Introdução à Teoria das Funções - Richard Courant

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D iretor 
da UNIVERSIDADE DE NEW YORK 
Iniruduçao , 
~99- 
3 A Q 
cru QL 	uctâo 
PRdLOGO 
O praente trabalho e' • traduço das notas de aula de 
um curso ministrado na NEW YORK UNIVERSITY pelo prof. RI-
CHARD COURAT e redigida por A.A. BLANK. Coube à S.P.M. o 
prazer de editar,poss3velmente, o primeiro livro em lingua 
portuguesa s&Drea Teoria das Funç'es de Varivel Complex&, 
o qual reune pelo menos dois aspectos vantajosos: l)aer de 
autoria de um matemtico de renome, que no perde de vista 
as aplicaçes do exposto,; 2) estar revestido de carter e-
lementar, facilmente aceasí'vel aos familiarizados com os 
rudimentos de Calculo Infinitesimal, embora abranja t6pi-
coe os mais variegados. 
Os leitores ficaro, com isto, capacitados a enfren-
tar obras de maior vulto, entre as quais a do próprio R. 
COURANT em colaboração com HtJRWITZ, os tratados de 1IEBER-
13ACH 9 BEHNKE e SOMMER, CARATHODORY, WHITTAKER e WATSON, 
etc. 
Aos profs. dra. OIÀVO DEL CLARO, pelas proveitosas au 
geates sobre o texto, e JAIME MACHADO CARDOSO, que se en-
carregou da maior parte da confeço material da obra, os a 
gradecimentos do tradutor. 
Curitiba, dezembro de 1956 
Leo Baraotti 
2Q!LEúD 0 
• Pag. 
Capitulo 1. 	INTRODUÇÃO. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1 
1, Nineros 	complexos 	. 	 . 	 , 	,,....,, 2 
2, 5ir5.es de potências 	.,........s. 11 
3, A transrormaço linear geral 	...... 	. 22 
capítulo II, 	FUNÇES ANALÍTICAS 37 
1. .Definição de função 	,,,..,.. 	• 	 • 	 • 39 
2. Continuidade 	000 38 
3, 	Furiçes 	ana1tjcas 	.................... 41 
4. Propriedades geométricas das funções ana- 
1t1cas 	.................................... 48 
Capitul o III, 	INTEGRAÇÃO NO DOMÍNIO COMPLEXO e2 
1. 	Integrais de 	linha 	• • ............ 
2. O teorema de Cauchy . 	........... 
3. Frmu1a integral de Cauchy 	........ 79 
• 	 • 	 4. Ap1ioaçes à teoria do potencial. Estudo 
do 	fluxo 	,.,.. 	.................... 0 91 
capítulo IV, 	O MTODO DAS SRIES DE POT'NCIAS. 
PRÕLONGAMENTO ANALÍTICO 107 
• 	
• 	 1. Representação de uttaruno analftica por 
urna 	série 	de 	po:tnoiaa........................ 107 
2, Singularidades e zeros de ftnçGes anail- 
ticas. Funçes inteiras emeromnorfas 	. •, • 113 
3, Prolongamento anaI1tico e funçeø anal - 
tcaa 	ampliadas 	............................... 130 
CAP(TULOI 
INTRODUÇXO, CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
Dificilmente existirá teoria que domine tanto a Matemti-
'ca Moderna como a 'Teor1a das Funç3es, Notavelmente harmoniosa 
em ai mesma, a Teoria das Funçea, sistematiza campos to Varl 
ados, como a Teoria das Equações, a neprésentaço Conforme e a 
Teoria do Potencial. de irnportncia para as Geometrias no 
Euclidianas, 'Topologia, Hidrodinmica, Aerodinâmica, Eletrici-
dade e Termodinnica, e, alem disso, constitue fonte de novas 
descobertas matemitica8. 
10 logo a Idéia de função surgiu como conceito básico da 
moderna Anliss, os xnatemticos foram levados a estendê-la com 
aintroduço das variáveis complexas, O novo, instrumento adap-
tou-se logo ao cálculo formal, e os matematicos (embora desco 
fiados da natureza dos chamados "imagiririoa") no puderam dei 
xar de reconhecer o valor dos resultados com eles obtidos. No 
se#culo XVIII, Loonard Euler, mestre insuperado da invenço ana 
lftica, observou que .a representação em série de potências da 
funço exponencial 
.2 z 	z 	z 
8 
o 	2e1 j0 J' 
conduz a f6rmula 
+00 _2j+l 
8iy - V (-1 ) i _L_. + i V - 	
(2j) 	'-' (2j+ 1)1 
j-o 
ou 
iy = coe y + i,aen 3' 
pela aubstitu1ço pura e simples de z por ly e reagrupatn'ento 
dos termos. Tal método conduziu a outros resultados xtei8, 
como 
1 	1+ 1X 
	
arctg x = 	lg 
1_ ix 
que pode ser deduzido da serio 
Zi 
l(l + z) 
2 	 Capj 
substituindo, sucessivamente, z por ix e -ix e fazendo a dife-
rença dos resultados, obtendo-se, multiplicada por 21, a sdrie 
arctg x. No e, pois, de surpreender que o uso arbitrrio dês 
se cálculo formal tenha levado, eventualmente, a paradoxos,( ) 
Contudo, ao no século XIX J que esta atitude simplista 
foi substituída pelo exame critico atual. As funça'ea do varia 
vai complexa foram, ento, estudadas sistematicamente pela pri 
meira vez, originando grande progresso no campo da teoria das 
funçes, cujo estudo passou a ser considerado como o primeiro 
passo a ser dado por todo cultor da matematica, depois de as-
similar os elementos de Calculo Infinitesimal, 
1. NÚMEROS COMPLEXOS 
Os "imaginrios" surgiram na iClgebra quando os matemticoa 
medievais pesquisaram a solução geral das equaçes do wgundo e 
terceiro grau. R,Bombelli foi o primeiro a com eles operar, ao 
aplicar a frmula de G.Cardano a um caso irredutfvel da equa-
ço do 32 grau. Foi infeliz a escolha da denominaço "imag1n 
rio" dada a ütes novos ndmeros; porem, ela indica a desconf 
ança em que eram tidas os niineros complexos, suspeitas que ad 
foram dissipadas no fim do seculo XVIII, quando F.G.Gauaa em 
sua tese doutoral ( ) lhes deu simples representação geométri-
ca: podendo ser manejados segundo os metodos da Geometria, lo-
go perderam sua artificialidade temerosa. Atualmente, os mate 
maticos, seguindo outra orientação, preferem defini-los abstr 
tamente como simbolos sujeitos a certas operaçGes algébricas. 
1.1. DEFINIÇãOENÚMERO COMPLEXO,- Considere-se o con-
junto formado pelos ni.meros reais e um novo elemento 1. (unida-
de imaginria) sobre os quais se efetuam as operaços de adi-
çio e multiolicaço, como se fossem nmeros reais, porém, com 
(l) Supondo-se, por exemplo, que a função tg a possa ser generalizada de 
modo a tomar qualquer valor complexo, ponha-se tg a = 19 Êntio # para todo 
t3 + ± a ter-se-a 	
+ 	_±LJ 	1 - . ta 
	
ga 	' 	1-1tg3 	1=itgç3 	' 
o que evidentemente absurdo. Por conØeujn+e, admitir a ordinaria fortn]j 
la da tangente de uma soma quando um d03 angulo e tal a conduz a resulta-
do 1dmisve1 9 e, tal ang'2.o deve ser considerado inexistente. 
(2) Helinstadt (1 799), 
1.1 	H 
a relaço adicional 	2 i. =1. 	 (1.10) 
O ilconjunto dos números complexos compreende todos os pro-
dutos é:aomas finitas possiveis de 1 consigo mesmo e com os nu 
meros riais. Assim, um numero complexo z 80 um polin6mio em 1 
com coeficientes reais 
z = aO + ali + a2 12 +...+ a1 = (a0-.a2~ ...) + (a1 -a3+...)1 
Tõdo nímero complexo pode, pois, ser representado na for-
ma 
z=a+bi 	(a,breals) 
este 
 
modo de representação e imnico, pois se, por exemplo, 
a+bio+di, então a=o e bd. Com efeito,de 
a+bic+di 
obtém-se 
(ac)+(b.d)i=0. 
Mas O + 01 i a tnica representaQo de O na citada forma, 
Com efeito, se r + s 1 = 0, entaõ (r + si)(r - a 1) = r2+s2 
= 0, e r O = e. Segue-se, pois, que 
	
a-cbd0 	ou •ac 	e 	b=d. 
Somas e produtos so evidentemente dados pelas f6rmulas: 
	
(a + b i) + (e + d 1) = (a + o) + (b + d) 1. 	(1.12a) 
(a + 1, i)(o + d 1) = (ao - bd) + (ad + bo)i 	(1.12b) 
Se z = o + d 1 O fr um numero complexo, ento z possue 
um único reciproco z 1 tal que zz = 1. 	faci1 ver que 
1 
Z 
- Z 	c+d 
Para todo complexo w = a + b 1, o quociente de w por z0, 
io numero 
w a:+bi 	+ b j 	..l ao + bd. + bo - ad 
z o+di 	 c2 +d2 	e2 +d2 
znmeros reais a,b de (1,11) dizem-se, respctivamente, 
parte real e parte imagin ária de z, representados por 
aRz, 	b=lmz 
eegunaoL:Weierstraas. O numero complexo 
a.bi 	 (1.14) 
e chamado conjugado de z, gozando da propriedade de que tanto 
a soma z + z como o produto z.i aio reais. Evidentemente 
	
Rz+(z+) , 	 Imz(z..) 	(115) 
4 	 Cap.I 
A todo numero complexo z a-+ b 1 associa-se um ntrnero 
tal real e no negativo, chamado valor absoluto oumo'dulo de 
a, definido por 
Z 
= 2 	b2 	 (l.ie) 
Tem-se 
= tal =.Vrio 
Verifica-as foilmente que Iz1.a21 = 1a 1 1 .Jz2 j e (z2 4 0) 
Z i/Z2l = IZII/1Z21 
videnternente jz1 = O implica a 	0 e reciprocamente, 
possfvei dar urna definição axiomatica completa de niine-
ro complexo sem introduzir o s'mbolo auxiliar i (1), Um nme-
ro complexo e' definido como um par ordenado de rnimeros reais 
(a,b). Doisniimeros complexos (a,b) e (e,d) se dizem iguais 
se, e somente se, a = o e b = d; a unidade Imaginaria e' o par 
(0,1); os iumeros reais correspondem aos pares (a,0). Aálge-
bra dos pares ordenados de niíineros permite introduzir os nu-me 
roa complexos sem recorrer a elementos imaginrios,Outrora tao 
inconveniente. 
1,2, O PLANO DOS NI(ER0S COMPLEXOS,. Os ntimeroe complexos 
podem ser representados geometricamente pelos pontos de um pia 
no cartesiano ordinrio, cada numero complexo a tendo para ima 
gem o ponto de abcissa R a e ordenada Im a, A representaçao 
e' biun'voca, isto e', cada ponto do piano representa um numero 
complexo e no existem dois nimeros complexos representados pe 
lo mesmo ponto. Usar-se-í, pois, urna certa liberdade de lin-
guagem e empregar-se-ao,, indiferentemente, 08 termos "ponto" e 
"rnmero complexo", sto modo de representar os rnrmeros compie 
xos pode ser considerado como extenso da representação dos n 
meros reais mediante pontos de uma reta, cujas imagens são po 
tos do eixo x, 
Cada ponto do plano complexo individualiza o vetor repre-
sentado pelo segmento orientado que vai da origem ao ponto co 
siderado. A adiço de ntímeros complexos sendo feita pela adi-
ço de suas componentes, vi-se que tal operação corresponde a 
adiço do vetores segundo a lei do paralelogramo (Fig. 1), 
natural a introduç&o de coordenadas polares (r, O ) no 
(1) Cfr. LANDAU, E. - 'Grundlageii der Ânalysi8". 
1.2 	 1 	5 
plano complexo. Tem-se, ento, (Fie, 2): 
	
r =IN/x + y2 = Jz , 	xraos O, 	yraeno (1,21) 
Empregando estas relações, pode-se escrever z na forma p 
lar ou trz.gonome'trica 
	
Z = r(cos O + 1 sen o ) 	 ( 1.22) 
	
O ângulo O, chamado 	 z +z 
amplitude (argumento) de 	
- 	2 Y 
z, e' representado 	por 
am z • Embora as coordena 	/ 	/ 	 Y / 	/ 	O X 	X das polares definam com- 
pletamente o numero com- 
plexo Z. a em z (z 	O) 	/ 	 Z2 	x 
e' determinada a menos de 
um mtritipio de 27t e am O 	 Fig. 1 	 Fig. 2 
e' indeterminada. 
O conJuado i = x 1 y tem uma interpretação geome"trica 
simples: i o simétrico de z em relação ao eixo real. Evidente 
mente, ain z = em z = Iz . Logo 
z = r(ooa o 	1 sen e) 	 (1.23) 
O produto de dois ntmeros complexos tem para expressa o 
trigonome'tri ca 
= r1 .r2 1008(8 1+02) + 1 sen(o 1+02)j 	Ç1.24) 
em que se verifica a re1aço 1 z1 ,z2 = r1,r2 = 	 A re 
gra para mu1tiplicaço pode, então, ser eatab8leoida como se-
gue: Para multiplicar dois nimeros complexos, multiplicam- se 
seus módulos e somam-se suas amplitudes, 
Pondo 
e(a) = cose + i seno , 
acha-se, pela re1aço acima: 
6( 01)-e(02) = e(91+e2) 
conhecida como fórmula de de loivre, Esta identidade í análo-
ga ao teorema de adiço para a função exponencial; de fato, e 
tabelecor-se-u mais tarde que 	 ie e(e)e 
Demonstrar-se-ao, a seguir, algumas propriedades de e(e): 
e(g) e' perio'dica, ooin.periodo 2, is.o e', e( O 	2 ) = 
Ale'in. disto, e(0) = 1; e(,t/2) = 1; e(Jt) = -1; se z = e(0), en-
tão ze(.e), 
1 9 	 7 
+ 	+ li 	w12 = 2 (1z1 2 + 1w1 2 ) 
onde z, w so nrneros complexos arbitrrios, Interpretar geo-
• mtriôamente o resultado, 
.3) Escrever na forma a + b 1 as seguintes expressoe8: 
b) 	, 	ø)Vp + q i 
• Em 3c) ha 3 soluções a j + 1 b , ( j 	1,2 1 3), 	Achar a equação 
obica cujas raizes so a1, a 211 &3 e 
3, A ESFERA DOS NtYMEROS COMPLEXOS. PROEÇXOESTEREOGRL. 
FICA, Para certas finalidades i mais conveniente representar 
os niimeros complexos pelos pontos de urna esfera, Utiliza-se, 
para isto, a esfera unitria 5 
x2 +Y2 +z2 =1 
onde X, Y, Z so coordenadas cartesianas ortogonais no espaço. 
Para plano dos números complexos escolhe-se o plano equatorial 
Z = 0:e toma-se o eixo 
- 	 1 
real na direção de X e 
o imaginrio na de Y . 	 3T 
A reta que une o ponto 
z = x + 1 y do plano 	 - 	-------- - 
equatorial ao polo nor 
te N(X = O, Y O, Z1) 
intercepta 5 em umpon 
to P que se toma como 	
* 
representação geome'tri 	Fig. 3 	 X 
ca dez s6bre a esfe 	 z 
ra. peste modo, opla 
no complexo i representado s6bre a esfera unit&ia de maneira 
biunvoca, excepço feita do polo N que no corresponde a pon-
to:algum do pleno doa z (ou plano z). Entretanto, ao se apro-
ximar Pz de N, sGbre 5, a distâncla'jzj do ponto corresponden-
te aGbre o plano origem torna-se• maior do que qualquer va-
lor prefixado; por isso, as vezes se representa N pelo símbolo 
co, chamando-o de ponto no tnfinito da esfera S. i então van-
tajoso: introduzir a noço de ponto no inf2nito do plano z, pon 
to ideal que e associado a N para completar a correspondência 
biun1voca entre o plano e a esfera de z De maneira ana#loga, 
fala-se do valor co assumido por uma varivel complexa z, embo 
rã ele, nao possa ser incluído no sistema de niimeros complexos 
1.3 H 
Observando que X2 + 	1 Z2 , obtmse 
a(1 + Z) +bX + oY + d(1 Z) = O, 	 (1,35) 
equaçÕ de um plano que, associada . da esfera unitria, indi-
vidual 
: 
Iza um. cfrculo. Para a reta, pe-se a = O, e (1.35) se 
torna 
bX +cY + d(l.Z)O, 
plano que passa por N. Á reõl#proca do teorema prova-se de ma. 
rietra arialoga. 
A : representaço definida pela projeção estereogrfica g 
conforme ou conserva 0$ aZ9U1OS. Com isto se quer dizer que 
as imagens s6bre a esfera de duas curvas que se interceptam, 
formam o mesmo aneulo de intereeoço que as curvas originais. 
Tal 05 pode demonstrar analiticamente, porem, dar-se-a um argu 
mento eomtri•oo simples. 
Seja z o ponto de 1nterseoço das duas curvas, z1 o ponto 
correspondente na projeço. Basta mostrar que o £ngulo f orma 
do pelo plano tangente \ 
r em z com a projetan.. / 
te Nzz e o mesmo que 	
/ 	 1 faz como plano equato- 	
/ 
rial 	Pondo . 	= 	 O 	/ 	/ 	
z 
e 	= ,tem-se, na 
figura ao lado (pN5Z' 
uma Vez que ambos sao 	 3 	
Fie. 4 
comp1mentares do mesmo 
ngulo. Porem, 	N5z 
Nz 	,,polo ambos subentendem o mesmo arco. O teorema 
resulta do fato de C e e serem sime'tricos em relação ao plano 
bissétor do diedro por eles formado. 
EXERCf CIOS 
4) Moatrr que o segmento que une os pontos P 1 e P2 de 5 e' 
normai ao plano z se, e smente se, suas imagens Z] e z forem 
inversas em relação ao circulo unitrio lzi = 1, Isto e', 	se 
1 zj • z2 = 1 9 e z1/z2 real e negativo. 
5) Mostrar que as extremidades P1 8 	de um diâmetro de 3 
azo representados em dois pontos Z] e Z
2
com lz1 .z2 1 = 1 
real e negativo. 
6) Caracterizar a imagem sobre a esfera, por projeço esto 
10 	 Cap,I 
reografica, de 
a) uma família de retas paralelas; 
b) um feixe do retas; 
o) um conjunto de círculos concntrics, 
Tambe'na caracterizar a imagem sobra --a piano a de um conjura 
to de círculos mximoa por um ponto d esfera S. 
7) Demonstrar geomtr1camente que a projeção estereogrfica 
e' conforme, estudando a imagem do feixe de círculos que passa 
pelo polo N e por um ponto fixo P de S. 
1,4, CONJUNTOS DE PONTOS,- Tendo presente a interpretaço 
geome'trica doa nmeros complexos, considerar-se-ao al guns con-
ceitos títeia da teoria doa conjuntos de pontos, 
Um conjunto 5 de pontos do plano complexo diz-se limitado 
se for possfvel encerp-10 em um círculo com centro na origem, 
tato EÇ, se existir um numero R>O tal que subsista a desigual-
dado IzI< R para todo ponto de S. 
Uma vizinhança N de um po-nt a0 e' o conjunto de pontos 
a tp.is que zz0 J <e, isto J, internos ao círculo de raio e e 
centro a0 . Um ponto a de 5 diz-se interior a 3 se existir uma 
vizinhança de a contida em S. Será exterior a 5 se possuir u_ 
ma vizinhança que não contenha pontos de S. Um ponto que no 
J exterior nem interior e, ponto do contorno ou da 
fronteira de S. 
Conjunto aberto e o formado apenas por pontos interio-
res. Se o conjunto dos pontos no pertencentes a 5 fr aber 
to, dir-se-a que 3 e' um conjunto fechado. 
Conjunto conexo e' aquele em que se pode unir qualquer 
par de seus pontos por uma poligonal contida no conjunto. 
Domínio e' um conjunto aberto conexo, Região e' o conjun 
to formado pelo domínio ao qual se adiciona a fronteira, 
Um pontoz 3 e' chamado ponto de acumulação do conjunto 5 
se t6da vizinhança de z 0 contiver infinitos pontos de S. Rela 
cionado a este conceito, subsiste o teorema fundamental: 
Teorema de Bolzano-ffeierstrass - Todo conjunto de pontos 
do plano complexo, Infinito e limitado, possue, pelo menos, 
um ponto de acumulação, (l) 
Outro resultado importante e' o 
(l) Para deoustraço, ver COTJRANT-ROBBINS, "Quá es la niatemtica?", cap. IV. 
12 
para n,in>N 	 t<f 
Logo, pela desigualdade trian gular: 
I zn_I = 	(z_zm)I 	+ 	e para n,m> N. 
2) Reciprocamente, supondo que {z 1 } verifique o or1trio 
de Caucby, d (2,11) segue, para dado c> O arbitrariamente pe 
qio, que existe um N tal que 
AN 
2,2. 	 13 
1 ZN.1 % < e para todo a> N, 
Isto e', todos os pontos que seguem ZN 	acham-se no Interior 
de um circulo de centro 	e ralo e , enquanto que fora dele 
existe apenas um número finito de pontos da sucessão. Logo, 
auoaesio e' um conjunto Infinito e limitado de pontõs e, pelo 
teorema , de Bo1zanoWeierstraes, possue pelo menos um ponto de 
acumulaçio, o que demonstra que a eucessio tende a um limite, 
Supondo existir dois pontos de acumulação, z e z lato quer 
dizer que existem infinitos ruímeros z1 arbitrariamente pr6xiw 
moa tanto de z como de z, isto e': 
' 
para urna infinidade de a e n, sa quais, junto com a condição 
de Cauohy 
	
< -f 	para m,n>N(e) , 
dao: 
1 z.z*kfzzm ( + lZmZfli + 
como, por outro lado, e pode ser escolhido arbitr&rlamen- 
te peqieno, conclue-se quê z e 	coincidem. Logo, o condtçao 
de Cüuehy é necessária e suficiente pare a corwerghcia de 
USO SL4C$$3O, 
2,2. $gRIE8, & serie de números complexos 
	
=1 + a2 + ,., + a+ .,. 	(2,20) 
diz-se convergente ou que tem soma 3, se a suoessio 5 das ao-, 
mas parciais 
5 	ar al+a2+...+an 
tender a um limite 2: B = lia 5 = 	a 
r1 r 
a serie nao tiver soma neste sentido, ala se diz dt uer 
gente, 
Uma condiçio necessarla e suficiente para a oonvergmncia 
da seria e' fornecida pelo orite'rio (2.11) de Ce.uchy: se a todo 
e> O corresponder um N(c) t&l que 
i n 	n+pI = k+1 + a+2 + 	+ a+I < e 	(2.21) 
para todo ri> 9(e),, p qualquer, a serie serg convergente. Logo, 
em t&da série convergente, 1 Ç-,O, condiçio que nio é suficieri 
te, pote, a série hara6nics 9 por exemplo 
14 	 Cap.I 
	
1 + 	+ ~ + ••• + 	+ 
diverge. 
Nos casos concretos pode no ser fícil demonstrar a oon 
vergnoia pela aplicação direta do critério de Caucby. Por 1e 
to introduzem-se diversas oondiçies suficientes denominadas 
critérios de convergência que, na maioria dos casos, permite 
verificar foilmente a oonvergnoia. 
+CD 
A serie Za, denomina-se absolutamente convergente se 
	
r=1 	_ 
f6r convergente aaérió 	ia,j. À convergência absoluta i 
r=1 
plioa a converg e-nela ordinéria, pois para todo eO podese a-
obar um N (€) tal que 
11%+11 +..-+Iznlil= 1%+1I+0+IZn+pIIzn+1+0*+Zn+pI 
para todo n>N(e), p qualquer. A rec1prooa no é verdadeira, 
polsaserte 	 1 	1 	1 
+ 
converge porém nio absolutamente, Uma série convergente porém 
no absolutamente, é chamadA condicionalmente convergente, 
Critério de confronto: Se e série Eak, convergir ab.so1.a 
tenente, entao toda série Ebk, com lbftIIakIpara todo n>i, 
também convergirá absolutamente. 
Á demonstração é imediata: 
jb 
: 
+oco+ b p f 	b +1I +,,.+ b p I 	I a 1 I 
Muito dtil para o critirio de confronto • é a série geoné 
trtca: 
+ k 	 2 r1+r+r + coe +r 1 +,.. 
k=o 
que converge, para 1r1 <1, ao valor 1/(1.r) e diverge quan-
do i r] > 1, Utilizando-a,obtm-se vértos critérios interessa 
te e: 
a) se existir uma constante r tal que 
(2,22) 
para todo n > N, entéo a série 	a converge absolutamente ., 
k=o 
Para demonstra-lo, abandonar-sei a soma dos primeiros 
termos 
2.2 	 15 
que afetam a soma apenas pela adiçio de uma constante. Em se. 
guida, sem perda de generalidade, toma-se N = O, Tira-se de 
(2.22», 2 1 
HI&n+li 	rIaI 	r 	 r 	Ia0 ! 
Comparando-a com a se'rie geome'trica, vise que esta série 
converge absolutamente. 
Por outro lado, se 
I _hI1 	 (2,22a) an 
para todo n . N, a serie diverge. Como acima, pode-se tomar 
N = O. Ento aI 	a0 , pois a nao tende a zero, de modo 
que a serie no pode convergir. 
b) Por confronto análogo e' fácil mostrar que a série 
converge absolutamente e. 
V ianir<i 	 (2,23) 
para todo n>N, Igualmente, a se'rie Z j ak diverge se 
> 1 (2.23a) 
para todos os termos apo's um predeterminado, Com efeito, para 
a divergência e' evidente que basta ser verificada a (2.23a) pa 
rã uma infinidade de valores de ri. 
Em (2.22) e (2.23) e' essencial que Ia +1/aI e 
jaz limitadas superiormente por um numero menor que a. unidade. 
No basta, p • ex,, Ia +i/a <1, pois na ae'rie harmônica se tem I a 
an n+1 
Oe critérios de convergência (2.22). (2.23) podem ser e-
nunciados de outra maneira, utilizando as noç&es de limite an-
perioré inferior. O limite superior de um conjunto infinito 
e limitado de nmeros reais x, lia x ou Um sup x, e' o maior 
dos pontos de acumu1aço do conjunto, o qual sempre existe, Pa 
rã demonstra-lo,, considere-se o conjunto dos valores y que 8O 
ultrapassados no mximo por um numero finito de valores x, De 
de que tal conjunto seja limitado inferiormente, ele possue uma 
1iinitaço inferior máxima, que será representada por À. Ento 
À = 15 x, Com efeito: 
e' ponto de acumulação do conjunto doe x, pois, ooneid 
rando-se o intervalo À e < <À + , segue-se da definição de 
lo 	 Cap,I 
?. que existem infinitos x> W. e e, no isa'ximo, um ntmero fii4 
to de x > X + e • Conclue-se que todo interveio contendo ?., con 
tem uma infinidade de pontos do conjunto. 
2, À e' o maior doa pontos de acumulação do conjunto x,Poia, 
suposto que ?'>?. seja outro ponto de acumulação, pondo 
existIra uma infinidade de valores x no intervalo 	<X$ e 
por ser ?' ponto de acumuiaço. Pore'm isto implica na exiatn-
aia de Infinitos valores x> X+ e= X' e, contrariamente a de 
finicio de W. 
Se o conjunto dás valores de x no for limitado superior-
mente, escrever-se- 	- 
um x + co 
Do mesmo modo define-se IM x, ou, mais simplesmente, 
limx -iii(-x) 
De (2,22) resulta o crite'rio de D'Âlembert 
(2,24) 
e de (2.23) o crite'rio de Cauohy: 
(2,25) 
condições suficientes para a convergência absoluta da se'rie 
+00 
a. Pois se, p,ex,, 	um vi <1, entao existe um 
e> O tal que r = ) + e <1. Como existe somente um rnmero finl 
to de valores de n para os quais VIAni > r x + e, a conver-
gncIa segue de (2.23). Analogamente pode-se demonstrar o re- 
sultado complementar, que I a 
(2,28) 
n 
e 	
>1 	 (2.27) 
ao condiçe.a suficientes de divergência, Feia observação fei-
ta depois de (2.23a), pode-se substituir (2.27) pela conaiçao 
mais fraca 
iii VI 
ERCf 0108 
12) Calcular o limite ou o ponto de aoumu1aço da sucessão 
{ z} onde: 
2,3 	 1? 
wn 
a) zu = 	, para w complexo dado; 
	
_wn
• 	 b) z1 	afl(cos n 	+ 1 san n p) para a e p dados, 
13) Mostrar que se uni z 	Z, ento, 
	
• 	 ízi_+ 
2z2 + 	+ flZ 
1 	1+2.+,,,+n 
converge para Z. 
14) Calcular o limite da sucesso 	/í 	i[}. 
+00 
16) Se a sane 	a convergir absolutamente, mostrar que 1 +00 	 +00 
anj < 	fa 
18) A damonstraço acima da existncia do.limite superior e' 
urna demonstraço do teorema de olzano.WeierstraS8 para mimeros 
reais. Estende-la aos ntmeros complexos, 
17) Demonstrar que 
Vi a 1< 1 lll <Um Via ïin1 	 n1 	a 
e, portanto, que o criterio de Cauchy J mais concludente que o 
de D'Alembert, 
18) Mostrar que as séries 
a) 1 + 2r + 3r 2 + ,,, + nr 	+ coe 
2 	3 
b) r+—+—++—+ 
2 	3 	 n 
convergem para Orl e divergem para r1 
+00 
19) Se a seria 	a convergir abs1utament6, mostrar que 
k=1 
t&da se'rie dela obtida por mudança arbitraria dos trinos ooflver 
se ao mesmo limite, Se convergir condicionalmente, mostrar que 
tal permuta conduz: 
a) ou a convergência a qualquer valor de dada reta; 
b) ou a convergncia a valor complexo arbitrrio. 
2,3, SÉRIES DE POTÊNCIAS, Uma funço complexa f(z) defini 
da , sobre um conjunto de pontos D do planodos z associa a cada 
Ponto, de D um valor complexo f(z). A teoria clssica das fti 
çes pode ser desenvolvida sob certo ponto de vista ( devido, 
18 	 CapI 
principalmente a Weierstrass') como estudo das funções represen 
tveis por serie de potências convergente Neste pargrafo es-
tudar-se-o varias importantes propriedades de tais series. 
+00 
Seja a seria de funçoes 	u 4 (z), convergente para todos 
1=1 
os valores de z de um conjunto D do plano complexo Diz-se que 
a se'rle converge urziformementeern D se, para todo e>O, arbitra 
riamente pequeno, e' possfvei um N(e), independente de z, tal 
que, para n> N e p qualquer: 
lu n+l(z) + Un+2(Z) + 	+ u+(z) 	< e 
para todo z E D. 
Se os termos da se'rje satisfizerem a condição i(z)I 
para todo z em D. com 0 4 constantes reais tais que 	o 	con- 
- 	+00 	 j1 
viria, então 	Eu4(z) convergira uniforme e absolutamente em 
j=l 
D, pois, dado e> O, e posavel achar um N suficientemente gran-
de de modo a se ter 
e > °n+l + 	+ cn+p ? !un+i )I + 	+ lun+P(Z)1 ) 
> I+i ) + 	+ u(z)) 
para todo n>N e p qualquer. 
Uma série de potências e' uma se'rie da forma 
P(z) 	E a 4 z 	ao + a1 z + 	, + an + coe 	(2.31) 
onde os coeficientes a0 , a,,,,,, a ÉP O00 são nü'meros complexos 
quaisquer. O principal teorema sobre se'ries da pot&ncias esta-
belece Se a serle de potências (2.31) convergir para z = t, 
Ia convergirá' absolutamente para todos os valores de .a' tais 
que Izi <iti 	Alem disso, se 0<r<1, a sere convergirá uni- 
formemente no círculo Izi 	rJ t, 
Demonstração: A se'rie P(z) convergindo para z = t, segue-
se que at1 —O e que, portanto, existe um número M> O tal 
que 1at1'I <M para todo n 	Se izjrItj onde Or<l, ter- 
1 az <M r 
A demonstraço resulta por comparação com a serie geometri 
ca. 
In azJ < nr1(- 
Comparando-a com a síria do exerc. 18, obtem-se o resulta-
do almejado. 
Ha duas possibilidades para toda se'rie de potncias: ou con 
verge para qualquer z, ou existe pelo menos um valor z r para 
o qual diverge. Neste caso, a s'rie deve divergir para todo 
1 zf>ftl, pois do oontr&io, pelo teorema acima, a série convir- 
para z = 
Óonciue-se que uma serie de potências convergente para ai-
um z O e divergente para algum outro valor, tem um raio de 
convergência p tal que a ee'rie converge absolutamente para 
IZI <p8 diverge para Izi> p 	O c1rculo 1 i 	p é' chamado 
círculo de conuerggneia da sirie, 
Àsirie D(z) convere no interior do ci'rculo da converg&n 
eia de P(z) e diverge para lz> p. A convergência já foi mos-
trada acima, e que p também seja raio de convergência de D(z), 
resulta do seguinte 
q'eorerna de convergência de Cauchy-Iladamard: O raio de con-
vergência de uma se'rle de potências 
+00 
F(z) = E az 
jÕ 
8' 	h 
	
1 	1 2.33 
À iim\/jJ 
O teorema e' consequncia direta dos crité'rios 	(2.25) e 
(2.28), Em particular, nota-se que a sé'rie converge para qual 
quer zse À= O, e só para z 	O se 	co. 
Crité'rio geral s6bre o comportamento de urna se'rie de p0-
tncias na fronteira do circulo de convergência e' fornecido pe 
lo crzte'rio de Abel. Por outro lado, se a serie for absoluta-
mente convergente num ponto desta fronteira, ento seré' conver 
gente em qualquer outro ponto da mesma. 
natural chamar uma tunçao complexa da forma 
X 	= a0 + a1 + a2 z2 + 	+ anz!l 	(an 4 o) 
20 	 Capo 
com os a1 constantes complexas, polinorizto de grau n em z Uma 
sJrie de potnciaa convergente pode ser considerada como funço 
de z em seu círculo de convergência, definida como sendo o limi 
te da scessao de polinômios 
P(z) = 
A derivada de uma funço complexa f(z) e' definida, exata-
mente da mesma maneira que no caso real, por 
um 	_13_ 	(1) 
w-z 
Inicilmente subsiste a identidade algebrica 
w, zn 
:= n..L + 	+ 	• + n-.l 
e, quando w-z, obtem-se 
n-.1 
dz 
Segue ,-se que: 
d 	 P(w).P(z) 
P(z) = - P(z) = um _n 	 az'"1 = ri 	dz 	 W 
=D(z) 
onde P'(z) e 	 representam a derivada do polinômio com 
Plexo P(z) Subsiste o seguinte teorema, fundamental na teo-
ria das se'ries de potncias 
Uma série de potencias convergente F(z) = az'7 pode ser 
deriuàda tarmo a tarmo no interior de seu círculo de conuer9& 
eta. 
Isto e", se existir 
P'(z) 	um 
	
w-,z 	W" 
ter-se-.i: 
+00 
P 1 (z) = 	j a , z'1 ' = liin P 1 (z) 	lim D(z) = D(z). 
Ja se viu que D(z) Um D(z) no interior do circulo de 
2,3 
	
21 
conver&ncia. Reata demonstrar que a razao incremental 
W 
pode diferir arhitr.rj.amente pouco de D(z), tomando-se w basta 
te prxtmo de z no interior do ofroulode convergência. Para is 
to, forma-se a razo incremental 
 ao D(w,a) = 	: 	
P(w) : 
	
+ 	
a 
onde, por brevidade, escreveu-se 
Pj = 	:z 
	+ w i-2 	• 	+ zj-1 
Seja t um ponto interno ao circulo de convergência tal que 
fz( < rltl , com r<1. Ento, 
IP j I 	j r' 
Lõgo, para o resto 	= 	a pi 	se tem: 
j=n+l 
= IajPjl 
< 	Jat 	
jr"1 	
ao 	
J_1 
Como a serie 	j r 	converge, pode-se tornar I Rj<c /3 
e ID(z) - 	< C/3, tomando-se n bastante grande. Escolhe 
do w suficientemente pr6xitno de z para que 
n 	nD( Z ) < L 
w-z 	 3 
ento, dado e> O, pode-se achar um õ> O tal que 
_____ - 	+ 	 + 	< 
e 
para 	- zI<6 , o que demonstra o teorema 
Como a derivada de uma se'rie do potências tambd'm e uma se-
rie de totncias de mesmo cfrculo de convergência, pode-se deri 
vai' novamente e repetir indefinidamente o processo, resultando, 
ento que uma série de potê ncias tem derivadas de t6das as or-
densrzo anterior de seu círculo de convergência. 
A série P(z) = ta z é a derivada da série de potências 
j=o 
22 	 Cap.1 
	
1(z) 	_L z 	 ( 2.34) 
j=oj+1 
esta podendo ser considerado como uma integral indefinida (pri 
nzitiva) do P(z). Evidentemente, seu c'rculo de convergência e' 
o mesmo que de P(z). L pois, simples extenso dos resultados 
obtidos, que uma se'rie de potnoiaa possa ser interada,quantas 
vezes se queira, no interior de. seu crcu10 de convergência. 
CRCfCIOS 
20) Achar os raios do convergência das séries de potno1as 
cujos termos genéricos t&m para coeficientes: 
a) a = n; 	b) 82n = - ; a211 = O 
c) a 	2+ 1 n ; 	d) a2 	 = 	n) 
21) Demonstrar que se existir um 	, ter-se-a 
piimJ 
ao 
e mostrar que o raio de convergência de 	n5 z , com a oom- 
plexo, e' 1. n=o 
3 A TRANSFORMAÇ0 LINEAR GERAL 
Uma função complexa w = P(z) pode ser considerada, geom-
tricamenta, como uma transfàrmaço que representa um conjunto 
de pontos (o doininio da varivel livre z) s6bre outro conjunto 
(dornÇnjo dos valrea w da funço), Um exemplo esclarecedor o' o 
da transforniaço linear geral 
az + b , 
oz+d 	 (3.00) 
onde a,b,o,d 5g0 quatro constantes complexas com (ad-bc)0 
A transfortnaço (3.00) estabelece uma representação biunvoca 
de todo o plano dos z (1) abre todo o plano dos w (que pode 
coincidir com o plano dos z), z e dado pela transformaço in-
versa 
dw.b 
 aow 
cujo determinante e' o mesmo que o de (3.00). Mostrarse 	que 
a representação e' conforme e, depois, que a transfor!naço li-
(1) 
Incluindo o ponto no infinito. 
3.l 	 23 
near e' caracterizada por estas duas propriedades, isto e', que a 
inica :representação biunfvoca conforme do plano s6bre ai me 
mo e' dada pela transformaço linear geral. 
3.1. CASOS PARTICULARES DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR GERAL,- O 
produto ST de duas transformaçSea v = 5(w), w = T(z), í simples 
mente a tranaformaço v = S[T(z)] , vi-se Moilmente que o pro 
duto de duas transformaes lineares e outra tranaforTflaçao li-
near. A diaouso sere simplificada pela conaideraço da trans 
formaço (3.00) como composta de varias transformaçea elementa 
res. H 
a) A translaço 
wz+b 	 (3.10) 
representa, simplesmente, um deslocamento rígido do plano z pe-
lo vetor b. Segue-se que a imagem de qualquer configuração geo 
nie'trioa por esta transformaço e' uma oonfiguraço congruente. A 
representaçao w = z e' chamada a identidade 1, pois deixa malte 
rada todos os poitoa. Os pontos auto-correspondentes so chama 
dos pontos fixos (unidos) e so de interesse especial em 
qualquertransformação. Se b 4: O, o nico ponto fixo da repre-
aentaço (3.10) e' o co. 
A transformaço 
w = az (a 4:0) 	 (3.11) 
e' melhor estudada em coordenadas polares. Pondo 
z1z1(oose+iaene) 	e aIaI(ooacr+isena), 
resulta 
IaIIzI[ooa(ct + e) + i sen(cz + e)] 
donde 
	
lwI=IaItI 	e 	amwama+amz. 
Conclue-se que a transformação (3.11) representa urna homo 
tetta de razgo tal com centro na origem, seguida de rotação , 
em t&nro da mesma origem, de um ngulo a = ain a. Assim (3.11) 
pode ser considerada como produto das transformaçes 
a 
	
v=z 	e 	wjajv, 
-ia 
a primeira sendo uma rotago e a segunda urna homotetia. 
Como a imagem de uma configuração qualquer por uma destas 
transtomaçea e' uma oonfiguraçio semelhante, e' claro que a 
transformaço resultante w = a z tambe'in tem a mesma proprieda-
de. Note-se que ao e O aio pontos fixos de ambas transforma-
çes. 
24 	 Cap.I 
o) A função 
transforma o plano z biunbooaanente, excepto z = O Pelas con-
venções feitas, completa-se a representação escrevendo w=oo pa 
rã z =0 e, inversamente, z CD para w = 0, Se,00mo acima, se 
escrever z = r(.00ao +1 sono), então (3.12) tomara' ornar a forma: 
W 	 = L [cos(_e) + 1 aen(-O)] 
r(cos0 +1 sono) 	r 
Pode-se, pois, decompor (3,12) nas transformaQea w =V e 
v = Z/Z 2 , A primeira e' uma simetria do plano z em relação 
ao eixo real, transformando figuras em figuras congruentes, po-
rem, com angulos de sentidos opoatos. A segunda e' uma 2nuerso 
em relação ao círculo unitrio; z e v estio sobre a mesma reta 
que passa por O e 1v1 = 1/1z1. Dois pontos em tais condiçes 
dizem-se inversos. 
Y 	 z 	As prinoipal.s propriedades da in.. 
verso supõem-se conhecidas da Geome- 
/ 	TT2 	tria Elementar: a inverso transforma 
X círculos em círculos (1) e conserva os 
' invertendo-lhes, porem, o sen-
tido. Resulta que a transformação 1/z 
e' conforme e preserva os ofroulos. 
A propriedade mala importante da 
Fig. 5 	 tranafórinaço linear geral 
a z, + b 	 ab = 	40 	 (3.13) 
cz+d 	 cd 
i que os círculos sio transformados em círculos. Dar-se-ao duas 
demonstraçea diferentes: 
1 • O teorema resultara imediatamente demonstrado se a trans-
formação linear geral puder ser decomposta nas transformações 
mais simples a), b), o), para as quais se sabe que subsiste a 
propriedade. Se o = O, procede-se como segue
a 
 41 1 w=v3 +-., 	v3 (---) 2 , 	v2 - , 	v1 =oz+d 
No caso especial e = O, de & + O resulta d + 04 0bte'mae, 
ento 	 w = p z + q 	(p 0) 
(1) As retas IO consideradas como cr&to que passam pelo ponto no infinj 
to, 
3.2 	 25 
Observe-se que este mitodo ainda demonstra que a tranefor-
maço (3.13) e' conforme. 
II. A segunda demonstraço depende da seguinte propriedade 
bisica da transformação linear: a birrazo de quatrõ pontos nio 
se altera por transformaçes lineares. 
3.2. BIRRAZXO DE QUATRO PONTOS.- Lnlogamente i geometria 
Projetiva, define-se a birrazo de quatro pontos z 1 ,z2 ,z3 ,z4 co 
mo sendo - -z 
	
3 	14 	2 z1,z2,z3,z4I = z3 - z2 z4 - z1 
Se w1 ,w2 ,w,w forem os valores correspondentes da função 
para z1 ,z29 z33'z4 em (3.13), pode-se verificar diretamente que 
(w1 ,w2 ,w3 ,w4 ) = (z 1 ,z2 ,z3 ,z4 ) , 
ou que :a birrazao de quatro pontos e' invariante por transfor-
maçoes lineares, 
Teorema: Condiçao necessa'ria e suficiente para que quatro 
pontos estejam sabre um círculo é que sua blrraaJo seja real. 
Seja z 1 ,z2 ,z3 ,z4 os quatro pontos e ponha-se rjk=Izj_zkl. 
Sendo 
z3z1=r31e(a1) 	(1) 
e 	
z3 - 	= r32 e(a 2 ) 
obtim-se: 
/"iN\ Z 
onde a diferença a - al-a2e o angulo 	f3 NN 
entre z 3 - z1 e z3 - z2 . An.1oamente, 	 a
41 	 z 
:_: =(Pi-P2) . 
com.p 	f31-2 angulo entre z4 - 	e 
4 - z2 . Pode-se admitir Oa,pir. 
A birrazo toma a forma: 
31 42 
	
(z 1 ,z2 ,z3 ,z4 ) = 	e(a 	) 
Mas, a condiço necessiria e suficiente para que z 4 esteia 
(1) Lembrar que e(0) coe O + i.sen O. 
28 	 Cap.I 
sobro o círculo doe pontos 11, Z2 ,Z3 e que a = f3, e a birrazao e 
real se, e ao- mente se, a p 	O, o que demonstra o teorema. 
A propriedade da transformação linear de representar círcu 
los por círculos, resulta da invariança da birrazo 
A tranaformaçao linear geral 
	
A40 	 (3.21) 
no depende de mais que tris parmetros complexos, pois, multi-
plicando o numerador e o denominador por constante conveniente, 
pode-se impor a condição t = 1 que permite exprimir um parme-
tro em função doe outros. de se prever, pois, que uma traria-
formaç& linear seja individualizada pela condição, de que tre 
pontos dados z 1 ,z2 ,z3 tenham para imagem tr&s outros pontos W 19 
tambJin dados. Tal e o que se da. o ponto w correspon-
dente a varive1 z deve verificar a equaço 
w 	w ww 	z 	z z-z 3 	1 	2 = 3 	1 	2 	 (3.22) w 3 _w2 ww l z 3 z2 z_z 1 
Não difícil ver que esta J uma transformaço linear que 
Possue a propriedade requerida Alem disso, a transformação in 
dividualizada ao se dar três pares de pontos correspondentes 
tZnica. Com efeito, os pontos fixos de (3.21) verificam a condi 
ÇaO 	 az+b 
que equivale &equação 
e z 2 + (d- a)z - b = O 	 (3.23) 
cujas duas raizes aio os pontos fixos da transformação, Se Ti e 
aio duas transforniaçee que levam z1 ,z2 ,z 3 em w 1 ,w 2 ,w 3 , en- 
tao T = T1T 1 , onde T 1 e a transformação inversa de T2 , •J a 
transformação linear que deixa fixos z 1 ,z2 ,z 3 . A equaço (3.23) 
teria 'então tre raizes i1 ,z2 ,z3 , o que e# Impossível, a menos 
que a=bc0, isto i, T1T 1 = 1, donde Ti = T2' demonstrando 
a unicidade da transformaço linear (3.22). 
Uma viaao mais profunda (devida a F. Klein) da estrutura 
da transtorniaço linear, e obtida considerando o comportamento 
da família K de círculos que passam pelos pontos fixos. Admitia 
do, inicialmente, que (3.23) tenha duas raizes distintas zi e 
os círculos que as contam se transformam em círculos 	que 
tambe'm passam por eles, isto e', pertencem ao mesmo feixe K. De 
3.2 	 27 
ser conforme a representaçio, deduz-se que os círculos da fatn- 
lia E'. ortogonais a K, tambJm se transformam em círculos de K 
Trs possibilidades po 
dam ocorrer: 
1. Todo ofroulo de K se 
se transforma em si mesmo. 
Tala 
1
círculos podem ser con 
siderados, oinem&tioamente, 
como trajtriaa segundo as 
quais os pontos do plano se 
deslocam para suas imagens. 
Tal transformação e' denomi-
n#da h tper.bo'l tca, 
2 • - Todo ofrcui.o de w' 
se transforma em ai mesmo. 
Os círculos de K' sano, 
pois, as trajet6rias, e a transformação se diz elíptica. 
3. -Nio subsistindo nenhum distes casos, a tranaformaçio se 
denomina 2 oxodrôm ice, 
ESta olassificaçio conduz nTaturalmente a uma forma normal 
de deônlçio para as três espicies de transformações lineares. 
Dados oe pontos fixos z1 e z2 , sejam z3 e z dois pontos de um 
,círculo do feixe, cujas imagens aio w,e w (w 1 = z1 ,w2 = Z
2
). Da 
invariança da birrazio, obte'm-se: 
z-z1 z3 -z2 w-z1 w3 -z2 
z-z2 z3 3w-z2 w3 -z1 
Atransformaçio pode ser escrita na forma normal 
(a=:332 *O), 	(324) 
Nó caso hiperbdïico z 1 ,z2 ,z3 ,w3 estio sobre um mesmo cÍrc 
lo. Logo sua birrazio a e' real. A tranaformaçio hiperb611oa 
toma aforma: 
::= a 	 (a*O, real) 	(3.25) 
Reoprocamente, de (3.25) segue que w, imagem de z,esti no 
orculo que passa por z 1,z2 ,z, Logo, a transformação e hiperb6 
lica. 
Para a transformação elfptioa, o teorema de Apo16nlo da 
28 	 Cap.I 
Geometria Elementar (exero 22 e 23) conduz & relação 
Iz - zil - 1w - zi l - 	
Z 2 	 (3.20) 
Conclua-se que a tranaformaçio elÍptica tem a forma 
z_z 	w 
= a 	1 	(tal 	l,4 1). 	(3.27) z-z2 	wz2 
Reciprocamente, de (3.27) resulta (3.28) e, por conseguin-
te, w ,e z estio num mesmo círculo da família ortogonal. 
A tranaformaçio loxodr6niica encerra as possibilidades res-
tantes: 
: :1 =a 	: 	( Ia {4 l,a complexo) 	(3.28) 
Finalmente, se as raizes de (3.23) coincidirem, a transí'or 
mação dir-se paraból2ca. Deixa-se,como exercício s, a obtenção 
de sua forma normal. 
EXERCfCIO5 
22) Mostrar, por inversão, que um círculo intercepta outro 
circulo ortogonalmentese, e &omente se, passar por um par de 
Pontos inversos em relaçio ao círculo dado. 
23) Demonstrar o teorema de Apol6nio O lugar dos pontos do 
Plano cuja razio das distancias a dois pontos fixos, P19 P2 e 
constante, e um círculo. (sugestão: P 1 a P 2 aio conjugados em 
relaçio ao cÍrculo). 
24) Por Inversão em relação ao círculo unidade,que sucede ao 
conjunto: 
a) doa círculos tangentes na origem a uma reta que & con 
tJm? 
b) dos círculos que passam pela origem e por outro ponto 
dado A? E & família dos círculos que lhes aio ortogo 
nai a? 
25) Escrever as formas normais das transformações hiperb1i-
cas, elÍptica e loxodr6mica no caso de estar no infinito um dos 
Pontos fixos, 
28) Se os dois pontos fixos da transformação linear coincidi 
rem, ela se diz parab611ca. Escrever sua forma normal. 
27) Se numa tranaformaçio linear o anterior de um círculo se 
corresponde, mostrar que ela não pode ser loxodr&nica. 
3.3 	 29 
33, CASOS ESPECIAIS NOTÁVEIS DAS TRANSFOI(AÇ!S LINEARES, 
Varias: representaçes dadas mediante transformaÇeS lineares 
aio de particular importância (por exemplo a de círculos em cr 
culos). Como se viu, os coeficientes da tranaformaço linear 
geral podem ser escolhidos de modo que tra pontos arbitririoa 
do plano z correspondam a trs pontos prefixados do plano W. Co 
mo círculos se transformam em círculos, e um circulo e Indivi-
dualizado por tra de seus pontos, resulta que existe uma trans 
fortnaço linear que associa um círculo prefixado do plano z a 
dado circulo do plano w. Na individualizaço de transforinaçes 
específicas, necessita-se do seguinte lema: 
Iuo transformação linear, pontos inversos em relação a da-
do círculo têm imagens inversas em relao ao círculo imagem. 
O lema e' consequncia imediata do, exerc. 22. 
Como primeiro exemplo, tome-se a transformaço geral que 
representa o eixo real sabre o círculo unitário de modo a ser o 
semi-plano superior lis z> O representado no interior do ocr-
culo JwJ<l e o ponto za com lis z> O seja representado. 
pela origem w = O, Segue, do lema acima, que o ponto a tem w = 
= ct para correspondente. A tránsformaço deve, pois, ser da 
formaH 
wk 
Z 
A constante complexa k pode ser calculada observando que o 
eixo real e' representado pelo circulo unitrio,logo Jw1 = 1 pa-
ra a real, e Iki = 1, Com esta restrição de k e' claro que 
Ia z)' O para Jw1<1, Cjlculo direto permite verificar que a 
funço z.,a 
	
w = k - 	com k 	1 e lis a> O, (3.30) 
transforma o semi--plano superior no interior do círculo unida-
de, sendo, pois, a transformaço linear mais geral do tipo pres 
crito, 
Exemplo interessante e' o da transformaço que representa o 
Interior do circulo unidade em si mesmo. Escolhe-se,arbitrria 
mente! ponto a = a no interior do círculo (1 ai <.1), o qual se 
re transformado na origem w = O. Aplicando o lema, vi-se que o 
ponto inverso 1h E deve ter w = co para correspondente. A trans 
formaço ao' pode ser da forma 
3.4 	 31 
3 04. GEOMETRIA DE POINCARL- Pode-se dizer que a Geometria 
uclideana descreve as percepçGes mediante diagramas desenhados 
sGbre o papel. A geometria nêoáeuclideana, embora de aparência 
um pouco estranha no incjo, fornece melhor descriço do que a 
geometria ordinria de certas experiências, em particular, doa 
fen6menos oticoa. Existem, porem, certas particularidades co-
muns a estas geometrias, que ficarão esclarecidas dando-as com 
alwn detalhe, 
Tal Geometria empregará as noções de pontos, rotas, distan 
aias e deslocamentos como na geometria ordinaria. Em primeiro 
lugar, limitarse-a ao espaço constituido pelo semi-plano supe-
rior Im z>O, Como pontos, tomam-se os pontos euclideanos or-
d1nrios; para retas, os semi-ciroulos com centro no eixo real 
e situados no semi-plano superior. De acordo com esta conven-
ço, ficam inoluidas as semi-retas normais ao eixo real. Esta 
detinigo de reta goza das propriedades usuais: 
1, existe uma tiriica reta que passa por dois pontos quais- 
quer; 
II, duas rotas se interceptam em apenas um ponto; 
III, existem certas transformações do espaço, 	denominadas 
deslocamentos, qtis gozam da propriedade de transformarem retas 
em retas, de tal modo que: 
a) A ordem dos pontos de uma reta fio se altera por desloca-
monto; 
b) qualquer ponto pode ser deslocado para outro de tal modo 
que um raio com origem no primeiro seja transformado em 
raio arbitrrio com origem no segundo ponto. 
Como deslocamentos tomar-se-ia as transformações lineares 
do semi-plano superior 
w = 
	
- 	(a,b,o,d reais e ad-bc)-0). (3.40) 
O conceito análogo a distância ordin&ia entre dois pontos 
que tem maior tnterêsse, Existem cortas condições a serem 
preenchidas pela funçio distância. Se P,P2 ,P3 eao pontos quais 
quer do espaço e D(P,P 1 ) e' a distância entre eles, especificam 
se as seguintes condiçea: 
1. D(P1 P) = D(P.P) 
2, D(Pi , Pj)>O para P, 	e 
32 	 Cap,I 
D(P1 P) = O para P 1 = P 
3, D(P,P2 )+ D(P29 P3 ) 	D(P1 ,P3 ), a igualdade se veri 
ficando s?mente se os três pontos estiverem ordena-
damente sobre uma reta. 
Finalmente, exige-se que a distância entre dois pontos no 
mude em qualquer deslocamento. 
As possibilidades para definir uma tunço distnoia 8a0 ai 
go restritas, Se D(P 1 ,P2 ) í uma função distância qualquer, en-
to qualquer outra R(P1 ,P2 ) pode ser escrita como runçao unvo-
ca de D(P1 ,P2 ). Em outras palavras, existe uma relação biunlvo 
ca *entre os valores de D e os de R. 
Para demonstra-lo, provar-se-as que se z 1 ,z 2 e w 1 ,W2 aio pa 
res quaisquer de pontos, com D(z 1 ,z2 ) =D(w 1 ,w 2 ), entao R(1 1 ,z2 )= 
= R(wÏ,w2). inicialmente existe um deslocamento que transporta 
em w e o raio z 1 z2 em w1w2 , Seja v a imagem de z2 , Podem 
se dar dois casos: ou v esta entre w e w ou w 2 esta entre wl 
e v. No primeiro caso, obtem-se 
D(w 1 ,v) + D(v,w2 ) = D(w1 ,w2 ) 
Da invarincia de D por deslocamentos, 
D(w1 ,v) = D(z1 ,z2 ) 	D(w19 w2 ) 
Logo, D(v,w2 ) = 0 1 o que se da. apenas quando v = W2 . A 5 
gunda possibilidade conduz ao mesmo resultado. O fato de que 
existe um deslocamento que leva z 1 em w e z 2 em w2 revela ser 
R(z1
,7-
2 ) = R(w1 ,w2 ) 
A mesma demonstraço pode ser usada para mostrar a exíatên 
cia de uma correspondência biunvooa entre os valores de D e os 
de R. 
Pesquisando uma funço distancia invariante na transforma- 
o (3.40) pensa-se, naturalmente, na bjrrazo de 4 pontos.Mas, 
para definir a distancia D(P1 ,P2 ),que 
pontos se devem escolher para comple- 
1 tar a birrazo? Uma escolha obvia e' 
o par de pontos do eixo que estio nas 
extremidades do semi-orculo que une 
e P2 , os quais aio individualiza- 
dos de maneira jiioa e se transformam nas extremidades do semi- 
ofrcuio que passa pelas imagens dos deslocamentos de P 1 e P2. 
3.4 33 
A birrazio, entretanto, no satisfaz a propriedade aditiva 
da distância, isto e', se P19 P2 ,P3 so pontos da mesma reta enes 
ta ordem, entio, 
D(P1 ,P2 ) + D(P2 ,P3 ) = D(P1 ,P3 ) 
Entretanto, 
(P P (P1P31 ) (3.41) 
Isto sugere o uso do logaritmo da birrazio como tunçao dia 
tnoia adequada, 	Como no pode ser negativo, tomam-se os valo- 
res absolutos: 
D(P1 ,P2 ) =k1g(P1P2 Q2 ) 	, (3,42) 
onde k> O pode ser fixado arbitrariamente, 
£ formula (3,42) e' a função distancia mais geral obtida na 
geometria de Poinoare', 
Para demonstr-1o, trana Q2 
forma-se o aemio1rou10 unin- 	P1 
do os pontos P1 e P29num raio 	 2 
normal ao eixo real, o que, ! 
videntemente, pode ser feito, y1 	P 
porquanto disp'em-se 	de três 	Q 	 Q2 n e 
paretros reais, que permite 
escolher arbitrariamente um ponto e especificar que a 	abcissa 
do segundo e' a mesma que a do primeiro. 	A birrazgo (P 1P2 Q1 Q2 ) 
torna-se simplesmente y 2/y1 . 	Esoo1hese, entgo, como 	função 
distância 
D(P1 ,P2 ) 	(P,P) 	lg y2 - lg 	'i 
Se R(PP2 ) e' outra expresso para a distnoia, ela e' fun- 
ço unfvooa de D(P1 ,P2 ), 
R(P 19 P2 ) = f(D) = f(lg y1 
Em particular, se y1 ,y2 ,y3 8g0 pontos da reta, dispostos 
nesta ordem, tem-se:f(lg 2 1 )+ t(ig 	= f(lg ) = f 1 	+ lg = 
f(ílg 	+ 	lg—.-) 	. j 
Y2 	Y1 
Logo, para quaisquer valores positivos a,b: 
f(a) + f(b) = f(a + b) , (3.43) 
donde 	 f(n x) = n f(x) , 
34 	 Cap,I 
para n inteiro, A].e 'm disso, para todo racional p/q, observa-se 
que 
q t(f x) = p f(x) 
donde, 
f(j»x) = 
 q 
O resultado estende-se facilmente aos rnimeros reais. Seja 
r real ,e a<r<3 ( a,p racionais). Segue-se que 
f(ax) <f(r x) <f( x) 
deduzindo-se 
<frxJ < 
f(x) 
Logo, f(r x)/f(x) verifica as mesmas desigualdades que rui 
mero r, e se conclue que 
f(r x) = r f(x) 
Pondo f(l) = k, ter-se-is 
f(r) = f(r.l) = kr, 
Em particular, 	
7 
R(P19 P2 ) = R(D) = k D(P 1 ,P2 ) = k lg 
3.5. CONCEITO RflXANNIMO DE COMPRIMENTO.-Suponha-se a our 
va C no semi-plano superior, A maneira natural de definir seu 
comprimento na nova geometria i utilizar o me'todo de Riemenn ao 
mo no caso euolideano. 
Sejas 
P1 	xx(t), y=y(t) 	(Otl) 
as equaç6es parame'trioas da cur-
va. Na notaço complexa, san 
Z = z(t) = x(t) + 1 y(t) 
Supor-se-i que nenhum ponto 
corresponde a dois valores dis- 
tintos do parâmetro, que a curva seja geralmente regular e que 
se tenha sempre 
z'(t) = xe(t) + i y'(t) 
mo caso euclideano ordinirlo, o 
comprimento da curva e' avaliado to-
mando o limite de arcos poligonais 
inscritos em C. Subdividindo o inter 
valo de t 
O = t0 <t1 <SS <t 	1, 
obtém-se uma subdiv1so da curva pe- 
3.5 	H 
•los pontos 
= z(t0 ), w1 = z(t1 ) ,... , WN = z(tN) 
Unindo os pontos sucessivos por segmentos de reta, obtém- 
se, um polígono aproximado de comprimento 
	
- 	= 	At 
O limite desta soma quando max At— O, e a integral 
1 	i 
	
SJkt = 	 + [y'(t)] 2 dt dt o 
Nó semi-plano de Poincar, o comprimento de uma curva í de 
finidodo mesmo modo. Substitue-se a curva pela poligonal apro 
ximada cujos lados sã M o arcos 
de círculos, unindo pontos 
consecutivos da sucesaao con 
siderada e normais ao eixo 
real. O comprimento da cur 
vã é O: limite da soma 
Y d(w gw 
quand::max(t 1 t)--O. 
A distancia entre pontos vizinhos w, w + A w pode ser obti 
da transformando o semj-e,Çrculo que os une numa semi-reta nor-
mal ao eixo real, Ento, como anteriormente, ter-se-a 
	
D(w,W+Aw) = lgY 
+ 	= J Alg y = 	+ c( Ay)A y 
k diferencial do arco deve, pois, ser da forma , que 
em função do ponto w toma a forma ----, onde v = Im w. Logo, o 
comprimento da curva O e 
t1 dz 
dt dt 
EXEROf aIOS 
28)Achar a transformação que representa a região entre ocí 
oulo uitarjo e um círculo excêntrico nele contido em 
a) a região entre o circulo unit&io e um círculo con-
cntrico em seu interior; 
b) a região externa a dois círculos iguais. 
29) Verificar que as transformações lineares do semi -plano 
superior (3.40) verificam as condiçes para os deslocamentos na 
38 	 CapI 
geometria de Poincar(;. 
30) Verificar a desigualdade triangular para a funço di8tn 
cia (3.42), 
D(P1 ,P2 ) = k 19(P1P21Q2) 1 	(k>O) 
31) Mostrar que o comprimento L 
j t 
lIdz
L= 	
o Y 
de urna curva C no eernip1ano superior, i um invariante por des 
locatnento (isto e, por transformações lineares do semi-plano eu 
perior), 
Uma funço w = f(z) definida no drnÇnio ID, diz-se contínua 
em D quando, para todo ? de ID, se tiver: 
	
um f(z) = 	f() 	 (2.00) 
O limite de uma funo complexa e definido como no caso r 
ai. Se para E> O existir um ô(,) > O tal que 
If(z) - ai < s 	quando 	0< z - I<õ(c,) , 
diz-se que f(z) tende ao limite a quando z tende a , e se es-
creve: 
	
lim f(z) 	a 
2 	 39 
Assim, a definiço de continuidade importa na exigência de 
que dado qualquer c> O, exista um ô(e,) tal que If(z)f()I <e 
para todo z que verifica Jz_I<Õ(e,), Geonitricamente isto 
significa que, traçando-se qualquer círculo com f() para cen-
tro,, e sempre poseivel achar uma vizinhança de Z que tenha a 1-
magem completamente no interior do círculo dado. 
A. noção de limite e' inale geral que a de continuidade,. 	A. 
• tunço que tem limite num ponto pode tornar-se continua neste 
ponto, atribuindo-lhe, nele, o valor limite. 
A definiço de continuidade pode ser dada diversamente. A 
funço w = f(z) e' continua no ponto 	de seu domínio se para 
toda sucesso {z} em D comz— 	se tenha 
lim t(z) = f() . 	 (2.01) 
n - 
Diversamente, w = f(z) = u(x,y) + 1 v(x,y) e' continua em 
D se o forem, separadamente, suas partes real e Imaginaria. O 
leitor poderEZ demonstrar a equivalência destas três definições. 
Se f(z) e g(z) forem funções continuas em D, ento f(z) + 
g(z) e f(z),g(z) tambe"m o são em D. Ale"m disso, o quociente 
f(z)/g(z) sera continua em todo subdominio no qual g(z)+O. 
Uma função contínua de função contínua é contínua, Mais pr'eci 
samente, se g(z) for contínua e transformar um domínio D num 
conjunto D I e se f(z) f&r contínua num domínio contendo pe, en-
to a funço F(z) = f[g(z)] serã contínua em D. À demonstração 
e# aplicação direta de (2.01). É fcil construir classes amplas 
de funções contínuas: do fato de serem contínuas uma constante, 
e z, segue que opoiin6mio 
p(z) = a0 + a1z + ,,. + 
e' contÍnuo no plano z, e que qualquer funçao rac tonal 
a +az+ 	zM O 	1 	- is 
+ b1.z + ••• + bZ 
e' continua em qualquer domínio em que o denominador no seja nu 
lo. 
Os valores assumidos por uma função continua permanecem 
dentro de uma vizinhança de raio e de f() para todos os valo, 
roa dê 'z interiores a uma vizinhança de raio 6 de ?, onde 6 d 
pende de e e , 6 ô(e,). Em geral no sera possÍvel tomar 
40 	 Cap.II 
ô completamente independente do ponto 2. A função hz, por ex., • 
e contínua no domínio O < Jz1 <1, mas, dado qualquer e , no 
existe nenhum 0 fixo que convenha ao domínio todo, pois, evi-
dentemente, quando r, tender para a origem dever-se- fazer 8-'O, 
Diz-se que uma função e uniformemente contínua se a todo e>O 
corresponder um 8(e) > O tal que Lf(z) - f()ke para todos os 
pontos z,n em D que satisfizerem z - 1 <.8(e). Para uma re-
giaz finita, a continuidade implica a continuidade uniforme. 
Com efeito, pode-se estatuir com maior generalidade: 
Se uma função f(z) for contínua num conjunto de pontos li-
mttado fechado D. entao ela seró uniformemente contínua em D. 
Pondo f(z) = u(x,y) + i v(x,y), vi-se que este resultado 
e corolario do teorema para funções reais. ( ) 
Existem diversos meios para representar uma função por uma 
série de funçes convergentes. SO,, pois, essencial um !netodo que 
permita saber se uma função dada como soma de uma síria conver-
gente i contínua, o qual e fornecido pelo teorema: 
Uma funç ão f(z) definida num domínio .D como soma de uma si 
rie uniformemente convergente de funçes contínuas de z, é 
contínua. 
Com efeito, supondo 
f (z)n. n=l 
onde os f(z) aio contínuas em D, e representando o reato, apms 
n termos, por R(z), pode-se escrever: 
f(z) = 	 + R(z) 
	
Logo, para qualquep par de pontos z e 	em D, tem-as 
(f(z) - () I = 1 	- 	f(?) + R(z) - R(r) 
 È fk ( n ) Ãfk (Z) - 	 + 
Como a síria converge uniformemente em D, segue-se que, a 
todo e>O, corresponde um N(C) para o qual lRn(z)l < e/3, qual-
quer que seja n>N(c) e para todo z em D. Alermm disso, sendo 
oontnüa a soma de um nmnero finito de funçea oontl"nuas, pode-
se determinar um Ô(e tal que 
( 1 ) 
 
Ur. COURANT ciculo Diferezoisi e Integral", Vol.I, p.63 e seguiutea. 
3.1 	 41 
f 	Y 	1 - 	< -- , para lz-I < 
Aiaim, dado e>0 9 pode-se achar um . > O tal que 
	
- f(?)I < e 	quando 	IZ - 	< 
o que demonstra a continuidade de f(z). 
Qorolr1o: Usa série de potinc2aa representa uma fungo 
contínua no interior de seu círculo de convergência. 
3. FUNÇES ANALÍTICAS 
3,1, DITEREcILBILIDADE, Ate' a gora se empre garam conceitos 
que eram generalizações 4bvias das noções elementares da Anli-
se real. O desenvolvimento do cálculo diferencial e integral 
das funções complexas assenta s6bre a noço de derivada comple-
xa e esta, como se ver, conduz a novos pontos de vista. 
Uma função complexa w = f(z) diz-se diferenel6Del Ou OflO-
gmnca, no ponto se, ao tender z a , arazão incremental 
tende a limite independente da maneira segundo a qual z-. O 
limite desta razo incremental denomina-se derivada de f(z) no 
ponto n, representada por ou f'(). Uma função difere 
ciave1 necessariamente contínua, pois f(z)-f() tende a zero 
com z-n. Analogamente, pode-se introduzir a definiçio de deri-
vada pór meio do teorema do valor me'dio: 
Umá funço f(z) será dlferenojivel no ponto se puder ser 
,escrita na forma: 
f(z) 	+ 	+ 
onde ?)-0 quando z isto e', f(z) pode ser aproxima 
da por uma tunço linear na vizinhança de ?. Se f'(z) for uma 
funçoÓontÍnua em qualquer siíbconjunto fechado e limitado do 
domínio de analiticidade def(z), a f'unço 
e(z,) = f(z) : 	- f'(z) 
sendo contínua (1) deve ser uniformemente contínua e pode-se sri 
to prefixar, em (3.11), um e> O tal que 
1 C(Zgn ) <e 	para 	z - 
(1) Pari a . define-se o valor da rasgo incremental como sendo a derivada 
42 	 Cap.II 
com ô(e) funçãn apenas de C 
sa0 de particular interesse as funçGes que possuem deriva-
da em todo ponto do domínio D, as quais aio ditas analíticas em 
D. Mais tarde serão denominadas funções analíticas regulares, 
enquanto a palavra analítica designará,, mais geralinente,funçes 
que sao diferenciaveis excepto em certos pontos. Por enquanto 
no se fará esta distinço. 
As regras de diferenciação das funções analíticas so for-
malmente as mesmas que as das funçes reais, bem como as demon! 
traçes. Assim: 
I. 4 soma de duas funçes analíticas e' dertva'vel, e sua de-
rivada é a soma das derivadas das parcelas, 
dz + g(z) 	f'(z) + 
g , ( Z) 
	 (3.12) 
II O produto de duas funç6es analíticas tem derivada, a 
qual ó dada por 
dz = f'(z).g(z) + f(z).g'(z) 	(3.13) 
III. O quociente f(z)/g(z)i derivável desde que g(z) = O, 
e,9 9 como no caso real, 
= f(Z)R(Z)f(Z)g'(Z) 	 (3.14) 
IY, Finalmente, uma função analítica de uma função analíti-
co é analítica, tais precisamente, seta =f(z) é' diferencia-
061 no ponto n e se p (m) J dlferencla'vài no ponto ø=f(), e, 
to h(z) =g[f(i)] J d*ferencla'vel em s=, e tem-se: 
3.1 	 43 
f'ereneia'vel desde que o fossem suas partes real e imaginarla( 1 ). 
Tal, porem, nao se da. A diferenciabilidade de u(x,y) e 
v(x,y) nio implica a diferenciabilidade de f(x,y) como se pode 
vir com: um simples exemplo: seja f(z) = x + 21 y. Aqui u = x e 
V = 2y ao funçes diferanciveis de x e y Pondo z = 
= A x + IA y em (3.10), obtem-ae 
ic + âx + 2(y + Ay)I 	(x + 2y 1) 	Ax + 2lAy 
AX+IAY 	 AX+iAy 
Fazendo z - - O por valores reais, ento Ay = 0 1 e o li 
mi te 1; mas se Ax = O quando o limite será 2. Logo, 
f(x) no e analftioa. A exige-nela do limite de (3.10) ser o me! 
mc, qualquer que seja a maneira de z -,introduz algo de novo, 
que no se verificava na teoria das funções reais. 
Passarse.a# a investigar o que adiferenciabilidade da fu 
ço f(z) = u + 1 v implica para u e v, Tem-se 
f(z) = f(n) •+ [r'() + e(z,)] (z ..) 	(3.11) 
onde e(z,) —0 para z-. Separando as partes real e ima 
ginaria, z 	x + 1 y 	+ I'fl , f' (z) = A + 1 B e e = 	+ 
resulta: 
	
u(x,y) + 1 v(x,y) - [u(i) + 1 v(, li) ] 	(A +€1 )(x - 
	
(B +e2)(y ..ij) + i[(B +e2)(x - ) +(A+c1)(y 	)j 
donde 
u(x,y) - u(,r)) 	(A +e1)(x 	) 	(B +e 2 )(y - r) 
e 
v(x,y) 	( ,'-i) = (B 	 ) + (A +e1 )(y 
Como e1,e2 tendem a zero quando (x,y)_(,1),seguenj..se dos
, 
 
tas reiaç6e9 que A = u, B = u e A = v 7 , B = v, Logo, u e v 
devem satisfazer um par de equaçes a derivadas parciais - as 
oe'1ebrea equações de Cauchy-Riemann: 
(1) Uma funço real 11 u(x,y) o diferencivel no ponto E, se puder s rs 
presenteda na forma u(x,y) u(,) + (A+e)(x.) + (B4e 2 ) y-) onde ZrA e B 
so independentes de x e y, e e, e 2 tendem a zero quando o ponto (x ,y) ten- 
de a (,fl). Genrioamente A e B aZo as derivadas parciais de primeira or- 
dem de u( y) A u(,T)), B = u()). Uma condiçao suficiente para que 
uma funçao de duas variaveis reais seja diferenciavel, neste sentido e que 
u(x,y) seja continua numa vizinhança do ponto (t,i) e que u7( ,ii) exista 
O significado desta definição reside no fato de que uma função satisfazendo 
esta condiçao, possue derivada segundo todas as direções. Cfr. COURAN? "Cal 
- culo Diferencial e Integral", Vol,II, p.532 e. seguintes. 
44 	 Cap.II 
(315) 
ôxôy 	 ày 	àx 
Subsiste o teorema: 
condigo necesstfrta e suficiente para que a fungo complexa 
t(z)u(x,y)+i.v(x,y) tenha derivada contínua no domínio D 
é que as partes real e imaginaria sejam diferenciáveis e .a 
tisfaçam as equações de Cauchy-Riemann: 
ôx. õy 	' 	ôy - 
A demonstraço da suficincia e' simples (a necessidade j 
foi comprovada acima). Pode-se escrever: 
	
Xá, li + y) 	u(,) 	x + 	y +ay 
e v( + 	+ Ay) 	v() 	x + 	y + 
Vá x2 
onde e 1 e €2 tendem a zero com 	 Usando as equações 
(3,15), obtJm.ee: 
+ 	+ .í!1±!21L4!i 
	
4z 	 bx 	ax 
concluindo-se que f(z) tem para derivada: 
âx 	õxay 	õy 
Como exemplo de runçao analítica, seja 
w = (x2 - y2 ) + 2xyi, 
onde u = x2 y2 e v = 2xy so contínuas e d1ferenciveis, 
como uX = 2x, u7 = -2y, v = 2x, v = 2y, as equaçee 19 Cauchy.-
Rlemann so verificadas Observa-se que u e v so as partes re 
ai e Imaginária ia funço w = z 2 , e que 	= u, + i. v, = 2z. A dz 
derivada de w = z2 podia ser obtida sem recorrer às equaçes 1e 
Cauohy-Rieinann, formando a razo incremental e passando ao limi 
te. Por outro lado no basta tomar o limite em apenas uma dire 
ço Uma função to simples como f(z) = E não tem derivada 
Embora formalmente a mesma, a definição de derivada para 
funçes complexas conduz a uma classe de funçes mais restrita 
do que no caso real. Dos valores assumidos por urna funço real 
numa parte de seu domÍnio de definiço, nada se pode concluir 
sabre os valores nos demais pontos, enquanto que os valores lo-
cais de uma funço analÍtica acham-se Intimamente relacionados 
3.2 	H 	 45 
com os que ela assume no domnlo todo de defini.çao. Tal ser 
Posteriormente demonstrado, bem como a seguinte propriedade, 
talvez a mais notvel de toda a teoria: Á dertuada de urna fun-
çao anal (ttca éanaltttca0 Logo, qualquer funço analÍtica J 
indefinidamente derivável. 
3,2. OBSERVA Ç6 E EXEMPLOS, FUNÇÔES HARMÔNICAS.- Examinar 
ae..o alguns exemplos de funções analÍticas. 	Seja f(z) = 
Sob a forma (3.11) tem-se 
zn - 	(z)[n2' 	+ (z - n) R(z,[ 
onde R(z,) e' um polinômio e, portanto, (z -2)R(z,? )-0 quan- 
do z 	Por conseguinte, f(z) = z i diferenolvel para todo 
finito (n>0), isto e', z1' e' analítica no plano z e tem deri 
vada. 
= n 	• 	 (3.20) dz 
De (3.12), (3.13) e (3.14) resulta imediatamente que qual-
quer fnço racional 	 m a +a,z + ... +az 
R(z)= O 
+ b1z + ... + bz 
' analÍtica no plano z, excepto (eventualmente) nos pontos em 
que o denominador fBr zero. Ma particular, a função linear ge-
ral e analÍtloa. 
Outro exemplo importante e' a funço 
f(z) = eX(cos y + i san y) 
que verifica as equaçes (3.15) de Cauchy-Riemann e para a qual 
x+x2 
f(z1 :):.f(z2 ) = e 	[cos(y1+y2 ) +i sen(y1 +y2 )] = f(z 1 +z2 ); 
para z real, y = o e a função se reduz a eX. Tal runçao f orne 
ce uma extenao natural da função exponencial ao campo complexo. 
Verse', mais tarde, que a inica extenso anâ1ÇtIcapossÍvel. 
Logo, por definição, o = eX (aos y + 1 sen y) 	 (3.21) 
De. f'(z) = Ux + i v resulta a propriedade familiar da 
funço exponencial: 
A funço e(a) = cosO + 1 sano , definida no inÍcio do tra 
- balho, pode ser, agora,escrita na forma e ie ,e todo numero com 
plexo Z: assume a chamada forma exponencial 
46 	 Cap. ii 
1 = 
onde r=' Izt, 0= ao Z. Isto sugere a extenso da funço lota- 
ritmo ao campo complexo: 
lgZlgr elo lgr+18 
2 	 y 	 (3.22) = lg Vx + 	+ 1 arctg iT 
Evidentemente, 
x 	 y 
U =-•- 	=v , 	a = 
/2 2 	 ' 	F2 2 	X vx+y 	 vx +7 
de modo que lg z e" analÇtioa no plano 1 todo, exceptuada a o-
'1gem. 
De maneira geral já se viu que uma se"rie de potnoias 
P(z)a +a1 z+ oco +az 1 
analítica no interior de seu ori'ouio de convergência e, es 
conaequnoia, possue derivadas de todas as ordens no seu Inte-
rior, sendoP(z) = kak.+ 	&k +lZ + 	• 
+ 
De modo anilogo ao caso real, tem-se os seguintes resulta- 
dos: 
I. Se g(a) 	a + bi f6r derivada de usa funçao analítica 
ento a furzço J univocamente determinada a menos de uma cons-
tante arbitrária . 
Isto decorre imediatamente das equaçes de Cauohy-Riemann, 
Pois se f'(z) = a + b 1, então, 
I uxa fv=b 
Lu7 =-b 	 1v7 =a 
e estas equações ,determinam u(x,y) e V(X,yr) e, portanto, f(z), 
a menos de uma constante arbitraria. (2) 
86 w 	f(z) = u(x,y) + 1 v(x,y) fornece uma representa- 
qo biunívooa do domínio D do plano z s6bre um conjunto de pon-
tos D' do plano w, entio existe a funçao inversa, isto ei, a C 
da ponto ('u,v) de D' corresponde um uínico ponto (x,y) de D - O 
ponto que i representado por (u,v). Pode-se, pois, escrever 
Z = x(u,v) + 1 y(u,v) = g(w) 
(1) Por ~quanto no se considera a multiplicidade do ir4Çülo e da furZo. 
(2) Cfr, COTJEANTs "C].cu10 Diferencial e IntegraiN, V01.11 9 P. 530 e aig. 
3. 
II Se v = fez) = a + iv for continuamente diferencia'uel no 
ponto z e se f'(z)*O, então existe a fanço inversa z=g(m), 
a qual é diferesciévei, e sise derivada tem para expresso 
1 
&(w) = 
Com efeito, pelas equaçes de Cauohy-Rlemann, tem-se: 
A =:= 
 lui 
	
I=u+v= fI(z)2+O
X. 
Uma vez que o jacobiano da transfoaço é distinto de ze 
ro e que as derivadas aio continuas, segue-se que a representa-
çio u = u(x,y), v = v(x,y) é invers1vel e se pode escrever x e 
y oomo funçes diferenciiveia de u e v. Sendo 
entio se tiram, destas equaçoes: 
Vy u 	 V 
X, Yu7' 	v 
ou av 
Logo, 
ôv 	ôu 
lato é, x e y satisfazem a equaçes de Cauchy-Rlemann como fu 
çes de u e v. A funçio inversa é, pois, analítica e tem para 
derivada 
dz 	 Ux iVx 	V(z) 	1 
_xu +iyu = 	 = 
f'(z) V(z) 	f (z) 
Os teoremas do célculo diferencial fornecem algo mais que 
iate resultado. Desde que o jacobiano seja diverso de zero, se 
sue-se que a vizinhança do ponto do plano z é representada nu 
ma vizinhança completa do ponto f(n) do plano w e If'()I 2 é a 
razo de semelhança das ireas, Sabe-se ainda que se f(z)+O no 
, domínio D do plano z, entio a imagem D' no plano w é domínio o 
jo. pontos da fronteira correspondem aos ponta fronteiras de D. 
Leais, uma função analítica preserva domínios. Ver-se-i que es 
ta simples propriedade de representaçio tem consequincia de lar 
gas apUcaçSes - f(z)i no alcança nenhum méximo em qualquer 
domÍnio de analitioldade de f(z ) • 
48 	 Cap.II 
uxx 	 (3.25) 
que podem ser t&oilmente verif1.adaa. 
4. PROPRIEDADES GEOXTRI CAJ3 DAS FUNÇ6Z5 AKALÍTI CAS 
49 4.1 
ou, o que equivale, por 
z(t) 	x(t) + 1. y(t) 
com z0 
O &igulo diretor da curva no ponto z0 
e' o angulo O formado: pela tangente & cur-
va em z 0 com o eixo real. Assim, 
) 
tg O = dy - =(t ° 	 (4.10) 
dx x(t0) 
e escrevendo-se , 
z(t0 ) = x(t0 ) + 1 y(t0 ) 
tem-se, simplesmente, 
O = am z(t0 ) . 	 ( 4.11) 
Na vizinhança de w a imaemde C 6' a curva 
w(t) = f[z(t)] 	u[x(t),y(t)] + i v[x(t),y(t)J. 
Conclua-se que 
	
= u x i + u 	+ i(v x c + v, ) = 
= (u x + 1 v)(c + 1 
de modo que o ângulo diretor da curva 	em w0 = f(z0 ) e' 
	
e' = am[f'(z0).(t0)] . 	 ( 4.12) 
Supondo que as curvas z 1 (t) e z 2 (t) formem um ngulo a no 
Ponto z 0 de intersecço, seja 3 o &ngulo de suas imagens w 1 (t) 
e w2 (t) no pontow 0 . De (4.11) se tem 
a = 0 2 -01= am i 2 (t0 ) - arn 1 (t0 ) = ais z
2 (t 0 ) 
z 1 (t 0 ) 
e de (4.12) f'(z0 .z2 )(t0) 	z2(to) 
	
p =Ç-O=am----- 	—am— 	= 
i1 (t0 ) 
Fica, pois, demonstrado '4
ti 
e' diferente de zero, o angu-
que em todo ponto onde f'(z) 
lo de duas curvas, juntamen-
ce inalterado. Tal represen a 
te comse u sentido, permane- 
ce 
 
taço diz-se cónforme. Dia x u 
cut1r-se-a mais tarde o que 
sucede nos pontos eis que a derivada se anula. 
Esta propriedade da representaço basta para definir fun- 
50 	 Cap.II 
çea analíticas. Ou melhor: Se uma fzLnçao 	f(z) define uma 
representaçao biuníuoca conforme em algum domínio Donde suas 
partes real e imaginária so funções dlferenclvels de x e y, 
entao f() e' analítica em D Para demonstra-lo, considerem-se 
duas curvas y = y1 (x) e y = Y2 (x) que passam por dado ponto z 
de D. Elas se interceptam formando um ângulo a tal que 
y(x) - y(x) 
tga=— 	, 
1 + y1 (x).y9 (x) 
As curvas aerao transformadas por f(z) = u(x,y) + 1 v(x,y) 
nas curvas 
5 u1 = u[x,y1(x)} 	 J u2 = u[x,y2 (x)] 
1v1 = vfx,y1 (x)j 	 1v2 = v[x,y2 (x)1 
Por hip6tese 
dv2 dv1 
du2 	dii1 
tga 
+ dv1 dv2 
du1 du2 
dv1 v+v Yj 	 dv2 
Logo, usando - = 	 e a analoga para 	, ob- d.
0 	 u +u y' 	 u2 tem-se 	 X 	y 1 
y2 - j 	 (uv - uv )(y - Yj) 
1 + yy 	(u+ u) + [uu+vv7)(Yj+Y) + (v+v)yjy 
equação que deve subsistir para todo valor de e y Elimi-
nando os denominadores e Igualando os coeficientes dos termos 
correspondentes, obttn-se as reiaç6es 
2 	
+ 	
2 	
(4.13) 
e 
+ u, = u v. 	v = v + 2 
	
(4.14) 
onde, por hipctese, uxvy 
-U 
vx * O. A equaçao (4.13) pode ser 
escrita 
	
x o 	 (4.15) 
Â9 equações (4,14), ento, tomam a forma 
22 	2 	22 	22 	2 
). + u = x (v7 + u7 ) = uX + vy 
donde 
4.2 	 51 
(1 À)u + (À2 À)v = o, 
ou 	
(À22À+1)(u2+v2)_0 
O segundo fator sendo o jacobiano (no nulo), ao` se pode 
ter À= 1. De (4,15) tira-se, pois: 
. ux = v3r 	uy = - vx 
• que so as equaçes de Cauchy-Riemann, mostrando que f(z) e', de 
fato, funço analítica. 
Da :conservação dos &rigulos segue que uma funço ana1'tica 
transforma tringuloa suficientemente pequenos em figuras quasi 
semelhantes, ou, a transformaçao de uma vizinhança de um ponto 
uma bomotetia cuja razo depende apenas de z0 . Para veri- 
• fic-1o, considere-se a curva O por z0 e sua imagem O', e sejam 
a e a os comprimentos dos respectivos arcos. Ento; 
da/'2, ., '2, 	Idw 
da 	 yii t0j4V 
(to ) 
	
1fe(ZOI
i de - _________ - dz 
a 	../x2(t)+2(t) o 
Portanto, o comprimento de qualquer elemento linear da ou 
vã transformada passando por f(z 0 ) vem multiplioada pelo fator 
Ir'(z 0 )I. O significado da exigência de que a derivada de uma 
funçao anaiCtica independa da direçio de aproximação, fica, en-
tio, manifesto. 
4.2. TRANSFORMLÇXO w = zn ._ Depois da transformação linear 
geral (cujas propriedades J9 foram estudadas) o mais simples 
exemplo de função analÇtica e' w = z, com n> O inteiro, dife-
renciivel no plano z e cuja derivada e# w' = n z"1 . Como w'(z) 
diferente de zero para todo z 4: O, conclue-se que arepresen-
taço por ela definida e conforme, com posarvei excepção do pon 
to z = O. Usando a forma exponencial z = r e 20 e w = ob-
tm-ee as re1açea 
p=r'1 , 	qne 	 (4.21) 
Dar resulta que cÇrcuios com centro na origem transformam-
se em crrcuios analogos e retas pela origem em retas com a mes-
ma propriedade. Na relaçio p = n O observa-se a natureza espe-
cial da representação, O &ngulo entre dois raios pela origem 
fio se conserva, mas e' multiplicado por n, isto e', a tepresenta. 
çio nio e' conforme na origem. Um ponto com esta propriedade e' 
52 	 Cap.II 
chamado ponto de ramtficaçao de ordem n-1 
Os círculos Jz1= r se transformam nos círculos Jw1 =p, e 
um setor com ve0rtioe na origem sera# transformado num setor c1r-
cular cujo ingulo central e' n-plo do dado. Em particular, a fun 
çio w = z fornece uma representaçio conforme da porçio de pia-
no entre o semi-eixo real positivo e o raio que com ele forma 
um angulo ,% /n,no semi-piano superior. 
Quando se procura considerar a repreaentaçio inversa depa-
ra-se com nova dificuldade. Exceptuada a origem, todo ponto do 
Plano w e' imagem de mais de um ponto do plano z. A Imagem do 
círculo unitgrio do piano z, po ex., cobre n vezes a Imagem do 
oÇrcuio unitrIo do piano w. Em geral, a todo ponto w =p ei4O 
do plano w correspondem n pontos distintos do piano z, para os 
quais r =M e O = (cp + 2k t)/n (k = O,l,,,.,n-l). A funçio 
Inversa 
Z = 	 (4,22) 
fiO é univocamente definida, Com afeito., podem-se assinalar n 
valores distintos de z para todo w O, Tal correspondência e' 
chamada função p1uríocae neste caso particular, funçao a n 
valores, Subentender- se- que a palavra função sem outra qual 
ficaçio (a menos que figure explicitamente o contrrIo), Indica 
rã uma função iin(voea. 
Os valores da função (4,22) estio relacionados de maneira 
específica. Tornando-se urna vizinhança qualquer no plano w que 
nio contenha a origem e nela escolhendo-se um dos n possíveis 
valores que corresponde a um dos pontos de seu interior g os vã - 
lares no restante da vizinhança ficam completa e unvocamente 
determinados pela exigncia da continuidade, Mediante tal saco 
lha de valores, obteve- se uma representaçio biunvoca de parte 
do plano w (embora tal se possa realizar de n modos). Esta ma 
neira de proceder mostra que a escolha doa valores da função 
na correapondncIa entre vizinhanças e' um tanto arbitraria, con 
dicionada, porem, à continuidade da funçio Abandonando a res
trição da vizinhança nio conter a origem, pode-se, eventualmen-
te, voltar a um seu ponto com valor da função distinto do ini-
cial. Contorna-se a situaçio supondo que nio se esta mais na 
mesma "folha", pore'm em outra sobreposta a primeira. Assim a re 
prosentaçio z = pode ser considerada como biunfvoca se se 
Imaginar o plano w fçrmado por n folhas sobrepostas com um pon-. 
4.2 
to comum na origem e varias interconexoeso 
este e', de modo intuitivo, o conceito de urna Superfície de 
RI6T*ann, superfÇcie que permite urna representação hiunvoca de 
urna funço plur1voca, o tratar, com grande simplicidade, numera 
soa problemas que (de outro modo) seriam deveras difíceis. Co 
sidere-se, p.ex., a função z • Na representação w = 
qualquér raio cp = 	do plano w e' imagem de dois ralos do plano 
Z 	(P. /2 e e = ( q 0 + it)/2, Começando-se com o eixo real 
positivo = O, faça-se corresponder a ele o eixo real positivo 
do plano z, O = O, Quando variar de O a 211, e variará de O a 
it, isto e', enquanto um raio varre o plano w, o raso corresponden 
te percorre apenas o semi-plano superior. O dom'nio O <Cp <271 1 
do plano w, e' representado de maneira biun1vooa no semi - plano 
O<ê<it. 
Arepresentaçao da 
fronteira não e' biunÇvo 
ca, pois o eixo real po 
corresponde aos raios 	e 	e = o. X 
e=O e e=. Entre 
tanto, pode-se diferen- 
ciar (pelo menos formal 
mente) as repreaentaçes 
= O e 	= 27t do eixo real positivo e, assim, obter urna ma- 
neira conveniente de distinguir entre as duas folhas da superf 
olá de Riemann para qualquer ponto do eixo real. Prosseguindo, 
conceitualmente, numa segunda falha onde cp varia de 27E a 41 , 
pode-sé estender a repreaentaço ao 
semi-piano z inferior. Para ooinple 
tar a imagem da representação tem- 
se 	ligar as duas folhas w de ma 7' 
neira condizente com a 'conexaoentre 
os semi planos z superior e inf e- 	 / 
nor. Isto e, supondo-se cortadas 
as duas, f6lhaa segundo o eixo real 
positivo, liga-se o bordo inferior da primeira folha com o supl 
nor da: segundo, pois ambos correspondem ao angulo = 21 e 
vem ser, Identificados, e depois as arestasç,= 0 e T= 4% 	que 
54 	 Cap.II 
correspondem ao raio 8 = O, Que tal se no possa fazer mec&ii 
camente sem que a superf1cie se intercepte, nio é de interesse 
aqui; não há dificuldade em coneeb&.sla abstratamente. A super-
f1cie:reaultante, formada por dois planos complexos sobrepostos 
envolvendo a origem, e' a superf2'cie de Riemann completa da fun-
ço z=4, S6bre ela z e' definida como função unívcx,a de w e, 
por conseguinte, esta superf'cje e' representada por meio de z = 
univocamente no plano z, As duas diferentes determinações 
ou H rao& de -f 5a0 representadas abre falhas distintas da 
superffcie de Riemain. Os pontos ri = O e w = oo,comuna a ambas 
e nos quais no e' possfvel distinço entre as duas f6lhas, sio 
chamados pontos de raintficaça'o de primeira espécie, c»mpre obser 
var que o eixo positivo real no ocupa posiçao previlegiada ne 
ta discusso, introduzindo-se em sou lugar um corte do plano W 
segundo outra curva continua e simples que ligue os pontos do 
ramificação w = O e w = co, 
claro como proceder no caso w = z11 , obtendo-se uma rePrt 
sentaçao biun1voca do plano z sobre uma superfície de Riemann 
de n folhas envolvendo a origem com pontos de ramificação de o 
dom n..l em w = O e w = ao,, Esta serao a superffcie de Riemann 
de r'-fT. u=o 
4.3 
foco em w = o e virtices nos pontos w = 2 Evidentemente, o 
exterior de cada uma destas parábolas (domfnios que no oont&m 
a origem) corresponde a 
cada umdos semi-planos 
x> c. HAnlogamnente se 
obtêm para imagens de 
y = e, a família. orto go 	 V 
nal de parabolae 
Seus exteriores aio re 
preaentados nos semi- 
planos y>c. As imagens de x = -e e y = - o aio idinticas 
ia de xo e Y,= C 
EXERCÍCIOS 
1) Na representação w 	mostrar que a fainftia de cfrcu 
los 1 	= conet. J transformada na famflia de lemniscatas 
w.-1 Iw+l1 = const, do plano w. Mostrar, ald'm disto, que 08 
raios que passam por z = 1 aio transformados numa famÍlia de hi 
pe'rboleaequilateras que passam pelos pontos w = 1. 
2) Faer a representaçio conforme do semi-cÍrculo lzi <1 e 
Im z> O no cÍrculo unttario do plano w, de modo que z = 1/2 
transforme em w = O, com 	>O em z = 1/2. 
4.3, 	ÇO EXPONENCIAL E 05 LOGARÍTMOS, Abstraindo-se 
da definiço (3,21), introduz-se a funçio e de maneira talvez 
mais natural, escrevendo 
00 n 
e 	 l+z+4+,,, 	 (4.31) 
n=o 
por analogia com a funçio real ex, Verifica-se facilmente que 
esta sirté conver ge para todo z finito [Cfr.I,(2.22)], i como 
se demonstrou que toda série de potências e' analÍtica em seu 
cÍrculo de convergência (no qual pode ser diferenciada termo a 
termo), entio (4.31) define uma funço analitica em todo o pla-
no z. domo no caso real, 
= 	
nl = 
a Z 
ãZ 
n=1 (n1) 
5e 
	
Cap.II 
Para demonstrar que a f6rmula de adiço 
o 
Z 1 z2 = e z 1 + 2 (4.32) 
tambem subsiste para valores complexos, multiplicam-se as res-
pectivas series (que sao absolutamente convergentes), resultan-
do: ri ri .r n-r 
Z] ez2 	( 	
= 	ri 	t (nr) 
n 	r n-r 	1 	ri r n-r 
= 	 r (n-r) z1z2 = 
	 (r 1z2 
z.+z 
= 	-4(z1+2)u1e1 	2, 
n_o ri, 
que demonstra a afirmaçio. 
As funçes san 5 e aos z so definidas pelas sinos 
correspondentes ao caso real, onde a variável livre i substitui 
da por a, Escrevem.se 
CO 	1)n 
san a = 	 , COS 5 = f: 	5T ,(4,33) 
siries convergentes para todo a finito e que, por conseguinte, 
representam funçes ana11'ticas no plano a. Facilmente se veri-
fica que 
	
dz (san a) = coa a , 	(aos a) 	- san a 
Como as sd'niea ao absolutamente convergentes, pode-se es-
crever: 
[ 2n 2n 	2n+1 2n+11 	.... 
coe a+isenz = 	[T_+ 	1 n=o 	n,. 
o 	
t 2n+l,, 	ri-o 
obtendo-se, assim, a fórmula de Euler: 
etZ = 008 5 + i san a 	 (4.34) 
Desta e de (4.32) tira-se: 
= 8 x+ly = 	(coe y + i san y) 	(4.34 1 ) 
que comprova a equivalência desta definição com a Ç3,21) do ca-
prtuio II. 
AIim disto, em virtude da periodicidade das funções trigo-
nomitrioas, tem-se 	 2 
mostrando que e i peri6dioa com narÇodo ?,1 T 1 
4ó3 
Para examinar a representação definida pela funçao exponen 
dai w: = eZ, 	 w=pe 	e z = x + i y. Ter-se-á: 
x P = e 	(P = Y 
Da resulta que a reta y = a, paralela ao eixo real, e' re-
presentada s6bre o raio cp = a, sabre o qual O p < 00 	quando 
-00 <x < +00. Logo, o valor 
de aZ nà ao nao e' definido, 
urna vez que depende do valor 	 i ly 	 lu 
de Y, 	
X•C 
quanto a9 retas x = a, 
pode-seconslderar, em face 	' 	a 
::p::::::: a 
apenas função 
to O <;y <a <2 l, o qual t! ) 
V 
rã para imagem um arco de 
círoulop = e 0 , O < ç <a. A 
superfície entre o eixo x e a reta Y, a<27t tem para imagem 
o setor do plano w entre os raios p = O e ç = a • Urna faixa ho-
rizontal de largura 2it tem o plano w como imagem, e se f6r 
O.<y <27t , ficará excluido o semi-eixo positivo u, que será 
fronteira do domínio, e que corresponde as retas y = O e y = 27t. 
Para representar a imagem da faixa 2 < y < 4% ,utiliza-se uma 
segundar6lha tambe'm cortada segundo