Cálculo I _ Sebastião Fernandes

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Cálculo I 
Autor: Professor Sebastião Fernandes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos reservados ao autor Sebastião Fernandes: 
Professor aposentado da Unifei (Universidade Federal de Itajubá), onde lecionou por 32 anos. 
 
 
Capa e sumário feito por um aluno admirador do professor, como pessoa e profissional. 
 
Sumário 
 
 
• Aulas de 1 a 6: LIMITES 
• Aulas de 7 a 19: DERIVADAS 
• Aulas de 20 a 33: INTEGRAIS 
• Aula 34: SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS 
• Aulas 35 a 41: SÉRIES 
• Aula 42: SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 01 - LIMITES 
 
 
1.1 – CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE : 
 
Nesta aula, iniciaremos o estudo de Limites. 
Para começarmos a entender o conceito de Limite de uma função num ponto, vamos agir de 
forma intuitiva. 
Para isto, vamos considerar, por exemplo, a função definida por ( )
2
4
2
−
−
=
x
x
xf , cujo Domínio é 
( ) { }2/ ≠ℜ∈= xxfD , isto é, a função é definida para todo valor Real de x , com exceção de 2=x . 
Vamos estudar o comportamento da função ( )xf nas proximidades (ou vizinhanças) do ponto 
2=x , isto é, vejamos o que acontece com a função quando atribuímos à variável x valores cada 
vez mais próximos de 2. 
Neste caso, dizemos que vamos fazer x tender a 2. 
Temos duas possibilidades: 
 
1a: x tende a 2 por valores inferiores a 2: 
 
Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos: 
 
x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 … 
( )xf 3 3,5 3,75 3,9 3,99 3,999 … 
 
2a: x tende a 2 por valores superiores a 2: 
 
Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos: 
 
x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 … 
( )xf 5 4,5 4,25 4,1 4,01 4,001 … 
 
 
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Analisando os resultados obtidos nas duas tabelas, podemos verificar que: 
 
a) ( ) 01,499,301,299,1 <<⇒<< xfx 
 ( ) 01,0401,0401,0201,02 +<<−⇒+<<− xfx 
 ( ) 01,0401,001,0201,0 <−<−⇒<−<− xfx ou 
 
b) ( ) 001,4999,3001,2999,1 <<⇒<< xfx 
 ( ) 001,04001,04001,02001,02 +<<−⇒+<<− xfx 
 ( ) 001,04001,0001,02001,0 <−<−⇒<−<− xfx ou 
 
Notamos que, quando x tende a 2, ( )xf tende a 4, isto é, quanto mais próximo do valor 2 
tomarmos o valor de x , mais próximo de 4 vamos obter o valor de ( )xf . 
 
Observamos também que podemos ter ( )xf tão próximo de 4 quanto quisermos. Para isto, 
basta tomar x cada vez mais próximo de 2. 
 
Generalizando, se quisermos que ( )xf esteja próximo do valor 4 de uma distância menor que 
0>ε , basta tomar valores de x próximos a 2 de uma distância 0>δ . 
 
Por exemplo,se queremos que ( )xf esteja próximo de 4 de uma distância 001,0<ε , devemos 
tomar x próximo a 2 de uma distância 001,0<δ . 
 
ATENÇÃO: Observe que ( )xf não é definida para 2=x . Porém, podemos tomar valores para 
x tão próximos de 2 quanto quisermos, obtendo valores para ( )xf tão próximos de 4 quanto 
também o quisermos. Mas jamais estamos fazendo 2=x (e nem podemos fazê-lo). 
 
Vamos verificar o que está acontecendo graficamente com esta função nas proximidades (ou 
vizinhanças) do ponto 2=x . 
 
 
( ) 01,0401,02 <−⇒<− xfx 
( ) 001,04001,02 <−⇒<− xfx 
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1.2 – DEFINIÇÃO DE LIMITE NO PONTO: 
 
Dizemos que o limite de uma função ( )xf quando x tende a a ( ℜ∈a ) é igual a L, e 
escrevemos ( ) Lxf
ax
=
→
lim se, para um número infinitesimal 0>ε , existir em correspondência um 
número infinitesimal 0>δ , sendo ( )εδδ = , tais que: 
 
 
 
Observe que “construímos” esta definição no item anterior, quando conceituamos a definição 
de Limites de uma forma intuitiva. 
 
Exemplo: 
Usando a definição, mostre que ( ) 1747lim
3
=−
−
x
x
. 
SOLUÇÃO: 
 
Devemos mostrar que, para qualquer número infinitesimal 0>ε existe um número infinitesimal 
0>δ , sendo δ função de ε , tais que ( ) ε<−17xf sempre que δ<− 3x . 
 
 
y 
x 
0 
ε+4 
4 
ε−4 
δ−2 2 δ+2 
( ) 2,2
2
4
2
≠+=
−
−
= xsex
x
x
xf 
( ) { }
( ) { }4Im
2
−ℜ=
−ℜ=
f
fD
 
( ) δε <−≠<− axeaxquesempreLxf 
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Assim: ε<−− 1747x ε<− 217x 
 ( ) ε<− 3.7 x ε<− 3.7 x 
 ε<− 3.7 x 
7
3
ε
<−x 
Portanto, existe 
7
ε
δ = que satisfaz a definição de limite no ponto. 
Então podemos dizer que ( ) 1747lim
3
=−
→
x
x
. 
 
1.3 – PROPRIEDADES DE LIMITES : 
 
Uma vez que conceituamos e definimos o Limite de uma função num ponto, vamos enunciar 
as suas propriedades. 
É importante observar que essas propriedades se aplicam para limites gerais, isto é, limites 
que não tenham indeterminação. 
O estudo de limites indeterminados será feito mais adiante. 
Sejam, então, as funções ( )xf e ( )xg , e os números reais k, a, L e M. 
Vamos, ainda, admitir que ( ) Lxf
ax
=
→
lim e lim
ax→
( ) Mxg = . 
P1: Teorema da Unicidade e Existência: 
 
O Limite de uma função, quando existe, é único. 
Podemos ilustrar esta propriedade graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 a 
L 
( )xfy = 
y 
x 
0 a 
1
L 
2
L 
( )xfy = 
( ) Lxf
ax
=
→
lim 
( ) existenãoxf
ax
lim
→
 
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Observa-se que o Limite no ponto 2=x da função mostrada no gráfico da direita não existe, 
pois o comportamento da função é diferente para valores menores e maiores que 2. 
Estes Limites serão tratados nas próximas aulas. 
 
P2: 
 
 
Exemplos: 
 
01) ( ) 3362722 limlimlim
3
3
3
3
3
=+=+=+
→→→
xxxx
xxx
 
02) ( ) 60401008484 limlimlim
5
2
5
2
5
=−=−=−
→→→
xxxx
xxx
 
 
P3: 
 
 
Exemplo: 
 
322.16.. limlimlim
4
2
4
2
4
===
→→→
xxxx
xxx
 
 
P4: 
 
 
Exemplos: 
 
01) 55lim
1
=
→x
 
02) 100100lim
50
=
−→x
 
 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxf
axaxax
±=±=±
→→→
limlimlim 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxf
axaxax
... limlimlim ==
→→→
 
kk
ax
=
→
lim 
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P5: 
 
 
 
Exemplo: 
( ) 7
4
33
2
2
2
2
2
2
2 lim
lim
lim =+
=
+
→
→
→ x
x
x
x
x
x
x
 
 
P6: 
 
 
Exemplo: 
( ) ( ) 125511 3
3
2
2
32
2
limlim ==



+=+
→→
xx
xx
 
 
P7: 
 
 
Exemplo: 
88
3
2
3
2
limlim =−==
−→−→
xx
xx
 
 
P8: Teorema do Confronto: 
 
Sejam f , g e h funções tais que os seus Domínios sejam subconjuntos de ℜe seja ax = 
um ponto pertencente a esses subconjuntos. 
Se ( ) Lxf
ax
=
→
lim , ( ) Lxg
ax
=
→
lim e se ( ) ( ) ( )xgxhxf ≤≤ nas vizinhanças do ponto ax = , então 
podemos afirmar que ( ) Lxh
ax
=
→
lim . 
 
( )
( )
( )
( )
0,
lim
lim
lim ≠==
→
→
→
Mpara
M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
 
( )[ ] ( ) n
n
ax
n
ax
Lxfxf =



=
→→
limlim 
( ) ( ) Lxfxf
axax
==
→→
limlim 
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A demonstração deste Teorema pode ser feita usando-se a definição de Limites. Entretanto, 
podemos visualizá-lo graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 a 
L 
f 
h 
g 
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CÁLCULO 1 – AULA 02 - LIMITES 
 
 
2.1 – CONTINUIDADE NUM PONTO : 
 
 
O conceito de Continuidade, aplicado a funções reais a variáveis reais, é de extrema 
importância para o Cálculo. 
Devemos estar atentos para os pontos de descontinuidade de uma função, principalmente 
quanto ao comportamento da função nas vizinhanças desses pontos. 
Por exemplo, serão nesses pontos de descontinuidade que o gráfico dafunção pode possuir 
Assíntotas, que serão estudadas mais adiante. 
Definimos a Continuidade de uma função da seguinte maneira: 
⇒ Dizemos que uma função f definida pela equação ( )xfy = é contínua num ponto ax = do 
seu Domínio se forem verificadas, simultaneamente, as três condições abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Se pelo menos uma das condições acima não for satisfeita, dizemos que a função é 
descontínua no ponto ax = . 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Estudar a continuidade da função ( ) 22 −= xxf no ponto 2=x . 
SOLUÇÃO: 
 
⇒ ( ) ( ) 22222 2 =⇒−= ff (existe) 
⇒ ( ) ( ) 22222 2
2
2
2
2
22
limlimlimlim =−=−=−=
→→→→ xxxx
xxxf (existe) 
(1) existe ( )af , isto é, a função possui valor numérico em ax = ; 
(2) existe e é finito o ( )xf
ax
lim
→
; 
(3) ( ) ( )afxf
ax
=
→
lim 
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⇒ como ( ) ( )222
2
lim fx
x
=−
→
, então a função é contínua no ponto 2=x . 
Podemos confirmar esta continuidade, pelo esboço do gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Verificar se a função definida por ( )




=
≠
−
+−
=
2,3
2,
2
44
2
xse
xse
x
xx
xf é contínua no ponto 2=x . 
 
SOLUÇÃO: 
 
Para 2≠x , podemos fazer 
( )
2
1
2
2
44
22
−=
−
−
=
−
+−
x
x
x
x
xx
 
⇒ ( ) 32 =f (existe) 
⇒ ( ) ( ) 0222limlim
22
=−=−=
→→
xxf
xx
 (existe) 
⇒ Como ( ) ( )2lim
2
fxf
x
≠
→
, entendemos que a função é descontínua no ponto 2=x . 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
2− 
0 2 
2 
( ) 22 −= xxf 
( )
( ) [ )∞−=
ℜ=
,2Im f
fD
 
y 
x 
0 2 
2− 
3 
( )xf ( )
( ) *Im ℜ=
ℜ=
f
fD
 
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03) Verificar a descontinuidade da função ( )



>
≤−
=
3,2
3,2
xse
xsex
xf no ponto 3=x . 
SOLUÇÃO: 
 
⇒ ( ) 1233 =−=f (existe) 
⇒ Para ( ) ( ) 12323 limlim
33
=−=−=⇒<
→→
xxfx
xx
 
⇒ Para ( ) 223 limlim
33
==⇒>
→→ xx
xfx 
Podemos perceber que o comportamento da função para valores de x próximos de 3, mas 
menores que 3, é diferente do seu comportamento para valores próximos de 3, mas maiores que 
3, isto é, o Limite da função à esquerda de 3 é diferente do Limite à direita. 
Então, de acordo com o Teorema da Unicidade, podemos afirmar que a função dada não 
possui limite no ponto 3=x . 
 
Portanto, a função é descontínua nesse ponto. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os conceitos aqui estudados sobre continuidade e descontinuidade serão muito explorados 
nas próximas aulas. 
 
 
y 
x 
0 
2− 
2 3 
1 
2 
( )xf 
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2.2 – LIMITES LATERAIS: 
 
Para que possamos conceituar Limites Laterais, vamos considerar o seguinte exemplo: 
Estudar a continuidade da função ( )



≥+−
<+
=
2,62
2,2
xsex
xsex
xf no ponto 2=x . 
 
SOLUÇÃO: 
 
Aplicando as condições de Continuidade num ponto, temos: 
a) ( ) ( ) 226222 =⇒+−= fxf (existe); 
b) ( ) ????lim
2
=
→
xf
x
 
 ⇒ Para ( ) ( ) ( ) 422 limlim
22
=+=⇒+=
→→
xxfxxf
xx
 
⇒ Para ( ) ( ) ( ) 26262 limlim
22
=+−=⇒+−=
→→
xxfxxf
xx
 
De acordo com o Teorema da Unicidade, o limite de uma função num ponto, quando existe, 
deve ser único. 
Então, no nosso exemplo, entendemos que não existe o ( )xf
x
lim
2→
. 
Portanto, a função é descontínua em 2=x . 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A descontinuidade apresentada neste exemplo nos permite enxergar o conceito de Limites 
Laterais. 
 
y 
x 
4 
2 
2− 
0 2 
3 
( ) 2+= xxf 
( ) 62 +−= xxf 
( )
( ) ( )4,Im ∞−=
ℜ=
f
fD
 
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Pode-se observar que, quando x tende a 2 por valores inferiores a 2, ( )xf tende a 4. 
Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Esquerda de 2=x é igual a 4, e representamos 
por: ( ) 4lim
2
=
−→
xf
x
. 
Da mesma forma, quando x tende a 2 por valores superiores a 2, ( )xf tende a 2. 
Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Direita de 2=x é igual a 2, e representamos 
por : ( ) 2lim
2
=
+→
xf
x
. 
Concluímos ainda que, para que uma função ( )xf tenha limite num ponto ax = , é necessário 
que ela tenha Limites Laterais neste ponto e que eles sejam iguais. 
Se ( ) ( )xfxf
axax
limlim
+− →→
≠ , então não existe ( )xf
x
lim
→
. 
 
OBSERVAÇÃO: 
Para se estudar os Limites Laterais de uma função ( )xf num ponto ax = , podemos 
considerar dois pontos, um à esquerda e outro à direita de ax = , situados a uma distância 0>h 
deste ponto. 
 
 
 
Pode-se estudar os Limites Laterais da função no ponto ax = , fazendo-se: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
01) Calcular os Limites Laterais da função ( )
3
9
2
−
−
=
x
x
xf no ponto 3=x e verificar se o limite 
da função existe neste ponto. 
SOLUÇÃO: 
 
a) Limite Lateral à Esquerda: 
 
ha − a ha + 
x 
( ) ( )
( ) ( )hafxf
hafxf
hax
hax
+=
−=
→→
→→
+
−
limlim
limlim
0
0
 
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( ) ( ) ( ) 666969
33
93
3
9
limlimlimlimlim
00
2
0
2
0
2
3
=−=
−
−−
=
−
−+−
=
−−
−−
=
−
−
→→→→→ −
h
h
hh
h
hh
h
h
x
x
hhhhx
 
 
b) Limite Lateral à Direita: 
 
( ) ( ) ( ) 666969
33
93
3
9
limlimlimlimlim
00
2
0
2
0
2
3
=+=
+
=
−++
=
−+
−+
=
−
−
→→→→→ +
h
h
hh
h
hh
h
h
x
x
hhhhx
 
Como os Limites Laterais existem e são iguais, podemos afirmar que 6
3
9
2
3
lim =−
−
→ x
x
x
. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Repetir o exercício anterior para a função ( )
x
x
xf
−
−
=
2
2
 no ponto 2=x . 
SOLUÇÃO: 
 
a) Limite Lateral à Esquerda: 
( )
( )
1
22
22
22
22
2
2
limlimlimlimlim
00002
===
+−
+−
=
−−
−−
=
−
−
→→→→→ − h
h
h
h
h
h
h
h
x
x
hhhhx
 
 
b) Limite Lateral à Direita: 
( )
( )
1
22
22
22
22
2
2
limlimlimlimlim
00002
−=
−
=
−
−
=
−−
−−
=
+−
+−
=
−
−
→→→→→ + h
h
h
h
h
h
h
h
x
x
hhhhx
 
 
Como 
x
x
x
x
xx −
−
≠
−
−
+− →→ 2
2
2
2
limlim
22
 , então não existe o 
x
x
x −
−
→ 2
2
lim
2
. 
 
y 
x 
6 
3 
3− 
0 3 
( )
3
9
2
−
−
=
x
x
xf 
( ) { }
( ) { }6Im
3
−ℜ=
−ℜ=
f
fD
 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
1 
1− 
0 
( )
x
x
xf
−
−
=
2
2
 
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CÁLCULO 1 – AULA 03 - LIMITES 
 
 
3.1 – LIMITES ENVOLVENDO INFINITO: 
 
Vamos procurar entender o conceito de Limites Envolvendo Infinito de uma forma intuitiva, 
como fizemos com o Limite de uma função num ponto. 
Por exemplo, vamos estudar o comportamento da função ( )
2
1
x
xf = nas proximidades (ou 
vizinhanças) do ponto 0=x , isto é, vamos atribuir valores para x cada vez mais próximos de zero 
e verificar o que acontece com a função. 
 
Temos duas possibilidades: 
 
1a - x tende a zero pela direita: 
 
x 1 0,5 0,25 0,1 0,01 0,01 ••• 
f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 ••• 
 
2a - x tende a zero pela esquerda: 
 
x -1 - 0,5 - 0,25 - 0,1 - 0,01 - 0,001 ••• 
f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 ••• 
 
Os resultados obtidos nas tabelas acima indicam que, à medida em que a variável x tende a 
zero, a função assume valores cada vez maiores. 
Como podemos tomar a variável x tão próxima de zero quanto quisermos, a função tende a 
crescer indefinidamente. 
Neste caso, expressamos este comportamento da função dizendo que o limite de ( )
2
1
x
xf = , 
quando x tende a zero, é infinito , e escrevemos: 
 
 
( ) ∞==
→→
2
00
1
limlim
x
xf
xx
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos tomar agora a funçãodefinida por ( )
2
2
−
=
x
xf , cujo gráfico é apresentado na figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando atentamente o gráfico acima, podemos verificar que: 
• quando x tende a 2 pela direita, ( )xf aumenta indefinidamente; 
• quando x tende a 2 pela esquerda, ( )xf diminui indefinidamente. 
 
Expressamos estes fatos escrevendo: 
∞=
−+→ 2
2
lim
2 xx
 e −∞=
−−→ 2
2
lim
2 xx
 
 
x 
y 
0 
( )
2
1
x
xf = 
x 
y 
0 
1− 
2 
( )
2
2
−
=
x
xf 
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Em geral, podemos dizer que existem quatro possibilidades para limites laterais num ponto 
( )ℜ∈= aax que envolvem o infinito. 
 
Para nossa melhor compreensão, vamos visualiza-las graficamente: 
 
1a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a) 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
0 a 
( )xf 
( ) ∞=
+→
xf
ax
lim 
y 
x 
0 a 
( )xf 
( ) ∞=
−
→
xf
ax
lim 
y 
x 
0 a 
( )xf 
( ) −∞=
+
→
xf
ax
lim 
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4a) 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 – LIMITES NO INFINITO: 
 
Tal como foi feito no item anterior, vamos conceituar Limites no Infinito a partir de um exemplo, 
isto é, vamos atingir este conceito de uma forma intuitiva. 
Para isto, vamos tomar a função definida por ( )
x
xf
1
= e estudar o seu comportamento quando 
a variável x cresce ou decresce indefinidamente. 
 
1o Caso: x cresce indefinidamente: 
 
x 1 5 10 100 1.000 10.000 ••• 
f(x) 1 0,2 0,1 0,01 0,001 0,0001 ••• 
 
2o Caso: x decresce indefinidamente: 
 
x - 1 - 5 - 10 - 100 - 1.000 - 10.000 ••• 
f(x) - 1 - 0,2 - 0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 ••• 
 
Em ambos os casos, observamos que ( )xf tende a zero. 
Então escrevemos: 
 
 e 
 
y 
x 
0 a 
( )xf 
( ) −∞=
−
→
xf
ax
lim 
( ) 0
1
limlim ==
∞→∞→ x
xf
xx
 ( ) 0
1
limlim ==
−∞→−∞→ x
xf
xx
 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos tomar, agora, como exemplo, a função definida por ( ) xxf
1
2= cujo Domínio é 
( ) ∗ℜ=fD e estudar o seu comportamento nas vizinhanças do ponto 0=x (usando Limites 
Laterais) e no infinito. 
 
a) Limite Lateral à Direita de zero: 
 
Se ∞→→∞→⇒→ ∞+ 22
1
0
1
xe
x
x , portanto ∞=
+
→
x
x
1
0
2lim 
 
b) Limite Lateral à Esquerda de zero: 
 
Se 0
1
2
1
22
1
0
1
→
∞
→→→−∞→⇒→
∞
∞−− xe
x
x , portanto 02
1
0
lim =
−
→
x
x
 
 
c) Limite no Infinito: 
 
Se 1220
1 0
1
→→→⇒∞→ xe
x
x 
Se 1220
1 0
1
→→→⇒−∞→ xe
x
x 
 
y 
x 
0 
( )
x
xf
1
= 
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Portanto: 12
1
lim =
∞→
x
x
 e 12
1
lim =
−∞→
x
x
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
1 
0 
x 
( ) xxf
1
2= 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 03 
 
01. Dada a função 
2x
4x
)x(f
2
−
−
= , estudar os seus limites laterais no ponto x = 2 e esboçar o seu 
gráfico. Resp: ( ) ( ) 4lim4lim
22
−==
−+ →→
xfexf
xx
 
02. Verifique se existe 
x
x 10
4
3
2
1
lim





+
→
 e faça um esboço do gráfico da função. 
 Resp: O limite não existe 
03. Achar os limites laterais da função 2
1
2)( −= xxf no ponto x = 2 e esboçar o seu gráfico. 
 Resp: ( ) ( ) 0limlim
22
=∞=
−+ →→
xfexf
xx
 
04. Sendo 
2
23
)(
2
−
+−
=
x
xx
xf , pede-se: 
a) achar os limites laterais de f(x) no ponto x = 2; Resp: ( ) ( ) 1lim1lim
22
−==
−+ →→
xfexf
xx
 
b) esboçar o gráfico de f(x). 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 04 - LIMITES 
 
 
ASSÍNTOTAS: 
 
4.1 – Definição: 
 
Dizemos que uma reta r é Assíntota da curva de uma função ( )xf se a distância de um ponto 
variável ( )yxP , da curva até essa reta tende a zero, à medida em que o ponto tende ao infinito. 
A Assíntota pode ser uma reta vertical, horizontal ou oblíqua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que, quando a curva da função possui uma Assíntota, a curva tende a 
essa reta. 
A determinação das Assíntotas de uma curva (quando existem), é feita com a aplicação de 
limites. 
Vejamos como isto é feito. 
 
4.2 – Assíntota Vertical: 
 
Dizemos que a reta ax = é Assíntota Vertical da função ( )xf se pelo menos uma das 
condições abaixo for verificada: 
 
1a) 
 
y 
x 
( )xf 
0 
r 
( )yxP , 
( ) ∞=
+→
xf
ax
lim 
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2a) 
 
 
3a) 
 
 
 
4a) 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
O ponto ax = deve ser um ponto de descontinuidade da função. 
 
EXEMPLO: 
 
Seja a função definida por ( ) tgxxf = para 
22
ππ
<<− x 
 
Temos: ∞=
−
→
tgx
x
lim
2
π
 e −∞=
+
−→
tgx
x
lim
2
π
 
Portanto, as retas 
2
π
−=x e 
2
π
=x são Assíntotas Verticais da função ( ) tgxxf = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ∞=
−→
xf
ax
lim 
( ) −∞=
+→
xf
ax
lim 
( ) −∞=
−→
xf
ax
lim 
y 
x 
0 
2
π
− 
2
π
 
( ) tgxxf = 
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4.3 – Assíntota Horizontal: 
 
Dizemos que a reta by = , com ℜ∈b , é uma Assíntota Horizontal da função ( )xf se pelo 
menos uma das condições abaixo for satisfeita: 
 
1a) 
 
 
2a) 
 
 
EXEMPLO: 
 
Seja a função definida por ( ) arctgxxf = . 
Temos: 
2
lim
π
=
∞→
arctgx
x
 e 
2
lim
π
−=
−∞→
arctgx
x
. 
Portanto, as retas 
2
π
−=y e 
2
π
=y são Assíntotas Horizontais da função ( ) arctgxxf = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 – Assíntota Oblíqua: 
 
Caso uma função ( )xf tenha uma Assíntota Oblíqua, essa Assíntota será uma reta cuja 
equação tem a forma reduzida baxy += , com ∗ℜ∈a e ℜ∈b , onde: 
( ) bxf
x
=
∞→
lim 
( ) bxf
x
=
−∞→
lim 
y 
x 
0 
2
π
 
2
π
− 
( ) arctgxxf = 
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OBSERVAÇÃO: 
 
Caso 
( )
x
xf
x
lim
∞→
 seja nulo ou infinito, então não existem Assíntotas Oblíquas. 
 
EXEMPLO: 
 
Determinar a equação da Assíntota Oblíqua da curva da função definida por ( )
x
xx
xf
12
2 −+
= . 
 
( )
1
12
1
12
22
2
limlimlim =




 −+=
−+
==
∞→∞→∞→ xxx
xx
x
xf
a
xxx
 
 
( )[ ] 2121212 limlimlimlim
222
=




 −=
−−+
=





−
−+
=−=
∞→∞→∞→∞→ xx
xxx
x
x
xx
axxfb
xxxx
 
 
Portanto, a reta 2+= xy é uma Assíntota Oblíqua do gráfico da função dada. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
x
xf
a
x
lim
∞→
= 
( )[ ]axxfb
x
−=
∞→
lim 
y 
x 
0 2− 
2 
21−− 
21+− 
2+= xy 
( )
x
xx
xf
12
2 −+
= 
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OBSERVAÇÃO: 
 
Pode-se comprovar também que a reta 0=x (eixo y ) é uma Assíntota Vertical do gráfico 
desta função, isto é, ∞=
−+
−→ x
xx
x
12
2
0
lim e −∞=
−+
+→ x
xx
x
12
2
0
lim (VERIFIQUE). 
 
APLICAÇÃO IMPORTANTE DE ASSÍNTOTAS: 
 
O exemplo resolvido a seguir ilustra uma particularidade de certas funções que possuem 
Assíntotas. 
Consideremos, então, o problema de se determinar todas as Assíntotas do gráfico da função 
definida por ( )
4
2
2
2
−
++
=
x
xx
xf , cujo Domínio é ( ) { }2,2−−ℜ=fD , isto é, esta função é descontínua 
nos pontos 2−=x e 2=x . 
 
a) Assíntotas Verticais: 
Temos: ∞=
−
++
−−→ 4
2
2
2
2
lim
x
xx
x
 ; −∞=
−
++
+−→ 4
2
2
2
2
lim
x
xx
x
 
 −∞=
−
++
−→ 4
2
2
2
2
lim
x
xxx
 ; ∞=
−
++
+→ 4
2
2
2
2
lim
x
xx
x
 
 
Portanto, as retas 2−=x e 2=x são Assíntotas Verticais desta função. 
 
b) Assíntota Horizontal: 
Temos 1
4
2
2
2
lim =−
++
∞→ x
xx
x
 e 1
4
2
2
2
lim =−
++
−∞→ x
xx
x
 
 
Portanto, 1=y é Assíntota Horizontal desta função. 
 
c) Assíntota Oblíqua: 
A função dada não possui Assíntota Oblíqua, pois 
( )
0lim ==
∞→ x
xf
a
x
. 
De acordo com os resultados obtidos acima, o gráfico desta função,aparentemente, é: 
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Entretanto, existe algo errado com o esboço deste gráfico. 
O gráfico desenhado acima mostra que as curvas têm simetria com relação ao eixo y . 
Esta é uma característica das funções pares e a função estudada não é par. 
 
Portanto, o gráfico acima está errado. O gráfico correto é mostrado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 
1 
2− 2 21− 
y 
x 
0 
1 
2− 2 21− 6− 
( )
4
2
2
2
−
++
=
x
xx
xf 
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O que ocorreu com esta função é um caso particular em que a curva intercepta a Assíntota. 
Isto pode ocorrer também com relação à Assíntota Oblíqua. Isto é, se a curva possui uma 
Assíntota Oblíqua, ela pode interceptar essa Assíntota. 
Para verificar se o gráfico de uma determinada função intercepta as Assíntotas Horizontal ou 
Oblíqua (quando existirem), basta igualar a equação da curva com a equação da Assíntota. 
Se a equação resultante possuir solução Real, é porque existe essa interseção e ela ocorre 
exatamente sobre a(s) raiz(es). 
No exemplo anterior isto ocorreu no ponto 6−=x pois, para 1=y , temos: 
642421
4
2 22
2
2
−=⇒−=+⇒−=++⇒=
−
++
xxxxx
x
xx
 
 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 04 
 
 
01. Determine todas as Assíntotas das funções definidas abaixo e, se possível, faça o gráfico. 
 
5
62
)()
−
−
=
x
x
xfa Resp: 25 == yex 
( )
xx
x
xfb
−
+
=
2
2 1
) Resp: 11,0 === yexx 
62
2
)()
2
−
−+
=
x
xx
xfc Resp: 2
2
3 +==
x
yex 
( )
3
84
)
−
−
=
x
x
xfd Resp: 34 == xey 
x
x
xfe
1
)()
2 −
= Resp: xyex == 0 
( )
1
32
)
2
23
+
+
=
x
xx
xff Resp: 32 += xy 
 
02. Sabe-se que o gráfico da função ( ) 3 326 xxxf −= possui uma assíntota oblíqua. Determine a 
equação dessa assíntota e prove que a curva de ( )xf intercepta a mesma. 
 Resp: 2+−= xy 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 05 - LIMITES 
 
 
5.1 – SÍMBOLOS DE INDETERMINAÇÃO: 
 
Na resolução de Limites, são freqüentes os casos em que aparecem operações que não têm 
significado algébrico, isto é, operações que não podem ser realizadas algebricamente. 
Essas operações recebem o nome de Símbolos de Indeterminação. 
São elas: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) 
0
0
3
92
3
lim =−
−
→ x
x
x
 (indeterminado) 
2) ∞=
→
.0
1
.sen
2
0
lim
x
x
x
 (indeterminado) 
3) 
∞
∞
=
+∞→ 1
5
3
2
lim
x
x
x
 (indeterminado) 
4) ( ) ∞−∞=−
∞→
322lim xx
x
 (indeterminado) 
5) 0log
1
0
0lim =
+→
x
x
x (indeterminado) 
6) 0log
1
lim ∞=
∞→
x
x
x (indeterminado) 
7) ∞
→
= 1log
1
1
lim
x
x
x (indeterminado) 
 
Para se resolver um Limite que tenha uma destas indeterminações, é necessário eliminar a 
indeterminação. 
Isto pode ser feito, dependendo do Limite, com o uso da Fatoração, da aplicação de 
Conjugados ou aplicando-se Limites Fundamentais. 
 
∞∞−∞∞∞
∞
∞
1;;.0;0;;
0
0 00
e 
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EXEMPLOS: 
 
1) 
0
0
1
133
lim
1
=
−
+−+
→ x
xx
x
 (indeterminado) 
Multiplicando e dividindo por ( )133 +++ xx , que é o conjugado do numerador, temos: 
( )( )1331
133
133
133
.
1
133
1
133
limlimlim
111 +++−
−−+
=
+++
+++
−
+−+
=
−
+−+
→→→ xxx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xxx
 
( )
( )( ) ( ) 2
1
133
2
1331
12
1
133
limlimlim
111
−=
+++
−
=
+++−
−−
=
−
+−+
→→→ xxxxx
x
x
xx
xxx
 
 
2) ( ) ∞−∞=+−−
∞→
11lim xx
x
 (indeterminado) 
 
Multiplicando e dividindo pelo conjugado ( )11 ++− xx , obtemos: 
( ) ( )( ) ( ) ( ) 011
2
11
11
11
11
.11 limlimlim =++−
−
=
++−
−−−
=
++−
++−
+−−
∞→∞→∞→ xxxx
xx
xx
xx
xx
xxx
 
 
3) 
( )
0
01
33
2
lim =−
++−
→ ax
axax
ax
 ( )0≠a (indeterminado) 
 
Fatorando o numerador e o denominador, encontramos: 
( ) ( )( )
( )( ) 2222233
2
3
1111
limlimlim
a
a
aaxx
x
aaxxax
xax
ax
axax
axaxax
−
=
++
−
=
++−
−−
=
−
++−
→→→
 
 
 
5.2 – LIMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO: 
 
O limite da razão 
x
xsen
, quando x tende a zero, é igual à unidade, isto é: 
 
 
 
 
 
 
1
sen
lim
0
=
→ x
x
x
 
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DEMONSTRAÇÃO: 
 
 
Temos dois casos a considerar: 
 
1o Caso: x pertence ao 1o Quadrante 




 <<
2
0
π
x . 
 
 
Vamos considerar a circunferência trigonométrica, cuja equação é 122 =+ yx . 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da figura , observamos que: 
 
tgxxxBDBCAC <<⇒<< sen 
 
Tomando os inversos: 
 
x
x
xxtgxxx sen
cos1
sen
111
sen
1
>>⇒<< 
 
Multiplicando por xsen ( 0sen >x no 1o Quadrante): 
 
x
x
x
cos
sen
1 >> ou 1
sen
cos <<
x
x
x (A) 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
O A B 
C 
D 
122 =+ yx 
tgxBD
xBC
xAC
=
=
= sen
 
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2o Caso: x pertence ao 4o Quadrante 




 <<− 0
2
x
π
. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da figura, podemos notar que: 
 
xxtgxACBCBD sen<<⇒<< 
 
Tomando os inversos: 
 
xxx
x
xxtgx sen
11
sen
cos
sen
111
>>⇒>> 
 
Multiplicando por xsen ( 0sen <x no 4o Quadrante): 
1
sen
cos <<
x
x
x (B) 
 
Percebemos que, tanto no primeiro quanto no segundo caso, as desigualdades são as 
mesmas, isto é A = B. 
 
Tomando, agora, o limite para x tendendo a zero, teremos: 
 
1coslim
0
=
→
x
x
 e 11lim
0
=
→x
 
Portanto, pelo Teorema do Confronto, podemos afirmar que 1
sen
lim
0
=
→ x
x
x
. 
 
EXEMPLOS: 
 
1) 
0
0
sen
lim
0
=
→ x
x
x
 (indeterminado) 
y 
x 
O A B 
C 
D 
122 =+ yx 
tgxBD
xBC
xAC
=
=
= sen
 
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Podemos escrever: 
1
1
1
sen
1
sen
1
sen
lim
limlim
0
00
====
→
→→
x
x
x
xx
x
x
xx
 
 
2) 
0
0arcsen
lim
0
=
→ x
x
x
 (indeterminado) 
 
Chamando: txxt senarcsen =⇒= 
Se 00 →⇒→ tx 
Então: 
1
sen
arcsen
limlim
00
==
→→ t
t
x
x
tx
 
 
Observação: 
 
Os limites resolvidos acima também podem ser considerados como fundamentais. 
 
3) 
0
0
2
cos
lim
2
=
−→ x
x
x
π
 (indeterminado) 
 
Se 
2
2
ππ
→⇒→
x
z 
Da Trigonometria, sabemos que 




 −= xx
2
sencos
π
. 
Portanto, podemos escrever: 
2
2
2
sen
2
1
2
1
sen
2
2
sen
2
cos
limlimlimlim
2222 −





 −
=
−





 −
=
−





 −
=
− →→→→ x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
ππ
πππ
 
Multiplicando o numerador e o denominador por 
x2
π
, teremos: 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
( ) 




 −





 −
=
−





 −
=
− →→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
2
2
.
2
2
.sen
.
2
2.
2
2
2
sen.
2
2
cos
limlimlimlim
2222 π
π
π
π
π
ππ
 
Fazendo t
x
x
=




 −
2
2
.π , podemos observar que, se 2→x , então 0→t . 
Assim, podemosescrever: 
4
1.
4
sen
.
22
cos
limlimlim
022
πππ
π
===
− →→→ t
t
xx
x
txx
 
4) 
0
0
2
3
lim
0
=





→ x
tg
x
x
 (indeterminado) 












=












=












=






→
→
→→→
2
sen
2
cos.3
2
sen
2
cos.3
3
cos
2
sen
3
2
3
lim
lim
limlimlim
0
0
000 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
xxx
 
Dividindo o numerador e o denominador por x3 , temos: 
6
1.
6
1
1
2
2
sen
..
6
1
2
cos
6
3
2
sen.
6
1
2
cos
3
2
sen
2
cos
2
3
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
0
0
0
0
0
0
0
==












=












=












=






→
→
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
FÍSICA – LICENCIATURA - EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá - MG 
 
CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 05 
 
 
01) Mostre que: 
 
3
4
2
321lim
4
)
16
1
9
1213lim
3
)
2
=
−
−+
→−=−
+−+
→ x
x
x
b
x
xx
x
a 
10
529
4lim
4
)1
11
434lim
0
) =
−+
+
−→−=−+
+−+
→ x
x
x
d
x
xx
x
c 
( ) ( )
2
3
173 
lim
)132
lim
) 222 −=+−+−→=−++→ ∞∞ xxxxfxxxxe 
( )
2
lim
) 22
ca
dcxxbaxxxg
−
=++−++→∞ 
4
5
4
6
lim)
2
2
2
=
−
−+
→ x
xx
h
x
 
5
12
2
529
lim)
38
=
−
−+
→ x
x
i
x
 
 
02) Determine valores positivos para a e b de modo que 
8
1
1
lim
2
2
4
=
−
−
→
x
b
ax
bx
. Resp: 
2
1
16
1
== bea 
 
03) Mostre que: 
a) 0
xsenx
xsen-x
 
lim
0
=
+→x
 b) 
2
1
/2)-(x
xsen-1
 
lim
2/ 2
=→ ππx
 
c) 0
1
sen
1
lim
0
=





−
→ tgxxx
 d) 
21
sen
lim
21
ππ
=
−→ x
x
x
 
 
04) Sendo 
2
x0com...xcosxcosxcosS 32
π
<<+++= , determinar o Sxlim
0x
.2→ . Resp: 2 
 
05) Resolver o limite 
3
0
sen11
lim
x
xtgx
x
+−+
→
 Resp: 
4
1
 
 
06) Calcule 
x
x
x 5sen
105arcsen
lim
0→
 Resp: 21 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 06 - LIMITES 
 
 
6.1 – LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL: 
 
O limite da seqüência 
x
x





 +
1
1 , quando ∞→x , é igual ao número irracional e, chamado de 
Número Neperiano e aproximadamente igual a 2,718. 
 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
Queremos provar que e
x
x
x
=




 +
∞→
1
1lim . 
Para isto, vamos inicialmente desenvolver a expressão ( )nba + aplicando o conceito de 
Binômio de Newton. 
( ) 011133322211100 ... ababababababba nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CCCCCC +++++=+
−−−−− 
Temos: 
( ) !0
1
!!0
!
!0!0
!0
==
−
=
n
n
n
n
C n 
( )
( )
( ) !1!1!1
!1
!1!1
!1 n
n
nn
n
n
C n =−
−
=
−
= 
( )
( )( )
( )
( )
!2!2
1
!2!2
!21
!2!2
! 22 nnnn
n
nnn
n
n
Cn
−
=
−
=
−
−−
=
−
= 
( )
( )( )( )
( )
( )( )
!3
23
!3
21
!3!3
!321
!3!3
! 233 nnnnnn
n
nnnn
n
n
C n
+−
=
−−
=
−
−−−
=
−
= 
 
•
•
•
 
Fazendo 1=a , 
x
b
1
= e xn = , teremos: 
•••+




+−+




−+




+




=




 + −−− 3
323
2
22
1
10
1.
1
.
!3
23
1.
1
.
!2
1.
1
.
!1
1.
1
.
!0
11
1 xxxx
x
x
xxx
x
xx
x
x
xx
 
•••+




 +−+




 −++=




 +
2
23
1
!3
11
1
!2
1
!1
1
!0
11
1
xxxx
x
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Tomando o limite para ∞→x , resulta: 
•••++++++=




 +
∞→ !5
1
!4
1
!3
1
!2
1
!1
1
!0
11
1lim
x
x x
 
Pode-se observar que o resultado do limite é uma soma de infinitos termos, que decrescem 
cada vez mais rapidamente. 
Esta soma particular recebe o nome de Número Neperiano e é indicada pela letra e. 
Assim: 
 
 
 
APLICAÇÕES: 
 
1) Prove que ( ) ex x
x
=+
→
1
0
1lim 
 
Fazendo 
x
t
t
x
11
=⇒= 
Se ∞→⇒→ tx 0 
Então: ( ) e
t
x
t
t
x
x
=




 +=+
∞→→
1
11 limlim
1
0
 
 
2) Prove que ( )ℜ∈=




 +
∞→
ke
x
k k
x
x
1lim 
Fazendo 
t
k
xt
x
k
=⇒= 
Se 0→⇒∞→ tx 
Então: ( ) ( ) k
k
t
t
t
k
t
x
x
ett
x
k
=



+=+=




 +
→→∞→
1
00
111 limlimlim 
 
3) Prove que ( )ℜ∈=




 +
+
∞→
ke
x
kx
x
1
1lim 
 
e
x
x
x
=




 +
∞→
1
1lim 
PROIBIDO VENDER
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eee
xxx
k
k
x
x
x
kx
x
===




 +




 +=




 +
∞→∞→
+
∞→
1.1.
1
1.
1
1
1
1 limlimlim 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Os limites resolvidos acima podem ser considerados também como fundamentais. 
 
4) Calcular ( )101lim
0
≠>
−
→
aea
x
a
x
x
 
Podemos verificar que o limite acima possui indeterminação da forma 
0
0
. 
Vamos, então, fazer a substituição: tata xx +=⇒=− 11 
Tomando logaritmos na base a em ambos os termos dessa igualdade, teremos: 
( ) ( )
logloglog
11 t
a
t
a
a
a
x
x ++
=⇒= 
Se 00 →⇒→ tx 
Tomando os limites: 
( )
log
limlim 1
00
1
t
a
t
x
x
t
x
a
+
→→
=
−
 
Dividindo o numerador e o denominador por t, resulta: 
( ) ( ) ( ) logloglimloglim
lim
log
limlim
11
.
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
00
e
a
t
a
t
t
a
t
t
t
a
t
x
x t
t
t
t
t
x
a
====
−
+
→
+
→
→
+
→→
 
Mas: log
log
log
log
1 a
ee
a
a
a
e
a
== (Propriedade de Mudança de Bases) 
O logaritmo de base e é chamado de Logaritmo Natural ou Logaritmo Neperiano e é indicado 
pela notação: a
a
e
lnlog = . 
Portanto: 
 
 
a
x
a x
x
ln
1
lim
0
=
−
→
 
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OBSERVAÇÃO: 
 
O limite acima deve ser considerado como fundamental a partir dessa demonstração. 
 
5) Calcule 
x
x x
x






+
−
∞→ 1
1
lim 
Podemos observar que este limite possui a indeterminação da forma 
∞
∞
. 
Como ele é um limite que envolve Função Exponencial, vamos tentar escreve-lo na forma do 
Limite Exponencial Fundamental. 
Podemos fazer: 
x
x
x
x
x
x
x
x xxx
x
x
x
x
x






+
−=





+
−
+
+
=





+
−+−
=





+
−
∞→∞→∞→∞→ 1
2
1
1
2
1
1
1
111
1
1
limlimlimlim 
Tomando: 1
2
1
2
−−=⇒=
+
−
t
xt
x
 
Se 0→⇒∞→ tx 
Com estas substituições, teremos: 
( ) ( ) ( ) 221
0
2
1
0
1
2
0
1.1.11
1
1
limlimlimlim
−−−
→
−
→
−−
→∞→
==+



+=+=





+
−
eettt
x
x
t
t
t
t
t
x
x
 
 
 
6.2 – LIMITE FUNDAMENTAL POLINOMIAL: 
 
 
Vamos considerar a função polinomial: 
( ) mmmm AxAxAxAxP ++++= −− ...22110 
onde ℜ∈mAAAA ,...,,, 210 e Ν∈m . 
Podemos considerar dois casos: 
 
1o Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax 
 
Neste caso: 
 
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( ) )...( 22110limlim m
mmm
axax
AxAxAxAxP ++++= −−
→→
 
( ) ( )aPAaAaAaAxP mmmm
ax
=++++= −−
→
...22
1
10lim 
Assim: 
 
 
Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ( )ℜ∈→ aax , é igual 
ao valor numérico desse polinômio para ax = . 
 
EXEMPLO: 
 
( ) 1028422.4224 22
2
lim =−+=−+=−+
→
xx
x
 
 
2o Caso: A variável ±∞→x 
 
Neste caso: 
( ) )...( 22110limlim m
mmm
xx
AxAxAxAxP ++++= −−
±∞→±∞→
 
A probabilidade desse limite possuir uma indeterminação da forma ∞−∞ é muito grande. 
Vamos, então, usar o artifício de colocar em evidência o termo de maior grau do polinômio. 
( ) 





++++=
±∞→±∞→
m
mm
xx xA
A
xA
A
xA
A
xAxP
0
2
0
2
0
1
0 ...1limlim 
Porém, quando ±∞→x , podemos verificar que: 
0;...;0;0
0
2
0
2
0
1 →→→
m
m
xA
A
xA
A
xA
A
 
Portanto, podemos concluir que: 
 
 
Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ±∞→x , é igual ao 
limite quando ±∞→x do seu termo de maior grau. 
 
( ) ( )aPxP
ax
=
→
lim 
( ) m
xx
xAxP0limlim
±∞→±∞→
= 
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EXEMPLOS: 
 
1) ( ) ∞==−+−
∞→∞→
323 2432 limlim xxxx
xx
 
2) ( ) ( ) −∞=−=−−
∞→∞→
442 3324 limlim xxx
xx
 
3) ( ) −∞==+−
−∞→−∞→
545 2532 limlim xxxx
xx
 
4) ( ) ( ) ∞=−=−−
−∞→−∞→
55 3324 limlim xxx
xx
 
 
 
6.3 – LIMITE FUNDAMENTAL RACIONAL: 
 
 
Vamos considerar a função racional: 
( )
( )
n
nnn
m
mmm
BxBxBxB
AxAxAxA
xQ
xP
...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
+++
++++
=
−−
−−
 
onde: Ν∈Ν∈ℜ∈ℜ∈ nemBBBBAAAA nm ;,...,,,;,...,,, 210210 
Podemos considerar dois casos: 
 
1o Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax 
 
( )
( )
n
nnn
m
mmm
axax BxBxBxB
AxAxAxA
xQ
xP
...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
limlim +++
++++
=
−−
−−
→→
 
Neste caso: 
( )
( )
( )
( )aQ
aP
BaBaBaB
AaAaAaA
xQ
xP
n
nnn
m
mmm
ax
=
+++
++++
=
−−
−−
→ ...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
lim 
 
Ou seja: 
 
 
 
( )
( )
( )
( )aQ
aP
xQ
xP
ax
=
→
lim 
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Podemos fazer três observações a respeito deste resultado: 
1a) Se ( ) 0=aP e ( ) 0≠aQ , então ( )
( )
0lim =
→ xQ
xP
ax
; 
2a) Se ( ) 0=aP e ( ) 0=aQ , então ( )
( ) 0
0
lim =
→ xQ
xP
ax
 (indeterminado) 
Neste caso, o limite é resolvido com o uso da fatoração, pois tanto ( )xP quanto ( )xQ são 
divisíveis por ( )ax − . 
3a) Se ( ) 0≠aP e ( ) 0=aQ , teremos ( )
( )
( )
0lim
aP
xQ
xP
ax
=
→
. 
Neste caso, devemos aplicar Limites Laterais para verificar a existência ou não do limite. 
 
2o Caso: A variável ±∞→x 
 
( )
( )
n
nnn
m
mmm
xx BxBxBxB
AxAxAxA
xQ
xP
...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
limlim +++
++++
=
−−
−−
±∞→±∞→
 
 
Neste caso, é muito grande a possibilidade de se obter indeterminações das formas 
∞−∞
∞
∞
ou . 
Repetindo o procedimento adotado para limites de funções polinomiais, vamos colocar em 
evidência os termos de maior grau do numerador e do denominador. 
Assim: 
( )
( )






++++






++++
=
±∞→±∞→
n
nn
m
mm
xx
xB
B
xB
B
xB
B
xB
xA
A
xA
A
xA
A
xA
xQ
xP
0
2
0
2
0
1
0
0
2
0
2
0
1
0
...1
...1
limlim 
Para ±∞→x , teremos: 
0;...;0;0;0;...;0;0
0
2
0
2
0
1
0
2
0
2
0
1 →→→→→→
n
n
m
m
xB
B
xB
B
xB
B
xA
A
xA
A
xA
A
 
Portanto: 
 
 
( )
( ) n
m
xx xB
xA
xQ
xP
0
0
limlim
±∞→±∞→
= 
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Isto é, o limite de uma função racional no infinito é igual ao limite no infinito do quociente dos 
termos de maior grau do numerador e do denominador dessa função. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Podemos tirar três conclusões a respeito deste resultado: 
1a) Se nm = , então 
( )
( ) 0
0
lim B
A
xQ
xP
x
=
±∞→
; 
2a) Se nm > , então 
( )
( )
±∞=
±∞→ xQ
xP
x
lim ; 
3a) Se nm < , então 
( )
( )
0lim =
±∞→ xQ
xP
x
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) 
9
7
144
568
12.22
52.32.2
12
532
2
2
2
2
2
lim =++
+−
=
++
+−
=
++
+−
→ xx
xx
x
 
 
2) 0
5
0
32
12
1
lim ==+
−
→ x
x
x
 
 
3) 
0
0
1
13
1
lim =−
−
→ x
x
x
 (indeterminado) 
Usando a fatoração: 
( )( ) ( ) 31111
1
11
1
1 2
1
2
1
3
1
limlimlim =++=++=−
++−
=
−
−
→→→
xx
x
xxx
x
x
xxx
 
 
4) 
0
1
3
25
lim
3
−
=
−
−
→ x
x
x
 
Neste caso, temos que aplicar Limites Laterais para verificar a existência do limite. 
a) Limite Lateral à Direita: 
( )
−∞=
−−
=
−+
+−
=
−
−
→→→ + h
h
h
h
x
x
hhx
21
33
3.25
3
25
limlimlim
003
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
b) Limite Lateral à Esquerda: 
( )
∞=
−
+−
=
−−
−−
=
−
−
→→→ − h
h
h
h
x
x
hhx
21
33
3.25
3
25
limlimlim
003
 
 
Como os limites laterais no ponto 3=x são diferentes, entendemos que não existe o limite. 
 
5) ∞===
+−
++
∞→∞→∞→
2
3
5
3
45
3
2
6
12
226
limlimlim x
x
x
xx
xx
xxx
 
 
6) 0
5
2
5
2
15
132
limlimlim 3
2
3
2
===
−
+−
−∞→−∞→−∞→ xx
x
x
xx
xxx
 
 
7) 
3
7
3
7
3
7
352
27
limlimlim 9
9
942
59
−=
−
=
−
=
−−
+
∞→∞→∞→ xxx x
x
xxx
xx
 
 
8) −∞===
+
+
−∞→−∞→−∞→ 2
3
2
3
52
23 3
6
9
6
9
limlimlim
x
x
x
x
x
xxx
 
 
9) 
( )
( )
∞===
+
−
=
+
−
∞→∞→∞→∞→
10
45
10
6
105
10
23
52
5 3
2
4
.3
4
.3
12
53
12
53
limlimlimlim
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
 
FÍSICA – LICENCIATURA - EAD 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 06 
 
 
 
01) Mostre que: 
 
b
a
a
x
=
−
−
→ 1e
1e
 )
bx
ax
0
lim a
cbx
x
e
cax
bax
b
−
∞→
=





+
+
lim) 
( ) 212) lim =−
∞→
x
x
exc 4
2
3
1
) lim
−
+
∞→
=





+
−
e
x
x
d
x
x
 
 
02) Sendo 
2xx
dcxbxax
)x(f
2
23
−+
+++
= , obter a, b, c e d, sabendo que: 
 1)(
lim
1
1)(
lim =→=→∞ xfxexfx . Resp: 2,1,1,0 −==== dcba 
 
03) Mostre que 
2
a
x
n
a)1n(
x...
n
a3
x
n
a2
x
n
a
x
n
1lim
n +=










 −+++




 ++




 ++




 +→∞ . 
 
04) Calcule 




 −++++
∞→ 2222
1
...
321
lim
x
x
xxxx
 Resp: 
2
1
 
 
05) Se a5bx
x2
5ax3
)x(f
2
+−+
−
−
= , calcule a e b, de modo que: 
 
∞∞∞ +=−→=→ )x(f
lim
x)b2)x(f
lim
x)a 
 
Resp: a) 
5
21
5
7
−=−= bea b) ab 3< 
 
06) Calcule 
( )





 +−
+
−+++
∞→ 2
12
1
12...531
lim
n
n
n
n
 Resp: 
2
3
− 
 
 
PROIBIDO VENDER
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
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CÁLCULO 1 – AULA 07 - DERIVADAS 
 
 
7.1 – INTRODUÇÃO: 
 
O estudo de Derivadas, de maneira geral, trata do problema de se determinar a taxa de 
variação de uma grandeza quando outra grandeza, da qual ela depende, sofrer alterações. 
A motivação para a descoberta desse conceito veio de problemas físicos simples, como 
problemas de cinemática onde se quer, por exemplo, conhecer a velocidade de um objeto em 
movimento num determinado instante. 
Para se chegar ao conceito de Derivada, é necessário primeiramente que façamos algumas 
definições, como faremos a seguir. 
 
7.2 – ACRÉSCIMOS: 
 
 
7.2.1 – ACRÉSCIMO DE UMA VARIÁVEL: 
 
Chama-se Acréscimo de uma variável x , e representa-se por x∆ , à diferença entre dois 
valores particulares 
1
x e 
2
x dessa variável. 
 
 
 
 
 
7.2.2 – ACRÉSCIMO DE UMA FUNÇÃO: 
 
 
Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio é um subconjunto de ℜ . 
 
Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , vamos obter em correspondência um 
acréscimo para a função ( )xfy = , que indicaremos por y∆ . 
 
 
 
x 
1
x 
2
x 
x∆ 
12
xxx −=∆ 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: ⇒∆=− xxx
12
 acréscimo da variável 
 ( ) ( ) ⇒∆=− yxfxf
12
 acréscimo da função 
Como: xxx ∆+=
12
 , podemos escrever: 
( ) ( )
11
xfxxfy −∆+=∆ 
 
ou, genericamente: 
 
Esta é a forma generalizada de se escrever o Acréscimo de uma função definida pela lei 
( )xfy = para um Acréscimo x∆ na sua variável x . 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Achar o Acréscimo da função definida por ( )ℜ∈+= babaxy , 
Temos: ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ 
No nosso caso: 
( ) ( )baxbxxay +−+∆+=∆ 
baxbxaaxy −−+∆+=∆ 
xay ∆=∆ (o acréscimo da função é diretamente proporcional ao acréscimo da variável) 
 
02) Encontrar o Acréscimo da função dada por 2xy = . 
( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ 
( ) 22 xxxy −∆+=∆ 
222
2 xxxxxy −∆+∆+=∆ 
y 
x 
0 
( )
22
xfy = 
( )
11
xfy = 
y∆ 
1
x 
2
x 
x∆ 
( )xfy = 
( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ 
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( )xxxy ∆+∆=∆ 2 (O acréscimo da função não é proporcional ao acréscimo da variável). 
 
7.3 – TAXAMÉDIA DE VARIAÇÃO: 
 
Chama-se de Taxa Média de Variação (ou Razão Incremental) de uma função ( )xfy = ao 
quociente de y∆ por x∆ . 
 
 
 
 
A Taxa Média indica a “velocidade média de variação” de uma função num determinado 
intervalo do seu Domínio. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Achar a Taxa Média de Variação da função definida por 85 += xy 
Temos: 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+
=
∆
∆
 
No nosso caso: 
( ) ( )
x
xxx
x
y
∆
+−+∆+
=
∆
∆ 8585
 
x
xxx
x
y
∆
−−+∆+
=
∆
∆ 85855
 
5
5
=
∆
∆
=
∆
∆
x
x
x
y
 
Conclusão: a velocidade de variação da função é constante em qualquer ponto. 
 
02) Encontre a Taxa Média de Variação da função xxy 32 += no ponto 2=x . 
Temos: 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+
=
∆
∆
 
No nosso caso: 
( ) ( ) ( )
x
xxxxxx
x
y
∆
+−∆++∆+
=
∆
∆ 33 2
2
 
x
xxxxxxxx
x
y
∆
−−∆++∆+∆+
=
∆
∆ 3332 222
 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
MT
∆
−∆+
=
∆
∆
=.. 
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( )
32
32
+∆+=
∆
∆
⇒
∆
+∆+∆
=
∆
∆
xx
x
y
x
xxx
x
y
 
No ponto 2=x , teremos: x
x
y
∆+=
∆
∆
7 
 
7.4 – TAXA INSTANTÂNEA: 
 
Consideremos, por exemplo, a função definida por 12 += xy . 
Vamos determinar as Taxas Médias de Variação desta função nos seguintes intervalos: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]xe ∆+1;105,1;1;1,1;1;2,1;1;5,1;1;2;1 
a) Intervalo [ ]2;1 : 
( ) ( )
3
1
25
12
12
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
b) Intervalo [ ]5,1;1 : 
( ) ( )
5,2
5,0
225,3
15,1
15,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
c) Intervalo [ ]2,1;1 : 
( ) ( )
2,2
2,0
244,2
12,1
12,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
d) Intervalo [ ]1,1;1 : 
( ) ( )
1,2
1,0
221,2
11,1
11,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
e) Intervalo [ ]05,1;1 : 
( ) ( )
05,2
05,0
21025,2
105,1
105,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
 
f) Intervalo [ ]x∆+1;1 : 
( ) ( )
x
x
xx
x
fxf
x
y
∆+=
∆
∆+∆
=
−∆+
−∆+
=
∆
∆
2
2
11
11
2
 
 
Os resultados obtidos acima parecem nos dizer que a Taxa Média tende a 2 , à medida em 
que o acréscimo x∆ tende a zero. 
 
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Portanto, o Limite da Taxa Média de Variação desta função, quando o acréscimo x∆ tende a 
zero é igual a 2 . 
Este resultado é chamado de Taxa Instantânea de Variação. 
Então, definimos: 
“Taxa Instantânea de uma função ( )xfy = é o limite da Taxa Média de Variação 
x
y
∆
∆
 desta 
função quando x∆ tende a zero.” 
 
 
 
 
7.5 – DERIVADA OU FUNÇÃO DERIVADA: 
 
Vamos considerar uma função definida no campo dos Reais pela lei ( )xfy = 
.Chama-se de Derivada ou Função Derivada de ( )xfy = ao limite do quociente de y∆ por 
x∆ , quando x∆ tende a zero. 
A Derivada da função ( )xfy = pode ser indicada por um dos símbolos abaixo: 
( ) ( ) ( )[ ]
.
.
;;;;; xf
dx
d
xfyxfy
dx
dy
′′ 
Neste curso, nos limitaremos a utilizar apenas uma das três primeiras notações apresentadas 
acima. 
A Derivada nada mais é do que a Taxa Instantânea genérica, ou seja: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
Usando a definição, encontre as derivadas das seguintes funções: 
01) 22xy = 
Por definição: 
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim
0
 
 
x
y
IT
x ∆
∆
=
→∆
lim
0
.. 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
dx
dy
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
limlim
00
 
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No nosso caso: 
( )
x
xxx
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
22
0
22
lim 
x
xxxxx
dx
dy
x ∆
−∆+∆+
=
→∆
222
0
2242
lim 
( )
( ) x
dx
dy
xx
x
xxx
dx
dy
xx
424
24.
limlim
00
=⇒∆+=
∆
∆+∆
=
→∆→∆
 
Portanto, a Derivada da função ( ) 22xxf = é a função ( ) xxf 4=′ . 
 
02) 3xy = 
Por definição: 
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim
0
 
No nosso caso: 
( )
x
xxx
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
33
0
lim 
x
xxxxxxx
dx
dy
x ∆
−∆+∆+∆+
=
→∆
33223
0
33
lim 
( ) ( ) 222
0
22
0
333
33.
limlim x
dx
dy
xxxx
x
xxxxx
dx
dy
xx
=⇒∆+∆+=
∆
∆+∆+∆
=
→∆→∆
 
 
03) ( ) xxf = 
Por definição: ( )
( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
No nosso exemplo: ( )
x
xxx
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
Observamos que o limite acima possui uma indeterminação da forma 
0
0
. Portanto, vamos 
fazer uso do conjugado, isto é, vamos tomar: 
( )
( ) ( )xxxx
x
xxxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
xf
xxx +∆+∆
∆
=
+∆+∆
−∆+
=
+∆+
+∆+
∆
−∆+
=′
→∆→∆→∆
limlimlim
000
. 
 
( ) ( )
x
xf
xxx
xf
x 2
11
lim
0
=′⇒
+∆+
=′
→∆
 
 
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04) ( )
x
xf
1
= 
Por definição: ( )
( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
No nosso exemplo: ( )
x
xxxxf
x ∆
−
∆+=′
→∆
11
lim
0
 
( )
( )
( )xxxx
x
x
xxx
xxx
xf
xx ∆+∆
∆−
=
∆
∆+
∆−−
=′
→→∆ ..
limlim
00
 
 
( )
( )
( )
2
0
11
lim
x
xf
xxx
xf
x
−=′⇒
∆+
−
=′
→∆
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 08 - DERIVADAS 
 
 
8.1 – DERIVADA NUM PONTO: 
 
Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 
0
x um ponto 
desse Domínio. 
A derivada desta função no ponto 
0
x , que indicaremos pelas notações ( )
0
xf ′ ou ( )
0
xy′ , é 
definida por: 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 
O1: Como conseqüência da definição, podemos verificar que a função ( )xfy = só será 
derivável no ponto 
0
x se: 
a) existir ( )
0
xf , isto é, a função possui valor numérico no ponto 
0
x ; 
b) a função seja definida nas vizinhanças do ponto 
0
x (para justificar a aplicação do limite 
neste ponto); 
c) exista e seja finito o 
( ) ( )
0
0
lim
0
xx
xfxf
xx −
−
→
. 
 
O2: Se 
( ) ( )
0
0
lim
0
xx
xfxf
xx −
−
→
 existir somente para valores inferiores ou superiores a 
0
x , ou se este 
limite possui resultados diferentes à esquerda e à direita de 
0
x , dizemos que se trata de 
Derivadas Laterais e indicamos por: 
 
( ) ( ) ( ) ⇒
−
−
=′
−→
−
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx
 Derivada Lateral à Esquerda de 
0
x 
 
( ) ( ) ( )
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx −
−
=′
→
 
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( ) ( ) ( ) ⇒
−
−
=′
+→
+
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx
 Derivada Lateral à Direita de 
0
x 
 
 O3: Se ( ) ( )00 xfxf +− ′=′ então dizemos que a derivada da função ( )xfy = existe no ponto 0x e 
é igual a ( )
0
xf ′ . 
 
O4: A derivada de uma função num ponto (quando existe) nada mais é do que o valor 
numérico da função derivada naquele ponto 
 
EXEMPLOS: 
 
Usando a definição, achar as derivadas das funções definidas a seguir nos pontos dados: 
 
 
01) ( ) 23xxf = no ponto 5=x . 
 
1a Solução: 
 
Aplicando a definição de Derivada, temos: 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
( ) ( )
x
xxxxx
x
xxx
xf
xx ∆
−∆+∆+
=
∆
−∆+
=′
→∆→∆
222
0
22
0
336333
limlim 
( ) ( ) ( ) ( ) xxfxx
x
xxx
xf
xx
636
36.
limlim
00
=′⇒∆+=
∆
∆+∆
=′
→∆→∆
 
 
No ponto 5=x , teremos: ( ) ( ) 3055.65 =′⇒=′ ff . 
 
2a Solução: 
 
Aplicando a definição de Derivada no Ponto: 
( ) ( ) ( )
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx −
−
=′
→
 
 
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( ) ( ) ( )
5
753
5
5
5
2
55
limlim −
−
=
−
−
=′
→→ x
x
x
fxf
f
xx
 
( ) ( ) ( )( )
5
5.5.3
5
25.3
5 limlim
5
2
5 −
−+
=
−
−
=′
→→ x
xx
x
x
f
xx
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 30555.355.35 lim
5
=′⇒+=′⇒+=′
→
ffxf
x
 
 
02) ( ) 1+= xxf no ponto 15=x . 
( ) ( ) ( )
15
41
15
15
15 limlim
1515 −
−+
=
−
−
=′
→→ x
x
x
fxf
f
xx
 
Aplicando o conjugado do numerador, obtemos: 
( )
( )( )41.15
15
41
41
.
15
41
15 limlim
1515 ++−
−
=
++
++
−
−+
=′
→→ xx
x
x
x
x
x
f
xx
 
 
( ) ( )
8
1
15
41
1
15 lim
15
=′⇒
++
=′
→
f
x
f
x
 
 
03) ( ) tgxxf = no ponto 
4
π
=x . 
( )
4
4
4
4
4
limlim
44
π
π
π
π
π
ππ−





−
=
−





−
=




′
→→ x
tgtgx
x
fxf
f
xx
 











 −





−





=
−












−
=




′
→→
4
cos.cos.
4
cos.
4
sen
4
cos.sen
4
4
cos
4
sen
cos
sen
4
limlim
44
ππ
ππ
π
π
π
π
ππ
xx
xx
x
x
x
f
xx
 
Da Trigonometria, sabemos que: ( )BAABBA −=− sencos.sencos.sen 
Portanto, pode-se dizer que: 




 −=




−





4
sencos.
4
sen
4
cos.sen
πππ
xxx 
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Assim, podemos escrever: 





−





 −
=




′
→→
4
cos.cos
1
.
4
4
sen
4
limlim
44
ππ
π
π
ππ
xx
x
f
xx
 
Como o primeiro limite é Fundamental e vale 1, então: 
2
4
2
2
1
4
cos
1
4
cos.cos
1
4
2
2
4
lim =




′⇒








=






=






=




′
→
π
ππ
π
π
f
x
f
x
 
 
04) ( ) 1−= xxf no ponto 1=x . 
( ) ( ) ( )
1
1
1
111
1
1
1 limlimlim
111 −
−
=
−
−−−
=
−
−
=′
→→→ x
x
x
x
x
fxf
f
xxx
 
Porém, de acordo com a definição de Módulo ou Valor Absoluto, podemos escrever: 
( )



<−−−=−
≥−−=−
01,11
01,11
xsexx
xsexx
 ⇒ 
( )



<−−=−
≥−=−
1,11
1,11
xsexx
xsexx
 
Como queremos obter a derivada no ponto 1=x , entendemos que devemos calcular as 
derivadas laterais neste ponto, isto é: 
 
( ) ( ) ( ) 11
1
1
1
1
1 limlimlim
111
−=−=
−
−−
=
−
−
=′
→→→
−
− xxx x
x
x
x
f 
 
( ) 11
1
1
1
1
1 limlimlim
111
==
−
−
=
−
−
=′
→→→
+
+ xxx x
x
x
x
f 
Como ( ) ( )11 +− ′≠′ ff , entendemos que a função dada não possui derivada no ponto 1=x . 
 
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS: 
 
Para que você se auto-avalie com relação ao assunto estudado nesta aula, sugerimos que 
você tente resolver os exercícios abaixo: 
 
 
FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
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01) Mostre que a derivada da função ( )
1
3
−
=
x
xf no ponto 4=x é igual a 
3
1
− . 
02) Mostre que a derivada da função ( ) xexf = no ponto 3=x é igual a 3e . 
03) Mostre que a função ( ) xxxf 42 −= não possui derivada no ponto 4=x . 
 
8.2 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA NO PONTO: 
 
Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 
0
x um ponto 
desse Domínio. 
Vamos admitir que o gráfico dessa função possua uma reta tangente pelo ponto 
0
x e que essa 
tangente não seja perpendicular ao eixo x e vamos considerar também uma reta secante curva 
pelos pontos 
0
x e x , conforme se pode ver na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da figura, temos: 
α = inclinação da reta tangente (ângulo que a reta tangente forma com o sentido positivo do 
eixo x ); 
β = inclinação da reta secante (ângulo que a reta secante forma com o sentido positivo do 
eixo x ); 
0
xxx −=∆ (Acréscimo da variável); 
( ) ( )
0
xfxfy −=∆ (Acréscimo da função) 
 
y 
x 
0 
( )xf 
( )
0
xf 
α β 
β 
y∆ 
x∆ 
0
x x 
( )xfy = 
Reta secante 
Reta tangente 
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( ) ( )
0
0
xx
xfxf
tg
x
y
tg
−
−
=⇒
∆
∆
= ββ 
Tomando limites para 
0
xx→ nos dois membros dessa igualdade: 
( ) ( )
0
0
limlim
00
xx
xfxf
tg
xxxx −
−
=
→→
β 
Porém, quando 
0
xx→ então αβ → . 
Assim, podemos dizer que: 
( ) ( )
β
αβ
tg
xx
xfxf
xx
limlim
0
0
0 →→
=
−
−
 
Mas: 
( ) ( ) ( )
0
0
0
lim
0
xf
xx
xfxf
xx
′=
−
−
→
 e αβ
αβ
tgtg =
→
lim 
 
Portanto, concluímos que: 
 
Isto é, a derivada de uma função num ponto (quando existe) é numericamente igual ao 
coeficiente angular da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. 
A princípio este parece ser um conceito muito elementar. 
Porém, em aulas futuras, teremos a oportunidade de observar aplicações importantes deste 
resultado. 
Para a melhor fixação desse conceito, vamos mostrar algumas aplicações simples do mesmo. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Obter a equação geral da reta tangente à curva da função ( ) xxf = pelo ponto 1=x . 
 
Solução: 
 
No estudo da Geometria Analítica, aprendemos que a equação de uma reta que passa por um 
ponto dado ( )
00
, yx e tem coeficiente angular conhecido m é dada por: 
( )
00
xxmyy −=− 
 
( ) αtgxf =′
0
 
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No nosso caso: 1
0
=x e ( ) 111
0
=== fy 
Como a reta procurada é tangente à curva de ( )xf pelo ponto 1=x , devemos ter ( )1fm ′= , ou 
seja: 
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
1 limlim
11 −
−
=⇒
−
−
=′=
→→ x
x
m
x
fxf
fm
xx
 
Como o limite obtido é indeterminado, vamos multiplicar e dividir pelo conjugado do 
numerador, isto é: 
( )( )
( )( ) ( )( )11
1
11
11
limlim
11 +−
−
=⇒
+−
+−
=
→→ xx
x
m
xx
xx
m
xx
 
2
1
1
1
lim
1
=⇒
+
=
→
m
x
m
x
 
Então, a equação procurada é: ( )1
2
1
1 −=− xy 
 
Na forma geral: 012 =+− yx 
 
02) Determine a equação da reta tangente à curva da hipérbole definida pela equação 
x
y
4
−= 
pelo ponto 2−=x . 
 Solução: 
 
A equação procurada tem a forma: ( )( )
000
. xxxfyy −′=− 
onde: 2
0
−=x e 2
2
4
0 =−
−=y 
( ) ( ) ( )
( )2
2
2 lim
2 −−
−−
=−′
−→ x
fxf
f
x
 
 
( )
( )2.
24
2
2
4
2 limlim
22 +
−−
=
+
−−
=−′
−→−→ xx
x
x
xf
xx
 
 
 
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( ) ( )
( )
( ) ( ) 1222
2.
2.2
2 limlim
22
=−′⇒
−
=−′⇒
+
+−
=−′
−→−→
f
x
f
xx
x
f
xx
 
Portanto, a equação da reta é: 
( )2.12 +=− xy 
 
Na forma reduzida: 4+= xy 
 
03) Mostre que a equação da reta tangente à curva da função ( ) gxxf cot= no ponto 
3
2π
=x é 
3
3
9
8
3
4
−+−=
π
xy . 
Solução: 
 
A equação procurada tem a forma: ( )( )
000
. xxxfyy −′=− 
onde: 
3
2
0
π
=x e 
3
3
3
2
cot
0
−=




=
π
gy 
3
2
3
2
sen
3
2
cos
sen
cos
3
2
3
2
cotcot
3
2
limlim
3
2
3
2 π
π
π
π
π
π
ππ −












−
=
−





−
=




′
→→ x
x
x
x
ggx
f
xx
 











 −−





 −
=











 −





−





=




′
→→
3
2
sen.sen.
3
2
3
2
sen
3
2
sen.sen.
3
2
3
2
cos.sencos.
3
2
sen
3
2
limlim
3
2
3
2 ππ
π
ππ
ππ
π
ππ
xx
x
xx
xx
f
xx
 
3
4
2
3
1
3
2
sen.sen
1
.
3
2
3
2
sen
3
2
2
3
2
3
2
limlim −=








−=





−−





 −
=




′
→→
ππ
π
π
ππ
xx
x
f
xx
 
Portanto, a equação da reta é: 
9
8
3
4
3
3
3
2
3
4
3
3 ππ
+−=+⇒




 −−=







−− xyxy 
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Na forma reduzida: 
3
3
9
8
3
4
−+−=
π
xy 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Exercícios como os mostrados acima se tornarão mais fáceis de resolver quando 
conhecermos as regras de derivação, pois não precisaremos mais de resolver Limites. 
 
Este assunto será objeto de estudo a partir da próxima aula! 
 
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CÁLCULO 1 
EXERCÍCIOS - AULA 08 
 
 
 
01) As retas tangentes ao gráfico da função ( ) 754 23 −+−= xxxxf pelos pontos 1=x e 3=x são 
concorrentes num ponto P. Encontre as coordenadas desse ponto. Resp: 




 −5,
2
5
P 
 
02) Achar os pontos sobre a curva 16xy 2 −= onde as tangentes são paralelas à reta 
2x5y3 =+ . Resp: )3,5( − e )3,5( 
 
 
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CÁLCULO 1 – AULA 09 - DERIVADAS 
 
 
REGRAS GERAIS DE DERIVAÇÃO: 
 
Neste item vamos começar a estudar as regras que nos permitem obter as derivadas de todas 
as funções da forma ( )xfy = .Este assunto começará a ser desenvolvido nesta aula e se estenderá para as aulas seguintes. 
 
9.1 – FUNÇÃO CONSTANTE: 
 
Seja a função definida por ( ) kxf = , onde ℜ∈k . 
Por definição: ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
No nosso caso: ( ) ( ) 00limlim
00
=
∆
=′⇒
∆
−
=′
→∆→∆ x
xf
x
kk
xf
xx
 
 
Portanto: 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) 01 =′⇒= xfxf 
02) ( ) ( ) 07 =′⇒−= xfxf 
03) ( ) ( ) 013 =′⇒= xfxf 
04) ( ) ( ) 0
11
3
=′⇒




= xftgxf
π
 
 
9.2 – FUNÇÃO LINEAR: 
 
Seja ( ) baxxf += , onde ℜ∈a e ℜ∈b , isto é uma Função Linear. 
Por definição: ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
 
( ) ( ) 0,, =′ℜ∈= xfentãokcomkxfSe 
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Neste caso: ( ) ( ) ( )
x
baxbxxa
xf
x ∆
+−+∆+
=′
→∆
lim
0
 
( ) ( ) ( ) aaxf
x
xa
xf
x
baxbxaax
xf
xxx
==′⇒
∆
∆
=′⇒
∆
−−+∆+
=′
→∆→∆→∆
limlimlim
000
 
 
Portanto: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) 1=′⇒= xfxxf 
02) ( ) ( ) 575 −=′⇒+−= xfxxf 
03) ( ) ( )
3
2
1
3
2
=′⇒−= xfxxf 
04) ( ) ( ) loglog
5
2
5
2 5
. =′⇒+



= xfxxf
π
 
 
9.3 – FUNÇÃO POTÊNCIA: 
 
Seja a função definida por ( ) nxxf = . 
Por definição: ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
No nosso caso: ( ) ( )
x
xxx
xf
nn
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim
0
 
Fazendo o desenvolvimento do Produto Notável ( )nxx ∆+ por Binômio de Newton, teremos: 
( ) 033322211100 ... xxxxxxxxxxxx nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CCCCC ∆++∆+∆+∆+∆=∆+
−−− 
( ) ( ) ( )( ) nnnnnn xxxnnnxxnnxxnxxx ∆++∆−−+∆−+∆+=∆+ −−− .....
!3
21
..
!2
1
.. 33221 
Substituindo no limite: 
( )
( ) ( )( )
x
xxxx
nnn
xx
nn
xxnx
xf
nnnnnn
x ∆
−∆++∆
−−
+∆
−
+∆+
=′
−−−
→∆
.....
!3
21
..
!2
1
.. 33221
0
lim 
( ) ( ) axfentãobeacombaxxfSe =′ℜ∈ℜ∈+= ,, 
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( )
( ) ( )( )
x
xxx
nnn
xx
nn
xnx
xf
nnnn
x ∆



 ∆++∆
−−
+∆
−
+∆
=′
−−−−
→∆
13221
0
.....
!3
21
..
!2
1
..
lim 
( ) ( ) ( )( ) ( ) 113221
0
......
!3
21
..
!2
1
.lim
−−−−−
→∆
=′⇒


 ∆++∆
−−
+∆
−
+=′ nnnnn
x
xnxfxxx
nnn
xx
nn
xnxf 
 
Portanto: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) ( ) ( ) 7188 8.8 xxfxxfxxf =′⇒=′⇒= − 
02) ( ) ( ) 99100 100xxfxxf =′⇒= 
03) ( ) ( ) ( ) ( )
2
21 1.1
1
x
xfxxfxxf
x
xf −=′⇒−=′⇒=⇒= −− 
04) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xfxxfxxfxxfxxf
2
1
.
2
1
.
2
1
2
1
1
2
1
2
1
=′⇒=′⇒=′⇒=⇒=
−−
 
05) ( ) ( ) ( ) ( )
4
43
3
3
.3
1
x
xfxxfxxf
x
xf −=′⇒−=′⇒=⇒= −− 
06) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
5
1
1
5
4
5
4
5 4
5
4
5
4
5
4
x
xfxxfxxfxxfxxf =′⇒=′⇒=′⇒=⇒=
−−
 
 
9.4 – FUNÇÃO SOMA: 
 
Seja tvuy −+= , onde ( )xuu = , ( )xvv = e ( )xtt = , isto é, u , v e t são funções de x . 
Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , obtemos em correspondência acréscimos y∆ , 
u∆ , v∆ e t∆ para as funções y , u , v e t , respectivamente. 
Assim, podemos escrever: 
( ) ( ) ( )ttvvuuyy ∆+−∆++∆+=∆+ 
ttvvuuyy ∆−−∆++∆+=∆+ 
( ) ( )tvutvuyy ∆−∆+∆+−+=∆+ 
( ) ( ) 1., −=′= nn xnxfentãoxxfSe 
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Como tvuy −+= , então: tvuy ∆−∆+∆=∆ 
Dividindo os dois membros dessa igualdade por x∆ , teremos: 
x
t
x
v
x
u
x
y
∆
∆
−
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
 
Tomando os limites para 0→∆x : 
x
t
x
v
x
u
x
y
xxxx ∆
∆
−
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆→∆
limlimlimlim
0000
 
Porém, de acordo com a definição de Acréscimos, podemos afirmar que: 
Se 0→∆x , então 0→∆y , 0→∆u , 0→∆v e 0→∆t 
Isto significa que todos os limites relacionados acima representam derivadas, ou seja: 
dx
dt
dx
dv
dx
du
dx
dy
−+= ou tvuy ′−′+′=′ 
 
Portanto: 
 
Podemos interpretar este resultado afirmando que “a derivada de uma soma algébrica de 
funções é igual à soma algébrica das derivadas das parcelas”. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) 256367 367 xxxyxxxy +−=′⇒+−= 
02) 334 4047 xyxyxy =′⇒−=′⇒−= 
03) 
2
1
2
11
xx
y
x
xy −=′⇒+= 
 
9.5 – FUNÇÃO PRODUTO: 
 
Seja a função definida por vuy .= , onde ( )xuu = e ( )xvv = , isto é, y é definida por um 
produto de funções de x . 
Se atribuimos à variável x um acréscimo x∆ , obtemos acréscimos correspondentes y∆ , u∆ e 
v∆ para as variáveis y , u e v , respectivamente. 
tvuyentãotvuySe ′−′+′=′−+= , 
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Assim, podemos escrever: 
( )( )vvuuyy ∆+∆+=∆+ . 
vuuvvuuvyy ∆∆+∆+∆+=∆+ 
Como uvy = , podemos simplificar e escrever: 
vuuvvuy ∆∆+∆+∆=∆ 
Dividindo membro a membro por x∆ , fica: 
x
v
u
x
u
v
x
v
u
x
y
∆
∆
∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
. 
Tomando os limites para 





→∆
→∆
→∆
⇒→∆
0
0
0
0
v
u
y
x : 
x
v
u
x
u
v
x
v
u
x
y
xxxx ∆
∆
∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆→∆
.limlimlimlim
0000
 
x
v
u
x
u
v
x
v
u
x
y
xxxx ∆
∆
∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆→∆
... limlimlimlim
0000
 
De acordo com a definição de Derivada, temos como resultado: 
vuvuyou
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy ′+′=′+= .. 
 
Portanto: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) 3010 .xxy = 
Temos: 910 10xuxu =′⇒= e 2930 30xvxv =′⇒= 
Então: 
vuvuyvuy ′+′=′⇒= . 
2910309 30..10 xxxxy +=′ 
393939 403010 xyxxy =′⇒+=′ 
( ) ( ) vuvuyentãoxvvexuuondevuySe ′+′=′=== ,,. 
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02) ( ) 11 22 +==⇒+= xvexuxxy 
( ) 1.1.2 2xxxy ++=′ 
xxyxxxy 2322 222 +=′⇒++=′ 
03) xve
x
ux
x
y
x
x
y ==⇒=⇒=
1
.
1
 
xxx
x
y
xx
x
x
y
2
1
2
1
.
1
.
1
22
+−=′⇒+−=′ 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Se tivermos um produto de 3 ou mais funções, a regra de derivação é semelhante. 
Assim, por exemplo, se tvuy ..= , onde ( )xuu = , ( )xvv = e ( )xtt = , então: 
uvtutvvtuy ′+′+′=′ 
 
EXEMPLO: 





=′⇒=
=′′⇒=
=′⇒=
⇒=
56
45
34
654
6
5
4
..
xtxt
xvxv
xuxu
xxxy 
545644653 ..6..5..4 xxxxxxxxxy ++=′ 
14141414 15654 xyxxxy =′⇒++=′ 
 
9.6 – FUNÇÃO QUOCIENTE: 
 
Seja a função definida pela equação 
v
u
y = , onde ( )xuu = e ( )xvv = . 
Atribuindo à variável x um acréscimo x∆ , obtemos acréscimos y∆ , u∆ e v∆ , para as funções 
y , u e v , de modo que podemos escrever: 
vv
uu
yy
∆+
∆+
=∆+ 
v
u
vv
uu
yy
vv
uu
y −
∆+
∆+
=∆⇒−
∆+
∆+
=∆ 
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( ) ( )
( )vvv
vvuuuv
y
∆+
∆+−∆+
=∆
.
..
 
( ) ( )vvv
vuuv
y
vvv
vuuvuvuv
y
∆+
∆−∆
=∆⇒
∆+
∆−−∆+
=∆
..
 
Dividindo membro a membro por x∆ , teremos: 
( ) xvvv
vuuv
x
y
∆∆+
∆−∆
=
∆
∆
..
 
Podemos ainda escrever esta igualdade na forma: 
( )vvv
x
v
u
x
u
v
x
y
∆+
∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆
.
 
Tomando os limites para 





→∆
→∆
→∆
⇒→∆
0
0
0
0
v
u
y
x 
( ) 2
0
00
0
..
.
..
lim
limlim
lim
v
dx
dv
u
dx
du
v
dx
dy
vvv
x
v
u
x
u
v
x
y
x
xx
x
−
=⇒
∆+
∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆
→∆
→∆→∆
→∆
 
 
Portanto: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) 




=′⇒=
=′⇒=
=
67
1920
7
20
7
20
xvxv
xuxu
x
x
y 
( )
12
14
26
14
2626
27
620719
13
137207..20
xy
x
x
x
xx
y
x
xxxx
y =′⇒=
−
=′⇒
−
=′ 
 
02) 



=′⇒−=
=′⇒+=
−
+
=
12
353
2
53
vxv
uxu
x
x
y 
( ) ( )
( ) ( ) ( )222 2
11
2
5363
2
53.12.3
−
−
=′⇒
−
−−−
=′⇒
−
+−−
=′
x
y
x
xx
y
x
xx
y 
( ) ( )
2
,,
v
vuvu
yentãoxvvexuuonde
v
u
ySe
′−′
=′=== 
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9.7 – FUNÇÃO COMPOSTA: 
 
Sejam ( )ufy = e ( )xgu = . 
Então ( )[ ]xgfy = , isto é, a variável dependente y é escrita como uma função composta da 
variável independente x . 
Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , vamos obter em correspondência um 
acréscimo u∆ para a função u e um acréscimo y∆ para a função y . 
Nestas condições, podemos escrever: 
x
u
u
y
x
y
∆
∆
∆
∆
=
∆
∆
. 
Tomando os limites para 


→∆
→∆
⇒→∆
0
0
0
y
u
x 
x
u
u
y
x
y
xux ∆
∆
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆
limlimlim
000
. 
Portanto, de acordo com a definição, podemos escrever: 
 
Com isto, concluímos que a derivada da função composta é igual ao produto das derivadas 
das funções em relação às suas variáveis imediatas. 
Esta regra é conhecida como Regra da Cadeia e é igualmente válida para funções compostas 
de três ou mais partes. 
Assim, por exemplo, se ( )ufy = , ( )tgu = e ( )xht = , então podemos empregar a Regra da 
Cadeia e afirmar que: 
 
 
Esta regra é considerada a mais importante entre todas as regras de derivação, uma vez que 
é ela quem nos permite obter a derivada de certas funções aparentemente complicadas, conforme 
teremos oportunidade de comprovar nas próximas aulas. 
 
EXEMPLOS: 
01) Encontre 
dx
dy
, sendo 2uy = , 3vu = , 4tv = e 5xt = 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
dx
dt
dt
du
du
dy
dx
dy
..= 
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Pela Regra da Cadeia: 
dx
dt
dt
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
...= 
432 5.4.3.2 xtvu
dx
dy
= 
A derivada já está pronta na expressão acima. Entretanto, como entendemos que y é uma 
função composta na variável x , então a derivada y′ deve ser também uma função de x . 
Para obter essa função, basta substituir as funções na expressão obtida para a derivada, ou 
seja: 
( ) ( ) 435243 ....120 xxtv
dx
dy
= 
( ) ( ) 4158534 ....120 xxxt
dx
dy
= 
( ) 119415406041540125 120....120....120 x
dx
dy
xxxx
dx
dy
xxxx
dx
dy
=⇒=⇒= 
 
02) Achar 
dx
dy
, sabendo que 72 −= uy , 2tu = e 5xt = 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
dt
dt
du
du
dy
dx
dy
..= 
1945104524 20...20...205.2.2 x
dx
dy
xxx
dx
dy
xxt
dx
dy
xtu
dx
dy
=⇒=⇒=⇒= 
 
9.8 – FUNÇÃO INVERSA: 
 
Vamos considerar uma função definida pela lei ( )xfy = , que seja bijetora num intervalo ℜ⊂I 
e que seja derivável nesse intervalo. 
Nestas condições, podemos afirmar que: 
x
y
y
x ∆
∆
=′
→∆
lim
0
 existe e é finito para todo Ix∈ . 
Como, por hipótese, a nossa função ( )xfy = é bijetora no intervalo I , podemos definir nesse 
intervalo a sua função inversa, isto é: 
Se ( )xfy = , então ( )yfx 1−= (Inversa) 
 
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Portanto, de acordo com a definição de derivada, podemos também escrever: 
y
x
x
y ∆
∆
=′
→∆
lim
0
 (lembrando que, se 00 →∆⇒→∆ yx ) 
Podemos, ainda, escrever: 
x
y
x
x
y
x
x
y
∆
∆
=′⇒
∆
∆
=′
→∆
→∆
lim
lim
0
0
11
 
 
Finalmente, percebemos que: 
 
 
Conclusão: A derivada da função inversa é igual ao inverso da derivada da função. 
Tanto quanto a regra da função composta, estudada anteriormente, a regra da função inversa 
será de grande aplicação para obter as derivadas de certos tipos de funções, como as 
trigonométricas, por exemplo. 
 
EXEMPLO: 
Seja xy = , com 0>x , isto é, ( )xfy = . 
Então, podemos escrever 2yx = , ou seja, ( )yfx 1−= (função inversa). 
Neste caso: yx 2=′ 
Como 
x
y
′
=′
1
 , então: 
x
y
y
y
2
1
2
1
=′⇒=′ 
 
OBSERVAÇÃO: Este resultado está comprovado, pois já foi obtido anteriormente. 
 
x
you
y
x
′
=′
′
=′
11
 
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CÁLCULO 1 – AULA 10 - DERIVADAS 
 
 
10.1 – FUNÇÃO POTÊNCIA: 
 
Na aula anterior aprendemos a regra para se derivar funções da forma nxy = , cuja derivada é 
1. −=′ nxny . 
Agora, que já conhecemos a regra da Função Composta, vamos aprender a derivar funções 
potência da forma ( )[ ]nxfy = , onde ( )xf é uma função qualquer. 
Fazendo nuy = e ( )xfu = , percebemos que y é uma função composta da variável x . 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: 1. −= nun
du
dy
 e ( )xf
dx
du ′= 
Portanto: ( )xfun
dx
dy n ′= − .. 1 , ou seja: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( )10023 3845 −+−= xxxy 
( ) ( )8815.3845.100 29923 +−−+−= xxxxx
dx
dy
 
 
Este exemplo mostra, com bastante clareza, a importância e praticidade desta regra. 
Observe que a derivada foi obtida rapidamente e, principalmente, na forma fatorada. 
Caso esta regra não existisse, teríamos primeiramente que desenvolver o produto notável, isto 
é, elevar o polinômio à centésima potência, dando origem a um polinômio de grau 300, e só 
depois o derivarmos para obter um polinômio de grau 299. 
Além do trabalho de se desenvolver o polinômio, teríamos ainda o trabalho de deriva-lo e 
fatorá-lo. 
 
 
( )[ ] ( )xfxfn
dx
dy n ′= − .. 1 
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02) 
5
52
23






+
−
=
x
x
y 
Fazendo 
52
23
+
−
=
x
x
u , teremos 5uy = 
Pela Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Temos: 
( ) ( )
( ) ( )22 52
19
52
23.252.3
+
=
+
−−+
=
xx
xx
dx
du
 e 45u
du
dy
= 
 
Portanto: 
( )
4
2 52
23
.
52
95






+
−
+
=
x
x
xdx
dy
 
 
 
10.2 – FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
 
Seja a função exponencial definida por xay = , onde 0>a e 1≠a . 
Por definição, sabemos que: 
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim
0
 
Então: 
( )
x
aa
dx
dy
x
aa
dx
dy xx
x
xxx
x ∆
−
=⇒
∆
−
=
∆
→∆
∆+
→∆
1.
limlim
00
 
x
a
a
dx
dy x
x
x
x ∆
−
=
∆
→∆→∆
1
.limlim
00
 
O primeiro limite é imediato e o segundo é um limite fundamental exponencial. 
 
Portanto: 
 
 
Esta regra, aplicada para exponenciais da forma xay = , pode ser estendida para funções 
exponenciais da forma ( )xfay = , isto é, na forma composta. 
Se aplicarmos a estas funções a Regra da Cadeia, veremos que a derivada será quase a 
mesma que acabamos de mostrar. 
Basta trocar x por ( )xf e multiplicar o resultado por ( )xf ′ , ou seja: 
aa
dx
dy
entãoaeacomaySe xx ln.,10, =≠>= 
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EXEMPLOS: 
 
01) 3ln.33 xx
dx
dy
y =⇒= 
 
02) xxx e
dx
dy
ee
dx
dy
ey =⇒=⇒= ln. 
Observe que, quando a base for Número Neperiano e, a constante irracional aln é 1. 
 
03) 
xdx
dy
xdx
dy
y
x
xx
2
5ln.5
2
1
.5ln.55 =⇒=⇒= 
 
04) 33
22
.2 −− =⇒= xx ex
dx
dy
ey 
 
10.3 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 
Como já aprendemos a derivar funções exponenciais e funções inversas, podemos obter a 
derivada das funções logarítmicas aplicando essas regras, uma vez que as funções logarítmicas 
são inversas das exponenciais. 
Seja, então a função logarítmica definida pela equação: log
x
a
y = , onde 10,0 ≠>> aeax . 
Nestas condições, podemos dizer que yax = (função inversa). 
Aprendemos também que, para duas funções inversas: 
x
y
′
=′
1
. 
No nosso caso: 
ax
y
aa
yaax
y
y
ln.
1
ln.
1
ln. =′⇒=′⇒=′ 
Porém: log
ln
1
ln
ln
ln
1 e
aaa
e
a
=⇒= (pela Propriedade de mudança de bases em logaritmos) 
 
( ) ( ) ( )xfaa
dx
dy
entãoaySe xfxf ′== .ln., 
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Portanto: 
 
 
Observe que log
e
a
 é uma constante irracional e que se tornará igual a 1 quando a base do 
logaritmo for a base Natural e, ou seja, 1log =
e
e
. 
Uma vez que a regra está demonstrada para log
x
a
y = , podemos utilizar a Regra da Cadeia e 
estende-la para funções da forma 
( )
log
xf
a
y = , isto é: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
01) loglog
33
1 ex
x
yy =′⇒= 
 
02) 
x
y
x
yxy
e
e
11
ln log =′⇒=′⇒= 
 
03) logloglog
555 2
1
.
2
1
eex
x
y
x
x
yy =′⇒=′⇒= 
 
04) ( )
1
12
1ln
2
2
+−
−
=′⇒+−=
xx
x
yxxy 
 
loglog
1
,
e
a
x
a x
yentãoySe =′= 
( ) ( )
( ) loglog
.,
e
a
xf
a xf
xf
yentãoySe
′
=′= 
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CÁLCULO 1 – AULA 11 - DERIVADAS 
 
 
11.1 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: 
 
A) FUNÇÃO SENO: 
 
Seja a função definida por xy sen= . 
Por definição: 
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim
0
 
No nosso caso: 
( )