Fisica - UNIUBE

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Valdir Barbosa da Silva Júnior
Welington Mrad Joaquim
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo
Robson Humberto Rosa
Física, volume 1
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
F539 Física, volume 1 / Valdir Barbosa da Silva Júnior ... [et al.]. – 
 Uberaba : Universidade de Uberaba, 2018. 
 192 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
	 							Inclui	bibliografia																					
 ISBN 978-85-7777-777-8
 
 1. Física. 2. Mecânica. 3. Cinemática. I. Silva Júnior, Valdir 
 Barbosa da. II. Universidade de Uberaba. Programa de Educação a 
 Distância. III. Título. 
 CDD 530
© 2018 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico 
ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de 
armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, 
da Universidade de Uberaba.
Universidade de Uberaba
Reitor
Marcelo Palmério
Pró-Reitor de Educação a Distância
Fernando César Marra e Silva
Coordenação de Graduação a Distância
Sílvia Denise dos Santos Bisinotto
Editoração e Arte
Produção de Materiais Didáticos-Uniube
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Sobre os autores
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo
Doutorado em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Campinas (Uni-
camp); mestrado em Engenharia Civil pela mesma instituição; graduado em 
Engenharia Civil pela Universidade de Uberaba (Uniube). Professor adjunto 
do curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Triângulo Mineiro 
(UFTM).
Robson Humberto Rosa
Graduado em Física pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU). Professor 
de Física no ensino superior da Faculdade Talentos Humanos, nos cursos de 
Engenharia.
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Especialista em ensino de Física e em docência do ensino superior pela Univer-
sidade do Oeste Paulista. Licenciado em Ciências Físicas. Docente no ensino 
médio, desde 1995, em escola da rede privada. Docente nos cursos de gradua-
ção em Engenharia e Tecnologia em Produção Sucroalcooleira, da Universidade 
de Uberaba (Uniube).
Welington Mrad Joaquim
Graduado e licenciado em Física pela Fundação Educacional de Barretos. Es-
pecialista em Ensino de Física pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU). 
Professor do curso de Gestão em Agronegócios da Universidade de Uberaba 
(Uniube). Professor do Colégio Nossa Senhora das Dores, do Colégio Nossa 
Senhora das Graças e do curso de Engenharia Civil do Centro de Ensino Su-
perior de Uberaba (Cesube).
Sumário
Apresentação ................................................................................................. XI
Capítulo 1 Introdução ao estudo da mecânica ...............................................1
1.1 A física e suas divisões ............................................................................... 3
1.2 Grandeza física e principais unidades de medida .................................................4
1.2.1 Notação científica ............................................................................... 8
1.3 Cinemática ................................................................................................................10
1.3.1 Movimento e repouso .........................................................................................10
1.3.2 Partícula (ponto material) ...................................................................................11
1.3.3 Posição e deslocamento ....................................................................................11
1.3.4 Velocidade média e velocidade escalar média ..................................................12
1.3.5 Velocidade instantânea ......................................................................................13
1.4 Aceleração instantânea e aceleração média ............................................................15
1.4.1 Classificação dos movimentos ...........................................................................16
1.4.2 Movimento com aceleração constante ...............................................................19
1.5 Movimento na vertical ...............................................................................................22
1.6 Introdução ao estudo dos vetores ............................................................................24
1.6.1 As grandezas físicas .........................................................................................25
1.6.2 Componentes de vetor .......................................................................................25
1.6.3 Vetor velocidade e vetor aceleração ..................................................................26
1.7 Lançamento horizontal .............................................................................................29
1.8 Lançamento oblíquo .................................................................................................31
1.9 Movimento circular uniforme (MCU) .........................................................................33
Capítulo 2 Princípios da dinâmica e estática dos pontos materiais ..........45
2.1 Força e energia .........................................................................................................46
2.2 Introdução ao estudo da dinâmica ............................................................................47
VI UNIUBE
2.2.1 Força resultante ................................................................................................49
2.2.2 Equilíbrio ............................................................................................................50
2.3 As leis de Newton .....................................................................................................50
2.3.1 Primeira lei de Newton .......................................................................................50
2.3.2 Segunda lei de Newton ......................................................................................52
2.3.3 Terceira lei de Newton ........................................................................................52
2.4 Força peso ( P

) ........................................................................................................55
2.5 Força normal ( N

) ....................................................................................................57
2.6 Força de tração (T

) .................................................................................................58
2.7 Força elástica ( eF

) ...................................................................................................58
2.8 Força de atrito ( atF ) .................................................................................................60
2.9 Estática dos pontos materiais .............................................................................64
2.10 Forças no plano ........................................................................................................65
2.10.1 Lei do paralelogramo ........................................................................................65
2.10.2 Componentes cartesianas de uma força ..........................................................68
2.11 Equilíbrio de um ponto material ................................................................................71
2.11.1 Forças no espaço .............................................................................................74
2.12 Equilíbrio de um ponto material no espaço ..............................................................80Capítulo 3 Trabalho e energia .......................................................................89
3.1 Trabalho de uma força ..............................................................................................90
3.2 Movimento em uma dimensão com força variável ...................................................92
3.3 Trabalho da força elástica .........................................................................................93
3.4 Potência ....................................................................................................................94
3.5 A energia no cotidiano ..............................................................................................96
3.5.1 Energia solar ......................................................................................................98
3.5.2 Energia nuclear ...............................................................................................99
3.5.3 Energia eólica ...................................................................................................101
3.5.4 Energia mecânica ............................................................................................102
3.6 Princípio da conservação da energia .....................................................................103
3.7 Energia cinética ......................................................................................................104
3.8 Teorema da energia cinética ...................................................................................106
3.8.1 Trabalho de uma força constante .....................................................................106
3.9 Energia potencial ...................................................................................................110
UNIUBE VII
3.9.1 Energia potencial gravitacional ........................................................................110
3.9.2 Energia potencial elástica ................................................................................112
Capítulo 4 Sistemas de partículas, torque e movimento rotacional ..........123
4.1 Sistema de partículas .............................................................................................124
4.2 Centro de massa e centro de gravidade .................................................................125
4.3 Posição do centro de massa de um sistema de partículas ....................................128
4.3.1 Sistema de partículas com uma dimensão ......................................................128
4.3.2 Sistema de partículas com duas dimensões ....................................................129
4.4 A segunda lei de Newton para um sistema de partículas .......................................130
4.5 Momento linear e impulso .......................................................................................131
4.5.1 Momento linear ou quantidade de movimento de uma partícula ( p ) ..............131
4.5.2 Impulso .............................................................................................................132
4.5.3 Teorema do impulso .........................................................................................133
4.6 Colisões ..................................................................................................................136
4.7 Momento e energia cinética em colisões ................................................................137
4.8 Conservação da quantidade de movimento ...........................................................139
4.8.1 Coeficiente de restituição .................................................................................139
4.8.2 Velocidade relativa ...........................................................................................140
4.9 Movimento rotacional ..............................................................................................141
4.9.1 Posição angular ................................................................................................141
4.9.2 Deslocamento angular .....................................................................................142
4.9.3 Velocidade angular ...........................................................................................143
4.9.4 Aceleração angular ...........................................................................................143
4.9.5 Relação entre velocidade linear e angular .......................................................144
4.9.6 Energia cinética de rotação ..............................................................................145
4.10 Momento de inércia ................................................................................................146
4.10.1 Energia cinética de rotação ............................................................................147
4.11 Torque ( ) .................................................................................................................147
4.12 Momento angular.....................................................................................................148
4.12.1 Conservação do momento angular ................................................................150
Referencial de respostas ............................................................................153
Apresentação
A Física é, talvez, entre as ciências exatas, a que mais faz parte da vida do homem. 
Com o desenvolvimento tecnológico recente, a física objetiva descrever como ocor-
rem os fenômenos naturais, com hipóteses, teses, experimentos e teorias. Assim, 
podemos descrevê-la como o ramo da ciência que, juntamente com a matemática, 
a biologia e a química, procura explicar os fenômenos que ocorrem na natureza 
pela experimentação e elaboração de conceitos e teorias. Na física, portanto, 
analisam-se os movimentos dos corpos, as trocas de energia entre sistemas, a 
propagação da luz e muitos outros fenômenos. 
A física moderna é relativamente lembrada quando falamos de mecânica quân-
tica e a teoria da relatividade, assim como as novas descobertas do dia a dia, 
pois são teorias surgidas no começo do século XX. Representada por Max 
Planck e Einstein, a mecânica quântica teve sua ascensão quando resolvido o 
problema da radiação do corpo negro. Já Maxwell, comprovou a teoria clássica 
do eletromagnetismo. 
A física clássica, estudada nos cursos de ensino médio e nos anos iniciais dos 
cursos superiores, costuma ser dividida em cinco grandes grupos: a mecânica; 
a termodinâmica; a óptica; a ondulatória e a eletricidade. Nela, são citados gran-
des nomes de pesquisadores, como Johannes Kepler, que formulou as três leis 
da mecânica celeste; Christiaan Huygens, descobridor dos anéis de Saturno; e 
Simon Stevin, que desenvolveu grandes teorias na estática e hidrostática. Te-
mos, ainda, Galileu Galilei, considerado o pai da física por inúmeras definições 
e conceitos, e Isaac Newton, o cientista inglês mais conhecido como físico e 
matemático.
Este livro faz parte da nossa coleção de física, que compreende a mecânica. 
A elaboração dos livros desta coleção teve por meta oferecer a você um ins-
trumento de trabalho simples, dinâmico e adaptado à realidade do ensino em 
nosso país. 
X UNIUBE
No primeiro capítulo, é abordada a cinemática, buscando-se o entendimento 
dos movimentos relacionados ao ponto material, estudo que é reforçado com 
uma série de exercícios. 
Tendo você compreendido os conceitos abordados no Capítulo 1, a sequência 
de estudos se tornará mais fácil e prazerosa no Capítulo 2, uma vez que, agora, 
é abordado o movimento dos corpos e as causas que os relacionam. Antes 
não nos preocupávamos com o que fazia o corpo se movimentar, somente nos 
interessava o seu movimento. 
O Capítulo 3 trata da energia, que é um dos conceitos essenciais da física e 
pode ser encontrado em todas as suas disciplinas, assim como em outras, par-
ticularmente na química. 
No quarto e último capítulo, são abordadosos sistemas de partículas, o torque 
e o movimento rotacional. Você, com certeza, já deve ter se perguntado a res-
peito do motivo de a maçaneta da porta ser posta o mais distante possível da 
dobradiça e sobre como aplicar diversas forças em variadas direções mantendo 
o corpo em equilíbrio.
Enfim, procuramos oferecer, no início de cada capítulo, uma sólida base teórica, 
para que você tenha uma visão geral do assunto. Esta é, com certeza, uma 
etapa muito importante do seu processo de aprendizagem, considerando não só 
o estudo da física como também o conjunto das disciplinas que correspondem 
ao estágio atual de sua jornada acadêmica.
Valdir Barbosa da Silva Júnior /
Welington Mrad Joaquim
Introdução
Desejamos que você inicie, com entusiasmo, mais um ciclo de sua 
formação acadêmica e profissional, e aprenda, nesse trajeto, a geren-
ciar o seu tempo, dispondo -se a estar cada vez mais preparado para o 
aprendizado que deverá ser constante.
Esse é um tempo para desenvolver novas habilidades, visando sua 
formação profissional. Pensando nisso, foi que elaboramos este livro, 
a fim de lhe possibilitar um ganho no que se refere à construção de 
conhecimentos de física.
A física dentro das ciências exatas é a que mais faz parte da vida do 
homem. Ela está presente quando andamos, falamos, pegamos algum 
objeto. A gravidade, por sua vez, está presente na Terra e há inúmeras 
formas de representá -la.
Durante o estudo da física, percebemos uma forte presença da mate-
mática, mas não há limitação em termos de números e equações, pois 
a física engloba todo o universo, desde uma partícula que compõe um 
átomo até a imensidão do universo.
Neste primeiro capítulo, iremos abordar, dentro da mecânica, a cinemá-
tica, que se refere ao movimento dos corpos. Você terá a oportunidade 
de revisar vários conceitos da física, principalmente aqueles relaciona-
dos à cinemática. Eles serão importantes para o entendimento de outros 
conteúdos da física que você estudará ao longo de seu curso.
No decorrer do capítulo, estão propostas algumas atividades para que 
você possa praticar os conceitos trabalhados. Recomendamos a você 
Introdução ao 
estudo da mecânica
Capítulo
1
2 UNIUBE
que faça as atividades antes de conferir o referencial de respostas. É 
preciso que você desenvolva seu método de raciocinar a partir da re-
solução que oferecemos para os exercícios.
É com o objetivo de descobrir novidades e vencer desafios que iremos 
iniciar o estudo da física. Não temos a intenção de esgotar o assunto 
apresentado aqui, mas, sim, procurar motivá -lo para a construção de 
conhecimentos.
Bons estudos!
Objetivos
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que você 
esteja apto(a) a:
• utilizar as unidades de medidas das grandezas físicas, de acordo 
com o Sistema Internacional de Unidades;
• identificar os algarismos mais significativos nos seus cálculos;
• conhecer e identificar os princípios fundamentais da mecânica;
• conceituar e calcular deslocamento, velocidade média instantâ-
nea e aceleração média e instantânea;
• descrever o movimento retilíneo em termos de velocidade média 
e instantânea;
• solucionar problemas relacionados ao movimento retilíneo com 
aceleração constante, incluindo questões de queda livre.
Esquema
1.1 A física e suas divisões
1.2 Grandeza física e principais unidades de medida
1.2.1 Notação científica
1.3 Cinemática
1.3.1 Movimento e repouso
1.3.2 Partícula (ponto material)
1.3.3 Posição e deslocamento
1.3. 4 Velocidade média e velocidade escalar média
1.3. 5 Velocidade instantânea
1.4 Aceleração instantânea e aceleração média
1.4.1 Classificação dos movimentos
UNIUBE 3
1.4.2 Movimento com aceleração constante
 1.4.2.1 Uma outra visão
1.5 Movimento na bertical
1.6 Introdução ao estudo dos vetores
1.6.1 As grandezas físicas
1.6.2 Componentes de vetor
1.6.3 Vetor velocidade e vetor aceleração
 1.6.3.1 Vetor velocidade
 1.6.3.2 Vetor aceleração
1.7 Lançamento horizontal
1.8 Lançamento oblíquo
1.9 Movimento circular uniforme (MCU)
Resumo
Atividades
 1.1 A física e suas divisões 
A física assistida no nível superior não possui uma área de atuação específica, 
pois se pretende formar profissionais versáteis o suficiente para resolverem 
problemas atuais por meio de uma abordagem interdisciplinar.
 
Mas o que é física?
Física: é a ciência que estuda as leis naturais (do grego physikê),	a	fim	de	favorecer	
o homem em seu trabalho relativo às leis que regem os fenômenos da natureza.
Mas o que é física?
Física: é a ciência que estuda as leis naturais (do grego physikê),	a	fim	de	favorecer	
o homem em seu trabalho relativo às leis que regem os fenômenos da natureza.
As leis ou os princípios físicos, frequentemente, são expressos por relações ma-
temáticas entre grandezas físicas presentes em um determinado fenômeno.
Ao abordarmos o estudo da física, precisamos antes, compreender suas divi-
sões:
• Mecânica: estuda os movimentos e está subdividida em cinemática, dinâmica, 
estática, gravitação e hidrostática.
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• Termologia: estuda os fenômenos térmicos e está subdividida em termome-
tria, calorimetria, termodinâmica, estudo dos gases e estudo das dilatações 
térmicas.
• Óptica: estuda os fenômenos luminosos, sendo subdividida em óptica geo-
métrica e óptica física.
• Ondulatória: estuda os fenômenos envolvendo as ondas.
• Eletricidade: estuda os fenômenos elétricos, sendo dividida em eletrostática, 
eletrodinâmica e eletromagnetismo.
• Física moderna: estuda um conjunto de teorias, principiando a mecânica 
quântica e a teoria da relatividade, bem como todas as teorias posteriores.
 1.2 Grandeza física e principais unidades de medida
Na física, uma grandeza ou quantidade é o conceito que descreve qualitativa e 
quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da 
natureza (no seu sentido mais amplo), daí sua importância nesta parte inicial 
do nosso estudo. 
Uma grandeza descreve qualitativamente um conceito porque para cada noção 
diferente pode haver (pelo menos em princípio) uma grandeza diferente e vice-
-versa.
Podemos classificar as grandezas da seguinte forma:
• Grandezas escalares: são completamente definidas quando são especificados 
o seu módulo e a sua unidade de medida, por exemplo: tempo, temperatura, 
área e volume.
• Grandezas vetoriais: são aquelas que, para serem caracterizadas, necessitam 
de um número e uma unidade (valor algebraico), direção e sentido.
• Grandezas fundamentais: são as grandezas ditas primitivas, de que não 
dependem de outras para serem definidas. Exemplos: massa, tempo, com-
primento.
• Grandezas derivadas: são definidas por relação entre as grandezas funda-
mentais. Exemplos: velocidade, força, potência.
UNIUBE 5
 IMPORTANTE! 
Grandeza física: algo suscetível de ser comparado e medido.
Como exemplo, temos: tempo, comprimento, massa etc.
 IMPORTANTE! 
Grandeza física: algo suscetível de ser comparado e medido.
Como exemplo, temos: tempo, comprimento, massa etc.
De acordo com o SI (Sistema Internacional), há sete unidades fundamentais, 
cada qual correspondendo a uma grandeza (Quadro 1):
Quadro 1: Unidades fundamentais do Sistema Internacional (SI).
Nome Símbolo Grandeza
metro m Comprimento
quilograma kg Massa
segundo s Tempo
ampére A Intensidade de corrente 
elétrica
Kelvin K Temperatura
Mol mol Quantidade de matéria
Candela cd Intensidade luminosa
 SAIBA MAIS 
A variedade das unidades de determinada grandeza se deve às unidades de base. 
Com as relações específicas, temos, a partir das unidades de base, as unidades 
derivadas.
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
A variedade das unidades de determinada grandeza se deve às unidades de base. 
Com as relações específicas, temos, a partir das unidades de base, as unidades 
derivadas.
Por exemplo: a unidade de medida da velocidade é m/s, sendo esta uma unidade 
derivada do comprimento (m) por tempo (s). Veja a representação:
/m m s
s
=
sv
t
∆
= =
∆
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A seguir, abordaremos algumas unidades bastanteutilizadas no nosso dia a dia.
• Algumas unidades de comprimento
1 m = 100 cm = 1000 mm
1 km = 1000 m = 0,6214 mi (milhas)
1 cm = 0,3937 pol
1 mi = 5280 pés = 1,609 km
• Algumas unidades de tempo
1 min = 60 s
1 h = 3600 s
1 dia = 24 h = 86400 s
1 ano = 365,24 dias = 3,156 . 107 s
• Algumas unidades de massa
1 kg = 1000 g = 103 g 
1 ton (tonelada) = 1000 g = 103 kg
1 libra = 453,59237 g
• As principais unidades de velocidade
1 m/s = 3,281 pés/s
1 pé/s = 0,3048 m/s
1 mi/min = 60 mi/h
1 km/h = 0,6214 mi/h
Sendo que no sistema internacional (SI), temos: m/s.
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A unidade usual é km/h, portanto vale lembrar a observação, a seguir:
1000 11
36000 3,6
km m m
h s s
= =
Deste modo, chegamos à seguinte conclusão: 
dividir por 3,6
multiplicar por 3,6
km/h m/s
 EXEMPLIFICANDO! 
1 – Transformações de unidades:
a) 3,45 min em segundos. 
Resolução:
Separando a parte inteira da decimal, 3,45 min = 3min + 0,45 min, temos que:
0,45 min × 60 = 27 s
Transformando 3 min em segundos:
3 minutos × 60 = 180 s
3,45 min = 27 + 180 = 207 s
b) 250 g em kg. 
Resolução:
1 1000
250
250 0,25
1000
kg g
x g
x x kg
®
®
= \ =
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c) Quantas horas, minutos e segundos há em 17,52 h?
Resolução: 
Separando -se a parte inteira da parte decimal, temos:
17,52 h = 17 h + 0,52 h;
transformando 0,52 h em minutos:
0,52 × 60 min = 31,2 min;
separando -se a parte inteira da parte decimal 
31,2 min = 31 min + 0,2 min;
transformando 0,2 min em segundos:
0,2 × 60 s = 12 s;
17 h 31 min 12 s = 17,52 h
1.2.1 Notação científica
É todo número escrito na forma, em que n é um numero inteiro.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos nem sempre é tarefa das 
mais fáceis. A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente 
extensos foi do matemático e filósofo grego Arquimedes, que foi descrito em sua obra 
O contador de areia, onde desenvolveu um método de representação numérica para 
estimar quantos grãos de areia existiam no universo.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos nem sempre é tarefa das 
mais fáceis. A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente 
extensos foi do matemático e filósofo grego Arquimedes, que foi descrito em sua obra 
O contador de areia, onde desenvolveu um método de representação numérica para 
estimar quantos grãos de areia existiam no universo.
Observe algumas exemplificações:
São dados dois números:
• um muito grande (300.000.000.000.000.000) = 3 × 1017
• um muito pequeno (0,000.000.000.000.015) = 1,5 × 10 -14
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A condição para colocarmos um número em notação científica é: 1 10a≤ <
Logo, 
(300.000.000.000.000.000) = 3×1017
(0,000.000.000.000.015) = 1,5×10 -14
Podemos concluir que a notação científica é muito útil na representação de 
números pequenos ou muito grandes.
 EXEMPLIFICANDO! 
2 – Escreva os números seguintes em notação científica: 
a) 876.000.000
b) 0,000.051
Agora, acompanhe nossa resolução.
a) Para escrever em notação científica, a vírgula é colocada entre os algarismos 8 e 
7, resultando 8 casas decimais:
876.000.000 = 8,76×10n → 8,76×108
b) A vírgula é grafada entre 5 e 1, deslocando se, então, 5 casas para a direita:
0,000.051 = 5,1×10n → 5,1×10 -5
Agora, realize a atividade, a seguir, tendo como base os exemplos anteriores:
 AGORA É A SUA VEZ 
1. Escreva em notação científica os seguintes números:
a) 876.000 b) 0,000.51 c) 122,5.108 d) 0,000.000.4.10 –8
2. Quantas horas, minutos e segundos há em 21,86 h?
AGORA É A SUA VEZ 
1. Escreva em notação científica os seguintes números:
a) 876.000 b) 0,000.51 c) 122,5.108 d) 0,000.000.4.10 –8
2. Quantas horas, minutos e segundos há em 21,86 h?
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 1.3 Cinemática
 
Você sabe o que significa cinemática?Você sabe o que significa cinemática?
Cinemática é o ramo da física que procura descrever os movimentos. Neste 
sentido, são enfocados o estudo da posição, do deslocamento, do espaço 
percorrido, da velocidade e da aceleração dos corpos.
Passemos, então, ao estudo desse ramo da física.
1.3.1 Movimento e repouso
O estado de movimento de um corpo define-se como aquele em que o corpo 
altera a sua posição, relativamente, a um referencial, ao longo do tempo.
Um corpo está em repouso quando a sua posição, relativamente a um referencial, 
permanece inalterado ao longo do tempo.
O estado de movimento ou de repouso depende do referencial que é usado, 
sendo por isso um estudo relativo. Um corpo pode estar em repouso, relativa-
mente a um referencial e, ao mesmo tempo, em movimento, relativamente a 
outro referencial.
Um dos exemplos mais comuns é utilizarmos diferentes referenciais em um 
ônibus em movimento, com vários passageiros em seu interior.
Se utilizarmos como referencial do movimento o condutor do ônibus, responda:
1º caso
Todos os passageiros que vão sentados no interior do ônibus estão em repouso 
ou movimento, relativamente a ele?
2º caso
Se utilizarmos como referencial uma pessoa parada na calçada, todos os pas-
sageiros estão em repouso ou em movimento relativamente a essa pessoa?
UNIUBE 11
Observe que o referencial é importantíssimo para respondermos a essas 
questões.
Respondendo:
1º caso
Todos os passageiros estão em repouso.
2º caso
Todos os passageiros estão em movimento.
1.3.2 Partícula (ponto material)
Uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal ma-
neira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Imagine só! Uma formiga é, certamente, um ponto material?
Bom, apesar do seu tamanho (bem pequeno), teremos lugares e corpos os quais farão 
com que a formiga não seja considerada um ponto material. Então, vale ressaltar que 
depende do lugar e dos objetos que estão ao redor.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Imagine só! Uma formiga é, certamente, um ponto material?
Bom, apesar do seu tamanho (bem pequeno), teremos lugares e corpos os quais farão 
com que a formiga não seja considerada um ponto material. Então, vale ressaltar que 
depende do lugar e dos objetos que estão ao redor.
Em resumo, vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os corpos que 
tenham apenas movimento de translação, sendo o caso mais simples a situação 
em que estes apresentam movimento retilíneo.
1.3.3 Posição e deslocamento
A localização de uma partícula é fundamental para a análise do seu movimento. 
O seu movimento é completamente conhecido se a sua posição no espaço é 
conhecida em todos os instantes.
Vamos considerar que esse movimento é composto de uma trajetória retilínea 
que tem como posição inicial o ponto P, com coordenada x0, no instante t0 e 
posição final com coordenada x, no instante t.
12 UNIUBE
O deslocamento x∆ é uma medida da diferença entre as posições: final x e 
inicial x0.
Veja o esquema, a seguir, que ilustra bem o que definimos aqui:
Temos que:
0x = x - x∆
Desse modo, podemos dizer que:
• posição é o valor algébrico que um corpo pode adquirir ao longo de uma 
trajetória;
• as mudanças de posição de um móvel, sobre uma trajetória, podem ser ex-
pressas numericamente pelo deslocamento escalar.
1.3.4 Velocidade média e velocidade escalar média
 IMPORTANTE! 
A velocidade média é uma grandeza física associada à “rapidez” de uma partícula.
 IMPORTANTE! 
A velocidade média é uma grandeza física associada à “rapidez” de uma partícula.
A velocidade de uma partícula, no geral, é a razão segundo a qual a sua posição 
varia com o tempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, 
dependendo da sofisticação dos nossos instrumentos de medida.
A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância percorrida 
(comprimento do “caminho descrito pelo móvel em seu movimento”) e o tempo 
gasto no percurso: 
UNIUBE 13
Se uma viagem entre duas cidades A e B distantes 120 km uma da outra durou 
1,5 h, nós dizemos que o percurso foi vencido com uma velocidade escalar mé-
dia de 80 km/h. Na vida cotidiana, essa informaçãoé suficiente para descrever 
uma viagem.
Já a velocidade média, por sua vez, é definida como a razão entre o desloca-
mento e o tempo necessário para esse evento:
Considerações importantes:
• a velocidade escalar é sempre positiva; é o módulo da velocidade sem qual-
quer indicação de direção e sentido;
• a velocidade média representa o que aconteceu entre o início e o fim de uma 
viagem;
• quando o valor da velocidade média for positivo, o movimento é classificado 
como progressivo e o móvel caminha a favor da trajetória;
• quando o valor da velocidade média for negativo, o movimento é classificado 
como retrógrado e o móvel caminha contra a trajetória.
1.3.5 Velocidade instantânea
Na figura a seguir, podemos observar que à medida que o intervalo de tempo 
t∆ diminui, o ponto P2 se aproxima do ponto P1. Quando 0t∆ → , o ponto P2 
tende ao ponto P1, a reta que os une passa a coincidir com a própria tangente (à 
curva no ponto P1), ou seja, a reta V = tangα . Assim, a velocidade instantânea 
em um dado ponto no gráfico espaço versus tempo é a tangente à curva neste 
ponto específico. 
14 UNIUBE
 Figura 1: Velocidade instantânea.
A velocidade instantânea “v” nos dá informações sobre o que está acontecendo 
em um dado momento. Ela é definida como:
lim
0t
x dx
t dtV D ®
D
=
D=
Conforme vimos, a velocidade média representa o que aconteceu entre o início 
e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea, em um dado momento, 
representa o que aconteceu naquele momento. Relacionando as velocidades 
instantâneas de cada um dos momentos, temos uma informação completa de 
como variou a velocidade ao longo de toda a viagem.
No movimento retilíneo e uniforme, a partícula se move com velocidade cons-
tante. A sua característica é que a velocidade, em qualquer instante, é igual à 
velocidade média. Portanto, a equação que define este tipo de movimento é:
X V t= ×
No movimento uniforme, o móvel percorre, para intervalos de tempos iguais, 
espaços também iguais. Quando este movimento for, também, retilíneo podemos 
verificar que não existirá aceleração. Uma vez retilíneo, não existirá aceleração 
de forma alguma.
UNIUBE 15
 EXEMPLIFICANDO! 
3 – Normalmente, você gasta 10 min, de carro, para percorrer 5 mi até a faculdade 
em uma pista retilínea. Você sai de casa 15 min antes de as aulas começarem. Em 
um determinado dia, um semáforo quebrado causa-lhe um atraso, diminuindo o fluxo 
do tráfego para 20 mph nas primeiras 2 mi do trajeto. Nessas condições, você se 
atrasaria para as aulas?
Vamos resolver juntos!
2 3T mi miT T T∆ = ∆ + ∆
Utilizando .x Vm T∆ = ∆ , temos:
2
3
2 0,1 6min
20 /
3
5 0,5 / min
10min
mi
méd
mi
méd usual
total
usual
usual
X miT h
V mi h
X miT
V V
X miV mi
t
∆
∆ = = = =
∆
∆ = =
∆
= = =
∆
Para 3miT∆ , vem que: 3
3 6min
0,5 / minmi
miT
mi
∆ = =
0 2 3 min12T mi miT T T∆ = ∆ +∆ +=
Conclusão: com o atraso, o percurso requer 12 min, e não apenas 10 min usuais. 
Uma vez que você, preventivamente, reservou 15 min para o trajeto, não chegará 
atrasado para as aulas.
 EXEMPLIFICANDO! 
3 – Normalmente, você gasta 10 min, de carro, para percorrer 5 mi até a faculdade 
em uma pista retilínea. Você sai de casa 15 min antes de as aulas começarem. Em 
um determinado dia, um semáforo quebrado causa-lhe um atraso, diminuindo o fluxo 
do tráfego para 20 mph nas primeiras 2 mi do trajeto. Nessas condições, você se 
atrasaria para as aulas?
Vamos resolver juntos!
2 3T mi mi2 3T mi mi2 3T T T2 3T T T2 32 3T mi mi2 3T T T2 3T mi mi2 3∆ = ∆ + ∆T T T∆ = ∆ + ∆T T T2 3T T T2 3∆ = ∆ + ∆2 3T T T2 3T mi miT T TT mi mi∆ = ∆ + ∆T mi miT T TT mi mi2 3T mi mi2 3T T T2 3T mi mi2 3∆ = ∆ + ∆2 3T mi mi2 3T T T2 3T mi mi2 3
Utilizando x Vm T.x Vm T.∆ = ∆x Vm T∆ = ∆x Vm T.x Vm T.∆ = ∆.x Vm T. , temos:
2
3
2 0,1 6min
3
5 0,5 / min
10min
mi
méd
mi
méd usual
total
usual
usual
X mi2X mi2T h2T h2 0,1 6minT h0,1 6minmiT hmi
X miT hX mi2X mi2T h2X mi2
V mi h20 /V mi h20 /médV mi hméd
X mi3X mi3
V Vméd usualV Vméd usual
X totalX total miV mi5V mi5 0,5 / minV mi0,5 / mintotalV mitotalusualV miusual
miV mimi
tusualtusual
∆X mi∆X miT h∆T hX miT hX mi∆X miT hX mi∆ = = = =0,1 6min∆ = = = =0,1 6minT h∆ = = = =T hT h∆ = = = =T hT h∆ = = = =T h2T h2∆ = = = =2T h2 0,1 6minT h0,1 6min∆ = = = =0,1 6minT h0,1 6minmiT hmi∆ = = = =miT hmi
X miT hX mi∆ = = = =X miT hX mi2X mi2T h2X mi2∆ = = = =2X mi2T h2X mi2T h∆T h∆ = = = =T h∆T hX miT hX mi∆X miT hX mi∆ = = = =X miT hX mi∆X miT hX mi
∆X mi∆X mi
∆ = =∆ = =3∆ = =3mi∆ = =mi
X mi
∆ = =
X miT∆ = =T3T3∆ = =3T3
∆
∆ = =
∆X mi∆X mi
∆ = =
X mi∆X mi
∆X∆X
V mi= = =V miV mi= = =V miV mi= = =V mi
∆
Para 3miT3T3∆ , vem que: 3
3 6min
0,5 / minmi
mi
0,5 / minmi0,5 / min
∆ = =∆ = =3∆ = =3
3
∆ = =
3
mi∆ = =mi
mi
∆ = =
miT∆ = =T3T3∆ = =3T3
0 2 3 min120 2 3 min120 2 3 minT mi mi0 2 3 minT mi mi0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 min0 2 3 minT mi mi0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 minT mi mi0 2 3 minT T T∆ = ∆ +∆ +=T T T0 2 3 minT T T0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 minT T T0 2 3 minT mi miT T TT mi mi∆ = ∆ +∆ +=T mi miT T TT mi mi0 2 3 minT mi mi0 2 3 minT T T0 2 3 minT mi mi0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 minT mi mi0 2 3 minT T T0 2 3 minT mi mi0 2 3 min
Conclusão: com o atraso, o percurso requer 12 min, e não apenas 10 min usuais. 
Uma vez que você, preventivamente, reservou 15 min para o trajeto, não chegará 
atrasado para as aulas.
 1.4 Aceleração instantânea e aceleração média
A aceleração descreve uma taxa de variação da velocidade com o tempo. A 
aceleração é uma grandeza vetorial. No movimento retilíneo, seu único compo-
nente diferente de zero está sobre o eixo ao longo do qual o movimento ocorre. 
Em um movimento retilíneo, pode referir -se tanto ao aumento quanto à redução 
da velocidade.
16 UNIUBE
Assim, a aceleração é a derivada em relação ao tempo 
dv
dt . Uma vez que a 
velocidade é a derivada da posição x em relação a t. A aceleração é a segunda 
derivada de x relativamente a t, isto é, 
2
2
dv d(dx/dt) d xa = d
dt dt dt
= =
1.4.1 Classificação dos movimentos
• Forma da trajetória → A trajetória pode ser retilínea ou curvilínea.
• Sentido do movimento → De acordo com esse critério, o movimento pode ser 
progressivo ou retrógrado (quadro a seguir).
Quadro 2: Sentido do movimento.
Sentido do movimento Sinal da velocidade Tipo de movimento
A favor da trajetória v > 0 Mov. Progressivo
Contra a trajetória v < 0 Mov. Retrógrado
• Variação de rapidez (módulo da velocidade).
→ |v| crescente – movimento acelerado – velocidade e aceleração têm o 
mesmo sentido (mesmo sinal).
→ |v| decrescente – movimento retardado – velocidade e aceleração têm 
sentidos contrários ( sinais diferentes ).
→ |v| constante – movimento uniforme – aceleração escalar sempre nula.
Os critérios descritos são independentes. Assim, podem ser feitas quaisquer com-
binações das possibilidades de um critério com as possibilidades de outro.
UNIUBE 17
 EXEMPLIFICANDO! 
4 – Suponha que a velocidade Vx de um carro em qualquer instante t seja dada pela 
equação: Vx = 60 m/s + (0,50 m/s3) × t2
a) Ache a variação da velocidade média do carro do intervalo de tempo entre 
t1 = 1,0s e t2= 3,0s.
b) Ache a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo.
c) Ache a aceleração instantânea do carro para t1	=	1,0s,	considerando	∆t	=	0,1s,	
∆t	=	0,01s,	∆t	=	0,001s.
Resolução:
a) Para determinarmos essa letra, inicialmente achamos a velocidade em cada instante 
substituindo cada valor de t na equação. Para t 1= 1,0s:
3 2
1 60 / (0,5 / ) (1,0 ) 60,5 /xV m s m s s m s= + =
Para 2 3,0t s= ,
3 2
2 60 / (0,5 / ) (3,0 ) 64,5 /xV m s m s s m s= + =
A variação da velocidade Vx∆ é dada por:
2 1V V V 64,5 / 60,5 / 4,0 /x x x m s m s m s∆ = − = − =
b) A aceleração média durante esse intervalo de tempo é:
22 1
2 1
V V 4,0a 2,0 /
t t 2,0
x x
m m s
−
= = =
−
c) quando 2t=0,1s ,t 1,1s∆ = e nós encontramos:
2
2
2 1
2
V 60 (0,5)(1,1) 60,605 /
V 60,605 60,50 0,105 /
V 0,105a 1,05 /
t 0,1
x
x xx
x
m
m s
V V m s
m s
= + =
∆ = − = − =
∆
= = =
∆
18 UNIUBEquando 2t=0,01s ,t 1,01s∆ = e nós encontramos:
2
2
2 1
2
V 60 (0,5)(1,01) 60,51005 /
V 60,51005 60,50 0,01005 /
V 0,01005a 0,1005 /
t 0,1
x
x xx
x
m
m s
V V m s
m s
= + =
∆ = − = − =
∆
= = =
∆
quando 2t=0,001s ,t 1,001s∆ = e nós encontramos:
2
2
2 1
2
V 60 (0,5)(1,001) 60,5010005 /
V 60,5010005 60,50 0,0010005 /
V 0,105a 0,010005 /
t 0,1
x
x xx
x
m
m s
V V m s
m s
= + =
∆ = − = − =
∆
= = =
∆
Para analisar a variação da velocidade durante certo intervalo de tempo t, nós defi-
nimos a aceleração média deste intervalo como:
2 1
2 1
V V Va
t t tm
− ∆
= =
− ∆
Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo consi-
derado, deveremos calcular a aceleração instantânea:
lim
0a = t
V dv
t dtD ®
D
=
D
As unidades mais utilizadas de aceleração são:
No SI Outras
m/s Km/h2, km/s2 etc.
5 – No instante t = 10 s, a velocidade escalar de um móvel é v = 5 m/s e, no instante 
t = 16 s, a velocidade escalar é v = 23 m/s. Qual é a aceleração escalar média no 
intervalo dado?
Resolvendo juntos!
UNIUBE 19
22 1
2 1
V V V 23 5 18a a 3 /
t t t 16 10 6m m
m s− ∆ −= = = = ∴ =
− ∆ −
 AGORA É A SUA VEZ 
3. Ao meio-dia (t = 12 h), um móvel parte do repouso e, às 15 horas, atinge a veloci-
dade 20 m/s. Qual é a aceleração escalar média do móvel, em km/h2, no intervalo 
referido?
4. A distância entre dois automóveis em um dado instante é de 450 km. Admita que 
eles se deslocam ao longo de uma mesma estrada, um ao encontro do outro, com 
movimentos uniformes de velocidades escalares de valores absolutos 60 km/h e 
90 km/h. Determine ao fim de quanto tempo irá ocorrer o encontro e a distância 
que cada um percorre até esse instante.
AGORA É A SUA VEZ 
3. Ao meio-dia (t = 12 h), um móvel parte do repouso e, às 15 horas, atinge a veloci-
dade 20 m/s. Qual é a aceleração escalar média do móvel, em km/h2, no intervalo 
referido?
4. A distância entre dois automóveis em um dado instante é de 450 km. Admita que 
eles se deslocam ao longo de uma mesma estrada, um ao encontro do outro, com 
movimentos uniformes de velocidades escalares de valores absolutos 60 km/h e 
90 km/h. Determine ao fim de quanto tempo irá ocorrer o encontro e a distância 
que cada um percorre até esse instante.
1.4.2 Movimento com aceleração constante
O movimento com aceleração constante é aquele no qual a aceleração se man-
tém constante durante todo o percurso em trajetória retilínea.
• Equação horária da posição:
2
0 0 2
ax x V t t− = +
• Equação horária da velocidade:
0V V a t= + ⋅
Observação: podemos demonstrar uma outra equação chamada de equação 
de Torricelli, a única expressão independente do tempo.
2 2
0 2V V a x= + ⋅ ⋅∆
1.4.2.1 Uma outra visão
dva dv a dt
dt
= Þ = ×
20 UNIUBE
Fazendo a integral indefinida (ou antiderivada) de ambos os membros, teremos: 
dv a dt= ×ò ò , que é reduzida a:
v a dt c= × +ò , em que c é uma constante de derivação.
v a dt c at c= + = +ò
Para calcularmos C, fazemos t = 0, o instante para o qual 0v v= :
0 ( )(0)v a c c= + =
Como 0v c= , temos
0 0v at v v v at= + \ = +
Para obter a equação horária, faz -se:
dx v dt= ×
Fazendo a integral definida de ambos os membros, temos `x v dt c= × +ò em 
que c` é outra constante de integração. Como v é constante, não pode ser co-
locado fora do sinal de integral.
0( ) `x v at dt c= + +ò
Como v0 é constante, podemos escrever 0 `x v dt a t dt c= + +ò ò integrando 
vem:
21 `
2o
x v t at c= + +
UNIUBE 21
 EXEMPLIFICANDO! 
6 – Um carro a 90 km/h é freado uniformemente com a aceleração escalar de 2,5 m/s2 
(em módulo) até parar. Determine a distância percorrida do automóvel, desde o início 
da frenagem até parar.
Dados:
Velocidade inicial = 90 km/h; passando para m/s; 90÷3,6 = 25 m/s
Velocidade final = 0 (repouso)
Aceleração = –2,5 m/s
2 (a aceleração é negativa, pois no movimento retardado a 
velocidade e a aceleração têm sinais contrários)
Resolução:
2 2 2 2
0 2 (0) (25) 2 ( 2,5)
0 = 625-5 x
5 x = 625
x = 125m
V V a x x= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ − ⋅∆
⋅∆
⋅∆
∆
7 – Uma partícula em movimento retilíneo uniformemente variado tem a seguinte 
equação para a sua posição, 38 27x t t= − + com x em metros e t em segundos.
a) Encontre a função velocidade v (t).
b) Encontre a função aceleração a(t) da partícula.
c) Existe algum instante para o qual v = 0?
Resolvendo juntos:
a) Para obtermos a função velocidade v(t), diferenciamos a função posição x em 
relação ao tempo.
dxV
dt
=
Portanto, derivando a equação da posição, teremos a seguinte equação para a ve-
locidade: 
227 3V t= − +
22 UNIUBE
b) Para obtermos a função aceleração a(t), diferenciamos a função velocidade obtida 
anteriormente v em relação ao tempo.
a = dv
dt
Portanto, derivando a equação da velocidade, teremos a seguinte equação para a 
aceleração: a = 6t , com a em metros por segundo ao quadrado.
c) Fazendo v(t)=0, resulta:
20 27 3 3 st t= − + ∴ = ±
Assim, a velocidade é nula, tanto 3 segundos antes, como 3 segundos após a leitura 
zero do cronômetro.
 1.5 Movimento na vertical
Caso você arremesse um objeto para cima ou para baixo e consiga, de alguma 
maneira, eliminar os efeitos do ar sobre o seu voo, esse objeto ficaria com ace-
leração constante chamada de aceleração de queda livre, ou aceleração da 
gravidade, representada por “g” (intensidade).
Observações:
• essa aceleração independe das características do objeto, tais como massa 
e forma, proposto por Galileu, que afirma que todos os corpos em um dado 
local caem com a mesma aceleração;
• o valor de g varia ligeiramente com a latitude e com a elevação. Ao nível do 
mar, o valor é 9,8 m/s2, que é o que você deverá usar nos problemas deste 
capítulo;
• as equações do movimento uniformemente variado também se aplicam à 
queda livre, quando o movimento ocorre na vertical tanto para cima quanto 
para baixo;
• entretanto, preste atenção que, para a queda livre, as direções do movimento 
ocorrem na vertical (eixo y), em vez do eixo x.
UNIUBE 23
x corresponde a y
a corresponde g
As três equações para o movimento de queda livre são a função horária da po-
sição na queda livre, a função horária da velocidade na queda livre e a equação 
de Torricelli, na queda livre:
2 2 2
0 0 0
1 ; + g t ; = +2 a 
2
y V t g t V V V V y∆ = + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆
 SAIBA MAIS 
• Usa -se sinal positivo na aceleração, quando o módulo da velocidade está aumen-
tando, e sinal negativo quando o módulo da velocidade está diminuindo.
• Quando um corpo parte do repouso significa que a velocidade inicial vale zero.
• Quando um corpo é lançado para cima, no ponto mais alto da trajetória, a in-
tensidade da sua velocidade vale zero, (momento da inversão de sentido do 
movimento).
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
• Usa -se sinal positivo na aceleração, quando o módulo da velocidade está aumen-
tando, e sinal negativo quando o módulo da velocidade está diminuindo.
• Quando um corpo parte do repouso significa que a velocidade inicial vale zero.
• Quando um corpo é lançado para cima, no ponto mais alto da trajetória, a in-
tensidade da sua velocidade vale zero, (momento da inversão de sentido do 
movimento).
 EXEMPLIFICANDO! 
8 – Uma bolinha de tênis é lançada para cima com uma velocidade de 10 m/s. Des-
prezando a resistência do ar e considerando o valor da intensidade da aceleração da 
gravidade igual a 9,8 m/s2, calcule:
a) O instante em que a bolinha atinge a altura máxima.
b) A altura máxima atingida pela bolinha.
Dados:
Velocidade inicial = 10 m/s
Aceleração da gravidade = 9,8 m/s2
Na altura máxima, temos que v = 0
24 UNIUBE
Solução:
a) Cálculo do instante em que o objeto atinge a altura máxima.
V = V0 – g t
0 = 10 – 9,8.t
t = 1,02 s
b) 
2 2
0
2 2
2
0 10 2 9,8
5,10
V V g y
y
y m
= − ∆
= − ⋅ ⋅∆
∆ = 
 AGORA É A SUA VEZ 
5. Uma bola é lançada em linha reta para cima. Qual é a velocidade da bola no topo 
de sua trajetória? Qual é sua aceleração nesse ponto? A aceleração é constante 
e vale 9,8 m/s2.
6. Uma pedra é lançada para cimacom uma velocidade de 50 m/s, desprezando a 
resistência do ar e considerando o valor da intensidade da aceleração da gravidade 
igual a 9,8 m/s2, calcule:
a) O instante em que a pedra atinge a altura máxima.
b) A altura máxima atingida pela pedra.
AGORA É A SUA VEZ 
5. Uma bola é lançada em linha reta para cima. Qual é a velocidade da bola no topo 
de sua trajetória? Qual é sua aceleração nesse ponto? A aceleração é constante 
e vale 9,8 m/s2.
6. Uma pedra é lançada para cima com uma velocidade de 50 m/s, desprezando a 
resistência do ar e considerando o valor da intensidade da aceleração da gravidade 
igual a 9,8 m/s2, calcule:
a) O instante em que a pedra atinge a altura máxima.
b) A altura máxima atingida pela pedra.
 1.6 Introdução ao estudo dos vetores
Os vetores são usados para tratamento de conjuntos de dados que possuem as 
mesmas características. Uma das vantagens de se usar vetores é que o conjunto 
recebe um nome comum e os elementos deste conjunto são referenciados por 
meio de índices.
Pelo nome vetor, estaremos referenciando estruturas que podem ter mais de 
uma dimensão, por exemplo, matrizes de duas dimensões.
UNIUBE 25
1.6.1 As grandezas físicas 
Grandeza escalar: fica perfeitamente caracterizada pelo valor numérico e pela 
unidade de medida. Exemplos: volume, tempo, massa etc.
Grandeza vetorial: necessita, para ser perfeitamente caracterizada, das ideias 
de direção e sentido, de valor numérico e de unidade de medida. Exemplo: 
deslocamento, velocidade, aceleração, força etc.
O conjunto formado pelo valor numérico e pela unidade de medida é denominado 
intensidade ou módulo. 
 IMPORTANTE! 
Vetor: ente matemático abstrato, determinado por um conjunto de segmentos orien-
tados, caracterizando a sua direção, o seu sentido e a sua intensidade.
 IMPORTANTE! 
Vetor: ente matemático abstrato, determinado por um conjunto de segmentos orien-
tados, caracterizando a sua direção, o seu sentido e a sua intensidade.
Um vetor é representado graficamente por um segmento de reta orientado (ge-
ralmente indicado por uma letra que lembra a grandeza vetorial em questão).
1.6.2 Componentes de vetor
As componentes escalares (ax, ay) de qualquer vetor bidimensional ao longo 
dos eixos de um sistema de coordenadas (x, y) são encontradas traçando -se 
linhas perpendiculares da origem e da extremidade do vetor até o eixo corres-
pondente.
Figura 2: Componentes escalares.
26 UNIUBE
Componente horizontal do vetor:
acos a a cos
a
x
xq q= Þ = ×
Componente vertical do vetor:
a
sen a a sen
a
y
yq q= Þ = ×
O sinal algébrico de uma componente indica seu sentido ao longo do eixo asso-
ciado. Dadas suas componentes, podemos encontrar o módulo e a orientação 
de a , com:
2 2a = a ax y+
1.6.3 Vetor velocidade e vetor aceleração
Ao estudarmos a cinemática dos movimentos retilíneos, vamos trabalhar com 
a velocidade e a aceleração apenas de forma numérica, isto é, levando -se em 
consideração apenas a sua intensidade. Como já foi dito anteriormente, o sinal 
da velocidade indica o sentido do movimento. Vamos ver agora, separadamente, 
cada um deles.
1.6.3.1 Vetor velocidade
O vetor velocidade possui intensidade igual ao módulo da velocidade do objeto 
em um determinado instante. Esse valor pode ser determinado de diferentes 
formas, dependendo do movimento em questão. A sua direção e o seu sentido, 
porém, são sempre determinados da mesma forma.
Imagine uma pedra presa a um barbante colocada em rotação. Se o barbante 
arrebenta em um certo ponto P, ver -se -á que a pedra segue a trajetória retilínea 
mostrada na Figura 3, ou seja, sempre tangente a cada ponto da trajetória.
UNIUBE 27
módulo = igual ao módulo do vetor 
direção = tangente a cada ponto 
sentido = do movimento
Figura 3: Representação da direção do vetor velocidade.
Desta forma, se um patinador descreve determinada trajetória (Figura 4), o seu 
vetor velocidade nos pontos A, B e C, será:
Figura 4: Representação do vetor velocidade em vários pontos.
1.6.3.2 Vetor aceleração
É o vetor que indica uma variação do vetor velocidade, o qual, no entanto, como 
toda grandeza vetorial, possui módulo, direção e sentido. Para variar tais caracte-
rísticas, o vetor aceleração é decomposto em dois outros vetores perpendiculares 
entre si, cada um representando um tipo específico de variação da velocidade.
• Vetor aceleração tangencial (at): indica variação do módulo do vetor veloci-
dade.
• Vetor aceleração centrípeta (ac): indica variação da direção e sentido do vetor 
velocidade.
a) Vetor aceleração tangencial (at)
Indica uma variação do módulo ou intensidade do vetor velocidade.
A sua direção, como o nome indica, é tangente à trajetória, do mesmo modo 
que o vetor velocidade.
28 UNIUBE
O sentido do vetor aceleração tangencial pode ser:
• O mesmo do vetor velocidade, se o movimento for acelerado (Figura 5).
Figura 5: Representação da direção 
e do sentido do vetor aceleração 
tangencial no movimento acelerado.
• Contrário ao do vetor velocidade, se o movimento for retardado (Figura 6).
Figura 6: Representação da direção 
e do sentido do vetor aceleração 
tangencial em um movimento 
retardado.
Como o vetor aceleração tangencial mostra uma variação no módulo do vetor 
velocidade, ele será nulo quando o movimento for uniforme, uma vez que, neste 
movimento, o módulo do vetor velocidade é constante.
b) Vetor aceleração centrípeta (ac)
Indica apenas uma variação da direção do vetor velocidade. A sua direção é 
perpendicular à direção do vetor velocidade e o sentido, como o nome indica, 
é em direção ao centro da curva da trajetória (Figura 7).
UNIUBE 29
Figura 7: Representação da 
direção do vetor aceleração 
centrípeta.
Como o vetor aceleração centrípeta indica uma mudança na direção do vetor 
velocidade, ele será nulo quando o movimento for retilíneo, uma vez que, neste 
movimento, a direção do vetor velocidade é constante. 
2
c
Va
R
=
 1.7 Lançamento horizontal
Quando um corpo é lançado horizontalmente, ele descreve em relação ao solo 
uma trajetória parabólica. É o caso de lançamento de um objeto a partir de uma 
mesa horizontal e até mesmo o lançamento de uma bomba por um avião em 
movimento horizontal.
O movimento é complexo, mas pode ser decomposto em dois outros movimentos 
mais simples e que já foram estudados anteriormente:
• o movimento retilíneo uniforme (na direção horizontal);
• a queda livre (na vertical).
Pode -se imaginar dois movimentos simultâneos: um no eixo x (horizontal) e outro 
no eixo y (vertical). Ao se tratar os movimentos independentemente, podemos 
aplicar as equações de cada um deles, com apenas uma variável em comum: 
o tempo.
O tempo decorrido para que o corpo alcance o solo na vertical é o mesmo com 
que ele descreve o movimento na horizontal, isto é, o movimento horizontal não 
influi no tempo de queda do corpo. Tanto é verdade que dois corpos, um corpo 
30 UNIUBE
lançado horizontalmente e outro abandonado em queda livre, da mesma altura 
e ao mesmo tempo, atingem o solo no mesmo instante.
No movimento horizontal, podemos usar a equação do MRU:
X V t= ×
No movimento vertical, podemos usar as equações da queda livre de forma 
reduzida, estudadas anteriormente:
2
2; V= g t; V 2
2
ty g g yD = × × = D
 EXEMPLIFICANDO! 
9 – Uma esfera rola com velocidade escalar constante de 10 m/s sobre uma mesa 
horizontal. Ao abandonar a mesa, ela fica sujeita à ação exclusiva da aceleração da gra-
vidade ( g = 9,8 m/s2), atingindo o solo em um ponto situado a 5 m do pé da mesa.
Determine:
a) O tempo de queda.
b) A altura da mesa em relação ao solo.
Solução:
a) Ao abandonar a mesa, a esfera apresenta, na direção horizontal, movimento com 
velocidade constante de 10 m/s. Assim:
. 5 9,8. 0,51X v t t t s= ∴ = ∴ ≅
b) Simultaneamente ao movimento horizontal, a esfera cai de uma altura y em queda 
livre:
2 2. 9,8.(0,51) 1,27
2 2
g ty y y m= ∴ = ∴ =
 EXEMPLIFICANDO! 
9 – Uma esfera rola com velocidade escalar constante de 10 m/s sobre uma mesa 
horizontal.Ao abandonar a mesa, ela fica sujeita à ação exclusiva da aceleração da gra-
vidade ( g = 9,8 m/s2), atingindo o solo em um ponto situado a 5 m do pé da mesa.
Determine:
a) O tempo de queda.
b) A altura da mesa em relação ao solo.
Solução:
a) Ao abandonar a mesa, a esfera apresenta, na direção horizontal, movimento com 
velocidade constante de 10 m/s. Assim:
. 5 9,8. 0,51X v t t t s. 5 9,8. 0,51X v t t t s. 5 9,8. 0,51X v t t t s= ∴ = ∴ ≅X v t t t s. 5 9,8. 0,51X v t t t s. 5 9,8. 0,51= ∴ = ∴ ≅. 5 9,8. 0,51X v t t t s. 5 9,8. 0,51
b) Simultaneamente ao movimento horizontal, a esfera cai de uma altura y em queda 
livre:
2 2. 9,8.(0,51)2 2. 9,8.(0,51)2 2 1, 27
2 2
g t. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)y y y m1,27y y y m1,27
2 2
y y y m
2 2
= ∴ = ∴ =
. 9,8.(0,51)
= ∴ = ∴ =
. 9,8.(0,51)g t
= ∴ = ∴ =
g t. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)
= ∴ = ∴ =
. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)y y y m= ∴ = ∴ =y y y my y y m= ∴ = ∴ =y y y my y y m= ∴ = ∴ =y y y m. 9,8.(0,51)y y y m. 9,8.(0,51)= ∴ = ∴ =. 9,8.(0,51)y y y m. 9,8.(0,51)g ty y y mg t= ∴ = ∴ =g ty y y mg t. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)y y y m. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)= ∴ = ∴ =. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)y y y m. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)
UNIUBE 31
 1.8 Lançamento oblíquo
O lançamento oblíquo acontece quando, a partir do solo, um corpo é lançado 
com uma velocidade inicial (V0),	formando	um	ângulo	(θ)	com	a	horizontal	(neste	
caso, representado pelo eixo x).
É o caso do lançamento de uma bala de canhão (Figura 8) ou da bola em um 
“tiro de meta” cobrado por um jogador de futebol ou em um arremesso de bas-
quete.
Figura 8: Lançamento oblíquo.
Assim como o lançamento horizontal, este movimento também pode ser decom-
posto em dois outros movimentos mais simples, e que já foram estudados:
• o movimento retilíneo uniforme (na direção horizontal);
• o lançamento vertical.
Um detalhe, no entanto, deve ser observado antes de se usar as equações destes 
movimentos. Como a velocidade inicial é inclinada em relação à horizontal, só 
se pode utilizar nas equações do movimento horizontal a componente horizontal 
da velocidade.
Na vertical, o raciocínio é o mesmo. Então, para se utilizar as velocidades ini-
ciais na horizontal e na vertical, deve -se efetuar o seu cálculo, com base nos 
conhecimentos de vetores:
V0x=V0 cosθ
32 UNIUBE
V0y=V0 senθ
Com este cálculo efetuado, podemos utilizar as equações dos movimentos 
mencionados:
• no eixo x, movimento horizontal – movimento retilíneo uniforme:
X V t= ×
• no eixo y, movimento vertical – lançamento vertical:
0
2
0 0
2 2
0
.
1. .
2
2 .
y
y
y
Vy V g t
y y V t g t
Vy V g y
= +
− = +
= + ∆
Observações:
• para se determinar a distância alcançada pelo objeto (ou alcance), deve -se 
utilizar a equação do MRU, com um tempo igual a 2t, pois 2.t é o tempo de 
voo do objeto;
• no ponto de altura máxima, apenas a componente vertical da velocidade é 
nula;
• no ponto de altura máxima, a componente horizontal da velocidade tem módulo 
constante durante todo o movimento;
• o alcance máximo é atingido quando o ângulo de lançamento é 45º.
2
0V sen 2A=
g
q×
UNIUBE 33
 AGORA É A SUA VEZ 
7. Um corpo é atirado obliquamente em um lugar onde a resistência do ar pode ser 
desprezada, com velocidade inicial de 100 m/s, numa direção que forma com a ho-
rizontal	um	ângulo	θ,	tal	que	sen	θ =	0,8	e	cos	θ = 0,6. Adotando-se a aceleração da 
gravidade igual a 9,8 m/s2, determine:
a) A intensidade das componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de 
lançamento.
b) O instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória.
c) A altura máxima atingida pelo corpo. 
AGORA É A SUA VEZ 
7. Um corpo é atirado obliquamente em um lugar onde a resistência do ar pode ser 
desprezada, com velocidade inicial de 100 m/s, numa direção que forma com a ho-
rizontal	um	ângulo	θ,	tal	que	sen	θ=	0,8	e	cos	θ = 0,6. Adotando-se a aceleração da 
gravidade igual a 9,8 m/s2, determine:
a) A intensidade das componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de 
lançamento.
b) O instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória.
c) A altura máxima atingida pelo corpo. 
 1.9 Movimento circular uniforme (MCU)
Diz -se que um movimento é circular quando a sua trajetória é uma circunferência 
ou um arco de circunferência.
Exemplos: vitrola, ponteiros de um relógio, hélice de um motor. Esse movimento 
é chamado de uniforme por causa da sua velocidade angular, que é sempre 
constante (Figura 9).
Neste caso, a velocidade vetorial apresenta módulo constante, mas varia em 
direção e sentido.
O movimento circular uniforme é periódico, isto é, repete -se em intervalos de 
tempos iguais. Este intervalo de tempo, é denominado período (T), e no caso 
do MCU, é o tempo gasto para o corpo em movimento completar uma volta, 
ou seja, retornar ao ponto de origem. Como exemplo, temos: rotação da Terra 
(1 ano), ponteiros das horas de um relógio (12 h), entre outros. A unidade de 
período no SI é o segundo (s).
34 UNIUBE
Figura 9: Representação de um MCU�.
 IMPORTANTE! 
Todo movimento periódico acontece em determinado número de vezes em um dado 
intervalo de tempo. Temos a frequência º( )nf
t
=
D
.
 IMPORTANTE! 
Todo movimento periódico acontece em determinado número de vezes em um dado 
intervalo de tempo. Temos a frequência º( )( )n( )n( )f( )f( )
t
( )=( )
D
( )
D
( ).
• A frequência tem como unidade no SI: (Hz) hertz. Podemos observar que (Hz) 
hertz é o mesmo que (R.P.S.) rotações por segundo, e se multiplicarmos por 
60, iremos encontrar (R.P.M.) rotações por minuto.
• A relação entre frequência e período é facilmente demonstrada por:
1f
T
=
Uma vez que se trata de um movimento circular, são percorridos ângulos ao 
longo do tempo. A relação entre o ângulo percorrido e o tempo recebe o nome 
de velocidade angular, conforme equação:
t
q
w
D
=
D
UNIUBE 35
Neste movimento, a velocidade angular é constante, uma vez que se trata de um 
movimento uniforme, isto é, são percorridos ângulos iguais em tempos iguais. A 
unidade de velocidade angular no SI é o radiano/segundo (rad/s), mas também 
pode ser utilizado o grau/segundo (º/s).
Uma relação importante entre velocidade angular e distância pode ser facilmente 
deduzida:
• Além de terem percorrido um ângulo, no decorrer do tempo, também é percor-
rida uma determinada distância. A relação entre distância percorrida e tempo 
já foi estudada nos movimentos retilíneos. Aqui, ela vai receber o nome de 
velocidade linear ou tangencial (v), para ser distinta da velocidade angular.
A relação é:
V Rw= ×
Para uma volta completa, temos:
2 ; = 2
2üü§ü§
f
T
R V Rf
T
p
w w p
p
p
=
=
 
 EXEMPLIFICANDO! 
10 – Uma partícula descreve uma trajetória circular com velocidade escalar constante 
em intensidade. O raio do círculo é 15 cm e a partícula completa uma volta a cada 
10 s. Calcule:
a) O período e a frequência.
b) A velocidade angular.
c) A velocidade escalar.
d) A intensidade da aceleração centrípeta.
Vamos resolver juntos?
a) O período é T = 10 s; tempo de uma volta.
36 UNIUBE
1 f 0,1 Hzf
T
= ∴ =
b) A velocidade é dada por = 2 fw p =0,2 rad/sw p\
c) A velocidade linear é: V Rw= × 3 cm/sV p\ =
d) A aceleração centrípeta tem intensidade:
2
2
ca 0,6 /
V cm s
R
= =
Resumo 
Devemos sempre nos lembrar de algumas definições:
a) Referencial
Qualquer corpo (ponto) tomado como referência, em relação ao qual verificare-
mos o movimento de outros corpos.
b) Tipos de movimento
1 – Movimento unidimensional: com apenas uma coordenada conseguimos 
localizar o objeto. Exemplo: um carro em uma rodovia.
2 – Movimento bidimensional: neste caso, necessitamos de duas coordenadas 
para obter a posição do objeto (móvel). Exemplo: a localização de uma pessoa 
em qualquer posição na superfície da Terra.
3 – Movimento tridimensional: é necessário o conhecimento de três coordenadas 
para localizar o objeto. Exemplo: um satélite em órbita da Terra.
c) Repouso
Um objeto está em repouso quando a sua posição não varia,no tempo, em 
relação a um referencial adotado.
UNIUBE 37
d) Movimento
Um objeto (móvel) está em movimento quando a sua posição varia, no tempo, 
em relação ao referencial adotado. 
e) Trajetória
É a linha imaginária formada pelas sucessivas posições ocupadas pelo móvel. 
Exemplo: uma estrada sendo percorrida por um carro.
f) Ponto material
Um objeto é considerado um ponto material quando suas dimensões são con-
sideradas desprezíveis em relação às outras grandezas envolvidas. Exemplo: 
o tamanho da Terra em relação à distância da Terra ao Sol.
Em relação ao deslocamento, é importante lembrar:
• o fato de o deslocamento ser positivo não significa que o movimento tenha 
sido sempre a favor da trajetória;
• o deslocamento não é, genericamente, a distância percorrida. Isso só acon-
tecerá quando o movimento for sempre no mesmo sentido e a favor da orien-
tação da trajetória;
• quando o deslocamento for nulo, isso não significa que necessariamente o 
corpo tenha ficado em repouso. O corpo pode ter se movido e retornado à 
posição inicial.
g) Movimento uniforme
A velocidade escalar é uma constante não nula. No movimento uniforme, é in-
diferente falar em velocidade escalar média ou velocidade escalar instantânea, 
pois a velocidade escalar é constante. 
38 UNIUBE
 IMPORTANTE! 
Um móvel em movimento uniforme (MU) apresenta deslocamentos iguais em inter-
valos de tempo iguais. 
No estudo dos movimentos variados, tem particular importância o movimento va-
riado uniformemente (MUV). Nesse tipo de movimento, também conhecido como 
movimento uniformemente variado, a velocidade varia de uma maneira regular.
 IMPORTANTE! 
Um móvel em movimento uniforme (MU) apresenta deslocamentos iguais em inter-
valos de tempo iguais. 
No estudo dos movimentos variados, tem particular importância o movimento va-
riado uniformemente (MUV). Nesse tipo de movimento, também conhecido como 
movimento uniformemente variado, a velocidade varia de uma maneira regular.
h) Movimento uniformemente variado (MUV)
No movimento uniformemente variado (MUV) têm -se, em intervalos de tempos 
iguais, variações de velocidades iguais.
No vácuo, todos os corpos, soltos simultaneamente de uma mesma altura, che-
gam ao solo ao mesmo tempo e com a mesma velocidade. Isso acontece sempre, 
quaisquer que sejam suas massas, formatos ou material de que sejam feitos. 
Em queda livre, a aceleração é constante e igual para todos os corpos. Próximo 
à superfície de nosso planeta, a Terra, a aceleração de queda livre possui uma 
intensidade de, aproximadamente, 9,8 m/s2, valor que normalmente é arredon-
dado para 10 m/s2.
O símbolo g representa a aceleração de queda livre em sua plenitude, ou seja, 
em módulo, direção e sentido. Por outro lado, o símbolo g se refere simplesmente 
à intensidade (módulo) da aceleração de queda livre.
UNIUBE 39
Figura 10: Movimento uniformemente variado (MUV).
A área compreendida pelo gráfico em um dado intervalo de tempo nos fornece 
o módulo do deslocamento escalar nesse intervalo. Além disso, como o movi-
mento é sempre progressivo, o deslocamento escalar é positivo e coincide com 
a distância efetivamente percorrida.
Em intervalos de tempo iguais e consecutivos, um móvel em queda livre percorre 
distâncias cada vez maiores, na proporção dos números ímpares consecutivos 
(1d, 3d, 5d, 7d, ...) 
i) Lançamento vertical
1. Para baixo
A diferença entre a queda livre a partir do repouso e o lançamento vertical para 
baixo reside nas condições iniciais: a velocidade inicial não é nula (Figura 11).
40 UNIUBE
Figura 11: Lançamento vertical para baixo.
2. Para cima
Vejamos, agora, o movimento de um corpo lançado verticalmente para cima 
com uma velocidade inicial v0, no vácuo. À medida que o corpo sobe, sua ve-
locidade diminui uniformemente até tornar -se nula, quando então tem início 
a descida. Assim, temos: na subida o movimento é uniformemente retardado 
(Figura 12), pois a velocidade e a aceleração têm sinais diferentes; na des-
cida, o movimento é uniformemente acelerado (velocidade e aceleração de 
mesmo sinal).
Figura 12: Lançamento vertical para cima.
UNIUBE 41
j) Lançamento horizontal
Movimento horizontal (direção Ox) – Se o corpo estivesse se deslocando com a 
velocidade inicial que lhe foi imprimida, mas sem a ação da gravidade, o movi-
mento seria horizontal retilíneo e uniforme. Nesse movimento, em intervalos de 
tempo iguais, o corpo tem deslocamentos iguais (). O valor de  depende da 
velocidade inicial que foi imprimida ao corpo e do intervalo de tempo uniforme 
que consideramos;
Movimento vertical (direção Oy) – Nessa direção, o móvel está em queda livre, 
a partir do repouso. Em intervalos de tempo iguais, medidos a partir do instante 
em que ele começa a cair, os deslocamentos são proporcionais aos números 
ímpares: 1d, 3d, 5d, 7d, ... O valor de d depende de campo gravitacional do local 
e do intervalo de tempo uniforme.
k) Lançamento oblíquo 
2 2 2
x yV V V= +
EM QUALQUER INSTANTE
Figura 13: Lançamento oblíquo.
• O estudo desse movimento é feito por meio da decomposição em duas dire-
ções: horizontal e vertical (Figura 13). Movimento horizontal (direção Ox) – 
Nessa direção, o movimento é retilíneo e uniforme, pois o campo gravitacional 
é vertical, não influindo na componente vertical do movimento. Movimento 
vertical (direção Oy) – Nessa direção, o movimento é variado uniformemente. 
A componente vertical da velocidade diminui uniformemente até se tornar 
nula, o que acontece no ponto de altura máxima e, em seguida, aumenta 
uniformemente até a bola atingir o solo. 
42 UNIUBE
 AGORA É A SUA VEZ 
No corpo do texto, você realizou algumas atividades e, na sequência, são apresen-
tadas mais um grupo delas para que você tenha a oportunidade de desenvolver de 
forma completa as habilidades correspondentes a este estudo introdutório da física. 
Realize-as com atenção e dedicação. 
AGORA É A SUA VEZ 
No corpo do texto, você realizou algumas atividades e, na sequência, são apresen-
tadas mais um grupo delas para que você tenha a oportunidade de desenvolver de 
forma completa as habilidades correspondentes a este estudo introdutório da física. 
Realize-as com atenção e dedicação. 
Atividades
Atividade 1
Uma partícula percorre uma circunferência de 10 cm de raio efetuando uma 
volta a cada 5 s. Determine:
a) O período e a frequência.
b) A velocidade angular.
c) A velocidade escalar.
d) A aceleração centrípeta.
Atividade 2
Para buscar um vestido, Linda tem que percorrer uma distância total de 10 km, 
assim distribuída: nos 2 km iniciais, por causa dos semáforos e quebra -molas, 
determinou que poderia gastar 3 minutos. Nos próximos 5 km, supondo pista 
livre, gastará 3 minutos. No percurso restante, mais 6 minutos, já que se trata 
de um caminho com ruas muito estreitas. Se os tempos previstos por Linda 
forem rigorosamente cumpridos, qual será sua velocidade média ao longo de 
todo o percurso?
Atividade 3
Um automóvel trafega com velocidade constante de 12 m/s por uma avenida 
e se aproxima de um cruzamento onde há um semáforo com fiscalização 
eletrônica. Quando o automóvel se encontra a uma distância de 24 m do cru-
zamento, o sinal muda de verde para amarelo. O motorista deve decidir entre 
parar o carro antes de chegar ao cruzamento ou acelerar o carro e passar 
pelo cruzamento antes do sinal mudar para vermelho. Este sinal permanece 
amarelo por 2,2 s. O tempo de reação do motorista (tempo decorrido entre 
UNIUBE 43
o momento em que o motorista vê a mudança de sinal e o momento em que 
realiza alguma ação) é de 0,5 s.
a) Determine a mínima aceleração constante que o carro deve ter para parar 
antes de atingir o cruzamento e não ser multado.
b) Calcule a menor aceleração constante que o carro deve ter para passar pelo 
cruzamento sem ser multado. Aproxime 1,72 – 3,0.
Atividade 4
Um paraquedista radical pretende atingir a velocidade do som. Para isso, seu 
plano é saltar de um balão estacionário na alta atmosfera, equipado com roupaspressurizadas. Como nessa altitude o ar é muito rarefeito, a força de resistência 
do ar é desprezível. Suponha que a velocidade inicial do paraquedista em rela-
ção ao balão seja nula e que a aceleração da gravidade seja igual a 10 m/s2. A 
velocidade do som nessa altitude é 300 m/s.
Calcule:
a) Em quanto tempo ele atinge a velocidade do som.
b) A distância percorrida nesse intervalo de tempo.
Atividade 5
Dois bocais de mangueiras de jardim, A e B, estão fixos ao solo. O bocal A é 
perpendicular ao solo e o outro está inclinado 60° em relação à direção de A. 
Correntes de água jorram dos dois bocais com velocidades idênticas. Qual é a 
razão entre as alturas máximas de elevação da água?
Atividade 6
Numa competição de motocicletas, os participantes devem ultrapassar um fosso 
e, para tornar possível essa tarefa, foi construída uma rampa conforme está 
representado na Figura 14, a seguir.
44 UNIUBE
Figura 14: Rampa para salto com motocicletas.
Desprezando as dimensões da moto e considerando L = 7,0 m, cos 10° = 0,98 e 
sen 10°= 0,17, determine a mínima velocidade com que as motos devem deixar 
a rampa a fim de que consigam atravessar o fosso. Faça g = 10 m/s2.
Atividade 7
Uma partícula percorre uma trajetória circular de raio 10 m com velocidade 
constante em módulo, gastando 4,0 s em um percurso de 80 m. Determine o 
período e a aceleração desse movimento.
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo /
Valdir Barbosa da Silva Júnior / Welington Mrad Joaquim
Introdução
Nesta etapa do estudo da física, serão abordados os conceitos da dinâ-
mica e as leis de Newton, assim como o equilíbrio dos pontos materiais. 
Este capítulo é composto de texto introdutório para situar o assunto que 
será estudado, além dos objetivos específicos que definem as metas a 
serem atingidas ao final dos seus estudos. Inclui, ainda, atividades que 
favorecem a compreensão dos textos lidos e um conjunto de respostas 
que têm a finalidade de auxiliá-lo a verificar o grau de aprendizagem 
atingido até determinado momento. Ao ler o conteúdo proposto, faça um 
resumo das principais dificuldades encontradas. A dedicação aos estu-
dos individuais é de suma importância para o seu desenvolvimento.
Bons estudos!
Objetivos
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que você 
esteja apto(a) a:
• determinar a relação entre força, massa e aceleração;
• caracterizar uma força como uma grandeza física vetorial;
• determinar a força resultante de duas ou mais forças que atuam 
sobre um corpo;
• enunciar as três leis de Newton;
• identificar os tipos de força, peso, força de atrito, força normal e 
suas aplicações;
• compreender as principais operações com vetores;
• entender o equilíbrio de corpos no plano e no espaço.
Princípios da 
dinâmica e estática 
dos pontos materiais
Capítulo
2
46 UNIUBE
Esquema
2.1 Força e energia
2.2 Introdução ao estudo da dinâmica
2.2.1 Força resultante 
2.2.2 Equilíbrio
2.3 As leis de Newton
2.3.1 Primeira lei de Newton
2.3.2 Segunda lei de Newton
2.3.3 Terceira lei de Newton
2.4 Força peso ( P

)
2.5 Força normal ( N
 )
2.6 Força de tração (T
 )
2.7 Força elástica ( eF

)
2.8 Força de atrito ( atF )
2.9 Estática dos pontos materiais
2.10 Forças no plano
2.10.1 Lei do paralelogramo
2.10.2 Componentes cartesianas de uma força
2.11 Equilíbrio de um ponto material
2.11.1 Forças no espaço
2.12 Equilíbrio de um ponto material no espaço
Resumo
Atividades
Referências
 
2.1 Força e energia
Vivemos em um universo em movimento. As galáxias, as estrelas, os planetas e 
os satélites se movem, o mesmo acontece com uma turbina em uma usina, as 
hélices de um ventilador etc. Essas e outras diversas situações são analisadas 
e compreendidas pelo estudo das forças.
Falando em forças, não podemos deixar de mencionar a energia, pois esta 
desempenha um papel essencial em todos os setores da vida e é uma das 
grandezas mais importantes da física.
O sol, a água, o vento, o petróleo e o carvão são fontes que suprem boa parte 
do consumo atual de energia no mundo, mas, à medida que a população do 
UNIUBE 47
planeta cresce e os itens de conforto à disposição do homem se multiplicam, 
aumenta também a demanda por energia, exigindo novas alternativas e técnicas 
de obtenção.
 2.2 Introdução ao estudo da dinâmica
Em nosso dia a dia, encontramos objetos que se movem e outros que perma-
necem em repouso. À primeira vista, parece que um corpo está em repouso 
quando não existem forças atuando nele, e inicia o movimento quando uma 
força começa a atuar sobre ele.
Figura 1: Força exercida no bloco.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
No desenvolvimento deste roteiro, vamos analisar o quanto essas aparências se 
aproximam ou se afastam da realidade. Para tanto, buscaremos nos conceitos 
da dinâmica, as opções para compreendê-las:
Umas das grandezas mais importantes no estudo da dinâmica é a força.
Como exemplo, podemos mostrar algumas situações em que as forças aparecem:
1a situação
Objetos em queda.
 
Por que os objetos caem?Por que os objetos caem?
48 UNIUBE
Se você respondeu pela atração da Terra, acertou!
Os objetos caem porque são atraídos pela Terra. Há uma força que puxa cada 
objeto para baixo e que também é responsável por manter a atmosfera sobre a 
Terra, e por deixar a Lua e os satélites artificiais em órbita. Essa força é deno-
minada força gravitacional.
Portanto, a força gravitacional representa uma interação existente entre a Terra 
e os objetos que estão sobre ela.
2a situação
Figura 2: Livros sobre a mesa.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Agora, analise... 
 
O livro cai? Por quê?O livro cai? Por quê?
Para que os objetos não caiam é necessário que exista uma superfície para que 
fiquem apoiados; neste caso, chamada de superfície de contato. Da mesma 
forma, a mesa sustenta o livro, para que ele não caia.
Vejam que há duas forças opostas: a força da gravidade, que puxa o livro para 
baixo, e uma força para cima, de sustentação, que a mesa exerce sobre o livro. 
Neste caso, temos a força normal.
Podemos concluir que as formas pelas quais os objetos interagem uns com os 
outros são muito variadas.
Newton conseguiu elaborar leis que permitem lidar com toda essa variedade, 
descrevendo essas interações como forças que agem entre os objetos. Cada 
interação representa uma força diferente, que depende das diversas condições 
UNIUBE 49
em que os objetos se interagem. Mas todas obedecem aos mesmos princípios 
elaborados por Newton, e que ficaram conhecidos como leis de Newton. Para 
saber um pouco mais sobre Isaac Newton, veja o Saiba mais, a seguir.
 SAIBA MAIS 
Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de janeiro de 1643 – Londres, 31 de março de 1727) 
foi um cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha 
sido também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Sua obra, Philosophiae 
Naturalis Principia Mathematica, é considerada uma das mais influentes em História 
da Ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as 
três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica clássica. 
Fonte: Wikipédia (2010).
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de janeiro de 1643 – Londres, 31 de março de 1727) 
foi um cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha 
sido também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Sua obra, Philosophiae 
Naturalis Principia Mathematica, é considerada uma das mais influentes em História 
da Ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as 
três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica clássica. 
Fonte: Wikipédia (2010).
Achamos oportuno, antes de abordamos as leis de Newton, conhecermos alguns 
conceitos relacionados à grandeza física força:
As unidades de medida de força são:
Quadro 1: Unidades de força.
SI CGS MKS
N (Newton) dyn (dina) Kgf (quilograma – força)
Em muitas situações, precisamos converter uma unidade em outra. Neste caso, 
temos as seguintes relações:
1 Kgf = 9,8N 1 N = 105 dyn
2.2.1 Força resultante 
É uma força única que produz o mesmo efeito causado por um sistema de forças 
agindo em uma partícula, ou seja, é o somatório de todas as forças que agem 
em um corpo e fica caracterizada pela soma vetorial das forças. 
1 2 3 4.........rF F F F F= + + + +
    
50 UNIUBE
2.2.2 Equilíbrio
Quando uma partícula mantém sua velocidade vetorial constante no decorrer do 
tempo, em relação a um referencial adotado, diz -se que ela está em equilíbrio 
em relação a esse referencial. Há, então, dois tipos diferentes de equilíbrio a 
serem analisados:
a) equilíbrio estático: partícula em repouso (velocidade vetorial é zero);
b) equilíbrio dinâmico: partícula em movimento retilíneo uniforme (velocidade 
vetorial é constante).
 2.3 As leis de Newton
O nosso conceito mais intuitivo de força surge quando empurramos ou puxamos 
um objeto. Ao empurrar um carrinho, ao puxar uma gaveta, ao chutar uma bola, 
ao dar uma cortada em um jogo de vôlei, estamos aplicando forças. A força tem 
intensidade, direção e sentido, ou seja, ela é uma grandeza física vetorial.
Portanto, as leis de Newton são as leis que descrevem o comportamento de 
corpos em movimento. 
2.3.1 Primeira lei de Newton
A maioria dos filósofos, antes da época de Galileu, pensava que fosse necessária 
alguma influência ou força para manter um corpo em movimento. Supunham 
que um corpo em repouso estivesse em seu estado natural. Acreditavam, ainda, 
que para um corpo mover-se em linha reta com velocidade constante fosse 
necessário algum agente externo empurrando -o continuamente, caso contrário 
ele iria parar.
 
Essas ideias eram falsas.
Como provou-se o contrário?
Essas ideias eram falsas.
Como provou-se o contrário?
Foi difícil provar que os princípios que norteavam o mundo científico da época eram 
falsos, dada a necessidade de livrar o corpo de certas influências, como o atrito.
UNIUBE 51
Voltando ao pensamento de Newton, presente em nossa epígrafe, verificamos 
que outros estudiosos contribuíram para que ele desenvolvesse sua teoria 
gravitacional.
Galileu, estudando o movimento de corpos em superfícies cada vez mais planas 
e lisas, afirmou ser necessária uma força para modificar a velocidade de um 
corpo, mas nenhuma força é exigida para manter essa velocidade constante.
O trecho do poema de Antônio Gedeão, poeta português, explicita a contribuição 
de Galileu ao Renascimento científico:
[...] eu queria agradecer -te, Galileu, a inteligência das coisas 
que me deste. Eu, e quantos milhões de homens como eu a 
quem tu esclareceste, ia jurar que disparate, Galileu! e jurava 
a pés juntos e apostava a cabeça sem a menor hesitação que 
os corpos caem tanto mais depressa quanto mais pesados 
são. [...]. (GEDEÃO, 1979)
Newton, por sua vez, fez o seguinte enunciado: 
Um corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento 
retilíneo e uniforme, quando a resultante das forças que atuam 
sobre si for nula.
Vejamos com detalhes...
Sejam 1F

 e 2F

 as forças que atuam em um corpo. A resultante das forças, de-
nominada rF

, será a soma vetorial dessas forças.
1 2rF F F= +
  
Como temos 1 2 0rF F F+ + =
  
, esse conjunto de forças está em equilíbrio.
Figura 3: Duas forças em sentidos opostos.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
52 UNIUBE
 
Tomando por base o exposto, a que conclusão podemos chegar?Tomando por base o exposto, a que conclusão podemos chegar?
Procure refletir sobre isso e faça anotações!
Agora, compare sua resposta!
Quando a resultante for nula, o corpo permanecerá em repouso ou se deslocará 
com movimento retilíneo e uniforme.
2.3.2 Segunda lei de Newton
Na primeira lei de Newton, verificamos que a força resultante é zero. Porém, 
podemos ter situações em que a força resultante é diferente de zero.
Como proceder neste caso?
Figura 4: Representação da segunda lei de Newton.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Para essa situação, Newton fez o seguinte enunciado:
A resultante das forças que atuam sobre um corpo é igual ao produto da sua 
massa pela aceleração com a qual ele irá se movimentar.
arF m= ×


2.3.3. Terceira lei de Newton
Em seus estudos, Newton verificou que uma força é apenas um aspecto da 
interação mútua entre dois corpos. Verifica -se, experimentalmente, que quando 
UNIUBE 53
um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo sempre exerce uma força 
no primeiro.
Figura 5: forças de ação e reação.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Assim, A B B AF F® ®=
Desse modo, enunciou:
 IMPORTANTE! 
Quando um corpo exerce uma força em um segundo corpo, este último reagirá sobre 
o primeiro com uma força de mesma intensidade e sentido contrário.
 IMPORTANTE! 
Quando um corpo exerce uma força em um segundo corpo, este último reagirá sobre 
o primeiro com uma força de mesma intensidade e sentido contrário.
As forças de ação e reação possuem as seguintes características: 
• possuem a mesma natureza, ou seja, são ambas de contato ou de campo; 
• são forças trocadas entre dois corpos; 
• não se equilibram e não se anulam, pois estão aplicadas em corpos diferentes.
Vamos exercitar um pouco os conceitos vistos até agora, lembrando que não 
temos a condição de contemplar todas as situações nas quais são utilizados os 
conceitos abordados. É muito importante que você faça outros exercícios, busque 
em outras fontes, veja e reveja conceitos já desenvolvidos até esse momento do 
curso. Em cada exercício um pensamento, uma maneira de resolver. Tente fazer 
as atividades propostas, antes de consultar as respostas. Não é nossa intenção 
lhe dar tudo pronto; nosso objetivo é ajudá-lo a construir o seu conhecimento.
54 UNIUBE
 EXEMPLIFICANDO! 
1 – Temos uma situação na qual uma força é aplicada durante 2 s sobre um ponto 
material de 50 kg, em movimento retilíneo uniformemente variado, alterando a sua 
velocidade de 5 m/s para 8 m/s. Sabendo-se que a velocidade e a força possuem a 
mesma direção e sentido, podemos, a partir dos conceitos estudados, determinar as 
intensidades.
a) Da aceleração escalar.
b) Da força aplicada.
c) Do deslocamento no referido intervalo de tempo.
Vamos resolver juntos?
1o passo na resolução de um problema. O levantamento dos dados:
2t s= ⋅
050 ; 5 / ; 8 /m kg v m s v m s= = =
a) Para o cálculo da aceleração escalar, vamos utilizar a seguinte equação:
0
2
8 5 2
1,5 /
v v t
m s
a
a
a
= + ⋅
= + ⋅
=
b) Como somente existe uma força, ela é a resultante:
50 1,5arF m= ⋅ = ⋅ 75rF N=
c) Cálculo do deslocamento é realizado utilizando-se a equação de Torricelli:
2 2 2 2
0 2 8 5 2 1,5 13x mv v= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =a x x
 EXEMPLIFICANDO! 
1 – Temos uma situação na qual uma força é aplicada durante 2 s sobre um ponto 
material de 50 kg, em movimento retilíneo uniformemente variado, alterando a sua 
velocidade de 5 m/s para 8 m/s. Sabendo-se que a velocidade e a força possuem a 
mesma direção e sentido, podemos, a partir dos conceitos estudados, determir dos conceitos estudados, determir nar as 
intensidades.
a) Da aceleração escalar.
b) Da força aplicada.
c) Do deslocamento no referido intervalo de tempo.
Vamos resolver juntos?
1o passo na resolução de um problema. O levantamento dos dados:
2t s2t s2t s= ⋅t s2t s2= ⋅2t s2
0m kg v m s v m s0m kg v m s v m s050 ; 5 / ; 8 /m kg v m s v m s50 ; 5 / ; 8 /050 ; 5 / ; 8 /0m kg v m s v m s050 ; 5 / ; 8 /0m kg v m s v m s= = =m kg v m s v m s50 ; 5 / ; 8 /m kg v m s v m s50 ; 5 / ; 8 /= = =50 ; 5 / ; 8 /m kg v m s v m s50 ; 5 / ; 8 /
a) Para o cálculo da aceleração escalar, vamos utilizar a seguinte equação:
0
2
8 5 2
1,5 /
v v t0v v t0
m s1,5 /m s1,5 /
v v tav v t
8 5 2a8 5 2
a
v v t= + ⋅v v t0v v t0= + ⋅0v v t0v v tav v t= + ⋅v v tav v t
8 5 2= + ⋅8 5 28 5 2a8 5 2= + ⋅8 5 2a8 5 2
=
b) Como somente existe uma força, ela é a resultante:
50 1,5arF mrF mr = ⋅ = ⋅50 1,5= ⋅ = ⋅50 1,5a= ⋅ = ⋅aF m= ⋅ = ⋅F m rF N75F N75rF NrF N=F N
c) Cálculo do deslocamento é realizado utilizando-se a equação de Torricelli:
2 2 2 2
0 2 8 5 2 1,5 13x m28 5 2 1,5 13x m2 8 5 2 1,5 13v v= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 2= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 2 2 2= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 20= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =0 2 8 5 2 1,5 13= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 8 5 2 1,5 132 22 8 5 2 1,5 132 2= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 22 8 5 2 1,5 132 22 8 5 2 1,5 13x m2 8 5 2 1,5 13= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 8 5 2 1,5 13x m2 8 5 2 1,5 13v v= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =v v 2 8 5 2 1,5 13= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 8 5 2 1,5 13a x x2 8 5 2 1,5 13= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 8 5 2 1,5 132 22 8 5 2 1,5 132 2= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 22 8 5 2 1,5 132 2a x x2 22 8 5 2 1,5 132 2= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ⋅∆ →∆ =2 22 8 5 2 1,5 132 2
UNIUBE 55
 AGORA É A SUA VEZ 
1. Submete -se um corpo de massa 5 000 kg à ação de uma força constante que, a 
partir do repouso, lhe imprime a velocidade de 72 km/h ao fim de 40 s. Com base 
nessas informações, determine.
a) A intensidade da força.
b) A distância percorrida nos 40 s.
AGORA É A SUA VEZ 
1. Submete -se um corpo de massa 5 000 kg à ação de uma força constante que, a 
partir do repouso, ltir do repouso, ltir he imprime a velocidade de 72 km/h ao fim de 40 s. Com base 
nessas informações, determine.
a) A intensidade da força.
b) A distância percorrida nos 40 s.
 2.4 Força peso ( P

)
Vimos que todos os corpos nas proximidades da superfície da Terra ou de 
qualquer outro corpo celeste ficam sujeitos à ação de uma força de campo gra-
vitacional denominada força peso ou, simplesmente, peso ( P

). Tal força atua 
sempre no sentido de aproximar os corpos em relação à superfície.
Figura 6: Ação da força peso na Terra.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
O peso de um corpo na Terra:
• aumenta do Equador para os polos por dois motivos, sendo: o primeiro o 
achatamento nos polos (a Terra não é uma esfera perfeita); e o segundo por 
causa também da ação da força centrífuga da rotação da Terra que “empurra” 
os corpos para fora, reduzindo o seu peso (força que causa o achatamento 
polar dentre outros efeitos naturais); 
• diminui quando a altitude do lugar aumenta. 
56 UNIUBE
Vejamos como calcular a intensidade da força peso...
 IMPORTANTE! 
Lembrando que peso e massa são grandezas físicas diferentes. Sendo m a massa do 
corpo e g a aceleração gravitacional, o peso é determinado pela seguinte equação.
 IMPORTANTE! 
Lembrando que peso e massa são grandezas físicas diferentes. Sendo m a massa do 
corpo e g a aceleração gravitacional, o peso é determinado pela seguinte equação.g a aceleração gravitacional, o peso é determinado pela seguinte equação.g
 
P m g= ×


 PARADA PARA REFLEXÃO 
A intensidade do peso varia de acordo com o valor da aceleração gravitacional, mas 
a massa do corpo mantém -se constante, independentemente do local onde está. 
Neste sentido, temos.
peso => variável
massa => constante
 PARADA PARA REFLEXÃO 
A intensidade do peso varia de acordo com o valor da aceleração gravitacional, mas 
a massa do corpo mantém -se constante, independentemente do local onde está. 
Neste sentido, temos.
peso => variável
massa => constante
 EXEMPLIFICANDO! 
2 – Uma bola de boliche de massa 2,0 kg, em um local de g = 10 m/s², é puxada, 
verticalmente, para cima por uma força constante F, de intensidade igual a 30 N. 
Calcule:
a) O peso da bola de boliche.
b) A aceleração resultante.
Vamos resolver juntos?
Retirando os dados do problema:
m = 2,0 kg
g = 10 m/s²
F = 30 N
UNIUBE 57
a) Calculando o peso da bola de boliche pela seguinte relação:
2 10 20P m g P P N= × ® = × \ =


b) Como F > P, a força e a aceleração resultantes terão direção vertical e sentido 
para cima, então:
230 20 2 5 /F P m a m s− = ⋅ → − = ⋅ ∴ =a a
a) Calculando o peso da bola de boliche pela seguinte relação:
2 10 20P m g P P N2 10 20P m g P P N2 10 20P m g P P N= × ® = × \ =P m g P P N2 10 20P m g P P N2 10 20= × ® = × \ =2 10 20P m g P P N2 10 20

P m g P P NP m g P P N
b) Como F > P, a força e a aceleração resultantes terão direção vertical e sentido 
para cima, então:
230 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /− = ⋅ → − = ⋅ ∴ =30 20 2 5 /− = ⋅ → − = ⋅ ∴ =30 20 2 5 /F P m a m s− = ⋅ → − = ⋅ ∴ =F P m a m s30 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /− = ⋅ → − = ⋅ ∴ =30 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /F P m a m sa aF P m a m s30 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /a a30 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /F P m a m s− = ⋅ → − = ⋅ ∴ =F P m a m sa aF P m a m s− = ⋅ → − = ⋅ ∴ =F P m a m s30 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /− = ⋅ → − = ⋅ ∴ =30 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /a a30 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /− = ⋅ → − = ⋅ ∴ =30 20 2 5 /F P m a m s30 20 2 5 /
 AGORA É A SUA VEZ 
2. João tem massa corporal igual a 60 kg. Calcule o peso de João em duas localida-
des diferentes:
a) Em Belém, onde a aceleração da gravidade é 9,83 m/s².
b) Em Santos, onde a aceleração da gravidade vale 9,80 m/s².
AGORA É A SUA VEZ 
2. João tem massa corporal igual a 60 kg. Calcule o peso de João em duas localida-
des diferentes:
a) Em Belém, onde a aceleração da gravidade é 9,83 m/s².
b) Em Santos, onde a aceleração da gravidade vale 9,80 m/s².
 2.5 Força normal ( N

)
Vamos voltar ao exemplo do livro sobre a mesa. Sempre que uma superfície 
comprime outra, há uma componente de força perpendicular a elas denominada 
força normal ( N
 ).
Figura 7: Representação da força peso e normal.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
58 UNIUBE
As forças normais aparecem quando um corpo toca o outro. Vejamos os se-
guintes exemplos:
• um chute em uma bola;
• uma pedra atingindo uma vidraça etc.
 IMPORTANTE! 
Atenção: as forças normais de contato também aparecem em situações onde sua 
presença não é tão visível. Quando algum objeto ou pessoa se apoia sobre uma 
superfície, ela força esta superfície para baixo. Por outro lado, a superfície sustenta 
a pessoa aplicando em seus pés uma força para cima. Essa é a força normal.
 IMPORTANTE! 
Atenção: as forças normais de contato também aparecem em situações onde sua 
presença não é tão visível. Quando algum objeto ou pessoa se apoia sobre uma 
superfície, ela força esta superfície para baixo. Por outro lado, a superfície sustenta 
a pessoa aplicando em seus pés uma força para cima. Essa é a força normal.
 2.6 Força de tração (T

)
Para entendermos essa força, vamos analisar a seguinte situação.
Figura 8: Ação da força de tração.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Note que existe uma força trocada entre um corpo e o fio. Temos aí a chamada 
força de tração, e sua ação é sempre no sentido de o fio puxar o corpo (o fio 
esticado nunca empurra o corpo).
 2.7 Força elástica ( eF

)
Essa força também está presente em muitas situações de nosso cotidiano. Veja 
um exemplo corriqueiro: quando uma pessoa veste uma bermuda, ou uma calça 
de elástico, provoca uma deformação ao esticá-la. Ao retirar a bermuda ou a 
calça, o elástico tende a voltar ao seu estado normal.
UNIUBE 59
 
Por que isso acontece?Por que isso acontece?
Esse é um questionamento comum e muito simples de ser respondido.
Dizemos, neste caso, que existe uma força elástica atuando sobre a calça, 
fazendo -a voltar ao seu estado inicial. Veja como é a atuação dessa força. Uma 
força que surge em molas e elásticos, quando estes sofrem certa deformação, 
atua de sentido oposto à sua deformação.
Figura 9: Representação bloco-mola.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Podemos, agora, enunciar a lei de Hooke.
Em regime de deformação elástica, a intensidade da força 
elástica é proporcional à deformação x produzida.
eF K X= ×D
Em que K = constante elástica, que é uma característica de cada corpo.
As unidades de medida da força elástica são:
Quadro 2: Unidades da constante elástica.
SI CGS outras
N/m dyn/cm N/cm;Kgf/m etc.
60 UNIUBE
 2.8 Força de atrito ( atF )
Veja a ilustração a seguir.
Figura 10: Força de atrito.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Sempre que a superfície de um corpo escorrega sobre outro, cada corpo exerce 
sobre o outro uma força paralela às superfícies. Essa força é inerente ao contato 
entre as superfícies e a chamamos de força de atrito.• Características importantes:
I – a força de atrito sobre cada corpo tem sentido oposto ao seu movimento em 
relação ao outro corpo;
II – as forças de atrito que atuam entre superfícies em repouso relativo são 
chamadas de forças de atrito estático, em contraposição às forças de atrito 
cinético que acontecem entre superfícies que têm movimento relativo;
III – existe atrito entre superfícies em repouso quando acontece uma tendência 
ao movimento.
 EXEMPLIFICANDO! 
Imagine um tijolo parado em uma ladeira (plano inclinado). Nesta situação, há uma 
tendência ao movimento, mas a força de atrito entre as superfícies em contato man-
tém o tijolo em repouso.
 EXEMPLIFICANDO! 
Imagine um tijolo parado em uma ladeira (plano inclinado). Nesta situação, há uma 
tendência ao movimento, mas a força de atrito entre as superfícies em contato man-
tém o tijolo em repouso.
Temos a força de atrito estático e a força de atrito cinético. 
UNIUBE 61
Vejamos como diferenciá-las...
A força de atrito estático máxima entre duas superfícies será igual à força mínima 
necessária para iniciar o movimento relativo. Iniciado o movimento, as forças 
de atrito que atuam entre as superfícies usualmente decrescem, passando a 
atuar a força de atrito cinético, de modo que uma força menor será suficiente 
para manter o movimento.
Em síntese:
Força de atrito estático => o corpo permanece parado.
Força de atrito cinético => o corpo está em movimento.
Algumas conclusões a respeito do atrito
Algumas leis empíricas para o atrito estático máximo entre superfícies:
1. Sempre que a superfície de um corpo escorrega sobre outro, cada corpo 
exerce sobre o outro uma força paralela às superfícies. Essa força é inerente 
ao contato entre as superfícies e a chamamos de força de atrito. A força de 
atrito sobre cada corpo tem sentido oposto ao seu movimento em relação ao 
outro corpo.
2. A força de atrito estático máxima entre duas superfícies será igual à força 
mínima necessária para iniciar o movimento relativo.
3. Iniciado o movimento, as forças de atrito que atuam entre as superfícies usual-
mente decrescem, pois entra em ação a força de atrito cinético, de modo que 
uma força menor será suficiente para manter o movimento.
4. A força de atrito independe da área de contato entre o corpo e a superfície 
que o suporta. Quanto maior a área de contato, menor a pressão que o corpo 
exerce sobre a superfície. Esse fato significa que a força necessária para ar-
rastar um tijolo metálico sobre uma mesa metálica é a mesma, não importando 
qual a face do tijolo esteja em contato com a mesa. Podemos entender esse 
resultado, considerando que a área microscópica de contato será a mesma 
em ambas as situações.
5. A força de atrito é proporcional à força normal que a superfície exerce sobre 
o corpo considerado. A normal é proporcional à quantidade de microssoldas 
que existirão entre as superfícies.
62 UNIUBE
Cálculo da força de atrito.
atF Nm= ×
 
Em que:
N = força normal.
μ	=	coeficiente	de	atrito.
O coeficiente de atrito é uma grandeza adimensional, não possuindo unidade de 
medida; seu valor depende do estado de polimento das superfícies em contato. 
Para exemplificar: uma pessoa, ao caminhar na areia, percebe uma força de 
atrito maior do que ao caminhar em um piso de cerâmica, pois os coeficientes 
de atrito são diferentes.
 SAIBA MAIS 
A força de atrito é uma força tangencial à trajetória e tem sempre o sentido oposto ao 
do movimento ou à tendência de movimento.
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
A força de atrito é uma força tangencial à trajetória e tem sempre o sentido oposto ao 
do movimento ou à tendência de movimento.
 EXEMPLIFICANDO! 
3 – Um bloco de 20 kg é arrastado por uma força F horizontal e constante, cuja 
intensidade é de 160 N. Sabe-se que a velocidade é mantida constante. Dado 
g = 10 m/s², calcule o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície de apoio, 
também horizontal.
Vamos resolver juntos?
Para que a velocidade seja constante, já sabemos que a força resultante deve ser 
nula. Neste caso, temos. 
0 
160
0 sendo N = P = 20 10 = 200N
 temos que:
160= 200 =0,8
r
at at
at
F
F N
F F F F
F Nm
m m
=
=
- = Þ = ×
= ×
× \

 
 EXEMPLIFICANDO! 
3 – Um bloco de 20 kg é arrastado por uma força F horizontal e constante, cuja F horizontal e constante, cuja F
intensidade é de 160 N. Sabe-se que a velocidade é mantida constante. Dado 
g = 10 m/s², calcule o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície de apoio, 
também horizontal.
Vamos resolver juntos?ver juntos?ver
Para que a velocidade seja constante, já sabemos que a força resultante deve ser 
nula. Neste caso, temos. 
0 
160
0 sendo N = P = 20 10 = 200N
 temos que:
160= 200 =0,8
r
at at
at
FrFr
F N160F N160
F F F F0 sendo N = P = 20 10 = 200NF F F F0 sendo N = P = 20 10 = 200N
F NatF Nat mF NmF N
m m160= 200 =0,8m m160= 200 =0,8
=
F N=F N
- = Þ = ×0 sendo N = P = 20 10 = 200N- = Þ = ×0 sendo N = P = 20 10 = 200Nat at- = Þ = ×at at0 sendo N = P = 20 10 = 200Nat at0 sendo N = P = 20 10 = 200N- = Þ = ×0 sendo N = P = 20 10 = 200Nat at0 sendo N = P = 20 10 = 200NF F F F- = Þ = ×F F F F0 sendo N = P = 20 10 = 200NF F F F0 sendo N = P = 20 10 = 200N- = Þ = ×0 sendo N = P = 20 10 = 200NF F F F0 sendo N = P = 20 10 = 200Nat atF F F Fat at- = Þ = ×at atF F F Fat at0 sendo N = P = 20 10 = 200Nat at0 sendo N = P = 20 10 = 200NF F F F0 sendo N = P = 20 10 = 200Nat at0 sendo N = P = 20 10 = 200N- = Þ = ×0 sendo N = P = 20 10 = 200Nat at0 sendo N = P = 20 10 = 200NF F F F0 sendo N = P = 20 10 = 200Nat at0 sendo N = P = 20 10 = 200N
F N= ×F NF NmF N= ×F NmF N
160= 200 =0,8× \160= 200 =0,8160= 200 =0,8m m160= 200 =0,8× \160= 200 =0,8m m160= 200 =0,8

 
UNIUBE 63
Figura 11: Bloco que é arrastado por uma 
força F horizontal e constante.
 AGORA É A SUA VEZ 
3. Arrasta-se um corpo de massa igual a 1 500 kg sobre um plano horizontal rugoso, 
em movimento uniforme, mediante uma força horizontal de intensidade 750 N. 
Qual é o coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e o plano? Para resolver, 
considere g = 10 m/s².
4. Um carro de massa 800 kg, movendo se a 20 m/s, freia bruscamente e para em 
5,0 s.
a) Qual é o módulo da aceleração do carro durante a frenagem?
b) Calcule o módulo da força de atrito que atua no carro durante a frenagem, supondo 
– a constante.
5. Uma força horizontal de 50 N atua sobre um bloco A, de massa igual a 10kg, em 
um plano horizontal. A aceleração resultante do bloco é 2,5 m/s². Considerando 
g = 10 m/s², calcule.
a) A força normal.
b) A força de atrito.
c) O coeficiente de atrito cinético.
AGORA É A SUA VEZ 
3. Arrasta-se um corpo de massa igual a 1 500 kg sobre um plano horizontal rugoso,
em movimento uniforme, mediante uma força horizontal de intensidade 750 N.
Qual é o coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e o plano? Para resolver,
considere g = 10 m/s².
4. Um carro de massa 800 kg, movendo se a 20 m/s, freia bruscamente e para em 
5,0 s.
a) Qual é o módulo da aceleração do carro durante a frenagem?
b) Calcule o módulo da força de aforça de af trito que atua no carro durante a frenagem, supondo 
– a constante.
5. Uma força horizontal de 50 N atua sobre um bloco A, de massa igual a 10kg, em 
um plano horizontal. A aceleração resultante do bloco é 2,5 m/s². Considerando 
g = 10 m/s², calcule.
a) A força normalforça normalf .
b) A força de aforça de af trito.
c) O coeficiente de atrito cinético.
64 UNIUBE
 2.9 Estática dos pontos materiais
A análise do comportamento de corpos em repouso ou em movimento, sob a 
ação de forças, é feita por meio da mecânica e é aplicada em várias áreas das 
engenharias e em outras áreas das ciências exatas.
 
Os corpos são divididos em sólidos, líquidos e gases.Os corpos são divididos em sólidos, líquidos e gases.
Os sólidos podem ser considerados rígidos ou deformáveis, dependendo da 
sua aplicação. São estudados nas disciplinas de mecânica geral e resistência 
dos materiais.Os líquidos e gases são estudados na mecânica dos fluidos, e podem ser con-
siderados como compressíveis e incompressíveis.
Desde a época antes de Cristo, já havia aplicações de mecânica como, por 
exemplo, os canais de irrigação entre os rios Tigre e Eufrates, na Mesopotâ-
mia. Arquimedes (285 -213 a.C.) estudou a flutuação de corpos submersos, 
enunciando alguns princípios da hidrostática. Newton (1642 -1727) apresentou 
uma formulação mais satisfatória por meio de seus princípios, e suas equações 
tornaram-se a base para o estudo da mecânica e suas aplicações dia a dia.
Atualmente, por causa da complexidade de alguns fenômenos relacionados ao 
comportamento dos sólidos, análises teóricas e experimentais ainda são reali-
zadas em conjunto. Mesmo com o advento do computador digital, que facilitou 
a resolução numérica de várias equações, a utilização de laboratórios para a 
obtenção de alguns parâmetros ainda é necessária.
Na modelagem do comportamento de um sólido sujeito à ação de forças, um 
conjunto de grandezas consideradas fundamentais corresponde à massa, ao 
comprimento e ao tempo, formando um sistema de base MLT. O padrão de 
medida dessas grandezas corresponde, respectivamente, ao quilograma, ao 
metro e ao segundo, formando o sistema MKS.
Existem outros sistemas, em que as grandezas de base podem corresponder 
à força, ao comprimento e ao tempo, formando a base FLT, e suas unidades 
seriam, respectivamente, o quilograma-força, o metro e o segundo, formando o 
sistema MK*S. Neste roteiro, vamos trabalhar com o sistema de base MLT.
UNIUBE 65
Abordaremos, na sequência, alguns conceitos e fundamentos básicos para o 
melhor entendimento da teoria referente à mecânica dos sólidos. Faremos, ini-
cialmente, uma abordagem sobre as forças no plano e no espaço e, em seguida, 
sobre a análise da estática dos pontos materiais (as dimensões dos sólidos não 
afetam a solução dos problemas) no plano e no espaço.
 2.10 Forças no plano
A força é uma grandeza vetorial, pois ela possui módulo, direção e sentido, como 
ilustrado na Figura 12, a seguir.
20N
40º
Figura 12: Força: módulo, direção e sentido.
O módulo da força corresponde à sua intensidade e vale 20 N. A sua direção é 
a inclinação de 40º e o sentido é representado pela seta.
Quando se tem duas ou mais forças aplicadas no mesmo ponto, existem técnicas 
para substituí-las por apenas uma força (resultante) que cause o mesmo efeito 
das demais. Neste roteiro, apresentamos a lei do paralelogramo e as compo-
nentes cartesianas de uma força.
2.10.1 Lei do paralelogramo
Considere duas forças: 1F

 e 2F

 atuando no ponto A, como ilustrado na Figura 13.
66 UNIUBE
Figura 13: Força resultante pela lei do paralelogramo.
Observe que a força resultante R

 é a soma das duas forças 1F

 e 2F

. Para o 
cálculo do módulo, da direção e do sentido da resultante utilizam-se relações 
trigonométricas, como mostra o exemplo, a seguir. Leia-o com atenção.
Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada no ponto 
A, da Figura 14, a seguir:
Figura 14: Forças aplicadas no ponto A.
Aplicando-se a regra do paralelogramo:
Figura 15: Aplicação da regra do paralelogramo.
UNIUBE 67
Vamos analisar o triângulo seguinte e encontrar a resultante por meio de rela-
ções trigonométricas:
Figura 16: Encontrando a resultante 
por meio de relações trigonométricas.
Observe que: 180 20 160a a= + Þ =  .
Para o cálculo do módulo da força resultante, vamos usar a lei dos cossenos.
( )2 1 2 12 2 2 2 cosRF F F F F= + − ⋅ ⋅ ⋅ α
( )2 2 2 030 50 2 30 50 cos 160 78,86R R N= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
Para o cálculo da direção da resultante, vamos usar a lei dos senos.
Figura 17: Cálculo da direção da resultante.
( ) ( )
78,86 50 12,52
160sen sen
β
β
= ⇒ = °
°
68 UNIUBE
Logo, a direção da resultante com a horizontal vale: 12,52º + 30º = 42,52º.
Figura 18: Direção da resultante.
Realize a atividade a seguir tendo como base o exemplo apresentado 
anteriormente.
 AGORA É A SUA VEZ 
6. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada no ponto 
A, utilizando a lei do paralelogramo.
Figura 19: Forças aplicadas no ponto A.
AGORA É A SUA VEZ 
6. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada no ponto 
A, utilizando a lei do paralelogramo.
Figura 19: Forças aplicadas no ponto A.
2.10.2 Componentes cartesianas de uma força
Normalmente, para se encontrar a resultante das forças em um ponto, o método 
de decomposição dessas forças em duas componentes é mais desejável do que 
aplicar a lei do paralelogramo.
Uma determinada força pode ser decomposta em duas componentes em um 
plano cartesiano, como mostra a Figura 20.
UNIUBE 69
Figura 20: Componentes 
da força nos eixos x e y.
Os valores das componentes xF

 e yF

 valem, respectivamente:
cos (1)
 (2)
x
y
F F
F F sen
q
q
= ×
= ×
Observe	que	θ	é	o	ângulo	formado	entre	a	força	resultante	e	um	dos	eixos	co-
ordenados. As componentes da força F

 também podem ser acompanhadas 
pelos vetores unitários i

e j

que correspondem, respectivamente, aos eixos x 
e y, como mostram as equações a seguir: 
 (3)
 (4)
x x
y y
F F i
F F j
=
=




Finalmente, a força F

pode ser representada pela equação:
 (5)x yF F i F j= +

 
O módulo da força resultante pode ser calculado, aplicando o Teorema de Pi-
tágoras:
2 2 (6)x yF F F= +
Aproveitando o exemplo da Figura 20, vamos novamente encontrar o módulo, 
a direção e o sentido da força resultante, utilizando a técnica de decomposição 
de forças (Figura 21).
70 UNIUBE
Figura 21: Forças 
aplicadas no ponto A.
Primeiramente, vamos encontrar as componentes nos eixos x e y da força 1F

 
e, em seguida, para força 2F

.
Força 1F

: note que o ângulo formado entre essa força e o eixo é de 50º. 
Assim:
cos 50 cos(50 ) 32,14
 50 (50 ) 38,30 
x x x
y y y
F F F F N
F F sen F sen F N
q
q
= × Þ = × Þ =
= × Þ = × Þ =


Podendo, ainda, escrever:
1 32,14 38,30F i j= +

 
Realizando o mesmo procedimento para a força 2F

:
cos 30 cos(30 ) 25,98
 30 (30 ) 15,00 
x x x
y y y
F F F F N
F F sen F sen F N
q
q
= × Þ = × Þ =
= × Þ = × Þ =


Então, temos da mesma forma:
2 25,89 15,00F i j= +

 
A resultante das forças nos eixos x e y valem, respectivamente:
32,14 25,98 58,21xR N= + = e 38,30 15,00 53,30yR N= + =
Podendo, da mesma forma, escrever:
UNIUBE 71
58,12 53,30R i J= +
 

O módulo da força resultante vale:
2 2 2 2 258,12 53,30 78,86x yR R R R N= + Þ = + =
A direção da força resultante vale:
53,30 üüüüü
58,12
y
x
R
tg tg
R
q q q= = = = Þ = 
 AGORA É A SUA VEZ 
7. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada no ponto 
A, utilizando a técnica de decomposição de forças.
AGORA É A SUA VEZ 
7. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada no ponto 
A, utilizando a técnica de decomposição de forças.
Figura 22: Forças aplicadas no ponto A.
 2.11 Equilíbrio de um ponto material
Vimos, anteriormente, como encontrar a resultante de duas ou mais forças 
aplicadas em um ponto. Agora, vamos estudar casos em que a resultante das 
forças é nula, podendo afirmar que o corpo sujeito à ação dessas forças está 
em equilíbrio.
Por exemplo:
Um automóvel parado em uma estrada encontra-se em equilíbrio estático e um 
automóvel em movimento, com velocidade vetorial constante em uma pista ho-
rizontal, encontra-se em equilíbrio dinâmico. Em qualquer um deles, as forças 
estão equilibradas, o que significa dizer que a força resultante é nula.
72 UNIUBE
Iniciaremos com as situações nas quais os corpos podem ser representados 
por um único ponto. Esse ponto é o centro de massa do corpo e nele podemos 
imaginar que esteja concentrada toda a sua massa. Nessas condições, esse 
ponto recebe o nome de ponto material.
Um corpo é considerado como um ponto material quando suas dimensões (tama-
nhoe	forma)	não	afetam	significativamente	a	solução	dos	problemas	envolvidos.	
Sendo assim, todas as forças que estão atuando sobre esse corpo podem ser 
consideradas como atuando em apenas um ponto.
Para a solução de problemas que envolvem esse assunto, utilizam-se as equa-
ções definidas anteriormente, e deve-se respeitar a seguinte condição:
0 (7)R F= =å
 
Podendo, ainda, escrever a equação anterior em termos de suas componentes:
( ) ( ) ( )0 0 0x y x yF i F j F i F j i j+ = ⇒ + = +∑ ∑ ∑
      
 (8) 
Finalmente:
0xF =å (9)
0yF =å (10)
Compreendidas as equações apresentadas anteriormente, vamos fazer o 
exemplo seguinte?
 EXEMPLIFICANDO! 
4 – Determine a força de tração nos cabos AC e BC da Figura 23, a seguir, conside-
rando que o objeto de 50 kg está em equilíbrio. Adote aceleração da gravidade igual 
a 9,8 m/s2.
 EXEMPLIFICANDO! 
4 – Determine a força de tração nos cabos AC e BC da Figura 23, a seguir, conside-
rando que o objeto de 50 kg está em equilíbrio. Adote aceleração da gravidade igual 
a 9,8 m/s2.
UNIUBE 73
Figura 23: Forças aplicadas no 
ponto C.
Fazendo o diagrama de corpo livre, temos:
Figura 24: Diagrama de corpo 
livre.
No qual:
W é a força peso e vale: 50 9,8 490P W mg N= = = ⋅ =
Aplicando as equações (9) e (10), temos:
( )0 cos 30 cos(40 ) 0xF BC AC= ⇒ ⋅ ° − ⋅ ° =∑
( )0 s 40 (30 ) 0yF AC en BC sen W= ⇒ ⋅ ° + ⋅ ° − =∑
Resolvendo o sistema, temos:
451,59AC N= e 399,45BC N=
Uma vez entendido o exemplo anterior, resolva a atividade a seguir.
74 UNIUBE
 AGORA É A SUA VEZ 
8. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada no ponto 
A, utilizando a técnica de decomposição de forças.
Figura 25: Forças aplicadas no 
ponto C.
AGORA É A SUA VEZ 
8. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada no ponto 
A, utilizando a técnica de decomposição de forças.
Figura 25: Forças aplicadas no
ponto C.
2.11.1 Forças no espaço
Vimos, nas seções anteriores, a representação de vetores no plano. Neste item, 
estudaremos os vetores no espaço como ilustrado na Figura 26, a seguir.
Figura 26: Vetor força no espaço.
O vetor F

 forma os ângulos xq , yq e zq , respectivamente, com os eixos x, y, 
e z. Projetando esse vetor nos eixos coordenados, encontra-se xF

, yF

 e zF

 
pelas equações:
 ( )
( ) ( )
( ) ( )
cos 0
cos 0 12
cos 0 13
 (11)
 
 
x x
y y
z z
F F
F F
F F
= ⋅
= ⋅
= ⋅
 (11)
 (12)
 (13)
UNIUBE 75
A representação das componentes do vetor é ilustrada na Figura 27, a seguir.
Figura 27: Componentes 
do vetor força no espaço.
O vetor F

 pode ser projetado no plano xz encontrando o vetor hF

 como ilustrado 
na Figura 28, a seguir:
Figura 28: Componente 
do vetor força no plano xz.
O vetor hF

 é obtido pela equação:
( ) (14)h yF F sen q= ×
As componentes xF

, yF

 e zF

também podem ser calculadas pelas equações:
cos( ) (15)
cos( ) (16)
( ) (17)
x h
y h y
z h
F F
F F
F F sen
j
q
j
= ×
= ×
= ×
Substituindo a equação (14) nas equações (15) e (17), encontra-se:
76 UNIUBE
( ) ( )
( ) ( )
( ) cos 18
( ) 19
x y
z y
F F sen
F F sen sen
θ ϕ
θ ϕ
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
 
 
 EXEMPLIFICANDO! 
5 – Uma força de 400 N forma ângulos de 30º, 40º e 70º, respectivamente, com os 
eixos x, y e z. Calcule xF

, yF

, zF

 e hF

.
Para solucionar esse problema, precisamos aplicar as seguintes equações:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
cos 400 cos 30 346,41
cos 400 cos 40 306,42
cos 400 cos 70 136,81
s 400 s 40 257,12
x x x x
y y y y
z z z z
h y h h
F F F F N
F F F F N
F F F F N
F F en F en F N
θ
θ
θ
θ
= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =
= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =
= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =
= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =
 EXEMPLIFICANDO! 
5 – Uma força de 400 N forma ângulos de 30º, 40º e 70º, respectivamente, com os 
eixos x, y e z. Calcule xFxFx

, yFyFy

, zF

 e hFhFh

.
Para solucionar esse problema, precisamos aplicar as seguintes equações:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
cos 400 cos 30 346,41
cos 400 cos 40 306,42
cos 400 cos 70 136,81
s 400 s 40 257,12
x x x x(x x x x( )x x x x) (x x x x( )x x x x)cos 400 cos 30 346,41x x x xcos 400 cos 30 346,41(cos 400 cos 30 346,41(x x x x(cos 400 cos 30 346,41( )cos 400 cos 30 346,41)x x x x)cos 400 cos 30 346,41) (cos 400 cos 30 346,41(x x x x(cos 400 cos 30 346,41( )cos 400 cos 30 346,41)x x x x)cos 400 cos 30 346,41)
y y y y(y y y y( )y y y y) (y y y y( )y y y y)cos 400 cos 40 306,42y y y ycos 400 cos 40 306,42(cos 400 cos 40 306,42(y y y y(cos 400 cos 40 306,42( )cos 400 cos 40 306,42)y y y y)cos 400 cos 40 306,42) (cos 400 cos 40 306,42(y y y y(cos 400 cos 40 306,42( )cos 400 cos 40 306,42)y y y y)cos 400 cos 40 306,42)
z z z z(z z z z( )z z z z) (z z z z( )z z z z)cos 400 cos 70 136,81z z z zcos 400 cos 70 136,81(cos 400 cos 70 136,81(z z z z(cos 400 cos 70 136,81( )cos 400 cos 70 136,81)z z z z)cos 400 cos 70 136,81) (cos 400 cos 70 136,81(z z z z(cos 400 cos 70 136,81( )cos 400 cos 70 136,81)z z z z)cos 400 cos 70 136,81)
h y h h(h y h h( )h y h h) (h y h h( )h y h h)s 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12(s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12( )s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12) (s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12( )s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12)
F F F F Ncos 400 cos 30 346,41F F F F Ncos 400 cos 30 346,41x x x xF F F F Nx x x x
F F F F Ncos 400 cos 40 306,42F F F F Ncos 400 cos 40 306,42y y y yF F F F Ny y y y
F F F F Ncos 400 cos 70 136,81F F F F Ncos 400 cos 70 136,81z z z zF F F F Nz z z z
F F en F en F Ns 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12h y h hF F en F en F Nh y h h
θ
θ
θ
θ
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= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =)= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =) (= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =( )= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =)s 400 s 40 257,12= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =s 400 s 40 257,12)s 400 s 40 257,12)= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =)s 400 s 40 257,12) (s 400 s 40 257,12(= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =(s 400 s 40 257,12( )s 400 s 40 257,12)= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =)s 400 s 40 257,12)s 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =s 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12)s 400 s 40 257,12)F F en F en F N)s 400 s 40 257,12)= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =)s 400 s 40 257,12)F F en F en F N)s 400 s 40 257,12) (s 400 s 40 257,12(F F en F en F N(s 400 s 40 257,12(= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =(s 400 s 40 257,12(F F en F en F N(s 400 s 40 257,12( )s 400 s 40 257,12)F F en F en F N)s 400 s 40 257,12)= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =)s 400 s 40 257,12)F F en F en F N)s 400 s 40 257,12)s 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =s 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12)s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12)F F en F en F N)s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12)= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =)s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12)F F en F en F N)s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12) (s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12(F F en F en F N(s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12(= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =(s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12(F F en F en F N(s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12( )s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12)F F en F en F N)s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12)= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =)s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12)F F en F en F N)s 400 s 40 257,12)h y h h)s 400 s 40 257,12)= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =(= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =(s 400 s 40 257,12= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =s 400 s 40 257,12(s 400 s 40 257,12(= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =(s 400 s 40 257,12(F F en F en F N= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =F F en F en F Ns 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =s 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12(s 400 s 40 257,12(F F en F en F N(s 400 s 40 257,12(= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =(s 400 s 40 257,12(F F en F en F N(s 400 s 40 257,12(h y h hF F en F en F Nh y h h= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =h y h hF F en F en F Nh y h hs 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =s 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12(s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12(F F en F en F N(s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12(= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =(s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12(F F en F en F N(s 400 s 40 257,12(h y h h(s 400 s 40 257,12(θ= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =θs 400 s 40 257,12θs 400 s 40 257,12= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =s 400 s 40 257,12θs 400 s 40 257,12s 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12θs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =s 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12θs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12s 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12θs 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =s 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12θs 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12F F en F en F Ns 400 s 40 257,12h y h hs 400 s 40 257,12
 AGORA É A SUA VEZ 
9. A componente de uma força de 300 N no plano xz vale 260 N e seu ângulo formado 
com o eixo x é de 30º, como mostra a Figura 29. Calcule xF

, yF

e zF

:
Figura 29: Componente do 
vetor força no plano xz.
AGORA É A SUA VEZ 
9. A componente de uma força de 300 N no plano xz vale 260 N e seu ângulo formado 
com o eixo x é de 30º, como mostra a Figura 29. Calcule xFxFx

, yFyFy

e zF

:
Figura 29: Componente do
vetor força no plano xz.
Dando continuidade às equações já demonstradas, podemos escrever ainda:
UNIUBE 77
2 2 2 (20)y hF F F= +
2 2 2 (21)h x zF F F= +
Substituindo a equação (21) na equação (20):
2 2 2 2 (22)x y zF F F F= + +
Podemos escrever:
 (23)x y zF F i F j F k= + +


 
Substituindo as equações (11), (12) e (13) na equação (23):
cos( ) cos( ) cos( ) (24)x y zF F i F j F kq q q= × + × + ×


 
Colocando o vetor F

 em evidência:
cos( ) cos( ) cos( ) (25)x y zF F i j kq q qé ù= × + +ê úë û


 
Fazendo:
cos( ) cos( ) cos( ) (26)x y zi j kl q q q= + +

 
Temos:
 (27)F F l= ×

Em que l

 é um vetor unitário e seu módulo vale:
cos( ) cos( ) cos( ) (28)x y zl q q q= + +

Podendo escrever:
cos( ) cos( ) cos( )=1 (29)x y zq q q+ +
Em muitas aplicações, a direção de uma força F

 pode ser definida pelas coor-
denadas de dois pontos no espaço por certa distância entre eles. Essa distância 
78 UNIUBE
entre dois pontos também pode ser representada por seus componentes dx, dy, 
dz, e o vetor unitário l

, que pode ainda ser escrito na forma:
( )
2 2 2 2
1
x y z
x y z
d i d j d k
d
d d d d
λ = + +
= + +
  

 (30)
Em que
 (31)
 (30)
 (31)
Para facilitar o entendimento do que foi exposto, vamos apresentar o seguinte 
exemplo:
 EXEMPLIFICANDO! 
6 – Uma estrutura vertical é sustentada por um cabo, como está ilustrado na Figura 30. 
Sabendo-se que a força de tração nesse cabo é de 3 000 N, determine as componentes 
xF

, yF

, zF

 dessa força.
Primeiramente, devemos definir as origens dos eixos cartesianos para encontrarmos 
as distâncias dx, dy e dz. Escolhendo o ponto onde o cabo toca o solo, temos:
 EXEMPLIFICANDO! 
6 – Uma estrutura vertical é sustentada por um cabo, como está ilustrado na Figura 30. 
Sabendo-se que a força de tração nesse cabo é de 3 000 N, determine as componentes 
xFxFx

, yFyFy

, zF

 dessa força.
Figura 30: Estrutura vertical sustentada por
um cabo.
Primeiramente, devemos definir as origens dos eixos cartesianos para encontrarmos 
as distâncias dx, dy e dz. Escolhendo o ponto onde o cabo toca o solo, temos:
UNIUBE 79
Sendo assim, temos: dx = – 40m; dy = 100m e dz = 15m. O valor correspondente de 
d vale: 
( )22 2 2 2 2 2 240 100 15 108,74x y zd d d d d d m= + + Þ = - + + Þ =
Calculando o valor de l

:
( ) ( )1 1 40 100 15 0,368 0,920 0,138108,74x y zd i d d k i j k i j kdλ λ λ= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +
          
Calculando o valor de F

:
( )3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82F F F i j k F i j kλ= ⋅ ⇒ = ⋅ − + + ⇒ = − + +         
Logo, temos:
1103,52
2758,80
413,82
x
y
z
F N
F N
F N
= −
=
=
Uma vez entendido o exemplo apresentado, resolva a atividade, a seguir.
Figura 31: Escolhendo o ponto onde o 
cabo toca o solo.
Sendo assim, temos: dx = – 40m; dy = 100m e dz = 15m. O valor correspondente de 
d vale: 
( )22 2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2)22 2 2 2 2 2 2240 100 15 108,74)40 100 15 108,74)x y zd d d d d d m2 2 2 2 2 2 2d d d d d d m2 2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2 2(d d d d d d m(2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2)d d d d d d m)2 2 2 2 2 2 2)
22 2 2 2 2 2 22d d d d d d m22 2 2 2 2 2 2240 100 15 108,74d d d d d d m40 100 15 108,742 2 2 2 2 2 240 100 15 108,742 2 2 2 2 2 2d d d d d d m2 2 2 2 2 2 240 100 15 108,742 2 2 2 2 2 2)2 2 2 2 2 2 2)40 100 15 108,74)2 2 2 2 2 2 2)d d d d d d m)2 2 2 2 2 2 2)40 100 15 108,74)2 2 2 2 2 2 2)22 2 2 2 2 2 2240 100 15 108,7422 2 2 2 2 2 22d d d d d d m22 2 2 2 2 2 2240 100 15 108,7422 2 2 2 2 2 22= + + Þ = - + + Þ =(= + + Þ = - + + Þ =( 40 100 15 108,74= + + Þ = - + + Þ =40 100 15 108,74)40 100 15 108,74)= + + Þ = - + + Þ =)40 100 15 108,74)x y z= + + Þ = - + + Þ =x y zd d d d d d m= + + Þ = - + + Þ =d d d d d d m(d d d d d d m(= + + Þ = - + + Þ =(d d d d d d m(2 2 2 2 2 2 2d d d d d d m2 2 2 2 2 2 2= + + Þ = - + + Þ =2 2 2 2 2 2 2d d d d d d m2 2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2 2(d dd d d d m(2 2 2 2 2 2 2(= + + Þ = - + + Þ =(2 2 2 2 2 2 2(d d d d d d m(2 2 2 2 2 2 2( 40 100 15 108,74d d d d d d m40 100 15 108,74= + + Þ = - + + Þ =40 100 15 108,74d d d d d d m40 100 15 108,74)40 100 15 108,74)d d d d d d m)40 100 15 108,74)= + + Þ = - + + Þ =)40 100 15 108,74)d d d d d d m)40 100 15 108,74)2 2 2 2 2 2 240 100 15 108,742 2 2 2 2 2 2d d d d d d m2 2 2 2 2 2 240 100 15 108,742 2 2 2 2 2 2= + + Þ = - + + Þ =2 2 2 2 2 2 240 100 15 108,742 2 2 2 2 2 2d d d d d d m2 2 2 2 2 2 240 100 15 108,742 2 2 2 2 2 2)2 2 2 2 2 2 2)40 100 15 108,74)2 2 2 2 2 2 2)d d d d d d m)2 2 2 2 2 2 2)40 100 15 108,74)2 2 2 2 2 2 2)= + + Þ = - + + Þ =)2 2 2 2 2 2 2)40 100 15 108,74)2 2 2 2 2 2 2)d d d d d d m)2 2 2 2 2 2 2)40 100 15 108,74)2 2 2 2 2 2 2)x y zd d d d d d mx y z= + + Þ = - + + Þ =x y zd d d d d d mx y z
Calculando o valor de l

:
( ) ( )1 1(1 1( )1 1) 108,74x y zd i d d k i j k i j k)d i d d k i j k i j k) (d i d d k i j k i j k( )d i d d k i j k i j k)
1 1d i d d k i j k i j k1 1)1 1)d i d d k i j k i j k)1 1)d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138)40 100 15 0,368 0,920 0,138)d i d d k i j k i j k)40 100 15 0,368 0,920 0,138)108,74d i d d k i j k i j k108,74x y zd i d d k i j k i j kx y zdλ λ λ(λ λ λ(
1 1λ λ λ1 1(1 1(λ λ λ(1 1(d i d d k i j k i j kλ λ λd i d d k i j k i j k)d i d d k i j k i j k)λ λ λ)d i d d k i j k i j k) (d i d d k i j k i j k(λ λ λ(d i d d k i j k i j k( )d i d d k i j k i j k)λ λ λ)d i d d k i j k i j k)1 1d i d d k i j k i j k1 1λ λ λ1 1d i d d k i j k i j k1 1)1 1)d i d d k i j k i j k)1 1)λ λ λ)1 1)d i d d k i j k i j k)1 1) 40 100 15 0,368 0,920 0,138d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138λ λ λ40 100 15 0,368 0,920 0,138d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138)40 100 15 0,368 0,920 0,138)d i d d k i j k i j k)40 100 15 0,368 0,920 0,138)λ λ λ)40 100 15 0,368 0,920 0,138)d i d d k i j k i j k)40 100 15 0,368 0,920 0,138)= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +(= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +(d i d d k i j k i j k= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +d i d d k i j k i j k)d i d d k i j k i j k)= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +)d i d d k i j k i j k) (d i d d k i j k i j k(= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +(d i d d k i j k i j k(d i d d k i j k i j k= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +40 100 15 0,368 0,920 0,138d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138)40 100 15 0,368 0,920 0,138)d i d d k i j k i j k)40 100 15 0,368 0,920 0,138)= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +)40 100 15 0,368 0,920 0,138)d i d d k i j k i j k)40 100 15 0,368 0,920 0,138)x y zd i d d k i j k i j kx y z= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +x y zd i d d k i j k i j kx y zλ λ λ= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +λ λ λλ λ λ= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +λ λ λ(λ λ λ(= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +(λ λ λ(d i d d k i j k i j kλ λ λd i d d k i j k i j k= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +d i d d k i j k i j kλ λ λd i d d k i j k i j k)d i d d k i j k i j k)λ λ λ)d i d d k i j k i j k)= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +)d i d d k i j k i j k)λ λ λ)d i d d k i j k i j k)d i d d k i j k i j kλ λ λd i d d k i j k i j k= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +d i d d k i j k i j kλ λ λd i d d k i j k i j k(d i d d k i j k i j k(λ λ λ(d i d d k i j k i j k(= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +(d i d d k i j k i j k(λ λ λ(d i d d k i j k i j k( 40 100 15 0,368 0,920 0,138d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138λ λ λ40 100 15 0,368 0,920 0,138d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +40 100 15 0,368 0,920 0,138d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138λ λ λ40 100 15 0,368 0,920 0,138d i d d k i j k i j k40 100 15 0,368 0,920 0,138)40 100 15 0,368 0,920 0,138)d i d d k i j k i j k)40 100 15 0,368 0,920 0,138)λ λ λ)40 100 15 0,368 0,920 0,138)d i d d k i j k i j k)40 100 15 0,368 0,920 0,138)= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +)40 100 15 0,368 0,920 0,138)d i d d k i j k i j k)40 100 15 0,368 0,920 0,138)λ λ λ)40 100 15 0,368 0,920 0,138)d i d d k i j k i j k)40 100 15 0,368 0,920 0,138)x y zd i d d k i j k i j kx y zλ λ λx y zd i d d k i j k i j kx y z= + + ⇒ − + + ⇒ = − + +x y zd i d d k i j k i j kx y zλ λ λx y zd i d d k i j k i j kx y z
          (          ( )          )1 1          1 1(1 1(          (1 1( )1 1)          )1 1)
Calculando o valor de F

:
( )F F F i j k F i j k(F F F i j k F i j k( )F F F i j k F i j k)3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82F F F i j k F i j k3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82(3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82(F F F i j k F i j k(3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82(3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82F F F i j k F i j k3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82)3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82)F F F i j k F i j k)3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82)λF F F i j k F i j kλF F F i j k F i j kF F F i j k F i j k= ⋅ ⇒ = ⋅ − + + ⇒ = − + +F F F i j k F i j k3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82F F F i j k F i j k3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82= ⋅ ⇒ = ⋅ − + + ⇒ = − + +3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82F F F i j k F i j k3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82(3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82(F F F i j k F i j k(3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82(= ⋅ ⇒ = ⋅ − + + ⇒ = − + +(3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82(F F F i j k F i j k(3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82(3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82F F F i j k F i j k3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82= ⋅ ⇒ = ⋅ − + + ⇒ = − + +3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82F F F i j k F i j k3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82)3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82)F F F i j k F i j k)3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82)= ⋅ ⇒ = ⋅ − + + ⇒ = − + +)3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82)F F F i j k F i j k)3000 0,368 0,920 ,138 1103,52 2758,80 413,82)F F F i j k F i j kλF F F i j k F i j k= ⋅ ⇒ = ⋅ − + + ⇒ = − + +F F F i j k F i j kλF F F i j k F i j k         (         ( )         )
Logo, temos:
1103,52
2758,80
413,82
x
y
z
F N1103,52F N1103,52xF Nx
F N2758,80F N2758,80yF Ny
F N413,82F N413,82zF Nz
F N= −F N
F N=F N
F N=F N
Uma vez entendido o exemplo apresentado, resolva a atividade, a seguir.
80 UNIUBE
 AGORA É A SUA VEZ 
10. A estrutura vertical da Figura 32 é sustentada por um cabo. Sabendo -se que a 
força de tração nesse cabo é de 5000N determine as componentes xF

, yF

, zF

 dessa 
força, e os ângulos , e x y zθ θ θ .
Figura 32: Estrutura vertical 
sustentada por um cabo.
AGORA É A SUA VEZ 
10. A estrutura vertical da Figura 32 é sustentada por um cabo. Sabendo -se que a 
força de tração nesse cabo é de 5000N determine as componentes xFxFx

, yFyFy

, zF

 dessa 
força, e os ângulos x y z,x y z,θ θ θ,θ θ θ, e θ θ θ e x y zθ θ θx y z,x y z,θ θ θ,x y z, e x y z e θ θ θ e x y z e .
Figura 32: Estrutura vertical
sustentada por um cabo.
 2.12 Equilíbrio de um ponto material no espaço
O mesmo procedimento realizado para casos em que a resultante das forças é 
nula no plano pode ser aplicado para forças no espaço, como mostra as equa-
ções a seguir.
0 (32)F =å

Podendo, ainda, escrever a equação anterior em termos de suas componentes:
( ) ( )( ) 0 ( ) 0 0 0 (33)x y z x y zF i F j F k F i F j F k i j k+ + = Þ + + = + +å å å å
  
     
Finalmente:
0
0
0
 (34)
 (35)
 (36)
x
y
z
F
F
F
=
=
=
∑
∑
∑
 (34)
 (35)
 (36)
UNIUBE 81
Resumo
Neste capítulo, vimos definições que relacionam o estudo da mecânica com o 
estudo da dinâmica, aplicando as leis de Newton e as condições de equilíbrio 
de um corpo.
a) Das leis de Newton:
• Princípio da inércia (1a lei de Newton)
Todo corpo tende a permanecer em seu estado de repouso ou de movimento, 
ou seja, na ausência de forças externas, um objeto em repouso permanece 
em repouso, e um objeto em movimento permanece em movimento.Podemos ainda dizer o que a 1a lei de Newton define para força: agente físico 
capaz de produzir aceleração. Isto é, capaz de alterar o estado de repouso 
ou de movimento dos corpos.
• Princípio fundamental da dinâmica (2a lei de Newton)
A força resultante que age em um ponto material é igual ao produto da massa 
desse corpo pela sua aceleração. Também estudada por Galileu pode ser, 
escrita matematicamente da seguinte forma:
arF m= ×


Em que:
Fr = força aplicada.
m = massa do corpo.
a = aceleração do corpo.
• Princípio da ação e reação (3a Lei de Newton)
Se um objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce uma 
força de mesma intensidade, de mesma direção e em sentido oposto.
Newton propôs que toda força de ação estava associada a uma força de 
reação, assim, numa interação entre dois corpos teremos um par de forças. 
É importante lembrar que as forças de ação e reação estão aplicadas em 
82 UNIUBE
corpos distintos e, portanto, nunca se equilibram. As leis de movimento de 
Newton explicam o movimento de carros, aviões ou quaisquer outros objetos 
no espaço.
AB BAF F= −
b) Plano inclinado
Figura 33: Representação de forças.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
tP P senq= ×
cosnP P q= ×
c) Força de atrito
Figura 34: Representação da FAT.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
atF Nm= ×
Existem dois tipos de força de atrito: força de atrito estático e força de atrito ciné-
tico ou dinâmico. Tanto um quanto o outro estão sempre contrários à tendência 
de movimento ou à movimentação dos corpos.
UNIUBE 83
• Força elástica 
Força restauradora, ou força elástica da mola, constatamos que ela existe 
porque, se pararmos a deformação, isto é, se deixarmos de exercer sobre 
a mola a força deformadora, a mola volta ao seu estado inicial, e normal, 
retomando as suas dimensões iniciais. Isso nos permite concluir que existe 
a atuação de uma força que atua no sentido de restabelecer as dimensões 
iniciais da mola, e que se chama força elástica da mola.
eF K X= ×D
d) Equilíbrio dos corpos rígidos
As forças exteriores que atuam em um corpo rígido podem ser reduzidas em 
qualquer ponto O, a um sistema equivalente força-binário. Quando a força e o 
binário são ambos nulos, as forças externas constituem um sistema equivalente 
a zero e diz-se que o corpo rígido está em equilíbrio.
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são: 
Σ	F	=	0	e	Σ	M
p 
=	0	−	o	que	faz	com	que	não	tenha	movimento	de	translação	nem	
movimento de rotação, por isso, não tem graus de liberdade.
Atividades
Atividade 1
Após ter assistido a uma aula sobre o princípio da ação e reação, dois amigos, 
Marcos e Fernando, voltando para casa, ficaram sem gasolina no carro. Daí, 
Marcos pensou: “Se eu tentar empurrar o carro com a força F ele vai reagir com 
uma força F, ambas vão se anular e eu não conseguirei mover o carro”. Seu 
colega desceu do carro e o empurrou, conseguindo movê-lo. Qual foi o erro 
cometido pelo Marcos em seu raciocínio?
Atividade 2
Usando uma espécie de mochila, um astronauta se move no espaço. Ele a usa 
para parar a 50 metros de sua nave espacial e, em seguida, desliga os foguetes, 
permanecendo em repouso. Feito isso, o astronauta tenta religar a mochila para 
voltar à nave, mas esta não funciona. Se o astronauta não conseguir consertar 
a mochila, o que ele pode fazer para voltar à sua nave? Despreze a força da 
gravidade e lembre-se de que no espaço não tem ar.
84 UNIUBE
Figura 35: O astronauta e a espaçonave.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Atividade 3
Um corpo está apoiado sobre uma superfície plana. O peso do corpo é 30 N. 
Podemos afirmar que a reação do apoio sobre o corpo é de 30 N, em função da 
lei da ação e reação? Justifique.
Atividade 4
(UFUSCAR) Inspirado por uma descrição feita no livro Cyrano de Bergerac, 
de Edmond Rostand, na qual o personagem Cyrano descreve várias maneiras 
de se chegar à Lua, um jovem inventor construiu uma “engenhoca” que lhe 
permitiria voar. Esta consistia em um enorme eletroímã (dispositivo que utiliza 
corrente elétrica para gerar um campo magnético), fixado numa estrutura feita 
de material não metálico, leve e resistente, uma base de metal, uma fonte de 
energia elétrica e sistemas de propulsão para poder se deslocar na horizontal. 
Fazendo circular uma corrente elétrica através do eletroímã, este atrairia a base 
de metal, fixada na estrutura, e o sistema todo subiria. A força magnética pode-
ria ser controlada aumentando-se ou diminuindo-se a intensidade da corrente 
elétrica no eletroímã.
Figura 36: Modelo de engenhoca.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
UNIUBE 85
a) Faça um esquema mostrando as forças que agem sobre o eletroímã e sobre a 
base de metal, no momento em que uma corrente elétrica circula pelo eletroímã. 
Identifique cada uma dessas forças.
b) Embora bastante criativa, na prática a “engenhoca” não sairia do chão, 
mesmo que a força magnética fosse muito intensa. Explique, baseado em 
conceitos e leis da física, o motivo de ela não funcionar para o objetivo 
pretendido.
Atividade 5
Um bloco de massa igual a 1,0 kg repousa em equilíbrio sobre um plano incli-
nado. Esse plano tem comprimento igual a 50 cm e alcança uma altura máxima 
em relação ao solo igual a 30 cm. Calcule o coeficiente de atrito entre o bloco 
e o plano inclinado.
Atividade 6
A figura ilustra um bloco que escorrega, a partir do repouso, ao longo de um 
plano inclinado. Se o atrito fosse eliminado, o bloco escorregaria na metade do 
tempo. Dê o valor do coeficiente de atrito cinético, multiplicado por 100, entre o 
bloco e o plano. Dado: g = 10 m/s2
Figura 37: Bloco que escorrega, a partir do repouso, ao 
longo de um plano inclinado.
Atividade 7
Considere um caminhão de frutas trafegando em movimento retilíneo em uma 
estrada horizontal, com velocidade uniforme de v = 20 m/s. O caminhão trans-
porta, na caçamba, uma caixa de maçãs de massa total m = 30 kg. Ao avistar 
um sinal de trânsito a 100 m, o motorista começa a frear uniformemente, de 
modo a parar junto a ele.
86 UNIUBE
a) Faça um esquema das forças que atuam sobre a caixa durante a frenagem.
b) Calcule o módulo da componente horizontal da força que o chão da caçamba 
do caminhão exerce sobre a caixa durante a frenagem.
Atividade 8
O bloco 1, da Figura 38, a seguir, move-se em linha reta no trecho AE, mantendo 
sobre si, sem deslizamento, um outro bloco, 2. No trecho AC, a velocidade do 
bloco 1 permanece constante, trecho no qual é empurrado horizontalmente por 
uma pessoa. A partir do ponto C, a pessoa não mais atua sobre o bloco, que 
para em E. Em todo trecho AE, não se alteram as características das superfícies 
envolvidas.
a) Complete a figura a seguir, ilustrando o diagrama das forças que agem sobre 
o bloco 1, em cada um dos pontos apresentados.
Figura 38: Diagrama das forças que agem 
sobre o bloco 1.
b) Represente, graficamente, para o trecho AE a variação, com o tempo, da 
posição x e da velocidade v do bloco 1. 
Considere, como referencial, um observador fixo no ponto O da figura, em relação 
ao qual o bloco, no instante inicial t = 0, se encontrava à direita com velocidade 
inicial v0.
Atividade 9
Um caminhão transporta um bloco de ferro de 3 000 kg, trafegando horizontal-
mente e em linha reta, com velocidade constante. O motorista vê o semáforo 
ficar vermelho e aciona os freios, aplicando uma desaceleração de 3,0 m/s2. O 
bloco não escorrega. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a carroceria 
é de 0,40.
UNIUBE 87
Adote g = 10 m/s2.
a) Qual é a força que a carroceria aplica sobre o bloco durante a desaceleração?
b) Qual é a máxima desaceleração que o caminhão pode ter para o bloco não 
escorregar?
Atividade 10
Um quadro de massa m = 6,0 kg se encontra em equilíbrio pendurado ao teto 
pelos	fios	1	e	2,	que	fazem	com	a	horizontal	os	ângulos	θ1	=	60°	e	θ2 = 30°, 
conforme está ilustrado na figura. Adotando g = 10m/s2, calcule as trações nos 
fios 1 e 2.
Figura 39: Um quadro de massa m = 6,0 kg se 
encontra em equilíbrio penduradoao teto pelos 
fios 1 e 2.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Atividade 11
Os seres humanos têm postura ereta e é importante para isso a concentração de 
gordura e músculos que temos nas nádegas. Os antropoides que não possuem 
nádegas andam curvados. Do ponto de vista físico, como isso se explica? 
Chegamos ao final deste capítulo 2 e esperamos que você seja capaz de apro-
fundar seus conhecimentos com base nos conteúdos aqui abordados.
88 UNIUBE
Referências
EDEÃO, Antônio. Poema para Galileu. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 1, n. 1, 
p. 61-63, jan.1979. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/rbef/indice.php?vol=1&num=1>. 
Acesso em: 25 jan. 2010.
WIKIPÉDIA. Desenvolvido pela Wikimedia Foundation. Isaac Newton. Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton>. Acesso em: 25 jan. 2010.
Trabalho e energiaCapítulo3
Robson Humberto Rosa /
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Introdução 
Estamos dando continuidade ao nosso estudo de física com uma prévia 
do que é trabalho e energia. Esperamos iniciar este estudo contando 
com seu interesse, sua dedicação e sua disponibilidade para enfrentar 
novos desafios. Como você já sabe, é muito importante que tenha bom 
domínio do material e do conteúdo estudado anteriormente, pois a física 
se constitui em uma rede em que alguns fios sustentam outros, e todos se 
entrelaçam. Por isso, toda vez que você encontrar dificuldade em algum 
ponto, volte, reveja, reforce! Só assim nossa rede terá sustentabilidade. 
Neste momento, vamos ampliar e fortalecer nossos conhecimentos.
Objetivos
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, espera-se que você 
esteja apto(a) a:
• determinar o trabalho de uma força constante e de uma força 
variável;
• explicar o significado físico de potência de uma máquina;
• reconhecer a energia como algo indispensável ao funcionamento 
da vida social e que essa dependência vem crescendo progres-
sivamente ao longo da história humana;
• aplicar o conceito de energia e suas propriedades para compre-
ender situações envolvendo energia associada ao movimento 
de um corpo;
• explicar a energia potencial gravitacional como uma forma de 
energia associada à configuração do sistema Terra-corpo e que 
ela ocorre por causa da atração gravitacional entre as massas 
do sistema;
90 UNIUBE
• aplicar o conceito de energia e suas propriedades para compre-
ender situações envolvendo molas ou outros corpos elásticos;
• relacionar diferentes formas de energia.
Esquema
3.1 Trabalho de uma força
3.2 Movimento em uma dimensão com força variável
3.3 Trabalho da força elástica
3.4 Potência
3.5 A energia no cotidiano
3.5.1 Energia solar
3.5.2 Energia nuclear
3.5.3 Energia eólica 
3.5.4 Energia mecânica 
3.5.4.1 Energia cinética
3.5.4.2 Energia potencial
3.5.4.3 Outras energias
3.6 Princípio da conservação da energia
3.7 Energia cinética
3.8 Teorema da energia cinética
3.8.1 Trabalho de uma força constante
3.9 Energia potencial 
3.9.1 Energia potencial gravitacional
3.9.2 Energia potencial elástica
Resumo
Atividades
Referências
 3.1 Trabalho de uma força
Podemos definir trabalho como a capacidade de produzir energia. Se uma força 
executou um trabalho W sobre um corpo, ele aumentou a energia desse corpo 
de W.
Embora seja uma definição simples, algumas vezes ela parece não estar de 
acordo com o nosso entendimento cotidiano de trabalho. No dia a dia, conside-
ramos trabalho tudo aquilo que nos provoca cansaço; já, na física, se usa um 
conceito mais específico.
Para entendermos o conceito de trabalho do ponto de vista dos estudos da física, 
vamos nos valer de algumas situações. Vamos a elas.
UNIUBE 91
Movimento em uma dimensão com f orça constante:
Figura 1: Bloco sendo arrastado.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
O trabalho realizado por uma força constante é definido como o produto do des-
locamento sofrido pelo corpo, vezes a componente da força na direção desse 
deslocamento.
xW F x= ×D
Mas a componente horizontal pode ser escrita como:
cosxF F q= ×
Assim, a equação para calcularmos o trabalho fica da seguinte forma:
cosW F x q= ×D ×
Em que:
θ = é o ângulo que a força faz com a direção do deslocamento.
∆x	=	é	o	deslocamento	do	corpo.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Se você carrega uma pilha de livros ao longo de um caminho horizontal, a força que 
você exerce sobre os livros é perpendicular ao deslocamento, de modo que nenhum 
trabalho é realizado sobre os livros por essa força. Esse resultado é contraditório com 
as nossas definições cotidianas sobre força, trabalho e cansaço!
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Se você carrega uma pilha de livros ao longo de um caminho horizontal, a força que 
você exerce sobre os livros é perpendicular ao deslocamento, de modo que nenhum 
trabalho é realizado sobre os livros por essa força. Esse resultado é contraditório com 
as nossas definições cotidianas sobre força, trabalho e cansaço!
92 UNIUBE
• Força F

 perpendicular ao deslocamento (cos 90º = 0), logo 0W =
• Força F

mesma direção e mesmo sentido do deslocamento (cos 0º = 1)
Dizemos que o trabalho realizado é motor, pois: 0 90q£ <  , logo W F x= ×D
• Força F

 mesma direção, mas de sentido oposto ao deslocamento 
(cos180 1)o = − , dizemos que o trabalho é resistente, pois: 90 180q< £  , 
logo W F x=- ×D
 3.2 Movimento em uma dimensão com força variável
Para calcular o trabalho de uma força variável, vamos analisar o gráfico a seguir, 
que expressa a força em função do deslocamento.
Figura 2: Gráfico força X 
deslocamento.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Quando uma força variável está atuando sobre um corpo que atua na direção 
do deslocamento, o trabalho executado por essa força é igual à área abaixo 
dessa curva.
N
w Área= : é a área da figura dada.
 
Mas como calcular essa área se a curva tem uma forma genérica, em princípio?Mas como calcular essa área se a curva tem uma forma genérica, em princípio?
UNIUBE 93
Neste caso, vamos nos aprofundar um pouco, recorrendo ao cálculo integral.
1
( )
fx
x
W F x dx= ò
Figura 3: Força X deslocamento e o cálculo integral.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
 3.3 Trabalho da força elástica
Vamos analisar o movimento de um sistema composto por um bloco de massa m 
que está sobre uma superfície horizontal sem atrito, e tem preso a si uma mola. 
A outra extremidade da mola está fixa.
Figura 4: Bloco-mola.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
1. Quando a mola está em um estado relaxado, ela não está distendida ou com-
primida. Nessa situação, ela não exerce força alguma no bloco.
2. Quando o bloco se desloca da posição relaxada ou de equilíbrio, a mola 
exerce sobre ele uma força restauradora, para que ele retorne à posição de 
equilíbrio original.
94 UNIUBE
3. Quando o deslocamento é na parte positiva do eixo x, a força restauradora 
aponta para o sentido negativo desse eixo, e quando o deslocamento se dá na 
parte negativa do eixo x, a força restauradora aponta para o sentido positivo 
desse eixo.
4. Quando o deslocamento do bloco é muito pequeno em comparação à dimen-
são da mola, podemos considerar o que é chamado de pequenas oscilações, 
e, neste caso, podemos dizer que a força restauradora é proporcional ao 
deslocamento do bloco em relação à sua posição de equilíbrio. Essa aproxi-
mação, como vimos anteriormente, é também conhecida como lei de Hooke, 
e pode ser expressa do seguinte modo:
O trabalho realizado pela mola, para levar o corpo de uma posição inicial até 
uma posição final, será.
0 0
x x
x x
w k xdx k xdx= - D Þ- Dò ò
( )
0
2 2 2
0
1 1
2 2
x
x
w k x k x x
æ ö æ ö÷ ÷é ùç ç= - Þ - -÷ ÷ç çê ú÷ ÷ë ûç çè ø è ø
2 2
0
1 1 
2 2
w kx kx= -
 SAIBA MAIS 
A unidade de trabalho no sistema internacional (SI) é o joule, que podemos repre-
sentar por (J). 
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
A unidade de trabalho no sistema internacional (SI) é o joule, que podemos repre-
sentar por (J). 
 3.4 Potência
Considere duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas realiza 
o trabalho em um tempo menor do que a outra, ela tem que fazer um esforço 
maior.Dizemos, assim, que ela desenvolveu uma potência maior em relação à 
outra. Outros exemplos:
• um carro tem maior potência quando ele consegue atingir maior velocidade 
em um menor intervalo de tempo;
UNIUBE 95
• um aparelho de som é mais potente do que outro quando ele consegue con-
verter mais energia elétrica em energia sonora em um intervalo de tempo 
menor.
Assim, uma máquina é caracterizada pelo trabalho que ela pode realizar em 
um determinado tempo. A eficiência de uma máquina é medida por meio da 
relação do trabalho que ela realiza pelo tempo gasto para realizá-lo, definindo 
a potência. 
Potência é o tempo gasto para se realizar um determinado trabalho, matema-
ticamente, a relação entre trabalho e tempo fica da seguinte forma:
 ot
wP
t
=
D
 IMPORTANTE! 
A unidade da potência no SI é o watt (W). 
Um cavalo pode erguer uma carga de 75 kgf, ou seja, 75. 9,8 N, o que corresponde 
a 735 N a um metro de altura, em um segundo.
P= 735 N.1m/1s= 735 W
Cavalo-vapor (cv) seria a potência de 735 W.
P= 735 N.1m/1s= 735 W
 IMPORTANTE! 
A unidade da potência no SI é o watt (W). 
Um cavalo pode erguer uma carga de 75 kgf, ou seja, 75. 9,8 N, o que corresponde 
a 735 N a um metro de altura, em um segundo.
P= 735 N.1m/1s= 735 W
Cavalo-vapor (cv) seria a potência de 735 W.
P= 735 N.1m/1s= 735 W
 EXEMPLIFICANDO! 
1 – Uma força de intensidade 20 N é aplicada a uma caixa, deslocando-a 3 m na 
direção e no sentido da força; o deslocamento ocorre em 4 s. Determine:
a) O trabalho realizado pela força de 20 N.
b) A potência média desenvolvida.
Para a resolução de um problema físico, devemos:
1. Inicialmente entender o problema.
96 UNIUBE
2. Em seguida, verificar qual é a pergunta a ser respondida.
3. Depois, retirar os dados fornecidos no problema.
4. Aplicar a equação apropriada para a resolução do problema.
Vamos resolver juntos?
Como	dados	do	problema,	temos:	F	=	20	N;	∆X	=	3	m;	∆t	=	4	s
a) Como a força aplicada está na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento, 
o trabalho pode ser calculado pela seguinte equação, sendo o ângulo zero graus:
cos
20 30 1 60
W F x
w w J
q= ×D ×
= × × \ =
b) Para determinar a potência, temos:
60= =15w 
4ot
wP
t
=
D
 3.5 A energia no cotidiano
Neste capítulo, estudaremos sobre energia, que é um assunto muito interessante 
e que está diretamente relacionado com o nosso cotidiano.
Falar sobre energia é algo intrigante, pois a todo o momento estamos lidando 
com ela de diversas maneiras e formas. Você certamente já deve ter ouvido 
algumas das seguintes frases:
“Hoje estou sem energia!”
“Menino, você precisa comer para ter energia!”
“Vai faltar energia elétrica no país!”
“A energia nuclear é perigosa!”
UNIUBE 97
 IMPORTANTE! 
Podemos dizer que a energia move o mundo, sob vários aspectos. Agora, definir ener-
gia não é algo tão simples, que poderíamos descrevê-la de uma maneira sucinta. 
 IMPORTANTE! 
Podemos dizer que a energia move o mundo, sob vários aspectos. Agora, definir ener-
gia não é algo tão simples, que poderíamos descrevê-la de uma maneira sucinta. 
Todos nós temos a ideia intuitiva do que vem a ser energia, mas o que é mais 
interessante é conhecer quais são essas formas e tipos de energia que existem 
na natureza e como elas se interagem. Diversos fenômenos que ocorrem na 
natureza estão ligados a alguma forma de energia.
Para conhecermos melhor algumas formas de energia, precisamos, antes de 
qualquer coisa, saber que na natureza tudo o que existe depende de uma forma 
direta ou indireta de algum tipo de energia. Podemos citar como exemplo o Sol, 
uma fonte quase inesgotável de energia.
A todo o momento, o Sol está irradiando a energia que chega até nós por meio 
dos raios solares; seres vivos aproveitam-se dessa abundante forma de energia, 
seja qual for a maneira de utilizá-la.
A esse respeito, vale a pena tomar conhecimento do que escreveu o norte-ameri-
cano Richard P. Feynman (1918-1988), um dos físicos mais brilhantes do século 
XX, ganhador do Prêmio Nobel, em 1965:
É importante observar que hoje nós não sabemos o que é 
energia. O que sabemos é que existe uma lei governando 
todos os fenômenos naturais conhecidos até hoje. Não existe 
nenhuma exceção conhecida a essa lei, que é conhecida pelo 
nome de Lei da Conservação da Energia. Ela estabelece que 
há uma certa quantidade, que nós chamamos energia, cujo 
valor não se altera, nas várias mudanças que ocorrem na na-
tureza. Ela não é a descrição de um mecanismo ou qualquer 
coisa concreta. É uma lei abstrata porque é um princípio ma-
temático. Ela exprime o fato de que, quando calculamos um 
certo número (o valor da energia) no início de um processo 
e no fim do processo, os resultados são iguais. (FEYNMAN; 
LEIGHTON; SANDS, 1963)
Diante de todas essas informações, percebemos que a energia é imprescindível 
para a vida de qualquer ser vivo do planeta. Agora, vamos conhecer algumas 
formas de energia.
98 UNIUBE
3.5.1 Energia solar
Uma fonte de energia renovável e inesgotável, o Sol. O aproveitamento desta 
energia tanto como fonte de calor como de luz, é uma das alternativas ener-
géticas mais promissoras para enfrentarmos os desafios do novo milênio, pois 
possui a vantagem de não produzir danos ao meio ambiente. Um esquema de 
energia solar está representado na Figura 5, a seguir.
Figura 5: Sistema de energia solar. 
Fonte: Adaptado de Wolfgang Palz, 1981.
A energia solar é extremamente vantajosa, com características positivas para 
o sistema ambiental, pois o Sol, trabalhando como um imenso reator à fusão, 
irradia na Terra todos os dias um potencial energético extremamente elevado 
e incomparável a qualquer outro sistema de energia, sendo a fonte básica e 
indispensável para praticamente todas as fontes energéticas utilizadas pelo 
homem.
O Sol irradia anualmente o equivalente a 10 000 vezes a energia consumida pela 
população mundial neste mesmo período. Medimos esta potência em quilowatt. 
O Sol produz continuamente 390 sextilhões (390 x 1021) de quilowatts de potên-
cia. Como o Sol emite energia em todas as direções, um pouco desta energia 
é desprendida, mas, mesmo assim, a Terra recebe mais de 1 500 quatrilhões, 
(1,5 x 1018) de quilowatts-hora de potência por ano.
UNIUBE 99
 
Você sabe o que é a energia solar fototérmica?
E a energia solar fotovoltaica?
Você sabe o que é a energia solar fototérmica?
E a energia solar fotovoltaica?
A energia solar fototérmica é a quantidade de energia que um determinado corpo 
é capaz de absorver, sob a forma de calor, a partir da radiação solar incidente no 
mesmo. Os coletores solares são equipamentos que têm como objetivo especí-
fico utilizar a energia solar fototérmica, pois capta e armazena essa energia.
Os coletores solares são aquecedores de fluídos (líquidos ou gasosos) e são 
classificados em coletores concentradores e coletores planos em função da 
existência ou não de dispositivos de concentração da radiação solar. O fluído 
aquecido é mantido em reservatórios termicamente isolados até o seu uso final 
(água aquecida para banho, ar quente para secagem de grãos, gases para 
acionamento de turbinas etc.).
Os coletores solares planos são largamente utilizados para aquecimento de 
água em residências, hospitais, hotéis etc. por causa do conforto proporcionado 
e da redução do consumo de energia elétrica. A energia solar fotovoltaica é a 
energia da conversão direta da luz em eletricidade (efeito fotovoltaico). 
O efeito fotovoltaico é o aparecimento de uma diferença de potencial nos extre-
mos de uma estrutura de material semicondutor, produzida pela absorção da 
luz. A célula fotovoltaica é a unidade fundamental do processo de conversão.
Atualmente, o custo das células solares é um grande desafio para a indústria e o 
principal empecilho para a difusão dos sistemas fotovoltaicos em larga escala. A 
tecnologia fotovoltaica está se tornando cada vez mais competitiva, tanto porque 
seus custos estão decrescendo como porque a avaliação dos custos das outras 
formas de geraçãoestá se tornando mais real, levando em conta fatores que 
eram anteriormente ignorados, como a questão dos impactos ambientais.
3.5.2 Energia nuclear 
Energia térmica transformada em energia elétrica é produzida nas usinas 
nucleares por meio de processos físico-químicos. Podemos definir ainda 
como sendo a energia liberada quando ocorre a fissão dos átomos, energia 
100 UNIUBE
de um sistema derivada de forças coesivas que contêm prótons e nêutrons 
juntos como o núcleo atômico. A energia que mantém os prótons e nêutrons 
juntos no núcleo é a energia nuclear. 
A reação nuclear é a modificação da composição do núcleo atômico de um ele-
mento, podendo transformar-se em outro ou outros elementos. Esse processo 
ocorre espontaneamente em alguns elementos; em outros, deve-se provocar 
a reação mediante técnicas de bombardeamento de nêutrons ou outras. O 
esquema da Figura 6, a seguir, apresenta, de maneira simplificada, o funciona-
mento de uma usina nuclear.
Figura 6: Simplificação de uma usina nuclear.
Fonte: Adaptado de <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nuclear_plant_boiler.gif>.
A fissão nuclear ocorre quando um nêutron atinge o núcleo de um átomo de 
urânio-235. Dividindo-o com emissão de 2 a 3 nêutrons, parte da energia que 
ligava os prótons e os nêutrons é liberada em forma de calor. 
Existem duas formas de aproveitar a energia nuclear para convertê-la em ca-
lor: a fissão nuclear, em que o núcleo atômico se subdivide em duas ou mais 
partículas, e a fusão nuclear, na qual ao menos dois núcleos atômicos se unem 
para produzir um novo núcleo.
A energia nuclear provém da fissão nuclear do urânio, do plutônio ou do tório 
ou da fusão nuclear do hidrogênio. É energia liberada dos núcleos atômicos, 
quando estes são levados por processos artificiais, a condições instáveis. Todos 
os materiais são formados por um número limitado de átomos que, por sua vez, 
são caracterizados pela carga elétrica de seu núcleo.
UNIUBE 101
A maior parte da massa do átomo está concentrada em seu núcleo, que é muito 
pequeno (10-12 cm a 10-13 cm). Prótons e nêutrons têm massa aproximadamente 
igual, da ordem de 1,67 x 10-24 gramas, e são caracterizados por parâmetros 
específicos (números quânticos) definidos pela mecânica quântica, teoria que 
lida com os fenômenos na escala atômica e molecular. 
Uma inacreditável quantidade de energia é liberada, na forma de calor e radiação 
gama, quando um único átomo se divide. Os dois átomos que resultam da fissão 
posteriormente liberam radiação beta e radiação gama de si mesmos. A energia 
liberada por uma única fissão resulta do fato de que os produtos da fissão e os 
nêutrons, juntos, pesam menos que o átomo original de U-235. A diferença no peso 
é convertida diretamente em energia na taxa regulada pela equação E = mc2.
As usinas nucleares fornecem cerca de 16% da eletricidade do mundo (da-
dos de agosto de 2008). Alguns países dependem mais da energia nuclear 
para obter eletricidade que outros. Na França, por exemplo, cerca de 75% 
da eletricidade é gerada a partir da energia nuclear. Nos Estados Unidos, a 
energia nuclear fornece 23% da eletricidade total, mas alguns Estados obtêm 
mais energia de usinas nucleares que outros. No Brasil, menos de 3% da 
energia gerada tem origem das usinas nucleares de Angra dos Reis. Há mais 
de 400 usinas de energia nuclear ao redor do mundo, sendo mais de 100 
nos Estados Unidos. A energia elétrica produzida a partir de energia nuclear 
não é radioativa e é igual à energia produzida em hidroelétricas, podendo 
ser utilizada para os mesmos fins.
3.5.3 Energia eólica
Energia eólica é aquela gerada pelo vento. Desde a Antiguidade, esse tipo de 
energia é utilizado pelo homem, principalmente nas embarcações e nos moinhos. 
Atualmente, a energia eólica, embora pouco utilizada, é considerada uma im-
portante fonte de energia por se tratar de uma fonte limpa (não gera poluição e 
não agride o meio ambiente), e ter custo de produção baixo em relação a outras 
fontes alternativas de energia. 
Para a captação dessa fonte de energia, o vento gira uma hélice gigante co-
nectada a um gerador que produz eletricidade. Quando vários mecanismos 
como esse – conhecido como turbina de vento – são ligados a uma central de 
transmissão de energia, temos uma central eólica.
A quantidade de energia produzida por uma turbina varia de acordo com o tama-
nho das suas hélices e, claro, do regime de ventos na região em que está insta-
102 UNIUBE
lada. E não pense que o ideal é contar simplesmente com ventos fortes. “Além 
da velocidade dos ventos, é importante que eles sejam regulares, não sofram 
turbulências e nem estejam sujeitos a fenômenos climáticos como tufões.”
Grandes turbinas (aerogeradores), em formato de cata-vento, são colocadas 
em locais abertos e com boa quantidade de vento. Através de um gerador, o 
movimento destas turbinas gera energia elétrica.
3.5.4 Energia mecânica 
Chamamos de energia mecânica a todas as formas de energia relacionadas 
com o movimento de corpos ou com a capacidade de colocá-los em movimento 
ou deformá-los. 
3.5.4.1 Energia cinética
Energia cinética é a energia que está relacionada à movimentação dos corpos, ou 
seja, é a energia que um corpo possui em virtude de ele estar em movimento. Ao 
fazer algumas observações sobre os movimentos dos corpos, podemos concluir 
que a energia cinética de um corpo será cada vez maior quanto maior for a sua 
velocidade. Do mesmo modo, poderemos concluir que quanto maior for a massa 
de um corpo maior será a sua energia cinética. Para mostrar isso, tomemos 
como exemplo uma motocicleta e um caminhão. Somente pelas dimensões é 
possível notar que o caminhão possui mais massa em relação à moto, e que ele 
também desenvolve velocidades maiores que a de uma moto.
3.5.4.2 Energia potencial
Entretanto, não é obrigatório um corpo estar em movimento para possuir ener-
gia. Em função de sua posição, um corpo também pode possuir energia, a qual 
denominamos energia potencial. 
3.5.4.3 Outras energias
Há várias outras, como a energia química, que está relacionada às reações 
químicas, à energia elétrica, em que é vital para o funcionamento dos equipa-
mentos elétricos. Já imaginou se ficássemos sem ela? Sem sombra de dúvida, 
viveríamos um grande colapso. Temos também a energia térmica, que se ma-
nifesta sob a forma de calor etc.
UNIUBE 103
 3.6 Princípio da conservação da energia
Como vimos, existem várias formas de energia; o que os cientistas perceberam 
é que a quantidade de energia de um dado sistema é uma grandeza invariável. 
Ou seja, a energia não pode ser criada nem tampouco destruída; pode apenas 
se converter de determinada forma em outra.
Numa queima de fogos de artifícios, podemos observar a conversão da energia 
química dos componentes do artefato em energia cinética e energia luminosa. 
Um arqueiro, ao retesar seu arco (Figura 7), despende certa quantidade de 
energia, da qual parte dela fica armazenada sob a forma de energia potencial 
elástica do arco. Quando a corda é liberada, essa energia potencial será con-
vertida em energia cinética da flecha.
Figura 7: Arqueiros.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Existem na natureza várias outras formas de transformação de energia. Cre-
mos que com os exemplos mencionados anteriormente, você pode entender o 
princípio da conservação da energia, que é de suma importância no estudo e 
avanço da ciência de uma maneira geral.
 SAIBA MAIS 
A energia nunca é criada ou destruída, apenas transformada; o total da energia exis-
tente antes de uma transformação é sempre igual ao total de energia obtido após 
essa transformação.
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
A energia nunca é criada ou destruída, apenas transformada; o total da energia exis-
tente antes de uma transformação é sempre igual ao total de energia obtido após 
essa transformação.
104 UNIUBE
 3.7 Energia cinética
Como vimos na introdução desse roteiro, quando um corpo movimenta-se, ele 
possui certa forma de energia, denominada energia cinética. Se umcorpo de 
massa [m] se movimenta com uma certa velocidade [v] em um dado momento, 
sua energia cinética, que representamos por Ec, é dada pela seguinte fórmula:
2
. 2vmEc =
Para reafirmarmos, os elementos da equação da energia cinética de um dado 
objeto em movimento são:
[EC] – que é a própria energia cinética;
[m] – a massa do objeto que, no sistema internacional, é dada em Kg;
[v] – a velocidade do objeto que, no sistema internacional, é dada em m/s. 
 IMPORTANTE! 
A unidade de energia no sistema internacional (SI) é a mesma de trabalho, isto é, o 
joule, que podemos representar por (J). Mais adiante, entenderemos porque a unidade 
de energia é a mesma do trabalho.
 IMPORTANTE! 
A unidade de energia no sistema internacional (SI) é a mesma de trabalho, isto é, o 
joule, que podemos representar por (J). Mais adiante, entenderemos porque a unidade 
de energia é a mesma do trabalho.
Vamos resolver dois problemas bem simples, para que você possa entender 
como aplicar a equação da energia cinética, bem como encontrar o valor dessa 
energia de um dado objeto em movimento.
 EXEMPLIFICANDO! 
2 – Calcule a energia cinética de um corpo de massa 8 kg no instante em que sua 
velocidade é de 20 m/s.
Vamos resolver juntos?
1. O problema refere-se a um corpo em movimento, então conforme estudamos an-
teriormente, este corpo possui uma energia cinética.
 EXEMPLIFICANDO! 
2 – Calcule a energia cinética de um corpo de massa 8 kg no instante em que sua 
velocidade é de 20 m/s.
Vamos resolver juntos?
1. O problema refere-se a um corpo em movimento, então conforme estudamos an-
teriormente, este corpo possui uma energia cinética.
UNIUBE 105
2. A pergunta do problema é qual o valor dessa energia cinética quando a velocidade 
deste é de 20 m/s. 
3. Os dados fornecidos no problema são:
A massa do corpo é m = 8 kg
E a velocidade v = 20 m/s
A equação da energia cinética é: 
2
. 2vmEc =
4. Substituindo, então, os dados, temos:
2 2 2 2 2 2
2 2
8 .(20 / ) 8.400 / 3200 /
2 2 2 2
1600 / 1600
c
c
mv kg m s kgm s kgm sE
E kgm s J
= = = =
= =
Verificamos que a energia cinética do corpo quando a sua velocidade é 20 m/s é de 
1600 J.
2. A pergunta do problema é qual o valor dessa energia cinética quando a velocidade 
deste é de 20 m/s. 
3. Os dados fornecidos no problema são:
A massa do corpo é m = 8 kg
E a velocidade v = 20 m/s
A equação da energia cinética é: 
2
. 2vmEcEcE =
4. Substituindo, então, os dados, temos:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2c
c
mv kg m s kgm s kgm s2mv kg m s kgm s kgm s2 2 2 2 2 2mv kg m s kgm s kgm s2 2 2 2 28 .(20 / ) 8.400 / 3200 /mv kg m s kgm s kgm s8 .(20 / ) 8.400 / 3200 /2 2 2 2 28 .(20 / ) 8.400 / 3200 /2 2 2 2 2mv kg m s kgm s kgm s2 2 2 2 28 .(20 / ) 8.400 / 3200 /2 2 2 2 2E
E kgm s J1600 / 1600E kgm s J1600 / 16002 21600 / 16002 2E kgm s J2 21600 / 16002 2cE kgm s Jc
= = = == = = == = = == = = =
E kgm s J= =E kgm s J1600 / 1600E kgm s J1600 / 1600= =1600 / 1600E kgm s J1600 / 1600
Verificamos que a energia cinética do corpo quando a sua velocidade é 20 m/s é de 
1600 J.
 EXEMPLIFICANDO! 
3 – Calcule a energia cinética de um corpo de massa 5 kg no instante em que sua 
velocidade é de 10 m/s.
Vamos resolver juntos?
1. O problema refere-se a um corpo em movimento, então, conforme estudamos 
anteriormente, este corpo possui uma energia cinética.
2. A pergunta do problema é qual o valor dessa energia cinética quando a velocidade 
deste é de 10 m/s. 
3. Os dados fornecidos no problema são:
A massa do corpo é m = 5 kg
E a velocidade v = 10 m/s
A equação da energia cinética é: 
2
. 2vmEc =
 EXEMPLIFICANDO! 
3 – Calcule a energia cinética de um corpo de massa 5 kg no instante em que sua 
velocidade é de 10 m/s.
Vamos resolver juntos?
1. O problema refere-se a um corpo em movimento, então, conforme estudamos 
anteriormente, este corpo possui uma energia cinética.
2. A pergunta do problema é qual o valor dessa energia cinética quando a velocidade 
deste é de 10 m/s. 
3. Os dados fornecidos no problema são:
A massa do corpo é m = 5 kg
E a velocidade v = 10 m/s
A equação da energia cinética é: 
2
. 2vmEcEcE =
106 UNIUBE
Substituindo, então, os dados, temos:
Finalmente, encontramos a energia cinética do corpo quando a sua velocidade é 
10 m/s : 250J.
Substituindo, então, os dados, temos:
Finalmente, encontramos a energia cinética do corpo quando a sua velocidade é 
10 m/s : 250J.
 AGORA É A SUA VEZ 
1. Se um dado corpo está em movimento, ele possui uma certa forma de energia. Pede-se:
a) Como é chamada essa forma de energia?
b) Qual é a equação apropriada para encontrar essa energia?
c) Qual é a unidade de energia no Sistema Internacional?
2. Calcule a energia cinética de um corpo de massa 4 kg no instante em que sua 
velocidade é de 15 m/s.
AGORA É A SUA VEZ 
1. Se um dado corpo está em movimento, ele possui uma certa forma de energia. Pede-se:
a) Como é chamada essa forma de energia?
b) Qual é a equação apropriada para encontrar essa energia?
c) Qual é a unidade de energia no Sistema Internacional?
2. Calcule a energia cinética de um corpo de massa 4 kg no instante em que sua 
velocidade é de 15 m/s.
Agora, após você ter estudado a primeira forma de energia, que é a energia 
relacionada ao movimento de um corpo, denominada energia cinética, estudare-
mos mais um novo conceito da física. Trata-se do trabalho que está relacionado 
diretamente com as formas de energia.
 3.8 Teorema da energia cinética
Para compreendermos o teorema da energia cinética, precisamos, inicialmente, 
conhecer o conceito de trabalho de uma força constante. Então, vamos lá!
3.8.1 Trabalho de uma força constante
A atuação de uma força sobre um determinado objeto pode provocar movimento, 
ou seja, um certo deslocamento. Por convenção, o general e cientista francês 
UNIUBE 107
Jean	Victor	Poncelet	(1788-1867),	em	1826,	convencionou	que	o	produto	F.∆x	
seria chamado de trabalho de uma força, o qual é representado pela letra grega 
“τ”. Em física também é representado por w (que vem do inglês, work).
Logo, temos: 
.w F x= D
 SAIBA MAIS 
Antes de Poncelet, o fato de a força provocar deslocamento já era discutido nos 
meios científicos. Vários termos surgiram para denominar este fenômeno, tais como: 
“efeito mecânico”, “efeito motor”, “força vital latente”, entre outros. Porém, não havia 
uma definição clara nem um formalismo matemático para que esta grandeza fosse 
quantificada.
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
Antes de Poncelet, o fato de a força provocar deslocamento já era discutido nos 
meios científicos. Vários termos surgiram para denominar este fenômeno, tais como: 
“efeito mecânico”, “efeito motor”, “força vital latente”, entre outros. Porém, não havia 
uma definição clara nem um formalismo matemático para que esta grandeza fosse 
quantificada.
Mas foi graças às pesquisas de Poncelet que a concepção de “trabalho” ganhou 
maior amadurecimento, sendo logo em seguida utilizada por Coriolis para a 
dedução da verdadeira equação da energia cinética:
2
. 2vmEc =
Uma força pode provocar um deslocamento em corpo, ou seja, ela pode provocar 
um deslocamento de um corpo de um local ao outro. Neste sentido, ela pode, 
também, variar a velocidade desse corpo. É o que veremos, a seguir.
Para não complicarmos desnecessariamente nosso estudo, vamos admitir que 
apenas uma força atue em um objeto, sendo sua direção paralela à do deslo-
camento. Então, temos:
 (a)
 (b)
r
r r
F m a
w F x
= ×
= ×D
 (1)
 (2)
Pela equação de Torricelli:
2 2
2 2 0
0
( )2 (c)
2
V VV V a x a x -= + × ×D ® ×D = (3)
108 UNIUBE
Substituindo a equação (1) na equação (2):
 (d)w m a x= × ×D (4)
Finalmente, vamos associar a equação (3) com a equação (4):
2 2 22
0 0( ) = - 
2 2 2 c
V V m vm vw m w E- ××= \ =D
 IMPORTANTE! 
A relação cw E=D é conhecida como Teorema da Energia Cinética. Então, podemos 
dizer que pelo trabalho da resultante das forças, um objeto ganha ou perde energia 
cinética. Ou seja, o trabalho realizado por uma força constante provoca umavariação 
na energia cinética do corpo. 
 IMPORTANTE! 
A relação cw Ecw Ec=Dw E=Dw E é conhecida como Teorema da Energia Cinética. Então, podemos 
dizer que pelo trabalho da resultante das forças, um objeto ganha ou perde energia 
cinética. Ou seja, o trabalho realizado por uma força constante provoca uma variação 
na energia cinética do corpo. 
Agora, você pode compreender por que a unidade de trabalho e da energia é 
a mesma: joule.
Lembre-se de que...
Sobre os conceitos de trabalho e o teorema da energia cinética, temos:
• a atuação de uma força sobre um determinado objeto pode provocar movi-
mento, ou seja, certo deslocamento;
• pelo trabalho da resultante das forças, nem sempre um objeto ganha energia 
cinética;
• pelo trabalho da resultante das forças, um objeto pode ganhar ou perder 
energia cinética;
• se um homem, ao empurrar uma caixa, verifica um aumento na energia cinética 
da caixa, significa dizer que ele transferiu uma certa quantidade de energia 
para ela (a caixa);
• como existe uma equivalência entre energia e trabalho, a unidade de medida 
para estas duas grandezas físicas é a mesma no sistema internacional de 
Unidades.
UNIUBE 109
 EXEMPLIFICANDO! 
4 – Sobre um pequeno bloco de madeira de massa 4 kg, atua uma força F, horizontal 
e paralela à superfície, conforme a ilustração a seguir. Determine o trabalho reali-
zado, ou seja, a quantidade de energia transferida pela força, em um deslocamento 
de 10 m. Considere a superfície completamente lisa, desprezando o atrito, conforme 
ilustrado na Figura 8, a seguir.
Figura 8: Força que atua sobre o 
bloco em superfície lisa.
Vamos resolver juntos?
Dados:
20 10 200w F x w J= ×D = × =®
m = 4 kg
∆s	=	10	m	
F = 20 N
Encontramos que o trabalho realizado pela força F de 20 N é de 200 J, ou seja, o corpo 
sofre uma variação em sua energia cinética de 200J.
5 – Um objeto de massa 3 kg, inicialmente em repouso, percorre uma distância igual 
a 8 m e uma superfície horizontal sem atrito, sob a ação de uma força constante, 
também horizontal, igual a 4 N. Qual é a variação da energia cinética do objeto?
Vamos resolver juntos?
Dados:
cF x E×D =D
m = 3 kg
∆s	=	8	m
F = 4 N 4 8 32cE JD = × =
Encontramos que a variação da energia cinética do objeto foi de 32 J.
 EXEMPLIFICANDO! 
4 – Sobre um pequeno bloco de madeira de massa 4 kg, atua uma força F, horizontal 
e paralela à superfície, conforme a ilustração a seguir. Determine o trabalho reali-
zado, ou seja, a quantidade de energia transferida pela força, em um deslocamento 
de 10 m. Considere a superfície completamente lisa, desprezando o atrito, conforme 
ilustrado na Figura 8, a seguir.
Figura 8: Força que atua sobre o 
bloco em superfície lisa.
Vamos resolver juntos?
Dados:
20 10 200w F x w J20 10 200w F x w J20 10 200= ×D = × =20 10 200= ×D = × =20 10 200w F x w J= ×D = × =w F x w J20 10 200w F x w J20 10 200= ×D = × =20 10 200w F x w J20 10 200w F x w J= ×D = × =w F x w J®w F x w J= ×D = × =w F x w J
m = 4 kg
∆s	=	10	m	
F = 20 N
Encontramos que o trabalho realizado pela força F de 20 N é de 200 F de 20 N é de 200 F J, ou seja, o corpo 
sofre uma variação em sua energia cinética de 200J.
5 – Um objeto de massa 3 kg, inicialmente em repouso, percorre uma distância igual 
a 8 m e uma superfície horizontal sem atrito, sob a ação de uma força constante, 
também horizontal, igual a 4 N. Qual é a variação da energia cinética do objeto?
Vamos resolver juntos?
Dados:
cF x EcF x Ec×D =DF x E×D =DF x E
m = 3 kg
∆s	=	8	m
F = 4 N 4 8 32cE J4 8 32E J4 8 32cE JcD = × =4 8 32D = × =4 8 32E JD = × =E J4 8 32E J4 8 32D = × =4 8 32E J4 8 32cE JcD = × =cE Jc
Encontramos que a variação da energia cinética do objeto foi de 32 J.
110 UNIUBE
 AGORA É A SUA VEZ 
3. Sobre um pequeno bloco de madeira de massa 6 kg, atua uma força F, horizontal e 
paralela à superfície, conforme a ilustração a seguir. Determine o trabalho realizado, 
ou seja, a quantidade de energia transferida pela força, em um deslocamento de 
5 m. Considere a superfície completamente lisa, desprezando o atrito.
4. Um objeto de massa 2 kg, inicialmente em repouso, percorre uma distância igual 
a 4 m em uma superfície horizontal sem atrito, sob a ação de uma força cons-
tante, também horizontal, igual a 5 N. Qual é a variação da energia cinética do 
objeto?
AGORA É A SUA VEZ 
3. Sobre um pequeno bloco de madeira de massa 6 kg, atua uma força F, horizontal e 
paralela à superfície, conforme a ilustração a seguir. Determine o trabalho realizado, 
ou seja, a quantidade de energia transferida pela força, em um deslocamento de 
5 m. Considere a superfície completamente lisa, desprezando o atrito.
4. Um objeto de massa 2 kg, inicialmente em repouso, percorre uma distância igual 
a 4 m em uma superfície horizontal sem atrito, sob a ação de uma força cons-
tante, também horizontal, igual a 5 N. Qual é a variação da energia cinética do 
objeto?
Após termos estudado o conceito de trabalho e o teorema da energia cinética, 
estudaremos, agora, mais uma das formas de energia que um corpo pode ter, 
que é a energia potencial.
 3.9 Energia potencial 
A energia potencial é a energia que um corpo possui por causa de sua posição. 
Temos várias formas de energias potenciais. Vejamos com detalhes.
3.9.1 Energia potencial gravitacional
Consideremos um corpo de peso P a certa altura do solo. Se tal corpo for abando-
nado a partir do repouso, ele cairá, e sua velocidade gradativamente aumentará. 
Então, à medida que o corpo cai, sua energia cinética aumenta.
 
Mas de onde está vindo tal energia? Que força terá transferido essa energia ao 
corpo?
Mas de onde está vindo tal energia? Que força terá transferido essa energia ao 
corpo?
UNIUBE 111
Podemos verificar que desprezando a resistência do ar, a única força que age 
no corpo é o seu peso P. Logo, a energia cinética que o corpo possui em deter-
minado instante foi-lhe transferida pelo peso P, ou seja, a força peso do corpo 
que realizou o trabalho.
Vamos, então, calcular o trabalho realizado pela força peso.
Já sabemos que o trabalho realizado por uma força pode ser calculado por:
w F x= ×D
Consideremos o corpo de peso P = m.g, inicialmente no ponto A e, mais tarde, 
no ponto B, depois de cair de uma altura h, conforme a Figura 9, a seguir.
Figura 9: Esquema de pesos.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Observe que a componente do peso P na direção do deslocamento é o próprio 
peso P. Assim, o trabalho da força peso será: 
w F x w m g h= ×D ® = × ×
( )p gravE m g h= × ×
Logo, podemos verificar que a energia potencial gravitacional que o corpo possui 
pode ser encontrado através da massa [ m ] do corpo, da aceleração da gravi-
dade [ g ] e da altura [ h ] em relação a um referencial.
112 UNIUBE
 IMPORTANTE! 
Apesar de termos calculado o trabalho da força peso em uma trajetória retilínea ver-
tical, pode-se demonstrar que tal trabalho não depende da forma da trajetória. Isso 
nos permite classificar a força peso como força conservativa, ou seja, uma força cujo 
cálculo de seu trabalho não depende da trajetória de seu ponto de aplicação, mas 
apenas das posições inicial e final.
 IMPORTANTE! 
Apesar de termos calculado o trabalho da força peso em uma trajetória retilínea ver-
tical, pode-se demonstrar que tal trabalho não depende da forma da trajetória. Isso 
nos permite classificar a força peso como força conservativa, ou seja, uma força cujo 
cálculo de seu trabalho não depende da trajetória de seu ponto de aplicação, mas 
apenas das posições inicial e final.
3.9.2 Energia potencial elástica
Outra forma de energia potencial que um corpo pode ter é a energia potencial 
elástica, que ocorre quando a força que está interagindo no sistema é uma força 
elástica, geralmente em um sistema massa-mola.
Imagine uma mola totalmente comprimida e encostada – não presa – em um 
corpo apoiado numa superfície sem atrito. Conforme a Figura 10, a seguir.
Figura 10: Esquema com mola.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Quando a trava de segurança é liberada, a força elástica exercidapela mola 
realiza um trabalho sobre o bloco até que a mola chegue à sua posição de equi-
líbrio e, então, o objeto passa a descrever um movimento uniforme. Este trabalho 
provoca variação na energia cinética do bloco. Se o bloco ganhou energia, é 
porque ele a recebeu de alguém, e, no caso, foi da mola. 
Para encontramos a energia potencial elástica, basta calcularmos o trabalho 
realizado pela força elástica, que pode ser encontrada através da área do gráfico 
da Figura 11, a seguir.
UNIUBE 113
Figura 11: Cálculo da energia potencial elástica.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
(área do .
2
F xw= triângulo)
Sendo a força elástica, determinada pela lei de Hooke, como: F k x= × .
Substituindo, teremos, então, que:
2 2. .
2 2 2
k x x kx kxw w= = =®
Veja que, para encontrarmos a energia potencial elástica de um sistema massa-
-mola, basta conhecermos a constante elástica da mola [ k ] e a deformação 
da mola [ x ].
 EXEMPLIFICANDO! 
6 – Suponha que um tijolo de massa 1 kg esteja a uma altura de 20 m, admitindo que 
a gravidade g neste local seja de g = 10 m/s2. Determine a energia potencial gravita-
cional que este tijolo possui.
Vamos resolver juntos?
Dados:
m = 1 kg Temos que: 
h = 20 m
g = 10 m/s2 
Então, podemos verificar que a energia potencial gravitacional armazenada no sis-
tema é de 200 J.
114 UNIUBE
7 – Uma mola de constante elástica igual a 300 N/m sofre uma deformação de 
0,2 m mediante a aplicação de uma força F.
Determine:
a) A intensidade da força F.
b) A energia potencial elástica armazenada no sistema.
Vamos resolver juntos?
a) Resolução:
Dados:
K = 300 N/m Temos que: 
X = 0,2 m
F = ?
Então, encontramos que a força necessária para provocar uma deformação de 
0,2 m é 60 N.
b) Resolução:
Dados:
K = 300 N/m Temos que: 
X = 0,2 m
Logo, a energia potencial elástica armazenada no sistema é de 6 J.
7 – Uma mola de constante elástica igual a 300 N/m sofre uma deformação de 
0,2 m mediante a aplicação de uma força F.
Determine:
a) A intensidade da força F.
b) A energia potencial elástica armazenada no sistema.
Vamos resolver juntos?
a) Resolução:
Dados:
K = 300 N/m Temos que: 
X = 0,2 m
F = ?F = ?F
Então, encontramos que a força necessária para provocar uma deformação de 
0,2 m é 60 N.
b) Resolução:
Dados:
K = 300 N/m Temos que: 
X = 0,2 m
Logo, a energia potencial elástica armazenada no sistema é de 6 J.
UNIUBE 115
Resumo
Consideremos a situação prática na qual uma pessoa puxa uma caixa ao longo 
de um piso horizontal; estamos tendo uma representação de trabalho cuja força 
será constante e que, por definição, teríamos:
cosW F r q= ×D ×
A unidade da grandeza trabalho corresponde à unidade de força multiplicada 
pela unidade de deslocamento. No SI, a unidade de trabalho é joule (J):
joule = newton . metro
1 J corresponde ao trabalho realizado por uma força constante de módulo 1 N, 
paralela a um deslocamento de 1 m.
Calcular o trabalho pela área significa que o gráfico deve ser da força em função 
do deslocamento.
Suponhamos que um corpo esteja sob a ação de uma força cuja projeção (Fx) 
seja constante em determinado deslocamento. O gráfico da intensidade dessa 
projeção em função do deslocamento é:
Figura 12: Gráfico da intensidade dessa 
projeção em função do deslocamento.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
A área assinalada na figura anterior representa, numericamente, o trabalho 
realizado pela força no deslocamento:
N
w Área=
116 UNIUBE
• Energia
Dizemos que um sistema de corpos (eventualmente, esse sistema pode ter um único 
corpo) tem energia quando as forças que ele aplica têm condições de realizar trabalho. 
Assim, medir a energia de um sistema corresponde a medir o trabalho que pode ser 
realizado. Outra decorrência imediata é que, assim como o trabalho de uma força, a 
energia também é uma grandeza escalar. Considerando as várias formas possíveis 
de energia (térmica, elétrica etc.), verifica-se que, para um sistema de corpos em que 
não há troca de energia com corpos alheios a esse sistema, a energia é conservada. 
Esse é o princípio da conservação da energia!
 IMPORTANTE! 
Lembrando o Teorema da Energia Cinética:
A energia não se cria, a energia não se perde, apenas se transforma.
 IMPORTANTE! 
Lembrando o Teorema da Energia Cinética:
A energia não se cria, a energia não se perde, apenas se transforma.
A energia associada a um corpo, ou sistema de corpos, em movimento é cha-
mada energia cinética (Ec). A energia cinética de um corpo depende da massa 
e da velocidade do corpo, sendo calculada por: 
( ) ( )r c final c inicial cw E E E= - =D
Vamos supor que um corpo, inicialmente em movimento com velocidade escalar 
V0, receba a ação de um conjunto de forças cuja resultante é F

 e, após um 
deslocamento xD , apresente velocidade V. O teorema da energia cinética nos 
diz que:
 IMPORTANTE! 
O trabalho realizado pela resultante das forças aplicadas no corpo corresponde a 
uma variação de energia cinética (acréscimo ou decréscimo).
 IMPORTANTE! 
O trabalho realizado pela resultante das forças aplicadas no corpo corresponde a 
uma variação de energia cinética (acréscimo ou decréscimo).
• Potência de uma máquina
Por	definição,	se	uma	máquina	transforma	a	quantidade	de	energia	∆E em um 
intervalo	de	tempo	∆t, sua potência média (Pm) nesse intervalo é: 
UNIUBE 117
m
E
t
D
R =
D
No SI, a unidade de potência é watt (W): watt = joule por segundo.
Admite-se também, para a potência, uma antiga unidade britânica consagrada 
pelo uso, que é o hp. Essa unidade compara desempenho de uma máquina 
com o de um cavalo. A própria sigla é a abreviação britânica de cavalos de 
potência: hp = horsepower. A relação entre essa unidade e a unidade do SI 
é: 1 hp = 746 W.
Uma outra unidade, comparando máquina e cavalo, foi estabelecida pelos fran-
ceses, cv (cheval vapeur): 1 cv = 735 W.
• Trabalho da força peso
O	trabalho	da	força	peso	não	depende	do	deslocamento	e	da	inclinação	α;	de-
pende apenas do desnível (d) entre os dois pontos.
• Forças conservativas
As forças cujo trabalho não depende da trajetória são chamadas de forças con-
servativas. Dizemos, então, que a força peso é uma força conservativa. Como 
exemplo da força não conservativa, podemos citar a força de atrito: quando um 
corpo é deslocado entre dois pontos de uma superfície horizontal em que haja 
atrito, o trabalho realizado pela força de atrito depende da trajetória efetuada 
pelo corpo entre os dois.
• Energia potencial (EP)
A energia potencial associada a uma força conservativa corresponde numeri-
camente ao trabalho que essa força tem condições de realizar. Uma vez que o 
trabalho é sempre referido a um determinado deslocamento, a energia potencial 
corresponde numericamente ao trabalho w .
• Energia potencial elástica 
A força elástica também é uma força conservativa. Para a força elástica, temos: 
F k x=- ×


Direção do eixo da mola.
118 UNIUBE
Sentido contrário ao da deformação.
Intensidade: F k x= ×
2
2elP
kxE =
• Energia potencial gravitacional
Quando um corpo de massa m se encontra a uma altura h, medida em relação a um 
plano de referência arbitrário, a força peso tem condições de realizar trabalho.
O trabalho da força peso no deslocamento da posição mostrada na Figura 9 até 
a posição de referência é:
W P h= ×
O desnível entre a posição inicial e a posição final é a própria altura h.
A expressão anterior corresponde à energia potencial gravitacional do corpo na 
posição indicada em relação ao solo (referencial). Sendo:
P m g= × , temos:
pE m g h= × ×
Atividades
Atividade 1
Uma mola de constante elástica igual a 100 N/m sofre uma deformação de 
0,4 m mediante a aplicação de uma força F. Determine:
a) A intensidade da força F.
b) A energia potencial elástica armazenada no sistema.
Atividade 2
Suponha que um bola de massa 0,5 kg esteja a uma altura de 2 m acima do piso; 
adote o piso como referência, admitindo que a gravidade g neste local seja de g 
= 10 m/s2. Determine a energia potencial gravitacionalda bola nesta posição.
UNIUBE 119
Atividade 3
Analise a afirmativa:
“Força e energia são a mesma grandeza física.”
É correta essa afirmativa? Justifique sua resposta.
Atividade 4
Uma bola de tênis, de massa igual a 100 g, é lançada para baixo, de uma 
altura h, medida a partir do chão, com uma velocidade inicial de 10 m/s. Con-
sidere g = 10 m/s2 e sabendo que a velocidade com que ela bate no chão é de 
15 m/s, calcule:
a) O tempo que a bola leva para atingir o solo.
b) A energia cinética da bola ao atingir o solo.
c) A altura inicial do lançamento h.
Atividade 5
Em um tipo de brinquedo de um parque de diversões, uma pessoa é içada por 
um cabo de aço até uma determinada altura, estando presa a um segundo cabo. 
Solta do cabo que a içou, passa a oscilar como um pêndulo simples. Considere 
uma pessoa de 60 kg que, solta com velocidade nula da altura de 53 m em 
relação ao solo, passa pelo ponto mais próximo do solo a apenas 2 m e sobe 
até atingir a altura de 43 m, quando sua velocidade anula-se novamente. Nesse 
percurso, completa meia oscilação. Adote g = 10m/s2.
a) Qual é o valor da energia mecânica dissipada na oscilação da pessoa entre 
os dois pontos mais afastados do solo, descritos no problema?
b) Esse brinquedo permite que até três pessoas realizem o “voo” conjunta-
mente, presas à extremidade do mesmo cabo de aço. Se, em vez de apenas 
uma pessoa de 60 kg, fossem três pessoas de 60 kg cada que estivessem 
oscilando juntas e considerando desprezível todo tipo de atrito envolvido no 
movimento, mostre o que ocorreria com a velocidade do grupo de pessoas, 
no ponto mais próximo ao solo, comparada com a velocidade de uma pessoa 
sozinha passando por esse mesmo ponto.
120 UNIUBE
Atividade 6
Uma mola de constante elástica igual a 200 N/m sofre uma deformação de 
0,2 m mediante a aplicação de uma força F. Determine:
a) A intensidade da força F.
b) A energia potencial elástica armazenada no sistema.
Atividade 7
Sobre um pequeno bloco de madeira de massa 3,0 kg atua uma força F, hori-
zontal e paralela à superfície, de módulo 20 N, conforme a ilustração a seguir. 
Determine o trabalho realizado, ou seja, a quantidade de energia transferida 
pela força, em um deslocamento de 2 m. Considere a superfície completamente 
lisa, desprezando o atrito.
Figura 13: Bloco que se desloca em superfície lisa.
Atividade 8
Física é a ciência que estuda as coisas que nos cercam, “seus movimentos” e 
a “energia que possuem”.
a) O que é energia?
b) Basicamente, como podemos classificar a energia? Exemplifique.
Atividade 9
Sobre a energia potencial gravitacional e o trabalho de uma força peso, assinale 
V se a afirmativa for verdadeira e F se for falsa.
a) ( ) A energia potencial gravitacional de um corpo é aquela que o sistema 
possui em virtude da posição ocupada em relação ao nível de referência.
b) ( ) A energia potencial gravitacional é expressa no SI em joules (J).
c) ( ) Desprezando o atrito com o ar, para elevarmos um corpo de massa m 
do solo até a uma altura h, devemos, através de uma força F, realizar 
UNIUBE 121
um trabalho contra a força peso do corpo, que deve ser igual em mó-
dulo ao trabalho da força peso.
Chegamos ao final deste capítulo. Esperamos que você tenha compreendido o 
conteúdo abordado e se empenhado no estudo para atingir um grau de apren-
dizagem que lhe permita aplicar os conceitos estudados nas etapas seguintes 
do seu curso e em sua vida profissional. 
Referências
FEYNMAN, Richard; LEIGHTON, R.; SANDS, M. The feynman lectures on physics. v. 1, 
California Institute of Technology: Addison-Wesley Publishing Company, 1963.
PALZ, Wolfgang. Energia solar e fontes alternativas. São Paulo: Hemus, 1981.
Sistemas de partículas, 
torque e movimento 
rotacional 
Capítulo 
4
Valdir Barbosa da Silva Júnior /
Welington Mrad Joaquim
Introdução
Nesta última etapa deste componente curricular, no qual abordamos 
a física, mais especificamente a mecânica, vamos introduzir alguns 
assuntos importantes, como centro de massa, momento linear e sua 
conservação, movimento circular e suas grandezas. Assim, nesta etapa, 
temos uma série de objetivos a serem alcançados, e estes estão ex-
postos a seguir. Leia, com atenção, o texto deste capítulo e realize com 
dedicação as atividades propostas, pois assim você poderá concluir de 
forma proveitosa os estudos propostos neste livro de física.
Bons estudos e sucesso!
Objetivos
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, espera-se que você 
esteja apto(a) a:
• calcular o centro de massa de um corpo;
• identificar o momento linear de uma partícula;
• aplicar a lei da conservação do momento linear e da energia 
numa interação em um sistema isolado;
• calcular a variação do momento linear de um corpo;
• caracterizar colisões elásticas e inelásticas;
• definir torque de uma força;
• identificar um movimento de rotação;
• explicar velocidade angular e aceleração angular;
• esclarecer a relação entre as variáveis lineares e angulares;
• descrever momento angular.
124 UNIUBE
Esquema
4.1 Sistema de partículas
4.2 Centro de massa e centro de gravidade
4.2.1 Localização do centro de massa ou centro de gravidade
4.3 Posição do centro de massa de um sistema de partículas
4.3.1 Sistema de partículas com uma dimensão
4.3.2 Sistema de partículas com duas dimensões
4.4 A segunda lei de Newton para um sistema de partículas
4.5 Momento linear e impulso
4.5.1 Momento linear ou quantidade de movimento de uma 
partícula ( p )
4.5.2 Impulso
4.5.3 Teorema do impulso
4.6 Colisões
4.7 Momento e energia cinética em colisões
4.8 Conservação da quantidade de movimento
4.8.1 Coeficiente de restituição
4.8.2 Velocidade relativa
4.9 Movimento rotacional
4.9.1 Posição angular
4.9.2 Deslocamento angular
4.9.3 Velocidade angular
4.9.4 Aceleração angular
4.9.5 Relação entre velocidade linear e angular
4.9.6 Energia cinética de rotação
4.10 Momento de inércia
4.10.1 Energia cinética de rotação
4.11 Torque ( ) 
4.12 Momento angular
4.12.1 Conservação do momento angular
Resumo
Atividades
 4.1 Sistema de partículas
Por sistema de partículas, ou sistema de pontos materiais, designa-se um con-
junto finito ou infinito de partículas, de tal modo que a distância entre qualquer 
dos seus pontos permanece invariável durante o movimento.
UNIUBE 125
 IMPORTANTE! 
Lembre-se de que forças externas podem interferir no movimento das partículas.
 IMPORTANTE! 
Lembre-se de que forças externas podem interferir no movimento das partículas.
Algumas considerações que devemos atentar ao calcular o centro de massa de 
alguns sistemas físicos:
• se o sistema físico for um corpo rígido constituído de material homogêneo, 
como uma esfera ou um cilindro, por exemplo, o centro de massa coincidirá 
com o centro geométrico, entretanto...
• se o sistema não for constituído de material homogêneo, o centro de massa fi-
cará deslocado para a região em que houver maior concentração de massa.
 4.2 Centro de massa e centro de gravidade
Chama-se centro de massa de um sistema físico o ponto onde se admite con-
centrada, para efeito de alguns cálculos, toda a sua massa.
Centro de massa de um corpo extenso ou de um sistema de partículas é uma 
idealização utilizada em física para reduzir o problema da ação de forças ex-
ternas sobre este corpo ou sistema de partículas. A ideia é tentar reduzi-los a 
uma partícula de massa igual à massa total do corpo extenso ou do sistema de 
partículas, posicionada juntamente ao centro de massa.
Figura 1: Centro de massa de um corpo.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
126 UNIUBE
O centro de gravidade é um ponto em torno do qual o peso do corpo está igual-
mente distribuído em todas as direções. O centro de gravidade de um corpo 
coincide com seu centro de massa quando a aceleração da gravidade tiver o 
mesmo valor em toda a extensão do corpo. Isso significa que corpos com di-
mensão pequena, comparada à Terra, como têm o mesmo valor de aceleração 
da gravidade para todas as diferentes partes do corpo, seu centro de gravidadecoincide com seu centro de massa.
 DICAS 
Localização do centro de massa ou centro de gravidade
Para localizar o centro de massa ou centro de gravidade de um corpo, pode-se 
simplesmente achar o ponto em que é possível equilibrar este corpo, se ele fosse 
segurado nesse ponto.
 DICAS 
Localização do centro de massa ou centro de gravidade
Para localizar o centro de massa ou centro de gravidade de um corpo, pode-se 
simplesmente achar o ponto em que é possível equilibrar este corpo, se ele fosse 
segurado nesse ponto.
O centro de massa de corpos com forma geométrica simples e material homogê-
neo é fácil de ser encontrado, pois está no centro geométrico; no caso de uma 
esfera, está exatamente no centro dela. No caso do planeta em que vivemos, o 
centro de massa está no centro da Terra. Em se tratando de uma aliança e de 
um cabide, o centro de massa não pertence ao corpo. Observe na Figura 2, a 
seguir, com alguns exemplos de corpos e seus centros de massa. 
Figura 2: Exemplos de corpos e seus centros de massa.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
A indicação precisa do centro de massa deve usar integrais em vez da formu-
lação discreta anterior. Neste caso, as porções de massa são dadas por
dm dvm= × , em que m é a massa específica do material e dv o volume elementar.
UNIUBE 127
/
/
/
cm
cm
cm
x x dv dv
y y dv dv
z z dv dv
m m
m m
m m
ìï = × ×ïïïïï = × ×íïïïï = × ×ïïî
ò ò
ò ò
ò ò
Se	o	corpo	é	homogêneo,	μ	=	constante.	Então,	 dv dv vm m m× = = ×ò ò . E as 
fórmulas anteriores são simplificadas:
/
/
/
cm
cm
cm
x x dv v
y y dv v
z z dv v
ìï = ×ïïïïï = ×íïïïï = ×ïïî
ò
ò
ò
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Se um corpo tem um centro de simetria, o centro de massa coincide com ele. Se tem 
um eixo de simetria, o centro de massa está nesse eixo.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Se um corpo tem um centro de simetria, o centro de massa coincide com ele. Se tem 
um eixo de simetria, o centro de massa está nesse eixo.
Rigorosamente, o peso de um corpo atua no seu centro de gravidade. No de-
senvolvimento anterior, é suposto que a aceleração da gravidade é constante 
e que os pesos são forças paralelas (na verdade, convergem para o centro da 
Terra). Resumindo, o campo gravitacional da Terra é considerado uniforme, o 
que não corresponde exatamente à realidade. Assim, o centro de massa não 
deve teoricamente coincidir com o de gravidade. Na prática, mesmo levando em 
conta as maiores dimensões usuais, a diferença é desprezível na maior parte 
dos casos.
 CURIOSIDADE 
Como o centro de massa depende da distribuição de massas, no caso de corpos 
cuja forma possa ser alterada o centro de massa também muda de lugar. É o caso 
de corpos humanos. O centro de massa pode inclusive estar fora do corpo. Para 
uma pessoa em pé com os braços estendidos e abaixados ao lado do corpo, seu 
centro de massa está sobre a linha vertical que toca o chão cerca de 3 cm na frente 
da junção do tornozelo.
Como o centro de massa depende da distribuição de massas, no caso de corpos 
cuja forma possa ser alterada o centro de massa também muda de lugar. É o caso 
de corpos humanos. O centro de massa pode inclusive estar fora do corpo. Para 
uma pessoa em pé com os braços estendidos e abaixados ao lado do corpo, seu 
centro de massa está sobre a linha vertical que toca o chão cerca de 3 cm na frente 
da junção do tornozelo.
128 UNIUBE
A localização do centro de massa de homens está ligeiramente acima da 
das mulheres, uma vez que os homens têm ombros mais largos do que as 
mulheres e as mulheres têm nádegas maiores do que os homens. O centro 
de massa de mulheres no nono mês de gravidez vem mais para a frente do 
corpo.
 4.3 Posição do centro de massa de um sistema de partículas
4.3.1 Sistema de partículas com uma dimensão
Vamos definir inicialmente a posição xcm do centro de massa para um sistema 
composto de duas partículas de massas m1 e m2 e que ocupam as posições 
x1 e x2.
Figura 3: Definição do centro de massa de um corpo.
1 1 2 2
1 2
cm
m x m xx
m m
+
=
+
 
E para um sistema com N partículas? Como será o cálculo?E para um sistema com N partículas? Como será o cálculo?
Para um sistema de N corpos dispostos ao longo de uma linha reta, podemos 
fazer uma extensão da definição anterior:
1 1 2 2 1
1 2
1
....
......
N
i i
N N i
cm cm N
N
i
i
m x
m x m x m xx x
m m m m
=
=
+ + +
= ® = ®
+ + +
å
å 1
1 N
cm i i
i
x m x
M =
= å
UNIUBE 129
Vejamos com detalhes:
• å é o símbolo do somatório.
• o índice i assume os valores inteiros de 1 até n. Ele identifica as várias partí-
culas, suas massas e suas coordenadas.
• M representa a massa total do sistema, em que:
1
N
i
i
M m
=
=å
Agora, aprofundaremos um pouco mais o estudo a respeito do cálculo do centro 
de massa.
4.3.2 Sistema de partículas com duas dimensões
Para a definição do centro de massa de um sistema de N partículas distribuídas em 
um plano podemos, por analogia, com as definições anteriores, considerar que:
1 1 2 2 1
1 2
1
....
......
N
i i
N N i
cm cm N
N
i
i
m x
m x m x m xx x
m m m m
=
=
+ + +
= ® = ®
+ + +
å
å 1
1 N
cm i i
i
x m x
M =
= å
1 1 2 2 1
1 2
1
....
......
N
i i
N N i
cm cm N
N
i
i
m y
m y m y m yy y
m m m m
=
=
+ + +
= ® = ®
+ + +
å
å 1
1 N
cm i i
i
y m y
M =
= å
 EXEMPLIFICANDO! 
1– Determine a posição do centro de massa de um sistema de três partículas mate-
riais, de massas iguais a 20 kg, 30 kg e 40 kg, colocadas nos pontos de coordenadas 
(1,4), (5,4) e (5,1) (m), respectivamente.
Vamos resolver juntos:
Trata-se de uma distribuição discreta a duas dimensões, pelo que temos para a pri-
meira coordenada:
130 UNIUBE
1 1 2 2
1 2
.... 20 1 30 5 40 5 4,1
...... 20 30 40
N N
cm cm cm
N
m x m x m xx x x m
m m m
+ + + × + × + ×
= ® = ® =
+ + + + +
E para a segunda coordenada:
1 1 2 2
1 2
.... 20 4 30 4 40 1 2,67
...... 20 30 40
N N
cm cm cm
N
m y m y m yy y y m
m m m
+ + + × + × + ×
= ® = ® =
+ + + + +
 AGORA É A SUA VEZ 
1. Determine a posição do centro de massa de um sistema de duas partículas mate-
riais, de massas iguais a 50 kg, 80 kg, colocadas nos pontos de coordenadas (3,4) 
e, (6,4) (m), respectivamente. 
AGORA É A SUA VEZ 
1. Determine a posição do centro de massa de um sistema de duas partículas mate-
riais, de massas iguais a 50 kg, 80 kg, colocadas nos pontos de coordenadas (3,4) 
e, (6,4) (m), respectivamente. 
 4.4 A segunda lei de Newton para um sistema de partículas
Um sistema constituído por n pontos materiais, que se podem movimentar livre-
mente e, portanto, não constituem um corpo rígido.
Veja que há necessidade de distinguir claramente dois tipos de forças que po-
dem atuar no sistema:
• as forças externas atuam no sistema com origem fora do sistema, (por exem-
plo, a força da gravidade atua em um conjunto de objetos como uma força 
exterior a esses objetos);
• as forças internas: são forças que as partículas aplicam umas nas outras, 
sempre dentro do mesmo sistema.
A equação do movimento (segunda lei de Newton), para a partícula i, escreve-se:
res cmF M a= ×


Algumas considerações importantes a respeito dessa equação:
UNIUBE 131
• 
resF

 é a força resultante de todas as forças externas que atuam sobre o sis-
tema. Forças de uma parte do sistema sobre outra parte do sistema (forças 
internas) não são incluídas na equação;
• M é a massa total do sistema;
• 
cma
 é a aceleração do centro de massa do sistema. A equação não dá infor-
mação sobre a aceleração de qualquer outro ponto do sistema.
 4.5 Momento linear e impulso
Existem várias grandezas físicas que se inter-relacionam. Passaremos a estudar, 
agora, a relação entre a força aplicada a um corpo com o intervalo de tempo de 
sua atuação e seus efeitos.
Vamos perceber que as grandezas impulso e quantidade de movimento são 
dimensionalmente iguais e extremamente importantes para entendermos melhor 
o nosso dia a dia.
4.5.1 Momento linear ou quantidade de movimento de uma partícula ( p )
Essa grandeza vetorial será representada aqui com a letrap , mas também é 
normalmente encontrada com a letra Q

. Momento linear é um conceito que foi 
criado para dar uma noção da dificuldade que se tem em parar um corpo em 
movimento. É óbvio que tal grandeza depende da velocidade do corpo em ques-
tão. Imagine, é mais fácil para o goleiro defender uma bola a 30 km/h ou uma 
bola a 90 km/h? Ou o que faz mais estrago, uma bala disparada por uma arma, 
ou uma bola arremessada por uma pessoa? O momento também depende da 
massa do objeto; afinal, é mais fácil frear um carro a 100 km/h ou um caminhão 
à mesma velocidade?
Portanto, momentum (ou momento) linear de uma partícula é o produto de sua 
massa por sua velocidade.
p m v= × 
Unidade no SI para o momento é o (kg.m/s).
132 UNIUBE
 EXPLICANDO MELHOR 
Uma pequena aplicação:
Conta-se que Newton, na realidade, formulou a sua segunda lei em termos do mo-
mento, da seguinte maneira:
Na forma de equação:
 ( )r
d p dF m v
dt dt
= ® ×


Considerando o valor de m constante, temos que:
r r
dvF m F m a
dt
= ® = ×
 

 (segunda lei de Newton).
 EXPLICANDO MELHOR 
Uma pequena aplicação:
Conta-se que Newton, na realidade, formulou a sua segunda lei em termos do mo-
mento, da seguinte maneira:
Na forma de equação:
( )r
d p dF m v( )F m v( )rF m vr
d p dF m vd p d
dt dt
F m v= ® ×F m vF m v= ® ×F m vF m v= ® ×F m v( )F m v( )= ® ×( )F m v( )d p dF m vd p d= ® ×d p dF m vd p d
d p dd p d
Considerando o valor de m constante, temos que:
r r
dvF m F m ar rF m F m ar r
dvF m F m adv
dtr rdtr r
F m F m a= ® = ×F m F m aF m F m a= ® = ×F m F m a
 dv dv F m F m aF m F m a (segunda lei de Newton).
Nestes termos, a força é igual à taxa de variação da quantidade de movimento 
em função do tempo. Usando esta definição e a terceira lei (da ação e reação) 
observa-se que quando dois corpos colidem, o momento linear do sistema for-
mado por estes corpos se conserva. Em outras palavras, o momento linear total 
do sistema inicial (antes da colisão) é igual ao final (após a colisão). Isto pode 
ser entendido notando que durante a colisão as forças exercidas de um corpo 
sobre o outro formam um par ação-reação. Assim, tomando o sistema formado 
pelos dois corpos, a força resultante é zero. Como esta é igual à variação do 
momento linear total, conclui-se que esta variação é zero. Portanto, o momento 
não varia, ou seja, se conserva.
 IMPORTANTE! 
A taxa de variação do momento de uma partícula é proporcional à resultante das 
forças que agem sobre essa partícula, e tem a mesma direção e o mesmo sentido 
que essa força.
 IMPORTANTE! 
A taxa de variação do momento de uma partícula é proporcional à resultante das 
forças que agem sobre essa partícula, e tem a mesma direção e o mesmo sentido 
que essa força.
4.5.2 Impulso
É definido como impulso o produto força vezes tempo. O impulso mede o esforço, 
por assim dizer, que o operador tem ao realizar uma força sobre um corpo. É 
uma grandeza, também vetorial. Imprimir uma força por um determinado período 
UNIUBE 133
de tempo faz o bloco adquirir certa velocidade. Se aumentarmos a força, ou o 
intervalo de tempo, a velocidade adquirida pelo bloco será maior.
Temos:
rI F t= ×D
 
Em que:
 força resultante
t = tempo 
rF =
D

Unidade do impulso no SI: Newton.segundo (N.s).
4.5.3 Teorema do impulso
Esse teorema facilita muito o cálculo do impulso. Ele diz que o impulso da força 
resultante é igual a variação do momento linear, ou seja, para calcular o impulso, 
basta saber o momento linear no começo e no final, e fazer a diferença. Esse 
teorema vem da segunda lei de Newton, 
rF m a= × , mas isso só se aplica se a 
massa e a aceleração forem constantes.
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Lembre-se de que o momento linear é uma grandeza vetorial, e para fazer a diferença 
vetorial A – B, inverte-se o sentido de B e soma-se à A. 
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Lembre-se de que o momento linear é uma grandeza vetorial, e para fazer a diferença 
vetorial A – B, inverte-se o sentido de B e soma-se à A. 
 r r
d pF F dt d p
dt
= ® × =

 

O lado esquerdo da equação anterior é chamado de impulso ( I

) de uma 
força.
 I d p=


Olhando o teorema do impulso, percebe-se que o momento linear só é alterado 
quando há impulso. E só há impulso quando há força, logo, conclui-se algo im-
134 UNIUBE
portantíssimo: em um sistema isolado, o momento linear do sistema mantém-se 
inalterado. Essa conclusão será muito utilizada em choques. Sistema isolado é 
um sistema que não troca forças com o meio externo, ou melhor, a resultante 
de forças que age sobre o sistema é nula. Observe que se considerarmos como 
universo tudo o que existe, então não há nada fora do universo, logo o universo 
é um sistema isolado, e seu momento linear não se altera nunca.
As unidades do impulso e da quantidade de movimento são as mesmas.
 
Como saber qual usar?Como saber qual usar?
Algumas vezes, utiliza-se N.s (em geral para o impulso), e outras vezes utiliza-se 
kg.m/s (em geral para a quantidade de movimento). Verifique que estas unidades 
têm as mesmas dimensões.
 EXEMPLIFICANDO! 
2 – Uma força de intensidade 10 N, direção horizontal e sentido da esquerda para a 
direita, é aplicada a uma partícula durante 2 s.
Determine:
a) A intensidade do impulso no intervalo de tempo de 2 s.
b) A variação da quantidade de momento linear do corpo.
Vamos resolver juntos:
a) 10 2 20I F t I I N s= ×D ® = × \ = ×
 
b) Como o impulso é igual à variação da quantidade de movimento, temos que: 
20 /I p p kg m s=D \D = ×

 
Quando estivermos considerando um sistema isolado, em que a resultante das forças 
externas for nula, teremos:
UNIUBE 135
0rF =

, ou seja, 0d p
dt
=

, que significa que:
1 2 ... np p p p= + + + =
   
constante.
3 – Em uma colisão entre duas bolas de bilhar, o momento total desse sistema iso-
lado se conserva: o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois 
da colisão.
Ou seja:
i fp p=
 
Sendo:
ip =momento linear total em um instante inicial;
fp =momento linear total em um instante final.
 
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Atente-se para o seguinte: neste momento, definiremos um ponto importante do 
assunto aqui tratado: conservação do momento linear.
 PARADA OBRIGATÓRIA PARADA OBRIGATÓRIA 
Atente-se para o seguinte: neste momento, definiremos um ponto importante do 
assunto aqui tratado: conservação do momento linear.
 AGORA É A SUA VEZ 
2. Uma partícula de massa 1 kg realiza um movimento retilíneo com velocidade escalar 
3 m/s. Uma força constante, paralela à trajetória e no mesmo sentido do movimento, 
é aplicada à partícula durante 2 s e sua velocidade passa para 8 m/s. Determine:
a) A intensidade do momento linear para as duas velocidades.
b) A intensidade do impulso.
c) A intensidade da força F.
AGORA É A SUA VEZ 
2. Uma partícula de massa 1 kg realiza um movimento retilíneo com velocidade escalar 
3 m/s. Uma força constante, paralela à trajetória e no mesmo sentido do movimento, 
é aplicada à partícula durante 2 s e sua velocidade passa para 8 m/s. Determine:
a) A intensidade do momento linear para as duas velocidades.
b) A intensidade do impulso.
c) A intensidade da força F.
136 UNIUBE
 4.6 Colisões
As colisões são eventos isolados nos quais dois ou mais corpos (os corpos que 
colidem) exercem, uns sobre os outros, forças relativamente elevadas, por um 
tempo relativamente curto. No dia a dia dizemos que uma colisão é um choque, 
o contato de dois ou mais corpos. Exemplos: acidente com automóveis, jogo de 
sinuca, entre outros.
Contudo, não necessariamente há contato entre os corpos para haver uma co-
lisão. Por isso, assumiremos que a colisão é uma interação entre partículas.
Em geral, pode-se definir uma colisão como uma interação entre dois corpos, 
que podem ser partículas ou pontos materiais.
Quando dois corpos se aproximam a uma dada distância (que depende do tipo 
de interação e dos objetos de que se trata), eles podem alterar o estado de 
movimento um do outro.
A interação pode ser a distância(caso da atração elétrica ou da gravitacional) 
ou por contato direto (caso das bolas de bilhar).
Nas colisões, só há forças internas ao sistema, ou seja, pares ação e reação, 
pelo que se pode aplicar o princípio da conservação do momento linear. Por isso, 
é importante dar atenção a esses dois teoremas já estudados: o da conservação 
do momento e o da conservação da energia.
Vejamos, agora, onde aplicar esses teoremas de fundamental importância no 
estudo da física.
Muitas vezes, para o cálculo das trajetórias finais, não interessa a forma concreta 
das interações, que pode ser extremamente complexa ou até mesmo desconhe-
cida. Nestes casos, pode-se:
• definir uma colisão como uma interação entre dois corpos, que podem ser 
partículas ou pontos materiais;
• aplicar os princípios de conservação da energia e do momento linear. De fato, 
embora não se saiba (ou não se queira) calcular o que se passa durante a 
interação, sabe-se que o momento linear (sempre) e a energia (às vezes) 
conservam-se antes e depois da colisão. Logo, sabendo as condições iniciais 
das partículas (antes da colisão), podemos saber algo sobre a situação final 
UNIUBE 137
(após a colisão), mesmo sem saber o que se passou durante o evento. É isso 
que dá importância aos princípios de conservação;
• a interação ocorre em um intervalo de tempo relativamente curto durante o 
qual o efeito das forças externas pode ser desprezado e, assim, podemos 
considerar o sistema como isolado;
• tanto antes como depois desse intervalo de tempo a força de interação entre 
os corpos é nula ou desprezível.
 4.7 Momento e energia cinética em colisões
O princípio da conservação da energia foi sendo proposto empiricamente ao 
longo do tempo, isto é, desde há muito tempo temos constatado que a energia 
se conserva, não podendo ser criada do nada nem podendo desaparecer para 
o nada.
Podemos constatar que a quantidade de movimento se conserva em sistemas 
isolados, não de forma empírica, mas deduzida matematicamente a partir do 
teorema do impulso.
A energia cinética total de um sistema de dois corpos que colidem entre si pode 
ser dividida em:
• Colisão elástica
Uma colisão elástica em um sistema isolado é aquela na qual existe conservação 
de energia cinética (e do momento linear), ou seja, a energia total de um sistema 
não se altera pela colisão, então, neste caso, a energia cinética é conservada, 
ela é a mesma antes e depois da colisão.
( ) ( )
( ) ( )
cin antes cin após
antes antes
E E
Q Q
ìï =ïïíï =ïïî
å å
å å
Ou ainda:
Conservação da energia cinética
138 UNIUBE
Conservação do momento linear
1 1 2 2 1 1 2 2
antes da colisão depois da colisão
i i f fm v m v m v m v× + × = × + ×


• Colisão inelástica
Em colisões cotidianas de corpos ordinários, como dois carros ou uma bola e 
um taco, alguma energia é sempre transferida da energia cinética para outras 
formas de energia. Como exemplo, pode-se citar a energia térmica (calor) e a 
energia sonora. Desta forma, a energia cinética não é conservada.
( ) ( )
( ) ( )
cin antes cin após
antes antes
E E
Q Q
ìï <ïïíï =ïïî
å å
å å
Uma colisão inelástica é aquela em que não é conservada a energia cinética 
do sistema de corpos que colidem, podendo a energia final ser menor ou maior 
que a inicial. Um exemplo de energia final maior é a explosão de uma granada 
ao colidir com o solo. Neste caso, energia química armazenada no explosivo se 
converte em energia cinética dos fragmentos.
• Colisão totalmente inelástica 
É aquela em que duas massas (m1 e m2) e velocidades iniciais (V1i e V2i) 
passam a mover-se juntas após a colisão, formando uma única partícula de 
massa m1 + m2 e velocidade Vf.
Algumas considerações devem ser seguidas com atenção a respeito das coli-
sões. Uma delas é que a colisão inelástica de dois corpos sempre envolve uma 
perda de energia cinética do sistema.
Outro ponto a ser considerado é que a maior perda ocorre quando os dois 
corpos permanecem juntos depois de uma colisão. Neste caso, a colisão é 
chamada de colisão completamente inelástica (exemplo: a colisão de uma bola 
de massa de modelar úmida e um bastão é completamente inelástica, porque, 
neste caso, a bola gruda no bastão).
UNIUBE 139
 4.8 Conservação da quantidade de movimento
Toda colisão pode ser considerada como um sistema isolado, ou seja, durante 
a batida a resultante das forças externas é igual a zero. Isso ocorre porque o 
intervalo de tempo durante uma colisão é tão curto que o impulso das forças 
externas se torna praticamente desprezível.
Imagine dois patinadores muito próximos e, em determinado instante, um 
deles empurra o outro. O que se observa é que os dois patinadores irão se 
locomover em sentidos opostos. Podemos explicar tal fenômeno pela ter-
ceira lei de Newton, pois, quando um patinador exerce uma força sobre o 
outro, ele recebe simultaneamente uma força igual e oposta do seu colega. 
Podemos também explicar esse exemplo de outra forma. Após o empurrão, os 
dois patinadores irão ter velocidades em sentidos opostos e pode se observar 
que, se multiplicarmos a massa de cada patinador pela sua respectiva veloci-
dade, o resultado dessa operação será o mesmo para os dois patinadores. 
A BQ Q=
 
A A B Bm V m V× = ×
Podemos dizer que, para qualquer choque:
O somatório da quantidade de movimento do sistema antes do choque é igual 
ao somatório da quantidade de movimento do sistema após o choque.
antes apósQ Q=å å
 
' '
A B A BQ Q Q Q+ = +
' '
A A B B A B B Bm V m V m V m V× + × = × + ×
4.8.1 Coeficiente de restituição
Existem duas fases durante uma colisão: a deformação e a restituição. Quando 
dois corpos que colidem entram em contato, inicia-se a fase da deformação, que 
se encerra quando os dois corpos ficam em repouso entre si. Imediatamente 
depois, inicia-se a fase da restituição que irá terminar com a separação dos 
corpos. Vale a pena ressaltar que nem sempre temos a restituição, ou seja, 
140 UNIUBE
os corpos deformam e não voltam à sua forma original. Podemos tomar como 
exemplo as colisões entre automóveis.
O coeficiente de restituição em uma colisão frontal e unidimensional (são aque-
las em que os centros de massa se encontram sobre a mesma linha reta antes 
e depois da colisão) é o quociente entre a velocidade relativa de afastamento 
(após o choque) e a velocidade relativa de aproximação (antes do choque):
e üüüüü
üüüüü
V
V
=
4.8.2 Velocidade relativa
• Se os corpos tiverem a mesma direção e sentido, a velocidade relativa é cal-
culada com a subtração das velocidades.
,A B A BV V V= -
• Se os corpos tiverem mesma direção, mas sentidos opostos, a velocidade 
relativa deverá ser calculada com a soma das velocidades. 
,A B A BV V V= +
Aqui temos um quadro com alguns valores do coeficiente de restituição para 
algumas colisões frontais e unidimensionais. 
Quadro 1: Valor do coeficiente de restituição.
CHOQUES COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO (e)
Ferro com chumbo 0,12
Chumbo com chumbo 0,20
Madeira com madeira 0,50
Marfim com marfim 0,90
Vidro com vidro 0,93
UNIUBE 141
Como classificar o tipo de choque?
• Nos choques elásticos: e = 1
• Nos choques inelásticos: 0 < e < 1
• Nos choques totalmente inelásticos: e = 0
Quadro 2: Colisões.
Tipos de choque elástico inelástico totalmente inelástico
Coeficiente de restituição e = 1 0<e<1 e = 0
Energia cinética conserva dissipa dissipação máxima
Quantidade de movimento conserva conserva conserva
 4.9 Movimento rotacional
A cinemática dos corpos rígidos trata dos movimentos de translação e rotação:
• Movimento de translação pura: todas as partes de um corpo sofrem o mesmo 
deslocamento linear.
• Movimento de rotação pura: as partes de um corpo descrevem trajetórias 
circulares cujos centros situam-se sobre uma mesma reta chamada de eixo 
de rotação. Todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento 
angular.
O movimento que se aproxima mais de uma situação real é aquele que incorpora 
tanto a translação quanto a rotação.
4.9.1 Posiçãoangular
Quando um objeto de um formato arbitrário tem uma trajetória circular em torno 
de certo eixo, podemos definir algumas grandezas que descreverão esse mo-
vimento:
• podemos marcar um dado ponto do objeto e analisar o seu movimento;
• a distância desse ponto ao eixo de rotação é chamada de raio da trajetória;
142 UNIUBE
• a sua trajetória descreve um arco de comprimento s;
• a posição angular associada ao arco e ao raio é o ângulo (q ) e pode ser 
definida como:
ds r dq= ×
4.9.2 Deslocamento angular
Quando um corpo está em rotação, ele está variando a sua posição angular de 
modo que, em um dado momento, ela é definida pelo ângulo 
1q e, em um ins-
tante posterior, é definida pelo ângulo 2q , de modo que o deslocamento angular 
entre os instantes considerados é:
Figura 4: Corpo em rotação variando a 
sua posição angular.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
2 1q q qD = -
Sendo:
1q = ângulo final
2q =ângulo inicial
UNIUBE 143
4.9.3 Velocidade angular
A velocidade angular é a taxa com que a posição angular está variando; é a 
razão entre o deslocamento angular e o tempo necessário para fazer esse 
deslocamento.
Definimos a velocidade angular média como:
t
q
w
D
\
D
2 1
2 1t t
q q
w
-
=
-
Em que q é a posição angular de um ponto qualquer do corpo tomado como 
referência.
 IMPORTANTE! 
Em geral, define-se essa coordenada (posição) de modo que seja positiva quando 
se desloca no sentido anti-horário em relação ao eixo de rotação.
 IMPORTANTE! 
Em geral, define-se essa coordenada (posição) de modo que seja positiva quando 
se desloca no sentido anti-horário em relação ao eixo de rotação.
O ângulo costuma ser dado em radianos e a velocidade angular em radianos 
por segundo (rad/s).
4.9.4 Aceleração angular
Quando a velocidade angular de um corpo não é constante, mas varia no tempo 
com certa taxa, esse corpo terá uma aceleração angular.
Definimos a aceleração angular média como:
2 1
2 1t t t
w ww
a a
-D
= ® =
D -
Sendo a unidade da aceleração angular igual a rad/s2.
144 UNIUBE
4.9.5 Relação entre velocidade linear e angular
Derivando a equação ds r dq= × em ordem ao tempo, e tendo em conta que, 
por ser um corpo rígido a distância r não varia, tem-se:
ds dv v r
dt dt
q
= ® = ® v r w= ×
Nesta equação, temos: v é a velocidade linear de certo ponto do corpo e w é a 
velocidade angular desse ponto considerado. Na realidade, w é a velocidade 
angular do corpo por inteiro.
 EXEMPLIFICANDO! 
4 – Uma partícula descreve um movimento circular uniforme com velocidade escalar 
v = 5 m/s. Sendo R = 2 m o raio da circunferência, determine:
a) A velocidade angular.
b) A aceleração centrípeta.
Vamos resolver juntos?
a) Utilizando a seguinte equação, podemos achar a velocidade
angular: 5 2 2,5 /v r rad sw w w= × ® = × \ =
b) Utilizando a equação da aceleração centrípeta mostrada no primeiro roteiro de 
física, podemos calcular o valor dessa aceleração:
2 2
25 12,5 /
2c c
va a m s
r
= = \ =
UNIUBE 145
 AGORA É A SUA VEZ 
3. Um ponto percorre uma circunferência com velocidade angular constante w =10 rad/s. 
Sendo R = 2 m, o raio da trajetória, determine:
a) A intensidade da velocidade escalar.
b) A intensidade da aceleração centrípeta.
AGORA É A SUA VEZ 
3. Um ponto percorre uma circunferência com velocidade angular constante w =10 rad/s. 
Sendo R = 2 m, o raio da trajetória, determine:
a) A intensidade da velocidade escalar.
b) A intensidade da aceleração centrípeta.
4.9.6 Energia cinética de rotação
Vamos considerar um conjunto de N partículas, cada uma com massa mi e ve-
locidade vi, girando em torno de um mesmo eixo do qual dista r1 (distância). A 
energia cinética deste sistema é:
2
1
1
2
N
i i
i
k m v
=
=å
Mas sabemos que v Rw= × , e substituindo na equação acima, temos que:
2
1
1 ( )
2
N
i
i
k m rw
=
= ×å
Utilizando a propriedade da multiplicação na equação da energia cinética, de-
finimos o momento de inércia (I), em que r 1 é a distância de cada partícula 
ao eixo, w a velocidade angular das partículas em torno do eixo considerado e 
definimos o momento de inércia do conjunto de partículas, como:
2 2
1
1( )
2
N
i
i
k m r w
=
= ×å sendo: 2
1
( )
N
i
i
I m r
=
= × ×å
146 UNIUBE
 EXEMPLIFICANDO! 
5 – Considere três hastes de massa desprezível que formam um triângulo equilátero 
de 0,1 m de lado. Nos vértices do triângulo, encontram-se três pontos materiais de 
massas iguais a 0,1 kg, 0,2 kg e 0,3 kg. Calcule o momento de inércia em relação a 
um eixo perpendicular ao plano que passa pela massa de 0,1 kg.
Vamos resolver juntos?
Trata-se de uma distribuição discreta de massas:
2 2
1 1 2 2I m r m r= × + ×
Como a distância é a mesma, tem-se:
2 2
1 2 2
2
( ) (0, 2 0,3)0,1
0,005 /
I m m r I
I kg m s
= + × ® = + \
= ×
 EXEMPLIFICANDO! 
5 – Considere três hastes de massa desprezível que formam um triângulo equilátero 
de 0,1 m de lado. Nos vértices do triângulo, encontram-se três pontos materiais de 
massas iguais a 0,1 kg, 0,2 kg e 0,3 kg. Calcule o momento de inércia em relação a 
um eixo perpendicular ao plano que passa pela massa de 0,1 kg.
Vamos resolver juntos?
Trata-se de uma distribuição discreta de massas:
2 2
1 1 2 2I m r m r
2 2I m r m r2 21 1 2 2I m r m r1 1 2 2= × + ×1 1 2 2= × + ×1 1 2 2I m r m r= × + ×I m r m r
2 2I m r m r2 2= × + ×2 2I m r m r2 21 1 2 2I m r m r1 1 2 2= × + ×1 1 2 2I m r m r1 1 2 2
Como a distância é a mesma, tem-se:
2 2
1 2 2
2
( ) (0, 2 0,3)0,12 2( ) (0, 2 0,3)0,12 21 2 2( ) (0, 2 0,3)0,11 2 2I m m r I( ) (0, 2 0,3)0,1I m m r I( ) (0, 2 0,3)0,1
2 2( ) (0, 2 0,3)0,12 2I m m r I2 2( ) (0, 2 0,3)0,12 2
I kg m s0,005 /I kg m s0,005 /
= + × ® = + \2 2= + × ® = + \2 2( ) (0, 2 0,3)0,1= + × ® = + \( ) (0, 2 0,3)0,12 2( ) (0, 2 0,3)0,12 2= + × ® = + \2 2( ) (0, 2 0,3)0,12 21 2 2( ) (0, 2 0,3)0,11 2 2= + × ® = + \1 2 2( ) (0, 2 0,3)0,11 2 2I m m r I= + × ® = + \I m m r I( ) (0, 2 0,3)0,1I m m r I( ) (0, 2 0,3)0,1= + × ® = + \( ) (0, 2 0,3)0,1I m m r I( ) (0, 2 0,3)0,1
2 2( ) (0, 2 0,3)0,12 2I m m r I2 2( ) (0, 2 0,3)0,12 2= + × ® = + \2 2( ) (0, 2 0,3)0,12 2I m m r I2 2( ) (0, 2 0,3)0,12 21 2 2( ) (0, 2 0,3)0,11 2 2I m m r I1 2 2( ) (0, 2 0,3)0,11 2 2= + × ® = + \1 2 2( ) (0, 2 0,3)0,11 2 2I m m r I1 2 2( ) (0, 2 0,3)0,11 2 2
I kg m s= ×I kg m s0,005 /I kg m s0,005 /= ×0,005 /I kg m s0,005 /
 AGORA É A SUA VEZ 
4. Temos três hastes de massa desprezível que formam um triângulo equilátero de 
0,2 m de lado. Nos vértices do triângulo, encontram-se três pontos materiais de 
massas iguais a 0,2 kg, 0,4 kg e 0,6 kg. Calcule o momento de inércia em relação a 
um eixo perpendicular ao plano que passa pela massa de 0,2 kg.
AGORA É A SUA VEZ 
4. Temos três hastes de massa desprezível que formam um triângulo equilátero de 
0,2 m de lado. Nos vértices do triângulo, encontram-se três pontos materiais de 
massas iguais a 0,2 kg, 0,4 kg e 0,6 kg. Calcule o momento de inércia em relação a 
um eixo perpendicular ao plano que passa pela massa de 0,2 kg.
 4.10 Momento de inércia
Para prosseguirmos com o nosso estudo, é necessário entendermos o que 
significa o momento de inércia.
O momento de inércia de um corpo é a grandeza que define a resistência que o 
corpo faz ao alterar o seu estado de rotação em torno de um determinado ponto. 
Sempre se define em relação a um ponto no espaço ou a um eixo de rotação e, em 
geral, é diferente para outro ponto (ou eixo) qualquer. De fato, a rotação é sempre 
em torno de um ponto (ou de um eixo) e a resistência que o corpo põe depende 
do ponto em torno do qual se está a tentar que ele rode.
UNIUBE 147
4.10.1 Energia cinética de rotação
Para um sistema de partículas, a energia cinética total é igual à soma das ener-
gias cinéticas individuais:
21
2c i i
E m v=å
Quando uma roda está girando em torno do seu eixo, as diversas partes da roda 
se movem com velocidades diferentes, mas todas as suas partes têm a mesma 
velocidade angular. Daí, a importância da definição do momento de inércia para 
computar a energia cinética associada ao movimentode rotação de um sistema 
de partículas ou um corpo rígido.
Pode-se considerar um corpo rígido um sistema de muitas partículas cujas po-
sições relativas são constantes. Assim, o termo entre colchetes torna-se uma 
integral:
2 21
2c
E r dm w
æ ö é ù÷ç= ÷ç ê ú÷ç ë ûè ø ò
A expressão é a própria definição de momento de inércia de massa I. Então, a 
energia cinética da rotação de um corpo rígido
2
1
1
2
N
i
k w
=
=å
 4.11 Torque ( )
Antes de definirmos o que vem a ser torque, retome seus estudos sobre opera-
ções vetoriais, mais especificamente sobre produto vetorial.
Define-se o torque ( ) produzido pela força ( F

) quando ela atua sobre uma 
partícula como sendo o produto vetorial dessa força pelo vetor posição da par-
tícula.
Para melhor compreendermos a definição de torque de uma força, utilizaremos 
como análise a Figura 5, a seguir: 
148 UNIUBE
Veja que a partícula é localizada pelo vetor posição r
Figura 5: Esquema representativo 
do torque.
Um exemplo muito simples é o binário de duas forças. Nesse caso, aplicamos 
a um corpo a mesma distância (a partir de uma origem comum) duas forças de 
mesmo módulo, mas de sentidos opostos. 
Nesse caso, a força total é nula, mas a soma dos torques, não.
Podemos perceber que apenas a componente F̂ da força F é que contribui 
para o torque.
Em que:
1r
 = braço de alavanca
A unidade do torque no sistema internacional é: N . m.
 4.12 Momento angular
O momento angular de uma partícula de massa m localizada pelo vetor posição, 
que tem momento linear p e é definido como:
L r p= ×

 
UNIUBE 149
Sendo a unidade no SI igual a: 2 /m kg s×
O momento angular depende do ponto de referência escolhido. Se a referência 
for o ponto ocupado pela partícula (e a função que define o momento for contí-
nua), então o momento angular é nulo. Há também outras condições para que 
o momento angular se anule. São elas:
• a massa da partícula seja nula; 
• a velocidade da partícula seja nula; 
• a velocidade da partícula seja paralela à sua posição em relação ao ponto 
de referência.
 
Para um sistema de partículas, o momento angular em relação a um ponto de 
referência é definido como a soma do momento angular de todas as partículas em 
relação a esse ponto. Assim:
1
N
i
i
L l
=
=å


Para um sistema de partículas, o momento angular em relação a um ponto de 
referência é definido como a soma do momento angular de todas as partículas em 
relação a esse ponto. Assim:
1
N
i
i
L liL li
=
L l=L låL låL l


Em que il

é o momento angular da partícula i, e N é o número total de partícu-
las. Quando estamos tratando do momento angular total de qualquer corpo, a 
definição anterior se transforma no limite da soma, com N tendendo a infinito:
1
lim
N
iN
i
L l
®¥
=
= å


Em que, para que o limite exista, cada il

deve tender a 0. Isso é intuitivo já que 
estamos considerando pedaços de matéria cada vez menores, o que implica 
massas e momentos angulares menores. Ou seja, o momento angular de um 
corpo E é definido por:
E
L dL= ò
 
150 UNIUBE
O momento angular é excepcionalmente útil na resolução de sistemas rotacio-
nais, sejam eles formados por corpos rígidos ou por sistemas de partículas. Na 
verdade, ele é útil em todos os casos em que é constante no intevalo estudado, 
pois pode-se demonstrar que o torque resultante sobre um sistema é igual à 
taxa de variação temporal, a derivada no tempo, do momentum angular.
Conclui-se que sempre que o torque total for zero, o momento angular manter-se-á 
constante. Essa situação é mais comum do que parece, pois, usualmente, nos 
sistemas isolados, as forças que agem internamente entre os corpos geram tor-
ques que se anulam, pois tais forças são usualmente centrais (sua linha de ação 
passa pelo centro geométrico do corpo) o que faz com que os pares ação-reação 
anulem os torques.
 AGORA É A SUA VEZ 
5. Uma partícula de 0,5 kg de massa descreve uma trajetória circular de 2 m de raio, 
no sentido horário, com uma velocidade de 6 m/s. Qual é o seu momento angular?
AGORA É A SUA VEZ 
5. Uma partícula de 0,5 kg de massa descreve uma trajetória circular de 2 m de raio, 
no sentido horário, com uma velocidade de 6 m/s. Qual é o seu momento angular?
4.12.1 Conservação do momento angular
Quando consideramos um sistema de partículas, a variação do momento an-
gular total é igual ao torque externo. Se os torques aplicados às partículas ou 
a um sistema de partículas tiverem uma resultante nula, o momento angular se 
conserva, isto é, L é constante no tempo. 
0 constantedL L
dt
= Þ =


No decorrer deste capítulo, você se deparou com um conjunto de atividades 
que estão intercaladas com o texto e, agora, você tem mais uma sequên-
cia delas. Aproveite-as bem, pois serão de grande importância para a sua 
aprendizagem!
UNIUBE 151
Resumo
Atente-se para os principais conceitos abordados neste capítulo:
• Se nenhuma força externa resultante atua sobre um sistema de partículas, o 
momento linear total ( p ) do sistema não pode variar. Logo, para um sistema 
de dois pontos materiais em que as únicas forças atuantes são as de interação 
mútua, a quantidade de movimento total do sistema conserva-se ao longo do 
tempo, independentemente da forma das forças atuantes.
• Diz-se que um sistema é isolado quando não há interações entre o sistema 
e o resto do universo. Portanto, temos que “a quantidade de movimento total 
de um sistema isolado de partículas é constante”.
• Na prática, o valor do coeficiente de restituição determina o tipo de colisão 
que ocorre. Se for igual a 1, teremos uma colisão perfeitamente elástica (im-
possível de ser executada na prática). Se estiver entre zero e 1, caracterizará 
uma colisão parcialmente elástica (aquela que ocorre habitualmente). Se o 
coeficiente for igual a zero, a colisão será perfeitamente inelástica e os corpos 
permanecerão colados após o choque (situação especial).
Atividades
Atividade 1
Uma pessoa cuja massa é de 70 kg corre ao encontro de um carrinho de 30 
kg, que se desloca livremente. Para um observador fixo no solo, a pessoa se 
desloca a 3 m/s e o carrinho a 1 m/s, no mesmo sentido. Após alcançar o car-
rinho, a pessoa salta para cima dele, passando ambos a se deslocar, segundo 
o mesmo observador. Determine a velocidade estimada.
Atividade 2
Um caixa de massa 2 kg, aberta em sua parte superior, desloca-se com velo-
cidade constante de 0,40 m/s sobre um plano horizontal sem atrito. Começa, 
então, a chover intensamente na vertical. Determine a velocidade da caixa, 
quando nela estiverem armazenados 2 kg de água.
Atividade 3
João é uma pessoa muito cuidadosa e gosta das coisas boas da vida. No auge 
dos seus 90 kg resolve fazer um passeio em seu carro, cuja massa é de 810 kg, 
só que desta vez ele esquece de usar o cinto de segurança e inevitavelmente, 
152 UNIUBE
perde o controle do seu carro, que está a uma velocidade de 30 km/h e colide 
com um poste, parando bruscamente. Determine agora a velocidade com que 
João deverá ser projetado para a frente.
Atividade 4
Um corpo de massa 2 kg colide com um corpo parado, de massa 1 kg, que, 
imediatamente após a colisão, passa a mover-se com energia cinética de 2 J. 
Considera-se o choque central e perfeitamente elástico. Calcule a velocidade 
do primeiro corpo imediatamente antes da colisão.
Atividade 5
Um martelo de bate-estacas funciona levantando um corpo de pequenas dimen-
sões e de massa 70 kg acima do topo de uma estaca de massa 30 kg. Quando a 
altura do corpo acima da estaca é de 2 ms, ela afunda 0,50 m no solo. Supondo 
uma aceleração da gravidade de 10 m/s2 e considerando o choque inelástico, 
determine a força média de resistência à penetração da estaca.
Encerramos, neste momento, mais um capítulo de física, com votos de que este 
tenha contribuído para o seu crescimento acadêmico e profissional. Não temos 
a intenção de esgotar as possibilidades de aplicação dos temas abordados e 
seus correlatos, portanto, é necessário dar prosseguimento aosestudos com 
pesquisa, experimentação e aplicação. Sempre haverá algo novo e outras formas 
de resolução de problemas, além de diferentes aplicações práticas.
Cap. 1 – Introdução ao estudo da mecânica
Agora é a sua vez
1. a) 157.000: passando para forma de notação científica a.10n, temos 
que: 1,57×105
b) 0,0000038: passando para forma de notação científica a.10n, temos 
que: 3,8×10 6
c) 290×106: obedecendo a condição 1 10a≤ < , e colocando na forma de 
notação científica a.10n, temos que: 2,9×108
d) 0,008×10 2: obedecendo a condição 1 10a≤ < , e colocando na forma 
de notação científica a.10n, temos que: 8×10 5
2. a) Separando a parte inteira da parte decimal:
21,86 h = 21 h + 0,86 h
b) Transformando 0,86 h em minutos:
0,86.60 = 51,6 min;
c) Separando a parte inteira da parte decimal:
51,6 min = 51 min + 0,6 min;
d) Transformando 0,6 min em segundos:
0,6 . 60 s = 36 s; Portanto:
Referencial de respostas
154 UNIUBE
21,86 h = 21h 51 min 36 s
Agora é a sua vez
3. Dados:
Tempo inicial = 12 h
Tempo	final	=	15	h
Velocidade inicial = 0 (repouso)
Velocidade final = 20 m/s, passando a velocidade para km/h pela seguinte 
relação 20.3,6 = 72 km/h
a m = ?
Tirando os dados e aplicando a seguinte equação, temos que:
22 1
2 1
V V V 72 0 72a a 24 /
t t t 15 12 3m m
km h− ∆ −= = = = ∴ =
− ∆ −
4. SA = 60.t e SB = 450 90 t
SA = SB
60 t = 450 90.t t = 3 h
SA = 60 x 3 = 180 km
Portanto, o carro A percorre 180 km e o carro B percorre 450 – 180 = 270 km.
Agora é a sua vez
5. A velocidade da bola no topo de sua trajetória é zero (v = 0), pois é o 
ponto de inversão do movimento; sua aceleração nesse ponto é igual à 
própria aceleração da gravidade.
6. Dados:
Velocidade inicial = 50 m/s
UNIUBE 155
Aceleração da gravidade = 9,8 m/s2
Na altura máxima v = 0
a) Tempo = ?
Aplicando a seguinte relação:
0
0 50 9,8
5,10
v v g t
t
t s
= - ×
= -
=
b) altura máxima = y
2 2
0
2 2
2
0 50 2 9,8
255,1
V V g y
y
y m
= - × ×D
= - × ×D
D =
Agora é a sua vez
7. Dados:
Velocidade inicial = 100 m/s
Aceleração da gravidade = 9,8 m/s2
a) cálculo da componente horizontal pela seguinte relação:
0 0 0cos 100 0,6 60 /x xV V V m sq= × Þ = × =
cálculo da componente vertical pela seguinte relação:
0 0 0 100 0,8 80 /y yV V sen V m sq= × Þ = × =
b) cálculo do instante em que o corpo atinge a altura máxima pela seguinte 
relação; é lembrado que na altura máxima:
0
0 80 9,8
8,16
y yV V g t
t
t s
= + ×
= - ×
=
156 UNIUBE
c) cálculo da altura máxima pela seguinte relação:
2
0 0
1
2y
y y v t g t- = × + ×
652,8 326,26 326,54y y m= - \ =
Atividades do capítulo 1
Atividade 1
a) T = 5 s e a frequência, podendo ser calculada pela seguinte relação:
1 1 0,2
5
f f Hz
T
= ® = =
b) a velocidade angular, podendo ser calculada pela seguinte relação:
2 fw p= \ 2 0,2w p= × \ 0,4 /rad sw p=
c) aplicando a seguinte relação, temos que:
0,4 10 4 /
v R
v v cm s
w= ×
= × \ =
d) aplicando a seguinte relação, temos que a aceleração centrípeta:
2
ac
V
r
=
 
®
2 2
2(4 ) 16a = a /
15 15c c
cm sp p\ =
Atividade 2
Resolução:
10 6010. 50 /12 12
60
m
s kmv km h
t h
D
= = = =
D
UNIUBE 157
Atividade 3
a)
2
0
2
2
2 2
0 12 2. .24
144 48.
144 3 /
48
v v a s
a
a
a m s
= + ∆
= +
− =
= − = −
b)
2
0 0
2
2
1
2
124 0 12(1,7) . .(1,7)
2
1 324 20,4 . .3 3,6 . 2,4 /
2 2
S s V t at
a
a a a m s
= + +
= + +
= + ⇒ = ⇒ =
O tempo utilizado pelo motorista será de 
(2, 2 0,5) 1,7s− =
Atividade 4
2 2
0 0
2
1 10 0 .10.
2 2
5
s s v t gt s t
s t
= + + ⇒ = + +
=
O tempo gasto para atingir a velocidade 300 /v m s= é:
a) 10 300 10 30v t t t s= ⇒ = ⇒ =
b) ou 4,5km
158 UNIUBE
Atividade 5
Tomando como referência para a inclinação dos bocais, o solo, temos:
90º e 30ºA Bα α= =
0 0 0
0
0 0
90º
30º
2
Y
Y
A V V sen v
vB V V sen
⇒ = =
⇒ = =
Para a altura máxima: 0yV =
2
02 2 2
0 02 2 2
y
y y y máx máx
v
V V g s V gH H
g
= − ∆ ⇒ = ⇒ =
Na situação A:
2
0
2máx
vH
g
=
Na situação B:
2
0
4
2máx
v
H
g
=
Portanto, 
2
0
2 2
0 0
2 2
0 0
22 . . 4
2 2
4 4
2
máx A
máxB
v
H v v gg
v vH g g
g
= = =
UNIUBE 159
Atividade 6
0 0
0 0
0 0
0 0
cos 10º
.0,98 0,98
10º
.0,17 0,17
X
y
V V
V V
V V sen
V V
= =
=
= =
=
Funções: 
0
2
0
0
0,98
0,17 5
0,17 10y
x v t
v y v t t
v v t
=

= −
 = −
Quando 0y = , temos 7x m= . Logo:
0
2
00
7 0,98 7
0,980 0,17 5
v t
t
vv t t
= ⇒ =
= −
Substituindo:
2
0
0 0
2
0
2
0 0
7 70 0,17 . 5.
0,98 0,98
255,10 1,21
210 14,5 /
v
v v
v
v v m s
 
= −  
 
= −
⇒ 
160 UNIUBE
Atividade 7
Dados: 
10
4,0
80
R m
t s
s m
=
∆ =
∆ =
Para uma volta completa, teríamos:
2 2 .10 20
20
20 .4 80.
80 4
C R C m
m T
T T s
m s
π π π
π
π π
= ⇒ = =
→ 
= ⇒ =← 
Como a velocidade é constante, só teremos aceleração centrípeta.
2 2
2
2 2 .102 20 /
20 400 40 /
10 10cp cp
Rv fR v m s
T T
Va a m s
R
π ππ= = ⇒ = =
= ⇒ = = =
Cap. 2 – Princípios da dinâmica e estática dos pontos materiais
Agora é a sua vez
1. Dados:
velocidade inicial = 0
velocidade	final	=	72	km/h em m/s = 20 m/s 
tempo = 40 s
a) Calculando a aceleração:
0
2
20 0
0,5 /
v v t
m s
= + ⋅
= + ⋅
−
a
a 40
a=
Aplicando a segunda lei de Newton:
UNIUBE 161
5000 0,5 2500r r rF m a F F N= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

b) aplicando Torricelli, temos:
2 2 2 2
0 2 20 0 2 0,5 400xv v a x x m= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ ∆ → ∆ =
Agora é a sua vez
2. a) 60 9,83 589,8P m g N= ⋅ = ⋅ =
b) 60 9,80 588P m g N= ⋅ = ⋅ = 
Agora é a sua vez
3. Aplicando a segunda lei de Newton, e sendo o movimento uniforme, a 
resultante será nula, portanto, temos:
1500 10 750
0,05
atF F
m g Fµ
µ
µ
=
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
=
4. a) Primeiramente, vamos determinar a aceleração:
20 20 4 /
5 0
Va m s
t
D -
= = =-
D -
b) como o móvel para, a força de atrito se faz valer como a resultante, daí 
temos que:
800 4 3200at RF F m a N= = × = × = 
5. a) 10 10 100N P m g N= = ⋅ = ⋅ =
b) 
50 10 2,5
25
at
at
at
F F m a
F
F N
− = ⋅
− = ⋅
=
c) 25 10 10 0,25atF m gµ µ µ= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ → = 
162 UNIUBE
Agora é a sua vez
6. Analisando o triângulo, a seguir, e utilizando algumas relações trigono-
métricas:
Observe que: 180 20 160α α° = + °⇒ = ° 
Para o cálculo do módulo da força resultante, vamos usar a lei dos cos-
senos:
( )2 2 2200 300 2 200 300 cos 160 492,71R R N= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒ =
Para o cálculo da direção da resultante, vamos usar a lei dos senos:
( )
492,71 300 12,02
(160 )sen sen
β
β
= ⇒ = °
°
Logo, a direção da resultante com a horizontal vale: 
12,52 17 29,52° + ° = °
UNIUBE 163
Agora é a sua vez
7.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
:
cos 200 cos 17 191,26
s 200 s 17 58,47
:
cos 300 cos 37 239,59
s 300 s 37 180,54
Força 
Força 
x x x
y y y
x x x
y y y
F
F F F F N
F F en F en F N
F
F F F F N
F F en F en F N
θ
θ
θ
θ
= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =
= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =
= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =
= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =


A resultante das forças nos eixos x e y valem, respectivamente:
191,26 239,59 430,85 58,47 180,54 239,01 . e x yR N R N= + = = + =
O módulo e a direção da força resultante valem:
2 2 2 2 2430,85 239,01 492,70x yR R R R N= + ⇒ = + =
A direção da força resultante vale:
( ) ( )239,01 0,5547 29,52
430,85
y
x
R
tg tg
R
θ θ θ= = = = ⇒ = °
164 UNIUBE
Agora é a sua vez
8.
( ) ( )1300 130072,90 40,91
400 1500
70 9,8 686
 e é a força e vale:tg tg W
W mg N
α α β β= ⇒ = ° = ⇒ = °
= = ⋅ =
Aplicando as equações (9) e (10), temos:
( )
( )
0 cos(40,91 ) cos 72,90 0
0 s (72,90 ) s 40,91 0
x
y
F BC AC
F AC en BC en W
= ⇒ ⋅ ° − ⋅ ° =
= ⇒ ⋅ ° − ⋅ ° − =
∑
∑
Resolvendo o sistema, temos: 220,48 566,67 e AC N BC N= =
Agora é a sua vez
9. Calculando	o	valor	de	θy pela equação:
( ) ( )260 300 60,07h y y yF F sen senθ θ θ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = °
Logo, calcula-se xF

, yF

 e zF

, uma vez que 30j= 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
cos 300 60,07 cos 30 225,17
300 60,07 149,68
s 300 60,07 s 30 130
x y x x
y y y y
z y z z
F F sen F sen F N
F F cos F cos F N
F F sen en F sen en FN
θ ϕ
θ
θ ϕ
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⋅ ° ⇒ =
= ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⇒ =
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ° ⋅ ° ⇒ =
UNIUBE 165
10. Primeiramente, devemos definir a origem dos eixos cartesianos para 
encontrarmos as distâncias dx, dy e dz. Escolhendo o ponto onde o cabo 
toca o solo, temos:
Sendo assim, temos: dx = – 50 m, dy = 120 m e dz = 25 m. O valor corres-
pondente de d vale:
( )22 2 2 2 2 2 250 120 25 132,38x y zd d d d d d m= + + ⇒ = − + + ⇒ =
Calculando o valor de l

( ) ( )1 1 50 120 25132,38
0,378 0,906 0,189
x y zd i d j d k i j kd
i j k
λ λ
λ
= + + ⇒ = − + +
= − + +
       
   
Calculando o valor de F

( )5000 0,378 0,906 0,189
1888,47 4532,34 944,24
F F F i j k
F i j k
λ= ⋅ ⇒ = ⋅ − + +
= − + +
     
   
Logo, temos:
1888,47
4532,34
944,24
x
y
z
F N
F N
F N
= −
=
=
166 UNIUBE
Os correspondentes ângulos valem:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
cos 1888,47 5000 cos 112,19
cos 4532,34 5000 cos 24,98
cos 944,24 5000 cos 79,11
x x x
y y y
z z z z
F F
F F
F F
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
= ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ = °
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = °
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = °
Atividades do capítulo 2
Atividade 1
A ação e reação são forças que são aplicadas em corpos diferentes e, 
portanto, não há razão para falar em resultante.
Atividade 2
Jogar a mochila na direção do ônibus, mas em sentido oposto.
Atividade 3
Não. Pois a reação do apoio não é a reação da força peso.
Atividade 4
Observe o esquema a seguir.
neF

 = força normal de apoio, sobre o eletroímã.
mF

 = força magnética.
UNIUBE 167
peF

 = força peso do eletroímã.
nbF

 = força normal de apoio, sobre a base.
pbF

 = força peso da base.
b) A “engenhoca” não sairia do chão, pois a resultante das forças que 
atuam na mesma é nula.
Atividade 5
O plano inclinado possui uma secção transversal, que é um triângulo re-
tângulo de hipotenusa 50 cm e cateto 30 cm. O outro cateto, por Pitágoras, 
deve ser de 40 cm. 
( ) ( ) 0
cos 0
30 0,75
cos 40
P x F atrito
m g sen g
sen tg
a m a
a
m a
a
- =
× × - × × =
= = = =
Atividade 6
Com ou sem atrito, o movimento será uniformemente variado, valendo:
( )2 2
0 0 0
2
2 2
xt tX X V X X tg g
g
é ù×Dê ú= + + × Þ - = × Þ = ê ú
ë û
Tempo de movimento:
com atrito = Ta
sem atrito = T 
Pelo enunciado:
Ta = 2T
( ) ( )2 / 2 2 /
1/ 4 1/
4
x a x
a
a
g g
g g
g g
é ù é ù×D = ×Dë û ë û
= ×
=
168 UNIUBE
cálculo de g sem atrito:
 
cálculo de g com atrito:
Como g = 4g a, temos:
Atividade 7
a)
Em que N e F são, respectivamente, as componentes vertical e horizontal 
da força R que o chão da caçamba exerce sobre a caixa.
b)
2 2 2
0 2 0; 20 2 100;
400 / 200 2 /
a ; a
a=
v v x v
m s
= + ∆ = = − ⋅ ⋅
= −
UNIUBE 169
Caso a caixa não deslize, a força será máxima e igual à massa da caixa 
vezes a aceleração do caminhão.
|F| (máxima) = 30.2 = 60N, logo |F| £ 60N na direção e sentido da ace-
leração do caminhão.
Atividade 8
Observe as figuras a seguir.
b)
Atividade 9
a) Sobre o bloco atuam: 
Como P = – N, então Fr = fat
( )
3
3000 3
9000 9,0 10
r
r at
F m
F N N f
γ= ⋅ = ⋅
= = ⋅ ⋅ =
170 UNIUBE
A carroceria do caminhão aplica sobre o corpo 2 forças: a fat e a N que, na 
verdade, são componentes da força de contato entre eles.
Daí, temos:
( ) ( )
2 2 2
2 24 3 8 6 43 10 9 10 9 10 81 10 10
c Fat
c
F N F
F N
= +
é ù= × + × = × + × @ê úë û
b) 
Atividade 10
Na direção horizontal
T1 sen30° = T2.sen60°==> T1 = T2.( 3 )
Na direção vertical
T1 cos30° + T2.cos60° = 6.10
T1 ( 3 ) + T2 = 120
T2.( 3 ). ( 3 ) + T2 = 120 
T2 = 30N e T1 = 30( 3 )N
Atividade 11
As nádegas representam uma concentração de massa e, consequente-
mente, levam o centro de gravidade mais para trás, para perto da coluna. 
Desta forma, o equilíbrio é conseguido com uma posição mais ereta do 
que aquela manifestada pelos nossos “primos” símios.
UNIUBE 171
Cap. 3 – Trabalho e energia
Agora é a sua vez
1. a) Energia cinética
b) 21
2
Ec mv=
c) Joule (J)
2. m = 4 kg
v = 15 m/s
?cE =
2 24 15 2 225 450
2 2c
m vE J× ×= = = × =
Agora é a sua vez
3. F = 20 N
∆x = 5 m
w = ?
20 5 100w F x J= ×D = × =
4.		∆x = 4 m
F = 5 N
5 4 20Cw E F x J=D = ×D = × =
Atividades do capítulo 3
Atividade 1
k = 100 N/m
172 UNIUBE
x = 0,4m
a) F = ?
100 04 40F k x N= × = × =
b) Ep = ?
2 21 1100 (0,4) 8
2 2p
E k x J= × = × =
Atividade 2
m = 0,5 kg
h = 2 m
g = 10 m / s2
0,5 10 2 10pE m g h J= × × = × × =
Atividade 3
Não. Força é o agente capaz de alterar movimento. Energia é aquilo que 
habilita a realização de trabalho.
Atividade 4
a) O tempo corresponde a (15 10) 0,5
10
vt s
g
D -
D = = =
b) 
2 20,1 (15) 11,3
2 2c
m vE J× ×= = =
c) 2 20
2 2
2
üüüüü
20 125
6,25
v v g h
h
h
h m
= + × ×
= + × ×
=
=
UNIUBE 173
Atividade 5
a) 6,0 . 10 3J
b) Considerando o ponto inicial A (altura de 53 metros em relação ao solo), 
e o ponto mais próximo do solo B (altura de 2 metros em relação ao solo), 
sendo desprezível todo tipo de atrito envolvido no movimento, não existe 
variação de energia mecânica:
EmA = EmB
M.g.hA = M.VB 2/2 + M.g.hB
M.g.(hA – hB) = M.VB 2/2
2.g.(hA – hB) = VB 2/2
32 /BV m s@
A velocidade independe da massa, o grupo de três pessoas passaria em 
B com velocidade igual à da pessoa solitária.
Atividade 6
k = 200 N/m
x = 0,2 m
a) F = ?
200 0,2 40F k x N= × = × =
b) Ep = ?
21 1 200 0,2 20
2 2p
E k x J= × = × × =
Atividade 7
F	=	20N									∆s = 2m
W = ?
20 2 40w F x J= ×D = × =
174 UNIUBE
Atividade 8
a) Aquilo que permite a realização de trabalho.
b) Em cinética e potencial.
Atividade 9
V, V, V.
Cap. 4 – Sistemas de partículas, torque e movimento rotacional 
Agora é a sua vez
1. Trata-se de uma distribuição discreta a duas dimensões, pelo que temos 
para a primeira coordenada:
1 1 2 2
1 2
50 3 80 6 4,85
50 80cm cm
m x m xx x m
m m
× + × × + ×
= ® = =
+ +
e para a segunda coordenada:
1 1 2 2
1 2
50 4 80 4 y 4
50 80cm cm
m y m yy m
m m
× + × × + ×
= ® = =
+ +
Agora é a sua vez
2. a) Cálculo da quantidade de momento linear inicial:
01 3 3 /p m v p p kg m s= × ® = × \ = ×
 
Cálculo da quantidade de momento linear final:
1 8 8 /fp m v p p kg m s= × ® = × \ = ×
 
b) Cálculo da intensidade do impulso:
Como o impulso é igual à variação da quantidade de movimento, temos que:
0 8 3 5fI p I p p I I N s=D ® = - ® = - \ = ×
 
  
UNIUBE 175
c) Cálculo da intensidade da força pela seguinte equação:
5 5
1
I F t F F N= ×D ® = \ =
 
Agora é a sua vez
3. a) Utilizando a seguinte equação, podemos achar a velocidade escalar:
2 10 20 /v r v v m sw= × ® = × \ =
b) Utilizando a equação da aceleração centrípeta mostrada no primeiro 
roteiro de física, podemos calcular o valor da aceleração centrípeta: 
2 2
220 200 /
2c c c
va a a m s
r
= ® = \ =
Agora é a sua vez 
4. Trata-se de uma distribuição discreta de massas:
2 2
1 1 2 2I m r m r= × + ×
Como a distância é a mesma, tem-se:
2 2 2
1 2( ) (0, 4 0,6)0,2 0,04I m m r I I kg m= + ® = + \ = ×
Agora é a sua vez 
5. Calculamos seu momento angular pela seguinte relação:
20,5 2 6 6 /L r p L m r v L L kg m s= × ® = × × ® = × × \ = ×

 
176 UNIUBE
Atividades do capítulo 4
Atividade 1
( )
70 3 30 1 (70 30)
2, 4 /
i f
P p c c P c
Q Q
m v m v m m v
v
v m s
=
× + × = + ×
× + × = + ×
=
Atividade 2
( )
( )
2 0,4 0,2 /
2 2
i f
c c a c
c
c
a c
Q Q
m v m m v
mv v
m m
v v m s
=
× = + ×
= ×
+
= × \ =
+
Atividade 3
0
0
( )
( )
90 810 30 300 /
90
final inicial
J J c
p c
p
Q Q
m v m m v
m m
v v
m
v v km h
=
× = + ×
+
= ×
+
= × \ =
Atividade 4
Cálculo de 
'
Bv :
' ' 2
'
1 1( ) 2 1 ( )
2 2
2 /
cB B B
B
E m v v
v m s
= ® = × ×
=
Como o choque é perfeitamente elástico, temos:
UNIUBE 177
f iQ Q=
' '
'
'
2 0 2 1 2
1 (a)
A A B B A A B B
A A
A A
cf ci
m v m v m v m v
v v
v v
E E
× + × = × + ×
× + = + ×
= +
=
(1)
' 2 ' 2 2 2
' 2 ' 2 2
' 2 2
' 2 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2( ) 1 ( ) 2 1 0
2( ) 4 2
( ) 2 (b)
A A B B A A B B
A B A
A A
A A
m v m v m v m v
v v v
v v
v v
+ Þ+
+ × = + ×
+ =
+ = (2)
Substituindo (1) em (2), temos:
2 2 2 2( 1) 2 2 1 2
1,5 /
A A A A A
A
v v v v v
v m s
- + = Þ - + + =
=
Atividade 5
2
0
2
0 0
0
2
2 2 10 2
2 10 /
A Bm m A
A
MvE E Mgh
v gh v
v m s
= Þ =
= Þ = × ×
=
Seja v a velocidade do sistema martelo bate-estacas logo após o choque:
0( )
üüüüü
1,4 10 /
f iQ Q
m M v Mv
v
v m s
=
+ =
+ = × \
=
178 UNIUBE
Seja F a força média de resistência à penetração da estaca, logo:
(sendo o movimento para baixo)
- ( )
( ) ( )
( ) ( ) (a)
P F m M a
m M g F m M a
F m M g a
= +
+ - = +
= + × + (1)
A aceleração do conjunto é dada por:
2 2 2
2
2 0 (1,4 10) 2 0,5
19,6 /
f iv v a x a
a m s
= + × ×D Þ = + × × \
=-
Da equação (1), temos:
(30 70) (10 19,6)
2960
F
F N
= + × + \
=
Anotações
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Anotações
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