 	(p)+r2 
Obtm-se, assim, a importante formula 
2it 	 2 
u(r,(p) = _L f u(e) _Il - r )dO 	2 	(4.12) 
	
.2 	O 	1-2roos(e-(p)+r 
conhecida como fÓrmula integral 
/L, de Poisson, parte do resultado ai 
mejado de representar uma função 
harmn1ca no círculo unitário 
O 	 por meio de função em que apenas 
o 	 seus valores e6bre o contorno ti 
gurem exp1.oitamente. Ver-se-a, 
em seguida, qw a frmula de Pois 
son também resolve o problema pa 
ra o círculo unitr1o. 
conveniente obter f6rmu-
las anlogas exprimindo v(r,(p) e 
f(z) por meio dos valores no contorno de u. Tem-se: 
t. 	t 	 t+z -.t+(z -ti' 
tz + -z 	:E_i 	It-z1 2 	 - 
— 	Ezz l+2i lia (j 
	
It-z1 2 	It-zi 2 
donde, usando o sinal superior em (a), 
21t[u(r,p)+ i.v(r,)] = f (u(e) + 1.v(e )1[111 +21 	 deo ItzI 
que fornece 
4.2 	 95 
	
2,tv(r,q,) = jv(e)dO + 2 J tu(e) Im(z de 	 (o) 
o 	 o 	1t41'ZI 
2t 
Pela propriedade do valor médio,, j v(g)de = 2% v(e), valor 
na origem, e Im(z) = Im(e8r et ) = r.sen( cp-6). Portanto, 
	
v(r,cp) = v(0) 	_L 	u(o) 	r.aen(çO) - do . 	(4.13) 
o 	1-2roos((-e)+r 
Esta fcrmula individualiza v un3.vocainente, a menos da cons-
tante aditiva arbitrsria v(0). Combinando (b) e (o): 
f(z) = u(r,(p) + t.v(r,(p) = 
= 1.v(0) + -- f u(e) f' 	+ 2i.Im1 de 
o 	Lit-zi 	It -zi 	J 
e como 21.Im(z) = Ez - ti, isto se reduz a 
2t 
f(z) = i.v(0) + --- J u(0) 	dO , 	(4.14) 2it 
que exprime uma funço analítica no círculo unitgrio por meio 
dos valores no contorno de sua parte real, univocamente indivi-
dualizada, a menos da constante arbitra#ria i.v(0). 
A f6rmula (4.12) de Potsson e' ractimente estendida ao ofro 
lo de raio R. Tem-se apenas que substituir r por r/R em (4.12): 
	
2it 	 2 	2 
u(r,) = 	f u(e) 2 	R - r 	2 dO (OrER) (4.15) 
	
2xo 	R -2Rr. coa (8.p)+r 
4.2 • DESENVOLVIMENTO DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO HkRM6NICA. - - 
Em lugar de exprimir uma runçao harmônica como uma integral se-
gundo o contorno, e possível por transformaço apropriada destas 
frmu1as, exprimi-la por uma serie de Fourier cujos coeficientes 
dependam apenas dos valores no contorno. Sendo 
co n 
= 1 + 	1 + 2 1 	1 = 1 + 2 
t - z 	t - z 	tz 	n=l t 
ae'rie convergente no intérior do círculo unitário, pois - <1, 
entao (4.14) se transforma em 
	
f(z) = IMO) + 	1 u(9)[l+2 	rfle_0)]dO 
96 	 Cap.Ifl 
A se'rie convergindo uniformemente em todo círculo menor,p2. 
de-se permutar a soma e a Inte*graçZoe. 
f(z) = 1. ,V(0) +-- 	
+ 	
{;0
ue e118d9l eu1 
O 	 n_-1 
Separando as partes real e Imaginária, obttn-se as duas í 
ries: 	a 
+ 	r'1 (a1 .óos np + b.sen np) 
(4.21) 
v(r, p) 	v(0) + 	r'(a sefl np - bcos nq,) 
nas quais 
a 	.1 f u(0),cos n9,do , 	(n o 
b 	_L / u(0),sen nO,dO, 	(n 1tO 
a e bn so chamados os coeficientes de Fourier da funço u(e). 
Como rl, as duas sries convergem uniformemente no interior 
do círculo un1trio. 
. 	
Outra maneira de de o 
e 	 duzir a frmu1a de Pois- 
	
e.i 	son, por meio do teorema 
do valor meddio, e como 
E) 	
se gue: a transformaçgó 
linear 
representa o interior do 
circulo unitário do plano w sobre o círculo unitario do plano 
z, e associa o ponto z = O ao ponto w =r.e i(P,Tem-se, ento: 
1. (0) = L f r (6'*)d# 
na qual z.= 	um ponto variável 1 sobre a circunferência. 
Se w = e0 ed o ponto correspondente do plano w, resulta: 
2% 
f(r.e 1 P) = _i_ fo t(e)d4i21 
ou 
43 	 97 
u(r,cp) = 	f u(e1)dp 
sendo 	o ângulo indicado na figura. De (d) tira-se: 
-r 	2d8. 
12rcos(0-9)+r 
4.3. SOLUÇXC) DO PROBL(A DE OONTRNO PARA O CÍRCULO UNITÁ-
RIO.. Demonstrar-se-a que a frniula de Po5.sson no sé represe 
ta uma funço harmônica por meio de seus valores no oont6rno, 
mas também resolve o problema doe valores no contorno para o 
círculo unitério, ou seja: Dada urna função contínua real qual 
quer f(e) de período 2% e definida 96bre o círculo unitário a 
do plano (r,p), existe urna funç ão harrn6nica u(r,cp) regular no 
círculo unitário e que assume valores prefixados sôbre a clr-
eunfer$ncia de tal círculo, a qual é dada por 
	
21E 	 2 
u(r,(p) =i f f(0) 	
l-r 	
2 dO 
	
2it O 	l-2rcos(8-)+r 
Como é lícita a der1vaço em relação a r e cp sob o sinal 
de 1ntegraço, 
f(e) x(r,(p,e)de 
o 
onde 7. é o nu'cleo de Foisson: 
l-r2 	lLzP 
l2r aos (p-e)+r 	It-zi 
z = r.e 1 ; 	t = e 18 
e A é o operador. de Laplace: 
Que Au = O, resultará imediatamente se fr a = o. Como 
f(z) = 	= - 1z12 + 21 
	
t - z 	It-z1 2 	It-zi 
= Re[t(z)] é, portanto, harmônica e a = o. 
Fica assim demonstrado que (4.12) é funço harmn1ca. Ela 
assume certos valores u(0) no cont6rno do circulo unitérlo, fi-
cando resolvido o problema se se mostrar que u(0) = f(0). 
98 	 cap,IIÍ 
Demonstração -Se P(].,(,) = P(e 0 ) for um ponto dado do círc 
lo unitario e F(P) = O, deve-se provar que 
um u(r,(p) = O. 
r-1 
A furiçio u(r,p) 	O sendo harmônica,, pode ser representada 
pela integral de Poisson 
c= 	f O X(r,(p;e)de, 	 (e 
e,, por conseguinte, 
u(r,(p)- o = 1 {f(.e)cj(r,p;e)de o 
No se pode, passar ao limite diretamente nesta expressão, 
pois, o niícleo de Poisson se torna indeterminado quando rl. 
Usa-se, ento, um raciocínio tp1co em tais casos: deoompe-se 
a integral em duas partes, e fazem-se avaliaçes aproximadas de, 
cada uma delas. Um pequeno círculo k de raio p e. centro P di- 
vide o círculo unitrio nos arcos 
e C2 aquele contendo F. 'Da con 
tinuidade de f(8) segue-se poder 
determinar um p suficientemente pe 
2 	 queno para que, 96bre 
k 	 It( 0 )Ct< - '. 	 () 
k' 	.C) 	Trace-se um segundo circulo 
p. 	. 	' k' de centro P tendo raio r p/2 e 
seja (r,cp) um ponto arbitrrio so-
bre k' (mas no s6bre Cl), mantido fixo na deduço. De (f) de-
duz-se 
Iu(r,)- c1 1 f If(e) Ckde + -- f i f (0) - clxde 2t 271 02 
De (e) e (g): 
- flf(e)_cl1e 	- f 	 (h) ItO 
Viu-se que d 	- 2 r cos( e - (P) + r2 representa a dist 
cia (variavel) do ponto (r,() ao contorno, e se in(r,cp) f6r o mf 
nimo de tal distância ao arco C2e tem-se: 
4.3 	 99 
?t.(r,(p,O) < 1 	 (r<1) 
Pondo M maxif(S) -Q, e notando que m p/2 para (r. (p) 
no interior de k', 
-a- fIr(e) CIXd8 < 	M 2 f (1 - r2 )d0 	(1- r2 ) 2,t 	 2 m 	o 	 p 
Evidentemente, pode-se tomar kI bastante pequeno para que 
1- r2 < para todos os pontos que lhe são internos Combi-
nando esta ceaiva1dade com (h), 
Iu(r,q) - f(e)I < 2€ 
para todo ponto (r,cp) numa vizinhança ke suficientemente peque-
na de P, o que demonstra o teorema. 
Outro metodo de resoluço do problema dos valores no con-
torno para o circulo unit&io, i dada pelo desenvolvimento 
(4,21) de Fourier para uma funço harm6riioa. Suponha-se urna fu 
ço f(6) contínua e com derivada geralmente regular em O < 0< 
e com valores prefixados no cont6rno do cÍrculo unitario, 
Ásirie 	a 
u o 
	
(r,cp) 	-+ 	r(a.cos ncp + b .sen n(p) 
n=1 
com 
j- f f(0).cos nO dO . b = - ff(0).aen nO dO271 o 
(n=O,1, 	n) 
e função harmônica regular no cÍrculo unitario, assumindo os vã 
lores f(0) no contorno, Dois, sob as restrições acima, f(0) i 
igual a sua serie de Fourier: 
f(e) = u(1,p) = 	+ 	(a3 coa n + bn 0511 
e (i) converge i. funço u(r,q) em todo o cÍrculo unitário. Que 
u(r,(p) í harmônica segue do fato de o ser cada um dos termos 
	
r11 .cos ncp , 	rnt,sen fl 
da serie, e, desde que a serie seja uniformemente convergente, 
em todo sub-cÍrculo, e 
	
u 	[a1 (r11 .cos n ) + b à (rnl.sen a )] = O. 
Considerando a funço conjugada v(r,q,) e invertendo a mar- 
100 	 Cap,III 
cha usada para obter (4.21), pode-se transformara,xeaeo (1) 
na integral de Poisson. 
4.4. APLICAÇ5S FÍSICAS bL TEORIA DAS FUNÇS ANLÍTIQAS. 
S0AMENT0S BIDIME5I0NAIS.-. Alem dos aspectos ate agora consl 
derados das funçes analíticas, existe outro de grande signif i-
Oado físico: a cada função analítica se associa um certo tipo 
de escoamento bidimensional. 
Um escoamento e" um movimento caracterizado e definido mate 
maticamente por um vetor i, representativo da velocidade, e de-
finido em cada ponto do domlinio D por suas coordenadas 
p = p(x,y) , 	q = q(x,y) 
funções unÍvocas de x e y em D. Supe-se p,q funções diferen-
ciáveis de x,y, e que o escoamento seja fixo ou estaoionario, 
Isto e, que p e q não variem com ,o tempo. Tal escoamento pode 
ser materializado por uma fina lâmina líquida, ou pelo escoamen 
to de calor ou eletricidade numa placa delgada. 
Considerar-se-o alguns conceitos elementares associados a 
tais escoamentos Por "fonte" entende-se um ponto de onde sur-
5e fliido, e por "sumidouro" um ponto em que âle desaparece. Pa 
ra precisar tais conceitos, considere-se um qualquer domínio do 
Plano xy tendo cont6rno c (1) Se for um elemento de arco 
de C tomado no sentido positivo, Vds (v representando a compo 
tiente de V normal a cia), e" a quantidade de flíido que se escoa 
or da na unidade de tempo (seV fGr negativo, entender- se - 
,que o f1íido penetra em D). Representando com (dx,dy) as compo 
i•entes de da, (dy,dx) sio as componentes da normal a da dir1g 
da para fora de D. Projetando o ve 
Vfl - 
	tor V = (p,q) sobre esta normal, vem 
Vds = p.dy - q.dx 
O excesso de f1i.ido que sai de 
D s&r6 o que nele penetra e" dado pe 
la integral 
,Cv da = 	Tp.â 	q.dx , (4.40) 
tomada sobre o contorno C. Esta In- 
te 	e" usualmente chamada fluxo do fLíido s6bre a curva . 
(1) Nesta seoço, eupe-se que t&as as curvas ssj.i 1inb- 
1 
4 • 4 	 101 
Se não houver fontes nem sumidouros em D e se o fldido for in 
compre ssfvei, esta integral anula-se sobre c, ou sobre qualquer 
curva fechada em D; este escoamento i denominado adivergente ou 
solenoidal e adota-se a anulação da integral do fluxo (4.40) 
como expressão matemitioa diste tato. 
Resta considerar o chamado escoamento vorticosoConsideran 
do o escoamento como representado por urna famÇlia de curvas,cha 
madas "linhas de fluxo", segundo as quais o escoamento se pro-
cessa, pode suceder que uma delas se feche, caso em que o 
do circula Indefinidamente segundo a curva. Diz-8e, então, que 
o escoamento em movimento vorticoso, convindo definir a medida 
desta circulação por Jvxds ao longo da linha de fluxo. In-
troduz-se prontamente a circulaçã o ao longo de C pela conside 
ração da componente V. de segundo de e integrandoao longo de 
Co 
	
circulação 	fv de = Jp.dx+q.dy . 	(4.41) 
Se o escoamento J sem v6rtice num domÍnio D, a circulação 
se anula ao longo de toda curva feohada em D, e reciprocamente. 
Com estas definições pode-se enunciar e demonstrar o tsor 
Se p(x,y), q(x,y) forem um par de funções diferenciáveis 
de x,y num domínio D que define um campo vetorial V, tendo co m 
ponentes p, q, e se V tiver divergancia e circulação nulas, a 
função f(z) = q + i,p e' uma fungo analítica de z em D. 
Demonstração: As condições do teorema estabelecem que, se 
for qualquer sub-domÍnio de D tendo conto-mo g, então., 
	
4.dy_q.dx0 9 	 p.dx+q.dy0 
- 
Logo, a função complexa f(z) = q +j.p tem a propriedade 
de que, para qualquer caminho fechado g, 
.Øf(z)dz = j(cl+i.p)(dx+i..dy) = 
g 
= í(q.dxp.dy) + 1 5í(p.dx+q.dy) =0, 
g 
e, pelo teorema de Morera, f(z) i analítica em D. 
Esta função, cujas partes real e 1mag1nsria dão as compo-
nentes da velocidade, e chamada velocidade complexa e e regu-
lar em toda domÍnio em que a divergência e a circulação forem 
102 	 Cap.III 
nulas. Em tal domínio 
0(z) = f f(z)dz zo 
J tambem regular, e individualiza, a menos de uma constante,uina 
tunçao analítica Ø(z) = u+i.v, chamada potenatal deuelocid 
de, com 
uq, 	v=p, 
v=q. 
As equaQoes u(x,y) = oonst. formam uma família de curvas 
no plano x, y. A direção de escoamento em qualquer ponto í dada 
pela curva u = oonst. que passa por esse ponto, pois, de 
udx + UdY = O 
segue que 
q 
As curvas u = const. coincidem, pois, com as linhas de 
escoamento ou de fluxo, As curvas v(x,y) = a constituem outra 
família ortogonal primeira, porquanto, 
dy 	V 	p 
chamadas linhas equipotenciais do escoamento. 
4.5. SINGULARIDADES 1)0 ESCOAMENTO. ESCOAMENTOS REPRESENTA-
OS POR FUNÇES ELEMENTARES... j'asaar-se- a examinar as várias 
aspcies de singularidades que aparecem num escoamento. Estas 
correspondero a pontos de ramiricaçao, pontos singulares do P2 
tencial de velocidade 0(z). 
Caso típico de singularidade com pontos de ramificação J o 
da função Ø(z) = z1 na origem. Ser suficiente restringir-se 
ao estudo do escoamento definido por esta funço. 
Se 0(a) = z2 = x2 ..y2 +21 x 	, as linhas u = C, v =Cco, 
respondem, respectivamente, s redes ortogonais de hiperbolea ! 
quilateras 	2 	2 
- y =0 , 	X3T 	0. 
Alguns elementos de cada família se acham representados na 
figura • As flechas segundo as curvas u indicam a direção de 
escoamento, isto i, a direção de aumento de u. Os CaSOS limi-
tes u = o e v = o no se interceptam em £ngulos retos, porem 
fazem ângulos de 459 na origem. Tal seria de se esperar, da 
103 
diacusso previa concernente ao comportamento da representaço 
w = Z na vizinhança da origem. Duas linhas de fluxo as diri-
gem e duas outras dela se afastam, o escoamento podendo se rea-
lizar segundo qualquer uma delas. Esta imagem sugeriu, origina 
riamente, o nome de "ponto de ramificação"* 
Caso anlogo sucede na origem para Ø(z) = zr ; n linhas 
de fluxo se dirigem pa 
ra a origem formando 
angulos iguais entre 
si, e as Outras dela 
se afatani, O de~O - 
exibe o dãso a w 	cor 
respondente a Ø(z)z3 . 
A Í'unçio 	0(z) 
lg z 	fornece dois 
tipos importantes 	de 	---- 
escoamento. Tem-se: 
ulgz , 	v=e, 	 / 
isto e, as linhas de fluxo consistem numa fftia de círculos 
com centro na origem. Pode-as perguntar o que sucede na origem 
em tal escoam-ente. Devia-se nela esperar comportamento anormal 
pe1a singularidade de ..lg z,. A cireulaço, por ser 
p=vx, q =vy 
tem o valor 	 27t 
Jpdx + qdy = f O dx + e dy 	f dO 2 'it , 
104 	 Cap.III 
para qualquer curva circundando uma vez a origem no sentido Po-
sitivo. FIE, pois, movimento vorticoso em t&rno da referida cur 
vã (neste escoamento no há divergência segundo os cfrculos, 
porquanto sendo r = const. s6bre uma linha de fluxo 92 = CIX 
e q.dx-p.dy =0). 
A função 0(z) = .. i..lg z permuta os papeis de u e v no 6s 
tudo acima, e tem as linhas de fluxo 
= O = oorist., 
cujas componentes da velocidade p,q ao 
p=_ey , 
No há circuiaçao segundo qualquer curva fechada ao redor 
da origem. Porem, o fluxo sobre semelhante curva 
fq.dX.P.dy 	de2Jt. 
o 
Isso significa que 2% unidades 
de fluido por segundo atravessam o con 
terno de qualquer domínio contendo a o 
rigein. Por outro lado, o fluxo atra- 
vez de qualquer curva fechada que no 
contenha a origem, e nulo. Pode- se, 
pois, supor 2t unidades de fliido ao 
me sendo produzidas na origem por se-
gundo e dela se escoando. Tal singularidade e chamada uma fon-
te de fllido, grficainente caracterizada na figura anexa. O va 
ler da integral do fluxo (4.40) J tomada como medida da possan-
ça da fonte. 
Considerando a funço 0(z) = i.lg z obtdn-se um 3w7Z2d0U-
r0 na origem, que absorve 271 unidades de flihdo por segundo. 
Para representar este escoamento, tem-se apenas que inverter as 
flechas na figura acima. 
Outros tipos importantes de singularidades no escoamento 
pedem ser obtidos pela combinação de:singularidades logaritmi.. 
cas. Por exemplo, combinam-se os deis tipos acima de escoamen.. 
tos, por meio da função 
0(z) = ( a + b.i) lg z 	(a,b const.reais). 
Áqu5' as linhas de fluxo e as equipotenciais aio dadas, reapecti 
vamente, por 
ua.lgr -bOC, 	vae+b.lgr=C. 
4.5 	 105 
Estas curvas formam urna rede ortogonal de espirais logarít 
minas da forma r = ae 	, ap 
constantes adequadas. O es 
coamento que tem divergnoia 
e circu1aço em qualquer dorn 
nio contendo a origem, esta 
representado ao lado. 
Outro exemplo elementar 
de fluxo Jda:o Pela função 
= i.lg(z-a)-i.lg(z-b), 
tendo urna fonte de possança 27r em z = b e um sumidouro em 
z = a, cujas linhas de fluxo 5a0 
	
u = arn(z-.a) - am(z..b) 	oonst, 
Evidentemente, u representa o ângulo subentendido pelo segmento 
no ponto z, por conse- 
uinte, as curvas u = 
formam um feixe de círcu-
los por a e b. A figura 
mostra o escoamento para 
a,= 1 = -b, este caso po 
de ser obtido do escoamen 
to com urna fonte mediante 
a transformação linear 
= 
z - b 
que leva o sumidouro ao 
infinito no p1an comple. 
xo. A natureza do escoa- 
mento na origem para a funço hz pode ser facilmente evidencia 
da por ser 
1 	1, z+h 
	
- . .m 	..g - 
	
h - o 	 ç 
onde se pode supor h real. O escoamento dado por 
	
0(z) = - 	lg ±_h 
e' do tipo representado pela figura acima, tendo urna fonte em 
z -h e um sumidouro em z = h, ambos de possança ïc/h. 	Se 
106 	 C ap. III 
h--->O, 0(z) —l/z, a fonte e o sumidouro se confundem na origem, 
suas possanças tendem ao 
Infinito, e os circulos do 
feixe u = oonst., tornam-
se, tangentes ao eixo, real. 
/ 	 Os cÇrculos equipotenoi.ais 
, \ \ se transformam num feixe 
analogo, tangente ao eixo 
y. o escoamento e como na 
-- igura ao lado. Tal combi 
naço de fonte e sumidouro 
Infinitamente prcimos e 
denominado •dtpolo ou fonte 
• dupla, conceito frequente- 
mente -encontrado na teoria da eletricidade. 
Os escoamentos correspondentes a i/z 2 ,i/z3 .... etc, tambem 
podem ser obtidos, usando este tne"todo, combinando duas ou mais 
fontes. A figura 
ao lado mostra o 
escoamento 
z na vi 
zinhanÇa da 
CAPfTULO 1V 
OMTODO DAS S1RIES DE POTÊNCIAS. PROLON(AMENTO ANAUTICO 
1. REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO ANALfTI CA 
POR UMA SRIE DE POTNCIAS 
Corno se viu no cap. 1, se urna se'rie de pot&ioia convergir 
ebre a fronteira de certo crou1o, entgo, no seu interior, ela 
convergirá uniformemente a urna função analftica. Por outro la-
do, sabe-se que urna série de pot&ncias pode ser derivada termo 
a termo um numero qualquer de vezes. A este respeito, demons-
trar-se-í o 
Teorema da convergência de leierstrass: seja {fn(z)} uma su 
cess3o de funções regulares na região limitada por uma curva 
fechada a e suponha-se que a serle ff() convirja uniforme 
mente sâbre c (a sucesso de somas tenderd a uma fungo cont 
nua em a). Então, a série não sd conuergird no interior de a 
como representara' uma fungo analítica em tal domínio, cujas 
derivadas de qualquerordem podem ser obtidas por derivação 
têrmo a termo da série considerada. 
Para darnonstr-lo, seja z um ponto do domínio D interno a 
C. Representando t(z) pela f6rrnula integral de Cauchy, tem-se 
f(z) 	ll2tj_Zd 
Porem, como ' 	r() converge uniformemente no ponto ? 
de a, z estando fixo em D, pode-se permutar os símbolos de sorna 
e de integral. Consequentemente, 
:É f (Z 	 n=l 
n=1 r 	2ir1 	 z 
e sendo a ruriçgo integranda contínua em a, a integral de Cauohy 
representa urna funço analÍtica em D. 
A possibilidade da derivação termo a termo de uma sucesso 
108 	 Cap.IV 
e demonstrada, anaioainente, usando a representaço III (3,04) 
de Cauchy para as derivadas. 
1.1. SRIE DE TAYLOR.- No capitulo 1 viu-se que, no inte-
rior do circulo de convergência, uma série de potflOia8 repre-
senta uma tunçao analítica, cujas derivadas podem ser obtidas 
por derivações termo a trino. Reotprocainente, se f(z) f6r ana-
lítica no domínio D. ento f(a) poderá ser representada por 
uma serie de potancias num círculo com centro num ponto z, de 
' f(z) = + a1(z-z 0 ) + a2 (a- a0 ) 2 + ..., (1.10) 
cujos coeficientes so dados por 
an = 	
(1.10a) 
Para demonatra-1o, seja 
Ozo 
O um círculo qualquer de cen 
tro z, contido em D. No In 
tenor de O, f(z) pode ser 
escrita: 
f(z) -a- 
2'sti 0-z 
Porem, 
	
1 	1 	1 
E 	 -z 	-Z0 1 	0 
o-- 
1 r 	Z 	z-z2 
= 	11+ 	O+( 	0) +••. 
0 L 	 - 	 ] 
por ser 	<1 no interior di O. Logo, a convergência da 
o 
serie e# uniforme num círculo interno a o, e será licito íntegra 
la termo a termo, obtendo-se: 
f(z) 	
O(?_z0)i' 
d= 
	
= L_ 	(z-z0), 
11 	 109 
donde, pela III (3.04), resulta a série de Taylor de t(z) no 
ponto z_ 	 - - 	 W 	ÇJK '(z ) 
f(z) = 	 ° ( z - z )k o k=o 
que converge uniformemente em qualquer círculo contido em C. 
A representaço (1.11) de f(z) e' valida em todo ponto z 
mala pr6ximo de z0 do que qualquer ponto do cont6rno. de D,poia, 
pode-ao, evidentemente, escolher O como um oíroulo qualquer que 
nao ultrapasse o contorno. Portanto, o ralo de convergência 
no e' menor que a distância de z0 ao cont6rno, 
Interessante observar que a se'rle (1.11) depende apenas 
dos valores das derivadas em z 0 ; consequentemente, se a í'unçao 
complexa for analítica num círculo, seus valores no círculo to-
do acham-se completamente determinados por seus valores na vlzl 
nhança do centro. Ver-se-e, ainda, na parte relativa ao prolon 
garnento analítico, que o comportamento local de uma função ana-
lítica e' suficiente para determinar seu comportamento nas re-
giões mais afastadas de seu campo de deflnlço. 
Ainda mais: lima função analítica na vizinhança de um ponto 
acha-se completamente individualizada especificando-se seus o 
valores numa sucessao {zn} de pontos 5n Z, dos quais zo e' 
ponto de acumulação, isto e', se duas fun96es analíticas f1' 
f2() tiverem os mesmos valores nos pontos da sucessao {n} ' 
entao, fi(z) Para demonstre'-lo, põe-se 
f1 (z) = 	a4(z-z )i ; f'2 (z) = 	b (z.z0 ) 
	
j=o ' 	 j=oj 
Por hipótese, 
ao 
	
= 	(a-b)(z-z0 ) = 0 
para todo n. Como as duas funçes ao supostas distintas no 
se pode ter a j = b para todo J. Se r for o primeiro índice 
para o qual ar * br ter-se-g: 
f1 (z)-f2 (z) 	( Z _ Z0 )r 	 ( Z _ Z0 )rP( Z ) 
Agora em { z} 
(z_ Z0)rP(Z) 	O 
Donde P(z) = 0. Mas, P(z) sendo contínua na vizinhança de 
110 	 Cap,IV 
segue-se que P(z0 ) 	0, e, portanto, ar - br =0, implicando 
f 1 (z) = f2 (z). Com tato tambern fica denonatrado que a tiníca re 
presentaço por sina de uma funço analítica, í dada pela si-
ria de Taylor. 
O leitor se recorda que certas funçes analíticas especi-
ais (P.ex. e, san z,...,) foram definidas pelas sirles de potn 
cias correspondentes no domfnio real, natural Indagar se no 
existiriam outros mítodos naturais da estender tais funçea ao 
campo complexo e se tala resultados seriam diversos. A respos-
ta e' dada pelo xíltimo teorema: se uma função real puder ser es-
tendida ao plano complexo, qualquer rnitoiu conduz sempre ao mes 
mo resultado. 
De particular significado no estudo de uma funço anal1ti-
0a f(z) são os pontos nos quais f(z) = 0. Se f(z) se anular em 
z0 ,o primeiro coeficiente Í'(z 0 ) do desenvolvimento de Taylor, 
relativo a z0 , se anula, o mesmo podendo acontecer com alguns 
dos coeficientes seguintes. Distinguir-se-ao os diferentes ca-
sos dizendo que f(z) tem umzro de ordem ano ponto z0 (ou que 
um zero de ordem n de f(z) ) se os n primeiros coeficien-
tes, e snente eles, se anularem, isto i, se 
ao 
f(z) = ( z-z0 )' 	a(z_z0 )i 	*0) 
claro que no poda haver ponto de acumulaço de zeros em 
um domínIo de analitioldade de f(z), excepto se f(z) 0, fato 
expresso dizendo que os ieros de urna fungão anal ÍttcQ SO U2. 
lados. 
Tambe'm sio de grande ipQrtncia os pontos nos quais f(z) 
se anula, pois já se viu que urna funço analítica efetua uma r 
preaentaço conforme em todos os pontos em que a derivada no 
for nula. Seja z0 um ponto no qual as derivadas ate a ordem n 
se anulam, sendo diversa da zero a de ordem n+l, Ento (1.10) 
permite escrever: 
f(z)-f(z0 ) 	(z_z 0 )'[g(z) _g(z 0 )] 
onde g(z) e' regular na vizinhança de z e g(z0 ) 	0. Desta na- 
laço se tira: 
?1n [f ( z ) _f(z0 )] 	am(z - z)' 	+ am {g(z) - g(z0)J 
12 	 111 
Sejam z e 	um par qualquer de pontos na vizinhança de z0 
que subentendem um £ngulo O em z0 , e seja p o ângulo subente 
dido por f(z) e f() em f(z 0 ). 
Utilizando o ultimo resultado, 
acha-se: 
cp = (n+1)O + am[g(z)_go)]. 
Fazendo z e r. tenderem a 
z0 segundo retas, e por ser 
g(z) bem definida em z0 (g(z0 ) 	z 
* O) e continua, conclue-se 
que as curvas conduzidas seun 
do f(z) e t() interceptar-se-o em f(z) fazendo um ângulo p = 
• Isto í, no ponto z 0 a representaço multiplica os 
ngu1os por n+l. Na terminologia do cap.II, z0 é um ponto de 
ramificaço de ordem n; consequentemente na vizinhança de a 0 a 
função inversa de f(z) é plurívoca com n+1 valores. 
1,2. SRIE DE IÀURENT.- Viu-se que uma funço analÇtica p 
de ser desenvolvida em série de potências numa vizinhança de 
qualquer ponto regular. Entretanto, num ponto no regular ain-
da se tem alguma possibilidade de representar a função por um 
tipo mais geral de série que permite expressar a singularidade. 
Se.f(z) jar regular na repto anular (coroa) limitada por 
dois círculos de mesmo centro i0, entao a função f(z) poderá 
ser representada, em tal regiao, por uma série uniformemente 
convergente de pottncias negativas e positivas de (z - 
fiz) = 	a(z -z 0 ) • 	 ( 1.20) 
Uma série deste tipo é chamada desenvolvimento de Laurent 
de f(z) em a0 . 
Demonstração -Representando por 01 e 	os cÇrculos exter- 
no e interno, se a estiver contido no domÍnio anular, a í'd'rmula 
Integral de Cauchy fornece: 
f (a) = 	 d r, - 	 d 
2itj 	?-z 	2,t1 
1 	 2 
À primeira integral pode ser desenvolvida numa série de potn- 
elas positivas de (a-a 0 ), pelo mesmo método usado na obtenção 
112 	 Cap.IV 
da so;rie de Pavir 
d = 	0a (z - z0 )fl 
/ z 	 onde 
1 	7 	 a 	d ___ 	d? 
( 	zo)C 	) 	
2i 77 (z)1 
em geral, distinto de 
a serie convergindo uniform.emante ,a 
uma função anairtica no interior de 
ai , Na segunda integral efetua-as o 
desenvolvimento de 1/(n-z) em potências de (n.z 0 )/(zz 0 ) (pois 
1 -z0 I<Iz_z0 J ), pondo 
1 	1 	1 
= 	
1- -
0 
z-zo 
e utilizando o mesmo raciocínio para obter 
CO 
= 
com 
= 2it1 C2 	
z3)T1d 
A nova serie convergira uniformemente no exterior de C. 
Combinando os dois resultados, numa iínioa notaço, obtJm.se: 
f(z) 	a(z_z0 )' 
em que 
	
(n inteiro) 	a= 	 (1.22) 
	
1. 	C o 
C podendo ser tomado como qualquer círculo entre C 1 e C2 (ou 
qualquer outra curva eqüivalente para o caso), Se C tiver raio 
P 1 e f(z) fr limitado sobre C, If(z)lM, ter-se-9 para todo 
	
lan1. 	 (123) 
Observe-se que a seria de Laurent se reduz a de Taylor no 
caso da função ser regular.nc interior do círculo. 
Outra observaçZ es z0 for o anico ponto no regular in- 
2,1 	 115 
terno ao menor doacírculos, o resíduo de f(z) em z 0 serg dado 
por 	 +oo 
2
1~f ( z)dz = 	
, 	s( Z - Z 
)'dz 
%
e sendo uniforme a convergência em z, e' lícita a integraço t er 
.moatrtno. Sen+_1, 
=0 o 
Consequentemente, 
-a-- , f(z) dz a 
2-itt c 
O readuo em 	simplesmente o coeficiente de (z-.z 0 )'1 
no desenvolvimento de Laurent. 
2 • SINGULARIDADES E ZEROS DE FUNÇÕES ANALfTICLS 
FUNÇÕES INTEIRAS E MEROMORFAS 
Neste parágrafo examinar-se-i ate' que ponto uma funç ão an 
lftica fica caracterizada pela natureza de suas singularidades 
e zeros, uma singularidade sendo um ponto em que no subsiste a 
regularidade. Em particular, cone iderar-ae-o funções cujas em 
gularidades ao isoladas. Um ponto singular z 0 e' chamado sing 
laridade isolada de uma funço unfvoca f(z) se tiver urna vizi-
nhança que no contenha nenhuma singularidade a no ser Z0 . 
2,1. NATUREZA DOS PONTOS SINGULARES. - Os exemplos de sina 
laridades isoladas que ocorrem mais naturalmente ao as das fux 
çea hz e e1 no ponto z = O. Outro exemplo e' dado pela fun-
ção definida como assumindo o valor 1 na origem e zero nos ou-. 
troa pontos. Observe-se, pore'm, que o ponto z0 no e' uma øi 
gularidade isolada para a funço plurívoca f(z) =V. Ela no 
possue derivada na origem, porem no existe nenhuma vizinhança 
desta era que a funçio seja unfvoca. Isto e', a exigmnoia de f(z) 
ser unvoca serve para excluir a oonsideraço doa pontos de ra-
rnitioaço. 
Um instrumento conveniente para analisar o comportamento 
de uma funço numa singularidade isolada e' a se'rie de Laurent, 
pondo-se 
f(z) 
114 	 Cap.IV 
sírio-convergente em qualquer cl'rouÏo suficientemente pequeno 
com centro em z. 
As singularidades isoladas dividem-se em tris classes, oon 
forme õ comportamento da função. Inicialmente, f(z) pode ser 
limitada numa vizinhança de z: f(z)lM. Em tal caso, por 
(1.23) se tem: onde p pode assumir valores arbi.. 
trarieente pequenos, daf resultando nulos todos os coeficien-
tes com índices negativos Neste casa, excepto no- ponto z0 , 
f(z) pode ser representada por uma eerie de Taylor, que define 
uma função analftioa no interior de um cfrcuio de centro z, a 
qual coincide com f(z) em todos os pontos diferentes de z 0 . En 
to, se definirmos f(z) em z0 pondo f(z 0 ) = a, f(z) se torna 
regular. Em outras palavras: se f(z) for regular e If(z)l liml 
tada numa vizinhança de z0 , da qual se excluiu sete ponto, a 
funço terá uni valor limite em z 0 . À singularidade pode ser de 
vida, apenas, aum rompimento da continuidade de f(z), bastando 
alterar seu valor em z 0 para tornar a. função oontfwa e regular. 
Daí denomina-la singularidade remoo(vel. 
Se f(z) ruo for limitada na vizinhança de z 0 , o desenvolvi 
mento de L.aurent oóntera tinos com índice negativo, podendo-se 
pois, escrever: 
f(z) = g(z- z0) + 
com 
g(z - z0 ) = Za(z - z0 )T' , 	h( E . 1 ) 
À se'rie h() de potinoias de l/(z - z 0 ) 	chamada pa 
te prtnctpaZ de f(z). Se esta consistir apenas de um numero fj, 
nito de tinos (a = O para n>k>O, ak O), dir-se-s que 
a 	a 
f(z) 	-k k + 	1 + (zz 0 ,) 	- 
tem um polo de ordem k em z = z0 , Se, ao contrrio, a parte 
principal da sina de Laurent contiver um ninero infinito de 
termos,, dir-so-í que z 0 i uma singu1artdade essencial de f(z). 
A funçio el'L exiba tal singularidade no ponto z = O. Se f(z) 
fr polo de ordem n em z 0 , evidentemente, (Z- z 0 )'f(z) será re-
gular em z Reciprocamente: se (z - z 0 )'1f(z) r3r regular em 
2.]. 	 115 
f(z) poderá ter no mximo um polo de ordem 'n em z 0 9 Manifesta-
mente, se f(z) for regular e possuir um zero de ordem n em z o ffi 
l/f(z) terá um polo de ordem ri em 
Num polo z a função f(z) se torna infinita. Mais precisa 
mente: dado qualquer M, arbitrariamente grande, existe uma vizl 
nhança O < 1 z-z0 e na qual f(z)J M, em virtude de f(z) p 
der ser escrita na forma: 
f(z) = 
g(z) 
(z_z) 
na qual g(z) e regular na vizinhança de z0 . O contraste entre 
os comportamentos de unia função na vizinhança de um polo, e na 
de uma singularidade essencial e expresso pelo 
Teorema de reierstrasa: lia vizinhança de urna singularidade 
essencial isolada, urna funço analítica difere to pouco quan 
to se queira de qualquer valor complexo prefixado. 
Com efeito,, supondo que f(z) tenha uma singularidade essen 
cial em z0 e que f(z) no difira arbitrariamente pouco de a, 
ento, If(z) -ai será sempre maior que um numero fixo. positivo 
e g(z)= 	 limitada e regular numa vizinhança de z0 (da 
qual se exclue z0 ). Se g(z0 ) = O, f('z) = a + 	teria,ape- 
nas, um polo em z0 , Por outro lado se g(z) tendesse a limite 
no nulo em z 0 , f(z) teria uma singularidade removÍvel em z0 , o 
que tambem contradiz a hipctese, completando-se a demonstração. 
Há um resultado mais preciso, devido a Pioard, 'que estabe-
lece: BX t6da vizinhança de urna singularidade essencial, urna 
fungo analítica assume 1 qualquer valor complexo, excepto um 
no ,sÇximo 
Ampliando-se a definição de singularidade essencial de m2 
do a incluir todas assingularidades (no necessariamente isola 
das) que não sejam polos nem singularidades removíveis, resulta 
rã que um ponto de acumulação de polos de um domínio em que 
f(z) seja, no restante, regular, e uma singularidade essencial. 
A nomenclatura se justifica porquanto, um ponto de acumulação 
de polos no se comporta como polo. Suponha-se que If(z)IPo—a 
sã ser limitada inferiormente numa vizinhança de z09 If(z)I M. 
Em tal vizinhança, l/f(z) seria regular e z0 um ponto de aoszmu- 
1.aço da' zeros para l/f(z) em seu domínio de regularidade. Mas 
118 
	
Cap .I/ 
lato implicaria que 1/f(z) 	O identicamente, o que, evidente. 
mente, é Impossível. 
Para descrever o comportamento de uma função analítica no 
Infinito neceasario se torna adotar certas convençes. 
Supondo f(z) regular no exterior de algum círculo.. pe-se 
	
=,1/z e define-se 	 1 = 
com g(?) (evidentemente) função regular na vizinhança da ori-
gem, excepto, quando muito, em O. Atribue-se a.f(z) no In-
finito o comportamento de g() na origem. 
Se f(z) for limitada para valores suficientemente grandes 
de Izi, g(?) ser limitada na vizinhança de r, = O, podendo ser 
tornada regular na origem. Dir-se-i, entio, que o co 4 um pon-
to regular de f(z). Se f(z) for regular no infinito, de 
f'(z) 	on 
,conclue-se que a derivada de f(z) deve ter um zero de (pelo me-
nos) segunda ordem no oo. Se f(z) fr regular no infinito, ela 
poderá ser facilmente representada pôr uma serie de Laurent de-
senvolvida numa vizinhança da origem, Com efeito, do desenvol-
vimento de !raylor para g(): 
g(?)a0 +a1 e 	a2 n 2 +... 
resulta: 
EXERCÍCIcS 
1) A funço f(z) e representada por uma série de potências 
f(z) = a+ a1z + a2 z2 + 
que converge uniformemente para todo valor complexo de z. Mos-
trar que f(z) deve ser constante. 
2) As funçea f(z) e g(z) t&n ambas polos em z0 de ordens is 
e n, respeotivainente. Caracterizar o comportamento em z0 das 
funç6ea 
	
a) f(z)+g(z) ; 	b) 	f(z).g(z) ; 	o) 	f(z)/g(z) 
3.) Se z0 for um ponto de acumu1aço de polos de um domínio 
em que f(z) i regular no restante, mostrar que f(z) se torna a 
bitrriamente pr6xiina de qualquer valor complexo em toda vizi-
nhançade z 00 
2.2 	 Ï17 
2.2, ZEROS E POLOS DE UMA FUNÇO ANALÍTICA.- Seja f(z) * O 
uma função regular (excepto nos polos) em um domínio simplesmen 
te cone xo D. Evidentemente no ha ponto de acumulação de polos 
ou zeros em D, pois, no primeiro caso, f(z) teria uma singular 
dade essencial e, no segundo, seria identicamente nula. Seja C 
uma curva simples fechada em D que no contém polos ou zeros da 
funçao. A integral 
1 
2iti " 	f(z) 
e' igual a soma dos resíduos de f'(z)/f(z) nas suas singularida-
dos internas a C. Estas singularidades, como se sabe, ocorrem 
rios zeros e polos de f(z). 
Supondo v zero de ordem ri, numa vizinhança de v pode-se as 
crave r 
f(z) = (z - v)g(z) 
com g(z) regular e 6(v) ~ O. Portanto, 
f'(z) = n(a - v)'g(z) + (z - v )rig t(z) 
e 
n 
Jz -v 	g(z) 
em que g'(z)/g(z)e' regular em z = v. O resíduo em z = v, pela 
(1.24) 9 e' n. Analogamente, se f(z) tiver um polo em z = v, na 
vizinhança de v, 
f(z) = (z - V )mh( Z ) 
com h(z) regular e h(v) 	O. Segue-se, como anteriormente, que 
f'(z)/f(z) tem um polo simples em z = v com resíduo -m. Con-
clua-se que 
dz 	Z - P , 	 (2.21) 
onde 1 e P representam, respectivamente, o numero de zeros e o 
de polos de f(z) no Interior de C, contados com sua multiplici-
dade. 
Se f(z) fr regular em todo o plano, salvo em polos, obt ém 
se uma consequência interessante. A integral (2.21) tomada no 
sentido negativo, pode, validamente, ser interpretada corno urna 
integral no sentido positivo ao redor do ponto co. (l) Assim, 
(1) Soja 50 um ponto interno a C. Pondo t -z0 = l/, g(?) «s) , 
_(f'(z) d 
J 	f(z) 	Z 	"c' g() 
em que C' é a curva imagem de C. Evidentemente, as raízes e poios de g() 
internos a C' so os mesmos que os do f(s) externos a C. 
118 	 Cap.IV 
a integral no sentido oposto da' a diferença Ze e entre os mi- 
meros Z5 e P5 de zeros e po].oá externos a J. Logo, Ze e 
Em outras palavras, para uma função que não possua singularida-
de essencial no plano todo, o número de zeros e igual ao de p0-
109. Como se tem meios para contar os zeros e polos de urna fu 
ço analítica, pode-se demonstrar o teorema fundamental da a'l-
gebra de maneira mais aatiafat6ria do que a do Capítulo III, 
Pois, obter-se.i o numero total de raízes, isto e, provar-se-
que ürn polin&nio de grau n 
f(z) = a0 + a1z + •. + anz 	(a 	o) 
tem exatamente n raízes ou zeros. 
Com efeito, a ínica singularidade de f(z) e um polo de or-
dem n no w • Como o ntinero de raízes e o mesmo que o de polos, 
o número de zeros de f(z) contados com sua multiplicidade g n. 
A integral (2.21) tem um significado geomJtricointeressa 
te. Sendo 
	
z2 	, 
	
f 	
, 	
dz 	lg f(z2 ) - lg f(z 1 ), 	(2.22) 
afunço lg ir aumenta de 2iti , se ir descrever um contorno te 
chade no sentido arjtl-hor&jo ao redor da origem, e diminui de 
21 se descrito no sentido oposto. Portanto, (2.21) fornece o 
rumero de vezes que a curva w = f(z) envolve a origem no pia-
no ir quando z descreve uma vez no sentido positivo a curva C do 
Plano z. 
Como 	 f(z ) 
lg f(z1 ) - lg f(752 ) = lg 	+ i [am f(z 1 ) -am f(z2 )] 
e lg ir i unfvooa, obte'm-se: 
(2.23) 
am f(z) representando a varjaço total de am ir, quando z 
descreve o contorno fechado C. Em particular, se f(z) for reg 
lar em D, obte#m_se para ruirnero de zeros: 
271 Z = A 3 em f(z) • 	 (2.24) 
Um criterio xítil.para o confronto doe zeros de duas fun-
çesj dado pelo 
Teorema de Rouehé: Sejam f(z) e g(z) reguLares num domí- 
2,2 	 119 
nio simplesmente conexo R de fronteira a, e admita-se que 86-
bre C, 1 f(z)J> Ig(z)L Então f(z) e f(z) + g(z) terao o. mesmo 
n6raero de zeros no interior de C. 
Evidentemente, f(z) e f(z) +g(z) no tm zeros s6bre C. Se 
iam Z e Z, respectivamente,, o numero de zeros de f(z) e f(z) + 
g(z) em R. Pela (2.24) ter-se-a 
27tZ 	am(f+g) =A am f(1++) 	alaf + A 0am(1+-f) 
ou, 
2itZ' 	27rZ+ t 0am(1+$-) 
Sendo 1f1 <1 sabre a, e' claro que 
- j- <aun l +< + 
a6bre C, e podendo-se ter apenas A 3 (l+-f) = O, fica demonstra 
do o teorema. 
O teorema de RouchJ fornece outra demonstraço do teorema 
fundamental da Álgebra O polinmio f(z) = azr tem n zeros, e 
num circulo suficientemente grande preenche as condiÇes do teo 
rema com relaço a g(z) = a + •.. + a0 . Por conseguin- 
te, f(z)+g(z) = az' 1 + a1z14 + ... + a0 tem n zeros. 
EXEROf CIOS 
4) Mostrar que uma funço racional no constante assume todo 
valor complexo exatamente tantas vezes quantos forem seus polos. 
5) Seja f(z) regular numa região R limitada por uma curva 
simples fechada O. Se f(z) tiver uma raiz simples ? no inte-
rior de O e f(z) 4: O na fronteira, demonstrar que a raiz 	da 
da pela integral 	
d Z 
8) Demonstrar que se f(z) f6r regular no circulo IzI a e 
pre sentar Izi = a de maneira biunv oca numa curva simples fe- 
chada do plano w, f(z) terá uma funço inversa unvoca no inte- 
rior de C.. (Sug.: mostrar que g(z) = f(z)-w 0 , onde w, i qual- 
quer ponto interno a C. tem apenas um zero em tal interior.) 
7) Localizar as raizes de z3 + z2 + 3z + 1 = O. 
8) Teorema de Hurwitz - Se 	(n = 2,2,..) forem funç6es 
regulares em D que tendem uniformemente a uma função f(z) re-
gular e não constante em Ii, e =a será' um zero de f(z) se, e .. 
120 
	
Cap .1V 
penas se, f8r um ponto limite d zeros de 	Notar, em par 
ticuiar, que sete teorema fornece urna dàmonstraço da dependn-
cia contínua das raízes de um polinômio com reIaço a seus coe-
ficientes. (Bug: Usar o teorema de Rouohi para as funçe e f(z) 
e g(z) fn(z) .-f(z) num círculo arb1trriarnente pequeno de cen 
tro z = a, para mostrar que tais funções f (z) e f( z) trn o meB 
mo número de zeros no interior deste circulo para n suficiente-
mente, grande.) 
2.3. FUNÇESINTEIRA.5 E MEROMORFAS,- Classe importante de 
funçSes analíticas e' a das funç'es que no tm singularidade e 
sencial em qualquer ponto do plano a distância finita. Elas se 
dividem em virias categorias. 
Denomina-se função inteira urna função regular em toda por 
qo finita do plano. A menos que seja constante, ela deve ter 
urna singularidade no infinito; se a singularidade f6r um polo, 
a função se diz função racional inteirar se z = co for singu] 
ridade essencial, tem-se urna funçao transcendente inteira. 
Chama-se funço meromorfa a que no tiver singularidades 
a diatnc1a finita, excepto polos. Ela se diz iseromorfa racio-
nal, se z = co for ponto regular ou polo, meromorfa transcenderz 
te se z = co for urna singularidade essencial. 
Os polinômios ao exemplos de funções racionais inteiras. 
Reciprocamente, demonstrar-se-i que uma função racional inteira 
e6 pode ser polinômio, pois, se f(z) tiver um polo em Z = co, 
poder-se-9 escrever 
f(z) = az'1 + •,. + a + 	+ 	+ ,,, , 	 ( 2,30) 
em que os termos com índice positivo aio em nmero finito. O P9 
1 in6tnio 
Ø(z)az+... +a 0 
coincide cosi f(z) no infinito. Corno f(z) e 0(z) são regulares 
no resto do plano, a função f(z)- Ø(z) deve ser regular no pla 
no todo, inclusive no infinito, portanto, uniformemente limita-
da. Consequentemente, pelo teorema de Liouville, 
f(z) = 0(z) + constante. 
Da mesma maneira demonstra-se que urna funço meromorfa ra-
oionbl deve ser funçio racional, quociente de dois polinômios. 
Com efeito, seja f(z) urna funço meromorfa racional e suponha- 
2.4 	 121 
se que os pontos z, 	•, Z, 00 
incluam todos os polos de 
f(z). O numero de polos finito; do contrário teriam um ponto 
de acumuiaçao e a função teria uma singularidade essencial. Se 
jam p 0 ( -— ) ,..,, p1(.-—) , p ( z) as partes principais dos 
desenvolvimentos de Laurent de f(z) nas vizinhénças de z ...... 
respeotivamente. Pelo raciocí'nio anterior, a função 
f(z) 	[p00(z) + 
e' regular no plano todo; donde se infere que 
f(z) = p (z) + 	p (--) + constante . (2,31) 
j=o j z _j 
Mas sendo P j polin6mios nos respectivos argumentos, resulta que 
f(z) e' uma função racional, quociente de dóis poiin6mios 
f(z)f4 
QM 
e que (2.31) fornece a decompos1ço de f(z) em fraçes elementa 
reg, os z sendo os zeros de Q(z). 
EXERCfcios 
9) Seja f(z) uma funço inteira para a qual f(z)/zlCj e' 1im 
tada no interior de um circulo suficientemente grande, J z J>R. 
Mostrar que f(z) e' um oo1inmio de grau k. 
lo) Usando o resultado do exercÍcio anterior, mostrar que uma 
funçio meromorfa racional J o quociente de dois poiin6mios. 
2.4, TEOREMAS DE WIER5TRA.SS E MITTAG-LEFFLER.- Uma funço 
racional inteira (polin6mio) pode ser representada, a menos de 
fatores constantes, como produto de fatores lineares. Com efei 
to, sendo Zl)Z2••Zn raizes do poiinGmio f(z) de grau ri, 
f(z) 
( 7 _Z1)(Z_Z2)•••(Z_Zn ) 
sera uma função regular no plano z todo, por conseguinte, cons-
tante. Assim, dadac as raízes de um polin&nio f(z), pode-se in 
dividualizar f(z) a menos de uma constante multiplicativa: 
f(z) = K(z-z 1 ),.. (zz)e se e levado,a indagar, mais geralmente, como as raízes carac- 
terizam uma função inteira (no necessariamente regular). 	Em 
122 
	 ao.IV 
(2.31) se vê que urna função meromorfa racional e' determinada, a 
menos de una constante aditiva pelo seu comportamento nos polos, 
surindo a questão de saber ate que ponto a natureza desses a 
individualizam. 
As respostas a estas perguntas são dadas por dois notáveis 
teoremas de Wsierstrass e Mittag-Leffler; um fornece uma repre-
sentação por produto infinito das funçães inteiras; o outro re-
presenta funçãe. meromorfas nor uma decomposição em infinitas 
parcelas. 
Antes de demonstrar estes teoremas, indicar-se-ão suas li-
mitaqes. Suponha-se g(z) e h(z) funções inteiras com os mes-
mos zeros. A função f(z) = g(z)/h(z) não tem zeros e e' tambd'rn 
urna função inteira. Corno exercício o leitor pode verificar que 
f(z) pode ser escrita na formaÍ'(z) = com w(z) função in 
teira arbitraria. Segue-se que uma função inteira e' determina-
da por seus zeros smente a menos de um fator 8w(• om igual 
facilidade pode-se mostrar que uma função meromorfa e' caracteri 
zada apenas pela natureza de seus polos, a menos de uma função 
inteira aditiva. Com efeito, já se resolveu a questão para as 
funções rneromorfas, quando o ntinero de polos e' infinito. A tini-
ca possibilidade que resta e' que o co seja um ponto de acumula-
ção de polos, pois, evidentemente, nenhum ponto de acumulação a 
distância finita pode ser admitido. A resposta completa e' dada 
pelo 
Teorema de Mittag-Leffler: Seja o, ,z2 ,..,24 ,.. uma suces-
são de pontos tendendo ao infinito, e suponha-se que a cada 
se associe um polin6mio p(—) na varta'uel 1/(z-z). É, 
então, possível achar uma função meromorfa f(z) que tenha p0-
los apenas nos pontos z, cujas partes principais correspon-
dentes são os p(—). .á função f(a) pode ser representada 
na forma 
f(z) = w(z) + 	j [p ( 1 	- q ()I , 	( 2.40) J=1 i, - j 	j 
com q.(2) polin6mios e w(z) função inteira de z, 
Demonstração: Diversamente do caso finito, deve-se assegu-
rar que a representação (2.40) converge, Inicialmente pode-se 
Supor que a sucessão (z} e' dada na ordem de grandeza 
IZoIl1lIIZ2I 
2.4 	 123 
por ser o infinito o tínico ponto de acumulaço de Iz 	 Por e 
quanto, supor-se_; z0 O. A função p 
j 	) sendo regular, 
excepto em Z j deve ser regular na origem, e admite o deaenvol-
vimento de Taylor 
( 1 	= 	+ 	+ 	+ ..., 	 (2.41) j-j 
com raio de convergência Iz,I. A serie (2.41) convergir uni- 
formemente num círculo contido em 0 	z . 	 Logo, em 
C 4 	) pode diferir to pouco quanto se queira de uma 
1 	*J j 
soma finita, existindo, em particular, um 
4j (Z) = cgi ) + 4i ) z + ... + 
tal que 
q j (z) < 
em C. 	
1 	 - A serie 	{p j ( _1 ) - q,(z)} convergira para a funçao j=o 	j 
meromorfa desejada em todo círculo com centro na origem, desde 
que esteja contido nos C. No interior de C a primeira parte 
da serie,
qn(z)} !~ P1 - 
n--o{ n Z - Zn 
uma funço analítica sem singularidades a no ser os polos 
prefixados. A segunda parte da série, 
00 
E1P - n (z)} , 
soma de termos regulares em a e [Pela (2.42)] i superada pe- 
la sírie convergente 	 A serie deve ento convergir 
n=j2 
, uniformemente eis Cj. Mas, pelo criterio de convergência de 
Waierstrass, uma serie uniformemente convergente de funçes re-
gulares converge para uma funço regular. Assim, a segunda par 
te da série no podendo introduzir nova singularidade em C, fi 
ca demonstrado o teorema. (1) 
n geral, para assegurar a convergência da serie (2.40), o 
(1) No caso z0 O, apenas se acrescenta p0(l/z), separadamente. 
124 	 Cap,IV 
grau dos poiin6mios qj(z) nao serio uniformemente limitados. E 
tretanto, em circunstancias especiais, todos os qj(z) podem ser 
escolhidos de mesmo grau finito. Em particular, se a funço ti 
ver apenas polos simples 
(L) = a 
jz -z 	z-z 
e os q(z) poderão ser escolhidos todos de grau n, s&mente se a 
série 	 CD 	
IjI 
j=l 
convergir. 	ste e o caso mais importante para as aplicaçes: 
as funçes meromorfas que surgem na pratica t&m usualmente po-
lõs simples. 
Embora o teorema de Mittag-Leffler possa ser facilmente u-
sado para desenvolver uma função com polos simples em fraçes 
elementares, ainda se tem o problema de pesquisar a funço in-
teira w(z).. Neste caso especial, tem-se um metodo mais direto. 
Seja C uma curva fechada simples no passando pelos polos 
de f(z). Se z f&r um ponto regular qualquer no interior de C, 
resulta: 
R[ i ] 
1• f(z)1 
R [- zj representando o reatduo de 	sei = Z j e a soma 
se estendendo a todas as singularidades z de f(z) no interior 
de C. Na hipjtese de f(z) ter apenas polos simples, (1.24) for 
nece: 	
[f(zj) = 
	
Z j _Z 	Zj _1 
e, assim, se . obtim a representaço: 
f(z) 	f LW d Z + 	R[f(lj)] 
Como os pulos aio Isolados, pode-se achar, seguramente, u-
ma sucessão de curvas fechadas c, cada uma contendo as anteri2 
res e no passando pelos polos de f(z), tal que, a distância de 
Cn a origem, tenda ao infinito com , Se, para a' referida au-
cesso, 
	
um 	LLU dn 
n- 
qn 
: : 	
12: 
(n representar os polos do domínio anular entre 
C vae que a se"rie 	 1 1 
	
-i 	Rf(z')J 
f(z) = 	1 	 (2,43) 
n=1 	j 	(n) 
converge e fornece a decomposiç ão da runçao em fraçea elomenta 
reg, 
No caso especial de f(z) ser quociente de dois polin&nios, 
f(z) = P (z )/(z) no qual o grau de Q(z) i maior que o de P(z), 
e Q(z) tem apenas ra ze e simples z 1 , z2, 
,, 
que não aio ra-
zes de P(z), da expresso (2,28) deduz - se 
f(z) = Offiz 	27c i P Q0~ ) 
• sendo C um círculo contendo todos os z j . Pela (1,24), 
P(z j ) 
Rf(zj)] 
= 
e f()O quiando o raio de C-oo LIII, (3.23)]. Consequente 
mente, 
= j1 	
(2.44) 
que e' a familiar formula de Lagrange para decompoaiço em fra-
ções de uma funço racional, 
• 	A. decompoaiçio de uma funço meromorfa transcendente com • 
polos simples e' bem ilustrada pela runço 
f(z) 	1L! = 1tootgtz, 
Os polos desta funço aio apenas os zeros de senrrZ, isto 
e', os pontos z = O, ± 1, ± 2,,,,0 A funçoco-seno no adinitin 
do nenhum de stes pontos como zeros, eles ao polos simples de 
f(z). Demonstrar-se.- que +oo 
lrootgitz = 
	
j=- 	-j 
onde 	
n 
= Um 
j 	fl-OQ j=n 
Para contornos de integraço, tomam-se quadrados S com la 
dos paralelos aos eixos coordenados e cujos ladõs tenham compri 
mento 2X, = n •, estes preenchem, evidentemente, as 
condiçes exigidas. Como a funço e per16dica, o resíduo e o 
128 	 Cap.IV 
mesmo em todos os polos, valendo R[Í'(0)] = 1. Portanto, em qual 
quer quadrado 
f(z) = ir ootg,t z = 1 	!.2otg 	dz 
+
_L 
Para completar a demons- 
+ 
Hn 	 .traçaO necessita-se mostrar 
que a integral desta expre s-
são 5a0 tenc a zero quando n- 	, v 
 
Para isto, representem-88 os 
lados de 5 por H, Ç, v, 
como no desenho; itootgit2 
i funço ímpar, consequente- 
mente 
 f 	f 
= + 	
= 	ootgitr 	dr, 
De modo ane1ogo, 
2 1.1 v 	f + + f_ = J»tootg it 22z2 dr. 
S6breH1 , 	x + j., - 	 x 	. 	 S6bre V, 	= 
?L+i.y, y < AnComo 
1 
1tOOtg7Cn 	7
çi e21-i 
tem-se s6bre 
2,tjx 
	
ir cotg71r 71 1 e 	e 	+ 	< 2 ir, 
para n suficientemente grande. SGbre 
1 ir ootgit 	= 1711 	
+ 
 .2iryj < ir <2 ir 
uma vez que e21tY pode, apenas, tomar valores reais negati-
vos. Assim, ir cotg7cr. e uniformemente limitada aGbre 
Isto fornece uma limitaço para li 
HIP 
II <1 21 z 1 lf 	_d ~ 2 
2.4 	 127 
e tambem paraf L1. Mas 	+ 	- IzI>IWn- Izi, e 
I'HI < 2z 
que tende a zero quando X -.co, completando a demonstraço. 
Mostrou-se que 
iz cottz = 	zj 	• 	 (2.45) 
A periodicidade da função e revelada pela possibilidade de 
se substituir j+1 por j sem alterar o desenvolvimento. Convem, 
as vezes, usa-la sob a forma: 
OD 
3t cotg itz = 	+ 	2 	2 	 (2.45a) 
que se obteve uma representaço mediante fraçes para 
as fuúçes meromorfàs, e# de se esperar us-la para demonstrar 
algo sobre os zeros de uma funçio inteira, pois, os zeros de 
f(z),podem ser interpretados como polos simplesde f'(z)/f(z). 
Com efeito, demonstrar-se-a o 
Teorema do produto de Weierstrass: Sejam z oo z1 1 . 
uma sucessão de pontos distintos que tende ao Infinito, e su-
ponha-se que se associe a cada z um inteiro a. É possível, 
ento, achar uma fungo inteira f(z) tendo zeros de ordem a n 
noz pontos z,, e,xclusivamente, e a função f(z) pode ser escri 
ta como um produto uniformemente convergente (1), 
e?1( 	TI (1 - _)aj 	 (2.46) 
j=o 	j 
onde p (a) so polia6mios e w(z) funç ã o inteira arbitrária. 
Demonatraço: Faz-se a mesma hip6tese sobre o arranjo dos 
pontos de {zT que no teorema de Mittag-Leff'ler. Novamente, se 
= O, reserva-se este ponto para exame em separado. A deriva 
da logarltmica d lg f(z) = e' uma funço meromorfa com 
polos simples apenas, pois, na vizinhança do zero Z j de f(z), 
co 
(1) 
 
Um produto infinito Tio diz-se convergir se nenhum dos fatores for 
co 
nulo e se Um TIT o,, existir. 
.1 
128 	 Cap.IV 
tem-se f(Z)(Z_Z)ai(Z), com (z) funço regular e '(z) t O. 
Logo, 	
+. 	Construir-se 	uma função mero- "Z 	Z - Z 	g(z) 
ai 
morfa com os polos nos pontos z 4 , 	• Na vizinhança da o Z-Z 
riem, aj (z_ Z j ) 	e função regular e tem o desenvolvimento de 
Taylor 
	
ai 	a 1 r 
+() 	+... 	1 jL 	
z 
	z 
que converge uniformemente no cfrculo 	de raio z1/2. 	Com 
efeito, pondo 
n 
	
a1 	 k 
q 4 (z) = - - 	(r) .1 	jk=o 	j 
obtêm-se: 
aa 
zi 	qj 	< 	2 
Escolhendo n suficientemente grande, afim de que 
aj 	1flj, 	j 
< 2 
na serie 	
co 
-. 	(z)] % 
os termos a partir do de ordem j, formam uma ee'rie uniformeme, 
te convergente em C. Integrando-a segundo o segmento que une 
O a z, resulta: 
CD 	z 	 ao 
	
'L 	- qn (z)] 	a lg(l--) + 
em quee um poljn6mio e o logaritmo e univocamente defini 
do pela integral, Mas a convergência uniforme desta sJrie im-
plica a convergência uniforme do produto 
11 (1-) ePn 
n=j 	fl 
que no se altera, quanto .convergência, multiplicando-o por u 
ma runçao regular, o que 
2.4 	 129 
ii- (1- Z ) i 
8Pj(Z) 
%1=o 	j 
'ste produto representa, pois, uma funço inteira com to-
dos os zeros prefixados. Se a origem tambe'm f6r um zero, multi 
plicar-se-9 o produto acima por uma potncia conveniente de z 
A formula (2.48) resulta das observaçes anteriores. 
O mesmo mitodo, usado na demonstraço do teorema, pode ser 
aplicado para obter a representação, mediante produto infinito, 
de aenit z, partindo do desenvolvimento de 7tootg ir z 
pois, [ootg itz = 	lg sen 7tZ • De (2.45) deduz-se: dz 
	
lg sen ltz - 	= 	lg 	
= 
Em qualquer regio finita, a serie converge uniformemente. 
Assim, ela pode ser integrada termo a termo, tomando como extre 
mos Oez: CO 
í lg senitz]Z = E lg(z2- 
32)1Z 
	
Z Jo 	j=l 	 lo 
No,ponto 	= , 	tem uma sinu1aridade removível, de mo 
do que se pode comp1eta-1a, tornando-a regular. Assim, 
CO 2 sentz 	V , z = 	., 
	
ltz 	.,=1 	j 
donde se tira o produto infinito convergente: 
2 
senitz = ,tz H (i- A 	, 	 ( 2,47) 
j=l 	j 
fórmula descoberta por Euler. Pondo z = 1/2, obtém-se o conhe-
cido produto de Waflis: 
00 
2j.2j 	2.2 4.4 6,8 
2 - jl T3iTt3+i - 	3.5 5.7 .... 
EXERCfCTOS 
li) Demonstrar a exist&ncia de uma função inteira que assume 
valores arbitrarios prefixados {f(z)} em qualquer sucesso 4z} 
tendendo ao infinito. 
12) Estender o teorema de Mittag-Leffler para uma funçp com 
um numero infinito de polos, mas sem outras sinularidadea no 
130 	 Cap.IV 
interior do círculo z <1. 
13) Representar as seguintes, funçea meromorfas na forma de 
fraçoes parciais: 	f(z) 	it tg •Jt•z, 
f(z) = ir se 17C 
= ir coseo ,tz 
14) Representar a funço inteira ir coa ir z em produto infinj 
te. 
3 ' PROIL)NGAI(ENTO ANALfTICO E FUNÇÔES ANALÍTICAS, AMPLIADAS 
&te agora consideraram-se as funçea analíticas como defi-
nidas e derivAreis em dado domínio (com a possível exclusão de 
alguns pontos), porem, não se indagou qual a Importância do do-
tnÍniona caracterização da função.- Assim, urna funço regular 
num círculo foi representada por uma serie de potências conver-
gente. Existirã razo.de restringir o conceito da função repre 
sentada'aquele círculo? Por exemplo, a função f(z) = l/(l-z) J 
definida pela série de potnc1as 
1+z+z2 +...+zn +... 
no interior do círculo unitrio. Apesar da série no ser defi-
nida no seu exterior, a função f(z) J regular para qualquer z 
* 1. Pode-se encarar isto sob outro aspecto, considerando f(z) 
como urna extenao analítica da funço definida pela serie no cír 
culo unitrio, e indagar até que ponto a série de potências in-
dividualiza f(z). Será possível construir outras funçea que 
coincidam com f(z) no círculo uriit&io? Nesta parte mostrar-se- 
que os valores da função ficam completamente determinados des 
de que sejam especificados em urna vizinhança qualquer. 
3,1. PROLONGAMENTO ANALÍTICO.- Na seção 1.1 demonstrou-se 
que duas funçes regulares no interior do mesmo círculo so ne-
le idênticas, se coincidirem apenas numa sucessão de pontos, ou 
ja ponto de acumulação e interno ao círculo. Com ligeira modi-
fioaço, este resultado pode ser estendido a qualquer domÍnio: 
$e duas funções f(a) e g(z), regulares num domínio D, fo-
rem iguais numa sucesso de pontos, cujo ponto de acamu1oÇao 
z0 pertence a O, elas serio idanticas em O. 
Demonstração: Mostrar-se-a que a função 
h(z) = f(z) - g(z) 	O 
3.1 	 13]. 
em D. Evidentemente h(z) =0 numa vizinhança de z 0 , Seja z1 um 
outro ponto qualquer de D. Fo'e-se unir z0 a z1 por um contar-
no C contido em D. Seja p a dis- 
tncia mínima de C a fronteira de 
D. Tome-se uma diviso finita de 	 z 1 
JO em porçoes de comprimento infe- 
rior a p, e por cada ponto de di 
viso, trace-se um circulo de ra- 
io p. Os centros consecutivos dis 	 C 
tando menos que p , construiu-se, 	 P 
assim, um sistema de círculos que 
se interceptam parcialmente, indo 
de z 0 a z1 em D, tendo cada ..Írcu 
lo uma vizinhança em comum com o 
precedente. Porém, sendo h(z)0 
no primeiro círculo, segue-se que h(z 1 ) = 0. 
V-se, assim, que uma funçao regular e analÍtica num osi-
nio D está completamente determinada por seu comoortamento em 
qualquer vizinhança de um ponto interno a D, e que, se uma ex-
tenso analítica da função num domÍnio maior fr possível, tal 
extensão também se acha virtualmente determinada. Diz-se virtu 
almente, porque, em geral, á representação de uma funço analÍ.. 
tica e regular em seu domínio original no é válida no domíni: 
ampliado, como no exemplo 1/(1-z). 
Isto conduz ao problema fundamental: dada uma funço anail 
tina f(z) definida num domínio D, poderá f(z) ser estendida a 
um domínio mais amplo, e de que maneira? Utilizar-se-é a dano-
minaçao de elemento funçao para uma função analítica unÍvoca, 
definida num domínio D, porquanto apoasibilidade de estender 
domínio de definiço torna desejével distinguir a função defini 
da no mais amplo domínio da que possa ser estendida analt1ca-
mente, a funçao ampliada de sua parte definida em D. 
Definição de prolongamento analítico: Seja f1(z) uma fun-
go definida em um domínio D1 e seja D2 um outro domínio ten-
do uma parte D em comum com l?1. Lima fun9ao f 2(z) diz-se um 
prolongamento analítico direto de fi(z) em D2, se f2(2) f6r a 
mal (tica em D2 e conc2de identtcamente com fj(z) na parte cp.. 
mum D, e essa exteasao é u'nica 
132 	 J ap. IV 
Semelhante processo sendo simetrico em f 1 e f 2' 1 J tam-
bem um prolongamento analÍtico de f2 , Note-se que isso equiva-
le a existncia de uma função analitica F(z) em D 1 U D2., que 
coincide com f 1 (z) em Dl e com f2 (z) em D2 , 
Surge a questão de saber se o prolongamento analÍtico e sem 
pra Possível. 6bvio que no se pode estender urna função ana-
liticamente a um ponto singular (excepto tratando-se de discon-
tinuidade removÍvel). Pode-se, mesmo, construir uma funo no 
cÍrculo unitario para a qual todo ponto fronteira seja singu-
lar. '_Exemplo de tal funço e dado pela serie de potencia3 
00 
	
f(z) 	zno 
n=l 
convergente no interior de tal cÍrculo.Agora se p/q f6r qual- 
quer fraço, para 	 / 
	
Z 	r. e2 	p,q 
tem-se 
	
f(z) 
= q 
r 	 + 	rr 
donde limf(z) =00. kfunço se torna ilimitada na vizinhança 
r-i 
de todc ponto fronteira. Portanto, a fronteira do cÍrculo uni- 
tário e urna curva singular para a função, atravez da qual no 
possÍvel qualquer extenso analÍtica. Essa curva e 	chamada 
fronteira natural da fungo. 
Se um elemento funço f1 (z) em D1 foi estendido analítica-
mente por f2 em D2 , pode ser, anlotamente,possÍvel estender 
por uma função f3 em D3 . Uma sucesso de elementos funço, f 1 , 
diz-se formar uma cadeia se cada f e um prolonga-
mento analÍtico diréto da precedente. Generaliza-se ,a noo de 
prolongamento analÍtico chamando dois elementos funço pro1ona 
mento analÍtico um do outro, se puderem ser unidos por urna ca-
deira no sentido acima, O caso inicial de dois elementos fun-
ço com dom1nios no disjuntos será chamado um prolongamento a-
naIÍtico imediato. 
lt conveniente, as vezes, falar em prolongamento analÍtico 
segundo um arco ou curva. Se f(z) fr um elemento funço em D, 
e C um arco que se estende fora de D, dz-se que f(z) J prolon-
gada ana1.ticamente segundo C, se se puder achar urna cadeia de 
3.2 	 133 
elementos funço, conduzindo ao exterior de D e que recobre com 
pie tamente O. Evi 
dentemente, qual- 	 a 
quer extenso em 
cadeia J equiva-
lente a uma exten 
sio em arco, e r 
ciprocamente. D 
3.2. PROLONGAMENTO ANALÍTICO POR S9RIE DE POTÊNCIAS. A dia 
cusao feita no oferece meio de encontrar o prolongamento ana-
1iticoimediato de um elemento funço, nem uma cadeia de elemen 
tos função segundo dado arco. O mJtodo geral que segue, devido 
a Weierstrass, e' baseado ria teoria das series de pot&ncias. 
Seja f 0 (z) um elemento funço definido por uma série de po 
tncia3 
f0 (z) = Ian (Z - z o ) 	 (3.20) 
em seu circulo de convergência O de centro z.Se z 1 = Z0 for 
um ponto qualquer interno a C, pode-se desenvolver f 0 (z) em uma 
vizinhança de z1 , segundo a serie de Taylor 
f(z) = f(z ) + f(z )(z-z ) + .,. + 	—(z-z 
)fl + 
onde f(z1 ), n 	0,l,,..,so 
calculadas diretamente pela 
(3.20). Esta se'rie define um no 	O 
vo elemento funço f1 (z) que 	 Jl 
regular em seu círculo de con- 
vergncia 01 e que coincide com 	
zo f3 (z) no domínio original O. Se 
urna parte de C for externa a 
O, conseguiu-se urna extensão a-
na1tioa imediata de f0 (z), Co 
mo se sabe que urna siris de potências converge no maior circulo 
possí'vei em que a funço (considerada ampliada) permanece regu-
lar, o inico obstcu10 que pode impedir de 01 se estender fera 
de O e' a presença de ponto singular da funço na vizinhança de 
0. 
0 me'todo das se'ries de pot.&ricias pode taznbe'm ser usado pa- 
134 
	 Cap .1V 
ra obter urna cadeia de elementos funço segundo dado arco. 
Pois, se C for qualquer arco que parte do ponto regular z 0 , re-
presentando por C 0 o .circulo de convergência da funço desenvol 
vida em z 0 , pode-se escolher um ponto z 1 4 z , em O = C O3 desen- 
volver f(z) num entorno de 
1 0 	 com círculo C1 de convern- 
cia, escolhendo um pontc Z2 
em C, mas no em 0 (se tal 
f5r possível), desenvolver a 
C 	 funçio em urna vizinhança de 
etc. Pode-si, por fim, ai 
cançar qualquer ponto do arco 
com um numero finito destes 
círculos, desde que cada cir-
ulo tenha uma parte no exterior do círculo anterior e que no 
passem todos por um mesmo ponto.. Se todos os círculos passarem 
por um mesmo ponto, este devera ser uma singularidade da funço 
ampliada, no sendo possÍvel maior extensc, 
Esta construo mostra, casa se saiba prviamente onde se 
acham as singularidades da funço, ser sempre possível prolong 
las analiticamente segundo qualquer curva que no as contenha. 
Com efeito, sendo p a distancia de O à mais próxima sing 
laridade ou ponto da fronteira, pode-se desenvolver a função em 
um círculo de raio p com centro num ponto qualquer de C. Esc2 
lhendo pontos equidistantes de p/2,como centros, 
o obter-se-Z a desejada cadeia de círculos. 
3.3. PEOREMADAMONODROMIA.- Se o elemento função r(z) 
for um prolongamento analítico no imediato de f 1 (z), não se p0 
dera afirmar que r() seja univocamente individualizado por 
f1 (z), pois, pode depender da cadeia que leva a r(z). Como e - 
xernplo, considere-se a função f(z) = lg z definida num pequeno 
círculo ao redor de z = 1. Por arie de potências pode-se es-
tende-la segundo a metade superior do cÍrculo unitário, sobre-
pondo círculos até o de centro em z = -1. Porém, pela plurivo-
cidade do logarÍtmo, o mesmo processo de prolongamento efetuadc 
segundo a metade inferior do círculo unitário fornece também un, 
elemento funço definido numa vizinhança de - 1, porem diferin-
do do primeiro por 2 7t i. Naturalmente, o mesmo elemento fun- 
L 
: 	
• 
3.3 
	 ..135 
ço seria alcançado escolhendo duas cadeias que no incluissem 
a origem entre elas. Duas cadeias partindo de um mesmo elemen-
to função serão chamadas equivalentes se tiverem os mesmos valo 
res onde se sobrepuzerem. 
O exemplo de lg z 	leva a conjecturar, t&da vez que dois 
caminhos diversos conduzirem a prolongamentos diferentes, se is 
ao e' devido & exiatncia de alguma singularidade entre eles. 
o que realrnente.sucede, corno explicita o teorema da monodrornia: 
Se uma funçao f(z) definida num domínio D puder ser prolon 
poda analiticamente segundo qualquer percurso num domínio si 
plesszente conexo G contendo D, entao, f(z) 6 un(t,oca em G. 
Demonstração j Sejam 	e '' dois percursos ligando um pon- 
to z 0 de D a um ponto qualquer z 1 de Cr. Pode-se supor que C 0 e 
não se interceptam e que, conjunt.amente, formem um percurso 
simples fechado C, pois, do contrario considerar-se-iam separa-
damente cada uma das componentes simples de O Deseja-se provar 
que qualquer prolongamento anali'tico segundo qualquer caminho 
fornece o mesmo valor em 
Seja p a menor distancia entre C e o contorno de G. 	As- 
sim, qualquer elemento função definido em O, ou no seu interior, 
deve ter um raio de convergência p • O 6 urna curva simples fe 
chada. Por um bem conhecido teorema de topologia (1), resulta 
que O e seu interior podem ser representados de maneira biurilvo 
na contínua, respectivamente, na fronteira do círculo unitário 
e em seu interior, 1 1 1. Suponha-se a trans formaço dada por 
= cp(z) e inversamente, por z 	lícito supor 
cp(z0 ) = - 1 , (p(z1 ) = +1, 
porquanto, pode-se estar 
certo de obter tal resul 
tado mediante transforma 
ço linear. Por meio da 
representação z 
e' possível deformar cnn-
tnuarnente a curva a0 a-
t6 coincidir com ', por 
arcos simples que vão de 
(1) Tambm pelo teorema da repreeentaçao dt Rieaazn aplicado a CS5O. 
135 	 Cap,IV 
a z1 no interior de C. Para assim proceder, deforma-se o se 
mi-cfrcuio que J a imagem de C. na imagem de C1 , por meio de a 
coe de crrcuios 
je +l) - l 
t(e 
 
1) +1 
e = const. Como e varia de -ir a ir , os arcos varrem 
todo o círculo unitrio, começando em p(00 ) e terminando em 
p(C'). Segue-se que as curvam correspondentes no plano z, 
z(t;O) 	ij (t;o) 
fornecem, por assim dizer, um deslizamento similar e6bre a re-
gio limitada por O. Sendo ,(2J contínua num conjunto fecha-
do, ela J9 nele, unifonementa contínua. Por conseguinte, pode-
se achar um 6 tal que - <õ as segure ( i ' <p/3. 
Isto sucedera cortem-ente (como se pode facilmente verificar) se 
e At forem <r/32. Escolhem-se as curvas papa deforma- 
= C0 	z(t;e 1 ) ='019 •.. , z(t;O) = C = O' 
	
de modo que10- 	< 3/32, Em seguida tomam-se curvas se- 
cantes 
z(t0 ,O) = Z0 , z(t1 ,e) 	y1, z(t2 ,e) 	y2 	Z(tmiO) = 
tais que 	t1 - ti l < 3/32. Com a escolha de 6 dividiu-as o 
Interior de.0 em malhas onde dois pontos quaisquer de uma malha 
Co 
	a distancia menor que p/3 
O 	1 	 um do outro. 
	
Se ja z 	a Intersecção de - 	
i 	 a co y . Prolongar-se- atra 
	
Oz 	
vez de 	
ipop 
 meto dos elementos 
funço sucessivos em Z jj . Ent'ao, 
o2 ----- os prolongamentossobre 00 e 01 
devem conduzir ao mesmo valor em 
zlil, pois, definem a mesma fun-
ço na regio toda compreendida 
o 
entre elas. Elas so a mesma na 
primeira malha, regiio limitada por. 00 019 y 1 , uma vez que to-
dos os pontos da malha estio a dist&ncia menor que p/3 de z 0 , e 
jazem no primeiro elemento funço em z0 . Os segundos elementos 
'funço em z 01 e z11 sendo as raio p , devem conter tanto a pri 
meira como a segunda malha, que tambem estio contidas no eleme 
1 
3.3 
	
137 
to funço em z 0 . Os dois prolongamentos sendo analíticos e di-
retos, devem coincidir onde tiverem uma parte comum no elemento 
funço da vizinhança de z0 , Devem, pois, ser Idênticos na se-
gunda malha. Agora, a terceira juntamente com a segunda malha 
jazem no interior dos elementos funço das vizinhanças de 
z 11 , z02 e z12 ; consequentemente, os dois pro1onamentos devem 
ser idênticos na terceira malha. Prossegue-se deste modo, e 
num ninero finito de ap1icaçea do intodo, obtm-se dois prolon 
gamentos que definem a mesma função na região limitada por C. e 
a,; portanto, ambos os prolongamentos fornecem o mesmo valor em 
z 1 . Pelo mesmo argumento resulta que 02,03,04,..., C 	0' con 
duzeru t6das ao mesmo valor em z 1 . 
Finges analíticas ampliadas - Está-se em condição de de-
finir o conceito de funço analftica em sentido mais amplo. 
Uma funço analítica ampliada J a totalidade de elementos 
função obtidos por prolongamento analítico de dado elemento fu 
ço, qualquer dos elementos funçio pode ser usado para a defini 
ço. Pode-se demonstrar que o conjunto de pontos nos q.2aia exis 
te a funçao analÇtica, sempre satisfaz às propriedades de um do 
rnnio, no qual, em caso de plurivocidade, um par de um e mesmo 
valor de z, com dois valores funcionais distintos, aio conside-
radõs pontos diversos. Evidentemente, urna noço apropriada de 
"vizinhança de um ponto" deve ser lntt'oduzida, para que tal con 
junto abstrato de pontos constitua um espaço. Nao se entrar em 
anllse detalhada do conceito de domÇnio de urna função analftl-
ca, mas isto J o que se entende por superfície de Riemann. 
Descoberta interessante neste sentido foi feita por Poin-
care e Volterra. Estabelece que uma função analítica f(z) num 
ponto dado z assume, no máximo, urna infinidade numervel de va-
lores. 
EXERfCIOS 
15) A se'rie 	 '2 	 2 f(z) = (1+ z) 1" = 1 + f - -- + 
representa uma funço elemento de (1+z)1'2 no cfrculo unit-
rio. Aplicando o mitodo de Weierstrase obter urna cadeia de cfr 
cuba envolvendo z = -1 e mostrar que o elemento função Opos-
to 
138 	 Oap.IV 
J obtido na origem por prolongamento analÇtico ao redor de -1. 
3.4. OUTROS PROCESSOS DE PROLONGAMENTO ANALfTICO.- O mito-
do das ae'ries de potência para pro1onamento analitioo, embora 
itil tericamente, no e' muito indicado na pratica. Um método 
que pode ser usado em muitos casos pr áticos e' o princl'pio de r 
flexão de Schwarz. Depende do chamado 
Princípio da continuidade; Sejam f1 (z) e f 2(z) dois ele-
mentos fungo definidos nos respectivos domínios D1 e D, que 
no se sobrep3em mas que admitem um arco a geralmente regular 
como fronteira comum. Se ambas as funçoes forem contínuas e 
assumirem os mesmos valores em C, cada uma será um prolonga-
mento analítico da outra. 
Em outras palavras, se duas 
funç'es ana1'ticas estiverem li 
adas de modo contlnuo atravez 
de um arco, elas estaro interre 
D2 	 lacionadas analIticamente. 
Demonstraço: sendo 30 go-. 
"2 ralmente regular na vizinhança 
de, pelo menos, um ponto, e' pos-
sivel traçar um croulo com cen-
tro neste ponto, que no seja iii 
terceptado por O mais que duas vezes. 
Seja z = z(t) a equaço de O e suponha-se que a origem, 
O = z(t0 ), seja um ponto de um intervalo regular de O. Pode-se 
escolher o intervalo bastante P .2 
queno para que a mudança de dire 
çio de O também seja arbitraria- 
o 	 x 	mente pequena. Pondo 
am z(t), O = 
z 	'jt 	 ter-se-a: 2 	
- ~ < 	- e < -- 	(a) 
1 	
Considere-se um ramo qual - 
quer dacurva, partindo de z 0 , p.ex., e 1 correspondente a valo-
res crescentes de tt0 . O arco todo deve jazer no setor 
Iam z(t) - 
3.4 
	
139 
pois, do contrario, se n fosse a ele externo, 1 am 2.eI-. E'e 
lo teorema do valor medio deveria existir um ponto = z(t) de 
O, entre O e z, que tivesse a direção da corda que une O a z, 
O, am . Logo, Ie_Gft/4, contrariando (a). 
Pode-se, assim, achar um circulo de centro z 0 , suficiente-
mente pequeno, para que no haja pontos de interseoÇo com C fo 
ra de tal intervalo. O arco tt0 s pode ter uma intersecço 
com o círculo. Com efeito: suponha-se existirem duas, z 1 e z 2 . 
Como jazem no circulo interno ao setor, tem-se um dos casos 
4 	 4 
	
<am (z1 -z2 ) < 	3jt 	e e T 	 e 
Porem, usando novamente o teorema do valor inJdio, haverá um Po 
to entre z e z s6bre C, que tem a direção am(z 1 -z 2 ), donde 
o teorema. 
Sejam C 19 02 as porçes do cfrcuio em D 1 ,D2 . O crcu10 i di 
vidid.o por C eis dois subdom1nios cí'roulares R 1 e R2 que jaZaem 
D1 e 1)2, respectivamente. Defina-se urna funço F(z) interna ao 
circulo,, tal que 
F(z) = f1 (z) em R 1 , 	F(z) = f2 (z) em 
F(z) assumindo o valor comum na fronteira C. 	Evidentemente 
F(z) e contínua no c1rcu1o. Basta provar que F(z) J analítica. 
Pela formula integral de Cauchy, pode-se exprimir f1 (z) em 
e f 2 (z) em R 2 pelas expresses: 
1 ff1(t) 
pf (t) 
1 = f (z) = _L_ 	2 2 	2 	27ci 	tz 
onde as integrais são tomadas segundo as fronteiras dos respec-
tivos domínios. Consequentemente: 
fF(z) para z.em R1 	 O para z em 
11= 	O para zemR2 	 2 	F(z)par zemR 2 
ou 	
Ii + 	= F(z) em R 1 LJ R2 
Entretanto, como as integrais. são calculadas em sentidos 
opostos sobre O, e t1 	f2 em O, tem-se, simplesmente: 
140 
	
Cap • IV 
F(z) 	j dt 
2,t 	,iu,' tZ 
12 
(f1 (z) abre 01 em R1 ) 
para z em R, e 	= f2 (z s6bre 	em 	J e funçao continua. 
Assim, F(z) é analítica no círculo todo. Conclue-se serem f 1 e 
f prolongamentos analitiàos um do outro. 
Princípio da reflexo: Seja w =f(z) uma função analítica 
de anum domínio D que tem um segmento de reta L em sua fron-
teira. Suponha-se, além disto, que f(a) seja contínua s8bre L 
e represente L num segmento de reta é na fronteira da imagem 
.9 de D. Seja D* o domínio obtido de D por reflexão em li, e 
o domínio obtido refletindo .9 em ê. Se a f6r a imagem re 
fletida de a em L, f*(z*) a imagem reflexa de f(a) em , en-
tao a função 
F(a) 	
lf*(z*)
f(z) para a em D 
 para a em D* 
é analítica em 
Esta proposição é fci1mente demonstrada. A representação 
de D sobre â por f(z) é conforme, logo, também o é a represeti- 
1 	 taço de 
D* sobre *por 	f*(z*), 
ambas as funçes sendo contínuas e 
assumindo os mesmos valores sobre 
L. As oondiçSes do principio da 
continuidade são 	satisfeitas, e 
um prolongamento anali'ti- 
f*(z*) 	f(z) 	co de f(z) no domínio refletido D. 
o princípio de reflexão tam- 
bém pode ser usado quando a fron-
teira do domínio contém um arco cÍroular que tem para imagem um 
arco cÍrcular, caso em que o prolongamento é obtido por inver-
so em relação aos arcos de cÇrcuios. 
Um teorema de reflexo anélogo aplica-se a9 funções harmô-
nicas: Se a f8r uma funçao harm8nica cujos valores fronteiras 
se anulam s8bre uma reta L, a pode ser estendida harm6nlcamer-
te no domínio obtido por reflexão em L de seu domínio D, as—
sinal ando à imagem (x',y') do ponto (x,y), o valor 
u(x,y), 
3.5 
	
141 
Core efeito, sob tal hiphese, a funço analítica f(z) = 
u + i.v a: imaginária pura sr5bre L, e pode-se-lhe aplicar o 
princípio de reflexao Refletindo tal função no eixo imagina:-
rio, obta:m-se 
f(z') = u(x',y') + i,v(x',y')' = -u(x,y) + i.v(x,y) 	(a) 
Analogamente, se v fr função harm6nica cuja derivada nor-
mal se anula s6bre urna reta L. v pode ser estendida harxn6ntca-
mente por ref1exoem L, atribuindo no ponto imagem (x',y'), o 
valor v(x',y') = v(x,y), pois, a função u(x,y) de que v con-
jugada, torna-se constante (1) s6bre L (pode-seadmitir nula) e 
ser-lhe-a aplicável a (a). 
Como exemplo de aplicaço simples do princípio da refle-
xo, pode-se mostrar que se f(z) representar o interior do cír
culo unitário s&bre si mesmo, de maneira conforme biunÍvooa, 
f(z) deve ser função linear (o que se deixa como exercício). 
3.5. APLICAÇES DO PRINCfPIO DA REFLEXÃO. FUNÇ5ES DEFINI-
DAS POR INTEGRAIS.- As operaçes elementares, juntamente com 
suas inversas, aplicadas à função f(z) = z, fornece polinômios, 
funçes racionais, e tipos importantes de funçes algibricas, 
como as exprimíveis por ntmero finito de extraçes de raiz de 
funçes racionais (Ex.: f(z) l/\/i- ). Estas operaç'es no 
5a0, porem, suficientes para definir t6das as funções analíti-
cas importantes, como as funçoes transcendentes (lgz, arosen Z, 
etc.). A derivaço no amplia a classe das funções algébricas, 
pora:rn, assim o faz a integração, e muitos tipos importantes de 
funç'es transcendentes so representa:veis por integrais defini-
das de funçes algébricas, achando-se entre elas as chamadas 
funç'es elementares e as funçtes elÍpticas. Como exemplos, t&n 
se:
dz 1 g Z = , ar c s eri z = J dz 
(l) Tomando L paralela ao eixo real 4 ;as* fato decorre imediatamente das e-' 
quaçoes de Cauohy-Rieinarm. Do contrario, poder-se-ia facilmente mostrar que 
as equaçoes de Cauchy-Rienarin eto invariantes por rotaçao, isto e, uVY 
uy a -v se transformam em u5 	U 	-v, onde e indica derivada na di- 
reção a e ri na da respectiva normal. A normal orientada 4e modo Sue se 
eixo x coincidir com e (inclusivo quanto ao sentido), ri será a porção posi-
tiva do eixo y. 
142 	 Cap.IV 
Invertendo a tíltima, obtem-se a função z = sen w , e, por 
simples cornbinaçes a.ge#brioas, todas as outras funções trigono 
mitrioas. 
Para que semelhante representação convirja fou permaneça u-
ni'voca, e geralmente necess&io fazer alguma restriÇo es seu 
domínio de definiço. Ocorre frequentemente que este domínio d 
limitado por retas, segmentos de círculos, tendo imagens anlo-
gainente limitadas quando transformado por elemento funço. O 
processo de reflexo se torna, então, um meio importante de es-
tender tais elementos função, quer indefinidamente, quer ate 
suas fronteiras naturais, e de analizar e estudar as proprieda-
des das funçSea assim obtidas. Muitos tipos importantes de fun 
çes podem ser estudados e construidos deste modo. Exemplificar 
se-a, discutindo det,alhadarnente a função definida pela integral 
1 
1' dz 	 3 
Ver-se-a, posteriormente, que o processo de reflexo, con-
siderado analiticamente, exibe a conhecida periodicidade da fun 
Ço inversa, enquanto que, considerada geometricamente, e' uma 
construção da superfície de Riemann para w. 
	
Os pontos crfticos de w se verificam em z = ± 1, co, 	que 
correspondem a w = . 1 /2, co • Se se cortar , o plano z segundo 
o eixo real de -ao a -1 e de +1 a + co, torna-se possível esten 
der w analiticamente segundo qualquer arco no semi-plano supe-
rior e, pelo teorema da monodromia, (3.50) definira uma função 
analítica unfvoca w = f(z), que representa o semi-plano supe-
rior sobre algum domínio do plano w • Afim de achár este domÇ-
fio, determina-se seu contorno, que e' a imagem do eixo real. 
Se z jaz no eixo real, entre -1 e +1, a integral (3,50) ' 
rer.l, e seus valores situam-se no segmento (_ lt/2, 71/2) do eixo 
real, convencionando-se que se refere raiz quadrada 
positiva. Se z permanecer no eixo real, para valores > 1 ou 
< -i pode-se escrever, respectivamente (o plano t identifica-
do ao plano z): 1 
W = -- + f 	---- 	(ltz) l\/l—t2 
71 	z 	dt 
W = - -- + 	
( zt-l). 
35 	 143 
Sendo imprprias as integrais escritas, subentende se que 
as singularidades ± 1 so evitadas, integrando segundo a metade 
superior de um pequeno cÇrcuio de raio p e centro .± 1, e consi 
derando o limite quando p-+0. Ambas as integrais tornam-se P 
ramente Imaginarias, logo, w jaz nas verticais por .± Jt/2. Sur-
ge, pore#m, ambiguidade quanta ao sinala ser tomado para Vi_t2 , 
e isto s6 pode ser estabelecido por uma anlise mais detalhada 
do comportamento da funço na vizinhança dos pontos críticos. 
Examinar-se-a o comportamento da funço 
1 	1 	- 
ii 
na vizinhança de z = 1, onde se torna infinita. 	Excepto para 
z = 1, w' (z) e unvoca e regular em todo o semi - plano suP! 
nor. Isole-se z = 1 por um pequeno semi-ciroulo de raio p n 
le situado; proourar-se- 
a imagem no plano w'(z) 
do percurso Oacb. Quando 
z percorre Oa, w(z) des. 
creve o eixo real positi- 
vainente, de 1 a um certo 
valor A. Como, em a, z paa 
sa a se deslocar normal- 	o 	
O 	
o 
mente a Os., o mesmo se da 	a 	b 	r A 
ré; com w'(z) devido à re- 
gularidade e conformidade para z = a. Quando z percorre c, o 
ngu10 ç = am w'(z) muda cont3nuamente, resultando o incremento 
B 	 ., 	B 	 , 	8 
amw'(z) 	am---- 	+am 
z=A 	 zA 	
z
zA 
Pondo z-1 = peiO obtem-se: 
''2 	- 	 e am (1-z)" =zazn ( p 	e 	) = 
Como O diminue de it, 	p = ii/2. Por conseguinte, a Ima- 
gem 8 de C jaz na parte positiva do eixo imaginario A confor- 
midade em B mostra que w'(z) volta-se para baixo e, quando 
percorre a parte positiva do eixo imaginario, voltando . 
origem. Tem-se: 
Im[w'(z)] >0 	para 	z)l, 
logo, 
144 	 Cap.IV 
t 
Imw(t) =J Im[w'(t)Idt)O 	para 1t,z (real s) 1 
Esta analise mostra que w volta-se para cima em w = 	A 
nlogo estudo Indica que Im[w'(z)]<O para z.<-1, porem sendo 
dt negativo, Im[w]>O para zt-1, e, assim, tambe'm w volta 
se para cima em - 71/2. Os segmentos 1, II, III na figura tm 
para imagens os segmentos 1', II', III', que dividem o plano w 
em duas regiea, uma das quais e' a imagem do semi-plano supe-
rior R: Im(z)>O, Como z i corresponde a w = iii /2 9 a imagem 
de R deve ser a cemi-faixa infinita 
R': 	11/2<R(w)<7(/2, 	Imw>O. 
A correspondri 
cia nas fronteiras 
ret~11neas permito 
: três modtr 
vez 1, II ou III. 
1 	n 	iii 	 / 	Reflexio em II con- - 
- 1 	+1 	 duz ao semi-plano 
Im z<O, ligado à R 
pelo bordo II. Is-
to ainda deixa os bordos 1 e III livres em ambos semi-planos, £ 
imagem refletida em II', conduz faixa tida 
... 71/2<R(w)< 7(12 , 	 (a) 
Reflexão sobre 1H duplica caseini-planos, introduzindo 
mala uma folha completa s&bre o plano z, e duplica a faixa ima-
gem (a). Anlogamente para o restante bordo livre, II. Por tais 
reflex6es alternadas, consegue-se recobrir uma vez o plano 'w to 
do por faixas verticais de largura lt. A reflexo correspondeu 
te no plano z conduz a uma superfície de Riemann com infinitas 
folhas, cada uma das quais acha-se seccionada segundo o eixo re 
al dos pontos de ramificação +1 e -1 ato; +c» e -co, respectiva-
mente, e e' representada por unia faixa vertical no plano W da 
largura 2 lt. A função w = arcsen z se torna unívoca na super 
í'í'cie de Riemann. 
A estrutura desta superrfcie de Rlemann revela a periodici 
dada da funçao inversa, pois os pontos w + 2n71 (n = O, 	1 
3.8 	 145 
+ 2,...) que tini posiçes congruentes em cada faixa, correspon-
dem a uma serie de pontos sobrepostos, o que significa que a 
tunçio inversa neles assume o mesmo valor. Aiim disto, tem-se 
z(w) = O para w = 2n3t (n = O, + 19 + 2 9 ...) e z(-w) = z(w), pro 
priedades que caracterizam a funço z = sen w, como ja se viu, 
ficando identificada a integral (3.50) com a função inversa W = 
= arosen z. 
3.86 PROLONGAMENTO ANALÍTICO POR EQUAÇ(ES FUNCIONAIS.- Se- 
ja 	 urna funço anaiftica em relaço a cada uma 
das varliveis separadamente para 	 pertencentes, res- 
pectivamente, aos domfnioa 	 Supondo existir uma v 
zinhança de z = a em D e que as funçes i(z) sejam regulares 
em a com valores em D1 , de modo que a relaçio 
f [z, ?1(z),..., 2"n (z)] = O 
	 (3.80) 
se verifique numa vizinhança de a, então se diz que (3.80) e' u- 
ma equação funcional nos 	Subsiste o seguinte princípio da 
permantncia. da equaçao funcional: Se as funçoes 	analíticas 
verificam a equapao funcional para algum domí-
nio de z, elas verificam a equaçao funcional (desde que tenhasentido) no maior domínio em que t8das elas sao definidas.. 
Demonatraço: Seja P1 (z-a) um elemento função de 1 (z) 
que toma apenas valores em D 1 para pontos de uma vizinhança de 
zaemD. Afunço 
f [z, P1 (z..a)] = t[z, P1 (z-a),..., P(z_a)] 
e' uma funço regular de z e verifica a reiaçio 
f[z, P(z_a)] =0 
•na vizinhança de z = a, Demonstra- se o teorema mostrando que 
se os elementos Pi(z_ a) puderem ser prolongados anal.ticatnente 
em D, de modo que os valores da função ainda pertençam ao res-
pectivo domínio D 1 , (3.80) pertnaneoeri vilida no prolongamento. 
Seja Ca o maior circulo de centro z = a em D no qual con-
vergam todos os P 1 (z - a) e assumem apenas valores pertencentes 
a D1 , Seja P1 (z- b) um prolongamento analítico imediato de 
P1 `b- a), e Cb o maior círculo de centro b em que os P(z 
 - b) 
convergem em D 1 . Pelo menos na parte comum a Ca e Cb se tem: 
f [ z, P1 (z_b)] =0 
146 	 Cap.IV 
Mas, f [ z, P (z - b)] e analítica para z em O b e se anula 
na parte comum com C; logo, deve ser ldnttoamante nula no cÍr 
culo %. Como qualquer prolongamento analítico de P(z- a) po-
de ser obtido por cadeias com rniinero tn1tõ de prolongamentos 
nairticos imed 1 atos, fica demonstrado o teorema. 
Como uma equação funoibnal. a', numa certa extensão, caracte 
r1stica de unia função analítica ampliada, pode- se aplicar essa 
equação funcional a dado elemento função para obter expressões 
com um mais amplo domínio de regularidade Ver-se-, a seguir, 
exemplos da apiicaço de prolongamentos analÍticos. 
3.7. AFUNÇ0_GAMA.. A funço gama e' o bem conhecido pro-
longamento analítico da funço real discreta (n-1) para valo-
res complexos. Para valores positivos reais de x, a funço ga-
ma e' definida pela integral 
r(x) = 7 tle_tdt (x>0) 	 (3.70) o 
que se reduz, para inteiros n>0, a r(n) = (n- l) Para valo 
res negativos de x, a integral nao converge. Integrando por par 
tes, obte'm-ae uma equaço funcional parar (x) 
r(x+l)= xr(x) . 	 (3,71) 
O prolongamento da função r ao semi-plano'à direita, x = 
R(z)> 0 9 e' dado pela integral (3.70) que permanece convergen-
te, pois, 
lJ° tz_le_tdt 	f 1 	e _tdt = 
= fetet4t = r( ) 
o 
À funçio r(z) assim definida e' analítica no semi- plano 
R(z)> O e, evidentemente, satisfaz, ainda, a eqaçofunoiØna1 
= zr(z). Afim de, se obter um prolongamento analítico 
de r(z) no semi-plano R(z)(0, escreve-se a equação funcional 
na forma: 
(a) 
1-1 
O primeiro membro desta expressio e' definido e regular para 
R() >1; o segundo membro, para R(1)> O, 	4 1,, A relação (a) 
3.7 	 147 
fornece, pois, um prolongamento analítico de 1' (i- l) na faixa 
O<R()<l. Pondo z = TJ - l, obtem -ae um prolongamento de r(z) 
na faixa -l<R(z)<O. Reiteraçao deste processo estende a fun 
ço a todos os valores de Z no semi-plano R(z)<O.. Se 1v for um 
inteiro qualquer, a aplicaço repetida de (a) fornece: 
(b) 
( i-1)...(11 -1v) 
expresso cujo segundo membro e regular e tem os polos simples 
1 = 
 
1 9 2,...,k. As mesmas propriedades subsistem, pois, para o 
primeiro membro de (b), que estende T(z) à faixa -k<R(z)<O, 
se se puzer z = 1-1v. V-ée que r(z) pode ser prolongada ana 
l3ticamente a todo o semi-plano R(z)<O, e, como r(1) = O para 
= 1,2,,.., F(z) tem os polos simples z = 
Uma vez mostrada a possibilidade de estender a função gama 
no semi-plano negativo, procurar-se-a uma frmula explícita que 
defina a funço em seu domínio ampliado. & dificuldade com a 
integral real - 
F(Z) 	f et'dt 	(Ot.(oo) 
que a funçao integranda 
f(t,z) = ettZ = 5-t+l)1gt 
se torna infinita de ordem 1 na origem para z = O, causando a 
divergência da integral. Porem, pode-se considerar t como para 
metro complexo, afim de integrar segundo um contorno que no 
passe pela origem. Para todo valor de z, t(t,z) e' regular no 
plano t todo, excepto t = O, porém, e plurvoca devido ao loga-
ritmo que nela figura. Obtém-se um domínio simplesmente conexo 
cortando o plano t segundo o eixo real de O ao c, e atribuindo 
a lg t o valor principal lglti no bordo superior do corte. 
Isso conduz ao valor 
lg1 tJ + 271 i no bor- 
do inferior, e torna 
Para todo z, Escolhe 
se um percurso de In 	 II 
tegraço 	no plano 
t vindo do infinito, 	 Fig.(a) 	 Fig.(b) 
circundando o corte, 
e retornando ao infi 
fito, como na fig,(a), Ao se evitar o ponto singular t = O, as 
148 	 Cap.IV 
segurou-se a regularidade de f(t,z) sabre C. A integral 
H(z) = j 8_ttZ ..l dt (3e?l) 
converge sempre devido ao fator 	Portanto regular para to 
do z e define urna funço analítica de z; H(z) d, pois, funço 
inteira. 
Pelo teorema integral de cauohy, o valor da Integral (3.71) 
permanece invariante ao se deformar o caminho de integraço, sem 
porem cruzar o corte. 1.f mais conveniente escolher um novo per-
curso C' formado pelos bordos superior e inferior do semi-eixo 
real positivo (representados por 1 e II) e um pequeno círculo 
y de raio r com centro na origem, unindo 1 a II. Tem-se, então: 
H(z) = j 	f e _t e (z_l)1gtt dt - 
- f 0_t(z_l)( 1gItl+ 2 ti) - fe tt 1dt = 
(1_52Z) J 
CO 
e_ttZ_ldt * J..ttz-1 dt 
expresso valida para todo a. Mas, limitando-se aos valores de 
a no semi-plano positivo, a segunda integral acima (J) tende a 
zero, resultando 2ar 
H(z) = (1e 	Z) r(z) 	para R(z)>O. 
Esta expresso permite aplicar o princípio geral da perma.. 
nncia da equaço funcional, o segundo membro estando definido 
apenas para certos valores de a (R(z)>O), enquanto, o primeiro 
membro existe para qualquer a. Logo, a expressão 
r(z) = (3?2) 
define r(z) em todo o plano, excepto noa zeros do, denominador, 
isto e, nos pontos a = O, ± 1 9 .± 2,... Para valores inteiros 
positivos de a, (3.72) perde seu significado, pois 
f(t,a) = t 1e 
e' regular na origem e o' numerador 
= f tedt = O . 
Para estes valores, porém, sabe-se que r(n) = (n -1) P 
3,8 	 149 
rã valores a = -n (n = 0,1,2,. .), f(t,-n) tem um polo de ordem 
n+i para t = 0, cujo resíduo e' (_1)n1/ (1), Assim, (3.72) mo 
tra que r(z) tem polos simples nos pontos -n, o reslduo em -n 
sendo 	
R 
—11 
3.8, A FUNÇ ÃO ZETA DERI(ANN,- Os me'todos discutidos an-
teriormente podem ser aplicados de maneira an1oga para obter 
prolongamentos ana]itioos e uma re1aço funcional para a famosa 
função de Riemazin, que desempenha papel importante na teoria 
Clássica dos nímeroe reaja. A função e' inicialmente definida 
Pela sina 
= :: _
1 R(z)>1 9 	(3.80) 
n=1n 
convergente no semi-plano R(z)>l. 
A re1aço entre a funço 2 e a teoria dos niimeros primos 
e' baseada na notivel identidade 
fl 	1 
pi 	nu 
onde {P j} e' a sucessao de ntrmeros primos 1,2,3,5 9 7,... e n va-
ria no conjunto doe inteiros positivos. Tal se pode demonstrar 
desenvolvendo cada um dos fatores do primeiro membro em ae'nie 
geome'trica e efetuando o produto. 
Tambim procurar-se-i um prolongamento analítico da função 
? ao plano todo, o que se fará exprimindo ?(z) como integral 
Complexa sempre convergente. Por simples mudança de variável 
em (3.70) nota-se que 
J e_ntt1dt 	F(z) 	[R(z)>0, t real), 
e portanto 
	r 	e_nt t Z.M.1 dtCO 	 00 00 (z) F(z) = F(a) 	
= 	
, R(z)>O 
(l) c sendo percorrida, em torno da origem, no sentido negativo, 
0 
150 	 Cap.Iv 
Permutando os símbolos de somat6rja e integral, obtém-se: (1) 
co 	z-1 
	
Y(z) r(z) = J 	dt 	 para R(z)>1. 
o 
Assim 	(z) fica expressa, em seu domínio original R(z)>l, em 
funço de F(z) e de urna integral sobre o eixo real positivo. 
Analogamente ao caso da funço ', considera-se t como variavel 
complexa no plano t seccionado segundo o eixo real positivo, e 
integra-se: z-1 
f(t,z) = 
e -1 
sobre o mesma percurso C oonsiderado na figura (a). ¶ndo f(t,z) 
polos simples nos pontos t =.t 2ni (n = 1,2,...) deve-se esco 
lher um percurso que passe entre O e -2'jti , no se atravessan-
do, entao, singularidades. A integral 
S(z)= 	 dt 
converge para todo z e representa urna funçio inteira Defortnan 
do o contorno J1 de modo a que ele se torne o C' da fg. (b), e 
observando aplurivocidade de lg t, obtém-se, como para a fun-
ço F: 
)i° 8 (z-l)lglti 	 5 (zl)(1gtI+2it i) 
5(z) = j 	 — dt - 	 4 	 dt = o 	e -1 	 o 
= (1_02i1 ) 2(z) F(z) , 
donde 
S(z) 
e 2 ) r(z) 
O segundo membro desta expresso sendo v1ido para todo z no 
( 1 )Para justificar esta permuta escreve-se 
1 	efltt$ldt 
1e 
- dt + f 	ettdt
S-1 	ao CO 
o nl 	 o et-1 e 1 
licito permutar soma e integração na segunda integral que converge unifor-
memente para t '. e > O. Quando t-o, a turiçao t' 1/(e .1) da primeira integral 
comporta-se como t 2 ; portanto, esta integral converge se R(s)> 1, podendo 
ser tornada arbitrariamente pequena por conveniente escolha de E. Assim, p 
ra R(%)> li 
7 	et''t 	lia [fett2dt + 	dt] 	?(z) i'() o 	 o e 	 0 e 1 
3.8 	 151 
inteiro, e o desejado prolongamento da funço 
Para se obter uma equaço funcional da função , far-se-a 
aplicaço da teoria dos 
readuos4 Integra - se 	
-------------------- 
f(t,z) segundo o percur 	 1 
80 tracejado C.41 da figu / 
rã (e), formado de uni 
semi- circulo de raio 	4 
1 	 1 o" k = 2 lt(n+y) com cen- 
tro na origem, e as 
duas horizontais 1 e II; 	 - 
II 
Pelo teorema integral de Cauohy, 
5(z) = t 	dt = 	e-1 dt 
+ E R k 
sendo Rk o resíduo da função em t = 2kri . mostrar -se-8 que 
quando k-.co a integral 96bre O" tende a zero para valores de 
z cuja parte real x seja negativa. Pondo t = u + i.k s6bre 
1 e II, obte'm-se: 
IIIeHt= fitk1±du 
Ç 	 du 	 fM.du 
 Wu2 k2 ) 1 	e'ee o k1 '1 e" = 
M 
sendo M um extremo superior de 11/(6_6t1)1 	Vê-se que, quan 
do k-co, J - o. O mesmo resultado subsiste para 4. 	S6bre 
o semi-clrculo de raio 	tf = k 
f z 1 dtç J-J-__± dt 	kX_l M 11k = 1114 
com 14 	f]./(et_ 1) 1 s&bre o círculo. 	Sendo x<O, tambein esta 
tende a zero quando k-*co • suando O" se afasta para o infini- 
to, obtém-se: 
152 
	
Cap.IV 
onde 
Logo: 
5(z) = 	 dt = 	 (x<O) 
2t1 (21j)Z'l 
8(z) = 27t1 	1(2n ,% 1) z-1 + (2 n ,ri) 1} 
= (27t)Z 	 17cE 	- e 1 ) 1 n 
Zl 	(R(z)<O), 
Mas, 
ao 	 Do 
rz_l 	 n(l.z) 	para R(Z)<O. 
Por conseguinte: 
itiz 
5(z) = r(z) n (z)(1 _e 21t 7 ) 	(2t)7'•e2 (le') (l z) 
Simplificando, resulta a equaçõ funcional 
(1-z) = 2 dos 'ES (21t)r(z) (z) 	 (3.81) 
ligando as difrentea partes da funo, t po ssível dela partir 
e, seguindo marcha oposta, obter a expre ssão integral da fun-
ço ~ . 
34, RJPRESENTAÇXO POR PRODUTO DA FUNÇÃO GAMA. OUTRAS PRO-
PRIEDADES.- A runçao gama pode ser ainda encarada sob o ponto 
de vista da frmula do produto de Weierstrass, Aoharse.9 ain-
da uma reiaço simples ligando r(z) com san a e outra equa-
çio funcional. 
	
Tendo F(z) polos simples em a = 	 e sendo re- 
gular no restante, sua recíproca 1/ r(z) i função inteira, ten 
do zeros simpleanesasa pontos. Viu.-se que 
0(z) = a TI (i+--)e/'r 
e tal funço. Pode-se, pois, escrever: 
	
1/ r(z) = eh(Ø(z) , 	 (a) 
3,9 	 153 
restando o problema de achar a função inteira h(z). 
Em vez de proceder deste modo, deduzir- se-e o desenvolvi-
mento todo em produto de 1/ 1' (z), obtendo-se, inicialmente, uma 
formula asaintztica para r(z), devida a G-auas. 
Inicia-se com a re1a40 ( 1 ): 
r(z) 	7ett1dt = iirnf (l_+) fltz_ldt 
(n inteiro, R(z)>O). 
Integrando-a por partes n+ 1 vezes, obtem-se: 
1 (1 - f) fltZ_ldt = - J(n - t)t!dt o 
f (n - t)tZdtnnz 
ia_ !Lz_.i Jo(n ..t)2t'1dt
nz+1 
= 	ri n-1 	1 	
) 	= 
	
fl a z+1 	z+(n-1) o 
- 	nz n 
- z(z+1)...(z+n) . 
âasirn, 	 a ri n, zJ = iÇij ... (z+n) 
Desta formula tira-se, imediatamente: 
1 = um e lg 	ft (1+ L) = r(z) 	 j=1 
164 	 Cap.IV 
	
z[ign 	f 	 a 
	
].itn e 	 = 	a 	(1+-r)e 
fl-'CD 	 j1 
A expressao 	n 1 
-- - 
lgn 
.1=1 • 
tende a limite finito C quando n-oo, chamado constante de E 
• 	 ler (cujo valor aproximado e' O = 0,5772...). Tem-se, pois: 
1 	z e 	TI (1 + --) e 	 (3.91) r(z) 
convergente para todõ a, e que i a desejada representação. Com 
az parando com (a), deduz-se que h(z) = 
Do (3.91) ainda resulta: 
	
CO 	 z 
= e'(..z) TI (1.--) e, 
	
r(-z) 	 n=1 
o que da: 2 1 	1 = 2 T[ (1- Z) 	a. seniti 
	
r(z)r(-z) 	n=1 	n 
como r(l -z) = ..zr(-z), dai' se tira a re1aço funcional já ao 
tihecida por Zuler, 
r(z) p(i- z) 	 , 	 ( 3.92) 
seu 7c z 
liando a funço gama &e trionomitricas, Pondo a 1/2, obtem 
se Imediatamente 'a expresso bem conhecida 
r(l/2) VIr 
• 	Outra equaço funcional importante na teoria da funço ga- 
ma e' a seguinte, devidaa Gauas: 	1 	p-1 
= r(pz).p2 PZ()T 
p • 	 p 
(p>0, inteiro) . 
De (3.91) vem: CD 
- lg r(z) = lg a + az + E [lg(1+})_ 
Derivando: 
	
lg r(z) = 	+ E 	2 = 	1 2 (b) da 	 a 	n=1 (a +n) 	n=o (z +n) 
RepiLsentando o primeiro membro de (3,93) por k(z), 
39 	 15 
p-1 
lg k(z) = 	lg 
j=o 	 P 
De (b), ento, se deduz: 
p]. 00 	 p-1 W 
lg k (z) = 	
i 2 = p
2 	E 
dz 	 j=o n=o (z+ 	+n) 	jo no (pz+j+pn) 
Como j+pn (j = O,l,...,pl, n = O,l,...00) fornece todos os 
Inteiros e apenas urna vez, pode-se escrever: 
ÁL lg k(z) 	2 	
n) = p
2 -- l r(pz) 
Tem-se,, pois a 
lg k(z) = lg r(pz) + lg a + z.lg b 
OU, 	 k(z) = r(pz),a,bZ 	 () 
Para calcular a, basta fazer z = O na sua expreaso obtida 
J 	é 	o e 	
pl 	 P]- 
a=[-'- 1 	II 	p II r(J-) 
	
r(pz) o j=l 	P 	 P r(pz) 
p-1 
TT r(l--) 
Logo, 	pl 	 p.1 
a2 = 	f[ r(_) r(l_L) = 	= (p)P1 ,(l) 
j]. 	 sen1 
j=l 
donde, 
apT(2ir) 2