Fisica - UNIUBE

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Valdir Barbosa da Silva Júnior
Welington Mrad Joaquim
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo
Robson Humberto Rosa
Física, volume 1
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
F539 Física, volume 1 / Valdir Barbosa da Silva Júnior ... [et al.]. – 
 Uberaba : Universidade de Uberaba, 2018. 
 192 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
	 							Inclui	bibliografia																					
 ISBN 978-85-7777-777-8
 
 1. Física. 2. Mecânica. 3. Cinemática. I. Silva Júnior, Valdir 
 Barbosa da. II. Universidade de Uberaba. Programa de Educação a 
 Distância. III. Título. 
 CDD 530
© 2018 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico 
ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de 
armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, 
da Universidade de Uberaba.
Universidade de Uberaba
Reitor
Marcelo Palmério
Pró-Reitor de Educação a Distância
Fernando César Marra e Silva
Coordenação de Graduação a Distância
Sílvia Denise dos Santos Bisinotto
Editoração e Arte
Produção de Materiais Didáticos-Uniube
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Sobre os autores
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo
Doutorado em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Campinas (Uni-
camp); mestrado em Engenharia Civil pela mesma instituição; graduado em 
Engenharia Civil pela Universidade de Uberaba (Uniube). Professor adjunto 
do curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Triângulo Mineiro 
(UFTM).
Robson Humberto Rosa
Graduado em Física pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU). Professor 
de Física no ensino superior da Faculdade Talentos Humanos, nos cursos de 
Engenharia.
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Especialista em ensino de Física e em docência do ensino superior pela Univer-
sidade do Oeste Paulista. Licenciado em Ciências Físicas. Docente no ensino 
médio, desde 1995, em escola da rede privada. Docente nos cursos de gradua-
ção em Engenharia e Tecnologia em Produção Sucroalcooleira, da Universidade 
de Uberaba (Uniube).
Welington Mrad Joaquim
Graduado e licenciado em Física pela Fundação Educacional de Barretos. Es-
pecialista em Ensino de Física pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU). 
Professor do curso de Gestão em Agronegócios da Universidade de Uberaba 
(Uniube). Professor do Colégio Nossa Senhora das Dores, do Colégio Nossa 
Senhora das Graças e do curso de Engenharia Civil do Centro de Ensino Su-
perior de Uberaba (Cesube).
Sumário
Apresentação ................................................................................................. XI
Capítulo 1 Introdução ao estudo da mecânica ...............................................1
1.1 A física e suas divisões ............................................................................... 3
1.2 Grandeza física e principais unidades de medida .................................................4
1.2.1 Notação científica ............................................................................... 8
1.3 Cinemática ................................................................................................................10
1.3.1 Movimento e repouso .........................................................................................10
1.3.2 Partícula (ponto material) ...................................................................................11
1.3.3 Posição e deslocamento ....................................................................................11
1.3.4 Velocidade média e velocidade escalar média ..................................................12
1.3.5 Velocidade instantânea ......................................................................................13
1.4 Aceleração instantânea e aceleração média ............................................................15
1.4.1 Classificação dos movimentos ...........................................................................16
1.4.2 Movimento com aceleração constante ...............................................................19
1.5 Movimento na vertical ...............................................................................................22
1.6 Introdução ao estudo dos vetores ............................................................................24
1.6.1 As grandezas físicas .........................................................................................25
1.6.2 Componentes de vetor .......................................................................................25
1.6.3 Vetor velocidade e vetor aceleração ..................................................................26
1.7 Lançamento horizontal .............................................................................................29
1.8 Lançamento oblíquo .................................................................................................31
1.9 Movimento circular uniforme (MCU) .........................................................................33
Capítulo 2 Princípios da dinâmica e estática dos pontos materiais ..........45
2.1 Força e energia .........................................................................................................46
2.2 Introdução ao estudo da dinâmica ............................................................................47
VI UNIUBE
2.2.1 Força resultante ................................................................................................49
2.2.2 Equilíbrio ............................................................................................................50
2.3 As leis de Newton .....................................................................................................50
2.3.1 Primeira lei de Newton .......................................................................................50
2.3.2 Segunda lei de Newton ......................................................................................52
2.3.3 Terceira lei de Newton ........................................................................................52
2.4 Força peso ( P

) ........................................................................................................55
2.5 Força normal ( N

) ....................................................................................................57
2.6 Força de tração (T

) .................................................................................................58
2.7 Força elástica ( eF

) ...................................................................................................58
2.8 Força de atrito ( atF ) .................................................................................................60
2.9 Estática dos pontos materiais .............................................................................64
2.10 Forças no plano ........................................................................................................65
2.10.1 Lei do paralelogramo ........................................................................................65
2.10.2 Componentes cartesianas de uma força ..........................................................68
2.11 Equilíbrio de um ponto material ................................................................................71
2.11.1 Forças no espaço .............................................................................................74
2.12 Equilíbrio de um ponto material no espaço ..............................................................80Capítulo 3 Trabalho e energia .......................................................................89
3.1 Trabalho de uma força ..............................................................................................90
3.2 Movimento em uma dimensão com força variável ...................................................92
3.3 Trabalho da força elástica .........................................................................................93
3.4 Potência ....................................................................................................................94
3.5 A energia no cotidiano ..............................................................................................96
3.5.1 Energia solar ......................................................................................................98
3.5.2 Energia nuclear ...............................................................................................99
3.5.3 Energia eólica ...................................................................................................101
3.5.4 Energia mecânica ............................................................................................102
3.6 Princípio da conservação da energia .....................................................................103
3.7 Energia cinética ......................................................................................................104
3.8 Teorema da energia cinética ...................................................................................106
3.8.1 Trabalho de uma força constante .....................................................................106
3.9 Energia potencial ...................................................................................................110
UNIUBE VII
3.9.1 Energia potencial gravitacional ........................................................................110
3.9.2 Energia potencial elástica ................................................................................112
Capítulo 4 Sistemas de partículas, torque e movimento rotacional ..........123
4.1 Sistema de partículas .............................................................................................124
4.2 Centro de massa e centro de gravidade .................................................................125
4.3 Posição do centro de massa de um sistema de partículas ....................................128
4.3.1 Sistema de partículas com uma dimensão ......................................................128
4.3.2 Sistema de partículas com duas dimensões ....................................................129
4.4 A segunda lei de Newton para um sistema de partículas .......................................130
4.5 Momento linear e impulso .......................................................................................131
4.5.1 Momento linear ou quantidade de movimento de uma partícula ( p ) ..............131
4.5.2 Impulso .............................................................................................................132
4.5.3 Teorema do impulso .........................................................................................133
4.6 Colisões ..................................................................................................................136
4.7 Momento e energia cinética em colisões ................................................................137
4.8 Conservação da quantidade de movimento ...........................................................139
4.8.1 Coeficiente de restituição .................................................................................139
4.8.2 Velocidade relativa ...........................................................................................140
4.9 Movimento rotacional ..............................................................................................141
4.9.1 Posição angular ................................................................................................141
4.9.2 Deslocamento angular .....................................................................................142
4.9.3 Velocidade angular ...........................................................................................143
4.9.4 Aceleração angular ...........................................................................................143
4.9.5 Relação entre velocidade linear e angular .......................................................144
4.9.6 Energia cinética de rotação ..............................................................................145
4.10 Momento de inércia ................................................................................................146
4.10.1 Energia cinética de rotação ............................................................................147
4.11 Torque ( ) .................................................................................................................147
4.12 Momento angular.....................................................................................................148
4.12.1 Conservação do momento angular ................................................................150
Referencial de respostas ............................................................................153
Apresentação
A Física é, talvez, entre as ciências exatas, a que mais faz parte da vida do homem. 
Com o desenvolvimento tecnológico recente, a física objetiva descrever como ocor-
rem os fenômenos naturais, com hipóteses, teses, experimentos e teorias. Assim, 
podemos descrevê-la como o ramo da ciência que, juntamente com a matemática, 
a biologia e a química, procura explicar os fenômenos que ocorrem na natureza 
pela experimentação e elaboração de conceitos e teorias. Na física, portanto, 
analisam-se os movimentos dos corpos, as trocas de energia entre sistemas, a 
propagação da luz e muitos outros fenômenos. 
A física moderna é relativamente lembrada quando falamos de mecânica quân-
tica e a teoria da relatividade, assim como as novas descobertas do dia a dia, 
pois são teorias surgidas no começo do século XX. Representada por Max 
Planck e Einstein, a mecânica quântica teve sua ascensão quando resolvido o 
problema da radiação do corpo negro. Já Maxwell, comprovou a teoria clássica 
do eletromagnetismo. 
A física clássica, estudada nos cursos de ensino médio e nos anos iniciais dos 
cursos superiores, costuma ser dividida em cinco grandes grupos: a mecânica; 
a termodinâmica; a óptica; a ondulatória e a eletricidade. Nela, são citados gran-
des nomes de pesquisadores, como Johannes Kepler, que formulou as três leis 
da mecânica celeste; Christiaan Huygens, descobridor dos anéis de Saturno; e 
Simon Stevin, que desenvolveu grandes teorias na estática e hidrostática. Te-
mos, ainda, Galileu Galilei, considerado o pai da física por inúmeras definições 
e conceitos, e Isaac Newton, o cientista inglês mais conhecido como físico e 
matemático.
Este livro faz parte da nossa coleção de física, que compreende a mecânica. 
A elaboração dos livros desta coleção teve por meta oferecer a você um ins-
trumento de trabalho simples, dinâmico e adaptado à realidade do ensino em 
nosso país. 
X UNIUBE
No primeiro capítulo, é abordada a cinemática, buscando-se o entendimento 
dos movimentos relacionados ao ponto material, estudo que é reforçado com 
uma série de exercícios. 
Tendo você compreendido os conceitos abordados no Capítulo 1, a sequência 
de estudos se tornará mais fácil e prazerosa no Capítulo 2, uma vez que, agora, 
é abordado o movimento dos corpos e as causas que os relacionam. Antes 
não nos preocupávamos com o que fazia o corpo se movimentar, somente nos 
interessava o seu movimento. 
O Capítulo 3 trata da energia, que é um dos conceitos essenciais da física e 
pode ser encontrado em todas as suas disciplinas, assim como em outras, par-
ticularmente na química. 
No quarto e último capítulo, são abordadosos sistemas de partículas, o torque 
e o movimento rotacional. Você, com certeza, já deve ter se perguntado a res-
peito do motivo de a maçaneta da porta ser posta o mais distante possível da 
dobradiça e sobre como aplicar diversas forças em variadas direções mantendo 
o corpo em equilíbrio.
Enfim, procuramos oferecer, no início de cada capítulo, uma sólida base teórica, 
para que você tenha uma visão geral do assunto. Esta é, com certeza, uma 
etapa muito importante do seu processo de aprendizagem, considerando não só 
o estudo da física como também o conjunto das disciplinas que correspondem 
ao estágio atual de sua jornada acadêmica.
Valdir Barbosa da Silva Júnior /
Welington Mrad Joaquim
Introdução
Desejamos que você inicie, com entusiasmo, mais um ciclo de sua 
formação acadêmica e profissional, e aprenda, nesse trajeto, a geren-
ciar o seu tempo, dispondo -se a estar cada vez mais preparado para o 
aprendizado que deverá ser constante.
Esse é um tempo para desenvolver novas habilidades, visando sua 
formação profissional. Pensando nisso, foi que elaboramos este livro, 
a fim de lhe possibilitar um ganho no que se refere à construção de 
conhecimentos de física.
A física dentro das ciências exatas é a que mais faz parte da vida do 
homem. Ela está presente quando andamos, falamos, pegamos algum 
objeto. A gravidade, por sua vez, está presente na Terra e há inúmeras 
formas de representá -la.
Durante o estudo da física, percebemos uma forte presença da mate-
mática, mas não há limitação em termos de números e equações, pois 
a física engloba todo o universo, desde uma partícula que compõe um 
átomo até a imensidão do universo.
Neste primeiro capítulo, iremos abordar, dentro da mecânica, a cinemá-
tica, que se refere ao movimento dos corpos. Você terá a oportunidade 
de revisar vários conceitos da física, principalmente aqueles relaciona-
dos à cinemática. Eles serão importantes para o entendimento de outros 
conteúdos da física que você estudará ao longo de seu curso.
No decorrer do capítulo, estão propostas algumas atividades para que 
você possa praticar os conceitos trabalhados. Recomendamos a você 
Introdução ao 
estudo da mecânica
Capítulo
1
2 UNIUBE
que faça as atividades antes de conferir o referencial de respostas. É 
preciso que você desenvolva seu método de raciocinar a partir da re-
solução que oferecemos para os exercícios.
É com o objetivo de descobrir novidades e vencer desafios que iremos 
iniciar o estudo da física. Não temos a intenção de esgotar o assunto 
apresentado aqui, mas, sim, procurar motivá -lo para a construção de 
conhecimentos.
Bons estudos!
Objetivos
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que você 
esteja apto(a) a:
• utilizar as unidades de medidas das grandezas físicas, de acordo 
com o Sistema Internacional de Unidades;
• identificar os algarismos mais significativos nos seus cálculos;
• conhecer e identificar os princípios fundamentais da mecânica;
• conceituar e calcular deslocamento, velocidade média instantâ-
nea e aceleração média e instantânea;
• descrever o movimento retilíneo em termos de velocidade média 
e instantânea;
• solucionar problemas relacionados ao movimento retilíneo com 
aceleração constante, incluindo questões de queda livre.
Esquema
1.1 A física e suas divisões
1.2 Grandeza física e principais unidades de medida
1.2.1 Notação científica
1.3 Cinemática
1.3.1 Movimento e repouso
1.3.2 Partícula (ponto material)
1.3.3 Posição e deslocamento
1.3. 4 Velocidade média e velocidade escalar média
1.3. 5 Velocidade instantânea
1.4 Aceleração instantânea e aceleração média
1.4.1 Classificação dos movimentos
UNIUBE 3
1.4.2 Movimento com aceleração constante
 1.4.2.1 Uma outra visão
1.5 Movimento na bertical
1.6 Introdução ao estudo dos vetores
1.6.1 As grandezas físicas
1.6.2 Componentes de vetor
1.6.3 Vetor velocidade e vetor aceleração
 1.6.3.1 Vetor velocidade
 1.6.3.2 Vetor aceleração
1.7 Lançamento horizontal
1.8 Lançamento oblíquo
1.9 Movimento circular uniforme (MCU)
Resumo
Atividades
 1.1 A física e suas divisões 
A física assistida no nível superior não possui uma área de atuação específica, 
pois se pretende formar profissionais versáteis o suficiente para resolverem 
problemas atuais por meio de uma abordagem interdisciplinar.
 
Mas o que é física?
Física: é a ciência que estuda as leis naturais (do grego physikê),	a	fim	de	favorecer	
o homem em seu trabalho relativo às leis que regem os fenômenos da natureza.
Mas o que é física?
Física: é a ciência que estuda as leis naturais (do grego physikê),	a	fim	de	favorecer	
o homem em seu trabalho relativo às leis que regem os fenômenos da natureza.
As leis ou os princípios físicos, frequentemente, são expressos por relações ma-
temáticas entre grandezas físicas presentes em um determinado fenômeno.
Ao abordarmos o estudo da física, precisamos antes, compreender suas divi-
sões:
• Mecânica: estuda os movimentos e está subdividida em cinemática, dinâmica, 
estática, gravitação e hidrostática.
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• Termologia: estuda os fenômenos térmicos e está subdividida em termome-
tria, calorimetria, termodinâmica, estudo dos gases e estudo das dilatações 
térmicas.
• Óptica: estuda os fenômenos luminosos, sendo subdividida em óptica geo-
métrica e óptica física.
• Ondulatória: estuda os fenômenos envolvendo as ondas.
• Eletricidade: estuda os fenômenos elétricos, sendo dividida em eletrostática, 
eletrodinâmica e eletromagnetismo.
• Física moderna: estuda um conjunto de teorias, principiando a mecânica 
quântica e a teoria da relatividade, bem como todas as teorias posteriores.
 1.2 Grandeza física e principais unidades de medida
Na física, uma grandeza ou quantidade é o conceito que descreve qualitativa e 
quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da 
natureza (no seu sentido mais amplo), daí sua importância nesta parte inicial 
do nosso estudo. 
Uma grandeza descreve qualitativamente um conceito porque para cada noção 
diferente pode haver (pelo menos em princípio) uma grandeza diferente e vice-
-versa.
Podemos classificar as grandezas da seguinte forma:
• Grandezas escalares: são completamente definidas quando são especificados 
o seu módulo e a sua unidade de medida, por exemplo: tempo, temperatura, 
área e volume.
• Grandezas vetoriais: são aquelas que, para serem caracterizadas, necessitam 
de um número e uma unidade (valor algebraico), direção e sentido.
• Grandezas fundamentais: são as grandezas ditas primitivas, de que não 
dependem de outras para serem definidas. Exemplos: massa, tempo, com-
primento.
• Grandezas derivadas: são definidas por relação entre as grandezas funda-
mentais. Exemplos: velocidade, força, potência.
UNIUBE 5
 IMPORTANTE! 
Grandeza física: algo suscetível de ser comparado e medido.
Como exemplo, temos: tempo, comprimento, massa etc.
 IMPORTANTE! 
Grandeza física: algo suscetível de ser comparado e medido.
Como exemplo, temos: tempo, comprimento, massa etc.
De acordo com o SI (Sistema Internacional), há sete unidades fundamentais, 
cada qual correspondendo a uma grandeza (Quadro 1):
Quadro 1: Unidades fundamentais do Sistema Internacional (SI).
Nome Símbolo Grandeza
metro m Comprimento
quilograma kg Massa
segundo s Tempo
ampére A Intensidade de corrente 
elétrica
Kelvin K Temperatura
Mol mol Quantidade de matéria
Candela cd Intensidade luminosa
 SAIBA MAIS 
A variedade das unidades de determinada grandeza se deve às unidades de base. 
Com as relações específicas, temos, a partir das unidades de base, as unidades 
derivadas.
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
A variedade das unidades de determinada grandeza se deve às unidades de base. 
Com as relações específicas, temos, a partir das unidades de base, as unidades 
derivadas.
Por exemplo: a unidade de medida da velocidade é m/s, sendo esta uma unidade 
derivada do comprimento (m) por tempo (s). Veja a representação:
/m m s
s
=
sv
t
∆
= =
∆
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A seguir, abordaremos algumas unidades bastanteutilizadas no nosso dia a dia.
• Algumas unidades de comprimento
1 m = 100 cm = 1000 mm
1 km = 1000 m = 0,6214 mi (milhas)
1 cm = 0,3937 pol
1 mi = 5280 pés = 1,609 km
• Algumas unidades de tempo
1 min = 60 s
1 h = 3600 s
1 dia = 24 h = 86400 s
1 ano = 365,24 dias = 3,156 . 107 s
• Algumas unidades de massa
1 kg = 1000 g = 103 g 
1 ton (tonelada) = 1000 g = 103 kg
1 libra = 453,59237 g
• As principais unidades de velocidade
1 m/s = 3,281 pés/s
1 pé/s = 0,3048 m/s
1 mi/min = 60 mi/h
1 km/h = 0,6214 mi/h
Sendo que no sistema internacional (SI), temos: m/s.
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A unidade usual é km/h, portanto vale lembrar a observação, a seguir:
1000 11
36000 3,6
km m m
h s s
= =
Deste modo, chegamos à seguinte conclusão: 
dividir por 3,6
multiplicar por 3,6
km/h m/s
 EXEMPLIFICANDO! 
1 – Transformações de unidades:
a) 3,45 min em segundos. 
Resolução:
Separando a parte inteira da decimal, 3,45 min = 3min + 0,45 min, temos que:
0,45 min × 60 = 27 s
Transformando 3 min em segundos:
3 minutos × 60 = 180 s
3,45 min = 27 + 180 = 207 s
b) 250 g em kg. 
Resolução:
1 1000
250
250 0,25
1000
kg g
x g
x x kg
®
®
= \ =
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c) Quantas horas, minutos e segundos há em 17,52 h?
Resolução: 
Separando -se a parte inteira da parte decimal, temos:
17,52 h = 17 h + 0,52 h;
transformando 0,52 h em minutos:
0,52 × 60 min = 31,2 min;
separando -se a parte inteira da parte decimal 
31,2 min = 31 min + 0,2 min;
transformando 0,2 min em segundos:
0,2 × 60 s = 12 s;
17 h 31 min 12 s = 17,52 h
1.2.1 Notação científica
É todo número escrito na forma, em que n é um numero inteiro.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos nem sempre é tarefa das 
mais fáceis. A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente 
extensos foi do matemático e filósofo grego Arquimedes, que foi descrito em sua obra 
O contador de areia, onde desenvolveu um método de representação numérica para 
estimar quantos grãos de areia existiam no universo.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos nem sempre é tarefa das 
mais fáceis. A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente 
extensos foi do matemático e filósofo grego Arquimedes, que foi descrito em sua obra 
O contador de areia, onde desenvolveu um método de representação numérica para 
estimar quantos grãos de areia existiam no universo.
Observe algumas exemplificações:
São dados dois números:
• um muito grande (300.000.000.000.000.000) = 3 × 1017
• um muito pequeno (0,000.000.000.000.015) = 1,5 × 10 -14
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A condição para colocarmos um número em notação científica é: 1 10a≤ <
Logo, 
(300.000.000.000.000.000) = 3×1017
(0,000.000.000.000.015) = 1,5×10 -14
Podemos concluir que a notação científica é muito útil na representação de 
números pequenos ou muito grandes.
 EXEMPLIFICANDO! 
2 – Escreva os números seguintes em notação científica: 
a) 876.000.000
b) 0,000.051
Agora, acompanhe nossa resolução.
a) Para escrever em notação científica, a vírgula é colocada entre os algarismos 8 e 
7, resultando 8 casas decimais:
876.000.000 = 8,76×10n → 8,76×108
b) A vírgula é grafada entre 5 e 1, deslocando se, então, 5 casas para a direita:
0,000.051 = 5,1×10n → 5,1×10 -5
Agora, realize a atividade, a seguir, tendo como base os exemplos anteriores:
 AGORA É A SUA VEZ 
1. Escreva em notação científica os seguintes números:
a) 876.000 b) 0,000.51 c) 122,5.108 d) 0,000.000.4.10 –8
2. Quantas horas, minutos e segundos há em 21,86 h?
AGORA É A SUA VEZ 
1. Escreva em notação científica os seguintes números:
a) 876.000 b) 0,000.51 c) 122,5.108 d) 0,000.000.4.10 –8
2. Quantas horas, minutos e segundos há em 21,86 h?
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 1.3 Cinemática
 
Você sabe o que significa cinemática?Você sabe o que significa cinemática?
Cinemática é o ramo da física que procura descrever os movimentos. Neste 
sentido, são enfocados o estudo da posição, do deslocamento, do espaço 
percorrido, da velocidade e da aceleração dos corpos.
Passemos, então, ao estudo desse ramo da física.
1.3.1 Movimento e repouso
O estado de movimento de um corpo define-se como aquele em que o corpo 
altera a sua posição, relativamente, a um referencial, ao longo do tempo.
Um corpo está em repouso quando a sua posição, relativamente a um referencial, 
permanece inalterado ao longo do tempo.
O estado de movimento ou de repouso depende do referencial que é usado, 
sendo por isso um estudo relativo. Um corpo pode estar em repouso, relativa-
mente a um referencial e, ao mesmo tempo, em movimento, relativamente a 
outro referencial.
Um dos exemplos mais comuns é utilizarmos diferentes referenciais em um 
ônibus em movimento, com vários passageiros em seu interior.
Se utilizarmos como referencial do movimento o condutor do ônibus, responda:
1º caso
Todos os passageiros que vão sentados no interior do ônibus estão em repouso 
ou movimento, relativamente a ele?
2º caso
Se utilizarmos como referencial uma pessoa parada na calçada, todos os pas-
sageiros estão em repouso ou em movimento relativamente a essa pessoa?
UNIUBE 11
Observe que o referencial é importantíssimo para respondermos a essas 
questões.
Respondendo:
1º caso
Todos os passageiros estão em repouso.
2º caso
Todos os passageiros estão em movimento.
1.3.2 Partícula (ponto material)
Uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal ma-
neira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Imagine só! Uma formiga é, certamente, um ponto material?
Bom, apesar do seu tamanho (bem pequeno), teremos lugares e corpos os quais farão 
com que a formiga não seja considerada um ponto material. Então, vale ressaltar que 
depende do lugar e dos objetos que estão ao redor.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Imagine só! Uma formiga é, certamente, um ponto material?
Bom, apesar do seu tamanho (bem pequeno), teremos lugares e corpos os quais farão 
com que a formiga não seja considerada um ponto material. Então, vale ressaltar que 
depende do lugar e dos objetos que estão ao redor.
Em resumo, vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os corpos que 
tenham apenas movimento de translação, sendo o caso mais simples a situação 
em que estes apresentam movimento retilíneo.
1.3.3 Posição e deslocamento
A localização de uma partícula é fundamental para a análise do seu movimento. 
O seu movimento é completamente conhecido se a sua posição no espaço é 
conhecida em todos os instantes.
Vamos considerar que esse movimento é composto de uma trajetória retilínea 
que tem como posição inicial o ponto P, com coordenada x0, no instante t0 e 
posição final com coordenada x, no instante t.
12 UNIUBE
O deslocamento x∆ é uma medida da diferença entre as posições: final x e 
inicial x0.
Veja o esquema, a seguir, que ilustra bem o que definimos aqui:
Temos que:
0x = x - x∆
Desse modo, podemos dizer que:
• posição é o valor algébrico que um corpo pode adquirir ao longo de uma 
trajetória;
• as mudanças de posição de um móvel, sobre uma trajetória, podem ser ex-
pressas numericamente pelo deslocamento escalar.
1.3.4 Velocidade média e velocidade escalar média
 IMPORTANTE! 
A velocidade média é uma grandeza física associada à “rapidez” de uma partícula.
 IMPORTANTE! 
A velocidade média é uma grandeza física associada à “rapidez” de uma partícula.
A velocidade de uma partícula, no geral, é a razão segundo a qual a sua posição 
varia com o tempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, 
dependendo da sofisticação dos nossos instrumentos de medida.
A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância percorrida 
(comprimento do “caminho descrito pelo móvel em seu movimento”) e o tempo 
gasto no percurso: 
UNIUBE 13
Se uma viagem entre duas cidades A e B distantes 120 km uma da outra durou 
1,5 h, nós dizemos que o percurso foi vencido com uma velocidade escalar mé-
dia de 80 km/h. Na vida cotidiana, essa informaçãoé suficiente para descrever 
uma viagem.
Já a velocidade média, por sua vez, é definida como a razão entre o desloca-
mento e o tempo necessário para esse evento:
Considerações importantes:
• a velocidade escalar é sempre positiva; é o módulo da velocidade sem qual-
quer indicação de direção e sentido;
• a velocidade média representa o que aconteceu entre o início e o fim de uma 
viagem;
• quando o valor da velocidade média for positivo, o movimento é classificado 
como progressivo e o móvel caminha a favor da trajetória;
• quando o valor da velocidade média for negativo, o movimento é classificado 
como retrógrado e o móvel caminha contra a trajetória.
1.3.5 Velocidade instantânea
Na figura a seguir, podemos observar que à medida que o intervalo de tempo 
t∆ diminui, o ponto P2 se aproxima do ponto P1. Quando 0t∆ → , o ponto P2 
tende ao ponto P1, a reta que os une passa a coincidir com a própria tangente (à 
curva no ponto P1), ou seja, a reta V = tangα . Assim, a velocidade instantânea 
em um dado ponto no gráfico espaço versus tempo é a tangente à curva neste 
ponto específico. 
14 UNIUBE
 Figura 1: Velocidade instantânea.
A velocidade instantânea “v” nos dá informações sobre o que está acontecendo 
em um dado momento. Ela é definida como:
lim
0t
x dx
t dtV D ®
D
=
D=
Conforme vimos, a velocidade média representa o que aconteceu entre o início 
e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea, em um dado momento, 
representa o que aconteceu naquele momento. Relacionando as velocidades 
instantâneas de cada um dos momentos, temos uma informação completa de 
como variou a velocidade ao longo de toda a viagem.
No movimento retilíneo e uniforme, a partícula se move com velocidade cons-
tante. A sua característica é que a velocidade, em qualquer instante, é igual à 
velocidade média. Portanto, a equação que define este tipo de movimento é:
X V t= ×
No movimento uniforme, o móvel percorre, para intervalos de tempos iguais, 
espaços também iguais. Quando este movimento for, também, retilíneo podemos 
verificar que não existirá aceleração. Uma vez retilíneo, não existirá aceleração 
de forma alguma.
UNIUBE 15
 EXEMPLIFICANDO! 
3 – Normalmente, você gasta 10 min, de carro, para percorrer 5 mi até a faculdade 
em uma pista retilínea. Você sai de casa 15 min antes de as aulas começarem. Em 
um determinado dia, um semáforo quebrado causa-lhe um atraso, diminuindo o fluxo 
do tráfego para 20 mph nas primeiras 2 mi do trajeto. Nessas condições, você se 
atrasaria para as aulas?
Vamos resolver juntos!
2 3T mi miT T T∆ = ∆ + ∆
Utilizando .x Vm T∆ = ∆ , temos:
2
3
2 0,1 6min
20 /
3
5 0,5 / min
10min
mi
méd
mi
méd usual
total
usual
usual
X miT h
V mi h
X miT
V V
X miV mi
t
∆
∆ = = = =
∆
∆ = =
∆
= = =
∆
Para 3miT∆ , vem que: 3
3 6min
0,5 / minmi
miT
mi
∆ = =
0 2 3 min12T mi miT T T∆ = ∆ +∆ +=
Conclusão: com o atraso, o percurso requer 12 min, e não apenas 10 min usuais. 
Uma vez que você, preventivamente, reservou 15 min para o trajeto, não chegará 
atrasado para as aulas.
 EXEMPLIFICANDO! 
3 – Normalmente, você gasta 10 min, de carro, para percorrer 5 mi até a faculdade 
em uma pista retilínea. Você sai de casa 15 min antes de as aulas começarem. Em 
um determinado dia, um semáforo quebrado causa-lhe um atraso, diminuindo o fluxo 
do tráfego para 20 mph nas primeiras 2 mi do trajeto. Nessas condições, você se 
atrasaria para as aulas?
Vamos resolver juntos!
2 3T mi mi2 3T mi mi2 3T T T2 3T T T2 32 3T mi mi2 3T T T2 3T mi mi2 3∆ = ∆ + ∆T T T∆ = ∆ + ∆T T T2 3T T T2 3∆ = ∆ + ∆2 3T T T2 3T mi miT T TT mi mi∆ = ∆ + ∆T mi miT T TT mi mi2 3T mi mi2 3T T T2 3T mi mi2 3∆ = ∆ + ∆2 3T mi mi2 3T T T2 3T mi mi2 3
Utilizando x Vm T.x Vm T.∆ = ∆x Vm T∆ = ∆x Vm T.x Vm T.∆ = ∆.x Vm T. , temos:
2
3
2 0,1 6min
3
5 0,5 / min
10min
mi
méd
mi
méd usual
total
usual
usual
X mi2X mi2T h2T h2 0,1 6minT h0,1 6minmiT hmi
X miT hX mi2X mi2T h2X mi2
V mi h20 /V mi h20 /médV mi hméd
X mi3X mi3
V Vméd usualV Vméd usual
X totalX total miV mi5V mi5 0,5 / minV mi0,5 / mintotalV mitotalusualV miusual
miV mimi
tusualtusual
∆X mi∆X miT h∆T hX miT hX mi∆X miT hX mi∆ = = = =0,1 6min∆ = = = =0,1 6minT h∆ = = = =T hT h∆ = = = =T hT h∆ = = = =T h2T h2∆ = = = =2T h2 0,1 6minT h0,1 6min∆ = = = =0,1 6minT h0,1 6minmiT hmi∆ = = = =miT hmi
X miT hX mi∆ = = = =X miT hX mi2X mi2T h2X mi2∆ = = = =2X mi2T h2X mi2T h∆T h∆ = = = =T h∆T hX miT hX mi∆X miT hX mi∆ = = = =X miT hX mi∆X miT hX mi
∆X mi∆X mi
∆ = =∆ = =3∆ = =3mi∆ = =mi
X mi
∆ = =
X miT∆ = =T3T3∆ = =3T3
∆
∆ = =
∆X mi∆X mi
∆ = =
X mi∆X mi
∆X∆X
V mi= = =V miV mi= = =V miV mi= = =V mi
∆
Para 3miT3T3∆ , vem que: 3
3 6min
0,5 / minmi
mi
0,5 / minmi0,5 / min
∆ = =∆ = =3∆ = =3
3
∆ = =
3
mi∆ = =mi
mi
∆ = =
miT∆ = =T3T3∆ = =3T3
0 2 3 min120 2 3 min120 2 3 minT mi mi0 2 3 minT mi mi0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 min0 2 3 minT mi mi0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 minT mi mi0 2 3 minT T T∆ = ∆ +∆ +=T T T0 2 3 minT T T0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 minT T T0 2 3 minT mi miT T TT mi mi∆ = ∆ +∆ +=T mi miT T TT mi mi0 2 3 minT mi mi0 2 3 minT T T0 2 3 minT mi mi0 2 3 min∆ = ∆ +∆ +=0 2 3 minT mi mi0 2 3 minT T T0 2 3 minT mi mi0 2 3 min
Conclusão: com o atraso, o percurso requer 12 min, e não apenas 10 min usuais. 
Uma vez que você, preventivamente, reservou 15 min para o trajeto, não chegará 
atrasado para as aulas.
 1.4 Aceleração instantânea e aceleração média
A aceleração descreve uma taxa de variação da velocidade com o tempo. A 
aceleração é uma grandeza vetorial. No movimento retilíneo, seu único compo-
nente diferente de zero está sobre o eixo ao longo do qual o movimento ocorre. 
Em um movimento retilíneo, pode referir -se tanto ao aumento quanto à redução 
da velocidade.
16 UNIUBE
Assim, a aceleração é a derivada em relação ao tempo 
dv
dt . Uma vez que a 
velocidade é a derivada da posição x em relação a t. A aceleração é a segunda 
derivada de x relativamente a t, isto é, 
2
2
dv d(dx/dt) d xa = d
dt dt dt
= =
1.4.1 Classificação dos movimentos
• Forma da trajetória → A trajetória pode ser retilínea ou curvilínea.
• Sentido do movimento → De acordo com esse critério, o movimento pode ser 
progressivo ou retrógrado (quadro a seguir).
Quadro 2: Sentido do movimento.
Sentido do movimento Sinal da velocidade Tipo de movimento
A favor da trajetória v > 0 Mov. Progressivo
Contra a trajetória v < 0 Mov. Retrógrado
• Variação de rapidez (módulo da velocidade).
→ |v| crescente – movimento acelerado – velocidade e aceleração têm o 
mesmo sentido (mesmo sinal).
→ |v| decrescente – movimento retardado – velocidade e aceleração têm 
sentidos contrários ( sinais diferentes ).
→ |v| constante – movimento uniforme – aceleração escalar sempre nula.
Os critérios descritos são independentes. Assim, podem ser feitas quaisquer com-
binações das possibilidades de um critério com as possibilidades de outro.
UNIUBE 17
 EXEMPLIFICANDO! 
4 – Suponha que a velocidade Vx de um carro em qualquer instante t seja dada pela 
equação: Vx = 60 m/s + (0,50 m/s3) × t2
a) Ache a variação da velocidade média do carro do intervalo de tempo entre 
t1 = 1,0s e t2= 3,0s.
b) Ache a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo.
c) Ache a aceleração instantânea do carro para t1	=	1,0s,	considerando	∆t	=	0,1s,	
∆t	=	0,01s,	∆t	=	0,001s.
Resolução:
a) Para determinarmos essa letra, inicialmente achamos a velocidade em cada instante 
substituindo cada valor de t na equação. Para t 1= 1,0s:
3 2
1 60 / (0,5 / ) (1,0 ) 60,5 /xV m s m s s m s= + =
Para 2 3,0t s= ,
3 2
2 60 / (0,5 / ) (3,0 ) 64,5 /xV m s m s s m s= + =
A variação da velocidade Vx∆ é dada por:
2 1V V V 64,5 / 60,5 / 4,0 /x x x m s m s m s∆ = − = − =
b) A aceleração média durante esse intervalo de tempo é:
22 1
2 1
V V 4,0a 2,0 /
t t 2,0
x x
m m s
−
= = =
−
c) quando 2t=0,1s ,t 1,1s∆ = e nós encontramos:
2
2
2 1
2
V 60 (0,5)(1,1) 60,605 /
V 60,605 60,50 0,105 /
V 0,105a 1,05 /
t 0,1
x
x xx
x
m
m s
V V m s
m s
= + =
∆ = − = − =
∆
= = =
∆
18 UNIUBEquando 2t=0,01s ,t 1,01s∆ = e nós encontramos:
2
2
2 1
2
V 60 (0,5)(1,01) 60,51005 /
V 60,51005 60,50 0,01005 /
V 0,01005a 0,1005 /
t 0,1
x
x xx
x
m
m s
V V m s
m s
= + =
∆ = − = − =
∆
= = =
∆
quando 2t=0,001s ,t 1,001s∆ = e nós encontramos:
2
2
2 1
2
V 60 (0,5)(1,001) 60,5010005 /
V 60,5010005 60,50 0,0010005 /
V 0,105a 0,010005 /
t 0,1
x
x xx
x
m
m s
V V m s
m s
= + =
∆ = − = − =
∆
= = =
∆
Para analisar a variação da velocidade durante certo intervalo de tempo t, nós defi-
nimos a aceleração média deste intervalo como:
2 1
2 1
V V Va
t t tm
− ∆
= =
− ∆
Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo consi-
derado, deveremos calcular a aceleração instantânea:
lim
0a = t
V dv
t dtD ®
D
=
D
As unidades mais utilizadas de aceleração são:
No SI Outras
m/s Km/h2, km/s2 etc.
5 – No instante t = 10 s, a velocidade escalar de um móvel é v = 5 m/s e, no instante 
t = 16 s, a velocidade escalar é v = 23 m/s. Qual é a aceleração escalar média no 
intervalo dado?
Resolvendo juntos!
UNIUBE 19
22 1
2 1
V V V 23 5 18a a 3 /
t t t 16 10 6m m
m s− ∆ −= = = = ∴ =
− ∆ −
 AGORA É A SUA VEZ 
3. Ao meio-dia (t = 12 h), um móvel parte do repouso e, às 15 horas, atinge a veloci-
dade 20 m/s. Qual é a aceleração escalar média do móvel, em km/h2, no intervalo 
referido?
4. A distância entre dois automóveis em um dado instante é de 450 km. Admita que 
eles se deslocam ao longo de uma mesma estrada, um ao encontro do outro, com 
movimentos uniformes de velocidades escalares de valores absolutos 60 km/h e 
90 km/h. Determine ao fim de quanto tempo irá ocorrer o encontro e a distância 
que cada um percorre até esse instante.
AGORA É A SUA VEZ 
3. Ao meio-dia (t = 12 h), um móvel parte do repouso e, às 15 horas, atinge a veloci-
dade 20 m/s. Qual é a aceleração escalar média do móvel, em km/h2, no intervalo 
referido?
4. A distância entre dois automóveis em um dado instante é de 450 km. Admita que 
eles se deslocam ao longo de uma mesma estrada, um ao encontro do outro, com 
movimentos uniformes de velocidades escalares de valores absolutos 60 km/h e 
90 km/h. Determine ao fim de quanto tempo irá ocorrer o encontro e a distância 
que cada um percorre até esse instante.
1.4.2 Movimento com aceleração constante
O movimento com aceleração constante é aquele no qual a aceleração se man-
tém constante durante todo o percurso em trajetória retilínea.
• Equação horária da posição:
2
0 0 2
ax x V t t− = +
• Equação horária da velocidade:
0V V a t= + ⋅
Observação: podemos demonstrar uma outra equação chamada de equação 
de Torricelli, a única expressão independente do tempo.
2 2
0 2V V a x= + ⋅ ⋅∆
1.4.2.1 Uma outra visão
dva dv a dt
dt
= Þ = ×
20 UNIUBE
Fazendo a integral indefinida (ou antiderivada) de ambos os membros, teremos: 
dv a dt= ×ò ò , que é reduzida a:
v a dt c= × +ò , em que c é uma constante de derivação.
v a dt c at c= + = +ò
Para calcularmos C, fazemos t = 0, o instante para o qual 0v v= :
0 ( )(0)v a c c= + =
Como 0v c= , temos
0 0v at v v v at= + \ = +
Para obter a equação horária, faz -se:
dx v dt= ×
Fazendo a integral definida de ambos os membros, temos `x v dt c= × +ò em 
que c` é outra constante de integração. Como v é constante, não pode ser co-
locado fora do sinal de integral.
0( ) `x v at dt c= + +ò
Como v0 é constante, podemos escrever 0 `x v dt a t dt c= + +ò ò integrando 
vem:
21 `
2o
x v t at c= + +
UNIUBE 21
 EXEMPLIFICANDO! 
6 – Um carro a 90 km/h é freado uniformemente com a aceleração escalar de 2,5 m/s2 
(em módulo) até parar. Determine a distância percorrida do automóvel, desde o início 
da frenagem até parar.
Dados:
Velocidade inicial = 90 km/h; passando para m/s; 90÷3,6 = 25 m/s
Velocidade final = 0 (repouso)
Aceleração = –2,5 m/s
2 (a aceleração é negativa, pois no movimento retardado a 
velocidade e a aceleração têm sinais contrários)
Resolução:
2 2 2 2
0 2 (0) (25) 2 ( 2,5)
0 = 625-5 x
5 x = 625
x = 125m
V V a x x= + ⋅ ⋅∆ → = + ⋅ − ⋅∆
⋅∆
⋅∆
∆
7 – Uma partícula em movimento retilíneo uniformemente variado tem a seguinte 
equação para a sua posição, 38 27x t t= − + com x em metros e t em segundos.
a) Encontre a função velocidade v (t).
b) Encontre a função aceleração a(t) da partícula.
c) Existe algum instante para o qual v = 0?
Resolvendo juntos:
a) Para obtermos a função velocidade v(t), diferenciamos a função posição x em 
relação ao tempo.
dxV
dt
=
Portanto, derivando a equação da posição, teremos a seguinte equação para a ve-
locidade: 
227 3V t= − +
22 UNIUBE
b) Para obtermos a função aceleração a(t), diferenciamos a função velocidade obtida 
anteriormente v em relação ao tempo.
a = dv
dt
Portanto, derivando a equação da velocidade, teremos a seguinte equação para a 
aceleração: a = 6t , com a em metros por segundo ao quadrado.
c) Fazendo v(t)=0, resulta:
20 27 3 3 st t= − + ∴ = ±
Assim, a velocidade é nula, tanto 3 segundos antes, como 3 segundos após a leitura 
zero do cronômetro.
 1.5 Movimento na vertical
Caso você arremesse um objeto para cima ou para baixo e consiga, de alguma 
maneira, eliminar os efeitos do ar sobre o seu voo, esse objeto ficaria com ace-
leração constante chamada de aceleração de queda livre, ou aceleração da 
gravidade, representada por “g” (intensidade).
Observações:
• essa aceleração independe das características do objeto, tais como massa 
e forma, proposto por Galileu, que afirma que todos os corpos em um dado 
local caem com a mesma aceleração;
• o valor de g varia ligeiramente com a latitude e com a elevação. Ao nível do 
mar, o valor é 9,8 m/s2, que é o que você deverá usar nos problemas deste 
capítulo;
• as equações do movimento uniformemente variado também se aplicam à 
queda livre, quando o movimento ocorre na vertical tanto para cima quanto 
para baixo;
• entretanto, preste atenção que, para a queda livre, as direções do movimento 
ocorrem na vertical (eixo y), em vez do eixo x.
UNIUBE 23
x corresponde a y
a corresponde g
As três equações para o movimento de queda livre são a função horária da po-
sição na queda livre, a função horária da velocidade na queda livre e a equação 
de Torricelli, na queda livre:
2 2 2
0 0 0
1 ; + g t ; = +2 a 
2
y V t g t V V V V y∆ = + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆
 SAIBA MAIS 
• Usa -se sinal positivo na aceleração, quando o módulo da velocidade está aumen-
tando, e sinal negativo quando o módulo da velocidade está diminuindo.
• Quando um corpo parte do repouso significa que a velocidade inicial vale zero.
• Quando um corpo é lançado para cima, no ponto mais alto da trajetória, a in-
tensidade da sua velocidade vale zero, (momento da inversão de sentido do 
movimento).
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
• Usa -se sinal positivo na aceleração, quando o módulo da velocidade está aumen-
tando, e sinal negativo quando o módulo da velocidade está diminuindo.
• Quando um corpo parte do repouso significa que a velocidade inicial vale zero.
• Quando um corpo é lançado para cima, no ponto mais alto da trajetória, a in-
tensidade da sua velocidade vale zero, (momento da inversão de sentido do 
movimento).
 EXEMPLIFICANDO! 
8 – Uma bolinha de tênis é lançada para cima com uma velocidade de 10 m/s. Des-
prezando a resistência do ar e considerando o valor da intensidade da aceleração da 
gravidade igual a 9,8 m/s2, calcule:
a) O instante em que a bolinha atinge a altura máxima.
b) A altura máxima atingida pela bolinha.
Dados:
Velocidade inicial = 10 m/s
Aceleração da gravidade = 9,8 m/s2
Na altura máxima, temos que v = 0
24 UNIUBE
Solução:
a) Cálculo do instante em que o objeto atinge a altura máxima.
V = V0 – g t
0 = 10 – 9,8.t
t = 1,02 s
b) 
2 2
0
2 2
2
0 10 2 9,8
5,10
V V g y
y
y m
= − ∆
= − ⋅ ⋅∆
∆ = 
 AGORA É A SUA VEZ 
5. Uma bola é lançada em linha reta para cima. Qual é a velocidade da bola no topo 
de sua trajetória? Qual é sua aceleração nesse ponto? A aceleração é constante 
e vale 9,8 m/s2.
6. Uma pedra é lançada para cimacom uma velocidade de 50 m/s, desprezando a 
resistência do ar e considerando o valor da intensidade da aceleração da gravidade 
igual a 9,8 m/s2, calcule:
a) O instante em que a pedra atinge a altura máxima.
b) A altura máxima atingida pela pedra.
AGORA É A SUA VEZ 
5. Uma bola é lançada em linha reta para cima. Qual é a velocidade da bola no topo 
de sua trajetória? Qual é sua aceleração nesse ponto? A aceleração é constante 
e vale 9,8 m/s2.
6. Uma pedra é lançada para cima com uma velocidade de 50 m/s, desprezando a 
resistência do ar e considerando o valor da intensidade da aceleração da gravidade 
igual a 9,8 m/s2, calcule:
a) O instante em que a pedra atinge a altura máxima.
b) A altura máxima atingida pela pedra.
 1.6 Introdução ao estudo dos vetores
Os vetores são usados para tratamento de conjuntos de dados que possuem as 
mesmas características. Uma das vantagens de se usar vetores é que o conjunto 
recebe um nome comum e os elementos deste conjunto são referenciados por 
meio de índices.
Pelo nome vetor, estaremos referenciando estruturas que podem ter mais de 
uma dimensão, por exemplo, matrizes de duas dimensões.
UNIUBE 25
1.6.1 As grandezas físicas 
Grandeza escalar: fica perfeitamente caracterizada pelo valor numérico e pela 
unidade de medida. Exemplos: volume, tempo, massa etc.
Grandeza vetorial: necessita, para ser perfeitamente caracterizada, das ideias 
de direção e sentido, de valor numérico e de unidade de medida. Exemplo: 
deslocamento, velocidade, aceleração, força etc.
O conjunto formado pelo valor numérico e pela unidade de medida é denominado 
intensidade ou módulo. 
 IMPORTANTE! 
Vetor: ente matemático abstrato, determinado por um conjunto de segmentos orien-
tados, caracterizando a sua direção, o seu sentido e a sua intensidade.
 IMPORTANTE! 
Vetor: ente matemático abstrato, determinado por um conjunto de segmentos orien-
tados, caracterizando a sua direção, o seu sentido e a sua intensidade.
Um vetor é representado graficamente por um segmento de reta orientado (ge-
ralmente indicado por uma letra que lembra a grandeza vetorial em questão).
1.6.2 Componentes de vetor
As componentes escalares (ax, ay) de qualquer vetor bidimensional ao longo 
dos eixos de um sistema de coordenadas (x, y) são encontradas traçando -se 
linhas perpendiculares da origem e da extremidade do vetor até o eixo corres-
pondente.
Figura 2: Componentes escalares.
26 UNIUBE
Componente horizontal do vetor:
acos a a cos
a
x
xq q= Þ = ×
Componente vertical do vetor:
a
sen a a sen
a
y
yq q= Þ = ×
O sinal algébrico de uma componente indica seu sentido ao longo do eixo asso-
ciado. Dadas suas componentes, podemos encontrar o módulo e a orientação 
de a , com:
2 2a = a ax y+
1.6.3 Vetor velocidade e vetor aceleração
Ao estudarmos a cinemática dos movimentos retilíneos, vamos trabalhar com 
a velocidade e a aceleração apenas de forma numérica, isto é, levando -se em 
consideração apenas a sua intensidade. Como já foi dito anteriormente, o sinal 
da velocidade indica o sentido do movimento. Vamos ver agora, separadamente, 
cada um deles.
1.6.3.1 Vetor velocidade
O vetor velocidade possui intensidade igual ao módulo da velocidade do objeto 
em um determinado instante. Esse valor pode ser determinado de diferentes 
formas, dependendo do movimento em questão. A sua direção e o seu sentido, 
porém, são sempre determinados da mesma forma.
Imagine uma pedra presa a um barbante colocada em rotação. Se o barbante 
arrebenta em um certo ponto P, ver -se -á que a pedra segue a trajetória retilínea 
mostrada na Figura 3, ou seja, sempre tangente a cada ponto da trajetória.
UNIUBE 27
módulo = igual ao módulo do vetor 
direção = tangente a cada ponto 
sentido = do movimento
Figura 3: Representação da direção do vetor velocidade.
Desta forma, se um patinador descreve determinada trajetória (Figura 4), o seu 
vetor velocidade nos pontos A, B e C, será:
Figura 4: Representação do vetor velocidade em vários pontos.
1.6.3.2 Vetor aceleração
É o vetor que indica uma variação do vetor velocidade, o qual, no entanto, como 
toda grandeza vetorial, possui módulo, direção e sentido. Para variar tais caracte-
rísticas, o vetor aceleração é decomposto em dois outros vetores perpendiculares 
entre si, cada um representando um tipo específico de variação da velocidade.
• Vetor aceleração tangencial (at): indica variação do módulo do vetor veloci-
dade.
• Vetor aceleração centrípeta (ac): indica variação da direção e sentido do vetor 
velocidade.
a) Vetor aceleração tangencial (at)
Indica uma variação do módulo ou intensidade do vetor velocidade.
A sua direção, como o nome indica, é tangente à trajetória, do mesmo modo 
que o vetor velocidade.
28 UNIUBE
O sentido do vetor aceleração tangencial pode ser:
• O mesmo do vetor velocidade, se o movimento for acelerado (Figura 5).
Figura 5: Representação da direção 
e do sentido do vetor aceleração 
tangencial no movimento acelerado.
• Contrário ao do vetor velocidade, se o movimento for retardado (Figura 6).
Figura 6: Representação da direção 
e do sentido do vetor aceleração 
tangencial em um movimento 
retardado.
Como o vetor aceleração tangencial mostra uma variação no módulo do vetor 
velocidade, ele será nulo quando o movimento for uniforme, uma vez que, neste 
movimento, o módulo do vetor velocidade é constante.
b) Vetor aceleração centrípeta (ac)
Indica apenas uma variação da direção do vetor velocidade. A sua direção é 
perpendicular à direção do vetor velocidade e o sentido, como o nome indica, 
é em direção ao centro da curva da trajetória (Figura 7).
UNIUBE 29
Figura 7: Representação da 
direção do vetor aceleração 
centrípeta.
Como o vetor aceleração centrípeta indica uma mudança na direção do vetor 
velocidade, ele será nulo quando o movimento for retilíneo, uma vez que, neste 
movimento, a direção do vetor velocidade é constante. 
2
c
Va
R
=
 1.7 Lançamento horizontal
Quando um corpo é lançado horizontalmente, ele descreve em relação ao solo 
uma trajetória parabólica. É o caso de lançamento de um objeto a partir de uma 
mesa horizontal e até mesmo o lançamento de uma bomba por um avião em 
movimento horizontal.
O movimento é complexo, mas pode ser decomposto em dois outros movimentos 
mais simples e que já foram estudados anteriormente:
• o movimento retilíneo uniforme (na direção horizontal);
• a queda livre (na vertical).
Pode -se imaginar dois movimentos simultâneos: um no eixo x (horizontal) e outro 
no eixo y (vertical). Ao se tratar os movimentos independentemente, podemos 
aplicar as equações de cada um deles, com apenas uma variável em comum: 
o tempo.
O tempo decorrido para que o corpo alcance o solo na vertical é o mesmo com 
que ele descreve o movimento na horizontal, isto é, o movimento horizontal não 
influi no tempo de queda do corpo. Tanto é verdade que dois corpos, um corpo 
30 UNIUBE
lançado horizontalmente e outro abandonado em queda livre, da mesma altura 
e ao mesmo tempo, atingem o solo no mesmo instante.
No movimento horizontal, podemos usar a equação do MRU:
X V t= ×
No movimento vertical, podemos usar as equações da queda livre de forma 
reduzida, estudadas anteriormente:
2
2; V= g t; V 2
2
ty g g yD = × × = D
 EXEMPLIFICANDO! 
9 – Uma esfera rola com velocidade escalar constante de 10 m/s sobre uma mesa 
horizontal. Ao abandonar a mesa, ela fica sujeita à ação exclusiva da aceleração da gra-
vidade ( g = 9,8 m/s2), atingindo o solo em um ponto situado a 5 m do pé da mesa.
Determine:
a) O tempo de queda.
b) A altura da mesa em relação ao solo.
Solução:
a) Ao abandonar a mesa, a esfera apresenta, na direção horizontal, movimento com 
velocidade constante de 10 m/s. Assim:
. 5 9,8. 0,51X v t t t s= ∴ = ∴ ≅
b) Simultaneamente ao movimento horizontal, a esfera cai de uma altura y em queda 
livre:
2 2. 9,8.(0,51) 1,27
2 2
g ty y y m= ∴ = ∴ =
 EXEMPLIFICANDO! 
9 – Uma esfera rola com velocidade escalar constante de 10 m/s sobre uma mesa 
horizontal.Ao abandonar a mesa, ela fica sujeita à ação exclusiva da aceleração da gra-
vidade ( g = 9,8 m/s2), atingindo o solo em um ponto situado a 5 m do pé da mesa.
Determine:
a) O tempo de queda.
b) A altura da mesa em relação ao solo.
Solução:
a) Ao abandonar a mesa, a esfera apresenta, na direção horizontal, movimento com 
velocidade constante de 10 m/s. Assim:
. 5 9,8. 0,51X v t t t s. 5 9,8. 0,51X v t t t s. 5 9,8. 0,51X v t t t s= ∴ = ∴ ≅X v t t t s. 5 9,8. 0,51X v t t t s. 5 9,8. 0,51= ∴ = ∴ ≅. 5 9,8. 0,51X v t t t s. 5 9,8. 0,51
b) Simultaneamente ao movimento horizontal, a esfera cai de uma altura y em queda 
livre:
2 2. 9,8.(0,51)2 2. 9,8.(0,51)2 2 1, 27
2 2
g t. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)y y y m1,27y y y m1,27
2 2
y y y m
2 2
= ∴ = ∴ =
. 9,8.(0,51)
= ∴ = ∴ =
. 9,8.(0,51)g t
= ∴ = ∴ =
g t. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)
= ∴ = ∴ =
. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)y y y m= ∴ = ∴ =y y y my y y m= ∴ = ∴ =y y y my y y m= ∴ = ∴ =y y y m. 9,8.(0,51)y y y m. 9,8.(0,51)= ∴ = ∴ =. 9,8.(0,51)y y y m. 9,8.(0,51)g ty y y mg t= ∴ = ∴ =g ty y y mg t. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)y y y m. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)= ∴ = ∴ =. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)y y y m. 9,8.(0,51)g t. 9,8.(0,51)
UNIUBE 31
 1.8 Lançamento oblíquo
O lançamento oblíquo acontece quando, a partir do solo, um corpo é lançado 
com uma velocidade inicial (V0),	formando	um	ângulo	(θ)	com	a	horizontal	(neste	
caso, representado pelo eixo x).
É o caso do lançamento de uma bala de canhão (Figura 8) ou da bola em um 
“tiro de meta” cobrado por um jogador de futebol ou em um arremesso de bas-
quete.
Figura 8: Lançamento oblíquo.
Assim como o lançamento horizontal, este movimento também pode ser decom-
posto em dois outros movimentos mais simples, e que já foram estudados:
• o movimento retilíneo uniforme (na direção horizontal);
• o lançamento vertical.
Um detalhe, no entanto, deve ser observado antes de se usar as equações destes 
movimentos. Como a velocidade inicial é inclinada em relação à horizontal, só 
se pode utilizar nas equações do movimento horizontal a componente horizontal 
da velocidade.
Na vertical, o raciocínio é o mesmo. Então, para se utilizar as velocidades ini-
ciais na horizontal e na vertical, deve -se efetuar o seu cálculo, com base nos 
conhecimentos de vetores:
V0x=V0 cosθ
32 UNIUBE
V0y=V0 senθ
Com este cálculo efetuado, podemos utilizar as equações dos movimentos 
mencionados:
• no eixo x, movimento horizontal – movimento retilíneo uniforme:
X V t= ×
• no eixo y, movimento vertical – lançamento vertical:
0
2
0 0
2 2
0
.
1. .
2
2 .
y
y
y
Vy V g t
y y V t g t
Vy V g y
= +
− = +
= + ∆
Observações:
• para se determinar a distância alcançada pelo objeto (ou alcance), deve -se 
utilizar a equação do MRU, com um tempo igual a 2t, pois 2.t é o tempo de 
voo do objeto;
• no ponto de altura máxima, apenas a componente vertical da velocidade é 
nula;
• no ponto de altura máxima, a componente horizontal da velocidade tem módulo 
constante durante todo o movimento;
• o alcance máximo é atingido quando o ângulo de lançamento é 45º.
2
0V sen 2A=
g
q×
UNIUBE 33
 AGORA É A SUA VEZ 
7. Um corpo é atirado obliquamente em um lugar onde a resistência do ar pode ser 
desprezada, com velocidade inicial de 100 m/s, numa direção que forma com a ho-
rizontal	um	ângulo	θ,	tal	que	sen	θ =	0,8	e	cos	θ = 0,6. Adotando-se a aceleração da 
gravidade igual a 9,8 m/s2, determine:
a) A intensidade das componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de 
lançamento.
b) O instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória.
c) A altura máxima atingida pelo corpo. 
AGORA É A SUA VEZ 
7. Um corpo é atirado obliquamente em um lugar onde a resistência do ar pode ser 
desprezada, com velocidade inicial de 100 m/s, numa direção que forma com a ho-
rizontal	um	ângulo	θ,	tal	que	sen	θ=	0,8	e	cos	θ = 0,6. Adotando-se a aceleração da 
gravidade igual a 9,8 m/s2, determine:
a) A intensidade das componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de 
lançamento.
b) O instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória.
c) A altura máxima atingida pelo corpo. 
 1.9 Movimento circular uniforme (MCU)
Diz -se que um movimento é circular quando a sua trajetória é uma circunferência 
ou um arco de circunferência.
Exemplos: vitrola, ponteiros de um relógio, hélice de um motor. Esse movimento 
é chamado de uniforme por causa da sua velocidade angular, que é sempre 
constante (Figura 9).
Neste caso, a velocidade vetorial apresenta módulo constante, mas varia em 
direção e sentido.
O movimento circular uniforme é periódico, isto é, repete -se em intervalos de 
tempos iguais. Este intervalo de tempo, é denominado período (T), e no caso 
do MCU, é o tempo gasto para o corpo em movimento completar uma volta, 
ou seja, retornar ao ponto de origem. Como exemplo, temos: rotação da Terra 
(1 ano), ponteiros das horas de um relógio (12 h), entre outros. A unidade de 
período no SI é o segundo (s).
34 UNIUBE
Figura 9: Representação de um MCU�.
 IMPORTANTE! 
Todo movimento periódico acontece em determinado número de vezes em um dado 
intervalo de tempo. Temos a frequência º( )nf
t
=
D
.
 IMPORTANTE! 
Todo movimento periódico acontece em determinado número de vezes em um dado 
intervalo de tempo. Temos a frequência º( )( )n( )n( )f( )f( )
t
( )=( )
D
( )
D
( ).
• A frequência tem como unidade no SI: (Hz) hertz. Podemos observar que (Hz) 
hertz é o mesmo que (R.P.S.) rotações por segundo, e se multiplicarmos por 
60, iremos encontrar (R.P.M.) rotações por minuto.
• A relação entre frequência e período é facilmente demonstrada por:
1f
T
=
Uma vez que se trata de um movimento circular, são percorridos ângulos ao 
longo do tempo. A relação entre o ângulo percorrido e o tempo recebe o nome 
de velocidade angular, conforme equação:
t
q
w
D
=
D
UNIUBE 35
Neste movimento, a velocidade angular é constante, uma vez que se trata de um 
movimento uniforme, isto é, são percorridos ângulos iguais em tempos iguais. A 
unidade de velocidade angular no SI é o radiano/segundo (rad/s), mas também 
pode ser utilizado o grau/segundo (º/s).
Uma relação importante entre velocidade angular e distância pode ser facilmente 
deduzida:
• Além de terem percorrido um ângulo, no decorrer do tempo, também é percor-
rida uma determinada distância. A relação entre distância percorrida e tempo 
já foi estudada nos movimentos retilíneos. Aqui, ela vai receber o nome de 
velocidade linear ou tangencial (v), para ser distinta da velocidade angular.
A relação é:
V Rw= ×
Para uma volta completa, temos:
2 ; = 2
2üü§ü§
f
T
R V Rf
T
p
w w p
p
p
=
=
 
 EXEMPLIFICANDO! 
10 – Uma partícula descreve uma trajetória circular com velocidade escalar constante 
em intensidade. O raio do círculo é 15 cm e a partícula completa uma volta a cada 
10 s. Calcule:
a) O período e a frequência.
b) A velocidade angular.
c) A velocidade escalar.
d) A intensidade da aceleração centrípeta.
Vamos resolver juntos?
a) O período é T = 10 s; tempo de uma volta.
36 UNIUBE
1 f 0,1 Hzf
T
= ∴ =
b) A velocidade é dada por = 2 fw p =0,2 rad/sw p\
c) A velocidade linear é: V Rw= × 3 cm/sV p\ =
d) A aceleração centrípeta tem intensidade:
2
2
ca 0,6 /
V cm s
R
= =
Resumo 
Devemos sempre nos lembrar de algumas definições:
a) Referencial
Qualquer corpo (ponto) tomado como referência, em relação ao qual verificare-
mos o movimento de outros corpos.
b) Tipos de movimento
1 – Movimento unidimensional: com apenas uma coordenada conseguimos 
localizar o objeto. Exemplo: um carro em uma rodovia.
2 – Movimento bidimensional: neste caso, necessitamos de duas coordenadas 
para obter a posição do objeto (móvel). Exemplo: a localização de uma pessoa 
em qualquer posição na superfície da Terra.
3 – Movimento tridimensional: é necessário o conhecimento de três coordenadas 
para localizar o objeto. Exemplo: um satélite em órbita da Terra.
c) Repouso
Um objeto está em repouso quando a sua posição não varia,no tempo, em 
relação a um referencial adotado.
UNIUBE 37
d) Movimento
Um objeto (móvel) está em movimento quando a sua posição varia, no tempo, 
em relação ao referencial adotado. 
e) Trajetória
É a linha imaginária formada pelas sucessivas posições ocupadas pelo móvel. 
Exemplo: uma estrada sendo percorrida por um carro.
f) Ponto material
Um objeto é considerado um ponto material quando suas dimensões são con-
sideradas desprezíveis em relação às outras grandezas envolvidas. Exemplo: 
o tamanho da Terra em relação à distância da Terra ao Sol.
Em relação ao deslocamento, é importante lembrar:
• o fato de o deslocamento ser positivo não significa que o movimento tenha 
sido sempre a favor da trajetória;
• o deslocamento não é, genericamente, a distância percorrida. Isso só acon-
tecerá quando o movimento for sempre no mesmo sentido e a favor da orien-
tação da trajetória;
• quando o deslocamento for nulo, isso não significa que necessariamente o 
corpo tenha ficado em repouso. O corpo pode ter se movido e retornado à 
posição inicial.
g) Movimento uniforme
A velocidade escalar é uma constante não nula. No movimento uniforme, é in-
diferente falar em velocidade escalar média ou velocidade escalar instantânea, 
pois a velocidade escalar é constante. 
38 UNIUBE
 IMPORTANTE! 
Um móvel em movimento uniforme (MU) apresenta deslocamentos iguais em inter-
valos de tempo iguais. 
No estudo dos movimentos variados, tem particular importância o movimento va-
riado uniformemente (MUV). Nesse tipo de movimento, também conhecido como 
movimento uniformemente variado, a velocidade varia de uma maneira regular.
 IMPORTANTE! 
Um móvel em movimento uniforme (MU) apresenta deslocamentos iguais em inter-
valos de tempo iguais. 
No estudo dos movimentos variados, tem particular importância o movimento va-
riado uniformemente (MUV). Nesse tipo de movimento, também conhecido como 
movimento uniformemente variado, a velocidade varia de uma maneira regular.
h) Movimento uniformemente variado (MUV)
No movimento uniformemente variado (MUV) têm -se, em intervalos de tempos 
iguais, variações de velocidades iguais.
No vácuo, todos os corpos, soltos simultaneamente de uma mesma altura, che-
gam ao solo ao mesmo tempo e com a mesma velocidade. Isso acontece sempre, 
quaisquer que sejam suas massas, formatos ou material de que sejam feitos. 
Em queda livre, a aceleração é constante e igual para todos os corpos. Próximo 
à superfície de nosso planeta, a Terra, a aceleração de queda livre possui uma 
intensidade de, aproximadamente, 9,8 m/s2, valor que normalmente é arredon-
dado para 10 m/s2.
O símbolo g representa a aceleração de queda livre em sua plenitude, ou seja, 
em módulo, direção e sentido. Por outro lado, o símbolo g se refere simplesmente 
à intensidade (módulo) da aceleração de queda livre.
UNIUBE 39
Figura 10: Movimento uniformemente variado (MUV).
A área compreendida pelo gráfico em um dado intervalo de tempo nos fornece 
o módulo do deslocamento escalar nesse intervalo. Além disso, como o movi-
mento é sempre progressivo, o deslocamento escalar é positivo e coincide com 
a distância efetivamente percorrida.
Em intervalos de tempo iguais e consecutivos, um móvel em queda livre percorre 
distâncias cada vez maiores, na proporção dos números ímpares consecutivos 
(1d, 3d, 5d, 7d, ...) 
i) Lançamento vertical
1. Para baixo
A diferença entre a queda livre a partir do repouso e o lançamento vertical para 
baixo reside nas condições iniciais: a velocidade inicial não é nula (Figura 11).
40 UNIUBE
Figura 11: Lançamento vertical para baixo.
2. Para cima
Vejamos, agora, o movimento de um corpo lançado verticalmente para cima 
com uma velocidade inicial v0, no vácuo. À medida que o corpo sobe, sua ve-
locidade diminui uniformemente até tornar -se nula, quando então tem início 
a descida. Assim, temos: na subida o movimento é uniformemente retardado 
(Figura 12), pois a velocidade e a aceleração têm sinais diferentes; na des-
cida, o movimento é uniformemente acelerado (velocidade e aceleração de 
mesmo sinal).
Figura 12: Lançamento vertical para cima.
UNIUBE 41
j) Lançamento horizontal
Movimento horizontal (direção Ox) – Se o corpo estivesse se deslocando com a 
velocidade inicial que lhe foi imprimida, mas sem a ação da gravidade, o movi-
mento seria horizontal retilíneo e uniforme. Nesse movimento, em intervalos de 
tempo iguais, o corpo tem deslocamentos iguais (). O valor de  depende da 
velocidade inicial que foi imprimida ao corpo e do intervalo de tempo uniforme 
que consideramos;
Movimento vertical (direção Oy) – Nessa direção, o móvel está em queda livre, 
a partir do repouso. Em intervalos de tempo iguais, medidos a partir do instante 
em que ele começa a cair, os deslocamentos são proporcionais aos números 
ímpares: 1d, 3d, 5d, 7d, ... O valor de d depende de campo gravitacional do local 
e do intervalo de tempo uniforme.
k) Lançamento oblíquo 
2 2 2
x yV V V= +
EM QUALQUER INSTANTE
Figura 13: Lançamento oblíquo.
• O estudo desse movimento é feito por meio da decomposição em duas dire-
ções: horizontal e vertical (Figura 13). Movimento horizontal (direção Ox) – 
Nessa direção, o movimento é retilíneo e uniforme, pois o campo gravitacional 
é vertical, não influindo na componente vertical do movimento. Movimento 
vertical (direção Oy) – Nessa direção, o movimento é variado uniformemente. 
A componente vertical da velocidade diminui uniformemente até se tornar 
nula, o que acontece no ponto de altura máxima e, em seguida, aumenta 
uniformemente até a bola atingir o solo. 
42 UNIUBE
 AGORA É A SUA VEZ 
No corpo do texto, você realizou algumas atividades e, na sequência, são apresen-
tadas mais um grupo delas para que você tenha a oportunidade de desenvolver de 
forma completa as habilidades correspondentes a este estudo introdutório da física. 
Realize-as com atenção e dedicação. 
AGORA É A SUA VEZ 
No corpo do texto, você realizou algumas atividades e, na sequência, são apresen-
tadas mais um grupo delas para que você tenha a oportunidade de desenvolver de 
forma completa as habilidades correspondentes a este estudo introdutório da física. 
Realize-as com atenção e dedicação. 
Atividades
Atividade 1
Uma partícula percorre uma circunferência de 10 cm de raio efetuando uma 
volta a cada 5 s. Determine:
a) O período e a frequência.
b) A velocidade angular.
c) A velocidade escalar.
d) A aceleração centrípeta.
Atividade 2
Para buscar um vestido, Linda tem que percorrer uma distância total de 10 km, 
assim distribuída: nos 2 km iniciais, por causa dos semáforos e quebra -molas, 
determinou que poderia gastar 3 minutos. Nos próximos 5 km, supondo pista 
livre, gastará 3 minutos. No percurso restante, mais 6 minutos, já que se trata 
de um caminho com ruas muito estreitas. Se os tempos previstos por Linda 
forem rigorosamente cumpridos, qual será sua velocidade média ao longo de 
todo o percurso?
Atividade 3
Um automóvel trafega com velocidade constante de 12 m/s por uma avenida 
e se aproxima de um cruzamento onde há um semáforo com fiscalização 
eletrônica. Quando o automóvel se encontra a uma distância de 24 m do cru-
zamento, o sinal muda de verde para amarelo. O motorista deve decidir entre 
parar o carro antes de chegar ao cruzamento ou acelerar o carro e passar 
pelo cruzamento antes do sinal mudar para vermelho. Este sinal permanece 
amarelo por 2,2 s. O tempo de reação do motorista (tempo decorrido entre 
UNIUBE 43
o momento em que o motorista vê a mudança de sinal e o momento em que 
realiza alguma ação) é de 0,5 s.
a) Determine a mínima aceleração constante que o carro deve ter para parar 
antes de atingir o cruzamento e não ser multado.
b) Calcule a menor aceleração constante que o carro deve ter para passar pelo 
cruzamento sem ser multado. Aproxime 1,72 – 3,0.
Atividade 4
Um paraquedista radical pretende atingir a velocidade do som. Para isso, seu 
plano é saltar de um balão estacionário na alta atmosfera, equipado com roupaspressurizadas. Como nessa altitude o ar é muito rarefeito, a força de resistência 
do ar é desprezível. Suponha que a velocidade inicial do paraquedista em rela-
ção ao balão seja nula e que a aceleração da gravidade seja igual a 10 m/s2. A 
velocidade do som nessa altitude é 300 m/s.
Calcule:
a) Em quanto tempo ele atinge a velocidade do som.
b) A distância percorrida nesse intervalo de tempo.
Atividade 5
Dois bocais de mangueiras de jardim, A e B, estão fixos ao solo. O bocal A é 
perpendicular ao solo e o outro está inclinado 60° em relação à direção de A. 
Correntes de água jorram dos dois bocais com velocidades idênticas. Qual é a 
razão entre as alturas máximas de elevação da água?
Atividade 6
Numa competição de motocicletas, os participantes devem ultrapassar um fosso 
e, para tornar possível essa tarefa, foi construída uma rampa conforme está 
representado na Figura 14, a seguir.
44 UNIUBE
Figura 14: Rampa para salto com motocicletas.
Desprezando as dimensões da moto e considerando L = 7,0 m, cos 10° = 0,98 e 
sen 10°= 0,17, determine a mínima velocidade com que as motos devem deixar 
a rampa a fim de que consigam atravessar o fosso. Faça g = 10 m/s2.
Atividade 7
Uma partícula percorre uma trajetória circular de raio 10 m com velocidade 
constante em módulo, gastando 4,0 s em um percurso de 80 m. Determine o 
período e a aceleração desse movimento.
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo /
Valdir Barbosa da Silva Júnior / Welington Mrad Joaquim
Introdução
Nesta etapa do estudo da física, serão abordados os conceitos da dinâ-
mica e as leis de Newton, assim como o equilíbrio dos pontos materiais. 
Este capítulo é composto de texto introdutório para situar o assunto que 
será estudado, além dos objetivos específicos que definem as metas a 
serem atingidas ao final dos seus estudos. Inclui, ainda, atividades que 
favorecem a compreensão dos textos lidos e um conjunto de respostas 
que têm a finalidade de auxiliá-lo a verificar o grau de aprendizagem 
atingido até determinado momento. Ao ler o conteúdo proposto, faça um 
resumo das principais dificuldades encontradas. A dedicação aos estu-
dos individuais é de suma importância para o seu desenvolvimento.
Bons estudos!
Objetivos
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que você 
esteja apto(a) a:
• determinar a relação entre força, massa e aceleração;
• caracterizar uma força como uma grandeza física vetorial;
• determinar a força resultante de duas ou mais forças que atuam 
sobre um corpo;
• enunciar as três leis de Newton;
• identificar os tipos de força, peso, força de atrito, força normal e 
suas aplicações;
• compreender as principais operações com vetores;
• entender o equilíbrio de corpos no plano e no espaço.
Princípios da 
dinâmica e estática 
dos pontos materiais
Capítulo
2
46 UNIUBE
Esquema
2.1 Força e energia
2.2 Introdução ao estudo da dinâmica
2.2.1 Força resultante 
2.2.2 Equilíbrio
2.3 As leis de Newton
2.3.1 Primeira lei de Newton
2.3.2 Segunda lei de Newton
2.3.3 Terceira lei de Newton
2.4 Força peso ( P

)
2.5 Força normal ( N
 )
2.6 Força de tração (T
 )
2.7 Força elástica ( eF

)
2.8 Força de atrito ( atF )
2.9 Estática dos pontos materiais
2.10 Forças no plano
2.10.1 Lei do paralelogramo
2.10.2 Componentes cartesianas de uma força
2.11 Equilíbrio de um ponto material
2.11.1 Forças no espaço
2.12 Equilíbrio de um ponto material no espaço
Resumo
Atividades
Referências
 
2.1 Força e energia
Vivemos em um universo em movimento. As galáxias, as estrelas, os planetas e 
os satélites se movem, o mesmo acontece com uma turbina em uma usina, as 
hélices de um ventilador etc. Essas e outras diversas situações são analisadas 
e compreendidas pelo estudo das forças.
Falando em forças, não podemos deixar de mencionar a energia, pois esta 
desempenha um papel essencial em todos os setores da vida e é uma das 
grandezas mais importantes da física.
O sol, a água, o vento, o petróleo e o carvão são fontes que suprem boa parte 
do consumo atual de energia no mundo, mas, à medida que a população do 
UNIUBE 47
planeta cresce e os itens de conforto à disposição do homem se multiplicam, 
aumenta também a demanda por energia, exigindo novas alternativas e técnicas 
de obtenção.
 2.2 Introdução ao estudo da dinâmica
Em nosso dia a dia, encontramos objetos que se movem e outros que perma-
necem em repouso. À primeira vista, parece que um corpo está em repouso 
quando não existem forças atuando nele, e inicia o movimento quando uma 
força começa a atuar sobre ele.
Figura 1: Força exercida no bloco.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
No desenvolvimento deste roteiro, vamos analisar o quanto essas aparências se 
aproximam ou se afastam da realidade. Para tanto, buscaremos nos conceitos 
da dinâmica, as opções para compreendê-las:
Umas das grandezas mais importantes no estudo da dinâmica é a força.
Como exemplo, podemos mostrar algumas situações em que as forças aparecem:
1a situação
Objetos em queda.
 
Por que os objetos caem?Por que os objetos caem?
48 UNIUBE
Se você respondeu pela atração da Terra, acertou!
Os objetos caem porque são atraídos pela Terra. Há uma força que puxa cada 
objeto para baixo e que também é responsável por manter a atmosfera sobre a 
Terra, e por deixar a Lua e os satélites artificiais em órbita. Essa força é deno-
minada força gravitacional.
Portanto, a força gravitacional representa uma interação existente entre a Terra 
e os objetos que estão sobre ela.
2a situação
Figura 2: Livros sobre a mesa.
Fonte: Acervo EAD – Uniube.
Agora, analise... 
 
O livro cai? Por quê?O livro cai? Por quê?
Para que os objetos não caiam é necessário que exista uma superfície para que 
fiquem apoiados; neste caso, chamada de superfície de contato. Da mesma 
forma, a mesa sustenta o livro, para que ele não caia.
Vejam que há duas forças opostas: a força da gravidade, que puxa o livro para 
baixo, e uma força para cima, de sustentação, que a mesa exerce sobre o livro. 
Neste caso, temos a força normal.
Podemos concluir que as formas pelas quais os objetos interagem uns com os 
outros são muito variadas.
Newton conseguiu elaborar leis que permitem lidar com toda essa variedade, 
descrevendo essas interações como forças que agem entre os objetos. Cada 
interação representa uma força diferente, que depende das diversas condições 
UNIUBE 49
em que os objetos se interagem. Mas todas obedecem aos mesmos princípios 
elaborados por Newton, e que ficaram conhecidos como leis de Newton. Para 
saber um pouco mais sobre Isaac Newton, veja o Saiba mais, a seguir.
 SAIBA MAIS 
Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de janeiro de 1643 – Londres, 31 de março de 1727) 
foi um cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha 
sido também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Sua obra, Philosophiae 
Naturalis Principia Mathematica, é considerada uma das mais influentes em História 
da Ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as 
três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica clássica. 
Fonte: Wikipédia (2010).
 SAIBA MAIS SAIBA MAIS 
Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de janeiro de 1643 – Londres, 31 de março de 1727) 
foi um cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha 
sido também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Sua obra, Philosophiae 
Naturalis Principia Mathematica, é considerada uma das mais influentes em História 
da Ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as 
três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica clássica. 
Fonte: Wikipédia (2010).
Achamos oportuno, antes de abordamos as leis de Newton, conhecermos alguns 
conceitos relacionados à grandeza física força:
As unidades de medida de força são:
Quadro 1: Unidades de força.
SI CGS MKS
N (Newton) dyn (dina) Kgf (quilograma – força)
Em muitas situações, precisamos converter uma unidade em outra. Neste caso, 
temos as seguintes relações:
1 Kgf = 9,8