Cálculo I _ Sebastião Fernandes

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Cálculo I 
Autor: Professor Sebastião Fernandes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos reservados ao autor Sebastião Fernandes: 
Professor aposentado da Unifei (Universidade Federal de Itajubá), onde lecionou por 32 anos. 
 
 
Capa e sumário feito por um aluno admirador do professor, como pessoa e profissional. 
 
Sumário 
 
 
• Aulas de 1 a 6: LIMITES 
• Aulas de 7 a 19: DERIVADAS 
• Aulas de 20 a 33: INTEGRAIS 
• Aula 34: SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS 
• Aulas 35 a 41: SÉRIES 
• Aula 42: SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 01 - LIMITES 
 
 
1.1 – CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE : 
 
Nesta aula, iniciaremos o estudo de Limites. 
Para começarmos a entender o conceito de Limite de uma função num ponto, vamos agir de 
forma intuitiva. 
Para isto, vamos considerar, por exemplo, a função definida por ( )
2
4
2
−
−
=
x
x
xf , cujo Domínio é 
( ) { }2/ ≠ℜ∈= xxfD , isto é, a função é definida para todo valor Real de x , com exceção de 2=x . 
Vamos estudar o comportamento da função ( )xf nas proximidades (ou vizinhanças) do ponto 
2=x , isto é, vejamos o que acontece com a função quando atribuímos à variável x valores cada 
vez mais próximos de 2. 
Neste caso, dizemos que vamos fazer x tender a 2. 
Temos duas possibilidades: 
 
1a: x tende a 2 por valores inferiores a 2: 
 
Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos: 
 
x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 … 
( )xf 3 3,5 3,75 3,9 3,99 3,999 … 
 
2a: x tende a 2 por valores superiores a 2: 
 
Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos: 
 
x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 … 
( )xf 5 4,5 4,25 4,1 4,01 4,001 … 
 
 
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Analisando os resultados obtidos nas duas tabelas, podemos verificar que: 
 
a) ( ) 01,499,301,299,1 <<⇒<< xfx 
 ( ) 01,0401,0401,0201,02 +<<−⇒+<<− xfx 
 ( ) 01,0401,001,0201,0 <−<−⇒<−<− xfx ou 
 
b) ( ) 001,4999,3001,2999,1 <<⇒<< xfx 
 ( ) 001,04001,04001,02001,02 +<<−⇒+<<− xfx 
 ( ) 001,04001,0001,02001,0 <−<−⇒<−<− xfx ou 
 
Notamos que, quando x tende a 2, ( )xf tende a 4, isto é, quanto mais próximo do valor 2 
tomarmos o valor de x , mais próximo de 4 vamos obter o valor de ( )xf . 
 
Observamos também que podemos ter ( )xf tão próximo de 4 quanto quisermos. Para isto, 
basta tomar x cada vez mais próximo de 2. 
 
Generalizando, se quisermos que ( )xf esteja próximo do valor 4 de uma distância menor que 
0>ε , basta tomar valores de x próximos a 2 de uma distância 0>δ . 
 
Por exemplo,se queremos que ( )xf esteja próximo de 4 de uma distância 001,0<ε , devemos 
tomar x próximo a 2 de uma distância 001,0<δ . 
 
ATENÇÃO: Observe que ( )xf não é definida para 2=x . Porém, podemos tomar valores para 
x tão próximos de 2 quanto quisermos, obtendo valores para ( )xf tão próximos de 4 quanto 
também o quisermos. Mas jamais estamos fazendo 2=x (e nem podemos fazê-lo). 
 
Vamos verificar o que está acontecendo graficamente com esta função nas proximidades (ou 
vizinhanças) do ponto 2=x . 
 
 
( ) 01,0401,02 <−⇒<− xfx 
( ) 001,04001,02 <−⇒<− xfx 
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1.2 – DEFINIÇÃO DE LIMITE NO PONTO: 
 
Dizemos que o limite de uma função ( )xf quando x tende a a ( ℜ∈a ) é igual a L, e 
escrevemos ( ) Lxf
ax
=
→
lim se, para um número infinitesimal 0>ε , existir em correspondência um 
número infinitesimal 0>δ , sendo ( )εδδ = , tais que: 
 
 
 
Observe que “construímos” esta definição no item anterior, quando conceituamos a definição 
de Limites de uma forma intuitiva. 
 
Exemplo: 
Usando a definição, mostre que ( ) 1747lim
3
=−
−
x
x
. 
SOLUÇÃO: 
 
Devemos mostrar que, para qualquer número infinitesimal 0>ε existe um número infinitesimal 
0>δ , sendo δ função de ε , tais que ( ) ε<−17xf sempre que δ<− 3x . 
 
 
y 
x 
0 
ε+4 
4 
ε−4 
δ−2 2 δ+2 
( ) 2,2
2
4
2
≠+=
−
−
= xsex
x
x
xf 
( ) { }
( ) { }4Im
2
−ℜ=
−ℜ=
f
fD
 
( ) δε <−≠<− axeaxquesempreLxf 
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Assim: ε<−− 1747x ε<− 217x 
 ( ) ε<− 3.7 x ε<− 3.7 x 
 ε<− 3.7 x 
7
3
ε
<−x 
Portanto, existe 
7
ε
δ = que satisfaz a definição de limite no ponto. 
Então podemos dizer que ( ) 1747lim
3
=−
→
x
x
. 
 
1.3 – PROPRIEDADES DE LIMITES : 
 
Uma vez que conceituamos e definimos o Limite de uma função num ponto, vamos enunciar 
as suas propriedades. 
É importante observar que essas propriedades se aplicam para limites gerais, isto é, limites 
que não tenham indeterminação. 
O estudo de limites indeterminados será feito mais adiante. 
Sejam, então, as funções ( )xf e ( )xg , e os números reais k, a, L e M. 
Vamos, ainda, admitir que ( ) Lxf
ax
=
→
lim e lim
ax→
( ) Mxg = . 
P1: Teorema da Unicidade e Existência: 
 
O Limite de uma função, quando existe, é único. 
Podemos ilustrar esta propriedade graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 a 
L 
( )xfy = 
y 
x 
0 a 
1
L 
2
L 
( )xfy = 
( ) Lxf
ax
=
→
lim 
( ) existenãoxf
ax
lim
→
 
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Observa-se que o Limite no ponto 2=x da função mostrada no gráfico da direita não existe, 
pois o comportamento da função é diferente para valores menores e maiores que 2. 
Estes Limites serão tratados nas próximas aulas. 
 
P2: 
 
 
Exemplos: 
 
01) ( ) 3362722 limlimlim
3
3
3
3
3
=+=+=+
→→→
xxxx
xxx
 
02) ( ) 60401008484 limlimlim
5
2
5
2
5
=−=−=−
→→→
xxxx
xxx
 
 
P3: 
 
 
Exemplo: 
 
322.16.. limlimlim
4
2
4
2
4
===
→→→
xxxx
xxx
 
 
P4: 
 
 
Exemplos: 
 
01) 55lim
1
=
→x
 
02) 100100lim
50
=
−→x
 
 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxf
axaxax
±=±=±
→→→
limlimlim 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxf
axaxax
... limlimlim ==
→→→
 
kk
ax
=
→
lim 
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P5: 
 
 
 
Exemplo: 
( ) 7
4
33
2
2
2
2
2
2
2 lim
lim
lim =+
=
+
→
→
→ x
x
x
x
x
x
x
 
 
P6: 
 
 
Exemplo: 
( ) ( ) 125511 3
3
2
2
32
2
limlim ==



+=+
→→
xx
xx
 
 
P7: 
 
 
Exemplo: 
88
3
2
3
2
limlim =−==
−→−→
xx
xx
 
 
P8: Teorema do Confronto: 
 
Sejam f , g e h funções tais que os seus Domínios sejam subconjuntos de ℜe seja ax = 
um ponto pertencente a esses subconjuntos. 
Se ( ) Lxf
ax
=
→
lim , ( ) Lxg
ax
=
→
lim e se ( ) ( ) ( )xgxhxf ≤≤ nas vizinhanças do ponto ax = , então 
podemos afirmar que ( ) Lxh
ax
=
→
lim . 
 
( )
( )
( )
( )
0,
lim
lim
lim ≠==
→
→
→
Mpara
M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
 
( )[ ] ( ) n
n
ax
n
ax
Lxfxf =



=
→→
limlim 
( ) ( ) Lxfxf
axax
==
→→
limlim 
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A demonstração deste Teorema pode ser feita usando-se a definição de Limites. Entretanto, 
podemos visualizá-lo graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 a 
L 
f 
h 
g 
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CÁLCULO 1 – AULA 02 - LIMITES 
 
 
2.1 – CONTINUIDADE NUM PONTO : 
 
 
O conceito de Continuidade, aplicado a funções reais a variáveis reais, é de extrema 
importância para o Cálculo. 
Devemos estar atentos para os pontos de descontinuidade de uma função, principalmente 
quanto ao comportamento da função nas vizinhanças desses pontos. 
Por exemplo, serão nesses pontos de descontinuidade que o gráfico dafunção pode possuir 
Assíntotas, que serão estudadas mais adiante. 
Definimos a Continuidade de uma função da seguinte maneira: 
⇒ Dizemos que uma função f definida pela equação ( )xfy = é contínua num ponto ax = do 
seu Domínio se forem verificadas, simultaneamente, as três condições abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Se pelo menos uma das condições acima não for satisfeita, dizemos que a função é 
descontínua no ponto ax = . 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Estudar a continuidade da função ( ) 22 −= xxf no ponto 2=x . 
SOLUÇÃO: 
 
⇒ ( ) ( ) 22222 2 =⇒−= ff (existe) 
⇒ ( ) ( ) 22222 2
2
2
2
2
22
limlimlimlim =−=−=−=
→→→→ xxxx
xxxf (existe) 
(1) existe ( )af , isto é, a função possui valor numérico em ax = ; 
(2) existe e é finito o ( )xf
ax
lim
→
; 
(3) ( ) ( )afxf
ax
=
→
lim 
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⇒ como ( ) ( )222
2
lim fx
x
=−
→
, então a função é contínua no ponto 2=x . 
Podemos confirmar esta continuidade, pelo esboço do gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Verificar se a função definida por ( )




=
≠
−
+−
=
2,3
2,
2
44
2
xse
xse
x
xx
xf é contínua no ponto 2=x . 
 
SOLUÇÃO: 
 
Para 2≠x , podemos fazer 
( )
2
1
2
2
44
22
−=
−
−
=
−
+−
x
x
x
x
xx
 
⇒ ( ) 32 =f (existe) 
⇒ ( ) ( ) 0222limlim
22
=−=−=
→→
xxf
xx
 (existe) 
⇒ Como ( ) ( )2lim
2
fxf
x
≠
→
, entendemos que a função é descontínua no ponto 2=x . 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
2− 
0 2 
2 
( ) 22 −= xxf 
( )
( ) [ )∞−=
ℜ=
,2Im f
fD
 
y 
x 
0 2 
2− 
3 
( )xf ( )
( ) *Im ℜ=
ℜ=
f
fD
 
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03) Verificar a descontinuidade da função ( )



>
≤−
=
3,2
3,2
xse
xsex
xf no ponto 3=x . 
SOLUÇÃO: 
 
⇒ ( ) 1233 =−=f (existe) 
⇒ Para ( ) ( ) 12323 limlim
33
=−=−=⇒<
→→
xxfx
xx
 
⇒ Para ( ) 223 limlim
33
==⇒>
→→ xx
xfx 
Podemos perceber que o comportamento da função para valores de x próximos de 3, mas 
menores que 3, é diferente do seu comportamento para valores próximos de 3, mas maiores que 
3, isto é, o Limite da função à esquerda de 3 é diferente do Limite à direita. 
Então, de acordo com o Teorema da Unicidade, podemos afirmar que a função dada não 
possui limite no ponto 3=x . 
 
Portanto, a função é descontínua nesse ponto. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os conceitos aqui estudados sobre continuidade e descontinuidade serão muito explorados 
nas próximas aulas. 
 
 
y 
x 
0 
2− 
2 3 
1 
2 
( )xf 
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2.2 – LIMITES LATERAIS: 
 
Para que possamos conceituar Limites Laterais, vamos considerar o seguinte exemplo: 
Estudar a continuidade da função ( )



≥+−
<+
=
2,62
2,2
xsex
xsex
xf no ponto 2=x . 
 
SOLUÇÃO: 
 
Aplicando as condições de Continuidade num ponto, temos: 
a) ( ) ( ) 226222 =⇒+−= fxf (existe); 
b) ( ) ????lim
2
=
→
xf
x
 
 ⇒ Para ( ) ( ) ( ) 422 limlim
22
=+=⇒+=
→→
xxfxxf
xx
 
⇒ Para ( ) ( ) ( ) 26262 limlim
22
=+−=⇒+−=
→→
xxfxxf
xx
 
De acordo com o Teorema da Unicidade, o limite de uma função num ponto, quando existe, 
deve ser único. 
Então, no nosso exemplo, entendemos que não existe o ( )xf
x
lim
2→
. 
Portanto, a função é descontínua em 2=x . 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A descontinuidade apresentada neste exemplo nos permite enxergar o conceito de Limites 
Laterais. 
 
y 
x 
4 
2 
2− 
0 2 
3 
( ) 2+= xxf 
( ) 62 +−= xxf 
( )
( ) ( )4,Im ∞−=
ℜ=
f
fD
 
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Pode-se observar que, quando x tende a 2 por valores inferiores a 2, ( )xf tende a 4. 
Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Esquerda de 2=x é igual a 4, e representamos 
por: ( ) 4lim
2
=
−→
xf
x
. 
Da mesma forma, quando x tende a 2 por valores superiores a 2, ( )xf tende a 2. 
Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Direita de 2=x é igual a 2, e representamos 
por : ( ) 2lim
2
=
+→
xf
x
. 
Concluímos ainda que, para que uma função ( )xf tenha limite num ponto ax = , é necessário 
que ela tenha Limites Laterais neste ponto e que eles sejam iguais. 
Se ( ) ( )xfxf
axax
limlim
+− →→
≠ , então não existe ( )xf
x
lim
→
. 
 
OBSERVAÇÃO: 
Para se estudar os Limites Laterais de uma função ( )xf num ponto ax = , podemos 
considerar dois pontos, um à esquerda e outro à direita de ax = , situados a uma distância 0>h 
deste ponto. 
 
 
 
Pode-se estudar os Limites Laterais da função no ponto ax = , fazendo-se: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
01) Calcular os Limites Laterais da função ( )
3
9
2
−
−
=
x
x
xf no ponto 3=x e verificar se o limite 
da função existe neste ponto. 
SOLUÇÃO: 
 
a) Limite Lateral à Esquerda: 
 
ha − a ha + 
x 
( ) ( )
( ) ( )hafxf
hafxf
hax
hax
+=
−=
→→
→→
+
−
limlim
limlim
0
0
 
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( ) ( ) ( ) 666969
33
93
3
9
limlimlimlimlim
00
2
0
2
0
2
3
=−=
−
−−
=
−
−+−
=
−−
−−
=
−
−
→→→→→ −
h
h
hh
h
hh
h
h
x
x
hhhhx
 
 
b) Limite Lateral à Direita: 
 
( ) ( ) ( ) 666969
33
93
3
9
limlimlimlimlim
00
2
0
2
0
2
3
=+=
+
=
−++
=
−+
−+
=
−
−
→→→→→ +
h
h
hh
h
hh
h
h
x
x
hhhhx
 
Como os Limites Laterais existem e são iguais, podemos afirmar que 6
3
9
2
3
lim =−
−
→ x
x
x
. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Repetir o exercício anterior para a função ( )
x
x
xf
−
−
=
2
2
 no ponto 2=x . 
SOLUÇÃO: 
 
a) Limite Lateral à Esquerda: 
( )
( )
1
22
22
22
22
2
2
limlimlimlimlim
00002
===
+−
+−
=
−−
−−
=
−
−
→→→→→ − h
h
h
h
h
h
h
h
x
x
hhhhx
 
 
b) Limite Lateral à Direita: 
( )
( )
1
22
22
22
22
2
2
limlimlimlimlim
00002
−=
−
=
−
−
=
−−
−−
=
+−
+−
=
−
−
→→→→→ + h
h
h
h
h
h
h
h
x
x
hhhhx
 
 
Como 
x
x
x
x
xx −
−
≠
−
−
+− →→ 2
2
2
2
limlim
22
 , então não existe o 
x
x
x −
−
→ 2
2
lim
2
. 
 
y 
x 
6 
3 
3− 
0 3 
( )
3
9
2
−
−
=
x
x
xf 
( ) { }
( ) { }6Im
3
−ℜ=
−ℜ=
f
fD
 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
1 
1− 
0 
( )
x
x
xf
−
−
=
2
2
 
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CÁLCULO 1 – AULA 03 - LIMITES 
 
 
3.1 – LIMITES ENVOLVENDO INFINITO: 
 
Vamos procurar entender o conceito de Limites Envolvendo Infinito de uma forma intuitiva, 
como fizemos com o Limite de uma função num ponto. 
Por exemplo, vamos estudar o comportamento da função ( )
2
1
x
xf = nas proximidades (ou 
vizinhanças) do ponto 0=x , isto é, vamos atribuir valores para x cada vez mais próximos de zero 
e verificar o que acontece com a função. 
 
Temos duas possibilidades: 
 
1a - x tende a zero pela direita: 
 
x 1 0,5 0,25 0,1 0,01 0,01 ••• 
f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 ••• 
 
2a - x tende a zero pela esquerda: 
 
x -1 - 0,5 - 0,25 - 0,1 - 0,01 - 0,001 ••• 
f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 ••• 
 
Os resultados obtidos nas tabelas acima indicam que, à medida em que a variável x tende a 
zero, a função assume valores cada vez maiores. 
Como podemos tomar a variável x tão próxima de zero quanto quisermos, a função tende a 
crescer indefinidamente. 
Neste caso, expressamos este comportamento da função dizendo que o limite de ( )
2
1
x
xf = , 
quando x tende a zero, é infinito , e escrevemos: 
 
 
( ) ∞==
→→
2
00
1
limlim
x
xf
xx
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos tomar agora a funçãodefinida por ( )
2
2
−
=
x
xf , cujo gráfico é apresentado na figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando atentamente o gráfico acima, podemos verificar que: 
• quando x tende a 2 pela direita, ( )xf aumenta indefinidamente; 
• quando x tende a 2 pela esquerda, ( )xf diminui indefinidamente. 
 
Expressamos estes fatos escrevendo: 
∞=
−+→ 2
2
lim
2 xx
 e −∞=
−−→ 2
2
lim
2 xx
 
 
x 
y 
0 
( )
2
1
x
xf = 
x 
y 
0 
1− 
2 
( )
2
2
−
=
x
xf 
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Em geral, podemos dizer que existem quatro possibilidades para limites laterais num ponto 
( )ℜ∈= aax que envolvem o infinito. 
 
Para nossa melhor compreensão, vamos visualiza-las graficamente: 
 
1a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a) 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
0 a 
( )xf 
( ) ∞=
+→
xf
ax
lim 
y 
x 
0 a 
( )xf 
( ) ∞=
−
→
xf
ax
lim 
y 
x 
0 a 
( )xf 
( ) −∞=
+
→
xf
ax
lim 
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4a) 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 – LIMITES NO INFINITO: 
 
Tal como foi feito no item anterior, vamos conceituar Limites no Infinito a partir de um exemplo, 
isto é, vamos atingir este conceito de uma forma intuitiva. 
Para isto, vamos tomar a função definida por ( )
x
xf
1
= e estudar o seu comportamento quando 
a variável x cresce ou decresce indefinidamente. 
 
1o Caso: x cresce indefinidamente: 
 
x 1 5 10 100 1.000 10.000 ••• 
f(x) 1 0,2 0,1 0,01 0,001 0,0001 ••• 
 
2o Caso: x decresce indefinidamente: 
 
x - 1 - 5 - 10 - 100 - 1.000 - 10.000 ••• 
f(x) - 1 - 0,2 - 0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 ••• 
 
Em ambos os casos, observamos que ( )xf tende a zero. 
Então escrevemos: 
 
 e 
 
y 
x 
0 a 
( )xf 
( ) −∞=
−
→
xf
ax
lim 
( ) 0
1
limlim ==
∞→∞→ x
xf
xx
 ( ) 0
1
limlim ==
−∞→−∞→ x
xf
xx
 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos tomar, agora, como exemplo, a função definida por ( ) xxf
1
2= cujo Domínio é 
( ) ∗ℜ=fD e estudar o seu comportamento nas vizinhanças do ponto 0=x (usando Limites 
Laterais) e no infinito. 
 
a) Limite Lateral à Direita de zero: 
 
Se ∞→→∞→⇒→ ∞+ 22
1
0
1
xe
x
x , portanto ∞=
+
→
x
x
1
0
2lim 
 
b) Limite Lateral à Esquerda de zero: 
 
Se 0
1
2
1
22
1
0
1
→
∞
→→→−∞→⇒→
∞
∞−− xe
x
x , portanto 02
1
0
lim =
−
→
x
x
 
 
c) Limite no Infinito: 
 
Se 1220
1 0
1
→→→⇒∞→ xe
x
x 
Se 1220
1 0
1
→→→⇒−∞→ xe
x
x 
 
y 
x 
0 
( )
x
xf
1
= 
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Portanto: 12
1
lim =
∞→
x
x
 e 12
1
lim =
−∞→
x
x
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
1 
0 
x 
( ) xxf
1
2= 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 03 
 
01. Dada a função 
2x
4x
)x(f
2
−
−
= , estudar os seus limites laterais no ponto x = 2 e esboçar o seu 
gráfico. Resp: ( ) ( ) 4lim4lim
22
−==
−+ →→
xfexf
xx
 
02. Verifique se existe 
x
x 10
4
3
2
1
lim





+
→
 e faça um esboço do gráfico da função. 
 Resp: O limite não existe 
03. Achar os limites laterais da função 2
1
2)( −= xxf no ponto x = 2 e esboçar o seu gráfico. 
 Resp: ( ) ( ) 0limlim
22
=∞=
−+ →→
xfexf
xx
 
04. Sendo 
2
23
)(
2
−
+−
=
x
xx
xf , pede-se: 
a) achar os limites laterais de f(x) no ponto x = 2; Resp: ( ) ( ) 1lim1lim
22
−==
−+ →→
xfexf
xx
 
b) esboçar o gráfico de f(x). 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 04 - LIMITES 
 
 
ASSÍNTOTAS: 
 
4.1 – Definição: 
 
Dizemos que uma reta r é Assíntota da curva de uma função ( )xf se a distância de um ponto 
variável ( )yxP , da curva até essa reta tende a zero, à medida em que o ponto tende ao infinito. 
A Assíntota pode ser uma reta vertical, horizontal ou oblíqua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que, quando a curva da função possui uma Assíntota, a curva tende a 
essa reta. 
A determinação das Assíntotas de uma curva (quando existem), é feita com a aplicação de 
limites. 
Vejamos como isto é feito. 
 
4.2 – Assíntota Vertical: 
 
Dizemos que a reta ax = é Assíntota Vertical da função ( )xf se pelo menos uma das 
condições abaixo for verificada: 
 
1a) 
 
y 
x 
( )xf 
0 
r 
( )yxP , 
( ) ∞=
+→
xf
ax
lim 
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2a) 
 
 
3a) 
 
 
 
4a) 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
O ponto ax = deve ser um ponto de descontinuidade da função. 
 
EXEMPLO: 
 
Seja a função definida por ( ) tgxxf = para 
22
ππ
<<− x 
 
Temos: ∞=
−
→
tgx
x
lim
2
π
 e −∞=
+
−→
tgx
x
lim
2
π
 
Portanto, as retas 
2
π
−=x e 
2
π
=x são Assíntotas Verticais da função ( ) tgxxf = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ∞=
−→
xf
ax
lim 
( ) −∞=
+→
xf
ax
lim 
( ) −∞=
−→
xf
ax
lim 
y 
x 
0 
2
π
− 
2
π
 
( ) tgxxf = 
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4.3 – Assíntota Horizontal: 
 
Dizemos que a reta by = , com ℜ∈b , é uma Assíntota Horizontal da função ( )xf se pelo 
menos uma das condições abaixo for satisfeita: 
 
1a) 
 
 
2a) 
 
 
EXEMPLO: 
 
Seja a função definida por ( ) arctgxxf = . 
Temos: 
2
lim
π
=
∞→
arctgx
x
 e 
2
lim
π
−=
−∞→
arctgx
x
. 
Portanto, as retas 
2
π
−=y e 
2
π
=y são Assíntotas Horizontais da função ( ) arctgxxf = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 – Assíntota Oblíqua: 
 
Caso uma função ( )xf tenha uma Assíntota Oblíqua, essa Assíntota será uma reta cuja 
equação tem a forma reduzida baxy += , com ∗ℜ∈a e ℜ∈b , onde: 
( ) bxf
x
=
∞→
lim 
( ) bxf
x
=
−∞→
lim 
y 
x 
0 
2
π
 
2
π
− 
( ) arctgxxf = 
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OBSERVAÇÃO: 
 
Caso 
( )
x
xf
x
lim
∞→
 seja nulo ou infinito, então não existem Assíntotas Oblíquas. 
 
EXEMPLO: 
 
Determinar a equação da Assíntota Oblíqua da curva da função definida por ( )
x
xx
xf
12
2 −+
= . 
 
( )
1
12
1
12
22
2
limlimlim =




 −+=
−+
==
∞→∞→∞→ xxx
xx
x
xf
a
xxx
 
 
( )[ ] 2121212 limlimlimlim
222
=




 −=
−−+
=





−
−+
=−=
∞→∞→∞→∞→ xx
xxx
x
x
xx
axxfb
xxxx
 
 
Portanto, a reta 2+= xy é uma Assíntota Oblíqua do gráfico da função dada. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
x
xf
a
x
lim
∞→
= 
( )[ ]axxfb
x
−=
∞→
lim 
y 
x 
0 2− 
2 
21−− 
21+− 
2+= xy 
( )
x
xx
xf
12
2 −+
= 
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OBSERVAÇÃO: 
 
Pode-se comprovar também que a reta 0=x (eixo y ) é uma Assíntota Vertical do gráfico 
desta função, isto é, ∞=
−+
−→ x
xx
x
12
2
0
lim e −∞=
−+
+→ x
xx
x
12
2
0
lim (VERIFIQUE). 
 
APLICAÇÃO IMPORTANTE DE ASSÍNTOTAS: 
 
O exemplo resolvido a seguir ilustra uma particularidade de certas funções que possuem 
Assíntotas. 
Consideremos, então, o problema de se determinar todas as Assíntotas do gráfico da função 
definida por ( )
4
2
2
2
−
++
=
x
xx
xf , cujo Domínio é ( ) { }2,2−−ℜ=fD , isto é, esta função é descontínua 
nos pontos 2−=x e 2=x . 
 
a) Assíntotas Verticais: 
Temos: ∞=
−
++
−−→ 4
2
2
2
2
lim
x
xx
x
 ; −∞=
−
++
+−→ 4
2
2
2
2
lim
x
xx
x
 
 −∞=
−
++
−→ 4
2
2
2
2
lim
x
xxx
 ; ∞=
−
++
+→ 4
2
2
2
2
lim
x
xx
x
 
 
Portanto, as retas 2−=x e 2=x são Assíntotas Verticais desta função. 
 
b) Assíntota Horizontal: 
Temos 1
4
2
2
2
lim =−
++
∞→ x
xx
x
 e 1
4
2
2
2
lim =−
++
−∞→ x
xx
x
 
 
Portanto, 1=y é Assíntota Horizontal desta função. 
 
c) Assíntota Oblíqua: 
A função dada não possui Assíntota Oblíqua, pois 
( )
0lim ==
∞→ x
xf
a
x
. 
De acordo com os resultados obtidos acima, o gráfico desta função,aparentemente, é: 
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Entretanto, existe algo errado com o esboço deste gráfico. 
O gráfico desenhado acima mostra que as curvas têm simetria com relação ao eixo y . 
Esta é uma característica das funções pares e a função estudada não é par. 
 
Portanto, o gráfico acima está errado. O gráfico correto é mostrado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 
1 
2− 2 21− 
y 
x 
0 
1 
2− 2 21− 6− 
( )
4
2
2
2
−
++
=
x
xx
xf 
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O que ocorreu com esta função é um caso particular em que a curva intercepta a Assíntota. 
Isto pode ocorrer também com relação à Assíntota Oblíqua. Isto é, se a curva possui uma 
Assíntota Oblíqua, ela pode interceptar essa Assíntota. 
Para verificar se o gráfico de uma determinada função intercepta as Assíntotas Horizontal ou 
Oblíqua (quando existirem), basta igualar a equação da curva com a equação da Assíntota. 
Se a equação resultante possuir solução Real, é porque existe essa interseção e ela ocorre 
exatamente sobre a(s) raiz(es). 
No exemplo anterior isto ocorreu no ponto 6−=x pois, para 1=y , temos: 
642421
4
2 22
2
2
−=⇒−=+⇒−=++⇒=
−
++
xxxxx
x
xx
 
 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 04 
 
 
01. Determine todas as Assíntotas das funções definidas abaixo e, se possível, faça o gráfico. 
 
5
62
)()
−
−
=
x
x
xfa Resp: 25 == yex 
( )
xx
x
xfb
−
+
=
2
2 1
) Resp: 11,0 === yexx 
62
2
)()
2
−
−+
=
x
xx
xfc Resp: 2
2
3 +==
x
yex 
( )
3
84
)
−
−
=
x
x
xfd Resp: 34 == xey 
x
x
xfe
1
)()
2 −
= Resp: xyex == 0 
( )
1
32
)
2
23
+
+
=
x
xx
xff Resp: 32 += xy 
 
02. Sabe-se que o gráfico da função ( ) 3 326 xxxf −= possui uma assíntota oblíqua. Determine a 
equação dessa assíntota e prove que a curva de ( )xf intercepta a mesma. 
 Resp: 2+−= xy 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 05 - LIMITES 
 
 
5.1 – SÍMBOLOS DE INDETERMINAÇÃO: 
 
Na resolução de Limites, são freqüentes os casos em que aparecem operações que não têm 
significado algébrico, isto é, operações que não podem ser realizadas algebricamente. 
Essas operações recebem o nome de Símbolos de Indeterminação. 
São elas: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) 
0
0
3
92
3
lim =−
−
→ x
x
x
 (indeterminado) 
2) ∞=
→
.0
1
.sen
2
0
lim
x
x
x
 (indeterminado) 
3) 
∞
∞
=
+∞→ 1
5
3
2
lim
x
x
x
 (indeterminado) 
4) ( ) ∞−∞=−
∞→
322lim xx
x
 (indeterminado) 
5) 0log
1
0
0lim =
+→
x
x
x (indeterminado) 
6) 0log
1
lim ∞=
∞→
x
x
x (indeterminado) 
7) ∞
→
= 1log
1
1
lim
x
x
x (indeterminado) 
 
Para se resolver um Limite que tenha uma destas indeterminações, é necessário eliminar a 
indeterminação. 
Isto pode ser feito, dependendo do Limite, com o uso da Fatoração, da aplicação de 
Conjugados ou aplicando-se Limites Fundamentais. 
 
∞∞−∞∞∞
∞
∞
1;;.0;0;;
0
0 00
e 
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EXEMPLOS: 
 
1) 
0
0
1
133
lim
1
=
−
+−+
→ x
xx
x
 (indeterminado) 
Multiplicando e dividindo por ( )133 +++ xx , que é o conjugado do numerador, temos: 
( )( )1331
133
133
133
.
1
133
1
133
limlimlim
111 +++−
−−+
=
+++
+++
−
+−+
=
−
+−+
→→→ xxx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xxx
 
( )
( )( ) ( ) 2
1
133
2
1331
12
1
133
limlimlim
111
−=
+++
−
=
+++−
−−
=
−
+−+
→→→ xxxxx
x
x
xx
xxx
 
 
2) ( ) ∞−∞=+−−
∞→
11lim xx
x
 (indeterminado) 
 
Multiplicando e dividindo pelo conjugado ( )11 ++− xx , obtemos: 
( ) ( )( ) ( ) ( ) 011
2
11
11
11
11
.11 limlimlim =++−
−
=
++−
−−−
=
++−
++−
+−−
∞→∞→∞→ xxxx
xx
xx
xx
xx
xxx
 
 
3) 
( )
0
01
33
2
lim =−
++−
→ ax
axax
ax
 ( )0≠a (indeterminado) 
 
Fatorando o numerador e o denominador, encontramos: 
( ) ( )( )
( )( ) 2222233
2
3
1111
limlimlim
a
a
aaxx
x
aaxxax
xax
ax
axax
axaxax
−
=
++
−
=
++−
−−
=
−
++−
→→→
 
 
 
5.2 – LIMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO: 
 
O limite da razão 
x
xsen
, quando x tende a zero, é igual à unidade, isto é: 
 
 
 
 
 
 
1
sen
lim
0
=
→ x
x
x
 
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DEMONSTRAÇÃO: 
 
 
Temos dois casos a considerar: 
 
1o Caso: x pertence ao 1o Quadrante 




 <<
2
0
π
x . 
 
 
Vamos considerar a circunferência trigonométrica, cuja equação é 122 =+ yx . 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da figura , observamos que: 
 
tgxxxBDBCAC <<⇒<< sen 
 
Tomando os inversos: 
 
x
x
xxtgxxx sen
cos1
sen
111
sen
1
>>⇒<< 
 
Multiplicando por xsen ( 0sen >x no 1o Quadrante): 
 
x
x
x
cos
sen
1 >> ou 1
sen
cos <<
x
x
x (A) 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
O A B 
C 
D 
122 =+ yx 
tgxBD
xBC
xAC
=
=
= sen
 
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2o Caso: x pertence ao 4o Quadrante 




 <<− 0
2
x
π
. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da figura, podemos notar que: 
 
xxtgxACBCBD sen<<⇒<< 
 
Tomando os inversos: 
 
xxx
x
xxtgx sen
11
sen
cos
sen
111
>>⇒>> 
 
Multiplicando por xsen ( 0sen <x no 4o Quadrante): 
1
sen
cos <<
x
x
x (B) 
 
Percebemos que, tanto no primeiro quanto no segundo caso, as desigualdades são as 
mesmas, isto é A = B. 
 
Tomando, agora, o limite para x tendendo a zero, teremos: 
 
1coslim
0
=
→
x
x
 e 11lim
0
=
→x
 
Portanto, pelo Teorema do Confronto, podemos afirmar que 1
sen
lim
0
=
→ x
x
x
. 
 
EXEMPLOS: 
 
1) 
0
0
sen
lim
0
=
→ x
x
x
 (indeterminado) 
y 
x 
O A B 
C 
D 
122 =+ yx 
tgxBD
xBC
xAC
=
=
= sen
 
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Podemos escrever: 
1
1
1
sen
1
sen
1
sen
lim
limlim
0
00
====
→
→→
x
x
x
xx
x
x
xx
 
 
2) 
0
0arcsen
lim
0
=
→ x
x
x
 (indeterminado) 
 
Chamando: txxt senarcsen =⇒= 
Se 00 →⇒→ tx 
Então: 
1
sen
arcsen
limlim
00
==
→→ t
t
x
x
tx
 
 
Observação: 
 
Os limites resolvidos acima também podem ser considerados como fundamentais. 
 
3) 
0
0
2
cos
lim
2
=
−→ x
x
x
π
 (indeterminado) 
 
Se 
2
2
ππ
→⇒→
x
z 
Da Trigonometria, sabemos que 




 −= xx
2
sencos
π
. 
Portanto, podemos escrever: 
2
2
2
sen
2
1
2
1
sen
2
2
sen
2
cos
limlimlimlim
2222 −





 −
=
−





 −
=
−





 −
=
− →→→→ x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
ππ
πππ
 
Multiplicando o numerador e o denominador por 
x2
π
, teremos: 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
( ) 




 −





 −
=
−





 −
=
− →→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
2
2
.
2
2
.sen
.
2
2.
2
2
2
sen.
2
2
cos
limlimlimlim
2222 π
π
π
π
π
ππ
 
Fazendo t
x
x
=




 −
2
2
.π , podemos observar que, se 2→x , então 0→t . 
Assim, podemosescrever: 
4
1.
4
sen
.
22
cos
limlimlim
022
πππ
π
===
− →→→ t
t
xx
x
txx
 
4) 
0
0
2
3
lim
0
=





→ x
tg
x
x
 (indeterminado) 












=












=












=






→
→
→→→
2
sen
2
cos.3
2
sen
2
cos.3
3
cos
2
sen
3
2
3
lim
lim
limlimlim
0
0
000 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
xxx
 
Dividindo o numerador e o denominador por x3 , temos: 
6
1.
6
1
1
2
2
sen
..
6
1
2
cos
6
3
2
sen.
6
1
2
cos
3
2
sen
2
cos
2
3
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
0
0
0
0
0
0
0
==












=












=












=






→
→
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
FÍSICA – LICENCIATURA - EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá - MG 
 
CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 05 
 
 
01) Mostre que: 
 
3
4
2
321lim
4
)
16
1
9
1213lim
3
)
2
=
−
−+
→−=−
+−+
→ x
x
x
b
x
xx
x
a 
10
529
4lim
4
)1
11
434lim
0
) =
−+
+
−→−=−+
+−+
→ x
x
x
d
x
xx
x
c 
( ) ( )
2
3
173 
lim
)132
lim
) 222 −=+−+−→=−++→ ∞∞ xxxxfxxxxe 
( )
2
lim
) 22
ca
dcxxbaxxxg
−
=++−++→∞ 
4
5
4
6
lim)
2
2
2
=
−
−+
→ x
xx
h
x
 
5
12
2
529
lim)
38
=
−
−+
→ x
x
i
x
 
 
02) Determine valores positivos para a e b de modo que 
8
1
1
lim
2
2
4
=
−
−
→
x
b
ax
bx
. Resp: 
2
1
16
1
== bea 
 
03) Mostre que: 
a) 0
xsenx
xsen-x
 
lim
0
=
+→x
 b) 
2
1
/2)-(x
xsen-1
 
lim
2/ 2
=→ ππx
 
c) 0
1
sen
1
lim
0
=





−
→ tgxxx
 d) 
21
sen
lim
21
ππ
=
−→ x
x
x
 
 
04) Sendo 
2
x0com...xcosxcosxcosS 32
π
<<+++= , determinar o Sxlim
0x
.2→ . Resp: 2 
 
05) Resolver o limite 
3
0
sen11
lim
x
xtgx
x
+−+
→
 Resp: 
4
1
 
 
06) Calcule 
x
x
x 5sen
105arcsen
lim
0→
 Resp: 21 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 06 - LIMITES 
 
 
6.1 – LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL: 
 
O limite da seqüência 
x
x





 +
1
1 , quando ∞→x , é igual ao número irracional e, chamado de 
Número Neperiano e aproximadamente igual a 2,718. 
 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
Queremos provar que e
x
x
x
=




 +
∞→
1
1lim . 
Para isto, vamos inicialmente desenvolver a expressão ( )nba + aplicando o conceito de 
Binômio de Newton. 
( ) 011133322211100 ... ababababababba nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CCCCCC +++++=+
−−−−− 
Temos: 
( ) !0
1
!!0
!
!0!0
!0
==
−
=
n
n
n
n
C n 
( )
( )
( ) !1!1!1
!1
!1!1
!1 n
n
nn
n
n
C n =−
−
=
−
= 
( )
( )( )
( )
( )
!2!2
1
!2!2
!21
!2!2
! 22 nnnn
n
nnn
n
n
Cn
−
=
−
=
−
−−
=
−
= 
( )
( )( )( )
( )
( )( )
!3
23
!3
21
!3!3
!321
!3!3
! 233 nnnnnn
n
nnnn
n
n
C n
+−
=
−−
=
−
−−−
=
−
= 
 
•
•
•
 
Fazendo 1=a , 
x
b
1
= e xn = , teremos: 
•••+




+−+




−+




+




=




 + −−− 3
323
2
22
1
10
1.
1
.
!3
23
1.
1
.
!2
1.
1
.
!1
1.
1
.
!0
11
1 xxxx
x
x
xxx
x
xx
x
x
xx
 
•••+




 +−+




 −++=




 +
2
23
1
!3
11
1
!2
1
!1
1
!0
11
1
xxxx
x
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Tomando o limite para ∞→x , resulta: 
•••++++++=




 +
∞→ !5
1
!4
1
!3
1
!2
1
!1
1
!0
11
1lim
x
x x
 
Pode-se observar que o resultado do limite é uma soma de infinitos termos, que decrescem 
cada vez mais rapidamente. 
Esta soma particular recebe o nome de Número Neperiano e é indicada pela letra e. 
Assim: 
 
 
 
APLICAÇÕES: 
 
1) Prove que ( ) ex x
x
=+
→
1
0
1lim 
 
Fazendo 
x
t
t
x
11
=⇒= 
Se ∞→⇒→ tx 0 
Então: ( ) e
t
x
t
t
x
x
=




 +=+
∞→→
1
11 limlim
1
0
 
 
2) Prove que ( )ℜ∈=




 +
∞→
ke
x
k k
x
x
1lim 
Fazendo 
t
k
xt
x
k
=⇒= 
Se 0→⇒∞→ tx 
Então: ( ) ( ) k
k
t
t
t
k
t
x
x
ett
x
k
=



+=+=




 +
→→∞→
1
00
111 limlimlim 
 
3) Prove que ( )ℜ∈=




 +
+
∞→
ke
x
kx
x
1
1lim 
 
e
x
x
x
=




 +
∞→
1
1lim 
PROIBIDO VENDER
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eee
xxx
k
k
x
x
x
kx
x
===




 +




 +=




 +
∞→∞→
+
∞→
1.1.
1
1.
1
1
1
1 limlimlim 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Os limites resolvidos acima podem ser considerados também como fundamentais. 
 
4) Calcular ( )101lim
0
≠>
−
→
aea
x
a
x
x
 
Podemos verificar que o limite acima possui indeterminação da forma 
0
0
. 
Vamos, então, fazer a substituição: tata xx +=⇒=− 11 
Tomando logaritmos na base a em ambos os termos dessa igualdade, teremos: 
( ) ( )
logloglog
11 t
a
t
a
a
a
x
x ++
=⇒= 
Se 00 →⇒→ tx 
Tomando os limites: 
( )
log
limlim 1
00
1
t
a
t
x
x
t
x
a
+
→→
=
−
 
Dividindo o numerador e o denominador por t, resulta: 
( ) ( ) ( ) logloglimloglim
lim
log
limlim
11
.
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
00
e
a
t
a
t
t
a
t
t
t
a
t
x
x t
t
t
t
t
x
a
====
−
+
→
+
→
→
+
→→
 
Mas: log
log
log
log
1 a
ee
a
a
a
e
a
== (Propriedade de Mudança de Bases) 
O logaritmo de base e é chamado de Logaritmo Natural ou Logaritmo Neperiano e é indicado 
pela notação: a
a
e
lnlog = . 
Portanto: 
 
 
a
x
a x
x
ln
1
lim
0
=
−
→
 
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OBSERVAÇÃO: 
 
O limite acima deve ser considerado como fundamental a partir dessa demonstração. 
 
5) Calcule 
x
x x
x






+
−
∞→ 1
1
lim 
Podemos observar que este limite possui a indeterminação da forma 
∞
∞
. 
Como ele é um limite que envolve Função Exponencial, vamos tentar escreve-lo na forma do 
Limite Exponencial Fundamental. 
Podemos fazer: 
x
x
x
x
x
x
x
x xxx
x
x
x
x
x






+
−=





+
−
+
+
=





+
−+−
=





+
−
∞→∞→∞→∞→ 1
2
1
1
2
1
1
1
111
1
1
limlimlimlim 
Tomando: 1
2
1
2
−−=⇒=
+
−
t
xt
x
 
Se 0→⇒∞→ tx 
Com estas substituições, teremos: 
( ) ( ) ( ) 221
0
2
1
0
1
2
0
1.1.11
1
1
limlimlimlim
−−−
→
−
→
−−
→∞→
==+



+=+=





+
−
eettt
x
x
t
t
t
t
t
x
x
 
 
 
6.2 – LIMITE FUNDAMENTAL POLINOMIAL: 
 
 
Vamos considerar a função polinomial: 
( ) mmmm AxAxAxAxP ++++= −− ...22110 
onde ℜ∈mAAAA ,...,,, 210 e Ν∈m . 
Podemos considerar dois casos: 
 
1o Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax 
 
Neste caso: 
 
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( ) )...( 22110limlim m
mmm
axax
AxAxAxAxP ++++= −−
→→
 
( ) ( )aPAaAaAaAxP mmmm
ax
=++++= −−
→
...22
1
10lim 
Assim: 
 
 
Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ( )ℜ∈→ aax , é igual 
ao valor numérico desse polinômio para ax = . 
 
EXEMPLO: 
 
( ) 1028422.4224 22
2
lim =−+=−+=−+
→
xx
x
 
 
2o Caso: A variável ±∞→x 
 
Neste caso: 
( ) )...( 22110limlim m
mmm
xx
AxAxAxAxP ++++= −−
±∞→±∞→
 
A probabilidade desse limite possuir uma indeterminação da forma ∞−∞ é muito grande. 
Vamos, então, usar o artifício de colocar em evidência o termo de maior grau do polinômio. 
( ) 





++++=
±∞→±∞→
m
mm
xx xA
A
xA
A
xA
A
xAxP
0
2
0
2
0
1
0 ...1limlim 
Porém, quando ±∞→x , podemos verificar que: 
0;...;0;0
0
2
0
2
0
1 →→→
m
m
xA
A
xA
A
xA
A
 
Portanto, podemos concluir que: 
 
 
Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ±∞→x , é igual ao 
limite quando ±∞→x do seu termo de maior grau. 
 
( ) ( )aPxP
ax
=
→
lim 
( ) m
xx
xAxP0limlim
±∞→±∞→
= 
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EXEMPLOS: 
 
1) ( ) ∞==−+−
∞→∞→
323 2432 limlim xxxx
xx
 
2) ( ) ( ) −∞=−=−−
∞→∞→
442 3324 limlim xxx
xx
 
3) ( ) −∞==+−
−∞→−∞→
545 2532 limlim xxxx
xx
 
4) ( ) ( ) ∞=−=−−
−∞→−∞→
55 3324 limlim xxx
xx
 
 
 
6.3 – LIMITE FUNDAMENTAL RACIONAL: 
 
 
Vamos considerar a função racional: 
( )
( )
n
nnn
m
mmm
BxBxBxB
AxAxAxA
xQ
xP
...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
+++
++++
=
−−
−−
 
onde: Ν∈Ν∈ℜ∈ℜ∈ nemBBBBAAAA nm ;,...,,,;,...,,, 210210 
Podemos considerar dois casos: 
 
1o Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax 
 
( )
( )
n
nnn
m
mmm
axax BxBxBxB
AxAxAxA
xQ
xP
...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
limlim +++
++++
=
−−
−−
→→
 
Neste caso: 
( )
( )
( )
( )aQ
aP
BaBaBaB
AaAaAaA
xQ
xP
n
nnn
m
mmm
ax
=
+++
++++
=
−−
−−
→ ...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
lim 
 
Ou seja: 
 
 
 
( )
( )
( )
( )aQ
aP
xQ
xP
ax
=
→
lim 
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Podemos fazer três observações a respeito deste resultado: 
1a) Se ( ) 0=aP e ( ) 0≠aQ , então ( )
( )
0lim =
→ xQ
xP
ax
; 
2a) Se ( ) 0=aP e ( ) 0=aQ , então ( )
( ) 0
0
lim =
→ xQ
xP
ax
 (indeterminado) 
Neste caso, o limite é resolvido com o uso da fatoração, pois tanto ( )xP quanto ( )xQ são 
divisíveis por ( )ax − . 
3a) Se ( ) 0≠aP e ( ) 0=aQ , teremos ( )
( )
( )
0lim
aP
xQ
xP
ax
=
→
. 
Neste caso, devemos aplicar Limites Laterais para verificar a existência ou não do limite. 
 
2o Caso: A variável ±∞→x 
 
( )
( )
n
nnn
m
mmm
xx BxBxBxB
AxAxAxA
xQ
xP
...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
limlim +++
++++
=
−−
−−
±∞→±∞→
 
 
Neste caso, é muito grande a possibilidade de se obter indeterminações das formas 
∞−∞
∞
∞
ou . 
Repetindo o procedimento adotado para limites de funções polinomiais, vamos colocar em 
evidência os termos de maior grau do numerador e do denominador. 
Assim: 
( )
( )






++++






++++
=
±∞→±∞→
n
nn
m
mm
xx
xB
B
xB
B
xB
B
xB
xA
A
xA
A
xA
A
xA
xQ
xP
0
2
0
2
0
1
0
0
2
0
2
0
1
0
...1
...1
limlim 
Para ±∞→x , teremos: 
0;...;0;0;0;...;0;0
0
2
0
2
0
1
0
2
0
2
0
1 →→→→→→
n
n
m
m
xB
B
xB
B
xB
B
xA
A
xA
A
xA
A
 
Portanto: 
 
 
( )
( ) n
m
xx xB
xA
xQ
xP
0
0
limlim
±∞→±∞→
= 
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Isto é, o limite de uma função racional no infinito é igual ao limite no infinito do quociente dos 
termos de maior grau do numerador e do denominador dessa função. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Podemos tirar três conclusões a respeito deste resultado: 
1a) Se nm = , então 
( )
( ) 0
0
lim B
A
xQ
xP
x
=
±∞→
; 
2a) Se nm > , então 
( )
( )
±∞=
±∞→ xQ
xP
x
lim ; 
3a) Se nm < , então 
( )
( )
0lim =
±∞→ xQ
xP
x
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) 
9
7
144
568
12.22
52.32.2
12
532
2
2
2
2
2
lim =++
+−
=
++
+−
=
++
+−
→ xx
xx
x
 
 
2) 0
5
0
32
12
1
lim ==+
−
→ x
x
x
 
 
3) 
0
0
1
13
1
lim =−
−
→ x
x
x
 (indeterminado) 
Usando a fatoração: 
( )( ) ( ) 31111
1
11
1
1 2
1
2
1
3
1
limlimlim =++=++=−
++−
=
−
−
→→→
xx
x
xxx
x
x
xxx
 
 
4) 
0
1
3
25
lim
3
−
=
−
−
→ x
x
x
 
Neste caso, temos que aplicar Limites Laterais para verificar a existência do limite. 
a) Limite Lateral à Direita: 
( )
−∞=
−−
=
−+
+−
=
−
−
→→→ + h
h
h
h
x
x
hhx
21
33
3.25
3
25
limlimlim
003
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
b) Limite Lateral à Esquerda: 
( )
∞=
−
+−
=
−−
−−
=
−
−
→→→ − h
h
h
h
x
x
hhx
21
33
3.25
3
25
limlimlim
003
 
 
Como os limites laterais no ponto 3=x são diferentes, entendemos que não existe o limite. 
 
5) ∞===
+−
++
∞→∞→∞→
2
3
5
3
45
3
2
6
12
226
limlimlim x
x
x
xx
xx
xxx
 
 
6) 0
5
2
5
2
15
132
limlimlim 3
2
3
2
===
−
+−
−∞→−∞→−∞→ xx
x
x
xx
xxx
 
 
7) 
3
7
3
7
3
7
352
27
limlimlim 9
9
942
59
−=
−
=
−
=
−−
+
∞→∞→∞→ xxx x
x
xxx
xx
 
 
8) −∞===
+
+
−∞→−∞→−∞→ 2
3
2
3
52
23 3
6
9
6
9
limlimlim
x
x
x
x
x
xxx
 
 
9) 
( )
( )
∞===
+
−
=
+
−
∞→∞→∞→∞→
10
45
10
6
105
10
23
52
5 3
2
4
.3
4
.3
12
53
12
53
limlimlimlim
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
 
FÍSICA – LICENCIATURA - EAD 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 06 
 
 
 
01) Mostre que: 
 
b
a
a
x
=
−
−
→ 1e
1e
 )
bx
ax
0
lim a
cbx
x
e
cax
bax
b
−
∞→
=





+
+
lim) 
( ) 212) lim =−
∞→
x
x
exc 4
2
3
1
) lim
−
+
∞→
=





+
−
e
x
x
d
x
x
 
 
02) Sendo 
2xx
dcxbxax
)x(f
2
23
−+
+++
= , obter a, b, c e d, sabendo que: 
 1)(
lim
1
1)(
lim =→=→∞ xfxexfx . Resp: 2,1,1,0 −==== dcba 
 
03) Mostre que 
2
a
x
n
a)1n(
x...
n
a3
x
n
a2
x
n
a
x
n
1lim
n +=










 −+++




 ++




 ++




 +→∞ . 
 
04) Calcule 




 −++++
∞→ 2222
1
...
321
lim
x
x
xxxx
 Resp: 
2
1
 
 
05) Se a5bx
x2
5ax3
)x(f
2
+−+
−
−
= , calcule a e b, de modo que: 
 
∞∞∞ +=−→=→ )x(f
lim
x)b2)x(f
lim
x)a 
 
Resp: a) 
5
21
5
7
−=−= bea b) ab 3< 
 
06) Calcule 
( )





 +−
+
−+++
∞→ 2
12
1
12...531
lim
n
n
n
n
 Resp: 
2
3
− 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
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CÁLCULO 1 – AULA 07 - DERIVADAS 
 
 
7.1 – INTRODUÇÃO: 
 
O estudo de Derivadas, de maneira geral, trata do problema de se determinar a taxa de 
variação de uma grandeza quando outra grandeza, da qual ela depende, sofrer alterações. 
A motivação para a descoberta desse conceito veio de problemas físicos simples, como 
problemas de cinemática onde se quer, por exemplo, conhecer a velocidade de um objeto em 
movimento num determinado instante. 
Para se chegar ao conceito de Derivada, é necessário primeiramente que façamos algumas 
definições, como faremos a seguir. 
 
7.2 – ACRÉSCIMOS: 
 
 
7.2.1 – ACRÉSCIMO DE UMA VARIÁVEL: 
 
Chama-se Acréscimo de uma variável x , e representa-se por x∆ , à diferença entre dois 
valores particulares 
1
x e 
2
x dessa variável. 
 
 
 
 
 
7.2.2 – ACRÉSCIMO DE UMA FUNÇÃO: 
 
 
Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio é um subconjunto de ℜ . 
 
Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , vamos obter em correspondência um 
acréscimo para a função ( )xfy = , que indicaremos por y∆ . 
 
 
 
x 
1
x 
2
x 
x∆ 
12
xxx −=∆ 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: ⇒∆=− xxx
12
 acréscimo da variável 
 ( ) ( ) ⇒∆=− yxfxf
12
 acréscimo da função 
Como: xxx ∆+=
12
 , podemos escrever: 
( ) ( )
11
xfxxfy −∆+=∆ 
 
ou, genericamente: 
 
Esta é a forma generalizada de se escrever o Acréscimo de uma função definida pela lei 
( )xfy = para um Acréscimo x∆ na sua variável x . 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Achar o Acréscimo da função definida por ( )ℜ∈+= babaxy , 
Temos: ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ 
No nosso caso: 
( ) ( )baxbxxay +−+∆+=∆ 
baxbxaaxy −−+∆+=∆ 
xay ∆=∆ (o acréscimo da função é diretamente proporcional ao acréscimo da variável) 
 
02) Encontrar o Acréscimo da função dada por 2xy = . 
( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ 
( ) 22 xxxy −∆+=∆ 
222
2 xxxxxy −∆+∆+=∆ 
y 
x 
0 
( )
22
xfy = 
( )
11
xfy = 
y∆ 
1
x 
2
x 
x∆ 
( )xfy = 
( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ 
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( )xxxy ∆+∆=∆ 2 (O acréscimo da função não é proporcional ao acréscimo da variável). 
 
7.3 – TAXAMÉDIA DE VARIAÇÃO: 
 
Chama-se de Taxa Média de Variação (ou Razão Incremental) de uma função ( )xfy = ao 
quociente de y∆ por x∆ . 
 
 
 
 
A Taxa Média indica a “velocidade média de variação” de uma função num determinado 
intervalo do seu Domínio. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Achar a Taxa Média de Variação da função definida por 85 += xy 
Temos: 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+
=
∆
∆
 
No nosso caso: 
( ) ( )
x
xxx
x
y
∆
+−+∆+
=
∆
∆ 8585
 
x
xxx
x
y
∆
−−+∆+
=
∆
∆ 85855
 
5
5
=
∆
∆
=
∆
∆
x
x
x
y
 
Conclusão: a velocidade de variação da função é constante em qualquer ponto. 
 
02) Encontre a Taxa Média de Variação da função xxy 32 += no ponto 2=x . 
Temos: 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+
=
∆
∆
 
No nosso caso: 
( ) ( ) ( )
x
xxxxxx
x
y
∆
+−∆++∆+
=
∆
∆ 33 2
2
 
x
xxxxxxxx
x
y
∆
−−∆++∆+∆+
=
∆
∆ 3332 222
 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
MT
∆
−∆+
=
∆
∆
=.. 
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( )
32
32
+∆+=
∆
∆
⇒
∆
+∆+∆
=
∆
∆
xx
x
y
x
xxx
x
y
 
No ponto 2=x , teremos: x
x
y
∆+=
∆
∆
7 
 
7.4 – TAXA INSTANTÂNEA: 
 
Consideremos, por exemplo, a função definida por 12 += xy . 
Vamos determinar as Taxas Médias de Variação desta função nos seguintes intervalos: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]xe ∆+1;105,1;1;1,1;1;2,1;1;5,1;1;2;1 
a) Intervalo [ ]2;1 : 
( ) ( )
3
1
25
12
12
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
b) Intervalo [ ]5,1;1 : 
( ) ( )
5,2
5,0
225,3
15,1
15,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
c) Intervalo [ ]2,1;1 : 
( ) ( )
2,2
2,0
244,2
12,1
12,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
d) Intervalo [ ]1,1;1 : 
( ) ( )
1,2
1,0
221,2
11,1
11,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
e) Intervalo [ ]05,1;1 : 
( ) ( )
05,2
05,0
21025,2
105,1
105,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
f) Intervalo [ ]x∆+1;1 : 
( ) ( )
x
x
xx
x
fxf
x
y
∆+=
∆
∆+∆
=
−∆+
−∆+
=
∆
∆
2
2
11
11
2
 
 
Os resultados obtidos acima parecem nos dizer que a Taxa Média tende a 2 , à medida em 
que o acréscimo x∆ tende a zero. 
 
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Portanto, o Limite da Taxa Média de Variação desta função, quando o acréscimo x∆ tende a 
zero é igual a 2 . 
Este resultado é chamado de Taxa Instantânea de Variação. 
Então, definimos: 
“Taxa Instantânea de uma função ( )xfy = é o limite da Taxa Média de Variação 
x
y
∆
∆
 desta 
função quando x∆ tende a zero.” 
 
 
 
 
7.5 – DERIVADA OU FUNÇÃO DERIVADA: 
 
Vamos considerar uma função definida no campo dos Reais pela lei ( )xfy = 
.Chama-se de Derivada ou Função Derivada de ( )xfy = ao limite do quociente de y∆ por 
x∆ , quando x∆ tende a zero. 
A Derivada da função ( )xfy = pode ser indicada por um dos símbolos abaixo: 
( ) ( ) ( )[ ]
.
.
;;;;; xf
dx
d
xfyxfy
dx
dy
′′ 
Neste curso, nos limitaremos a utilizar apenas uma das três primeiras notações apresentadas 
acima. 
A Derivada nada mais é do que a Taxa Instantânea genérica, ou seja: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
Usando a definição, encontre as derivadas das seguintes funções: 
01) 22xy = 
Por definição: 
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim
0
 
 
x
y
IT
x ∆
∆
=
→∆
lim
0
.. 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
dx
dy
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
limlim
00
 
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No nosso caso: 
( )
x
xxx
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
22
0
22
lim 
x
xxxxx
dx
dy
x ∆
−∆+∆+
=
→∆
222
0
2242
lim 
( )
( ) x
dx
dy
xx
x
xxx
dx
dy
xx
424
24.
limlim
00
=⇒∆+=
∆
∆+∆
=
→∆→∆
 
Portanto, a Derivada da função ( ) 22xxf = é a função ( ) xxf 4=′ . 
 
02) 3xy = 
Por definição: 
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim
0
 
No nosso caso: 
( )
x
xxx
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
33
0
lim 
x
xxxxxxx
dx
dy
x ∆
−∆+∆+∆+
=
→∆
33223
0
33
lim 
( ) ( ) 222
0
22
0
333
33.
limlim x
dx
dy
xxxx
x
xxxxx
dx
dy
xx
=⇒∆+∆+=
∆
∆+∆+∆
=
→∆→∆
 
 
03) ( ) xxf = 
Por definição: ( )
( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
No nosso exemplo: ( )
x
xxx
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
Observamos que o limite acima possui uma indeterminação da forma 
0
0
. Portanto, vamos 
fazer uso do conjugado, isto é, vamos tomar: 
( )
( ) ( )xxxx
x
xxxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
xf
xxx +∆+∆
∆
=
+∆+∆
−∆+
=
+∆+
+∆+
∆
−∆+
=′
→∆→∆→∆
limlimlim
000
. 
 
( ) ( )
x
xf
xxx
xf
x 2
11
lim
0
=′⇒
+∆+
=′
→∆
 
 
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04) ( )
x
xf
1
= 
Por definição: ( )
( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
No nosso exemplo: ( )
x
xxxxf
x ∆
−
∆+=′
→∆
11
lim
0
 
( )
( )
( )xxxx
x
x
xxx
xxx
xf
xx ∆+∆
∆−
=
∆
∆+
∆−−
=′
→→∆ ..
limlim
00
 
 
( )
( )
( )
2
0
11
lim
x
xf
xxx
xf
x
−=′⇒
∆+
−
=′
→∆
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 08 - DERIVADAS 
 
 
8.1 – DERIVADA NUM PONTO: 
 
Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 
0
x um ponto 
desse Domínio. 
A derivada desta função no ponto 
0
x , que indicaremos pelas notações ( )
0
xf ′ ou ( )
0
xy′ , é 
definida por: 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 
O1: Como conseqüência da definição, podemos verificar que a função ( )xfy = só será 
derivável no ponto 
0
x se: 
a) existir ( )
0
xf , isto é, a função possui valor numérico no ponto 
0
x ; 
b) a função seja definida nas vizinhanças do ponto 
0
x (para justificar a aplicação do limite 
neste ponto); 
c) exista e seja finito o 
( ) ( )
0
0
lim
0
xx
xfxf
xx −
−
→
. 
 
O2: Se 
( ) ( )
0
0
lim
0
xx
xfxf
xx −
−
→
 existir somente para valores inferiores ou superiores a 
0
x , ou se este 
limite possui resultados diferentes à esquerda e à direita de 
0
x , dizemos que se trata de 
Derivadas Laterais e indicamos por: 
 
( ) ( ) ( ) ⇒
−
−
=′
−→
−
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx
 Derivada Lateral à Esquerda de 
0
x 
 
( ) ( ) ( )
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx −
−
=′
→
 
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( ) ( ) ( ) ⇒
−
−
=′
+→
+
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx
 Derivada Lateral à Direita de 
0
x 
 
 O3: Se ( ) ( )00 xfxf +− ′=′ então dizemos que a derivada da função ( )xfy = existe no ponto 0x e 
é igual a ( )
0
xf ′ . 
 
O4: A derivada de uma função num ponto (quando existe) nada mais é do que o valor 
numérico da função derivada naquele ponto 
 
EXEMPLOS: 
 
Usando a definição, achar as derivadas das funções definidas a seguir nos pontos dados: 
 
 
01) ( ) 23xxf = no ponto 5=x . 
 
1a Solução: 
 
Aplicando a definição de Derivada, temos: 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
( ) ( )
x
xxxxx
x
xxx
xf
xx ∆
−∆+∆+
=
∆
−∆+
=′
→∆→∆
222
0
22
0
336333
limlim 
( ) ( ) ( ) ( ) xxfxx
x
xxx
xf
xx
636
36.
limlim
00
=′⇒∆+=
∆
∆+∆
=′
→∆→∆
 
 
No ponto 5=x , teremos: ( ) ( ) 3055.65 =′⇒=′ ff . 
 
2a Solução: 
 
Aplicando a definição de Derivada no Ponto: 
( ) ( ) ( )
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx −
−
=′
→
 
 
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( ) ( ) ( )
5
753
5
5
5
2
55
limlim −
−
=
−
−
=′
→→ x
x
x
fxf
f
xx
 
( ) ( ) ( )( )
5
5.5.3
5
25.3
5 limlim
5
2
5 −
−+
=
−
−
=′
→→ x
xx
x
x
f
xx
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 30555.355.35 lim
5
=′⇒+=′⇒+=′
→
ffxf
x
 
 
02) ( ) 1+= xxf no ponto 15=x . 
( ) ( ) ( )
15
41
15
15
15 limlim
1515 −
−+
=
−
−
=′
→→ x
x
x
fxf
f
xx
 
Aplicando o conjugado do numerador, obtemos: 
( )
( )( )41.15
15
41
41
.
15
41
15 limlim
1515 ++−
−
=
++
++
−
−+
=′
→→ xx
x
x
x
x
x
f
xx
 
 
( ) ( )
8
1
15
41
1
15 lim
15
=′⇒
++
=′
→
f
x
f
x
 
 
03) ( ) tgxxf = no ponto 
4
π
=x . 
( )
4
4
4
4
4
limlim
44
π
π
π
π
π
ππ−





−
=
−





−
=




′
→→ x
tgtgx
x
fxf
f
xx
 











 −





−





=
−












−
=




′
→→
4
cos.cos.
4
cos.
4
sen
4
cos.sen
4
4
cos
4
sen
cos
sen
4
limlim
44
ππ
ππ
π
π
π
π
ππ
xx
xx
x
x
x
f
xx
 
Da Trigonometria, sabemos que: ( )BAABBA −=− sencos.sencos.sen 
Portanto, pode-se dizer que: 




 −=




−





4
sencos.
4
sen
4
cos.sen
πππ
xxx 
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Assim, podemos escrever: 





−





 −
=




′
→→
4
cos.cos
1
.
4
4
sen
4
limlim
44
ππ
π
π
ππ
xx
x
f
xx
 
Como o primeiro limite é Fundamental e vale 1, então: 
2
4
2
2
1
4
cos
1
4
cos.cos
1
4
2
2
4
lim =




′⇒








=






=






=




′
→
π
ππ
π
π
f
x
f
x
 
 
04) ( ) 1−= xxf no ponto 1=x . 
( ) ( ) ( )
1
1
1
111
1
1
1 limlimlim
111 −
−
=
−
−−−
=
−
−
=′
→→→ x
x
x
x
x
fxf
f
xxx
 
Porém, de acordo com a definição de Módulo ou Valor Absoluto, podemos escrever: 
( )



<−−−=−
≥−−=−
01,11
01,11
xsexx
xsexx
 ⇒ 
( )



<−−=−
≥−=−
1,11
1,11
xsexx
xsexx
 
Como queremos obter a derivada no ponto 1=x , entendemos que devemos calcular as 
derivadas laterais neste ponto, isto é: 
 
( ) ( ) ( ) 11
1
1
1
1
1 limlimlim
111
−=−=
−
−−
=
−
−
=′
→→→
−
− xxx x
x
x
x
f 
 
( ) 11
1
1
1
1
1 limlimlim
111
==
−
−
=
−
−
=′
→→→
+
+ xxx x
x
x
x
f 
Como ( ) ( )11 +− ′≠′ ff , entendemos que a função dada não possui derivada no ponto 1=x . 
 
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS: 
 
Para que você se auto-avalie com relação ao assunto estudado nesta aula, sugerimos que 
você tente resolver os exercícios abaixo: 
 
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
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01) Mostre que a derivada da função ( )
1
3
−
=
x
xf no ponto 4=x é igual a 
3
1
− . 
02) Mostre que a derivada da função ( ) xexf = no ponto 3=x é igual a 3e . 
03) Mostre que a função ( ) xxxf 42 −= não possui derivada no ponto 4=x . 
 
8.2 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA NO PONTO: 
 
Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 
0
x um ponto 
desse Domínio. 
Vamos admitir que o gráfico dessa função possua uma reta tangente pelo ponto 
0
x e que essa 
tangente não seja perpendicular ao eixo x e vamos considerar também uma reta secante curva 
pelos pontos 
0
x e x , conforme se pode ver na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da figura, temos: 
α = inclinação da reta tangente (ângulo que a reta tangente forma com o sentido positivo do 
eixo x ); 
β = inclinação da reta secante (ângulo que a reta secante forma com o sentido positivo do 
eixo x ); 
0
xxx −=∆ (Acréscimo da variável); 
( ) ( )
0
xfxfy −=∆ (Acréscimo da função) 
 
y 
x 
0 
( )xf 
( )
0
xf 
α β 
β 
y∆ 
x∆ 
0
x x 
( )xfy = 
Reta secante 
Reta tangente 
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( ) ( )
0
0
xx
xfxf
tg
x
y
tg
−
−
=⇒
∆
∆
= ββ 
Tomando limites para 
0
xx→ nos dois membros dessa igualdade: 
( ) ( )
0
0
limlim
00
xx
xfxf
tg
xxxx −
−
=
→→
β 
Porém, quando 
0
xx→ então αβ → . 
Assim, podemos dizer que: 
( ) ( )
β
αβ
tg
xx
xfxf
xx
limlim
0
0
0 →→
=
−
−
 
Mas: 
( ) ( ) ( )
0
0
0
lim
0
xf
xx
xfxf
xx
′=
−
−
→
 e αβ
αβ
tgtg =
→
lim 
 
Portanto, concluímos que: 
 
Isto é, a derivada de uma função num ponto (quando existe) é numericamente igual ao 
coeficiente angular da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. 
A princípio este parece ser um conceito muito elementar. 
Porém, em aulas futuras, teremos a oportunidade de observar aplicações importantes deste 
resultado. 
Para a melhor fixação desse conceito, vamos mostrar algumas aplicações simples do mesmo. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Obter a equação geral da reta tangente à curva da função ( ) xxf = pelo ponto 1=x . 
 
Solução: 
 
No estudo da Geometria Analítica, aprendemos que a equação de uma reta que passa por um 
ponto dado ( )
00
, yx e tem coeficiente angular conhecido m é dada por: 
( )
00
xxmyy −=− 
 
( ) αtgxf =′
0
 
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No nosso caso: 1
0
=x e ( ) 111
0
=== fy 
Como a reta procurada é tangente à curva de ( )xf pelo ponto 1=x , devemos ter ( )1fm ′= , ou 
seja: 
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
1 limlim
11 −
−
=⇒
−
−
=′=
→→ x
x
m
x
fxf
fm
xx
 
Como o limite obtido é indeterminado, vamos multiplicar e dividir pelo conjugado do 
numerador, isto é: 
( )( )
( )( ) ( )( )11
1
11
11
limlim
11 +−
−
=⇒
+−
+−
=
→→ xx
x
m
xx
xx
m
xx
 
2
1
1
1
lim
1
=⇒
+
=
→
m
x
m
x
 
Então, a equação procurada é: ( )1
2
1
1 −=− xy 
 
Na forma geral: 012 =+− yx 
 
02) Determine a equação da reta tangente à curva da hipérbole definida pela equação 
x
y
4
−= 
pelo ponto 2−=x . 
 Solução: 
 
A equação procurada tem a forma: ( )( )
000
. xxxfyy −′=− 
onde: 2
0
−=x e 2
2
4
0 =−
−=y 
( ) ( ) ( )
( )2
2
2 lim
2 −−
−−
=−′
−→ x
fxf
f
x
 
 
( )
( )2.
24
2
2
4
2 limlim
22 +
−−
=
+
−−
=−′
−→−→ xx
x
x
xf
xx
 
 
 
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( ) ( )
( )
( ) ( ) 1222
2.
2.2
2 limlim
22
=−′⇒
−
=−′⇒
+
+−
=−′
−→−→
f
x
f
xx
x
f
xx
 
Portanto, a equação da reta é: 
( )2.12 +=− xy 
 
Na forma reduzida: 4+= xy 
 
03) Mostre que a equação da reta tangente à curva da função ( ) gxxf cot= no ponto 
3
2π
=x é 
3
3
9
8
3
4
−+−=
π
xy . 
Solução: 
 
A equação procurada tem a forma: ( )( )
000
. xxxfyy −′=− 
onde: 
3
2
0
π
=x e 
3
3
3
2
cot
0
−=




=
π
gy 
3
2
3
2
sen
3
2
cos
sen
cos
3
2
3
2
cotcot
3
2
limlim
3
2
3
2 π
π
π
π
π
π
ππ −












−
=
−





−
=




′
→→ x
x
x
x
ggx
f
xx
 











 −−





 −
=











 −





−





=




′
→→
3
2
sen.sen.
3
2
3
2
sen
3
2
sen.sen.
3
2
3
2
cos.sencos.
3
2
sen
3
2
limlim
3
2
3
2 ππ
π
ππ
ππ
π
ππ
xx
x
xx
xx
f
xx
 
3
4
2
3
1
3
2
sen.sen
1
.
3
2
3
2
sen
3
2
2
3
2
3
2
limlim −=








−=





−−





 −
=




′
→→
ππ
π
π
ππ
xx
x
f
xx
 
Portanto, a equação da reta é: 
9
8
3
4
3
3
3
2
3
4
3
3 ππ
+−=+⇒




 −−=







−− xyxy 
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Na forma reduzida: 
3
3
9
8
3
4
−+−=
π
xy 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Exercícios como os mostrados acima se tornarão mais fáceis de resolver quando 
conhecermos as regras de derivação, pois não precisaremos mais de resolver Limites. 
 
Este assunto será objeto de estudo a partir da próxima aula! 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 08 
 
 
 
01) As retas tangentes ao gráfico da função ( ) 754 23 −+−= xxxxf pelos pontos 1=x e 3=x são 
concorrentes num ponto P. Encontre as coordenadas desse ponto. Resp: 




 −5,
2
5
P 
 
02) Achar os pontos sobre a curva 16xy 2 −= onde as tangentes são paralelas à reta 
2x5y3 =+ . Resp: )3,5( − e )3,5( 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 09 - DERIVADAS 
 
 
REGRAS GERAIS DE DERIVAÇÃO: 
 
Neste item vamos começar a estudar as regras que nos permitem obter as derivadas de todas 
as funções da forma ( )xfy = .Este assunto começará a ser desenvolvido nesta aula e se estenderá para as aulas seguintes. 
 
9.1 – FUNÇÃO CONSTANTE: 
 
Seja a função definida por ( ) kxf = , onde ℜ∈k . 
Por definição: ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
No nosso caso: ( ) ( ) 00limlim
00
=
∆
=′⇒
∆
−
=′
→∆→∆ x
xf
x
kk
xf
xx
 
 
Portanto: 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) 01 =′⇒= xfxf 
02) ( ) ( ) 07 =′⇒−= xfxf 
03) ( ) ( ) 013 =′⇒= xfxf 
04) ( ) ( ) 0
11
3
=′⇒




= xftgxf
π
 
 
9.2 – FUNÇÃO LINEAR: 
 
Seja ( ) baxxf += , onde ℜ∈a e ℜ∈b , isto é uma Função Linear. 
Por definição: ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
 
( ) ( ) 0,, =′ℜ∈= xfentãokcomkxfSe 
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Neste caso: ( ) ( ) ( )
x
baxbxxa
xf
x ∆
+−+∆+
=′
→∆
lim
0
 
( ) ( ) ( ) aaxf
x
xa
xf
x
baxbxaax
xf
xxx
==′⇒
∆
∆
=′⇒
∆
−−+∆+
=′
→∆→∆→∆
limlimlim
000
 
 
Portanto: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) 1=′⇒= xfxxf 
02) ( ) ( ) 575 −=′⇒+−= xfxxf 
03) ( ) ( )
3
2
1
3
2
=′⇒−= xfxxf 
04) ( ) ( ) loglog
5
2
5
2 5
. =′⇒+



= xfxxf
π
 
 
9.3 – FUNÇÃO POTÊNCIA: 
 
Seja a função definida por ( ) nxxf = . 
Por definição: ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
No nosso caso: ( ) ( )
x
xxx
xf
nn
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
Fazendo o desenvolvimento do Produto Notável ( )nxx ∆+ por Binômio de Newton, teremos: 
( ) 033322211100 ... xxxxxxxxxxxx nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CCCCC ∆++∆+∆+∆+∆=∆+
−−− 
( ) ( ) ( )( ) nnnnnn xxxnnnxxnnxxnxxx ∆++∆−−+∆−+∆+=∆+ −−− .....
!3
21
..
!2
1
.. 33221 
Substituindo no limite: 
( )
( ) ( )( )
x
xxxx
nnn
xx
nn
xxnx
xf
nnnnnn
x ∆
−∆++∆
−−
+∆
−
+∆+
=′
−−−
→∆
.....
!3
21
..
!2
1
.. 33221
0
lim 
( ) ( ) axfentãobeacombaxxfSe =′ℜ∈ℜ∈+= ,, 
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( )
( ) ( )( )
x
xxx
nnn
xx
nn
xnx
xf
nnnn
x ∆



 ∆++∆
−−
+∆
−
+∆
=′
−−−−
→∆
13221
0
.....
!3
21
..
!2
1
..
lim 
( ) ( ) ( )( ) ( ) 113221
0
......
!3
21
..
!2
1
.lim
−−−−−
→∆
=′⇒


 ∆++∆
−−
+∆
−
+=′ nnnnn
x
xnxfxxx
nnn
xx
nn
xnxf 
 
Portanto: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) ( ) 7188 8.8 xxfxxfxxf =′⇒=′⇒= − 
02) ( ) ( ) 99100 100xxfxxf =′⇒= 
03) ( ) ( ) ( ) ( )
2
21 1.1
1
x
xfxxfxxf
x
xf −=′⇒−=′⇒=⇒= −− 
04) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xfxxfxxfxxfxxf
2
1
.
2
1
.
2
1
2
1
1
2
1
2
1
=′⇒=′⇒=′⇒=⇒=
−−
 
05) ( ) ( ) ( ) ( )
4
43
3
3
.3
1
x
xfxxfxxf
x
xf −=′⇒−=′⇒=⇒= −− 
06) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
5
1
1
5
4
5
4
5 4
5
4
5
4
5
4
x
xfxxfxxfxxfxxf =′⇒=′⇒=′⇒=⇒=
−−
 
 
9.4 – FUNÇÃO SOMA: 
 
Seja tvuy −+= , onde ( )xuu = , ( )xvv = e ( )xtt = , isto é, u , v e t são funções de x . 
Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , obtemos em correspondência acréscimos y∆ , 
u∆ , v∆ e t∆ para as funções y , u , v e t , respectivamente. 
Assim, podemos escrever: 
( ) ( ) ( )ttvvuuyy ∆+−∆++∆+=∆+ 
ttvvuuyy ∆−−∆++∆+=∆+ 
( ) ( )tvutvuyy ∆−∆+∆+−+=∆+ 
( ) ( ) 1., −=′= nn xnxfentãoxxfSe 
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Como tvuy −+= , então: tvuy ∆−∆+∆=∆ 
Dividindo os dois membros dessa igualdade por x∆ , teremos: 
x
t
x
v
x
u
x
y
∆
∆
−
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
 
Tomando os limites para 0→∆x : 
x
t
x
v
x
u
x
y
xxxx ∆
∆
−
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆→∆
limlimlimlim
0000
 
Porém, de acordo com a definição de Acréscimos, podemos afirmar que: 
Se 0→∆x , então 0→∆y , 0→∆u , 0→∆v e 0→∆t 
Isto significa que todos os limites relacionados acima representam derivadas, ou seja: 
dx
dt
dx
dv
dx
du
dx
dy
−+= ou tvuy ′−′+′=′ 
 
Portanto: 
 
Podemos interpretar este resultado afirmando que “a derivada de uma soma algébrica de 
funções é igual à soma algébrica das derivadas das parcelas”. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) 256367 367 xxxyxxxy +−=′⇒+−= 
02) 334 4047 xyxyxy =′⇒−=′⇒−= 
03) 
2
1
2
11
xx
y
x
xy −=′⇒+= 
 
9.5 – FUNÇÃO PRODUTO: 
 
Seja a função definida por vuy .= , onde ( )xuu = e ( )xvv = , isto é, y é definida por um 
produto de funções de x . 
Se atribuimos à variável x um acréscimo x∆ , obtemos acréscimos correspondentes y∆ , u∆ e 
v∆ para as variáveis y , u e v , respectivamente. 
tvuyentãotvuySe ′−′+′=′−+= , 
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Assim, podemos escrever: 
( )( )vvuuyy ∆+∆+=∆+ . 
vuuvvuuvyy ∆∆+∆+∆+=∆+ 
Como uvy = , podemos simplificar e escrever: 
vuuvvuy ∆∆+∆+∆=∆ 
Dividindo membro a membro por x∆ , fica: 
x
v
u
x
u
v
x
v
u
x
y
∆
∆
∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
. 
Tomando os limites para 





→∆
→∆
→∆
⇒→∆
0
0
0
0
v
u
y
x : 
x
v
u
x
u
v
x
v
u
x
y
xxxx ∆
∆
∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆→∆
.limlimlimlim
0000
 
x
v
u
x
u
v
x
v
u
x
y
xxxx ∆
∆
∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆→∆
... limlimlimlim
0000
 
De acordo com a definição de Derivada, temos como resultado: 
vuvuyou
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy ′+′=′+= .. 
 
Portanto: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) 3010 .xxy = 
Temos: 910 10xuxu =′⇒= e 2930 30xvxv =′⇒= 
Então: 
vuvuyvuy ′+′=′⇒= . 
2910309 30..10 xxxxy +=′ 
393939 403010 xyxxy =′⇒+=′ 
( ) ( ) vuvuyentãoxvvexuuondevuySe ′+′=′=== ,,. 
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02) ( ) 11 22 +==⇒+= xvexuxxy 
( ) 1.1.2 2xxxy ++=′ 
xxyxxxy 2322 222 +=′⇒++=′ 
03) xve
x
ux
x
y
x
x
y ==⇒=⇒=
1
.
1
 
xxx
x
y
xx
x
x
y
2
1
2
1
.
1
.
1
22
+−=′⇒+−=′ 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Se tivermos um produto de 3 ou mais funções, a regra de derivação é semelhante. 
Assim, por exemplo, se tvuy ..= , onde ( )xuu = , ( )xvv = e ( )xtt = , então: 
uvtutvvtuy ′+′+′=′ 
 
EXEMPLO: 





=′⇒=
=′′⇒=
=′⇒=
⇒=
56
45
34
654
6
5
4
..
xtxt
xvxv
xuxu
xxxy 
545644653 ..6..5..4 xxxxxxxxxy ++=′ 
14141414 15654 xyxxxy =′⇒++=′ 
 
9.6 – FUNÇÃO QUOCIENTE: 
 
Seja a função definida pela equação 
v
u
y = , onde ( )xuu = e ( )xvv = . 
Atribuindo à variável x um acréscimo x∆ , obtemos acréscimos y∆ , u∆ e v∆ , para as funções 
y , u e v , de modo que podemos escrever: 
vv
uu
yy
∆+
∆+
=∆+ 
v
u
vv
uu
yy
vv
uu
y −
∆+
∆+
=∆⇒−
∆+
∆+
=∆ 
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( ) ( )
( )vvv
vvuuuv
y
∆+
∆+−∆+
=∆
.
..
 
( ) ( )vvv
vuuv
y
vvv
vuuvuvuv
y
∆+
∆−∆
=∆⇒
∆+
∆−−∆+
=∆
..
 
Dividindo membro a membro por x∆ , teremos: 
( ) xvvv
vuuv
x
y
∆∆+
∆−∆
=
∆
∆
..
 
Podemos ainda escrever esta igualdade na forma: 
( )vvv
x
v
u
x
u
v
x
y
∆+
∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆
.
 
Tomando os limites para 





→∆
→∆
→∆
⇒→∆
0
0
0
0
v
u
y
x 
( ) 2
0
00
0
..
.
..
lim
limlim
lim
v
dx
dv
u
dx
du
v
dx
dy
vvv
x
v
u
x
u
v
x
y
x
xx
x
−
=⇒
∆+
∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆
→∆
→∆→∆
→∆
 
 
Portanto: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) 




=′⇒=
=′⇒=
=
67
1920
7
20
7
20
xvxv
xuxu
x
x
y 
( )
12
14
26
14
2626
27
620719
13
137207..20
xy
x
x
x
xx
y
x
xxxx
y =′⇒=
−
=′⇒
−
=′ 
 
02) 



=′⇒−=
=′⇒+=
−
+
=
12
353
2
53
vxv
uxu
x
x
y 
( ) ( )
( ) ( ) ( )222 2
11
2
5363
2
53.12.3
−
−
=′⇒
−
−−−
=′⇒
−
+−−
=′
x
y
x
xx
y
x
xx
y 
( ) ( )
2
,,
v
vuvu
yentãoxvvexuuonde
v
u
ySe
′−′
=′=== 
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9.7 – FUNÇÃO COMPOSTA: 
 
Sejam ( )ufy = e ( )xgu = . 
Então ( )[ ]xgfy = , isto é, a variável dependente y é escrita como uma função composta da 
variável independente x . 
Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , vamos obter em correspondência um 
acréscimo u∆ para a função u e um acréscimo y∆ para a função y . 
Nestas condições, podemos escrever: 
x
u
u
y
x
y
∆
∆
∆
∆
=
∆
∆
. 
Tomando os limites para 


→∆
→∆
⇒→∆
0
0
0
y
u
x 
x
u
u
y
x
y
xux ∆
∆
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆
limlimlim
000
. 
Portanto, de acordo com a definição, podemos escrever: 
 
Com isto, concluímos que a derivada da função composta é igual ao produto das derivadas 
das funções em relação às suas variáveis imediatas. 
Esta regra é conhecida como Regra da Cadeia e é igualmente válida para funções compostas 
de três ou mais partes. 
Assim, por exemplo, se ( )ufy = , ( )tgu = e ( )xht = , então podemos empregar a Regra da 
Cadeia e afirmar que: 
 
 
Esta regra é considerada a mais importante entre todas as regras de derivação, uma vez que 
é ela quem nos permite obter a derivada de certas funções aparentemente complicadas, conforme 
teremos oportunidade de comprovar nas próximas aulas. 
 
EXEMPLOS: 
01) Encontre 
dx
dy
, sendo 2uy = , 3vu = , 4tv = e 5xt = 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
dx
dt
dt
du
du
dy
dx
dy
..= 
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Pela Regra da Cadeia: 
dx
dt
dt
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
...= 
432 5.4.3.2 xtvu
dx
dy
= 
A derivada já está pronta na expressão acima. Entretanto, como entendemos que y é uma 
função composta na variável x , então a derivada y′ deve ser também uma função de x . 
Para obter essa função, basta substituir as funções na expressão obtida para a derivada, ou 
seja: 
( ) ( ) 435243 ....120 xxtv
dx
dy
= 
( ) ( ) 4158534 ....120 xxxt
dx
dy
= 
( ) 119415406041540125 120....120....120 x
dx
dy
xxxx
dx
dy
xxxx
dx
dy
=⇒=⇒= 
 
02) Achar 
dx
dy
, sabendo que 72 −= uy , 2tu = e 5xt = 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
dt
dt
du
du
dy
dx
dy
..= 
1945104524 20...20...205.2.2 x
dx
dy
xxx
dx
dy
xxt
dx
dy
xtu
dx
dy
=⇒=⇒=⇒= 
 
9.8 – FUNÇÃO INVERSA: 
 
Vamos considerar uma função definida pela lei ( )xfy = , que seja bijetora num intervalo ℜ⊂I 
e que seja derivável nesse intervalo. 
Nestas condições, podemos afirmar que: 
x
y
y
x ∆
∆
=′
→∆
lim
0
 existe e é finito para todo Ix∈ . 
Como, por hipótese, a nossa função ( )xfy = é bijetora no intervalo I , podemos definir nesse 
intervalo a sua função inversa, isto é: 
Se ( )xfy = , então ( )yfx 1−= (Inversa) 
 
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Portanto, de acordo com a definição de derivada, podemos também escrever: 
y
x
x
y ∆
∆
=′
→∆
lim
0
 (lembrando que, se 00 →∆⇒→∆ yx ) 
Podemos, ainda, escrever: 
x
y
x
x
y
x
x
y
∆
∆
=′⇒
∆
∆
=′
→∆
→∆
lim
lim
0
0
11
 
 
Finalmente, percebemos que: 
 
 
Conclusão: A derivada da função inversa é igual ao inverso da derivada da função. 
Tanto quanto a regra da função composta, estudada anteriormente, a regra da função inversa 
será de grande aplicação para obter as derivadas de certos tipos de funções, como as 
trigonométricas, por exemplo. 
 
EXEMPLO: 
Seja xy = , com 0>x , isto é, ( )xfy = . 
Então, podemos escrever 2yx = , ou seja, ( )yfx 1−= (função inversa). 
Neste caso: yx 2=′ 
Como 
x
y
′
=′
1
 , então: 
x
y
y
y
2
1
2
1
=′⇒=′ 
 
OBSERVAÇÃO: Este resultado está comprovado, pois já foi obtido anteriormente. 
 
x
you
y
x
′
=′
′
=′
11
 
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CÁLCULO 1 – AULA 10 - DERIVADAS 
 
 
10.1 – FUNÇÃO POTÊNCIA: 
 
Na aula anterior aprendemos a regra para se derivar funções da forma nxy = , cuja derivada é 
1. −=′ nxny . 
Agora, que já conhecemos a regra da Função Composta, vamos aprender a derivar funções 
potência da forma ( )[ ]nxfy = , onde ( )xf é uma função qualquer. 
Fazendo nuy = e ( )xfu = , percebemos que y é uma função composta da variável x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: 1. −= nun
du
dy
 e ( )xf
dx
du ′= 
Portanto: ( )xfun
dx
dy n ′= − .. 1 , ou seja: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( )10023 3845 −+−= xxxy 
( ) ( )8815.3845.100 29923 +−−+−= xxxxx
dx
dy
 
 
Este exemplo mostra, com bastante clareza, a importância e praticidade desta regra. 
Observe que a derivada foi obtida rapidamente e, principalmente, na forma fatorada. 
Caso esta regra não existisse, teríamos primeiramente que desenvolver o produto notável, isto 
é, elevar o polinômio à centésima potência, dando origem a um polinômio de grau 300, e só 
depois o derivarmos para obter um polinômio de grau 299. 
Além do trabalho de se desenvolver o polinômio, teríamos ainda o trabalho de deriva-lo e 
fatorá-lo. 
 
 
( )[ ] ( )xfxfn
dx
dy n ′= − .. 1 
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02) 
5
52
23






+
−
=
x
x
y 
Fazendo 
52
23
+
−
=
x
x
u , teremos 5uy = 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: 
( ) ( )
( ) ( )22 52
19
52
23.252.3
+
=
+
−−+
=
xx
xx
dx
du
 e 45u
du
dy
= 
 
Portanto: 
( )
4
2 52
23
.
52
95






+
−
+
=
x
x
xdx
dy
 
 
 
10.2 – FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
 
Seja a função exponencial definida por xay = , onde 0>a e 1≠a . 
Por definição, sabemos que: 
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim
0
 
Então: 
( )
x
aa
dx
dy
x
aa
dx
dy xx
x
xxx
x ∆
−
=⇒
∆
−
=
∆
→∆
∆+
→∆
1.
limlim
00
 
x
a
a
dx
dy x
x
x
x ∆
−
=
∆
→∆→∆
1
.limlim
00
 
O primeiro limite é imediato e o segundo é um limite fundamental exponencial. 
 
Portanto: 
 
 
Esta regra, aplicada para exponenciais da forma xay = , pode ser estendida para funções 
exponenciais da forma ( )xfay = , isto é, na forma composta. 
Se aplicarmos a estas funções a Regra da Cadeia, veremos que a derivada será quase a 
mesma que acabamos de mostrar. 
Basta trocar x por ( )xf e multiplicar o resultado por ( )xf ′ , ou seja: 
aa
dx
dy
entãoaeacomaySe xx ln.,10, =≠>= 
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EXEMPLOS: 
 
01) 3ln.33 xx
dx
dy
y =⇒= 
 
02) xxx e
dx
dy
ee
dx
dy
ey =⇒=⇒= ln. 
Observe que, quando a base for Número Neperiano e, a constante irracional aln é 1. 
 
03) 
xdx
dy
xdx
dy
y
x
xx
2
5ln.5
2
1
.5ln.55 =⇒=⇒= 
 
04) 33
22
.2 −− =⇒= xx ex
dx
dy
ey 
 
10.3 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 
Como já aprendemos a derivar funções exponenciais e funções inversas, podemos obter a 
derivada das funções logarítmicas aplicando essas regras, uma vez que as funções logarítmicas 
são inversas das exponenciais. 
Seja, então a função logarítmica definida pela equação: log
x
a
y = , onde 10,0 ≠>> aeax . 
Nestas condições, podemos dizer que yax = (função inversa). 
Aprendemos também que, para duas funções inversas: 
x
y
′
=′
1
. 
No nosso caso: 
ax
y
aa
yaax
y
y
ln.
1
ln.
1
ln. =′⇒=′⇒=′ 
Porém: log
ln
1
ln
ln
ln
1 e
aaa
e
a
=⇒= (pela Propriedade de mudança de bases em logaritmos) 
 
( ) ( ) ( )xfaa
dx
dy
entãoaySe xfxf ′== .ln., 
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Portanto: 
 
 
Observe que log
e
a
 é uma constante irracional e que se tornará igual a 1 quando a base do 
logaritmo for a base Natural e, ou seja, 1log =
e
e
. 
Uma vez que a regra está demonstrada para log
x
a
y = , podemos utilizar a Regra da Cadeia e 
estende-la para funções da forma 
( )
log
xf
a
y = , isto é: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
01) loglog
33
1 ex
x
yy =′⇒= 
 
02) 
x
y
x
yxy
e
e
11
ln log =′⇒=′⇒= 
 
03) logloglog
555 2
1
.
2
1
eex
x
y
x
x
yy =′⇒=′⇒= 
 
04) ( )
1
12
1ln
2
2
+−
−
=′⇒+−=
xx
x
yxxy 
 
loglog
1
,
e
a
x
a x
yentãoySe =′= 
( ) ( )
( ) loglog
.,
e
a
xf
a xf
xf
yentãoySe
′
=′= 
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CÁLCULO 1 – AULA 11 - DERIVADAS 
 
 
11.1 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: 
 
A) FUNÇÃO SENO: 
 
Seja a função definida por xy sen= . 
Por definição: 
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim
0
 
No nosso caso: 
( )x
xxx
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
sensen
lim
0
 
Porém, da Trigonometria, sabe-se que: 





 +





 −=−
2
cos.
2
sen.2sensen
BABA
BA (transformação de diferença em produto) 
Então: ( ) 




 ∆+





 ∆=−∆+
2
2
cos.
2
sen.2sensen
xxx
xxx 
Substituindo no limite: 
x
xxx
dx
dy
x ∆





 ∆+





 ∆
=
→∆
2
2
cos.
2
sen.2
lim
0
 
Dividindo o numerador e o denominador por 2, podemos escrever: 





 ∆+
∆





 ∆
=
→∆→∆ 2
2
cos.
2
2
sen
limlim
00
xx
x
x
dx
dy
xx
 
Como o primeiro limite é fundamental e igual a 1, concluímos que: 
 
 
 
 
 
 
x
dx
dy
entãoxySe cos,sen == 
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Pela regra da função composta, podemos estender esta regra, ou seja: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
01) ( ) ( )2cos.22sen 22 −=′⇒−= xxyxy 
 
02) ( ) ( )xyxy 7cos77sen =′⇒= 
 
03) ( ) ( )xxx eeyey cos.sen =′⇒= 
 
B) FUNÇÃO COSSENO: 
 
Seja a função definida por xy cos= . 
Sabemos, por definição, que: 
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim
0
 
No nosso caso: 
( ) ( )
x
xxx
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
coscos
lim
0
 
Da Trigonometria, mostra-se a seguinte identidade: 





 −





 +−=−
2
sen.
2
sen.2coscos
BABA
BA 
Assim: ( ) 




 −∆+





 +∆+−=−∆+
2
sen.
2
sen2coscos
xxxxxx
xxx 
Substituindo no limite: 
x
xxx
dx
dy
x ∆





 ∆





 ∆+−
=
→∆
2
sen.
2
2
sen2
lim
0
 
Dividindo o numerador e o denominador por 2 e separando os limites, teremos: 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxf
dx
dy
entãoxfySe cos.,sen ′== 
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










 ∆+−
∆





 ∆
=
→∆→∆ 2
2
sen2.
2
2
sen
limlim
00
xx
x
x
dx
dy
xx
 
Como o primeiro limite é fundamental e vale 1, portanto: 
 
 
 
Estendendo esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xfy cos= , teremos: 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( )baxa
dx
dy
baxy +−=⇒+= sencos 
 
02) ( ) ( )22 lnsen.21lncos xxx
x
yxxy +




 +−=′⇒+= 
 
03) ( ) ( )xxyxy sensen.cossencos −=′⇒= 
 
C) FUNÇÃO TANGENTE: 
 
Se tgxy = , então podemos escrever 
x
x
y
cos
sen
= . 
Assim, podemos derivar a tangente como uma função quociente, ou seja: 
( )
x
xx
xx
x
xxxx
dx
dy 2
22
22
2
sec
cos
1
cos
sencos
cos
sen.sencos.cos
==
+
=
−−
= 
 
Portanto: 
 
x
dx
dy
entãoxySe sen,cos −== 
( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxfyentãoxfySe sen.,cos ′−=′= 
x
dx
dy
entãotgxySe 2sec, == 
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Estendendo esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xftgy = , temos: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( )xxx ytgy 2sec;2ln.22 2=′⇒= 
 
02) ( ) ( )7267 sec.7 xxyxtgy =′⇒= 
 
03) ( ) ( )x
x
yxtgy lnsec
1
ln
2=′⇒= 
 
D) FUNÇÃO COTANGENTE: 
 
Se gxy cot= , então podemos escrever: 
x
x
y
sen
cos
= . 
Derivando pela regra da função quociente, resulta: 
x
xx
xx
x
xxxx
dx
dy 2
22
22
2
seccos
sen
1
sen
cossen
sen
cos.cossen.sen
−=−=
+
−=
−−
= 
 
Portanto: 
 
 
Podemos estender esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xfgy cot= . 
 
Assim: 
 
 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxf
dx
dy
entãoxftgySe 2sec., ′== 
x
dx
dy
entãogxySe 2seccos,cot −==
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxf
dx
dy
entãoxfgySe 2seccos.,cot ′−== 
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EXEMPLOS: 
01) ( ) ( )x
x
yxgy 2seccos
2
1
cot −=′⇒= 
 
02) ( ) ( )53seccos353cot 2 +−=′⇒+= xyxgy 
 
03) ( ) ( )xxyxgy senseccos.cossencot 2−=′⇒= 
 
E) FUNÇÃO SECANTE: 
 
Se xy sec= , então 
x
y
cos
1
= . 
Derivando pela regra da função quociente: 
( )
tgxx
x
x
xx
x
x
xx
dx
dy
.sec
cos
sen
.
cos
1
cos
sen
cos
sen.1cos.0
22
===
−−
= 
 
Portanto: 
 
 
Estendendo esta regra para funções da forma ( )[ ]xfy sec= , teremos: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) ( )xtgxxyxy sen.sensec.cossensec =′⇒= 
 
02) ( ) ( ) ( )xxxx etgeeyey .sec.sec =′⇒= 
 
 
tgxx
dx
dy
entãoxySe .sec,sec == 
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]xftgxfxf
dx
dy
entãoxfySe .sec.,sec ′== 
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03) ( ) ( ) ( )mmmm xtgxxmyxy .sec..sec 1−=′⇒= 
 
F) FUNÇÃO COSSECANTE: 
 
Se xy seccos= , então 
x
y
sen
1
= . 
Pela regra da função quociente: 
gxx
x
x
xx
x
x
xx
dx
dy
cot.seccos
sen
cos
.
sen
1
sen
cos
sen
cos.1sen.0
22
−=−=−=
−
= 
 
Portanto: 
 
Estendendo esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xfy seccos= , teremos: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) ( ) ( )13cot.13seccos.3213seccos 222 +−=−−−=′⇒+−= xxgxxxyxxy 
 
02) ( ) ( ) ( )tgxgtgxxytgxy cot.seccos.secseccos 2−=′⇒= 
 
 
11.2 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: 
 
Para obtermos as derivadas das Funções Trigonométricas Inversas, vamos recordar a Aula 7, 
quando definimos essas funções adequadamente, em intervalos onde elas fossem bijetoras e 
vamos aplicar a todas elas a Regra da Função Inversa. 
 
 
gxx
dx
dy
entãoxySe cot.seccos,seccos −== 
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]xfgxfxf
dx
dy
entãoxfySe cot.seccos,seccos ′−== 
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A) FUNÇÃO INVERSA DO SENO: 
 
Se xy arcsen= , então yx sen= . 
Logo: yx cos=′ e 
x
y
′
=′
1
 (Regra da Função Inversa) 
Assim: 
22
1
1
sen1
1
xy
y
−
=
−
=′ 
 
Portanto: 
 
 
Para ( )[ ]xfy arcsen= , teremos: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( )
( ) 6
2
23
2
3
1
3
1
3
arcsen
x
x
x
x
yxy
−
=
−
=′⇒= 
 
02) ( )
( ) x
x
x
x
x
e
e
e
e
yey
22
11
arcsen
−
=
−
=′⇒= 
 
B) FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO: 
 
Se xy arccos= , então yx cos= . 
yx sen−=′ e 
x
y
′
=′
1
 
 
2
1
1
,arcsen
x
yentãoxySe
−
=′= 
( )[ ] ( )
( )[ ]21
,arcsen
xf
xf
yentãoxfySe
−
′
=′=
 
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Assim: 
22
1
1
cos1
1
sen
1
xyy
y
−
−=
−
−=
−
=′ 
 
Portanto: 
 
Estendendo para funções da forma ( )[ ]xfy arccos= , resulta: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
01) ( )
( )2251
5
25arccos
−−
−=′⇒−=
x
yxy 
 
02) ( )
( ) x
x
x
x
x yy
22
31
3ln3
31
3ln3
3arccos
−
−=
−
−=′⇒= 
 
 
C) FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE: 
 
Se arctgxy = , então tgyx = . 
Neste caso: yx 2sec=′ e 
x
y
′
=′
1
 
Assim: 
222
1
1
1
1
sec
1
xytgy
y
+
=
+
==′ 
 
Portanto: 
 
 
 
2
1
1
,arccos
x
yentãoxySe
−
−=′= 
( )[ ] ( )
( )[ ]21
,arccos
xf
xf
yentãoxfySe
−
′
−=′= 
2
1
1
,
x
yentãoarctgxySe
+
=′= 
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Estendendo esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xfarctgy = : 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
01) ( )
( ) 14
6
27
6
7
1
7
1
7
x
x
y
x
x
yxarctgy
+
=′⇒
+
=′⇒= 
 
02) ( )
x
x
x yarctgy
2
21
2ln2
2
+
=′⇒= 
 
D) FUNÇÃO INVERSA DA COTANGENTE: 
 
Se gxarcy cot= , então gyx cot= 
Neste caso: yx 2seccos−=′ e 
x
y
′
=′
1
 
Assim: 
222
1
1
cot1
1
seccos
1
xygy
y
+
−=
+
−=
−
=′ 
 
Portanto: 
 
 
Estendendo esta regra para função composta: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
01) ( )
( ) 22 811
9
91
9
9cot
x
y
x
yxgarcy
+
−=′⇒
+
−=′⇒= 
( )[ ] ( )
( )[ ]21
,
xf
xf
yentãoxfarctgySe
+
′
=′=
2
1
1
,cot
x
yentãogxarcySe
+
−=′= 
( )[ ] ( )
( )[ ]21
,cot
xf
xf
yentãoxfgarcySe
+
′
−=′= 
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02) ( )
x
x
yxgarcy
2
sen1
cos
sencot
+
−=′⇒= 
 
E) FUNÇÃO INVERSA DA SECANTE: 
 
Se xarcy sec= , então yx sec= . 
Temos: tgyyx .sec=′ e 
x
y
′
=′
1
 
1
1
1sec.sec
1
.sec
1
22 −
=
−
==′
xxyytgyy
y 
 
Portanto: 
 
 
Estendendo esta regra para função composta:EXEMPLOS: 
01) ( )
( ) 12
1
1.
2
1
sec
2 −
=′⇒
−
=′⇒=
xx
y
xx
x
yxarcy 
02) ( )
( ) 1
1
1
sec
22 −
=′⇒
−
=′⇒=
xxx
x
x
e
y
ee
e
yearcy 
 
F) FUNÇÃO INVERSA DA COSSECANTE: 
 
Se xy secarccos= , então yx seccos= . 
Neste caso: gyyx cot.seccos−=′ e 
x
y
′
=′
1
 
1
1
,sec
2 −
=′=
xx
yentãoxarcySe 
( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] 1
,sec
2 −
′
=′=
xfxf
xf
yentãoxfarcySe 
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Logo: 
1
1
1seccosseccos
1
cot.seccos
1
22 −
−=
−
−=
−
=′
xxyygyy
y 
 
Portanto: 
 
Estendendo a regra para função composta, teremos: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( )
( ) 1
5
1
5
secarccos
10255
4
5
−
−=′⇒
−
−=′⇒=
xx
y
xx
x
yxy 
 
02) ( )
( ) 15
5ln
155
5ln5
5secarccos
22 −
−=′⇒
−
−=′⇒=
xxx
x
x yyy 
 
11.3 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: 
 
Como as Funções Hiperbólicas são todas definidas usando exponenciais de base natural, 
podemos obter as suas derivadas a partir da definição de cada uma delas. 
 
A) FUNÇÃO SENO HIPERBÓLICO: 
 
Se xy senh= então, por definição, 
2
xx ee
y
−−
= . 
A derivada será: 
( )
x
eeee
dx
dy xxxx
cosh
22
=
+
=
−−
=
−−
 
 
1
1
,secarccos
2 −
−=′=
xx
yentãoxySe 
( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] 1
,secarccos
2 −
′
−=′=
xfxf
xf
yentãoxfySe 
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Portanto: 
 
 
No caso da função composta, teremos: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) ( )xxxxxyxxxy 52cosh.54352senh 23223 +−+−=′⇒+−= 
 
02) ( ) ( )xxx eeyey cosh.senh =′⇒= 
 
B) FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO: 
 
Se xy cosh= então, por definição, 
2
xx ee
y
−+
= . 
A derivada será: 
( )
x
eeee
dx
dy xxxx
senh
22
=
−
=
−+
=
−−
 
 
Portanto: 
 
 
No caso da função composta, teremos: 
 
 
 
 
 
x
dx
dy
entãoxySe cosh,senh == 
( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxf
dx
dy
entãoxfySe cosh,senh ′== 
x
dx
dy
entãoxySe senh,cosh == 
( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxf
dx
dy
entãoxfySe senh,cosh ′== 
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EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( )x
x
yxy senh
2
1
cosh =′⇒= 
 
02) ( ) ( )xxyxy sensenh.cossencosh =′⇒= 
 
C) FUNÇÃO TANGENTE HIPERBÓLICA: 
 
Se tghxy = então, por definição, 
x
x
y
cosh
senh
= . 
A derivada será: xh
xx
xx
dx
dy 2
22
22
sec
cosh
1
cosh
senhcosh
==
−
= 
 
Portanto: 
 
 
No caso da função composta, teremos: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) 




−=′⇒




=
x
h
x
y
x
tghy
1
sec
11 2
2
 
 
02) ( ) ( )xxx hytghy 2sec.2ln.22 2=′⇒= 
 
 
 
xh
dx
dy
entãotghxySe 2sec, == 
( )[ ] ( ) ( )[ ]xfhxf
dx
dy
entãoxftghySe 2sec, ′== 
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D) FUNÇÃO COTANGENTE HIPERBÓLICA: 
 
Se ghxy cot= então, por definição, 
x
x
y
senh
cosh
= . 
A derivada será: xh
xx
xx
dx
dy 2
22
22
seccos
senh
1
senh
coshsenh
−=
−
=
−
= 
 
Portanto: 
 
 
No caso da função composta, teremos: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( )xh
x
yxghy lnseccos
1
lncot
2−=′⇒= 
 
02) ( ) ( )tgxhxytgxghy 22 seccos.seccot −=′⇒= 
 
E) FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA: 
 
Se hxy sec= então, por definição, 
x
y
cosh
1
= . 
A derivada será: tghxhx
x
x
xxx
x
x
xx
dx
dy
.sec
cosh
senh
.
cosh
1
cosh.cosh
senh
cosh
senh.1cosh.0
2
−=−=
−
=
−
= 
 
Portanto: 
 
 
xh
dx
dy
entãoghxySe 2seccos,cot −== 
( )[ ] ( ) ( )[ ]xfhxf
dx
dy
entãoxfghySe 2seccos,cot ′−== 
tghxhx
dx
dy
entãohxySe .sec,sec −== 
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No caso da função composta, teremos: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) ( )5545 .sec.5sec xtghxhxyxhy −=′⇒= 
 
02) ( ) ( ) ( )xxxx tghhyhy 10.10sec.10ln1010sec −=′⇒= 
 
F) FUNÇÃO COSECANTE HIPERBÓLICA: 
 
Se hxy seccos= então, por definição, 
x
y
senh
1
= . 
A derivada será: ghxhx
x
x
xxx
x
x
xx
dx
dy
cot.seccos
senh
cosh
.
senh
1
senh.senh
cosh
senh
cosh.1senh.0
2
−=−=
−
=
−
= 
 
Portanto: 
 
 
No caso da função composta, teremos: 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) ( )baxghbaxhaybaxhy ++−=′⇒+= cot.seccos.seccos 
 
02) ( ) ( ) ( )xghxhxyxhy coscot.cosseccos.sencosseccos =′⇒= 
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]xftghxfhxf
dx
dy
entãoxfhySe .sec,sec ′−== 
ghxhx
dx
dy
entãohxySe cot.seccos,seccos −== 
( )[ ] ( ) ghxhxxf
dx
dy
entãoxfhySe cot.seccos.,seccos ′−== 
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CÁLCULO 1 – AULA 12 - DERIVADAS 
 
 
APLICAÇÕES: 
 
Agora que já estudamos todas as regras de derivação de funções da forma ( )xfy = , e já 
termos feito exemplos específicos para cada uma delas em particular, achamos importante fazer 
esta aula apenas com exercícios resolvidos. 
 
01) Achar a derivada y′ nas seguintes funções: 
a) ( )xy arcsencos= 
Fazendo xu arcsen= , temos uy cos= 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
( )
222
11
1
.arcsensen
1
1
.sen
x
x
dx
dy
x
x
x
u
dx
dy
−
−=⇒
−
−=
−
−= 
 
b) 2
2
.
x
exy
−
= 
( )xeye
x
x
xey
xxx
21..
2
..1 222
222
−=′⇒




−+=′
−−−
 
 
c) 
x
x
y
−
+
=
1
1
 
( ) ( )
( )21
1.
2
1
1.
2
1
x
x
x
x
x
y
−
+





−−−
=′ 
( ) ( )22 1.
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
xx
y
x
xx
y
−
=′⇒
−
++−
=′ 
 
 
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d) 
3 43 2 x
b
x
a
y −= 
3
4
3
2
..
−−
−= xbxay 
1
3
4
1
3
2
..
3
4
..
3
2 −−−−





−−−=′ xbxay 
3 73 5
3
7
3
5
3
4
3
2
..
3
4
..
3
2
x
b
x
a
yxbxay +−=′⇒+−=′
−−
 
 
e) 
( )
( )[ ] 2
3
2
23
5sen
5sen
1 −
=⇒= xy
x
y 
( )[ ] ( )212
3
2
5cos.10.5sen
2
3
xxxy
−−
−=′ 
( )[ ] ( ) ( )
( )25
2
2
2
5
2
5sen
5cos.15
5cos.10.5sen
2
3
x
xx
yxxxy −=′⇒−=′
−
 
 
02) Se 




=
6
3 xtgy
π
, calcule ( )2y′ 
6
.
6
sec.
6
.3
22 πππ 










=′
xx
tgy 
Para 2=x , teremos: 
( )
6
.
3
sec.
3
.32
22 πππ 










=′ tgy 
Da Trigonometria, sabemos que: 3
3
=
π
tg e 2
3
sec =
π
 
 
Então: ( ) ( ) ( ) ππ 62
6
.2.3.32
2
2
=′⇒=′ yy 
 
03) Se ( ) 




++=
2
arcsen1ln
x
xy , calcule o valor de ( )1y′ . 
 
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22
4
1
1
1
4
1
2
1
1
1
xx
y
xx
y
−
+
+
=′⇒
−
+
+
=′ 
No ponto 1=x , teremos: 
( ) ( ) ( )
6
323
1
3
3
2
1
1
3
1
2
1
1
+
=′⇒+=′⇒+=′ yyy 
04) Prove que, se 
x
x
y
2cos1
2cos1
−
+
= , então 
x
x
y
3
sen
cos2
−=′ . 
( ) ( )
( )22cos1
2sen2.2cos12cos1.2sen2
x
xxxx
y
−
+−−−
=′ 
( )22cos1
2cos.2sen22sen22cos.2sen22sen2
x
xxxxxx
y
−
−−+−
=′ 
( ) x
x
y
x
xx
y
xx
x
y
34222 sen
cos2
sen.4
cos.sen2.4
sencos1
2sen4
−=′⇒−=′⇒
+−
−=′ 
 
05) Sendo ty sen= , tu cos= e 




=
u
x
1
arccos e ( )xfy = , achar y′ . 
Temos y como uma função composta da variável x . 
Neste caso, devemos ter ( )tfy = , ( )ugt = e ( )xhu = . 
Portanto, devemos reescrever as expressões dadas, isto é: 
ty sen= ; ut arccos= e x
x
ux
u
sec
cos
1
cos
1
==⇒= 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dt
dt
dy
dx
dy
..= 
Assim: 
x
tgxx
dx
dy
tgxx
u
t
dx
dy
2
2
2
sec1
.sec
.sec.
1
1
.cos
−
−=⇒







−
−= 
 
Atenção: Observe que, embora tenhamos determinado uma expressão para a derivada desta 
função composta, ela não existe no campo dos Reais, uma vez que xtgx 22sec1 −=− . No entanto, 
o exercício é didaticamente válido, como uma aplicação de funções compostas. 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 12 
 
 
01) Mostre que: 
a) se ( ) ( ) xaxaxy 2sencos.sen2 −−+= , então 0y =′ . 
b) se 
xsec
1tgx
y
−
= então xsenxcosy +=′ . 
c) se 


 −+= 1xxlny 2 então 
1x
1
y
2 −
=′ . 
d) se 
xsen1
xsen1
lny
−
+
= então xsecy =′ . 
e) se 
xcos1
xcos1
arctgxy
+
−
−= , então 
2
1
y =′ . 
 
02) Achar )3(y′ sendo 
2
2
x10
5x
y
−
−
= . Resp: 
2
15
. 
 
03) Sendo 
xar
x
y
cos
arcsen
= , calcule 
dx
dy
 para 
2
1
=x . Resp: 
π
33
 
 
04) Achar 




 π′
6
y sendo 
xcos
xsen1
y
+
= . Resp: 2. 
 
05) Sabendo que ( ) ( )( ) 37
2
2
2
3
ln
2
1
+




 −+=
x
arctgxgxf e ( ) 842 +−= xxxg , verifique que 
( ) ( ) xxgxf =−′ 1. . 
 
06) Sendo ( ) ( )xxf arcsencos= , calcule 






′
2
3
f . Resp: 3− 
 
 
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07) Sabe-se que a reta r, tangente à curva 




=
x
arctgy
1
 pelo ponto 
3
3
=x , é perpendicular à reta 
s, que contém o ponto ( )5,2−P . Mostre que a equação da reta s é 
3
23
3
4
+= xy . 
 
08) Determinar as equações das retas tangentes à curva da função ( ) ( )75ln 2 +−= xxxf nos 
pontos de sua interseção com o eixo das abscissas. Resp: 32 −=+−= xyexy 
 
09) As retas tangentes ao gráfico da função ( ) 754 23 −+−= xxxxf pelos pontos 1=x e 3=x são 
concorrentes num ponto P. Encontre as coordenadas desse ponto. Resp: 




 −5,
2
5
P 
10) Seja 
tx
t
y
+
= , onde )x(tt = . Calcule 
Pdx
dy
, sabendo que 4=
Pdx
dt
 e que 2t = para 1x = . 
Resp: 
9
2
. 
 
11) Seja RR:f → uma função derivável e seja 




 +=
t
1
tf)t(g 2 . Supondo que 40
2
9
f =




′ , 
Calcule )2(g′ . Resp: 150. 
 
12) Achar os pontos sobre a curva 16xy 2 −= onde as tangentes são paralelas à reta 
2x5y3 =+ . Resp: )3,5( − e )3,5( 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 13 - DERIVADAS 
 
 
13.1 – DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS: 
 
Dizemos que uma função é Implícita ou é definida implicitamente quando ela é representada 
por uma equação da forma ( ) 0, =yxf . 
 
EXEMPLOS: 
01) 023 2 =+ xyx 
02) ( ) ( ) 0sencoscot 232 =+− yxyxyg 
03) 133 =− yx 
04) 1cossenlnln 2 −=+−+ xyxyx 
05) ( )
6
arcsen
π
=+ yx 
 
Uma função dada na forma implícita ( ) 0, =yxf geralmente está representando numa única 
equação duas ou mais funções explícitas da forma ( )xfy = . 
Algumas funções implícitas podem ser escritas na forma explícita, mas a maioria não. 
Neste item queremos obter a derivada y′ de uma função implícita, independentemente do fato 
de podermos ou não escreve-la na forma explícita. 
Para isto, procedemos da seguinte maneira: 
a) usando as regras de derivação conhecidas derivamos a equação com relação a x e a y , 
simultaneamente; 
b) quando derivarmos com relação a y devemos multiplicar o resultado por y′ ; 
c) como y′ irá aparecer como um fator comum, então o colocamos em evidência e o 
isolamos. 
 
Desta forma teremos obtido a expressão da derivada da função implícita, que será outra 
função implícita. 
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Esta derivada é válida para todas as funções explícitas que essa função implícita está 
representando. 
 
EXEMPLOS: 
Achar a derivada y′ nas funções dadas na forma implícita: 
01) 122 =+ yx 
Derivando implicitamente: 
0.22 =′+ yyx 
Isolando y′ , temos: 
y
x
y
y
x
y −=′⇒
−
=′
2
2
 
Observação: 
A equação 122 =+ yx representa no plano cartesiano uma circunferência de centro na Origem 
e raio unitário. Portanto, esta equação não representa uma função e sim uma relação. 
Entretanto, interpretando essa relação como uma função dada na forma implícita, foi possível 
encontrar uma expressão para a sua derivada. 
Usando o conceito da Interpretação Geométrica da Derivada, observe que a expressão obtida 
para a derivada de 122 =+ yx é válida para qualquer ponto ( )yx, da circunferência, 
independentemente do quadrante ao qual pertença esse ponto. 
Este exemplo ilustra o fato de que, mesmo quando a função implícita representar várias 
funções, é possível obter uma única expressão para as derivadas de todas essas funções. 
 
02) 253 2 =− xyx 
Derivando implicitamente: 
( ) 0..1.56 =′+− yxyx 
yxyxyxyx 5650556 −=′⇒=′−− 
Isolando y′ , obtemos: 
x
yx
y
5
56 −
=′ 
03) 0333 =−+ axyyx 
Derivando implicitamente: 
( ) 03.33 22 =′+−′+ yxyayyx 
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033.33 22 =′−−′+ yaxayyyx 
( ) ( )22 33 xayaxyy −=−′ 
Isolando y′ , resulta: 
axy
xay
y
−
−
=′
2
2
 
04) ( ) yyxarctg =+ 
Podemos escrever: tgyyx =+ 
Derivando implicitamente: 
yyy ′=′+ .sec1 2 
( ) 11sec2 =−′ yy 
Isolando y′ , teremos: ygy
ytg
y
y
y 2
22
cot
1
1sec
1
=′⇒=′⇒
−
=′ 
05) xey xy =+ln 
Derivando implicitamente: 
( ) 1.1 =′++′ yxyey
y
xy 
1.. =′++
′ xyxy eyxey
y
y
 
Multiplicando por y : 
yeyxyeyy xyxy =′++′ ..2 
( ) xyxy eyyexyy ..1 2−=+′ 
Isolando y′ , obtemos: 
xy
xy
exy
eyy
y
.1
.2
+
−
=′ 
06) Mostre que a equação da reta tangente ao gráfico da função 28y2xyx 22 =++ no ponto 
)3,2(P é 08y2x =−+ . 
A equação da reta tangente à curva da função ( )xfy = no ponto ( )00 , yx é dada por: 
( )( )000 . xxxyyy −′=− , onde 20 =x e 30 =y . 
Falta-nos apenas o valor da derivada ( ) ( )20 yxy ′=′ . 
Como a função foi dada na forma implícita, vamos deriva-la implicitamente. 
Assim: 042 =′+′++ yyyxyx 
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( ) yxyxy −−=+′ 24 
Isolando y′ , obtemos 
yx
yx
y
4
2
+
−−
=′ 
No ponto ( ) ( )
2
1
14
7
122
34
23,2 −=
−
=
+
−−
=′⇒ yP 
Então, a reta tangente será: ( )2
2
1
3 −−=− xy , ou, na forma geral: 082 =−+ yx 
 
13.2 – DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL GERAL: 
 
Dizemos que uma função é Exponencial Geral quando ela se apresenta sob a forma vuy = , 
onde ( )xuu = e ( )xvv = , isto é, uma função exponencial particular onde tanto a base como o 
expoente são funções da variável x 
 
EXEMPLOS: 
 
01) xxy = 
02) xxy sen= 
03) ( ) xtgxy cosh= 
 
Como não se trata de uma função potência e muito menos de uma função exponencial 
comum, devemos dar um tratamento especial para essa classe de funções. 
Este tratamento consiste em transformar a função dada com o uso de logaritmos e, depois, 
deriva-la implicitamente. 
De modo geral: 
Se vuy = , podemos tomar logaritmos e obter: 
uvyuy v ln.lnlnln =⇒= (que é uma função implícita) 
Derivando implicitamente: 
u
u
vuvy
y
′
+′=′ .ln..
1
 
 
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




 ′+′=′
u
vu
uvyy ln. 
Como vuy = , podemos escrever: 
 
EXEMPLOS: 
01) xx xyxy
1
=⇒= 
Tomando logaritmos: 
x
x
yxy x ln.
1
lnlnln
1
=⇒= 
Derivando implicitamente: 
xx
x
x
y
y
1
.
1
ln.
1
.
1
2
+−=′ 
( ) ( )x
x
x
yx
x
y
y
x
ln1.ln1.
22
−=′⇒−=′ 
 
02) xxy ln= 
Tomando logaritmos: 
xxyxy x ln.lnlnlnln ln =⇒= 
Derivando implicitamente: 
x
x
x
x
y
y
ln.
1
ln.
1
.
1
+=′ 
x
x
x
yx
x
y
y
x
ln.
2
ln
2 ln
=′⇒=′ 
 
03) ( )xxy sen= 
Tomando logaritmos: 
( ) ( )xxyxy x senln.lnsenlnln =⇒= 
Derivando implicitamente: 
( )
x
x
xxy
y sen
cos
.senln.1.
1
+=′ 





 ′+′=′
u
vu
uvuy v ln. 
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( ) 


 +=′
x
xx
xyy
sen
cos
senln. 
( ) ( )[ ]gxxxxy x cot.senln.sen +=′ 
 
13.3 – DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR: 
 
Consideremos que a função definida por ( )xfy = seja Contínua num intervalo ℜ⊂I e 
derivável num intervalo II ⊂1 . 
Então, nesse intervalo 1I , podemos definir a função ( )xfy ′=′ , isto é, a função derivada 
primeira de y em relação a x ou derivadade primeira ordem. 
Se ( )xfy ′=′ for derivável num intervalo 12 II ⊂ , podemos definir em 2I a função ( )xfy ′′=′′ , 
isto é, a função derivada segunda de y em relação a x ou derivada de segunda ordem. 
Se tomarmos intervalos 23 II ⊂ , 34 II ⊂ , etc., podemos definir as derivadas: 
( ) ⇒′′′=′′′ xfy derivada terceira ou de terceira ordem; 
( ) ⇒= xfy IVIV derivada quarta ou de quarta ordem; 
 M 
( ) ( )( ) ⇒= xfy nn derivada enésima ou de enésima ordem. 
 
Estas derivadas, chamadas de Derivadas de Ordem Superior ou Derivadas Sucessivas, 
podem ainda ser denotadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada derivada de ordem superior é obtida derivando-se a derivada anterior, isso é: 
( )






==






==′′′



==′′
−
−
1
1
2
2
3
3
2
2
n
n
n
n
n
dx
yd
dx
d
dx
yd
y
dx
yd
dx
d
dx
yd
y
dx
dy
dx
d
dx
yd
y
M
 
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- a derivada de segunda ordem é a derivada da derivada de primeira ordem; 
- a derivada de terceira ordem é a derivada da derivada de segunda ordem; 
- a derivada de quarta ordem é a derivada da derivada de terceira ordem; 
e assim, sucessivamente. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Obter todas as derivadas da função definida por 15234 2345 ++−+−= xxxxxy . 
11081220 234 +−+−= xxxx
dx
dy
 (derivada de primeira ordem) 
10163680 23
2
2
−+−= xxx
dx
yd
 (derivada de segunda ordem) 
1672240 2
3
3
+−= xx
dx
yd
 (derivada de terceira ordem) 
72480
4
4
−= x
dx
yd
 (derivada de quarta ordem) 
480
5
5
=
dx
yd
 (derivada de quinta ordem) 
0
6
6
=
dx
yd
 (derivada de sexta ordem) 
0
7
7
=
dx
yd
 (derivada de sétima ordem) 
De maneira geral, podemos então afirmar que 0=
n
n
dx
yd
, para todo 6≥Ν∈ nen 
 
02) Achar todas as derivadas da função definida pela equação 10, ≠>= aeacomay x . 
aay x ln.=′ 
( )2ln.ln.ln. aayaaay xx =′′⇒=′′ 
( ) ( )32 ln.ln.ln. aayaaay xx =′′′⇒=′′′ 
Por indução, podemos dizer que: ( ) ( )nxn aay ln.= . 
 
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03) Obtenha uma expressão que represente a enésima derivada da função 
x
y
1
= . 
22
!11
xxdx
dy
−=−= 
( )
332
2
4
2
2
2 !222.1.0
xxdx
yd
x
xx
dx
yd
==⇒
−−
= 
443
3
6
23
3
3 !363.2.0
xxdx
yd
x
xx
dx
yd
−=−=⇒
−
= 
( )
554
4
8
34
4
4 !4244.6.0
xxdx
yd
x
xx
dx
yd
==⇒
−−
= 
 
Podemos, então, induzir que ( ) Ν∈−=
+
ncom
x
n
dx
yd
n
n
n
n
,
!
.1
1
. 
 
04) Mostre que a função xey x cos.−= verifica a equação 04
4
4
=+ y
dx
yd
 
( )xxeexxe
dx
dy xxx sencos..sencos. +−=−−= −−− 
( ) ( ) xe
dx
yd
xxexxe
dx
yd xxx sen.2cossen.sencos.
2
2
2
2
−−− =⇒+−−+= 
( )xxe
dx
yd
xexe
dx
yd xxx sencos.2cos.2sen.2
3
3
3
3
−=⇒+−= −−− 
( ) ( ) xe
dx
yd
xxexxe
dx
yd xxx cos.4cossen.2sencos.2
4
4
4
4
−−− −=⇒−−+−−= 
Substituindo na equação 04
4
4
=+ y
dx
yd
, temos: 
 
0cos.4cos.4 =+− −− xexe xx 
 
Observação: A equação do exercício é chamada de Equação Diferencial e a função dada, 
que a verifica, é uma das soluções dessa Equação Diferencial. Este assunto será objeto de estudo 
em outro curso de Cálculo que você terá futuramente. 
 
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05) Se ( )3xfy = e ( ) 3 xxf =′ , achar ( )4y ′′ . 
Temos: ( ) 23 3. xxfy ′=′ , pois y é uma função composta de x . 
Como ( ) 3 xxf =′ , então ( ) ( )xxfxxf 33 33 ′⇒=′ 
Portanto: 232 93.3 xyxyxxy =′′⇒=′⇒=′ 
 
Para 4=x , teremos: ( ) ( ) 14444.94 2 =′′⇒=′′ yy 
 
06) Se 022222 =++++ yxxyyx , encontre y ′′ no ponto ( )3,1 −P . 
Derivando implicitamente: 
0.22.22.22 =′++′++′+ yyxyyyx (1) 
Derivando mais uma vez implicitamente, temos: 
02.222.2.22 =′′+′′+′+′+′′+′′+ yyxyyyyyy (2) 
Substituindo o ponto P em (1): 
10222662 −=′⇒=′++′+−′− PPPP yyyy 
Levando na equação (2) : 
( ) 0224.622 2 =′′+′′+′+′′−′+ PPPPP yyyyy 
Calculando, temos: 
 
004222 =′′⇒=−′′−+ PP yy 
 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 13 
 
 
01) Se ( ) xy100yx3 222 =+ , achar o valor de y′ no ponto )1,3(P . Resp: 
9
13
. 
 
02) Se 32 xy)x4( . =− , achar o valor de y′ no ponto )2,2(P . Resp: 2. 
 
03) Se ( ) yx4yx 2222 =+ , achar o valor de y′ no ponto )1,1(P . Resp: 0. 
 
04) Dada a função definida na forma implícita pela equação 09y8y4x6x 22 =+−+− , mostre 
que a derivada y′ no ponto ( )22,22P −+ é igual a 
4
1
. 
 
05) Mostre que a tangente à curva 2=




+





nn
b
y
a
x
 no ponto (a,b) é 2=+
b
y
a
x
. 
 
06) Seja g uma função tal que 3)1(g,2)1(g =′= e 8)1(g =′′ . Se f é uma função tal que 
)x(gx)x(f .4= , calcule )1(f ′′ . Resp: 56 
 
07) Sendo 2x2arctgyy 22 =+− , achar y ′′ no ponto )0,1(P . Resp: 36. 
 
08) Se ( )2xfy = e ( ) arctgxxf =′ , achar 
2
2
dx
yd
 no ponto 1=x . Resp: 
2
4+π
 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 14 - DERIVADAS 
 
 
14.1 – DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO: DEFINIÇÃO: 
 
Consideremos uma função definida por ( )xfy = e derivável no seu Domínio. 
Por definição, sabemos que: 
( )
x
y
xf
x ∆
∆
=′
→∆
lim
0
 
Podemos tirar o limite, escrevendo: 
( ) ε±′=
∆
∆
xf
x
y
 , onde 0→ε 
Multiplicando membro a membro por x∆ , temos: 
( ) xxxfy ∆±∆′=∆ .. ε 
Como 0→∆x e 0→ε , então o produto x∆.ε tende a zero muito mais rapidamente do que os 
fatores ε e x∆ isoladamente. 
Logo, a parte principal do Acréscimo y∆ deve-se à primeira parcela ( ) xxf ∆′ . . 
A esta parte principal damos o nome de Diferencial da função, e indicamos por dy . 
Assim: ( ) xxfdy ∆′= . 
Porém, como x é a variável independente, podemos chamar dxx =∆ . 
 
Portanto, a Diferencial dy é definida por: 
 
CONCLUSÃO: A Diferencial dy de uma função ( )xfy = é igual ao produto da sua derivada 
( )xf ′ pela diferencial dx da variável x . 
 
OBSERVAÇÃO: Não devemos confundir a Diferencial dy com o Acréscimo y∆ de uma 
função ( )xfy = . Na verdade, eles são valores aproximados e, sempre que necessário, podemos 
utilizar a Diferencial como uma aproximação do Acréscimo, isto é, ydy ∆≅ . 
Para ilustrar esta observação, vamos considerar o seguinte exemplo: 
 
( )dxxfdy .′= 
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“Sendo 27 cm3 o volume de uma caixa cúbica, de quanto devemos aumentar a aresta para 
que a mesma atinja, aproximadamente, 30 cm3?” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a Solução - Usando acréscimos: 
Supondo que a aresta do cubo tenha medida x , temos 3xV = (volume) 
Portanto: ( )3xxVV ∆+=∆+ 
3223
.3.3 xxxxxxVV ∆+∆+∆+=∆+ 
322
.3.3 xxxxxV ∆+∆+∆=∆ 
 
Tomando cmx 3= e 332730 cmV =−=∆ , temos: 
03.27.9.9.273
2332 =−∆+∆+∆⇒∆+∆+∆= xxxxxx 
 
A equação obtida é do terceiro grau, cuja solução não é elementar. 
Se resolvermos numericamente esta equação, vamos obter, à custa de muito trabalho, o 
 
seguinte resultado: 
 
2a Solução - Usando diferenciais: 
( ) ( ) dxxdVdxxfdVxfVxV .3. 23 =⇒′=⇒=⇒= 
Tomando cmx 3= e 33 cmdV = , teremos: 
cmdxdx
9
1
.9.33 =⇒= ⇒ 
cm3 
cm3 
cm3 
cmx 107,0=∆ 
cmdx 11,0≅ 
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14.2 – PROPRIEDADES DA DIFERENCIAL: 
 
Para enunciar as propriedades das Diferenciais, vamos considerar ℜ∈k , ( )xuu = e ( )xvv = , 
isto é, u e v são duas funções de x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
Achar as diferenciais das seguintes funções: 
01) xxtgxy ++= 3 
dx
x
xxdy .
2
1
3sec
22






++= 
02) xexy += ln 
dxe
x
dy x .
1





 += 
 
 
03) xxy sen.2= 
( ) dxxxxxdy .cos.sen.2 2+= 
[] 0:
1
=kdP 
[ ] dukkudP ..:
2
= 
[ ] dvduvudP +=+:
3
 
[ ] dvuduvvudP ...:
4
+= 
25
..
:
v
dvuduv
v
u
dP
−
=



 
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04) 532 23 =+ xyyx 
Diferenciando implicitamente: 
03346
322 =+++ xdyydxydyxdxyx 
( ) ( ) ( )( ) dxyxx
yyx
dydxyyxxyxdy .
34
23
2334
2
22
223
+
+
−=⇒+−=+ 
 
14.3 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DIFERENCIAL: 
 
Seja ( )xfy = uma função definida e derivável num intervalo dos Reais, cujo gráfico é o da 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar, ainda, uma reta tangente à curva no ponto ( )
00
, yx , formando um ângulo α 
com o sentido positivo do eixo das abscissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
y 
x 
( )xfy = 
y 
x 
α 
0
y 
reta tangente 
0
x 0 
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Se atribuirmos à variável x um acréscimo xdx ∆= , com 0→∆x , em correspondência vamos 
obter um acréscimo dy para y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do triângulo ABC, temos: 
AB
BC
tg =α 
Mas: xdxAB ∆== 
Logo: 
dx
BC
tg =α 
Porém, da Interpretação Geométrica da Derivada, sabemos que ( )xftg ′=α para todo x do 
Domínio da função ( )xf onde ela é derivável. 
Assim: 
( ) ( ) dxxfBC
dx
BC
xf .′=⇒=′ 
Como, por definição, ( )xfdy ′= , teremos dyBC = . 
 
CONCLUSÃO: 
 
Numa função ( )xfy = , quando atribuímos à variável x um acréscimo dxx =∆ , vamos obter 
em correspondência um acréscimo dy na ordenada da reta tangente à curva desta função em 
cada ponto do seu Domínio. 
0 
y 
x 
α 
0
x 
0
y 
xx ∆+
0
 
yy ∆+
0
 
α A 
B 
C 
x∆ 
dx 
dy 
y∆ 
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14.4 – DERIVADA DE FUNÇÕES PARAMÉTRICAS: 
 
Chamamos de Paramétrica a toda função definida de modo que as variáveis independente ( )x 
e dependente ( )y são escritas em função de uma terceira variável chamada de Parâmetro. 
Vamos admitir, então, que a função ( )xfy = seja definida na forma paramétrica da seguinte 
maneira: 
( )
( )


=
=
thx
tgy
 , onde t é o parâmetro, isto é, tanto x quanto y são funções de t . 
As diferenciais dy e dx são, respectivamente: 
( )dttgdy .′= e ( )dtthdx .′= 
Dividindo dy por dx , teremos: 
 
( )
( )
( )
( )th
tg
dtth
dttg
dx
dy
′
′
=
′
′
=
.
.
 ⇒ 
 
Da mesma forma, se dividirmos dx por dy , obtemos: 
 
( )
( )
( )
( )tg
th
dttg
dtth
dy
dx
′
′
=
′
′
=
.
.
 ⇒ 
 
CONCLUSÃO: 
Para derivar uma Função Paramétrica, basta derivar as variáveis dependente e independente 
com relação ao parâmetro e dividir uma derivada pela outra. 
 
EXEMPLOS: 
01) Calcular 
dx
dy
, sendo 




=
+=
t
x
tty
1
2
 , com 0≠t . 
dt
dx
dt
dy
dx
dy
= ⇒ 23
2
2
1
12
tt
t
t
dx
dy
−−=
−
+
= 
 
dt
dx
dt
dy
dx
dy
= 
dt
dy
dt
dx
dy
dx
= 
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02) Calcule 
dy
dx
, sabendo que 




=
=
tbx
tay
2
2
cos
sen
, onde *ℜ∈a e *ℜ∈b 
dt
dy
dt
dx
dy
dx
= ⇒ 
( )
a
b
dy
dx
tta
ttb
tta
ttb
dy
dx
−=⇒
−
=
−
=
cossen2
cossen2
cos.sen2.
sen.cos2.
 
03) Calcule 
2
2
dx
yd
, sendo 




=
=
θ
θ
θ
θ
sen.
cos.
ey
ex
 
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
θ
θθ
θθ
sencos
cossen
sen.cos.
cos.sen.
−
+
=⇒
−
+
=⇒=
dx
dy
ee
ee
dx
dy
d
dx
d
dy
dx
dy
 
Temos: 



−
+
=⇒


=
θθ
θθ
sencos
cossen
2
2
2
2
dx
d
dx
yd
dx
dy
dx
d
dx
yd
 
Porém, não podemos derivar com relação à variável x uma função definida na variável θ , que 
é o parâmetro. 
Portanto, para obtermos a derivada de segunda ordem, devemos fazer: 
dx
d
dx
dy
d
d
dx
yd θ
θ
.
2
2



= 
Como 
θ
θ
d
dxdx
d 1
= , podemos escrever: 
 
 
Igualmente, faríamos: 
 
 
E assim, sucessivamente. 
No nosso caso: 
θθθθ
θθ
θ θθ sen.cos.
1
.
sencos
cossen
2
2
eed
d
dx
yd
−



−
+
= 
( ) ( )
( ) ( )θθθθ
θθθθ
θ
sencos.
1
.
sencos
cossensencos
2
22
2
2
−−
++−
=
edx
yd
 
( )3
2222
2
2
sencos.
coscos.sen2sensencos.sen2cos
θθ
θθθθθθθθ
θ −
++++−
=
edx
yd
 
θ
θ
d
dxdx
dy
d
d
dx
yd 1
.
2
2



= 
θ
θ
d
dxdx
yd
d
d
dx
yd 1
.
2
2
3
3






= 
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Simplificando: 
( )32
2
sencos.
2
θθθ −
=
edx
yd
 . 
04) Calcule 
2
2
dy
xd
, sabendo que 



−=
−=
ty
ttx
cos1
sen
. 
t
t
dy
dx
dt
dy
dt
dx
dy
dx
sen
cos1−
=⇒= 
dt
dyt
t
dt
d
dy
xd
dy
dt
dy
dx
dt
d
dy
xd 1
.
sen
cos1
.
2
2
2
2



 −=⇒





= 
( )
tt
ttt
dy
xd
sen
1
.
sen
cos1.cossen
2
2
2
2 −−
= 
t
t
dy
xd
t
ttt
dy
xd
32
2
3
22
2
2
sen
cos1
sen
coscossen −
=⇒
+−
= 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 14 
 
 
01) Sendo 




−=
+=
5
2
ttx
tty
, calcule 
dx
dy
 para 22=x . Resp: 
27
109
 
 
02) Achar 
2
2
xd
yd
 , no ponto 
6
t
π
= se 



=
=
tcosbx
tsenay
. Resp: 
2b
a8−
. 
 
03) Calcule 
2
2
dx
yd
 no ponto 
6
t
π
= se 




=
−=
tcostsen2x
tcostseny 22
. Resp: 8. 
 
04) Achar 
2
2
dx
yd
 no ponto 
8
a
x = se 




=
=
tsenax
tcosay
3
3
 e 
2
t0
π
≤≤ . Resp: 
a9
332
. 
 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 15 - DERIVADAS 
 
 
15.1 – REGRA DE L’HÔPITAL: 
 
A Regra de L’Hôpital é uma aplicação imediata de derivadas na resolução de limites que 
tenham indeterminações das formas 
0
0
 ou 
∞
∞
, conforme teremos oportunidade de demonstrar 
nesta aula. 
 
15.1.1 – Indeterminação da forma 0/0: 
 
Sejam as funções ( )xf e ( )xg , deriváveis num intervalo ℜ⊂I e seja Ix ∈
0
 um ponto para o 
qual se tem ( ) ( ) 0
00
== xgxf . 
 
Neste caso: 
( )
( )
( )
( ) 0
0
0
0
lim
0
==
→ xg
xf
xg
xf
xx
 (indeterminado) 
Como, por hipótese, ( ) ( ) 0
00
== xgxf , podemos escrever: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
limlim
00
xgxg
xfxf
xg
xf
xxxx −
−
=
→→
 
 
Dividindo o numerador e o denominador por ( )
0
xx − , resulta: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
limlim
00
xx
xgxg
xx
xfxf
xg
xf
xxxx
−
−
−
−
=
→→
 
Separando os limites, teremos: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
lim
lim
0
0
0
xx
xgxg
xx
xfxf
xg
xf
xx
xx
xx
−
−
−
−
=
→
→
→
 
 
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Como, por definição: 
( ) ( ) ( )
0
0
0
lim
0
xf
xx
xfxf
xx
′=
−
−
→
 e 
( ) ( ) ( )
0
0
0
lim
0
xg
xx
xgxg
xx
′=
−
−
→
, podemos 
 
 
 concluir que: 
 
 
EXEMPLOS: 
01) 
0
0sen
lim
0
=
→ x
x
x
 (indeterminado) 
Pela Regra de L’Hôpital: 
1
1
1
1
0cos
1
cossen
limlim
00
====
→→
x
x
x
xx
 
 
02) 
0
0
20
16
2
2
4
lim =−+
−
→ xx
x
x
 (indeterminado) 
Pela Regra de L’Hôpital: 
9
8
12
2
20
16
limlim
4
2
2
4
=
+
=
−+
−
→→ x
x
xx
x
xx
 
 
03) 
0
0
lim =−
−
→ ax
ax nn
ax
 (indeterminado) 
Pela Regra de L’Hôpital: 
1
1
.
1
.
limlim
−
−
→→
==
−
− n
n
ax
nn
ax
an
xn
ax
ax
 
 
04) 
0
0
sen
lim
0
=
− −
→ x
ee xx
x
 (indeterminado) 
Pela Regra de L’Hôpital: 
2
1
11
cossen
limlim
00
=
+
=
+
=
− −
→
−
→ x
ee
x
ee xx
x
xx
x
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
limlim
00
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xxxx ′
′
=
′
′
=
→→
 
Regra de L’Hôpital 
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15.1.2 – Indeterminação da forma 00/00:Sejam as funções ( )xf e ( )xg , deriváveis num intervalo ℜ⊂I . 
Vamos admitir ainda que ( ) ∞→
0
xf e que ( ) ∞→
0
xg . 
Neste caso: 
( )
( ) ∞
∞
=
→ xg
xf
xx
lim
0
 (indeterminado) 
Podemos, ainda, escrever: 
( )
( )
( )
( )
0
0
1
1
limlim
00
==
→→
xf
xg
xg
xf
xxxx
 (indeterminado) 
Como há uma indeterminação da forma 
0
0
 no segundo limite, então podemos aplicar a ele a 
Regra de L’Hôpital, ou seja: 
( )
( )
( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )
( )[ ]
( )
( )
( )
( )[ ]
( )
( )[ ]2
2
2
2
limlimlimlim
0000
.1.0
.1.0
xf
xf
xg
xg
xg
xf
xf
xfxf
xg
xgxg
xg
xf
xxxxxxxx
′
−
′
−
=⇒
′−
′−
=
→→→→
 
( )
( )
( )[ ]
( )[ ]
( )
( )xf
xg
xg
xf
xg
xf
xxxx ′
′
=
→→
.
2
2
limlim
00
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )xf
xg
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xxxxxxxx ′
′
=
→→→→
limlimlimlim
0000
.. 
( )
( )
( )
( )xg
xf
xf
xg xx
xx
lim
lim
0
0
1
→
→
=
′
′
 
Portanto, podemos escrever: 
 
 
 
 
Isto é, a Regra de L’Hôpital é a mesma para os dois tipos de indeterminação. 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
limlim
00
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xxxx ′
′
=
′
′
=
→→
 
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EXEMPLOS: 
01) 
( ) ∞
∞
=
+∞→ 1ln
ln
lim
x
x
x
 (indeterminado) 
Pela Regra de L’Hôpital: 
( )
1
1
1
1
1
1
1
1ln
ln
limlimlimlim =




 +=
+
=
+
=
+ ∞→∞→∞→∞→ xx
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
02) 
∞
∞
=
++
∞→
3
32
623
lim
x
xx
x
 (indeterminado) 
Pela Regra de L’Hôpital: 
22
2
3
66623
limlimlim 2
2
3
32
=




 +=
+
=
++
∞→∞→∞→ xx
xx
x
xx
xxx
 
 
03) Resolver x x
x
a+
∞→
1lim , com 10 ≠> aea e 1≥x . 
Temos: ( ) 0
1
11 limlim ∞=+=+
∞→∞→
x
x
x
x x
x
aa (indeterminado) 
Percebemos que o limite em questão é indeterminado, porém não das formas 
0
0
 ou 
∞
∞
. Então, 
aparentemente, não podemos aplicar a este limite a Regra de L’Hôpital. 
No entanto, vamos tentar fazer uma modificação neste limite. 
Chamando: ( )xxay
1
1+= e tomando logaritmos nos dois membros, teremos: 
( ) ( ) ( )
x
a
ya
x
yay
x
x
x
x +=⇒+=⇒+=
1ln
ln1ln.
1
ln1lnln
1
 
Tomando limites para ∞→x : 
( )
∞
∞
=
+
=
∞→∞→ x
a
y
x
xx
1ln
ln limlim (indeterminado) 
Aplicando a Regra de L’Hôpital no segundo limite, resulta: 
∞
∞
=
+
=
∞→∞→
x
x
xx a
aa
y
1
ln
ln limlim (indeterminado) 
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Aplicando novamente L’Hôpital: 
( )
aaa
aa
aa
y x x
x
x
x
xx
=+⇒==





∞→∞→∞→
1ln
ln
ln
ln limlimlim
2
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Uma vez que definimos a Regra de L’Hôpital, você pode voltar ao capítulo anterior e resolver 
novamente os limites que foram propostos usando esta regra. 
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CÁLCULO 1 – AULA 16 - DERIVADAS 
 
 
16.1 – CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES: 
 
16.1.1 – Funções Crescentes e Decrescentes: 
 
Neste item procuraremos empregar o conceito de derivadas para identificar funções 
crescentes ou decrescentes. 
Porém, é necessário primeiramente definir Função Crescente e Função Decrescente. 
Seja a função definida pela lei ( )xfy = , que seja contínua num intervalo ℜ⊂I e seja 
0
x um 
ponto desse intervalo. 
Então definimos: 
 
A – Função Crescente: 
 
Para todo 
( ) ( )
( ) ( )


>⇒>
<⇒<
∈
00
00
:
xfxfxxse
xfxfxxse
Ix , então dizemos que a função é crescente neste 
intervalo. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 x 0x x 
( )xf 
( )
0
xf 
( )xf 
( )xfy = 
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B – Função Decrescente: 
 
Para todo 
( ) ( )
( ) ( )


<⇒>
>⇒<
∈
00
00
:
xfxfxxse
xfxfxxse
Ix , então dizemos que a função é decrescente neste 
intervalo. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.1.2 – Intervalos de Crescimento e Decrescimento de Funções: 
 
Podemos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função definida 
pela lei ( )xfy = simplesmente analisando os sinais de sua derivada ( )xf ′ . 
Seja ( )xfy = uma função crescente num intervalo ℜ⊂I e vamos tomar retas tangentes à 
curva dessa função em pontos variados deste intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 x 0x x 
( )xf 
( )
0
xf 
( )xf 
( )xfy = 
y 
x 
0 
α α α 
( )xfy = 
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Neste caso, percebemos que 




∈
2
,0
π
α e 0>αtg . 
Vamos, agora, repetir este procedimento, considerando que a função ( )xfy = seja 
decrescente num intervalo ℜ⊂I . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, percebemos que 




∈ π
π
α ,
2
 e 0<αtg . 
De acordo com a Interpretação Geométrica da Derivada, ( ) αtgxf =′ para todo ponto x do 
Domínio da função onde ela é derivável. 
Portanto, para um intervalo ℜ⊂I onde a função é contínua, podemos concluir que: 
 
 
 
 
 
Assim, para identificarmos os intervalos de crescimento ou decrescimento de uma função 
( )xf , basta estudarmos os sinais de sua derivada ( )xf ′ . 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função ( ) 76
2
5
3
23
−+−= x
xx
xf . 
 
y 
0 
x 
α α α 
( )xfy = 
( ) ( )
( ) ( ) IemedecrescentéxfentãoIemxfSe
IemcrescenteéxfentãoIemxfSe
,0
,0
<′
>′
 
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FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Temos: ( ) 652 +−=′ xxxf 
Como a derivada é um polinômio de 2o grau e devemos estudar os seus sinais, vamos 
primeiramente achar as suas raízes. 
Para 0652 =+− xx temos 2=x ou 3=x . 
Estudo de Sinais: 
 
 
Concluímos que: 
• ( )xf é crescente para 2<x ou 3>x ; 
• ( )xf é decrescente para 32 << x . 
 
02) Estudar os intervalos de crescimento e decrescimento da função ( ) 12492 23 +−−= xxxxf . 
Temos: ( ) 24186 2 −−=′ xxxf 
Resolvendo a equação ( ) 0=′ xf , temos as raízes: 1−=x e 4=x . 
Estudo de Sinais: 
 
 
Concluímos que: 
• ( )xf é crescente para 1−<x ou 4>x ; 
• ( )xf é decrescente para 41 <<− x . 
 
03) Estude a função ( )
3
3
−
+
=
x
x
xf quanto ao seu crescimento ou decrescimento. 
Temos: ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )22 3
6
3
3.13.1
−
−
=′⇒
−
+−−
=′
x
xf
x
xx
xf 
Estudo de Sinais: 
 
 
 
 
 
+++++++−−−−−−−−−++++++ 
2 3 
x ( )xf ′ 
+++++++−−−−−−−−−++++++ 
1− 4 
x ( )xf ′ 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
+++++++++++++ +++++++++++ 
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3 
3 
x 
x 
x 
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Percebemos que a derivada ( )xf ′ é negativa para todos os pontos do Domínio desta função. 
Portanto, a função dada é estritamente decrescente (ou monótona) no seu domínio. 
 
16.2 – MÁXIMOS E MÍNIMOS RELATIVOS: 
 
16.2.1 – Definições: 
 
Seja ( )xfy = uma função contínua num intervalo ℜ⊂I e seja Ix ∈
0
. 
Então definimos: 
 
A – Máximo Relativo: 
 
A função ( )xfy = tem Máximo Relativo no ponto 
0
x se ( ) ( )
0
xfxf < para todo x nas 
vizinhanças de 
0
x . 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
x = ponto de Máximo Relativo 
 ( )
0
xf = Máximo Relativo 
 
 
y 
x 
0 x 
0
x x 
( )
0
xf 
( )xf 
( )xfy = 
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B – Mínimo Relativo: 
A função ( )xfy = tem Mínimo Relativo no ponto 
0
x se ( ) ( )
0
xfxf > para todo x nas 
vizinhanças de 
0
x . 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
x = ponto de Mínimo Relativo 
 ( )
0
xf = Mínimo Relativo 
Observação: 
Os pontos de Máximo ou Mínimo Relativos são chamados de extremantese os valores 
Máximo e Mínimo Relativos são chamados de extremos. 
 
0
x = Extremante 
 ( )
0
xf = Extremo 
EXEMPLO: 72492 23 +−−= xxxy 
 
 
 
 
 
 
 
y 
0 x 0x x 
( )
0
xf 
( )xf 
x 
( )xfy = 
y 
x 
0 1− 
20 
4 
105− 
72492
23 +−−= xxxy 
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Conclusões: 
1−=x ⇒ Ponto de Máximo Relativo 20=y ⇒ Máximo Relativo 
4=x ⇒ Ponto de Mínimo Relativo 105−=y ⇒ Mínimo Relativo 
 
16.2.2 – Teorema de Fermat: 
 
O Teorema de Fermat é importante para o estudo de Máximos e Mínimos Relativos, porque 
ele é o primeiro passo que se deve dar para a determinação dos extremantes de uma função, 
quando eles existem. 
Este Teorema afirma que: 
 
“Se 
0
x é extremante de uma função ( )xf e se existe ( )
0
xf ′ , então ( ) 0
0
=′ xf .” 
 
Demonstração: 
 
Conforme é do nosso conhecimento, todo Teorema é composto de Hipóteses e Teses. As 
Hipóteses são as afirmações que são feitas e consideradas verdadeiras. Tese é aquilo que se 
quer provar a partir das Hipóteses. 
No nosso caso, as Hipóteses são: 
• 
0
x é extremante da função ( )xf (ponto de Máximo ou Mínimo Relativo); 
• ( )
0
xf ′ existe 
Nestas condições, a Tese a ser provada é que ( ) 0
0
=′ xf . 
Vamos admitir que ( )
0
xf ′ fosse diferente de zero. 
Desta forma, temos dois casos a considerar: 
 
1o Caso: ( ) 0
0
>′ xf 
Se ( ) 0
0
>′ xf então, por definição, a função ( )xfy = é crescente nas vizinhanças de 
0
x . 
Neste caso, podemos admitir dois valores 
1
x e 
2
x nas vizinhanças do ponto 
0
x , de modo que 
se tenha: ( ) ( ) ( )
201201
xfxfxfxxx <<⇒<< . 
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Como ( ) ( )
01
xfxf < e ( ) ( )
02
xfxf > então não podemos afirmar que 
0
x seja extremante da 
função ( )xfy = . 
Logo, ( )
0
xf ′ não pode se maior que zero. 
 
2o Caso: ( ) 0
0
<′ xf 
Se ( ) 0
0
<′ xf então, por definição, a função ( )xfy = é decrescente nas vizinhanças de 
0
x . 
Neste caso, podemos admitir dois valores 
1
x e 
2
x nas vizinhanças do ponto 
0
x , de modo que 
se tenha: ( ) ( ) ( )
201201
xfxfxfxxx >>⇒<< . 
Como ( ) ( )
01
xfxf > e ( ) ( )
02
xfxf < então não podemos afirmar que 
0
x seja extremante da 
função ( )xfy = . 
Logo, ( )
0
xf ′ não pode se menor que zero. 
Concluímos, finalmente, que ( )
0
xf ′ só pode ser igual a zero. 
 
EXEMPLO: 
 
Na aula anterior mostramos que a função definida por ( ) 72492 23 +−−= xxxxf tinha como 
extremantes os valores 1−=x (ponto de Máximo Relativo) e 4=x (ponto de Mínimo Relativo). 
Temos: ( ) 24186 2 −−=′ xxxf 
 
Para ( ) ( ) 012418611 =−′⇒−+=−′⇒−= ffx 
 
Para ( ) ( ) 0424729644 =′⇒−−=′⇒= ffx 
 
Observações: 
 
O1: O Teorema de Fermat afirma que uma condição necessária para que 0x seja extremante 
de uma função ( )xf é que ( ) 0
0
=′ xf . 
Porém, esta condição não é suficiente, ou seja, o fato de se ter ( ) 0
0
=′ xf não implica, 
necessariamente, que 
0
x é um extremante da função. 
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Consideremos, por exemplo, a função ( ) 3xxf = . 
Temos: ( ) 23xxf =′ 
Para ( ) 000 =′⇒= fx 
Observamos que a derivada é nula quando 0=x . 
Entretanto, para ( ) 00 >′⇒< xfx e para ( ) 00 >′⇒> xfx . 
Isto significa que a função é crescente nas vizinhanças do ponto 0=x , o que caracteriza 
que este ponto não pode ser extremante da função. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebemos que a função é estritamente crescente, portanto não possui Máximo e nem 
Mínimo Relativos. 
O ponto 0=x , neste caso em particular, recebe o nome de Ponto de Inflexão Horizontal da 
função, isto é, ponto em que a curva muda de concavidade. 
 
O2: Os pontos em que se tem ( ) 0=′ xf são chamados de Pontos Críticos da função e são os 
possíveis pontos de Máximo ou Mínimo Relativos dessa função. 
 
y 
0 
x 
( ) 3xxf = 
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CÁLCULO 1 – AULA 17 - DERIVADAS 
 
 
17.1 – DETERMINAÇÃO DOS EXTREMANTES: 1a REGRA: 
 
A determinação dos extremantes de uma função, quando existem, pode ser feita de duas 
maneiras, ou pelo uso de duas regras distintas. Vejamos primeira delas. 
Seja ( )xfy = uma função contínua e derivável num intervalo ℜ⊂I e seja Ix ∈
0
. 
Vamos admitir, ainda, que ( ) 0
0
=′ xf . 
Neste caso, 
0
x é um Ponto Crítico da função e um provável Extremante (Ponto de Máximo ou 
Mínimo Relativo) dessa função. 
Vamos estudar os sinais da derivada ( )xf ′ nas vizinhanças do ponto 
0
x , nos casos em que 
esse ponto seja de Máximo ou de Mínimo Relativo: 
 
A) MÁXIMO RELATIVO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) MÍNIMO RELATIVO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0
x 
( )xfy = 
y 
x 
0
x 
( )xfy = 
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Analisando as figuras acima, percebemos que: 
• se 
0
x é Ponto de Máximo Relativo, então 
( )
( )


><′
<>′
0
0
0
0
xxparaxf
xxparaxf
. Em outras palavras, a 
função ( )xf é Crescente à esquerda de 
0
x e Decrescente à direita de 
0
x . 
• se 
0
x é Ponto de Mínimo Relativo, então 
( )
( )


>>′
<<′
0
0
0
0
xxparaxf
xxparaxf
. Em outras palavras, a 
função ( )xf é Decrescente à esquerda de 
0
x e Crescente à direita de 
0
x . 
 
Com estas observações, podemos definir a 1a Regra para a determinação de extremantes da 
seguinte forma: 
 
1o Passo: identificar os Pontos Críticos 
0
x , isto é, resolver a equação ( ) 0=′ xf ; 
 
2o Passo: estudar os sinais de ( )xf ′ à esquerda e à direita de 
0
x , e concluir: 
• se ( )xf ′ mudar de sinais ⊕ para Θ ao passar por 
0
x , então 
0
x será Ponto de Máximo 
Relativo da função; 
• se ( )xf ′ mudar de sinais Θ para ⊕ ao passar por 
0
x , então 
0
x será Ponto de Mínimo 
Relativo da função; 
• se ( )xf ′ não mudar de sinais ao passar por 
0
x , então 
0
x será Ponto de Inflexão 
Horizontal da função; 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Determinar os extremos da função ( )
x
xxf
1
4 += . 
a) Pontos Críticos: 
Devemos ter ( ) 0=′ xf 
( ) ( )
2
2
2
141
4
x
x
xf
x
xf
−
=′⇒−=′ 
 
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Assim: 
2
1
4
1
014
22 ±=⇒=⇒=− xxx 
Portanto, são Pontos Críticos: 
2
1
=x e 
2
1
−=x 
b) Estudo dos sinais da derivada: 
Como a derivada ( )xf ′ é um quociente de funções, então devemos estudar os sinais do 
numerador e do denominador e fazer a interseção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusões: 
• 
2
1
−=x é ponto de Máximo Relativo ( )−→+ 
• Para 
2
1
−=x , temos 4
2
1
−=




−f (Máximo Relativo) 
• 
2
1
=x é ponto de Mínimo Relativo ( )+→− 
• Para 
2
1
=x , temos 4
2
1
=





f (Mínimo Relativo) 
 
Observação: No ponto 0=x , embora não exista a derivada, temos uma Inflexão Vertical. 
 
02) A derivada da função ( )xfy = é: ( ) ( )( ) ( ) ( )432 4.3.2.1 −−−−=′ xxxxxf . 
Determinar os extremantes e os pontos de inflexão horizontal dessa função. 
 
a) Pontos Críticos: 
 
Devemos ter ( ) 0=′ xf 
++++++−−−−−−−−+++++ 
+++++++++++++++++++++++ 
+−−+ 
2
1
− 
2
1
 
0 
2
1
− 
0 
2
1
 
x 
x 
x 
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No nosso caso: ( )( ) ( ) ( ) 04.3.2.1 432 =−−−− xxxx . 
Os pontos Críticos serão: 1=x , 2=x , 3=x e 4=x 
 
b) Estudo dos sinais da derivada: 
 
Como a derivada ( )xf ′ é um produto de funções, então devemos estudar os sinais de cada 
fator e fazer a interseção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusões: 
• 1=x é ponto de Máximo Relativo ( )−→+ 
• 2=x é ponto de Inflexão ( )−→− 
• 3=x é pontode Mínimo Relativo ( )+→− 
• 4=x é ponto de Inflexão ( )+→+ 
 
03) Determinar os pontos de Máximo Relativo, Mínimo Relativo e Inflexão Horizontal da função 
definida por 3 326 xxy −= . 
 
a) Pontos Críticos: 
Devemos ter ( ) 0=′ xf ou 0=
dx
dy
 
No nosso caso: ( )3
1
32
6 xxy −= 
++++++++++++++++++++++++−−−−−− 
+++++++++++++++++++++++++++++ 
+++++++++++++−−−−−−−−−−−−−−−−− 
++++++++++++++++++++++++++++++ 
+ _ _ + + 
1 
2 
3 
4 
1 2 3 4 
x 
x 
x 
x 
x 
1−x 
( )22−x 
( )33−x 
( )44−x 
( )xf ′ 
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( ) ( )
( )3 232
2
2
3
2
32
6
4
312.6.
3
1
xx
xx
dx
dy
xxxx
dx
dy
−
−
=⇒−−=
−
 
Para 0=
dx
dy
, teremos 04 2 =− xx . 
 
Portanto, os Pontos Críticos serão: 0=x e 4=x 
Porém, observamos que a derivada não é definida quando o denominador é igual a zero, isto 
é, devemos ter: 6006 32 ≠≠⇒≠− xexxx . 
Ainda assim, vamos fazer o estudo dos sinais de 
dx
dy
. 
 
b) Estudo dos sinais da derivada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusões: 
 
Percebemos que, embora a derivada não seja definida para 0=x , o Domínio da função é 
Real, isto é, a função é definida em 0=x . 
Observamos também que a derivada muda de sinais ao passar por 0=x . 
Neste caso, podemos afirmar que 0=x é extremante. 
Assim: 
• 0=x é ponto de Mínimo Relativo ( )+→− ; 
• 4=x é ponto de Máximo Relativo ( )−→+ ; 
• 6=x é ponto de Inflexão. 
 
.Num 
.Den 
dx
dy
 
x 
x 
x 
0 
0 
0 
4 
4 
6 
6 
−−−−−−−−−−−++++++++−−−−−−−− 
++++++++++++++++++++++++++++ 
+ _ _ _ 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17.2 – DETERMINAÇÃO DOS EXTREMANTES: 2a REGRA: 
 
A segunda regra para a identificação dos extremantes de uma função, ao invés de estudar os 
sinais da derivada primeira, estuda o sinal da derivada segunda nos Pontos Críticos. 
Sejam ( )xf , ( )xf ′ e ( )xf ′′ funções contínuas e deriváveis num intervalo ℜ⊂I e seja o ponto 
Ix ∈
0
. 
Podemos demonstrar que: 
 
A) Se 
0
x é Ponto Crítico da função, isto é, se ( ) 0
0
=′ xf e ( ) 0
0
>′′ xf , então 
0
x é ponto de 
Mínimo Relativo; 
 
B) Se 
0
x é Ponto Crítico da função, isto é, se ( ) 0
0
=′ xf e ( ) 0
0
<′′ xf , então 
0
x é ponto de 
Máximo Relativo; 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
PARTE A: 
Se ( ) 0
0
>′′ xf , então existe uma vizinhança de 
0
x na qual a função é crescente. 
y 
x 
0 4 6 
2+−= xy 
3 32
6 xxy −= 
.Máx 
.Mín 
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Neste caso: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )


>′⇒′>′⇒>
<′⇒′<′⇒<
0
0
00
00
xfxfxfxxse
xfxfxfxxse
. 
Isto significa que ( )xf ′ muda de sinais Θ para ⊕ ao passar por 
0
x . 
Então, 
0
x é Ponto de Mínimo Relativo da função ( )xf . 
 
PARTE B: 
Se ( ) 0
0
<′′ xf , então existe uma vizinhança de 
0
x na qual a função é decrescente. 
Neste caso: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )


<′⇒′<′⇒>
>′⇒′>′⇒<
0
0
00
00
xfxfxfxxse
xfxfxfxxse
. 
Isto significa que ( )xf ′ muda de sinais ⊕ para Θ ao passar por 
0
x . 
Então, 
0
x é Ponto de Máximo Relativo da função ( )xf . 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Determinar os extremos da função ( )
x
xxf
1
4 += . 
a) Pontos Críticos: 
Devemos ter ( ) 0=′ xf 
( ) ( )
2
2
2
141
4
x
x
xf
x
xf
−
=′⇒−=′ 
Assim: 
2
1
4
1
014
22 ±=⇒=⇒=− xxx 
Portanto, são Pontos Críticos: 
2
1
=x e 
2
1
−=x 
 
b) Sinal da Derivada Segunda: 
Temos: ( )
3
2
x
xf =′′ . 
• 
• 
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• Para 
2
1
−=x , obtemos 16
8
1
2
2
1
−=
−
=




−′′f . Portanto 
2
1
−=x é Ponto de Máximo 
Relativo da função. 
• Para 
2
1
=x , obtemos 16
8
1
2
2
1
==




′′f . Portanto 
2
1
=x é Ponto de Mínimo Relativo da 
função. 
 
02) Encontrar os extremantes da função ( ) 133 +−= xxxf 
 
a) Pontos Críticos: 
Devemos ter ( ) 0=′ xf . 
Temos: ( ) 1103333 222 ±=⇒=⇒=−⇒−=′ xxxxxf 
Portanto, os pontos críticos são 1−=x e 1=x . 
 
b) Sinal da Derivada Segunda: 
Temos: ( ) xxf 6=′′ . 
• Para 1−=x , tem-se ( ) 61 −=−′′f (menor que zero). Portanto, 1−=x é Ponto de Máximo 
Relativo da função. 
• Para 1=x , tem-se ( ) 61 =′′f (maior que zero). Portanto, 1=x é Ponto de Mínimo Relativo 
da função. 
 
03) Determinar valores para a e b, de modo que a função ( ) baxxxf ++= 232 tenha Máximo 
Relativo no ponto ( )2,1−P . 
 
Devemos ter ( ) 01 =−′f , ou seja, 1−=x deve ser Ponto Crítico. 
( ) ( ) ( ) ( ) 32601.21.6126 22 =⇒−=⇒−+−=−′⇒+=′ aaafaxxxf 
No ponto ( )2,1−P , temos: ( ) ( ) 11.31.22 23 =⇒+−+−= bb 
 
 
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Verificação: 
 
Para 3=a e 1=b temos ( ) ( ) xxxfxxxf 66132 223 +=′⇒++= 
a) Pontos Críticos: 
Fazendo ( ) 0=′ xf , resulta: 10066 2 −==⇒=+ xouxxx (Pontos Críticos) 
Por outro lado: ( ) 612 +=′′ xxf 
Para 1−=x , temos ( ) 61 −=−′′f . 
Como ( ) 01 <−′′f , então 1−=x é Ponto de Máximo Relativo da função. 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 17 
 
 
01) Achar os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo relativo, mínimo 
relativo e inflexão horizontal (caso existam) para a função definida pela equação 
( ) ( ) ( )32 3.2 −+= xxxf . Resp: (inf)3)(0)(2 ==−= xemínxmáxx 
 
02) Usando derivadas, mostre que o vértice da parábola y = ax2 + bx + c é o ponto P 




 ∆−−
aa
b
4
,
2
. 
 
03) Encontre a , b e c de modo que a função f(x) = ax2 + bx + c tenha um máximo relativo no ponto 
P(5,20) e que passe pelo ponto Q(2,10). Resp: a = 
9
10−
, b = 
9
100
 e c = 
9
70−
. 
 
04) Achar os extremos da função ( ) ( )22 9−= xxf e esboçar o seu gráfico. 
 
05) Sabendo que a função ( ) baxxxxf +++= 23 2 apresenta um máximo relativo no ponto ( )6,1−P , 
calcule o valor de ( )ab 23 − . Resp: 16 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 18 - DERIVADAS 
 
 
18.1 – APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS: 
 
Nas aulas anteriores aprendemos como determinar os pontos de Máximo e Mínimo Relativos 
de uma função ( )xfy = . 
Neste item, faremos algumas aplicações desses conceitos na resolução de problemas 
geométricos. A resolução destes problemas pode ser muito útil no futuro. 
Para resolve-los, procedemos da seguinte maneira: 
 
• identificamos primeiramente a grandeza existente no problema, da qual queremos 
conhecer o Máximo ou o Mínimo; 
• escrevemos esta grandeza em função de uma das outras grandezas envolvidas no 
problema. Em outras palavras, devemos obter uma função da forma ( )xfy = ; 
• obtemos os Pontos Críticos, isto é, resolvemos a equação ( ) 0=′ xf ; 
• aplicamos a 1a ou a 2a Regra para identificar cada Ponto Crítico obtido. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
A maioria das aplicações práticas trata de problemas bem determinados, isto é, problemas 
onde só faz sentido a existência de um Máximo ou de um Mínimo. 
Nesses casos, a simples determinação dos Pontos Críticos já é suficiente para a resolução do 
nosso problema. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico com tampa para armazenar um volume de 
3250 mπ . Quais devem ser o raio e a altura desse reservatório para que o consumo de 
material usado na sua construção seja mínimo? 
 
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Do enunciado do problema, podemos interpretar que a grandeza da qual se deseja conhecer o 
mínimo é a Área Total do reservatório cilíndrico. 
O reservatório do problema tem a forma da figura abaixo:Volume: hRV 2π= (1) 
Área Total: RhRS ππ 22 2 += (2) 
Como queremos determinar o Mínimo da área total S , então devemos escrever esta grandeza 
em função de uma das outras grandezas do problema, no caso R ou h . 
De (1), temos: 
2R
V
h
π
= 
Em (2): 
R
V
RS
R
V
RRS
2
2.22 2
2
2 +=⇒+= π
π
ππ 
Na expressão acima, obtivemos a grandeza S (área total) em função do raio R , isto é, 
encontramos a função ( )RfS = 
Para a determinação dos Pontos Críticos, devemos fazer 0=
dR
dS
. 
2
3
2
242
4
R
VR
dR
dS
R
V
R
dR
dS −
=⇒−=
π
π 
Para 0=
dR
dS
, resulta 333
22
024
ππ
π
V
R
V
RVR =⇒=⇒=− 
O valor obtido acima é o único Ponto Crítico da função. Portanto, ele já corresponde ao Ponto 
de Mínimo procurado. Isto porque o problema em questão é bem determinado, ou seja, não faz 
sentido procurar neste problema o máximo relativo. 
 
R 
h 
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Entretanto, podemos comprovar esta conclusão verificando se o Ponto Crítico obtido 
corresponde a Máximo ou Mínimo Relativo, usando a primeira ou a segunda regra. 
Vamos usar, neste caso, a segunda regra, isto é, vamos estudar o sinal da derivada segunda 
no Ponto Crítico. 
Temos: 
32
2 4
4
R
V
dR
Sd
+= π 
Para π
π
π
π
π
π
12
8
4
2
4
4
2 2
2
2
2
2
2
3 =⇒+=⇒+=⇒=
dR
Sd
V
V
dR
Sd
V
V
dR
SdV
R 
Como 0
2
2
>
dR
Sd
, o valor 3
2π
V
R = corresponde ao ponto de Mínimo da função. 
 
Assim, teremos mh
R
V
hemRR 10
25
250
5125
2
250
2
33 =⇒===⇒==
π
π
ππ
π
 
 
02) Dentre todos os retângulos de mesmo perímetro, qual é o de maior área? 
 
Consideremos um retângulo de base x e altura y , como o da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Temos: 
xyS = (área) (1) 
yxP 22 += (perímetro) (2) 
De (2): x
P
y −=
2
 
Em (1): 2
22
. x
Px
Sx
P
xS −=⇒




 −= , isto é, ( )xfS = 
Devemos ter: 0=
dx
dS
 e x
P
dx
dS
2
2
−= 
x 
y 
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Portanto: 
4
02
2
P
xx
P
=⇒=− (Ponto Crítico) 
Tal como ocorreu no problema anterior, a simples determinação do Ponto Crítico já é 
suficiente para respondermos ao problema. Ou seja, o valor 
4
P
x = já corresponde ao Máximo 
Relativo. 
Entretanto, vamos fazer a verificação usando a 2a regra, isto é, vamos estudar o sinal da 
segunda derivada no Ponto Crítico. 
Temos: 02
2
2
2
2
<⇒−=
dx
Sd
dx
Sd
 para todo valor de x . 
Então, 
4
P
x = é Ponto de Máximo Relativo da função. 
Para 
4
P
x = , tem-se 
442
P
y
PP
y =⇒−= . 
 
Portanto, nas condições impostas pelo problema, concluímos que o retângulo de área máxima 
é o quadrado de lados medindo 
4
P
. 
 
03) Qual é a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de 
raio mR 3= ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: ⇒= 3R Raio da esfera 
 r = raio do cilindro 
 h= altura do cilindro 
R 
r2 
h R2 
r2 
h 
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 ⇒= hrV 2π Volume do cilindro (1) 
Do triângulo retângulo: 
4
341244
2
222222 hrhrhrR −=⇒+=⇒+= (2) 
Substituindo (2) em (1): 
( )hfVhhVhhV =⇒−=⇒





−=
4
3
4
3
32 π
ππ 
Devemos ter 0=
dh
dV
. 
4
312
4
3
3
22 hh
dh
dV πππ
π
−
=−= 
mhhh 240312 22 =⇒=⇒=− ππ 
 
O único Ponto Crítico compatível com o problema é 2=h . Portanto, esta deve ser a altura do 
cilindro inscrito na esfera e que tenha volume máximo. 
Para verificar, podemos utilizar a segunda regra, isto é, estudar o sinal da derivada segunda 
no Ponto Crítico. 
Temos: 
2
3
4
6
2
2 hh
dh
Vd ππ
−=−= 
Para mh 2= , encontramos: π3
2
2
−=
dh
Vd
. 
Portanto, como a derivada segunda no Ponto Crítico é negativa, este ponto é de Máximo 
Relativo. 
 
 
18.2 – OUTRAS APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS: 
 
No item anterior aprendemos como determinar os pontos de Máximo e Mínimo Relativos 
aplicados a problemas geométricos. 
Neste item faremos aplicações desses conceitos a problemas físicos e outros problemas em 
geral, sempre adotando o mesmo procedimento que usamos para problemas geométricos. 
 
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Ou seja, inicialmente escrevemos a grandeza da qual queremos conhecer o Máximo ou o 
Mínimo Relativo em função de qualquer outra grandeza do problema e depois resolvemos 
normalmente, como fazemos com uma função. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) O Momento Fletor M de uma viga, à distância x de uma extremidade, é dado pela equação 
( )xlqxM −=
2
1
, onde q é a carga por unidade de comprimento e l é o comprimento da viga. 
Achar o Momento Fletor Máximo dessa viga. 
 
Como q e l são constantes, temos ( )xfM = . 
Para a determinação do Momento Fletor Máximo, devemos obter primeiramente o(s) ponto(s) 
crítico(s) da função, isto é, as raízes da equação 0=
dx
dM
. 
Temos: qx
ql
dx
dMqxqlx
M −=⇒−=
222
2
 
Portanto: 
22
0
2
l
x
ql
qxqx
ql
=⇒=⇒=− 
O Ponto Crítico obtido é 
2
l
x = que, provavelmente, é o valor procurado. 
Entretanto, podemos verificar estudando o sinal da derivada segunda. 
Assim: q
dx
Md
−=
2
2
, ou seja, a derivada segunda é negativa para todo valor de x . 
Portanto, o valor encontrado como Ponto Crítico é de Máximo Relativo. 
O Momento Fletor máximo será: 
82
.
2
.
2
1 2ql
M
l
l
l
qM máxmáx =⇒




 −=
. 
 
 
 
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02) A potência W transmitida por uma correia é dada pela fórmula 





−=
g
Pv
TvkW
2
, onde 0>k é 
um coeficiente de proporcionalidade, T a temperatura máxima admissível pra a correia, P o 
peso por unidade de comprimento, g a aceleração da gravidade e v a velocidade. 
Achar a velocidade que corresponde à potência máxima. 
 
Temos: 
g
kPv
kTvW
2
−= 
g
kPv
kT
dv
dW 2
−= 
Pontos Críticos: 
Devemos ter: 0=
dv
dW
 
Assim: 
P
gT
vkT
g
kPv
g
kPv
kT
2
2
0
2
=⇒=⇒=− 
Para verificar se 
P
gT
v
2
= realmente é Ponto de Máximo, vamos estudar o sinal de 
2
2
dv
Wd
 neste 
ponto. 
Temos: 
g
kP
dv
Wd 2
2
2
−= 
Como a derivada segunda é negativa para qualquer valor de v , então o valor obtido 
P
gT
v
2
= é 
a velocidade que corresponde à potência máxima. 
 
03) Dadas 10=n pilhas de f.e.m. (Força Eletromotriz) 2,1=e volts e resistência interna Ω= 2r , 
dispô-las em agrupamento misto, de modo que ligando-as a uma resistência externa de 
Ω= 5R a corrente seja máxima. 
OBS: num agrupamento misto, a corrente é dada pela fórmula 
R
n
rx
ex
I
+
=
2
, onde x é o número 
de elementos em série. 
 
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Como o problema nos forneceu os valores de nRre ,,, , então temos ( )xfI = , isto é, a 
corrente I é função apenas do número de elementos em série x . 
Queremos determinar exatamente o valor de x para que a corrente seja máxima. 
Portanto, devemos ter 0=
dx
dI
. 
Temos: 
25
6
502
12
5
10
2
2,1
222 +
=⇒
+
=⇒
+
=
x
x
I
x
x
I
x
x
I 
( )
( ) ( )22
2
22
2
25
6150
25
2.6256
+
−
=⇒
+
−+
=
x
x
dx
dI
x
xxx
dx
dI
 
Para 0=
dx
dI
, resulta: 



−=
=
⇒=⇒=−
)(5
5
2506150 22
convémnãox
x
xx 
 
Portanto, 5=x é Ponto Crítico. 
 
Para verificar se este ponto corresponde a Máximo ou Mínimo Relativo, vamos aplicar a Regra 
da Derivada Segunda. 
( ) ( ) ( )
( )42
2222
2
2
25
2.25.2.615025.12
+
+−−+−
=
x
xxxxx
dx
Id
 
Dividindo o numerador e o denominador por ( )252 +x , encontramos: 
( ) ( )
( )32
22
2
2
25
6150.425.12
+
−−+−
=
x
xxxx
dx
Id
 
( ) ( )32
3
2
2
32
33
2
2
25
90012
25
2460030012
+
−
=⇒
+
+−−−
=
x
xx
dx
Id
x
xxxx
dx
Id
 
Para 5=x , obtemos: 
( ) 125
3
125000
3000
12500045001500
2525
5.900125.12
2
2
32
2 −
=
−
=
−
=⇒
+
−
=
dx
Id
dx
Id
 
Como 0
2
2
<
dx
Id
, então 5=x elementos em série produzirão corrente máxima. 
Esta máxima corrente será: ampéresIII máxmáxmáx 6,0
50
30
255
5.6
2
=⇒=⇒
+
= 
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04) Sabe-se que a intensidade de iluminação varia na razão inversa do quadrado da distância da 
fonte luminosa. Duas lâmpadas de 64 e 125 watts, respectivamente, estão a 180 cm uma da 
outra. Achar o ponto entre as duas lâmpadas em que a iluminação é mínima. 
 
 
 
 
 
 
Chamando de I a intensidade de iluminação no ponto P , e obedecendo às condições dadas 
pelo enunciado do problema, teremos 
( )22 180
12564
x
k
x
k
I
−
+= , onde teconsk tan= e 0>k . 
Para obter o(s) ponto(s) crítico(s) devemos ter 0=
dx
dI
. 
( ) ( )( )
( )4
2
4
2
180
1.180.2.125180.02.64.0
x
xkx
x
xkx
dx
dI
−
−−−−
+
−
= 
( )33 180
250128
x
k
x
k
dx
dI
−
+
−
= 
Para 
( ) k
k
x
x
x
k
x
k
dx
dI
128
250180
180
250128
0
3
33
=




 −⇒
−
=⇒= 
80720954720
4
5180
4
5
64
125180
33
=⇒=⇒=−⇒=
−
⇒




==




 −
xxxx
x
x
x
x
 
Portanto, 80=x representa o Ponto Crítico para este problema. 
Vamos verificar se ele realmente é ponto de Mínimo, aplicando a Regra da Derivada Segunda 
( )442
2
180
750384
x
k
x
k
dx
Id
−
+= (VERIFIQUE) 
Para 80=x , temos 0
2
2
>
dx
Id
. 
 
Portanto, o ponto em que a iluminação é mínima está situado a mx 80= da lâmpada de 
potência menor. 
 
641 =F P 1252 =F 
x−180 x 
180 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 18 
 
 
01) Determine a razão entre a altura H e o raio R de um cilindro fechado de volume V , se a 
sua área total é mínima. Resp: R2H = . 
 
02) A soma das medidas das bases e da altura de um trapézio é igual a cm40 e uma das bases 
excede a outra de cm8 . Achar a área máxima A desse trapézio. Resp: 2200 cmA = 
 
03) Considere um triângulo retângulo no primeiro quadrante limitado pelos eixos coordenados e 
pela reta que passa pelo ponto P(2,3).Encontre os vértices do triângulo de área máxima. 
Resp: (0,0) , (4,0) e (0,6) 
 
04) Determinar as dimensões do cone circular reto de volume máximo, cuja geratriz mede 3 
metros. Resp: mremh 63 == 
 
05) Quais as dimensões do cilindro circular reto de área lateral máxima que pode ser inscrito 
numa esfera de raio R? Resp: 2
2
2
Rhe
R
r == 
 
06) A teoria da probabilidade afirma que a função f definida pela equação 
knk )p1(p
!)kn(!k
!n
)p(f . −−
−
= é a probabilidade de exatamente k acertos em n tentativas. 
Sendo n e k inteiros, nk0,0n ≤≤> e 1p0 << , encontre o número p que maximiza f.
 Resp: 
n
k
p = . 
 
07) A concentração C de uma certa substância química no fluxo sangüíneo em t horas após ser 
injetada no músculo é dada por C = 
354
3
t
t
+
. 
Em que instante a concentração é máxima? Resp: 3 horas 
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08) Encontre dois números cujo produto é 192 e a soma do primeiro com o triplo do segundo é 
mínima. Resp: 24 e 8 
 
09) A resistência de flexão de uma viga é dada pela fórmula 2kxyR = , onde 0>k é uma constante 
de proporcionalidade, x é a largura e y é a altura da viga. Quais as dimensões da viga de 
máxima resistência que se pode extrair de uma tora de madeira de cm60 de diâmetro? 
Resp: cmyecmx 620320 == 
 
10) A potência W em watts fornecida a um circuito externo por uma bateria de resistência r ohms 
e força eletromotriz E volts, quando a corrente é i ampéres, é dada pela fórmula 2riEiW −= . 
Sendo voltsE 18= e Ω= 15r , achar a corrente que dá a potência máxima. 
 Resp: ampi 6,0= 
 
11) Se um projétil é lançado sob um ângulo de elevação θ , sobre um plano inclinado de inclinação 
α , o alcance do tiro é dado pela equação 
( )
α
θαθ
2
2
0
cos
cos.sen2
g
v
x
−
= , onde 0v é a velocidade 
inicial e g é a aceleração da gravidade. 
Achar o valor de θ que dá o alcance máximo. Resp: 
42
πα
θ += 
 
12) O tempo que leva um corpo para percorrer, sem atrito, um plano inclinado de inclinação α e 
base b é dado pela fórmula 
α2sen
4
g
b
t = , onde g é a aceleração da gravidade. 
Determinar α de modo que t seja mínimo. Resp: 045=α 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 19 - DERIVADAS 
 
 
CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO: 
 
19.1 – Definições: 
 
Consideremos o gráfico de uma função ( )xfy = , contínua e derivável num intervalo aberto 
( ) ℜ⊂ba, . Então definimos: 
 
A) a curva de ( )xfy = tem a concavidade voltada para baixo nesse intervalo se todos os seus 
pontos se encontram abaixo da reta tangente traçada por qualquer ponto ( )bax ,0 ∈ . 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 
( )



=
=
gentedaordenaday
curvadaordenadaxf
tan
 , então ( ) 0<− yxf 
 
B) a curva tem a concavidade voltada para cima nesse intervalo se todos os seus pontos se 
encontram acima da reta tangente traçada por qualquer ponto ( )bax ,0 ∈ . 
 
 
 
y 
x 
0 a 
0x x b 
y 
( )xf 
( )xfy = 
tangente 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 
( )



=
=
gentedaordenaday
curvadaordenadaxf
tan
 , então ( ) 0>− yxf 
 
19.2 – Teorema: 
 
Vamos admitir que a derivada segunda ( )xf ′′ seja definida no intervalo ( )ba, . Neste caso: 
A) se ( ) 0>′′ xf , então a curva tem a concavidade voltada para cima nesse intervalo; 
B) se ( ) 0<′′ xf , então a curva tem a concavidade voltada para baixo nesse intervalo. 
 
DEMONSTRAÇÃO DA PARTE (A): 
 
Demonstraremos apenas a parte (A) do Teorema, uma vez que a demonstração da parte (B) é 
semelhante. 
Seja ( )bax ,0 ∈ . 
A reta tangente à curva pelo ponto 
0x é dada pela equação: 
( ) ( )( )000 . xxxfxfy −′=− ou ( ) ( )( )000 . xxxfxfy −′+= 
Da figura imediatamente anterior, observamos que a cada ponto ( )bax ,∈ podemos associar a 
diferença entre as ordenadas da curva e da reta tangente, isto é, ( )xf e y , respectivamente. 
Chamando esta diferença de ( )xF , temos: 
( ) ( ) yxfxF −= ou ( ) ( ) ( ) ( )( )000 . xxxfxfxfxF −′−−= 
y 
x 
( )xf 
y 
a 0x x b 
tangente 
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Esta função ( )xF é tal que: 
(a) ( ) ( ) 000 =−= yxfxF , pois em 0xx = temos ( ) yxf =0 ; 
(b) ( ) 00 =′ xF , pois ( ) ( ) ( )00 xfxfxF ′−−′=′ ; 
 Para ( ) ( ) ( ) 00000 =′−′=′⇒= xfxfxFxx 
(c) ( ) 00 >′′ xF , pois ( ) ( )xfxF ′′=′′ e, por hipótese, ( ) 0>′′ xf . 
Podemos então concluir que a função ( )xF tem um Mínimo Relativo em 0xx = . 
Logo: ( ) 0>xF para todo ( ) 0, xxebax ≠∈ . 
Como ( ) ( ) yxfxF −= , então ( ) 0>− yxf e, por definição, a curva tem a concavidade voltada 
para cima no intervalo ( )ba, . 
 
19.3 – Pontos de Inflexão: 
 
Dizemos que um ponto ( )00 , yxP é Ponto de Inflexão da função ( )xfy = se, neste ponto, a 
curva da função muda de concavidade. 
No ponto de Inflexão a reta tangente intercepta a curva da função. 
Podemos ter três tipos de Inflexão: 
 
A) INFLEXÃO HORIZONTAL: 
 
Neste caso, a reta tangente é paralela ao eixo x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
( )xfy = 
tangente 
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B) INFLEXÃO VERTICAL: 
 
Neste caso, a reta tangente é perpendicular ao eixo x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C) INFLEXÃOOBLÍQUA: 
 
Neste caso, a reta tangente é oblíqua ao eixo x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se ( ) 00 =′′ xf ou ( )0xf ′′ não existir e se ( )xf ′′ muda de sinais ao passar por 0x , então 0x será 
um Ponto de Inflexão da função. 
 
Além disso, se tivermos ( ) 00 =′ xf então 0x é Ponto de Inflexão Horizontal e se ( ) ∞→′ 0xf , 
então 
0x á Ponto de Inflexão Vertical. 
 
 
 
y 
x 
( )xfy = 
tangente 
y 
x 
( )xfy = 
tangente 
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EXEMPLOS; 
 
01) Determinar os intervalos de concavidade da função ( ) 162 −+−= xxxf . 
 
Temos: ( ) 62 +−=′ xxf e ( ) 2−=′′ xf 
Como ( ) 0<′′ xf para todo ℜ∈x , concluímos que a função dada tem a concavidade voltada 
para baixo em todo o seu Domínio. 
 
OBSERVAÇÃO: Independentemente de termos estudado os sinais da derivada segunda, já 
era sabido que o gráfico desta função tem sempre a concavidade voltada para baixo, uma vez que 
se trata de uma função quadrática da forma cbxaxy ++= 2 , com 0<a . 
 
02) Determinar os intervalos de concavidade da função ( ) 2xexf −= . 
 
Temos: ( ) 2.2 xexxf −−=′ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
222 24
24..2.22
2
2
x
xxx
e
x
xfxexfexxexf
−
=′′⇒−=′′⇒−−−=′′ −−− 
Raízes de ( )xf ′′ : 
2
2
2
2
=−= xex 
Estudo dos sinais de ( )xf ′′ : 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusões: 
• os pontos 
2
2
2
2
=−= xex são Pontos de Inflexão da função; 
++++++++−−−−−−−−−−+++++
+++++++++++++++++++++++ 
+ 
_ 
+ 
x 
x 
x 
2
2
− 
2
2
 
2
2
− 
2
2
 
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• para 
2
2
−<x a curva tem a concavidade voltada para cima; 
• para 
2
2
2
2
<<− x a curva tem a concavidade para baixo; 
• para 
2
2
>x a curva tem a concavidade voltada para cima; 
 
03) Encontre o(s) ponto(s) de inflexão da função ( ) ( ) ( )2.1 2 +−= xxxf , identifique os seus intervalos 
de concavidade e o tipo de inflexão. 
 
Temos: ( ) ( )( ) ( )21.12.1.2 −++−=′ xxxxf 
( ) ( ) 33124242 222 −=′⇒+−+−−+=′ xxfxxxxxxf 
A derivada segunda será: ( ) xxf 6=′′ 
Para ( ) 0=′′ xf , temos 0=x , que é o ponto de inflexão. 
Para verificar a concavidade, vamos estudar os sinais de ( )xf ′′ . 
 
 
 
Conclusões: 
• para 0<x a curva tem a concavidade voltada para baixo; 
• para 0>x a curva tem a concavidade voltada para cima; 
• como ( ) 30 −=′f , isto é, ( )0f ′ existe e é diferente de zero, então a inflexão é oblíqua. 
 
 
x 
0 
+++++++++−−−−−−− 
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CÁLCULO 1 – AULA 20 - INTEGRAIS 
 
 
20.1 – INTRODUÇÃO: 
 
O primeiro e principal objetivo da Integração é obter uma função ( )xf quando se conhece a 
sua derivada ( )xf ′ . 
 
EXEMPLOS; 
 
01) Se ( ) 23xxf =′ , então ( ) 3xxf = . 
 
02) Se ( ) xxf cos=′ , então ( ) xxf sen= 
 
03) Se ( )
x
xf
1
=′ , então ( ) xxf ln= 
 
04) Se ( )
x
xexf x
2
1
sec2 −+=′ , então ( ) xtgxexf x −+= 
 
20.2 – PRIMITIVAS: 
 
Dizemos que uma função ( )xF , derivável num subconjunto de ℜ , é Primitiva de outra função 
( )xf quando ( ) ( )xfxF =′ , ou ( )[ ] ( )xfxF
dx
d
= . 
 
EXEMPLOS; 
 
01) A função ( ) xxF ln= é uma Primitiva da função ( )
x
xf
1
= , pois [ ]
x
x
dx
d 1
ln = . 
 
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02) A função ( )
5
5x
xF = é uma Primitiva da função ( ) 4xxf = , pois 4
45
5
5
5
x
xx
dx
d
==





. 
03) A função ( ) ( )xxF 5sen= é uma Primitiva da função ( ) ( )xxf 5cos5= , pois ( )[ ] ( )xx
dx
d
5cos55sen = . 
04) A função ( ) xxxxxF 3
2
7
3
5
4
234
−+−= é uma Primitiva da função ( ) 375 23 −+−= xxxxf , pois 
3753
2
14
3
15
4
4
3
2
7
3
5
4
23
23234
−+−=−+−=





−+− xxx
xxx
x
xxx
dx
d
. 
 
Não é muito difícil percebermos que uma determinada função ( )xf pode possuir infinitas 
Primitivas. 
Vamos considerar, por exemplo, a função definida por ( ) xxf cos= . 
 
As suas Primitivas serão: 
( ) xxF sen= 
( ) 1sen += xxF 
( ) 3sen −= xxF 
( ) 5logsen += xxF 
( ) 




+=
7
3
sensen
π
xxF 
 M 
( ) ( )ℜ∈+= CCxxF sen 
 
Podemos então, de maneira generalizada, dizer que a família de funções definidas da forma 
( ) CxxF += sen representa as infinitas Primitivas da função ( ) xxf cos= , uma vez que 
[ ] xCx
dx
d
cossen =+ , para todo número Real C . 
 
 
 
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EXEMPLOS; 
 
01) As infinitas Primitivas da função ( )
x
xf
1
= constituem a família de funções definidas por 
( ) CxxF += ln , onde ℜ∈C , pois ( )[ ] ( )xfxF
dx
d
= . 
 
02) As infinitas Primitivas da função ( ) 4xxf = constituem a família de funções definidas por 
( ) CxxF +=
5
5
, onde ℜ∈C , pois ( )[ ] ( )xfxF
dx
d
= . 
 
03) As infinitas Primitivas da função ( ) ( )xxf 5cos5= constituem a família de funções definidas por 
( ) ( ) CxxF += 5sen , onde ℜ∈C , pois ( )[ ] ( )xfxF
dx
d
= . 
 
04) As infinitas Primitivas da função ( ) 375 23 −+−= xxxxf constituem a família de funções 
definidas por ( ) CxxxxxF +−+−= 3
2
7
3
5
4
234
, onde ℜ∈C , pois ( )[ ] ( )xfxF
dx
d
= . 
 
 
20.3 – INTEGRAL INDEFINIDA: 
 
20.3.1 – DEFINIÇÃO: 
 
Se a função ( )xF é uma Primitiva da função ( )xf , então à expressão ( ) CxF + , com ℜ∈C , 
damos o nome de Integral Indefinida de ( )xf , e indicamos pela notação: 
 
 
 
 
( ) ( )∫ += CxFdxxf . 
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Onde: 
• ∫ é o Símbolo de Integração; 
• ( )xf é o Integrando ou Função Integrando; 
• ( )dxxf . é o Elemento de Integração; 
• ( )xF é a Primitiva de ( )xf ; 
• C é a Constante Arbitrária ou Constante de Integração. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ += C
x
dxx
4
4
3 , pois 3
4
4
xC
x
dx
d
=





+ . 
 
02) ∫ += Ctgxdxx.sec2 , pois [ ] xCtgxdx
d 2sec=+ . 
 
03) ∫ += Cdx
x
x
3ln
3
.3 , pois x
xx
C
dx
d
3
3ln
3ln.3
3ln
3
==





+ . 
 
04) ∫ +=+ Carctgxdxx 21
1
, pois [ ]
21
1
x
Carctgx
dx
d
+
=+ . 
 
05) ( ) ( )∫ +−= C
x
dxx
3
3cos
.3sen , pois 
( ) ( ) ( )xxCx
dx
d
3sen
3
3sen.3
3
3cos
=


−−=


 +− . 
 
CONCLUSÃO; 
 
Pela definição e pelos exemplos acima apresentados, percebemos que resolver uma Integral 
Indefinida significa determinar as infinitas Primitivas da Função Integrando, isto é, obter todas as 
funções da forma ( ) CxF + , com ℜ∈C , cujas derivadas sejam iguais a ( )xf . 
Portanto, a Integração é uma operação inversa da Derivação. 
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Percebemos que, para entender bem a operação de Integração, é necessário conhecermos 
suficientemente as regras de derivação. 
 
 
20.4 – PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA: 
 
20.4.1 – 1a PROPRIEDADE: 
 
A derivada de uma Integral Indefinida em relação à variável de integração é igual ao 
Integrando, ou seja: 
 
 
 
 
Esta propriedade não necessita de demonstração uma vez que, ao integrarmos e derivarmos 
sucessivamente uma determinada função em relação à mesma variável, nada mais estamos 
fazendo do que aplicarmos duas operações inversas de mesma grandeza numa única função. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) [ ] 55 xdxx
dx
d
=∫ 
 
02) 
x
x
dx
x
x
dx
d sensen
=



∫ 
 
03) [ ] tt dt
dt
d coscos 55 =∫ 
 
04) [ ] 0. =∫ dxarctgxdt
d
 
( )[ ] ( )xfdxxf
dx
d
=∫ . 
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Observe, no exemplo anterior, que estamos derivando com relação à variável t uma função 
dada na variável x. Portanto, é equivalente a estarmos derivando uma constante. Daí o fato do 
resultado ser igual a zero. 
 
20.4.2 – 2a PROPRIEDADE: 
 
A Integral Indefinida deuma soma (ou diferença) de funções é igual à soma (ou diferença) das 
Integrais Indefinidas das parcelas. 
 
 
 
 
A demonstração desta propriedade também é imediata, uma vez que a derivada de uma soma 
(ou diferença) de funções é igual à soma (ou diferença) das derivadas das parcelas. Ou seja, de 
acordo com a definição de Integrais Indefinidas, a derivada da família de primitivas é igual ao 
Integrando. 
Assim: 
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )xhxgxfdxxh
dx
d
dxxg
dx
d
dxxf
dx
d
−+=−+ ∫∫∫ ... 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +++−+=+−=+− 3221322 3323.323 CxCxCxdxxdxdxxdxxx 
 ( ) ( )∫ +−++−=+− 321232 3.323 CCCxxxdxxx 
Como 1C , 2C e 3C são constantes arbitrárias, podemos chamar CCCC =+− 321 . 
Assim, a integral fica: 
 
( )∫ ++−=+− Cxxxdxxx 3.323 232 
 
02) ( )∫ ∫ ∫ ∫++=++ dxxdxxdxedxxxe xx .sen.cos.sencos 22 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf 
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( )∫ +−++=++ Cxxxedxxxe xx 2sen4
1
2
1
sen.sencos 2 
 
03) ( )∫ ++−+=



 −+ Ctgxxtgxxdxxx
x
seclnln.secsec
1 2 
 
20.4.3 – 3a PROPRIEDADE: 
 
O fator constante que eventualmente apareça multiplicando o integrando pode ser tirado do 
símbolo de integração. 
 
 
 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ( )∫ ∫ +−=+−== CxCxdxxdxx sen3sen.3.cos.3.cos3 
 
02) ∫ ∫ +−=





+−=−=− C
x
C
x
dxxdxx
6
7
6
.7.77
66
55 
 
OBSERVAÇÕES; 
 
O1: Observe que, nos exemplos acima, não multiplicamos a constante de integração C pelos 
valores 3 e –7. Isto não significa que o resultado estaria errado caso efetuássemos as 
multiplicações. 
Acontece que, pelo fato da constante de integração ser arbitrária, isto é, qualquer constante 
serve, então não há necessidade de multiplicas os valores 3 e –7 pela constante de 
integração C. 
 
 
( ) ( )∫ ∫ ℜ∈= kdxxfkdxxfk ,.... 
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O2: Esta propriedade, apesar de parecer muito elementar, na verdade não é. Na resolução de 
integrais, são muito freqüentes os casos em que necessitamos de um fator constante 
multiplicando o integrando. 
Isto acontece porque vamos precisar da derivada ( )xf ′ de uma função ( )xf que aparece no 
integrando. 
 
Portanto, se houver necessidade de uma constante multiplicando o integrando, podemos 
acrescenta-la, desde que multipliquemos a integral pela sua inversa. 
 
Este procedimento é equivalente a enxergarmos a 3a propriedade da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ( )∫ ∫ +=+== C
x
Cxdxxdxx
66
1
6
6
1 6655 
 
02) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ +=+== CxCxdxxdxx 2sen2
1
2sen
2
1
.2cos2
2
1
.2cos 
 
03) ∫∫ +−=






+−=−−=
−−−−
CeCedxedxe
xxxx
2222 22
2
1
2 
 
ATENÇÃO; 
 
Não se preocupe ainda com os resultados apresentados para as integrais acima. Por 
enquanto, basta saber verificar se esses resultados estão corretos. 
 
( ) ( )∫ ∫ ℜ∈= *,..
1
. kdxxfk
k
dxxf 
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Para isto, basta derivar os resultados e observar se as derivadas são iguais aos respectivos 
integrandos. 
Se isto acontecer, as integrais estão corretas. 
Você vai começar a resolver propriamente dito as integrais a partir da próxima aula. 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 21 - INTEGRAIS 
 
 
CÁLCULO DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS- DIRETIVAS: 
 
Estudaremos, a partir desse instante, alguns métodos conhecidos por Diretivas, que permitem 
resolver as integrais indefinidas mais elementares. 
 
As Diretivas serão regras aplicadas a determinados tipos de funções, cujas integrais serão 
chamadas de imediatas, pois a sua solução é direta. 
 
Essas Diretivas serão identificadas pelos nomes das funções envolvidas e deverão ser do 
nosso conhecimento para os assuntos futuros. 
 
Quer dizer, qualquer integral que tenhamos que resolver algebricamente daqui por diante 
requer o uso de uma ou mais das Diretivas que vamos aprende neste tópico. 
Portanto, é necessário que pratiquemos bastante a resolução de integrais imediatas, para que 
não tenhamos dificuldades nos assuntos futuros. 
 
ATENÇÃO; 
 
Acostume-se, de agora em diante, a verificar se o resultado que você encontrou para cada 
integral que você resolver está correto. Para isto, basta derivar o resultado e ver se ele é igual ao 
integrando. 
Faça isto, pelo menos até que você adquira bastante treinamento e possa confiar no seu 
resultado. 
 
21.1 – 1a DIRETIVA – FUNÇÃO CONSTANTE: 
 
 
 
∫ ℜ∈+= kCkxdxk ,. 
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EXEMPLOS; 
 
01) ∫ ∫ +=+== CxCxdxdx 11 
 
02) ∫ +−=− Cxdx 77 
 
03) ∫ += Cxdx ).7(log.7log 
 
04) ( ) ( )∫ +−=− Cxarctgdxarctg .40.40 
 
 
21.2 – 2a DIRETIVA – FUNÇÃO POTÊNCIA: 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO; 
 
Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, C
n
u
y
n
+
+
=
+
1
1
 e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: 
( ) nn u
n
un
du
dy
=
+
+
=
1
.1
 e ( )xf
dx
du
′= 
Portanto: ( ) ( )[ ] ( )xfxf
dx
dy
xfu
dx
dy nn ′=⇒′= .. , que é igual ao integrando. 
 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ −≠++=′
+
1,
1
..
1
nC
n
xf
dxxfxf
n
n
 
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EXEMPLOS; 
 
01) ∫ += C
x
dxx
4
.
4
3 
 
02) ∫ ∫ +−=+−==
−
− C
x
C
x
dxxdx
x 2
2
3
3 2
1
2
.
1
 
 
03) ∫ ∫ +=+=+
+
==
+
CxC
x
C
x
dxxdxx 3
2
3
1
2
1
2
1
3
2
2
3
1
2
1
.. 
 
04) ( )∫ ∫ +== C
x
dxxxdxxx
5
sen
.cos.sen.cos.sen
5
44 
 
05) ( )∫ ∫ +== C
x
dxx
x
dx
x
x
5
ln
.ln.
1
.
ln 54
4
 
 
06) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +
+
=+
+
=+=+ C
x
C
x
dxxxdxxx
9
31
2
3
31
.
6
1
.31.6
6
1
31.
32
2
3
2
2
1
22 
 
07) 
( )
∫ ∫ +=+=+ C
arctgx
dxarctgx
x
dx
x
arctgx
2
..
1
1
.
1
2
22
 
 
08) ∫ ∫ +== C
xtg
dxxtgxdx
gx
x
2
.sec..
cot
sec 22
2
 
 
09) ( )∫ ∫ ∫ +−=−−== C
xg
dxxxgdxxxgdx
x
xg
4
cot
.seccos.cot.seccos.cot.
sen
cot 42323
2
3
 
 
 
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10) ( )dxxxdxxxdx
x
x
x
dxtgxx .sen.cos.sen.cos.
cos
sen
.
cos
1
..sec 22 −−=== ∫∫ ∫ ∫ −− 
∫ +=+=+−−=
−
CxC
x
C
x
dxtgxx sec
cos
1
1
cos
..sec
1
 
 
11) ∫ ∫ ∫ +−=+−===
−
− CxC
x
dxxxdx
x
x
x
dxgxx seccos
1
sen
.cos.sen.
sen
cos
.
sen
1
.cot.seccos
1
2 
 
21.3 – 3a DIRETIVA – FUNÇÃO QUOCIENTE: 
 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO; 
 
Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, Cuy += ln e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: 
udu
dy 1
= e ( )xf
dx
du
′= 
Portanto: ( ) ( )
( )xf
xf
dx
dy
xf
udx
dy ′
=⇒′= .
1
, que é igual ao integrando. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ += Cxdxx ln.
1
 
 
 
( )
( )
( )[ ]∫ +=
′
Cxfdx
xf
xf
ln. 
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02) ( )∫ ∫ +== Cxdxx
x
xx
dx
lnln.
ln
1
ln
 
 
03) ( )∫ ∫ ++=+=+ Cxdxx
x
dx
x
x 2
22
21ln
4
1
.
21
4
4
1
21
 
 
04) ( )∫ ∫ ++=+=+ Ctgxdxtgx
x
dx
tgx
x
35ln
3
1
.
35
sec3
3
1
.
35
sec 22
 
05) ( )∫ ∫ ∫ +−=
−
−== Cxdx
x
x
dx
x
x
dxtgx cosln.
cos
sen
.
cos
sen
. 
 
06) ( )∫ ∫ +== Cxdxx
x
dxgx senln.
sen
cos
.cot 
 
07) ( )∫ ∫ +−−=−
−
−=
−
Cxdx
xx
dx
51ln
5
1
.
51
5
5
1
51
 
 
08) ( )∫ ∫ ∫ ++=+=+
=
+ −
Cedx
e
e
e
dx
e
dx x
x
x
x
x
1ln.
11
1
1
 
 
09) 
( )
∫ − dxx
x
.
cos21
2sen
2
 
Temos: [ ] ( ) ( )xxxxxx
dx
d
2sen2cos.sen2.2sen.cos2.2cos21 2 ==−−=− 
Então: 
( ) ( ) ( )∫∫ +−=−=− Cxdxx
x
dx
x
x 2
22
cos21ln
2
1.
cos21
2sen2
2
1
.
cos21
2sen
 
 
10) ∫ +
+
dx
xx
x
.
ln1
ln1
 
Temos: [ ] 1ln1.ln.1ln1 +=+=+ x
x
xxxx
dx
d
, que é o numerador do integrando. 
 
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Portanto, essa integral é imediata e o seu resultado é: 
 
( ) Cxxdx
xx
x
++=
+
+
∫ ln1ln.ln1
ln1
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 22 - INTEGRAIS 
 
CÁLCULO DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS- DIRETIVAS: 
 
22.1 – 4a DIRETIVA – FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO; 
 
Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, C
a
a
y
u
+=
ln
 e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: u
u
a
a
aa
du
dy
==
ln
ln.
 e ( )xf
dx
du
′= 
Portanto: ( ) ( ) ( )xfa
dx
dy
xfa
dx
dy xfu ′=⇒′= .. , que é igual ao integrando. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ += Cdx
x
x
3ln
3
.3 
 
02) ∫ +=+=+= CeC
e
C
e
e
dxe x
xx
x
1ln
. 
 
 
 
( ) ( )
( )
∫ ≠>+=′ 10,ln.. aeaCa
a
dxxfa
xf
xf
 
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03) 
( ) ( )
( )
∫ ∫ +−=−−=
−
−−
Cdxdx
x
xx
3ln
3
.
2
1
.3.2
2
1
.3
21
2121
 
 
04) ∫∫ +== Cdxxdxx
x
x
x
2ln
2
.
1
.2.
2
ln
ln
ln
 
05) ∫ ∫ +=+== CeaCe
e
adxe
a
adxe a
xa
x
a
x
a
x
.
ln
...
1
. 
 
06) ∫ ∫ +−=−−= −−− Cedxexdxex xxx
222
.
2
1
..2
2
1
.. 
 
07) ∫ ∫ +== Cedxexdxx
e xx
x
sensen
sen
..cos.
sec
 
 
22.2 – 5a DIRETIVA – FUNÇÃO SENO: 
 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO; 
 
Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, Cuy +−= cos e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: ( ) uu
du
dy
sensen =−−= e ( )xf
dx
du
′= 
Portanto: ( ) ( )[ ] ( )xfxf
dx
dy
xfu
dx
dy ′=⇒′= .sen.sen , que é igual ao integrando. 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +−=′ Cxfdxxfxf cos..sen 
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EXEMPLOS; 
 
01) ∫ +−= Cxdxx cos.sen 
 
02) 
( ) ( ) ( )∫ ∫ +−== Cxdxxxdxx
x
lncos.lnsen.
1
.
lnsen
 
 
03) 
( ) ( ) ( )∫ ∫ +−== Cxdxxxdxx
x
sencos.cos.sensen.
sec
sensen
 
 
04) ∫ ∫ +



−=




−−−=




− C
x
dx
x
dx
x
3
cos.3.
3
sen.
3
1
3.
3
sen 
 
05) ∫ ∫ +−== Cxdxx
x
dx
x
x
cos2.sen.
2
1
2.
sen
 
 
06) 
( ) ( ) ( )∫ ∫ +−=+=+ Carctgxdxarctgxxdxx
arctgx
cos.sen.
1
1
.
1
sen
22
 
 
07) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=−−==
−−−−−
−
Cedxeedxeedx
ee
dx xxxxx
xx
cos.sen..sen..
seccos.
 
 
22.3 – 6a DIRETIVA – FUNÇÃO COSSENO: 
 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO; 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +=′ Cxfdxxfxf sen..cos 
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Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, Cuy += sen e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: u
du
dy
cos= e ( )xf
dx
du ′= 
Portanto: ( ) ( )[ ] ( )xfxf
dx
dy
xfu
dx
dy ′=⇒′= .cos.cos , que é igual ao integrando. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ += Cxdxx sen.cos 
 
02) 
( ) ( ) ( )∫ ∫ ++=+=
+
Cxdxx
x
dx
x
x
3lnsen.3lncos.
1
.
3lncos
 
 
03) 
( ) ( ) ( )∫ ∫ +== Ctgxdxtgxxdxx
tgx
sen.cos.sec.
cos
cos 2
2
 
 
04) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +== Cdxdx xxxxx 3sen.3ln
1
.3cos.3ln.3
3ln
1
.3cos.3 
 
05) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +−−=−−−=−=− Cxdxxxdxxxdxx
x 222
2
51sen.
10
1
.51cos.10
10
1
.51cos..
51sec
.
 
 
06) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ≠++=+=+ 0,sen.
1
.cos.
1
.cos aCbax
a
dxbaxa
a
dxbax 
 
22.4 – 7a DIRETIVA – FUNÇÃO SECANTE: 
 
 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }∫ ++=′ Cxftgxfdxxfxf secln..sec 
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DEMONSTRAÇÃO; 
Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, [ ] Ctguuy ++= secln e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: 
( )
u
tguu
utguu
tguu
utguu
du
dy
sec
sec
sec.sec
sec
sec.sec
2
=
+
+
=
+
+
= e ( )xf
dx
du ′= 
Portanto: ( ) ( )[ ] ( )xfxf
dx
dy
xfu
dx
dy ′=⇒′= .sec.sec , que é igual ao integrando. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ( )∫ ++= Ctgxxdxx secln.sec 
 
02) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ ++== Cxtgxdxxxdxxx 2222 secln.2
1
.sec.2
2
1
.sec. 
 
03) 
( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ ∫ +−+−=−=−=− Cxtgxdxxdxxx
dx
8585secln
5
1
.85sec.5
5
1
.85sec
85cos
 
 
04) ∫ ∫ ∫ +










+




−=




−−=






=






C
x
tg
x
dx
xx
dx
x
x
x
x
dx 33
secln
3
1
.
3
sec.
3
3
1
.
3
sec
3
cos.
22
2
 
 
05) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ++= Ctgxtgtgxdxxtgx secln.sec.sec 2 
 
22.5 – 8a DIRETIVA – FUNÇÃO COSSECANTE: 
 
 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }∫ +−=′ Cxfgxfdxxfxf cotseccosln..seccos 
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DEMONSTRAÇÃO; 
 
Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, [ ] Cguuy +−= cotseccosln e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos:
( ) ( )
u
guu
guuu
guu
uguu
du
dy
seccos
cotseccos
cotseccos.seccos
cotseccos
seccoscot.seccos
2
=
−
−
=
−
−−−
= e ( )xf
dx
du ′= 
Portanto: ( ) ( )[ ] ( )xfxf
dx
dy
xfu
dx
dy ′=⇒′= .seccos.seccos , que é igual ao integrando. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ( )∫ +−= Cgxxdxx cotseccosln.seccos 
 
02) ∫ ∫ +










−




=




=





C
x
g
x
dx
x
dx
x
3
cot
3
seccosln3.
3
seccos.
3
1
3.
3
seccos 
 
03) 
( )
( ) ( )∫ ∫ ∫ −−−=−=− dxxdxxx
dx
.43seccos.4
4
1
.43seccos
43sen
 
 
( )
( ) ( )[ ]∫ +−−−−=− Cxgxx
dx
43cot43seccosln
4
1
43sen
 
 
04) ∫ ∫ ∫ 






=







=








−
dxeedxeedx
e
e
xxxx
x
x
.seccos..
2
1
2.seccos..
seccos
2222
2
2
 
 ∫ +
















−







=








−
Cegedx
e
e
xx
x
x
22
2
2
cotseccosln2.
seccos
 
 
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05) 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ +−== Cxgxdxxxdxx
x
lncotlnseccosln.lnseccos.
1
.
lnseccos
 
 
22.6 – 9a DIRETIVA – FUNÇÃO SEC2f(x): 
 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO; 
 
Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, Ctguy += e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: u
du
dy 2
sec= e ( )xf
dx
du ′= 
Portanto: ( ) ( )[ ] ( )xfxf
dx
dy
xfu
dx
dy ′=⇒′= .sec.sec 22 , que é igual ao integrando. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ += Ctgxdxx.sec2 
 
02) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−=−=− Cxtgdxxdxx πππ 5.5
1
.5sec.5
5
1
.5sec
22 
 
03) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−=−=− Cxtgdxxxdxxx 7515
1
.75sec.15
15
1
.75sec.
3322322 
 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +=′ Cxftgdxxfxf ..sec2 
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04) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]∫ ∫ +== Cxtgdxxxdxxx 2sen2
1
.2sensec.2cos2
2
1
.2sensec.2cos
22 
 
05) 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )∫ ∫ ∫== x
dx
x
x
x
dx
xgx
dx
3cos
3sen
3cos
.3sen
3cot.3sen
2
2
2
2
22
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +=== Cxtgdxxdxxxgx
dx
3.
3
1
.3sec.3
3
1
;3sec
3cot.3sen
22
22
 
 
22.7 – 10a DIRETIVA – FUNÇÃO COSSEC2f(x): 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO; 
 
Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, Cguy +−= cot e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: ( ) uu
du
dy 22
seccosseccos =−−= e ( )xf
dx
du
′= 
Portanto: ( ) ( )[ ] ( )xfxf
dx
dy
xfu
dx
dy ′=⇒′= .seccos.seccos22 , que é igual ao integrando. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ +−= Cgxdxx cot.seccos 2 
 
02) 
( )
( ) ( )∫ ∫ ∫ −−−=−=− dxxdxxx
dx
.1seccos.1seccos
1sen
22
2
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +−=′ Cxfgdxxfxf cot..seccos 2 
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( )
( )[ ] ( )∫ +−=+−−−=− CxgCxgx
dx
1cot1cot
1sen
2
 
 
03) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−== Cxgdxxdxx πππππ cot
1
.seccos
1
.seccos
22 
 
04) 
( )
( ) ( )∫ ∫ +−== Cxgdxxxxx
dx
lncot.lnseccos.
1
lnsen.
2
2
 
 
05) 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )∫ ∫ ∫ ∫ −=−=
−
−
−
=
−
−
dxxdx
x
dx
x
x
x
dx
xtg
x
.83seccos.
83sen
1
.
83cos
83sen
83cos
1
.
83
83sec 2
2
2
2
2
2
2
 
 
( )
( )
( ) ( )∫ ∫ +−−=−=−
−
Cxgdxxdx
xtg
x
83cot.
3
1
.83seccos3
3
1
.
83
83sec 2
2
2
 
 
22.8 – 11a DIRETIVA – FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE: 
 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO; 
 
Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando. 
Sejam, então, C
a
u
arctg
a
y +




=
1
 e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
 
 
( )
( )[ ]
( )
∫ ℜ∈+


=
+
′ *
22
,.
1
. aC
a
xf
arctg
a
dx
xfa
xf
 
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Temos:
22
2
22
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
.
1
ua
a
ua
a
a
u
a
a
u
a
adu
dy
+
=
+
=
+
=





+
= e ( )xf
dx
du ′= 
Portanto: ( ) ( )
( )[ ]2222
.
1
xfa
xf
dx
dy
xf
uadx
dy
+
′
=⇒′
+
= , que é igual ao integrando. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ ∫ +=+



=
+
=
+
CarctgxC
x
arctgdx
xx
dx
11
1
.
1
1
1
222
 
 
02) ∫ ∫ +



=
+
=
+
C
x
arctgdx
xx
dx
2
.
2
1
.
2
1
4
222
 
 
03) 
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +
=
+
=
+
dx
x
x
dx
x
x
x
xdx
.
23
4
4
1
.
2343
22
222
24
 
 ∫ +





=+





=
+
C
x
arctgC
x
arctg
x
xdx
3
2
.
34
1
3
2
.
3
1
.
4
1
43
22
4
 
 
04) 
( ) ( )∫ ∫
+





=
+
=
+
C
e
arctgdx
e
e
dx
e
e x
x
x
x
x
7
.
7
1
.
7
.
7 2
22
 
 
05) 
( )∫ ∫
+




−=
+
−
−=
+
C
x
arctgdx
x
x
dx
x
x
5
cos
.
5
1
.
cos5
sen
.
cos25
sen
222
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 23 - INTEGRAIS 
 
EXERCÍCIOS – DIRETIVAS: 
 
Apresentamos nesta aula a resolução de algumas integrais indefinidas imediatas, isto é, 
integrais cujas soluções são obtidas pela simples aplicação das diretivas estudadas nas últimas 
aulas. 
Um fato importante, que devemos lembrar de agora em diante, é que, qualquer integral que 
possua solução analítica, isto é, qualquer integral em que seja possível obter a primitiva do 
integrando, só será resolvida mediante o uso de Diretivas. 
Aprenderemos nas próximas aulas algumas técnicas e métodos para resolver integrais que 
não sejam imediatas. E, mesmo quando estivermos empregando essas técnicas, o nosso objetivo 
sempre será transformar a integral dada em uma ou mais integrais que sejam todas imediatas. 
Em outras palavras, a solução analítica de uma integral indefinida só é possível com o 
emprego das Diretivas. 
Portanto, o conhecimento dessas Diretivas e a prática no seu uso, serão fundamentais para o 
desenvolvimento deste assunto daqui por diante. 
Assim, o nosso conselho é que você, estudante, pratique bastante até adquirir habilidade 
suficiente para resolver integrais. 
Para finalizar estes comentários, queremos destacar que o uso dessa ferramenta no 
desenrolar do curso de Física (ou qualquer outra ciência exata), será quase diário. Daí a 
importância de estudarmos detalhadamente o assunto. 
Nos exercícios a seguir procuramos apresentar algumas integrais imediatas devidamente 
resolvidas. 
Sugerimos que, antes de passar aos exercícios propostos, você resolva novamente estas 
integrais por sua conta. 
 
EXERCÍCIOS; 
 
01) 
( ) ( )∫ ∫∫∫∫∫
−−−−
++=++=
++
=
+
dxxxdxxxdxxdxxxxdx
x
xx
dx
x
x
....2..21..
21
.
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
22
 
 
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( )
∫ ∫∫∫ +
+
+
+
+
+−
=++=
+
+++−
−
C
xxx
dxxdxxdxxdx
x
x
1
2
3
1
2
1
.2
1
2
1
..2..
1
1
2
3
1
2
1
1
2
1
2
3
2
1
2
12
 
 
( )
∫ +++=+++=
+
CxxxC
xxx
dx
x
x 53
2
5
2
3
2
1
2
5
2
3
4
2
2
5
2
3
.2
2
1
.
1
 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Na resolução da integral acima, usamos apenas a diretiva da Função Potência, fazendo o 
desenvolvimento do numerador aplicando Produtos Notáveis. 
 
02) 
( )( )
dx
x
xxxxxx
dx
x
xxxx
.
2422363
.
12.23 1212122
∫∫
++++++++
=
++++ −−−−−
 
 
( )( )
∫∫
−−−− ++++
=
++++
dx
x
xxxx
dx
x
xxxx
.
25377
.
12.23 212122
 
 
( )( )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ −−
−−
++++=
++++
dxxdxxdxxdxdx
x
dx
x
xxxx 32
122
2.5.37.
7
.
12.23
 
 
( )( )
C
xx
xxxdx
x
xxxx
+
−
+
−
+++=
++++ −−−−
∫ 2.21.52
3
7ln7.
12.23 212
122
 
 
( )( )
C
xx
xxxdx
x
xxxx
+−−++=
++++
∫
−−
2
2
122 15
2
3
7ln7.
12.23
 
 
OBSERVAÇÃO; 
A integral acima foi resolvida de maneira parecida com a primeira, só que ela foi 
desmembrada em 5 integrais, sendo uma delas de Função Quociente, outra de Função Constante 
e 3 delas de Função Potência. 
 
03) 
( )
( )∫ ∫ ∫ ∫∫∫
−−−
−=−=
−
=
−
=
−
dxadxadxaadx
a
a
dx
a
a
dx
a
a
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
...1..
1
.
1
.
1
22
2
22
2
2
2
1
22
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
 ( )∫ ∫ ∫∫∫
−−
−−−=−=
−
dxadxadxadxadx
a
a
xxxx
x
x
..
2
1
2..
2
3
3
2
...
1
22
3
22
32
 
 ∫ ++=++=
−
−
C
aa
a
a
C
a
a
a
a
dx
a
a
x
x
xx
x
x 1
.
ln
2
.
ln3
2
ln
.2
ln
.
3
2
.
1 3
22
3
2
 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Esta integral envolveu especificamente Funções Exponenciais, devidamente arrumadas para 
que as integrais resultantes fossem imediatas. 
 
04) 
( ) ( )
( )∫ ∫ ∫ +=
+
=
+
=
+
Cxarctgdx
x
x
dx
x
x
dx
x
x 3
232
2
232
2
6
2
.
3
1
.
1
3
3
1
.
1
.
1
 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
A integral acima já era imediata de acordo com a 11a Diretiva. Foi necessário apenas 
identificar a função ( ) 3xxf = e a sua derivada ( ) 23xxf =′ . 
 
05) 
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ++
=
++
=
+−+
=
++
dx
x
dx
x
dx
xxx
dx
.
35
1
.
95
1
.
34255
1
3410 22222
 
 ∫ +



 +=
++
C
x
arctg
xx
dx
3
5
.
3
1
34102
 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Para resolver esta integral fomos obrigados a fatorar uma parte do denominador, a fim de 
obter um quadrado perfeito, no caso ( )25+x . Com este procedimento, a integral tornou-se 
imediata, novamente envolvendo a 11a Diretiva. 
 
 
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ATENÇÃO: 
Cuidado para não escrever 
34
1
10
11
3410
1
22
++=
++ xxxx
, que é um dos erros mais absurdos 
cometidos por estudantes mal formados conceitualmente. 
 
06) dx
x
xxx
.
1
4106
2
23
∫ +
+−
 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Observe que esta integral envolve uma Função Racional, como as integrais 04 e 05 acima. 
Entretanto, ao contrário do que aconteceu com aquelas integrais, esta envolve uma Função 
Racional Imprópria, isto é, o polinômio do numerador tem o grau maior que o polinômio do 
denominador. 
Isto significa que existe uma parte inteira na divisão do numerador pelo denominador. 
Portanto, para resolvermos a integral, devemos primeiramente efetuar esta divisão, sem nos 
preocuparmos se ela será exata ou não. 
Lembremo-nos que, na divisão de um polinômio ( )xP por outro polinômio ( )xQ obtemos um 
quociente ( )xq e podemos encontrar um resto ( )xR . Neste caso, podemos dizer que: 
( )
( )
( ) ( )
( )xQ
xR
xq
xQ
xP
+= 
onde ( )xq é um polinômio inteiro e racional na variável x e ( )
( )xQ
xR
 é uma Função Racional 
Própria, isto é, o grau do polinômio ( )xR é menor que o grau do polinômio ( )xQ .No nosso exemplo, ao dividirmos o polinômio ( ) xxxxP 4106 23 +−= por ( ) 12+=xxQ , obtemos o 
quociente ( ) 106 −= xxq e o resto ( ) 102 +−= xxR (VERIFIQUE!). 
Portanto, podemos escrever: 
1
102
106
1
4106
22
23
+
+−
+−=
+
+−
x
x
x
x
xxx
. 
Integrando membro a membro em relação à variável x , teremos: 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
∫ ∫ ∫ ∫ +
+−
+−=
+
+−
dx
x
x
dxdxxdx
x
xxx
.
1
102
10.6.
1
4106
22
23
 
 
Note que a primeira integral é imediata (Função Potência) e a segunda também é imediata 
(Função Constante), mas a terceira ainda não é. Ela parece ser a Diretiva da Função Quociente 
ou da Função Inversa da Tangente, mas não é uma coisa nem outra – ainda! 
Vamos, então, desmembrar a terceira integral em duas. 
Assim: 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +++−−=+
+−
dx
x
dx
x
x
dxdxxdx
x
xxx
.
1
1
10.
1
2
.10.6.
1
4106
2222
23
 
Observe que a terceira integral foi desmembrada em duas integrais imediatas: a primeira de 
Função Quociente e a segunda é a 11a Diretiva. 
Finalmente: 
( )∫ +++−−=+
+−
Carctgxxxxdx
x
xxx
.101ln103.
1
4106 22
2
23
 
 
07) ∫ + x
dx
cos1
 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Observe que esta não se parece com nenhuma integral daquelas que resolvemos até agora. 
O integrando é uma Função Racional Trigonométrica, e este tipo específico de integrais será 
objeto de nosso estudo em aulas futuras. 
Entretanto, neste caso em particular, podemos tentar obter uma solução para esta integral 
usando o artifício de aplicar o conjugado do denominador no nosso integrando. 
 
Assim procedendo, vamos obter: 
 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ −=
−
=
−
−
=
−
−
+
=
+
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
xx
dx
.
sen
cos
.
sen
1
.
sen
cos1
.
cos1
cos1
.
cos1
cos1
.
cos1
1
cos1 2222
 
 ( ) ( )∫ ∫∫ +−−−=−=+
−
−
C
x
gxdxxxdxx
x
dx
1
sen
cot.cos.sen.seccos
cos1
1
22 
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CxgxC
x
gx
x
dx
++−=++−=
+∫ seccoscotsen
1
cot
cos1
 
 
08) 
( )
∫ +
++
dx
x
xx
.
1
1ln
2
2
 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
A integral acima parece totalmente estranha aos tipos de integrais que observamos até agora. 
Para começar, ela envolve um radical e uma Função Logarítmica, e não existe nenhuma 
Diretiva que trate especificamente de funções logarítmicas. 
Portanto, esta integral só poderá ser imediata se envolver a Diretiva da Função Potência 
(devido ao radical). 
 
Vamos tentar enxergar esta Diretiva, escrevendo a integral de outra maneira: 
 
( ) ( )[ ]∫ ∫
+
++=
+
++
dx
x
xxdx
x
xx
.
1
1
.1ln.
1
1ln
2
2
1
2
2
2
 
Esta integral será imediata se tivermos no integrando a derivada ( )xf ′ da função definida por 
( ) ( ) ( ) 





++=++= 2
1
22 1ln1ln xxxxxf . 
Vamos, então, encontrar a derivada desta função ( )xf . 
Temos: ( )
( )
( ) 1
1
1.1
1
1
1
1
1
2.1.
2
1
1
222
2
2
2
2
2
1
2
+
=
+++
++
=
++
+
+
=
++
++
=′
−
xxxx
xx
xx
x
x
xx
xx
xf 
Comprovamos, portanto, ser esta uma integral da forma: ( )[ ] ( )∫ ′ dxxfxf
n
.. , isto é, uma Diretiva 
da Função Potência, onde ( ) ( ) 





++= 2
1
2 1ln xxxf , 
2
1
=n e ( )
21
1
x
xf
+
=′ . 
Logo: 
( ) ( )[ ] ( )[ ]∫ +++=+++=+
++
CxxC
xx
dx
x
xx 32
2
3
2
2
2
1ln
3
2
2
3
1ln
.
1
1ln
 
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09) 
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −−−=−=− dxxa
xa
dx
xa
xa
dx
ax
xa
..
2
1
2.
1
.
.
.
4
44
 
 
( ) ( ) ( ) Cxa
a
C
xa
a
dx
ax
xa
+−−=+
−
−=
−
∫
5
54
.
5
2
5
.
2
. 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Na resolução da integral acima, usamos a diretiva da Função Potência, fazendo com que 
aparecesse no integrando a derivada da função ( ) ( )xaxf −= que é ( )
x
xf
2
1
−=′ . 
10) 
( ) ( )[ ]∫ ∫ ∫ +−+=+
−
dxxarctg
x
dx
x
x
dx
x
xarctgx
.2.
41
1
.
41
.
41
2
2
1
222
 
 
( ) ( )[ ]∫ ∫ ∫ +−+=+
−
dxxarctg
x
dx
x
x
dx
x
xarctgx
.2.
41
2
2
1
.
41
8
8
1
.
41
2
2
1
222
 
 
( ) ( ) ( )[ ]∫ +−+=+
−
C
xarctg
xdx
x
xarctgx
2
3
2
.
2
1
41ln.
8
1
.
41
2 2
3
2
2
 
 
( ) ( ) ( )[ ]∫ +−+=+
−
Cxarctgxdx
x
xarctgx 32
2
2
3
1
41ln.
8
1
.
41
2
 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
A integral dada foi desmembrada em duas: uma diretiva de Função Quociente (a primeira) e 
outra diretiva de Função Potência (a segunda). 
 
11) 
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫∫ −=−=
−
= dxxdxdxxdxdx
x
dxx .2cos2
2
1
.
2
1
.
2
1
.2cos
2
1
.
2
1
.
2
2cos1
.sen 2 
 ( ) Cxxdxx +−=∫ 2sen4
1
2
1
.sen 2 
 
 
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OBSERVAÇÃO; 
 
Para a resolução desta integral, fizemos uso de uma identidade trigonométrica, que é dada 
por: 
( )
2
2cos1
sen 2
x
x
−
= . 
Para a demonstração desta identidade, vamos partir do segundo membro e tentar chegar ao 
primeiro: 
Sabemos que ( ) xxx 22 sencos2cos −= (1) 
Por outro lado, também sabemos que: 1cossen 22 =+ xx (2) 
Da relação (2) tiramos: xx 22 sen1cos −= 
Substituindo em (1): ( ) xxx 22 sensen12cos −−= 
( ) ( ) ( )
2
2cos1
sen2cos1sen2sen212cos 222
x
xxxxx
−
=⇒−=⇒−= 
Portanto, com a troca do integrando pela identidade correspondente, obtivemos duas integrais 
imediatas: uma de Função Constante e outra da Função Cosseno. 
 
12) 
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫∫ +=+=
+
= dxxdxdxxdxdx
x
dxx .2cos2
2
1
.
2
1
.
2
1
.2cos
2
1
.
2
1
.
2
2cos1
.cos2 
 ( ) Cxxdxx ++=∫ 2sen4
1
2
1
.cos2 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Para a resolução desta integral, fizemos uso de uma identidade trigonométrica, que é dada 
por: 
( )
2
2cos1
cos2
x
x
+
= , cuja demonstração é semelhante àquela do exemplo anterior. 
 
13) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −+=−== dxxxdxxdxxxdxxxdxx .sen.cos.sen.cos1.sen.sen.sen.sen 2223 
 ∫ ++−= Cxxdxx 33 cos.3
1
cos.sen 
 
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14) ( )∫ ∫ ∫ ∫∫ −=−== dxxxdxxdxxxdxxxdxx .cos.sen.cos.sen1.cos.cos.cos.cos 2223 
 ∫ +−= Cxxdxx 33 sen.3
1
sen.cos 
 
15) ( )∫ ∫ ∫ ∫
+−
=




 −== dx
xx
dx
x
dxxdxx .
4
2cos2cos21
.
2
2cos1
.sen.sen
22
224 
 [ ]∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 


 ++−=+−= dx
x
dxxdxdxxdxxdxdxx .
2
4cos1
.2cos2
4
1
.2cos.2cos21
4
1
.sen 24 
 ∫ ∫ ∫ ∫∫ 


 ++−= dxxdxdxxdxdxx .4cos
2
1
.
2
1
.2cos2
4
1
.sen 4 
 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 


 ++−= dxxdxdxxdxdxx .4cos.4
4
1
.
2
1
2
1
.2cos2
4
1
.sen 4 
 ∫ +


 ++−= Cxxxxdxx 4sen.
8
1
2
1
2sen
4
1
.sen 4 
 ∫ +


 +−= Cxxxdxx 4sen.
8
1
2sen
2
3
4
1
.sen 4 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Observe que, para resolver esta integral, foi necessário utilizar por duas vezes a mesma 
identidade trigonométrica que utilizamos no exemplo 11. 
 
16) ( )∫ ∫ ∫ ∫
++
=




 +== dx
xx
dx
x
dxxdxx .
4
2cos2cos21
.
2
2cos1
.cos.cos
22
224 
 [ ]∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 


 +++=++= dx
x
dxxdxdxxdxxdxdxx .
2
4cos1
.2cos2
4
1
.2cos.2cos21
4
1
.cos 24 
 ∫ ∫ ∫ ∫∫ 


 +++= dxxdxdxxdxdxx .4cos
2
1
.
2
1
.2cos2
4
1
.cos 4 
 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 


 +++= dxxdxdxxdxdxx .4cos.4
4
1
.
2
1
2
1
.2cos2
4
1
.cos 4 
 
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∫ +


 +++= Cxxxxdxx 4sen.
8
1
2
1
2sen
4
1
.cos 4 
 ∫ +


 ++= Cxxxdxx 4sen.
8
1
2sen
2
3
4
1
.cos4 
 
17) Uma função f(x) é tal que 
( ) 322 x
2
x1
x6
2)x(f −
+
−=′′ . Achar f(x), sabendo que a curva passa 
pelo ponto ),1(P π e que a reta tangente à curva pelo ponto P tem coeficiente angular igual 
ao da reta 010x9y2 =+− . 
 
Antes de começar a resolver este problema, vamos reconhecer o que foi dado e o que foi 
pedido e, principalmente, que caminhos devemos tomar para atingir o nosso objetivo. 
Conhecemos a expressão da derivada segunda e podemos obter a derivadaprimeira através 
da integração da derivada segunda. 
Ao integrarmos a derivada segunda para obter a derivada primeira, vamos chegar a uma 
constante de integração, que aqui vamos chamar de 1C . Para obtermos o valor dessa constante, 
vamos usar o fato de que a curva da função passa pelo ponto ),1(P π e tem nesse ponto o 
mesmo coeficiente angular da reta 010x9y2 =+− . Em outras palavras, basta tomarmos a 
derivada primeira da função no ponto igual ao coeficiente angular da reta dada (Interpretação 
Geométrica da Derivada no Ponto). 
Uma vez obtida a constante 1C , conhecemos a derivada primeira. Integrando a derivada 
primeira vamos obter a nossa função ( )xf . 
Assim: 
( ) ( )
( )
dx
xx
x
dxxfxf .
2
1
6
2.
322∫∫ 







−
+
−=′′=′ 
( ) ( )∫ ∫ ∫ −
−
−+−=′ dxxdxxxdxxf .2.1.232 3
22 
( ) ( ) 1
212
2
.2
1
1
.32 C
xx
xxf +
−
−
−
+
−=′
−−
 
( ) 1221
3
2 Cx
x
xxf ++
+
+=′ − 
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Da reta tangente, temos: 5
2
9
−= xy , cujo coeficiente angular é igual a 
2
9
. 
Portanto, devemos ter a derivada ( )xf ′ no ponto ),1(P π igual a 
2
9
, ou seja: 
012
2
3
2
9
1
2
3
2
2
9
111 =⇒−−−=⇒+++= CCC 
Logo, a derivada primeira da função procurada é ( ) 2
21
3
2 −+
+
+=′ x
x
xxf . 
Integrando esta expressão, obtemos: 
( ) ( )∫ ∫ 



 +
+
+=′= − dxx
x
xdxxfxf .
1
3
2. 2
2
 
( ) ∫ ∫ ∫ −+++= dxxdxxdxxxf ..1
1
3.2 2
2
 
( ) 2
1
2
1
.3 C
x
arctgxxxf +
−
++=
−
 
( ) 22
1
3 C
x
arctgxxxf +−+= 
Como a curva de ( )xf passa pelo ponto ),1(P π , então: 
21131 Carctg +−+=π 
44
.3 22
ππ
π =⇒−= CC 
Finalmente, a função procurada é: 
 
( )
4
1
32
π
+−+=
x
arctgxxxf 
 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 23 
 
 
01) Mostre que: 
a) ( )∫ +++=++ Cxxxdxxx 332 3
2
5.53 
b) ∫ += Cxdxx
x
sec.
seccos
sec2
 
c) ∫ +−= Cxdxx
x
seccos.
sen
cos
2
 
d) ∫ +++=
++
−
Cxxxdx
x
xx 3 263 14
3
2
1
4
618
14
3
.
43
 
e) ∫ +−−=



 +− C
x
xedx
xx
x
e xx
672 3
1
sec2.
2
cos
sen
2 
f) ∫ +−=+
−
Carctgxxdx
x
x
2.
1
1
2
2
 
g) ∫ += Cxdxx cosh.senh (SUGESTÃO: use a definição de senhx) 
h) ∫ += Cxdxx senh.cosh (SUGESTÃO: use a definição de coshx) 
i) ( )∫ ++=+ Ctgxxdxxx sen.1cos.sec 32 
j) ∫ += Ctgxdxxxtg .seccos. 22 
k) ( )∫ ++= Cx
xtg
dxxtg cosln
2
.
2
3 
l) ∫ +



 +=
++
C
x
arctg
xx
dx
2
9
6
1
255543 2
 
 
02) Resolver as integrais: 
a) ∫ +−
+
dx
6x4x
1x
2
 Resp: ( ) Cxarctgxx +




 −
++−
2
2
2
3
64ln
2
1 2 
b) ( )∫ +− + xdx7gcotex3cosx3sen 1x5 Resp: ( ) Cxex x ++− + 7senln7
1
5
1
3sen
6
1 152 
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c) ( )[ ]∫ ++ dxxtgx6cos1 32 Resp: ( ) Cx
xtg
xxx +++++ cosln
2
12sen
24
1
6sen
3
1
2
3 2
 
 
03) Se 
2x
1
xcos)x(f −=′ e 
π
=




 π 2
2
f , achar 




 π
6
f . Resp: 
π
π
2
12 −
 
 
04) Se ( )
2
3
1
1 





−=′
x
xf e ( ) 58 −=f , mostre que ( ) 227 =f . 
 
05) Se f’(x) = sec2x + 
x
3
 - cos2x e π=




 π
3
4
f , determine f(x). 
 Resp: ( )
2
1
2sen
2
1
6 −−+= xxtgxxf 
 
06) Se x2senxcos)x(f 2 −=′ e f 





4
π
= 
4
1
, encontre f(x). 
 Resp: ( )
82
2cos
4
2sen
2
π
−++=
xxx
xf 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 24 - INTEGRAIS 
 
 
INTEGRAIS DEFINIDAS: 
 
24.1 – DIFERENCIAL DA ÁREA SOB UMA CURVA: 
 
Seja ( )xfy = uma função contínua num intervalo [ ]ba, , cujo gráfico é a curva AB , onde 
admitimos ( ) Aaf = e ( ) Bbf = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar agora a área S , limitada pela curva AB , pelo eixo das abscissas e pelas 
ordenadas ( ) Aaf = (fixa) e ( )xfy = (variável). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 
( )xfy = 
A 
B 
a b 
( )af 
( )bf 
x 
0 
( )xfy = 
A 
B 
a b 
( )af 
( )bf 
x 
( )xf 
S 
y 
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Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , vamos obter em correspondência um 
acréscimo S∆ para a área S , conforme a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da figura, podemos tirar a seguinte relação: 
QNORMNORMNOP SSS << 
xORSxOP ∆<∆<∆ .. 
Dividindo por x∆ , teremos: 
OR
x
S
OP <
∆
∆
< 
Tomando os limites para 0→∆x , obtemos: 
( )xfyMNOP
x
===
→∆
lim
0
 
( )xfyMNOR
x
===
→∆
lim
0
 
 
Portanto, de acordo com o Teorema do Confronto, podemos afirmar que: 
 
( ) ( ) ⇒=⇒=
∆
∆
→∆
xf
dx
dS
xf
x
S
x
lim
0
 
 
 
x 
0 
A 
B 
a b 
( )af 
( )bf 
x 
( )xf 
S 
y 
xx ∆+ 
S 
Q R 
M P 
N O 
S∆ 
( )dxxfdS .= 
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CONCLUSÃO: 
 
A diferencial dS da área sob uma curva, limitada pela curva, pelo eixo das abscissas e por 
uma ordenada fixa e outra móvel, é igual ao produto da ordenada variável ( )xf pela diferencial da 
variável independente x . 
 
24.2– INTEGRAL DEFINIDA – DEFINIÇÃO: 
 
Consideremos a diferencial dS da área S sob a curva de uma função ( )xf : 
( )dxxfdS .= 
Integrando membro a membro, teremos: 
( )∫ ∫= dxxfdS . 
( )∫= dxxfS . 
( ) CxFS += 
onde ( )xF é a Primitiva de ( )xf . 
Se a curva da função ( )xf é definida no intervalo [ ]ba, , temos: 
• Para 0=⇒= Sax 
 Logo: ( ) ( )aFCCaF −=⇒+=0 
• Para SSbx =⇒= (área total sob a curva) 
Logo: ( ) ( )aFbFS −= 
A área S será, então, representada pela notação: 
 ( ) ( ) ( ) ( )aFbFxFdxxfS b
a
b
a
−=== ∫ . 
e ( )∫
b
a
dxxf . é chamada de Integral Definida de ( )xfy = no intervalo [ ]ba, . 
Assim: 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫ −==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf . 
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onde: 
• ( )xf é o Integrando ou Função Integrando; 
• ( )xF é a Primitiva de ( )xf ; 
• a é o Limite Inferior de Integração; 
• b é o Limite Superior de Integração 
 
24.3 – PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: 
 
P1: 
 
 
 
P2: 
 
 
 
P3: 
 
 
 
P4: 
 
 
 
P5: 
 
 
 
 
( )∫ =
a
a
dxxf 0. 
( ) ( )∫ ∫ ℜ∈=
b
a
b
a
kparadxxfkdxxfk ,.... 
( ) ( )∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf .. 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫−+=−+
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf .... 
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ <<+=
b
a
c
a
d
c
bcaparadxxfdxxfdxxf ,... 
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24.4 – RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS DEFINIDAS: 
 
Para o cálculo de uma Integral Definida da forma ( )∫
b
a
dxxf . , devemos proceder da seguinte 
maneira: 
 
• obtemos a Primitiva ( )xF da Função Integrando e desprezamos a constante de 
integração; 
• substituímos na Primitiva obtida os limites superior e inferior de integração e subtraímos 
os resultados nesta ordem. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ ==−=−==
5
2
33
5
2
3
2
39
3
117
3
8
3
125
3
2
3
5
3
.
x
dxx 
 
02) 
( )
∫−
−
==−=
−
−==
3
1
44
3
1
4
3
20
4
80
4
1
4
81
4
1
4
3
4
.
x
dxx 
 
03) ∫ ==−=



−




=




=
+
a
a
aa
arctg
aa
arctg
aa
a
arctg
aa
x
arctg
axa
dx
0
0
22
44
.
1
01.
10
.
1
.
1
.
1 ππ
 
 
04) ( ) ( )∫ ∫ −=+=
+
=+=
+
−1
0
1
0
2
1
0
1
0
2
1
2
2
1
2
2
121
2
1
1
.
2
1
.1.2
2
1
1
.
x
x
dxxx
x
dxx
 
 
05) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫∫ −+=−==30 30 30 30
23
0
223
.sen.cos.sen.cos1.sen.sen.sen.sen
π π π ππ
dxxxdxxdxxxdxxxdxx 
 ∫ −++−=+−=30
3
3
3
0
3
3
0
3
3
0cos
3
3
cos
0cos
3
cos
3
cos
cos.sen
π
π
π
π
πx
xdxx 
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 ∫ =
−++−
=−++−=3
0
3
24
5
24
812412
3
1
24
1
1
2
1
.sen
π
dxx 
 
06) 
( )
( )∫ ∫ ∫
−−=
−
=
+−
1
0
1
0
1
0
2
22
.2
244
dxx
x
dx
xx
dx
 
 
( )
∫ =−=−+−−=−−=−
−
=
+−
−
1
0
1
0
1
0
1
2
2
1
2
1
1
20
1
21
1
2
1
1
2
44 x
x
xx
dx
 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 25 - INTEGRAIS 
 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES: 
 
O Método de Integração Por Partes constitui-se numa das técnicas mais importantes e 
utilizadas na resolução de integrais que, em geral, não são imediatas. 
Ele se fundamenta em interpretar o Integrando como sendo resultado do produto de uma 
função pela diferencial de outra função ou, se quisermos simplificar, no produto de duas funções. 
 
Consideremos, então, o produto de duas funções ( )xuu = e ( )xvv = . 
A derivada do produto vu. destas funções, com relação à variável x , é dado por: 
( )
dx
du
v
dx
dv
uvu
dx
d
... += 
A Diferencial deste produto será: 
( ) duvdvuvud ... += 
Integrando membro a membro, teremos: 
( )∫ ∫ ∫+= duvdvuvud ... 
∫ ∫+= duvdvuvu ... 
Isolando uma das integrais do segundo membro, resulta: 
 
 
 
que é o chamado Método de Integração Por Partes. 
 
Se a integral é Definida no intervalo [ ]ba, , fazemos: 
 
 
 
 
 
∫ ∫−= duvvudvu ... 
∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a
duvvudvu ... 
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OBSERVAÇÃO; 
 
Provavelmente, você não deve ter entendido muito bem a definição formulada acima. Talvez 
esteja se perguntando: por que Integração Por Partes? 
As razões para este nome são que devemos enxergar o integrando como formado por duas 
partes: uma função ( )u e uma diferencial ( )dv , e também de que devemos resolver a integral dada 
em duas partes. 
Nos exemplos resolvidos a seguir você, com certeza, vai conseguir entender o método. 
 
EXEMPLOS; 
 
Resolver as integrais abaixo, usando o Método de Integração por Partes: 
 
01) ∫ dxex x .. 
Por Partes ∫ ∫−= duvvudvu ... : 
 fazemos: 




=⇒=⇒=
=⇒=
∫ ∫ xxx evdxedvdxedv
dxduxu
..
 
Observe que não escrevemos a constante de integração quando integramos dv . É assim 
mesmo que devemos proceder. A constante de integração C só será escrita no final e, é claro, se 
a integral dada for indefinida. 
Então: ∫ ∫−= dxeexdxex xxx .... 
( )∫ +−=+−= CxeCeexdxex xxxx 1.... 
 
(VERIFIQUE esta solução, derivando o resultado e comparando com o integrando). 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Note que escolhemos uma parte do integrando para chamar de u e a parte restante para 
chamar de dv , ou seja, neste exemplo fizemos a escolha xu = e dxedv x .= . 
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Com este procedimento, transformamos a integral dada numa diferença entre uma função, 
que é vu. , e uma nova integral, que é ∫ duv. . 
O que aconteceria se trocássemos as escolhas, isto é, se fizéssemos xeu = e dxxdv .= ? Será 
que a integral teria a mesma solução? 
Vamos experimentar fazer a troca para ver o que acontece. 
Para xeu = , teremos dxedu x .= 
Para dxxdv .= , teremos 
2
.
2x
vdxxdv =⇒= ∫∫ 
Assim, a integral dada ficaria: 
∫ ∫−= dxe
x
e
x
dxex xxx ..
2
.
2
..
22
 
∫ ∫−= dxex
ex
dxex x
x
x
..
2
1
2
..
2
2
 
 
Ou seja, a segunda integral, além de não ser imediata, como aconteceu na nossa primeira 
escolha, ainda traz no integrando uma função mais complexa que aquela dada inicialmente. 
Portanto, esta escolha não é uma escolha feliz. 
Em outras palavras, partimos de uma integral que não era imediata e chegamos a outra que 
também não era imediata. 
Percebemos também que a escolha da função u e da diferencial dv é subjetiva, isto é, 
podemos fazer a escolha que julgarmos ser mais conveniente para nós em cada caso. Quer dizer, 
não existe uma regra que especifique qual o tipo de função devemos chamar de u e qual 
devemos chamar de dv para que possamos resolver nossa integral. 
Infelizmente, esta escolha deve ser feita por tentativa, mas sempre usando o bom senso e 
escolhendo para dv a parte da integral dada que resultará numa segunda integral imediata. 
Isto nos leva a concluir que só mesmo a prática é que nos levará a aplicar corretamente e com 
sucesso este método. 
 
02) ∫= 20 .cos.
π
dxxxI 
Por Partes: ∫ ∫−= duvvudvu ... 
 
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Fazendo: 




=⇒=⇒=
=⇒=
∫∫ xvdxxdvdxxdv
dxduxu
sen.cos.cos
 
Assim, a nossa integral que chamamos de I , torna-se: 
∫−= 2020 .sensen.
ππ
dxxxxI 
( ) 1
2
1001.
2
cossen.cossen. 2
0
2
0
2
0
−=−+−=+=+=
πππππ
xxxxxxI 
 
03) ∫= dxxxI .ln. 
Por Partes: ∫ ∫−= duvvudvu ... 
Fazendo: 






=⇒=⇒=
=⇒=
∫∫ 2..
.
1
ln
2x
vdxxdvdxxdv
dx
x
duxu
 
Portanto, a integral torna-se: 
∫−= dxx
x
x
x
I .
1
.
2
ln.
2
22
 
C
xxx
C
xxx
dxxx
x
I +−=+−=−= ∫ 42
ln
2
.
2
1
2
ln
.
2
1
ln.
2
22222
 
 
04) ∫= dxxeI x .sen. 
Por Partes: ∫ ∫−= duvvudvu ... 
Fazendo: 




−=⇒=⇒=
=⇒=
∫ ∫ xvdxxdvdxxdv
dxedueu xx
cos.sen.sen
.
 
∫+−= dxxexeI xx .cos.cos. 
Chamando de ∫= dxxeI x .cos.1 , teremos: 
1
cos. IxeI x +−= (1) 
 Aplicamos novamente a Integração Por Partes: 
 
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Fazendo: 




=⇒=⇒=
=⇒=
∫ ∫ xvdxxdvdxxdv
dxedueu xx
sen.cos.cos
.
 
Assim, teremos: 
∫−= dxxexeI xx .sen.sen.1 
Observe que chegamos novamente à integral dada para ser resolvida. 
Este fato nos leva a supor que não conseguimos resolver a integral, mas isto não é verdade. 
O que aconteceu (e que pode voltar a acontecer com outras integrais) é que partimos de uma 
determinada integral e voltamos a ela novamente. Entretanto, conseguimos resolve-la como era o 
nosso objetivo. 
Note que podemos escrever: 
IxeI x −= sen.
1
 (2) 
Substituindo agora (2) em (1), resulta: 
IxexeI xx −+−= sen.cos. 
( ) ( ) CxxeIxxeI
x
x +−=⇒−= cossen.
2
cossen2 
OBSERVAÇÃO; 
 
Observe que escolhemos chamar xeu = e dxxdv .sen= para começarmos a resolver esta 
integral. 
Se tivéssemos feito a escolha trocada, ou seja, se tomássemos xu sen= e dxedv x .= , 
resolveríamos do mesmo jeito esta integral (EXPERIMENTE). 
 
05) ∫= dxxI .sec3 
Se quisermos resolver esta integral diretamente, devemos encontrar sérias dificuldades. 
Vamos, então, fazer: ∫= dxxxI .sec.sec 2 . 
Por Partes: ∫ ∫−= duvvudvu ... 
Fazendo: 




=⇒=⇒=
=⇒=
∫∫ tgxvdxxdvdxxdv
dxtgxxduxu
.sec.sec
..secsec
22
 
Desta forma, teremos: 
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∫−= dxxtgxtgxxI ..sec.sec 2 
Mas: 1sec22 −= xxtg 
Logo: ( )∫ −−= dxxxtgxxI .1sec.sec.sec 2 
∫ ∫+−= dxxdxxtgxxI .sec.sec.sec 3 
∫+−= dxxItgxxI .sec.sec 
( ) CtgxxtgxxI +++= secln.sec2 
( )[ ] CtgxxtgxxI +++= secln.sec
2
1
 
06) ∫= dxarctgxI . 
Em integrais como esta, que apresentam apenas uma função no integrando, devemos chamar 
esta função de u , no caso de aplicarmos este método. 
Portanto, pelo Método de Integração Por Partes: ∫ ∫−= duvvudvu ... 
Fazendo: 





=⇒=⇒=
+
=⇒=
∫ ∫ xvdxdvdxdv
dx
x
duarctgxu .
1
1
2
 
Assim, teremos: 
∫ +−= dxx
x
arctgxxI .
1
.
2
 
A segunda integral é imediata (Diretiva da Função Quociente). Basta arrumarmos o numerador 
do integrando, ou seja: 
∫ +−= dxx
x
arctgxxI .
1
2
2
1
.
2
 
( ) CxarctgxxI ++−= 21ln.
2
1
. 
 
07) ∫∫ =⇒= dxxxIdxxI .sen.sen.sen 2 
 
Embora esta integral já tenha sido resolvida por aplicação de Diretivas, nós também podemos 
resolve-la por este método, desde que façamos xxx sen.sensen 2 = . 
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Por Partes:∫ ∫−= duvvudvu ... 
Fazemos: 




−=⇒=⇒=
=⇒=
∫ ∫ xvdxxdvdxxdv
dxxduxu
cos.sen.sen
.cossen
 
Assim, a integral torna-se: 
∫+−= dxxxxI .coscos.sen 2 
Mas: xx 22 sen1cos −= 
Logo: ( )∫ −+−= dxxxxI .sen1cos.sen 2 
∫ ∫−+−= dxxdxxxI .sencos.sen 2 
IxxxI −+−= cos.sen 
( ) CxxxIxxxI +−=⇒−= cos.sen.
2
1
cos.sen2 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 25 
 
 
01) Resolver a integral ∫ ++= dx)2x(.)10x(I 20 , usando o método de integração por partes. 
 Resp: 
( )
C
xx
I +
++
=
22
3421
.
21
10
21
 
02) Resolver dx
e
5x2x
I
x
2
∫
+−
= por partes. Resp: ( ) Cxe x ++− − 52 
03) Calcule ∫=
2/1
0
arcsen dxxI Resp: 1
2
3
12
−+
π
 
04) Resolver por partes ∫= dxxbseneI ax . Resp: Cbxb
bxa
e
ba
b ax +




 −
+
cos
sen
22
 
05) Resolver por Partes ∫
π
=
2/
0
2 dxx2cosxI . Resp: 
4
π
−=I 
06) Calcule I = ∫
2
0
23 cos
π
dxxx Resp: 
2
1
4
−=
π
I 
07) Resolver I = ∫ xdxxm ln Resp: Cmxm
x
I
m
+





+
−
+
=
+
1
1
ln
1
1
 
08) Resolver por partes I = ∫ dxx)sen(ln Resp: ( ) ( )[ ] Cxx
x
I +−= lncoslnsen
2
 
09) Calcule I = ∫ xdxarctg2 Resp: ( ) CxxxarctgI ++−= 241ln4
1
2 
10) Resolver ( )∫ += dxxI 16ln 2 Resp: ( ) C
x
arctgxxxI +




+−+=
4
8216ln 2 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 26 - INTEGRAIS 
 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS: 
 
Tão importante quanto o Método de Integração por Partes é o Método de Integração por 
Substituição de Variáveis. 
Em linhas gerais, este Método se propõe a fazer uma troca conveniente na variável de 
integração, de modo que a integral se torne mais simples de ser resolvida e, às vezes, até mesmo 
imediata. 
Genericamente, se temos uma integral da forma ( )∫ dxxf . , podemos fazer a substituição: 
( ) ( )dttgdxtgx .′=⇒= . 
Com esta substituição, a integral torna-se: 
( ) ( )[ ] ( )∫ ∫ ′= dttgtgfdxxf ... 
Isto é, uma integral para ser resolvida na variável x passará a ser resolvida na variável t . 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Se a integral é Definida e vamos usar substituição de variáveis para resolve-la, então é 
conveniente mudar também os limites de integração, ao fazer a mudança de variável. 
 
Não existe uma regra básica que estabeleça se devemos ou não trocar a variável para 
resolver a integral. A princípio, podemos efetuar a mudança de variáveis quando quisermos. 
Entretanto, existem certas situações particulares para as quais é aconselhável, ou até mesmo 
necessário, que se faça essa substituição de variáveis. 
 
Dessas situações, a mais comum é aquela em que aparecem radicais no integrando. Nesses 
casos, a mudança de variáveis servirá exatamente para eliminar esses radicais. 
 
Nesta aula, vamos estudar dois dos quatro casos mais comuns envolvendo essas situações. 
 
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26.1 – 1o CASO: 
 
Se o integrando apresenta um radical da forma ( )*22 ℜ∈− axa então é conveniente fazer a 
substituição: 
 
Com esta substituição, teremos: 
( ) tatatataaxa cos.cos.sen1.sen. 222222222 ==−=−=− 
ou seja, o radical é eliminado. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ ∫
−
=⇒
−
= dx
x
x
I
x
dxx
I .
11
.
222
 
Vemos que esta integral possui um radical da forma 22 xa − , com 1=a . 
Podemos, então, fazer: txedttdxtx cos1.cossen.1 2 =−=⇒= . 
Portanto, a integral torna-se: 
∫∫ +−=== Ctdttt
dttt
I cos.sen
cos
.cos.sen
 
Voltando para a variável original, teremos: CxI +−−= 21 . 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
A integral acima já era imediata. No entanto, isto não invalidou o fato de tê-la resolvido por 
substituição de variáveis. 
 
02) ∫ ∫ −=⇒−= dxxIdxxI .4.16 222 
Novamente, temos um radical da forma 22 xa − , com 4=a . 
Fazendo: txedttdxtx cos416.cos.4sen.4 2 =−=⇒= 
Assim, a integral torna-se: 
dttadxtax .cossen. =⇒= 
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∫∫ == dttdtttI .cos16.cos4.cos4 2 
Lembrando que 
2
2cos1
cos
2 tt
+
= , podemos escrever: 
[ ]∫ ∫ ∫+=+= dttdtdttI .2cos8.2
2cos1
16 



 += ∫∫ dttdtI .2cos.22
1
8 
CtsentICtsentI ++=⇒+




 += 2482
2
1
8 
CtsenttICtsenttI ++=⇒++= cos.88cos.2.48 
Voltando para a variável x , temos: 
4
16
coscos416
4
arcsen;
4
sensen4
2
2 xttxe
x
t
x
ttx
−
=⇒=−




==⇒= 
Finalmente, a integral torna-se: 
C
xxx
arcsenIC
xxx
arcsenI +
−
+




=⇒+
−
+




=
2
16
4
8
4
16
.
4
.8
4
8
22
 
 
26.2 – 2o CASO: 
 
Se o integrando apresenta um radical da forma ( )*22 ℜ∈+ axa então é conveniente fazer a 
substituição: 
 
Com esta substituição, teremos: 
( ) tatattgattgaaxa sec.sec.1.. 222222222 ==+=+=+ 
ou seja, o radical é eliminado. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ ∫
+
=⇒
+
=
222
39 xx
dx
I
xx
dx
I 
dttadxtgtax .sec. 2=⇒= 
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Temos um radical da forma 22 xa + , com 3=a . 
Fazendo: tgtx 3= , teremos dttdx .sec3 2= e tx sec392 =+ 
Com isto, a integral torna-se: 
∫ ∫ ∫ ∫==== dttdt
t
t
tdt
tgt
t
dt
ttgt
t
I .
sen
1
3
1
.
cos
sen
cos
1
3
1
.
sec
3
1
.
sec3.3
sec3
2
 
( )∫ +−== CgttdttI cotseccosln3
1
.seccos
3
1
 
Voltando para a variável x , resulta: 
 
xtgt
gt
x
tgt
31
cot
3
==⇒= 
Mas: 
x
x
x
tgt
99
1cot1seccos
2
2
2 +=+=+= 
Assim: C
x
x
I +







 −+
=
39
ln
3
1
2
 
 
02) ∫ ∫
+
=⇒
+
=
3
1
3
1
222
.
1
.
1
dx
x
x
Idx
x
x
I 
Fazendo: txdttdxtgtx sec1.sec 22 =+⇒=⇒= 
Como a integral é definida, vamos mudar também os limites de integração: 
Para 1=x , temos 
4
1
π
=⇒= ttgt 
Para 3=x , temos 
3
3
π
=⇒= ttgt 
Portanto, a integral torna-se: 
( )
dt
tgt
ttgt
dtt
tgt
t
I .
1.sec
.sec.
sec
3
4
3
4
2
2∫ ∫
+
==
π
π
π
π 
∫ ∫ ∫∫ +=+= 3
4
3
4
3
4
3
4
..sec.seccos..sec.
sec
π
π
π
π
π
π
π
π dttgttdttdttgttdt
tgt
t
I 
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( )[ ] 3
4
seccotseccosln
π
πtgttI +−= 
Substituindo os limites de integração: 
4
sec
3
sec
4
cot
4
seccosln
3
cot
3
seccosln
ππππππ
−+




 −−




 −= ggI 
Porém: 
3
32
3
2
2
3
1
3
sen
1
3
seccos ====
π
π
 ; 2
2
22
2
2
2
2
1
4
sen
1
4
seccos =====
π
π
 
3
3
3
1
3
1
3
cot ===
π
π
tg
g ; 1
4
cot =
π
g 
2
2
1
1
3
cos
1
3
sec ===
π
π
 ; 2
2
22
2
2
2
2
1
4
cos
1
4
sec =====
π
π
 
 
Logo: ( ) 2212ln
3
3
3
32
ln −+−−







−=I 
( ) 2212ln
3
3
ln −+−−







=I 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 27 - INTEGRAIS 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS: 
 
27.1 – 3o CASO: 
Se o integrando apresenta um radical da forma ( )*22 ℜ∈− aax então é conveniente fazer a 
substituição: 
 
Com esta substituição, teremos: 
( ) tgtattgataataax ..1sec.sec. 222222222 ==−=−=− 
ou seja, o radical é eliminado. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ ∫
−
=⇒
−
=
222 11 xx
dx
I
xx
dx
I 
Vemos que esta integral possui um radical da forma 22 ax − , com 1=a . 
Podemos, então, fazer: tgtxedttgttdxtx =−=⇒= 1..secsec.1 2 . 
Portanto, a integral torna-se: 
∫∫ +=== Ctdttgtt
dttgtt
I .
.sec
..sec
 
Mas xarcttx secsec =⇒= 
 
Portanto: CxarcI += sec 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
A integral acima já era imediata, quer dizer, o integrando é igual à derivada da função inversa 
da secante. Entretanto, nada impede que tenhamos resolvidoesta integral por substituição de 
variáveis, uma vez que o resultado será aquele que já esperávamos. 
dttgttadxtax ..secsec. =⇒= 
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02) ∫ ∫
−
=⇒
−
= dx
x
x
Idx
x
x
I
222 2
.
4
 
Novamente, temos um radical da forma 22 ax − , com 2=a . 
Fazendo: tgtxedttgttdxtx 24..sec.2sec.2 2 =−=⇒= 
Assim, a integral torna-se: 
( ) ( )∫ ∫ ∫ +−=−=== Cttgtdttdtttgt
dttgtttgt
I .2.1sec2.2
sec.2
..sec.2..2 22 
Mas: 
2
42 −
=
x
tgt e 




=
2
sec
x
arct 
Logo: C
x
arcxI +




−−=
2
sec242 
 
27.2 – 4o CASO – FUNÇÕES IRRACIONAIS: 
 
Se a integral é do tipo ∫ 






= dxxxxxRI s
r
q
p
n
m
.,...,,, , então fazemos a substituição: 
 
 
 
Esta substituição é a mais conveniente, pois ela elimina todos os radicais ao mesmo tempo. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ ∫
+
=
+
= dx
x
x
dx
x
x
I .
1
.
1 4
3
2
1
4 3
 
Temos: ( ) 44,2 =MMC 
Fazendo, então, a substituição: dttdxtx .4 34 =⇒= 
Logo, a integral torna-se: 
 
sqnMMCkondedttkdxtx kk ,...,,(,.. 1 ==⇒= − 
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∫ ∫ +=+= dtt
t
dtt
t
t
I .
1
4.4.
1 3
5
3
3
2
 
 
Como o integrando é uma função racional imprópria, devemos efetuar a divisão antes de 
integrarmos: 
Assim: 
11 3
2
2
3
5
+
−=
+ t
t
t
t
t
 
Portanto: 





+
−= ∫ ∫ dtt
t
dttI .
1
.4
3
2
2 






+
−= ∫ ∫ 1
3
.
3
1
.4
3
2
2
t
t
dttI 
( ) ( )[ ] CttICttI ++−=⇒+





+−= 1ln.
3
4
1ln.
3
1
3
4 333
3
 
Como 4tx = , então 4 xt = e 4 33 xt = . 
 
Finalmente: ( )[ ] CxxI ++−= 1ln.
3
4 4 34 3 
 
02) ∫ ∫
+
=
+
= dx
x
x
dx
x
x
I .
1
.
1
2
1
4
1
4
 
Temos: ( ) 42,4 =MMC 
Fazendo: dttdxtx .4 34 =⇒= 
Com esta substituição, a integral torna-se: 
∫ ∫ +=+= dtt
t
dtt
t
t
I .
1
4.4.
1 2
4
3
2
 
Novamente, temos no integrando uma função racional imprópria. 
Efetuando a divisão, obtemos: 
1
1
1
1 2
2
2
4
+
+−=
+ t
t
t
t
 
 
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Portanto: 



+
+−= ∫ ∫ ∫ dttdtdttI .1
1
14
2
2 
Carctgtt
t
I +





+−=
3
4
3
 
Como 4tx = , então 4 xt = . 
 
Logo: Cxarctgx
x
I +








+−= 44
4 3
3
4 
 
 
03) Calcule dx
3e
1ee
I
5ln
0
x
xx
∫ +
−
= 
Para eliminarmos o radical, vamos fazer a substituição: 
111 22 +=⇒=−⇒=− tetete xxx 
Diferenciando membro a membro, obtemos: dttdxe x .2. = 
Como a integral é definida, vamos mudar também os limites de integração: 
Para 01110 0 =−=−=⇒= etx 
Para 241515ln 5ln ==−=−=⇒= etx 
Substituindo na integral, resulta: 
∫ ∫ ∫ ∫ 




+
−=





+
−
+
+
=
+
−+
=
+
=
2
0
2
0
2
0
2
0 222
2
2
2
2
2
.
4
4
12.
4
4
4
4
.2.
4
44
.2
4
.2
dt
t
dt
tt
t
dt
t
t
t
dtt
I 
∫ ∫ −=−=










−=
+
−=
2
0
2
0
2
0
2
4
4
.44
2
42.
4
1
8.2 π
πt
arctgtdt
t
dtI 
 
04) Calcule ∫− +
=
8
1 32 x
dx
I 
 
Neste exemplo, observamos que existe um radical dentro do outro. Isto não tem importância 
nenhuma. Podemos eliminar os dois radicais simultaneamente com uma única substituição. 
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Portanto, vamos fazer: 
( )3223233 2222 −=⇒−=⇒=+⇒=+ txtxtxtx 
Diferenciando, obtemos: ( ) ( ) dtttdxdtttdx .2.6.2.2.3 2222 −=⇒−= 
Novamente, a integral é definida. Uma vez que fizemos a substituição de variáveis, vamos 
fazer também a mudança nos limites de integração: 
Para 1112121 3 ==−=−+=⇒−= tx 
Para 2422828 3 ==+=+=⇒= tx 
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +−=−=
−
=
2
1
2
1
2
1
2422
22
.446.26
.2.6
dtttdtt
t
dttt
I 






+−−





+−=





+−= 1.4
3
1.4
5
1
.62.4
3
2.4
5
2
.64
3
4
5
.6
3535
2
1
35
t
tt
I 
5
26
32
5
186
248
5
6
4864
5
192
4
3
4
5
1
.68
3
32
5
32
.6 =−=−+−+−=




 +−−




 +−=I 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 27 
 
 
 
01) Calcular ∫
+
−
22
3 2
4 xx
dx
 Resp: 
12
π
 
02) Calcule I = 
( )
∫
−3
23 2
32
9
dx
x
x
 Resp: 







−+−=
28
39
19
π
I 
03) Resolver dx
x
x4
I
2
1
2
2
∫
−
= . Resp: 
3
33 π−
=I 
04) Mostre que ∫ 





−
π
=−
2/b
0
4
222
4
3
316
b
dxxbx . 
05) Resolver I = ∫
+
dx
x
x
2
2
1
 Resp: ( ) Cxx
x
x
I ++++
+
−= 2
2
1ln
1
 
06) Resolver I = ∫ + dxxx 23 4 Resp: 
( ) ( )
C
xx
I +
+
−
+
=
12
4
5
4
3252
 
07) Determine o valor de A para que ( )∫ =−−
4
0
04 dxxAx Resp: 
5
8
=A 
08) Calcule ∫ +=
49
4 x2
dx
I . Resp: 
3
52
=I 
09) Calcule ∫ += dxx2xI 3 . Resp: ( ) ( ) CxxI ++−+= 3 43 7 22
3
2
7
3
 
10) Calcule ∫ θ+θ
θ
=
33
1.
d
I . Resp: ( ) CI ++−+= 333 1612 θθ 
11) Calcule ∫= 20 sen
b
dxxI Resp: 2 
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CÁLCULO 1 – AULA 28 - INTEGRAIS 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS: 
 
Dizemos que uma função é Racional quando ela se apresenta sob a forma 
( )
( )xQ
xP
, onde: 
( ) mmmm AxAxAxAxP ++++= −− ...22110 e ( ) nnnn BxBxBxBxQ ++++= −− ...22110 são funções 
polinomiais de graus m e n , respectivamente. 
 
Para esta classe de funções, são válidas as seguintes definições: 
• Se nm ≥ , dizemos que a Função Racional é Imprópria; 
• Se nm < , dizemos que a Função Racional é própria. 
 
Toda Função Racional Imprópria representa uma Função Polinomial (quando a divisão de 
( )xP por ( )xQ é exata), ou pode ser decomposta na soma de uma Função Polinomial com uma 
Função Racional Própria (quando a divisão não é exata). 
Assim, podemos dizer que: 
( )
( )
( ) ( )
( )xQ
xR
xq
xQ
xP
+= , onde ( )xq é o quociente e ( )xR o resto desta 
divisão. 
A integral da Função Polinomial é imediata. Estamos interessados em saber como resolver a 
integral da Função Racional Própria. 
Para isto, basta lembrar que uma Função Racional Própria pode ser decomposta numa soma 
de Frações Parciais. 
Vamos considerar 4 casos: 
 
28.1 – 1o CASO – FATORES LINEARES DISTINTOS: 
 
A cada fator linear da forma ( )bax + que aparece no denominador da Função Racional Própria 
corresponde uma Fração Parcial do tipo 
bax
A
+
, onde ℜ∈A . 
 
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EXEMPLOS; 
 
01) 
( )( )
ℜ∈
+
+
−
=
+−
BA
x
B
x
A
xx
x
,,
2121
 
02) 
( )( )( )
ℜ∈
+
+
−
+
+
=
+−+
−
CBA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
,,,
53235323
43
 
 
Portanto, para resolver uma integral cujo integrando é uma Função Racional como as dos 
exemplos acima, basta decompor essa função em frações parciais. 
 
EXERCÍCIOS; 
 
01) 
( )( )∫ ∫ +−=−= dxxxx
dx
I .
22
1
4
2
 
Podemos observar que o integrando é uma Função Racional Própria, pois é o quociente de 
um polinômio de grau zero por um polinômio de grau 2. 
Vemos também que o denominador dessa função é um produto de fatores de primeiro grau 
(lineares) diferentes (distintos). 
Portanto, por Frações Parciais, podemos escrever: 
( )( ) 2222
1
−
+
+
=
−+ x
B
x
A
xx
 
Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador, temos: 
( )( )
( ) ( )
( )( )22
22
22
1
−+
++−
=
−+ xx
xBxA
xx
 
Como os denominadores são iguais, basta igualar os numeradores. 
Assim, devemos ter: ( ) ( ) 122 =++− xBxA . 
O nosso objetivo, agora, é determinar valores positivos para as constantes A e B que 
satisfaçam a equação acima. 
Aparentemente temos uma só equação com duas variáveis ( A e B ). Entretanto, não é assim 
que devemos olhar para igualdadescomo esta. Vamos obter os valores destas constantes por 
comparação, ou seja, vamos impor a condição de que o primeiro membro desta igualdade (e de 
outras que irão aparecer no futuro) seja igual ao segundo membro. 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Temos duas maneiras de fazer isto: 
 
1a MANEIRA: 
Um procedimento que podemos usar para obter os valores destas constantes é desenvolver o 
primeiro membro e compara-lo com o segundo, termo a termo. 
Temos: ( ) ( ) 122 =++− xBxA 
Abrindo os parênteses: 
122 =++− BBxAAx 
Reagrupando os termos semelhantes: 
( ) ( ) 122 =−++ ABxBA 
Comparando o primeiro com o segundo membro, devemos ter: 



=−
=+
122
0
AB
BA
 
Resolvendo este sistema, obtemos: 
4
1
−=A e 
4
1
=B (Confira!) 
2a MANEIRA: 
Podemos atribuir valores para a variável x de maneira conveniente a eliminar todas as 
constantes, menos uma, e assim calcular o valor dessa constante. 
No nosso exemplo, temos: ( ) ( ) 122 =++− xBxA . 
• Para 2=x , temos ( )
4
1
14122 =⇒=⇒=+ BBB 
• Para 2−=x , temos ( )
4
1
14122 −=⇒=−⇒=−− AAA 
Encontramos, portanto, os mesmos resultados. 
Á princípio, a segunda solução parece ser a mais simples por ser mais prática. Podemos, 
então, lançar mão deste procedimento sempre que quisermos. 
Entretanto, é bom saber que esta segunda solução só será eficiente quando o denominador 
da Função Racional Própria tiver raízes reais. São essas raízes que nós vamos utilizar para obter 
os valores das constantes procuradas, com fizemos acima com as raízes 2=x e 2−=x . 
Logo: 
( )( ) 




+
−
−
=
−
+
+
−
=
−+ 2
1
2
1
4
1
2
4
1
2
4
1
22
1
xxxxxx
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Assim: ∫ ∫ ∫ ∫ 



+
−
−
=





+
−
−
=
−
= dx
x
dx
x
dx
xxx
dx
I .
2
1
.
2
1
4
1
.
2
1
2
1
4
1
4
2
 
 
Resolvendo: ( ) ( )[ ] CxxI ++−−= 2ln2ln
4
1
 
 
ATENÇÃO; 
Alguns livros trazem a solução de integrais como esta da forma: C
x
x
I +





+
−
=
4
2
ln
4
1
, isto é, 
aplicam uma propriedade de Logaritmos para juntar os dois logaritmos obtidos na integração. 
Entretanto, esta solução está ERRADA, uma vez que esta propriedade é operatória, isto é, só 
tem validade quando existirem os dois logaritmos. 
Por outro lado, quem nos garante que as funções ( ) ( ) ( )[ ]2ln2ln
4
1
+−−= xxxf e 
( ) 





+
−
=
2
2
ln
4
1
x
x
xg são iguais? 
 
02) 
( )( )( )∫ −+−
−+
= dx
xxx
xx
I .
413
7785
2
 
Novamente, vemos que o denominador apresenta um produto de três fatores de primeiro grau 
distintos. 
Portanto, por Frações Parciais, podemos escrever: 
( )( )( ) 413413
7785
2
−
+
+
+
−
=
−+−
−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
 
Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador, temos: 
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )413
134341
413
7785
2
−+−
+−+−−+−+
=
−+−
−+
xxx
xxCxxBxxA
xxx
xx
 
Comparando os numeradores: 
( )( ) ( )( ) ( )( )1343417785 2 +−+−−+−+=−+ xxCxxBxxAxx 
Percebemos que o denominador possui três raízes reais, que são 3=x , 1−=x e 4=x . 
Portanto, podemos usar a segunda maneira para encontrar os valores de A , B e C . 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
• Para ( )( ) 2484313773.83.53 2 =⇒−=−⇒−+=−+⇒= AAAx 
• Para ( ) ( ) ( )( ) 420804131771.81.51 2 −=⇒=−⇒−−−−=−−+−⇒−= BBBx 
• Para ( )( ) 75351434774.84.54 2 =⇒=⇒+−=−+⇒= CCCx 
Portanto, podemos escrever: 
( )( )( )∫ ∫ ∫ ∫ −++
−
+
−
=
−+−
−+
= dx
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
xx
I .
4
7
.
1
4
.
3
2
.
413
7785
2
 
Resolvendo: 
( ) ( ) ( ) CxxxI +−++−−= 4ln71ln43ln2 
03) 
( )( ) dxxxx
xx
I .
65.1
532
2
2
∫ +−−
+−
= 
Vemos que o integrando traz uma Função Racional Própria, porém aparecem no denominador 
dois fatores: um de primeiro e outro de segundo grau. 
O polinômio de segundo grau pode ser fatorado, de modo que podemos escrever a integral na 
forma: 
( )( )( )∫ −−−
+−
= dx
xxx
xx
I .
321
532
2
. 
Por Frações Parciais: 
( )( )( ) 321321
532
2
−
+
−
+
−
=
−−−
+−
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
 
Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador: 
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )321
213132
321
532
2
−−−
−−+−−+−−
=
−−−
+−
xxx
xxCxxBxxA
xxx
xx
 
Comparando os numeradores, devemos ter: 
( )( ) ( )( ) ( )( )213132532 2 −−+−−+−−=+− xxCxxBxxAxx 
• Para ( )( ) 224312151.31.21 2 =⇒=⇒−−=+−⇒= AAAx 
• Para ( )( ) 77321252.32.22 2 −=⇒−=⇒−−=+−⇒= BBBx 
• Para ( )( ) 7214231353.33.23 2 =⇒=⇒−−=+−⇒= CCCx 
Portanto: 
( )( ) ∫∫ ∫∫ −+−
−
+
−
=
+−−
+−
= dx
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
xx
I .
3
7
.
2
7
.
1
2
.
65.1
532
2
2
 
Resolvendo estas integrais, resulta: 
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( ) ( ) ( ) CxxxI +−+−−−= 3ln72ln71ln2 
 
28.2 – 2o CASO – FATORES LINEARES REPETIDOS: 
 
A cada fator linear repetido da forma ( ) ( )Ν∈+ nbax n que aparece no denominador de uma 
Função Racional Própria, corresponde à soma de n Frações Parciais da forma: 
( ) ( ) ( )nbax
N
bax
C
bax
B
bax
A
+
++
+
+
+
+
+
...
32
 , onde ℜ∈NCBA ,...,,, . 
 
EXEMPLOS; 
 
01) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )32232
2
111221.2
42
+
+
+
+
+
+
−
+
−
=
+−
++
x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
 
 
02) 
( ) 11.
73
323 −
+++=
−
−
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
 
 
OBSERVAÇÃO; 
 
Observe que, no primeiro exemplo existem dois fatores lineares repetidos, um deles duas 
vezes e o outro, três vezes. No segundo exemplo, apenas um fator linear aparece repetido três 
vezes e o outro é distinto. 
Porém, o mais importante é observar que, no primeiro exemplo, existe no denominador um 
polinômio de quinto grau. Quando decompomos em Frações Parciais, aparecem cinco constantes 
a serem determinadas. Ao mesmo tempo, no segundo exemplo temos um polinômio de quarto 
grau no denominador e, como conseqüência, quatro constantes a serem calculadas. 
Isto não foi uma coincidência, ou seja, quando decompomos uma Função racional Própria em 
Frações Parciais, o número de constantes a serem calculadas é o mesmo número que mede o 
grau do polinômio do denominador. 
 
 
PROIBIDO VENDER
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
EXERCÍCIOS; 
 
01) 
( )( )∫ −+
+
= dx
xx
x
I .
11
53
2
 
Percebemos que o integrando traz uma Função Racional Própria e que no denominador 
aparecem dois fatores lineares, sendo que um deles está repetido duas vezes. 
Por Frações Parciais: 
( )( ) ( )22 11111
53
−
+
−
+
+
=
−+
+
x
C
x
B
x
A
xx
x
 
Reduzindo ao mesmo denominador: 
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )2
2
2
11
1111
11
53
−+
++−++−
=
−+
+
xx
xCxxBxA
xx
x
 
Comparando os numeradores: 
( ) ( )( ) ( )111153 2 ++−++−=+ xCxxBxAx 
Embora, neste caso, o denominador apresente apenas duas raízes reais, vamos tentar obter 
os valores das constantes pela segunda maneira, isto é: 
• Para ( ) ( )
2
1
421151.31
2 =⇒=⇒−−=+−⇒−= AAAx 
• Para ( ) 4281151.31 =⇒=⇒+=+⇒= CCCx 
• Para ( ) ( )( ) ( )
2
1
4
2
1
510.4101010.
2
1
50.30
2 −=⇒+−=⇒++−++−=+⇒= BBBx 
Portanto, a integral torna-se: 
( )( ) ( )∫ ∫ ∫∫ −
+
−
−
+
+
=
−+
+
= dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
x
I .
1
4
.
1
2
1
.
1
2
1
.
11
53
22
 
( )∫ ∫ ∫
−−+
−
−
+
= dxxdx
x
dx
x
I .14.
1
1
2
1
.
1
1
2
1 2 
( ) ( ) C
x
xxI +
−
−−−+=
1
4
1ln
2
1
1ln
2
1
 
 
02) Resolver ( )∫ −
−−
= dx
ee
e
I
xx
x
1
13
2
 
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Neste exercício, observamos que o integrando traz um quociente de funções. Porém, não se 
trata de uma Função Racional Polinomial. 
Portanto não podemos, ainda, aplicar Frações Parciais. 
Vamos, então, fazer uma mudança de variáveis. 
Chamando: dt
t
dxtxte x .
1
ln =⇒=⇒= 
Assim: ( ) ( )( )∫ ∫ −+
−−
=
−
−−
= dt
ttt
t
dt
ttt
t
I .
11
13
.
1
.
1
1322
 
Podemos perceber, agora, que o novo integrando apresenta uma Função Racional Própria, 
onde aparece no denominador um produto de fatores lineares na variável t , sendo um deles 
repetido duas vezes. 
Vamos resolver esta integral por Frações Parciais e depois voltar à variável original x . 
Assim, podemos escrever: 
( )( ) 1111
13
22 −
+
+
++=
−+
−−
t
D
t
C
t
B
t
A
ttt
t
 
Reduzindo ao mesmo denominador: 
( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )11
111111
11
13
2
22
2 −+
++−+−++−+
=
−+
−−
ttt
tDttCtttBttAt
ttt
t
 
Comparando os numeradores: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )11111113 22 ++−+−++−+=−− tDttCtttBttAtt 
• Para ( )( ) 11101010.30 =⇒−=−⇒−+=−−⇒= BBBt 
• Para ( ) 224111.11.31 2 −=⇒=−⇒+=−−⇒= DDDt 
• Para ( ) ( ) ( ) 12211.1.11.31 2 −=⇒−=⇒−−−=−−−⇒−= CCCt 
• Para ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 312.2.212.2.11212.11212.2.12.32 22 =⇒+−−−−++−+=−−⇒= AAt 
Portanto: 
( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −
−
+
+
−
++=
−
−−
= dt
t
dt
t
dt
t
dt
t
dt
ttt
t
I .
1
2
.
1
1
.
1
.
3
.
1
.
1
13
22
 
Resolvendo: 
( ) ( ) Ctt
t
tI +−−+−−= 1ln21ln
1
ln3 
 
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Porém xetee
tet
et xx
x
x ===⇒=⇒= − lnln
111
 
 
Logo: ( ) ( ) CeeexI xxx +−−+−−= − 1ln21ln3 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 29 - INTEGRAIS 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS: 
 
29.1 – 3o CASO – FATORES DE SEGUNDO GRAU DISTINTOS: 
 
A cada fator de segundo grau irredutível da forma ( )ℜ∈++ cbacbxax ,,2 que aparece no 
denominador de uma Função Racional Própria, corresponde uma Fração Parcial da forma: 
cbxax
BAx
++
+
2
 , onde ℜ∈CBA ,, . 
 
OBSERVAÇÃO; 
Chamamos um polinômio de segundo grau de IRREDUTÍVEL quando ele não pode ser 
fatorado, isto é, quando ele não possui raízes Reais. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) 
( )( ) 431431
723
22
2
++
+
+
+
=
+++
−+
xx
CBx
x
A
xxx
xx
 
 
02) ( )( ) 4141
95
2222 +
+
+
+
+
=
++
−
x
DCx
x
BAx
xx
x
 
 
EXERCÍCIOS; 
 
01) 
( )( )∫ ++−
+
= dx
xxx
x
I .
221
2
2
2
 
Nesta integral, podemos perceber que o integrando é uma Função Racional Própria e que o 
denominador possui um fator linear e um fator de segundo grau que é irredutível, uma vez que o 
discriminante do polinômio de segundo grau é negativo, portanto ele não possui raízes reais. 
Por Frações Parciais: 
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( )( ) 221221
2
22
2
++
+
+
−
=
++−
+
xx
CBx
x
A
xxx
x
 
Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador: 
( )( )
( ) ( )( )
( )( )221
122
221
2
2
2
2
2
++−
−++++
=
++−
+
xxx
xCBxxxA
xxx
x
 
Comparando os numeradores: 
( ) ( )( )1222 22 −++++=+ xCBxxxAx 
Embora exista apenas uma raiz real no denominador, que é 1=x , ainda assim podemos 
tentar obter os valores das constantes A, B e C pelo segundo método. 
Assim: 
• Para ( )
5
3
5321.21211
22 =⇒=⇒++=+⇒= AAAx 
• Para ( ) ( )
5
4
5
6
21020.20
5
3
200
22 −=⇒−=⇒−+++=+⇒= CCCx 
• Para ( ) ( ) ( )( ) ( )
5
2
11
5
4
21.21
5
3
211
22 =⇒−−




 −−++−+−=+−⇒−= BBx 
Portanto: 
( )( ) dxxx
x
dx
x
dx
xxx
x
I .
22
5
4
5
2
.
1
5
3
.
221
2
22
2
∫ ∫∫ ++
−
+
−
=
++−
+
= 
∫ ∫ ++
−
+
−
= dx
xx
x
dx
x
I .
22
42
5
1
.
1
1
5
3
2
 
 
A primeira integral já é imediata. Precisamos arrumar a segunda integral pra que ela também 
se torne imediata. 
Então, vamos fazer: 
∫ ∫ ++
−+−
+
−
= dx
xx
x
dx
x
I .
22
2242
5
1
.
1
1
5
3
2
 
∫ ∫ ∫ ++
−
+
++
+
+
−
= dx
xx
dx
xx
x
dx
x
I .
22
6
5
1
.
22
22
5
1
.
1
1
5
3
22
 
Observe, agora, que a segunda integral também já é imediata (Diretiva da Função Quociente). 
Quanto à terceira integral, podemos arrumar o integrando de modo a que ela também se torne 
imediata (Diretiva do arco tangente). 
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Assim: 
( )∫ ∫ ∫ ++
−
++
+
+
−
= dx
x
dx
xx
x
dx
x
I .
11
1
5
6
.
22
22
5
1
.
1
1
5
3
222
 
Resolvendo estas integrais, obtemos: 
( ) ( ) ( ) CxarctgxxxI ++−+++−= 1
5
6
22ln
5
1
1ln
5
3 2 
02) ( )( )∫ ++
−−
= dx
xx
xx
I .
94
1
22
2
 
Podemos perceber que o integrando acima é uma Função Racional Própria, na qual o 
denominador é um produto de dois polinômios de segundo grau irredutíveis. 
Por Frações Parciais: 
( )( ) 9494
1
2222
2
+
+
+
+
+
=
++
−−
x
DCx
x
BAx
xx
xx
 
Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador, tem-se: 
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )94
49
94
1
22
22
22
2
++
+++++
=
++
−−
xx
xDCxxBAx
xx
xx
 
Comparando os numeradores: 
( )( ) ( )( )491 222 +++++=−− xDCxxBAxxx 
Como não existe nenhuma raiz real no denominador, o processo de atribuir valores para x a 
fim de obter os valores de A B, C e D se torna ineficiente. 
Neste caso, vamos encontrar os valores destas constantes por comparação, ou seja, vamos 
desenvolver o segundo membro e compara-lo com o primeiro. 
Assim: 
DDxCxCxBBxAxAxxx 44991 23232 +++++++=−− 
Reduzindo os termos semelhantes: 
( ) ( ) ( ) ( )DBxCAxDBxCAxx 49491 232 +++++++=−− 
Por comparação, devemos ter o seguinte sistema: 
( )
( )
( )
( )






−=+
−=+
=+
=+
4149
3149
21
10
DB
CA
DB
CA
. 
Da equação (1): AC −= 
Em (3): 
5
1
5
1
15149 =⇒−=⇒−=⇒−=− CAAAA 
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Da equação (2): BD −= 1 
Em (4): ( ) 215514491149 =⇒−=⇒−=⇒−=−+⇒−=−+ DBBBBBB 
Portanto, a integral torna-se: 
( )( ) ∫ ∫∫ +
+
+
+
−−
=
++
−−
= dx
x
x
dx
x
x
dx
xx
xx
I .
9
2
5
1
.
4
1
5
1
.
94
1
2222
2
 
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ +++++−+−=+
+
+
+
+
−= dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
I .
9
10
5
1
.
95
1
.
4
5
5
1
.
45
1
.
9
10
5
1
.
4
5
5
1
222222
 
∫ ∫ ∫ ∫ +++++−+−= dxxdxx
x
dx
x
dx
x
x
I .
3
1
2.
9
2
2
1
.
5
1
.
2
1
.
4
2
2
1
.
5
1
222222
 
 
Portanto: ( ) ( ) CxarctgxxarctgxI +




+++




−+−=
33
2
9ln
10
1
22
1
4ln
10
1 22 
 
29.2 – 4o CASO – FATORES DE SEGUNDO GRAU REPETIDOS: 
 
A cada fator irredutível do segundo grau, repetido n vezes e da forma ( )ncbxax ++2 , que 
aparece no denominador de uma Função Racional Própria, corresponde uma soma de Frações 
Parciais do tipo: 
( ) ( ) ( )ncbxax
NMx
cbxax
FEx
cbxax
DCx
cbxax
BAx
++
+
++
++
+
+
++
+
+
++
+
232222
... . 
 
EXEMPLOS; 
 
01) 
( )( ) ( ) ( )3222232
2
444141
743
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
=
+−
+−
x
GFx
x
EDx
x
CBx
x
A
xx
xx
 
 
02) 
( ) ( ) ( ) ( )2222222222
3
221121
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+−
x
HGx
x
FEx
x
DCx
x
BAx
xx
xx
 
 
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
EXERCÍCIO; 
Resolver a integral 
( )∫ ++
++
= dx
xx
xx
I .
32
2
22
2
 
Neste exercício, percebemos que o integrando possui uma Função Racional Própria, tendo no 
denominador um polinômio de segundo grau irredutível e que está repetido duas vezes. 
Portanto, por Frações Parciais, podemos escrever: 
 
( ) ( )22222
2
323232
2
++
+
+
++
+
=
++
++
xx
DCx
xx
BAx
xx
xx
 
Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador: 
( )
( )( )
( )22
2
22
2
32
32
32
2
++
+++++
=
++
++
xx
DCxxxBAx
xx
xx
 
Igualando os numeradores: 
( )( ) DCxxxBAxxx +++++=++ 322 22 
DCxBBxBxAxAxAxxx +++++++=++ 32322 2232 
Reduzindo os termos semelhantes: 
( ) ( ) ( )DBxCBAxBAAxxx +++++++=++ 32322 232 
Comparando, devemos ter: 
0=A 
112 =⇒=+ BBA 
1123 −=⇒=++ CCBA 
123 −=⇒=+ DDB 
Portanto: 
( )∫ ∫ ++
−−
+
++
= dx
xx
x
dx
xx
I .
32
1
.
32
1
222
 
( ) ( )
( )( )∫ ∫
−
+++−
++
= dxxxxdx
x
I .32.22
2
1
.
21
1 22
22
 
Resolvendo, obtemos: 
( ) Cxx
x
arctgI +
++
+




 +
=
322
1
2
1
2
1
2
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA - EADProf. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá - MG 
 
CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 29 
 
 
 
01) Resolver dx
)3x4x()2x(
10x12x4
I
2
2
∫ +−−
−−
= . Resp: ( ) ( ) ( ) CxxxI +−−−−−= 3ln51ln92ln18 
02) Calcule ∫ ++=
1
0
2 8x6x
dx
I . Resp: 
5
6
ln
2
1
=I 
03) Calcule ∫ −+
−+
= dx
)2x()3x(x
12x9x11
I
2
. Resp: ( ) ( ) CxxxI +−+++= 2ln53ln4ln2 
04) Resolver ( )( )∫ −−= 22 xxx
dx
I Resp: ( ) ( ) CxxxI +−+−−= 2ln
2
1
1lnln
2
1
 
05) Resolver ∫ −+−
−+
= dx
xxx
xx
I
22
135
23
2
 Resp: ( ) CarctgxxI ++−= 32ln5 
06) Calcular ∫ +−−
+
=
3
2
23
dx
1xxx
1x2
I . Resp: 
4
3
8
3
ln
4
1
+=I 
07) Resolver ∫ += 24 xx
dx
I . Resp: Carctgx
x
I ++−=
1
 
08) Resolver I = ( )∫ − xx
dx
2ln4
 Resp: ( ) ( )[ ] CxxI ++−−= ln2lnln2ln
4
1
 
09) Resolver I = ( )∫ −
−−
dx
ee
e
xx
x
1
13
2
 Resp: ( ) ( ) CeeexI xxx +−−+−−= − 1ln21ln3 
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 30 - INTEGRAIS 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS TRIGONOMÉTRICAS: 
 
30.1 – SUBSTITUIÇÃO UNIVERSAL: 
 
Consideremos a integral ( )∫= dxxxRI .cos,sen , isto é, uma integral cujo integrando é uma 
função racional trigonométrica. 
Podemos mostrar que a substituição 




=
2
x
tgt , chamada de Universal, transforma I numa 
integral de função racional polinomial na variável t . 
Para isto, devemos considerar as seguintes identidades trigonométricas: 
aaa cos.sen22sen = e aaa 22 sencos2cos −= 
Para 
2
x
a = , teremos: 











=





2
cos.
2
sen.2
2
.2sen
xxx
 
Podemos, ainda, escrever: 
1
2
cos.
2
sen.2
sen












=
xx
x 
Porém, sabemos que: 




+




=
2
sen
2
cos1
22 xx 
Assim: 





+

















=
2
sen
2
cos
2
cos.
2
sen.2
sen
22 xx
xx
x 
Dividindo o numerador e o denominador por 





2
cos
2 x , resulta: 
 
Da mesma maneira: 
 





+






=
2
1
2
.2
sen
2 xtg
x
tg
x 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 





−




=





2
sen
2
cos
2
.2cos
22 xxx 





+










−





=





−





=
2
sen
2
cos
2
sen
2
cos
1
2
sen
2
cos
cos
22
2222
xx
xxxx
x 
 
Dividindo o numerador e o denominador por 





2
cos
2 x , resulta: 
 
 
Fazendo nestas expressões a substituição 




=
2
x
tgt , teremos: 
 
 
 
 
 
Se ⇒=⇒




= arctgtx
x
tgt 2
2
 
 
Com estas substituições, a integral torna-se: 
 
 
 
 
 
 
Isto é, uma integral cujo integrando passa a ser uma Função Racional Polinomial definida na 
variável t e que pode ser resolvida por Frações Parciais. 
 
 





+





−
=
2
1
2
1
cos
2
2
x
tg
x
tg
x 
2
1
2
sen
t
t
x
+
= 
2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
= 
2
1
2
t
dt
dx
+
= 
( )∫ ∫ +




+
−
+
==
22
2
2
1
2
.
1
1
,
1
2
.cos,sen
t
dt
t
t
t
t
RdxxxRI 
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OBSERVAÇÃO; 
 
A substituição que acabamos de estudar é chamada de Universal porque ela é capaz de 
transformar qualquer integral racional trigonométrica em racional polinomial. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ −+= xx
dx
I
cossen1
 
Fazendo 




=
2
x
tgt , teremos: 









+
=
+
−
=
+
=
2
2
2
2
1
2
1
1
cos
1
2
sen
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
. 
Assim, teremos: 
( )∫ ∫ ∫ +=+=
+
−
−
+
+
+= dt
tttt
dt
t
t
t
t
t
dt
I .
1
1
22
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
 
A integral acima pode ser resolvida por Frações Parciais: 
( ) 11
1
+
+=
+ t
B
t
A
tt
 
( )
( )
( )1
1
1
1
+
++
=
+ tt
BttA
tt
 
Igualando os numeradores: 
( ) BttA ++= 11 
• Para 10 =⇒= At 
• Para 111 −=⇒=−⇒−= BBt 
Então: ( )∫ ∫ ++−=+
−
+= Cttdt
t
dt
t
I 1lnln.
1
1
.
1
 
Como 




=
2
x
tgt , portanto: C
x
tg
x
tgI +





+




−










= 1
2
ln
2
ln 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
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02) ∫ −= x
dx
I
cos23
 
Fazendo 




=
2
x
tgt , teremos: 






+
=
+
−
=
2
2
2
1
2
1
1
cos
t
dt
dx
t
t
x
 
Substituindo na integral, resulta: 
( )∫ ∫ ∫ ∫ +
=
+
=
+
+−+
+=
+
−
−
+= dt
tt
dt
t
tt
t
dt
t
t
t
dt
I .
15
1
2
15
2
1
2233
1
2
1
1
.23
1
2
2
22
2
22
2
2
2
2
 
( )
( )∫ +=
+
= Ctarctgdt
t
I 5
5
2
.
15
5
5
2
2
2
 
Como 




=
2
x
tgt , então: C
x
tgarctgI +










=
2
.5
5
2
 
 
03) ∫ ++= 3sen2cos xx
dx
I 
Fazendo 




=
2
x
tgt , teremos: 









+
=
+
−
=
+
=
2
2
2
2
1
2
1
1
cos
1
2
sen
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
 
Substituindo na integral, resulta: 
∫ ∫ ∫ ∫ ++=++=
+
+++−
+=
+
+
+
+
−
+= dt
tttt
dt
t
ttt
t
dt
t
t
t
t
t
dt
I .
22
1
442
2
1
3341
1
2
3
1
2
.2
1
1
1
2
22
2
22
2
22
2
2
 
( )
( )∫ ++=++
= Ctarctgdt
t
I 1.
11
1
22
 
Como 




=
2
x
tgt , então: C
x
tgarctgI +





+




= 1
2
 
 
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30.2 – CASOS PARTICULARES: 
 
Vimos que a substituição 




=
2
x
tgt sempre permite transformar uma integral racional 
trigonométrica em racional polinomial, portanto ela sempre pode ser utilizada. 
Entretanto, existem certos casos particulares para os quais podemos fazer uso de outro tipo 
de substituição, que também vão transformar a integral dada numa integral racional polinomial. E 
com a vantagem de se obter uma integral mais simples de ser resolvida. 
Por este motivo, é importante estudarmos esses casos. São eles: 
 
1o CASO; 
 
Se a integral é do tipo ( )∫= dxxxRI .cos.sen , isto é, se o integrando é o produto de uma função 
racional em xsen , e se essa função racional está sendo multiplicada pelo xcos , então o mais 
conveniente a fazer é usar a substituição dxxdtxt .cossen =⇒= . 
Com esta substituição, a integral torna-se: ( )∫= dttRI . , ou seja, uma integral de função 
racional polinomial na variável t . 
 
Resumindo: 
 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ ∫ +=+= dxxx
x
dx
x
xx
I .cos.
sen1
sen
.
sen1
cos.sen
 
Fazendo: dxxdtxt .cossen =⇒= 
Com estas substituições, a integral torna-se: 
∫ ∫ ∫ 




+
−
+
+
=
+
−+
=
+
= dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
I .
1
1
1
1
.
1
11
.
1
 
( )∫ ∫ ++−=+−= CttdttdtI 1ln.1
1
 
( ) ( )∫ ∫=⇒



=
=
⇒= dttRI
dxxdt
xt
fazemosdxxxRI .
.cos
sen
.cos.sen 
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Como xt sen= , então: ( ) CxxI ++−= sen1lnsen 
 
02) 
( )∫ ∫ ∫ +=+=+= dxxxxdxx
x
x
dx
x
gx
I .cos.
sen1.sen
1
.
sen1
sen
cos
.
sen1
cot
 
Fazendo: dxxdtxt .cossen =⇒= 
Com estas substituições, a integral torna-se: 
( )∫ += dtttI .1
1
 
Por Frações Parciais, podemos escrever: 
( ) ( )
( )
( )tt
BttA
ttt
B
t
A
tt +
++
=
+
⇒
+
+=
+ 1
1
1
1
11
1
 
Igualando os numeradores: ( ) BttA ++= 11 
• Para 10 =⇒= At 
• Para 111 −=⇒−=⇒−= BBt 
Portanto: ( )∫ ∫ ++−=+
−
+= Cttdt
t
dt
t
I 1lnln.
1
1
.
1
 
Como xt sen= , então: ( ) ( ) CxxI ++−= sen1lnsenln 
 
2o CASO; 
 
Se a integral é do tipo ( )∫= dxxxRI .sen.cos , isto é, se o integrando é o produto de uma função 
racional em xcos , e se essa função racional está sendo multiplicada pelo xsen , então o mais 
conveniente a fazer é usar a substituição dxxdtdxxdtxt .sen.sencos =−⇒−=⇒= . 
Com esta substituição, a integral torna-se: ( )( )∫ −= dttRI . , ou seja, uma integral de função 
racional polinomialna variável t . 
Resumindo: 
 
 
 
 
 
( ) ( )( )∫ ∫ −=⇒



−=
=
⇒= dttRI
dxxdt
xt
fazemosdxxxRI .
.sen
cos
.sen.cos 
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EXEMPLOS; 
 
01) ∫ ∫ +=+= dxxx
x
x
dxxx
I .sen.
cos1
cos
cos1
.sen.cos
2
2
2
2
 
Fazendo dxxdtxt .sencos =−⇒= 
( )∫ ∫ ∫ 





+
−
+
+
−=
+
−+
−=−
+
= dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
I .
1
1
1
1
.
1
11
.
1
22
2
2
2
2
2
 
∫∫ ++−=++−= CarctgttdttdtI .1
1
22
 
Mas xt cos= , logo: ( ) CxarctgxI ++−= coscos 
 
02) 
( )
∫ ∫∫ +=+=+= dxxx
x
dx
x
xx
dx
x
x
I .sen.
cos2
cos
2.
cos2
cos.sen.2
.
cos2
2sen
 
Fazendo dxxdtxt .sencos =−⇒= 
( )∫ ∫ ∫ 




+
−
+
+
−=
+
−+
−=−
+
= dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
I .
2
2
2
2
2.
2
22
2.
2
2 
( )∫∫ +++−=++−= CttdttdtI 2ln42.2
1
42 
Mas xt cos= , logo: ( ) CxxI +++−= cos2ln4cos2 
 
3o CASO; 
 
Se a integral é do tipo ( )∫= dxtgxRI . , isto é, se o integrando é uma função racional em tgx , 
então o mais conveniente a fazer é usar a substituição: 
2
1 t
dt
dxarctgtxtgxt
+
=⇒=⇒= . 
Com esta substituição, a integral torna-se: ( )∫ += 21. t
dt
tRI , ou seja, uma integral de função 
racional polinomial na variável t . 
 
Resumindo: 
( ) ( )∫ ∫ +=⇒



+
=
=
⇒=
2
2
1
.
1
.
t
dt
tRI
t
dt
dx
tgxt
fazemosdxtgxRI 
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EXEMPLOS; 
 
01) ∫ += dxtgx
tgx
I .
1
 
Fazendo: 
2
1 t
dt
dxtgxt
+
=⇒= 
Com estas substituições, a integral torna-se: 
( )( )∫ ∫ ++=++= dttt
t
t
dt
t
t
I .
1.11
.
1 22
 
Observe que o integrando é uma função racional própria que traz no denominador o produto 
de um fator linear por um fator de segundo grau irredutível. 
Por Frações Parciais: 
( )( ) 22 111.1 t
CBt
t
A
tt
t
+
+
+
+
=
++
 
( )( )
( ) ( )( )
( )( )2
2
2
1.1
1.1
1.1 tt
tCBttA
tt
t
++
++++
=
++
 
Igualando os numeradores: ( ) ( )( )tCBttAt ++++= 1.1 2 
• Para 
2
1
211 −=⇒=−⇒−= AAt 
• Para 
2
1
2
1
00 =⇒+−=⇒= CCt 
• Para 
2
1
1212111 =⇒=⇒++−=⇒= BBBt 
Logo: 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ +++++−=+
+
+
+
−=
+
+
+
+
−
= dt
t
dt
t
t
dt
t
dt
t
t
dt
t
dt
t
t
dt
t
I .
1
1
2
1
.
12
1
.
1
1
2
1
.
1
1
2
1
.
1
1
2
1
.
1
2
1
2
1
.
1
2
1
2222
 
∫ ∫ ∫ +++++−= dttdtt
t
dt
t
I .
1
1
2
1
.
1
2
2
1
.
2
1
.
1
1
2
1
222
 
Resolvendo: ( ) ( ) CarctgtttI +++++−=
2
1
1ln
4
1
1ln
2
1 2 
Como arctgtxtgxt =⇒= , então: 
( ) ( ) CxxtgtgxI ++++−=
2
1ln
4
1
ln
2
1 2 
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02) ∫ −= tgx
dx
I
1
 
Fazendo: 
2
1 t
dt
dxtgxt
+
=⇒= 
Com estas substituições, a integral torna-se: 
( )( )∫ ∫ +−=−
+= dt
ttt
t
dt
I .
11
1
1
1
2
2
 
Por Frações Parciais: 
( )( ) 22 1111
1
t
CBt
t
A
tt +
+
+
−
=
+−
 
Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador: 
( )( )
( ) ( )( )
( )( )2
2
2
11
11
11
1
tt
tCBttA
tt +−
−+++
=
+−
 
Igualando os numeradores: 
( ) ( )( )tCBttA −+++= 111 2 
• Para 
2
1
211 =⇒=⇒= AAt 
• Para 
2
1
2
1
10 =⇒+=⇒= CCt 
• Para 
2
1
12111 =⇒+−=⇒−= BBt 
Logo: ∫ ∫ ∫ ∫ +
+
+
−
=
+
+
+
−
= dt
t
t
dt
t
dt
t
t
dt
t
I .
1
1
2
1
.
1
1
2
1
.
1
2
1
2
1
.
1
2
1
22
 
∫ ∫ ∫ ++++−
−
−= dt
t
dt
t
t
dt
t
I .
1
1
2
1
.
1
2
2
1
.
2
1
.
1
1
2
1
222
 
( ) ( ) CarctgtttI ++++−−=
2
1
1ln
4
1
1ln
2
1 2 
Como tgxt = , então arctgtx = . 
 
Portanto: ( ) ( ) CxxtgtgxI ++++−−=
2
1ln
4
1
1ln
2
1 2 
 
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4o CASO; 
 
Se a integral é do tipo ( )∫= dxxxRI .cos,sen 22 , isto é, se o integrando for uma função racional 
em x2sen e/ou x2cos , podemos mostrar que a substituição tgxt = transforma I numa integral de 
função racional polinomial. 
Sabemos que: 
 
xtgx
x
22
2
1
1
sec
1
cos
+
== ⇒ 
 
 
xtg
xtg
xxtgx
2
2
222
1
cos.sen
+
== ⇒ 
 
Fazendo, nas expressões acima, tgxt = , teremos: 
 
 
 
 
 
Como tgxt = , então ⇒= arctgtx 
 
 
Com estas substituições, a integral torna-se: 
 
 
 
 
 
 
 
xtg
x
2
2
1
1
cos
+
= 
xtg
xtg
x
2
2
2
1
sen
+
= 
2
2
2
1
sen
t
t
x
+
= 2
2
1
1
cos
t
x
+
= 
2
1 t
dt
dx
+
= 
( )∫ ∫ +




++
==
222
2
22
1
.
1
1
,
1
.cos,sen
t
dt
tt
t
RdxxxRI 
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Isto é, uma integral cujo integrando passa a ser uma Função Racional Polinomial definida na 
variável t e que pode ser resolvida por Frações Parciais. 
 
EXEMPLOS; 
 
01) ∫ −= x
dx
I
2
sen2
 
Fazendo tgxt = , obtemos: 






+
=
+
=
2
2
2
2
1
1
sen
t
dt
dx
t
t
x
 
Com estas substituições, a integral torna-se: 
( )∫ ∫ ∫ ∫
+





=
+
=
+
=
+
−+
+=
+
−
+= C
t
arctgdt
t
dt
t
t
tt
t
dt
t
t
t
dt
I
22
1
.
2
1
.
2
1
1
22
1
1
2
1
2
22
2
22
2
2
2
2
 
Como tgxt = , então C
tgx
arctgI +





=
2
.
2
1
 
 
02) ∫ += x
dx
I
2
cos31
 
Fazendo tgxt = , obtemos: 






+
=
+
=
2
2
2
1
1
1
cos
t
dt
dx
t
x
 
Com estas substituições, a integral torna-se: 
∫ ∫ ∫ ∫ +



=
+
=
+
=
+
++
+=
+
+
+= C
t
arctgdt
t
dt
t
t
t
t
dt
t
t
dt
I
22
1
.
2
1
.
4
1
1
31
1
1
3
1
1
222
2
2
2
2
2
 
Como tgxt = , então: C
tgx
arctgI +




=
22
1
 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 30 
 
 
 
01) Calcule ∫ ++= 10xsen7xsen
dxxgcot
I
2
. 
 Resp: ( ) ( ) ( ) CxxxI ++++−= 5senln
15
1
2senln
6
1
senln
10
1
 
 
02) Usando a substituição tgxt = , resolver ∫ += tgx
dx
I
1
. 
 Resp: ( ) ( ) CxxtgtgxI +++−+=
2
1ln
4
1
1ln
2
1 2 
 
03) Resolver a integral ∫ −+−= 4xsen4xsenxsen
dxxcos
I
23
. 
 Resp: ( ) ( ) CxarctgxxI +




−+−−=
2
sen
10
1
4senln
10
1
1senln
5
1 2 
 
04) Calcule ∫ +−= dxxxx
x
I
sen12sen7sen
cos
23
. 
 Resp: ( ) ( ) ( ) CxxxI +−−−+= 3senln
3
1
4senln
4
1
senln
12
1
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 31 - INTEGRAIS 
 
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: 
 
31.1 – TEOREMA FUDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL: 
 
Vamos admitir que ( )xfy = seja uma função contínua num intervalo [ ]ba, contido no conjunto 
dos Números Reais, de modo que ( ) 0≥xf neste intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da definição de Integrais Definidas, vimos que ( )∫=
b
a
dxxfS . , onde S é a área limitada pela 
curva da função ( )xfy = , pelo eixo x e pelas ordenadas correspondentes aos pontos a e b . 
Vamos dividir o intervalo [ ]ba, em n intervalos de amplitude ( )nixi ,...,3,2,1=∆ e construir 
retângulos elementares de base ix∆ e altura ( )ixf , conforme mostrado na figura acima. 
A área 
iS∆ de cada um desses retângulos elementares é dada por ( ) iii SxfS ∆=∆ . . 
Chamando de nS a soma das áreas dos n retângulos elementares construídos, teremos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nniin xxfxxfxxfxxfxxfS ∆++∆++∆+∆+∆= ........... 332211 
 
Esta soma pode ser representada pela notação: ( )∑
=
∆=
n
i
iin xxfS
1
. 
 
y 
x 
a b 1x∆ 2x∆ 
( )xfy = 
( )
1
xf 
( )
2
xf 
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Podemos observar que: 
Se SSexn ni →→∆⇒∞→ 0 
Portanto, podemos dizer que: 
( )∑
=∞→∞→
∆==
n
i
ii
n
n
n
xxfSS
1
.limlim 
Porém, como ( )∫=
b
a
dxxfS . , então podemos afirmar que: 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
O resultado que acabamos de obter é o Teorema Fundamental do Cálculo e ele nos mostra 
que a Integral Definida nada mais é do que o limite de uma somatóriade infinitos termos. 
Este Teorema é que nos permite a aplicação de Integrais Definidas na resolução de 
problemas geométricos e físicos. 
 
31.2 – CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS: 
 
O cálculo de áreas de figuras planas é uma aplicação imediata do Teorema Fundamental do 
Cálculo, que aprendemos na aula anterior. 
Para efetuar o cálculo da área solicitada, devemos: 
• esboçar os gráficos das funções envolvidas, para identificarmos a área a ser calculada; 
• a partir do gráfico, identificarmos os limites de integração; 
• integrar entre os limites identificados. 
Antes de escolhermos os limites de integração, é conveniente tomar retângulos elementares, 
das maneiras como estão mostradas nas figuras abaixo: 
 
 
( ) ( )∫ ∑
=∞→
∆=
b
a
n
i
ii
n
xxfdxxf
1
.. lim 
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OBSERVAÇÃO: 
 
A escolha do retângulo elementar vai depender da área a ser calculada. Devemos fazer a 
escolha que torne o mais simples possível o cálculo da área. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Calcular a área limitada pelas curvas 2xy = , 0=x e 3=x , e pelo eixo das abscissas. 
 
y 
x 
0 a b 
y 
S 
( )xfy = 
∫=
b
a
dxyS . 
y 
x 
0 
c 
d 
S 
x 
( )ygx = 
x∆ 
y∆ 
∫=
d
c
dyxS . 
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A curva 2xy = é uma parábola com vértice na origem e concavidade voltada para cima. A reta 
0=x é o próprio eixo das ordenadas e a reta 3=x é uma reta paralela a este eixo. 
Então, a área a ser calculada pode ser esboçada da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a área a ser calculada se situa acima do eixo x , optamos por escolher o retângulo 
elementar da forma xy ∆. . 
Assim: [ ]∫ ∫ =⇒−====
3
0
3
0
33
3
0
3
2
.9
3
0
3
3
3
.. AuS
x
dxxdxyS 
OBSERVAÇÂO: =Au. unidades de área. 
 
02) Achar a área limitada no quarto quadrante pela curva xxy 32 −= e pelo eixo x . 
 
A curva xxy 32 −= representa uma parábola com a concavidade voltada para cima e que 
intercepta o eixo x nos pontos 0=x e 3=x , que são as raízes da equação 032 =− xx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
0 
x 
3 
y 
3=x 
2xy = 
x∆ 
y 
0 
x∆ 
y− 
x 
xxy 32 −= 
3 
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Como a área a ser calculada situa-se toda abaixo do eixo x , escolhemos o retângulo 
elementar desta forma, porém considerando-o da forma xy ∆− . , uma vez que a ordenada é 
negativa e a área é positiva. 
Assim: ( ) ( )∫ ∫ ∫ −=−−=−=
3
0
3
0
3
0
22
.3.3. dxxxdxxxdxyS 
[ ]..
2
9
090
2
27
32
3
3
0
32
AuS
xx
S =⇒+−−=





−= 
 
03) calcular a área limitada pela parábola 228 yyx −+= , pelo eixo das ordenadas e pelas retas 
1−=y e 3=y . 
 
A parábola 228 yyx −+= tem a concavidade voltada para a direita e intercepta o eixo y nos 
pontos 2−=y e 4=y , que são as raízes da equação 028 2 =−+ yy . Já as retas 1−=y e 3=y 
são paralelas ao eixo x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a área a ser calculada situa-se toda à direita do eixo y , optamos por escolher o 
retângulo elementar da forma yx ∆. . 
Assim: ( )∫ ∫− − −+==
3
1
3
1
2
.28. dyyydyxS 
[ ]..
3
92
3
1
919824
3
8
3
1
3
2 AuS
y
yyS =⇒−−−++=





−+=
−
 
 
y 
x 0 
4 
3 
1− 
2− 
y∆ 
3=y 
x 
2
28 yyx −+= 
1−=y 
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04) Calcular a área plana limitada pela parábola xy 42 = e pela reta 42 −= xy . 
 
A parábola xy 42 = tem o vértice na origem e a concavidade voltada para a direita e a reta 
42 −= xy é oblíqua aos eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a área a ser calculada situa-se toda à direita do eixo y , optamos por escolher um 
retângulo elementar da forma yx ∆.* , onde parábolareta xxx −=
* . 
Por outro lado, para identificarmos os limites de integração, é necessário encontrar os pontos 
de interseção da reta e da parábola. 
Assim, obtivemos os pontos 2−=y e 4=y . 
Portanto: ∫ −=
4
2
*
.dyxS , onde 
4
2
2
2
* yyx −+= 
Logo: [ ]∫ −
−
=⇒−−++−=





−+=





−+=
4
2
4
2
322
..9
3
2
3
16
4814
12
2
4
.
4
2
2
AuS
y
y
y
dy
yy
S 
05) Calcular a área de um círculo de raio R . 
 
Como a área do círculo depende apenas do seu raio, vamos tomar esse círculo com o centro 
na origem, ou seja, aquele cuja equação é 222 Ryx =+ . 
 
4 
x 
y 
0 
2− 
y∆ 
42 −= xy 
*x 
xy 42 = 
4− 
2 
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Neste caso, os eixos coordenados vão dividir o círculo em quatro partes iguais. Portanto, não 
é necessário calcular toda a área de uma vez. Podemos calcular a sua quarta parte e multiplicar 
por 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: ∫ ∫∫ −=⇒−==
R RR
dxxRSdxxRdxy
S
0 0
22
0
22
.4..
4
 
Como a integral obtida não é imediata, vamos resolve-la por substituição de variáveis. 
Fazendo: tRx sen= , teremos dttRdx .cos= e tRxR cos22 =− . 
• Para 00sensen00 =⇒=⇒=⇒= tttRx 
• Para 
2
1sensen
π
=⇒=⇒=⇒= tttRRRx 
Portanto: 
∫ ∫== 20 20
22
.cos4.cos.cos4
π π
dttRdttRtRS 
( )∫ 


 +=
+
= 2
0
2
0
22
2sen
4
1
2
1
4.
2
2cos1
4
π
π
ttRdt
t
RS 
[ ]..
4
.40.
4
1
0.
4
1
0.
2
1
2
.
2
1
4
222 AuRSRSRS π
ππ
=⇒=⇒


 −+−= 
 
y 
0 
4
S
 
R 
R 
x 
x∆ 
222 Ryx =+ 
y 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 31 
 
 
01) Calcular a área comum às curvas y2 = 2ax e x2 = 2ay (a>0) Resp: 
3
4 2a
 
 
02) Calcular a área limitada pelas curvas y = lnx , x = 1 e y = 4. Resp: 54 −e 
 
03) Achar a área limitada pelas curvas 93 += xy , 1=Y e 2=x . Resp: 32 
 
04) Calcular a área compreendida pela curva xy = 16 , pelo eixo x e pelas retas x = 4 e x = 8. 
 Resp: 2ln16 
 
05) Calcular a área limitada pelas curvas y2 = 2x e y = x2 – 2x. Resp: ( )12
3
16
− 
 
06) Calcular a área da região limitada pelas curvas 5xy 2 =+ e 03xy =−− . Resp: 
2
9
 
 
07) Calcular a menor área que é limitada pela parábola 2xy = e pela circunferência 
1y)1x( 22 =+− . Resp: 
3
1
4
−
π
 
 
08) Mostre que a área S limitada pela parábola xxy 32 −= , pelo eixo x e pelas retas 1−=x e 
4=x é igual a 
6
49
. 
 
09) Se ( ) rqxpxxf ++= 2 , com ( ) 0≥xf para todo ℜ∈x , prove que a área S sob o gráfico de f , 
de 0=x até bx = , é igual a ( )rqbpbbS 632
6
2 ++= . 
 
 
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10) Calcular a área comum às curvas 1xy −= e 1x2xy 2 +−= . Resp: 
3
1
 
 
11) Calcular a área limitada pelas curvas 2xy = e x3y = . Resp: 
2
9
 
 
12) Calcular a área limitada pelas curvas 2xy = e 2xy += . Resp: 
2
9
 
 
13) Calcule a área limitada pelo eixo x e pela curva 







≤<+
≤<−
≤<−
≤≤−+
=
3x2se,1x
2x1se,1x
1x0se,x1
0x1se,1x
)x(f
2
3
. Resp: 
12
73
 
 
14) Calcular a área limitada pela elipse 



=
=
tsen2y
tcos3x
. Resp: π6 
 
15) Calcular a área limitada pelas parábolas 0yx2 2 =− e 06xy 2 =−+ . Resp: 28 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 32 - INTEGRAIS 
 
CÁLCULO DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO: 
 
Chamamos de Sólido de Revolução ao sólido obtido pela rotação de uma área plana em 
torno de um eixo do seu plano, chamado Eixo de Revolução. 
Por exemplo, são Sólidos de Revolução o cilindro reto, o cone reto e a esfera. 
Genericamente:Consideremos uma área plana S , limitada pela curva ( )xfy = , pelo eixo x e pelas ordenadas 
( )af e ( )bf no intervalo [ ]ba, . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
0 
x 
S 
y 
0 
x 
S 
a b 
ix∆ 
iy 
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Dividindo a área S em n retângulos elementares de base ( )nixi ,...,3,2,1=∆ e altura iy , esses 
retângulos terão área elementar iii xyS ∆=∆ . . 
Fazendo a rotação desses retângulos em torno do eixo x iremos obter cilindros elementares 
de raio iy e altura ix∆ , com volumes elementares iii xyV ∆=∆ ..
2π . 
O volume nV de todos os n cilindros elementares gerados será ∑ ∑
= =
∆=∆=
n
i
n
i
iiin xyVV
1 1
2
..π . 
Porém, quando VVexn ni →→∆⇒∞→ 0 (volume total). 
Neste caso, podemos dizer que: ∑
=∞→∞→
∆==
n
i
ii
n
n
n
xyVV
1
2
..limlim π . 
Portanto, pelo Teorema Fundamental, podemos afirmar que: 
 
 
 
 
A integral acima serve para rotação em torno do eixo x ou em torno de um eixo paralelo a ele. 
Se quisermos a rotação ao redor do eixo y ou de outro eixo paralelo a y , fazemos: 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Para o cálculo do volume de um sólido de revolução, não é necessário desenhar o sólido. 
Procedemos como se estivéssemos calculando áreas de figuras planas. Para isto: 
• esboçamos os gráficos das funções envolvidas para identificarmos a área que devemos 
fazer a rotação; 
• identificamos os limites de integração, conforme o eixo de rotação; 
• construímos um retângulo elementar de acordo com o eixo de rotação, porém mantendo a 
base desse retângulo sempre sobre o eixo de rotação, ao longo do intervalo de integração; 
• aplicamos a integral conveniente para o caso. 
 
∫=
b
a
dxyV .2π 
∫=
d
c
dyxV .2π 
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EXEMPLOS: 
 
01) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da área limitada pelas 
curvas xy = , 1=x e pelo eixo x . 
A curva xy = representa o ramo positivo da parábola 2yx = e a reta 1=x é paralela ao eixo 
y. Portanto, a área a ser girada é a da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Como a rotação é em torno do eixo x , escolhemos o retângulo elementar da forma xy ∆. 
Assim: 
( ) [ ]∫ ∫ ∫ =⇒





−=====
1
0
1
0
1
0
22
1
0
2
2
2
..
22
0
2
1
.
2
.... VuV
x
dxxdxxdxyV
π
πππππ 
 
02) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da área compreendida 
pela parábola 2xy = e pela reta 4=y . 
A área a ser girada é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
xy = 
0 1 x∆ 
y 
1=x 
x 
y 
4 
0 
2xy = 
2− 2 
4=y 
x 
1
y 
x∆ 
2
y 
x∆ 
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Como a rotação se dará em torno do eixo x e como a base do retângulo elementar deve estar 
sobre o eixo de rotação ao longo do intervalo de integração, então, neste caso, somos obrigados a 
proceder da seguinte maneira: 
- giramos a área retangular limitada pelo eixo x e pela reta 4=y entre 2−=x e 2=x , 
obtendo um volume 
1
V ; 
- fazemos a rotação da área compreendida abaixo da parábola e acima do eixo x entre 
2−=x e 2=x , obtendo um volume 2V ; 
- fazemos 
21
VVV −= . 
Portanto: ∫ ∫− −−=
2
2
2
2
2
2
2
1 .. dxydxyV ππ 
( )∫ ∫∫∫− −−− −=−=
2
2
2
2
4
2
2
2
2
222
.16..4 dxxdxdxxdxV ππππ 
( ) [ ]..
5
256
5
32
5
32
2216
5
.16.
2
2
5
2
2
VuV
x
xV
π
ππππ =⇒




 +−+=−=
−
−
 
 
03) Calcular o volume de uma esfera de raio R . 
 
Para calcularmos o volume da esfera, vamos considerar um círculo com centro na origem, 
cuja equação é 222 Ryx =+ . 
Se girarmos apenas um quarto desse círculo ao redor de um dos eixos (o eixo x , por 
exemplo), vamos obter uma semi-esfera de volume 
2
V
, isto é, vamos usar a simetria para 
resolvermos o nosso problema. 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
0 
R 
R 
y 
x∆ 
222 Ryx =+ 
x 
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Neste caso: ( )∫ ∫ −==
R R
dxxRdxy
V
0 0
222
..
2
ππ 
[ ]..
3
4
0
3
02
3
2
3
3
3
0
3
2 VuRV
R
R
x
xRV
R
πππ =⇒





+−−=





−= 
 
04) Achar o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola xy 82 = e pela 
reta 2=x : 
a) em torno do eixo x ; 
b) em torno do eixo y ; 
c) em torno da reta 2=x . 
 
Neste problema temos uma única área que deverá sofrer três rotações diferentes. Então, na 
verdade, temos três problemas diferentes. 
a) Rotação em torno do eixo x ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso: 
 
∫ ∫==
2
0
2
0
2
.8. dxxdxyV ππ 
( ) [ ]..1602.44. 222
0
2 VuVxV πππ =⇒−== 
y 
0 
4 
4− 
y 
xy 82 = 
x∆ 
2=x 
x 
2 
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b) em torno do eixo y ; 
Neste caso, vamos proceder como no exercício 02, isto é, vamos obter o volume através de 
duas rotações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: ∫ ∫ ∫ ∫− − − − 




−=−=−=
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
22
2
2
121
.
8
.2.. dy
y
dydyxdyxVVV ππππ 
[ ]..
5
128
320
.4.
4
4
5
4
4
VuV
y
yV
π
ππ =⇒−=
−
−
 
 
c) em torno da reta 2=x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
4 
0 
xy 82 = 
4− 
2
x 
y∆ 
y∆ 1
x 
2=x 
x 
2 
y 
4 
xy 82 = 
0 
4− 
*x 
y∆ 
2 
x 
2=x 
parábolareta xxx −=
*
 
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Como a área a ser rotacionada é simétrica em relação ao eixo x , podemos girar apenas a 
metade da área, obtendo a metade do volume, isto é: 
( )∫ ∫ 





−==
4
0
4
0
2
2
2*
.
8
2.
2
dy
y
dyx
V
ππ 
∫ 





+−=
4
0
42
.
642
42 dy
yy
V π 
4
0
53
3206
4.2 





+−=
yy
yV π 
[ ]..
15
256
320
4
3
32
16.2
5
VuVV
π
π =⇒





+−= 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 32 
 
 
01) Sabendo que a função ( )xf tem máximo relativo no ponto ( )6,
0
x e que ( ) 2412 +−=′ xxf , 
pede-se: 
a) determine ( )xf ; Resp: ( ) 18246 2 −+−= xxxf 
b) calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta 4=x da área limitada pelo 
gráfico de ( )xf e pelo eixo x. Resp: π32 
 
02) Calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da área limitada pelas 
curvas 10,022,22 ===−−−= xexxyyx . Resp: 
20
79π
 
 
03) Achar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da área limitada pela elipse 



=
=
θ
θ
sen
cos
by
ax
. Resp: 
3
4
2abπ
 
 
04) Determinar, usando integral definida, o volume de um cone de raio R e altura H. 
 
05) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, da área compreendida 
pelas curvas 002 =−=− yxexy . Resp: 
3
π
 
 
06) Achar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da área limitada pela 
parábola 52 += xy e pelas retas xy = , 0=x e 3=x . Resp: 
5
1023π
 
 
07) Calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da área limitada pelas 
curvas 0204 2 =−=− yxexy . Resp: 
15
256π
 
 
 
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08) Calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta 1=x da área compreendida 
pelas curvas 00 2 =−=− xyexy . Resp: 
30
11π
 
 
09) Calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da área limitada pelas 
curvas 24 xxy −= e 0=− xy . Resp: 
5
108π
 
 
10) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, ao redor do eixo das ordenadas, da área 
limitadapelas curvas 2,5 2 == xxy e pelo eixo das abscissas. Resp: π40 
 
11) Calcular o volume do sólido que se obtém quando se faz a rotação, em torno do eixo x, da 
área limitada pelas curvas 10,, ==== xexxyey x . Resp: ( )1
2
2 −e
π
 
 
12) Calcular o volume gerado pela rotação em torno da reta 
2
1
=y da área limitada pela parábola 
02
2 =− yx e pela reta 
2
1
=y . Resp: 
15
4π
 
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CÁLCULO 1 – AULA 33 - INTEGRAIS 
 
CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCOS: 
 
Seja l o comprimento de um arco da curva AB da função ( )xfy = , contínua e derivável um 
intervalo [ ]ba, contido no conjunto dos Reais. 
Vamos dividir o intervalo [ ]ba, em n intervalos de amplitude ( )nixi ,...,3,2,1=∆ , obtendo sobre 
o arco AB n pontos ni PPPPP ,...,,...,,, 321 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos o comprimento elementar il∆ compreendido entre os pontos 1−iP e iP . 
Esse comprimento pode ser calculado pela resolução do triângulo retângulo abaixo: 
 
 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos verificar que: 
22222
iiiiii yxyx ∆+∆=∆⇒∆+∆=∆ ll 
Colocando 2ix∆ em evidência, teremos: 
i
i
i
i
i
i
ii x
x
y
x
y
x ∆





∆
∆
+=∆⇒







∆
∆
+∆=∆ .11.
2
2
2
2
ll 
y 
0 
A 
B 
( )xfy = 
x 
a b 
1
P 
2
P 
1−iP 
iP 
il∆ 
ix∆ 
iy∆ 
ix∆ 
il∆ 
ix∆ 
iy∆ 
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O comprimento 
nl de todos os arcos elementares será: i
n
i i
i
n
i
in x
x
y
∆





∆
∆
+=∆= ∑∑
==
.1
1
2
1
ll 
Porém, quando ll →→∆→∆⇒∞→ nii eyxn 0,0 
Portanto, podemos dizer que: i
n
i i
i
n
n
n
x
x
y
∆





∆
∆
+== ∑
=∞→∞→
.1
1
2
limlimll . 
Assim, de acordo com o Teorema Fundamental, podemos concluir que: 
 
 
 
 
Da mesma forma, se tivermos ( )ygx = , podemos fazer: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio R . 
Tal como fizemos com o cálculo da área do círculo e com o volume da esfera, vamos tomar a 
circunferência com centro na origem dos eixos coordenados e usar a simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: ∫∫ 



+=⇒




+=
RR
dx
dx
dy
dx
dx
dy
0
2
0
2
.14.1
4
l
l
 
dx
dx
dyb
a
.1
2
∫ 



+=l 
dy
dy
dxd
c
.1
2
∫ 





+=l 
y 
R 
0 R 
x 
4
l
 
222 Ryx =+ 
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Derivando implicitamente a função 222 Ryx =+ com relação à variável x , temos: 
22
0.22
xR
x
dx
dy
y
x
dx
dy
dx
dy
yx
−
−=⇒−=⇒=+ 
Substituindo na integral: 
∫ ∫∫
−
=
−
+−
=
−
+=
R RR
dx
xR
Rdx
xR
xxR
dx
xR
x
0 0 220 22
222
22
2
.
1
4.4.14l 
Como a integral obtida não é imediata, podemos usar uma substituição de variáveis. 
Fazendo tRxRedttRdxtRx cos.cossen 22 =−=⇒= 
• Para 00sensen00 =⇒=⇒=⇒= tttRx 
• Para 
2
1sensen
π
=⇒=⇒=⇒= tttRRRx 
Portanto: [ ]..2
2
.4.44.cos.
cos
1
4 2
0
2
0
2
0
CuRRtRdtRdttR
tR
R π
ππππ
=⇒==== ∫∫ ll 
 
02) Calcular o comprimento do arco da astróide 




=
=
θ
θ
3
3
sen
cos
ay
ax
 . 
A função acima foi dada na forma paramétrica. Para esboçarmos o seu gráfico, devemos 
atribuir valores para o parâmetro θ e obtendo os pontos ( )yx, . 
O gráfico procurado tem a forma abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
a 
a− 
a− 
a 0 
x 
astróide 4
l
 
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A curva especial acima tem o nome de Astróide porque tem a forma de uma estrela. Observa-
se, também, que a curva é simétrica em relação aos eixos coordenados. 
Portanto, podemos calcular apenas a quarta parte do comprimento e multiplicar por 4 o 
resultado obtido. 
Assim: dx
dx
dy
dx
dx
dy aa
.14.1
4 0
2
0
2
∫∫ 



+=⇒




+= l
l
 
Mas: θ
θθ
θθ
θ
θ tg
dx
dy
a
a
dx
dy
d
dx
d
dy
dx
dy
−=⇒
−
=⇒=
sen.cos3
cos.sen3
2
2
 e θθθ dadx .sen.cos3 2−= 
• Para 
2
0coscos00
3 πθθθ =⇒=⇒=⇒= ax 
• Para 01coscos3 =⇒=⇒=⇒= θθθaaax 
Portanto: ( )∫ −+=
0
2
22
.sen.cos3.14 π θθθθ datgl 
∫∫ == 20
222
0
.sen.cos.
cos
1
12.sen.cossec.3.4
ππ
θθθ
θ
θθθθ dadal 
( ) [ ]∫ =⇒−=== 20
2
0
2
..6016
2
sen
.12.cos.sen12
π
π
θ
ϑθθ Cuaaada ll 
 
03) Calcular o comprimento do arco da curva 3xy = , desde 0=x até 5=x . 
 
Temos: ∫ 



+=
5
0
2
.1 dx
dx
dy
l 
Como: x
dx
dy
x
dx
dy
xy .
2
3
.
2
3
2
1
2
3
=⇒=⇒= 
Portanto: ∫ ∫∫ 



 +=




 +=+=
5
0
5
0
2
1
2
1
5
0
.
4
9
1.
4
9
.
9
4
.
4
9
1.
4
9
1 dxxdxxdxxl 
( ) [ ]Cux .
27
335
01
4
45
1.
27
8
4
9
1.
3
2
.
9
4
2
32
3
5
0
2
3
=⇒








+−




 +=⇒




 += lll 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 33 
 
 
01) Calcular o comprimento da parábola semicúbica 032 =− xy desde a origem dos eixos 
coordenados até o ponto P(4,8). Resp: ( )11010
27
8
− 
 
02) Calcule o comprimento do arco da curva 




=
=
tey
tex
t
t
cos
sen
 desde 0=t até 
2
π
=t . 
 Resp: 







−12 2
π
e 
 
03) Calcular o comprimento do arco da curva 4824 4 += xxy , de x = 2 até x = 4. Resp: 
6
17
 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 34 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS 
 
 
34.1 – Seqüências: Definição: 
 
Chamamos de Seqüência ou Sucessão a uma função f cujo Domínio é o conjunto dos 
números Inteiros e Positivos. 
Para indicar uma Seqüência, usamos as notações { }na , >< na ou ( )nf , onde na é chamado 
de Termo Geral e L,3,2,1=n (infinitos). 
 
EXEMPLOS: 
 
01) LL ,
23
2
,,
5
4
,
7
6
,1,2
23
2
−
=






− n
n
n
n
 
02) ( )
1
25
+
−
=
n
n
nf 
 
Para especificar uma Seqüência é suficiente fornecer uma fórmula para o Termo Geral. 
 
EXEMPLO: 
 
( )
1
.1
1
+
−= +
n
n
a
n
n representa a Seqüência ( ) LL ,
1
.1,,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1 1
+
−−− +
n
nn . 
 
OBSERVAÇÃO 1: 
 
Uma Seqüência pode ser Crescente, Decrescente ou Oscilante. 
• Crescente: 
nn aa >+1 ; 
• Decrescente: nn aa <+1 ; 
• Oscilante: 



><
<>
+++
+++
121
121
nnnn
nnnn
aaeaa
aaeaa
 
 
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EXEMPLOS: 
 
01) Crescente: LL ,,,16,9,4,1 2n . 
02) Decrescente: LL ,
1
,,
16
1
,
9
1
,
4
1
,1
2n
. 
03) Oscilante: 
( )
LL ,
1
,,
16
1
,
9
1
,
4
1
,1
2
1
n
n+−
−− . 
 
OBSERVAÇÃO 2: 
 
Uma Seqüência Crescente ou Decrescente é chamada de Monótona, caso contrário é Não 
Monótona. 
 
34.2 – Limite de Seqüências e Convergência: 
 
Dizemos que uma Seqüência { }na converge para um número Real L se, para todo número 
infinitesimal 0>ε , existir um número inteiro e positivo N tal que: 
 ε<− Lan , sempre que Nn ≥ . 
Neste caso, escrevemos: Lan
n
=
∞→
lim . 
 
OBSERVAÇÃO 1: 
 
Se ±∞=
∞→
n
n
alim ou se ∃/=
∞→
n
n
alim , então a Seqüência será Divergente. 
 
TEOREMA: 
 
Seja f uma função definida no intervalo [ )∞,1 e seja a Seqüência { }na definida por ( )nfan = 
para todo inteiro positivo n . 
Neste caso, se ( ) Lxf
x
=
∞→
lim , então Lan
n
=
∞→
lim . 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Isto significa que podemos tratar o Termo Geral de uma Seqüência para estudar a sua 
convergência e as propriedades de limites de Seqüências serão as mesmas aplicadas a limites de 
funções de uma variável. 
 
EXEMPLOS: 
 
Estudar a convergência das Seqüências: 
01) 





n
100
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
n
an
100
= . 
Tomando o limite no infinito: 0
100
lim =
∞→ nn
 (Convergente). 
 
02) 






+
−
nn
nn
27
5
3
3
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
nn
nn
an
27
5
3
3
+
−
= 
Tomando o limite no infinito, temos: 
∞
∞−∞
=
+
−
∞→ nn
nn
n 27
5
3
3
lim . 
Vemos que este limite possui dois símbolos de indeterminação. 
Porém, como se aplicam as mesmas propriedades de limites aplicados a funções, este limite é 
Fundamental Racional. 
Portanto, para resolve-lo basta tomar os termos de maior grau do numerador e do 
denominador. 
Assim: 
7
1
7
1
727
5
limlimlim 3
3
3
3
===
+
−
∞→∞→∞→ nnn n
n
nn
nn
 (Convergente). 
 
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
03) 






−
+
−
−
nn
nn
ee
ee
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
nn
nn
n
ee
ee
a
−
−
−
+
= . 
Tomando o limite no infinito: 
∞
∞
=
−
+
−
−
∞→
nn
nn
n ee
ee
lim . 
Novamente temos uma indeterminação da forma 
∞
∞
. 
Vamos, então, fazer no limite: 
n
n
e
e
−
=
1
. 
1
1
1
1
1
2
2
limlimlim =−
+
=
−
+
=
−
+
−
−
∞→−
−
−
−
∞→
−
−
∞→
n
n
nn
n
n
n
n
nn
nn
n e
e
e
e
e
e
ee
ee
 (Convergente). 
 
04) 






+13
5
2
n
n
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
13
5
2
+
=
n
n
an . 
Tomando o limite no infinito: 
∞
∞
=
+∞→ 13
5
2
lim
n
n
n
. 
Portanto, assim como no exemplo 02, este limite também é fundamental. 
Então podemos fazer: 
∞===
+ ∞→∞→∞→ 3
5
3
5
13
5
limlimlim
22 n
n
n
n
n
nnn
 (Divergente). 
 
05) 












+
+
n
sen
n
nn
2
.
1
2
2 π
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 





+
+
=
n
sen
n
nn
an
2
.
1
2
2 π
. 
Tomando o limite no infinito: 0.
2
.
1
2
2
lim ∞
∞
=











+
+
∞→ n
sen
n
nn
n
π
 (indeterminado). 
Vamos, então, multiplicar e dividir por 
n2
π
 para obtermos um limite fundamental. 
π
π
π
π
π
π
π
π
==






+
+
=


















+
+
∞→∞→∞→∞→
1.2.
2
2
2
.
1
12
.
2
2
2
.
1
2
.
2
limlimlimlim
2
n
n
sen
n
n
n
n
sen
n
nn
n nnnn
 (Convergente). 
 
06) 
( )






+
+
1
1ln
n
n
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
( )
1
1ln
+
+
=
n
n
an . 
Tomando o limite no infinito: 
( )
∞
∞
=
+
+
∞→ 1
1ln
lim
n
n
n
. 
Novamente, temos um limite indeterminado. 
Podemos, neste caso, usar a Regra de L’Hôpital, ou seja: 
( )
0
1
1
1
1
1
1
1ln
limlimlim =+
=+=
+
+
∞→∞→∞→ n
n
n
n
nnn
 (Convergente). 
 
07) ( ){ }nen −+ 2ln 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: ( ) nea nn −+= 2ln 
Tomando o limite no infinito: ( )[ ] ∞−∞=−+
∞→
nen
n
2lnlim (indeterminado). 
Neste caso, podemos fazer: 
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
( ) ( )[ ] 01ln21ln2lnln2ln limlimlim ==










 +=










 +
=−+
∞→∞→∞→
n
n
n
n
n
nn
n ee
e
ee (Convergente). 
 
08) 













 +
n
n
5
1 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
n
n
n
a 




 +=
5
1 . 
Tomando o limite no infinito: ∞
∞→
=




 + 1
5
1lim
n
n n
 (indeterminado). 
Este limite é possui a indeterminação ∞1 , porém ele é o Limite Fundamental Exponencial. 
Assim: 5
5
1lim e
n
n
n
=




 +
∞→
 (Convergente). 
 
34.3 – Teorema de Cesaro: 
 
O Teorema de Cesaro representa para Seqüências o mesmo que a Regra de L’Hôpital para a 
resolução de limites de funções de uma variável. 
Este Teorema afirma que: 
“Se { }na é uma Seqüência Monótona qualquer e se { }nb é uma Seqüência divergente, então: 
 
1
1
limlim
−
−
∞→∞→ −
−
=
nn
nn
nn
n
n bb
aa
b
a
” 
 
EXEMPLOS: 
 
Usando o Teorema de Cesaro, verifique a convergência das Seqüências: 
 
01) 






n
n
2
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
∞
∞
=
∞→ n
n
n
2
lim (indeterminado). 
Chamando 



=
=
nb
a
n
n
n 2 , verificamos que { }na é monótona (crescente) e { }nb é divergente, pois 
∞==
∞→∞→
nb
n
n
n
limlim . 
Portanto, pelo Teorema de Cesaro, podemos escrever: 
( )
( )
∞==
+−
−
=
−−
−
= −
∞→
−
∞→
−
∞→∞→
1
11
2
1
122
1
222
limlimlimlim
n
n
n
n
nn
n
n
n nnnnn
. 
Assim, a Seqüência dada é Divergente. 
 
02) 






+
+
43
32
n
n
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
∞
∞
=
+
+
∞→ 43
32
lim
n
n
n
 (indeterminado). 
Chamando 



+=
+=
43
32
nb
na
n
n , verificamos que { }na é monótona (crescente) e { }nb é divergente, pois 
( ) ∞=+=
∞→∞→
43limlim nb
n
n
n
. 
Portanto, pelo Teorema de Cesaro, podemos escrever: 
( )[ ]
( )[ ] 3
2
43343
32232
41343
31232
43
32
limlimlim =−+−+
−+−+
=
+−−+
+−−+
=
+
+
∞→∞→∞→ nn
nn
nn
nn
n
n
nnn
 
Assim, a Seqüência dada é Convergente. 
 
03) 






+ n
n
53
2
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
∞
∞
=
+∞→ n
n
n 53
2
lim (indeterminado). 
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Chamando 




+=
=
n
n
n
n
b
a
53
2
, verificamos que { }na é monótona (crescente) e { }nb é divergente, pois 
( ) ∞=+=
∞→∞→
n
n
n
n
b 53limlim . 
Portanto, pelo Teorema de Cesaro, podemos escrever: 
( )
( )
( )
0
5
2
.
4
1
155
122
5353
22
53
2
1
1
1
1
1
limlimlimlim =




=
−
−
=
+−+
−
=
+
−
∞→
−
−
∞→
−
−
∞→∞→
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
. 
Assim, a Seqüência dada é Convergente. 
 
34.4 – Teorema da Raiz: 
 
O Teorema da Raiz é uma conseqüência do Teorema de Cesaro, e estabelece que: 
“Se a Seqüência { }na é de termos positivos e a Seqüência 






−1n
n
a
a
 é Monótona, então a 
Seqüência { }n na também é Monótona e tem-se: 
1
limlim
−∞→∞→
=
n
n
n
n
n
n a
a
a .” 
 
EXEMPLOS: 
 
Usando o Teorema da Raiz, verifique a convergência das Seqüências: 
 
01) { }n n 
SOLUÇÃO: 
 
Pelo Teorema da Raiz, podemos fazer: 
1
1
limlim =−
=
∞→∞→ n
n
n
n
n
n
 
 
Portanto, a Seqüência dada é Convergente. 
 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
02) { }n n 12 + 
SOLUÇÃO: 
 
Aplicando o Teorema da Raiz, temos: 
( )
1
12
12
112
12
12 limlimlim =−
+
=
+−
+
=+
∞→∞→∞→ n
n
n
n
n
nn
n
n
. 
Portanto, a Seqüência dada é Convergente. 
 
03) 






n
nn
n!
 
SOLUÇÃO: 
 
Aplicando o Teorema da Raiz, temos: 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( ) 1
1
1
.
!1.1
1
.
!1.
!1
1
.
!
1
!1
!
!
limlimlimlimlim
1
1
−











 −
=
−−
−−
=
−
−
=
−
−
=
∞→∞→
−
∞→
−
∞→∞→ n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
11
1.
1
1
1
1
1.
1
11
1
1
1.
.
!
limlimlimlim
−
∞→∞→∞→∞→
=




 −





−
+=




 −
−
+−
=
−





 −
= e
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
. 
Portanto, a Seqüência dada é Convergente. 
FÍSICA – LICENCIATURA - EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá - MG 
 
CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 34 
 
Estudar a convergência das Seqüências: 
 
01) 






+
+
59
12
2
2
n
n
 Resp: 
9
2
 (Convergente) 
02) 
( )












+






4ln
1
ln
n
n
 Resp: 1− (Convergente) 
03) ( ) ( ){ }1ln2ln +−+ nn ee Resp: 0 (Convergente) 
04) 






−+ nn 1
1
2
 Resp: ∞ (Divergente) 
05) { }nn −3 Resp: ∞− (Divergente) 
06) 






+ n
n
31
3
 Resp: 1 (Convergente) 
07) 






+ nn
n
3
3
4
 Resp: 0 (Convergente) 
08) { }34 +−+ nnResp: 0 (Convergente) 
09) 






−
n
n
2
1 Resp: ∞− (Divergente) 
10) { }nn 23 − Resp: ∞ (Divergente) 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 35 – SÉRIES: 
 
 
35.1 – Definição: 
 
Consideremos uma Seqüência ou Sucessão de infinitos termos da forma: 
 { } { }LL ,,,,,
321 nn
aaaaa = 
A partir desta Sucessão podemos formar uma nova Seqüência pela adição sucessiva dos 
seus termos, isto é, { } { }LL ,,,,,
321 nn
SSSSS = , onde: 
• 
11
aS = (1a soma parcial ou reduzida) 
• 
21212
aSaaS +=+= (2a soma parcial ou reduzida) 
• 
323213
aSaaaS +=++= (3a soma parcial ou reduzida) 
• 
4343214
aSaaaaS +=+++= (4a soma parcial ou reduzida) 
• M 
• ∑
=
− =+=++++=
n
k
knnnn
aaSaaaaS
1
1321 L 
Se somarmos os infinitos termos de uma Seqüência obtemos uma Série Infinita ou, 
simplesmente, Série. 
Portanto, podemos definir a Série como a expressão que representa a soma dos infinitos 
termos de uma Seqüência, ou seja, representamos uma Série pela notação ∑
∞
=1n
n
a . 
EXEMPLOS: 
 
01) Seja a Seqüência { }L,7,5,3,1 . 
A Série correspondente a esta Seqüência é: 
( )∑
∞
=
−=++++
1
127531
n
nL 
 
02) Seja a Seqüência { }L,1,1,1,1 −− . 
A Série correspondente a esta Seqüência é: 
( )∑
∞
=
+−=+−+−
1
1
11111
n
n
L 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
03) Seja a Seqüência 





 −− L,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 . 
A Série correspondente a esta Seqüência é: 
( )
∑
∞
=
+−
=+−+−
1
1
1
4
1
3
1
2
1
1
n
n
n
L 
 
04) Seja a Seqüência 






L,
27
1
,
9
1
,
3
1
,1 . 
A Série correspondente a esta Seqüência é: 
∑
∞
=
−
=++++
1
1
3
1
27
1
9
1
3
1
1
n
n
L 
 
35.2 – Convergência: Conceito Intuitivo: 
 
Seja, por exemplo, a Série: ∑
∞
=
−
=++++
1
1
2
1
8
1
4
1
2
1
1
n
n
L . 
Vamos determinar algumas de suas somas parciais. 
• 1
1
=S 
• 5,1
2
1
12 =+=S 
• 75,1
4
1
2
1
13 =++=S 
• 875,1
8
1
4
1
2
1
14 =+++=S 
• M 
• 99999998,1
2
1
4
1
2
1
1
2425
=++++= LS 
Estes resultados parecem nos dizer que a soma dos infinitos termos dessa Seqüência tende a 
ser igual a 2 . 
Portanto, podemos escrever: 
2lim =
∞→
n
n
S ou ∑
∞
=
−
=
1
1
2
2
1
n
n
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Isto significa que a Série é Convergente e converge para 2 . 
Da mesma forma, não é difícil concluir que a Série ( )∑
∞
=
+
1
43
n
n , por exemplo, tende ao infinito, 
portanto é Divergente. 
 
35.3 – Convergência: Definição: 
 
Se a Seqüência { }
n
S das somas parciais da Série infinita ∑
∞
=1k
k
a converge para um limite 
n
n
SS lim
∞→
= , dizemos que a Série é Convergente e sua soma é S . 
Por outro lado, se ∞=
∞→
n
n
Slim ou se ∃/=
∞→
n
n
Slim , então a Série será Divergente. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ∑
∞
=
=++++=
1
4321
k
kS L é Divergente (Série Aritmética). 
02) ∑
∞
=
=+++=
1 2
1
8
1
4
1
2
1
k
k
S L é Convergente (Série Geométrica). 
03) ∑
∞
=
=++++=
1
1
4
1
3
1
2
1
1
k k
S L é Divergente (Série Harmônica). 
04) 
( )∑
∞
= +
=+++=
1 1
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
k kk
S L é Convergente (Série de Encaixe) 
05) ( )∑
∞
=
+−=+−+−=
1
1
11111
k
k
S L é Divergente, pois não possui limite. 
 
35.4 – Série de Encaixe: Definição e Convergência: 
 
Chamamos de Série de Encaixe (ou de Mêngoli) a uma Série do tipo ( )∑
∞
=
+−
1
1
k
kk
aa . 
Para toda Série de Encaixe tem-se 
11 +−= nn aaS , onde 1a é a primeira soma parcial. 
 
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Neste caso: ( ) LaaaSS
n
n
n
n
−=−== +
∞→∞→
111limlim , onde 1lim +
∞→
=
n
n
aL . 
Se ℜ∈L , então a Série de Encaixe é Convergente e converge para La −1 . 
Se ±∞== +
∞→
1lim n
n
aL ou se ∃/== +
∞→
1lim n
n
aL , então a Série de Encaixe será Divergente. 
Para exemplificar a convergência da Série de Encaixe, vamos tomar a Série 
( )∑
∞
= +1 1
1
k kk
. 
Decompondo o Termo Geral da Série em Frações Parciais, teremos: 
( ) 1
11
1
1
+
−=
+ kkkk
. 
Portanto, podemos afirmar que a enésima soma parcial é 
( )∑ ∑= =






+
−=
+
=
n
k
n
k
n
kkkk
S
1 1 1
11
1
1
. 
Desenvolvendo esta soma parcial, teremos: 
1
11
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
+
−++−+−+−=
nn
S
n
L . 
Simplificando, obtemos: 
11
1
1
+
=
+
−=
n
n
n
S
n
. 
Tomando o limite para ∞→n , obtemos: 
1
1
limlim =+
==
∞→∞→ n
n
SS
n
n
n
. 
Portanto, esta Série de Encaixe é Convergente e converge para 1, ou seja: 
( )
1
1
1
1
=
+∑
∞
=k kk
. 
 
35.5 – Série Geométrica: 
 
Chamamos de Série Geométrica a uma Série do tipo: 
∑
∞
=
−− ++++++=
1
1321
.
k
nk
ararararara LL , onde r é a razão. 
A enésima soma parcial desta Série é: 
132 −+++++= n
n
ararararaS L . (1) 
Multiplicando por r , encontramos: 
nn
n
ararararararSr ++++++= −1432. L (2) 
Fazendo (1) - (2), teremos: 
nnn
nn
ararararararararararaSrS −−−−−−−+++++=− −− 1432132. LL 
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Simplificando, encontramos: 
 
( ) ( ) ⇒−=− n
n
rarS 11 
 
Com relação a este resultado, podemos verificar que: 
• Se 1<r , então 
r
a
S
n
n −
=
∞→ 1
lim e a Série Geométrica é Convergente. 
• Se 1>r , então ∞=
∞→
n
n
Slim e a Série Geométrica é Divergente. 
• Se 1=r , a Série Geométrica será Divergente. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Vamos verificar a razão pela qual a Série Geométrica é Divergente para 1=r . 
• Para 1=r , temos anaaaaS
n
.=++++= L . 
Neste caso: ∞==
∞→∞→
anS
n
n
n
.limlim . 
• Para 1−=r , temos L+−+−= aaaaS
n
. 
Neste caso, não existe 
n
n
Slim
∞→
. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Estudar a convergência da Série Geométrica ∑
∞
=1 2
1
k
k
. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: L+++=∑
∞
= 8
1
4
1
2
1
2
1
1k
k
. 
Neste caso: 
2
1
=a e ( )1
2
1
<= rr . 
 
( )
r
ra
S
n
n −
−
=
1
1
 
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A enésima soma parcial será: 
nn
n
n
SS
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
−=⇒
−





 −
= . 
Assim: 1
2
1
1limlim =




 −=
∞→∞→
n
n
n
n
S (Série Convergente). 
 
02) Estudar a convergência da Série Geométrica ∑
∞
=
−
1
1
3
k
k . 
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: L++++=∑
∞
=
−
279313
1
1
k
k . 
Neste caso: 1=a e 3=r . 
A enésima soma parcial será: 
( )
2
13
31
31.1 −
=
−
−
=
nn
n
S . 
Assim: ∞=
−
=
∞→∞→ 2
13
limlim
n
n
n
n
S (Série Divergente). 
 
03) Expresse a dízima periódica L141414,3 como razão de números inteiros, usando a Série 
Geométrica. 
SOLUÇÃO: 
 
Podemos escrever: 
LL ++++= −−− 642 10.1410.1410.143141414,3 




 ++++= L
000.000.1
14
000.10
14
100
14
3 . 
A expressão entre parênteses representa uma Série Geométrica com 
100
14
=a e 
100
1
=r , cuja 
soma S vale: 
99
14
100
1
1
100
14
1
1
=⇒
−
=
−
= S
r
S . 
Assim: 
99
311
99
14
3141414,3 =+=L . 
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35.6 – Propriedades das Séries Infinitas: 
 
A condição ideal para se fazer o estudo da convergência de uma Série de Potências seria 
conhecermos uma fórmula geral para 
n
S . 
Entretanto, a determinação dessa fórmula geral nem sempre é simples ou possível. 
Daí a importância de se conhecer as Propriedades das Séries Infinitas, que poderão ser 
usadas como ferramenta para o estudo da sua convergência. 
São elas: 
 
Propriedade 1 – Condição Necessária de Convergência: 
 
Se uma Série Infinita ∑
∞
=1k
k
a é Convergente, então 0lim =
∞→
n
n
a . 
Observação: 
A recíproca desta propriedade não é verdadeira, ou seja, o fato de que 0lim =
∞→
n
n
a não 
implica,necessariamente, que ∑
∞
=1k
k
a seja uma Série Convergente. 
EXEMPLOS: 
 
01) A Série ∑
∞
=1 2
1
k
k
 é Convergente e converge para 1. Temos 0
2
1
lim =
∞→
n
n
. 
02) A Série ∑
∞
=1
1
k k
 é Divergente. No entanto, temos 0
1
lim =
∞→ nn
. 
 
Propriedade 2 – Condição Suficiente para Divergência: 
 
Se 
n
n
alim
∞→
 é diferente de zero ou não existe, então a Série ∑
∞
=1k
k
a é Divergente. 
EXEMPLOS: 
 
01) A Série ∑
∞
= +1 1k k
k
 é divergente, pois 1
1
lim =+∞→ n
n
n
, isto é, diferente de zero. 
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02) A Série ( )∑
∞
=
−=+−+−+−
1
111111
k
k
L é divergente, pois 
n
n
alim
∞→
∃/ . 
 
Propriedade 3: 
 
Se as Séries ∑
∞
=1k
k
a e ∑
∞
=1k
k
b são convergentes, então as Séries ( )∑
∞
=
+
1k
kk
ba e ( )∑
∞
=
−
1k
kk
ba 
também serão convergentes. 
Além disso, podemos escrever: 
• ( )∑ ∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
+=+
1 1 1k k k
kkkk
baba 
• ( )∑ ∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
−=−
1 1 1k k k
kkkk
baba 
 
EXEMPLO: 
 
Encontre a soma da Série: ∑
∞
=





 +
1 3
2
2
3
k
kk
. 
SOLUÇÃO: 
 
Podemos escrever: ∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+=




 +
1 11 3
2
2
3
3
2
2
3
k k
kk
k
kk
. 
Temos: ∑
∞
=
++++=
1 16
3
8
3
4
3
2
3
2
3
k
k
L, que é uma Série Geométrica com 
2
3
=a e 
2
1
=r . 
Assim: ∑
∞
=
=
−
=
1
3
2
1
1
2
3
2
3
k
k
 (Convergente). 
Temos: ∑
∞
=
+++=
1 27
2
9
2
3
2
3
2
k
k
L que é uma Série Geométrica com 
3
2
=a e 
3
1
=r . 
Assim: 1
3
1
1
3
2
3
2
1
=
−
=∑
∞
=k
k
 (Convergente). 
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Portanto: 413
3
2
2
3
1
=+=




 +∑
∞
=k
kk
 também é Convergente. 
 
Propriedade 4: 
 
Se a Série ∑
∞
=1k
k
a é Convergente e se c é uma constante, então a Série ∑ ∑
∞
=
∞
=
=
1 1
..
k k
kk
acac 
também será convergente. 
Se a Série ∑
∞
=1k
k
a é Divergente e se *ℜ∈c , então a Série ∑
∞
=1
.
k
k
ac também será divergente. 
 
Propriedade 5 – Divergência de uma Soma de Séries: 
 
Se a Série ∑
∞
=1k
k
a é convergente e a Série ∑
∞
=1k
k
b é divergente, então ( )∑
∞
=
+
1k
kk
ba será uma 
Série divergente. 
 
Observação: 
O fato de que as Séries ∑
∞
=1k
k
a e ∑
∞
=1k
k
b sejam ambas divergentes não implica que ( )∑
∞
=
+
1k
kk
ba 
seja uma Série obrigatoriamente divergente. 
Por exemplo, se ka
k
= e kb
k
−= , então ∑
∞
=1k
k
a e ∑
∞
=1k
k
b são divergentes. 
Porém, ( ) ∑∑
∞
=
∞
=
==+
11
00
kk
kk
ba (Convergente). 
 
Propriedade 6: 
 
Não é necessário descrever uma Série infinita começando pelo índice 1=k . Podemos 
perfeitamente começar com outro valor qualquer de k , desde que seja um número Natural. 
Assim, por exemplo, podemos escrever: 
∑
∞
=0 3
1
k
k
 ; ∑
∞
= +2 3
1
k k
 ; ∑
∞
= +101
2
k k
k
 , etc. 
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Observação: 
 
Se for conveniente, pode-se mudar o índice da somatória de uma Série. 
Por exemplo, seja a Série: ∑
∞
=
−
1
13
2
1
k
k
. 
Fazendo: 13 −= kn , temos 2=n para 1=k . 
Assim, podemos escrever: ∑∑
∞
=
∞
=
−
=
21
13
2
1
2
1
n
n
k
k
. 
 
Propriedade 7: 
 
A remoção dos M primeiros termos de uma Série não causa alteração na sua convergência 
ou divergência. 
Podemos escrever: ( )∑ ∑ ∑
∞
= =
∞
+=
Ν∈+=
1 1 1k
M
k Mk
kkk
Maaa . 
Como ∑
=
M
k
k
a
1
 é uma constante, então ∑
∞
=1k
k
a só converge se ∑
∞
+= 1Mk
k
a também convergir. 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 35 
 
01) Encontre a soma S das Séries Geométricas a seguir: 
 
a) L++++
343
8
49
4
7
2
1 Resp: 
5
7
=S 
b) ∑
∞
=
+






1
1
10
9
k
k
 Resp: 
10
81
=S 
 c) L−+−+−
4096
625
512
125
64
25
8
5
 Resp: 
13
5
−=S 
d) ∑
∞
=
+
−
1
1
1
4
3
k
k
k
 Resp: 
4
1
=S 
e) L++++ 0009,0009,009,09,0 Resp: 1=S 
 
02) Expresse cada uma das dízimas periódicas abaixo como razão de números inteiros: 
 
a) L1111,1 Resp: 
9
10
 
b) L717171,4 Resp: 
99
467
 
c) L712712712,15 Resp: 
999
15697
 
d) L4929292,0 Resp: 
495
244
 
 
03) Calcule a soma S de cada uma das Séries abaixo: 
 
a) ∑
∞
= 












+





1 4
1
3
1
k
kk
 Resp: 
6
5
=S 
b) ∑
∞
=
+−













−−





1
11
3
1
2
1
k
kk
 Resp: 
12
23
=S 
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c) 
( )∑
∞
=
−













−
+1
1
4
3
1
1
k
k
kk
 Resp: 3−=S 
d) ∑
∞
=
+













−−





1
1
5
1
.3
3
1
.2
k
kk
 Resp: 
4
15
=S 
e) ∑
∞
=
+ 





−
+
1
1
7
1
6
32
k
kk
kk
 Resp: 
21
31
=S 
f) ∑
∞
=
−
+−













+−
1
1
11
4
3
3
1
2
1
k
k
kk
 Resp: 
6
35
=S 
 
04) Mostre que a Série 
( )∑
∞
=












+
−
+1 1
ln
1
1
k k
k
kk
 é Divergente. 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 36 – SÉRIES: 
 
 
36.1 – Teste da Integral: 
 
O Teste da Integral se aplica para o estudo da Convergência de Séries de termos não 
negativos e se baseia na comparação das somas parciais de uma Série da forma ( )∑
∞
=1k
kf com 
certas áreas sob o gráfico da função f contínua, decrescente e não negativa no intervalo da 
forma [ ]1,1 +n . 
Para interpretarmos este Teste, vamos considerar as figuras abaixo, nas quais vamos tomar 
uma área e aproxima-la por retângulos elementares: 
 
 
Do estudo de Integrais, vimos do Teorema Fundamental do Cálculo que, se ( ) 0≥xf no 
intervalo [ ]ba, , então a área S sob o gráfico dessa função neste intervalo é ( )∫=
b
a
dxxfS . . 
Usando este conceito e observando a Figura 1, podemos perceber que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫
+
++++≤
1
1
321.
n
nffffdxxf L (A) 
Da mesma forma, podemos observar da Figura 2 que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫≤++++
n
dxxfnffff
1
.432 L (B) 
 
y 
( )xfy = 
x 
0 
1 
2 
3 
4 
1+n 
n 
1−n 
( )1f 
( )2f 
( )3f 
( )1−nf 
( )nf 
y 
0 
1 
2 
3 
4 
n 
1−n 
2−n 
( )2f 
( )3f 
( )4f 
( )1−nf 
( )nf 
( )xfy = 
x 
FIG. 1 FIG. 2 
. . . . . . 
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Adicionando ( )1f a ambos os termos da expressão (B) obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+≤+++++
n
dxxffnfffff
1
.14321 L 
Portanto, se ( )xf é uma função contínua, decrescente e não negativa no intervalo [ ]1,1 +n , 
então: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
+
+≤++++≤
1
1 1
.1321.
n n
dxxffnffffdxxf L . 
Deste resultado, concluímos que: 
• Se ( )∫
∞
1
.dxxf é Convergente, então { } ( ) ( ) ( )∑ ∫
=
+≤=
n
k
n
n dxxffkfS
1
1
.1 também converge, 
pois é limitada superiormente. 
• Se ( )∫
∞
1
.dxxf é Divergente, então ( )∫
+1
1
.
n
dxxf cresce sem limites quando ∞→n . Como 
{ } ( ) ( )∑ ∫
=
+
≥=
n
k
n
n dxxfkfS
1
1
1
. , logo { }nS também diverge. 
 
EXEMPLOS: 
 
Usando o Teste da Integral, verificar a convergência das Séries: 
01) ∑
∞
=1k
ke
k
 
SOLUÇÃO:Temos: 0
1
limlim ==
∞→∞→
n
n
n
n ee
n
 (pela Regra de L’Hôpital),portanto este teste não é conclusivo. 
Por outro lado, a função ( )
xe
x
xf = é decrescente no intervalo ( )∞,1 (Verifique!), o que significa 
que podemos aplicar o Teste da Integral. 
Assim: ∫ ∫ ∫
∞ ∞ −
∞→
− ==
1 1 1
.. lim
b
x
b
x
x
dxexdxexdx
e
x
. 
 
Resolvendo esta integral, pelo Método de Integração Por Partes, teremos: 
( ) ( )∫
∞
∞→
−
∞→
=


 +
+
−=+−=
1
1
221
1. limlim
eee
b
xedx
e
x
b
b
bx
b
x
 (Convergente). 
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Portanto, a Série ∑
∞
=1k
ke
k
 também é convergente. 
 
02) 
( )∑
∞
=2 lnln.ln.
1
k kkk
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
( )
0
lnln.ln.
1
lim =
∞→ nnnn
, portanto este teste não é conclusivo. 
Como a função ( )
( )xxx
xf
lnln.ln.
1
= é decrescente, podemos empregar o Teste da Integral. 
Assim: 
( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∞→
∞
∞→
==
b
b
b
b
dx
x
xxdx
xxx
dx
xxx 22 2 lnln
ln.
1
lnln.ln.
1
lnln.ln.
1
limlim . 
Esta integral é imediata, pois ela é da forma 
( )
( )∫
′
dx
xf
xf
. 
Portanto: 
( )
( )[ ]∫
∞
∞→
∞==
2 2
lnlnln
lnln.ln.
1
lim
b
b
xdx
xxx
 (Divergente). 
Então a Série 
( )∑
∞
=2 lnln.ln.
1
k kkk
 também será divergente. 
 
36.2 – Convergência da Série p: 
 
Chama-se de Série p à série da forma ∑
∞
=1
1
k
pk
, onde p é uma constante. 
No caso particular em que 1=p a Série torna-se ∑
∞
=
+++=
1 3
1
2
1
1
1
k k
L , que é a chamada Série 
Harmônica. 
Podemos verificar, pelo Teste da Integral, que a Série p converge se 1>p e diverge se 1≤p . 
Temos: 
• ∫ ∫
∞ ∞
=
1 1 x
dx
x
dx
p
, se 1=p . 
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Neste caso: ∫ ∫
∞
∞→∞→∞→
∞====
1 1 1
lnln limlimlim
b
b
b
bb
bx
x
dx
x
dx
 (Divergente). 
• ∫ ∫
∞ ∞ −=
1 1
dxx
x
dx p
p
, se 1≠p . 
Neste caso: ∫ ∫
∞ −
∞→
+−
∞→
−
∞→ 




>
−
<∞
=





−
−
=
+−
==
1 1
1
1
1
1,
1
1
1,
1
1
1
limlimlim
b
p
b
b
p
b
p
b
p pse
p
pse
p
b
p
x
dxx
x
dx
. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ∑
∞
=1
5
1
k k
 é uma Série p com 1>p , portanto é Convergente. 
 
02) ∑ ∑
∞
=
∞
=
=
1 1 2
1
11
k k kk
 é uma Série p com 1<p , portanto é Divergente. 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA - EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá - MG 
 
CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 36 
 
Use o este da Integral para estudar a convergência das Séries a seguir: 
 
01) ∑
∞
=1
1
k kk
 Resp: 3 (Convergente) 
02) ∑
∞
= +1
2
4
1
k k
 Resp: 




 −
2
1
22
1
arctg
π
(Convergente) 
03) ∑
∞
= +1 1
1
k k
 Resp: ∞ (Divergente) 
04) ∑
∞
= +1
2
1k k
arctgk
 Resp: 
32
3
2π
(Convergente) 
05) 
( )( )∑
∞
= ++1 1312
1
k kk
 Resp: 





8
9
ln (Convergente) 
06) 
( )( )∑
∞
= ++1 21
1
k kkk
 Resp: 







−
2
3
ln (Convergente) 
07) Mostre que a Seqüência ( )
nn ee
nf
−+
=
1
 é decrescente para [ )∞∈ ,1n . Em seguida, aplique o 
Teste da Integral para verificar a convergência da Série ∑
∞
=
−+1
1
k
kk ee
. 
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CÁLCULO 1 – AULA 37 – SÉRIES: 
 
 
Testes da Comparação: 
 
Sejam ∑
∞
=1k
ka e ∑
∞
=1k
kb Séries cujos termos são não negativos. 
Dizemos que a Série ∑
∞
=1k
kb domina a Série ∑
∞
=1k
ka se, para todos os valores inteiros e positivos 
de k , tivermos kk ba ≤ . 
Se existir um número inteiro e positivo N , tal que kk ba ≤ para todo Nk ≥ , dizemos que a 
Série ∑
∞
=1k
kb domina eventualmente a Série ∑
∞
=1k
ka . 
 
37.1 – Comparação Direta: 
 
Consideremos que a Série ∑
∞
=1k
kb domina (ou domina eventualmente) a Série ∑
∞
=1k
ka . Nestas 
condições: 
• Se ∑
∞
=1k
kb converge, então ∑
∞
=1k
ka também converge. 
• Se ∑
∞
=1k
ka diverge, então ∑
∞
=1k
kb também diverge. 
 
Para a aplicação deste teste, devemos escolher uma Série de termos não negativos que seja 
conhecida, como a Série Geométrica ou a Série p , das quais já sabemos as condições de 
convergência ou divergência. 
 
EXEMPLOS: 
 
Use o Teste da Comparação Direta para verificar a convergência das Séries a seguir: 
 
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01) ∑
∞
= +1
2
3
1
k k
 
SOLUÇÃO: 
 
Vamos comparar a Série dada com a Série p ∑
∞
=1
2
1
k k
 que é convergente, pois 1>p . 
Podemos observar que 
22
1
3
1
kk
<
+
. 
Isto significa que a Série ∑
∞
=1
2
1
k k
 domina a Série dada. 
Como a Série p é convergente, então a Série dada também é convergente. 
 
02) ∑
∞
=2 ln
1
k k
 
SOLUÇÃO: 
 
Vamos comparar esta Série com a Série Harmônica ∑
∞
=2
1
k k
. 
Observamos que kk <ln para 2≥k . 
Isto implica que 
kk
1
ln
1
> para todo 2≥k , o que significa dizer que a Série ∑
∞
=2 ln
1
k k
 domina a 
Série Harmônica ∑
∞
=2
1
k k
. 
Como a Série Harmônica é divergente, então a Série dada também é divergente. 
 
 
37.2 – Comparação no Limite: 
 
O Teste da Comparação no Limite, tal como o da Comparação Direta, exige que façamos a 
comparação da série dada com uma Série da qual já conhecemos a convergência ou divergência. 
Sejam, então, ∑
∞
=1k
ka uma Série de termos não negativos e ∑
∞
=1k
kb uma Série de termos 
positivos. 
 
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Se queremos estudar a convergência da Série ∑
∞
=1k
ka , então escolhemos uma Série ∑
∞
=1k
kb 
conhecida, calculamos o limite c
b
a
n
n
n
=
∞→
lim , e concluímos: 
• Se 0>c , ou ambas convergem ou ambas divergem. 
• Se 0=c e ∑
∞
=1k
kb converge, então ∑
∞
=1k
ka também converge. 
• Se ∞→c e ∑
∞
=1k
kb diverge, então ∑
∞
=1k
ka também diverge. 
 
EXEMPLOS: 
 
Use o Teste da Comparação no Limite para verificar a convergência das Séries a seguir: 
 
01) ∑
∞
= +1
2
3
1
k k
 
SOLUÇÃO: 
 
Comparando com a Série p ∑
∞
=1
2
1
k k
, que é convergente, temos 






=
+
=
2
2
1
3
1
n
b
n
a
n
n
. 
Tomando o limite c
b
a
n
n
n
=
∞→
lim , temos: 
11
31
3
1
2
2
2
2
limlim =⇒=+
=+
∞→∞→
c
n
n
n
n
nn
 
Como 0>c e ∑
∞
=1
2
1
k k
 é convergente, então a Série dada também é convergente. 
 
02) ∑
∞
= +1 3 1
2
k k
k
 
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SOLUÇÃO: 
 
Comparando com a Série p ∑
∞
=1 2
1
1
k k
, que é divergente, temos 






=
+
=
n
b
n
n
a
n
n
1
1
2
3
. 
Calculando o limite c
b
a
n
n
n
=
∞→
lim , temos: 
22
1
1
1.2
1
.2
1
.2
1
1
2
33
3
3
3
limlimlimlim =⇒=+
−=
+
=
+
=+
∞→∞→∞→∞→
c
nn
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
. 
Como 0>c e ∑
∞
=1 2
1
1
k k
 diverge, então ∑
∞
= +1 3 1
2
k k
k
 também diverge. 
 
03) ∑
∞
=1
3
ln
k k
k
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Comparando com a Série p ∑
∞
=1
3
1
k k
, que é convergente, temos 






=
=
3
3
1
ln
n
b
n
n
a
n
n
. 
Calculando o limite c
b
a
n
n
n
=
∞→
lim , temos: 
∞→⇒∞==
∞→∞→
cn
n
n
n
nn
ln
1
ln
limlim
3
3
 (NADA SE PODE CONCLUIR) 
b) Comparando com a Série Harmônica ∑
∞
=1
1
k k
, que é divergente, temos 






=
=
n
b
n
n
a
n
n
1
ln
3
. 
Calculando o limite c
b
a
n
n
n
=
∞→
lim , temos: 
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00
2
1ln
1
ln
22
3
limlimlim =⇒===
∞→∞→∞→
c
nn
n
n
n
n
nnn
 (NADA SE PODE CONCLUIR) 
c) Comparando com a Série p ∑
∞
=1
2
1
k k
, que é convergente, temos 






=
=
2
3
1
ln
n
b
n
n
a
n
n
. 
Calculando o limite c
b
a
n
n
n
=
∞→
lim , temos: 
00
1ln
1
ln
limlimlim
2
3=⇒===
∞→∞→∞→
c
nn
n
n
n
n
nnn
. 
Como 0=c e ∑
∞
=1
2
1
k k
 é convergente, então concluímos que ∑
∞
=1
3
ln
k k
k
 também é convergente. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Tal como aconteceu no item (b) desse exemplo, sempre que pudermos e for necessário, 
podemos empregar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite. 
 
04) 
( )∑
∞
=1 !2
!
k k
k
 
SOLUÇÃO: 
 
Comparando com a Série Geométrica ∑
∞
=1 2
1
k
k
, que é convergente, temos 
( )






=
=
nn
n
b
n
n
a
2
1
!2
!
. 
Calculando o limite c
b
a
n
n
n
=
∞→
lim , temos: 
 
 
 
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( )
( )!2
!.2
2
1
!2
!
limlim n
nn
n
n
n
n
n ∞→∞→
= . 
Temos: 
• ( ) nnn
vezesn
n
2..8.6.4.2..4.3.2.1.2..2.2.2.2!.2 LL
4434421
L =







= 
• ( ) nn 2..4.3.2.1!2 L= 
Então: 
( ) ( )
00
12..7.5.3.1
1
2..4.3.2.1
2..8.6.4.2
!2
!.2
limlimlim =⇒=−
==
∞→∞→∞→
c
nn
n
n
n
nn
n
n LL
L
. 
 
Portanto, como ∑
∞
=1 2
1
k
k
 é convergente, então a Série 
( )∑
∞
=1 !2
!
k k
k
 também é convergente. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
A convergência de Séries envolvendo fatoriais é mais simples de ser estudada pelo Teste da 
Razão, que será apresentado nas próximas aulas. 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 37 
 
01) Use o este da Comparação Direta para estudar a convergência das Séries a seguir: 
 
a) ∑
∞
= ++1
4
2
13k kk
k
 Resp: Convergente 
b) ∑
∞
= ++1
3
72k kk
k
 Resp: Convergente 
c) 
( )∑
∞
= +1 1.3
5
k
k k
 Resp: Convergente 
d) ∑
∞
= +1 3 7 3
5
k k
k
 Resp: Convergente 
e) ∑
∞
= +1 3 1
8
k k
 Resp: Divergente 
f) ∑
∞
=1
ln
k k
k
 Resp: Divergente 
g) ∑
∞
= +1 2k k
k
 Resp: Divergente 
h) 
( )∑
∞
= +
+
1 2.7
1
k
k k
k
 Resp: Convergente 
i) ∑
∞
=
−+
1
1
k
k
k
e
e
 Resp: Convergente 
 
02) Use o Teste da Comparação no imite para estudar a convergência das Séries abaixo: 
 
a) ∑
∞
= +1 2 5
1
k k
 Resp: Divergente 
b) 
( )( )( )( )∑
∞
= ++++1
2
4321
5
k kkkk
k
 Resp: Convergente 
 
 
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c) ∑
∞
= +1
3
2
1k k
k
 Resp: Divergente 
d) ∑
∞
= +1 3 52.
1
k kk
 Resp: Convergente 
e) ∑
∞
= −1 cos7
1
k
k k
 Resp: Convergente 
f) ∑
∞
=1
2
k k
arctgk
 Resp: Convergente 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 38 – SÉRIES: 
 
 
38.1 – Séries Alternadas: 
 
Chamamos de Alternadas às Séries da forma ( )∑
∞
=
+−
1
1
.1
k
k
k
a . 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( )∑
∞
=
++ +−++−+−=−
1
11 1
.1
4
1
3
1
2
1
1
1
.1
k
nk
nk
LL 
Esta é uma Série Harmônica Alternada. 
 
02) ( ) ( )∑
∞
=
−−
+




−−+−+−+−=




−−
1
11
2
1
.1
8
1
4
1
2
1
1
2
1
.1
k
nk
LL 
Esta é uma Série Geométrica Alternada, de razão 
2
1
−=r . 
 
O fator ( ) 11 +− k que aparece nestes tipos de Séries faz com que os seus termos sejam, 
alternadamente, positivos ou negativos. 
O teste a seguir se aplica especificamente para estes tipos de Séries. 
 
 
38.2 – Teste de Leibniz: 
 
Se { }na é uma Seqüência Decrescente e de termos positivos, e se 0lim =
∞→
n
n
a , então a Série 
Alternada ( ) ( )∑
∞
=
++ +−++−+−=−
1
1
4321
1
.1.1
k
n
n
k
k
aaaaaa LL é Convergente. 
 
Se a Seqüência { }na não for decrescente , o Teste de Leibniz falha. Nesses casos, faremos 
uso dos Testes da Razão ou da Raiz, que serão vistos na próxima aula. 
 
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EXEMPLOS: 
 
Use o Teste de Leibniz para verificar a convergência das Séries a seguir: 
 
01) ( )∑
∞
=
+−
1
1 1
.1
k
k
k
 (Série Harmônica Alternada) 
SOLUÇÃO: 
 
Neste caso, temos 
n
an
1
= . 
Assim, temos a Seqüência { }





= L,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1na que é Decrescente e de termos positivos. 
Portanto, temos 0
1
limlim ==
∞→∞→ n
a
n
n
n
, o que caracteriza, pelo Teste de Leibniz, que a Série 
Harmônica Alternada é Convergente. 
 
02) ( )
( )∑
∞
=
+
+
+
−
1
1
2
3
.1
k
k
kk
k
 
SOLUÇÃO: 
 
Neste caso, temos 
( )2
3
+
+
=
nn
n
an , significando que a Seqüência { }na é de termos positivos. 
Resta saber se ela é decrescente. 
Para isto, vamos considerar a função ( )
( ) xx
x
xx
x
xf
2
3
2
3
2 +
+
=
+
+
= . 
Calculando a derivada desta função, temos: 
( ) ( )( )
( )22
2
2
22.32
xx
xxxx
xf
+
++−+
=′ . 
( )
( )22
22
2
66222
xx
xxxxx
xf
+
−−−−+
=′ . 
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( )
( )22
2
2
66
xx
xx
xf
+
++
−=′ . 
 
Podemos observar que ( ) 0<′ xf para todo valor real e positivo de x , o que significa que esta 
função é decrescente neste intervalo. 
Assim, a Seqüência { }na também é decrescente. 
Pelo Teste de Leibniz: 
( )
0
1
2
3
limlimlimlim 2 ===+
+
=
∞→∞→∞→∞→ nn
n
nn
n
a
nnn
n
n
. 
Logo, a Série dada é Convergente. 
 
03) ( )∑
∞
=
−





−−
1
1
2
1
.1
k
k
 
SOLUÇÃO: 
 
Vamos fazer: ( ) ( )( ) ( )∑ ∑∑
∞
=
∞
=
−−
−
∞
=
−





−=




−−=




−−
1 1
11
1
1
1
2
1
.1
2
1
.1.1
2
1
.1
k k
k
k
k
k
k
k
. 
Neste caso, temos 
1
2
1
−





=
n
na e a Seqüência { }na é de termos positivos. 
Para verificar se ela é decrescente, vamos tomar a função ( )
1
2
1
−





=
x
xf . 
Calculando a derivada desta função, teremos ( ) 2ln.
2
1
2
1
ln.
2
1
11 −−





−=










=′
xx
xf . 
Percebemos que a derivada é negativa para todo valor real de x , o que caracteriza que esta 
função é decrescente. 
Assim, a Seqüência { }na é decrescente. 
Pelo Teste de Leibniz: 
0
2
1
1
limlim =




=
−
∞→∞→
n
n
n
n
a . 
 
Portanto, a Série dada é Convergente. 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 38 
 
Use o Teste de Leibniz para estudar a convergência das Séries Alternadas a seguir: 
 
01) 
( )
( )∑
∞
=
+
−
1
1
!2
1
k
k
k
 Resp: Convergente 
02) ( )∑
∞
=
+
+
−
1
3
1
2
1
k
k
k
k
 Resp: Convergente 
03) ∑
∞
=
−
1
3
cos
k k
kπ
 Resp: Convergente 
04) 
( )
∑
∞
= +
−
1
5
7
.1
k
k
k
k
 Resp: Convergente 
05) 
( )
∑
∞
=
+
+−
−
1
2
1
2610
1
k
k
kk
 Resp: Convergente 
06) ∑
∞
=1
cos.ln
k
kk π Resp: Divergente 
07) ( )∑
∞
=
+
+
+
−
1
1
7
1
1
k
k
k
k
 Resp: Divergente 
08) ( )∑
∞
=
+
−
1
1
ln
1
k
k
k
k
 Resp: Divergente 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 39 – SÉRIES: 
 
 
39.1 – Teste da Razão: 
 
O Teste da Razão é um dos mais simples e eficientes testes de convergência para Séries 
infinitas, embora exista uma situação em que ele falha, conforme veremos a seguir. 
Seja, então, ∑
∞
=1k
ka uma Série de termos não nulos. 
Para a aplicação deste teste, calculamoso limite 
n
n
n a
a 1
lim
+
∞→
 e concluímos: 
• Se 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
, então a Série ∑
∞
=1k
ka é Convergente. 
• Se 11lim >
+
∞→ n
n
n a
a
 ou se ∞=+
∞→ n
n
n a
a 1
lim , então a Série ∑
∞
=1k
ka é Divergente. 
• Se 11lim =
+
∞→ n
n
n a
a
, então o teste é não conclusivo. 
 
Para ilustrar o fato de que o teste é não conclusivo quando 11lim =
+
∞→ n
n
n a
a
, vamos tomar como 
exemplo as Séries p ∑
∞
=1
2
1
k k
 (convergente) e ∑
∞
=1
1
k k
 (divergente). 
Temos: 
• 
( )
( )
1
11
1
1
2
2
2
2
1
limlimlim =
+
=
+
=
∞→∞→
+
∞→ n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
 
• 1
11
1
1
limlimlim
1 =
+
=+=
∞←∞→
+
∞→ n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
 
No caso em que o Teste da Razão falhar, devemos estudar a convergência da Série aplicando 
outro teste conveniente. 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
EXEMPLOS: 
 
Usando o Teste da Razão, verifique a convergência das Séries a seguir: 
 
01) ∑
∞
=
+
1 !
3
k k
k
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Pelo Teste da Razão: 
( ) ( )
( )( )
10
34
4
!.1.3
4!.
!
3
!1
4
2
1
limlimlimlim <=
++
+
=
++
+
=
+
+
+
=
∞→∞→∞→
+
∞→ nn
n
nnn
nn
n
n
n
n
a
a
nnnn
n
n
. 
Portanto, a Série é Convergente. 
 
02) 
( )∑
∞
=1 !2
!
k k
k
 
SOLUÇÃO: 
 
Pelo Teste da Razão: 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
10
264
1
!!.2.12.22
!.1!.2
!2
!
!22
!1
2
1
limlimlimlim <=
++
+
=
++
+
=
+
+
=
∞→∞→∞→
+
∞→ nn
n
nnnn
nnn
n
n
n
n
a
a
nnnn
n
n
. 
Portanto, a Série é Convergente. 
 
03) 
( )
∑
∞
=
−
1 !
12..5.3.1
k k
kL
 
SOLUÇÃO: 
 
Pelo Teste da Razão: 
 
 
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( )( )
( )
( )
( )( )
( )( ) !.1.12..5.3.1
!.12.12..5.3.1
!
12..5.3.1
!1
12.12..5.3.1
limlimlim
1
nnn
nnn
n
n
n
nn
a
a
nnn
n
n +−
+−
=
−
+
+−
=
∞→∞→
+
∞→ L
L
L
L
. 
12
1
12
limlim
1 >=
+
+
=
∞→
+
∞→ n
n
a
a
nn
n
n
. 
Portanto, esta Série é Divergente. 
 
 
04) ( )
( )
( )
∑
∞
=
−
1
2
!
!4
.1
k
k
k
k
 
SOLUÇÃO: 
 
Pelo Teste da Razão: 
 
( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )
( )2
2
1
1
!
!4.1
!1
!44.1
limlim
n
n
n
n
a
a
n
n
nn
n
n −
+
+−
=
+
∞→
+
∞→
. 
( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )22
2
1
!.1!.4.1
!!.4.14.24.34.44.1.1
limlim
nnn
nnnnnn
a
a
n
n
nn
n
n +−
++++−−
=
∞→
+
∞→
. 
 
Fazendo as devidas simplificações, obtemos: 
 
( )( )( )( )
( )
∞=
+
++++
=
∞→
+
∞→
2
1
1
14.24.34.44
limlim
n
nnnn
a
a
nn
n
n
. 
 
Portanto, a Série dada é Divergente. 
 
 
 
 
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39.2 – Teste da Raiz: 
 
Consideremos uma Série da forma ∑
∞
=1k
ka . 
O Teste da Raiz consiste em calcular o limite n n
n
alim
∞→
 e concluir: 
 
• Se 1lim <
∞→
n
n
n
a , então a Série é Convergente. 
• Se 1lim >
∞→
n
n
n
a ou se ∞=
∞→
n
n
n
alim , então a Série é Divergente. 
• Se 1lim =
∞→
n
n
n
a , então o teste é não conclusivo. 
 
EXEMPLO: 
 
Usando o Teste da Raiz, verifique a convergência da Série 
( )
( )[ ]∑
∞
= +
−
1 1ln
1
k
k
k
k
. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Pelo Teste da Raiz: 
[ ] ( )
0
1ln
1
1ln(
1
limlimlim =+
=
+
=
∞→∞→∞→ nn
a
n
n
n
n
n
n
n
. 
 
Como 1lim <
∞→
n
n
n
a , então a Série dada é Convergente. 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 39 
 
01) Use o Teste da Razão para verificar a convergência das Séries a seguir: 
 
a) 
( )
∑
∞
=
+−
1
1
4.
5.1
k
k
kk
k
 Resp: 
4
5
 (Divergente) 
b) 
( ) ( )
∑
∞
=
+ +−
1
31
!
1.1
k
k
k
k
 Resp: 0 (Convergente) 
c) 
( ) ( )
∑
∞
=
−−
1
!12.1
k
k
k
e
k
 Resp: ∞ (Divergente) 
d) 
( )
( )∑
∞
=
+−
1
41
02,1
.1
k
k
k
k
 Resp: 98,0 (Convergente) 
e) 
( ) ( )
∑
∞
=
+−
1 2
1.1
k
k
kk
e
 Resp: 
2
e
 (Divergente) 
f) 
( )
( )∑
∞
= −1 23..10.7.4.1
2..8.6.4.2
k k
k
L
L
 Resp: 
3
2
 (Convergente) 
g) 
( )
( )∑
∞
=1
2
!2
!
k k
k
 Resp: 
4
1
 (Convergente) 
 
02) Use o Teste da Raiz para verificar a convergência das Séries abaixo: 
 
a) ( )∑
∞
=
+






+
−
1
1
13
.1
k
k
k
k
k
 Resp: 
3
1
 (Convergente) 
b) 
( )
( )∑
∞
=
−
2 ln
.1
k
k
kk
k
k
 Resp: ∞ (Divergente) 
c) ∑
∞
=





 +
1 1
2
k
k
k
k
k
k
 Resp: 
2
1
 (Convergente) 
 
 
 
PROIBIDO VENDER
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CÁLCULO 1 – AULA 40 – SÉRIES: 
 
 
Séries de Potências: 
 
 
Chamamos de Séries de Potências a toda Série da forma: 
( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+−+−+−+=−
0
3
3
2
210
....
k
k
k axCaxCaxCCaxC L. 
Nesta Série, o número Real a é chamado de Centro da Série e L,,,
210
CCC são chamados de 
Coeficientes. 
No caso particular em que 0=a , teremos ∑
∞
=
++++=
0
3
3
2
210
.
k
k
k xCxCxCCxC L, isto é, um 
polinômio generalizado na variável x . 
Numa Série de Potências, vemos x como uma variável que pode assumir qualquer valor Real. 
Entretanto, a Série pode ser convergente para certos valores assumidos pela variável x e 
divergente para outros. 
Daí a importância de se conhecer, numa Série de Potências, o seu Intervalo de Convergência, 
que vamos denotar por I . 
Naturalmente que, para ax = , a Série é convergente e converge para 
0
C . 
O Intervalo de Convergência I de uma Série de Potências assume sempre uma das três 
formas seguintes: 
• ( )RaRaI +−= , , isto é, um intervalo limitado pelos números reais ( )Ra − e ( )Ra + , em 
que o número real R é chamado de Raio de Convergência da Série. 
• ( )∞∞−= ,I , isto é, a Série de Potências é convergente para qualquer valor real 
assumido pela variável x . 
• { }aI = , isto é, a Série só é convergente no seu centro. 
 
Para a determinação do Intervalo de Convergência de uma Série de Potências, utilizamos o 
Teste da Razão, impondo a condição: 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
 que, conforme vimos na aula anterior, é a 
condição suficiente e necessária para que a Série seja convergente. 
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Desta condição, obtém-se uma inequação na variável x que, resolvida, dará o Intervalo de 
Convergência da Série. 
 
Observação: 
 
No caso em que a Série de Potências é convergente num intervalo limitado ( )RaRaI +−= , o 
Teste da Razão não é suficiente para indicar a convergência da Série nos extremos do intervalo. 
Para a verificação da convergência nos extremos, devemos substituir esses valores na Série 
de Potências, obtendo uma Série numérica e estudar a convergência dessa Série por qualquer um 
dos testes estudados e que se aplique a ela. 
 
EXEMPLOS: 
 
Determinar o Intervalo de Convergência das Séries de Potências a seguir: 
 
01) ( )∑
∞
=
−
0
.
3
.1
k
k
k
k
x
k
 
SOLUÇÃO: 
 
Vamos calcular o limite 
n
n
n a
a
1
lim
+
∞→
. 
( )
( )
( ) ( )( )
( ) 3.3...1
3...1.1.1
.
3
.1
.
3
1
.1
limlimlim
1
1
1
1
nnn
nnn
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n xn
xxn
x
n
x
n
a
a
−
+−−
=
−
+
−
=
∞→
+
+
+
∞→
+
∞→
. 
Fazendo as devidas simplificações, obtemos: 
( )( )
33
1
.
3
1
.
3
.1.1
limlimlim
1
x
x
n
n
x
n
xn
a
a
nnn
n
n
==
+
=
+−
=
∞→∞→
+
∞→
. 
 
Impondo a condição: 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
, temos: 3331
3
<<−⇒<⇒< xx
x
. 
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Portanto, a Série convergepara valores de x no intervalo 33 <<− x e diverge para 3>x . 
Como o Intervalo de Convergência é limitado da forma ( )RaRaI +−= , , precisamos verificar a 
convergência desta Série nos extremos desse intervalo. 
Assim: 
• Para 3−=x , temos a Série ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
=−=−−
00 0
2
.13.
3
.1
kk k
kk
k
k
kk
k
, que é a Série 
Aritmética (Divergente) 
• Para 3=x , temos a Série ( ) ( )∑ ∑
∞
=
∞
=
+−+−+−=−=−
0 0
543210.13.
3
.1
k k
kk
k
k
k
k
L , que 
também é Divergente. 
 
Portanto, o Intervalo de Convergência desta Série é: 
 
02) 
( )
∑
∞
=
−
0
2
!
5
k
k
k
x
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
( )
!
5
2
n
x
a
n
n
−
= e 
( )
( )!1
5
22
1 +
−
=
+
+
n
x
a
n
n . 
Aplicando então o Teste da Razão, devemos ter 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
!.1.5
!.5.5
!
5
!1
5
2
22
2
22
1
limlimlim <+−
−−
=
−
+
−
=
∞→
+
∞→
+
∞→ nnx
nxx
n
x
n
x
a
a
n
n
n
n
n
nn
n
n
. 
Simplificando, encontramos: 
( ) ( ) 10.51
1
1
.5
22
lim <−⇒<+
−
∞→
x
n
x
n
. 
 
Portanto, a Série é convergente para qualquer real x , ou seja: 
 
 
( )3,3−=I 
( )∞∞−= ,I 
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03) ( )( )∑
∞
=
+
0
2.!
k
k
xk 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: ( )( )nn xna 2.! += e ( ) ( )
1
1
2!.1
+
+ ++=
n
n xna . 
Aplicando então o Teste da Razão, devemos ter 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )n
n
n
n
n
nn
n
n xn
xxnn
xn
xn
a
a
2!.
2.2!..1
2.!
2!.1
limlimlim
1
1
+
+++
=
+
++
=
∞→
+
∞→
+
∞→
. 
Efetuando as simplificações, devemos ter: 
( ) 1.211.2 lim <∞+⇒<++
∞→
xnx
n
. 
Isto significa que a Série é divergente para qualquer valor de x exceto, é claro, o centro da 
Série, que é 2−=x . 
 
Assim: 
 
04) ∑
∞
=1
.
1
k
kx
k
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: nn x
n
a .
1
= e 11 .
1
1 +
+ +
= nn x
n
a . 
Aplicando então o Teste da Razão, devemos ter 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
( )
1
.1
..
.
1
.
1
1
limlimlim
1
1 <
+
=+=
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
nn
n
nn
n
n xn
xxn
x
n
x
n
a
a
. 
Fazendo as simplificações, obtemos: 
11111.1
1
.lim <<−⇒<⇒<⇒<+∞→
xxx
n
n
x
n
. 
 
{ }2−=I 
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Devemos verificar, agora, os extremos do intervalo. 
Assim: 
• Para 1−=x , temos a Série ∑
∞
=
−
1
1
k k
, que é a Série Harmônica Alternada, portanto 
convergente. 
• Para 1=x , temos a Série ∑
∞
=1
1
k k
, que é a Série Harmônica, portanto divergente. 
 
Assim, o Intervalo de Convergência da Série dada é: 
 
05) 
( )
∑
∞
=
+
0 !
1
k
k
k
x
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
( )
!
1
n
x
a
n
n
+
= e 
( )
( )!1
1
1
1 +
+
=
+
+
n
x
a
n
n . 
Aplicando então o Teste da Razão, devemos ter 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
!.1.1
!.1.1
!
1
!1
1
limlimlim
1
1 <
++
++
=
+
+
+
=
∞→
+
∞→
+
∞→ nnx
nxx
n
x
n
x
a
a
n
n
n
n
n
nn
n
n
. 
Simplificando, devemos ter: 
10.11
1
1
.1 lim <+⇒<+
+
∞→
x
n
x
n
. 
 
Portanto, o Intervalo de Convergência será: 
 
06) ( )∑
∞
=
−
0
1!.
k
k
xk 
SOLUÇÃO: 
 
[ )1,1−=I 
( )∞∞−= ,I 
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Temos: ( )nn xna 1!. −= e ( ) ( )
1
1
1!.1
+
+ −+=
n
n xna . 
Aplicando o Teste da Razão, devemos ter 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1
1!.
1.1!..1
1!.
1!.1
limlimlim
1
1 <
−
−−+
=
−
−+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
n
n
n
nn
n
n xn
xxnn
xn
xn
a
a
. 
Simplificando: 
( ) 1.111.1 lim <∞−⇒<+−
∞→
xnx
n
. 
Portanto, a convergência só ocorre no centro, ou seja: 
 
07) 
( )
∑
∞
= +
+
0 1
3
k
k
k
x
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
( )
1
3
+
+
=
n
x
a
n
n e 
( )
2
3
1
1 +
+
=
+
+
n
x
a
n
n . 
Aplicando o Teste da Razão, devemos ter 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
1
2.3
1.3.3
1
3
2
3
limlimlim
1
1 <
++
+++
=
+
+
+
+
=
∞→
+
∞→
+
∞→ nx
nxx
n
x
n
x
a
a
n
n
n
n
n
nn
n
n
. 
Simplificando, temos: 
24
413
213
131
2
1
.3 lim −<<−⇒



−>⇒<−−
−<⇒<+
⇒<+⇒<
+
+
+
∞→
x
xx
xx
x
n
n
x
n
. 
Devemos então estudar a convergência da Série nos extremos desse intervalo. 
Assim: 
• Para 4−=x , temos 
( )
∑
∞
= +
−
0 1
1
k
k
k
, que é a Série Harmônica Alternada (convergente). 
• Para 2−=x , temos ∑
∞
= +0 1
1
k k
, que é a Série Harmônica (divergente). 
 
{ }1=I 
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Portanto: 
 
08) 
( )
∑
∞
=
−
1
2
4.3
k
kk
k
x
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
( )
2
4.3
n
x
a
nn
n
−
= e 
( )
( )2
11
1
1
4.3
+
−
=
++
+
n
x
a
nn
n . 
Aplicando o Teste da Razão, devemos ter 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1.4.3
.4.4.3.3
4.3
1
4.3
2
2
2
2
11
1
limlimlim <+−
−−
=
−
+
−
=
∞→
++
∞→
+
∞→ nx
nxx
n
x
n
x
a
a
nn
nn
n
nn
nn
nn
n
n
. 
Efetuando as simplificações, teremos: 






>⇒<+−
<⇒<−
⇒<−⇒<−⇒<
++
−
∞→
3
11
3
1
4
3
13
3
1
4
3
1
413.41
12
3
.4
2
2
lim
xx
xx
xx
nn
n
x
n
. 
Temos, então: 
3
13
3
11
<< x . 
Devemos estudar os extremos. 
• Para 
3
11
=x , temos ( )∑
∞
=
−
1
2
1
.1
k
k
k
,que é uma Série Alternada e convergente, de acordo 
com o Teste de Leibniz. 
• Para 
3
13
=x , temos ∑
∞
=1
2
1
k k
, que é uma Série p convergente, pois 1>p . 
 
Portanto, o Intervalo de Convergência desta Série é: 
[ )2,4 −−=I 



=
3
13
,
3
11
I 
FÍSICA – LICENCIATURA - EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá - MG 
 
CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 40 
 
Determinar o Intervalo de Convergência das Séries a seguir: 
 
01) ∑
∞
=0
.7
k
kk x Resp: 




−=
7
1
,
7
1
I 
02) ∑
∞
=
+
+0
1
1k
k
k
x
 Resp: [ )1,1−=I 
03) ∑
∞
=0 !k
k
k
x
 Resp: ( )∞∞−= ,I 
04) 
( ) ( )
∑
∞
= +
−−
0 1
1.1
k
kk
k
x
 Resp: ( ]2,0=I 
05) 
( )
( )∑
∞
=
−+
−
−
0
121
!12
.1
k
kk
k
x
 Resp: ( )∞∞−= ,I 
06) 
( ) ( )
∑
∞
=
−
−+ +−
0
1
11
7
3..1
k
k
kk
xk
 Resp: ( )4,10−=I 
07) 
( )
∑
∞
=
−+
1
2
1
2
k
k
k
x
 Resp: [ ]1,3 −−=I 
08) 
( )
∑
∞
= +
+
0 1.
1
k
k
kk
x
 Resp: [ ]0,2−=I 
09) 
( )
( )∑
∞
= +
−
0
3
1
.2.1
k
kkk
k
x
 Resp: 


−=
2
1
,
2
1
I 
10) 
( )∑
∞
= +0 12..5.3.1
.
k
k
k
xk
L
 Resp: ( )∞∞−= ,I 
11) 
( )
∑
∞
=












+
−
0
2
2
.
12
1
k
kk
x
k
 Resp: [ ]2,2−=I 
12) 
( )
( )∑
∞
= +
+
0
5
5.1
1
k
k
k
k
x
 Resp: [ )15,15 55 −−−=I 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA - EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá - MG 
 
13) ∑
∞
=





 −
1
1
4
.
1
k
k
x
k
 Resp: [ )8,0=I 
14) ∑
∞
=





 +
−1 3
2
3
.
13
1
k
k
x
k
 Resp: [ )1,5−=I 
15) ( )( )∑
∞
=
−− ++
0
23
1.55
k
kkk x Resp: 





+−−−=
33 5
1
1,
5
1
1I 
16) ( )∑
∞
=
−
0
1.
k
k
xarctgk Resp: ( )2,0=I 
17) 
( )
∑
∞
=
−
1
2
2
4.3
k
kk
k
x
 Resp: 





+−=
3
3
4,
3
3
4I 
 
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 41 – SÉRIES: 
 
 
Continuidade, Derivação e Integração de Séries de Potências: 
 
 
Como uma Série de Potências é uma funçãogeneralizada da forma ( ) ( )∑
∞
=
−=
0
.
k
k
k axCxf , é 
natural esperarmos que ela possa ser derivada ou integrada. 
Realmente, se ( )∑
∞
=
−
0
.
k
k
k axC é uma Série que converge para ( )xf no intervalo 
( )RaRaI +−= , ou Rax <− , então podemos enunciar as seguintes propriedades: 
• P1: a função ( )xf é Contínua em ( )RaRa +− , . 
• P2: Para Rax <− , temos: 
( ) ( ) ( )
1
10
...
−∞
=
∞
=
∑∑ −=





−=′
k
k
k
k
k
k axCkaxC
dx
d
xf 
• P3: Para Rax <− , temos: 
( ) ( ) ( ) ( )ℜ∈+−
+
=





−=∫ ∫ ∑∑
∞
=
+
∞
=
CCax
k
C
dxaxCdxxf
k
kk
k
k
k
0
1
0
.
1
... 
• P4: Para Rab <− , temos: 
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∑∑
∞
=
+
∞
=
−
+
=





−=
b
a
b
a
k
kk
k
k
k ab
k
C
dxaxCdxxf
0
1
0
.
1
... 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Encontre ( )xf ′ , sabendo que ( ) L++++= 32 4321 xxxxf . 
 
SOLUÇÃO: 
 
Podemos dizer que ( ) ( )∑
∞
=
+=
0
.1
k
kxkxf 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Portanto: ( ) ( ) ⇒





+=′ ∑
∞
=0
.1
k
kxk
dx
d
xf 
 
Para verificar o intervalo de convergência desta Série, vamos calcular o limite 
n
n
n a
a 1
lim
+
∞→
. 
Temos: ( ) 1.1. −+= nn xnna e ( )( ) nn xnna .2.11 ++=+ . 
Devemos impor a condição: 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
Assim: 
( )( )
( )
1111.
2
.
.1.
.2.1
limlimlim 1
1 <<−⇒<=
+
=
+
++
=
∞→
−
∞→
+
∞→
xx
n
n
x
xnn
xnn
a
a
n
n
n
nn
n
n
. 
 
Portanto, o intervalo de convergência desta Série é: 
 
 
02) Encontre ( )∫ dxxf . , se ( ) ( )∑
∞
=
+=
0
.1
k
kxkxf para 1<x . 
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: ( ) ( )∫ ∑∑∫ ++
+
=





+=
∞
=
+
∞
=
Cx
k
k
dxxkdxxf
k
k
k
k
0
1
0
.
1
1
..1. . 
 
Portanto: 
 
 
 
03) Encontre ( )xf ′ e ( )xf ′′ na função ( ) ( ) x
k
k
k
e
xx
x
k
x
xf −
∞
=
=+−+−=−=∑ L
!3!2
1
!
.1
32
0
. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
( ) ( )∑
∞
=
−+=′
1
1
.1.
k
kxkkxf 
( )1,1−=I 
( )∫ ∑
∞
=
+ +=
0
1
.
k
k Cxdxxf 
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Temos: ( ) ( ) ( ) ( )
( )∑∑∑
∞
=
−∞
=
−∞
= −
−=−=





−=′
1
1
1
1
0 !1.
..1
!
..1
!
.1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kk
x
k
k
x
k
k
x
dx
d
xf . 
Simplificando, temos: 
( ) ( )
( )∑
∞
=
−
−
−=′
1
1
!1
.1
k
k
k
k
x
xf . 
Porém, podemos fazer: ( ) ( )( ) 11.11 −−−=− kk . 
 
Chamando nk =−1 , teremos finalmente: 
 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )
( )∑ ∑∑
∞
=
∞
=
−
−
−∞
= −
−−−=−−=





−−=′=′′
1 1
1
1
1
1 !1.
..1.1
!
..1
!
.1
n n
n
n
n
n
n
n
n
nn
x
n
n
x
n
n
x
dx
d
xf
dx
d
xf . 
 
Fazendo, agora, kn =−1 , teremos: 
 
 
04) Sendo ( ) ( )
( )∑
∞
=
−=
0
2
!2
.1
k
k
k
k
t
tf , escrever uma Série de Potências para ( )∫
x
dttf
0
. e determinar o 
seu intervalo de convergência. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: ( ) ( )
( )
( )
( )( )∫ ∑∑∫
∞
=
+∞
= +
−=





−=
x
x
k
k
k
k
k
kx
kk
t
dt
k
t
dttf
0
00
12
0
2
0 !2.12
.1.
!2
.1. . 
 
Substituindo os imites de integração, resulta: 
 
 
Para determinar o intervalo de convergência desta série, fazemos 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
 
( ) ( )∑
∞
=
−−=−−=′
0 !
.1
n
x
n
n
e
n
x
xf
( ) ( )∑
∞
=
−=−=′′
0 !
.1
k
x
k
k
e
k
x
xf 
( ) ( )
( )∫ ∑
∞
=
+
+
−=
x
k
k
k
k
x
dttf
0
0
12
!12
.1. 
PROIBIDO VENDER
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
No nosso caso: ( )
( )!12
.1
12
+
−=
+
n
x
a
n
n
n e ( ) ( )!32
.1
32
1
1 +
−=
+
+
+
n
x
a
n
n
n . 
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
1
!12.22.32...1
!12...1.1
!12
.1
!32
.1
2
32
12
32
1
1
limlimlim <+++−
+−−
=
+
−
+
−
=
∞→
+
+
+
∞→
+
∞→ nnnxx
nxx
n
x
n
x
a
a
nn
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
. 
Simplificando, teremos: 
( )( )
10.1
22.32
1
.
22
lim <⇒<++∞→
x
nn
x
n
. 
 
Este resultado caracteriza que: 
 
 
05) Usando a fórmula ∑
∞
= −
=
0 1
1
k
k
x
x (com 1<x ) da Série Geométrica, obtenha uma Série infinita 
que represente a função ( ) arctgxxf = e dê o seu intervalo de convergência. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Sabemos que ∫ +=
x
t
dt
arctgx
0 21
 e que ∑
∞
= −
=
0 1
1
k
k
x
x . 
Fazendo na Série 2tx −= , teremos: ( ) ( )∑ ∑
∞
=
∞
=
−=−=
+ 0 0
22
2
.1
1
1
k k
kkk tt
t
. 
Integrando membro a membro no intervalo [ ]x,0 , teremos: 
( ) ( )∫ ∫ ∑∑
∞
=
+∞
= +
−=





−=
+
x x
x
k
k
k
k
kk
k
t
dttdt
t0 0
00
12
0
2
2 12
.1..1
1
1
. 
 
Portanto, concluímos que: 
 
 
Para determinar o intervalo de convergência da Série obtida, basta verificarmos a condição 
11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
( )∞∞−= ,I
 
( )∑
∞
=
+
+
−=
0
12
12
.1
k
k
k
k
x
arctgx 
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No nosso caso, temos: ( )
12
.1
12
+
−=
+
n
x
a
n
n
n e ( )
32
.1
32
1
1 +
−=
+
+
+
n
x
a
n
n
n . 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
32..1
12...1.1
12
.1
32
.1
2
32
12
32
1
1
limlimlim <+−
+−−
=
+
−
+
−
=
∞→
+
+
+
∞→
+
∞→ nxx
nxx
n
x
n
x
a
a
nn
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
. 
Simplificando, obtemos: 
110111
32
12
.
222
lim <<−⇒<−⇒<⇒<+
+
∞→
xxx
n
n
x
n
. 
Como o intervalo de convergência obtido é aberto, devemos verificar a convergência nos 
extremos desse intervalo. 
Assim: 
• Para 1−=x , teremos 
( )
∑
∞
=
+
+
−
0
13
12
1
k
k
k
, que é uma Série Alternada e convergente (pelo Teste 
de Leibniz). 
• Para 1=x , teremos 
( )
∑
∞
= +
−
0 12
1
k
k
k
, que também é uma Série Alternada e convergente (pelo 
Teste de Leibniz). 
 
Portanto, o intervalo de convergência é: [ ]1,1−=I 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA - EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá - MG 
 
CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 41 
 
01) Use a fórmula ∑
∞
= −
=
0 1
1
k
k
x
x (com 1<x ) da Série Geométrica para obter uma série infinita 
que represente cada uma das funções abaixo e verifique o Intervalo de Convergência das Séries 
obtidas: 
 
a) ( )
4
1
1
x
xf
−
= Resp: ∑
∞
=0
4
k
kx e ( )1,1−=I 
b) ( )
4
1 x
x
xf
−
= Resp: ∑
∞
=
+
0
14
k
kx e ( )1,1−=I 
c) ( )
x
xf
41
1
−
= Resp: ( )∑
∞
=0
4
k
k
x e 




−=
4
1
,
4
1
I 
d) ( )
2
1 x
x
xf
−
= Resp: ∑
∞
=
+
0
12
k
kx e ( )1,1−=I 
e) ( ) ∫ −=
x
dt
t
t
xf
0 21
 Resp: ∑
∞
=
+
+0
22
22k
k
k
x
 e ( )1,1−=I 
f) ( )
x
xf
+
=
2
1
 Resp: 
( )
∑
∞
=
+
−
0
1
2
.1
k
k
kk x
 e ( )2,2−=I 
g) ( )
2
6
1
xx
xf
−−
= Resp: 
( )
∑
∞
=
++ 





−
−
0
11
2
1
3
1
.
5k
kk
kkx
 e ( )2,2−=I 
h) ( ) ( )∫=
x
dt
t
tarctg
xf
0
.
2
 Resp: 
( )
( )∑
∞
=
++
+
−
0
2
1212
12
.2.1
k
kkk
k
x
 e 


−=
2
1
,
2
1
I 
 
02) Dada a representação em Séries de Potências para ( )xf , escreva uma Série de Potências 
para ( )xf ′ e encontre o seu intervalo de convergência. 
 
a) ( ) ∑
∞
=
=
0
2
.
k
kxkxf Resp: ( )1,1−=I 
b) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+ −−=
0
21
2..1
k
kk
xkxf Resp: ( )3,1=I 
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c) ( ) ∑
∞
=
=
0 !k
k
k
x
xf Resp: ( )∞∞−= ,I 
d) ( ) ( )
( )∑
∞
=
++
+
−
=
0
121
!12
.1
k
kk
k
x
xf Resp: ( )∞∞−= ,I 
e) ( ) ( )∑
∞
=
−
=
0
3
3
1
k
k
k
x
xf Resp: ( ]1,1−=I 
 
03) Escreva uma Série de Potências para ( )∫
x
dttf
0
. e encontre o seu intervalo de convergência. 
a)( ) ( )
( )∑
∞
=
−
=
0
2
!2
.1
k
kk
k
t
tf Resp: ( )∞∞−= ,I 
b) ( ) ∑
∞
=
+
=
0
1
!2k
k
kt
tf Resp: [ )2,2−=I 
c) ( )
( )∑
∞
=
+
+
=
0
12
!12k
k
k
t
tf Resp: ( )∞∞−= ,I 
d) ( ) ∑
∞
=
=
0
3
k
k
k
t
tf Resp: [ ]1,1−=I 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 42 – SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN: 
 
 
42.1 - Introdução: 
 
 
Vimos que uma Série de Potências da forma ( )∑
∞
=
−
0
.
k
k
k axC , com raio de convergência 0≠R , 
define a função ( ) ( )∑
∞
=
−=
0
.
k
k
k axCxf , isto é, partimos de uma Série e obtivemos uma função. 
Vamos tentar o caminho inverso, ou seja, dada uma função ( )xf , queremos encontrar uma 
Série de Potências que convirja para esta função. 
Neste caso, dizemos que vamos expandir a função ( )xf em Séries de Potências. 
Embora não possamos afirmar que toda função possa ser expandida em Séries de Potências, 
pelo menos podemos verificar que a maioria das funções elementares, e que são úteis no cálculo, 
podem ser representadas por séries convergentes num certo intervalo. 
Dentre essas séries, destacamos as Séries de Taylor e de MacLaurin. 
 
42.2 – Série de Taylor: 
 
Vamos admitir que a função f seja continuamente derivável num intervalo aberto I e seja 
Ia∈ , de modo que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+−+−+−+=−=
0
3
3
2
210
....
k
k
k axCaxCaxCCaxCxf L. 
Para ax = , temos: 
• ( )
0
.!0 Caf = 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
3
4
2
321
.!1.4.3.2 CafaxCaxCaxCCxf =′⇒+−+−+−+=′ L 
• ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
432
.!2.12.62 CafaxCaxCCxf =′′⇒+−+−+=′′ L 
• ( ) ( ) ( )
343
.!3.246 CafaxCCxf =′′′⇒+−+=′′′ L 
 M 
Podemos, então, generalizar a derivada de ordem k no ponto ax = por: 
 ( )( )
( ) ( )
!
.!
k
af
CCkaf
k
kk
k =⇒= . 
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Substituindo na função, teremos a chamada Série de Taylor com centro no ponto ax = : 
 
 
 
 
 
42.3 – Série de MacLaurin: 
 
A Série de MacLaurin nada mais é do que a Série de Taylor com centro 0=a . Assim, a Série 
de MacLaurin da função ( )xf tem a forma: 
 
 
 
 
Observação: 
 
Teoricamente, podemos dizer que uma função sempre poderá ser expandida em Série de 
Taylor ou de MacLaurin. 
A única condição para que isto possa ser feito é que a função seja continuamente derivável. 
Entretanto, nem sempre a Série obtida vai convergir para a função. 
Daí ser importante, sempre que necessário, estudar o intervalo de convergência da série 
obtida pela expansão. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Encontre a Série de Taylor para a função ( ) senxxf = com centro 
4
π
=a . 
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
 
( )
( )( ) ( )∑
∞
=
−=
0
.
!k
k
k
ax
k
af
xf 
( )
( )( )
∑
∞
=
=
0
.
!
0
k
k
k
x
k
f
xf 
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• ( )
2
2
4
=




⇒=
π
fsenxxf 
• ( )
2
2
4
cos =




′⇒=′
π
fxxf 
• ( )
2
2
4
−=




′′⇒−=′′
π
fsenxxf 
• ( )
2
2
4
cos −=




′′′⇒−=′′′
π
fxxf 
• ( ) ( ) ( )
2
2
4
44 =




⇒=
π
fsenxxf 
 M 
Assim, os coeficientes da Série de Taylor para esta função podem ser escritos na forma: 
 
( )
!.2
2
!
2
2
!
4
kkk
f
C
k
k ±=
±
=






=
π
 
A Série de Taylor para esta função será: 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
No exemplo acima, ao contrário do que poderíamos supor, não temos uma Série Alternada. 
Portanto não é possível escrever esta expansão na forma de uma somatória. 
 
02) Encontre a Série de MacLaurin para a função ( ) xexf = . 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
L+




 −−




 −−




 −+=
32
4
.
!3.2
2
4
.
!2.2
2
4
.
2
2
2
2 πππ
xxxsenx 
 
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Sabemos que a Série de MacLaurin é a mesma de Taylor, porém com centro em 0=a , isto é, 
uma Série da forma ∑
∞
=0
.
k
k
k xC . 
Assim: 
• ( ) ( ) 10 =⇒= fexf x 
• ( ) ( ) 10 =′⇒=′ fexf x 
• ( ) ( ) 10 =′′⇒=′′ fexf x 
• M 
 
Portanto, temos 
( ) ( )
!
1
!
0
k
C
k
f
C k
k
k =⇒= . 
 
Então, a Série de MacLaurin para ( ) xexf = é: 
 
 
03) Desenvolver a função ( ) ( )1ln += xxf em Série de Taylor com centro em 2=a e determinar o 
intervalo de convergência da série obtida. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos: 
• ( ) ( ) ( ) 3ln21ln =⇒+= fxxf 
• ( ) ( )
3
1
2
1
1
=′⇒
+
=′ f
x
xf 
• ( )
( )
( )
22
3
1
2
1
1 −
=′′⇒
+
−
=′′ f
x
xf 
• ( )
( )
( )
33
3
2
2
1
2
=′′′⇒
+
=′′′ f
x
xf 
• ( )
( )
( )
44
3
6
2
1
6 −
=⇒
+
−
= IVIV f
x
xf 
• M 
∑
∞
=
=
0 !k
k
x
k
x
e 
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Podemos então dizer que, para 1≥k , temos: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
k
k
kk
k
k
k
k
k
C
kk
k
k
k
C
3.
1
!1..3
!1.1
!
3
!1
.1 11
1
++
+
−
=⇒
−
−−
=
−
−
= . 
Assim, teremos: 
 
 
 
 
 
Para determinar o intervalo de convergência desta Série, devemos impor a condição 
11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
Temos: 
( ) ( )n
n
n
n x
n
a 2.
3.
1
1
−
−
=
+
 e 
( )
( )
( ) 1
1
2
1
2.
3.1
1 +
+
+
+ −+
−
= n
n
n
n x
n
a . 
Então: 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
2.3.3.1.1.1
3..2.2.1.1
2.
3.
1
2.
3.1
1
2
1
1
1
2
1
limlimlim <−+−−
−−−−
=
−
−
−
+
−
=
∞→
+
+
+
+
∞→
+
∞→
nnn
nnn
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n xn
nxx
x
n
x
n
a
a
. 
Fazendo as simplificações: 
51321
3
1
.21
33
.2 lim <<−⇒<−⇒<−⇒<+
−
∞→
xxx
n
n
x
n
. 
 
Devemos verificar os extremos desse intervalo. 
• Para 1−=x , temos 
( )
∑
∞
=
+−
1
12
1
k
k
k
, que é a Série Harmônica Alternada (convergente). 
• Para 5=x , temos 
( )
∑
∞
=
+−
1
1
1
k
k
k
, que é a Série Harmônica Alternada (convergente). 
 
Portanto, o intervalo de convergência é: 
 
( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
−
+=+
1
1
2.
3.
1
3ln1ln
k
k
k
k
x
k
x 
 
[ ]5,1−=I 
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04) Dada a função ( )
x
xf
−
=
4
1
, pede-se: 
a) fazer a sua expansão em Série de MacLaurin; 
b) estudar o seu intervalo de convergência; 
c) calcular o valor aproximado de ( )∫
2
0
.dxxf , usando os 4 primeiros termos da Série obtida. 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Temos: 
• ( ) ( )
4
!0
4
1
0
4
1
==⇒
−
= f
x
xf 
• ( )
( )
( )
222
4
!1
4
1
0
4
1
==′⇒
−
=′ f
x
xf 
• ( )
( )
( )
333
4
!2
4
2
0
4
2
==′′⇒
−
=′′ f
x
xf 
• ( )
( )
( )
444
4
!3
4
6
0
4
6
==′′′⇒
−
=′′′ f
x
xf 
• M 
• ( )( )
( )
( )( )
1
4
!
0
4
!
+
=⇒
−
=
k
k
k
k kf
x
k
xf 
Portanto: 
( ) ( )
1
1
4
1
!
4
!
!
0
+
+
=⇒==
kk
kk
k C
k
k
k
f
C . 
 
Assim: 
 
 
Observação: 
Esta Série poderia ser obtida usando-se o resultado ∑
∞
= −
=
0 1
1
k
k
x
x , que é uma Série 
Geométrica convergente (VERIFIQUE!). 
 
∑
∞
=
+
=
− 0
1
44
1
k
k
kx
x
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b) Para determinar o intervalo de convergência, devemos ter 11lim <
+
∞→ n
n
n a
a
. 
Neste caso: 
1
4.4.
4.4..
4
4
2
1
2
1
limlim <=
∞→
+
+
+
∞→
nn
nn
n
n
n
n
n
n x
xx
x
x
. 
Simplificando: 4441
4
1
. <<−⇒<⇒< xxx . 
 
Devemos verificar os extremos do intervalo: 
• Para 4−=x , temos 
( )
∑
∞
=
+−+−=
−
0 4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
k
k
L , que é uma Série divergente, pois não 
existe o limite no infinito. 
• Para 4=x , temos ∑
∞
=
+++=
0 4
1
4
1
4
1
4
1
k
L , que é divergente,pois trata-se de uma Série 
Geométrica de razão 1=r . 
 
Portanto, o intervalo de convergência é: 
 
 
c) Usando os 4 primeiros termos da Série: 
( )∫ ∫ ∫ 





+++=





+++=
−
=
2
0
2
0
2
0
2
0
4
4
3
3
2
2
4
3
3
2
2
4.44.34.244444
1
4
.
xxxx
dx
xxx
x
dx
dxxf . 
( )∫ +++=
2
0 432 4.4
16
4.3
8
4.2
4
4
2
.dxxf 
 
Calculando, obtemos: 
 
 
 
 
( )4,4−=I 
( )∫ =
2
0 192
131
.dxxf
 
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42.4 – Série Binomial: 
 
Consideremos a função ( ) ( )pxxf += 1 , em que 01 >+ x e p é uma constante diferente de 
inteiro positivo. 
Vamos expandir esta função em Série de MacLaurin. 
Temos: 
• ( ) ( ) ( )
!0
1
101 0 =⇒=⇒+= Cf�xxf
p 
• ( ) ( ) ( )
!1
01. 1
1 p
Cpfxpxf
p =⇒=′⇒+=′ − 
• ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
!2
1.
1.01.1.
2
2 −=⇒−=′′⇒+−=′′ −
pp
Cppfxppxf
p 
• ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
!3
2.1.
2.1.01.2.1. 3
3 −−=⇒−−=′′′⇒+−−=′′′ −
ppp
Cpppfxpppxf
p 
• M 
 
Podemos, então generalizar os coeficientes desta Série da forma: 
 
( )( ) ( )
!
1..2.1.
k
kpppp
Ck
+−−−
=
L
 , para 1≥k . 
Portanto, a Série de MacLaurin desta função, que é a chamada Série Binomial é: 
 
 
 
 
Esta Série é convergente para 1<x . 
 
EXEMPLO: 
 
Expandir a função ( ) xxf += 1 em Série Binomial. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
( ) ( )( ) ( )∑
∞
=
+−−−
+=+
1
.
!
1..2.1.
11
k
kp x
k
kpppp
x
L
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Podemos escrever ( ) ( )2
1
11 xxxf +=+= . 
Neste caso, temos 
2
1
=p , 1
0
=C e 
2
1
1 == pC . 
Os coeficientes desta Série serão da forma: 
( )( ) ( )
!
1..2.1.
k
kpppp
Ck
+−−−
=
L
. 
Assim: 
!
1
2
1
..3
2
1
.2
2
1
.1
2
1
.
2
1
k
k
Ck





 +−




 −




 −




 −
=
L
. 
!
1
2
1
..
2
5
.
2
3
.
2
1
.
2
1
k
k
Ck





 +−




−




−




−
=
L
. 
 
Podemos, então, escrever: 
( ) ( ) ( ) ( )
!.2
32..5.3.1.1
!
32..5.3.1.
2
1
.1 1
1
k
k
C
k
k
C
k
k
k
k
k
k
−−
=⇒
−−
=
+
+
L
L
, para 1≥k . 
 
 
Finalmente, a Série procurada é: 
 
 
( ) ( )
∑
∞
=
+ −−
+=+
1
1
.2
32..5.3.1.1
11
k
k
k
k
k
x
L
 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 42 
 
 
Encontre a Série de Taylor para cada função f no centro a indicado e determine o seu 
intervalo de convergência: 
 
a) ( )
x
xf
1
= , em 2=a Resp: 
( ) ( )
∑
∞
=
+
−−
0
1
2
2.1
k
k
kk
x
 e ( )4,0=I 
 
b) ( ) xexf = , em 4=a Resp: 
( )
∑
∞
=
−
0
4
!
4.
k
k
k
xe
 e ( )∞∞−= ,I 
 
c) ( ) senhxxf = , em 0=a Resp: 
( )∑
∞
=
+
+0
12
!12k
k
k
x
 e ( )∞∞−= ,I 
 
d) ( ) xxf 2= , em 0=a Resp: ( )∑
∞
=0
.
!
2ln
k
k
k
x
k
 e ( )∞∞−= ,I 
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	Sumário
	Aula 01
	Aula 02
	Aula 03
	Exercicios aula 03
	Aula 04
	Exercicios aula 04
	Aula 05
	Exercicios aula 05
	Aula 06
	Exercicios aula 06
	Aula 07
	Aula 08
	Exercicios aula 08
	Aula 09
	Aula 10
	Aula 11
	Aula 12
	Exercicios aula 12
	Aula 13
	Exercicios aula 13
	Aula 14
	Exercicios aula 14
	Aula 15
	Aula 16
	Aula 17
	Exercicios aula 17
	Aula 18
	Exercicios aula 18
	Aula 19
	Aula 20
	Aula 21
	Aula 22
	Aula 23
	Exercicios aula 23
	Aula 24
	Aula 25 
	Exercicios aula 25
	Aula 26
	Aula 27
	Exercicios aula 27
	Aula 28
	Aula 29
	Exercicios aula 29
	Aula 30
	Exercicios aula 30
	Aula 31
	Exercicios aula 31
	Aula 32
	Exercicios aula 32
	Aula 33
	Exercicios aula 33
	Aula 34
	Exercicios aula 34
	Aula 35
	Exercicios aula 35
	Aula 36
	Exercicios aula 36
	Aula 37
	Exercicios aula 37
	Aula 38
	Exercicios aula 38
	Aula 39
	Exercicios aula 39
	Aula 40
	Exercicios aula 40
	Aula 41
	Exercicios aula 41
	Aula 42
	Exercicios aula 42