Dinâmica do ponto material força

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MECÂNICA 
GERAL II
Marcelo Quadros
Dinâmica do ponto 
material: força
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever a segunda lei de Newton e suas aplicações.
 � Reconhecer os movimentos dos corpos com restrição e sem restrição.
 � Fundamentar os movimentos retilíneos e curvilíneos, uniformes e 
acelerados.
Introdução
Uma das principais leis da física aplicadas à mecânica dos movimentos, a 
segunda lei de Newton é considerada como o princípio fundamental da 
dinâmica e é enunciada da seguinte forma: “a força resultante que atua 
sobre um corpo é proporcional ao produto da massa pela aceleração 
por ele adquirida”.
Essa lei tem sua aplicação na análise dos movimentos com ou sem 
restrições e em todos os tipos de movimento, podendo ser retilíneos 
ou curvilíneos, a partir de uma reta, de um movimento circular, do mo-
vimento de um projétil, além dos movimentos rotacionais em todas as 
partículas, sejam elas um simples átomo, um objeto, uma pessoa, um 
mecanismo, uma máquina e, até mesmo, um planeta, assim como todos 
os movimentos de um sistema solar.
Neste capítulo, você conhecerá a segunda lei de Newton e suas 
aplicações, bem como os movimentos dos corpos com restrição e sem 
restrição. Por fim, estudará os movimentos retilíneos e curvilíneos, uni-
formes e acelerados.
Segunda lei de Newton e suas aplicações
A dinâmica dos movimentos de uma partícula envolve as forças que agem 
sobre ela e que resultam em sua aceleração e tem como base a aplicação das 
três leis do movimento de Newton e suas fórmulas.
Essas leis de Newton fundamentam a base da física mecânica e são descritas 
de uma forma simplificada, como: lei da inércia, lei do princípio fundamental 
da dinâmica e lei da ação e reação. Elas são utilizadas para determinar a dinâ-
mica dos movimentos dos corpos e foram pela primeira vez pelo físico inglês 
Isaac Newton, em 1687, em sua obra de três volumes, intitulada Princípios 
Matemáticos da Filosofia Natural.
Primeira lei de Newton (Figura 1): uma partícula manterá seu estado de 
repouso ou de movimento uniforme (velocidade constante) na direção de uma 
linha reta, a menos que alguma força atue para mudar esse estado. Em outras 
palavras, uma partícula acelera apenas se uma força desequilibrada agir sobre 
ela (NELSON; MCLEAN; POTTER, 2013).
Dinâmica do ponto material: força2
Figura 1. Primeira lei de Newton.
Fonte: Adaptada de udaix/Shutterstock.com
Um corpo em repouso tende a permanecer em repouso, 
e um corpo em movimento tende a permanecer em movimento
Um objeto em repouso permanece em repouso
Um objeto atuado por uma força 
equilibrada permanece em repouso
Um objeto atuado por forças não equilibradas 
muda sua velocidade e direção
Um objeto em repouso permanece em repouso
Um objeto em movimento permanece em movimento
Um objeto atuado por forças não equilibradas 
muda sua velocidade e direção
Um objeto atuado por uma força não equilibrada 
muda sua velocidade e direção
Primeira Lei de Newton
3Dinâmica do ponto material: força
Segunda lei de Newton (Figura 2): a taxa de variação do produto da massa 
pela velocidade, em relação ao tempo, de uma partícula é proporcional à 
força que age sobre a partícula. O produto da massa m pela velocidade v é o 
momento linear L. Assim, a segunda lei estabelece que (NELSON; MCLEAN; 
POTTER, 2013): 
F = m · a
As unidades das grandezas na segunda lei de Newton são as seguintes: 
m = massa, em quilogramas (kg); 
a = aceleração, em m/s2;
F = força, em Newtons (N).
Figura 2. Segunda lei de Newton.
Fonte: Adaptada de udaix/Shutterstock.com
A força resultante que atua sobre um corpo é proporcional 
ao produto da massa pela aceleração por ele adquirida
Segunda Lei de Newton
Pequena aceleração Grande massa
Grande aceleração Pequena massa
Força = Massa x Aceleração
Dinâmica do ponto material: força4
Terceira lei de Newton (Figura 3): para toda ação, ou força, há uma reação, 
ou força, igual e oposta. Em outras palavras, se a partícula A exerce uma força 
sobre a partícula B, então a partícula B exerce uma força numericamente igual 
e de sentido oposto na partícula A (NELSON; MCLEAN; POTTER, 2013).
Figura 3. Terceira lei de Newton.
Fonte: Adaptada de udaix/Shutterstock.com
Toda ação corresponde
a uma reação de igual
intensidade, mas que
atua no sentido oposto
Equilíbro
Reação
Ação
(Balão sobe)
(Ar desce)
Reação AçãoReação Ação
5Dinâmica do ponto material: força
A primeira e a terceira leis de Newton do movimento são muito utilizadas 
na estática para estudar corpos em repouso e as forças que atuam sobre eles. 
Essas duas leis também são usadas em dinâmica: de fato, elas são suficientes 
para o estudo do movimento de corpos que não têm aceleração. Entretanto, 
quando eles são acelerados, isto é, quando a intensidade ou a direção de suas 
velocidades muda, é necessário utilizar a segunda lei de Newton do movimento 
para relacionar o movimento do corpo às forças que atuam sobre ele. De acordo 
com a segunda lei, se a resultante das forças que atuam sobre uma partícula 
não for zero, a partícula terá uma aceleração proporcional à intensidade da 
resultante e na direção dessa força resultante. Mais do que isso, a razão entre 
as intensidades da força resultante e da aceleração pode ser usada para defi-
nir a massa da partícula, conforme demonstrado nas fórmulas da Figura 4, 
a seguir (BEER et al., 2019).
Figura 4. Fórmulas da segunda lei de Newton.
Fonte: Fouad A. Saad/Shutterstock.com.
Instante inicial: t = 0
(V, X)
(V0, X0)
Forças Arrasto
Empuxo
Estágio seguinte: t = t
F = Força = Empuxo – ArrastoSegunda lei de Newton: F = m a
m = Massa
a = Aceleração
V = Velocidade
X = Posição
a = F / m
V = a t + V0
X = + V0t + X0
a t2
2
Dinâmica do ponto material: força6
Medidas de força e aceleração podem ser efetuadas no laboratório, de modo 
que, de acordo com a segunda lei, se uma força F conhecida é aplicada a um 
ponto material, a aceleração a do ponto pode ser medida. Uma vez que a força 
e a aceleração são diretamente proporcionais, a constante à proporcionalidade, 
m, pode ser determinada, considerando-se a razão:
Dessa forma, o escalar positivo m é denominado massa do ponto material, 
e a segunda lei de Newton pode ser descrita conforme a seguinte equação:
F = m · a
Para se aprofundar nos conhecimentos sobre a segunda lei de Newton, sua descrição, 
suas características e aplicações, leia o livro Física para universitários: mecânica, de Bauer, 
Westfall e Dias (2012).
Movimentos dos corpos com restrição 
e sem restrição
A busca pela compreensão do movimento remonta à antiguidade. Os an-
tigos babilônios, chineses e gregos eram especialmente interessados pelos 
movimentos celestes no céu noturno. O filósofo e cientista grego Aristóteles 
escreveu sistematicamente acerca da natureza dos objetos em movimento. 
Todavia, nossa compreensão moderna do movimento não começou, de fato, 
até que Galileu (1564–1642) descrevesse os primeiros conceitos de movimento 
em termos matemáticos. E, a partir desses conceitos, Newton (1642–1727) 
deu continuidade aos cálculos, para pôr os conceitos dos movimentos sobre 
um referencial teórico mais preciso, determinando a base da mecânica dos 
movimentos. 
7Dinâmica do ponto material: força
Como ponto de partida do movimento dos corpos, definiremos movimento 
como a variação da posição de um objeto no transcorrer do tempo. É fácil 
listar exemplos de movimento como bicicletas, bolas esportivas, carros, ae-
roplanos e foguetes, que são todos objetos capazes de se mover. O caminho 
ao longo do qual eles se movem pode ser uma linha reta ou curva, chamado 
de trajetória do objeto.
A Figura 5, a seguir, mostra alguns tipos básicos de movimento, dentre os 
quais temos o movimento em uma reta, o circular e o de um projétil, além do 
movimento rotacional, que é um pouco diferente dos outros três no sentido 
de que a rotação é uma variação da posição angular do objeto.
Figura 5. Tipos de movimentos.
Fonte:Knight (2009, p. 3).
Dinâmica do ponto material: força8
O movimento dos corpos é um assunto importantíssimo no universo da 
dinâmica. Embora todos tenham intuições sobre o movimento baseadas em 
suas experiências, alguns dos aspectos importantes do movimento são muito 
sutis. A Figura 6 demonstra os diagramas de movimentos de forma a facilitar 
a compreensão aos conceitos necessários para descrever o movimento de um 
objeto.
Figura 6. Exemplo de diagramas de movimento.
Fonte: Knight (2009, p. 4).
9Dinâmica do ponto material: força
Como estudamos, os movimentos podem ser determinados por meio da 
identificação de todas as forças externas, em forma vetorial, e da aplicação 
da segunda lei de Newton. No entanto, em sistemas com vários graus de 
liberdade (restrições) e com muitas forças, esse procedimento pode tornar-se 
complicado. Para isso, conheceremos os dois tipos de movimentos a seguir:
 � dos corpos sem restrição;
 � dos corpos com restrição.
Movimento dos corpos sem restrição 
Analisar a dinâmica do movimento dos corpos requer uma análise minuciosa 
dos diagramas esquemáticos da cinemática dos elos e das juntas que compõem 
um mecanismo dinâmico. Os movimentos possíveis devem estar claros e óbvios 
durante o desenvolvimento de projetos desses mecanismos.
Quando não há restrição, por exemplo, o que mantém o objeto (corpo) em 
movimento? Essa dúvida pode ser explicada utilizando o exemplo da montanha 
russa ou da queda livre (Figura 7), que é uma particularidade do movimento 
uniformemente variado. Sendo assim, trata-se de um movimento acelerado, 
fato esse que o próprio Galileu conseguiu provar. Esse movimento sofre a 
ação da aceleração da gravidade, que é representada por g e variável para cada 
ponto da superfície da Terra. Porém, para o estudo de Física, e desprezando 
a resistência do ar, seu valor é constante e aproximadamente igual a 9,8 m/s2.
Figura 7. Experimento de queda livre analisado por um software.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 52).
Dinâmica do ponto material: força10
Movimento dos corpos com restrição 
Algumas vezes, as condições dentro das quais o movimento se dá impõem 
restrições a ele, para as quais damos o nome de vínculos. Os vínculos mais 
comuns são aqueles dados por superfícies que restringem o movimento de 
partículas. O principal interesse no estudo de sistemas com restrição ao mo-
vimento é investigar o problema da instabilidade do contato entre os corpos, 
como acontece com mecanismos mecânicos ao interagirem com o ambiente 
ao seu redor, conforme demonstrado na Figura 8, a seguir.
Figura 8. Análise dinâmica de um mecanismo biela-manivela.
Fonte: Norton (2010, p. 570).
11Dinâmica do ponto material: força
Análise dinâmica dos mecanismos pode ser realizada por vários métodos. Porém, 
aquela que fornece mais informações sobre as forças internas do mecanismo requer 
somente o uso das leis de Newton. Elas podem ser escritas como um somatório de 
todas as forças e todos os torques do sistema (NORTON, 2010).
Movimentos retilíneos e curvilíneos, 
uniformes e acelerados
Na fundamentação dos movimentos retilíneos e curvilíneos, uniformes e acelera-
dos, inicialmente, precisamos compreender a dinâmica e as equações que a regem.
A equação do movimento
A equação de movimento é uma das mais importantes formulações da mecâ-
nica e é determinada quando mais de uma força age em um ponto material. 
A força resultante é determinada pela soma vetorial de todas as forças, descrita 
pela seguinte equação:
ΣF = m · a
Essa equação relaciona as forças que atuam sobre a partícula e o vetor 
m · a, conforme demonstrado na Figura 9.
Figura 9. A soma das forças aplicadas a uma partícula de 
massa m produz um vetor ma na direção da força resultante.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 723).
Dinâmica do ponto material: força12
No século XVIII, Jean-Baptiste le Rond d’Alembert expressou a segunda lei de Newton 
como ΣF = m · a = 0, de forma que pudesse resolver problemas de dinâmica usando 
princípios da estática. O termo -ma é chamado de força inercial fictícia, mas é im-
portante que você saiba que não existem forças inerciais (ou força centrífuga que o 
“empurre” para fora ao fazer uma curva). O princípio de D’Alembert (também chamado 
de equilíbrio dinâmico) é raramente utilizado na engenharia moderna (BEER et al., 2019).
Duas das mais importantes ferramentas que você usará para resolver pro-
blemas de dinâmica, particularmente aqueles que envolvem a segunda lei de 
Newton, são os diagramas de corpo livre e cinético, demonstradas na Figura 10. 
Esses diagramas têm a função de modelar sistemas dinâmicos e aplicar as 
equações de movimento mais adequadas. 
Figura 10. Etapas no desenho de diagramas de corpo livre e cinético para resolver pro-
blemas de dinâmica.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 724).
13Dinâmica do ponto material: força
A física mecânica divide a dinâmica do ponto material em dois principais 
movimentos: 
 � retilíneo;
 � curvilíneo.
Movimento retilíneo é o de um ponto P ao longo de uma linha reta, que, 
por conveniência, é escolhida como o eixo x. Símbolos vetoriais são desne-
cessários nessa parte. A posição do ponto P em qualquer instante t é expressa 
em termos de sua distância x de uma origem fixa O no eixo x (NELSON; 
MCLEAN; POTTER, 2013).
Essa distância x é positiva ou negativa de acordo com a convenção de 
sinal utilizada. A velocidade média vméd do ponto P durante o intervalo de 
tempo entre t e t + Δt, durante o qual sua posição muda de x para x + Δx, é o 
quociente . Matematicamente, isso é:
A velocidade instantânea v do ponto P no tempo t é o limite da velocidade 
média quando o incremento de tempo aproxima-se de zero. Matematicamente, 
isso é:
A aceleração média améd do ponto P durante o intervalo de tempo entre t 
e t + Δt, durante o qual sua velocidade muda de v para v + Δv, é o quociente 
. Matematicamente, isso é:
Dinâmica do ponto material: força14
A aceleração instantânea a do ponto P no tempo t é o limite da aceleração 
média quando o incremento de tempo aproxima-se de zero. Matematicamente, 
isso é:
Para aceleração constante a = a0, as seguintes fórmulas são válidas:
v = v0 + a0t 
v2 = v0
2 + 2a0s 
s = v0 t + ½ a0t
2 
s = ½ (v+v0)t
onde: 
v0 = velocidade inicial
v = velocidade final 
a0 = aceleração constante
t = tempo 
s = deslocamento
O movimento curvilíneo é acontece ao longo de uma curva plana (trajetória). 
A velocidade e a aceleração de um ponto sobre essa curva são expressas em 
componentes retangulares, componentes tangencial e normal e componentes 
radial e transversal (NELSON; MCLEAN; POTTER, 2013).
As fortes acelerações que sentimos numa montanha russa não são devido 
a apenas aumentos e diminuições de velocidade, mas também são causadas 
pelo movimento curvilíneo. A taxa de aumento da velocidade é apenas uma 
das componentes da aceleração: a aceleração tangencial. A outra componente 
da aceleração depende da velocidade e do raio de curvatura da trajetória dos 
movimentos curvilíneos, em que a direção da aceleração e, por conseguinte, da 
força resultante não coincide com a do movimento. Torna-se comum, por parte 
dos alunos, a interpretação de que, por exemplo, em uma trajetória circular, 
15Dinâmica do ponto material: força
há um cancelamento de componentes radiais de forças, já que o movimento 
não ocorre nessa direção.
Para definir a posição P ocupada por uma partícula em movimento cur-
vilíneo em um dado tempo t, selecionamos um sistema de referência fixo, 
como os eixos x, y, z mostrados na Figura 11, e desenhamos o vetor r, unindo 
a origem O e o ponto P. O vetor r é caracterizado pela sua intensidade r e sua 
direção em relação aos eixos de referência, de modo que define completamente 
a posição da partícula em relação a esses eixos. Referimo-nos ao vetor r como 
o de posição da partícula no tempo t.
Figura 11. Vetores de posição para uma partícula que se 
move ao longo de uma curva.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 663).
Quando estiver aplicando a segunda lei de Newtonaos tipos de movimento, 
você achará mais conveniente expressar os vetores F e a em termos de seus 
componentes retangulares, tangencial e normal, ou seus componentes radial 
e transversal, conforme as seguintes aplicações.
Com componentes retangulares, utilizamos as seguintes equações:
Com componentes tangencial e normal, utilizamos as seguintes equações:
Dinâmica do ponto material: força16
Com componentes radial e transversal, utilizamos as seguintes equações:
No desenvolvimento de projetos relacionados à dinâmica dos movimentos, com 
certeza, você aplicará a segunda lei de Newton do movimento, para relacionar as 
forças que atuam sobre uma partícula em seu movimento, utilizando um dos seguintes 
métodos ou ambos:
 � calculando as equações de movimento dos componentes retangulares, dos com-
ponentes tangencial e normal e dos componentes radial e transversal;
 � desenhando os diagramas de corpo livre e cinético; 
 � aplicando a segunda lei de Newton, utilizando a equação ΣF = m · a.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: mecânica. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 11. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2019.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Mecânica Newtoniana, Gravitação, Oscilações e Ondas, v. 1).
NELSON, E. W.; MCLEAN, W. G.; POTTER, M. C. Engenharia mecânica: dinâmica. 5. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2013. (Série Schaum).
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010. 
17Dinâmica do ponto material: força